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Techniques de calibration et de traitement des signaux pour la mesure de I'efficacit6 de blindage des c bles au nnoyen de m6thodes temporelles Bernard D E M O U L I N
*
Lamine KONE * Mohamed ROCHDI *
Pierre D E G A U Q U E
*
R6sum6
L'article traite de la description des traitements qu'il faut appliquer aux signaux lors de la mesure de l' efficacitd de blindage des cdbles au moyen de mdthodes temporelles. II s'agit de ddterminer la caractdristique frdquentielle d'impddance de transfert par le quotient des transformdes de Fourier de la tension parasite induite et du courant perturbateur. Les performances de cette technique de mesure, simple dans son principe, sont cependant limitdes par le bruit engendr6 par la chaine d'amplification des signaux. L'applieation de moyennes statistiques aux signaux les plus bruitds, ainsi que la d~termination de la rdponse du cgtble gt l'impulsion de Dirac, vont permettre une amelioration apprdciable des performances des mdthodes temporelles. Quelques chiffres tirds d'expdriences mettront en relief les avantages introduits par l'usage du traitement num~rique des signaux. Mots cl6s : Crible blind6, Ecran 6!ectromagn6tique, Imp6dance transfert, M6thode domaine temps, R6gime impulsionnel, Transformation Fourier discr6te, Impulsion unit6, M6thode mesure, Traitement signal, R6ponse impulsionnelle, Fen6tre temporelle, Traitement num6rique.
MEASUREMENT OF THE TRANSFER I M P E D A N C E OF THE COAXIAL CABLE BY THE TIME D O M A I N TO F R E Q U E N C Y D O M A I N C O N V E R S I O N
through the discrete Fourier transform. The ratio of the spectrum of the cross talk voltage and the spectrum of the disturbing current is computed to obtain the transfer impedance of the cable. In the second part we purpose some techniques for increasing the dynamic range of the characteristic of the transfer impedance. The average and the determination of the Dirac response of the cable are commented on few examples which summarize the main important point of this method. Key words : Shielded cable, Electromagnetic screen, Transfer impedance, Time domain analysis, Pulse behaviour, Discrete Fourier transformation, Unit pulse, Measurement method, Signal processing, Impulse response, Time window, Digital processing.
Sommaire
I.
Introduction. lI. Principe de la mesure de l'impddance de transfert. III. La phase de calibration des signaux. IV. Traitement par la recherche des rapports de spectres. V. Influence du bruit sur la dynamique des caractdristiques d'impddance de transfert. VI. Traitement par la recherche de la r~ponse du c6ble gt l'impulsion de Dirac. VII. Conclusion. Annexes. Bibliographie (10 r~f ).
Abstract
The purpose of this paper is to show the influence of the various time domain parameters on the precision of the result in the frequency domain for the determination of the transfer impedance of the coaxial cable. In the first part of the paper the conversion is made
I.
INTRODUCTION
L ' 6 v a l u a t i o n de l'efficacit6 d u blindage des cables c o n n a i t actueUement un int6r~t croissant t a n t sur
* LRPE, Univ. des Sciences et Techniques de Lille, Flandres Artois, Brit. P3, F-59655 Villeneuve-d'Ascq Cedex. 1/16
ANN. TI~L~COMMUN.,43, n ~ 11-12, 1988
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B. DEMOULIN. - MESUREDE L'EFFICACITI~DE BLINDAGEDES C.~BLES
le plan de l'utilisation que de la conception des cables. Les m6thodes de mesures, prenant pour source perturbatrice des signaux harmoniques, se sont tr6s vite impos6es dans ce domaine particulier de la m6trologie des cables. La d6termination de l'efficacit6 d'un blindage exige la mesure de tensions de niveau d'autant plus faible que le blindage est opaque aux champs 61ectromagn6tiques. L'usage des signaux harmoniques combin6 /t des cha~nes de r6ception tr~s s61ectives s'est ainsi r~v~16 ~tre un bon r pour extraire les faibles signaux du bruit. Les m6thodes utilisant des sources perturbatrices de nature transitoire exigent en contre pattie des mesures /t large spectre, c'est certainement l'argument qui en a souvent limit6 l'usage. Pourtant les avantages de l'exp6rimentation des cgtbles au moyen de techniques temporelles par rapport aux techniques prfc6dentes sont la simplicit6, la rapidit6 de mise en oeuvre et l'6conomie d'investissement. A c e s avantages s'ajoutent les progr6s r6cents intervenus dans le domaine de l'instrumentation et du traitement de signal assist6 par ordinateur, qui ouvrent aux m6thodes temporelles des perspectives nouvelles. Nous tenterons de d6crire la calibration et les traitements qu'il faut appliquer aux signaux de nature impulsionnelle pour parvenir aux caract6ristiques d'efficacit6 de blindage. Les m6thodes temporelles disposent d'atouts remarquables sur le plan pratique puisque la r6ponse d'un c~tble soumis/t une impulsion de courant perturbateur est instantan6e, une caract6risation qualitative du cable est donc imm6diate [1], [2]. De plus, il est possible de d6celer dans la signature de la r6ponse, les 6ventuels d6fauts de la cha~ne de rdception et plus particuli6rement la qualit6 des contacts blindageconnecteurs. Un c~tble excit6 avec des impulsions r6currentes ~t faible rapport cyclique autorise aussi des essais sous des contraintes 61ev6es sans dissipation excessive d'6nergie, possibilit6 qui permet en outre d'agir indirectement sur la sensibilit6 de la chaine de mesure et de rechercher le cas 6ch6ant l'effet de non-lin6arit6. Enfin, les m6thodes temporelles peuvent acc6der aussi bien au module et/t la phase des param6tres de transfert sans qu'il soit n6cessaire de proc6der 5. une calibration d61icate, comme c'est le cas avec les signaux harmoniques. L'efficacit6 de blindage d'un cable peut ~tre d6crite par la notion d'imp6dance de transfert qui se r6sume au rapport lin6ique de la tension parasite apparaissant /t l'extr6mit6 du c~tble et du courant perturbateur circulant dans le blindage. La caract6ristique d'imp6dance de transfert va repr6senter l'6volution du module et de la phase de ce rapport en fonction de la fr6quence de la source perturbatrice harmonique. La r~ponse du cable perturb6 d6pend 6videmment du couplage 61ectromagn6tique qui se manifeste travers le blindage, toute mesure dans le domaine temporel devra donc ~tre pr6c6d6e d'une phase de ANN. Tt~L~COMMUN.,43, n~ 11-12, 1988
calibration des signaux qui tient compte de ces ph6nom~nes. I1 s'agit pour l'exp6rimentateur de r6gler la largeur, la fr~quence de r6currence, les fronts de mont6e et de descente du courant perturbateur ainsi que la base de temps du dispositif d'acquisition afin que la r6ponse convienne le mieux possible aux traitements ult6rieurs. Etendue au domaine temporel, la caract6ristique d'imp6dance de transfert se r6sume alors au rapport lin6ique du spectre de la tension parasite et du spectre du courant perturbateur. La premiere phase du traitement num6rique va donc consister/t calculer les spectres au moyen d'une transformation de Fourier discrete (TED). Pour les raisons qui seront pr6cis6es dans l'expos6, la caract6ristique d'imp~dance de transfert d6duite de signaux bruts d'acquisition est souvent entach6e d'un bruit num6rique. Seuls une dizaine d'6chantillons de la caract6ristique d'imp6dance de transfert seront r6ellement exploitables. La seconde phase du traitement num6rique consistera a interpoler ces 6chantillons par l'artifice de la dilatation de la fen~tre. L'objectif de l'interpolation est de favoriser l'information aux fr6quences basses, au d~triment bien stir des fr6quences hautes oh l'effet du bruit num6rique est plus sensible. L'inconv6nient majeur des m6thodes temporelles, signal6 au d6but de notre propos, est la mesure sous de larges bandes passantes. La recherche des signaux de faible amplitude s'y trouve singuli6rement g~n6e par le bruit thermique g6n6r6 par les amplificateurs de tensions. I1 en r6sulte une r6duction importante de la dynamique en amplitude des caract6ristiques d'imp6dance de transfert. Pour accro~tre cette dynamique, on peut dans un premier temps r6duire l'influence du bruit en faisant une moyenne statistique des signaux. Les exemples propos6s par la suite montrent qu'en int6grant dix, cent et m~me mille signaux num6ris6s, on peut accroitre la dynamique dans un rapport s'approchant de 30 dB. Pour d6passer ce chiffre, il faut perfectionner le traitement, ceci devient indispensable d6s que le bruit de quantification l'emporte sur la r6siduelle du bruit thermique. I1 ne s'agit plus /t proprement parler de calculer le rapport des spectres mais de d6duire /l partir d'une it&ation num6rique ou d'une approximation analytique pratiqu6es sur la tension parasite, la r6ponse du cable blind6 /t l'impulsion de Dirac. Le signal issu de ce traitement est donc purement synth6tique, il suffit alors d'en calculer la transform6e de Fourier pour en tirer la caract6ristique d'imp6dance de transfert du cable. Bien que facile dans son principe, le recours h cette technique exige un certain protocole destin6 h r6duire le plus possible les impr6cisions num6riques provenant des signaux. Nous tenterons ~ la fin de l'expos6 d'en illustrer la mise en oeuvre pour la recherche de la caract6ristique d'efficacit6 de blindage de cables 5. haute immunit6 61ectromagn~tique. 2/16
651
B. DEMOULIN. - MESURE DE L'EFFICACITI~ DE BLINDAGE DES C~,BLES
H. P R I N C I P E DE LA M E S U R E DE L'IMP]~DANCE DE TRANSFERT
Si on suppose que la longueur d'onde dans l'une ou l'autre ligne est bien supdrieure h la dimension longitudinale L de chaque ligne, V~(0) et V~(L) sont identiques et s'expriment : (2)
Nous nous intdresserons uniquement ~ la mdthode de mesure ddveloppde sur un banc en structure triaxiale et aux cfibles ddpourvus d'admittance de transfert. Toutefois, les raisonnements exposfs par la suite sont suffisamment g6n6raux pour s'appliquer aux autres technologies de bancs de mesures ainsi qu'aux blindages ayant une admittance de transfert [3], [7]. Le banc de mesures triaxial est reprdsent6 sur la figure 1.
Z~
Z
O FIO. 1 . - Sch6ma du banc de mesure de l'imp6dance de transfert de cgbles coaxiaux : structure triaxiale adapt6e.
Triaxial set-up.
I1 comporte un conduit cylindrique concentrique au blindage du c~ble, formant une ligne coaxiale ext6rieure au blindage que nous appelons << ligne perturbatrice >>. A une extr6mit6 de cette ligne est connectde la source de perturbation, il s'agira d'un gdndrateur d'impulsions. A l'autre extr6mit6 est connectde une impddance de charge Z~p dgale ~ l'impddance caract6ristique de la ligne perturbatrice. La condition d'adaptation dtant satisfaite, le courant perturbateur Ip(z) peut s'exprimer : (1) Ip(z) ---- Ipo e -v"zRelation dans laquelle Ipo est le courant ~_ l'origine de la ligne, et <>l'exposant lindique de propagation attachd /~ la ligne perturbatrice. Le cfible coaxial est connect6 aux deux extrdmitds sur des charges identiques << Z~c >> toutes deux dgales ~t l'impddance caractdristique du cfible. Les tensions parasites qui apparaissent aux extrdmitds du coaxial V~(O) et Vc(L) sont, conformdment ~t la reprdsentation de la figure 1, le rdsultat de la circulation du courant perturbateur dans le blindage. On peut relier tr6s simplement les tensions parasites et le courant perturbateur en faisant intervenir l'impddance de transfert << Zt >> du blindage. 3/16
1 Vc(O) = Vc(L) ~= -~ Zt Ip(O)L, L ,~ ;~.
Lorsque le courant perturbateur est un signal harmonique /l fr6quence variable, on peut tr6s aisdment ddduire la caractdristique d'imp6dance de transfert des rapports :
(3)
2 vo(o, co)
2 V (L,
Zt(fD) ~ L Ip(O, o..)) -- L I p ( O ,
ca)) '
avec :
(4)
co = 2 ~ f
Soumis ~t un courant perturbateur impulsionnel ip(0, t), le cfible prdsentera des tensions perturbatrices vc(0, t) et vc(L, t) d'amplitude proportionnelle au courant lorsque les ph6nom6nes de couplage dlectromagn6tique dans le blindage sont lin6aires. C'est dvidemment dans cette hypoth6se que nous pourrons facilement transformer les signaux temporels en caract6ristiques d'impddance de transfert. Pour obtenir cette caractdristique, il suffit de substituer aux signaux harmoniques de la relation (3) les spectres des courants et tensions calculds au moyen de la transformde de Fourier, soit : 2 TF[Vc(0 , t)]
(5)
Zt(c~ = L TF[ip(0, t)]
2 TF[ve(L, t)] L TF[ip(0, t)] '
La validitd des deux relations (5) est toutefois subordonnde ~t la condition du circuit dlectriquement petit. Condition que nous pouvons dnoncer en disant que la plus petite longueur d'onde associde 5. la fr6quence la plus haute du spectre doit ~tre bien supdrieure ~t la longueur des lignes. Dans la pratique, il n'est dvidemment pas facile de d6finir la frdquence supdrieure d'un spectre, aussi nous pr6fdrerons traduire cette condition dans le domaine temporel. La thdorie de la propagation dans les lignes coupldes permet d'dtablir que l'application des relations (5) est aussi valable lorsque le temps de propagation dans chaque ligne 0o ou 0c est bien inf6rieur au temps de transition le plus petit v d portd par le courant perturbateur, soit [3], [4] : (6)
"rd >> 0p, 0~.
La r6ponse du c~ble d6pend aussi de la nature des blindages. Nous verrons au cours du prochain paragraphe consacr6 ~t la phase de calibration des signaux qu'il faut distinguer deux types de comportement dans les blindages. Les blindages passe-haut pour lesquels l'imp6dance de transfert va croitre avec la fr6quence ; ce comportement qui s'apparente aux filtres passe-haut est assez usuel sur les blindages tress6s ou les rubans h61ico~daux. La remont6e de l'impddance de transfert se produit souvent pour les ANN. TI~LECOMMUN.) 43, n ~ 11-12, 1988
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B. DEMOULIN. -
premiers, au-dessus de 1 MHz et pour les seconds, au-dessus de 100 kHz. Nous distinguerons ensuite les blindages passebas off, contrairement aux pr6c6dents, la caract6ristique d'imp6dance de transfert est d6croissante lorsque la fr6quence augmente. A cette cat6gorie de blindages appartiennent les 6crans homog6nes et les structures multicouches utilis6es pour les c~bles haute immunit~ 6lectromagn6tique.
IlI.
III.1.
LA PHASE DE CALIBRATION DES SIGNAUX
Caract6ristiques du courant perturbateur.
Les signaux les plus commun~ment utilis6s sont, l'impulsion h profil biexponentiel et l'impulsion ~. profil trap6zoidal. La premi6re provient souvent de g6n6rateurs de signaux ~t haute tension et ~t faible r6currence. L'impulsion ~t profil biexponentiel peut ~tre approxim6e par la relation bien connue : (7)
ig(t )
=
Io(e
-tl'rt
--
e-r/~O.
Le temps de mont6e ~'r du signal 6tant bien souvent tr~s inf6rieur au temps de descente % : (8)
T r "~ Tf.
Le maximum 19o du signal peut s'6crire avec une bonne approximation : (9)
I9o ~ Io ln('rf/'C'r).
L'impulsion trap6zoidale est le signal le plus usuel produit par les g6n6rateurs basse tension ~t fr6quence de r6currence variable. Elle se caract6rise par l'amplitude 19o, ses fronts de transition "rd que nous supposerons sym&riques, et par sa largeur "r. Contrairement h l'impulsion ~ profil biexponentiel pour laquelle les fronts de mont6e et de descente sont impos6s par les caract6ristiques du g6n6rateur, l'exp6rimentateur peut modifier les fronts de transition et la largeur des impulsions trap6zoidales produites par les g6n6rateurs les plus usuels. Cet avantage offre 6videmment une grande souplesse pour proc6der ~t la calibration de la r6ponse du c~ble. C'est pour cette raison que nous nous int6resserons par la suite uniquement aux courants perturbateurs trap6zo'fdaux. Toutefois, pour certaines exp6riences demandant une grande sensibilit6 ou encore pour les exp6riences destin6es ~t la recherche d'effets non lin6aires, le recours aux impulsions biexponentielles ~t tr~s haute tension est souvent pr6f6rable [1].
III.2.
Impulsion ou 6chelon.
La m6morisation des signaux en vue du traitement num6rique ult6rieur se fait sur une s6quence tempoANN. T~L~COMMUN.,43, n ~ 11-12, 1988
MESURE DE L'EFFICACITE DE BLINDAGE DES C,~BLES
relle de dur6e To que nous appellerons par la suite fen~tre. Deux sc6narios peuvent alors se pr6senter suivant que la fen&re est tr6s sup6rieure h la largeur T de l'impulsion ou au contraire inf6rieure. Ces consid6rations sur la repr6sentation d'un signal ont une implication importante sur le traitement num6rique ult6rieur. Dans le premier cas, le signal peut ~tre regard6 comme une impulsion isol6e dans le temps et dans le second cas, il peut ~tre assimil6 ~t un 6chelon. L'impulsion et l'6chelon se caract6risent par des spectres aux propri6t6s bien distinctes. Etant donn6 la simplicit6 des signaux, on peut exprimer tr6s simplement les spectres conform6ment aux expressions (10) et (11) qui supposent toutefois que la largeur "r est tr~s sup6rieure ~ la transition ~d : (10)
Impulsion 119(0, o~)1 = sin(co':/2) sin(o~vJ2) o~2.r.%/4 -~ 19o ,
(11)
Echelon 119(0, o~)I =
[ sin(~ r
I
-r >> "rd.
19o.
La signature spectrale de ces signaux se caract6rise par une succession de lobes d'amplitude inversement proportionnelle au carr6 de la fr6quence. Un crit6re retiendra notre attention, il s'agit de la position des z6ros qui encadrent chaque lobe. Avec une impulsion de courants, le premier z6ro du spectre est situ6 fi une fr6quence 6gale h l'inverse de la largeur de l'impulsion, alors qu'il est situ6 ~ une fr6quence 6gale ~ l'inverse du front de transition pour un 6chelon. Nous verrons dans le prochain paragraphe que la position du premier z6ro du spectre influence notablement la pr6cision de la caract6ristique d'imp6dance de transfert et qu'il est, ~t ce titre, avantageux de le rejeter vers les fr6quences les plus grandes possibles. A fronts de transition identiques, il est clair que le traitement de l'6chelon est de ce point de vue bien plus int6ressant puisque la largeur de l'impulsion est par hypoth~se bien sup6rieure au front de transition.
III.3. Calibration des signaux avee les blindages passe-bas.
Le couplage 61ectromagn6tique dans les blindages passe-bas est surtout gouvern6 par le m6canisme de diffusion du champ 61ectrique b, travers les mat6riaux conducteurs. L'imp6dance de transfert s'apparente alors h la r6sistance lin6ique du blindage aux fr6quences basses et d6croit ensuite aux fr6quences 61ev6es. La r6ponse du c~.ble h une impulsion de courant perturbateur s'apparente alors ~t un signal d6pourvu de transitions rapides et caract6ris6 par une dispersion d'autant plus marqu6e que le blindage est efficace aux fr6quences basses [3] (Fig. 2a). 4/16
B. DEMOULIN. - MESURE DE L'EFFICACITEDE BLINDAGEDES C,~BLES
ip(t)
'~
/
courant perturbateur
~
...................
r ....... ,I
I
............
Ipo
--
iI ~m
Vo(t)
~reponse
ip(t)
courant perturbateur
t ~
La calibration consiste surtout & rechercher le bon compromis entre la largeur de l'impulsion v et la largeur de la fen~tre To afin que la r6ponse du cfible s'annule pratiquement & l'extr6mit6 droite de la fen~tre. En effet, une impulsion trop large peut produire ~t l'extr6mit6 de la fenStre un risque de troncature de la r6ponse, alors qu'une impulsion trop 6troite est peu 6nerg6tique et engendre de ce fait un signal d'amplitude trop faible et inexploitable. Soumis ~ un 6chelon, la r6ponse typique du blindage passe-bas est sch6matis6e sur la figure 2b. Ce signal est caract6ris6 par une amplitude limite Vr obtenue lorsque t ~ co : (12)
t
Vco
reponse
Relation dans laquelle la r6sistance lin6ique Ro du blindage se substitue h l'imp6dance de transfert de l'expression (2). Compte tenu des ph6nomSnes de diffusion du champ 61ectromagn6tique 6voqu6s plus haut, la r6ponse du cable s'approchera de Vco avec un retard d'autant plus grand que le blindage est efficace. I1 faut donc choisir une fenStre suffisamment large pour satisfaire la condition : (13)
ip(t)
ITo V~o ~...~
vr
~= + Vr
courant perturbateur III.4. Calibration passe-haut.
\
couplage par diffusion
couplage magnetique (t) reponse
FIG. 2. a) Allure g6n6rale de la r6ponse d'un c~.ble&6cran homog6ne soumis & une impulsion de courant perturbateur (blindage passe-bas). b) R6ponse du c&ble &6cran homog6ne soumis &un 6chelon de courant perturbateur. c) R6ponse d'un c&ble b. blindage tress6 lorsque le courant perturbateur est une impulsion trap6zoidale. a) Typical response of the coaxial cable with a low pass shieM excited by a pulse-function of current. b) Typical response of the coaxial cable with a low pass shield (homogeneous shieM) excited by a step-function of current. c) Typical response of the coaxial cable with a high pass shieM (braid) excited by a pulse function of current.
Compte tenu de ce comportement physique, les exp6riences pratiqu6es sur les cgtbles & 6cran homog6ne pourront &re men6es avec un courant perturbateur & front de transitions rapides. 5/16
1
V~o = ~ Ro Ipo L.
.-1_ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
To
Vc~,, _ _
653
des
signaux
pour
les
blindages
Les tensions parasites qui apparaissent aux extr6mit6s des c~bles comprenant des blindages passehaut les plus usuels ont pour origine la superposition de deux m6canismes de couplage. On y trouve la p6n6tration par diffusion du champ ~lectrique laquelle s'ajoute un couplage magn6tique. Le premier ph6nom~ne est pr6pond6rant aux fr6quences basses, alors que le second est reconnaissable aux fr6quences hautes par la remont6e de l'imp6dance de transfert. La conjugaison de ces deux effets est d'ailleurs parfaitement visible sur la r6ponse du c~tble [3] (Fig. 2c). Le couplage magn6tique apparaitra sous la forme de deux impulsions en synchronisme avec les fronts de mont6e et descente. Une 6rude plus approfondie du ph6nom6ne r6v61e que l'amplitude Vcmax de ces impulsions est proportionnelle & la d6riv6e de la fonction ip(t) [3]. Entre ces deux impulsions de polarit6s oppos6es, la r6ponse du cable s'apparente au signal obtenu avec un m6canisme de diffusion dominant. Si la largeur du courant perturbateur est suffisante, il se produit sur la r6ponse un palier d'amplitude Vco qu'on peut relier ais6ment la r6sistance lin6ique du blindage par une relation analogue ~t l'expression (12) 6tablie plus haut [3]. La calibration de l'impulsion doit donc tenir compte de l'amplitude relative de Vemax et Vco afin que la caract6ristique d'imp6dance de transfert traduise le
ANN. TI~LI~COMMUN.)43, n~ II-12, 1988
654
B. DEMOULIN. - MESURE DE L'EFFICACITEDE BLINDAGEDES C/~BLES
plus fid61ement possible la transition entre couplage par diffusion et couplage magndtique. Des fronts de transition trop lents vont effacer le couplage magn&ique alors que les fronts trop rapides risquent de l'accentuer au d6triment de la diffusion. Une reproduction satisfaisante de la caractdristique d'imp6dance de transfert est obtenue en respectant les conditions d'6quilibre entre Vr et Vr qu'on peut traduire par les relations : (14)
2[Vco] ~< IV~max[ ~< 4[VooI.
A cette r~gle empirique doit s'ajouter une largeur suffisante de la fen~tre pour 6viter tout risque de troncature.
IV. TRAITEMENT PAR LA RECHERCHE DES RAPPORTS DE SPECTRES
Chaque dchantillon du spectre de courant perturbateur et de tension parasite va donc s'exprimer : (19)
l <~ n ~ N[2, Vc(O, nFo) = Vc(L, nFo) = TFD[Vr
La recherche des spectres.
Le traitement pr61iminaire des signaux est r6alis6 par le dispositif d'acquisition. I1 consiste en un 6chantillonnage et une conversion numdrique sur une base de N points uniformdment rdpartis sur la fen~tre de largeur To 9 La p6riode d'dchantillonnage T~ des signaux s'exprime alors simplement puisque : (15)
T~ = To/N.
Le spectre calculd sur cette base de N 6chantillons sera bien souvent exdcut6 par un algorithme rapide imposant ~t l'dchantillonnage une progression exponentielle telle que [9], [10] : (16)
N = 2~
Relation dans laquelle l'entier v reprdsente le poids de la base. Le spectre issu du traitement num6rique comprendra donc N dchantillons espacds de la fr6quence fondamentale F o . La moiti6 des dchantillons born6s par la frdquence fondamentale et la frdquence de repliement du spectre seront retenus. En effet, les autres 6chantillons correspondent aux fr6quences ndgatives, ils n'offrent aucun int6r~t pour la pr6sente application. La fr6quence de repliement f d 2 caract6risera la borne sup6rieure du spectre, alors que la fr6quence fondamentale d61imite la r6gion inf6rieure du spectre Frown. Elles sont toutes deux reli6es ~t la fen~tre To et ~ la base d'6chantillonnage par les relations remarquables : (17)
Fmi. = Fo = l[To ,
(18)
f d 2 ----- (N/2)Fo = N / Z T o ,
off f~ reprdsente la frdquence d'6chantillonnage. ANN. T~LIECOMMUN.,43, n~ 11-12, 1988
t)],
Off les notations fp et ~r se rapportent aux signaux 6chantillonn6s. L'application de la TFD ne pose pas de difficultds lorsque le courant perturbateur traits par l'algorithme est une impulsion et que les conditions de calibration de la r6ponse du cable sont bien respectdes. En revanche, s'il s'agit d'un 6chelon de courant, la fen~tre introduit une troncature. I1 en rdsulte une convolution du spectre et une source d'erreurs syst6matiques que l'on doit s'efforcer d'dliminer. Une des solutions possibles pour restituer un spectre correct consiste superposer ~t la fonction ip(0, t) une rampe, conformdment au protocole de Nicholson. La fonction rampe N(t) doit satisfaire les conditions suivantes : (20)
IV.1.
Ip(0, nFo) ---- TFD[ip(0, l'}],
N ( t ) = - - Ipo t/To , N(t) = O,
0 <~ t <~ To , t <0,
U(t) = - - Ipo,
t > To.
C'est donc la fonction ip(") (0, t) rdsultant de la superposition de ip(0, t) et N ( t ) qui sera traitde par la TFD, soit : (21)
i~") (0, t) = ip(O, t) q- N(t).
Cette transformation permet d'attribuer ~t chaque :~") (0, t) l'amplitude cor6chantillon du spectre de tp respondante du spectre de la fonction 6chelon ip(0, t) [6]. Propridt6 qu'on peut traduire par l'identit6 : (22)
TF[i~n) (0, t)]l~=,F0 = TV[ip(0, t)]l~=,v0 9
Sans l'usage de cet artifice, le spectre calcul6 sur l'dchelon tronqu6 est incorrect puisque : (23) Tr[ip(0, t) w(t)]ls=.F 0 ~ TV[ip(0, t)][y=nF0 . Relation dans laquelle la fonction W ( t ) c o n c r 6 t i s e l'effet de troncature de la fen~tre de largeur To : (24)
w(t) = 1,
0 ~ t ~ To,
w(t)=O,
t <0
o u t > To.
La rampe de Nicholson doit aussi s'appliquer la rdponse du cable h condition toutefois que le signal soit correctement calibr6, conform6ment aux prescriptions de la relation (13).
IV.2.
Interpolation par ia dilatation de la fen~tre.
La caractdristique d'imp6dance de transfert va donc se r6sumer h un ensemble de N[2 dchantillons. I1 s'agit de nombres complexes proportionnels au rapport d'un 6chantillon de spectre de tension et de courant, soit : 6/16
B. DEMOULIN. - MESURE DE L'EFFICACIT~ DE BLINDAGE DES C.g,BLES 2 Vc(O, nFo)
(25)
655
2 Vc(L, nFo)
Zt(nFo) -- L Ip(0, nFo) - L Ip(0, nFo)
Cette expression n'est autre que la traduction num6rique de la relation analytique (5) 6tablie au d4but de l'article. Un exemple va permettre d'appr6cier la caract6ristique d'imp4dance de transfert d6duite apr6s la premiere phase du traitement. II s'agit d'une exp6rience men6e sur un 6chantillon de cable comportant une tresse ~t faible recouvrement optique. Le recours ~ ce genre de tresse est justifi4 par le fait que le faible recouvrement du blindage en accentue le caract6re passe-haut. En effet, pour ce type de blindage, l'imp6dance de transfert peut 8tre d6crite avec une approximation correcte par la relation : (26)
Zt = Ro + j Lt t~,
Ro repr6sente la r6sistance lin6ique du blindage et Zt son inductance de transfert. Une mesure pr6alable l'aide de signaux harmoniques donne une indication sur l'ordre de grandeur de Ro et L t , soit : (27)
Ro = 7 mf~/m, Lt = 18 nH/m.
Connaissant ces deux paramStres, il est tout h fait facile de mod61iser la caract6ristique d'imp6dance de transfert. La fr6quence de transition qui caract6rise la remont6e de l'imp~dance de transfert est ici au voisinage de 100 kHz. Cette fr6quence de transition assez basse pour un cable tress6 est 6videmment due au faible recouvrement de la tresse qui favorise le couplage magn6tique. La technique de mesure temporelle appliqu6e ~t cet 6chantillon de cable produit, h l'issue de la premiere phase du traitement num6rique, la caract6ristique d'imp6dance de transfert de la figure 3a. La pr6sente exp6rience est tout d'abord pratiqu6e avec une impulsion de courant perturbateur d'une largeur de 2 ~s, alors que la fen~tre couvre 10 ~ts et que l'acquisition des signaux correspond "5. une base d'6chantillonnage de 2048 points, soit N = 211 La courbe de la figure 3a est l'interpolation lin6aire des 1 024 premiers 6chantillons d6duits de la relation (25). On reconnalt sur cette caract6ristique la borne inf6rieure situ6e ~ 100 kHz et la borne sup6rieure sur la fr6quence de repliement voisine de 100 MHz. Ces r6sultats s'61oignent 6videmment beaucoup du comportement attendu par l'expression (26), ils sont erron~s par des fluctuations d'amplitude dont nous allons tenter de comprendre l'origine. Les premieres fluctuations bien visibles se situent autour de 500 kHz, nous pouvons les attribuer ~t la position du premier z6ro du spectre de l'impulsion de courant perturbateur. La largeur de l'impulsion g6n6ratrice 6tant de 2 ~s, le premier z6ro du spectre est situ6 h 500 kHz. La 7/16
FIG. 3a. - - Caract6ristique d'imp6dance de transfert donn6e par les rapports de spectres d'une TFD ex6cut6e sur les signaux bruts d'acquisition. Le courant perturbateur est une impulsion de largeur 2 ~ts. b. -- Caract6ristique d'imp6dance de transfert donn6e par les rapports de spectres d'une TFD ex6cut6e sur les signaux bruts d'acquisition. Le courant perturbateur s'apparente ~t une fonction 6chelon. Fro. 3a. -- Characteristic of the transfer impedance obtained by the ratio of the voltage to the current spectrum, using the original window (To = 10 ~s) and thepulsefunction of current ('r = 2 ~s). b. - - Characteristic of the transfer impedance obtained by the ratio of the voltage to the current spectrum, using the original window (To = 10 ~s) and a step-function of current.
r6gion du spectre qui entoure ce z6ro a une amplitude tr6s petite. Sa d6finition est donc enfftch6e d'une impr6cision d'autant plus sensible que le niveau de bruit qui se superpose au signal est intense. Du point de vue num6rique, cette impr6cision va intervenir au d6nominateur de la relation (25) en provoquant des erreurs dans l'6valuation du rapport de spectre surtout sensibles pour les 6chantillons de fr6quences voisines de 500 kHz. La caract6ristique de la figure 3b obtenue avec un 6chelon vient d'ailleurs appuyer ce raisonnement. Le premier z6ro du spectre est rejet6 vers des fr~quences bien sup6rieures ~ 1 MHz, la caract6ristique est donc parfaitement conforme au mod61e th6orique. Aux fr6quences supfrieures h quelques m6gahertz, les fluctuations subsistent. Elles proviennent 6galement d'un manque de pr6cision dfl cette fois h l'att6nuation qui caract6rise tout spectre lorsque l'ordre des 6chantillons augmente. En d'autres ANN. TIELECOMMUN.,43, n~ 11-12, 1988
656
B. DEMOULIN. -
termes, les 6chantillons situds au-dessus de 10 M H z n ' o n t plus aucune signification physique puisqu'il s'agit de la variance du << spectre de bruit >>. Seuls une dizaine d'6chantillons de la caract6ristique d'impddance de transfert sont donc rdellement exploitables. La seconde phase du traitement num6rique est destin6e 5, 61iminer ces r6gions ind6sirables du spectre. Elle consiste 5- pratiquer l'61argissement ou dilatation de la fen&re dans un rapport entier k. La fen&re 61argie To va s'6crire :
(28)
T0 = kTo.
I1 s'agit d'un artifice num6rique ayant pour effet de rdduire la frdquence de repliement et accroitre le nombre d'dchantillons utiles de la caract6ristique d'imp6dance de transfert. L'exemple appliqu6 5. l'expdrience men6e avec l'impulsion de courant va nous permettre d'en comprendre le principe. Soit io(t ) le courant aprds acquisition sur la fen&re naturelle de largeur To et sur la base d'dchantillonnage N. Soit ip(To) l'amplitude du signal 5, l'extrdmit6 droite de la fen&re, la dilatation consiste & ajouter 5. droite de To des 6chantillons d'amplitude 6gale 5. ip(To) pour que N points soient uniform6ment r6partis sur la fen&re 61argie To telle que : TO = kTo.
(29)
MESURE DE L'EFFICACITE DE BLINDAGE DES C,~BLES
On peut justifier theoriquement cette propri6t6 en montrant que la dilatation de la fen&re est tout 5. fait 6quivalente 5- l'interpolation des spectres par les fonctions de base de Shannon [8]. La technique de la fen&re dlargie est maintenant appliqu6e 5- l'experience pratiqu6e sur le cs,ble tress6 5- faible recouvrement. Nous maintenons les r6glages pr6c6dents (-r = 2 ~s ; To = 10 ~s). La fen&re est tout d ' a b o r d 61argie 5, 320 ~s, soit k = 32 (Fig. 4a). La borne inf6rieure du spectre passe de 100 kHz & 3 kHz, le gain d'information aux frdquences basses a donc un impact positif sur la caract6ristique d'impddance de transfert qui s'apparente davantage au moddle prdvu par la relation (26). La dilatation a 6galement eu un effet positif sur la r6gion bruit& du spectre puisque la frdquence de repliement est pass& de 100 M H z 5, 3 MHz. Seules subsistent autour et au-dessus de 500 kHz, les erreurs
10
Zt(lYm) -
I
.....
10 I
?-'j
Ro-Fm,n - - ~
Le signal dilatd i~a)(t) doit donc satisfaire les
10 -3
conditions : (30)
F(HI)
i~d)(t) = ip(t)
0 ~< t ~< T o ,
itpa)(t) = ip(To)
To < t ~< To.
103
104
105
10 6
10 7
La p6riode d'dchantillonnage T~ du signal dilat6 s'exprime alors par : (31)
T: = kTe.
Relation dans laquelle Te est la pdriode d'dchantillonnage lors de l'acquisition du signal. Au cours de cette transformation, les dchantillons surabondants r6partis sur la fen&re initiale sont 6videmment 61imin6s. La borne inf6rieure du spectre Fm~n et la fr6quence de repliement f ' / 2 apr6s application de la TFD sur le signal dilat6 sont modifi6es et s'expriment : (32)
Fmln = F o / k , N f ' 1 2 = 2-k Fo ,
oh
Fo
=
1~To.
Si nous comparons ces relations 5- leurs homologues (17) et (18) trouv6s lors de l'application de la TFD, sur la fen&re initiale, nous remarquons que la borne inf6rieure du spectre est r6duite dans le rapport k. 11 n ' y a donc plus d'informations dans la r6gion basse frdquence du spectre. ANN. T~Lt~COMMUN.,43, n ~ 11-12, 1988
10
_---q
I
fJ2 --4,-1
102 ,
1
103
F(Hz) 104
10s
10s
b
FIG. 4a. - - Caract6ristique d'imp6dance de transfert obtenue par l'application de l'artifice de la dilatation de la fen&re k = 32 : la caract6ristique est exploitable entre 3 kHz et 1 MHz. b. - - Caract6ristique d'imp6dance de transfert erron6e par une dilatation de la fen&re exag6r6e, k -- 256 : la rdsistance lin6ique R0 du blindage est surestim6e par l'influence trop importante du repliement de spectre. FIQ. 4a. - - Characteristic of the transfer impedance obtained by broadening the window (K = 32). Good results are obtained between 3 kHz and 1 MHz. b. - - Characteristic of the transfer impedance obtained by broadening the window but for K = 256. The results are disturbed by the folding effect.
8/16
B. DEMOULIN. - MESURE DE L'EFFICACITI~ DE BLINDAGE DES C,~BLES dues aux zdros du spectre. Toutefois, comme nous l'avons signald plus haut, ces erreurs pourront ~tre dlimindes en pratiquant le traitement par l'dchelon. La fen~tre est ensuite portde/t 2,5 ms, soit k = 256. La caractdristique d'impddance de transfert de la figure 4b obtenue avec cette fen~tre tr6s dlargie fait apparaltre deux faits nouveaux. La remontde de l'impddance de transfert au-dessus de 100 kHz n'est plus visible, alors que la rdsistance lindique de la tresse Ro est surestimde. La fen~tre est exagdrde et le traitement numdrique engendre une erreur introduite par le repliement trop sensible du spectre. En effet le th6or6me de Shannon impose qu'un spectre de signal dchantillonn6 est correctement reproduit si la frdquence de repliement f ' [ 2 est au moins sup6rieure/~ la borne sup6rieure Fmax du spectre, th6ordme qu'on peut traduire par la relation bien connue : (33)
f'12 = I/2T" > Fmax .
L'application du th6or6me de Shannon se heurte toutefois /t une difficultd d'ordre pratique quand il s'agit de ddfinir la borne supdrieure du spectre. Si nous nous rapportons ~ la prdsente expdrience, la relation (10) montre que l'amplitude des lobes du spectre 6volue de fa9on inversement proportionnelle au carrd de la fr6quence. Le lobe encadrd par le neuvi6me et le dizi6me z6ro du spectre est donc suffisamment attdnu6 pour admettre la fronti6re empirique du spectre vers 5 MHz. Lors du premier essai, la dilatation impose un repliement voisin de 3 MHz, la condition (33) est donc presque satisfaite et le rdsultat n'est que tr~s faiblement erron6. Par contre, lors du second essai, le repliement se manifeste /t 400 kHz, la condition (33) est franchement violde. La distorsion est consid6rable, elle influence les rdsultats et produit les anomalies observ6es sur la caractdristique de la figure 4b. En pratique, il faut cependant reconnaitre que la condition de Shannon est contraignante, l'expdrience montre qu'on peut lui substituer une relation moins sdv~re liant le coefficient de dilatation k et la base d'6chantillonnage N telle que : (34)
k < N[20.
Une autre solution consisterait /t 61argir la fenatre en agissant sur la base de temps d~s l'acquisition du signal. Plus souple dans son principe, cette alternative expose la mesure /~ des risques d'erreurs. En effet, les signaux en cours d'acquisition sont souvent animds d'une gigue qui peut erroner la description des transitions rapides du signal. La gigue sera d'autant plus influente que la p6riode d'dchantillonnage est grande. I1 est donc pr6fdrable pour att6nuer ce ph6nom~ne d'opter d~s l'acquisition pour la pdriode d'6chantillonnage la plus petite, ~, condition toutefois qu'elle soit compatible avec les imp6ratifs de calibration du signal. C'est pour cette raison que nous avons choisi d'entreprendre la dilatation par voie num6rique. 9/16
657
V.
INFLUENCE DU BRUIT SUR LA DYNAMIQUE DES CARACTI~RISTIQUES D ' I M P E D A N C E DE TRANSFERT
V.1.
Les limites introduites par le bruit.
Les cfibles ~ haute immunit6 61ectromagndtique se comportent, contrairement au cfible 6tudi6 pr6c6demment, comme des filtres passe-bas [5]. Le bruit engendr6 par la chaine de rdception va compromettre la sensibilitd des mesures. Bien que la technique de dilatation de la fen~tre soit tout /t fait applicable ce genre d'exp6rience, nous allons montrer que le bruit limite la dynamique en amplitude de la caract6ristique d'imp6dance de transfert. Nous nous intdresserons 5. un cfible pourvu d'un 6cran homog~ne en cuivre. La caract6ristique typique d'imp6dance de transfert est dans ce cas une courbe d6croissante avec la fr6quence [5]. Le bruit provenant de la chaine de r6ception impose la limite de sensibilit6 de la mesure. Les ddveloppements de l'annexe I montrent qu'on peut concrdtiser cette limite par l'imp6dance de transfert minimale mesurable Ztmln(f ). Cette caract6ristique d6pend de la frdquence. Si nous assimilons le courant perturbat e u r / l un 6chelon d'amplitude Ip0/t front de mont6e nul et que nous estimons le bruit ~ un spectre uniforme (bruit blanc) de densit6 spectrale So, Ztmln(f) s'exprime par :
(35)
Ztmin(f)-
4 ~ 4T~ Z ]po
f
Ad
Relation qui fait apparaltre la longueur de l'dprouvette. L, la largeur de la fenatre initiale To et le gain en tension de la chaine de rdception Ad. La courbe de la figure 5a obtenue sur une expdrience pratiqude avec un c~ble coaxial h blindage homog6ne met clairement en dvidence l'imp6dance de transfert minimale mesurable donnde par la relation (35). La transition entre Z t ( f ) et Ztmin(f ) permet d'ailleurs d'apprdcier le rapport signal /l bruit. Pour dvaluer ce rapport, nous devons d6terminer l'amplitude du bruit % qu'on peut ais6ment relier /t la densit6 spectrale et h la bande passante 2 f a de la chaine de r6ception, soit : (36)
~b = 42J'aSo 9
Cette considdration n'est pas en contradiction avec l'hypoth6se du bruit blanc dans la mesure o/a les frdquences explor6es lors de l'exp6rience sont bien infdrieures /t ]~ que l'on peut situer h 35 MHz. Sachant que l'expdrience est mende avec une chaine de gain 6gal h 47 d B e t que le courant perturbateur est de 90 mA, on ddduit l'amplitude de la tension en sortie de chalne par la relation :
ANN. TI~L~COMMUN.,43, n~ 11-12, 1988
658
B. D E M O U L I N .
t0
1
I .
.
.
,/
/
/
+
\
x x x x ~X 10 5
F(Hz)
10 a
No=l
.Ii~1
(38)
a
10-5
10 4
10 5
10 6
10 7
FIG. 5 a . - Exp6rimentation d'un cable ~t 6cran homog~ne par la conversion temps fr6quence au moyen du rapport de spectres. La remont6e de la courbe traduit l'influence du bruit. b. - - Effet d'une moyenne statistique des signaux sur la dynamique des courbes d'imp6dance de transfert tir6es des rapports de spectres. No = 1, signal entfich6 de bruit, No = 1 000, rapport signal h bruit am61ior6 par la moyenne statistique de mille signaux. FIG. 5a. - - Characteristic of the transfer impedance of the coaxial cable with a homogeneous shield. The ratio of the voltage and current spectrum is used. Above 100 kHz the curve increases by the effect of the noise due to the amplifier. b. - - Effect of the signal stacking on the dynamic range of the transfer impedance. No = 1, corresponding to the original signal, No = 1 000 is the number of signals used to average the signal.
(37)
par
la
moyenne
statistique
des
L'acquisition du signal en sortie de la chaine de r6ception m6morise une suite de N 6chantillons. L'amplitude de l'6chantillon d'ordre k peut s'6crire en pr6sence de bruit :
Zt(I~/m)
10 3
V.2. Traitement signaux.
10 7
10 -1
10
DES CABLES
\
/ 10 4
DE BLINDAGE
\\
/ 10 5 10 3
f
-. I
.
Z l rain - -
MESURE DE L'EFFICACITE
Ce moyen conserve toute la souplesse de r6glage des param6tres de l'impulsion mais il en limite le spectre utilisable h cause de la bande passante r6duite des amplificateurs de puissance. Une seconde solution vient du traitement num6rique et en particulier de la recherche de moyennes statistiques de signaux.
Zt(fl/m)
10_ 3 .
-
1 v. . . . = Aa ~ Rpo Io L,
dans laquelle Ro est la r6sistance lin6ique du blindage. La caract6ristique de la figure 5a permet d'6tablir l'amplitude de la densit6 spectrale. La bande passante du dispositif de mesure &ant 6gale ~t 2 f a = 70 MHz on en d6duit un rapport signal h bruit de 10 dB. Ce chiffre est 6videmment trop m6diocre pour disposer sur la caract6ristique d'imp6dance de transfert d'une dynamique suffisante. Des conditions de mesures acceptables requi6rent par cons6quent un accroissement important de ce rapport. Une premi6re solution consisterait h amplifier le courant perturbateur afin d'injecter dans le blindage quelques amp6res. ANN. TI~LI~COMMUN. 43, , n~ 11-12, 1988
~,,(kTe) = Aa ~,~(0, kTr
+ b(kT,).
Nous distinguons dans cet 6chantillon une composante due ~t la r6ponse et une composante due au bruit. Si on accumule de multiples acquisitions, ces deux composantes vont se comporter diff6remment. La r6ponse s'additionne de faqon constructive alors que le bruit se compose suivant un processus statistique. L'amplitude moyenne de l'6chantillon vs(kT,) calcul6e apr~s No accumulations va s'exprimer par : 1 N (39) ~'s(kr.) = Aa ~,~(0, kT~) q - - i T Z [j,s) (kT.). lvo j=l Lorsque No augmente ind6finiment, la composante de bruit s'annule et l'effet du bruit est totalement 61imin6. Pratiquement, le nombre d'accumulations sera limit6 et il subsistera une r6siduelle de bruit. La th6orie du signal [8] montre que la densit6 spectrale $o du bruit apr6s ce processus de moyenne est inversement proportionnelle au nombre d'accumulations, $o s'exprime donc en fonction de la densit6 initiale par la relation :
So (40)
$o = ~oo'
off So est la densit6 spectrale initiale du bruit. L'imp6dance de transfert minimale mesurable (35) peut alors s'6crire : (41)
Ztm,.(f)-
4 ~ 4T~ L Ipo
f
Ad4Noo
La caract~ristique de la figure 5b exploit6e sur un cfible tt ~cran homog6ne met clairement en relief l'efficacit6 des moyennes statistiques. Pour des raisons d'6conomie de temps d'ex~cution, les p6riodogrammes ne sont pas moyenn~s, il en r6sulte une variance surtout sensible sur la remont6e des courbes due au bruit. Ces r6sultats montrent que l'accumulation de l 000 signaux am61iore la dynamique des caract6ristiques d'environ 30 dB, ce chiffre est d'aiIIeurs pr6visible si on calcule l'imp6dance de transfert minimale mesurable donn6e par la relation (41). 10/16
B. DEMOULIN. - MESURE DE L'EFFICACITI~ DE BLINDAGE DES C/~BLES La moyenne statistique poss6de cependant ses propres limites. Au-dessus d'un certain seuil Nom,~ l'accumulation devient inefficace. Ceci se produit lorsque la r6siduelle de bruit engendr6e par la chalne de rdception est suffisamment attdnu6e pour que le bruit de quantification du dispositif de num6risation l'emporte. Le bruit de quantification &ant corrdl6 /l la r6ponse v~(0, t) du c~ble, il s'apparente ~un signal d6terministe dont le niveau devient incompressible par la moyenne statistique. Si on souhaite accrohre la dynamique des caractdristiques d'impddance de transfert, il faut rechercher d'autres traitements. Pour conclure l'article, nous proposons un perfectionnement des traitements numdriques pr6c6dents. I1 s'agit de ddterminer la rdponse du c~tble fi l'impulsion de Dirac. L'originalitd de cette m6thode rdside dans la recherche d'un signal synth&ique s'approchant le plus de la rdponse impulsionnelle du cfible.
VI. TRAITEMENT PAR LA R E C H E R C H E DE LA RI~PONSE DU CABLE L ' I M P U L S I O N DE DIRAC
VI.1. La recherche de la r~ponse impulsionnelle de Dirac. La r6ponse harmonique V~(0, to) du cable soumis au courant perturbateur Ip(0, to) s'exprime conform6ment /t la relation (3) dtablie plus haut : (42)
V,(0, co) = (1/2) Zt(to) Ip(0, to)L.
La transformde de Fourier inverse appliqude ~t cette expression fait correspondre la relation de convolution : (43)
vr
t) = (1[2) zt(t )
*
ip(0, t ) L ,
659
Etant donn6 qu'il est mat6riellement impossible de g6n6rer l'impulsion de Dirac, on d6terminera v~8)(t) au moyen d'une it@ation num6rique ou d'une approximation polynomiale des signaux.
VI.2. Recherche numdrique de la r~ponse impulsionnelle du c,~ble. Si nous convenons de ddsigner par ~ ) ( k T o ) l'amplitude d'un dchantillon d'ordre k de la rdponse impulsionnelle, les raisonnements expos6s dans l'annexe II montrent qu'il est possible de connaitre cette information en calculant la d6rivde numdrique de la r6ponse du cable ou par une it6ration numdrique. C'est la seconde solution qui est retenue dans la mesure oh l'itdration est peut-Stre plus facile/t mettre en oeuvre sur le plan num6rique. Les N dchantillons de la r6ponse impulsionnelle r6solus, on dvalue la caract6ristique d'impddance de transfert par application de la TF, soit : 2 .v-1 v~8)(kT,) e -j~kr'. Zt(o) = Z k=O Ip0
(47)
Cette relation peut aussi s'interpr6ter comme la fonction de transfert harmonique du filtre num@ique non rdcursif dquivalent ~t l'impddance de transfert du cfible [10]. Sur la figure 6 est reprdsentde la rdponse impulsionnelle d6duite du processus itdratif, laquelle est ent~ch6e d'un bruit important provoqu6 par les effets d'impr6cision signal6s plus haut. La caract6ristique d'impddance de transfert estimde h partir de la rdponse impulsionnelle est reprdsentde sur la figure 7, h cette courbe est dgalement superpos6e la caract6ristique thdorique d'impddance de transfert du blindage homog6ne. La simulation est faite directement ~t partir des param6tres physiques et gdom&riques du blindage moyennant l'utilisation de l'expression [3], [7], [5] :
oh re(0, t) et ir t) repr6sentent les signaux trait6s lors de l'expdrience, alors que zt(t) n'est autre que la transformde de Fourier inverse de l'impddance de transfert : (44)
To=lO#s _i
zt(t) = TF- l[zt(to)].
Assimilons maintenant le courant perturbateur h une impulsion de Dirac h laquelle on affecte l'amplitude Ipo, la r6ponse correspondante du cfible v~)(t) permet de calculer directement l'imp6dance de transfert sans recourir au rapport de spectres, en effet : (45)
ip(O, t) :
Ipo 8(t) => v~8)(t) :
1 ~ zt(t) Ip0 L.
D'oh la caract6ristique Zt(to) 6valu6e par une simple transformde de Fourier 9 (46) 11/16
Zt(to)
=
2
r(,)l
• TF L I p o ] "
, ~ (~l(t)
FIG. 6. -- R6ponse fi l'impulsion de Dirac d'un cable b, 6cran homog6ne obtenue par it6ration num6rique. Les fluctuations traduisent les impr6cisions engendr6es par le bruit r6siduel superpos6 aux signaux trait6s. Pour des raisons de facilit6 de mise en oeuvre, l'6chantillonnage est r6duit h 100 points. Response of a homogeneous shieM to a Dirac function obtained with a numerical processing. ANN. TI~LI~COMMUN.,
43, n ~ 11-12, 1988
660
B. DEMOULIN. - MESURE DE L~EFFICACITI~DE BLINDAGE DES CABLES
10-2 ~ IZtl, (~/m)
ip(o.t)
["
Ipo 10 - 4
TO
tf
Vco
I 10-a 10 3
10 4
10 5
10 6
10 7
F (Hz)
Fro. 7. - - Caract6ristique d'imp6dance de transfert obtenue apr+s application d'une TFo sur la r6ponse impulsionnelle tir6e d'une it6ration num6rique. Ce r6sultat est compar6 ~_ la caract6ristique th6orique.
FIG. 8. - - Sch6ma montrant les crit(~res caract6ristiques d6finissant la signature d'un cfible ~ 6cran homog6ne soumis ~t un 6chelon de courant perturbateur.
Comparison between the theoretical characteristic of Zt and the characteristic obtained with the numerical DFT on the Dirac response of the cable.
Typical parameters of the response of the cable produced with a low pass shieM excited by a step-function of eurrent.
(I ~- j ) el8 Zt(60) = Ro sh[(1 + j ) e/S]"
9 La r6ponse du cfible tend vers une valeur limite Vr lorsque t augmente ind6finiment. Si les signaux sont correctement calibr6s, nous avons montr6 au d6but de l'article que cette condition peut s'approximer vr To) ~ Vco.
(48)
Relation dans laquelle Ro est la r6sistance lin6ique de l'6cran, e son 6paisseur et 8 la profondeur de p6n6tration dans le mat6riau composant l'6cran de conductivit6 ~ et de perm6abilit4 magn6tique relative
~r. (49)
8 = 2]~~.
On remarquera une correspondance satisfaisante entre l'imp4dance de transfert mesur4e et la caract6ristique th6orique, la dynamique de la premi6re s'approchant alors de 40 dB. La dynamique en amplitude de Z d f ) est surtout limit6e par les fluctuations erratiques superpos4es ~ la r4ponse impulsionnelle (Fig. 6). Un autre paramStre intervient 6galement, c'est le repliement qui se manifeste ~t la fr4quence de Shannon dont l'effet est bien connu sur tout spectre de signal 6chantillonn6. Nous allons chercher h r6duire et mSme 61iminer ces deux inconv6nients en approximant la r6ponse du cgtble par des polynomes.
9 La condition pr6c6dente implique que la d6riv6e premi6re de vj0, t) s'annule lorsque t augmente ind6finiment, propri6t6 que nous traduisons i c i : dvr ~ 0 pour t = To. 9 La r6ponse vj0, t) pr4sente par cons4quent une inflexion en t = tf positionn6e en : 0 < tr < To 9 La d6riv6e seconde de vj0, t) doit donc s'annuler sur le point d'inflexion : d2vc]dt 2 = 0 pour t = tr 9 Cette condition implique aussi la continuit6 de vj0, t) de part et d'autre de tf, soit vr t/-) = vJ0, tf+). vJ0, t) peut s'identifier successivement ~ deux polyn6mes Pl(t) et P2(t) dont nous limitons l'intervalle de d6finition et le degr6 : (50)
P d t ) = a2 t2 ~- a3 t3 "~ vc(0, t),
(51)
P2(t) = V~o + b 2 ( t - - To) 2 + b a ( t - - To) 3 =~ vc(0, t),
VI.3. Recherche de la r6ponse impulsionnelle par une approximation polynomiale. La r6ponse de l'6cran homog~ne d'un cfible coaxial soumis /~ un 6chelon de courant perturbateur peut 8tre d6crite par le signal de la figure 8. Cette signature pr6sente quelques particularit6s que nous exploitons par la suite pour approximer re(0, t) par la conjugaison de deux polynomes. Pour un 6cran homogSne, on distingue cinq particularit6s. 9 La r6ponse du cgtble est nulle ~t l'origine vo(0, 0) = 0. 9 La d6riv6e premiSre de vj0, t) est aussi nulle h l'origine : dvr = 0 pour t = 0. ANN.
TI~LI~COMMUN.,
43, n~ II-12, 1988
0 ~< t ~< tr,
tf ~ t ~ To.
Les coefficients a2, a a , b2 et ba seront 6valu6s en fonction des conditions invoqu6es plus haut. Le positionnement du point d'inflexion tf est d&ermin6 num6riquement. La r6ponse impulsionnelle est donc calcul6e analytiquement par la d6riv6e : dye(0, t) (52)
v~a)(t) --
dt
Expression qui suppose bien stir que le courant perturbateur ~t l'origine de vj 0 , t) est un 6chelon. Sur la figure 9, sont compar6es les r6ponses impulsionnelles d6duites de l'it6ration num6rique lorsqu'elle est g6n4r4e directement sur les 6chantillons du signal et quand elle r6sulte de l'approximation 12/16
B. DEMOULIN. -
To=lO/zs I
,,~
FIG. 9 . - R6ponse impulsionnelle du cS.ble d6duite d'une approximation polynomiale. Comparaison avec l'it6ration num6rique. Dirac response obtained by the polynomial approximation and comparison with the numerical response.
polynomiale de vc(0, t). Cet exemple montre 6videmment l'am61ioration tr6s appr6ciable du rapport signal ~t bruit de la r6ponse impulsionnelle. Disposant ainsi d'une description analytique de la r6ponse impulsionnelle, on 6value assez facilement la caract6ristique d'imp6dance de transfert par l'int6grale de Fourier : ioo Z,(co) = ~2 o v~)(t) e -l~
(53)
661
MESURE DE L'EFFICACITE DE BLINDAGE DES C,~BLES
dt.
Sur la figure 10 sont compar6es l'imp6dance de transfert pr6vue par le module th6orique et la caract6ristique d6duite des propri6t6s que nous venons de rappeler. Ces courbes appellent quelques remarques, on obtient en effet une am61ioration tr6s int6ressante de la dynamique puisque celle-ci est en th6orie illimit6e. IZt[ (ll/m) 10-2
La correspondance entre les courbes th6oriques et mesur6e est assez satisfaisante, l'6cart n'exc~de pas 50 % entre 1 kHz et 1 MHz, rdsultat tout 5. fait acceptable compte tenu de la dynamique en amplitude tr6s importante rencontr6e entre 1 kHz et 1 MHz. Les deux courbes se diff6rencient beaucoup plus si on compare leurs pentes respectives. La pente de la courbe th6orique (d6riv6e premiere) croTt continuellement en valeur absolue lorsque la fr6quence augmente. Le comportement de la courbe d6duite de la mesure est un peu diff6rent. L'augmentation continue de la pente est bien v6rifi6e jusqu'b~ I MHz alors qu'au-dessus la pente se stabilise ~t - - 40 dB par d6cade. On observera aussi qu'au-dessus de 1 MHz, des fluctuations d'amplitude croissante vont se superposer ~t la caract6ristique, nous approchons des limites de mesures et surtout des limites du traitement. I1 est cependant possible de corriger les imperfections enregistr6es sur la caract6ristique d'imp6dance de transfert en approchant davantage la r6ponse impulsionnelle de la vraie signature du c~ble. En effet, une 6tude plus approfondie de la r6ponse impulsionnelle th6orique du c~tble ~t blindage homog6ne montre que celle-ci pr6sente une d6riv6e nulle ~t l'origine et deux points d'inflexion positionn6s respectivement ~. gauche et ~. droite du maximum de v ~ ( t ) . Une 6volution naturelle du traitement de signal consisterait ~ rechercher une meilleure approximation de la r6ponse en la fractionnant en quatre polyn6mes tenant d'avantage compte des singularit6s de la r6ponse impulsionnelle. Nous pouvons aussi ajouter h ces remarques d'ordre fondamental que les m6thodes it6ratives et approximations polynomiales exigent des signaux tr6s purs qu'on obtiendra tout d'abord au moyen du processus de moyennes statistiques destin6es ~t les d6pouiller des effets du bruit thermique. Ce traitement doit toutefois ~tre subordonn6 h u n filtrage num6rique dont l'objectif est de lisser la r6siduelle due au bruit de quantification. Un simple lissage non r6cursif est souvent suffisant.
10.4
VII.
CONCLUSION
10-6
\
10-a
104
105
106
107
F(Hz)
FIG. 10. -- Comparaison de la caract6ristique th6orique d'imp6dance de transfert de l'6cran homog6ne et de la courbe obtenue par la recherche ~t l'impulsion de Dirac. La dynamique importante est le r6sultat de l'approximation polynomiale de la r6ponse et de la d6termination de la transform6e de Fourier analytique. Comparison between the theoretical characteristic of the transfer impedance of a homogeneous shield and the experimental one deduced from the response of a Dirac function.
13/16
La caract6risation de l'efficacit6 de blindage des c~bles au moyen de la conversion temps fr6quence peut ~tre mise en oeuvre par des m6thodes simples de traitement du signal. Bien que bas6es sur l'usage d'algorithmes num6riques, ces techniques supposent quelques connaissances pr61iminaires sur le comportement 61ectromagn6tique des c~tbles blind6s. En effet, le protocole de calibration des signaux utilis6s lors de l'exp~rimentation diff~re sensiblement suivant qu'il s'agit d'un blindage passe-haut ou d'un blindage passe-bas. La calibration consiste ~, optimiser ANN. TI~LI~COMMUN.,43, n ~ 11-12, 1988
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B. DEMOULIN. -
les r6glages du g6n6rateur de perturbation 61ectromagn6tique et du r6cepteur afin d'ajuster le mieux possible les signaux aux ph6nom6nes qu'ils sont sens6s repr6senter et aux traitements num6riques ult6rieurs qui leur sont appliqu6s. Un param~tre particuli6rement important dans le r6glage concerne le choix de la fen~tre temporelle descriptive des signaux. De cette fen~tre va d6pendre l'exploration du spectre trait6 par la transform6e de Fourier discrete. On montre facilement que le spectre trait6 par TFD est born6 par une fr6quence minimale et une fr6quence maximale qui sont chacune en relation 6troite avec la largeur de la fen~tre. L'artifice de la dilatation de la fen~tre permet d'ailleurs d'61argir ce spectre tout en conservant une description tr6s satisfaisante des signaux. C'est ainsi qu'il est possible d'obtenir ~t partir d'un signal courant perturbateur et d'un signal tension parasite une caract6ristique d'imp6dance de transfert allant de 3 kHz ~. 1 MHz. Ces chiffres tir6s d'une exp6rience pratiqu6e sur un cable 5. blindage passe-haut sont tr~s encourageants, ils r6v61ent toutefois que l'exploration des fr6quences inf6rieures ~t 3 kHz ou sup6rieures h 1 MHz n6cessite au moment de l'exp6rience un r6glage sp6cifique de l'instrumentation. Le principe des rapports de spectre tel qu'il est utilis6 dans la pr6sente exp6rience n'offre que des performances tr6s modestes lorsqu'il est appliqu6 aux c~tbles ~t blindage passe-bas. Les r6sultats obtenus sur un 6cran homog6ne n'ont fait que confirmer ce point. M~me trait6s par une moyenne statistique, le bruit qui se superpose aux signaux est encore suffisant pour limiter la dynamique en amplitude de l'imp6dance de transfert aux environs de 30 dB. C'est par la recherche de la transform6e de Fourier de la r6ponse impulsionnelle du cable blind6 que nous sommes parvenus ~t accroltre cette dynamique ~t 60 dB. Le principe du traitement num6rique est cette fois fond6 sur la propri6t6 remarquable qui lie la r6ponse d'un cfible et le produit de convolution de l'6chelon de courant perturbateur et de la r6ponse impulsionhelle. La r6ponse du cable blind6 ~. l'impulsion de Dirac peut ~tre calcul6e directement h partir d'une it6ration num6rique des signaux o~a au contraire r6sulter d'une proc6dure analytique. La seconde solution s'est r6v616e assez simple mettre en oeuvre tout en offrant la meilleure dynamique d'amplitude ~ l'imp6dance de transfert. Cependant, elle exige une approximation polynomiale dont l'objectif est de construire un signal d6terministe (analytique) qui soit une image fid~le de la r6ponse du cftble mesur6e lors de l'exp6rience. L'essai pratiqu6 sur l'6cran homog6ne a montr6 que cette approche est efficace mais qu'elle n6cessite quelques informations sur la signature de la r6ponse. I1 s'agit par exemple de connaltre le comportement de la d6riv6e de la r6ponse ~ l'origine et ~ l'extr6mit6 ANN. T~L~COMMUN., 43,
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MESURE DE L'EFFICACITI~ DE BLINDAGE DES C.~BLES
de la fen~tre et de pouvoir positionner les points d'inflexion quand ils existent. Les r6sultats positifs obtenus sur le cable h 6cran homog6ne montrent que cette d6marche est prometteuse/~ condition toutefois que les efforts portent sur l'identification de la signature des cables. On peut imaginer cette identification aliment6e par des banques de donn6es enrichies par quelques exp6riences tr6s repr6sentatives men6es sur des 6chantillons de cable /t haute immunit6 judicieusement s61ectionn6s pour leurs propri6t6s 61ectromagn6tiques.
ANNEXE I Consid6rations sur les Hmites introduites par le bruit.
Le signal Vs(t) en sortie de chaine peut s'exprimer : (A-l)
Vs(t) = Ad vr
t) + b(t).
Relation dans laquelle vr t) est la r6ponse th6orique du cfble, b(t) la composante de bruit et Aa le gain de la chalne de r6ception. Traduite en densit6s spectrales de puissance, la relation (A-l) peut alors s'6crire : (A-2)
Svs(f) = A 2 Svo(f) + Sb(f).
On trouve dans cette expression la densit6 spectrale th6orique de la r6ponse Svo(f) et la densit6 spectrale du bruit Sb(f). Pour plus de simplicit6, nous admettrons que le bruit est ~t large bande et b, spectre uniforme So qui n'est autre que l'approximation du bruit blanc. (A-3)
S b ( f ) = So.
Le traitement num6rique ne donne pas directement acc6s aux densit6s spectrales mais h leur estimation d6duite du p6riodogramme calcul6 apr6s application de la TFD au signal de sortie (A-I), soit : (A-4)
V s ( f ) ---- Ad Vr
+ B(f).
Si nous nous rapportons maintenant h la relation (3) 6tablie au d6but de l'article, la caract6ristique d'imp6dance de transfert d6duite de la mesure s'exprimera par : 2 V~(f) 1 (A-5) Z t ( f ) -- L Ip(O,f) Ad" Deux occurrences vont ensuite se pr6senter suivant que le spectre de la r6ponse est sup6rieur au spectre de bruit ou vice versa. Dans le premier cas, nous sommes dans l'hypoth6se oCa les densit6s spectrales remplissent la condition : (A-6)
A g Svo(f) > So.
L'expression (A-5) peut alors s'6crire avec une bonne approximation. 2 Vc(O,f) (A-7) Zt(f) L Ip(0, f ) " 14/16
663
B. DEMOULIN. - MESURE DE L'EFFICACITf~ DE BLINDAGE DES C,~BLES
L'imp6dance de transfert correspond donc bien ~t la caract6ristique d'efficacit6 du blindage. Par contre, lorsque le spectre de bruit l'emporte sur le signal :
(A-14)
Zt( f )
2 B(f) 1 L Ip(O,f) A s '
B ( f ) repr6sente ici le p6riodogramme du bruit. L'expression (A-9) caract6rise ainsi l'imp6dance de transfert minimale mesurable soit Ztm~.(f). Si nous admettons que le front de mont6e de l'6chelon utilis6 lors de l'exp6rience est tr6s petit, le spectre du courant perturbateur peut s'approximer par la relation : (A-10)
Iv0 2 r~f "
II~(0'/)l ~
L'estimation du spectre de bruit par p6riodogramme est souvent entach6e d'une variance importante. B ( f ) est donc une approximation grossi6re de So. Une r6duction appr6ciable de la variance sera obtenue l'aide de moyennes des p6riodogrammes, la limite th6orique des p~riodogrammes liss6s par cette m6thode est telle que [8] : (A-11)
In(f)l
=
N-!
(A-15)
4 7z ~ T ~ o f Ztm~n(f) = ~ i~~ A---~"
I=0
qui n'est autre que la traduction num6rique de l'int6grale (A-14). T~ repr6sente la p6riode d'6chantillonnage ; N, la base d'6chantillonnage. L'expression (A-15) suppose que ip(0, t) est causal. Connaissant ~s(kT,) et ip(0, lT~), chaque 6chantillon de la r6ponse impulsionnelle est d6termin6 par l'it6ration. (A-16) = 7(0, O)
~s(2 T,)IA~ = 7(0, Te) P~8)(To) + 7(0, 0) P~>(2 T,), ~s(3 r,)lAd : 7(0, 2 T,)~,~)(T,) + 7(0, T,) • 9 " %(8)(2T,) + 7(0, 0) 9~a)(3 T,).
On peut 6galement relier la r6ponse impulsionnelle du cfible ~t la r6ponse ~. un 6chelon. En effet la r6ponse b. l'6chelon v(J)(t) peut s'6crire : (A-17)
ANNEXE H Recherche de la r~ponse impulsionnelle par iteration num~rique
La r6ponse impulsionnelle du cfible v~8)(t) est li6e la fonction 6chelon par le produit de convolution :
15/16
t) = v~8)(t) * y(0, t).
v<,v>(t)= (1/2) zt(t) * y(t) I~oL,
relation dans laquelle y(t) repr6sente la fonction dchelon ; un raisonnement 616mentaire montre que la d6riv6e de la r~ponse h l'6chelon peut s'~crire : (A-18)
vr
~c(0, kT,) = E 7[ 0, ( l - - k ) T,] ~)(lT,),
ToSo.
To repr6sente la largeur de la fen&re initiale utilis6e dans le traitement num6rique. Dans de telles conditions, l'imp6dance de transfert minimale mesurable peut donc s'exprimer :
(A-13)
,([0, (t - - 0)] v~8)(0) dO.
Les fonctions qui entrent dans l'int6grale sont 6chantillonn6es. Un 6chantillon ~r kT~) de la r6ponse du c~ble sera reli6 b. v~8)(t) et y(O, t) par la relation de r&urrence :
la relation (A-5) s'exprime : (A-9)
vc(O,t) = r
So >> A 2 So~(f).
(A-8)
(A-12)
Relation que l'on peut 6galement exprimer par l'int6grale :
dvctV)(t) 1 dt = ~ zt(t) * 80) Ipo L.
Expression qu'on peut relier ais6ment h la r6ponse impulsionnelle v(~V)(t) d6finie par la convention (45), ce qui implique la relation remarquable : (A-19)
v~)(t) = dv(~V)(t)/dt.
Manuscrit recu le 7 mars 1988, acceptd le 5 septembre 1988,
ANN. TIELI~COMMUN.) 43, n~ II-12, 1988
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B. DEMOULIN. - MESURE DE L'EFFICACITI~ DE BLINDAGE DES C.~BLES
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ANN. "]'I~LI~COMMUN.,43, n ~ 11-12, 1988
Bernard DEMOULIN, n6 le 7 novembre 1946. Docteur 6s-Sciences physiques (Universit6 de Lille I, 1981), actuellement Maitre de Conf6rences ~t l'Universit6 des sciences et techniques de Lille Flandres-Artois. Lamine KONE, n6 le 12 janvier 1955. Maitre 6s-Sciences (Lille I, 1984), actuellement chercheur 3 e cycle ~t l'Universit6 des sciences et techniques de Lille Flandres-Artois. Mohamed ROCHDI, n6 le ler janvier 1963. Maitre 6s-Sciences (Lille I, 1986), actuellement chercheur 3 e cycle b. l'Universit6 des sciences et techniques de Lille Frandres-Artois. Pierre DEGAUQUE, n6 le 19 septembre 1946. Docteur 6s-Sciences physiques (Universit6 de Lille I, 1974), actuellement Professeur b~ l'Universit6 des sciences et techniques de Lille Flandres-Artois.
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