D]~LAIS D'ATTENTE DES APPELS TI~L~PHONIqUES TRAITI~S AU HASAItD par Emile VAULOT lng6nieur en Chef des P. T. T. en r e t r a i t e Maitre de Conf6rences "~ l'l~cole P o l y t e c h n i q u e
SO~MAmE. - - Dans l'~tude ci-aprSs, l'auteur gtablit les dquations dont ddpendent les durges d'attente des appels tglgphoniques traitds au hasard. La probabilitg pour qu'un appel air une durge d'attente supdrieure a t est exprim('e d'abord par une s&ie entik.re dont les premiers termes sont calculds expIicitement, ensuite par une intdgrale ddfinie. L'auteur indique une /ao,,n de calculer pratiquement la valeur de cette intdgrale et [ait des applications numdriques. II /ait ressortir la dif[&ence entre les r~sultats obtenus et ceux que l'on obtiendrait si les appels dtaient traitgs dans l'orcb'e de leur arr&ir Consid6rons un groupe de x lignes recevant ensemble en moyenne y appels pendant la dur6e moyenne d'une communication prise pour unit6 de temps. Par hypoth6se e - t e s t la probabilit6 pour qu'une communication ait une dur6e sup6rieure ~ t. On suppose : queyest / 0 ) la probabilit6 d'occupation des x lignes avec ] appels en attente. Ces probabilit6s sont ind6pendantes de l'ordre dans lequel les appels sont trait6s. Elles ont pour valeurs :
La probabilit6 pour qu'un appel attende pendant une dur6e sup6rieure h t h partir du moment off il se produit sera A(t) --- (y~lx!A) ~
En d6erivant les 6quations (1), on peut ealculer les co(ffi-ients suecessifs des d6veloppements en s6ries de Mac-Lxunx~ des fonctions Fn. On a par exemple : ?x Fo(t) = l - - x t + x
avons
A= I + g
x y t ~"
x y t ~"
Fdt ) = 1 - - ~ t + 2--6=~. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
, o
On en d6duit le d6veloppement de A(t). Les premiers termes sont :
Y~" y~-I y~ x + ~.' + "'" + (x-~)-----q + x'x------~"
On obtient ainsi des 6quations diff6renticlles en nombre infini auxque!les satisfont les fonctions F . (~) (x+y)F,~+ F'~= [nl(n+ l)]xF,_~ +yF,+~. Pour tout ren,r
...
G(t) = i - ~ t + ~ ~ . . . .
pos6:
On en d6duit facilement ]es probabilit6s pour qu'un appei ait une dur6e d ' a t t e n t e sup6rieure ~ t, si l'on suppose les appels trait6s dans l'ordre oft ils .~e pr6sentent. Or, dans la pratique t616phonique, les appels sont trait6s, non pas dans l'ordre oft ils se pr6sentent, mais au hasard. En adoptant cette derni6re hypoth6se, d6signons par F~(t) Ia probabilit6 pour qu'un appel doive attendre encore pendant tree dur6e sup6rieure h t, saehant qu'h l'instant consid6r6 il est en attentc en m~mc temps que n autres appcls. On a F n / 0 ) = I pour n = 0,1, . . . En comparant l'instant oft, pour un appel donn6, la dur6e d ' a t t e n t e qui reste h courir est sup6rieure h t, et l'instant suivant oft cette dur6e scra sup6rieure ~ t - - d t , on a la relation: F,ilt) ~_ ( l - - x d t - - y 't) F,,(t--dt) + [,q(n + J)] x..t F , _ , (t) + y ~:t F . + , (t).
[]
~- Y t ~ .--=z--
ts
1I~ = (ylx)~ (y~lx !A) off n o u s
(ylx)~ Fn(t).
yz x (?) A(t)=x.-~A x - - y
+
t'z-'-~i2--x--YL"xX-y2 y 9 --
"')]"
Les lignes qui pr6c6dent sont la reproduetion presque textuelle de notre note parue en 1946 aux Comptes R-ndus de l'AcadSraie des Sciences [1]. Nous nous proposons de donner ci-apr6s des m6thodes pour effectuer pratiquement le calcul num6rique de A(t). Consid6rons la fonction : (2)
~(s,t)=F0+sF,+s
~
~F3+...
=
/o + t/~ + t~ b + "-Les F sont des fonctions de t, et on a : (~)
L=I+~+~"-+
....
ll(t-s).
l~crivons la formule ([) sous la Forme : (:')
(n+ t ) ( x + y ) F n + ( n +
entre crochets, se r e p o r t e r in fine h la bibliographie.
--9--
tx~"L~2 y
~)F~=
n F ~ + (n + 1) yFo+,
E.
Multipliant ehacune des 6quations (1') par s'~ et ajoutant tous ces produits membre h membre, on obtient pour ~ l'6quation aux d6riv6es partielles :
asat .= 9
~s~t
+
+
+
(6)
•
Consid6rons la premi6re fraction de rexpression (9): (e-,0
(t0)
-
s
~/~--~!(,r
(e~O-- s x/-~fy )('~otsO+ ~)t2
En d6signant par 6 l'angle OMS, on a Lo~_(etO -- s xV~) = Log SM -- I(~ + 0),
l(s, )~)e),tdX,
T(s, t) = j
~t (e-10 -- s V~tl~~
( V r ~ - - e'O)(leotgO--a)t z x $r x l +sin 0 (y/x~__ e_,0)(leot,0 +all ~ .2 .~ e~e~ 0
(x + y - - s~) ~ -- 0. On remarque qu'on pent satisfaire ~ eette 6quation en prenant pour ~ une fonetion de la forme Se x~, X ~tant une constante queleonque, et S 6tant une fonction de X donn6e par la r6solution d'une 6quation diffgrentielle dont les coefficients d6pendent de ).. Ces remarques sugg~rent de trouver pour 9 une expression de la forme :
DE~ T~LI~COMMUN|CA'I~ONS
Soient M e t M' les points du cercle ayant respectivement pour affixes e x0 et e -10. Ces points sont 6videmment sym6triques par rapport ~ (D). La fonction G de l'6quation (8) peut s'6crire (9) e--[(~+'~lz-ev/~-ze~
ou, toutes r6ductions faites (5)
[ANNALE$
V XI;LOT
Log (e-'0 -- s V ~ ) = Log SM + 1(6 + 0).
et de retenir ]a valeur de cette fonction pour |a valeur y l x de s. La solution (6) de (5) devra d'ailleurs satisfaire aux conditions initiales suivantes qui r6sultent de (2), (3) et (4): (7) r c?(0,t ) = e -~.
Le logarithme de 1'expression (10) est par suite 6gal h :
L'6quation (5) avee les conditions initiales (7)[peut s'int6grer en utilisant la transformation de LAPLAC~ h une dimension appliqu6e h la variable t. Nous nous bornerons h reproduire la solution donn6e par M. POLL~.CZV.K [2].
Par cons6quent, l'expression (10) peut s'6crire :
0)] - [(l cotg 0 + 1)12] [Log SM + i(6 + 0)] = -- Log SM + (6 + 0) cotg 0.
[(i c o t g 0 - - I ) I 2] [ L o g S M - - i ( . +
e(~+ 0)cotg0
00') .
(8)
~(z, t) =
adO,
or
a = e[(,+,~l~--~v'~-~o~Oln ( ~ / ~ e-,O -- s~(too~gO-t~l~ • (Vyl--x elO -- s)(t~ot~O+,)I~(t - - @ elO'(le~ (I ~ V ~ x e--10;t'e~
.
/-/
==+0 ~
off
eHeotgO
Vt +
SM
o' (se
--
b+ltg O\
Arc t g \ s ~/x-~-- 1.
-/
Consid6rons de mgme la deuxibme fraction de l'expression (9):
+ o~"
2
i
Cette expression devant 6tre 6videmment r6elle, nous allons en faire disparaitre le symbole i des quantit6s complexes. Consid6rons le cercle de rayon unit6 et prenons
(ti)
(V~-~-- e-X0jc~oo~0 +3)t2
Remarquons que les triangles OMA et OA'M sont semblables, et d6signons par e les angles 6gaux OMA et OA'M. On a
~(,r
Log (~/x-~-- el0) = Log A'M -- i ~, Log ( V ~ - - e--tO) .= Log A'M + I at. Le logarithme de l'expression (tl) est par suite 6gal h :
~,(~--40)
[(| eotg 0 -- 3)12] (Log A M - - i r -[(i cotg -4- 3)12] (Log A'M + i~) = -- 3 Log A'M + ~ eotg 0 Par cons6quent l'expression (il) peut s'6crire : e~tcot~0
Fro. t . - Images des points ei0, o--~0 ~ / , ~ et Vx~/~ par rappo,'t au eercle de rayon unit6.
(ti3 sur une mgme demi-droite (D) issue du centre O les points A, A', S dont les distances h O sont respectivement ~ V ~ , V ~ , ~V'gIx (fig. i).
(l + ul~--2 ~/y-~ eos 0~~12 eC~ot~O
[(~ + y ) l x - 2~/y~ eotg O]st," u~lz~/:~. i0 m
t. 9, n ~ 1, 1954]
DI~I, AIS D ' A T T E N T E
DES
Portant les expressions (10't et (1l') dans (8), remarquant qu'on a
[r
I ]'
2~=7:--0--2Arctg[v,x+~/ytg~/2) 2:~+ 0 = r : - - 2 A r e t g [ V ~ + ~/y t~, ~ l z )
APPELS
On peut tirer de ces solutions des relations remarquables. En premier lieu, A(t) 6tant la probabilit6 pour qu'un appel ait une dur6e d'attente sup6rieure h t, on salt que la dur6e moyenne d'attente est :
= t,,A= !
[r
r
0]
:2 A r c t g [ V x _ _ v y t g ~
=Arecos
(x+x)cosO-2r x + y - - 2 ~/~ycos 0
/
cations que pr6c6demment, h savoir :
,.~ ,~ = ( r 1 6 2
r
= (x--
co~2 (7~1~- ~)
-
y-
y)](x + y).
)
~3.~o~ O,
cos 2 ~ + cos 6) + cos 2 ~ cos to' sin 2 ~ d to d 0 = 1 + cos 2 ~ cos to' t g 0 = sin 2 ~ sin to cos 2 ~ + cos 6)
COS to
]:
l
~x ~ 9 e ~'c~
yZ 2 x ~" X x !A ( x - y ) 2 X
7~
~+
, ~sinodo)=
2
sin 0 =
~:e--V~ - e-" I (l+sin2~)~'sino)dr I + e roe '2 sin ~ 2
(1 + sin 2 ~)2 / ~ -2, si-~ffl~ ./o
d'ofi en simplifiant :
f
1 '2 sin 0 [(x + y ) l x - 2 ~/y~ cos 0J "~"] + er:c~
'
)
E=C~176176 sin2~sin6)
~sinodto
e cc~
dO =
= \--~)
En second lieu, les formules (12), (12') et (12") permettent de d6velopper O(y x, t) suivant les puissances positives de t, les coefficients 6tant des int6grales d6finies. D'autre part, la formule (2) montre que r t) est 6gal au d6veloppement suivant : //Y t ) =
\z'
e~o~ e--D~tl+ r:--------~sintod~~ e
2sin 22~ t l+sin'Z~ I +cos2~costo'
t.
cos 0-- cos 2 I + cos 2 ~ cos 0" sin 2 ~ sin to ~ + cos 2 ~ cos to'
(12")
D=
~-
yX x x! A ( x - - y ) :~
On obtient ainsi les nouvelles expressions
= S
(z+~)co, to]
~ S_y) ~
tg~ j
cos 0
' .
y~ I f r ~
(x--~ f
Faisons ensuite ]e ehangement de variable : sin ~ 2 ~3 0 to l - - c o s 2 ~ c o s 0 = l + c o s ' 2 ~ costo' t g ~ = t g ~ t g
(~) t
,r
+ y),
C' = 2 Arctg //t~ (012)'~.
'
o\
~, N =" "/
2 sin 0 ---] + e~e~
Avec ces notations les expressions B e t C figurant dans la formule (12) deviennent : o tg (7~
/r
C =.Aret~~tg \Vx--Vy
9 !A ~.1o [(x+y)lx._2r
+ r
t ~ l~)l(~ + tg~ ~) = 2
'1
Or cette dur6e moyenne d'attente est 6videmment ind6pendante de l'ordre dans lequel les appels sont trait6s. En 6galant les valeurs de cette dur6e moyenne d'attente dans le cas off les appels sont trait6s au hasard et dans le cas o6 ils sont trait6s dans l'ordre off ils se produisent, on obtient les relations suivantes loft C et N ont les m~mes signifi-
On peut simplifier un peu cette expression en faisant un changement de variables. Commen~ons par poser, ~ 6tant un angle fixe qui d6cro~t de :r[4 h 0 quand !1 crolt de 0 "h x,
(12') B ' =
JO
L
C = 2 Arc tg , ~--~-~y t~,
sin 2 S = 2 tg ~/(l -- tg 2 ~)
dA(t)_ /'~ t--~t" d t = ] A(t) dt.
i-
B = (x + y)lx-- 2 ~/y~ cos 0,
-
/'~
,JO
et donnant h s ]a valeur de y]x, on obtient pour V(ytx, t) ~p/u,t\ ~/~r:'e--Bzt . . 2. sin . .0 d0 eceotg~ (12) .)t o B~ l+e~cotg 0 , oh
t~ (~.l~- ~) = r cos 2 ~ -- (l
3[6
TI2LEPHONIQUE$
x
x-~-7
tx2 Log
x
x_
t2x~(
+-y-~ 2
X y y Log~XX y )
...
Par identification, on en conclut les relations suivantes : pour le terme ind6pendant de t :
oil encore 2x 2
~o~e_M~
eo,V
~o
1
2 sin 0
[(x+y)lx--2~/~[~eosO] z I +~"~176
M = (x--Y)~ t x x + y + 2 ~/~cos~o'
eccota 0
dO= X
x--y
= 2 V ~ + (x + u) eo~ to
S
(z -- y) sin --
tl --
~ e~ t + e ~iv sin to d e =
x-- y 2----~ ;
E, VAULOT
Voici les valeurs de la sous-tangente au point de d6part pour les diff6rentes valeurs de ~ :
pour le terme en t : ~o
~
2 sin ~ 0
__
Occ~
[A~NALES DES TI~.I~CO~MUNICATIONS
- (,, 0
(x + y)lx--2 Vylx cos () 1~- er~c~ SOUS-TANGENTES
_ZLog y ~ -~- y ', t
+ )lz + 2
i
e~ + e~N
sin
I 1,05~85 1,120223 1,201557 1,305065 1,~2689
to X
~-- Log - -
yz.
x--y
;
pour le terme en t ~ : fo:~l
f
~
2 sir 0 : eC~otg0 dO = 2 - - x ; Y
er . 1 + e =~ san ~ d~ = -- ,
kX-- y~ \
,:y
Log
--
et ainsi de suite. CALCUL NUMI~.RIQUE ET REPB~.SENTATIONS GRAPHIQUES
La fonction A(t) d6pend Or on peut la mettre sous deux facteurs d6pendant m6tres. On a par exemple
1,637036 1,938022 2,685336 3,908643 6,342361
0,6 0,7 0,8 0,9 ,95
co
Log~--y,
+ erceotg0
1 [(x + y/x) + 2 ~ / ~ cos r
SoUS-TANGENTES
des 3 param~tres x, y, t. la forme du produit de chacun de deux para:
,)].
Pour ~ = 0, on a e x a c t e m e n t la courbe ~ = e - z t . M. J o h n PtIORDAN [4] a indiqu6 une m6thode et dress6 des graphiques donnant les valeurs de ~. Nous allons n6anmoins indiquer une m6thode de caleul diff6rente. La m6thode g6n6rale est la suivante : Soit h calculer l'int6grale :
f L r U du
(t3)
off U est une fonction de u devenant maxi mum pour u = m et 6gale h U~, p3ar cette valeur. Si p o u r u -~- m la fonction log U a p3ar d&iv& succesives. 0: a2, o ~
on aura
(14) / L
Le premier facteur :
a4~
udu=
(g,lx ! A) [xl(z-- y)] est la proportion d'appels qui n e sont pas servis imm6diatement. Il en existe dcs tables [3] (*). Le second facteur : X~ y
xt~ /
l--ix
Voir par exemple PEARSON [5]. Pour mettre l'int6grale (12) sous la forme (13), nous ferons le changement de variable tg(OI ~ ) = e " ,
Y
x--y
L~g X X
t "2x ' [ 2 x -x- y
--y
+
(X~yyy)' Log~ xxy I . . . .
ne d'6pend que de y]x et xt. Pour y]x donn6 el 6gal h ~, la eourbe repr6sentacive de + a la furme indi qu6e par la figure 2.
cos 0 = - - t]'. u,
t:O'=--l/thu, d 0 = d Rich u,
sinO=llchu, d u = d 0/An 0.
Oil obtient ainsi '
=2xTuf_
*
+ y) l , + 2 Cy-l, t,. u] x e--2shuArctg(eUltg~} ~ X du cJ, ~ tt J + e~sh =
e--(~+v)te--2v~tthu e--2 shu arc t~(eu/tr
d u.
I + e- ~ s h "
Nous avons h consid6rer la fonction de u Fro. 2. - - Repr6sentation graqhique de la fontion r ( y, t ) pour une valeur donn6e de ~.
Elle part du point d'ordonn6e I, la sous tang6nte OT en ee point a y a n t pour valeur : elle est a s y m p t o t e h l'axe des xt. {*) Cf. [5], table III, pp. 78-85.
f15)
U = -- (x + y)t--2 ~/-~y t tl=u--2 sk u Aretg (e=/tg ~3)-
Nous allons faire une application de la formule (I4) au cas particulier suivaut x=10,
y=9,
t==14.
t. 9, n a 1, 19e~j
DI~LAI$ D'ATTENTE DBS &PPBLS
Pour appliquer la formule (14), nou~ pourrions consid6rer les d6riv6es successives de U. Il nous parMt pr6f6rable de calculer les valeurs de U pour diff6rentes valeurs de u avoisinant celles qui rendent U maximum. Nous prenons les valeurs u=--3;
--2,9; --2,8 ; --2,7 ; --2,6; -- 2,5 ; -- 2,4 ; -- 2,3,
Dans ce qui suit, nous introduirons la quantit6 r telle que th ~' = 2 e "~
t.~~
~/~d+3 r
+ ~),
(~ ~ + 3 ) ~ = 19 + 6 ~/{-6 = 37,973 666,
La eolonne III donne les valeurs de - - 2 sh ~Arc tg (e~/tg [3) + Log (i + e-=sh~) La colonne IV donne les valeurs de
--2Log(X+xYchu+24!sh L a colonne V donne les valeurs de log U.
L'examen de la eolonne u de (16) montre par formation des diff6renees suecessives que U est maximum pour u voisin d e 2,55, et que, pour cette valeur, on a approximativement
Dans l'expression (15) la quantit6
peut gtre remplae6e
sans erreur sensible par~
~ sh
u,
2 sh u Arc tg (e~itg ~) -- Log (1 + e - ~ u )
o , 2 . e - , . ~ o v~-~!_,-~,5 = ~/lo =15 700
- - 8718.2--K,,52 = - - 0 2 1 3 4 .
[ ~ - - 2 Are t g (e~lt~ [3)] sh u = (:~--2 Arc tg e ~§
sh tt.
Nous donnons ci-apr~s la liste des valeurs de 7:-- 2 Arc tg (eUltg ~) pour les diff6rentes valeurs de u. TC,~
I
2 Arc t g (eU/tg [~)
U
2 Arc tg (eU]tg ~)
0,9730510 0,8927608 0,8173452 0,7469103
- - 2,6
0,68165~2 0,6208825 0,5650402 0,5137169
--2,5 --
2,/~
- - 2,~
Dans le tableau ei-apr~s, nous donnons les r6sultats des op6rations successives servant h calculet U.
'I 3 --2,9 --2,8
2,7 2,6 - - 2,5 - - 2/~ --- 2,3
i,
!II
IV
V
- - 1,68229 ---1,97225 2,'2595 2,757~8 - - 2,2833[~ 3,92t~34 4,70514 5,65570
- - 9,74789 - - 8,08802 - - 6,69562 5,53181 4,56215 3,756117 3,08866 2,53620
6,22422 [1,10518 3,97392 3,8" 201 3%68085 3,o2175 3,35587 3,18:125
- - 7,20586 - - 5,95509
-------
5,04765 4,65718 4,16~6t~ 6,15906 6,43,91 5,00765
L a c o l o n n e l d o n n e les valeurs de u. L a colonne II donne les valeurs de
-- (x + y) t -- 2 ~/Yy t tb u = -- (x -- V) t [ch (u + v)lch u]. (*} Cf. [4], additif.
e - 4 . 1 2 ( I ---- 0,00154.
Le terme suivant du d6veloppement (i4) serait n6gatif et son rapport au terme principal sorait a~]8~], c'est-h-dire approximativement
peut ~tre remplac~ par
i
a4 = - - 87.
e-.~shtt)
en sorte que l'ensemble des deux termes
',9 ,~ ,7
a2 = ~ 28,5 ;
E n r6duisant la formule (14) h s o n terme principal U ~ V ' 2 ~ . J ( - - a 2 ) , o n obtient pour + la valeur approch6e
= 3,636 892 982.
L o g (1 +
]
2
U m = - - 4,126 ;
d'ofi
5/o
TI~LEPHONIQUES
Ce r6sultat num6rique coincide avee celui qui a fit6 obtenu par RIcE en partant des mgmes d6riv6es, et qui est mentionn6 h la suite du travail de J. RIOllDAN pr6cit6 [4] (*), II est 6vident que l'on aurait pu faire le calcul num6rique ci-dessus en formant la d6riv6e U' et U et en cherchant par approximation la valeur de u qui annule U'. La m6thode qur nous av0ns suivie pr6sente toutefois des avantages. En premier lieu la consid6ration des diff6rences permet de d6celer les erreurs les plus graves. En second lieu, les chiffres du tableau (16) peuvr scrvir en grande pattie pour plusieurs valeurs de t. Supposons par exemple que nous d6sirions la valeur de + pour x = 10, y ---- 9, t = 28 ; le tableau 16 sera remplac6 par un autre dans lequel les chiffres de la colonne II seront doubl6s, alors que ceux des colonnes III et IV seront inchang6s, On aura alers tr~s facilement le tableau suivant :
iJ
,I --
2,8 I 2,7 i 2,6 I 2,5 t 2,~] 2,3
V
III
--9,74789;i 3,94450 - - 8 , o 8 ~ 0 2 4,65190 - - 6 , 6 9 5 6 2 5,51476 --5,56181 6,56668 - - 4 , 5 6 2 1 5 7,8~868 - - 3 , 7 5 6 4 7 9,~1028 --3,0886~ 11,31140 - - 2 , 5 3 6 2 0
,v I
4,22632 - - 8,88815 7,92734 4,10518 / 7,373.60 3,97392 7.,21t~56 3,83201: 7,a4799 3,68085 8,08340 3,52175 9,14305 3,35587 3,18425 - - t0,66335
L'examen de la colonne V de ce tableau montre, par formation des diff6rences successives, que U est
6/6
E.
maximum pour u voisin de ~ 2,71 et que pour cette valeur on a approximativement U~,----- 7,205 ;
a~ = - - 3 9 , 2 ;
[ANNALES DES T]~L~-COMMUNICATIONS
VAULOT
a, = - - tt6.
quement rint6grale (12) en utilisant des appareils tels que ceux qui sont d6crits dans les ouvrages de GRAY [9], HALEN et HEDEMAN [10], WALLMAN [11],
[12] et GO.LD [13].
En r~dnisant la for/mule ~14) h son terme principal U~ ~/2~,](-- ag.),orrobtient pour ~]a valeur approch6e
Manuscrit refule 20 octobre i953.
0,2 .e--7.~o~v~-~139,2 -- ~/i(m]7 840 e-~.~0~ == 0,000 059 5. Le terme suivant du d6veloppement (t4) serait n6gatif et son rapport au pr6c6dent serait a~8a~, c'est~h-dire approximativement 1t6 8 • 59,2" -
11 600 8 • 153 664 -
~1 600 i 229 312 - 0,009 44.
Cette m6thode se prgte tr~s bien h l'6tablissement de tables num6riques.
Remarques. I. Pour les calculs ci-dessus, nous avons utilis6 les tables de logarithmes h huit d6cimales de l'Institut G6ographique National [6]. Pour les logarithmes des fonctions hyperboliques, nous avons utilis6 pour les arguments compris entre 0 et 2 les tables de PEnNOT et WooDs [7], et pour les arguments sup6rieurs h 2 les .tables de GUDERMANN [8]. II. Rappelons que si les appels 6taient trait6s duns l'ordre off ils se l~r6sentent, ]a fonction d/ cidessus devrait gtre remplac6e par e -(~--~ et on aurait pour x=~10,
y:9,
t-----t4:
e -(z---~)t = e-14 = 0,000 000 83, pour x = 1 0 ,
y=9,
e-Cz---v~ t = e -28 = 0 , 0 0 0
au lieu de t~ = 0,0015
t=28: 000 000 000 6 9 , au lieu de ~ = 0,000 059.
lII. La fonction qui multiplie dO sous lc signc d'int6gration duns (:[2) est le produit d$ trois facteurs : quantit6 ind6pendan te de 0, sin 0 e cc~ [(x + y)lx-- 2 V ~ cos 0] z I + e=r176176 quantit6 inddpendante de t Nous rappelons que
~
tg5 . En cons6quence, on pourrait calculer m6cani-
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