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Wahrscheinlichkeitstheorie

Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 41, 1 9 3 - 2 0 4 (1978)

und verwandte Oebiete

9 by Springer-Verlag 1978

Ind6pendance conditionnelle el uniformit6 pour les lois fortes des grands nombres dans les espaccs de Banach E. Menard et J. P, Raoult Laboratoire de Frobabililfi~ el Rtatistique de l'Univer~ile de Rouen B.P, No. 67, F-76130 Mogt gaint Aignan

Summary. A. Beck has given an "uniform" strong law of large numbers for families of mutually symmetric and uniformly essentially bounded sequences of centered random variables, with values in (k, s ) - B-convex spaces. We show that, without any limitation oft the Banach spaces, the technique used by A. Beck allows to replace, in slrong law of large numbers making use ol conditions beating on essential bounds, the hypothesis of independence by an hypothesis called conditional-independence-and-centering, which is weaker than both hypothesis of independence and of mutual symmetry; moreover, in several cases, one gets "uniform" strong laws of large numbers (for families of conditionally-independent-and-centered sequences). The results we get are compared with recent results of G. Pisier, obtained with "type p spaces" ~echniques.

1. Introduction t.1, Nous pr6cisons tout d'abord quelques notions qui figurent en particulier dans l'article (3] de A.Beck et D.P. Giesy, et qui portent sur Its suites de variables al~atoires centr6es/t valeurs duns le~ espaces de Banach. Rappelons que, etant donn6s un espace de probabilit6 (~, sO, P), et un espace de Banach E, on appelle variable al~atoire, ddfinie sur (O, ~4, F) et/t valeurs dans E, toute application mesurable de f2 (mu~i de la tribu ag) dai~s un sous espace s@arable de E (muni de sa tribu bor6tienne). Une variable at~atoire X est dite centrde si et seulement si elle est fortement int6grable (c'est A dire que, X d~signant l'application de f2 dans 1R~ d~finie par IlXll(co)=lrJ((co)l[, on a t/J(it dP < co) et d'int~grafe r~ulAe(IE(X)~ ~ J( dP = ~3). D

f)

Les r6sultats que nous donnerons feront intervenir des <> (R; S), ot~ R est une propri&6 d'espace de Banach, et S une propri6t6 de suite de variables al6atoires.

0044-3719/78/0041/0193/$02.40

194

E. M e n a r d

et J . P . R a o u l t

Les propri6t6s d'espaces de Banach envisag6es seront de l'un des types suivants: - ~tre isom6trique ~ un espace donn~ E (cette propri6t6 sera not6e ici: E); - ~tre de type p, relativement/~ une constante C (off 1 < p < 2 et C > 0) (c'est dire (voir, par exemple, [-11]) que, pour toute suite finie (xl, ..., xn) dans l'espace consid6r~, on a:

2-;

~ (,i,l, ..., -~n) ~ ( - 1, + 1}~

,t~x~ i

__
IIx~[l" i

cette propri6t6 sera not6e ici: type p, C); - 8tre de type p (c'est g dire atre de type p pour un certain C(>0); cette propri6t6 sera not6e ici: type p); - 8tre (k, e)-B-convexe (off k d6signe un entier (> 2) et e un nombre r6el (>0)) (c'est /~ dire (voir par exemple [6]) que, pour tout k-uple (xl, ...,xk) d'616ments de l'espace consid6r6, il existe (21,...,)-k)e { - 1, + 1}k tel que ~=~ Z~xi--< (1 - 8) (i_~11Lx~") ; cette propri6t6 sera not6e ici: (k, e)-conv.); - 8tre B-convexe (c'est fi dire 6tre (k, 8)-B-convexe pour au moins un couple (k, 8); cette propri6t~ sera not6e ici: B-cony.) (rappelons que tout espace de type pest B-convexe); 6tre un espace de Banach, sans autre pr6cision (propri6t6 not6e ici: -

Banach). Les propri6t~s des suites (Xn) de variables al6atoires envisag6es seront toujours la conjonction d'une propri6t6 <
-

-

1.2. D~finition 1. (1) On dit que le corps d'hypotMses (R; S) satisfait ~ la loi forte

Lois fortes des grands nombres dans les espaces de Banach

195

des grands nombres (ce que l'on note L F G N (R; S)) si et seulement si toute suite (X.) de variables al6atoires centrdes, fl valeurs dans un espace de Banach satisfaisant fl la propri6t6 R, et vdrifiant la propri6t6 S, est telle que la suite 1 X i converge presque sfirement vers 0 (autrement dit, ((2, d , P) d6signant ni_ l'espace de d6finition de la suite (X.), on a, pour tout ~ (> 0): lira P sup n~oo

]

X~ _>_~ =0).

Lm>_n

i= l

(2) On dit que le corps d'hypothOses (R; S) satisfait uniform6ment gt la loi forte des grands nombres (ce que l'on note U L F G N ( R ; S)) si et seulement si, pour toute famille ((X.~); t~T) oil, pour tout t(~r), (Xt.) est une suite de variables aldatoires centr4es, d4finies sur un espace de probabilit6 (t2~, s~, P3, et fi valeurs dans un espace de Banach E t satisfaisant fi la propri6t6 R, suite satisfaisant ellem6me fi la propri6t6 S, on a: limsupPt sup n~oo

tET

Lm>_n

X~ >~ =0. i

1.3. La propriOtO U L F G N ( R ; S) s'exprime aisOment fl l'aide de la notion de taux d'uniformitO qui fait l'objet de la dOfinition suivante. D6finition 2. On appelle taux d'uniformit~, pour un corps d'hypothOses (R; S), et on note mux (R; S), l'application de N* x ]0, + oo[ dans [0, 1] qui, fl tout entier n(>0) et tout nombre rod ~ (>0), associe la borne supdrieure de l'ensemble des Oldments du segment [0, 1] qui peuvent s'exprimer sous la forme

off (X.) est une suite de variables al6atoires centr6es, d6finies sur un espace de probabilit6 (f2, s~r P), fl valeurs dans un espace de Banach v6rifiant ta propri6t6 R, et satisfaisant fl la propri6t6 S. I1 est clair que, 6tant donn6 un corps d'hypothdses (R; S), on a, si on note e le taux d'uniformit6 qui lui est associ6, 6quivalence entre les deux propositions suivantes: - U L F G N ( R ; S), - ( V ~ > 0 ) lira c~(n, 4 ) = 0 . tl~c~

2. Ind~pendance-et-centrage-conditionnels 2.1. Rappelons (voir par exemple [9], 25.3) que m variables aldatoires (X1, ..., Xm), d6finies sur un marne espace de probabilit6 (f2, d , P), et fl valeurs dans un marne espace de Banach E, sont dites conditionnellement ind6pendantes, relativement ~ une certaine sous-tribu cgm de ~ si et seulement si les probabilit6s conditionnelles, relatives fl ~,~ (not6es P(./~,~)) sont telles que, pour tout m-uple

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E. M e n a r d et J.P. R a o u l t

(B1, ..., Bin) de parties mesurables dans E, on a

l<_n
lEn
(ceci est une 6galit~ entre 61~ments de L 1(•, qfm, P))" Notons r 1..... Xm) la sous-tribu de sd engendr6e par (X 1.... , Xm). D6finition 3. La suite (X~) est dite conditionnellement-ind@endante-et-centrOe si et seulement si il existe, pour tout entier ( > 0 ) m , une sous-tribu ~ de r ..., X~) telle que les m variables al6atoires (X1, ..., X~) soient conditionnellement ind6pendantes, et que de plus, pour chaque n (1 <=n> intervenant classiquement dans les lois des grands nombres. 2.2. Une suite (X~) de variables al4atoires prenant leurs valeurs dans un espace de Banach E est dite par A. Beck ([2], 2) mutuellement sym~trique si et seulement si, pour tout entier m, la loi Pm de la suite tronqu4e (X1, ..., Xm) est telle que, pour toute suite (B1,...,B,,) de parties bor4liennes de E, et toute suite (21, ..., 2~) d'614ments de { - 1 , + 1}, on ait

P~ (iH=l Bi) = Pm (i;l "t"~Bi)" La sym~trie mutuelle implique l'inddpendance-et-centrage-conditionnels. Dgmonstration. On d6montre en fait que, pour qu'une suite (X,) soit mutuelleLemme 1.

ment sym4trique, il faut et il suffit que, pour tout m, les variables alhatoires conditionnellement ind6pendantes et centr6es relativement ~t la sous-tribu de s~ qui est l'ensemble des images r4ciproques, par l'application (de f2 dans E ~) (X~, ..., Xm), des 616ments de la tribu 5~ , o6 5~ dhsigne la tribu des parties symhtriques de E. (S appartient/~ 5psi et seulement si S = - S . ) La d6monstration (laiss6e en exercice au lecteur) s'effectue en v6rifiant que P,, admet, relativement ~ la sous-tribu ~9~ de N~, la probabilit6 conditionnelle

(X~,..., Xm) soient

r6guli6re (P.(~ ....... ), (x 1, -.., xm) e E~), dhfinie par: pour tout pav6 D

Bi, on

a

i=1

i=

(Xl,...,2~,,)~{- 1, +1} ~ i= 1

(o6, pour tout B, 1B d4signe la fonction indicatrice de B). 2.3. II est clair que l'inddpendance d'une suite de variables al6atoires centr4es implique que cette suite est conditionnellement-ind4pendante-et-centr6e. Remarquons que, inversement, toute suite conditionnellement-ind4pendanteet-centr6e est n6cessairement compos6e de variables al4atoires centr6es (on a, pour tout couple (n, m) tel que n < m, (xn) = ~ ( ~ ( x J % ) )

= o).

Lois fortes des grands nombres dans les espaces de Banach

197

2.4. Plusieurs auteurs ont 6tudi6 les lois fortes des grands nombres pour des suites de variables al6atoires qui sont des differences de martingales, c'est ~t dire qui v6rifient, pour tout n, IE(X=/Y,_ 2)= 0 (off fro = {~, f2} et, pour tout n( > 1), ft, est la tribu engendr6e par la suite tronqu6e (X1,...,X,)); cette propri6t6 convient parfaitement pour les suites de variables aldatoires/t valeurs dans ces espaces B-convexes particuliers que sont les espaces superreflexifs (voir les r6sultats de J. Hoffmann-Jorgensen et G. Pisier en [8]). En [2], Beck introduit une condition plus forte, qu'il intitule ~conditional independence>~ et que, afin d'6viter route confusion avec la notion d'ind6pendance-et-centrage-conditionnels, nous allons appeler ici la propri6t6 de diffdrence de martingale inconditionnelle (mart. incond.), et qui exprime que, pour tout n, IE(X,/~,)=O (off 5P. est la tribu engendr6e par toutes les variables aldatoires de la suite, sauf X, elle-m6me). On v6rifie ais6ment (voir par exemple, [4]) que, pour que (X,) soit une diff6rence de martingale inconditionnelle, il faut et il suffit que, pour tout couple d'entiers (n, m) tel que n < m, on ait IE(X,/5~,~) = 0 (off 5e~' est la tribu engendr6e par les m - 1 variables al6atoires (X1, ... , X=_ 1, Xn§ 1, Xm); remarquons que c'est cette formulation qui justifie la terminologie <~(off le not <> doit etre pris d ans le m~me sens que darts l'expression <>, c'est /t dire <~).

Toute suite eonditionnellement-ind@endante-et-centr~e diffdrence de martingale inconditionnelIe. Lemme 2.

est

une

D~monstration. Soit (X,) une suite conditionnellement-ind6pendante-et-centrde, d6finie sur un espace de probabilit6 (~2, sur P). I1 existe donc, pour tout m, une sous-tribu cg,~ de .~r telle que, pour tout couple d'616ments de sO', (B1, B2) , tels que B 1 appartienne/~ LP2 et B 2 appartienne/t la tribu F, engendr6e par X=, on air P(B 1 ~ B2/Cg,,) = P(B1/c~m) . P(B2/C~m); ceci implique (voir, par exemple, [9], 25.3.) que, pour toute variable alOatoire r6elle ~, ~-~,-mesurable et P-intOgrable, on a ~(~/%

v $2) = ~E(~/%);

X, 6tant fortement int6grable, il vient, pour chaque x*(eE*), 9 (x* o x . / %

v 2'+.=)=~(x* o x./%)=0;

donc (x* o x . / s q ' )

= ~ ( ~ (x* o x ~

v ~ 2 ) / ~ . ~) = o,

et finalement IE(X=/Sf~) -- 0. Donnons l'exemple d'une suite (X=) qui est une diff6rence de martingale inconditionnelle, mais qui n'est pas conditionnellement-ind6pendante-et-centr6e: nous prenons E = IR, et nous choisissons (X,) de sorte que:

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E. Menard et J.P. Raoult

- t o u s l e s couples (Xap_~,X2p) soient ind6pendants et identiquement distribu6s; - la loi de (X~, X2) soit la probabilit6 Pz d6finie sur IR2 par P2({(2, 2)}) = 1/16,

Pz({(- 2, - 2 ) } ) = 3 / 1 6 ,

P2 ({(2, 1)}) = P2 ({(1, 2)}) ---P2 ({( - 2, 1)}) = Pz ({(1, - 2)}) = P2({(-2, 2)})= P2({(2, - 2 ) } ) = 1/8.

3. Uniformit~ 3.1. A. Beck et D.P. Giesy donnent, en [3], des <> des lois des grands nombres; ces r&ultats font intervenir une propri6t6 sur les propri6t6s des espaces de Banach, qui fait l'objet de la d6finition suivante. D~finition 4. Soient R et R' deux propri6t& d'espaces de Banach; R' est dite sommante dans R si et seulement si, pour toute famille (E,; us U) d'espaces de Banach, poss6dant tous la propri6t6 R', il existe un espace de Banach F, poss6dant la propri6t6 R, et, pour tout u (s U) une isom6trie de E, dans F. I1 est clair que, si R' est sommante dans R, et R implique R1, alors R' est sommante dans R 1. Nous allons donner une liste de cas, qui nous seront utiles, de couples (R', R) de propri6t&; dans chacun de ces cas (sauf le cas (i), qui est 6vident), la %rification du fait que R' est sommante dans R se fait en s'assurant qu'il existe q ( l _ < q < ~ ) tel que la somme d'ordre q d'une famille (E,; us U) d'espaces de Banach poss6dant la propri6t6 R' poss~de la propri6t6 R (rappelons que la somme d'ordre q de la famille (E~; u s U) est le sous-espace F de 1-[ E, compos6 u~U

des familles (x,; u s U) telles que la famille de nombres r6els (llx, l)q; u s U) soit sommable; F est muni de la norme d6finie par

II(x.; us u)rl =[ Y~ IIx.llq]l/q); u~U

il est clair que, dans chacun de ces cas, R' implique R. (i) (E) est sommante darts elle-mame (6vident); (ii) (type p, C) est sommante dans elle-mame (%rification imm6diate A l'aide de la somme d'ordre p); (iii) ((k,e)-conv.) est sommante dans (B-cony.) (voir [6], Th6or6meII 17 et exemple 1 3(ii), off il est 6tabli que, pour tout (k,e), il existe r/(>0) tel que la somme d'ordre 2 (c'est /i dire la somme Hilbertienne) d'une famille d'espaces (k, e) - B-convexes est (k, tl) - B-convexe); (iv) (Banach) est sommante darts elle-m~me (voir [5], p 35). Par contre, pour aucune des propri6t6s suivantes, nous ne sommes en mesure d'affirmer qu'elle est sommante dans elle-m~me: (type p), ((k, e)-conv.), (B-cony.). 3.2. Le r6sultat <> dont disposent A. Beck et D.P. Giesy, dans le cas des suites ind6pendantes, s'exprime, avec les notations introduites en 1.1, par la proposition suivante:

Lois fortes des grands nombres dans les espaces de Banach

199

Proposition 1. Soit R' sommante dans R; alors, quels que soient p (1 < p < co) et (an), L F G N (R; indep, Lp/(a,) ) implique U L F G N (R'; indep, Lp/(an) ). D~monstration. Darts le cas ot~ R' est la propriata ((k, a)-conv.) et R la propriata (B-cony.), ce rasultat fait l'objet de la remarque II 8 dans [3]" dans le cas o0 R' et R sont routes deux la propriat6 (E), c'est le thaorame III 5 du meme article. Une simple confrontation de ces deux passages de cet article fournit la proposition prasente. 3.3 Ce resultat s'etend/t l'hypothase d'independance-et-centrage-conditionnels: Th6or6me 1. Soit R' sommante dans R; alors, quels que soient p (1 < p < ~ ) et (a,), L F G N (R; ind. centr, cond., Lp/(a,)) implique U L F G N (R'; ind. centr, cond.,

Lp/(a.)).

D~monstration. (L'architecture de cette demonstration est la m~me que celle de la demonstration de la proposition 1.) a) Soit donne, pour tout element t d'un ensemble T, une suite, conditionnellement-indapendante-et-centrae (Xt,), composae de variables alaatoires definies sur un espace de probabilita (fat, ~r P~), et ~t valeurs darts un espace de Banach E~ possedant la propriata R'; salt donna une suite (a,) de nombres reels positifs, telle que, pour tout n, ess. sup jIxt, ll < a , (ou, si 1 < p < 0%

(~ [[Xt, IpPdp)I/p <=an). Par hypothese, il existe un espace de Banach F, at, pour tout t, une isometrie ~J~ de Et dans F, tels que F possade la propriata R, et donc que l'on air L F G N (F; ind. centr, cond., Le/(a,) ). _ t. Posons X-~,-gj~oX,, il est clair qua, pour tout t, (JT~,) est une famille, conditionnellement-indapendante-et-centrae, de variables alaatoires ~t valeurs darts F et qua, pour tout n, on a ess. sup. ]lJftnl]< an (ou si, l < p < o v ,

(~ IIXtn{IPdP)l/P <=an). Soit alors (fa', ~r P') = I ] 62,, sr P,) et salt, pour tout t, a, la projection de fa' taT

sur fa, (~r,((%; u e r)) = (o,). Dafinissons, pour toute suite _u(=(un) ) d'alaments de T, la suite (Y)') de variables alaatoires & valeurs dans F par

Y~ii - X n o a,n. __

--u n

b) Damontrons que la suite (Y~) est conditionnellement-indapendante-etcentrae. Etant fixe un entier (> 0) m, salt, pour tout t, cg~ ia sous-tribu de dt associee ~t la famille finie (X'i,.., , X~) comma dans la definition 3, et soit cg- = IF[ cgt. t~T

Soit d'autre part U = {t e T; (3 n < m) un = t} et soit, pour tout t appartenant g U, ~v la projection de I3 fat sur fat; salt ~rv la projection de/2' sur 1-[ fat. teU

teU

On a alors, pour toute famille (B~,; 1 <<_n<<_m,t e U) de parties boraliennes de F,

200

E. Menard et J. P. Raoult

P'(~

~

[Y~tn o crt E Btn]/cK')

t~U l ~ n < m

= [( l] e,) ( (3 tEU

tEU

=l-I

-' ~,~ ~ B.]/1-[ ' , o~ [X.o %)]

fi

t ~ U l <-n
t~U

l <-n~m

[ ~ ( [ x-'. ~ B.]/%)] ~, ' '

FI

o

t~U l<-n
= II

II

P'([R'ooo,~B'~]/%).

t~O l
c) La suite (Y~) v&ifie, par construction, la condition LJ(aO. I1 r6sulte alors du fait que LFGN (F; ind. centr, cond., Lp/(an) ) que (~ ~ Y~/ Vt

/

converge presque surement vers 0. d) Pour tout m, soit am(=(a~)) la suite de hombres r6els d6finie par: si nm, a n =0. On v6rifie 616mentairement que, pour tout m, ULFGN (F; quelconque, Lv/(G")) (on peut aussi pour cela se r6f&er aux th6or6mes 1.4 et 1.5 de [3]). Alors, il r6sulte du th~or6me 1.3 de [3] que l'on a, pour tout ~ (> 0), m

lim sup P' ( [sup ] l ~Yc" > ~ ] ) = 0 n~oo ueTN*

\kmgn

i= 1

et donc en particulier lim supP' ([sup 1 ~ X~oo.t > ~ ] ) = 0 , n-~o~ ter \km->_n lira i= t autrement dit lim supP~ ([sup 1 L X~ > ~ ] ) - 0 . \ k m > n lira i= 1

n-~oo t e T

On a ainsi &abli la propri&6 ULFGN (R'; ind. centr, cond., L~/(G)) annonc6e. 3.4. Des propositions analogues peuvent atre 6tablies en rempla~ant, dans l'6nonc6 du th6or6me 1, l'hypoth~se <> par <> ou <>.Seule la partie b de la d6monstration ci-dessus a h atre modifi6e (et est d'ailleurs, dans ces cas, tout ~t fait 616mentaire).

Lois fortes des grands hombres dans les espaces de Banach

201

4. De l'ind~pendance fi rind~pendance-et-centrage-conditionnels Nous donnons ici le r6sultat central de ce travail (qui nous a 6t6 sugg6r6 par la d6monstration de la premiere partie du th6or6me 10 de I-2]). Th6or+me2. (1) taux (R; indep., ess.sup/(a,)) et taux (R;ind. centr, con&, ess. sup/(a,)) sont ~gaux. (2) L F G N (R; indep., ess.sup/(a,)) impIique L F G N (R; ind. cemr. cond., ess. sup./(a,). (3) Si R' est sommante dans R, L F G N (R; indep., ess. sup./(a,)) implique U L F G (R'; ind. centr, cond., ess. sup./(ag). (4) Soit E un espace de Banach; alors L F G N (E; indep., ess. sup./(a,)) implique U L F G N (E; ind. centr, cond., ess. sup./(a,)). D~monstration. (2) est une cons6quence imm6diate de (1), et (3) se d6duit de (2) ~t l'aide du th6or6me 1 ci-dessus; (4) est le cas particulier de (3) obtenu en prenant pour R et pour R' la propri6t6 ((6tre l'espace E)). I1 ne reste donc ~t d6montrer que (1). On sait que l'ind6pendance implique l'ind6pendance-et-centrageconditionnels; donc taux (R; indep., ess. sup./(a,)) est inf6rieur ou 6gal ~t taux (R; ind. cenm cond., ess. sup./(a,)). Pour d6montrer l'in6galit6 oppos6e, posons c~ =taux (R; indep., ess. sup./(a,)), fixons un espace de Banach E (possddant la propri6t6 R) et une suite (X,) (poss6dant la propri6t6 (ind. centr, cond., ess. sup./(a,))), et 6tablissons que, pour tout entier n(>0) et tout ~(>0), on a, ((,Q, sJ, P) d6signant l'espace de d6finition de (X,)),

(be On peut 6videmment supposer, dans le cours de cette d6monstration, que, pour tout n et tout co (~ g2), I[X~(co)ll < % I1 existe alors un sous-espace s6parable de E tel que X, prenne ses valeurs dans la boule ferm6e de rayon a, de ce sousespace (on note cette boule E;). Soit fix6 un entier m, et soit ~r une sous-tribu de o-(X1, ..., Xm) comme dans la d6finition 3. On note E (~) = F[ E',, et ~(~) la tribu bor61ienne de E("); la loi de n=l

la suite tronqu6e (X~ .... , X,,) peut 6tre consid6rde comme une probabilit6 P,, sur l'espace mesurable (E ("), ~(m)). Soit YP") la sous-tribu de ~('~) d6finie comme

notons, pour tout n (l_
202

E. Menard et J. P. Raoult

Pm

n~~f(m) "~\n=l

n (m))

n=l

(off Bn d6signe le cylindre de base B. : t t B-- =E t1...E._aB.E.+ 1...E~);

(ii) pour tout n (1
P~

n~

B, =

1"1=1

P~(B,)).

I1 r0sulte de la condition (i) ci-dessus que (P~, y e E (m)) est une probabilit6 conditionnelle rOguliOre (pour P~), relativement ~ ~("). Alors, pour presque tout y, la suite ( ~ .... , am, 0, 0...) (de variables al6atoires d6finies sur l'espace probabilis6 (E (m),~(~), P~)) est ind6pendante, centr0e (voir la condition (ii) ci-dessus) et telle que, pour tout n, le terme d'ordre n de cette suite a sa borne essentielle major6e par a,; donc, pour tout ~ (> 0), et presque tout y, ~rT' >~]
I1 s'en suit que

Etm) Ln
i

_-< ~ ~(~,OPm(dy)=.(n,O. E(m)

Donc, pour tout n, P[SUPLn
> ~ ] = slim u p , P, ~ oLn<=j [ ~
~ ~ ] ~(X(~, ~),

m>n

ce qui est le r6sultat annonc6.

5. Applications 5.1 Cas des espaces de type p (1
L F G N (type p; indep., ess. sup/(an)).

Lois fortes des grands hombres dans les espace~ de Banach

203

I1 r~sutte alors imm~diatement de notr~ th~or~me2 qae, si ~ a~/nP< oo, n=l

alors L F G N (type p; ind. centr, cond,, ess, sup/(a,)) et, pour tout C(>0), U L F G N (type p, C; ind. centr, cond., ess. sup/(a,)). En fait, G. Pisier nous a indiqu6 ([13]) avoir obtenu que, toujours sous l'hypoth~se ~ a ,,/n p P< o% on a L F G N (type p; mart. incond,, Lp/(a,)), r6sultat n=l

plus puissant que celui qu'a permis d'obtenir la technique d6velopp6e ici; remarquons que, de ce r~sultat de Pisier, on petit dSduire (volt 3.4 ci-dessas) que, pour tout C(>0), si ~, a~/nP
5.2. Cas des espaces B-convexes A. Beck a 6tabli en [1] le r6sultat suivant: si sup a , < m~ alors L F G N (B-cony.; n~N*

indep., Lff(a,)) (et doric, afortiori, L F G N (B-cony.; indep., es~. sup/(a~))). I1 r~sulte alors imm6diatement de notre th6or~me 2 que; si sup a, < oo, alors neN*

L F G N (B-cony.; ind. centr, cond., ess, sup/(a,,)) et, pour tout k (entier > 2) et tout ( > 0), U L F G N ((k, e)-conv.; ind. centr, cond., ess. sup/(a~)), Remarquons que, du fait (volt 2.2) que la sym4trie mutuelle implique l'ind6pendance-et-centrage-conditionnels, le r4sultat que nous venons d'4noncer est plus puissant que le th6or4me 10 donn4 par A. Beck eu [2] (et qui s'6nonce: si sup a, < o% alors L F G N (B-cony.; sym. rout., ess. sup/(a,))); par contre, darts sa n~N*

premi&e partie (sans uniformitY) il est plus faible que la r6ponse positive donn6e par G. Pisier ([-12])/i la conjecture posbe par A. Beck en [2] : la r6ponse de Pisier (d6duite de ses r6sultats sur les espaces de typep, cit6s par nous en 5.1 ci-dessus) exprime que, si sup a , < o% L F G N (B-cony.; mart. incond,, Lff(a,,)); remarquons que, de ce r6sultat, on peut ddduire (h l'aide de 3.4 ci-dessus) que, pour tout k (entier > 2) et z (> 0), si sup a, < 0% alors U L F G N ((k, z)-conv.; mart. incond,, Lp/(a,)). , ~N*

5,3. Cas dex espaces de Banach quelconques A. Beck et D.R Giesy out ~tabli en [3] (III 12) le r6sultat suivant: si lim 1 ~ a/-=0, alors U L F G N (Banach; indep., ess. sup/(a,)). n~co

I~ i = 1

Nous pouvons en d6duire: Th~or~me3. Si

Jim-1 ~ al =0, alors U L F G N (Banach; n~o

ess. sup/(a,)).

tT i = 1

ind. centr. cond.,

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E. Menard et J.P. Raoult

Bibliographie

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Recu le 10 Mars 1977