INGENIEUR-ARCHIV 38. BAND

ERSTES HEFT

1969

Die Berechnung des ebenen Kreisgleitschuhs u

U. Rost

{Jbersiehtt Zur Gewinnung der Berechnungsgrundlagen Fro- eine neuartige Axiallagerform werden die Verh/iltnisse im Tragspalt zwischen einem bewegten kreisfSrmigen Gleitschuh und einer dagegen geneigten ruhenden Ebene untersucht. Zur LSsung der fiir die Druckverteilung giiltigen Reynoldsschen Gleichung wird der Gleitschuh netzfSrmig unterteilt und die auftretenden Differentialquotienten n/iherungsweise dutch lineare Ausdriicke der unbekanuten Druckwerte an den Netzknoten ersetzt. Mit Hilfe der Relaxationsmethode werden aus dem entstehenden linearen Gleichungssystem diese Druckwerte ermittelt und aus ihnen durch numerische Integrationen schliel31ich Tragf/ihigkeit, Reibungswiderstand, Druckmittelpunkt und Durchflul3menge des Lagers bestimmt. Summary." In order to obtain a basis for calculation for a new type of thrust bearing, the conditions in the clearance between a moving cylindrical pad and an inclined resting plane are explored. To solve the Reynolds' equation, which validly describes the pressure distribution, the pad is covered with a rectangular network and the derivatives occuring in it are replaced approximately by linear equations through the unknown pressures at the nodal points of the network. With the aid of the relaxation method, these pressures are calculated from the resulting set of linear equations. Finally, load carrying capacity, frictional resistance, center of pressure and rate of flow of the bearing are determined from these equations through numerical integrations.

4

--L--

V///////////////A

1@

x

t=D

cos'~l}or 9""

ds= c~t~

~

]

I/]

tar~ sin

"n.e=cosa~ e=-sin t~ ez .

,=,,n,

'X+'0' " '.~

Abb. 1. Darstellung der geometrischen Verh/iltnisse des Problems 1. Einleitung. W/ihrend sich beim Radiallager durch eine exzentrische Lage der Welle ein sich verengender Spalt zwischen Welle u n d Lagerschale ergibt, u n d damit eine Druckentwicklung automatisch entsteht, muB beim Axiallager ein sich verengender Spalt erst bewuBt geschaffen werden. Das erreichte Michell [1] dadurch, dab er sektorfSrmige Gleitschuhe kippbeweglich auf dem festen 1

2

U. Rost: Die Berechnung des ebenen Kreisgleitschuhs

Ingenleur-Archiv

Tragring des Lagers anbrachte. Wenn diese Lagerung etwas hinter der Mitre des Gleitschuhs erfolgt, so stellt sich bei der Bewegung des gegeniiberliegenden Tragrings yon selbst ein sich verengender Spalt ein, wobei das Verh~ltnis (h1 -- ho)/ho (hl -= SpalthShe am Anfang des Gleitschuhs; h 0 = SpalthShe am Ende des Gleitschuhs) yon der Auflagerstelle abh~ingt. Da nun die Form der Michellschen Gleitschuhe vom Achsenabstand ihrer Lagerung abh/ingt, kam Spiegel auf den Gedanken, dab es gfinstig sein mfiBte~ start der sektorfSrmigen Gleitschuhe solche mit Kreisquerschnitt zu verwenden. Einmal ist ein Gleitschuh dieser Form leichter herzustellen, und zum anderen 1/iBt sich ein solcher Gleitschuh in beliebigem Achsabstand anbringen. Weiter versprach man sich, dab die Verwendung einer solchen Form bei gleicher Gleitschuhanzahl wegen des grSBeren freien Raurues zwischen den Gleitschuhen zu einem besseren Austausch des erw/irmten 01es mit frischem kalten 01, also zu einer besseren W/irmeabfuhr, fiihren miiBte. Diese Gedankeng/inge bildeten den AnlaB, die Verh/iltnisse im Tragspalt zwischen einem kreisf6rmigen ebenen Gleitschuh und einer dagegen geneigten bewegten ebenen F1/iche theoretisch und experimentell zu untersuchen. Die vorliegende Arbeit befaBt sich mit der theoretischen Berechnung des Kreisgleitschuhs, w/ihrend fiber die experimenteUen Ergebnisse Fricke in einer demn/ichst erscheinenden Arbeit berichten wird. 2. AufsteUung der zu liisenden Differentialgleiehung und der Randbedingungen. Hier sollen also die Verh/iltnisse in einem Tragspalt untersucht werden, der sich zwischen einem ebenen kreisffirmigen Gleitschuh und einer unter einem sehr kleinen Winkel dagegen geneigten mit einer Geschwindigkeit U sich bewegenden Ebene befindet. Dabei soll die Spaltweite in Bewegungsrichtung linear abnehmen. Zur LSsung dieser Aufgabe werde ein kartesisches Koordinatensystem benutzt, dessen Lage aus Abb. 1 zu entnehmen ist. Es m6gen nun folgende u gelten: 1. Die Tr/igheitskr/ifte sind vernachl~issigbar klein gegeniiber den Reibungskr/iften. 2. Die HShe h des Spaltes ist klein gegeniiber den Ausdehnungen in den anderen Richtungen und wegen des sehr kleinen iNeigungswinkels a zwischen Gleitschuh und Ebene so wenig ver/inderlich, dab man annehmen kann, dab die Geschwindigkeitskomponente v~ klein gegeniiber den anderen Komponenten v~ und vy ist, dab ferner die ~_nderungen yon v~ und vy in x- und y-Richtung klein gegenfiber den _~nderungen in z-Richtung sind und dab die Anderungen des Druckes p quer zur Schicht, also ~p/~z, vernachl/issigt werden kSnnen. 3. Die u ~ ist konstant. Streicht man nun in den Navier-Stokesschen Bewegungsgleichungen [2], denen jede StrSmung einer Newtonschen Flfissigkeit gehorcht, alle Glieder0 die nach den Voraussetzungen 1 und 2 klein sind, so bekommt man als Gleichungen fiir die StrSmung in einem Tragspalt:

~x

~z ~ ~ z ] '

~y

~z ~] ~z]'

Oz--~z

~z]

O.

(1)

Diese Gleichungen kfnnen wegen Voraussetzung 3 zweimal nach z integriert werden. Die Integrationskonstanten ergeben sich dabei aus den die Tatsache des Nichtgleitens der Fliissigkeit an den Wanden zum Ausdruck bringenden Randbedingungen: v~(x, y, 0) = vy(x, y, 0) ----v~(x0y, 0) = 0, v~[~, y, h(~, y)] = U cos

c,,

vy[~, y, h(x, y)]

|

= 0, ]

(2)

v,[x, y, h(x, y)] = -- U sin a . Man erh/ilt auf diese Weise ffir die Geschwindigkeitskomponenten: _ _

vx

21~ @ ~x (z2 -- h z) + U ~zc o s a ,

1 @(z vy = 2--~ ~y" 2 _ h z ) ~

v ~ = -- U ~ - s m a . Z

,

(3)

Durch Einsetzen der so gewonnenen Ausdrficke in die Kontinuitatsgleichung gelangt man dann unter Benutzung der wegen der Kleinheit des Neigungswinkels a giiltigen Naherungsformeln ~h cosa~l, sina~tg~:--~x ~1 (4) nach Integration fiber z und einigen Umrechnungen,, die in dem Buch yon Pinkus und Sternlicht [4] ausffihrlich dargestellt sind, zu der bereits yon Reynolds [3] stammenden und naeh ihm benannten Gleichung L l h a ~P~-~- ~ [ ha ~P~ = 6 V ~tt (5)

38.Band 1969

U. Rest: Die Berechnung des ebenen Kreisgleitschuhs

3

aus der sich die Druckverteilung im Tragspalt berechnen laBt und die daher den Ausgangspunkt der folgenden Rechnungen bildet. Hinzu tritt als Randbedingung die Tatsache, daB der Druck am Rande des Gleitschuhs, also an den Stellen, deren Koordinaten x R und y~ der Gleichung (xR -- D)2 q- (y~ -- D)z = (D) 2

(6)

geniigen~ gleieh dem Umgebungsdruek Po sein muB. Ffihrt man anstelle des Druckes den ~berdruck = P -- Po in die Gleichung und Randbedingung ein, so bekommt man als Gleichung

e [h~ @1 und als Randbedingung _~(x~, y ~ ) = 0

~ [hZ @) = 6 U eh (x R -- D ) Z + (y~ _ D ) Z

fiir

(D)Z

(8)

Die Spaltweite h ist, wie man aus Abb. 1 unschwer erkennt, durch t

h = -- D-X + h0 + t

(9)

gegeben. Zunachst werden die Gleichungen durch Einfiihrung dimensionsloser GrSBen dimensionslos gemacht. Es sei x

=

~,

Y

-~,Y

=

H

ho'h

=

9p = ho 7,

P

_

[~h~ ~TU D

-

(P -- Po) h~o ~ UD

(lO)

Man erh~ilt so: H3 9P

8 ~x

~ + FF

~Z

H F]; =

~x '

H = - - ~--~X q- 1 + ~

(11)

und als Randbedingung

(12) 3. Einfiihrung eines Reehennetzes zur Liisung der Differentialgleichung. Diese Differentialgleichung soil nun durch ein Differenzenverfahren gelSst werden. Dazu wird der Gleitschuh im Raum der dimensionslosen Koordinaten mit einem Netz aus quadratischen Maschen mit der Maschenweite I iiberdeckt. Dann wird ein lineares Gleichungssystem fiir die unbekannten Druckwerte an den Knotenpunkten aufgestellt, indem man ffir jeden Knotenpunkt die Differentlalgleichung hinschreibt und die in ihr auftretenden Differentialquotienten durch lineare Ausdriicke ersetzt, in denen auBer dem Druckwert im betrachteten Knotenpunkt noch die Druckwerte an den benachbarten Knotenpunkten auftreten. Da diese Ersetzung mk einem bestimmten Fehler behaftet ist, erhalt man natiirlich auf diese Weise nur eine ~aherungslSsung, die abet yon der tatsachlichen LSsung um so weniger abweicht, je engmaschiger das Netz ist. Da es sich zeigt, daB die zweiten Differentialquotienten rnlt der gleichen Anzahl der verwandten Knotenwerte genauer dargestellt werden k0nnen als die ersten, sell zunachst die linke Seite der Differentialgleichung (11) noch so umgeformt werden, daB in ihr nur noch Differentialquotienten zweiter Ordnung auftreten. Wird, wie fiblich mit V2 der Laplace-Operator ~2/~X 2 + ~2/~y2 bezeichnet, so erMlt man VZ(Ha P ) - ~ 2 ( H a P ) ~X 2

~

~2(H~P)--H a v 2 P + ~y2

P V 2 H a + 2 [ ~ + - F Y8PF - Y ~Ha ~P [

(13)

Hieraus ergibt slch:

8Ha 8P

8Ha 8P

I

cgX OX q- -~Y OY -- 2- [V2(Ua P) -- Ha V2 P -- P V2 Ha]"

(14)

Damit folgt fiir die linke Seite yon (11)

~ [H 88P] ~[HasP~=HaV2 ~x ~ +~YL ~YJ

8HASP OH38P P + ~x~x § ~YeY

=I[v2(H3p) 2

q_H3V2p_

PV2Ha ]

05)

1"

U. Rost: Die Berechnung des ebenen Kreisgleitschuhs

4

Ingenieur-Archiv

Die umgeformte Differentialgleichung lautet dann: ~H VS(H a P ) + H a V 2 P - - P V 2 H 3 - - 12 ~ - : 0 .

(16)

In dieser Gleichung tritt als einziger Differentialoperator der Laplace-Operator V 2 auf. 4. E r s e t z u n g des Differentialoperators VS: dureh elne llneare S u m m e . Die n/ichste Aufgabe besteht nun darin, den Weft des auf eine Funktion ~b angewandten Laplace-Operators in einem bestimmten Netzknotenpunkt, also V 2 ~5({, k), dutch einen linearen Ausdruck anzun/ihern, der aus dem Funktionswert an diesem Knotenpunkt und den Werten an den benachbarten Knotenpunkten gebildet wird. Da dabei nut Knotenpunkte verwandt werden k5nnen, die innerhaib des Gleitsehuhs liegen, sind je nach der Lage des betrachteten Punktes in bezug auf den Rand neun versehiedene F/ille zu unterscheiden, wie aus Abb. 2 hervorgeht. Fiihrt man die Bezeichnungen

~1(i, k) = ~({, k) = r k) = ~0(i, k) =

r

~) =

~ (i + 1, k), q}~(i, k) = 45 (i, k + 2),

~ ({, k -~- 1), r (i -- 1, k), fi5 (i, k -- 2), (2b(i, R a n d ) ,

r k) = ~ (i, k -- 1), q56(i, k) = ~ (i + 2, k), q~9(i, k) = ~(i, k),

~Ss(i, k) = r (i -- 2, k), q~n(i, k) : r k)

(17)

11

ein, so soll V 2 ~b(i, k) durch einen Ausdruck ~v~ C~*({,k) ~ , ( i , k) angen/ihert werden. Es sind also n=l

Koeffizienten C~(i, k) bzw. C,(i, k) = 12 C*~(i, k) so zu bestimmen, dab 1

11

V 2 qS(i, k) = -i~ X I C,(i, k) ~b(i, k) ~- Rest 11

= 2 c*(i, k) r

k) + Rest

(18)

wird. Dabei soll das Restglied in bezug auf die Maschenweite ! klein yon 4. Ordnung sein. Es wird sich zeigen, dab diese Forderung dutch jeweils hSchstens sieben Glieder einer solchen Summe erffill-

-- XI7F iI

I

1 0 / "Z"-, ~ z

[

[

7"-E\

:IZFa//A

I

[ I I I

[ F I I I I [ [ [ I I I [ I F. I I I I

G r 5 [

I

[

I

I

I

11

11

11

J8

40

2J8

Z

I

~ [ \\ d \A

H

I I I I I Z I I I I If I I I I I IIII & g

g

E 6 7

f [

C 6 l

8

[

x

Fall6

Nil H

x

z Fallf

8/

0 70 11 12N=lY

Abb. 2. Rechennetz und Klassifizierung der Netzknotenpunkte nach ihrer Lage in bezug auf den Rand des Gleitschuhs. bar ist. Zun/ichst werde der Fall A (s. Abb. 2) behandeh. Bei ihm befindet sich links vom betrachteten Knotenpunkt im Abstand A 1 1 mit A 1 < 1 und unter ihm im Abstand B 1 1 mit B 1 < 1 je ein Randpunkt. Zur Herleitung des N/iherungsausdrueks fiir V 2 ~b(i, k) werden nun die Werte der Funktion in den Punkten 9, 1, 2, 10, 11, 5 und 6 vermittels einer Taylorreihenentwicklung durch die Werte der Funktion und ihrer Ableitungen im betrachteten Knotenpunkt 9 ausgedriickt. So

38. Band 1969

U. Rost: Die Berechnung des ebenen Kreisgleitschuhs

5

erh/~lt man, wenn m a n abkfirzend statt C*(i, k) und qi,(i, k) nur C* und ~5 sehreibt: ~ 9 ~ (~9 '

l ~~X 9

q9~=~9+

+

~-~-~/9 +

~ t , ~ / ~ +Rest'

q~,0 = q~9 -- A1 I ~X 9 qb~a = ~ 9

~=r

(19)

-- B~l ~ Y 92~ B~ 2 ~ e r 2 ] . - - B~ 6 ~ora]9 -~ R e s t '

+ 21 ~~r9 +

4 ~ ~-g~z]. +

8 3- ~ ] 9

+ Rest

Multipliziert man diese Gleichungen der Reihe nach mit vorl/iufig noch unbekannten Faktoren C~, C*, C~', C~'0, C~'1, C~' und C~', addiert sie und bringt die Summe der Reste auf die linke Seite, so erh/ilt man mit C~' ~- C~' = C~ = C~ = 0: 11

X C,* ~b -- Rest = [C{ + C~ + C~ + C~b -~ C~'~ + C~' + C~'] ~b. ~-

()

l -ar ~ - 9 +[C~--B~CT~+2C~]

+[Cf--A~C*o+2C*]

12 [Ozq3~

*

(~176

z ~9

2 kOY219

6 ~oxa] 9 -~ [C~ -- B~ C~1 q- 8 C~] ~ ~oya]9.

(20)

Die Koeffizienten C* wercden nun so bestimmt, dab 11

*

:

[ a2o ~

{ a2r ~

(21)

wird. Durch Vergleich der Koeffizienten auf den rechten Seiten der Gleichungen (20) und (21) b e k o m m t m a n sieben Gleichungen, die zur Bestimmung der bisher noch nicht festgelegten sieben Faktoren genfigen. Multipliziert man die zweite und dritte Gleichung mit 1/l, die vierte und fiinfte Gleichung mit 2/l 2 und die sechste und siebente Gleichung mit 6/I a, so erh/ilt man schlieBlich das folgende lineare Gleichungssystem: c : + c~ + c : + C*

C:o +

c1"~ +

-- A 1C1.o C*

c:

-? 2 C * -- Ba C*1

+ A~ C~*o c:

C~

+ 4 C:

= 0 , 2 = t~ , 2 + 4 Cg = ~ ,

+ 8 C:

-- B~ C,:5

cg = o ,

~- 2 C~ = 0 ,

+ B~ C71 -- A~ Cfo

C~

c* +

= 0,

+ 8 Cg = 0 ,

(22)

6

U. Rost: Die Berechnung des ebenen Kreisgleitsehuhs

Ingenieur-Archiv

dessen Aufl0sung zu 1 2 ( 4 - - A~) C* = 12 ( A x + I ) ( A I - } - 2 ) '

, 1 2 ( 4 - - B~) C~, ~- l~-(Bz+l)(B~d_ 2)'

I AI--1

1 B1--1

c~ - t~ A~ + 2'

c:=-z~[ A~(A~+2) 1 C1"~ :

6

I2 A 1 (Az + 1) (Ax + 2)'

=

c I = 0,

c~ = c~ = 0 ,

c~ - l= B~ T ~ '

[A~(1--A~)+6

c:

(23)

B~(1--B0+6] -~

B~-2)

'

1

6

C~ -- f f B~ (B~ + 1) (81 + 2)

fiihrt. Hieraus ergeben sich dutch Multiplikation mit 12 die in Tabelle 1 unter Fall A aufgefiihrten Koeffizienten C~. In ganz analoger Weise findet man die Koeffizienten fiir die F i l e B, D und E. Sie sind ebenfalls in Tabelle 1 aufgefiihrt. Es werde nun der Fall G betrachtet, bei dem nur einer der iN-achbarpunkte, niimlich der linke, Randpunkt ist. Die hierfiir geltenden Koeffizienten erhiilt man, wenn man in den Koeffizienten des Falles A der GrSle B 1 den Weft 1 gibt und den Index 11 durch 4 ersetzt. Fall A und G unterscheiden sich nimlich voneinander nut dadurch, dab der untere Nachbarpunkt start eines Randpunktes 11 ein normaler Netzpunkt 4 ist, der yore betrachteten Knotenpunkt die Entfernung l besitzt. Die Koeffizienten des Falles C, bei dem nur der untere Nachbarpunkt ein Randpunkt ist, ergeben sich aus denen des Falles A, wenn man A 1 den Wert 1 erteilt und den Index 10 durch 3 ersetzt. Auf ihnliche Weise kann man die Koeffizienten der F i l e F u n d H aus denen des Falles E ableiten. Hier sind im ersten Falle A s = 1 zu setzen und die Indizes 10 und 1 zu vertauschen. I m zweiten Falle ist fiir B 2 der Wert 1 zu nehmen und der Index 11 durch 2 zu ersetzen. Der wichtigste und weitaus hiufigste Fall ist der Fall I, bei dem der betrachtete Knotenpunkt vollstindig yon anderen Netzpunkten umgeben ist. Die dazu geh6renden Koeffizienten gewinnt man aus den KoeHizienten des Falles G dadurch, dab man A 1 = 1 setzt und Index 10 mit Index 3 vertauscht. Dabei ergibt sich, dab in diesem Normalfall nut C1, C2, Cs ,C a und C9 yon Null verschieden sind. Die Koeffizienten fiir a l e betrachteten Fille sind in Tabelle 1 aufgefiihrt.

5. Ersetzung des Differentialoperators a / S X an den R i n d e r n des Gebietes durch eine lineare Summe. Fiir die Ausrechnung der durch den Tragspalt strfmenden Fliissigkeitsmenge wird spiter die Ableitung einer Funktion in X-Riehtung an den Gebietsrindern benStigt. Auch hierfiir s o l ein linearer Ausdruck aus Funktionswerten innerhalb des Gleitsehuhs abgeleitet werden. Da der Fehler ebenfalls in 1 yon der vierten Ordnung ldein sein sol1, werden ~hierzu aul]er dem Randwert noch drei weitere Werte verwendet. Es werde zunichst ein Ausdruek fiir ~qS/~X am linken Rand gesucht. Mit 9 werde ein P u n k t (i, k) bezeichnet, der zu den Fallen A, D oder G gehfrt, lXTursolche Punkte liegen nimlich unmittelbar rechts neben dem Rand. Welter werde der P u n k t (i, k + 1) mit 1 .und der P u n k t (i, k + 2) mit 5 bezeiehnet. Der Abstand zwisehen dem Randpunkt 10 und dem Punkt (i, k) betrage Al(i ) l oder kurz A 1 I. Driiekt man nun die Werte in den Punkten 9, 1 und 5 vermittels einer Taylorreihe dutch die Werte der Funktion und ihrer Ableitungen im Randpunkt aus, so erhilt m a n : ~10 ~ ~10

4,

= qblo +

A 1 1 -fix ,o +

(~) 45 = 410 -4- (A1 + 2 ) l { ~W - ~ j,o +

1 2 [aX2]I o +

1'o '' ' ~ ' ~ '

+ ~'2 Is l~ 2 ~ \

t 6 ~aX"]~ o + R e s t ,

(24)

..o ,~ , ~ , r

+ (A1

_,~ la /~aqp\

+ Rest.

l

,'o~

A~ 1

Fall I

Fall H

Fall G

Fall F

Fall E

Fall D

Fail C

Fall B

-

1

1

i

[

zj [

]

A.AI

1

0

(At+ 1) (A,+2)

2(~-~)

2(4--A 2) (A,+ 1) (Az+2)

-

B~)

A~(A~+2) A I+ 1

o

U

In=2

2(~-.~) B~ I-i) (B~+~i

n=l

I

I

I(

[

-

(B~+l) (B~+2)

2 (4

20,--~)

( B a + l ) (B1-~-2)

2(~, A~)

(A~+I) (AI+2)

0

3

I

2.

1

( B : + l) (B:+2)

0

A,--I A~+2

0

0

A1+2

A 1-- 1

o

0

A,--I A~+2

I n--5

0

0

0

0

0

~7~

B 1-- l.

B~--I B~+2

B~--I B~+2-

0

0

A~--,

0

0

A~--I Az+2

0

A'a--1 A~+2

....

i

I

[

I

]

I }

"~ ' ']

B~--I I B2~ 2 I

0

0

I

n=61n=71n~--~8 [

A~(t--A2)+6 Az(A~+2)

"00-'~)~-6

B~(1 B . ) [ 6 B2(B2+2)

2

--2

--4

A.a(I A~)+6 A~ (A:~q-2)

A~(Aaq 2)

B,(1--B ) + 6 - 2 ........ ~ ~ ~ B~ (Be [-2)

A~0-*)+6

A~(1--A~)+6 A[I(AI+Z)

Bz (B1+2)

Ba)-~- 6

B,(1-- B,)+6 B~(B,+2)

B,(I--B,)+6 nz(Ba+2)

rt--1

n=9 A~(1--A,)+6 A, (Av}-2)

B~ (1

11

i

X c,,(i, ~) ~,~(~, ~)

~

o

In=4 I

"

o-

2 (A,+2)

A~(A,+I)

n=5

0

0 .

jo=61 0

A~ (A2+1) 2 (As+2)

~

.... : ~ [

0

I,,=.I

(-42+1) (A.+2) 2 A~

(A~+1)2 A~(Axq2)

0

n = i0

6 A,~ (A~ + 1) (A2 + 2)

A~(A~ k l ) ( A 1 k2)

0

6

6 AI(A;+ii(AI-1:2 )

0

6 A: (A~+ l) (A~+2)

6 & (AI+ I) (A~+2)

n=10

]

(A~+l) (A~+2) 2 A2

A 1 (AI+I) 2 (A,+2)

0

0

B..(B~-~i}()~;+ 2)

6

6

B~(B,~T1)(B,,+2)

6

Bx(B,+I)(BI+2)

6

B~ (Ba+ 1) (Bx+ 2)

B~(Bxq 1) (Bx+2)

6

n = 11

A 2 (Az+2) A~ (A2+2) A2+l + 2 (A~+2)

(A 1 ~ i) (A~, t-2! + A 1 (A~+2) 2 A~ A~+I

~q) 10 Koeffizienten D,~ der N6herungsausdriicke ~ X (i, Rand) ~ ( 1 / / ) v , Dn(i, k) (b,~(i, k) n=l

A~(&+2)

o

n=3

Tabelle

2 (4--A22 ) (A~+ 1) (A~+2)

2 ( 4 - - B 2)

2 (4--A~)

z(~--,~)

: ( ~ - ~(B~ ) ~2) (B~+I)

0

0

0

n=4

o

1

2(4--A 0 (A~+I) (Aa k2)

/l=

Tabelle 1. KoeJfizienten C,~der N~iherungsansdriicke V "2~ ( i , k) ~ (1//~)

C clq e~

g=-

r .~

8

U. Rost: Die Berechnung des ebenen Kreisgleitschuhs

Ingenieur-Archiv

Multipliziert m a n diese Gleichungen der Reihe nach mit vorliiufig noch unbekannten Faktoren D*0, D*9, D*, D*, addiert sie und bringt die Summe der Reste auf die linke Seite, so erhiik man mit D~ = D : ----D* = D ~ ' = D ~ = D ~ = 0 : D* ~b -- Rest -- [0 5 § D : § D : § D~'] ~b~o + [Aa D : + (A 1 -]- ]) D* § (A 1 § 2) D*] ~ X ] m rt=l

+ [A~ o : + (A~ § 17 Dt + (A1 + 2)3 D*] 2 ~XU~ o ~*" Ia l~aq5 \ + [A~ D : § (A 1 + 1) 3 D~ § (A 1 + 2) 3 / ) ~ ] ~ ( ~ ) m .

(25)

Die Faktoren D~* werden nun so bestimmL dal~ .=l D* ~ " -- Rest =

~m

wird. Dutch Vergleich der Koeffizienten auf den rechten Seiten der Gleichungen (25) und (26) b e k o m m t man vier Gleichungen fiir die bisher noch unbekannten Faktoren D*, D*, D* und Dx*. Multipliziert m a n die zweite Gleichung mit l/l, die dritte mit 2/I ~ und die vierte mit 6/l 3, so ergibt sich das Gleichungssystem D* §

D~*o +

D: +

A~D: +(A~§

D~ + ( A ~ + 2 )

D* = 0 , 1 D* = T ,

A~D~' + ( A 1 + 1 )

2D* + ( A a §

2D* = 0 ,

A~D~' + ( A 1 + 1 )

3D~ § 2 4 7

3D: =0,

(27)

dessen Liisung D~' --

1 A~ (A~ + 2) 1 AI+ 1 '

D* =D~" = D *

* +[ Dl~ =

--

=0,

D* -- D~ = D 4 ~---0,

, 1 A 1 (A 1 + 1) D~ = - l 2 ( A ~ + 2 ) '

1 (A1 + 1) (A~ %-2) D~ = 1 2 A~ '

(Ax -t- 1) (Aa+ 2) ~_A~(A~+2) A~+ 1 2A1

(28)

A~(A 1 + 1)] 2(A1+2)]

lautet. In Tabelle 2 sind die mit l multiplizierten Koeffizienten D, = l D* aufgefiihrt. Aul3erdem findet man in dieser Tabelle noch die auf die gleiche Art ermittehen Koeffizienten D~, die man zur Anniiherung der Ableitung ~qb/~X am rechten Gebietsrand benStigt. 6. Aufstellung des linearen Gleichungssystems zur Berechnung der Druckverteilung. Die zu 15sende umgeformte Reynoldssche Gleichung (16) muB fiir jeden Knotenpunkt (i, k) des Rechennetzes gelten. Es muB also ~H (i, k) ----0 V2(H 3 P) (i, k) § Ha(i, k) V 2 P(i, k) -- P(i, k) V 2 H3(i, k) -- 12 ~X

(29)

sein. Ersetzt m a n hierin die den Druck enthaltenden Laplaceschen Differentialausdriicke mit Hilfe yon (18) durch ihre ~qiiherungen, so ergibt sich, wenn man auBerdem noch mit [2 muhipliziert, die Gleichung:

C,,(i, k) [H~(i, k) + HS(i, k)] P,,(i, k)

1~ P(i, k) V 2 Ha(i, k) -- 12 1~ ~H (i, k) = 0

(30)

rt~i

Man erhMt auf diese Weise ein lineares Gleichungssystem, aus dem man die Druckwerte in den Knotenpunkten errechnen kann. Ffihrt man noch die Abkiirzungen

El(i, k) = Clo(i, k) [H~0(i, k) + Ha(i, k)] Plo(i, k) , ~

E~(~, k) = QI(i, k) [H~I(i, k) + H3(i, k)] Pn(i, k) J

(31)

38. Band 1969

U. Rost: Die Berechnung des ebenen Kreisgleitschuhs

9

ein, so lautet das Gleichungssystem: 9

2 C,,(i, k) [H~(i, k) + H3(i, k)] P,~(i, k) -- 12 V 2 Ha(i, k) P(i, k) n~l

-k {El(i, k) -~ E2(i, k) -- 12 l~ ~x-eH(i, k)} = 0 .

(32)

Die Umbenenuung erfolgte um hervorzuheben, dab diese Glieder nicht yon den zu berechnenden Druckwerten abh/ingen. Sie enthalten ja nur die vorgegebenen Driicke am Rand. I m vorliegenden Fall sind natfirlich E 1 = E 2 = 0, da P am Rande verschwinden sollte. Weiter folgt aus der gegebehen Spaltform, wie aus (11) sofort folgt: ~H ~X

1 qo '

~H ~X 2

~H ~y

0,

0,

deH~ d [3 H 2 dH] . /dH \2 Hz d2H __ 6 H V2H~--dXZ--dX[ dXj=6H[-dX) ~-3 dX z ~2 "

(33)

7. Anwendung des Relaxationsverfahrens zur L6sung des linearen Gleichungssystems. Das Gleichungssystem (32) soll nun mit Hilfe der Relaxationsmethode [5] gelfst werden. Es handelt sich hierbei um ein Approximationsverfahren, bei dem yon einer angenommenen nulhen N/iherung ausgehend zu immer hSheren N/iherungen fortgeschritten wird. Seien ~P(i, k) die Druckwerte der v. N/iherung, so setzt man diese als P-Werte in die linke Seite der Gleichung (32) ein und bekommt als Ergebnis Restwerte ~R(i, k), die nicht alle gleich Null sind, wofern es sich bei den ~P(i, k) nicht zuf/illig bereits um die gesuchten Druckwerte handelt. AnschlieBend wird der jeweils betragsm/iBig gr6Bte dieser Restwerte ,R(iz~, kM) ~---Max [~R(i, k)] (34) i, k

durch Xnderung des zugeh6rigen Druckwertes ~P(iM, kM) zum Verschwinden gebracht. Die n/ichste N~iherung fiir den Druck besteht dann aus dem neuen Druck an der Stelle (iM, kM) und den Drficken der vorhergehenden N/iherurg an den fibrigen Netzknoten:

,+ l P(iM, kM) = vP(iM, kM) -~ A~P(iM, kM) , v+lP(i: ]~) = ~P(i, k) fiir i # i M oder k # k M . (35) Diese Werte werden dann als P-Werte in die lir~ken Seiten des Gleichungssystems (32) eingesetzt. Als Ergebnis erh/ilt man dann die Restwerte (r -k 1). Ordnung ~+IR(i, k), deren Maximum anschlieBend dutch Anderung des zugehSrigen Druckwertes zum Verschwinden gebracht wird. Dieses Verfahren wird so lange fortgesetzt, his s/imtliche Reste nnter einer je nach der gewiinschten Genauigkeit gew/~hlten oberen Schranke liegen. Als Ausgangswerte werden hier oP(i, k) = 0 gew~ihlt, so dab die anf/inglichen Restwerte nach (32) dutch ~H~.tt' k) oR(i, k) -~ Ea(i, k) -k E2(i~ k) -- 12t,2 ~X

(36)

gegeben sind. Angenommen, es sei ~R(i~r, k~v~) der Rest v. Ordnung mit dem grSBten Betrag. Dann ist nach dem Relaxationsverfahren ,P(iM, kM) urn AvP(iz~, kM) so zu ~indern, dab der Rest verschwindet. FaBt man alle Glieder, die yon dem zu/indernden ,P(iM, kM) nicht abh/ingen, zu einem Ausdruck G(iM, klv~) zusammen, so gilt, da ~Pg(i~vz,kM) = ~P(iM, kM) und It~(iM, kM) = HS(iM, kM) ist [2 Cg(iM, kM) H3(iM, kM) -- 12 V 2 H3(iM, kM) ] ~,P(iM, kM) ~- G(i~1, kM) ~ ~R(iM, kM) .

(37)

Es ist nun AvP(iM, kM) so zu w~ihlen~ dab [2 Cg(iM, kM) Hz(iM, kM) -- 12 V 2 HZ(iM, kM) ] [~P(iM, kM) ~- A~P(IM, kM) ] ~- G(iu, kM) _-- 0

(38)

wird. Dutch Subtraktion der beiden letzten Gleichungen erhalt m a n : [2 Cg(iM, kM) U3(iM, kM) -- 1~ V ~ U3(iM, kM) ] 2~P(iM, kM) = --vR(iM, kM) .

(39)

Das heiBt: A~P(iM, kM) 1/iBt sich aus der Formel

vR(iM, kM) A ~P(i M, kM) = -- 2 Cg(i~, kM) Ha(iM, kM) -- 12V~ Hs(iM, kyz)

(40)

10

U. Rost: Die Bereehnung des ebenen Kreisgleitschuhs

Ingenieur-Archiv

bestimmen. Damit kann nach (35) die nachsthghere Naherung der Druckwerte ~+,P(i, k) errechnet werden. Die Formel 9

X C,,(i, k) [H~(i, k) -I- H~( i, k)] ~+,P.(t, k)

--

l"

V2 H3(i, k) ~+IP(i, k)

-~

n=l

f

,-, ~ H

.

1

liefert dann die Reste (v -{- 1). Ordnung. Man braucht nun aber ~+IR(i, k) nieht fiir a!le Netzpunkte neu zu errechnen. Da gegeniiber der vorangegangenen N~iherung yon den Druckn~iherungswerten lediglich der im Punkte (i~, k~) ge~indert wurde, und dieser nur in den Formeln ffir ~+IR(i, k) auftritt, wenn i M - - 2 < i < i M + 2 und k = k M oder wean i = iM und k M - - 2 < k < kM -4- 2 ist, wobei zus~itzlich gefordert wird, dab der Punkt (i, k) innerhalb des Gleitschuhs liegt, so ergeben sich im Hfchstfalle ffir neun Netzpunkte ~nderungen der Reste. Die fibrigen kfnnen aus der v. N/iherung direkt iibernommen werden. Das Verfahren wird nun zu immer h6heren N~iherungen fortschreitend so lange fortgesetzt, his der Betrag des maximalen Restes unter einer vorgegebenen sehr kleinen Grfge e (z. B. 10 -~) liegt, das heist, die zuletzt verwandten Druckwerte die Gleichungen bis auf hfchstens diesen kleinen Fehler erfiillen. Zur Rechenprogrammvereinfachung erganzt man das Gleichungssystem dutch Gleichungen yon der Form 0 = 0 ffir die auSerhalb des Gleitschuhs gelegenen Knotenpunkte des quadratischen Netzes, indem man Druck und Anfangsreste ffir diese Punkte gleich Null setzt. Dann kann, wenn man die Rechenoperationen fiir das ganze qnadratische Netz ausffihrt, nichts passieren, da die Reste ja yon vornherein den Wert Null besitzen und daher niemals als Maximalreste ausgewahlt werden kSnnen. Die Magnahme, P augerhalb des Gleitschuhs gleich Null zu setzen~ hat den zusatzlichen Vorteil, dab man bei der Integration der Druckverteilung fiber die Gleitschuhflache start fiber diese fiber das ganze quadratische Netz integrieren kann. 8. Ableitung tier Kennzahlen Ftir Tragfiihigkeit, Reibungskraft, Lage des Druckmittelpunktes

und Tragiilmengen aus tier Druekverteilung. Auger der Druckverteilung sollen noch Tragkraft, Reibungskraft, Lage des Druckmittelpunktes und Tragflmengen berechnet werden. Eine ausffihrliche Betrachtung der Spannungsverh~iltnisse an der bewegten Ebene, bei der zun~ichst die Neigung der Ebene gegenfiber dem Koordinatensystem beriicksichtigt wird und erst dann alle wegen des sehr ldeinen Neigungswinkels a kleinen Glieder vernachl~issigt werden, zeigt, dab man den Neigungswinkel nicht zu berficksichtigen braucht. Es ist daher, wenn man mit f die auf die Ebene pro F1/icheneinheit wirkende Kraft bezeichnet : t~ = - ( ~ ) ~ = ~ ,

ty = - ( ~ ) ~ : ~ ,

t~ = - ( ~ o ) ~ = ~ -

p0.

(42)

Hierbei wurde bereits berficksichtigt, dab auf die Ebene auger den Flfissigkeitsdrficken noch der Umgebungsdruck P0 wirkt. Mit Hilfe des FlieBgesetzes ffir Newtonsche Flfissigkeiten und Gleichung (3) erh~lt man bei Berficksichtigung yon 8h/Sx ------ - t g a, 8h/~y =- 8h/Sz -----0 und 8p/Sz = 0 und Yerwendung der Beziehungen (4)

rpvq r.v, -

/ 1_ Pv"l i -

I~vz\

h @ 2 ~x

~U (cosa--sinatga)~ h

h@ 2 By' 2~ U

h @ 2 ~x

~U h (43)

.

Um aus diesen auf die Fl~icheneinheit bezogenen Kr~iften die auf die Ebene wirkenden Gesamtkr~ifte zu linden, mug fiber den dem Gleitschuh gegenfiberliegenden Tell der Ebene, also eine Ellipse, integriert werden. Ersetzt man jedoch die Integrationsvariable in Bewegungsrichtung s durch x/cos a und ds durch dx/cos a, so ist die Flache, fiber die integriert werden mug, die Kreisfl~che K des Gleitschuhs. Wegen cos cr ~ 1 begeht man daher nur einen zu vernachl~issigenden Fehler, wenn man die Fl~ichenkr/ifte t,,, ty und t~ direkt fiber die Gleitschuhfl~iche integriert. Fiir die Tragf~ihigkeit ~ und die Reibungskraft ~ erhMt man deshalb die Gleichungen

~3 = f f K

t~ dx dy =

f f (p - po) dx K

dy

(44)

38. Band 1969

U. Rost: Die Bereehnung des ebenen Kreisgleitschuhs

11

und _

/frh

K

K

Die letzte Gleichung l~iBt sich nun noch umformen. Durch partielle Integration und Beriicksichtigung der Randbedingung p(xn, Ya) = Po folgt mit ~h/?x = --t/D D

ff

2h ~P ax" ay" =

K

ff ,

h2 ~ (p~x-p~ d x d y = -

K

t -

0 ~

f

]

(P --Po) RReldy --

ff

( P - - P o ) ff~dxdy

K

t

2 b

(p

--

po) dx dy = ~ ~ .

(46)

K

Dabei bedeutet der Index R1 den linken und der Index R2 den reehten Rand des Gleitsehuhs. Die Reibungskraft ist daher gegeben dureh

= --

-]-

dx dy .

(47)

K

Fiir die Koordinaten des Druckmittelpunktes erhiilt man, wenn man wieder cos a ~ 1 setzt

fft, xd. dy -

-

Kf f

lff

t~ dx dy -- ~

K

(P -- Po) x dx dy

(48a)

(V -- Po) Y dx dy .

(48b)

K

und

H tz y dx dy Y--~ft~dxdy

-

ff

-

.K

K

Wegen der Symmetrie um die A c h s e y = D/2, m u B f = D/2 sein. Trotzdem wurde die GrSBe explizit ausgerechnet, um so eine Probe fiir die 1Richtigkeit der Rechnungen zu bekommen. Ebenfalls wegen der Symmetrie ist die Gesamtkraft in y-Richtung gleich Null. SchlieBlich soil auch noch Q~, die pro Zeiteinheit in den Tragspalt eintretende, und Q~, die den Tragspalt in x-Richtung verlassende Flfissigkeitsmenge, bestimmt werden. Den Seitenflul] bek o m m t man dann sofort als Differenz dieser beiden Mengen. Da wegen des positiven Druckgef/illes zwischen Gleitraum und Aul3enraum vy am Rande mit YR > D/2 positiv und am Ilande mit Ya < < D/2 negativ ist, strSmt keine Flfissigkeit in y-Richtung in den Gleitraum hinein. Daher ist Q~ allein durch die in x-Richtung eintretende Flfissigkeitsmenge bestimmt. Wird die x-Koordinate des linken Gleitschuhrandes mit xR 1(3') und die des rechten Randes mit xa 2(y) bezeichnet, so ist Q~ durch D

Q~ = f dy 0

h[XRI(Y),Y]

f

vx [~R l(y), y, z] dz

(49)

0

gegeben. Die Integration nach z kann nach Einsetzen yon vx aus (3) sofort durchgeffihrt werden. Dabei ergibt sich, wenn man noch n~iherungsweise cos a ~ 1 setzt: D

Q~ =

f/

}

h~ [xR I(Y), Y] op [xa l(y), y] + ~ h[xR ~(y), y] dy. 12 ~ Ox

0

(50)

Ganz entsprechend erhiilt man fiir die pro Zeiteinheit in x-Richtung austretende Menge Q~: D

Qa =

f 0

{

ha[xl~2(Y),Y] Op [xR2(y),y] U h[xl~z(y), 3']} dy 12 r1 ~x +2 "

(51)

Um zu den Reehenformeln zu gelangen, mfissen nun die physikalischen Gr6Ben durch die in (10) definierten dimensionslosen GrfBen ersetzt werden. Ferner wird durch ~N-ullsetzung der Werte yon P und 1/H an den auf3erhalb des Gleitsehuhs gelegenen Reehennetzpunkten dafiir gesorgt, dab die Integrale dort keinen Beitrag geliefert bekommen. Man kann dann ~tatt fiber die Kreisfl~iche fiber

12

U. Rost: Die Berechnung des ebenen Kreisgleitschuhs

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das ganze quadratische Netz, also fiber X yon 0 bis 1 und fiber Y yon 0 bis 1, integrieren und erMlt SO : 1 1

mit

7 Uh~DK Tr

Tr = 4 f f 0

(52)

p dX dY, 0 1 1

_

mit

~ UhoK Rei

Rei = ~

~ dX dY ,

~- -~ 0 1

x

D --

Tr

mit

mit

Tr

--

Momx = 0

P X dX d Y ,

(54)

P YdXdY,

(55)

0 1

D

0

t

Morn y = 0

(53)

1

0

1

mit

Oe=hoU D'F1 e

Fle=

- - -12 -~q-2 0

mit

Oa = ho U D . FI~

FIa =

R1

1

-- i 2 ~X

Y R2

0

Grundlage fiir die Durchffihrung der Integrationen bildet die Simpsonsche Regel [6]: a+21

f

~o(~) d~ = / [~o(a) -[- 4 ~v (a q- l) Jr- ~p (a -4- 2/)] -- @ ~v~v(~)

(58)

a

mit a ~ r ] ~

a @ 21.

Der Fehler, der dureh Fortlassen des Restgliedes entsteht, ist also klein -con ffinfter Ordnung in 1. Unter Benutzung dieser Formel erh~ilt man fiir einen Integrationsbereieh yon a bis a -}- 2 I n: n--1 a+(2v+2)l

a+n21

f a

~v(~)d~----- w ~=o

f a4-2vl

l n--1

~o(~)d~=-3-_~oo { ~ p [ a - ~ Z v l ] q - 4 y J [ a ~ - ( 2 f q - 1 ) l ] - ~ [ a q - ( Z v + 2 ) l ] } . = (59/

Es werde nun angenommen, dab die Zahl der horizontalen und vertikalen Linien des Rechennetzes ungerade ist. D a n n i s t n = ( N - - l ) / 2 eine ganze Zahl. Mit l = l / ( N - 1) ~ l . / 2 n nnd a = 0 geht dann der Integrationsbereieh yon 0 bis 1. Sehreibt man auBerdem an Stelle yon ~0(i l) einfaeh gem/ig der Knotenbezeiebnung in Abb. 2 ~o (i -? 1), so ergibt sich: 1 f

'l n2~ - 1 {~v (2 i -~ 1) + 4 ~o (2i + 2) q- ~o (2 i q- 3) }. ~0($) d~ = -~-

(60)

i=0

0

Nach dieser Formel werden die Integrationen bei der Ermittlung der Flfissigkeitsmengen durchgeffihrt. Zur Bestimmung der fibrigen GriSgen muB nun noch eine Formel fiir die Bereehnung yon Flfichenintegralen abgeleitet werden. Hierfiir folgt aus I=fffib(Y,X)

dYdX-=

O0

dY

fib(Y,X) d X =

J(Y) dY

(61)

0

bei Anwendung yon (60) l n--1

I : - f , _ ~ o { J ( 2 ~ + 1) + 4 d ( 2 i

+ 2) + d ( 2 i + 3)},

(62)

wobei ebenfalls nach (60) J(i) durch 1 I n - 1 {fib(i, 2 k + 1) -t- 4 fib (i, 2 k + 2 ) q- fib (i, 2 k q- 3)} J(i) = f fib(i,X) d X = 3-~_-~o 0

gegeben ist.

(63)

U. Rost: Die Berechnung des ebenen Kreisgleitschuhs

30.Band 1969

0,0~

l--

0,06

1,5

0,07

I 1,1r

~ ~,

NT. _~1~ "-~ I~

tTO#

-

0,07

I

H," m I lU,#

.~.~

o05

:il :t i

o,s o,15 o,a o,~ u,~ u,5o,~ ~7o 7 ~,~ z

Ill"

I1

/L/O i

IX,

i ~

d,I//-

i\ _ / , , ,

I/I

I

\l

/

~-~

t q..6

I I ",z"

o,o4~ L_ .~-,

_ , ~.

Abb. 3. Ergebnisse der Rechnung fiir den Kreisgleitschuh: Kennzahlen fiir die Tragf/ihigkeit, den Reibungswiderstand, die einfliessende und ausfliel~ende Schmiermittelmenge und den Druckmittelpunkt in Abhiingigkeit yon der relativen Tragspaltweite,

0,~

13

i

I\

.

~ D

~

Gz' ~-~ -.-~.c

I

%-I ~-

OL--

Abb. 4. Ergebnisse der Rechnungen yon B, Jakobsson und L. Floberg fiir den quadratischen Gleitschuh: Kennzahlen fiir die Tragfahigkeit, den Reibungswiderstand, die einflieBende und ausfliel3ende Schmiermittelmenge und den Druckmittelpunkt in Abh/ingigkeit yon der relativen Tragspattweite.

! 0,1e

0,0~'

'~

0,0~

0,0~

0

0,2

U,5

U,5

Abb. 5. Druekverteilung in Bewegungsrichtulag fiir den Fall maximaler Tragf/ihigkeit (relative Spaltweite qo ~ 0,8) a: auf den Netzlinien y/D = 1/12 und 11/12 b: auf den Netzlinien y/D = 2/12 und 10/12 c: auf den Netzlinien y/D = 3/12 und 9/12 d: auf den Netzlinien y/D = 4/12 und 8/12 e; auf den Netzlinieny/D = 5/12 und 7/12 f: auf der Netzlinie y/D = 6/12.

o

o,~

o,~

o,8

o,8

1,o

Abb, 6. Druckverteilung senkrecht zur Bewegungsrichtung fiir den Fall maximaler Tragf/ihigkeit (relative Spaltweite qo ~ 0,8) AI: auf der Netzlinie x/D = 1/12 BI: auf der Netzlinie x/D = 3/12 C1: auf der Netzlinie x/D = 5/12 C2: auf der Netzlinie x/D = 7/12 B2: auf der Netzlinie x/D = 9/12 A2: auf der Netzlinie x/D = 11/12.

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U. Rost: Die Berechnung des ebenen Kreisgleitschuhs

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9. Ergebnisse. Die Rechnung wurde auf einer elektronischen Digitalrechenmaschine yore Typ IBM 7040 durchgefiihrt. Die Resultate der Rechnungen sind in Abb. 3 graphisch dargestellt. Um die Verh~iltnisse beim Kreisgleitschuh mit denen beim quadratischen Gleitschuh vergleichen zu kSnnen, werden in Abb. 4 die Ergebnisse der Rechnungen yon Jakobsson und Floberg [7] ffir den quadratischen Gleitschuh wiedergegeben. Man sieht, dab die Kurven sowohl in der Tendenz als auch in der GrSBenordnung ziemlich gut iibereinstimmen. Das ist besonders bei der Reibungskennzahl der Fall. I-Iier liegen in dem Gebiet der maximalen Tragfiihigkeit, das fiir praktische Anwendungen in Frage kommt, die Abweichungen unter 3O/o. Auch bei der Lage des Druckmittelpunktes sind die Abweichungen nicht groB, im erw~ihnten Gebiet unter 5~o. Beim Kreisgleitschuh liegt der Druckmittelpunkt n/iher an der Gleitschuhmitte als beim quadratischen Schuh. kbweichungen in der GrSBenordnung yon 8~/o zeigen die F / : W e r t e . Bei FI~ betragen sic weniger als 50/o. Die grSgten Unterschiede ergeben sich bei den Tragf~ihigkeiten. Doch auch bier sind sic im Gebiet 0,5 __< 99< 2 kleiner als 19~ . Man darf

-

Nee

+

o.

+

~O,OS

+ +

-0,15~

.f-f.

t/

I

::

I

I

4

i

-'-~ .

'

s:

,~'-'-

~

i

i

4

i

I

,z'/DD,

Az

Abb. 7. Druckisobaren fiir den Fall maximaler Tragf/ihigkeit (relative Spaltweite ~ ~ 0,8). allerdings nicht vergessen, dab der in Tr auftretende mittlere Druck/~ jeweils auf die Fliiche des betreffenden Gleitschuhs bezogen ist, die beim Gleitschuh nut das ~/4-fache der Flfiche eines quadratischen Gleitschuhs gleicher L/inge betr/igt, so dab das Verh~iltnis der Belastungen noch mehr zuungunsten des Kreisgleitschuhs ausf~illt. Der Kreisgleitschuh besitzt seine maximale Tragf~ihigkeit, wenn ~ ~ 0,8 ist. Um dieses ~ zu erreichen, muB der Gleitschuh an der Stelle x : 0,5752 D unterstiitzt werden. Ein anschauliches Bild yon der Druckverteilung gewinnt man aus den Abb. 5 his 7. Ffir den Fall maximaler Tragf~ihigkeit, also 9? ~ 0,8, wurden die dimensionslosen Driicke h~/~ U D in Abb. 5 fiber x/D und in Abb. 6 fiber y / D aufgetragen. Aus diesen Kurven wurde dann das Isobarenfeld in Abb. 7 gewonnen. Literatur

[1] [2] [3] [4] [5] [6]

A. G. M. Michell, Z. Math. Phys. 52 (1905) S. 123/137. IV. Weizel, Lehrbuch der theoretischen Physik, Bd. 1, Berlin, G6ttingen, Heidelberg 1949. O. Reynolds, Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 177 (1886) S. 157/234. (Deutsch: Ostwalds Klassiker Bd. 218). O. Pinktts u. B. Sternlicht, Theory of Hydrodynamic Lubrication, New York, Toronto, London 1961 D. N. de G. Allen, Relaxation Methods, New York, Toronto, London 1954. R. Zurmiihl, Praktische Mathematik fiir Ingenieure und Physiker, 4. Aufl,, Berlin, G6ttingen, Heidelberg 1963. [7] B. Jakobsson u. L. Floberg, Trans. Chalmers Univ. of Technology Gothenburg/Sweden, Nr. 203, 1958. (Eingegangen ant 21. M/irz 1968) Anschrift des Verfassers: Dipl.-Phys. Ulrich Rost, Abteilung Reibungsforschung am Max-Planck-Institut fiir Str~imungsforschung, 34 G6ttingen, Bunsenstr. 10.