JOHANNES FRIEDMANN

B E M E R K U N G E N ZUM M U N C H H A U S E N - T R I L E M M A

ZUSAMMENFASSUNG. Das Begrfindungs- oder Miinchhausen-Trilemma spielt bei wissenschaftstheoretischen Positionsbeschreibungen hfiufig eine bedeutende Rolle. Gleichwohl sind Prfizisierungen des darin behaupteten Sachverhalts bislang ausgeblieben. Im vorliegenden Beitrag wird der Versuch einer formalen Rekonstruktion zum AnlaB genommen, einen verallgemeinerten Baum- und Zirkularitfitsbegriff vorzustellen. Wenn man fiir alles eine Begriindung verlangt, muB man auch fiir die Erkenntnisse, auf die man jeweils die zu begriindende Auffassung bzw. die betreffende Aussagen-Menge zurfickgeffihrt hat, wieder eine Begriindung verlangen. Das fiihrt zu einer Situation mit drei Alternativen, di~ alle drei unakzeptabel erscheinen, also: zu einem Trilemma, das ich angesichts der Analogie, die zwischen unserer Problematik und dem Problem besteht, das der bekannte Liigenbaron einmal zu 16sen hatte, das Mfinchhausen-Trilemma nennen m6chte. Man hat hier offenbar nfimlich nur die Wahl zwischen: l. einem infiniten Regrefl, der dutch die Notwendigkeit gegeben erscheint, in der Suche nach Grfinden immer weiter zuriickzugehen, der abet praklisch nicht durchzufiihren ist und daher keine sichere Grundlage liefert; 2. einem logischen Zirkel in der Deduktion, der dadurch entsteht, dab man im Begrfindungsverfahren auf Aussagen zuriickgreift, die vorher schon als begriindungsbedtirftig aufgetreten waren, und der, weil logisch fehlerhaft, ebenfalls zu keiner sicheren Grundlage ffihrt; und schlieBlich: 3. einem Abbrueh des Ver]'ahrens an einem bestimmten Punkt, der zwar prinzipiell durchfiihrbar erscheint, aber eine willkiirliche Suspendierung des Prinzips der zureichenden Begr~ndung involvieren wfirde. 1

Soweit Albert zur Charakterisierungs seines "Begriindungs-Trilemmas", das zu den vergleichsweise anerkannten, jedenfalls aber immer wieder gern zitierten Ergebnissen zeitgen6ssischen Philosophierens geh6rt. Zwei Vorziige der Argumentation springen ins Auge: die intuitive Plausibilitfit des vorgestellten Sachverhalts auf der einen und die vielffiltigen Lehren auf der anderen Seite, die man verhfiltnismfiBig ungestraft aus dem zur Kenntnis Gebrachten ziehen darf. So begriindet der Kritische Rationalismus unter Rfickgriff auf das Begriindungs-Trilemma, dab man nichts begriinden k6nne, und daher einer begriindungsfreien "Logik der Forschung" der Vorzug zu geben sei. Dem Erkenntnis 20 (1983) 329 3 4 0 . 0165-0106/83/0203-0329 $01.20 ~ 1983 by D. Reidel Publishing Company

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deutschen Konstruktivismus dient es zur Begrfindung der Forderung, man dfirfe nicht so begrfinden, dab das Trilemma entsteht (niimlich "deduktiv"); vielmehr solle marl den bisherigen Begrfindungsbegriff durch den konstruktivistischen ersetzen. 2 F fir Lenk besagt das Trilemma etwas fiber die Unm6glichkeit "... einer rationalistischen Letztbegrfindung der logischen Regeln und Formen ''a, w/ihrend es ffir Gethmann etwas fiber "... die methodische Unhaltbarkeit eines formalistischen Programms der Logikbegrfindung T M verr/it. Nun mag zwar die Offenheit Albertscher Formulierungskunst ffir eine bedarfsgerechte Einbettung des Trilemmas in den eigenen Ansatz Grund genug f/Jr die Beteiligten sein, auf diesbezfigliche Pr'/izisierung zu verzichten; wo sich freilich Auswirkungen auf Begrfind- oder Unbegrfindbarkeit von Logik ergeben, sollte solche Zurfickhaltung nicht fibertrieben werden. Schon fiber den Status des Beschriebenen daft spekuliert werden: beschreibt Albert da ein praktische Problem, nS.mlich die Alternative zwischen drei M6glichkeiten menschlichen Handelns in Begrfindungsabsicht, aus dem wit die Einsicht gewinnen sollen, dab ... es uns Sterblichen nicht ansteht, absolute Sicherheit fiir was auch immer auf solche Weise in Anspruch zu nehmen, dal3 damit zugleich ein Nichttolerierenwollen andersartiger Auffassungen und Denkweisen verkn/ipft wird? s

Oder handelt es sich um ein wissenschaftsmethodologisches, vielleicht sogar metalogische Theorem, wie Gethmann zu vermuten scheint, wenn er in extenso von "dem" Regrel3-Lemma, "dem" Zirkel-Lemma, "dem" Abbruch-Lemma redet? ~ Und wie s/ihe eine Formulierung solcher Lemmata aus? Sollten sie sich aus einem geeignet definierten (deduktiven? nichtdeduktiven?) Begr/.indungsbegriff ableiten lassen? Erschwerend fS.11tin diesem Zusammenhang eine prinzipielle Andersartigkeit der ersten beiden Trilemma-Auspr/igungen im Vergleich zur dritten ins Gewicht. Eine sinngem/il3e Ubersetzung mag das verdeutlichen: Zur Erfiillung der Forderung, ffir alles Begriindung zu liefern, hat man neben dem lnkaufnehmen von infinitem Regref3 oder logischen Zirkel nur die M6glichkeit, fiir etwas keine Begrfindung zu liefern. Gerade diese M6glichkeit, so 15_13tsich argumentieren, hat man aber mitnichten, sofern man versteht, was es heil3t, eine Forderung zu erffillen. 7

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Da ich es fiir wenig zielfiihrend halte, auf umgangssprachlichem Niveau argumentierend die Reihe der Trilemma-lnterpretationen um die Variante "Dilemma statt Trilemma" zu bereichern, werde ich versuchen, zumindest einige wesentliche Aspekte des Sachverhalts formal zu rekonstruieren. Dabei m6chte ich angesichts der Diskussion fiber Deduktivitfit bzw. Nichtdeduktivitfit des involvierten Begrfindungsbegriffs vermeiden, ein konkretes Modell der Begriindungsrelation zu pr/ijudizieren; daher beschr~inke ich die Betrachtung auf irgendeine zweistellige Relation, die anschaulich geredet zwischen einem "Begriindungsbedfirftigen" und einer Menge yon "Grfinden" besteht. Dann scheint mir die Forderung nach zureichender Begrfindung zu besagen, dab es jeweils zu jedem Element aus der (wenigstens einelementigen) Menge der "Grfinde" eine weitere (wenigstens einelementige) Menge yon "Grfinden" derart geben soil, dab das betreffende Element und die betreffende Menge wiederum in der Relation R stehen. Graphisch k6nnte ein Anfangsstfick der initialisierten Struktur zum Beispiel so aussehen:

yy

R

Fig. 1.

Bekanntlich lassen sich solche Strukturen als "Bfiume" beschreiben. Daher werde ich im folgenden zunfichst einen verallgemeinerten Baumbegriff entwickeln, dann einen die ldee "zureichender" Begriindung charakterisie-

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renden speziellen Baum sowie einen nichttrivialen Zirkularitfitsbegriff definieren, und schliel31ich eine Version des Mfinchhausen-Trilemmas beweisen. D a z u werde ich eine mengentheoretische Sprache nach den fiblichen K o n v e n t i o n e n verwenden. Darfiber hinaus werden folgende A b m a c h u n gen getroffen:
/~ ist eine Baumstruktur, wenn gilt: it ist Funktion, so dal3 es genau ein /~-minimales x gibt, und fit (/~) ist Teilmenge der kleinsten Menge, die/~o enthfilt und unter kt abgeschlossen ist.

(D2)

~ ist lineare Substruktur von/*, wenn/~ B a u m s t r u k t u r und rechtseindeutige Teilmenge von/~ ist, und wenn ffir alle x gilt: x ist a-minimal genau dann, wenn x = /~o.

LEMMA (D3)

1: Lineare Substrukturen sind Bamnstrukturen. 8

Von endlicher Ldnge ist eine Baumstruktur/1, wenn es zu jeder linearen Substruktur a v o n / ~ ein a-maximales Element gibt, andernfalls ist # yon unendlicher Ldnge. Ferner ist eine B a u m s t r u k t u r / l unendlich verzweigt wenn ffir ein x 9 vb Or) das/~ " {x} abzfihlbar unendlich ist; ist dagegen ffir jedes x 9 vb (/~) das # "{x} endlich, so heiBt/~ endlich re> zweigI.

Unendlich schlieBlich ist eine B a u m s t r u k t u r #, wenn # unendlich verzweigt oder yon unendlicher Lfinge ist; dementsprechend ist # endlich, wenn # endlich verzweigt und von endlichef Lfinge ist. Ffir die hier definierten B a u m s t r u k t u r e n gilt sinngernfif3 das L e m m a von K6nig. In unserem Fall lautet es:

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LEMMA 2: Endlich verzweigte Baumstrukturen mit unendlichem Feld sind yon unendlicher L/inge. 9 (D4)

(/3,/~) heiBe nun Baum, wenn ~ eine Baumstruktur und/3 eine Funktion mit f d (kt) = nb (/3) ist. (~, l~)-Punkte sind dabei alle p 9 /3; ist bei einem solchen p dabei re (p) /b-maximal, so heiBt p ein ([L I~)-Endpunkt, andernfalls ein (~, lt)-Normalpunkt. Ferner sei ([~, t~) endlich, wenn ~ endlich ist.

Fiir die sp~iteren Betrachtungen fiberzeugen wir uns zunfichst davon, daB yon jedem Normalpunkt eines endlichen Baumes genau ein Endpunkt "erreichbar" ist, der beziiglich einer Abz/ihlung aller Punkte "die kleinste Nummer" hat. Genauer gesagt: L E M M A 3: Zu jedem endlichen Baum (/3, /~), jeder Abz/ihlung :~ der (/3, ~)-Punkte und jedem (/3, /~)-Normalpunkt Q gibt es genau einen (/3,/~)-Punkt P, f/it den gilt:

(1) (2) (3)

P ist {fl,/~)-Endpunkt; re (P) ist p-NF yon re (Q); fiir alle (/3,/~)-Endpunkte P' mit re (P') ist ~-NF yon re (Q) ist u~e < uc~p, lo

(D5)

Einen Punkt dieser Art beziiglich der Abz/ihlung ~ und dem Normalpunkt Q dfirfen wir daher als den e-Stammhalter yon Q bezeichnen.

Im Folgenden wollen wir B/iume einer bestimmten Sorte als "vollstfindig" bezeichnen und untersuchen. (D6)

Und zwar sei ein Baum (/3, ~) vollstiindig, wenn es zu jedem x ~ vb (/3) ein y ~ vb (/~) mit/3~, = x gibt.

Da dieser zunfichst unscheinbar wirkende Begriff die Forderung nach zureichender Begrfindung formal parallelisieren soil, scheint hier eine Erlfiuterung am Platze. Der Baum unterscheidet sich offenbar yon der reinen Baumstruktur dadurch, daB deren Verzweigungsstellen mit "Inhalten" (hier: "einem

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Grund", "einem zu Begrfindenden") belegt sind. Insofern kann man sich einen Baumpunkt als ein Paar vorstellen, dab aus einem "Inhalt" und einem "Ort" in der Baumstruktur besteht; insbesondere mfissen "inhaltsgleiche" Punkte daher nicht schon deshalb identisch sein, well sie denselben "inhaltlichen Belegungstyp" reprfisentieren. Ein graphisches Beispiel:

Fig. 2. Ein vollstfindiger Baum ist nun gerade dadurch charakterisiert, dab es zu jedem "inhaltlichen Belegungstyp" wenigstens einen Reprfisentanten geben muB, der fiber "Baum-Nachfolger" verfiigt oder, wenn man so will: jeder Grund mul3 seinerseits wenigstens einmal begriindet werden. F~inde sich daher in einem vollstfindigen Baum eine Endpunktbelegung mit "B",

s Fig. 3. SOjedenfalls auch wenigstens eine Normalpunktbelegung mit "B":

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Fig. 4.

Insbesondere ist es fiir solche B/iume unter anderem charakteristisch, daB es zu jedem ihrer Punkte genau einen "inhaltsgleichen" Normalpunkt gibt, der unter s/imtlichen zu ihm "inhaltsgleichen" Punkten beziiglich einer Abzfihlung "die kleinste Nummer" hat. Genauer gesagt: L E M M A 4: Zu jedem vollstfindigen Baum (fl,/~), jeder Abz/ihlung cr der (fl, p)-Punkte und jedem (fl,/~)-Punkt Q gibt es genau einen (fl, p)-Punkt P, fiir den gilt: (1) (2) (3)

P ist (fl,/~)-Normalpunkt; li (P) = li (Q); ffir alle (fl, p)-Normalpunkte P' mit li (P') = li (Q) ist o~p U~p,.1 1

(D7)

Einen Punkt dieser Art beziiglich einer Abz/ihlung ~ und einem Punkt Q diirfen wir deshalb als den e-Ahnherrn yon Q bezeichnen.

Schlieglich wollen wir noch angeben, wann ein Baum als "inhaltlich zirkulfir" zu qualizifieren ist. Die Problematik eines ad/iquaten ZirkularitS.tsbegriffs besteht darin, dab er nicht nur einfache Ffille der folgenden Art abdecken mug

B6 B6 Fig. 5.

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hier findet sich derselbe Inhalt mehrmals innerhalb desselben Astes ("der Grund begrfindet sich selbst") -, sondern auch F~ille der folgenden Art:

C6

B6

A6

),

*0

Fig. 6.

(Anschaulich: A "begrfindet" B, B "begrfindet" C, C "begrfindet" A). Mein Definitionsvorschlag lautet:

(DS)

Ein Baum ([3, #) ist zirkuldr, wenn es eine natfirliche Zahl n und ein n-tupel t von ([3,/~)-Punkten derart gibt, dab gilt: (1) li (tl) = li (t,); (2) ffiralle i E n b (t) mit 1 < i < n g i l t e i n e r d e r folgende Ffille: (a) i ist gerade und re (ti) ist/~-NF yon re (tu_l)); (b) i ist ungerade und li (ti) = li (t(i.~)) und re (ti) 4: re

(t..1)). Unter Anziehung der Definitionen und erwfihnten Lemmata lfiBt sich nun folgendes leicht beweisen: T H E O R E M : Jeder vollstfindige Baum ist unendlich oder zirkulfir. Beweis: Angenommen, (fl, I~) ist vollstfindiger Baum; angenommen ferner, (fl, #} ist endlich. Da dann f d (#) und damit nb (fl) endlich sind, gibt es zunfichst eine endliche Abz~ihlung der (fl,/~}-Punkte. Sei ~ eine solche. Da dann L # 0, wenn L = {n [ n ~ nb (~) und ~, ist (fl,/t)-Endpunkt} gibt es genau ein Minimum ~ ~ L.

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Wie wir schon gesehen haben, gibt es zu ~o genau einen ~-Ahnherrn; ferner ist jeder ~-Ahnherr eines (/L /~)-Punktes selbst (/3, /~)-Normalpunkt. SchlieBlich gibt es zu jedem (/3, # ) - N o r m a l p u n k t genau einen ~Stammhalter; und da jeder ~-Stammhalter eines ([1, #)-Punktes selbst ein ([1,/~)-Punkt ist, gibt es auch zu ihm wieder genau einen ~-Ahnhern. Wir k6nnen daher eine abzfihlbar unendliche Fo|ge f derart konstruieren, dab f~ = ~,~ und fiir alle k ~ nb OO mit k > 1 gilt: .[ der ~-Ahnherr vonf~k_l), wenn k gerade ist

A der ~-Stammhalter yon Jik_l ), wenn k ungerade ist N u n gibt es offenbar ungerade m, l ~ nb (/) mit m r l u n d f,. = J], (Wfirde fiir alle ungeraden m, l ~ nb (1) mit m r / auch J~, r J~ gelten, w~ire, da nb O0 die Menge der natfirlichen Zahlen ist, auch M = {x I es gibt ein ungerades k ~ nb (J) mit.fk = X} abzfihlbar unendlich. Da abet ffir jedes ungerade k ~ nb (f) mit k > 1 das fk der ~-Stammhalter von f~k-~) ist; und da ferner alle ~-Stammhalter eines ([1,/~)-Punktes selbst (/3,/~)Endpunkte sind; so write M ~_ N, wobei N = { P [ P ist (/3,/~)--Endpunkt}; damit wfire N u n e n d l i c h im Widerspruch zu der Tatsache, dab wegen der Endlichkeit yon f d (p) und wegen nb ([I) = f d (/0 auch N endlich sein muB.) Seien nun i, j ungerade x ~ nb if), so dab i :~ j, J~ = J~ und i < j. Dann gibt es zunfichst ein (j-i)-tupel t, so dab t. = fl~+.) fiir allen mit 1 <_ n < (j-i). Nun gilt: (1)

(2)

li (tl) = li (t(j.i)) - denn zunfichst ist tl = f,+~); also ist, da i ungerade und folglich f~+ 1) der ~-Ahnherr vonJ~ ist, li @i+ 1)) = li 0'~). Ferner ist t(i.~I = f,+(~_~)) = J). SchlieBlich ist nach Voraussetzung J] = J~. fiir alle k mit 1 < k < (j-i) gilt einer der folgenden F~ille: (a) k ist gerade und re (tk) ist #-NF von re (t(km) denn wenn k gerade, so ist (i + k) ungerade, folglich f,+k) der ~Stammhalter v o n ~ , + k)-l); daher ist re ~ i +k)) ein p-NF von re @,+k)-ll). (b) k ist ungerade und li (tk) = li (t(k-ll) und re (tk) r re

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denn wenn k ungerade, so ist (i + k) gerade, folglich f~i+k~ der ct-Ahnherr von.f~ti+k)_l~; daher ist zun/ichst li ~i+k)) ---- li ~ti+k~-l~). (Irk-l))

(tk)

= re (/(k-1)), SO w~ire lk = / ( k - l ) und im Widerspruch zu der Tatsache, dab Jii+k) ein (fl, /~)-Normal und f,+k)-l~ ein (fl, /~)-Endp u n k t ist.

Wfire nun auch

fli+k)

re

= f({i+k)-l)

D a h e r gibt es ein n-tupel t von ( f l , / t ) - P u n k t e n mit den f/Jr die Zirkularitfit charakteristischen Eigenschaften, womit unser Theorem bewiesen ist. Seine Beweisbarkeit unter Verzicht a u f ein konkretes Modell f/Jr die "Begrfindungsrelation" scheint den naheliegenden Verdacht zu bestfitigen, dab es nicht die F o r d e r u n g nach Begriindung ist, die per se zu Schwierigkeiten ffihrt. Vielmehr disqualifiziert sich das verabsolutierte K o n z e p t des "Zureichens'" als Gfitekriterium ffir wissenschaftliche Argumentationen. Diesseits philosophischer Begrfindungsskepsis spielt das .Begrfinden im wissenschaftlichen Alltag eine unverzichtbare Rolle. N u r versteht m a n hier das " Z u r e i c h e n " einer Begrfindung eben als a u f die potentiellen Adressaten relativiert: n/imlich, dab eine A r g u m e n t a t i o n jene Qualitfiten aufweist, die ffir die kompetenten Mitglieder der jeweiligen Scientific C o m m u n i t y daffir mal3geblich sind, dal3 die betreffende A r g u m e n t a t i o n im speziell f/it die betreffende Scientific C o m m u n i t y etablierten Sinne als zureichende Be-

griindung akzeptiert wird. ANMERKUNGEN 1 Albert, H., Traktat iiber kritische Vernunft (J. C. B. Mohr (Paul Siebeck), Tfibingen, 1968), S. 13. 2 Vgl. etwa Janich, P./Kambartel, F./Mittelstrass, J., Wissenschaftstheorie als Wissenschaftskritik (Aspekte Verlag, Frankfurt/M, 1974), Kap. II. 3 Lenk, H., Metalogik und Sprachanalyse (Freiburg, 1973), S. 94. 4 Gethmann, C. F., Protologik. Untersuchungen zurformalen Pragmatik yon Begriindungsdiskursen (Theorie Suhrkamp, Frankfurt/M, 1979), S. 37. 5 Stegmiiller, W., PersonelleundStatistische Wahrenscheinlichkeit, Erster Halbband (Springer, Berlin/New York/Heidelberg, 1973), S. 27. 6 Gethmann, op cit., S. 33 ft. Zwar weist Albert darauf hin, dab die dritte "L6sung" einer Suspendierung des Begrfindungsprinzips gleichkommt, doch hindert ihn das nicht, durch seine Rede von "Trilemma" zwei logisch m6gliche gleichberechtigt neben eine logisch unsinnige Alternative zu stellen.

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8 Bewe&: Sei a lineare Substruktur von/~.

D a n n ist a Funktion (denn falls p e a, so p e ~; daher gibt es x, y mit p = (x, y ) und a ist somit Relation. W e n n ( x l , y ) e a und ( x l , y ) e a, so ist wegen a _~ /~ auch x l = x2; folglich ist a linkseindeutig). Ferner gibt es genau ein a-minimales x (denn es gibt ein #-minimales x, n/imlich ~t~ folglich auch ein a-minimales x. W/iren x l , x2 a-minimale x, so wegen xl = iP und x2 = /1~ auch xl = x2). SchlieBlich ist fd (a) ~_ c~ {M I a~ ~ M und M i s t unter a abgeschlossen} (sei n~imlich a ~ c M, und gelte Ay (y c M ~ a "" {y} ~_ M), d a n n i s t fd (a) ~_ M. D a z u zeigen wit dutch p-Induktion, dab fd (~) c_ M*, wobei M* = {x I x c fd (a) --* x c M}. Sei/~o c fd (a); da ~o = ao und a ~ ~ M , ist ~o E M; also ist po ~ M*. Sei nun x ~ fd (a), y c M* und x Eit " ~ty}; dann ist zun~ichst x ~ a ~ da x v~ ~o (andernfalls w~ire x e vb (p) und x r nb (ix) im Widerspruch zu der A n n a h m e , dab x c ~ "' {y}); also ist x c nb (a); wegen a _~ ~ gibt es dann ein z mit ( z , x ) c ~; folglich ist z = y; damit ist (y, x ) ~ a, also y e fd (a), also y E M; d a n n i s t x ~ M und damit x ~ M*, Also ist fd (,u) ~_ M*. Da, falls x ~ fd (a), auch x ~ fd (/~), ist x ~ M. Also ist fd (a) c M.). Meiner Kenntnis nach wird der Beweis, vermutlich wegen seiner Aufwendigkeit, normalerweise n u r intuitiv geffihrt. Nicht zuletzt, u m die als Baum- und als lineare Substruktur bezeichneten Verallgemeinerungen zu rechtfertigen, soll er nachstehend in seinen wesentlichen Schritten dargestellt werden, wobei ich P. Hinst ffir seine Hilfe zu danken babe. A n g e n o m m e n also,/~ ist endlich verzweigte Baumstruktur. D a n n ist zunfichst/~-NF " {#o~ unendlich; denn/~o ist das einzige x E vb (~) mit x r nb (V); also ist fd (#) = {go} w # - N F ,, {/~o}; ferner ist {#o} endlich und fd (~) n.V. unendlich. Weiter gibt es zu jedem x E fd (/~) mit # - N F " {x} ist unendlich ein y e ~ " {x} m i t / ~ - N F " {y} ist unendlich. M a n zeigt n~mlich induktiv, das fd (/1) ~_ M*, wobei M* = {x ] wenn /~-NF " {x} unendlich ist, gibt es ein y ~/~ '' {x} mit # - N F " {y} ist unendlich}: denn es ist zun/ichst # - N F " {Vo} unendlich; also gibt es ein y e ~t "" {#o}; w~ire ffir jedes der n.V. endlich vielen y ~ # " {/~o} das # - N F " {y} endlich, so wfire wegen # - N F " {~o} = /~ - {~o} u kJ {#-NF " {y} l Y e/~ " {/~o}} das u - N F '" {~o} endlich, im Widerspruch zur Voraussetzung: analog zeigt man, dab 7 e M*, wenn x ~ M* und ? e ,u "" {x}. N u n gelte: wenn x e fd (~) and e endliche Abz~ihlung yon # " {x} ist, und wenn es ein z # " {x} rnit g - N F " {z} ist unendlich gibt, dann sei ffir a l l e y rain (x) - y genau dann, wenn y e ,u " {x}, ~ - N F " {y} unendlich ist, und fiir alle z e I~ "' {x} mit ~t-NF " {z} ist unendlich gilt: u:~ < u~.. D a n n sei ./"die induktiv wie folgt definierte unendliche Folge: .l] = ,u~ / 1

rain (f,), w e n n es ein z mit z ~ # "' ~f,} und ~ - N F "' {z} ist unendlich gibt, das L E M M A yon K6nig, sonst.

N u n gilt zunfichst: zu jedem n e N + ( = : die positiven ganzen Zahlen) gibt es ein z e/~ "" ~,} mit # - N F " {z} ist unendlich, wie induktiv zu beweisen ist. Da n~mlich f~ = / A #o fd(l~) und /~-NF " {/~o} unendlich, gibt es ein z e U '" {f~} m i t / ~ - N F " {z} ist unendlich. A n g e n o m m e n nun, es ist z e # " {J~,} und # - N F " {z} unendlich; da d a n n z ~ fd(/~) und g - N F "' {z} ist unendlich, gibt es ein y e/~ " {z} mit # - N F " {y} ist unendlich; d a n n ist f , + ~ = rain (/~,); da n u n f , ~ fd(,u) u n d e s wegen der endlichen Verzweigung yon # eine endliche Abz~hlung von/~ " {f,} gibt, und da ferner z e/~ "' {f,} und g - N F '" {z} unendlich ist, ist nach Def. der m i n - F u n k t i o n rain (f,) ~ u " {J).} und es ist # - N F " {min (,c)} unendlich; also ist f,+~ ~/~ "' {j),} und # - N F "" {./'~.+~} ist unendlich; also gibt es ein z ~ It " ~ , + , } mit ~t-NF " Iz} ist unendlich, w.z.b.w.

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FRIEDMANN

Ferner ist for jedes n e ~ + das rain 0'~,) c fd(,u), wie induktiv zu beweisen ist. Da nfimlich f1 = #o ~ fd(/~) und die Bedingungen for "rain' erfiillt sind, ist rain ([]) e/1 " {/'1}; also ist min (fl) ~ fd(p). A n g e n o m m e n nun, es ist n ~ ~ + und rain (f,) e fd(~); dann gibt es ein z c l l " {f.} m i t / ~ - N F '" {z} ist unendlich; dann istf,+~ = min 0 % d a f , + l = min (/~,) 6 fd(/t) und die Bedingungen fOr 'rain' erffillt sind, ist rain (f,+ 1) ~/~ " {/',+ 1}; also ist rain (/~,. 11 ~ fd(/~), w.z.b.w. Schliel31ich ist f/Jr a l l e n E ~ * f , c fd(,u), wie induktiv zu zeigen ist. Da n~imlich f~ = ,u~ istfl 9 fd(ll). Sei nun./`, 6 fd(,u); da es dann ein z e/~ " {L} m i t / l - N F " {z} ist unendlich gibt, i s t f , + l = min (f,) ~ fd(/~). Es sei n u n a = {(x, y ) [ es gibt ein n E nb (D m i t f , = x u n d f , + ~ = y}. D a n n ist zunfichst a lineare Substruktur von ~. Sei nfimlich p ~ a; dann gibt es ein n c nb (f), x, y m i t f . = x , f , + l = y und p = (x, y ) ; d a f . . l = min (/~,) und die Bedingungen f/Jr 'rain' erffillt sind, ist f , + l e # " {/,,}, also (f,, f , + a ) c ~, also (x, y ) 9 ~, also p 9 ~. also a ~ /t. A n g e n o m m e n weiter, ( x , y ~ ) , ( x , Y 2 ) 9 a; dann gibt es n l , n2 9 nb(f) m i t f , l = x , / , u . 1 = Y l , f , 2 = x , f , 2 + l = Y2; dann i s t f , l = ./,,~ d a f , l. 1 = rain (f,0 u n d f , z+l = min (f.2), ist 3'1 = f , l + l = m i n (f,z) = rain (x) = rain (fo~) = f,2+1 = Y2, und a ist rechtseindeutige Teilmenge von #. Sei nun x a-minimal; dann ist x 9 vb(a) und x r nb(a); dann gibt es ein y mit (x. y ) e a und for kein z ist (z, x ) ~ a; dann gibt es ein n 9 rib(/) m i t f , = x u n d f , + l = )', und for alle z und alle m 9 nb(D m i t j ~ , . l = x istf,, :~ z; wenn n = 1, so x = J] = ~o; wenn n > I, d a n n ( n - l ) ~ nb(f); da aber for kein z (z, n - l ) 9 ist ( n - I ) 9 nb(/); also ist n = I und x = ./,a = it ~ d.h. x = #o, falls x a-minimal. Wenn umgekehrt x - ito so x r nb (~); da a ~_ ~t, gibt es dann kein y mit (y, x ) 6 a, d.h. x r nb (a); da abet x = ./1, ist wegen (/'1,./'2) e a x ~ vb (a); also ist x a-minimal, falls x

riO N a c h d e m bewiesen ist, dal3 a lineare Substruktur von/~ ist, zeigen wir zum SchlulJ, dal3 es kein a-maximales Element gibt. Gfibe es nfimlich ein solches, so auch ein y ~ nb (a) mit y r vb (a); da es dann ein x mit (x, y ) ~ a, aber kein z mit (y, z) 9 a gfibe, g~ibe es ein n 9 nb (J) m i t f , = x u n d f , ~ i - y, aber kein m e nb (/) mit./~, = y u n d j , , + l = z for alle z; dann w f i r e f , - 2 :~ z for beliebige z, im Widerspruch zu der Tatsache, d a g f , + 2 = rain (f,+ 1); also gibt es kein a-maximales Element. Daher hat/~ unendlich Lfinge, w.z.b.w. lo Beweis: Seien die Voraussetzungen erf~llt. Da d a n n re (Q) n i c h t / t - m a x i m a l ist, ist {n I n e nb (~) und re (~,) ist/~-NF yon re (Q)} ~0. Da ferner (fl, O) endlich ist, es folglich zu jeder linearen Substrukctur n yon ~t ein nmaximales y gibt, ist auch M :~ 0, wenn M = {n ] n e nb (:0, re (:t,) ist/~-maximal und re (~,) ist ,u-NF yon re (Q)}. Also gibt es ein M i n i m u m ~ e M, d.h. :q, ist ([/, fl)-Endpunkt, re (~,,) ist I~-NF yon re (Q) und for alle ~' e M ist u < ~)'; daher gilt auch for jeden ( f l , / t ) - E n d p u n k t P' mit re (P') ist /~-NF von re (Q), dab ~ _< u~e,. Folglich ist :~ ein Punkt der behaupteten Art. WOre andererseits Q' ein weitercr solcher Punkt, so wore wegen o~ e, _< ~2 und ~ ~ 0%, auch Q' = :~,,. Daher ist ~, der einzige solche Punkt. 1t Der Beweis ist dem vorstehenden weitgehend analog. Z u m Beweis der Teilbehauptungen (1) und (2) beniJtzt m a n die Eigenschaft der Vollstfindigkeit. Manuscript received 23 J a n u a r y 1983 8000 Mfinchen 90 H a r t h a u s e r Str. 58 B.R.D.