Comment. Math. Helvetici 65. (1990) 581-602

0010 2571/90/040581-2251.50 + 0.20/0 9 1990 Birkh~user Verlag, Basel

Classes caract~ristiques pour les cones projectifs et homologie d'intersection JEAN-PAUL BRASSELET, K A R L - H E I N Z FIESELER et LUDGER K A U P

En hommage gt Jean Louis Verdier

1. Le probl~me L'&ude des vari&6s singuli6res a fait de r6cents progrSs dans deux directions: d'une part les constructions, en homologie, des classes de Chern des ensembles analytiques complexes, dues ~ M. H. Schwartz et fi R. MacPherson; d'autre part la d6finition de l'homologie d'intersection (M. Goresky et R. MacPherson), dans laquelle l'intersection de deux cycles est encore un cycle. Ainsi, si on veut d6finir des nombres de Chern pour des ensembles analytiques complexes, il faut pouvoir relever les classes de Chern en homologie d'intersection. Des r6sultats n6gatifs ont ~t~ obtenus. Dans [BrGo2], on donne de tels exemples, inspires de J. L. Verdier et de M. Goresky, construits comme c6nes projectifs sur une surface projective lisse, donc comme espaces ~ singularit6s isol6es. On consid6re, ici, ces constructions d'une mani6re plus syst6matique. Pour des exemples fi singularit6s non isol6es d'un c6t6, et des th6or6mes de permanence d'un autre c6t6, nous d6montrons d'abord le r6sultat suivant permettant le calcul des classes de Chern des c6nes projectifs it6r6s pour l'homologie fi coefficients entiers: (1.1) THt~OR]~ME. Soit Y ~ •u, varibtb projective, et s : Y ~ K Y l'&clusion eanonique dans KY, le c6ne projectif sur Y, de sommet {s}. En notant Ogalement K : H o ( Y ) ~ H.+ E(KY) le "c6ne projectif homologique" (2.1), on a

(1.2) cj(Kr) = ,.cj(Y) + Kcs_,(Y), off K c _ l ( Y ) d~signe la classe [s] e Ho(KY).

Consid6rons maintenant l'homologie d'intersection I p H . ( Y ) , d6finie comme l'hypercohomologie ~..~2dimY-'(y,~;) du complexe de Deligne ~ . Pour deux

582

JEAN- PAUL BRASSELET, K A R L - H E I N Z FIESELER ET L U D G E R K A U P

perversit6s p et q on pose p c q s'il existe un diagramme commutatif

/3pq

avec les morphismes canoniques de comparaison/~op et/~oq. Cette relation d6pend de la pseudovari6t6 et des coefficients en question; pour les d6tails voir [FiKp 3, w L'ordre partiel p c q est une extension naturelle de l'ordre partiel t0 ~ q; il est compatible avec l'identification des perversit6s suivant "quasi-isomorphie". (1.3) THI~ORI~ME. Soit P une perversitb telle que m c p. Si les classes de Chern de Y sont dans l'image de l'homologie d'intersection ~ coefficients rationnels pour la perversitb p, il e n e s t de m~me des classes de Chern de KY. Ce r6sultat sera d6montr6 dans w dans une situation plus g6n6rale. (1.4) C O R O L L A I R E . Si Y est une varibtb homologique rationnelle, les classes de Chern d'un c6ne it~r~ de Y sont dans l'image de l'homologie d'intersection gt coefficients rationnels pour chaque perversitb p telle que m c p.l Dbmonstration. C o m m e une vari&6 homologique rationelle est irr6ductible en chaque point, on a des isomorphismes H2dim r - j( y, Q) ~ l o n j ( y ' Q) ~ I p n j ( Y, Q) _~ I t n j ( Y , Q) ~- Hi(Y, Q). Donc co(Y) est dans l'image de l'homologie d'intersection h coefficients rationnels, quelque soit la perversit~ p, et le r6sultat d6coule de (1.3). []

2. Le cfne projectif homologique Pour toute application de vari~t~s projectives alg6briques complexes f : X ~ Y, nous noterons fo l'application induite en homologie et f . l'application induite sur

1) Ce r6sultat d6montre, dans un cas particulier, la conjecture suivant laquelle, pour les coet~cients rationnels, les classes de Chem des vari&6salg6briques sont dans l'image de l'homologie d'intersection. D'apr6s Goresky et MacPherson, cette conjecture se ram6ne fi la d6monstration d'un "Moving Lemma" relatif au cycles d'intersection.

Classes caract6ristiques pour les c6nes projectifs

583

les fonctions constructibles. L'application f . est drfinie par la condition

f . ( 1v )(Y) = x ( f - ' ( Y ) n V) pour toute fonction caract6ristique 1 v d'un sous-ensemble ouvert V c X. Dans [MPh, Prop. 1], MacPherson d6montre l'existence d'une unique transformation naturelle c. du foncteur "fonctions consfructibles" dans le foncteur "homologie enti6re" telle que: ( l ) c. (~ +/~) = c. (~) + c. (/~); (2) f.c.(~) = c . ( f , ~ ) ; (3) c . (X) = e ( x ) ( c "(x)),

si X est une varirt6 lisse de classe de Chern cohomologique c~ et ot~ P(X) drsigne la dualit6 de Poincar6 sur X. Considrrons Y, varirt6 projective de dimension (complexe) n, plongre dans PN et notons L la restriction du fibr6 hyperplan de PN fi Y. On appelle E le complrt6 projectif de l'espace total de L, c'est-fi-dire P(L ~9 1 r ) o~ 1 r e s t le fibr6 trivial de rang (complexe) 1 sur Y. La projection canonique p : E --+ Y admet deux sections, nuUe et infinie, d'images Y(0) et Y(o~). Le c6ne projectif K Y s'obtient par quotient de E en contractant Ycoo)en un point {s}. K Y est l'espace de Thorn associ6 au fibr6 L, de base Y. En regardant p :E--+ Y comme un fibr6 en sphrres S 2, sous-fibr6 d'un fibr6 /5 : E ~ Yen boules B 3, on a une classe de Thom ~9E e n 3 ( g , E) et une suite exacte de Gysin PJ -.. ~ H i + ,(r) -~ H i _ d Y) ~ Hj (E) -+ H i ( r ) -~. 9 .;

dans laquelle le morphisme de Gysin ), est la composition de

Hj-2(Y) ()j_:)-,HJ-2(E) (c~g)-, Hi+I(E,E) a-~Hj(E) et s'explicite comme suit: Si ( est un cycle reprrsentant une classe [(] de Hj_2(Y), ~([(]) est la classe du cycle p - l ( ( ) dans Hj(E). Soit n la projection canonique n : E--+ KY. (2.1) DI~FINITION. On appelle c6ne projectif homologique, et on note encore K, l'application composre K = ~.V : Hj_2(Y )--+Hj(KY) pour j > 2. Pour 0 = H_2(Y), on pose K ( 0 ) : = [s] e Ho(KY). Remarquons que K est homomorphisme, sauf pour j = 0.

584

JEAN-PAUL BRASSELET, KARL-HEINZ FIESELER ET L U D G E R KAUP

Le Th~or~me (1.1) est une consequence directe de la proposition suivante (d6montr6e au paragraphe 5): (2.2) PROPOSITION. Les classes de Chern de E et de Y sont liOes par la relation c.(E) = (1 + r/0 + r/w ) nT(c.(Y)), o~ r/j : = cl(d)(Y(j))) ~ H2(E) pour j = O, ao, et n dbsigne le cap-produit usuel. (2.3) R E M A R Q U E . Si Y est irr~ductible en chaque point, et si 9 d~signe le produit d'intersection entre les groupes d'homologie d'intersection IoH.(E) et I t H . ( E ) ~-H.(E), on a c.(E) = ([E] + [Y(0)] + lYre)]) 9 ?(c.(Y)). D~monstration du ThborOme (1.1) ~ partir de la Proposition (2.2): Soit l e la fonction constructible, constante, ~gale fi 1 sur E, alors on a ~x(Y), n , ( l e ) ( x ) = [1,

six=s sinon,

c'est-~.-dire r t , ( l ~ ) = 1,,y + (z(Y) - 1 ) l ~ .

Puisque ~.c.(1E) = C.(~,(1E))

on en d6duit (2.4) n . c . ( E ) = c . ( K V ) + (z(Y) - 1)[s]. D'autre part, l'image par n. de l'6quation de la Proposition (2.2) s'6crit: (2.5) n . c . ( E ) = n.~(c._ l(Y)) + n.(r/0 c~7(c.(Y))) + n.(r/oo c~7(c.(Y))). Soient to : Y c, E et ~oo : Y c, E les inclusions de Y comme sections nulle et infinie de E, respectivement. Par d~finition de 7, on a, pour tout cycle ~ de Y et pour j = 0

Classes caract6ristiques pour les c6nes projectifs

585

OU oo ~j :~ y([q) = Oj).([r

donc rt.(tlj c~ y(c.( Y))) = n . t j . c . ( l r ) = n . c . ( l r(:)) = c.n.(lrc:)).

Si I = n o Zo" Y ~ K Y d6signe l'inclusion naturelle de Y dans K Y , alors n.(lr(o)) = 1,(r)

et

x.(lr~|

= ~f(Y)l{,}.

Donc nous obtenons n.(tIon 7(c.( Y))) = c.(1,(r)) = t . c . ( Y),

et n.(tlo~ n y ( c . ( Y) ) ) = z( Y ) c . ( I{.,} ) = z(Y)[s],

06 [s] est la classe du sommet s dans H o ( K Y ). La comparaison de (2.4) et de (2.5) nous donne alors: c . ( K Y ) = t . c . ( Y ) + x . y c . _ 1(Y) + [s],

d'o6 le Th~or6me (1.1).

[]

3. Exemples de c6nes projectifs (1) Espaces de Thom associds d des plongements. La construction pr6c~dente associe, canoniquement, un espace de Thom au plongement d'une vari6t6 lisse Y dans PN. A titre d'exemple consid6rons l'image du plongement de Segre Pl • Pl ~ P3, d6fini en coordon6es homog~nes par (Xo : x l ) x (Yo : Yl) ~ (XoYo : xoyl : xlyo : x l y l ) ,

et l'image du plongement de Veronese P2 ~ P5 d6fini par (Xo : x, : x O ~

(x~:xox, "XoX~:x~,:x,x~

:x,~).

586

JEAN-PAUL BRASSELET, KARL-HEINZ FIESELER ET L U D G E R KAUP

Avec la construction prrcrdente, K Y est l'espace de Thom associ6 au fibr6 L, de rang (complexe) 1 et restriction fi Y du fibr6 hyperplan de PN. Les classes de Chern et l'homologie d'intersection de ces exemples ont 6t6 calculrs dans [BrGo 1]: Dans le cas du plongement de Segre, soient dl et d2 deux droites fixres appartenant chacune fi un systrme de grnrratrices de la quadrique Y = Pl x P~. Notons to le grnrrateur canonique de H2(Pl), il vient c ' ( P t ) = 1 + 2o9 et c . ( Y ) = c . ( P , x P,) = ([Y] + 2[d,]) 9 ([Y] + 2[d2])

= [Y] + 2([d,] + [dz]) + 4[a] off a est un point de Y e t ot~ 9 drsigne l'intersection des cycles ou des classes d'homologie. On a donc K ( c . ( Y ) ) = [KY] + 2([Kdt] + [Kd2]) + 4[Ka].

Notons ~ l'homologie des cycles. Dans K Y , on a [BrGo 1, w dl " ~ d 2 ~ K a et a ~ s , d'ofi avec (1.1) co(KY) = [KY] + 3([Kdl] + [Kdz]) + 8[Ka] + H6(KY)

tt4(KY)

H2(KY)

Y ~ Kd~ + Kdz,

5[s] , Ho(KY)

ce qui est conforme au rrsultat de [BrGo 1]. Dans le cas du plongement de Veronese, soit d u n e droite projective (hyperplan) de Y : = P2, on a: c~ = 1 + 3o9 + 3to 2 off co est le grnrrateur canonique de H2(1~2), dual par isomorphisme de Poincar6 de la classe [d] e H2(P2). I1 vient, par dualit6 de Poincar6 c . ( Y ) = [Y] + 3[d] + 3[a]

o/l a est un point de Y. On a donc K ( c . ( Y ) ) = [KY] + 3[Kd] + 3[Ka]

avec, dans KY, [BrGo 1, w

Y ,-, 2Kd, d ~ 2Ka et a ~ s. Donc

co(KY) = [KY] + 5[Kd] + 9[Kal + 4[s]. Hr(KY)

H4(KY)

H2(KY)

Ho(KY)

[]

Classes caract6ristiques pour les obnes projectifs

587

(2) C6nes projectifs it~r~s. Notons K 2Y le c6ne sur KY, de sommet g. I1 vient, dans le cas du plongement de Segre K(c.(KY)) = [K 2Y] + 3([K2d,] + [K2d2]) + 8[K2a] + 5[Ks] et donc c . ( K 2 y ) = [K2y] + 4([K2d,] + [K2d2]) + 14[K2a] + 13[Ks] + 6Is"]. Dans le cas du plongement de Veronese, on a K(co(KY)) = [K2y] + 5[K2d] + 9[K2a] + 4[Ks] et donc c.(K2Y) = [K2Y] + 7[K2d] + 19[K2a] + 13[Ks] + 5[s'] etc... (3) Consid6rons une vari&6 alg6brique projective X de dimension m, hom6omorphe a un c6ne it6r6 sur une hypersurface lisse de degr6 g dans Pd [FiKp 1]. On sait que X est hom6omorphe a la vari&6

,,,Xw

{ [ z ] ~ P ~ + ~ : i =~o z f = O } ,

et que le lieu singulier de "X,~ est {[z]; ( 0 , . . . , 0, Zd§ 1. . . . . Zm+ l)} ~ P,--a" Le calcul des groupes d'homologie d'intersection de ,.X,~ a 6t6 fait dans [FiKp 1, (2.1)]. Ici, on s'int6resse aux classes caract6ristiques de ,,X~: Si d = m + 1, alors, Z : = ,,X~+ 1 est lisse. On a pour les fibr6s tangents TPm+ I Iz = TZ ~ N off le fibr6 normal N e s t isomorphe fi L| (L est la restriction fi Z du fibr6 hyperplan de P,, § 1). Soient co le ggn6rateur canonique de H 2 ( p " § i) et 03 son image dans H2(Z) par l'inclusion Z ~ P,.+1; on a C'(mXgra+ l)

=

|'C"(Pm + l)/c'(gH) = (1 + 03)"+2/(1 + g03).

Les classes de Chern cohomologiques de ,.X~ +t s'expriment en fonction de 03 et de ses puissances, c'est-fi-dire qu'en homologie, et en notant H u n hyperplan g6n6rique,

588

JEAN-PAUL BRASSELET, KARL-HEINZ FIESELER ET L U D G E R KAUP

elles s'expriment en fonction de la classe duale [,,X~+ l n H ] de ~, de la classe duale [mX~ +lC~ H C~H'] de (32, 06 H ' est un autre hyperplan g6n6rique transverse H, e t c . . . Si d = m , alors, ,,XSm est un c6ne projectif sur la vari6t6 lisse ,,_lXgm. On est dans la situation du Th6or6me (1.1). Pour calculer les classes de Chern homologiques de ,,X~ g K~_~X~), il faut donc d&erminer les relations liant, en homologie, Ira-]Xgm] et [K(m_ I X~ c~H)] ainsi que celles liant [~_ iX ginc~H] et [K(,, _ l Xgmn H C~H')], e t c . . . Par exemple, si Z % P3 est lisse et de degr6 g, il vient, fi l'aide de (4.3): r H4(Z) [H2(Z)

(H.()I__,,Z, j = 6 IJH2r~ .=( Z 4) Lj = 2 tlj(KZ)~-'~H2(Z)

et

I-Ij(KZZ) ~- l ~ ~(Z)

j=0

j = 8 j=6 j=4 j=2 j=0

modulo ces isomorphismes, les classes de Chern des c6nes KZ et K2Z sont donn~es par: I[Z] j = 8 r[Z] j = 6 /(6-g)[H] j 6 cj(KZ) = ,J(5 - g)[H] j = 4 et cj(K2Z) = ~g(g2-6g+15){pt} j 4 l g ( g 2 - 5g + 10){pt} j = 2

L l + g(g2 - 4g + 6) j

|l+g(2g2-9g+16) j L2+g(g2-4g+6). j

0

2 o

4. Autre expression du Th6or6me (1.1) Notons L ' = L \ Y(o), le fibr6 en droites complexes L priv6 de la section nulle. Si

~L e H2(L, L') d6signe la classe de Thom de L, et q := PIL " L --* Y la projection de L sur Y, on a une composition d'isomorphismes not6e K', pour i > 2

Hi

q i -- 2

-

2

(Y) ,

t'~L

Hi _ 2(L) ,----- H, (L, L ") ~" H, (KY, K Y \ Y(o)) L Hi (KY, s) 4-"Hi (KY)

06 ~ est l'isomorphisme (Kr, {s}) = (Kr, Kr\r(o)).

d'excision

et

fl

est

induit

par

l'inclusion

(4.1) PROPOSITION. Le morphisme composd K' s'identifie d K. Cela vient, essentiellement, de ce que ~ compos6e:

est image de /~L par l'application

H2(L, L') ~- H2(L u Y(o~),L' u Y(oo)) ~ H2(L u Y(o~)) = HZ(E) L H3(E", E).

[]

Classes caract6ristiques pour les c6nes projectifs

589

(4.2) COROLLAIRE. Soit ~ un cycle de dimension au moins deux de Y, sous-varibte de PN. Son image z.(() dans le c6ne projectif K Y est homologue K(~ n c '(L)). Dbmonstration. Grace ~ (4.1), il suffit de v6rifier que le diagramme I-Ij(Y)

,3__ Hi(L) = H j ( K Y \ s ) If"

I-Ij_ 2(Y )

--~

Hj(KY)

commute.

[]

I1 est facile de calculer l'homologie de KY: Etant donn6e une d6composition cellulaire de Y, on en d6duit une d6composition cellulaire de K Y en faisant correspondre ~i chaque cellule a de Y la cellule Ka, c6ne sur a, et en ajoutant le sommet s comme cellule de dimension 0. En homologie, il vient (4.3) PROPOSITION

Hi (KY)~-

2(Y),

O, R,

j ~ 2 j= l j=0.

On en d6duit fi l'aide du Th6or6me (1.1): (4.4) PROPOSITION. Les classes de Chern du c6ne K Y sont ~gales cj(KY) = K(cj(Y) n c l ( L ) + cj_ t(Y))

pour j > 0

et co(KY) = ~.co(Y) + [s]. Dans le cas des vari&6s qui sont irr6ductibles en chaque point, on peut remplacer le cap-produit entre l'homologie et la cohomologie par le produit d'intersection, en homologie, plus g6om&rique: (4.5) R E M A R Q U E . Soit Y ~ PN irr6ductible en chaque point et H un hyperplan g6n6rique de PN.

590

JE AN- PAUL BRASSELET, K A R L - H E I N Z FIESELER ET L U D G E R K A U P

(1) Soit ( un cycle de dimension > 2 de Y, et t . ( 0 son image dans le c6ne projectif K Y ~ PN +1" Alors t . ( 0 est homologue h K(( c~H) dans KY. (2) Pour les classes de Chern, il vient cj ( K Y ) = K(cj ( Y ) 9 H + cj_, (Y)) pour j > 0

et co(KY) = toco( Y) + [s].

5. D6monstration de la Proposition (2.2) (a) Cas off Y est lisse. Supposons Y lisse, de dimension complexe n. Le fibr6 tangent vertical Tv de p : E --* Y est d6fini par la suite exacte: 0-~ T~ --* TE ~ p * T Y ~ O .

On en d6duit, dans H ' ( E ) (5.1) c ' ( E ) = c'(To) w c ' ( p * ( T r ) ) . Le faisceau des sections du fibr6 T~ est le faisceau canoniquement associ6 au diviseur Y
H'(E) ,-,te~ Hz~ + 2 - ,(E).

D'ofl, par dualit6 de Poincar6

Classes caract&istiques pour les c6nes projectifs (5.2) c " ( p * ( T Y ) ) ca [E] = p~ ~ = ?(c ~

591

ca [E] ca [Y])

= ~(c.(Y)).

Des formules (5.1) et (5.2), on d6duit c.(E) = ( 1 + rio + rio) ca ?(c.(Y)) ce qui est la Propositon (2.2)

[]

(b) Dbmonstration dans le cas oft Y est singulier. Consid&ons une r&olution des singularit6s Pr" ~ ' ~ Y. et supposons donn6es des stratifications Y de Y: Yoc'"c

Yn= Y

et ~ de :~ telles que Pv soit une application stratifi6e. Chaque strate Sj = Yj\Yj_, de Y se d6compose sous la forme Sj = ~J~=, Sjk en composantes connexes. On pose Yjk : = ~k et on note ajk l'inclusion de Yjk dans Y. On pose := (pr)*(E)

et

Ejk : = (ffjk)*(E),

ce qui fournit deux diagrammes de fibr6s image r6ciproque: PE, E

17 v r y

Ejk r

E

~k Cjk y.

(5.3) LEMME. I1 existe des entiers #jk tels que rj

(,) (p,),l~=ly+ Z Z #j~l,j~, j
(**) ( P e ) , l t = l e

+ Z

ry ~'. l%lEj~.

j
Dbmonstration. Pour la fonction constructible l~,, 6gale fi 1 sur i7, on peut d~finir les entiers #jk satisfaisant (,), par r6currence d6croissante sur j, de la facon

592

JEAN-PAUL BRASSELET, KARL-HEINZ F1ESELER ET L U D G E R KAUP

suivante. Posons /l.k = 1 quelque soit k. On a (pr).(lf)(y)

= Z(pr~(y)) = 1 pour y e S~,

et, p o u r j < n e t y e Sjk, on pose:

lijk : = X(P r i(y)) _

~ j
lij,k,

~ n,k"

off la s o m m a t i o n est 6tendue aux strates Sj,k" telles que Sjk c ~ , k , . - - S i e ~ p - i ( y ) , on trouve (Pe) , ( l g ) ( e ) = X(Pe l(e)) = Z(P r l(y)), d'ofi la formule (**).

[]

Soit Z une vari6t6 projective et q~ : Z ~ Y une application (continue). O n note ~o*E le fibr6 image r6ciproque de E par ~o. On a un diagramme c o m m u t a t i f q~*E

Z

1

'~,E

1"

~o y.

C o m m e les fibres du fibr6 tp*E sur Z sont des sph6res S z, on a un morphisme de Gysin

~ : ~._2(z) --,/L(q,*E) satisfaisant (5.4) ~.'~ = ?(p.; on en d6duit le lemme: (5.5) L E M M E . Soit a ~ H ~

et b ~ H o ( Z ) , on a, dans H o ( E )

t~. (q3 "(a) c~ )7(b)) = a c~ ?(tp .(b)). N o u s utiliserons ce lemme dans deux cas particuliers:

[]

Classes caract6ristiques pour les c6nes projectifs

593

(1) si tp est l'application Pr: ~-* Y, a : = ( l + ~/o+ ~/~) et b : = c . ( ~ ) : (5.6) (PE).(( 1 + '70 + '70o) c ~ ( c . ( ~ ) ) ) = (1 + t/o + t/~) n ~((Pr).(c~ avec ( p o u r j = O, 1) 'Tj : = c'(d~(?(j))) = (pE)'(C'(6(Y(j)))) = (pE)~ (2) si ~p est l'application ayk : Yjk ~ Y, a : = (1 + t/o+ t/o~) et b : = c.(Yjk): (5.7) (/jk).((1 + r/ojk + ~/~j,) n?jk(C.(Yjk))) = (1 + t/o + t/~) c~ ?((ajk).(c.(Yyk))) , Off (par exemple) t/oj, : = (zjk)'(r/o) = (zyk)'(c'(O(Yo))) = c'({P(Yoc~ Yjk)).

Fin de la dbmonstration de la Proposition (2.2): La proposition se d6montre par r6currence croissante s u r n . Si n = 0 , elle est 6vidente. Supposons la formule vraie p o u r toute vari6t+ (singuli6re) de dimension strictement inf6rieure f i n = dim Y e t m o n t r o n s qu'eUe est vraie p o u r Y: C o m m e / ~ est lisse, on a d'apr~s le cas (a) c . ( ~ ) = (1 + ,70 + '7o~) n ~(c.(?)). En prenant les images par (Pe)., et en utilisant la Formule (5.6), il vient

(5.8) (pE). c. (~7) = ( 1 + ,70 + ,1~) n ~((p y ). (c. (?))) off

(pe)oC.(ff.) = ( p e ) ~

= Co((pe),lg)

et (p,~).c.(?)

= (py ).c.( l ~,) = c.((p~ ) . l ~,).

594

JEAN-PAUL BRASSELET, K A R L - H E I N Z FIESELER ET L U D G E R K A U P

Donc, d'apr6s le Lemme (5.3), la Formule (5.8) devient:

c.(E) + y~ ~ Uj~(~j~).(c.(Ej~)) j
=(1+,7o+,7~)c~, c . ( r ) + Y, Y~ gj,(%).(c.(Yj~)) . j
Par hypoth6se de r6currence, pour j < n, on a c.(Ejk) = (1 + t/ojk + t/~ik ) c~Tjg(c.(Yjk)), []

d'ofi la proposition, en utilisant (5.7).

6. Th6or~mes de permanence

Soit Y une vari6t6 projective alg6brique de dimension complexe n et R un anneau principal de caract6ristique nulle (on consid6rera, en fait, les cas R = Z ou Q). La formule de la Proposition (4.3) dormant l'homologie de K Y reste valable pour l'anneau R. La situation est plus compliqu6e pour l'homologie d'intersection. Pour un plongement Y ~ PN donn6, soit c~(L) ~ H2(Y, R) la classe d'Euler du fibr6 L, restriction du fibr6 L, restriction du fibr6 hyperplan de P~v fi Y. Elle d6finit une classe d'homologie d'intersection dans IoHE,_E(Y, R), encore not6e cl(L). Pour chaque perversit6 p, posons v "= 2 dim ( K Y ) - 1 - p(2 dim (KY)). On sait [FiKp 2, 3.5]: (6.1) PROPOSITION. L'homologie d'intersection du c6ne K Y se calcule comme ci-dessous : ~ Ip (/-/j_ 2(Y, R),

j>v ncl(L)

IpI-Ij(KY, R) _~ J i m (IoI-Ij( Y, R)

IpHj_2(Y, R)), j = v

I

U o ~ ( r , R),

j
Pour toute perversit6 p on a un homomorphisme de comparaison naturel

o~ "IoHj( Y, R) --, t,~.( r, R) --,BAr, R);

Classes caract6ristiques pour les c6nes projectifs

595

il est surjectif p o u r j = 0 et darts ce cas, le Th6or6me (1.3) est 6vident. I1 suffit doric de consid6rer les degr6s j > 1. D a n s tout ce qui suit, nous fixons un entier j > 1. (6.2) L E M M E . Supposons qu'il existe, pour i = j - 1 ~i E IpH2~(Y) tels que co~(~,) = ci(Y). Alors, on a

et j, des dldments

cj(KY) = g c ~ ( ~ j n c ~ ( L ) + ~j_ 1) ~ Im Kco~.. Ddmonstration. On a un d i a g r a m m e c o m m u t a t i f a coefficients dans R

IpH2j(Y )

) H2j(Y )

I~H2j_2(Y) "~,/~2j-2(Y) d'ofi, dans I-I2j_2(Y),

cj( Y) c~ c~(L) = o~(~j) c~ct(L) = co~,(~j c~ ct(L)). D ' a u t r e part, on utilise le r6sultat (4.4) p o u r j > 0:

cj(KY) = K(cj(Y) ~ c ' ( L ) + cj_ ~(Y)) = K(coPv(~jncl(L)) + toPv(~j-l))

----Kr~(r ~ c l ( L ) + ~j_ 1)"

[]

Les rSsultats de permanence pour la classe de Chern cj d6pendent de la relation entre j et v: (a) Si 2j > v, on a l'Sgalit8 K o ~ = to~rK. En effet, la Proposition (6.1) induit un isomorphisme encore not6 K (toujours fi coefficients dans R),

K : IpH2j_ 2(Y) ~ IpH2j(KY ) et un d i a g r a m m e c o m m u t a t i f

lpH2j_ 2(V) c~ H2j_ 2(y)

I, H2j(KY) -~v H2j(KY). On en dSduit fi l'aide de (6.2):

596

JEAN-PAUL BRASSELET, KARL-HEINZ FIESELER ET L U D G E R KAUP

(6.3) P R O P O S I T I O N .

Si 2j > v et si cj_ I(Y), cj(Y) ~ Im co~, alors

cj(KY) ~ I m co~cr.

[]

Notons a l'homomorphisme ~cl(L)

~r : IpH2j(Y )

, IpH2j_ 2(Y).

(b) Si 2j = v, alors (6.1) induit un isomorphisme K : I m a ~ I p H 2 j ( Y ) diagramme commutatif Ima

Ix

o4

et un

, H2j_ 2(Y)

"1 x

I~H~j(Kr) ~', H2j(KY). Pour ~j_ 1, ~j c o m m e darts (6.2), si on suppose ~j_ 1 e Irn a, alors

~ j n c l ( L ) + ~j- I e I, H2j_ 2(Y ) est dans Im a. Dans ce cas, le L e m m e (6.2) et l'6galit6 Kto~. = o)~:rK pour les 616ments de I m a m o n t r e n t que cj(KY) ~ I m co~cr. [] (c) Si 2j < v, la Proposition (6.1) fournit un d i a g r a m m e c o m m u t a t i f

/pH2AKr)

co~:r

, H2j(Kr).

Supposons qu'il existe un qj e I~H2j(Y) tel que r/jc~cl(L) = ~j_ 1. Alors,

cj(KY) = K(co~,((~j + r//) c~ cl(L)) = co~:r(t2j(~j + r/j)). D o n c nous avons montr6, par les deux derniers cas: (6.4) P R O P O S I T I O N .

alors cj(KY) E I m o9~:r.

Pour 2j ~ v, si cj_ I(Y) ~ I m (co~, o a) et cj(Y) ~ I m o9~,, []

Classes earact6ristiques pour les c6nes projectifs

597

La P r o p o s i t i o n (6.3) s ' a p p l i q u e aux c6nes projectifs it6r6s KmY. A titre d ' e x e m pie nous m o n t r o n s : (6.5) C O R O L L A I R E . Si la vari~td Y est une R-vari~td homologique, m > 0 et j tel que 2j > 2(n + m) - 1 - p(2n + 2), alors il vient

c j ( K ' Y ) e Im ~o~:mr. N o u s raisons la d 6 m o n s t r a t i o n p a r r6currence sur m. L'6nonc6 est 6vident p o u r m = 0, puisque co~, est un i s o m o r p h i s m e p o u r la vari6t6 h o m o l o g i q u e Y = K~ Soit m ~ 1 et s u p p o s o n s le r6sultat d6j~i 6tabli p o u r m - 1. P a r hypoth6se de r~currence, les classes cj_ ~ ( K " - ~Y) et c j ( K ' - t y) sont dans I m co~:m_ ~r p o u r tout j tel que 2 ( j - 1) > 2(n + m - 1) - 1 - o(2n + 2); alors, la P r o p o s i t i o n (6.3) m o n t r e que

cj(KmY) e I m co~,. r p o u r tout j tel que 2j > m a x (2(n + m) - 1 - p(2n + 2). v) = 2(n + m) - 1 - p(2(n + 2)), puisque v=2(n+m)-l-p(2(n+m))

<2(n+m)-l--p(2n+2).

[]

Les P r o p o s i t i o n s (6.3) et (6.4) et le c o r o l l a i r e m o n t r e n t , que, si a est surjectif et si cj(Y) EIm ~o~,, alors cj(KY) e I m o~:r- I1 nous reste d o n c ~i 6noncer des conditions, p o u r que l ' h o m o m o r p h i s m e ~cl(L)

a : Ipn2j(r )

, l~n2j 2(V)

soit surjectif. Ceci est vrai, p a r exemple, d a n s la situation d u Th6or~me (1.3), c o m m e le m o n t r e la

Dbmonstration du Thbor~me (1.3): Soient p e t

q deux perversit6s telles que

q c p, on a une f a c t o r i s a t i o n (6.6) to~:r : IqH.(KY) ~*~,IpH.(KY)

~

H.(KY);

D o n c , p o u r m c p, il suffit de consid6rer le cas p = m, ot~ l ' o n a v = n + 1. P o u r 2j > n + 1 la P r o p o s i t i o n (6.3) m o n t r e cj(KY) e I m COrr. P o u r 2/" < n + 1 on v6rifie

598

JEAN-PAUL BRASSELET, KARL-HEINZ FIESELER ET L U D G E R KAUP

l'hypoth6se ~j_, ~ I m a [BeBeDe]:

de (6.4) ~ raide du th6or6me de Lefschetz difficile

(6.7) THI~ORI~ME. Pour k > 1 l'homomorphisme

ncl(L) k :ImHn+k(Y, Q) ~ImHn_k(Y, Q) est un isomorphisme. En particulier, pour 2j < n + 1 la d6composition

lmn2n- 2j+ 2(Y, ~) ---~[mn2j(Y, Q) --+Imn2j_ 2(Y, ~) de l'homomorphisme

:~c~(L)n+2- 22 montre que l'homomorphisme

:ImH2:( Y) ,,c,(L~ I,,H2:_2(Y) est surjectif.

[]

Le Th6or6me (1.3) ne traite pas les petites perversit6s. On peut, cependant, r~duire ce cas aux propri&6s d'un homomorphisme, appel6 encore homomorphisme de Gysin [FiKp 2] y~ := y, :IpH,(Y,R)~IpH,_2(A,R) qui, pour une section hyperplane #n6rique A d'une vari6t6 Y ~ ~zN, associe chaque classe ~ l'intersection ~ n A. (6.8) R E M A R Q U E .

Soit p c m + I etj tel que 2j ~ rnin (v, n + I). Si c:_ ~(Y), de Gysin y2::IpH2:(Y)~IpH2j_2(A) est

c:(Y) 61mco~. et si 1'homomorphisme surjectif, alors

cj(KY) ~ Im cO~cr. Dkmonstration. O n a une factofisation de a clans le diagramme commutatif

ipH2j(y) ~[A])i~,H2j_2(y ) Ipn2j- 2(A) = IpH2j_ 2(A)

Classes caract6ristiques pour les c6nes projectifs

599

off 22j_ 2 = 2~j_ 2 d6signe l ' h o m o m o r p h i s m e de Lefschetz en homologie d'intersection associ6 ~i l'inclusion A c_, y. C o m m e p c m + l e t Y \ A est un espace de Stein, le Th6or6me (2.1). de [ F i K p 2] m o n t r e que ~.~ est surjectif p o u r i < n - l, doric en particulier p o u r i = 2 j - 2. Le r~sultat est alors une cons6quence directe de (6.4) [] En 6changeant les r61es de 2 et de 7, on trouve d'une mani6re tout ~i fait analogue: (6.9) R E M A R Q U E . Soit m - l c o et j tel que c j ( Y ) e I m ~o~ et si l ' h o m o m o r p h i s m e de Lefschetz

n+292)'.

Si ej 1(Y),

+~2+-2 : IpH2j- 2(A) -+ lpH2j _ 2(Y) est surjectif, alors c j ( K Y ) ~ I m tOUr.

[]

A titre d'exemple, nous appliquons ces remarques fi l ' h o m o m o r p h i s m e (de dualit~ singuli6re) de Poincar& P . ( Y) : HE" - "( Y ) ~ H . ( Y). (6.10) C O R O L L A I R E . Supposons que Y soit en chaque point irrbductible et topologiquement intersection complete; soit c . ( Y ) e Im P . ( Y ) . Si les homomorphisrues 7~j sont surjectif pour 2j < n + 1, et si ,~o est surjectif (pourvu que n soit un hombre pair), alors c . ( K Y ) ~ Im P . ( K Y ) . Dkmonstration. C o m m e Y est topologiquement normal, pour Z : = Y o u l ' h o m o m o r p h i s m e de c o m p a r a i s o n ~z : Ion.(z)

KY

~ H.(Z)

n'est fien d'autre que l ' h o m o m o r p h i s m e (de dualit6) de Poincar6 P.(Z) : Hz'-'(Z)

--* n . ( z ) ,

donc, c~ (Y) e Im o~. quelque soit p. D ' a u t r e part, pour les intersections localement topologiquement completes, les perversit6s o e t m - 1 sont quasi-isomorphes [ F i K p 1, 1.4]. D o n c on peut choisir p : = m - 1, de sorte que v = n + 2. D ' a p r 6 s (6.3) le r6sultat est acquis p o u r 2j > v. Si 2)" = v, on applique le R e m a r q u e (6.9) c j ( K Y ) . Enfin, p o u r 2j < v le rdsultat d6coule de (6.8). []

600

JEAN-PAUL BRASSELET, KARL-HEINZ FIESELER ET L U D G E R KAUP

(6.11) E X E M P L E . Soit Y une intersection compl6te dans PN, et R-vari6t6 homologique fi un h o m b r e fini de singularit6s irr6ductibles pr6s. Alors cj(KY) e I m eo~:r p o u r 2j r In - l, n + 2], quelque soit la perversit6 p. Dbmonstration. C o m m e Yest une intersection compl6te, il e n e s t de m~me de KY. En particulier, les perversit6s o et m - 1 sont quasi-isomorphes pour Y de m6me que p o u r KY, donc m - 1 c p. D ' a p r 6 s le Main L e m m a [ F i K p 3, 3.1], les h o m o m o r p h i s mes o9],.i sont surjectifs p o u r 2n - i < aR(p, f) et 2n - i > 2n - 1 - bR(p, t), off les invariants aR(p, t) et bR(p, t) sont au moins 6gaux ~ n - 2, puisque Y est une intersection compl6te ~ singularit6s isol6es [ F i K p l, 1.2]. D o n c cj(Y) e I m 09], pour

2j vLn, n + l. D ' a p r 6 s la preuve de (6.10), il suffit de consid6rer le cas off 2j < n - 2. Pour pouvoir utiliser la R e m a r q u e (6.8) (avec p = o), il faut v6rifier que 72j est surjectif. D a n s notre situation on peut interpr&er cet h o m o m o r p h i s m e c o m m e celui associ6 fi l'inclusion A c, Y 72-- 2J : HZ,-zJ(y) --,HZ"-2J(A). L'inclusion zr " Y ~, PN induit un d i a g r a m m e c o m m u t a t i f

(6.12) H 2 n - 2 J ( p N )

~ , H 2n 2J(PN_I)

7~- 2j

H2"- zJ(y)

, H2"- ZJ(A),

off il faut analyser les h o m o m o r p h i s m e s 12n-2j. On a un deuxi6me d i a g r a m m e commutatif iy2n--

2j

(6.13) H2"-zJ(Pu)

, H2"-2J(Y)

l ~ t r,

H2j(PN)

l ~ r Y'

'

I y,2j

H2j(Y),

oti la premi6re fl6che verticale est la multiplication par g ..= deg Y, puisque [ Y] est h o m o l o g u e g . [ P , ] dans PN, et off la deuxi6me fl6che verticale est l ' h o m o m o r p h i s m e de Poincar6 et donc un isomorphisme p o u r 2j ~ n - 1 [Kp, 1.1]. D ' a p r 6 s le th6or6me de Lefschetz facile, l ' h o m o m o r p h i s m e z2j est bijectif pour 2j ~ n - 2. En particulier, 7 2 . - 2j est la multiplication p a r g pour 2j ~ dim Y - 2. La situation est plus facile pour t ~ - 2j: la vari6t6 A est une intersection compl6te de degr~ g dans PN - 1 et une R-vari6t6 homologique; donc ~2A"-2j est la multiplication p a r g, y compris p o u r 2j < n. Par cons6quent, l ' h o m o m o r p h i s m e ?2n--23" est une surjection. []

Classes caract&istiques pour les c6nes projectifs

601

M6me pour une surface normale Y ~ P3 le classe de Chern c . ( Y ) n'est pas forc6ment dans l'image de to~, p o u r p = m, cf. [Fi]. N o u s consid6rons p o u r les valeurs 2j restantes le cas le plus simple: (6.14) E X E M P L E . Soit Y une intersection compl&e dans PN, qui est une R-vari&6 homologique et telle que pour n pair:

n impair:

H.(A)--*H.(Y)

est surjectif,

H"(Y) ~H"(A)

est surjectif si b . ( Y , R ) # 1,

H"- l(y) ~H.-

t(A) est surjectif.

Alors c . ( K Y ) ~ Im ~o~-r quelque soit la perversit6 p. Dbmonstration. D'apr6s l'exemple pr6c6dent il suffit de consid6rer les valeurs j telles que 2j e [n - 1, n + 2]. Pour 2j = n + 2, on peut appliquer la R e m a r q u e (6.9) grace fi p r ~ t y , tandis que, si 2 j = n + 1, on se sert de la R e m a r q u e (6.8). Supposons maintenant que 2j g n. Dans le Diagramme (6.13) l ' h o m o m o r p h i s m e ~ [ y ] . H2,* - 2j(y) ~ H 2 j ( y ) est bijectif. Donc, ~]~'- 2j est la multiplication par g, p o u r 2j = n 1; si b . ( Y ) < 1, ce r6sultat s'&end f i t ] . , puisque i. est toujours surjectif. On a donc v6rifi6 que y 2 . - 2j est surjectif, e t l a Proposition (6.8) avec p = o donne le r~sultat. []

BIBLIOGRAPHIE [BeBeDe] BEILINSON,A.A., BERNSTEIN, J. et DELIGNE, P., Faisceaux pervers, Ast&isque 100,

[Bo] [BrGo 1] [BrGo 2]

(1982). BOREL, A., Intersection Cohomology. Birkh/iuser, Boston, Basel, Stuttgart 1984. BRASSELET,J.-P. et GONZALEZ-SPRINBERG,G., Espaces de Thorn et contre-exemples de J. L. Verdier et M. Goresky. Bol. Soc. Bras. Mat. vol. 17, n.2 (1986). BRASSELET,J.-P. et GONZALEZ-SPR1NBERG,G-, Sur l'homologie d'intersection et les classes de Chern des vari~t~s singuli~res, avec un appendice de Jean-Louis Verdier: Un calcul triste.

[Fi] [FiKp 1] [FiKp 2] [FiKp 3] [GoMPh

Travaux en cours n~ 23, 5-11 Hermann (1987). FIESELER, K.-H., A signature formula for normal compact complex surfaces. (Manuscript) 1988. FIESELER,K.-H. et KAUP, L., The vanishing invariants in intersection homology of complex spaces. In Singularities. Banach Center Publ. 20, 195-205 (1988). FIESELER,K.-H. et KAUP, L., Theorems of Lefschetz type in intersection homology, I. The hyperplane section theorem. Revue roumaine de Math6matiques Pures et Appliqu6es 33, 175-195 (1988). FIESELER,K.-H. et KAUP, L., Quasi-isomorphic perversities and obstruction theory for pseudomanifolds. In Singularities. Banach Center PubL 20, 165 193 (1988). 1] GORESKV,M. et MACPHERSON,R., Intersection Homology Theory. Topology 19, 135-162 (1980).

602

J E A N - P A U L BRASSELET, K A R L - H E I N Z FIESELER ET L U D G E R K A U P

[GoMPh 2] GORESKY, M. et MACPHERSON, R., Intersection homology H. Invent. Math. 71, 77-129 (1983). [Kp] KAUP, L., Zur Homologie projektiv algebraischer Varietdten. So. norm. sup. Pisa 26, 479-518 (1972). [MPh] MACPHERSON, R., Chern classes for singular algebraic varieties. Annals of Maths. I00, 423-432 (1974). SCHWARTZ, M.-H., Classes caractbristiques d~finies par une stratification d'une vari~tb [Sol analytique complexe. CRAS 260, 3262-3264, 3535-3537 (1965). [St] STEENBRINK, J. H. M., Mixed Hodge Structure on the Vanishing Cohomology. In Real and complex singularities, Oslo 1976. (Per Holm, Ed.), pp. 525-563. Sijthoff & Noordhoff, 1977. J.P.B. URA au CNRS 751 G~ombtrie et Topologie Diffbrentielle USTL Flandres-Artois F-59650 Villeneuve d'Ascq Cedex e-mail: brassele @~frcitl81.bitnet K . H . F . e t L . K. Fakultiit fiir Mathematik Universitdt Konstanz Postfach 5560 D- 7750 Konstanz e-mail address: makaup@dknkurz l.bitnet

Received November 21, 1989