Lo spazio duaie di un prodotto di aigebre di Boole e le compattificazioni di Stone (*). CLAITDI0 :BERI~ARDI

(Siena) (**)

Summary. - This paper is concerned with the Stone space X o / a direct product JB = ~ B i of ieI

in]initely many -Boolean algebras. I n paragraph 2, alter recalling that X is the ~tone-Ceeh compacti]ieation o] the sum (disjoint union) ~, X i o] the Stone spaces o] the ieI

algebras Bi, we exhibit a vompacti]ieation o] ~ X , which is not a Stone space and we give a method to construct all the (( Stone compaeti]ications ~>o] ~ X i (the corresponding -Boolean algebras are easily characterized). I n paragraph 3, a set of ultra]ilters o/ ]9 (the <(decomposable ~ ultra]liters) are introduced: this set properly contains ~ X i , but, as is shown i n paragraph 5, there are direct products that admit nondecomposable uItra]ilters (this is the case i]] the set {Card .B~: i e I } is not bounded by a natural number). I n paragraph 4, among other things, we prove, ]or the set o] decomposable ultra/ilters, a weak ]orm of countable compactness, in the sense that every countable elopen cover has a ]inite subcover; then, we deduce that the set o] decomposable ultra]ilters is pseudoeompact, while obviously ~ .X t ieI

is not..Lastly, in paragraph 6, we give a second characterization o] the Stone space o] .B, showing that every ultrafilter o] B c a n be obtained by iterating in a suitable way the procedure which leads to the construction o] decomposable ultra]liter's.

1. - II p r o b l e m a .

Per il teorema di Stone si pub associate ad ogni algebra di Boole B uno spazio topologico X, detto spazio duale di B: gli elementi di X sono gli ultrafiltri di B e, come base di aperti (o equivalentemente di chiusi), si assumono gli insiemi de1 tipo { U: a ~ U} al variare di a in B. ]~ allora noto che X risulta uno spazio di Stone, cio~ 4i Hausdorff, ~ coml0atto e a m m e t t e una base di clopen (la base prima citata). Viceversa~ a ogni SlOazio di Stone X corrisponde una sola algebra di Boole B (duale di X) che si ottiene considerando la famiglia dei cloloen di X con le usuali operazioni insiemistiche. L a dualit~ fra algebre di Boole (strutture algebriche) e spazi di Stone (strutture topologiche), che si pub ovviarnente esprimere in termini categoriali, propone in (*) Entrata in Redazione il 18 dicembre 1979. (**) Lavoro eseguito nell'ambito dell'attivits del Comitato Nazionale per le Scienze Mate. matiche del C.N.R.

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CLi~JDIO BEI%NA.~DI: ~0 spazio duaie di u~ prodotto, eec.

modo naturale lo studio delle nozioni topologiche corrispondenti ai concetti ~lgebrici che si introducono per ]e algebre di Boole. Ad esempio~ ~ noto che al concerto di sottoalgebra viene a corrispondere il concerto di spazio topologico quoziente, mentre il duale di un quozientc algebrico ~ un sottospazio topologico; un omomorfismo induce poi una funzione continua (si tratta di un funtore controvariante) e un emimorfismo una relazione booleana (cfr. [5]). Si considerino ora due algebra di Boole B1, B~ e i relativi spazi di Stone X1, X~. Qual ~ ]o sp~zio duale delFalgebra prodotto diretto B1 • B~? In altre parole, come sono legati gli ultrafiltri del prodotto (1) B1 • agli ultrafiltri delle due singole algebre B1 e B~? La risposta ~ immediatu: detto U un ultrafiltro di B 1 (o analogamente di B~), l'insieme ((al, a~): a l e U) ~ un uttrafiltro dell'algebra prodotto; viccversa, si verifica senza difficolt~ che ogni ultrafiltro di B1 • B~ ~ di questo tipo. Topologicamente, 1o spazio duale di B1 • B~ si ottiene ~llora come somma (unione disgiunta) dei due spazi duall X1 e X~. I1 problema divien% inaspettatamente, molto pifi complesso quando si consideri un prodotto B ~ I-I B~ di in]inite algebre di Boole. Infatti, ogni u]trafiltro di un~alieI

gebra B~ induce ancora un ultrafiltro di B, ma, come si vedr~ nel paragr~fo 3, ~ facile costruire ultrafiltri di B non ottenibili per questa via. La cosa ~ ~nche pifi chiara da un punto di vista topologico: detto X~ lo spazio duale di B~, ]a somma ~ X ~ non compatta se I ~ infinito: infatti ogni X~ ~ un clopen, ma il ricoprimento aperto (X~: i c 1) non ammette sottoricoprimenti finiti. Pertanto, ~ X i ~ un sottospazio proprio dello spazio duale X delFalgebra prodotto B. Tale sottospazio ~ (( rappresentativo ~ da un punto di vista booleano, nel quindi~ topologicamente, senso che 1'algebra dei clopen di ~ X~ coincide con B (e \ X~ ~ un sottoinsieme denso di X ) , ma la sua considerazione non ~ comunque soddisfacente in vari contesti (dr. ad esempio [9] e [13]). Scopo di questo lavoro ~ lo studio dello spazio X: da un punto di vista algebrico, il problema consiste nel ~ t r o w r e ~>tutti gli ultmfiltri dell'algebra B; da un punto di vista t0pologico, si tratta di compattific~re opportunamente ~ X~, in modo da ricostruire l'intero sp~zio dualc dell'algebra prodotto. ~ N~turalment% questo lavoro va considerato come preliminare a studi successivi, si~ perct~ alcuni problemi sembrano meritare una trattazione pifi approfondit~ sia soprattutto in vista di applicazioni in vari settori. Ad esempi% considerando algebre di Boole con emimorfismi~ si tratta di caratterizzare la relazione booleana duale di un ~emimorfismo prodotto ~>; dal punto di vista dell'algebra universale, poi, una

(I) Parlando di algebra prodotto, si intender~ sempre il prodotto diretto e non il prodotto cartesiano (4uale del prodotto degli spazi duali); per quest'ultimo concerto, che corrisponde al coprodotto nella categoria delle algebre di Boole, cfr. [11].

CLAUDIO BE~NAI~D~: Zo spaz~o duale di un prodotto, ece.

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volta estesi definizioni e risultati al caso di filtri di reticoli, si pone il problema di descrivere que]le congruenze di un prodotto diretto di algebre ehe sono indotte da congruenze dei singoli fattori (la cosa ~ collegata con lo studio delle classi filtrali e ideali di algebre, cfr. [7] e [8]).

~otazioni e terminologia. Le operazioni booleane sono indicate con 0, 1, V, A, '. Per ultrafiltro su un insieme A si intende un ultrafiltro dell'algebra di Boole if(A). (B~)+I ~ una famiglia infinita di algebre di Boole e (X~)~ 5 la famiglia dei relutivi sp~zi di Stone; con B si indicher~ l'algebra l-~ B~ e con X lo spazio duple di B. Tutte le volte c h e l a cosa non dis luogo a equivoci, si scriver~ semplicemente 1-[ B~, ~ X~, (B~) ecc. sottintendendo <. Parlando di spazio topologico, infine, si intender~ sempre che si tratti di uno spazio di Huusdorff.

2. -

Compattificazioni.

In questo paragrafo il problema verrs esaminato facendo uso di metodi essenzialmente topologici. Siano Y e T due spazi topologici; si dice che Y ~ una compatti]ieazione di T se Y compatto e T ~ (omeomorfo a) un sottospazio di Y, denso in Y. ]~ noto ehe, fra t u t t e le compattificazioni di uno spazio T ce n'8 una massima (2), detta compattificazione di Stone-~ech, che viene usualmente indicata con la notazione f i t (cfr. le successive Costruzioni 1 e 2). D e t t a 2 l'algebra di Boole con due soli elementi, si consideri in primo luogo il caso in cui t u t t e le algebre B~ sono isomorfe a 2: in altre parole si consideri il prodotto 1-[ 2 ~ 21 ~ if(I); ogni X, ~ costituito da un sol punto e ~ X, si pub allora identificare con l'insieme I , dotato della topologia discretu. E siccome ~ noto (err. ad esempio [2] e [6]) che lo spazio duale di if(I) ~ flI, se ne deduce che, nel caso considerato, lo spazio X ~ la compattificazione di Stone-~ech di ~ X,, In effetti, questo risultato vale in generale; siccome nella c~tegoria delle ~lgebre di Boole il prodotto coincide con l'usuale prodotto diretto, dal punto di vista topologico la cosa equivale a dire che fl ~ Y, ~ il coprodotto di (Y,) nella categoria degli spazi di Stone (come a w i e n c , del resto, anche nella categoria degli spazi compatti). Per arrivare a tale risultato, ~ necessario richiamare una costruzione e alcuni concerti relativi.

Costruzione 1. - Un sottoinsicme di uno spazio topologico / ' viene detto zero-set se ~ la controimmagine di {0} in una opportuna funzione continua da T a d / ~ . La compattificazione di Stone-Cech di /~ si pub costruire nel modo seguente: si con-

(2) Rispetto ad un'opportuna relazione, cfr. [1].

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CLAUD:[o B E ~ ) ~ :

Zo spazio duaie di un prodotto, eee.

siderano come punti di f i t i. filtri massimali di zero-set di T, detti z-ultrafiltri; si assumono pot, come base di chiusi di fiT, gli insiemi del tipo {_~: ~ g uno z-ultrafiltro e Z ~ F}, al variare di Z nell'insieme degli zero-set di T . ]~ bangle dimostrare che, in uno spazio topologico, ogni clopen g uno zero-set e che ogni zero-set g chiuso (eft. anche il L e m m a 4). PROPOSlZlO~IE. -- X ~ la vompatti]ieazione di Stone-Ceeh di ~ X~, Una dimostrazione del precedente enunciato si trova in I)WII~GER [3], Teorelna 3. Essenzialmente, ]a situazionc ~ questa: ~ X~ ~ uno spazio totalmente sconnesso e ogni coppia di zero-set disgiunti di ~X~ ~ separata da clopen. I n qucste condizioni (err. [2], L e m m a 2.23) fl ~ X~ ~ omeomorfo al duale dell'algebra dei clopen di ~ Xi; e siccome tale algebra ~ o w i a m c n t e B, si conclude che fl ~ X~ ~ omeomorfo ad X. Da un altro punto di vista, ]a Proposizione precedente afferma che nello spazio X, c'~ una corrispondenza biunivoca naturale fra gli ultrafiltri di clopen e gli z-ultrafiltri, nel senso che non solo com'~ ovvio ogni z-ultrafiltro induce, per intersezione con l'insieme dei clopen, un ultrafiltro di clopen, ma, viceversa, ogni ultrafiltro di clopen g estendibile in un sol modo a uno z-nltrafiltro. I n particolare, l'unico z-ultrafiltro ~v ehe estende un ultrafiltro di clopen U si pub definire nel modo seguente: Z s/~

sse

per ogni clopen G (Z c C ~ C ~ U).

I1 solo fatto non immediato nella relativa dimostrazione ~ ehe/~ ~ chiuso per intersezione finita. I n cffetti, se per assur4o Z1, Z~ ~ _F e ZI n Z~ ~ F, esisterebbe un elopen C ~ U tale che C D_Z~ (h Z~. Ma allora, detti C1 e C2 due clopen disgiunti che separano i due chiusi ZI -- C e Z~ -- C, i due clopen C~ ~j C e C~ u C apparterrebbero entrambi ad U (perch~ contenenti rispettivamente Z~ e Z~), ma la loro intersezione no. Per il seguito, ~ opportuno richiamare la seguente costruzione generale delle compattifieazioni di uno spazio (cfr. [1]).

Costruzione 2. - Sin T uno spazio topologico e sia S u n insieme di funzioni continue da T a]l'intervallo reale [0, 1] che separa punti da chiusi. Si definisca nna funzione (iniettiva) ~ da T a [0, 1] s ponendo, per ogni y e T e d ogni ] E S, (o:y)] ~ ]y. IJa chiusura dell'immagine ~(T) ~ una compattificazione di T e ogni compattificazione di T si ottiene per questa via a partire da un opportuno insieme S. I n particolare, considerando l'insieme di t u t t e le funzioni continue da T a [0, 1], si ottiene la compattificazione di Stone-~ech di 2". T:EOI~:E~A1. -- LO spazio X si pq~b ottenere a partire da ~ X , seeondo la Costruzione 2, eonsiderando solo l'insieme S delle ]unzioni continue da ~ X~ allo spazio dise~'eto (0, 1}. DI~OSTI~AZlO~E. - In primo luogo si osservi che S, munito delle operazioni pill naturali, ~ un'algebra di Boole isomorfa all'algebra prodotto B: basra far corrispon-

CLAUDIO BEI~NAR])I: ~0 spazio duale di un prodotto, eec.

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dere ad ogni I e S il clopen 1-~{1}. Ad ogni x e ~ X, si associa poi la funzione ~x: S - ~ { 0 , 1} tale che ( a x ) / ~ ]x; identificando S con B, la funzione ax risulta cosi definita: (ax) a ~ 1 sse a ~ x (per ogni a e B). Cosi, a ( ~ X~) 8 un sottoinsieme di 2 ~ e, inoltre, ogni funzione a x ~ un omomorfismo; d'altro lato, lo spazio X ~ presentabile come l'insieme Hom (B, 2), cio~ come rinsieme degli omomorfismi da B a 2. Infine, la chiusura di a ( ~ X,) ~ r Horn (B, 2) perch~ l'algebra dei clopen di

x,

B (.).

Si pone ora, del t u t t o naturale, il problema se tutte le compattificazioni di ~ X , siano spazi di Stone (si noti che la propriet~ di a m m e t t e r e una base di clopen non si conserva in generale per compattificazione: basta pensare alla r e t t a razionale e alla r e t t a proiettiva reale). I n proposito si dimostrano innanzitutto i seguenti semplici risultati. TEOI~EMA 2. Sia B' il prodotto debole (~) delle algebre Bi, Za compattificazione di Alexandro]] di ~ X~ ~ uno spazio di Stone ehe eorrisponde all'algebra B'. -

DI~OST~ZlONE. - Si t r a t t a di un facile esercizio; il p u n t o aggiunto~nella compattificazione di Alexandroff corrisponde all'ultrafiltro formato dagli elementi che h a n n o quasi t u t t e le coordinate uguali a 1 (~). C0~OLLARIO 1. - L'algebra dei elopen di una qual~nque eompattifieazione X i ~ ~n'algebra di Boole ehe eontiene B' ed ~ eontenuta in B.

Y di

DIYs -- Nelle ipotesi fatte, la compattificazione di Alexandroff di X~ 8 un quoziente di Y ed ~ chiaro c h e l a controimmagine di un clopen in una funzione continua 8, a sua volta, un clopen: Che poi r a l g e b r a dei clopen di Y sia conten u t a in B dipende dal f a t t o che, analogamente, Y ~ un quoziente di fl ~ X~. TEORE~A 3. - Sia B" un'algebra tale che B'c_ B'1C_ B. Allora lo spazio duale X '~ di B '~ ~ una compatti]ieazione di ~ X~. D~0ST~AZlONE., Gli ultrafiltri di B corrispondenti ai punti di ~ X~ d~nno luogo, per intersezione, a ultrafiltri distinti di B" (perch~ Br/~_ B'). Se ne deduce the ~ X~ un sottospazio di Xr'; ~ poi ovvio che ~ X~ ~ denso in X".

(a) Naturalmente, il teorema vale anche considerando al posto di {0, 1} un qualsiasi spazio topologico T discreto (purch~, ovviamente, con pi5 di un elemento). Nel caso si assuma come T l'insieme dei humeri interi, la situazione presenta analogie con aleuni risultati di [10]. (~) Cio~ la sottoalgebra di B costi~uita dagli elementi che hanno quasi tutte le coordinate uguali a 0, oppure quasi tutte uguali ad 1. (5) La eompattificazione di Alexandroff ~ uno spazio di Hausdorff perch~ ~ X~ ~ localmente compatto. 17 - Annali d~ Matematlca

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CLAVDIo BE~N~D~: ZO spazio duale di un prodotto, ece.

A questo 10unto, sembrerebbe ragionevole supporre che, viceversa, ogni eompattificazione 1r di ~ X, sis il duale di un'algebra: in caso contrario dovrebbe esistere una partizione P in chiusi di fl ~ X ~ - ~ X~ (formata dane controimmagini dei punti di Y - ~ X~) tale che due elementi di P siano sempre sepsrati da due aperti presentabili come unione di elementi di/~ (perch~ Y deve essere di Itsusdorff), ma, d'altrs part% esistano due elementi di P non separati da alcun clopen unione di elementi di /~. Za cosa ~ 10ossibile, addirittura nel senso che due chiusi di P non siano mai separsti da c]open, come mostra il seguente esempio di carattere geometrico; it successivo Teorema 4 fornisce poi un metodo generale per costrnire tutte le compsttificazioni di ~ X, che siano spazi di Stone. E s ~ P I O 1. -: Esiste una /amiglia (X~) di spazi di Stone tale ehe ~ X~ ammetta una eompatti/ieazione ~ the non ~ uno spazio di Stone. Sis I---- eo e X~ il duale, per ogni i, dell'algebra 2. Sin Iz il sottospazio de1 piano proiettivo reale formato dai punti propri aventi coordinate (non omogenee) intere e dai lounti impropri: Y ~ uns compattificszione di ~ X~ ma non ~ uno spszio di Stone. Infstti Y ~ compstto in quanto sottoinsieme chiuso di uno spazio compatto; ~ X~ ~ omeomorfo all'insieme dei punti propri di Ir, che risulta denso in Y perch~ ogni intorno di un punto improprio contiene necessariamente punti propri a coordinate intere. TV.Ol~E~A 4. - (i) Sia S una ]amiglia di ]unzioni eontinue da ~ X , all'insieme {0, 1} (con la topologia disereta), ehe separa punti da ehiusi. AUora, seguendo il procedimento indicato nella Costruzione 2~ si ottiene una eompatti]ieazione di ~ X~ che ~ uno spazio di Stone. (ii) Vieeversa, ogni compatti]ieazione Y di ~ X , ehe sia uno spazio di Stone ottenibile a partire da un opportuno insieme S di ]unzioni continue da ~ X , a {0, 1}. DI/~IOSTRAZI0kNE. -- (i) Che lo spazio ottenuto sin una compattificazione di ~ X~ discende dai risultati ricordati nella Costruzione 2; si tratta poi di uno spazio di Stone 10erch~ ~ un sottospazio de]lo spazio di Stone (0, 1}s. (ii) Si ponga S = {]: ] ~ una funzione continua da ~ X~ a {0, 1}, prolungabfle (6) a una funzione continua da Y a {0, 1}}. L'insieme S separa punti da chiusi in ~ X~: sin C un ehiuso di ~ X ~ e sin x e ~ X i - - C. Detta C la chiusura di C in Y, x ~ 0 e, siccome :Y ~ uno spazio d i Stone, esiste un cloioen H che separa x da C. In deftnitiva, c'~ una funzione continua da :Y a (0, 1} che separa x ds C; la sun restrizione a ~ Xi apl~artiene ad S e separ~ x da C. Si definisce 1)oi h: Y -> {0, 1}8. 1)onendo (hx)] : ix dove ] ~ il prolungamento di ] a Iz; la ftmzione h ~ an omeomorfismo frs Y e ls compattificazione di ~ X~ costruit~ (6) Necessariamente in un sol modo, perch~ Ir ~ di Hausdorff.

CLAUDIO BEI~NAI~DI: Lo spazio duale di un prodotto~ eee.

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a p a r t i r e da S. I n effetti, se x ~ y, esiste un clopen di Y che separa x d a y e quindi e'~ u n a funzione c o n t i n u a / : 1r --> (0, 1} che separa x da y; d e t t a ] la restrizione di ] a ~ X , , si ha ] ~ S e (hx)/V= (by)f: quindi hx V= hy. Z a dimostrazione si conclude senza diffieolt~, tenendo fra l'altro presente che u n a funzione continua e b i i e t t i v a da un c o m p a t t o a uno spazio di Hausdorff ~ un omeomorfismo. Chiamando eompatti/icazione di Stone u n a compattificazione che sia uno spazio di Stone, i risultati precedenti si possono cosi riassumere. C0~OLLAI~I0 2. - Ogni compatti/icazione di Stone di ~ X~ ~ il duale di un'algebra compresa ]ra B' e B; viceversa, ogni algebra di Boole in queste eondizioni ~ l'algebra duale di una eompatti]ieazione di Stone di ~ X , . Proeedendo come nella Costruzione 2, ma eonsiderando l'insieme (0, 1} al posto dell'intervallo [0, 1], si ottengono tutte e sole le compattifieazioni di Stone di ~ X , . L'insieme di tali eompattifieazioni ~ un reticolo eomp~eto. DIM0STRAZIONE. -- Si omette, per brevitY, la facile dimostrazione.

3. - U n a ipotesi.

Sis J u n ultrafiltro non principale su I e, per ogni i, sia U~ un ultrafiltro di B. T E O ~ E ~ 5 . - L'insieme U-~ {a: a e B e (i: a ~ U~} e J } ~ un ultra/iltro (7) di B

ehe non ~ indotto da atcun ultrafiltro di una singola algebra B~. DIMOS~).ZIO~E. - Si verifica senza difficolt~ che U ~ un filtro. Se po! a ~ U, allora Finsieme (i: a~ ~ U~} ~ J ; dal f a t t o che ~or ~ un ultrafiltro discende allora ehe L'ultrafiltro U non pub essere del tipo descritto nel paragrafo 1 p e r c h , , siccome J non principale, U contiene t u t t i gli elementi le cui c o m p o n e n t i sono quasi t u t t e uguali a d 1. Se si appliea il p r o c e d i m e n t o precedente a p~rtire da un ultrafiltro J t0rincipale, si r i t r o v a n o invece gli ultrafiltri di B a p p a r t e n e n t i a ~ X~. DEFINIZIONE. " Un ultrafiltro U di B ~ detto scomponibile se esistono un ultrafiltro J su I (principale o no) e u n a famiglia (U~) di ultrafiltri r i s p e t t i v a m e n t e delie algebre (B~) tall che U : {a: {i: a~ e U~.}e g } .

(7) Questo fatto ~ pitt o meno noto: easi particolari sono la somma di filtri di [7] e il prodotto /~.G di [2]; una eostruzione del tutto simile era stata data anche da M. MI~OLLI (eomunicazione verbale).

CLAI~DIO BEI~NAI~D~: .~0 spazio duale di un prodotto, eee.

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I n relazione agli ultrafiltri scomponibili si dimostrano facilmente aleune p r o priet~ di routine; ad esempio, nel easo di algebre k-complete, U ~ un ultrafiltro k - e o m p l e t o se {i: Us ~ k-eompleto} e J e J ~ k-completo (eondizione quest'ultima essenziale: se t u t t i gli U~ sono principali~ non ~ detto che lo sia anehe U). Per il seguito, ~ opportuno considerate la funzione ~: ~ ( I ) - + B cosl definita: (q~A)s ~ e~i, dove c~ ~ la funzione, caratteristica di A. ~ facile dimostrare che u n omomorfismo iniettivo (in effetti si t r a t t a dell'immersione di 1-[ 2 in YI Bsl; \

con ~* si indicher~ la funzione duale di % eiob la funzione continua (suriettiva) da X allo spazio duale di ~(I). Si noti~ in particolare, che se U ~ u n ultrafiltro scomponibile eostruito a partire da u n ultrafiltro J, allora A e J sse ~A e U per ogni A _cI. U n a eongettura ragionevol% a questo punto, ~ che tutti gli ultra]iltri di B siano seomponibili e che~ quindi, il Teorema 5 dia una risposta completa e costruttiva al problema in questione. E~ in effetti, i seguenti Lemmi 1 e 2 sembrano convalidare tale ipotesi. LEIVI:MA 1. -- Sia U un ultra/iltro di B e sia J = qJ* U. Allora J ~ un ultra/iltro

I

guale

{A: 3a

tale

{i: a, # 0} =

Se poi V

ponibile altora J ~ l'unieo ultra]iltro assoeiato a U. D~OST~AZlO~E. -- Oeeorre dimostrare innanzitutto ehe {A : ~0A e U} = {A: 3a r U tale che {i: as # 0) ~-- A ) . ~ banale che {i: (q~A), # 0} = A; vieeversa, se A = {i: as # 0} con a ~ U, allora qA >~a e quindi ~A e U. ICell'ipotesi che U sia un ultrafiltro scomponibile costruito a partiz'e da un ultrafiltro J ' , si ha A E J ' sse qA e U sse A e ~0' U (perehb ~ ~ iniettiva) e quindi J'---- J . Pifi eomplessa appare inveee la determinazione della famiglia (U~). Si osservi ehe due famiglie distinte possono dar luogo allo stesso ultrafi]tro scomponibile di B : anzi, salvo il caso banale in cui J ~ principale, una variazione arbitraria di un numero fmito di ultrafiltri non altera l~ultrafiltro scomponibile associato. Una condizione (neeessaria e) sufficiente in proposito, applicabile in molti casi pratici, ~ espressa dal seguente l e m m a ; per una eostruzione in un caso particolare si veda la dimostrazione del Teorema 7. L E n A 2. - Sia U un ultra]iltro di B e sia (Us) una /amiglia di ultra]iltri delle algebre (Bi) tale ehe I]U~ c_ U (eio~ tale che a e U s e a~ ~ Us per ogni i). Allora U ~ un ultra/iltro seomponibile: pi~ precisamente, U ~ l~ultra]iltro the si ottiene a partire dalla ]amiglia (Us) e dall~ultra]iltro J - ~ q~* U. DII~OSTRAZIONE. -- Basra o w i a m e n t e dimostrare ehe l'ultrafiltro associato a (Ui) e a J ~ incluso in U, ciob c h e s e a ~ un elemento di B tale che {i: ai e U~} e J, allora a e U. P e r il L e m m a 1, esiste u n b e U tale che {i: b~ # O} -= {i: a~ e Us) -----A ; sia c r e l e m e n t o di B tale ehe e~ = 1 se i ~ A e e~ = ai se i ~ A. Quest'ultimo elemento ha tu%e le eomponenti nei rispettivi ultrafiltri (Us) e, pertanto, per le ipotesi fatte,

CLAUDI0 BEI~NAI~DI: L0 spazio duale di un prodotto, eee.

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~ppartiene ad U. Ora, b e c appartengono ad U e, inoltre, a>~bAc: infatti, per i e A, si ha a~ = e~, mentre~ per i ~ A, si ha b~-----0. Questo completa la dimostrazione. ]~ interessante interpretare topologicamente ]a situazione. L E 3 ~ A 3. - L'ipotesi del Zemma 2, eio~ che U 3_ H U~, equivale al /atto ehe il punto U, nello spazio duale X , ~ aderente alVinsieme {U~: i e I } (s). DIMOSTRAZI0zNE. - - Tenendo presente che i clopen di uno spazio di Stone formano una base per i chiusi, si t r a t t a di dimostrare che U 9 I-[ U~ sse ogni clopen che contiene {Us: i e I} contiene anehe U. Sia a un elemento di B. L'ipotesi equivale a dire che, s e a e U~ per ogni i, allora a e U. Considerando ora a come clopen, la precedente affermazione si pub esprimere cosi: se {U~: i e I} c a allora anche U e a, il che qnanto si doveva dimostrare.

C01r162 3. - Un ultrafiltro U ~ scomponibile sse esiste un sottoinsieme H di X~ the eontenga solo un punto di ogni X~ e tale che U ~ H. DIMOST:BAZlONE.

--

Dal L e m m a

3.

Questa caratterizzazione topologica degli ultrafiltri scomponibili p o r t a a due ordini di considerazioni. I n primo luogo, l'ipotesi che t u t t i gli ultrafiltri di B siano scomponibili appure ora meno convincente, poich~ se banalmente ogni ultrafiltro U appartiene ~ X~, la richiesta espressa nel Corollario 3 ~ molto pift forte. D'altro lato, si ottien% proprio per via topologica~ la soluzione del problema in un caso particolare. TEOREI~IA 6. -- Se esiste un numero naturale n tale vhe Card B~< n per ogni i~ allora tutti gli ultra/iltri di B sono seomponibili. Di~OST~AZIO~E. -- Infatti, in questa ipotesi, ~ X~ pub essere presentato come l'unione di n insiemi contenenti un sol p u n t o per ogni X~. La tesi segue allora dal Corollario 3 e dal fatto c h e l a chiusura di un unione finita coincide con l'unione delle chiusure.

4. - Proprieth topologiche dell'insieme degli ultrafiltri seomponibili. I1 seguente semplice lemma caratterizza gli zero-set negli spazi di Stone. L E 3 ~ A 4. - Un sOttoinsieme Z di uno spazio di Stone ~ uno zero-set sse ~ intersezione numerabile di vlopen. (s) Questo identificando ciascun Us con l'ultrafiltro da esso indotto in B.

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CT,ALT])IO BE~ARDI: ZO spazio duale di ~n prodotto, eee.

I)I~OSTRAZIONE. - Un verso 6 immediato perch6 ogni clopen ~ uno zero-set e un:intersezione numerabile di zero-set 6 ancora uno zero-set. Se poi Z ~ uno zero-set i allora (cfr. [2], L e m m a 2.1) esiste una famiglia numerabile di aperti (A,),e, tale che Z -~ N A , . P e r ogni n, siccome i due chiusi Z e A~ sono disgiunti, esiste un clopen C, tale che Z _cC, _cA , ; dall'ultima relazione si deduce Z----- ~ C,. TEOI~EI~A 7. - Se una famiglia numerabile (a"),~o, di elementi di B ha la f .i.p.~ allora esiste un ultra]iltro seomponibile di B ehe contiene tutti gli a". DI~OST~AZlO~E. -- Posto I . - = {i: a~ ~ 0}, ~ chiaro che gli insiemi I~ formano una famiglia non crescente di sottoinsiemi non vuoti di I ; sia J u n ultrafiltro tale che I~ e J p e r ogni n. Ora, se esiste un i che appartiene a t u t t i gli I~, allora esiste addirittur~ un ultrafiltro a p p a r t e n e n t e a ~ X~ che contiene t u t t i gli a% Escluso questo caso banalc, si definisca f~: I --> o~ ponendo ~ui = m a x {~: i e I~}(~); si osservi che {i: ~ i > n } = I . . P e r ogni i, sia U~ un ultrafiltro che contiene a~ (quest'ultimo elemento diverso da 0 perch~ i e I~i). Sia infine U l'ultrafiltro scomponibile costruito a partire da (U~) e da J . Ogni a" appartiene ad U perch~ {i: a~ ~ U~} eontiene {i: # i > n } = I~ e quindi appartiene a J . COIIOLI,ARIO 4. Uno zero,set non vuoto di fl ~ X~ ha intersezione non vuota con l'insieme degli ultra]iltri seomponibili. - -

DIMOSTRAZlONE. -- Dal L e m m a 4 e dal Teorema 7. I1 Teorema 7 g interessante soprattutto perch~ p e r m e t t e di distinguere topologieamente l~insieme degli ultrafiltri scomponibi]i da ~ X,; la eosa g messa in evidenza dai seguenti risultati. COI~0LLAI~I0 5. - Ogni ricoprimento numerabile costituito da clopen dell'insieme degli ultra]iltri scomponibili di B ammette un sottoricoprimento /inito, (Si tratta diuna ]orma debole di compattezza numerabi!e; ovviamente ~ X , non gode della stessa proprierS). DIt~IOSTRAZIO:NE. -- In caso contrario, infatti, passando ai complementari, si otterrebbe un i n s i e m e numerabile di clopen, ciog di elementi di B, che, p u r godendo della r.i.p., non sarebbe eontenuto in alcun ultrafiltro scomponibile. 9

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Z'insieme degli ultra]iltri scomponibili di B ~ pseudoeompatto (mentre, ovviamente, ~ Xi .non !o ~). . . . . . TEORE1KA 8.

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DIMOSTRAZ!OI~E.--. Si ricordi innanzitutto che uric spazio T si dice pseudocomp a t t o se ogni funzione continua da T a d R ~ limitata; a n a l o g a m e n t e , T si dice (9) Perch~ l'ultimo insieme non sia vuoto basra supporre, come ~ leoito, ohe a ~ si~ l'el~mento i di B.

CLAUDIO BE]~NAt~DI: .~0 spazio duale di un prodotto,

eee.

263

Z-pseudocompatto (err. [1O]) se ~ limitata ogni funzione continua da T a Z (insieme degli interi con la topologia discreta). Dal Corollario 5 discende che l'insieme S degli ultrafiltri seomponibili ~ Z-pseudocompatto: se infatti, per assurdo, esistesse una funzione continua da S a Z non limitata, considerando le controimmagini dei singoletti di Z si otterrebbe un ricoprimento di S costituito da un'infinits numerabile di clopen a due a due disgiunti. L~enunciato segue ora dal I~emma 1.9.3 di [10], che afferma che uno spazio Z-pseudoc o m p a t t o ehe a m m e t t a una base di clopen ~ pseudocompatto. COI~OLLA~I0 6. - .L'insieme degli ultra]iltri scomponibili di B, se non ~ compatto non ~ nemmeno realeompatto (mentre, almeno se Card i ~ minore del primo eardinale non misurabile, ~ X~ ~ realcompatto). DIMOSTICAZIONE. -- Si rieordi ehe uno spazio T si dice realcompatto se per ogni x ~ f i T : - T esiste uno zero-set Z tale ehe x ~ Z r f i T - - T (cfr. [14] per una t r a t t a zione sull'argomento). L a prima parte dell'enunciato segue dal Teorema 7: se esistono ultrafiltli non scomponibili, il loro insieme non contiene zero-set non vuoti. l~er dimostrare la seconda parte, si osselva che, considerando l'insieme I con la topologia discreta, I ~ un quoziente di ~ X~ e, helle ipotesi fatte, I ~ realcompatto.

5. - U n c o n t r o e s e m p i o .

S f o r t u n a t a m e n t e , l'ipotesi enunciata nel paragrafo 3 ~ falsa: esistono infatti prodotti diretti the ammettono ultra]iltri non scomponibili. I1 successivo controesempio riveste un eerto interesse sia per il metodo usato nella costruzione delrultrafiltro, sia perch,, come consequenza, si otterr~ r i n v e r s o del Teorema 6. ESEMPIO 2. - Sia I = o~ e B~ = ~((o) per ognf i, ciob s l a b -- (~(co))% Ogni elemento a e B b del tipo a ----- (%, al, ...), dove ogni a~ b u n sottoinsieme di co. Di conseguenza, l ' a l g e b r a B pub essere r a p p r e s e n t a t a con un (( quadrato di Iato ~o ~>(sottoinsieme denso dello spazio duale), in eui eiascuna eolonna eolTisponde a un fattore. I1 metodo per ottenere Ultrafiltri non scomponibiti c0nsiste essenzialmente nello <(scambiare ~ le eolonne con le righe e nel costruire un ultrafiltro scomponibile rispetto a queste ultime. I n termini rigorosi, detto V un qualsiasi ultrafiltro non principale di if(co), consideriamo i] sottoinsieme U di B cosi definito:

]~ facile verificare che U ~ un ultrafiltro di B. Sia, per assurdo, (U~) una famiglia di ultrafiltri che dia luogo, con un opportuno ultrafiltro J sull'insieme degli indici,

264

CLAUDI0 BEt~E'ARDI: ~0 spazio duale di un prodotto, eee.

all'ultrafiltro U. Si consideri l'elemento b d i B avente, per ogni i, come componente i-esima l'insieme (0, 1, ..., i}: siccome per t u t t i gli n e co l'insieme (i: n e be} ~ eofinito, b e U. D'altra parte, t u t t e le componenti di b sono f n i t e e, come tall, non appartengono ad alcun ultrafiltro non principale: se ne deduce che, nell'ipotesi che esista una opportuna famiglia (Ue), si pub senz'altro supporre che tall U~ siano t u t t i principali. Sia allora c~ i l numero naturale (~0) che genera Fultrafiltro U~. L'elemento v (cio~ quello che ha come componenti ee) appartiene evidentemente all'ultrafiltro scomponibile associato a (Ue), qualunque sia J : pertanto, se si dimostr~ the invece c ~ U, si ottiene di conseguenza che U non ~ scomponibile. Gli insiemi M . ~ {i: ce ---- n} sono a due a due disgiunti, per cui al pifl uno di essi appartiene a V. 3r anora {n: {i: n ~ ee} e V}, avendo cardinalit~ minore o uguale a 1, non pub appartenere ~ V e quindi, per definizione di U, e ~ U. COI~0LLAI~I0 7. --. Un prodotto B - ~ I ] B~ ammette solo ultra/iltri seomponibili sse esiste u n numero naturale n tale the Card Be <<.n per ogni i. Dr~OSTRAZIO~E. -- Basra osservare che, nel caso in cui le cardinalit~ de]le algebre siano non limitate, si pub riprodurre il controesempio, considerando opportuni clopen al posto dei punti e apportando poi le necessarie modifiche alla dimostrazione. Sulla base del controesempio, si arriva alla seguente conclusione: gli ultrafltri di un prodotto B--~ r I Be non sono, nel caso generico, t u t t i scomponibili, proprio perch~ questi ultimi sono legati troppo strettamente alia scomposizione di B helle algebre Be. I n altre parole, per ottenere come ultrafiltri scomponibili t u t t i gli ultrafiltri di B, andrebbero considerate t u t t e le possibili sc0mposizioni di B come prodotto diretto.

6. - Proprieth algebriehe dell'insieme degli ultrafiltri seomponibili. IJa funzione ~0" introdott~ nel paragrafo 3 permette di associare ad ogni ultrafiltro U di B u n ultrafiltro J sull'insieme I degli indici. Viceversa~ a partire da un ultrafiltro J su I, si pub definire un filtro/~j di B ponendo ~'j -~ {a: {i: ai = 1} e J}. LEz~II~ 5. - ~ j -~ N { U: q~* U : J}. I n altre parole, q~* U ~- g sse U ~_~'j.

DI~OST~AZIOZ~E. -- Sia U un Ultrafiltro tale the ~0' U = J e sia a n n elemento d i / ~ j . Allora (i" ai : 1} e J e, quindi, per il L e m m a 1, esiste un elemento b e U tale che {i: b ~ r O}-----(i:ae = !}: ne segue a>~b e quindi a e U; in definitiva Fj_c U.

(10) Qui e nel s~guito ~i r

il numero c~ e i l singoletto {c~}.

CLAUDe0 BE~A~D~: Z0 spazio duale di un prodotlo, ece.

265

Viceversa, se U3_Ej, allora l'ultrafiltro ~ * U contiene {A: 3 a ~ j tale che {i: a~ ~ 0)----A); ma quest'ultimo insieme ~ J che risulta cosi uguale a ~*U. Pensando i filtri _~j come chiusi nello spazio duale, si ha il seguente teorema. TEORElVrA 9. - I chiusi .Fj costituiscono, al variare di J, una partizione di X . DI~0STRAZI0~CE. -- La cosa 6 o w i a , perchb, in base al •emma 5, si t r a t t a della partizione indotta dalla relazione di equivalenza che assoeia due nltrafiltri U e V se ~ * U ~ * V . Si osservi che, nel caso J sin l'ultrafiltro principale generato da {i}, dove i ~ I, allora F j ~ il clopen X~: pertanto, la partizione trovata~ ristretta a ~ X~, coincide con {X~: i ~ I). Si osservi anche c h e l a sottoalgebra di B costituita dagli elementi le cui componenti assumono solo i valori 0 e I corrisponde allo spazio quoziente di X che si ottiene identificando i punti che appartengono allo stesso chiuso nella partizione considerata. l~iconsiderando infine gli ultrafiltri scomponibili, si ottiene un'altra descrizione dello spazio X. TEORE~[• 10. -- (i) Sin ~Ej l'insieme degli ultrafiltri seomponibili assoeiati a J. Allora E j ~ F j per ogni J. (ii) 2in U un ultrafiltro di B e sin J : 99* U. Esiste un uttra]iltro K su E j tale the U ~ - { a ' ( V : V+Eo, e a e V}+.K_}. DIZ~OS+RAZIO~E. - (i) I1 fatto ehe ]a chinsura di E+ sia uguale a F j equivale a dire ehe se un elemento a di B appartiene a V per ogni V ~ E+, allora a appartiene anche al filtro ~ . Sin a ~/vj cio6 sin {i: a~ = 1} ~ J ; per ogni i per cui ai V= 1, sin U~ un ultrafiltro di B tale che a~ ~ U~. Allora a non appartiene a]i'ultrafiltro scomponibile indotto dalla famiglia (U~) (qualunque siano gli ultr~filtri relativi alle altre algebre). : (ii) Questa seconda asserzione discende dalla precedente, perchb, in generale, se un ultrafiltro U appartiene alla chiusura di un sottoinsieme A d i X , alIora U completamente individuato dalle intersezioni con A dei suoi elementi (visti come sottoinsiemi di X). In altre parole, basta assumere come K nn qualsiasi ultrafiltro ehe contenga il filtro gencrato da {a (3 Ej: a e U} (e che quest'ultimo sin proprio discende appunto d a l fatto che U ~ Ej). Commento al Teorema 10. - I1 precedente risultato mostra come, mediante un procedimento iterato rispetto a quello descritto nel paragrafo 3, sin possibile ottenere t u t t i gli ultrafiltri dell'algebra prodotto B. In effetti, lo stesso metodo con cui, partire da una famiglia (U~), si eostruisce un ultrafiltro scomponibile di B I permette di ottenere un qualsiasi ultrafiltro di B a partire da quelli scomponibili. ~aturalmente~ la cosa sarebbe del t u t t o banale se fosse neeessario considerate

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CLAUDIO BERNARDI: Lo spazio duale di un prodotto, eec.

l'insieme di t u t t i gli ultr~filtri scomponibili, in quanto il loro insieme, al pari di ~X~ ~ denso in X : il risultato consente invece di limitarsi ai soli ultrafiltri scomponibili associati allo stesso ultrafiltro sull'insieme degli indici ~ cui ~ associa.to rultr~filtro di B che si vuole t r o w r e . La situazione topologica si pub cosi riassumere: ]a partizione b~nale in clopen di ~ X~ ~ estesa a u n a partizione in chiusi di t u t t o l'insieme X ; ciascuno di tall chiusi contiene un sottoinsieme denso form~to d~ ultr~filtri scomponibili. I n conclusione, ]'introduzione degli ultr~filtri scomponibili ~ giustific~ta~ oltrc che d~ll~ semplicit~ de] procedimento costruttiv% dal futto che il loro insieme ap-

prossima X molto meglio di ~ X~: Infatti, sotto r a s p e t t o p u r a m e n t e insiemistico, ~ X~ ~ in generale molto pifi (( piccolo ~ delFinsieme degli ultrafiltri scomponibili: ad esempio, se si considera il p r o d o t t o di ~ algebre (dove ~ ~ un cardinale infinito) t u t t e con 2 soli elementi, si h~ Card ~ X~ -~ ~, mentre, per un noto risult~to di T~rski, Card X ~ 2 ~ (e in questo caso t u t t i gli elementi di X sono ultrafiltri scomponibili). Sotto ]~aspetto topologico, poi, si ~ visto nel par~grafo 4 come l~insieme degli ultrafiltri scomponibili goda, a differenza di ~ X~, di vurie forme deboli di compattezza. Infine, il Tcorem~ 10 (ii) gar~ntisee che a,nchc sotto l~aspetto algebrico 1~ (~ distanz~ ~ fr~ l~insieme degli ultmfiltri scomponibili ed X ~ molto minore di quell~ fr~ ~ X ~ e lo stesso X. BIBLIOGRAFIA [1] R. E. CHANDLER, Hausdor]] compaeti]ieations, Marcel Dekker, New York, 1976. [2] W. W. COMFO~ - S. ~G~V.rONTIS, The Theory o] Ultra/liters, Springer-Verlag, Berlino, 1974. [3] Pm DwING~, Remarks on the ]ie.ld representation o] Boolean algebras, Indag. Math., 22 (1960), pp. 213-217. [4] Z. F~OLIK, Sums o] ultra]liters, Bull. Amer. Math. Soc., 73 (1967), pp. 87-91. [5] P. R. HALLOS, Algebraic Logic I: Monadic Boolean Algebras, Compositio Math., 12 (1955), pp. 217-249 (ristampato in Algebraic Logic, Chelsea Publ. Co., New York, 1962). [6] P. R. HALMOS, Lectures on Boolean Algebras, Van Nostrand, Toronto, i963, [7] R. MAhdi, Variet~ a quozienti ]iltrali, Ann. Un. Ferrara (Nuova Serie), Sez. VII, 14 (1969), pp. 5-20. [8] R. MAGARI, Congruenze di un prodotto diretto legate atle congruenze dei ]attori (Congruenze ideali I) (Algebre a congrUenze speciali, parte 111), in Atti del Convegno di Teoria dei Modelli, Roma, 1969. [9] R. MAGARt, Representation and duality theory ]or diagonalizable algebras, Studia Logica, 34 (1975), pp. 305-313. " [10] R. S. PIeRCe,, Bings o] integer-valued continuous ]unctions, Trans. Amer. Math. Soc., 100 (1961), pp. 371-394. [11] R. SIxo~sxL Cartesian ~roduet o] Boolean algebras, Fund. Math., 37 (1950), pp. 25-54. [12] R. SIXORSKI, Boolean Algebras, Springer, Berlino, 1964. [13] S. STV.FA~I, On the ~epresentation o] Hemimorl~hisms between Boolean Algeb~'as, Boll. Un. Mat. Ital., 13.A (1976), pp. 206.211. [14] J. VAN D~R SLOT, A survey of realvompaetness, in Theory o] Sets and Topology, eurato da Asser et al., VEB Deutscher der Wissenschaften, Berlino,-1972, pp. 473-494.