E. B O T T A ~ I
La matematica vista da un ingegnere.
Su~To. - - L ' A . illustra l~utilith delle ma(ematiche nell~i'ngegneria moderna. Dopo aver sommariamente additati tre problemi tecnici - notevolt per la loro importanza economica e net quail non 0 possibile addentrarsi senza una bttona conoscenza delle matematicl~e - l~A. espone alcune considerazioni generali sui vari modi cot quali le matematiche prestano il loro aiuto all~ingegnere. La conferenza si chiude con alcune considerazioni intorno alla usuale letteratura matematica ed alla utitit& che presenterebbero dei libri di matematica scritti espressamente in vista delle applicazioni.
P r i m a di cominciare questa mia conferenza (che sari~ u n a semplice chiacchierata) desidero precisare il significato del suo titolo. E ' necessario infatti che Voi non crediate ehe io vog'li~ precisare quali capitoli della ~ a t e m a t i e a e quule dose di eiaseun capitolo d e b b a conoseere un ingegnere all'useita dulle Scuole; un t~le compito spett~ infatti esclusivamente alle a utorit~ accademiehe che regolano le scuole stesse. Io mi propongo semplicemente di esporre la mi~ personale opinione intorno all'utilit~ che hanno le mutematiche nell'~,rte dell'ingegnere. Si trutta di un~ questione di cut t u t t i si oeeupuno: poeo male dunque s e a l cumulo delle opinioni altrui si ag~unger~ anehe la miu. Si sente sovente ripetere che per lu vitu pratica di un ingegnere non oceorrono molte nozioni di m~tem~tic~; m~ in base ~11~ mia esperienz~ person~le sono di parere del t u t t o eontr~rio; pertunto mi sono proposto di illustrate it mio p u n t o di vista con qu,~lehe consider~zione generale e s o p r a t u t t o con esempi. Come t~li sceglier6 ~lcuni pro-
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blemi tecnici presi fra quelli che interesssno l'elettrotecnic~, nei quali, senza l'ausilio delle ma.temutiche, non sarebbe nemmeno possibile orientsrsi. 31on si t r s t t ~ di problemi creati a bella post~ per corroborare u n s tesi, dsto ehe sl tecnico r s r a m e n t e viene in m e n t e di studisre un problema per il solo gusto di superarne le diffieolt~; ~1 contrario, si t r a t t a di problemi sorti effettivamente, e dei quah bisogna in ogni modo trovare un~ soluzione~ poich6 essi sono t u t t i di gra.nde importanza pratics, toccsndo notevoli interessi economici. Ricordo infatti come (( problema t e c n i c o , si~ sinonimo di problem s scientiiico dettato, per non dire imposto, da una questione economics, !a qusle pub essere pi~ o meno importante, m s non m a n c a mai, ed assilla il tecnico come un inesorabile pungolo.
E comincio subito con un csempio, tutt'altro che tr~scendentale, in c u i l e difficolt~ sono per g r i n p a r t e di calcolo numerico; cuso molto frequente nella nostra professione~ in cui la soluzione dei problemi va sempre spinta fino ai numeri. I1 direttore dei lavori di u n impianto idroelettrico, parecchi anni fa, mi chiese di imb~stirgli un~ teoria, che gli consentisse di giudicsre le dimensioni previste per due pozzi piezometrici disposti in u n insieme di condotte e gsllerie forzate rispondenti ~llo schema indic~to nella figuru 1. l~icordo come tali pozzi vengano disposti allo sbocco delle g~llerie forzste nell'intento di impedire il propagarsi~ nelle gallerie stesse, dei colpi d'sriete consegq~en~i a brusche variazioni nells p o r t a t ~ delle diverse condotte. Lo scopo viene pr~ticamente raggiunto quando si assegnino si pozzi sezioni sufiicientemente grandi rispetto s quelle delle gsllerie. l~ia se i pozzi h s n n o il benefico effetto di eviture il propagarsi dei colpi d'ariete l~ o r e potrebbero nuocere, danno luogo a lor volta ad un fenomeno, noto sotto il nome di oscillszioni di masss, di eui 6 facile intuire 1~ causu. Si supponga ud esempio di ehiudere r s p i d s m e n t e la condotta forzatu A. Turfs l'energia einetics, possedut~ dslla mass~ fluidu in movimento nelle gsllerie, non pub scomparire; per inerzia, l'acqua continua nella sua corsa riempiendo il pozzo B fino a c h e non si sis annullata l'energi~ einetie~ iniziale, ci6 che svviene soltanto qusndo nel pozzo si sia rsggiunto u n livello superiore ~ quello del bscino a m o n t e C; allora nells galleriu il moto si invertir~. Sempre per inerzia, fl livello nel pozzo scender~ poi ul di sotto di quello del bacino, dopo di che
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l'acqua nella galleria torner~ a correre nel senso primitivo. In definitiva l'acqua si metre ~d oscillare come un pendolo fra bacino e pozzo. NaturMmente, per gli inevitabili attriti delle gallerie, le oscillazioni si smorzano g r a d a t a m e n t e . L'altezza dei pozzi deve oTviamente essere commisurata M livello massimo che P a c q u a pub raggiungere in essi. Tutti intuiscono quMe sia la questione economica legat~ M problema di tall pozzi (questi, nel caso specifico, dovevano essere ricavuti scavando faticosamente il fianco di un monte): pozzi troppo piccoli sono insuffieienti atlo scopo; pozzi troppo grandi risultano inutilmente costosi. Se si pensa che il costo di tali m a n u f a t t i raggiunge sovente cifre dell' ordine di [ ~ quMche milio[ f Jezeo.¢/" ~Idl. v~r/e tonldle, fo,Tze e¢¢. ne di lire, ci si [%-:::~,\ ~ Q fo,/.t, con
ncer
co-
dicare quMehe settimana allo ~_i~ s t u d i o mate~ ~)~ ' " matico del pro(~k'-.'~. d~oqO- xN~ R blema, onde de~5- ~J ¢,~ terminate con Fig'. l suffieiente approssimazione il funzionamento di questi pozzi. Si noti ehe per fl easo di una sola gMleria e di un unico pozzo esiste t u t t a u n ' o t t i m a letteratura; m a quando mi fu proposto fl problema in diseorso credo non fosse aneora stato eonsiderato il easo di 9ifi gallerie e di pitt 9ozzi funzionanti insieme. Pitt tardi dovetti oecuparmi anche di un caso analogo ancora pitt eomplesso, m a sarebbe troppo lungo qui parlarne. Come impostazione, il problema non presentava diffieolt~ partieolari. Si t r a t t a semplieemente di un problema dinamieo a due gradi di libertY, come dieono i meceanici. La sola diffieolt~ risiedeva nell'integrazione del sistema di equazioni che governano il fenomeno transitorio. Senza entrare in troppi particolari, assumendo i simboli e le convenzioni di segno della figura 1 e a d o t t a n d o l'ipotesi generale che l'acqua si m u o v a in bloeco, i vari gruppi di equazioni t h e si devono scrivere sono: I ° ~ Equazioni di contimfith (ossia di conservazione dell'acqua) ai nodi: Sel)~naz'~o Mat. e 2'28. di Milaz~o - ¥ol. IX.
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node 1 ,,
0
,
2
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-
-
{ Oo~== Ot --~-q,, I O~o+O30=Qoi, q~ = O ~
+(2-~0-
I I o ~ Equazioni 4inamiche delle gallerie (equazioni di Bernoulli per moti vari): galleria 0-1 ,
2-0
Yo- - Y i + h, - - h o = Pol + Aot Qoi, Y~, - - Yo + ho - - h:~ = P2o + A2o ~).~o,
,
3-0
~3 - - ~o + ho -- ha = P3o + A3o Q3o ,
ore le P ( = ~zQ"-) rappresentano le altezze corrispondenti alle perdite
(
di carico nelle rispettive gMlerie, e le A -----.)g~ ] sono dei p a r a m e t r i L d'inerzia, funzioni della lunghezza Z e della sezione /~ delle gallerie (g rappresenta", l'accelerazione di gravitY). Equazioni analoghe alle precedenti, m a relative ai pozzi (e in tal caso si possono generalmente trascurare i termini d'inerzia)" III o
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pozzo 1 I Y ~ - - h ~ - - z ~ P ~ , ,
IV o - - E q u a z i o n i
2
t Y2--h2--z~P2.
di continuit£ dei pozzi:
pozzo
,
1
!
2 t "z
=
=Q;F2,
che esprimono la veloeit5 z con la quale si innalza l'acqua nei pozzi. P e r quanto possa riuscire di u n certo interesse discutere nei partieolari il preeedente complesso di equazioni, non ~ questo il compito che mi sono prefisso oggi. Mi baster~ accennare alle complicazioni ch'esso contiene ed alla via scelta per giungere ad un risultato. Se si potessero truscurure le perdite di carico e se i pozzi avessero forme semplici - m a sovente invece essi hunno forme complicate, e n e d~ esempi la fig. 2 - t u t t o si ridurrebbe ad un semplice sistema di equazioni differenzi~li lineuri u coefficienti costanti, che si su Fig. 2 integrate con relativa facilitY. 5Ia truscurare le perdite di carico equivalevu nel caso speciiico scostarsi un po' troppo dalla realt~ del fenomeno. Si sarebbe giunti
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a costruire dei pozzi troppo alti, e quindi pih costosi del necessario. Tenendone conto, le equazioni non solo cessa.no di essere lineari, m~ si complicano singolarmente per il fa.tto che, mentre le perdite cambiano fisicamente segno col eambiure segno delle portute, la. loro espressione ulgebrica (P----~. Q~) ha segno invariabile (fig. 3). Esclusa. la possibflit~ di giungere a formtfle risolutive pratiche, non rest~v~ che r]solvere il sistem~, partendo d~ da.te Fig. 3 condizioni inizia.li, per via gra.fica o per via numerica~ c~lcolundo ]e curve integruli punto per punto. O ccorre tener presente che il mio compito non era quello di procedere alla verific~ materiale dei pozzi, m a soltanto di fornire la regol~ per fare tale verifica. Optai per la via numerica, come pifi sempliee nel caso ~ttuule; e, fra i diversi procedimenti numerici, presce]si quello di l~unge-Kutt~, o della media ponderuta, come pih ad~tto per essere uffidato anche ud un tecnico che non fosse ingegnere. Tale metodo infatti, un~ volta predisposti i culcoli sotto form~ di tabellu, non richiede che un po ' d'attenzione per non sbagliare i c o m p u t i numerici, l~icordo u n c h e che 1~ prep~razione della tabellu non richiede ulcun~ trasform~zione del sistema risolvente: bust~ scrivere in ordine opportuno le sue equazioni su per gift nel modo stesso col qu~le ~ riuscito spont~neo d5 scriverle. Tale procedimento numerico offre il va.ntaggio di determin~re, non soltanto come variano col tempo le ~ltezze z dell'a.cqu~ nei pozzi, ma., contemporanea.mente, anche come variano t u t t e le Q e l e y in gioco nel sistema. Si p o t r e b b e pensare che it procedimento semplice delle differenze finite fosse pih conveniente, m~, a parit~ di approssimazione, a v r e b b e richiesto di calcolure un numero molto maggiore di punti. I1 metodo di P e a n o - P i c a r d a v r e b b e certo conseutito unu rapidit~ di calcoli ma.ggiore che il metodo di l~unge-Kutta., m a solo qualora si fossero volute determinure c o m p l e t a m e n t e le curve r~ppresentunti le oscillazioni deUe z in funzione del tempo, l~eI ca.so attuule, invece, b a s t a v a determinare i primi va.lori massimi (o minimi) delle z ed fl t e m p o occorrente a ra.ggiungerli, dato che, per lo smorzamento dovuto ulle perdite di ca.rico, i successivi massimi e minimi sono sicura.mente compresi entro i precedenti; e col procedimento di R u n g e - K u t t a si giunge rapida-
",,
[
U'
- -
1 8 0
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mente vicino ai massimi che interessa determinare (e con sufficiente approssimazione). Bisogna inoltre notare che il m e t o d o di Peano richiede u n a certa attenzione che non ~ semplicemente quella di non sbagliare i conti.
L~esempio precedente mi offre gi~ lo spunto a quMche considerazione di carattere generMe. I n n a n z i t u t t o esso m o s t r a come la tecnica conduca a problemi per i qtlMi non possono bastare, come taluno ritiene, le q u a t t r o formule di un manuale per quanto b u o n o esso sia. Io non nego l'utilit~ di questi strumenti, in quanto essi raccolgono conclensata Fesperienza dei nostri predecessori; nego ch'essi possano in qualehe modo sostituire u n minimo di educazione e di coltura scientifica generMe. A questo proposito, q u a n t e volte non av~iene di riconoscere che certi errori tecnici sono d o v u t i all'applicazione a w e n t a t a di formule gi~ fatte, che vengono utilizzate senza troppo preoccuparsi delle ipotesi che hanno servito a stabilirle! In seeondo luogo, il detto esempio mostra come l~ tecnica c o n d u c a a problemi che non ~ possibile t r a t t a r e a rondo dM p u n t o di vista algebrico fino a giungere ad u n a formula. (Posso assicurare che il fatto si ripete molto pifi sovente di quello che c o m u n e m e n t e si crede). Per6, quando basti o ci si possa accontentare di giungere a dei numeri, allora non ci sono, per fortuna, limiti alle nostre possibilitb. Infatti, a parte il t e m p o richiesto, e la maggiore o minore approssimazione, M humeri si pub giungere sempre, qualunque sia l'equazione od il gruppo di equazioni Mgebriche o differenziali, che si t r a t t a di risolvere. P u r t r o p p o non sempre ci6 ~ sufficiente. Ci sono dei problemi tecnici molto complicati dal p u n t o di vista matematico, in cui quello che si cerca ~ proprio l'espressione analitica di una funzione, e non un numero od un gruppo di humeri. I n questi casi l'ingegnere deve spesso marcare il passo, ed accontentarsi di quMche sporadico risultato sperimentMe o di qualche risultato grossolanamente approssimato, finch~ quMche b u o n a idea, o l'Muto di un matematico che consenta di stare vicino Mle applicazioni, non lo aiutino a trarsi d'impaccio. Ecco un esempio di p r o b l e m a che per essere t r a t t a t o a rondo a s p e t t a aneor~ lo b u o n a idea o l'Muto dei matematici.
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Gli altern~tori, eio~ le m~cchine elettriche con le quali, nelle centrali, si generano le correnti elettriche alternate che servono al trasporto delle enormi quantit~ d'energia occorrenti ogni giorno all~ ~ita civile, possono funzion~re anche come motori, t m s f o r m a n d o energia elettrica in energia meccanica. Tall macchine prendono allora pi~ p r o p r i a m e n t e il home di motori sineroni, pereh~ ta p a r t e ruotante, a differenz~ di ei6 che avviene in altri motori detti asincroni, viene tr~seinata esatt a m e n t e alla stessa velocit~ del campo magnetico ruotante, che ~ prodotto dalle correnti elettriche eircolanti nell~ p a r t e fissa del motore. Qrbene, ta.li motori hanno l'inconveniente di non a~riarsi senza qualche aecorgimento speeiale: bisogna riuscire a portarli in sineronismo, dopo di che essi sono in grado di marciare da soli. Senza entrare in troppi particolari, dir6 che uno dei mezzi escogitati per portare in sincronismo tali motori ~ quello di avviarli come se si trattasse di un m o t o r e asincrono ordinario, don che ~ possibile raggiungere un~ velocith molto prossima a quell~ del sincronismo. Allora, se si f~ cireolare una corrente continua n e l l ' a w o l g i m e n t o della p a r t e rotante, il m o t o r e pub entrare in sincronismo da solo. I1 mezzo ~ molto economico, m a ha l'inconveniente che il motore non sempre riesce a prendere il passo, specialmente se deve vincere una coppia resistente notevole. D a qui l'interesse pratico di riconoseere quuli sono le condizioni necessarie per ottenere la sincronizzazione spontane~ del motore. Senza soffermarmi troppo sulla questione, dir6 che il fenomeno, a partire dall'istante in cui si inietta la corrente continua nella parte ruotante, governato d~lla seguente equazione dim~mica: J~
-~- A/~ - b B s e n ~
C
in cui: c~ g una variabile angolare (che pub assumere valori qualunque) e che individua il moto relativo fra la parte fissa e la p a r t e r u o t a n t e del motore; ¢7g g la coppia d'inerzia della parte r u o t a n t e i A~. 3, con approssimazione sufficiente (per & piccolo), la coppia motrice asincrona ; B sen e g la coppia mortice sincrona, che tende a portare e mantenere in sincronismo il motore; C g la coppia resistente che il motore deve vincere.
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( ~ e A sono costanti dipendenti soltanto dagli elementi c o s t r u t t i v i del motore, mentre la eostante B dipende anche dal valore della corrente continua iniettata e p r a t i c a m e n t e si annulla eoll'annullarsi di tale corrente). Come si vede, l'equazione ~ quella di un pendolo s m o r z a t o che compie oscillazioni di grande ampiezza. Ora si sa integrate in termini finiti questa equazione, che p u t ha un aspetto innocente, solo nel caso delle piccole oscillazioni, oppure quando il moto non sis smorzato; m a nel caso generale, che ~ proprio quello che qui interessa, la m a t e m a t i c a ~ senz'altro muta. lgaturalmente se si t r a t t a s s e di determinate n u m e r i c a m e n t e uno o pitt integrali corrispondenti a particolari condizioni, non ei sarebbe alcuna difficoltS: b a s t e r e b b e applicare un procedimento di integrazione approssimata, come nel p r o b l e m a precedente, e t u t t o sarebbe a posto. Ma nel caso a t t u a l e non interessa determinare u n a particolare curva; bensi le condizioni iniziali, dir5 cosi, critiche del moto, che si potrebbero dedurre solo dalla determinazione di un gran numero di curve. Senza bisogno di ealcoli l'intuito addita qu,~le sar~ la forma delle c~ curve integrali: per dati particolari valori iniziali (% della variabfle ~, ed ~o della sua derivata) ~ tende asintoticamente ad un certo valore, eio~ il motore si sincronizza (curve 1 della fig. 4); per altri valori iniziali, invece, la variabile ~ cresce indefinitamente (curve 2 della fig. 4 ) Fig. 4 ed il motore oscilla intorno alla condizione di funzionamento asincrono senza sincronizzarsi. Esistono quindi sicuramente delle condizioni iniziali che separano i due casi. A1 progettista di tall motori interessa a p p u n t o sapere come queste condizioni iniziali siano legate alle costanti della macehina ed al valore della eorrente contint{a, cio~ ad J , A e B. Qualche anno fa perdei parecchio tempo nel cimcntare in t u t t i i modi la d e t t a equazione, m a le mie forze erano, e sono, troppo deboli perch~ potessi giungere a qualche risultato. P e r i bisogni pratici il p r o b l e m a fu pitt tardi risolto ad opera di due tecnici inglesi; i quali si valsero di una macchina elettrica, s t u d i a t a da un professore americano, con la quale ~ possibile ottenere in pochi minuti u n a curva integrale di u n a q u a l u n q u e equazione differenziale fino al secondo ordine. Yacendo funzionare per lungo tempo tale mac-
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china~ ed in modo sistematico, essi riuscirono ad individuare con sufficiente sicurezza le ~ccennate condizioni critiche. Ecco il risultuto, nell'ipotesi - - pressoch~ sempre verificata nella prutica - - che l'iniezione di corrente continua ~ w e n g a qu~ndo siu raggiunto l'equilibrio diuamico asincrono, cio~ quando siu ~o = C/A. T,'equazione in discorso, sostituendo al tempo t la variabile \ / - ~ t , prende la forma: ~-F~
A
' V,~'B
C
~ -~- s e n ~. - - - - - B '
nella quale appaiono soltanto due par~metri. Tenendo costante il primo di questi~ e facendo variare il secondo, l'esame delle curve integrali mostrb come per certi vMori di C/B (sono queUi a sinistra $ della rett~ aa della fig. 5) si raggiunge sempre la sincronizza- + rf-] ~i . zione quMunque sia il valore iniziale ~0 di c¢; o l ~ . . " ( ~ ' ~ y~ -F--V-~ .v -~~ / / / / I ~ _'---~ _8__. per certi altri vMori I ~'~ ~ I ~ ~' ¢-~ di C/B (sono quelli a I ~.~ ~ i .'-'~ destra della r e t t a bb) -"-1 ~-'~ Z~] i 1~ s m c r o m z z a z m n e "J " 2"K--~ b non si raggiunge mai; Fig. 5 per i valori intermedi (compresi fra le rette aa e bb) la sincronizzazione si ottiene o no a seconda del vMore di ~o, circost~nz~ questa, che non era facilmente prevedibile a priori. 1] valore critico OS di C/B ~ poi risultato sensibilmente proporA zionale al valore stabilito per V~--B; quindi per essere sicuri d / o t t e n e r e
iJ,
~, '.,
la sincronizzazione baster~ semplicemente fare in modo t h e B ~
k
A_ VgB
(con k costante valevole per t u t t i i motori). Da t~le rel~zione si ottiene in definitiva che deve essere B > ~
C2"
~ a se questo risultato pub soddisfare le esigenze pratiche, esso ben lungi dal rappresentare un~ soluzione completa del£interessante problema din~mico.
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Ecco infine un altro problema tecnico che~ dopo aver resistito per parecehio tempo agli sforzi di molti studiosi, trovb finalmente chi riuscl a dominarlo completamente. Si t r a t t a del c o m p o r t a m e n t o del suolo terrestre quando, per una ragione qualsiasi, esso funziona da conduttore di corrente elettrica alternata. Questo problema, per la frequenza con la quale il terreno funziona da conduttore, e per i grandi interessi economici che tocca, ~ v e r a m e n t e di eceezionale importanza pratica. Baster~ citare a conferma un paio di casi. Le ]inee elettriche per il trasporto delFenergi~ si trovano s o v e n t e correre pi~ o meno vieine e pih o meno parallele a linee telefoniche. Nei fenomeni elettromagnetiei che a w e n g o n o in e n t r a m b e le linee, intervengono sempre, in misura pi~ o meno grande, le propriet~ conduttrici de[ suolo~ il quale, con la sua inevitabile presenza, ~ caus~ di azioni m u t u e fra i circuiti di trasporto e quelli di comunicazione. ~ a t u r a l m e n t e fra i due quello che ha la peggio ~ il eireuito telefonico, il qu~le per tale r~gione diventa spesso sede di forze elettromotrici indotte relativamente elevate, le quali provocano una serie di disturbi d u r a n t e le comunicazioni. Da questo lato il problema ~ assai antico ed ha originato una ricca serie di s t u d i e d esperienze. L'importanza della questione ~ cosi grande, che in molti paesi funzionano apposite commissioni di studio per eseogitare rimedi ai disturbi, per imporre norme tecniche~ per disciplinare insomma le costruzioni, delle linee di energia da u n a parte, e di quelle telefoniche dall~ltra. P e r questo aspetto del p r o b l e m a ~ sufficiente giungere a stabilire la m u t u ~ influenza elettromagnetiea fr~ u n a eoppia di conduttori percorsi d~ corrente alternata7 per i quali il suolo funzioni da ritorno eomune. In tempi pifi recenti il problema ha assunto n u o v a importanza, essendosi pensato di disporre nei campi di a~-iazione dei c o n d u t t o r i paralleli al suolo formanti eircuito con questo, in modo da generare sopra al te~reno un eampo elettromagnetico il quale possa servire di guida ai piloti nelle m~novre di atterraggio. In tal modo si conseguirebbe u n a b u o n a possibilit~ di atterrare~ qualunque siano le condizioni di visibilitY. P e r una simile applicazione il problema consiste nel d e t e r m i n a t e forma e valore del eampo magnetieo sopra il suolo. La stess~ questione si presenta anehe quando si voglia esplorare il sottosuolo con fenomeni elettromagnetici, ece., ecc.
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~on occorre insistere per dimost~re Fimportanz~ del problema, di impostazione rel~tiv~mente semplice; m~ la cui soluzione urtava contro difficolt~ ma.tematiche v e r a m e n t e eccezionali. Per6, meno di un decennio fa, l'americano Carson, ricorrendo a. quel potente s t r u m e n t o a.nalitico che ~ Fintegra.le di Fourier, riusct, per un ca.so particola.re, m a importantissimo per le applicazioni, a darci la. soluzione del difficile problemu. E ' peccato che la. t r a t t a z i o n e del problema, richied~ u n tempo troppo hmgo per poter essere qui esposta in modo esauriente. Mi limiterb, pertunto, a.d a.ccennare per sommi capi a quali equazioni conduce la. sun. impostazione per il ca.so pih semplice di conduttore rettiline% nonch~ a.1 procedimento che consenti al Carson di raggiungere la soluzione, rimanda.ndo ud u n ' a p p e n d i c e qua.lche maggior particolare. Si suppong~ d u n q u e u n lungo conduttore rettilineo disposto paral]ellamente al suolo (suolo che si a m m e t t e abbia la permeabilit~ magnetica. I~. e la conducibilit~ elettrica y), con le estremit~ collegate al suolo in modo da formare circuito con esso; e tutto sin. sede di corrente a.lternat~ sinusoidale di pulsa.zione co. /~icordo che, se fosse nora la. distribuzione della corrente nel terreno, la. determina.zione del campo elettroma.gnetico in ogni punto dello spa.zio, e quindi di qua.lunque pa.ra.metro elettrico che interessasse determinare, non presenterebbe particolari difficolth. ~fa non essendo nora a priori la. distribuzione delle correnti nel terreno, bisogna, costruire degli integraH delle equa.zioni indefinite del campo magnetic% che soddisfino alle varie condizioni a.1 contorno che il problema, impone, il che non ~ eerto a.gevole. Con qualche ipotesi sulla costa.nza, e sul va.lore numerico di alcuni pa.ram6tri (veda.si l'appendice), il problema, ma.tematico si riduce a determinate un ca.mpo magnctico H che soddisfi alle seguenti condizioni indefinite: i div H---- 0 per t u t t i i punti sopra il suolo, a.lle analoghe condizioni:
{ A~/t=j~..;H
(j2=--1)
div H ~-- 0 per t u t t i i punti entro il terreno ; a.lle soHte condizioni a.sintotiche per i p u n t i a gra.nde distanza da.1 conduttore, condizione questa., c h e risulta, assorbita da.lla s%o~ente: per 7 ~---0 il campo H deve ridursi a quello genera.to da.1 solo conduttor% che ~ definito dalle eguaglianze:
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21 h --y 4 r. x 2 + ( h - - y)~' 2I x Hov --~ 4 ~ x u + (h - - y)-~' /L,. =
0;
ed infine, come eondizione di eucitur~ fra i eampi sopr~ e sotto fl suolo, lo c o n t i n u i t h di H sulla superficie del suolo stesso.
I1 Carson, per t r o v a r e le espressioni di H soddisfacenti a t u t t e queste condizioni, ha uvuto lu felice idea di scrivere sotto form~ di integr~le di Fourier le espressioni che d~nno H per 7 -----0, e di esuminure se modificando le funzioni integr~nde non fosse stuto possibile raggiungere lo scopo. I1 tent~tivo ha ~vuto buon esito, ed il risultuto ~ espresso dulle formule (6') e (7') dell'appendice. ~ e i cusi in cui interess~ soltunto il v~lore del campo magnetico in ogni punto dello spazio, le formule in discorso dunno senz',~ltro qu~nto oceorre. Si potr~ forse dire eh'esse non sono molto maneggevoli, d a t u lo loro form~ di integr~li con limiti infiniti; m~, u purte il f~tto che le d e t t e formule possono essere trusformute in modo du purlare unehe al nostro senso fisico, esse ruppresentuno un~ verb soluzione del problemu proposto. Infutti, da esse ~ possibile ric~v~re ogni altro elemento rel~tivo ~l fenomeno in istudio; cosi si possono ric,~v~re lo re~le distribuzione delle eorrenti nel terreno, le forze elettriche ill ogni p u n t o dello sp~zio, l'uutoimpedenz~ del cireuito filo-terr~, oppure la m u t u a i m p e d e n z u fr~ il circuito consider~to ed ogni ultro ud esso p~r~llelo. Tel problem~ telefonico ~ proprio quest'ultimo il problemu ehe interessa. Col cumbiamento di v~riabili indic~to nell'appendice, 1~ m u t u ~ impedenza fr~ due fill p~ralleli, in presenza del suolo, risultu espressu in termini finiti dalla formula:
(I)
tz
log
+ =.
2 ]
2 j r " e -j20 + ~
}/~ r e+JO
J r 'z e+~20 '
nell~ qu~le per semplieit~ le lunghezze sono supposte misur~te reel di~nte 1~ lunghezz~ D - - t/¢o t~. Y , N~ ~ 1,~ funzione di Bessel di seeond~
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specie e primo ordine, ed (.)-~ ~ la funzione di W e b e r - L o m m e l pure di primo ordine. T o n credo vi sia molto bisogno di f~r rilevare come la formu.la sia alquanto complicat% specialmente quando si d e b b a passare ai calcoli numerici. In pratica la formula ~ e n e n a t u r a l m e n t e sostituita con degli s~riluppi in serie, diversi a seconda che i conduttori fra i quali a~riene la m u t u a in£1uenza siano vicini o p p u r e molto lontani, m a unche gli sviluppi in serie sono t u t t ' u l t r o che sempliei. ~Sa di chi ~ la colpa se t u t t e queste iormule sono complicate? ~ o n certo della m a t e m a t i c a o di c h i n e ha fatto uso; in ogni caso ~ il problema l'unico responsabile della complicazione. Devesi poi notare il fatto importantissimo che, complicate o no, le formule sposano molto bene l'esperienza. E ~ infatti v e r a m e n t e mirabile constatare come t u t t e le esperienze sistematiehe che furono istituite dopo che il Carson ebbe fornite le serie corrispondenti alla formula (I) si accordino in t u t t i i sensi con esse; il che, £ra altr% mostra come t u t t e le ipotesi ammesse nei calcoli possano essere a d o t t a t e con t u t t ~ tranquillit~. P e r finire, noto come il procedimento qui appena accennato si presti a risolvere casi pih generali di quelli t r a t t a t i dal Carson, ed ormai sull'argomento esiste t u t t a u n a l e t t e r a t u r a nella quale, come t u t t i ammetteranno, non ~ possibite addentrursi senza un minimo di coltura matematica.
Gli esempi precedenti bastano a mostrare come oggi l'ingegnere, il quale non voglia di proposito limitare le proprie possibilit~ od i pr0pri orizzonti, non possa fare a meno di quel mirabile e p o t e n t e s t r u m e n t o rappresentato dalle matematiche. Mi sia ora concesso di fermarmi su questo punto. Gi~ dissi come molti ingegneri si~no di opinione o p p o s t a a quella da me professat~. Ci5 dipende dal fatto che i compiti professionali dei laureati in ingegneria sono in pratica svariatissimi. P e r molti compiti si pub effettivamente fare a meno di una grande coltura matematica, e non m a n c a n o ingegneri che, fuori della scuola, non hanno mui a v u t o bisogno, non dico di fare una derivata, m a n e m m e n o di scrivere una formula. O vviamente t u t t o dipende dalla definizione che si vuol dare di ingegnere. ~ a se con tale parola s i designuno coloro che sono chiamati a dominare i fatti ed i fenomeni naturali, nell'intento di fornirci le
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eostruzioni, le macchine e gli apparecchi, di cui I~ civilt~ m o d e r n a va tanto superba, non si pub scostarsi molto d~lla mid conclusione. Basra infutti pensare alle innumerevoli complicazioni dei fenomeni che l'ingegneriu m o d e r n a deve spiegare e dei problemi ch'essa deve risolvere, per convincersi come non si possa essere ingegneri nel vero senso della parma senza una coltura scientifica di primo ordine, e quindi senza possedere lo s t r u m e n t o indispensabile per acquisirl~ e per utilizzarla. Solo accontentandosi di lavorare per imitazione si potr~ rinu~ciare a nutrire ed educare sempre meglio la propria mente. La mia opinione 6 condivisa da molti, e nel seguito, quando avr5 occasione di parl~re di ingegneri, intenderb sempre riferirmi a coloro che tale necessith sentono pienamente. Si badi bene ch~io non penso che un ingegnere d e b b a essere in grado di eseguire, ad esempio, il lavoro del Carson. A ciascuno il suo compito. Il Cgrson 6 un fisico m a t e m a t i e o alle dipendenze d i u n a grande societ~ telelonica americana, solo per studiare e risolvere difficili problemi tecnici. Egli ha p e r t a n t o u n allenamento speciale; e 1~ maggioranza degli ingegneri non pub o v v i a m e n t e trovarsi nelle sue condizioni. P r i m a di proseguire 6 bene ricordare come, nella trattazione dei problemi scientifici o tecnici, siano sempre distinguibili, pitt o meno bene, tre momenti: il primo 6 quello della schematizzazione dei ]atti o /enomeni in istudio e della messa in equazione del problema; il secondo 6 quello della manipolazione delle equazioni per ricaw r n e gli elementi accessibili Mle esperienze; il terzo m o m e n t o , infine, 6 quello nel quMe gli elementi dedotti dall~ teoria vengono messi a confronto con i risultati sperimentali. Orbene, un ingegnere, secondo me, dovrebbe essere in grado di eseguire sempre la p r i m a e la terza parte, eio6 di impostare un problema, di schematizzare un fenomeno~ e di eseguire la p a r t e sperimentale; non 6, invece, sempre necessario che egli sappia svolgere la seconda parte, cio6 manipolare le equazioni. 5Ia egli dovrebbe, perS, essere sempre irt grado di leggere e seguire, nel proprio campo~ lavori anMoghi a queUi del Carson, di saper utilizzare i loro risultati e discutere le ipotesi i u t r o d o t t e lungo la strada. t t o gi~ ricordato in principio che non 6 l'ingegnere che v a in cerca dei problemi; sono i problemi ehe v a n n o in cerca dell'ingegnere, e contro di essi l'ingegnere non pub trovarsi disurmato. Egli deve d u n q u e possedere u n a v a s t a conoscenza delle matemutiche, e nel dir ci5 intendo riferirmi alle m a t e m a t i c h e superiori, poich6 per le Mtre, cio6 per i fondamenti, 1~ cosa 6 assolutamente fuori diseussione. I dubbiosi non
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hunno che sfogliure un~ quMsiusi rivista tecnic% che non si~ di di~ulg~zione. Avverto subito, perb~ che Pingegnere non pub vedere le m~tem~tiche con gli stessi occki con i quuli le vedono i matem~tici di professione. Per questi lu m~temutic~ ~ un~ scienz~ d~ f~r progredire; per l'ingegnere invece essa rappresenta uno strumento, prezioso, potente, insostituibfle fin che si vaole; m a sempre e soltanto strumento. Lo dico perch~ i m a t e m a t i c i non abbisno s meravigliarm se l'ingegnere ritiene sufficiente la conoscenza delle proposizioni pi~ d i r e t t a m e n t e applicabili, e se nell'applicare la m a t e m a t i c a egli trascura molte questioni di rigore sulle quali u n m a t e m a t i c o non potrebbe sorvolare. L'ingegnere~ infatti, deve essere u n buon manovTatore delle matemstiche; m s non deve perdersi, senzs necessitY, intorno M cusi critici: gli basta di raggiungere lo scopo per 1~ via pifl direttu. Si osservi: senza necessit£; poich~ vi sono dei problemi tecnici (ad esempio, nell'idrodinamica e nell'aerotecnica) nei quMi le questioni di rigore ed i cam critiei costituiscono la parte essenziMe. *** Conoscere t u t t e le m a t e m a t i c h e ~ impossibfle; lo ~ per i m s t e m ~ t i c i di mestiere; s pi~ forte ragione per gli ingegneri. Tutt~via sono convinto che in ogni ramo delle m a t e m s t i c h e vi siano delle patti utili per la risoluzione di problemi tecnici. U n esempio element~re, mu tipico, ~ quello offerto dM n u m e r i complessi. I1 nome stesso di n u m e r i immuginari che si d~ ~d u n a delle loro part% sembra creato ~pposta per far dubit.are ch'essi posssno serx4re a quMcosa di concreto. E ' s t u t t i noto, invece, quMe utilissimo strumento essi rappresentin% ad esempio, per i problemi elettrici relutivi alle correnti alternate. Se ~ vero che fl vMore di un certo Mgoritmo matemutico ~ t a n t o maggiore quanto maggiore ~ Is fatica ch'esso risparmia, i h u m e r i complessi non potrebbero avere un vMore maggiore. Con essi, infatti, i problemi relativi Mle correnti Mternate si discutono come se si trattusse di correnti continue; e v'~ di pi~ il vsntaggio di msneggiare u n n u m e r o di grandezze e di equszioni uguale alla met~ di quelle che sarebbero in gioco non us~ndo i n u m e r i c o m p l e s s i . ~ a t u r M m e n t e , ~ superfluo ricorrere s d uno s t r u m e n t o perfezionato nei easi pi~ semplici in cui bastsno i mezzi pi~ elementari. ~ u nei casi complicati ~ dsnnoso rinunciare M vantaggi ehe pub offrire u n algoritmo un po' pi~ perfezionato. E ' per questo ch'io sono con~into che t u t t e le Mgebre dei sistemi multipli - siano essi finiti, come i vettori, le matrici, i tensori, oppure
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~ifferenzi~li, come gli operatori differenziali - riescano utflissim% sopratutto per le applicazioni. I n f a t t i l'uso dei sistemi multipli, non solo consente di separate le diificolt~, dirb cosi, concettu~li da quelle di semplice computo, m~ esso conduce anche ad u n a semplificazione di lingnxaggio che bene risponde al nostro senso fisico. ~[olti chiamano calcolo simbolieo il calcolo t h e fa uso dei sistemi multipli, m a la denominazione ~ e v i d e n t e m e n t e errut% poieh~ t u t t a la m a t e m a t i c a ~ un caleolo simbolico. *** Le m a t e m a t i c h e prestano poi in r a t i o modo il loro aiuto all' ingegnere. Come istrumento effettivo di calcolo le abbiamo viste in opera negli esempi precedenti. I~I~ esse costituiseono anche u n a magnific,~, I)alestr~ di quei ragionamenti in astratto ai quali l'ingegnere deve ben abitu~rsi, dato che t u t t ~ la scienza ~ u n ragionamento per astratto. A questo proposito osservo come ciascuno si~ indotto a c h i a m a r e ~cc o n e r e t i , i concerti che gli sono famigliari~ ed (~astr~tti ~ gli aitri. Ad esempi% par molti ingegneri della fine del secolo scorso i concetti di tensione e di corrente elettriea ~iuscbcano quanto m~i ~stratti e quindi ostiei; per caph~ne qualcosa essi doveYano ricorrere ad immagini o modelli idr~ulici. Oggi par gli elettricisti null~ di pifi concreto delle predette grandezze, t a n t o che essi riducono a modelli elettrici persino la vecchia meccanica. L~arte di r~gionare in astratto, che ~ una gran parte del cosi detto spirito m a t e m a t i e o , non pub d u n q u e essere trascurata dal tecnico. l~on si deve infatti dimenticare ch% innanzi tutto, un ingegnere deve sapere ragionare per applicare le leggi scientifiche od utilizzare i risultati di una esperienza in modo da trarne effettivamente t u t t o il purtito che se ne pub trarre. Inveee molti restano perplessi ~nche di fronte alle pifi elementari astrazioni. Cito ad esempio la elementarissima nozione di corrispondenza. I n elettrotecnica i n u m e r i complessi (eio~ i punti od i vettori di un piano) si utilizzano per rappresentare tanto le grandezze periodiche sinusoidali (correnti e tensioni), quanto i loro rapporti (impedenze, ammettenze), noneh~ le cosiddette potenze apparenti. Orbene, a molti desta meraviglia, che gli stessi h u m e r i possano rappresentare gr~ndezze cosl differenti; essi dimenticano che anche i humeri reali servono a rappresentare tunto l'eth del eapit~no, quanto la lunghezza e la stazza 4ellu nave, ecc. ece.
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Fr~ l'~ltro, l'ingegnere non dovrebbe tr~scurare di ullenursi a quei ragion~menti sintetiei, tanto frequenti nell~ geometria, e che, inconsapevolmente, f~cciamo ad ogni m o m e n t o . Quante volte infatti non si i n t r ~ w e d e la form~ di u n risultato, Senza bisogno di u n lungo r ~ o n~mento ? L'algebra ed il c~lcolo sono s t r u m e n t i potenti e di uso rel~tivamente facile, m a in molti casi riescono macchinosi, pesanti, noiosi. Spesso, allor~, un modesto ragionamento sintetico pub consentire di risparmiare una lunga teori~ di calcoli. T~li tipi di ragionamento richiedono, ~ vero, un~ cert~ m~turit~ di spirito, m a qu~li vantaggi di chiarezza e semplieith non se ne ritraggono? Volete u n esempio? L'elettricista ha sovente a c h e fare con i cosl detti di~gr~mmi circolari. L.~ loro teori~, se basat~ su procedimenti elementari, ~ piuttosto lunga, m e n t r e t u t t o si riduce a studiare le propriet£ della seguente semplice funzione di v~ri~bile compless~: (n)
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L~ proposizione fondamentale d~ ricordare ~ c h e s e z descrive un cerchio ~nche y fa altrett~nto, e vieevers~. Sicc0me le rette sono cerchi passunti per il punto all'infinito del pian% se z descrive u n a retta, y deseriver~ ancora un cerchio, e vicevers~. Orbene, uno dei problemi fondamentali per Fingegnere ~ quello di trov~re gli elementi (eentro e raggio) del cerchio descritto da y quando z descrive una d e t e r m i n a t a retta. P e r via algebrica si pub giungere al risultato in vari modi, m a questi richiedono t u t t i calcoli piuttosto h n g h i . Si osservi invece come semplice e come guida subito al risultato il se.guente ragionamento sintetico, suggeritomi da un geometr~ qui presente. Sis s la ret(sj t~ descritt~ dul1~ v ~ r i ~ b i l e z r. f (fig. 6) ed s' il cerehio incognito che le corri:8" sponde nel piar;! no y. f f /a~ o ~e /[, z P e r trovare Fig. 6 il centro C' d i s ' b~sterg o w i a m e n t e eonoscere il corrispondente punto C del piano z; lp
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applicando la formula (II) od u n a costruzione grafica equivalence, il risultato ~ allora immediato. ~ a dove si t r o v a il p u n t o C? Ecco il ragionamento. T u t t e le rette r~', r2"~ r3', ece. passanti per il p u n t o C' nel piano y si incontrano anche nel p u n t o A' alt'infinito del piano y e sono normali al cerehio s'. ~ e l piano z, a d e t t e r e t t e corrisponderanno dei cerchi normali alla t e t r a s, passanti per il p u n t o A corrispondente di A', e quindi necessariamente anche per u n punto C, simmetrico di A rispetto alla s~ che, in modo ovvio, sar~ il eorrispondente di C'. I1 put/to A si t r o v a subito poich~ il nmnero complesso che gli corrisponde ~ z = - - - - . Da eui, subito, la 1'egola per t r o v a r e C. Y P e r determinate poi il raggio del cerchio basterh, noto il centro, trovare un p u n t o qualsiasi del cerchio, ad esempio quello B' che corrisponde al punto all'infinito B del piano z ; con che il problema ~ risolto. Questo esempio semplicissimo m o s t r a quanto abbia ragione colui che ha affermato che la m a t e m a t i c a , in un certo senso, ~ l'arte di non fare i conti. E non v~, forse seienz~ ehe alleni ed aiuti a ei5 pih delia geometria.
M~ a questo p u n t o penso che molti colleghi mi faranno osservare come io vogli~ l'ingegnere troppo matematico, parola che nella loro bocca suona come teorico, cio~ uno che non sa gu~rdare le cose dal punto di vista pratico, che r i v e helle nuvole, eec. ecc. I n v e c e p e r me l'ingegnere 5 s o p r a t u t t o un applieatore delle leggi scientifiche; meglio, un anaHzz~tore delle divergenze fra teoria e realtY, ed ~ per questo ch'egli deve essere in grado, come ho detto, tango di formul~re un~ teori~ quanto di fare e discutere u n a esperienz~. E d ~ quest~ pure la ragione per cui ritengo che non basti saper mettere quattro numeri entro u n a formula gih fatta, per chi~marsi ingegnere, nel senso elevato ch'io intendo, ma si debb~ essere in grado di formarsi un'opinione personale sul valore delia formula. Chi come me spende la maggior p a r t e del suo tempo nel fare esperienze e misure, ben sa come non vi sia soddisf~zione m a g ~ o r e di quella di constatare la corrispondenza fr~ i f a t t i e le teorie svolte per spiegarli. Ma per formulare od anehe soltanto per penetrate nella teoria dei fatti, lo s t r u m e n t o m~tematico ~ indispens~bile come s t r u m e n t o di calcolo e come strumen~o di razioeinio.
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A mio avviso ~ p e r f e t t a m e n t e inutfle rinunciare fin dal principio a t u t t e le possibilit~ che offre la matematica. L'apprenderle costa una eerta fatica, m a essa ~ perb r i p a g a t a ad usura dai v a n t a g g i che se ne ritraggono; con ci6 sono p i e n a m e n t e d'aecordo con quel fisido che ha detto ((essere piff facile i m p a r a r e le matem~tiche che i m p a r a r e a f a m e senza~. C(~me ~ i n f a t t i possibile pensare che si possa studiare efficaeemente un campo vettoriale qualunque senza sapere cosa significano le equazioni differenziali ehe lo governano e senza sapere ehe cosa sia una condizione al contorno?; oppure come sis possibile capire che cosa l'entropia senza aver u n a chiara idea di un differenziale esatto e di un fattore integrante ? Quante volte gli ingegneri (me compreso) si fermano di fronte a modeste difficolt~ per deficienza di conoscenze m a t e m a t i c h e ! Chi ha un po' di ingegno rmsce anehe ~ superare la difficolt~, m a a costo di acrobazie e di fatiche che potrebbero essere risparmiate, studiando prima un capitolo di m a t e m a t i c a , o rivolgendosi ad un m a t e m a t i c o amico.
Certo non bisogna laseiarsi prendere la mano dalle costruzioni teoriche. Queste devono essere serve e non padrone. L a conoscenza delle equazioni di un fenomeno non costituisce la conoscenza del fenomeno; e se taluno erroneamente lo crede (cosa che fa sorridere i pratiei), la colpa non ~ delle matematiehe n~ della scienza in generale. Teniamoci lontani dalle esagerazioni! Gli ineompetenti, ad esempio, pensano che con le m a t e m a t i c h e si possa dare iondo a t u t t o . Errore grossolano, perch~ con le m a t e m a tiche si pub t r a t t a r e a rondo soltanto lo schema di un fatto, e, se non si sono sbagliati i computi, in rondo non si pub trovare che quanto era stato messo in principio; ossia se lo schema ~ buono, fl risultato buono, ma se lo schema ~ sbagliato le m a t e m a t i c h e non possono darci altro che un risultato sbagliato. E della bont~ o meno dello schema le m a t e m a t i c h e sole nulla possono dirci; ~ il confronto finale fra fl ris~fltato teorico e la realt~ che si ~ voluta sposare, che pub darei sicuri elementi di giudizio. Ze matemat~che sono t a t t a v i a indispensabili, poich~ senza esse non sarebbe possibile seendere dallo schema ai risultati verificabfli con l'esperienza. Col ling~aggio degli elettrotecnici si potrebbe dire ehe le muteS e J u D ~ a r i o M a t . e F i s . d~ M ~ a n o
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IX.
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matiehe sono soltanto un trasformatore di ipotesi, non un gener~tore. Ma se ~ errato e dannoso ritenere che con le sole teorie si possa dar rondo a tutto, altrettanto errato ~ ritenere che si possa interrogate utflmente l'~sperienza senza averla in qualche modo schematizzata. Oso dire c h e l a p a r t e pi~ difficile di un problema ~ proprio la sua schematizzazione. Che cosl sia lo mostra il fatto che i problemi di ingegneria pih eomplicati sono a p p u n t o quelli che, per una ragione o Faltra, non si laseiano ancora sehematizzare, oppure quelli per i quali lo schema ha una ~pprossimazione insufiiciente. L'oper~zione di sehematizzazione ~ intuitiva per t u t t i i buoni ingegneri, ma ess~ richiede la conoscenza profond~, tanto dal p u n t o di vista teorico ehe da quello sperimentale, di un buon numero di fenomeni semplici; osservazione questa che ci conduce o v v i a m e n t e ~lla conclusione che ho cercato di illustrate.
P r i m a di finire mi sia concessa ancora qualche consider,%zione intorno alla lctteratura matematiea. L'ingegnere non pub, e¥identemente, possedere bene t u t t i i capitoli di m a t e m a t i c a che nella vita professionale gli pub capitare di utilizzare. Egli ha quindi sovente bisogno o di rinfrescare ed approfondire nozioni pih o meno dimenticate, o di apprendere un nuovo algoritmo; molto spesso di cercare un ristfltato particolare o u n a semplice risposta ad una questione affacciatasi alla sua mente. La letteratura, ed in particolare i testi di matematiea, non fanno certo difetto: ma ci si pub chiedere: sono essi adatti ai bisogni dell'ingegnere? L a d o m a n d a ~ p i u t t o s t o spinosa. Libri di m a t e m a t i c a r e d a t t i coll'intento di servire agli ingegneri (od in genere a ehi ha bisogno delle matematiche come strumento), non si pub proprio dire che manchino, ve ne sono anzi di ottlmi. ~ a , nella nostra Hngua, essi sono in numero piuttosto esiguo, e toecano soltanto i fondamenti della matematica, oppure soltanto aspetti particolari di tale scienza, come ad esempio quello dei ealcoli numerici e grafici. Ne risulta che molto sovente l'ingegnere deve rivolgersi ~nche alle opere ed alle pubblicazioni, dirb cosi, usuali. Orbene, mi sia concesso di dirlo, la letteratura m a t e m a t i c a usuale generalmente non soddisfa all~ mentalit~ ed gi desideri degli ingegneri. La cosa non deve destare meravigHe perch~ ha una semplicissima spiegazione. I matematici, quando scrivono, si rivolgono ad altri matemgtici, oppure g chi deve apprendere la loro arte, che ~ quella di f u r
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progredire le matematiche~ compito che, evidentemente, non ~ quello degli ingegneri. 1% risulta che i m~tematici hanno delle preocctlpazioni di rigore, di generalitY, p e r f e t t a m e n t e ginstificate dal loro ptmto di vista, m a che finiseono quasi sempre col sopruffare, col sommergere, le idee fondumentuli e le loro possibilit~ di utili applicazioni. P e r non essere frainteso uggiungo che, nel loro genere, le opere matematiche sono certgmente ummirevoli, sovente magnifiche, solo che tale genere non ~ quello che occorre agli ingegneri. l~ereh6 qualcuno non possa dire ch'io purlo senzu conoseenza di causa, uvverto che non ho mai s t u d i a t a tant~ matemuticg, e di quella che si suole chi~Jmare superiore, come d~ qu~ndo ho Iasci~to le scuole. E ' quindi per esperienza personale ehe mi p e r m e t t o di notare come la lettura delle opere e delle memorie di m a t e m a t i c a costi generalmente una pena ed un t e m p o sproporzionati gllo seopo che gli ingegneri si ripromettono d ~ l l a loro lettura. Salvo eccezioni, ~ r~ro trovare un cenno intorno ulle possibili applicazioni delle teorie svolte; quasi sempre mancu una qualsiasi visione d'insieme che consenta gl lettore di sistemure la n u o v a conoscenzu in mezzo ~lle vecchie, che illustri i vantaggi e gli svgntaggi che si possono trarre ragionando in u n modo pinttosto che in a n ~ltro. I~essuna preoccupazione di rendere un po' a t t r a e n t e la lettur~, di mostr~re queHo che 6 essenziale di capire e quello ehe ~ ,qccessorio; nulla che colpisca l'immaginazione e l'intnito. Direi quasi che il lettore ~ abbandonato ~ s~ stesso, poich~ ~ r~ro trovare un cenno intorno glla m e t a che si vuol raggiungere. I~aturalmente mi si pub fax osservare che i mgtematici non hanno nessun obbligo di soddisfare alle esigenze dei fisici e degli ingegneri. Verissimo; ma come sono convinto che si possa benissimo essere piani ed elementari ~nche tr~ttando ~rgomenti superiori, cosi non penso che i matematici debb~no rinunciare a scrivere libri e memorie secondo il loro ~lsto, penso soltanto ch'essi potrebbero ricordarsi che vi ~ qu~lcuno a elfi possono servire i loro ritrovati e le loro elaborazioni, e che questo qu~lcuno non ha ~Icun desiderio di cliventare uno specialist~, ma soltanto quello di imparare g servirsi correttamente degli strumenti ch'essi h~nno preparati. P e r questo tipo di studiosi occorrerebbero libri in cui la materia fosse ripensata con t u t t ' a l t r o criterio che quello tradizion~le; in cui eiog la preoccupazione maggiore non fosse quella de1 rigore o della gener~lit~ dei risultati, ma quella di rendere f~cilmente a ssimil~bile la materi% facendo risaltare, le idee fondamentali ed il loro nesso logico; libri in cui l'intuizione del lettore fosse sfruttat~, direi, quasi pih del
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suo rsziocinio, in c u i le proposizioni che ~ indispensabile ricordsre nelle applicszioni fossero bene messe in evidenza; in cui si cominciasse a discutere fl caso di uno o due per arrivare a quello di n, e non viceversa, eec. ecc. E' senzu dubbio difficile redigere buoni testi di m ~ t e m a t i c a per i fisici e gli ingegneri, m a la fatica, a mio svviso, merita bene di essere affrontsta. Nelle l e t t e r a t u r e straniere, come ho gi~ accennato, non m s n c s n o tsli libri, m a ne11~ nostra l e t t e r a t u r a c'~ ancora molto da fare. Se si cercs u n esempio di qusnto si pub fare in tale senso, bast~ teggere slcuni capitoli di u n ottimo tratt~to di cslcoli numerici apparso da quulche ~nno nella nostr~ letter~tura. l~ipeto che l'osservszione non vale per i primi f o n d a m e n t i delle m~tematiche, che nei lettori bisogna supporre scquisiti p i e n s m e n t e , m a bensl per t u t t a l'enorme m~ssa di argomenti che costituiscono ls mutem~ticu superiore. 5,[i si potrS obiett~re che tsli libri ~vra~no scarso mercsto. Sono nett~mente del psrere opposto, perch~ la schier~ degli studiosi che sentono ls~necessit£ di s f r u t t a r e sempre pi~t lo s t r u m e n t o m s t e m a t i c o va crescendo ogni giorno. Inoltre si ~ proprio sicuri che t~li libri non riescano utili anche agli studiosi della matem~tic~ per la m a t e m a t i c a ? P e r s o n s l m e n t e sono t a h n e n t e convinto ehe in ogni p s r t e delle mutematiche vi sia quslcos~ di utilizzabile per le spplicszioni, ehe con un sugurio che desidero finire quests mia lung~ chiucchierata: mi uuguro cio~ che qualehe mutem~tico si ricordi di noi, e ci insegni moltissimo della sua scienz~ 7 m~ ripensut~ t o t a l m e n t e dal punto di vist~ delle applicazioni.
APPENDICE. P e r Finteresse generale che pub presentsre 1~ trattazione del terzo problema accennato nel testo della conferenza, risssumo qui qusle potrebbe esserne, a mio ~ w i s o , lo sviluppo. a) - Equazioni indefinite del campo elettromagnetico.
~e]l'ipotesi che il mezzo sia isotropo, privo di forze elettriche e m s g n e t i c h e impresse, e che i suoi p s r a m e t r i : I y (conducibilit~ elettrica) -: (permittitivit~ o costsnte dielettrica) y. (permeabilit~ o costante msgnetics) siano costanti (ossia indipendenti dal tempo t e dai valori delle forze
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elettriche f o m a g n e t i c h e h assorbite dal campo) le equazioni i n d e f i n i t e del campo e l e t t r o m a g n e t i c o fisso scritte in unit~ " G i o r g i , sono: rot
h = 7 f - t - ~ Of 0---}
t
(1)
div h ----- 0
(2)
divf
(4)
t
rot f - ~ -
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Iz Ot
(3)
=
0
lgel p r o b l e m s in discorso si ~ m m e t t e che lu corrente i nel cond u t t o r e (fig. 7) varii nel t e m p o con legge sinusoidale di pulsazione co; ess~ ~ qtfindi esprimibile ~nulitic~mente con 1~ f o r m a i = I e.i~t (e-----2,71828 .... , j2 = _ _ 1) e quindi, per la linearit~ delle eqnazioni precedenti, unche tt~tte le ~ltre grandezze in gioco s a r u n n o esprimibili con la stessa forma. P o n e n d o d u n q u e :
f = F ej~ot
,
h
=
H ejcot
con F e H i n d i p e n d e n t i d~l t e m p o , le equ~zioni indefinite d i v e n g o n o : l rot H = (7 - t - j o~~) F rot F---- - - j ~.~~,. H
t div H---~ 0 div F ~ 0
(1 ') (3')
(2') (4')
Utilizzando 1~ (3') per eliminare F nell~ (1') si o t t i e n e : (1 ")
rot rot H = (o3 -: 7- - - J c.) 7 7-) H ,
e rieord~ndo l ' i d e n t i t g : r o t r o t = grad di-¢ - - A~, e 1~ (2'), la eondizione (1') viene sostituit~ d~ll~:
(1'")
AeH----- (-- o3 ~ 7- + J
¢') 7 7-) H .
Finch~ co n o n a s s u m e v~lori t r o p p o elevati, il coefficiente - - o ) 2 -~ IJ.-~-j 0)7 IJ. a c q u i s t a valori m o l t o differenti p e r l'aria e per il terreno. Supposto ad esempio co ~ l0 ~ s e e - 1 (cio~ frequenze di qualehe migliaio di periodi al secondo), risalt~:
per l~aria: I 7~ 0 ~--- 8,86.10 -~2 ~.-~ 1,256.10 -6
siemens/metro farad/metro henry/metro
d~ cui, ~ r r o t o n d ~ n d o i r i s u l t a t i : coefficiente ---- (- 103 + j
0) t0 - 12 (metri) - 2 ;
198
--
per il terreno :
t ¥ - ~ 1 0 - 1 " 1 0 - 3 siemens/metro I ~: e IJ. --~ circa come per l'aria coefficiente = (-- 10 s -~- j 10 °) 1 0 - ~e- - (-- 10 3 + j
10 v) 10 -~2 (metri)-e
Si vede, dunque, come di fronte ~1 vulore che ucquistu il termine j ~o YT- per il terreno, i v~lori degli ultri termini si~no truscurubili. ~er non complic~re inutilmente gli sviluppi seg~enti truscureremo i predetti piccoli termini, il che equivule ~ trascurare gli effetti m~gnetici delle correnti dielettriche in genere, e delle correnti di conduzione nell'~ri~, di fronte ugli effetti magnetici deHe correnti di conduzione nel terreno, cosn che, del resto, uppure fisicamente intuitive. Concludendo, il v e t t o r e / ~ deve soddisf~re ~llu condizione (2')per tutti i p u n t i t~nto del mezzo ~riu qu~nto de1 mezzo terreno, ed ull,~ condizione (1'"), che pr~ticumente si sdoppi~ helle due seguenti: (1',)
~.~ H ~
0
(l't)
A~ H ~ j t . ) y I ~ . H
per i punti sopra il suolo per i punti sotto il suolo
b) - C o n d i z i o n i al contorno p e r il vettore .1=£.
A gr~nde dist,~nz~ d~l conduttore 18 forz~ m~gneticu I £ deve ~nnull~rsi ulmeno come fl q u a d r a t e della distanz~. I n vicinunz~ del conduttore, H deve ussumere dei v~lori tunto pifi prossimi que]li determinati dull~ sol~ corrente I che l o p e r c o r r e qu,~nto pi~ lont~ne o meno intense sono le correnti del terreno. Ossiu, per suolo u grunde distunz~ ,X ~ \ ','x\ \ ' \ \ \ \ \ ' ~ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ' " oppure per suolo ~vente condueibilit~ nulls, le componenti di H, con riferiI Fig. 7 m e n t o ugli assi c,~rtesi~ni indic~ti nell~ figur,~ 7, devono tendere cd v~lori seguenti: 21 h --ff r i o . , . - 4 ~ x "~+ (h - - ~)"'
(5)
i iu,
2I x 4r, x ~ + ( h - y ) ~ '
Ho, = O. Infine, sullu superficie del suolo il vettore H deve ~vere continua lu componente tungenzi~le, ed il vettore induzione m~gneticu y. H
--
199
continua la componente normale. Se si a m m e t t e dunque, come g lecito fare, che le 9ermeabilit£ del suolo e dell'aria siano uguali, il vettore t f deve essere c o n t i n u o sulla anzidetta superficie, (la quale quindi costituisce una superfieie di discontinuit~ soltanto per 1~ forza elettrica). c) - D e t e r m i n a z i o n e
del v e t t o r e I f .
IJe espressioni limite (5) possono essere lOoste sotto forma di integrali di Fourier: OD
Ho :,: = ~
e x (y
-
h) cos ), .~. d 1,
U
(5') t-[° ~j = 24 r:
rex(y-h)
senlcr . all,
o
Hoz~-- 0, eke sono convergenti per y % h. (Per y ~ h basra scambiare y con ]~, e cambiare segno all'espressione di 1[o~. ). Si p u b p r o r a t e a soddisfare a t u t t e le eondizioni poste per il vettore H ponendo: per l'aria e fino a che y ~ h : C~ fa
t[.,, - ~ Ho.,.-F- f h
(),) e -- Xy cos i z . d 1,
o
(6)
~ I[,j ~
Ho,j - - | K
(1) e - - )~Y sen i x . d t ,
d
/L~ -= o , per il terreno: O0
1-L. ---- f F (~) . e y ](z) cos kx. d'~ , o
1£~ = f G (1). ey](x) sen i x. di, o
H~ = 0 , in-eui le funzioni K(?,); F(k); G (;~); f(1); sono da determinarsi in base alle eondizioni poste per I L
--
200 - -
]he (6) soddisf~no gi~ t a n t o alia condizione (2') q u a n t o alla ( t ' , ) ; affinehg le (7) soddisfino alla ( l ' t ) d e v e essere:
(s)
ff
(1) =
le +j
o) y :, ;
perchg le stesse (7) soddisfino Mls (2') d e v e essere: - - t 1,' (1) + f ( ~ , )
G (t) = o ,
e per la (8): (9)
-- 1 y(1) + VI~ +j
(o "f :-'- G (),) =
o.
Infine, per la eontinuit~ del v e t t o r e t f sul piano y = 0 d e v e essere: 2I --xh ~-~ e
+
2i£~I e _
-- IC(1) = GO,) ,
h"(1) =
£(1) ,
(lo) xh
relazioni ehe unite alia (9) d e t e r m i n a n o le tre funzioni K(1), F (1), G (I). l~isolvendo si o t t i e n e :
(11)
2I K(i)--4r.
--t~-Vt2-i-jo)77. -xh q - 1 - i - V)3 + j o) 7 7. e
2I /,'(1) = ~=.
2 t/le-q--j ~ y y. --xh _F 1 ~_ Vi~ _~_j c,) y 7. e
a(;q
21 - xh -F ~. -F I/l e _F j (o y T. e
2 I --={3
Si osservi c o m e /((1) risulti di valore tale da rendere s o d d i s f a t t e anehe t u t t e le eondizioni a s i n t o t i c h e e limiti p o s t e per il v e t t o r e t r . I n definitiva, s o s t i t u e n d o questi valori helle relazioni (6) e (7) e valutando per semplicith le hmghezze che appaiono negli integrali reel diante la lunghezza D-~- l / ~ si o t t i e n e : per il v e t t o r e t £ nell'aria ( ! / ~ h):
I L . - - r. DJ
'
I +V~-+-j
"
e--
0
(~') I
~1Chky-~-V'12~, j S h k y 0
I-I..~-0;
--Xh
eoslx.dl,
--
201
--
p e r fl v e t t o r e H nel t e r r e n o : QO
q_ V~.~q_ j
e - - x h + y V~T+--j cos )~x.d)~,
o
(7 ')
I
H,=
k o
+ -w4U
e - - X h + y V ) T + i sen kx. d x ,
Hz=O. d) - Determinazione del vettore F. Z u c o n d i z i o n e ( 3 ' ) p e r m e t t e oru di d e t e r m i n u r e , a m e n o di u n v e t t o r e urmonico, 1~ forzu e l e t t r i c u nei diversi p u n t i del c u m p o e qttindi unche 1~ d i s t r i b u z i o n e delle c o r r e n t i nel t e r r e n o . T e n e n d o pres e n t e l ' i d e n t i t h ; 4 [~Sh k y kcos k x e _ z h d )~ ~ log x'~ x~ -- ~ F (y (y q- -- h)2 h) ~ ' si pub r e i)
o
rificare che p e r l ' a r i a r i s u l t a :
OV OX'
(12)
Fy--
OV Oy '
G--
OV 0z
--4m¥~
~z
x~ -+- (y q-- h) ~ jco tz / l O g x 2 4~ -q-- (Y -- h) ~ - -
[ [ ' ( V ~-~q - j - - )~) e-- x (y + h) cos )~ x . d 0
e p e r il t e r r e n o :
aG Ox (13)
G--
aG Oy oo
.F~ - -
3 Vi
4 o~ Iz= I f ( ~/~~ -~ j - x ) e--Xh+Y[/~-+J cos~.x.d). , o
ore
V e
Vt sono
due
potenziali
scalari
d a d e t e r m i n a r s i in
base
--
202
--
alle condizioni al contorno per 1~ forza elettrica, condizioni che non interessa qui me~tere interamente in evidenza.
e) - Mutua impedenza Z,, Ira due conduttori paraUeli. Un conduttore passante per il punto x-~ d, , y ~ h~ del piano z--~ 0, siu teso parMlel~mente a quello di~nzi considerato. Lu terzu delle espressioni (12) consente di determinare facilmen~e l'espressione della m u t u a impedenza fru i due conduttori. Quando siu nulla la corrente he1 nuovo conduttore, la forza elettrica 1% nel suo interno 5 nulla, per cui ~: --~jco j~i /log" d~2+(tq-~-h)2
(--~.V t ~'=a,
dt~_i_ (h t __ h ) e - t -
-~-4o~ ~ 1 1 ( / "
+j--
k)e -x(h, + h)cos ), d, . d ) , .
0
D'ultra p,~rte la mutua impedenz~ Z,,,, per unith di lunghezza, definita dn]l~ relazione:
( °21 \
----
u
X~dt
/g~lq
~
per cui risuitu:
Zm~jO) ~t~=log
(14)
=
d te-~(ht-~h) e d$ +
(/h - - h /
-I-
+ " ) oos
d
b
! ~
.... ,,,
Un c~mbiamento di v~riabili rende pifi semplice la scrittura di quest~ rel~zione. 2onendo, inf~ttf, (fig. 8): h+h~=r
cos(-}
,
risu]ta:
"~
....
I
f
.J/
di e-~(h t-}-h) e = r ~- ,
d?+(/, -t~)2=
~..'2
1
e quindi:
Fig. 8
t . IJ. ~ (14)Zm=.)o~-4~210 ff r - t - 4 o ~ IJ-. . ; (~ / "+-2 0
_ _ ~k) e _ ) ~ T COS 0 (~OS
(~rsenO).d;~,
203
-
-
a l l ~ quale si pub dare la forma finita seguente:
(15) Z , . = j
---¢-~.~'[2 o lo8" ~ % - = (2/~)--~-P't ( V j r e - ] ° ) - - iO N~
2 ~_~(2/~,)-~-P.~(t/jre+~O)--Na ~ r2 e - - i 20 t / j r e + jO
(t/-~re+J O)
-2 ] ] r ~. e-+ j 20_
o r e P., indic~ la funzione di W e b e r - L o m m e l di primo ordine ed N~ indic~ la funzione di Bessel di secoad~ specie e primo ordine.
f ) - Auloimpedenza Z del circuito filo-terra. Questo parametro pub venir calcolato con un rugionamento an~Iogo ul precedente: b~stu ricordare che, indie~ndo con r * il " ruggio medio geometrico ,, dellu sezione del conduttore, per definizione 3:
---r-~, •
OZ x = 0 y=h
-=Z[ --r s
e che per x ---~0 e d y ~-- h - - r* ~ / ~ ~-~ R I , con R resistenza elettrica per unith di lunghezz~. M~ pi~t semplicemente vi si p u b pervenire utilizz~ndo le espressioni (14) e (15) dell~ mutu~ impedenza~ supponendo che i due conduttori (supposti di ugual sezione) si~no a w i c i n ~ t i fino a t h e la loro distanz~ r' uguagli il ~ r~ggio medio g e o m e t r i e o , r* della loro sezione, e tenendo n~t~r~lmente conto dell~ resistenz~ elettric~ R per unitR di luaghezz~. Tr~sc~r~ndo, come ~ gener~lmente lecito f~re, r* di fronte ~d h, si ottiene: co
(16)
lJ" 2 mg T'* ~- 4 o~-4 ~.j k . --~-j - Z --~ R --t--j ¢,) -4-~,_
e --
d )~ =
0
= ~+3 ~=~"~ _[~°~~'-,..-~, - (~/=) + "" (vjv~.2h~ ~')- ~' (v~.~ ~,.) ~ (~)~_~I " E ' bene tenet presente ehe helle formule (14)~ (15) e (16) le Z risult~no espresse ia ohm~metro se I~. ~ espresso in henry~metro e si ri: corder~ come t u t t e le lunghezze ehe app~iono sotto il segno di integr~le, o fr~ le p~rentesi quadre, sono valut,%te medi~nte l ' u n i t h : 1
D ~ - ~ - - -
V3,,, :,.