MARCO C U G I A N I deU'Universith di Milano
i Domini P--adici e le forme binarie Oonferenza tenuta il 12 febbraio 1957 (*)
SUNTO. - - Si espongono i fondamenti della teoria dei corpi e dei domini d'integrit~ P-adici. In particolare viene trattato il problema della rappresentabilits di un intero P-adico mediante una forma binaria quadratica o cubica e vengono illustrati i risultati di alctme recenti ricerche su questo argomento, che forniscono ~a l'altro la soluzione completa di tale problema nel caso di una forma quadratica, oppure nel caso di una forma cubica il cui discriminante sia un quadrato perfetto.
INTRODUZIONE
RICHIAMI DI ALGEBRA Per comodits del lettore r i t e n i a m o o p p o r t u n o r i c h i a m a r e brevem e n t e concerti di algebra, del resto g e n e r a l m e n t e noti, di cui f a r e m o largo uso nel seguito della esposizione. ANELLO COMMUTATIVO. E un insieme R di enti sui quaIi sono definite due operazioni (che c h i a m e r e m o s o m m a e p r o d o t t o e che ind i c h e r e m o coi simboli consueti) per modo che ad ogni coppia di elementi a, b E R sia univocamente associato un elemento c E R e d un elemento d E R tali che si abbia: -
a§
-
,
a 9 b--d.
Tali operazioni sono poi definite in modo da soddis]are ai seguenti 79ostulati. P o s t u l a t o 1~ - - Godano entrambe delle propriet~ associativa e commutativa, ed inoltre iI prodotto sia distributivo rispetto aUa somma; P o s t u i a t o 2 ~ - - Esista in R l'elemento zero, che indicheremo con O, ~er cui risulti a § 0 ~ a
per oqni a E R ;
(*) Pervenuta in tipografia il 10 novembre 1958.
I DOMINI P--ADICI E LE FORME BINABIE
199
P o s t u l a t o 3o. - - Esista in R l'opposto - - a di ogni elemento a ~ R, per cui risulti a+(--a)=0. P u b darsi che nell'anello esista anche un e l e m e n t o e tale che risulti a
9
per ogni
e=a
aER.
Tale elemento, q u a n d o esista, verrs indicato da noi col simbolo 1. Si dimostra facflmente che l'elemento 0 6 unico, che l'opposto di unico, che l'elemento 1, q u a n d o esiste, u n assegnato elemento a urlico.
Poich~ non ci capiters mai nel se2~ito di considerare anelli non c o m m u t a t i v i , nei quali cio~ non valga la propriet~ c o m m u t a t i v a de[ prodotto, noi d'ora in poi diremo sempre b r e v e m e n t e anello, sottint e n d e n d o la speciilcazione commutativo. DoMINm D'INTEORIT~. - - ~7 un anello D con elemento 1, i cui elementi soddis/ano inoltre al seguente (1): P o s t u l a t o 4 ~ - - Valga in D la legge di cancellazione del prodotto, vale a dire da: ac=bc a, b, c E D
si deduca a = b tutte Ie volte che c :/: O. I1 postulato 4 ~ equivale alla affermazione che in D non esistono divisori dello zero, vale a dire non esiste alcun elemento a r 0, tale che risulti so]ubile l'equazione a x = 0
per qualche
x ~ 0
Poich~ in ogni anello e per ogni elemento a si ha sempre a 9 0 ---- 0, p o t r e m o dire che un dominio di integrit5 ~ un anello con elemento 1, nel quale vale la legge di annullamento del prodotto. I n generale accadrh che u n elemento di D non possieda il proprio reciproco in D, vale a dire ad un generico a E D non corrisponder~ di solito u n elemento a -~ ~ D per cui si abbia a 9 a -~ = 1. Gli elementi di D che a m m e t t o n o reciproco in D si diranno le unitd di D (da non confondere con l'elemento 1, che ~ unico in D; n a t u r a l m e n t e l'elemento 1 ~ s e m p r e una unit~). Assegnati due elementi a, b E D l'equazione: a x ---- b
(b ~ 0)
(1) A v v e r t i a m o t h e s e c o n d o certi a u t o r i l'esistenza d e l l ' e l e m e n t o 1 n o n ~ n e c e s s a r i a perch~ si p o s s a p a r l a r e di d o m i n i o di inte~oTit~, f e r m o r e s t a n d o n a t u r a l m e n t e il p o s t u l a t o 4 ~ Secondo tall a u t o r i e s i s t e r a n n o d u n q u e d o m i n i di inte~oTit~ con o s e n z a e l e m e n t o 1.
200
~.
CUGIAlgI
non sarh in generale solubile in D. Quando lo sia diremo t h e a ~ u n divisore di b e seriveremo: a lb. Le units si possono allora definite come quegli elementi di D ehe sono divisori di ogni altro elemento di D. CAMPO DI RAZIONALIT.~ (0 eorpo e o m m u t a t i v o ) . - - E un anello K con elemento 1, i cui elementi soddis]ano inoltre al seguente: Postulato 5 ~ - - Esista in K l'elemento reciproco a -~ di ogni elemento a =/= 0, per cui risulti: a
9 a-l-~-
1.
Poich~ il postulato 5 ~ implica la validits del postulato 4 ~ segue che un campo ~ sempre un dominio. I n altre parole potremo dire che un campo ~ un dominio, in cui ogni elemento, eccetto lo zero, ~ un'unit& S O T T O A N E L L O . - - Si dice che R' ~ un sottoanello di un anello R quando sono soddis]atte le seguenti condizioni: R ' ~ un anello; R ' ~ costituito esclusivamente da elementi appartenenti ad R; il risultato di una operazione su due elementi di t~' ~ lo stesso che si ottiene eseguento la stessa operazione su di essi Tensati come elementi di R. Analogo discorso vale per sottodominio e per sottocampo.
ISOMORFISMO tra due anelli R e d R 1, ~ una corrispondenza (che simboleggeremo scrivendo a ,--, a~) ]ra gli elementi dei due anelli che soddis]a alle due propriet& biunivoca senza eccezioni; si conserva nei risultati delle operazioni Ira elementi corrispondenti; vale a dire da: a~-,al; b * - * b 1, segue sempre: a + b ~ - * a l + b l ; a " b ~ - - , a 1. b I. I D E A L E (O sottoanello invariante). - - Un ideale I di un anello R un sottoanello di R, tale che dalle relazioni:
a E I,
x ~ R
si deduce sem~re
a 9 x E I.
Ogni anello R con elemento i contiene sempre almeno due ideali. L'ideale hullo, che rappresenteremo col simbolo (0), ed ~ costituito dal solo elemento zero.
1 DOM'~N'I P - A D I C I
E
LE
FORME
BII~ARIE
201
L'ideale units che indicheremo con (1), caratterizzato dal fatto di contenere l'elemento 1, e che quindi si identifica con l'anello R. Se l'anel]o R ~ un campo esso contiene solo questi due ideali. Se l'anello R non b u n campo esso contiene qualche ideale diverso da (0) e da (1). I n particolare ad ogni elemento a di R, si pub associare un ideale che ~ il minimo ~deale contenuto in R e che contiene l' eIemento a, esso si chiamer~ l'ideale" principale generato da a e verrs indicato col simbolo (a). Se R ha elemento 1 l'ideale (a) coincide coll'insieme dei multipli di a. Se l'elemento a differisce dallo 0 e non ~ una unit~, l'ideale (a) differisce da (0) e da (1). Dato un anello R e un suo ideale I, diremo che due elementi a, b E R, sono congrui mod~do I e scriveremo: a-----b (rood. I), se accade che a - - b ~ I. La relazione di c o n ~ u e n z a gode delle propriets riflessiva, simmetrica e transitiva. Gli elementi di R possono essere distribuiti in classi rood I, assegnando ad una medesima classe tutti e soli gli elementi di R che sono congrui ad uno stesso elemento (rood I). La classe degli elementi congrui ad un certo elemento a si indichers col simbolo [a], dove naturalmente all'elemento a si pub indifferentemente sostituire uno quahmque degli elementi che gli sono c o n s u l . Vale Ia propriets da a ------ b , c -- d (rood I) segue a + c-- b + d , a . c - ~ b . d (rood I). Si pub quindi definire la somma di due classi come la classe che contiene l'elemento somma di clue elementi qualsiasi presi rispettivamente dalle due classi date, e analoga definizione si pub dare per il prodotto. Si verifica facihnente che sotto queste definizioni di somma e di prodotto l'insieme delle classi viene a costituire un anello, che si dirs ]'anel]o delle classi di residui (rood I), o anche l'anello quoziente
R/I. Evidentemente si avr~ che: se I coincide con(0), R / I ~ isomorfo ad R secondo la corrispondenza, [a] ~-, a; se I coincide con (1), R / I si riduce al solo elemento [0]. Tra gIi elementi di R / I e quel]i di R intercorre una corrispon-
202
M. c u o l A ~
denza, che chiameremo omomorfismo, e che b caratterizzata dalie seguenti propriets ad ogni elemento [a] di R / I corrispondono uno o pid elementi di R e precisamente tutti quelli che sono -----a (rood I), mentre ad ogai elemento a di R corrisponde un unico elemento [a] di R/I; somme e prodotti di elementi corrispondenti sono corrispondenti. I1 concetto di omomarfismo generalizza quello di isomorfismo; come abbiamo gis osservato la corrispondenza si riduce ad un isomorfismo nel caso che sia I = (0). Un ideale I, di un anello R, si dice massimo in R se ~ distinto da R e se non ammette alcun ideale intermedio, se non esiste c[o~ alcun ideale 11 di R, distinto da I e da R, il quale contenga I come sottoanello. Vale il seguente teorema che sarh di fondamentale importanza per i l seguito della nostra esposizione. Se R d u n anello (con elemento 1) e I un suo ideale, allora condizione necessaria e su~ciente perchd R/I sia un campo d che I sia un ideale massimo i n R (~). I LE
VALUTAZIONI. - -
REALI
SECONDO
LA
CANTOR.
VALUTAZIONE VALORE ASSOLUTO E I N U M E R I --
ESTENSIONI
COMPLETE
DEL
CAMPO RA-
ZIONALE.
Una funzione ~, i cui valori appartengano al campo reale (3), definita su un campo K, si dir~ una valutazione di K se soddisfa ai seguenti postulati (per ogni a, b ~ K): ~) ~ ( 0 ) = 0 ; o(a) > 0 per a=/=0 ~) o ( a b ) = o(a) - o(b) y) o(a + b) < v(a) + 0(b). Si vede subito che a tall postulati soddisfa per esempio la fun(2i Le notizie qui brevemente accennate si trovano generalmente esposte, in forma completa nei t r a t t a t i di algebra moderna. Citiamo fra t u t t i le due classiche opere: A. A. ALBERT, Modern higher Algebra, Univ. of Chicago Press (1937), e: B . L . VAN DER WAERD~N, J)Ioderne Algebra, B. 1, 3 a ed., Springer, Berlin (1950). A queste opere rinviamo anche per una esposizione sistematica di tipo elementare delle nozioni sui campi P-adici da noi succintamente esposte nel seguito. (8) I n modo pih generale si possono considerare valutazioni definite su un anello-divisione, le quali assumano valori tratti da un gruppo semplicemente ordinato. A questo proposito si veda la elassica opera, alla quale rinviamo per una ampia trattazione di t u t t a la teoria: O. F. G. SCn~LLr~rG, The Theory of Valuations. Math. Surveys n. 4, Amer. Math. Soe., New-York (1950). Qui per i modesti seopi della presente esposizione converr~ limitarsi al caso aeeennato.
I DOMINI P-ADICI
E LE F O R M E
BINARIE
203
zione valore assoluto, definita sul campo razionale, o sul campo reale o sul campo complesso. Pifi in generale vi soddisfa la funzione ~(a) = [a[~
con
0 < p < 1
che coincide col valore assoluto per p = 1. Quando poi si ponga p = 0 si ottiene la cosidetta (( valutazione banale ,: ~(0) = O; ~(a) = 1, per a :/: O. P a r t e n d o dalla valutazione valore assoluto si pub giungere ad una elegante costruzione del campo reald che pub essere, nelle sue grandi hnee, attribuita a G. CANTOR. Sia K il campo razionale e si considerino quelle successioni in K che convergono verso un elemento di K, cio~ quelle successioni di numeri razionali. {a}
ao,
aL,
a.,,...,a,,,...
tall che esista un ben determinato n u m e r o razionale l per cui risulti lan--ll<
per ogni z > 0 e per ogni n maggiore di un conveniente n 0, d i p e n d e n t e in generale da z. I n particolare chiameremo zero-successione, ogni successione in K convergente verso 1o zero. Per ogni successione convergente vale evidentemente la relazione
[ a,--a
(1)
m [<
per ogni ~ > 0, e per ogni coppia di indici n, m maggiori di un conveniente n o = n0(~). Viceversa potrs accadere che una successione in K, soddisfacente alla (1), non a m m e t t a per6 limite in K. I n ogni caso, esista o no il limite in K, noi chiameremo successioni novmali quelle che soddisfano alla condizione (1). L'idea centrale nel procedimento di CANTOR ~ quella di costruire un campo i cui elementi siano in sostanza le successioni normali, da considerare come nuovi enti numerici. naturale infatti definire come somma {a) § {b} delle due successioni normali {a}
a0,
{b}
bo,
a,,
a,,
..,.
a ......
...,
bn,
...
204
M. CUGIA]~I
la successione a 0 + bo,
a 1 + bv
a.~ + b.,
...,
a M+ b~,
...
che risulta a sua volta normale, e come p r o d o t t o { a } . {b } la succes-
sione a,, " b o ,
a 1.
b I,
a~ . b., ,
...,
a,, . b , , ,
....
anch'essa normale, come si verifica i m m e d i a m e n t e . Si vede poi subito che ]e operazioni cosi definite soddisfano ai postulati 1o, 2 o, 3 ~ onde ]e successioni normali, con queste leggi operative, costituiscono i n t a n t o un anello che chiameremo R'. Tale anello contiene u n sottoanello K, r formato dalle successioni che convergono verso elementi di K, e si vede subito che tra K ' e K intercede un omomorfismo in cui ad u n elemento a di K corrispondono gii elementi di K ' costituiti da successioni convergenti verso a. Qai non si pub parlare di isomorfismo perch~ ad ogni elemento di K corrispondono infinite successioni che lo a m m e t t o n o come limite, cio6 infiniti elementi di K ' , in altre parole la rappresentazione di u n n u m e r o razionale mediante una successione convergente di n u m e r i razionali non ~ unica, come 6 ovvio. Osserviamo adesso che l'insieme delle zero-successioni costituisce un ideale in R' (la s o m m a di due zero-successioni ~ u n a zero successione, e i l prodotto di una successione normale per una zero-successione 6 una zero-successione) che chiameremo ~2, il quale, come si vede facilmente, ~ massimo in R'. Poich6 R' possiede elemento 1 (costituito dalla successione 1, 1, ..., 1, ...) se ne deduce che I'anello quoziente R ' / ~ 2 ~ un campo di razionalith. Tale campo ~ per l ' a p p u n t o il campo reale, e i suoi elementi sono i humeri reali. In questo ordine d i idee i n u m e r i reali si presentano a noi come (c le classi di residui dell'anel]o delle successioni normali m o d u l o l'ideale delle zero-successioni ~. Ognuna di tali classi ~ f o r m a t a da successioni normali che differiscono fra loro a due a due per una zerosuccessione. Le classi formate da successioni convergenti in K costituiscono u n s o t t o c a m p o di R che questa volta ~ isomorfo a K . E chiaro come in questa costruzione svolga un ruolo essemziale la funzione valore assoluto che fissa la legge secondo cui va intesa la convergenza delle successioni e la propriets di a v v i c i n a m e n t o caratteristica de! teorema di CAUCHu espressa dalla (1). U s a n d o un linguaggio topo!ogico si potrebbe d~e c h e l a funzione valore asso!uto introdu.~e una metrica nello spazio dei n u m e r i razionali. e definisce quindi la legge dJ convergenza in tale spazio; secondo
I DOM~II~I'I P - A D I C I
E
LE
FORME
BII~A~RLE
205
questa metrica lo spazio non risulta completo poich~ esistono in esso successioni normali non convergenti. Se adesso noi passiamo a valutare il campo R, ancora colla funzione valore assoluto, possiamo osservare che la valutazione cosl introdotta in R si presenta come la naturale estensione di quella applicata a K, nel senso che fornisce gli stessi valori quando applicata ad elementi corrispondenti di K e del sottocampo K ' di R che ~ isomorfo a K, e c h e l a valutazione degli elementi di R che non appartengono a K ' si pub ottenere da quella definita su K mediante passaggio al limite. Abbiamo poi che, secondo la metrica che viene cosi introdotta in R, lo spazio R risulta completo, vale cio~ in esso il teorema di C_~uCHY, secondo cui la (1) ~ necessaria e sufliciente alla convergenza. Se noi definiamo una nuova valutazione ~ del campo razionale, diversa dal valore assoluto, ne risulters stabilita in conseguenza una nuova metrica colla relativa legge di convergenza. Diremo adesso che la successione (a} tende ad l, se, fissato comunque ~ > 0 risulterh sempre ~ ( a , - - l ) <-per n > n o(~); potremo poi considerare le successioni normali secondo tale metrica, che saranno caratterizzate dalla condizione (in luogo della (1)). o(a n - a ~ )
< ~,
per ogni
~ > O; n, m >n0(~).
Qualunque sia la ~, purch@ soddisfacente ai postulati ~), ~) e ~,), si pus facilmente dimostrare che le successioni normali secondo ~, colle solite definizioni di somma e di prodotto, costituiscono un anello R~. I n tale anello le zero-successioni (cio~ quelle convergenti a zero secondo la ~) /ormano sempre un ideale massimo D. e quindi l'anello quoz~ente R' /~ ~ in ogni caso un campo di razwnalitlt, che indicheremo con R . Ii~campo R contiene un sottocampo isomor]o al campo razionale, e viene pertanto a costituire una estensione del campo razionale; al campo R si potr5 poi estendere la valutazione ~, per passaggio al limite dai valori chela ~ assume sui numeri razionali,e, rispetto alla valutazione estesa, R risulterh completo. I1 campo R si dir~ la estensione completa del campo razionale secondo la valutazione ~. I n queste considerazioni prescindiamo naturalmente dalla valutazione banale, secondo la quale le sole successioni normali sono quelle a termini uguali (almeno da un certo posto in poi) onde il campo razionale risulta gi~ completo. Ci possiamo adesso chiedere quali valutazioni del campo razio-
206
M. CUGL~I~
nale si possano dare oltre la valutazione valore assoluto e a quali tipi di estensioni complete esse diano luogo. Osserviamo subito che le valutazioni del tipo: ~(a) = [a IQ (con 0 < p _< 1), sono equivalenti alla valutazione valore assoluto nel senso che conservano le disuguaglianze (da ]a I > I b] segue l a Iq> I b Iq e viceversa), e, come si potrelJbe facilmente dimostrare, due funzioni e ~ fra loro equivalenti danno luogo a due estensioni complete R ed R~ fra loro isomorfe. L'isomorfismo risulta inoltre continuo nel senso c h e ] a corrispondenza si conserva anche per passaggio al limite, .i due spazi risultano cio~ omeomorfi, in senso topologico. Perci5 tutte le valutazioni del tipo anzidetto ci portano sostanzialmente a ritrovare il campo reale. Ci possiamo chiedere adesso se esistano valutazioni non equivalenti al valore assoluto, e quali esse possano essere. II VALUTAZlONI NON ARCHIMEDEE. VALUTAZIONI P - A D I C H E . P-ADICI DI H E N S E L .
Prima di procedere alla campo razionale ci converr~ Pub darsi che, per una oltre la condizione ~) pura y')
I NUMERI
ricerca delle valutazioni possibili per il introdurre una distinzione essenziale. certa valutazione ~, risulti soddisfatta, e semplice, la pifl forte condizione
o(a + b)<: max (~(a), ~(b))
qualunque sia la coppia a, b. Diremo allora che la valutazione ~ ~ non archimedea, mentre diremo archimedea ogni valutazione per cui risulti soddisfatta sempre la ~,), ma non sempre la ~/). Tale denominazione deriva dal fatto che, come si potrebbe facilmente dimostrare, nei casi in cui si consideri una valutazione archimedea risulta verificata la seguente proposizione, che va comunemente sotto il home di: POSTULATO DI ARCHIMEDE. Dati due elementi qualsiasi a, b di un campo K, valutato mediante la 9, e sempre possibile trovare un numero naturale n, tale che posto: n a = a § a ... -~ a (n volte) si abbia: -
-
~ ( n a ) > ~(b).
Questo postulato non vale invece quando si tratti di una valutazione non archimedea. Si vede subito che fl valore assoluto ~ una
I" D O M I N I P - A D I C I
E L E FO RM E B I N A R I E
207
valutazione archimedea, e che tall sono anche tutte le valutazioni del tipo: ~(a) = l a ]Q (0 < p _< 1), ad essa equivalenti. Ora si pub facilmente dimostrare che tutte le valutazioni archimedee del campo raziona]e si riducono appunto al tipo anzidetto, e sono quindi equivalenti al valore assoluto (~). Possiamo perci5 affermare che l'unica estensione completa archimedea del campo razionale ~ il cam2~o reale, e questo esaurisce il nostro problema per quanto si riferisce alle valutazioni archimedee. Ci rimane adesso da considerare solo la questione della esistenza di valutazioni non archimedee. Qui dovremo in primo luogo dichiarare che cosa si intenda per valutazione P-adica del campo razlonale. Fissiamo un numero primo P ed osserviamo che ogni numero razionale a ~ 0 pub esser scritto, in modo unico, nella forma: a = _m_ p h n
dove m, n, h sono interi, n > 0, e si ha (m, n) = (m, P) = (n, P) --- 1. Ponendo: ~(a) ---- p _ h ,
9(0) = 0
o, come scriveremo pifi spesso in seguito [ a l p - - P -h
]0Iv---0,
avremo definito una funzione, che diremo valore P-adico di a, la quale soddisfa ai postulati ~), ~), e v) e pub pertanto essere assunta come una valutazione de] campo razionale; essi si dirs appunto la valutazione P-adica del campo razionale. ' Si vede poi facilmente che essa soddisfa non solo al postulato ~,), ma anzi al postulato ~/) e costituisce pertanto una valutazione non archimedea. L'estensione completa del campo razionale secondo la valutazione P-adica verrs da noi indicata con Kp. Le valutazioni P-adiche relative a diversi numeri primi P non sono fra loro equivalenti, n~ ovviamente sono equiva]enti alla valutazione valore assoluto. (4) Bench~ questo ci p o r t i a toccare la questione delle valutazioni delle estensioni algebriche di corpi va]utati, che esce dag|i scopi di questo scritto, riteniarno opportuno ricordare a questo proposito il notevolissimo teorema di O S T R O W S K I : Og~ cam~o chs a m ~ s u n a valutazione archimedea ~u6 essere posto in isomorfismo continuo con u n sottocampo del campo complesso. Si veda: A. OSTROWSKI, Ueber einige L6sungen der Funtionalgleichung ~(x) 9 q~(y) = q~(xy). Acta Mathem. 41 (1918), 271-284.
208
~t. cgoi~-r
Sono invece equivalenti fra loro tutte le valutazioni del tipo: ~(a) = l a i~p
per un fisso P, quando per ~ si scelga una costante reale positiva (anche maggiore di 1); fra queste naturalmente, per ~ = 1, si ritrova la ordinaria valutazione P-adica. ]~ facile dimostrare che le valutazioni P-adiche e le valutazioni del tipo anzidetto, ad esse equivalenti, sono le sole valutazioni non archimedee del campo razionale, e questa affermazione fornisce una completa soluzione del problema che ci eravamo proposto. Gii elementi di un corpo P-adico Kp sono allora quegli enti conosciuti col nome di numeri P-adici di Hensel; la teoria di tall numeri fu infatti sviluppata per la prima volta da questo Autore, e si trova consacrata soprattutto nella sua celebre Zahlentheorie (5). Come abbiamo prima accennato, sul campo Kp pub essere deftnita una valutazione P-adica estesa, mediante passaggio al limite dai valori P-adici dei humeri razionali. Risulta, per ogaai m E K~, il valore P-adico di m espresso da una potenza di P a esponente intero: I m l e = p_h; 10 ]p = O; h si dirh l'ordine di m, onde avremo: h=
ord m = - - l o g p
[m[p;
ordO=
+ c~.
Si pus dimostrare ehe l'elemento m ammette una ed una sola rappresentazione del tipo: (2)
m = ~
mh+ ~ ph+~
i~0
(con 0 < m r < P, per ogni r > h; m h :f= 0), nel senso che sono univocamente determinati i coefficienti m~ della serie nelle potenze ascendenti di P, che converge verso m in Ke mentre h 6 precisamente l'ordine d i m . L'insieme dei termini per cui i < - - h costituisce la parte singolare dello sviluppo di m, essa manca naturalmente tutte le volte che ord m > 0 . Viceversa una serie del tipo (2) con coefficienti m r arbitrari (0 _< < m~ < P) converge sempre verso un elemento di Kp, onde si pu6 identificare il campo Ke coH'insieme di tall serie, qualora le operazioni sulle due serie:
a=
~ arP" r > rg
b = ~ b,P" r >_ rL
(s) Si t r a t t a dell'opera: K. HENSEL, Zahlentheorie, GSschen, Berlin u. Leipzig (1913).
I DOMLN'I P-ADICI E LE FORME BI~ARIE
(r o = ord a, r~ - - o r d b) a+b=
~
209
si definiscano ponendo:
c P:
a.
t'>r t
b=
~dP
~
r :> r~
r.,=min
(r 0, r l)
r3=r o +r I
dove i coefficienti c~ e d r sono costituiti come segue (qui il simbolo [u] indica la parte intera del-numero razionale u e si assumono uguali a zero # i a~ per r < r 0 , e i b~ per r < r l ) : c~C,
0_
(mod P ) ;
C =a
+b,+'r~_~
essendo per i >__r., ;
"~ = [CJP], 0 ~ dr < P ;
(mod P) ;
dT - - D
YT,-1 = 0 ;
D = X a~ b+ + ~,_~ i+j=r
essendo 8i=
per i_>r~;
[DJP],
8 _~ - - 0 .
La considerazione di serie del tipo (2) fornisee una comoda rappresentazione canonica per g]i el.ementi di Kp, che risulta, per mo]ti aspetti, la pifi conveniente. 0sserviamo fra l'altro che queue serie (2) che risultano convergenti anche nel campo razionale (secondo la valutazione P-adica), sono caratterizzate dal fatto di essere periodiche (si ha ciob m,+., = m r, per un fisso s ed ogzli r abbastanza grande); l'insieme delle serie periodiche costituisce dunque un campo e preeisamente quel sottocampo di Kp che 6 isomorfo al campo razionale. IIr IL
DOMINIO
D'LN'TEGRIT~k
L~ARITMETICA DEGLI
Dp
INTERI
E GLI I N T E R I P - A D I C I .
P-ADICI.
ELEMENTI
CONSIDERAZIONI
DEL-
TOPOLOGICHE.
Fissiamo ora l'attenzione su quegli elementi di Ke il cui ordine positivo o nullo. Essi costituiscono un dominio di integrit~ (sottodominio di Kp) che indicheremo con Dp e i cui elementi si chiameranno i numeri interi P-adici e saranno caratterizzati dal fatto di avere uno sviluppo, privo di parte singolare, del tipo m :
~
m i pi.
i=O
Gli elementi di De che ammettono uno sviluppo periodico costituiscono un sottodominio di Dp. Esso ~ isomorfo al dominio formato S e m l a a r i o M a t , e Fi*. di M i l a n o .
vol. XXIX
1,5
210
M. c n o x A ~
da quei n u m e r i razionali che, q u a n d o scritti nella forma di frazioni ridotte, presentano un denominatore che non ~ divisibile per P. Gli elementi di Dp a sviluppo periodico saranno d u n q u e gli interi P-adici razionali, m e n t r e gli altri elementi si diranno interi irrazionali. Gli i n t e r i m per cui risulta ord m = 0 (cio~ m o r 0) sono le unith di De; l'annullarsi dell'ordine ~ evidentemente necessario e sufficiente perch~ il reciproco d i m appartenga ancora a Dp" Gli altri elementi di De, per i quali d u n q u e si avrs ord m > 1, formano un ideale in Dp che indicheremo col simbolo Ip; esso ~ l'ideale principa.le generato da P ed ~ l'unico ideale massimo di De. Ogni altro ideale esistente in Dp ~ costituito da quegli elementi m per cui risulti ord m > k, per un fisso k, intero > 1. U n ideale cosiffatto sempre c o n t e n u t o in Ie, anzi si p u s pensare come la potenza k-esima di Ie, ore, come di consueto, si defmisca, come p r o d o t t o di due ideali A, B, quell'ideale C che contiene ogni elemento esprimibile come prodotto di u n elemento di A per un elemento di B. A v r e m o d u n q u e U = (P),
U~ = (pk).
Nel seguito designeremo con u una generica unit~ di De, e ci serviremo del simbolo P~ I]m per indicare che ord m = k, ossia che m = P~ u e ci serviremo indifferentemente dei simboli m-------0 (mod P~),
mE/p~,
P~[m
i quali t u t t i significano che ord m > k. Per maggior chiarezza di q u a n t o verr~ esposto nel seguito ci converrs qui ricordare anche come si caratterizzano in un dominio Padico i quadrati e i cubi, cio~ quei n u m e r i m per cui ~ solubile in De ]'equazione: x 2 -- m, o rispettivamente: x a = m, e che noi chiameremo
i D~,-quadrati e i De-cubi. Essi sono, oltre lo zero, quelli precisati dalle seguenti proposizioni.
Condizione necessaria e su~ciente perch~ m V: 0 sia un De-quadrato ~ che risulti in ogni caso: ordm=s~O
(mod 2)
ed inoltre: s i m b o .l o d i.L E G E N D R E ; . per P dispari, sia ( ~ - ) - -(-~- 1- ), ~ i ldove
I~er P -= 2, sia m.,+l ---- me+ 2 = 0, vale a dire che lo sviluppo d i m deve essere del tipo: m - - 2 ~ r + 2~r+3"n con n intero 2-adico. A n a l o g a m e n t e abbiamo per i D r c u b i :
I DOMINI P-ADICI E LE FORME BINARIE
condizione ner risulti in og~'J caso:
e su~ciente perch~ m r
ord m = s ~ - - 0
211
sia u n De-cubo ~ che
(mod 3)
ed inoltre: per P - ~ 3. sia m s un residuo cubico (mod P) per P 3. sia m~ ---- 1, ms. 1 = 0, oppure m s --~ ms+ L = 2. ----
Vogliamo infine concludere questi rapidi cenni sulla teoria dei numeri P-adici con alcune considerazioni di carattere topologico. I1 corpo Kp per effetto della valutazione P-adica pub essere considerato come uno spazio metrico, il qualc, come abbiamo detto, risulta complew rispetto alla valutazione P-adica, come il campo reale rispetto alia valutazione vaIore assoluto. A differenza per5 del c a m p o reale fl campo P-adico non ~ connesso; esso pub infatti, e in infmiti modi, esser considerato come la riunione di due insiemi chiusi e n o n vuoti (per esempio l'insieme De degli interi, e quello degli elementi di Ke non appartenenti a De) fra loro disgiunti, f l c h e evidentemente non ~ possibile per il campo reale, e questa differenza di comportamento ~ naturalmente legata al fatto che la valutazione P-adica non archimedea, a differenza del valore assoluto. I1 corpo K~ gode invece, in perfetta analogia col campo reale, della propriet'~ di essere localmente compatto, vale a dire che da ogni insieme di infiniti elementi, i cui valori P-adici costituiscano un insieme limitato, si pub sempre estrarre una successione convergente (a qu~sto proposito non sars forse inutile far rilevare che in Kp, perch~ una successione sia convergente ~ sufilciente che tenda a zero la differenza fra due elementi consecutivi). Per un noto teorema di HA:~R (~) ~ allora possibile definire su Ke, pensato come gruppo additivo topologico, una misura regolare (7), e invariante per traslazione, univocamente determinata, a meno di u n a costante moltiplicativa; tale costante pub essere implicitamente fissara col .porre uguale ad uno la misura dell'insieme De degli interi, i] che indicheremo scrivendo: mes DR = 1. Indicando per fissi a e z (a E Kp e z numero naturale), con E(a, ~) (e) Si veda: A. H i i R , Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen. Ann. of Math. (2) 34, 147-169 (1933), oppure ad es.: P. R. H•LMOS, Measure Theory, Van Nostrand, New-York (1950), pagg. 254 e 263. Si osservi che Kp, oltre ehe localmente compatto a~che metrico {e quindi uno spazio di Hausdodt) ed inoltre separabile (l'insieme dei humeri razionali ~ denso su Kp). (~) Sul concetto di misura rego]are si veda: P. R. H.~L)IOS, op. cit. in (7), pag. 224.
212
~.
CUGIANI
l'insieme dei humeri P-adici x per cui si ha:
rx--a risulter~ allora, per la misura dell'insieme E ( a , x): rues E ( a , ~.) = P-~. Si vede allora facilmente che valgono, ad esempio i seguenti risultati. Se indichiamo con I~ l'insieme dei De-quadrati e con Ic l'insieme dei Dp-cubi, risulter'~ per le rispettive misure: P mes I~ -- 2 (P + 1) '
rues I~ --
1 6
per P dispari;
,
per P = 2; p2
mes I c =
mes I c -=
3 (pc + p + 1)
P~+P+I
,
per P = 3 ,
e
perP=
1 (mod3);
per P ~ 2 (rood 3).
' IV
LE
FORME QUADRATICHE E CUBICHE BINARIE R'EI DOMINI P - A D I C I .
U n o dei problemi che si presentano a chi si proponga di studiare l'aritmetica degli interi P-adici ~ quello della rappresentabilit'~ di u n intero mediante una forma onlogenea, in particolare noi ci siamo occupati della questione nel caso di forme bhlarie quadratiche e cubiche. Si t r a t t a di stabilire se un assegnato m E Dp sia rappreseiltabile con u n a forma del tipo: (3)
].,(x y) = a x" + b x y + c y" ,
oppure del tipo: (4)
/3(x y) = a x 3 + b x: y + c x y~ + dy 3
i cui coefficienti siano a loro volta interi P-adici. cosl come i valori di cui sono suscettibili le variabili x, y; o fil altre parole dl cercare sotto quali eondizioni, da imporsi su m e sui coefficienti della forma sia solubile in De l'equazione ].,(x y ) = m o rispettivamente ]:,(x y ) = m.
I DOMINI
P-ADICI
E
LE
FOR~IE
BII~ARIE
213
Vogliamo qui brevemente ricordare come abbia avuto ampia trattazione l'analogo problema della rappresentabilits di un numero mediante forme omogenee nei corpi K~ (ne] caso cio~ che si supponga che m e i coefficienti della forma appartengano pid in generale a Ke, cosi come i valori di cui si pensano suscettibfli le variabili); ad esempio ricorderemo che questo problema si trova gi~ completamente trattato, nel caso della forma (3), nel citato libro dello I-IE~SEL (s), e, nel caso di una forma quadratica in un numero q u a h n q u e di variabill, nel libro del JON~S sulle forme quadratiche (9). Meno noto si presenta il nostro prob]ema, cio~ quello della rappresentabflith nel dominio De; per quanto ci risulta, le notizie a questo riguardo si riducono sostanzialmente a quelle esposte nel ricordato libro del JoNEs (lO). Noi abbiamo trattato questo problema fornendone una soluzione completa nel caso delle forme quadratiche, e una soluzione relativa a tipi assai estesi di forme cubiche (per esempio tutte quelle il cui discriminante ~ tm De-quadrato). Prima di passare ad esporre i risultati annunziati desideriamo fare due osservazioni. Osservazione l a . - - I I problema di risolvere l'equazione a x 2 + + b x y + c y 2 = m in De, equivale al problema di risolvere la ca. tena di disequazioni:
]ax"-4-bxy+cyO---m[e
< P -~
(~----1,2,)..-
in inter/ordinari x, y e pertanto il nostro problema si pub riguardare anehe come un problema di approssimazione diofantea quadratica in De. Analoga osservazione vale per ]e forme cubiche.
Osservazione 2a. - - N e l l a nostra esposizione potremo ridurci senz'altro a considerate ]orme primitive cio~ forme in cui almeno uno dei coefficienti sia un'unith. Infatti se cosi non fosse, detta P~ la massima potenza di P che divide tutti i coemcienti della forma, questa potr~ rappresentare solo numeri m, divisibili per P~, e soddisfatta questa condizione, dividendo i coefficieuti per P~ ci ridurremo a studiare il problema della rappresentabilith de] numero intero m/P ~ mediante la forma primitiva cosl ottenuta. (8) Si veda: K. HENSEL, op. eit.. in (s), cap. X I I . (*) Si veda: B. W. JoN]~s, The arithmetic theory of quadratic forms. Carus Monograph n. 10, J. Wiley (1950), cap. II. A tale opera rinviamo anche per indicazioni bibliografiche. A numerosissime ricerche, che qui non 6 il luogo di ricordare, ha dato pure spunto il problema esteso che riguarda forme di gTado qualunque, in un numero qualunque di variabili. (10) Si veda: B. W. JONES, op. cit. in (9), s o p r a t t u t t o ai w167 8, 26.
214
M. cuora.~,w
Cib posto passiamo ad esporre gli annunziati risultati. a) FORME QUADRATICHE. Coaverrs prima studiare il comportamento della forma canonica (5)
x ~.__ ~ y2
(~ e De)
e poi chiarire come dalla forma generale /.,.(x y) ci si possa ridurre alla (5). Per la forma canonica r i l e v i a m o in primo luogo che, come ovvio, ]a equazione: (6)
x~-~y2
=~
(~EDp)
sempre solubile se ~ ~ un Dp-quadrato, ore si ponga y = 0 ed x uguale ad una radice quadrata di ~. Tenuto conto di questa osservazione la questione della risolubilits della (6) ~ esaurita dalle proposizioni che seguono (11). Qui e nel seguito assumeremo: :t = ~, a, P '
~ = ~, b, P '
i>__r
i>_s
(r=ord
0~, s = o r d
~)
dopo di che potremo enunciare l'annunciata proposizione nella forma seguente: S i a P dispari e ~ non sia un Dp-quadrato, allora la (6) ~ solubile se e soltanto se ~ soddis/atta una delle seguenti condizioni: 1~ sia :r un Dp-quadrato e sia
2 ~ non sia ~ "un Drquadrato e sia: If3 [e < I s
[e;
r------s (mod 2)
e inoltre nel caso che risulti r -- s ---- 1 (mod 2) si abbia anche: --
a~ b~
p
)---1
Per il caso P = 2 conviene ricorrere a d una rappresentazione tetradica dei humeri 2-adiei e porre quindi:
~ =A o+A~-2'+A~-2
4+...=
2: A i . 2 ~i
~ =B o+B 1-2 2+B.,.2 4+...=
Z B ~ - 2 "~i
(xx) Si veda: M. CuoIA~I, Approssimazioni quadratiche nei domini P.adici. Area. Mat. p u r a ~. a.ppl. (4), 44 {1957), 1-22.
I DOM1NI
P-ADICI
E LE
FORME
215
BINARIE
dove sar'~: 0 _< A~ < 4, 0 < B~ < 4, e s u p p o r r e m o in generale" A~ = 0 , p e r i < p, A Q # 0 ; B ~ = 0 , peri
l'equazione (6) J solubile in D.,_ solo nei casi illustrati dalla seguente tabella dove ogni riga ]ornisce una relazione trap e (~ e un insieme di valori dei coe~cienti A~ e B~ che costituiscono complessivamente una condizione su~ciente per la solubilith (nei casi in cui B, = 1, B,+~ = 0,2 ~ u n D e - q u a d r a t o e la solubilith della (6) risulta ovvia): p, ~
A0
Aq+t
B~
p>a+l 1,3 2 1 2 2 2 3 3
1 1 1,3 I 2 3 1 2
1
2
l~<(T
Ao+ t + B.+t
0,2
1
p=~+l
Bo+~
0,2 0,2 0,3,4 1,3,5 1, 3, 5 0,2
P e r passare adesso alla forma generale/.,(x y) ci converrh indicare con A = b ' - ' - - 4 a c il discriminante della ]., e i n t r o d u r r e u n simbolo particolare
(a c)
assoeiato alla ].. da eonsiderarsi simmetrieo rispetto ad a e c nel quale inoltre penseremo di indieare sempre con u le unit& di De; e h i a m e r e m o poi % il primo degli elementi u ehe si ineontrano nel simbolo stesso proeedendo per righe. A v r e m o allora ('~): 1~ Ogni intero P-adico ~ rappresentabile con la f.,. quando sia: P=2"
(a;)( =
'
a c ,
U
)
oppure =
()
u c U
(ossia ord b = O, 2 l a c); 2 ~ L'intero P-adieo m ~ rappresentabile con la f., s e e soltanto
se ~ solubile in interi l'equazione: (6)
x ~- - -
~ y~
=
(1.-) Si veda: M. CUGIANI, Forme quadratiche e cublche binarie nei domini P-adici. Rend. Ist. Lomb. (Cl. 8c.) A 92, 307-320 (1958).
216
M. cua~x~r~
nella quale si ponga: ~ = A/ul 2 ,
~ = 4 m/ul ,
per
P=2:
( abc ) = ( u u )
-- A/(4 u~2), ~ = m / u 1 , in ogni altro caso, cio~ sempre per P dispari, e per P = 2 quando sia ord b > 0. La trattazione del problema relativo alla forma generale (3) cosl ricondotto a quello della forma canonica e il nostro problema completamente risolto. In partieolare ne risultano individuate tutte le ]orme quadratiche universali, cio~ quelle forme atte a rappresentare t u t t i gli elementi di Dp, nel modo seguente: per P > 2 le sole ]orme quadratiche universali sono quelle il cui discriminante ~ contemporaneamente u n Dp-quadrato e un'unitd di Dp per P = 2 le sole ]orme quadratiche universali sono quelle in cui b ~ un'unith, mentre uno almeno dei coe~cienti estremi ~ divisibile per 2. b) F O R M E C U B I C H E .
Anche qui converrs in primo luogo considerare il comportamento della forma canonica: (7)
x " - - ~ y"
(~. 6 Dp)
e l'equazione associata (8)
x 3_~y3
(~ e Dp)
= ~
ed enunciare intanto le proposizioni (13) che risolvono il problema della solubilits della (8). S i a P ~ 3; condizione necessaria e su~ciente alla solubilit5 della (8) ~ che risulti soddis]atta una delle seguenti circostanze: 1~ sia ~ un Dp-cubo (caso ovvio); 2~ non sia ~ un Dp-cubo e sia invece :r un Dp-cubo; si abbia inoltre: per P ~ 7 per P ---- 7
r _< s; r < s, oppure r = s ma allora
in pile risulti b, = 2,5; 3~ n~ ~ n~ ~ sia un Dp-cubo, ma si abbia r
ed
r~s
(mod 3),
(13) Si veda: M. C u G ~ I , Forme cubiche nei domini P-adici. Riv. Mat. Univ. Parma 8 (1957), 81-92.
I DOMINI P - A D I C I
E LE
FORME
217
BII~IAI~IE
nel caso poi che sia r ~ s ~ 0 (rood 3) risulti inoltre il prodotto un residuo cubico (rood P).
a ~ "1 9
b,
Se P = 3 converrs pensare i numeri ~ e ~ scritti nel]a forma: =
ZA
27"
;
i~o
i=a
( 0 < A ~ < 2 7 , 0 ~ B ~ < 2 7 , A - B o - ~ 0 ) . La proposizione che risolve in questo caso il nostro problema pub essere allora eosl enunciata. Condizione necessaria e su.~cie~te perch~ la (8) sia solubile in D 3 che sia verificata una delle seguenti circostanze:
1~ Sia p > a e ~ un D~-cubo (cio~ B~ ~ 1,8 (rood 9)}; 2 ~ Sia p = ~, ~ un D3-cubo e B~ soddisfi ad una delle relazioni B = 0, 1, 2, 7, 8 (mod 9); 3~) Sia p < ~ ed o~ un D3-cubo; 4 ~ Sia 0 ~ ~ ed inoltre si presenti uno dei seguenti accoppiamenti:
AQ ~ 0 A----2, A - - ~ 4, Ao ~ 3,
B = 0, 1, 8 B = 1, 2, 3, B~ ~ l, 3, 4, B ~ 1 , 2, 4, oppure A - ~
(mod 9) 7 (rood 9) 5 (rood 9) 6 (rood 9)
(mod 6, 7, 5, 6, 5, 7, = B~
9) 8 (mod 9) 8 (rood 9) 8 (mod 9) (mod 27).
Q u i i l passag~o dalla forma canon]ca (7) alla forma generale (4) meno agevole che nel caso delle forme quadratiche; intanto ci limiteremo a trattare il caso P ~ 3 e ci converr~ in primo luogo rivolgere l'attenzione alla espressione A/= (bc--9ad)
~-4(b'-'-3ac)(c
:-3bd)
che viene comunemente designata come il discriminante della ].~(x y) e i l cui valore rimane invariato q u a n d o si passi dalla (4) a una forma del tipo (9)
a~ x, 3 § c~ x~ y2 § d~ ?/3
(ord a~ = 0)
mediante una sostituzione lineare (1.0)
i x = h~ x~ + h~2 y~ t Y = helxl + h22Y2
il cui determinante sia uguale a una radice sesta di 1 (in particolare a •
218
~. c u G ~ i
I risultati relativi alle forme cubiche verranno da noi esposti riferendoci alla equazione: (11)
~(x,y) =x 3 §
§ ~y3 = iz
(dove 7 --- cjal, 3 -- dl/al, ~ = m/at); il cui primo membro si ottiene dalla (9) dividendola per a t. Tutte le volte che si possa passare dalla (4) alla (9) mediante una sostituzione del tipo (10) (si osservi che allora, essendo al un'unit~, la (11) ~ a coefficienti interi) la (11) sarh solubile o insolubile in De contemporaneamente alla equazione /3(x y) = m; si pub facilmente dinmstrare che tale passaggio ~ sempre possibile se A/ ~ un De-quadrato, ed ovvio che in tal caso anche A = A//a~ ~ ~ un De-quadrato ( A = 81 ~ + § 12 ~.3 ~ il discriminante della o(x y)). I risultati (~9) che esporremo qui di seguito risolvono, fra l'altro, completamente il problema della solubilith della (11) nel caso che A sia un De-quadrato, viene cosi anche risolto il problema della rappresentabilits di un intero rn mediante la ]:,(x y), almeno tutte le volte che AI ~ un De-quadrato. Accanto alla .~ ci converr~ considerare la forma quadratica H(x,y)
37
X2
+ 9~xy
--
y~
y~
covariante hessiana della ~, e l'equazione associata in t (12)
37 te + 9 ~ t - - 7 ~ = 0
il eui discriminante ~ A e le eui radici tt e t.., sceglieremo in modo ehe posto: .4 = ~(t~, 1) D = ~ (t,, l) risulti: ord A < o r d D . Potremo allora enunciare i risultati annunziati, nella forma seguente. La solubilith della (11), oltre che nel caso ovvio in cui ~ sia un D~cubo, pud essere riconosciuta in ogni altro caso in base alle seguenti considerazioni: (~4) Questa conclusione ~ d i m o s t r a t a , nel lavoro citato in (~2). s o t t o la t a c i t a ipotesi A~ ~ 0 ~ perb o v v i a m e n t e valida anche nel caso A ~ 0. I n tal caso a b b i a m o infatti t~ = t2; s a r a poi pv [I t~ e p o n i a m o t~ ~ Pp t, allora la sostituzione x ~ x I -~ t I Yl Y ~ Yl t r a s f o r m a la r nella: ~i ~ x~3 + 3 P~ t x~2 Yl e la successiva t r a s f o r m a z i o n e u n i m o d u l a r e :
xl ~ x 2
Yl ~ Y ' J 3 t
ci fa p a s s a r e dalla ~t alia equivalente ~. ~ x~3 + p v x2~ Y2, che e v i d e n t e m e n t e pub r a p p r e s e n t a r e t u t t i e soil gli interi divisibili per p3~ (oltre ai De-cubi ).
219
I DOMI.'~I P - A D I C I E LE FORME BII~ARIE
a) sia ord ~- _< ord ~ e poniamo: ord ~" = o
ord (tl --t._,) = ~;
se p > 2 ~ condizione necessaria per la risolubilith della (11) d ehe risulti P~~ Iv, quando tale condizione d soddislatta, la (11) ~ solubile in Dp s e e soltanto se lo ~ l'equazione: (13)
x3--~Y~=~
A
'
~ =
che risulta a coe~cienti interi; se p < 2 ~ si ha necessariamente p pari = 2 ~ ed allora condizione necessaria e su~ciente (1~) aUa solubilith della (11) d che risulti: p3, [ ~; b) sia o r d v > ord 8, allora la (11) ~ solubile in Dv s e e soltanto se lo ~ Fequazione: (139
x~ + ~ ~ =
e converrfi osservare che il punto b) vale indipendentemente dall'ipotesi che A sia un Dp quadrato. Da questa proposizione si deduce subito u n criterio per identific a r e t u t t e le forme cubiche universali, almeno fi'a quelle il cui discrim i n a n t e ~ un Dp-quadrato. I n t a n t o perch~ una ]arma ~ sia universale ~ necessario che risulti in ogni caso: (14)
rain (ord ~', ord 8 ) = 0
e questa eondizione ~ sujfieiente a garantire ehela ? ~ universale quando sia P ---- 2 (rood 3). U n po' pifl difficile b il caso P 1 (rood 3). Distinguiamo tre sottoeasi. Sia ord v = 0 < ord 8, la ]orma ~ ~ sempre universale se 7 < P ~-- - 1 (mod 3), mentre non si hanno in questo easo ]orme universali per P----7. Sia ord ~ = 0 < ord-~, la ~ ~ universale se e soltanto se ~ ~ un Dp-cubo, quando sia 7 < P--= 1 (mod 3), mentre non esistono neanehe in questo easo/orme universali in D 7 (la conelusione relativa a questo sottocaso b i n d i p e n d e n t e dall'ipotesi che A sia un Dv-quadrato). Sia infine ord y = ord ~ = 0, la ~ d universale s e e soltanto se D / A ~ un Dp-cubo quando sia 7 < P---- 1 (mod 3); t u t t e le forme per cui risulta:
220 (15)
M. cu6~-~i ord -f = o r d 3 = 0
ord (t~ - - t 2) > 0
soddisfano in particolare a q u e s t a condizione.
Le (15) ]orniscono infine la condizione necessaria e su~ciente perch~ una ]orma ~, (ore A sia u n D~ q u a d r a t o ) sia universale in D 7. SU~rARY. - - The principles of P-adie fields and domains theory are exposed. Actually the problem about the solvability, in a P-adic domain of equations of the form f ( x y ) = m is dealt, being f ( x y) a homogeneous binary quadratie or cubic form. The problem is completely solved for quadratic forms, and for cubic forms, whose discriminant is a square in the domain.