Ricerche abeliane e tauberiane compiute n e l l ' I s t i t u t o Nazionale per le Applicazioni del Calcolo (*). M e m o r i a di ALDO ~HIZZETT] (a Roma).
Sunto. - Si espongono le ricerche destinate ad ottenere teoremi abeliani e tauberiani, relati.
vamente alle trasformate di Laplace ed ai eoefficienti di Fourier di una funzione, eseguite dai ricercatori dell'Istituto Nazionale per le Applicazioni del Catcolo di Roma~ nel periodo 1935-1952. Si segnalano nuove possibili ricerche.
§ 1. - I n t r o d u z i o n e .
Nel IV Congresso dell'Unione ~Iatematica Italiana, tenutosi a T a o r m i n a nello scorso ottobre, il P r o f . M A u v e PICON~, h a ~enuto u n a c o n f e r e n z a dal ~itolo: (< SuU'opera matematica dell'Istituto Nazi.onale per le Applicazioni del Calcolo nel decorso quarto di secolo della sua esistenza ~. I n tale c o n f e r e n z a Egli h a f a t t o u n a m i r a b i l e sintesi di m o l t e r i c e r c h e c o m p i u t e p r e s s o l ' I s t i t u t o d a L u i diretto, c l a s s i f i c a n d o tati r i c e r c h e nel m o d e s e g u e n t e : 1) Contrib u t t alla r i s o l u z i o n e detle e q u a z i o n i f u n z i o n a l i l i n e a r i ; 2) C o n t r i b u t i alla r i s o l u z i o n e delle e q u a z i o n i d i f f e r e n z i a l i n o n l i n e a r i ; 3) C o n t r i b u t i a r i c e r c h e t a u b e r i a n e ; 4) C o n t r i b u t i a r i c e r c h e a s i n t o t i c h e ; 5) C o n t r i b u t i al Calcolo delle v a r i a z i o n i . H e s e m p r e p e n s a t o che s a r e b b e state assai u t i l e s v i l u p p a r e pifl ampiam e n t e c i a s c u n o dei p r e c e d e n t i a r g o m e n t i e percib he scelto il terzo di essi c o m e oggetto di q u e s t e c o n f e r e n z e , p r e n d e n d o a n c h e in c o n s i d e r a z i o n e le r i c e r c h e abetiane. N a t u r a l m e n t e la m i a esposizione sar~ l i m i t a t a alle r i c e r c h e a b e l i a n e e t a u b e r i a n e c o m p i u t e p r e s s o il p r e d e t t o I s t i t u t o (l) e solo incident a l m e n t e a v r b o c e a s i o n e di a c c e n n a r e a q u a l c h e a l t r o r i s u l t a t o . O c c o r r e p e r p r i m a cosa p r e e i s a r e t h e cosa si i n t e n d a p e r teorema abellano e teorema tauberiano. T a l i d e n o m i n a z i o n i t r o v a n o o r i g i n e net d u e (*) Da due conferenze tenure presso 1' l stituto di ~¢latematica dell'Universith di l~apoli net giorni 30 e 3i maggie 1952. (l) Devo perb avvertire che le prime ricerche di L &~ERI0 e di L. CESARI, di cut parlerb in seguito~ sono state compiute rispettivamento presso l'Istituto di Alta Matematica di Roma e presso la Scuola l~ormale Superiore di Pisa. He dovuto per neeessit'~ inserirle in questa rassegna per peter par]are delle ricerche successive, l~ella ~Bibliografia sono pre. cisati i lavori che figurano nella collana delle pubblicazioni dell'Istituto l~azionale per le 2~pplicazioni clol Calcolo [con l'indieazione II~AG, serie ..., n .... ]. Annati di Mat~mativa
15
114
A GglzZErri: Ricerche abcliane e tauberiane, etc.
elassici teoremi di ABEL e di TACl3ER relativi alle serie di potenze: co
(1)
f(z)-- ~ a.~',
aventi raggio di convergenza finito e non nullo, per esempio uguale a 1. I1 primo di essi afferma che, se la serie considerata converge nel punto z - - 1 oon somma s, allora esiste il limite radiale di f(z) per z ~ 1 e vale s. I1 secondo afferma the, se esiste il predetto limite col valore s, avendosi inoltre a,~ - - o ~ , allora la serie di potenze converge nel punto ~ ~--- 1 ed ha somma s. Se noi interpretiamo la formula (1) come un'operazione iineare t h e trasformi la successione l a~ I nella funzione f(z), possiamo dire t h e il teorema di ABEL enuncia una proprieti~ della trasformata f(z), partendo da una della trasformanda l a,~/; viceversa il teorema di TAUBER enuncia una propriet~ della trasformanda l a~ t derivante da una della trasformata f(z) (accompagnata perb da u n ' i p o t e s i sulla trasformanda stessa). Le necessit~ delle applicazioni e gli studi di analisi funzionale hanno da tempo richiesto la considerazione di trasformazioni funzionali lineari del tipo : (2)
f(P) -- /K(P,~
Q)F(Q)dQ,
T
o piit generalmente, facendo uso dell'integrale di STIELTJES: (3)
f( P) ---.]'KIP,. Q)dF( Q>, T
ore K(P, Q) ~ u n ' a s s e g n a t a funzione del punto P (variabile in un certo insieme E dl punti di uno spazio a p dimensioni) e del punto Q (variabile nel dominio misurabile T a q dimensioni), mentre la funzione trasformanda F(Q~ appartiene ad una certa classe di funzioni del punto Q, i n modo tale che, per ogni fissato punto P di E~ abbia senso l'integrale (2) o ~3). Poich~ la ( 1 ) s i pub faeilmente far rientrare nella (3), si ~ m a n t e n u t a nella teoria delle trasformazioni funzionali lineari la denominazione di teoremi abeliani per indicare i teoremi t h e esprimono proprieti~ della trasformata fIP) come conseguenza di ipotesi fatte sulla trasformanda F(Q), e quella di teoremi tauberiani per quelli che enunciano propriet~ della trasformanda F(Q) dopo aver fatto delle ipotesi sulla trasformata f(P). A dire il vero ho qui un po' esteso il significato dei due termini, perch~ di solito essi si riferiscono soltanto a propriet~ di comportamento asintotico della trasformata o della ~rasformanda, ma tale estensione consentir~ di ineludere nella mia esposizione alcune ricerche che, p a r non essendo n~ abeliane n~ tauberiane nel senso ristretto ora accennato, lo sono perb nel senso pill largo che ho introdotto.
A GHIZZETTI: R~icerehe abeliane e tauberiane, eee.
115
E quasi superfluo rilevare c h e l a denominazione di teoremi abeliani e tauberiani va riferita ad una data trasformazione funzionale ~, giacch~ ovvio che le due denominazioni vanno scambiate quando ci si riferisca alla trasformazione inversa ~ - ~ (se di questa ha senso parlare). P e r le pifi comuni trasformazioni funzionali ~, i teoremi tauberiani sono di regola assai pifi riposti dei teoremi abeliani, appunto pereh~ essi sono abeliani per la trasfor. mazione inversa ~-~, il cui studio ~ quasi sempre pifi diffieile di quetlo della ~. La rieerca delia ~-~, vale a dire di una formula d'inversione della '~, gi~ u n a rieerca tauberiana per la "g e sta alla base di ogni altra ricerca dello stesso tipo. Dieiamo infine che un'altra grande difficolti~ ehe si incontra nelle rieerche tauberiane ~ quella di arrivare a teoremi tauberiani purl, eio~ con sole ipotesi sulla trasformata ; si pensi, per esempio, t h e il t'eorema di TAUBER sulle serie di potenze non b, come si ~ implieitamente osservato, a n teorema tauberiano puro. Presso l'Istituto Nazionale per le Applicazioni del Calcolo si sono svolte (dal 1935 ad oggi) ricerche abeliane e tauberiane sopratutto a proposito delle seguenti particolari trasformazioni funzionali lineari: I) Trasformazione di Laplace ad intervallo finito d'integrazione, t h e per semplleit~ considererb sotto la f o r m a : 1
f(s) -~. j e-~tF(t)dt ;
(4)
/
0
II) Trasformazione
(5)
di Laplace ad intervallo infinito di integrazione ; f(s)
-- f e-'tF(t)dt, 0
oppure : (6)
f(s) ~ / e - ~ F ( t ) d t ;
III) Trasformazione di una funzione di una variabile nella successione dei suoi coeffi~ienti di Fourier rispetto ad un dato sistema di funzioni ortogon a l i o no ; per esempio nei suoi momenti : b
(7)
=
f
(n-- O, 1, 2, ..),
o nei suoi coeffic, ienli di Fourier propriamente detti: 2Tr
(8)
c,~ - - ~1 (e~,~,f(x)cl~,
(n "-- O, +- 1, ~-~-2, ...).
116
A. GHITZ_~TT~: Rt:cerchc abel;ane c teuberiane, ecc.
Le (4), (5), /6), (7), (8) sono tutti casi particolari di (2) e su di esse riferirb particolarmente. Aggiungo ehe notevoli rieerche sono anehe state fatte sulle trasformate doppie di LAPLACE (vedi FAED0 [1], AMERIO [4]) (2) e sui momenti delle funzioni di pifi variabili (vedi GttlZZETTI [1]), ma su di esse devo, per mancanza di tempo, r i n a n c i a r e a parl~re. § 2. - R i e e r c h e
sulle trasformate di Laplace di integrazione.
ad intervallo
flnito
Con riferimento alla (4), ore F(t) si suppone sommabile in (0, 1), la trasformata f ( s ) r i s u l t a una funzione intern della variabile complessa s. Nello studio di questioni di unicit'~, per eerti probtemi sulle equazioni lineari a derivate parziali, il Prof. PICO:~E si ~ laxgamente servito di up. teorema (tau. beriano) il quale, partendo dull' ipotesi che per ] f(s)] valga una eerta formula di maggiorazione, cousente di affermare l ' i d e n t i c o annullarsi della F(t) in tutto u n intervallo (0, q) con 0 < q < 1. Tale teorema ~ il seguente (vedi PICONE [3]): Se esistono quattro costanti reali H, p, q, ~, con H > 0 , 0 < q < 1, ~ > 0, tali da aversi
If(s) l <
(9)
H s ~e-q~,
(per s reale > <;),
allora la F(t) ~ quasi ovunque n u l l a in (0, q). Come ho detto al § 1, ogni teorema tauberiano si basa su di una formula d' inversione della trasformazione considerata e per l'appunto il precedente teorema deriva dalla formula di inversione di PHnAC~)~e~, ehe si scrive: t
(lo
f
-~ s--lim+oo ~=1~(-kl)'~~ ! ea~tf(ks)'
(s reale).
o
Ed infatti, poich~ dalla (9) segue I e~tf(s) l < Hs~e-~(q-t) per s > % si deduce che, supposto 0 < t < q e fissato ~ > 0 , si pub determinare un s ~ > c ; tale ehe per s > s~ risulti l e~tf(s) ~ < ~ e quindi anche I e~tf(ks)l < ~ per k-~-1, 2, .... £11ora dalla (10) si ottiene t
o
e di qui segue immediamente la tesi. Questo teorema di PICONE ~ stato reeentemente approfondito ed esteso da alcuni matematiei polaeehi (vedi p. es. MIKusI~sKr [t]). f2) I h u m e r i
t r a [ ] si r i f e r i s e o n o a i l a B i b l i o g r a f i a p o s t a in fine.
117
A. GHIZ~ETTI: t~icerche abe~lane e t(~uberiane, ecc.
Sempre a proposita della (4), il Prof. PICO~E ha anche date dei teoremi (che sono contemporaneamente abeliani e tauberiani) intesi a dare per la f(s) delle condizioni neeessarie e sufficienti affinch~ essa sia la trasformata di una E(t) di norma sommabile in (0, 1). Tall teoremi sono faeili ad ottenersi quando, fissato un sistema complete I @,(t) t di funzioni ortonormali in (0, 1), ci si valga della corrispondente serie di FOURIER della F(t), la quale converge in media verso la F(t~ stessa. Infatti dalla F ( t ) o o ~ c~(~(t) e dalla (4) si deduce che per la f(s) deve valere uno sviluppo in serie del tipo 1
oD
., e,'~,(s)
con
-st@~
%,(s)=
~ (t~dt,
V,
te~
< + c~;
0
la eondizioae necessaria ~ rieavata e senza difficolt~ se ne dimostra anche la sufficienza. P e r avere teoremi espressivi, tutto sta a scegliere il sistema 1 (I).(t) I in mode che le trasformate 1%~(s) / abbiano un' espressione semplice. Si trova, ad esempio il teorema seguente (vedi PICONE [21t: Condizione necessaria e sufficiente affinch~ una funzione intera f~s) sia la trasformata di Laplace, nell' intervallo (0, 1), di una F J ) che sia di norma sommabile in detto intervallo, ~ the per essa valga uno sviluppo in serie del ripe cc 1 ~ ( _ 1),e-~ f ( s ) - - Y, c, s~ n=i d - n~r:~
con
~ [c,,i.2 Z <+~,
~=i
Si ha allora la formula d' inversione F(t) c~ 1 Z c,, sen (nut)
con
c,, --- i~:n[f(inu) - - f ( - - inn)].
7~ n = : t n
§ 3. - R i c e r c h e
sulle trasformate di Laplace lnflnlto dl lntegrazlone.
ad intervallo
Vengo era a parlare delle rieerche relative alla (5), delta anehe trasformazione di LAPLACE unilatera, rimanendo per un memento nello stesso ordine di idee esposto alla fine del § preeedente. I1 Prof. PICO~E ha determinate le eondizioni neeessarie e sufficienti affineh~ f(s) sia la trasformata di LAPLACE di una F(t) tale da aversi -~oc
(11)
f e-=lF(t) I~dt ~ 0
~,
(con ~ ~ 0).
118
A GHIZZE~r~: Rqcerche abeliane e tauberiane, eee.
I1 concerto seguito ~ quello stesso gik esposto. Facendo uso dei polinomi di Laguerre
L,~(t) =
E l ~ t ~,
( n - - O, 1, 2, ...%
k=O
si ottiene il teorema seguente (vedi P I c o t s ) [2]): Coudizioue necessaria e sufficiente affinch~ f(s) sia la trasformata di Laplace di u n a F(t) verifieante la (11) con o:--1 ~ che essa sia olomorfa nel 1 semipiano R(s) ~ 2 e ehe ammetta ivi uno sviluppo in serie del tipo
1 ~ c. 1 f(s) = ~s ,,=0
con
E Ic,,l ~ < + 0 o . n~O
Si ha allora la formula di inversione (12)
F(t) c,~ ~
e,~L,~(t) con
e~---~
Z (-- 1)~/,kfca)(1),
la serie seritta convergendo in media, col peso e-% verso la F(t). Della formula d' inversione col polinomi di LAGUERRE si b anche occupato quasi eontemporaneamente TRICO~I [1] nel 1935. I1 teorema sopra enun. eiato si trova riportato nel recente libro di DOETSC~ [1] sulla trasformazione di LAPLACE ed b e r r o n e a m e n t e attribuito a S]~OHAT [1] (the 1' ha dato nel 1940), aggiungendo che, per la trasformata di LAP~ACE-S~I]~LTJES, era gi'h stato ottenuto in un caso particolare da WIDDER [1] nel 1935. La formula d' inversione (12) non si presta agevolmente al calcolo numerico, perch~ riehiede il ealcolo delle derivate successive della f(s). Percib il Prof. PICoNE ha ripreso in istudio la questione, sempre con la condizione (11), cercando di risolverla con l' uso dei polinomi di Legendre relativi all' inter. vallo (0, 1): IP~(t) =
E p,~kt ~,
(n - - O, 1, 2,...).
k~O
Premesso che, fissato a ~ 0 , ogni F(t) verificante la (11) ~ tale che l'integrale (5) riesce convergente (assolutamente) per s-----:¢ e quindi anche per s-----2a, 3a, ..., tutto si fonda sull' osservazione che, con il cambiamento di variabile e- ~ t - - % le (5), (11) diven~ano 1
(13)
f(s)--~
1
-1 ~ F--~log~ 0
1
0
d%
119
A. GHIZZETTI: Ricerche abeliane e tctuberiane, eec. e che dalla (13) segue 1
~f[(k+i)~]--fz'F(--~logz)d~,
(k--0,
1, 2,...),
o
e successivamente 1
- f
%
(. = o. I, 2, ... ).
o
Indicato con c,, il primo membro di (15), deve d u n q u e essere, in virtfi di (14): (16)
F(-- 1
~ (2n + 1)i c,, 12 < -t- cx~,
log ~)c.z Zo(2n 4- 1)e.P,(z).
Si stabilisce anche facilmente la safficienza della p r i m a delle (16), dimodoch~, ritornando alla variabile l, si conclude col teorema seguente (vedi PICONE [1]): Condizione necessaria e sufficiente affineh~ f(s) sia la trasformata di Laplace di u n a F(t) ver~ficante la (11) con un fissato o: > 0 ~ che essa sia definita nel punto s - - a , olomorfa nel semipiano R(s) > a e tale che, posto c, ~-- :¢ ~ p,~f[(k -t- 1)~], risulti E ~2n ÷ 1) I c, 12 < -t- c~. Si ha allora la formula k=0
~0
d' inversione (17)
F(t) c,z E (2n -F- 1)c.P.(e-ca), rt~0
la serie convergendo in media verso t~(t), col peso e -~t. L a (17) si presta meglio al ealcolo numerico. Presso 1' Istituto ~azionale per le Applieazioni del Caleolo essa fu applicata con successo alla risoluzione di u a problema di propagazione del calore, di eui, da u n altro punto di vista, si i) anehe oceupato MZRA)TDA [1]. Si trattava di d e t e r m i n a t e nella semistriscia 0 ~ x ~ 1, t ~ 0 una funzione U(m, t) soluzione dell'equazione a derivate parziali U x ~ - Ut ~--0 con ta condizione iniziale U(a~, 0)----0 e le eondizioni ai limiti Ut(O, t)--kUx(O, t ) - - 1 , U(1, t)----0, con k costante positiva. Si trova immediatamente ehe la trasformata di LAPLACE U(X, S) --- /e-~tU(x_,
t)dt
o
della soluzione cercata ~ data da (18)
1 senh (1 -- x)Vs u(m, s)-----s s senh Vs + k V s eosh ¥ s '
e partendo da questa formula ci si servi appunto della (17) per effettuare il riehiesto calcolo numerico della U(x, t) per 0z ~ 0.
120
A
GHIZZETTI:
Rticerche abeFane c t(~uberiane, ecv.
Ma questo problema ed altri consimili posero per la (5) varie altre questioni di earattere tauberiano. Come si pub d a l l ' e s a m e della trasformata f(s) riconoscere la stabilitd~ o meno della F(t), supposta reale? Dire c h e l a F(t) stabile significa che essa si mantiene limitata in (0, + ~ ) [talvolta si richiede anche la limitatezza della derivata F'(t)]. Pifi partieolarmente pub interessare la questione se la F(t) ammette o no un limite finito per t ~ + o o (valore di regime) e, pifi particolarmente ancora, se tale limite vale zero, cio~ se si verifica uno smqrzamento della F(t). I1 Prof. PlCONE nel girl cithto" lavoro [2] ha dato qualche primo risultato in tale ordine di problemi; si tratta perb di condizioni neeessarie per la stabi!ith o per lo smorzamento, cio~ in sostanza di teoremi abeliani. Mi limito qui a riportare il seguente notevole teorema: Supposto che F(t) sia reale, se l' in~,egrale (5) ~ assolutamente convergente
per R(s) > O, allora si ha (19)
lim'
t~+c~
F(t) ~ lim' [sf(s)] ~ lim" [sf(s)] ~ s~0
s~0
lira"
t ~ +co
F(t).
Dalle (1+9) si pub gih rieavare qualcosa per i problemi che stiamo esaminando. P e r esempio la F(t) non ~ certo stabile se p e r s ~ 0 la sf(s) non ha finiti il minimo ed il massimo limite; la F(t) non pub smorzarsi se sf(s) non infinitesima per s -* 0. Inoltre da (19) segue pure the, se esiste il lira F(t), esso deve necessariamente coincidere con lira [sf+s)]. P e r esempio, ritornando S~0
a considerare la (18), quando si sapesse a priori c h e l a di regime, si potrebbe dire senz;altro che esso vale senh(1 - - x)Vs lira s~0ssenhVs+kVscoshVs
U(x, t) ha un valore
1--x k
Ma, ovviamente, questi risultati di carattere abeliano non sono sufficienti per te applieazioni. A questo punto devo parlare delle rieerche di A~ERIO il quale ha dato numerosi teoremi tauberiani utilissimi in pratica e che, a differenza di molti altri dati preeedentemente da vari Autori, hanno il pregio di essere teoremi tauberiani purl, nel senso detto al § 1. Cercherb ora di dare un~idea di tall teoremi; devo necessariamente limitarmi ad alcuni di essi, rimandando per gli altri alla memoria [3] di AMERIO. Come ho gi~ detto, alla base di ogni ricerca tauberiana sta una appropriata formula d'inversione delia trasformazione eonsiderata. P e r la trasfor. mazione di L A P L A C E (5) sussiste, come b noto, la formula d'inversione, detta di R I ] ~ I A ~ k+i).
(20)
V(t)---
lira
~1--,le"+f(s)ds, k--ik
A. GHIZZETTI: R~icerche abeiiane e tauberiane, ecc.
121
ore k ~ un qualsiasi n u m e r o reale maggiore dell'ascissa di convergenza dell ' i n t e g r a l e (5). Ma la (20) non serve allo scopo perch~ essa vale soltanto sotto opportune ipotesi per la F(t), dalle quali si deve prescindere se si vuole conquistare u n teorema tauberiano puro. Percib, per prima cosa, AMEI~IO [2] ha dato una generalizzazione delia (20) valida con i] minimo indispensabile di ipotesi sulla F(t), vale a dire: 1°) sommabilit~ in ogni intervallo finito (0, T); 2 °) esistenza della trasformata f(s) in un certo semipiano R ( s ) ~ a. I1 teorema d'inversione di AMEmo ~ il seguente: nelle condizioni dette, per quasi tutti i valori di t di (0, + cx~), risulta
(21)
F(t) =
_~ +~ z m ]
\
^'/ds,
con k ~ a, n intero positivo. Lasciando p e r un momento da parte la (21), ricordiamo era the, accanto al predetto semipiano di convergenza R ( s ) ~ a, la trasformata f(s) ammette anche u n semipiano di olomorfia; senza scapito di generalit~ si pub supporre che quest'ultimo sia definito da R ( s ) ~ 0 (3) e eib implica a ~ 0. Supposto d u n q u e ehe f(s) sia olomorfa nel semipiano R(s) ~ 0 e posto s = ~ -t- iy, ritorniamo alla (21) che, come si ~ detto, sussiste con u n k ~ a ~ 0 . Si tratta di vedere, sotto quali ulteriori condizioni per l a f(s), essa possa scriversi con k = 0, in modo-da far diventare il secondo membro un integrale del tipo di FOURIER (con fattore di convergenza). Facciamo le seguenti ipotesi, che designeremo complessivamente con (A): A~) per quasi tutti gli y esiste finito il lira f(~ + i y ) = f(iy) e risulta x~0~
funzione di y sommabile in ogni intervallo finito dell'asse y ; A.,) si ha, per ogni h ~ 0: h
~ m + ~ iI_ f(x + iy) - - f(iy)] dy - - 0 ; A3) ~ possibile trovare un intero positivo m ed una successione crescente )-i, 2'~, )'3,..- di h u m e r i positivi, avente per limite + ~ , in modo che siano finiti i valori f(--__-i)~) e che si abbia inoltre lira f ( x +---i ~ ) _ O,
uniformente rispetto a x variabile in un intervallo (0, k) con k ~ a. (3) S e f o s s e d e f i n i t e d a R ( s ) ~ ~, b a s t e r e b b e c o m e t r a s f o r m a t a d e l l a e--~t_y'(t}.
Annali di Matematiea
porte
s
=
st+ - ~ e eonsiderare
Ia f ( s t - ~ ~)
16
122
A (~HIZY_,ETTI:Rqcerehe ebel:iane e tauberi:rnc, ecc. I n tall ipotesi, AMERIO ha dimostrato c h e l a (21) pub essere sostituita dalla hn
hJ ] dy, ottenuta formalmente dalla (2i) ponendo s ~ iy, n =-=m e facendo percorrere a k ]a successione ~ , ~,, ~a, .... Ecco ora aleuni dei teoremi tauberiani, relativi allo smorzamento della F(t), che si possono dedurre dalla (22): q-(X~
I) Se per la f(s) valgono le ipotesi (A) ed ~ inoltre f ] f(iy) ] dy < + ~ , .--OD
aUora r i s u l t a F ( t ) ~ 0 (per t ~ - ~ c~); II) Se p e r la f(s) valgono le ipotesi (A) ed inoltre esiste u n a > 0 tale the f(iy) risulti a variazione limitata i n ( - - ~ , - - a ) ed in (a, --~ ~x~) allora si ha F(t) ~ 0 (per t -* ÷ ~ ) ; III) Se per la f(s) Valgono le ipotesi del teor. l I e se inoltre in (-- a, a) si pub p o r t e f(iy)--ty_b,l~,..ty_b,.tL,
,
,
,_
con - - a ~ . b ,
<...
O~tk
con "~(y) a variazione limitata in ( ~ a, a~, allora, indicato con ~ ~ 1 il massimo f r a gli esponenti ~ , ..., ~,., si ha F ( t ) - ~ 0(1/tt-e) (per t ~ - ~ ) . ~Iostriamo a n ~applicazione di questi teoremi, riprendendo in considera. zione la U(x, t) t h e ha come trasformata la funzione (18). Scrivendo ulx, s) ~ - .
1 senh (1 - - w)Vs 1 s Vs Y s s e n h Ys + kcosh Vs'
si vede che u~x, s) ~ funzione meromorfa di s col poll nel punto s - - O e negli zeri della funzione intera ~/ssenh Vs + k cosh Vs. Si prova facilmente che tall zeri sono reali e negativi, onde, fissato z ~ 0 e minore del minimo 1--w modulo di essi, si pub dire t h e la funzione u(x, s) ks ~ olomorfa nel semipiano R,s) ~ -
z e quindi ehe
1--w v(x,
s) - ~ u ( x ,
s - - ~)
k(s --
~)
olomorfa nel semipiano R ( s ) ~ O. Si eonstata senza diffieolt~ che questa v(x, s) verifica tutte le ipotesi del teor. II di cui sopra e percib si pub dire c h e l a sua antitrasformata~ la quale coincide con e't[U~x, t)
1 -- x l k
.A GHIZZETTI:
123
R,icerche abeliane e tcuberiane, ecc.
infinitesima per t ~ ~ c ~ . Non solo ~ provato che U(x, t) ha il previsto 1 --x 1 --x valore di regime ~ , ma si ~ anche ottenuto che U(x, t)~k +°(e-~t)" Non starb a dilungarmi sugli altri risultati di A)IERIO, t h e fra 1' altro, ha anche studiato il caso in cui venga meno la seconda parte dell' ipotesi A~) perch~ la f(s) presenta dei poli di 1° ordine sull' asse immaginario. Altri notevoli teoremi ha dato AlbERtO in a n lav0ro successivo [5]; tali te0remi sono destinati a riconoscere se /(s) ~ la trasformata di LAPLACE di una Fit) dotata di un certo numero di derivate. H a pure dato una generaliz. zazioue del cosidetto' teorema dello sviluppo di Heaviside e vari sviluppi asintotici per la funzione F(t). F r a i risultati contenuti nell' ultimo lavoro citato, ci limitiamo a segnal a m e uno, di grande utiliti~ pratica, e che ha trovato posto nel libro di DO~TSOH [1]: Se f,(s), f~(s), ..., f,,(s) sono delle trasformate di Laplace provenienti da inte. grali assolutamente eonvergenti e se ¢~(z~, z.~, ..., z,~) ~ u n a funzione olomorfa delle n variabili complesse z~, z ~ ..., z,~, n u l l a per z~ ~ z~ - - ... ---- z,~ - - O, allora anehe la funzgone ~[f,(s), f~(s),.., f,~(s)] ~ u n a trasformata di Laplace. Infine, per quanto riguarda la trasformazione ~6), delta anche trasformazione bilatera di LAPLACE, si pub dire t h e essa ha minor importanza nelle applicazioni e percib non starb ad illustrare i poehi studi fatti su di essa.
§ 4.-
Ricerche
sul teorema del prodotto integrale alia trasformazione dl Laplace.
relativo
Vengo ora a parlare di una mia ricerca di carattere abeliano (vedi GmzZET~I [4]) a proposito del cosidetto teorema del prodotto integrale per ]a trasformazione di L~.PLACE, il quale formalmente si enuncia cosl: definito come t
prodotto integrale F(t) • G(t) di due funzioni FCt), G(t) la funzione fF(t--~)G(z)d% o sussiste la formula -~o0
(23)
÷o0
-~-o0
.(e-St[F(t)'~ J G(t)]dt - - . ] e - S t F ( t ) d t . (e-*tG(t)dt. o
0
o
Posto e-StF(t)----¢~(t), e--StG(t)~(t), si riconosce subito che si ha e-~t[F(t), G(t)]---~(t) , ~(t), onde la (23) pub sostituirsi con 1' altra -6oo
o
-~o0
o
-~o0
o
124
n GHIZZETTT: Rlcerche abe!lane e tauberlane, etc.
che ~ analoga a q u e l l a che esprime il noto teorema di moltiplicazione delle serie (secondo il procedimento di CAvcH¥) e che si scrive (25)
E
Z a,~_~b~ - - ~
n=O \v=O
/
a,.
~ b,~.
n=O
**=0
AMERIO [1] ha dimostrato ehe la (23) o (24) sussiste certamente so, dei due integrali a seeondo membro, uno ~ convergente e i ~altro assolutamente convergente [~ l'analogo del teorema di MER~E:~S per la (25)]. Ho eercato di assieurare la validith della (23) o (24) togliendo 1' i~)otesi dell'assoluta eonvergenza. Ricordo ehe per le serie esiste un teorema di HARDY [~-] il quale afferma ehe la (25) ~ vera so le due serie a secondo membro sono convergenti e se si ha inoltre a ~ , - - ,0n1, ,[b~. [- I- ~O ( - ~ , . U n t e o v e m a \ +
\iv/
analogo si stabilisce senza difficolti~ per la (24) e si trova e h e : L a (24) ~ certamente valida se i due integrali a secondo membro sono conSi noti che le ipotesi di questo enuneiato non richiedono l'assoluta convergenza di aleuno dei due integrali considerati. Per quanto riguarda la (23) si pub dunque a f f e r m a r e : Se per un certo valore s,, del parametro s, i due integrali di Laplace di F(t), G(t) rieseono convergenti e se si ha inollre F ( t ) = O[-E~ ], G ( t ) - - 0
per
t ~ + c o , allora per s - - s o vale il teoi'ema del prodotto integrale espresso dalla (23). da notare ehe~ se valgo•o le ipotesi di questo teorema, i due integrali di LAPLACE considerati riescono assolutamente convergenti per R ( s ) > R(so~. Ne deriva c h e l a possibilit~t di applicare il teorema in questione in un punto so impliea, per eiaseuno degli integrali di LAPLACE considerati, l' esistenza di un semipiano di assoluta convergonza. Ed allora si vede faeilmente che il teorema stesso potri~ essere utile (nel senso che potrh non essere sufficiente il teorema di AMEBIC)soltanto so questi due semipiani coineidono e se si eonsidera u n punto s,, della, comune ret/a limite. M a l e questioni pifl interessanti naseono quando, in luogo delta (24), si consideri pifl generalmente la +zv
(26)
+co
+co
+c¢
. / % ( t ) , ~ . ~ ( t ) , . . . , ~,(t)dt= /%(t)dt./~2(t)dt .... 0
0
O
.f 0
Come vedremo, questa sussiste ancora nell'ipotesi che gli integrali a soeondo ]-J
membro
_
sia,no
2,..., n), ma la relativa dimostrazione non pub ottenersi con ripetuta appli-
A. GHIZZETTI: t~icerche abeliane e tcuberiane, ecc.
125
cazione del teorema dianzi enuneiato a proposito della (24), perch6 dalle ipotesi di
questo
non
segue
affatto
ehe
sia
~(t), ~ ( t ) = O
(') ~,
ma soltanto
ehe
La diffieolt~ si supera in mode analogo a quello seguito da HARDg e LIT~LEWOOD [1] nel case della serie e eio~ introducendo per una data ¢p(t) il concerto di integrabilit~ d'ordine :¢ ~ 1. Si dice che ¢p(t) ~ in (0, - I - ~ ) integrabile d'ordine :¢ ~ 1 se esiste determinato e finito il limite t
lim o
che si indicher~t col simbolo -i-co
f (t)dt. 5 Si dimostra che l'integrahilit~ di ordine ~ implica quella di ordine ~ > c¢, con lo stesso valore dell'integrale ; in particolare, tenuto conto ehe per ~ - - 0 si ha l'integrabiliti~ in senso ordinario, possiamo scrivere;
'~)/~(t)dt--.fcp(t)dt,
(27)
o
(per - - 1 < a ~ 0 ) .
0
Inoltre s e l e funzio~i ~i(t), ..., %+(t) sono rispettivamente integrabili degli ordini :¢,, ..., ~ , il lore prodotto integrale risulta integrabile di ordine ~, ÷ ... ÷ ~,, + n --1, risultando : ÷cv
-/-~
• ...,
-/-co
%(t)dt.....
o
o
J%+(t)dt, o
ed, in virtfi di (27), questa si riduce alla (26) non appena si supponga (28)
- - 1 < ~, ~ O, ...,
Infine
- - 1
si dimostra e h e ,
:p(t)--0(~)(per t~-~-~),
se
~ + ... -I- ~ , -e n - - 1 ~ O.
¢p(t) ~ integrabile
in senso ordinario e se
allora, comunque si fissi ~ c o n - - 1
<:¢~0,
essa
i~ pure integrabile di ordine ~. Dope eib, per ottenere la (26) nelle condizioni volute, basra osservare che, per I' enunciato preeedente, le 7~(t), ..., opt(t) risultano tutte integrabili di ordine 1 i --1+e t h e con ~ l - --~--1+le (28) sono soddisfatte. n
n
P e r maggiori particolari si veda anche GHIZZE~T1 [5].
1"26
§ 5. -
A. GHIZZETTI: R~icerche abeliane e tauberiane, etc.
Rlcerche
sui
coeflicienti
di
Fourier
d|
una
funzione.
Gih al § 1 si ~ accennato alia trasformazione di una funzione /7' nel]a successione t c, l dei suoi coeffieienti di F o c n l E n rispetto ad un date sistema di funzioni (ortogonali o no). Aggiungiamo era che, se il considerate sistema complete, la succesione l c,,f individua la F (a meno di una funzione quasi ovu.nque nuila) e percib le proprieth della F si devono peter leggere sulla predetta successione. Nasce cosl un vastissimo programma di ricerehe (vedi Plco:~E [4], n. 3) che, in proseguimento di quelle classiehe fatte in casi particolari da CARAT~:~ODORY~FEJ-]~R, IE=I~.USSDORFF, TOEPLITZ, ..., permettano di arrivare a teoremi traducenti le proprieti~ della successione t c.f in proprieth (di integrabilith, di continuith, di derivabiliti~, di analiticit~, di limitatezza, ...) della funzione F. Si potranno cercare per le f c~ l delle condizioni necessarie per il sussistere di una eerta proprieta della F, cio~ dei teoremi di ripe abeliano, oppure (e cib sar~ assai pifi utile per le applicazioni) delle eondizioni sufficienti, vale a dire dei teoremi tauberiani. Accennerb era a quello che, presso l'Istituto Nazionale per le Applicazioni del Calcolo, si g fatto a proposito dei coefficienti di FOV~ISR propriamente detti delle funzioni di una variabile. Non parlerb invece delle analoghe rieerche relative ai momenti di una tal funzione, avendo gii~ avuto occasione di parlarne in ultra sede (vedi Gx~zz:E~I [2]). Le prime ricerche sono del CESARL il quale si ~ anzitutto oecupato delle condizioni sufficienti affineh~ una data serie trigonometriea 1
(29)
2 a0 +
¢X)
~ (a~ cos nw -4- b. sen nw)
sia la serie di FOURIER di una funzione f(x) sommabile in (0, 2r:) (vedi CES~RI [1], [2]). I n precedenza tali eondizioni erano gii~ state date da SZlDO~ sotto la forma (30)
a,~--0,
b~0,
E lha~II°gn<+c¢,
E Ihb-ll°gn<+c~,
e da KOL~O~O~OFF sotto quest'ultra (31)
a~--0,
b,~0,
E IA~a-[n
E ]A~b, l n l o g n < + c ~ . n:l
Nelle (30), (31) i simboli Aa,~, h'~a, denotano le differenze prime e seconde della successione t a.~ 1 :
127
A GHIZZETTI: R~icerche abeliane e tauberlane, ecc.
Il CESARI, servendosi delle dif[erenze di ordine ~, con ~ arbitrario numero reale positivo, che per una quatsiasi successione limitata {a~ f sono definite dalla formula zX~a,~= !: ( - - 1 ) ~
a.+~,
k=O
ha potuto dare le cereate condizioni sufficienti sotto l ' u n a o l ' a l t r a delle due forme seguenti: GO
(32)
a,,--0,
b,~-~0,
E th:a-I~-~-c~,
E [A:b.[<-t-o%
(per 0 < z < l ) ,
CO
CO
(33)
a~0,
b,~0,
E I5"a,~In:-~+°%
Z IA:b,~t n ~ - l l o g n ~ + ° ° , (per a > 1).
]~ chiaro che il teorema (33) costituisce un'estensione del teorema (31) di KOLMOGO~OFF e che il risultato (30) di SZlDO~ (relativo a ~ = 1) sta, per cosi dire, in mezzo ai due teoremi (32), (33) di CESARL Successivamente il CESARI ha cercato delle condizioni sufficienti affinch~ la (29) rappresenti una fun,,ione dotata di derivate fino ad un certo ordine. Ecco uno dei teoremi ottenuti: s e a , ~ O, b,~ ~ 0 e se, per certi due interi (3O
p ~_ O, r ~ O, si ha
O0
E I hP+"+~a,~ 1n p < + 0% E I ~'+"+~b,~ l n p < + oo, allora
la (29) converge u n i f o r m e m e n l e in ogni intervallo ehiuso di 0 - 2,: verso u n a f(x) dolala in O--2re di derivale continue fino all'ordine p incluso. Analoghi teoremi ha dato il CEs~nI quando, anzich~ alla convergenza ordinaria, ci si riferisca alla sommabilit~ secondo CESARO (d' ordine abbastanza elevato) delia (29). Tutti ffuesti studi del C]~SARI che, come si ~ visto, fanno intervehire le differenze delle successioni l a~ }, I b~ 1, sono pot start ampiamente estesi dal CESARI stesso, faeendo ricorso ad una notevole generalizzazione del concerto di differenze, suggeritagli dull'<< algebra delle successioni >> di MAI~IBRIA~I. P e r mancanza di tempo non posso dare ulteriori indicazioni su queste rieerche, che sono aIquanto delicate e m i n u t e ; rimando percib senz'altro a CESARI [5]. Cosi pure devo limitarmi ad un semplice eenno su di an'ultra notevole rieerca del CESAnI [6] sulle condizioni sufficienti affinch~ la (29) rappresenti una funzione analitica. 0ceorre osservare t h e net tre lavori [4], [5], [6] del CESARI, dianzi citati, si parla di serie trigonometriche, le quali in generale non sono serie di FOC~][ER. Percib i teoremi in essi ottenuti non hanno spiccatamente quel earattere tauberiano di cui intendevo p a r l a r e ; perb lo acquistano quando siano accompagnati da u n qualche teorema (come quelli espressi dalle (30), (31), (32), (33); si veda anche il n. 18 di CES/~RI [5]) che assicuri essere l a , , b, 1 la successione dei coeffieienti di FOVRIER d i u n a funzione somma-
128
A GHIZZETTI: Riieerche abeiiane e teuberiane, etc.
bile. Possiamo d u n q u e dire ehe, con le sue ricerehe, il CESA~I ha conquistato notevoli teoremi tauberiani per i coefficienti di F o u m E ~ di una funzione sommabile, o c o n t i n u a , o continua con un certo numero di derivate, o analitica. Passo ora ad esporre, con qualche dettaglio, una mia ricerca (vedi GHIZZETTI [3]) relativa alle condizioni necessarie e s u f f i c i e n t i per i coefficienti di FOURIER di una funzione f(~) reale i cui valori appartengano tutti ad un intervallo prefissato. Senza seapito di generalith, s i p u b supporre t h e tale intervaIlo sia (0, 1); tratteremo d u n q u e delle f ( x ) verificanti la limitazione (34)
0 ~ f(x) ~_ 1 ;
naturalmente basta richiedere ehe questa sia soddisfatta quasi ovunque. In questo studio conviene considerare come coefficienti di F o u m E ~ della f(x) i humeri (reali o complessi): ck - - 2 ~
f(x)e~Xdx,
(k - - O, I, 2, ...),
ed ~ chiaro anzitutto che fra le eondizioni cercate deve figurare la seguente: 0_
..., s - s ,
s_~, so, s l, s ~ , . . . ,
definiti dalle formule seguenti: 80 ~
2 S e l l ~:6 0 Oo
(37)
e
- - 2 ~ i k ~ 1 e~z~
¢,o
-
= 1 - - ie ~ie~ X skz k,
s_k =: sk,
(k --= 1, 2, ...).
facile persuadersi ehe dalla seconda delle (37) segue che ogni sk, ( k - - l, 2, ...), una ben determinata funzione dei primi k + 1 coefficienti co, c~, ..., ck. Costruita la successione (36), deduciamo poi da essa una nuova suecessione
(38)
Do, D,, D2,... , D~,...,
ponendo 80
(39)
Dk - -
8t
8~
... 8 k
8_~
80
8i
... 8 k - - t
8--2
8-- i
80
•
•
8_k
,
.
*
.
8--k+i
•
•
,
... 8 k - - 2 •
,
8_k+~
•
.
.
.
... 80
.
A. OHIZZETTI: R,icerche abeliane e tquberiane, etc.
129
Si osservi c h e l a (38) 6 formata di humeri reali perch,, in virtil della terza delle (37), D~ i~ uu determinante hermitiano ; inoltre Dk dipende sottanto dai primi k + 1 coefficienti Ca, g , . . . , c~. Cib posto si pub enuneiare quanto s e g a e : cond@ione necessaria e suffici?nte perch~ la (35) sia la successione dei coefficienti di Fourier di una f(x) verificante la (34) ~ che sia 0 ~ _ ~ c o ~ l e che, costruita la corrispondente successione (38), si presenti uno dei seguenti tre casi : I) II)
D0~0,
D~0,...,Dn_~0;
iii)
Do>0,
D,>0,
D o = D ~ - - D ., . . . . .
O, D,,
D~>O,
=
D,,+, = 1~,,+~ = ... = 0 (per un eerto intero n ~ 1);
. . . .
Ma si pub andare oltre e precisare completamente quale sia il significato dei tre casi sopra menzionati. P e r far cib oecorrono alcune premesse. Dati n intervalli (~, ~), (~2, ~-2),..., (~,*, ~,*), con
chiameremo funzione rettangolare di ordine n la funzione periodica (col periodo 2=) t h e vale 1 nei predetti intervalli e zero altrove. Si dimostra the, dati n n u m e r i c o, c, ,..., c,,_~ (con 0 < c a < 1) tall che i corrispondenti determinanti D,,, D,, ..., D,~_~ siano tutti positivi, esistono co ~ funzioni rettangolari di ordine n che abbiamo come primi n coefficenti di FOURIER gli n numeri assegnati c,,, c,, ..., c,~_,. P e r tall funzioni, gli ulteriori ooefficienti c,~, c,,_~, c~_~, ... sono poi tali da far risultare D~ = D,**.~--D,,+~ m - - 0 . Assegnato ad arbitrio un numero reale )~, fra le predette o~ t funzioni rettangolari di ordine n, ne esiste una ed una sola, che indicheremo con
%,(x,; co, g , ..., c~_,, ~),
(40~
tale da aversi ~ + ~ + ... ~,, = k. Cib premesso, possiamo eompletare il nostro preeedente enunciate nel mode seguente : nel case I) si ha. f ~ c ) ~ O (se c,,--0) oppure f(~ ---- 1 (se c o = l ) ; nel case II) la f(x) coincide con la funzione rettangolare di ordine n espressa dalla (40) eve si ponga 81
). = arg
8~
s0 •
s~ •
•
•
8_~¢+~
nel caso
III)
•
•
•°• 8¢¢-- t °
°
•
.
•
(4);
•
8_~4_ 3 ... 8~
f(x) non ~ u n ~ funzione rettangolare ai cdcun ordine.
(4) S i d i m o s t r a c h e q u e s t o d e t e r m i n a n t e An~ali di Matemati~a
... 8**
~ d i v e r s e d a zero• 17
130
A. GHIZZETTI: R,:cerche abeEane e teuber~ane, etc.
L a preeedente ricerca sui eoefficienti di FOURIER di una f(x) verificante la (34) si pub estendere al easo dei eoeffieienti rispetto ad un altro sistema completo, ortogonale o no (per esempio, al easo dei m o m e n t i ; vedi Gmzzx~TI [2]). LA difficolt~ essenziale ~ quella di costruire la funzione rettangolare (40) della quale sono assegnati i primi n coeffieienti e di troware sotto quali eondizioni per questi ultimi la costruzione ~ possibile. Fatto cib, le forme di ragionamento da me usate per stabilire sia la neeessit'~ c h e l a suffieienza delle eondizioni I ) o II) o III) possono estendersi senza aleuna difficolth. Recentemente il Deft. F. S. R o s s I [1], in un lavoro in eorso di stampa, ha risolto il problema nel easo dei p o l i n o m i di L e g e n d r e Pro(x), riducendolo a quello da me eonsiderato per mezzo della no~a formula Pro(cos t)--~=o ~ °:h~'~-he-~"~--2~)t
con
a,.__
(2r - - 1)!!
(2r)! Y
Credo che valga la pena di studiare altri casi, per esempio quelli relativi ai p o l i n o m i di L a g u e r r e o di H e r m i t e . Interessanti sarebbero anche le estensioni
a funzioni di pifi ~,ariabili. Come ho gi~ detto, alla base di queste ricerche sta la costruzione delle funzioni rettangolari helle condizioni dette. P e r dare un'idea della natura di un tale problema, eoncluderb dicendo che nel caso di FOURIER da me considerate, tutto dipende dal seguente teorema di algebra, gi~ notevole di per s6: a s s e g n a t a u n a successione bilatera (36) di n u m e r i reali o comlolessi, con s_~, = sa, se tali h u m e r i verifi6uno le eondizioni
(4I)
Do > 0,
D, > 0, ..., D~_, > 0,
(42)
D~ = 0,
allora la segue~,te equazione atgebriea di g r a d o n : i
80
(43)
s_, •
•
Z
Z2
... Z,7
8
82
... 8.
So •
*
8_~+ i
•
•
s~ •
°
8_,¢+~
ha tutte le s u e r a d i e i di m o d u l o
•
.
•
... s,,_, ,
•
•
•
•
= 0
•
8_n.w8 ... 8,
l e tulle distinte.
In preeedenza era gih noto quest'altro teorema (~): se in luogo della (42) vale la D,, ~ 0, allora la (43) ha tutte le radici di modulo minore di 1 (senza perb poter affermare che siano distinte). Quale ~ la relazione fra questi due teoremi ? Dal secondo, con un passaggio ai limite, si deduce ovviamente che le radici di (43) non possono, nelI'ipotesi (42), avere modulo superiore a 1. (5) ~7edi p. es. G. POLYA e G. SzEGS, Aufgaben und Lehrs~tze aus der Analysis, Bd. II, Berlin 1925, p. 116 e 320.322.
A. GttIZISETTI: R : b c r c h c (~bct;a~c e t(zuberi, t n e , ecc.
t31
M a si v e d e f a c i l m e n t e c h e l a (42) a s s i c u r a che, se la (43) h a u n a r a d i c e % ha contemporaneamente la r a d i c e 1/~. D a q u e s t i d u e f a t t i r i s u l t a c h e s e D,~---~ 0 le r a d i c i d e l l a n o s t r a e q u a z i o n e d e v o n o n e c e s s a r i a m e n t e a v e r e t u t t e m o d u l o 1 p e r c h , , se ne e s i s t e s s e u n a ~ c o n ] a l ~ 1, la 1/~ a v r e b b e m o d u l o 1 il t h e , c o m e si ~ visto, n o n p u b a c e a d e r e . Q u e s t o p e r b n o n s p i e g a c h e nel caso D,--0 le r a d i c i s i a n o d i s t i n t e ; cib si e o n s e g u e a t t r a v e r s o u n a l t r o r a g i o n a m e n t o f o n d a t o s u l l ' i m p i e g o di c e r t e f o r m e h e r m i t i a n e .
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