Journal de Math6matiques et de Physiqueappliqu6es (ZAMP) Vol. 24, 1973
Birkh~iuserVerlag Basel
Probl6mes de Sturm-Liouville: bornes p o u r les valeurs propres et les z6ros des fonctions propres C. Troisi6me partie: Suite de bornes inf6rieures et sup6rieures pour les z6ros des fonctions propres Par Yves Biollay, Ecole polytechnique f6d6rale, ZiJrich
Introduction A l'aide du proc6d6 d6crit dans la premi6re [A] et la seconde partie [B] de ce travail, on d6termine des bornes inf6rieures pour les plus petites valeurs propres des probl6mes d6finis dans I' et I", deux intervalles partiels obtenus par un partage arbitraire de l'intervalle initial I. De faqon analogue, on trouvera des bornes sup6rieures par l'in6galit6 de Barta et le processus d'it6ration de Schwarz. C'est ~ partir de ces diff6rentes bornes que l'on obtiendra des 6valuations pour le z6ro de la deuxi6me fonction propre, puis, en g6n6ralisant la m6thode, pour les z6ros des fonctions propres sup6rieures. Pour ce qui suit, toute r6f6rence accompagn6e de l'indication [A] ou [B] se rapporte ~t la premi6re ou ~tla deuxi6me partie de ce travail (voir ZAMP, 24, 525 et 730, 1973).
6. Bornes sup6rieures pour 2~ 6.1 Bornes pour 2 a. Consid6rons ~t nouveau les fonctions Alors,
2~,<_sup[P"-'(x)l=l!m(
P"-'
et
~,~i t
2 t
p.(x)
J
r
~. \
p,
p,(x) et q,(x) du
paragraphe 3.3 [A].
]=s.
(6.1)
!
= lim
= t..
(6.2)
6.1.1 Cas p ( a ) < ~ :
p(x) x~ak p(x) pqpd~+q(x)fpp2d~
s 1= lim
X
1 lim
P
q pp2d~
(= + ~ si q(a)=O).
872
Yves Biollay
ZAMP
P o u r n > 2, x
b
p(x) l PqP._2dr +q(x) I P PP._2dr s. = lim
ax
b
;
x--,a p(x) ~ p qP.-x d~ + q(x) ~ p PP.-1 d( a
si
X
q(a) = O, x
S, = lim
b
b
I p q p._~d~ + q I P pp._~d~ Px ~ q b =
(q, p_p, q) p-2 ~ppp._2d ~ lim
(q, p_p, q) p-2 ~ppp._~ d( a
x
Px
d'ofi, en tous cas,
s,= ~ppp,_2d
ppp,_ad~.
(6.3)
a
On aura de fagon analogue, si q (b) < 0% q = l l i mx-~b k
[
x
q(x)/p(x)~, pq2d(
] ( = +00 s i p ( b ) = 0 ) ,
n>2,
t,=Spqq,_2d
pqqn_ld(.
(6.4)
6.1.2 Cas p (a)= + oe: par 3.3.2 [A], il existe u n m fini (m >_ 1) tel que soient Po(a)=pl(a) . . . . . p,_l(a) = + 0% p , ( a ) < oe. Alors, s, >__s2 >_ ...
_>s,=lim (x -P,-1 L - - , tl = +o~,
et x
b
p(x) ~ p qpn+n_2d( +q(x) ~ ppp.+s_2d( s.+N= lim
"~
~
,
x~, p(x)~pqp.+N_ld~+q(x)~ppp.+n_ld ~ a
puisque
x
p.+N_l(a) < o% b
lim 9r
q(x) ~ P P P.+n_2 d( < oe , x
et l'on a c o m m e auparavant
s"+N=lim [~
P PP"+n-ld
"
N = 1, 2, ...;
Pm(a)< oe:
Vol. 24, 1973
Suite de b o r n e s infgrieures et sup6rieures
873
6.1.3 Transformons (6.3) par des int6grations par parties successives. On a: b
b
b
b
~ppp2,,_2dx= ~ppZm_idx et
~ppp2m_idx= Sppm_lPmdX, r e = l , 2 , . . . .
a
a
a
D'ofi,
b
b
Ip
ax
a S 2 m ~-
a
P Pro-1 Pm dx a
l~
'
S2m+l--
(6.5)
b
~ P Pm_i Pmdx
a
a
On voit ainsi que s 2m est un <
,et s 2m4-1 un quotient de Rayleigh (cf. L. Collatz [1] p. 180; le quotient de Schwarz est une valeur interm6diaire comprise entre les quotients de Rayleigh de deux fonctions it6r6es successives). I1 en sera de m~me pour t2m et t2~+a. Mais, en g6n6ral, s, est diff6rent de t,. 6.1.4 Passage fi la limite: puisque on a:
S2m+X(ou t2m+i ) est un quotient de Rayleigh,
l i l T l S2m +1 ='~'1 "
6.1.5 Exemple num6rique: reprenons l'exemple du paragraphe 3.3.5 [A] :
-[xu']'+lu=2xu,
u(0)=u(1)=0
et 21-~14,682.
X
On obtient pour q,
..., t7:
+ o0; 24; 16; 15; 192/13 _ 14,77; 1456/99 -~ 14,71; 66'528/4529 _ 14,689. Les bornes sup6rieures s~, ..., s s valent: + ~ ; + ~ ; 336/19--- 17,7; 2280/149--- 15,3; 11'920/803_~ 14,85. 6.2 Bornes pour 22. Utilisons le m~me proc6d6 que celui du paragraphe 4 [B]. 6.2.1 On aura ranalogue de 6.1 dans chaque intervalle partiel. Posons + 1 . ~(x;y) = q (Y~)lira fo (x; y)
vl fy)=T.
~l(X) ~ p I)2(~; y) d~
k
x~a
Y
q(x) j p foZ(~; Y) d~
x
et pour n > 2, y
(.P(X) fo(x; Y) f,_z(x; y)dx a
j p(X) fo(X; y) f~_ ~(x; y) dx
a
(6.6)
874
Yves Biollay
ZAMP
De m~me, /~- (y)= P(Y)lim [go(X; k
x~b
y)/p(x)~p go(]((; y)d~], Y
n>2, ~p(x)go(x;y)g._2(x;y)d
/~+ (y) =
P(x)go(x;y)g,_l(x;y)dx.
(6.7)
Y
6.2.2 C o m p o r t e m e n t de v+ et/~,+ : Consid6rons les cas off v,+ et/~,+ existent; puisque v,+ (y)> ~ (y)> v~ (y), on a par 4.2.1 [B-I, lira Vn+ (y) = + ~ ; de m~me, lim #,+ (y) = + ~ . y'~a
y/~b
En partant de (6.6), des calculs semblables ~ ceux de 4.2.2 I-B] donnent: Y
dv~=f~(y)=
1
IP(x)q(x)fl(x;y)dx [ ;
dy
v~ v~-]
2(v~ - v~-)- v-~-
k a(y) q(y) I P(X)fo(x;y)fl(x; y)dx a
n_>3:
1
SpCx)q(x)f"-l(x;y)dx a
Vn+(Y)= ka(y) q(y)
, H.(y)
{p(x) fo(x; y) f,_t(x; y)dx a
avec
/_/.(y)=2(v;_v.+)+
.-z
-
y~ v.+,_~.
'+1
.. v~-
(v;_~-
+
v~-
v.+
Vn ) - - ~ -
• 1 " " Yl-
v+ (y) est donc d6croissant. On trouvera de mani6re analogue:/~,+ (y)> 0. Posons ~n+ (y) = p,+ ( y ) - v,+ (y): ~,+ (a) = - ~ , ~0,+ (b) = + ~ , ~b,+ (y) > 0. I1 existe donc un et un seul y = q, satisfaisant 4 , + (y)= 0. 6.2.3 Par le principe de Poincar6, on a:
22 < max [9 (y),/~ (y)] _
22 < v+ (~/n) (6.8)
En effet, si q . _ 1 -< q . ,
V+ (~]n) -~ V L 1 (~n) -~ F L 1 (~]n- 1) +
+
<
+
<
+
+
V. (qn)=m (~.)--~.-l(~n)--fl.-,(~.-l) = V.-,(~.-0
si ~ . < q . _ ~ .
Vol. 24, 1973
Suite de bornes inf6rieures et sup6rieures
875
6.2.4 Passage/1 la limite: V n > 3, Y
Y
1 __ ~n+ ( y ) ~_
~Pqf"-ldx
1 v2_ v+ >_ vi ka(y) q(y)
a
k a (y) q (y)
r
S p fof._,d,,
5Pqf._ldx r ~Pfof.-ld x
v .+
a
a
Y
1 > --
1
~pfof,_ldx a
k2 a(y)
y
vC...v;
Y
[.py2dx[.pf2_ldx a
a
par (4.5) [B] et l'in6galit6 de Schwarz. Par 4.3.1 [B], r 1 1 5pfof,_,dx
-vf(Y)>2k2CERS
v?...v;
~pfZ_xd x
a Y
y+
(6.9)
a
>E
1
vF...v2
~.-1. f > E .
Par suite, 4~.+ (y)> E > 0. Alors, comme pour 4.3.3 [B], limq,=z n~oo
et
(6.10)
limv +(q.)=22. n~oo
6.2.5 Exemple num6rique: reprenons l'exemple du paragraphe 4.4 [B]: 2 -[(l+x2)u']'=~.u,
u'(0)=u(1)=0:22=36
ltX-
et z-~0,268.
On obtient: v~-(y) = 3 (Arctg y)- 2, #~- (y) = + oo __ 4-2
v~ (y) = a. (Arctg y)- 2,
a2 =
/a.+(y)= b . ( n - 4 A r c t g y) -~,
b 2 =240, b3= 168;
~,
a3 - - 1-5
d'ofl qz ~0,231, r/3 "0,262 et les bornes sup6rieures correspondantes valent environ 48,23 et 37,55. 6.2.6 On peut 6galement obtenir des bornes sup&ieures en partant des fonctions initiales qo (x) = q (x) et Po (x) = p (x). Alors, dans ce cas, ~(y)=lim
X~y
q(x
pq2d~ =+oo,
et pour n > 2,
~(y)...7+, (y)= ~ p(x)q2(x)dx a
p(x) q(x)gl,_~(x; y)dx.
(6.11)
876
Yves Biollay
ZAMP
De m6me, fi~- = + oo et p o u r n > 2
~IO,)...f,2(y)=I p(x)pZ(x)ax
p(x)p(x)~._i(x;y)ax.
(6.12)
Y
d~
Mais ici, on n'a pas en g~ndral ~
< 0.
P a r exemple, consid6rons - u" = 2 p u, p (x) -- 102. 103 x I oo + 30, u (0) = C b(u) = 0, b > l . Ici, q= x, Ol = - x l ~ 5 x3 +(ya~ + 5 y2) x, ~- (y) = (102ylOO + 10)/y2 [ ~
yZOO+ --i-~y?n lo2. loo + 20].
Prenons Yo tel que 102 y~Oo___ 1 : Yo - 0,9548 et Yl = 1; on trouve: ~ - (Yo) -~ 0,597 < ~ - (Yl) -~ 1,242. A l'aide de calculs semblables ~t ceux de 4.2.2 [B], et en utilisant les relations
8 ~--}-g11(x;y)=Dglo(X), t?y qn(X;y)=D
1 r D= tr(y)q2(y ) ~pqZdx,
q,_l(x;y)
"= ~_(y),..~+(y)
~n_i(x;y)
pour n>2,
on obtient, p a r d6rivation,
du =
ay
y
1
p(y)qZ(y)
V~ (y) a(Y)q2(Y)
p (x) q2 (x) dx
S P (x) q(x) 01(x; y) ax a Y
dT~_dy
a (y)7~(Y)qz(y) ~ p q 2 d x [ ~ ) - 2 ~ ( Y ) ] ,
....
6.3 Bornes sup6rieures p o u r 2j, j > 3. D 6 c o m p o s o n s l'intervalle [a, b] c o m m e au p a r a g r a p h e 5. [B], et prenons, c o m m e fonctions initiales, un multiple de la ~ b r a n c h e droite)) de la fonction de Green p o u r le premier intervalle partiel (c-/l-d. une fonction satisfaisant L[v] = 0 et s'annulant/l l'extr6mit6 droite de l'intervalle), et des multiples des ~branches gauches)> p o u r les autres intervalles (c-/t-d., p o u r chaque intervalle, une fonction satisfaisant L[v] = 0 et s ' a n n u l a n t / t l'extr6mit6 gauche). D6terminons les suprerna des quotients des fonctions it6r6es, et soient v+(y(1)), 0 + (y~m) y(m +1)), m = i .... , j - 2, I~+ (y(J- 1)) ces suprema. On a dans ce cas:
dr2 <0, dye1)
~ O,+(y(m),y(m+X))>O,
~?y,n)
dP+ >0,
d y(J- t)
n_>2.
Vol. 24, 1973
Suite de bornes inf6rieures et sup6rieures
Alors, il existe au moins un syst6me de (j - 1) points ..,,r les relations ~ + ( ~ ( a ) ~ _ / ~ + (iq(m) .,.,,,--Vn
(re+t)
..... ~.
+
)=~.(~.
(j-
877
..., r/0 -a)) satisfaisant
").
D6monstration: r6solvons d'abord l'6quation
v + (y(a)) = O+ (y(a), y(2))
p o u r y(2) fixe.
(1)
Puisque v,+ est m o n o t o n e d6croissant et 0.+ m o n o t o n e croissant en y") et que v,+ (resp. 0.+) est infini en y(a)=a (resp. en y(1)=y(2)), il existe un seul ya)=~/(a)(y(2)) satisfaisant l'6galit6. On a: lim,t,~0) = a
y(2).., a n
et
l i m q. .(a) ~= b ,
(2)
y(2)~ b
sinon, par (i), lira y(2)-., b
0,,+ (~l,,(~),Y (2)) = + ~ = v , + ( b ) < ~ .
Consid6rons ensuite 0+
[r/(.~)(y(2)), y(2)'l -- 0 + (y(2) yt3))= CDn(y(2) ' y(3)), a < y ( 2 ) < y ( 3 ) <
b.
P o u r y(3) fixe, lim~.=+~
y(2)~ a
et
lim ~ . = - ~ .
y(2)~ y(3)
C o m m e ~ , est continue (de par la continuit6 de v + et 0+), il existe au moins un y(2)= r/(2)(y(3)) tel que (b. (~/(2),y(3))= O, et l'on a lira q(2) = a,
y(3}-., a
lim ~/(2)4=b,
y(3)--* b
sinon, y'~'~b lim 0 "+ r~'t. , Y .,(3)~J-- + O0 = O.+ [q.(a) (b), b] < ~ par (2). On continue ainsi de proche en proche p o u r aboutir aux relations suivantes: olim~ a , ? - 2 ) ( y ( i - a ) ) = a
y "-
et
,limbrl?-a'*b.
Consid6rons enfin 0,+ It/,( j -
2)
(y ( j - 1)), y(~- a)] _ #+ (y(~- a)) = F, (yO- 17).
Alors, lira F~ = + ~ ,
y(J- ) ~ a
lim F~ = -
y(J- 1)-,b
et F~ continue: il existe au moins un
y(j-a)_n(j-a) satisfaisant F~(y(J-a))=0, - - "/n
c.q.f.d.
C o m m e au paragraphe 6.2.3, par le principe de Poincar6, on obtient (a) ,tj_
(6.13)
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ZAMP
7. Bornes inf~rieures et sup~rieures pour ies z~ros des fonctions propres 7.1 Suites monotones de bomes pour le z6ro de u 2. Soit z~(a, b) tel que u2(z)=0, et reprenons les fonctions v~ (y), #2 (y) et v+(y), tl + (y) des paragraphes 4.1 [B] et 6.2.1. 7.1.1 Bomes inf6rieures: Posons f22 (y) = v2 (y)-/~+ (y); puisque f2,;- est monotone d6croissante et change de signe, il existe un seul y =z;- satisfaisant ~2;-(y)= 0, et ~ 2 (y) <_v2+ 1 (y) - m++i (y) = 82+, (s),
0
d'ofi z;"
(7.1)
d'oO Vn, z2
(7.2)
Passage/t la limite: V n > 3, - 0 2 ( y ) = -f~(y)+[~+,(y)>_E+E=2E>O
par 4.3.1 [B] et 6.2.4.
/ + ] _
Figure 1 Bornes pour le z6ro de la deuxi6me fonction propre
z~ z
z~
Done, P2 (z) - f2; (z2 ) = e,= (z - z2 ) (22(z*), z* entre z2 et z;
le,l>lz-z:lZE,
d'ofi !im z 2 = z .
(7.3)
7.1.2 Bornes sup6rieures: En posant O+ (y)=/~-(y)- v+ (y), et en d6finissant z+ par la relation P+(z+)= 0, on obtiendra de faqon analogue: +> + >z
Zn - - Z n + I - -
et
timz.+--z.
n~o
(7.4)
Vol. 24, 1973
879
Suite de bornes inf6rieureset sup~rieures
7.1.3 Exemple num6rique: - u " = 2 u ,
u(O)=u'(l)=O; z = ~ .
On obtient:
v , - = a , y -2,
a,=6,
60 294 1240 25'146 7 ' 3 1 ' 127' 2 ' 5 5 5 '
# n = b , ( 1 - y ) -2,
b.=2,
12 150 3416 124'650 5 ' 6 1 ' 1 3 8 5 ' 50'521'
v+ = c . y -2,
c , = o o , 15,
I~+"=d"(1-Y)-2'
dn=3'
5 2'
, 10, 42 17'
153 62'
99 1-6'
1705 691'
d'ot~ z~- ,-~0,585; 0,649; 0,6621; 0,6654; 0,66635,
n = 1, ..., 5,
z,+ ~_
n = 2 , ..., 5.
0,714; 0,6728; 0,6682; 0,66701,
7.2 Suites de bornes pour les z6ros de u j, j > 3. Soient z tl), z t2), ..., z ~ les zdros de uj et v(y~ O(y (m), yt,,,+l)), m = i .... , j - I , p(yO-~)) les valeurs propres des probl6mes d6finis dans les intervalles partiels [a, y(~)], [y('), y(" + ~)], [yO'- x), b]. Consid6rons les fonctions v2 (y(1)), 07 (y(m),y(m+l)), #2 (yO-~)) et v+ (y(1)), 0 + (y(m),y(m+~)), /~+ (y(~-1)) des paragraphes 5.1 [B] et 6.3. 7.2.1 Bornes inf6rieures: rdsolvons le syst6me v;- (y~))- 0 + (y(', y~2~), -
- .~,, y(2))= 0 + (yC2),y(3))..... 0~- ly
On (y(i- 1), y~0)= 0 + (y(i), y(i + 17). . . . . On (y0- 2), y0-1)) =/Z+ (y(~- 1)). Ce syst6me poss6de au moins une solution (z(,x)- , z(,z)- , .... z(~-17-): la d6monstration est identique h celle du paragraphe 6.3. On a alors: z (m)- ~ Z (m),
m = 1, 2 , . . . ,
(7.5)
j -- 1.
D6monstration: puisque les v n, o n , p n , inf6rieures, resp, supdrieures, des v, O, I~, on a
resp. v,+, 0 ,+, # , ,+ sont des bornes
v2 (ytl))_ 0 + (y(1), y(2)) = K . (ya), y(2)) < v (y(l)) _ 0 (y(l), y(2)).... ,
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880
ZAMP
et, en particulier,
K.(z}X,)-,zt.2)-)=O<_v(z. (1) ) - O ( z . (1) - ,z.( 2 ) - )
[r,]
-
<0(ZO)-
Z(2)--]__A(~:(2)
-
7(3)--]
[r2]
o < o ( ~ ? - , ~(./+1)-)_ 0 (~/+~)-, z ( - 2 ) - ) (i+1)--
O
(i+2)--
,z.
~/_(i+2)-
) - ~,~.
[r/+l]
Z(i + 3 ) - ' 1
, .
,
O
[/'/+2"]
[%1]
(A) On a z(.~)- _ 0 . C o m m e v (z (1))= 0 (z (1), z(2)), la relation [q"] donne: o _< Iv (z~))-) - v (z(1))] - E0 (z(." - , z(.2)-) - 0 (z "), & ) ) ] = - (z(1)- _ z(1)) A 1 + (z(.2) - . z(2)) B 1 par le th6or6me de la moyenne, off A t, B1 > 0 puisque
dv <0, d y ")
8 8y(m ) 0(y(m),y(m+l))>0,
~ O(y(m),y(m+l))
dp >0 d y(J- 1)
(th6or6me de monotonie). Par suite, ~,-(2)-_ z(2) > O. Par [rl] + [rz], 0 <_ v (z.(1)- )-O(z. (2)- ,z.(3)- ) : -(z(. t)--z"))A2-(z~. 2~--z(2))B2+(z(. 3 ) - - z (3~) c 2 avec A2, B2, C2 > 0, d'ofi z},a)- - z (3) >0. Etc. Par [rl] + [r2] + .-- + [ri_2], on aura z(.J-1)--z(J-1)>O. Mais par [rl] +--- + [rj_2] + [rj_ 1], 0 _< v (z.(1) -- ) - ~ (z.(j -- 1) -- ) = _ ( z ( . -
- - Z (1))
A j _ 1 _ (z(.j- 1)- _ z~j- 1)) B j_ 1 < 0,
ce qui est une contradiction; donc, z(.1)- - z ( n < 0. (B) Saz. " " ) - - z (/)< _O, alors z(.i+l)--z(i+l)<_O. Car, en supposant z(./ +a)- _ z(i + 1) > O, la relation [r/+ 1] donne:
O _ ( z .6 ) -
_ Z(0)
A/+ 1 -(z~./+1)- - z " + n ) B i + l +(z(.i+2)-
-- z(i+2))
Ci+l
off Ai+l, B/+I, CI+1 >0, donc z(.i+2)- - z (i+2) > 0 ; par [ri+l] + [r/+2],
o<_ o(z~)-, ~(./+"-)-O(z~ + 2)-, z(~+ 3)-) = (Z(i)- -- z(i)) Ai+2 _ (z(i + 1 ) -
+ (Z~/+3)- __Z(i+ 3)) Di+ 2
_
z(i +1)) Bi+2 _ (z(i +2)- _ z" + 2 ) ) Ci+2
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Suite de bornes inf6rieures et sup6rieures
881
avec A i+2, Bi+ 2, C i + 2, D i + 2 > 0, d'ofi zt,i + a)- _ z 0 + a) > 0; et ainsi de proche en proche, ce qui, c o m m e sous (A), conduit fi une contradiction. Donc, z,(i+~)- - z (i+u < 0 , c.q.f.d. 7.2.2 Bornes sup6rleures: on r6soud cette fois le syst6me 02 (y{1),y(2))= v+ (ytl)), 02 (y{2), y(3)) = 0+(y(1), y(2))..... # n (y(j-1))= 0 + (y(j-2), ytj-1)), et soit (zC,1)+,... , z.(j-1)+~, une solution. Alors, de faqon analogue, on aura, p o u r m = 1, ..., j - 1 : Z(m)+ ~___z(m).
(7.6)
7.2.3 Passage h la limite: Posons, p o u r simplifier l'6criture, y ( m ) = c et y(m+l)=y et consid6rons O~+(c,y) off y est le param6tre variable. 0,+ correspond ~t ~+ du paragraphe 6.2.6, c4t-d. Y
f p(x)
dx
y)
t:
On+ -- r
avec 0 (x) = p (c) q (x)-- q (c) p (x) = 0 o (x)
I p(x) Q(x) On_l(X; y) dx
e et
Q._i(x;y)= /5(x;
k[ - ~
x
P(x;y)SpQQ.-2d(+Q(x)~pPO..-2d( c
y)=q(y)p(x)-p(y)q(x).
x
] '
Alors, p o u r n > 4 ,
dO:=o+=M.O+ (OLt-O+)+ .-5 ~ oLl_,...oL1 02...0 + (o+_o+)_o+] dy i=2 Y
M = S P ~2 dx/tr(y) ~2 (y). e P o u r n = 2 m (m > 3), l'expression entre crochets s'6crit aussi: m-1
2(O~,.-1--Ofm)+ 2
+
j=2
+
+
Z' 0 2 m +O~l -"''0+ J"'02"-I
+ + (02m--j--O2m)
= 2 S m - Om+l...O2m/O + + 2+ ...0 m+ .
Evaluation de 0,+ :
a)
Sm~ 0 p o u r
m ~ oe :
Sm-O2m-l-<+
O~m'+ Z (O~m--~--O~m)~(m--1)(O++ 1-O~m)"
m--1
j=2
+
0,, +1...02,,
02...0.+
882 On
YvesBiollay a:
+ + Om+l--Om+2
--
Y
Y
I P OOm-, dx
I P OOm dx
c
c Y
y
IpO.O..ax
j p O0,,,+,,Ix
c
c
pour m>__1, Q"--,~'==l~
ZAMP
~ti
Ui, off Ui(x; c;y)=fonction propre norm6e et Ai(c;y) sa
valeur propre correspondante:
L[Ui]= Aip U~,
Ui(c;y)= U~(y;y)=O;
y
y
oq=SpQiUidx c
co
~pQQmdx= Y'R./A ~.-'
et c
i=l
flvec
fli = IPO-.~U i d x l p O - U i d x = ~ [ c
PQU~dx 9
r
Ainsi, 1
y
1
Y
O < f l , < ~ ~ pO2 d x < - - ~ p(22 d x = B ', - Ai c - A1 ," oo
AT-' ~pOO.,,,dx=fll + ~ fl,(A1/A,)"-t=fll + 2 flir~ -1 c
i=2
i=2 oo
<<_fll + B' ~ r~'- l < fl l + B' ~ - 2 B" = fl l + B rr - 2 i=2
(B"=A,
k
du paragrap"e3.3.4A1).
Y
Donc,
r fl, < A"/- ~ ~pQQmdx
AI(c;Y) <1, r=rz= A2(c;y )
r
et O+
•+
"+1-v"+2-"1
fll+Brm-3 fll
A1
fll A1B fll + B r m - 1 - fll
fll(l+r2)
+Br~-I
~.rn-- 3
flI+ Br'-1
1)(0++1-O~m)
1)(r ~ - 3 + r m - 2 + ... + r 2 m - 5 )
(t)
Vol. 24, 1973
Suite de bornes inf6rieureset sup6rieures
0m++l... 0~-.
b)
1
o~...o;
883
( f P 0 0 . - 1 dx) 2
Y
Y
I pO? ax
IPO-.O.2m-,ax
c
r
oo
a'l m Y
Y
Y
jpO2dx A~"-2jpOff2.,._idx c
5pO'ax c
c
"~
g1 ~ A 1
y
i=2
(2)
y
Ip 0 2 a,~
Ip 0-.2 ax
r
r
puisque 0 < fl~ et 0 < r, < 1. C o m m e 0~-m> A1, on obtient, avec (1) et (2),
-O~.>M'A,[-K{m-l}2r'-3+A,(!pQU, dx)2/fpQ2dx] y
2
=-K'(c;y)(m-l)2rm-3+ A~(,! pQU,dxl/.(y)Q2~v) = - K ' ( m - 1)2 rm-3 + M ' ( c ; y). c)
1
On a: M' > 8 k 2 C 2 RS - E' off C, R, S sont des constantes (ind6pendantes de c
et y) d6finies au paragraphe 4.3.1 [B]. En effet,
Ul=Al~ ~-
oQUid~+(2(x)~oPU~d~
P(x;y)
x
k
j p U2 clx= 1
Y
y
<2A,-~-,,lJp PU,dx j pQU,dx,
c
~lJJ
c
c
2
0-~
1
1
> )'' p P G dx 4k2 j p p2 dx
P
4k z
r
>_
1
1 Y
8k 2 C 2 ~pdx r
1
1
et comme --777__,> ~ - , M ' > 1/8k 2 C2RS. aW) o
8k 2 C2R
Yves Biollay
884 D'ofi -O~m(c;y)>E'-K'(c;y)(m-1)Zrm-3: -02m(c;y)>E tt > O , m > m .,, Remarque: on a 9
ZAMP
V y > c + e , il existe u n m ' tel que
+
M'=
(r.f P 0 U1dx )2 =
A~
o (y) 0 2 iY)- ;
dA 1 dy
(voir K. S. Miller et M.M. Schiffer [2])9 Revenons au syst6me du paragraphe 79
v; (ym) = O+ (ym, y(Z)),
:
02 (y("-!), y(,,o) = O+ (yOn),yO,,+1)),
m = 2 ..... j - 2,
0~- (yU- 2), yU- 1))= tt + (yU- 1)), de solution (z(,1)-, ..., z,U-1)-). Consid6rons, par analogie au paragraphe 59 les fonctions 4, Cv(1), y(2)) = 0+ (y(1), y(2)) _ v2 (yo)), 'e. Cvm, y("~, y(" + 1)) = 0 + (y~,.~, yo. + 1)) _ v2 Cvm), - (1) , y ( j - 1 ) ) _-/~.+ (y(j-1))-v;; Q.Lv
(y")).
On a: ~,(z(.')-, z~2)-)=0, (1)-
(m)--
~ln (Z n
,2 n
(m+l)-
, Zn
)
= [0+. (z(.")-, z(." +" - ) - O. ( z T - ~)-, z(.m)- )]
+FO-t.(m-1)- .(m)-~ n+t.(.,-.- z(.,)-)] _.~._FI~+/7(m--1)-- ~,(m)--'~
/~-- /~.(m--2)-- ~,(m--1) -- u _i_9149
~-[of (~(."-,z.(~>-) - v.(~.-(1)-)] 1 =
Z
F A - 1,7(i) -
,r(i+l)-'~
/~l+ (,r(i)- :z(i+l)--~-I
i=m-1
- (1)- ,._r(m)d'ofi !im~P,(z, . , Z(~ +a)-)=0; de m~me pour O,(z(.1)-, z(,/-1)-). On a aussi: lim 4,
(Z (1), Z (2)) =
lim ~, (z (1), z (m),Z (m+ 1 ) ) = lim 12, (Z (1), Z ( j -
1))= 0.
Alors, de la marne faqon qu'au paragraphe 5.4.3 [B], nous obtenons:
!im z(,,i)- = z (i),
i = 1,... , j - 1.
Similairement
!im| O+= z (i)
(7.7)
Vol. 24,1973
Suite de bornes inf6rieures et sup6rieures
7.2.4 E x e m p l e n u m 6 r i q u e :
885
- u" = 2 u, u (0) = u (3) = 0: z (1) = 1, z ~2) = 2. O n o b t i e n t
ici: (z~l)- ; z~2)-)-~(0,738; 1,714);
(z~l)- ; z~32)-)_ (0,949; 1,948),
(Z~zl)+;Z~zZ)+)~-(1,292;2,268);
(z~31)+; z~2)+)~(1,051 ; 2,050).
Bibliographie [1] [2] IA] [B]
L. COLLATZ, Eigenwertprobleme, Chelsea, 1948. K.S. MILLER et M.M. SCHIFFER,Proc. Amer. Math. Soc. 3, 948-956 (1952). Y. BIOLLAY,Z. angew. Math. Phys. 24, 525-536 (1973). Y. BIOLLAY,Z. angew. Math. Phys. 24, 730-746 (1973).
R~sum6 Par un partage de [a, b] en deux intervalles partiels I' = [a, y] et 1" = [y, b], on d6finit deux nouveaux probl~mes aux valeurs propres. A partir d'une fonction particuli~re, on d6termine, A l'aide de l'in6galit6 de Barta et du processus d'it6ration de Schwarz, des bornes inf6rieures v~-(y) pour la premiere valeur propre du probl~me d6fini dans I'. On obtient de mani~re analogue des bornes sup6rieures #+ (y) pour la premiere valeur propre du probl~me d6fini dans I". Au n-i~me pas de l'it6ration, une borne inf~rieure pour le z6ro z de la deuxi~me fonction propre est donn6e par la racine de l'6quation v~-(y)-#+ (y)= 0. - On trouve de fagon semblabie, une suite de bornes sup6rieures tendant vers z. On g6n6ralise le proc6d6 pour les z6ros des fonctions propres sup6rieures.
Summary Cutting [a, b] into two partial intervals I' = [a, y] and I" = [y, b], we define two new cigenproblems. Starting from a particular function and using Barta's inequality and Schwarz's iteration procedure, we determine lower bounds v~ (.v) for the first eigenvalue of the problem defined in l'. We can likewise obtain upper bounds #+ (y) for the first eigenvalue of the problem defined in I". After n iterations, a lower bound for the zero z of the second eigenfunction is the root of the equation v~-(y) -/~+ (y) = 0. - We find, in an analogous way, a sequence of upper bounds which tend to z. We generalize this procedure for the zeros of higher eigenfunctions. (Regu: 13 Mars 1973)
ZAMP24/56a