TRABAJOS DE ESTADISTICA Y DE INVESTIGACION OPERATIVA VoI. 36. N0m. 1, 1985, pp. 31 a 44

UNA APLICACION DE LA TEORIA DE LA UTILIDAD DE VON NEUMANN A LA PROBABILIDAD SUBJETIVA

E. Caro Departamento de Estadistica Facultad de Ciencias Universidad de Mflaoa

RESUMEN En este articulo se da una condici6n necesaria y suficiente para la existencia y unicidad de una probabilidad subjetiva, finitamente aditiva, que concuerda con una probabilidad comparativa definida en una cierta clase de sucesos asociada al espacio param6trico objeto de la inferencia. Nuestra contribuci6n no evita el tenet que postular la relaci6n de probabilidad comparativa en una clase mayor que la que es objeto de nuestro estudio pues exige la introducci6n de un espacio auxiliar que es el intervalo I-0, 1], pero que no tiene nada que ver con la idea de definir un experimento auxiliar como en De Groot. La idea b~tsica parte de la comparaci6n del axioma de monotonia de de Finetti con el axioma de independencia o sustituci6n de la teoria de la utilidad de von Neumann, en especial con la versi6n de Herstein-Milnor. Palabras clave: funci6n de utilidad; probabilidad subjetiva; probabilidad comparativa.

ABSTRACT In this paper a necessary and sufficient condition for the existence and unicity of a finitely addtive subjective probability agreeing with a comparative probability defined on a certain class of events associated to a parametric space is given. Our contribution does not avoid the problem of postulating the comparative probability relation on a larger class of objects than the original one. An auxiliary space, namely, the interval [0, 1] is introduced though in a totally different fashion than De Groot's axiom of auxiliary experiment.

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The basic idea starts from a comparison betwen de Finetti's monotonicity axiom and the independence or substitution axiom of von Neumann's utility theory in the Herstein-Milnor version.

Key words: utility function; subjective probability; comparative probability. AMS Subject classification: 90A10.

1.

Introducci6n

En este trabajo tratamos el problema de la existencia de probabilidades subjetivas derivadas de probabilidades comparativas sin necesidad de considerar la comparaci6n entre sucesos como un caso particular de la comparaci6n entre decisiones. E1 primero en formular los axiomas b~tsicos de la probabilidad subjetiva, que despu6s se han tomado como b~tsicos en el estudio de las probabilidades comprativas fue de Finetti (1937). Las contribuciones bfisicas al estudio de la probabilidad subjetiva se pueden dividir en dos grandes grupos: el primer grupo estfi basado en la formulaci6n general de los problemas de decisi6n en ambiente de incertidumbre, que a su vez se subdivide en otros dos subgrupos, segfin en la formulaci6n general entren o no probabilidades no subjetivas. Ejemplos del primer tipo (con la inclusi6n de probabilidades objetivas pero no utilidades) son el de Aumann y Anscombe (1963), Fishburn (1969; 1970) y Gir6n (1975). Del segundo tipo (sin probabilidades y sin utilidades previamente asignadas) son el de Savage (1954), Krantz y Luce (1971), Pratt Raiffa y Schlaifer (1964) y el de Bernardo y Gir6n (a aparecer en T.E.I.O.). En estas teorias la probabilidad subjetiva se obtiene de la comparaci6n de ciertos actos o decisiones particulares. Adem~s, en las del primer subgrupo se obtiene tambi6n como subproducto la funci6n de utilidad del decisor y, en todos los casos, se obtiene como resultado bfisico para la comparaci6n de los actos o decisiones el que se denomina ~principio de maximizaci6n de la utilidad esperada)). Asi desde el punto de vista normativo el resultado anterior resuelve el problema de decisi6n individual y constituye la metodologia de la ~teoria de la decisi6n bayesiana)~. El segundo grupo estfi basado en la idea de postular una relaci6n de

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preorden que de sentido a la frase ~...es mils probable o indiferente que...>> en una cierta clase de sucesos asociada al espacio param6trico objeto de la inferencia e imponerle ciertos axiomas bfisicos que conduzcan a la representaci6n de dicho preorden en t6rminos de una medida de probabilidad. E1 estudio de este problema es lo que se denomina , t e o r i a de la probabilidad comparativa>>. Aunque el estudio de la probabilidad comparativa se remonta a Berstein (1917) y Keynes (1921), se suele atribuir a de Finetti (1937) la formulaci6n de los axiomas bfisicos de la probabilidad comparativa que enunciamos a continuaci6n. Por f~ representaremos el espacio param6trico y por a un ~lgebra de subconjuntos de f~. Una relaci6n >~ definida en a es una probabilidad comparativa si: F1.

>~ es un preorden completo.

F2.

f~>~b

F3.

A >~ ~ para todo A e a.

F4. (Axioma de monotonia.) Para todo A, B y C pertenecientes a la clase a tales que A n B = A n C = tk es B >~ C si y s61o si A u B >~ >~AuC. ComOnmente a F1, ..., F4 se les conoce con el n o m b r e de axiomas de de Finetti y, como demuestra Roberts (1979), son necesarios para la existencia de una probabilidad subjetiva (finitamente aditiva) que concuerde con >~. Claramente los axiomas de de Finetti no son suficientes ni siquiera para la representaci6n de la relacibn >~ en t6rminos de una funci6n de conjunto (no necesariamente aditiva). Para ver esto basta considerar la relaci6n >~ definida por una probabilidad multidimensional o lexicogrfifica P = (P1, P2, ...). La existencia de una funci6n de conjunto (no necesariamente aditiva) que represente a >~ se garantizaria afiadiendo a los axiomas de de Finetti algOn axioma de tipo arquimediano como, p.e., la existencia de un conjunto numerable en a que sea denso en el orden cociente engendrado por >~, o bien el axioma de continuidad m o n 6 t o n a de Villegas (v6ase Fine (1973)). La inclusi6n de este nuevo axioma no es todavia suficiente para que la funci6n de conjunto P que concuerda con la probabilidad compa-

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rativa >~ sea aditiva, c o m o demostr6 Savage (1954) y mils tarde con su famoso contraejemplo, Kraft, Pratt y Seidenberg (1959). C o m o sefiala Roberts (1979, p. 396-397) < ) y que no exija la hip6tesis de finitud de fl, permanece abierto>>. Las quejas de este autor se basan en que las axiomiticas de la proba':ilidad subjetiva propuestas estin hechas bajo la consideraci6n de postular la relaci6n de preorden >~ en conjuntos mils grandes que el a. Asi, por ejemplo, si consideramos la contribuci6n de De G r o o t (1970) a la probabilidad subjetiva, el filtimo axioma (la existencia de un experimento auxiliar, que establece la existencia de una v.a. de (fl, a) en ([0, 1], fl[0,1]) uniformemente distribuida), implica implicitamente, c o m o sefiala Leonard (1980) que los axiomas anteriores de De G r o o t de hecho se refieren no s61o a los sucesos de a sino a la uni6n de 6stos con subconjuntos (medibles) del intervalo [0, 1]. La contribuci6n de Scott (1964) presenta un problema anfilogo pues utiliza en su formulaci6n elementos extrafios al problema original (f~, a, ~>) como son las funciones indicadoras y sumas de 6stas en vez de operaciones conjuntistas permisibles en el ilgebra. La contribuci6n mils reciente de Suppes y Zanotti (1976) a u n q u e da condiciones necesarias y suficientes para la existencia de la probabilidad subjetiva, no garantiza la unicidad de 6sta y presenta el mismo defecto de tener que recurrir a la extensi6n del preorden a un conj u n t o mayor que el a que denominan funciones caracteristicas extendidas. Nuestra contribuci6n no evita el problema que hemos mencionado de postular la relaci6n de probabilidad comparativa en un conjunto m a y o r que el a pues exige, c o m o veremos, la introducci6n de un espacio auxiliar que es el intervalo [0, 1] pero que no tiene nada que ver con la idea de un experimento auxiliar c o m o en De Groot. Mils bien la utilizaci6n de ([0, 1], fl[0,U, ;~ 1) d o n d e ~ 1 indica la probabilidad comparativa engendrada en fl[0,1] por la longitud o medida de Lebesgue, tiene c o m o fin el transformar la clase formada por las uniones finitas de rectingulos que se obtiene al considerar el espacio producto en un espacio de mixtura. La idea bisica parte de la comparaci6n del axioma de de Finetti, F4, con el axioma de sustituci6n de la teoria de la utilidad de von Neumann. Esta analogia es la que nos ha llevado a la

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idea de transformar la clase anteriormente citada en un espacio de mixtura, y que junto con la adici6n de un axioma de tipo arquimediano nos permiten utilizar el teorema de von N e u m a n n para garantizar la existencia y unicidad de la probabilidad subjetiva. Esta idea de utilizar resultados de la teoria de la utilidad en la teoria de la probabilidad subjetiva pone afin mills de manifiesto la dualidad existente entre las dos teorias como ya han sefialado Scheneeweis (1974) y Gir6n (1979) y que puede ser 6til, sobre todo, en el problema prictico de la determinaci6n experimental de utilidades o probabilidades subjetivas.

2.

Axiomhtica y conseeuencias

Consideremos un espacio param6trico f~, del que flnicamente nos van a interesar los subconjuntos que pertenecen a una clase a a la que exigiremos tenga estructura de filgebra, y cuyos elementos denotaremos por A, B, C,... El problema que nos ocupa aqui, es caracterizar una probabilidad comparativa >~* que definiremos en la clase a, es decir, dar condiciones que aseguren la existencia de una funci6n de conjunto P, definida en a, que sea flnica, aditiva, y tal que para cualesquiera A y B de a sea: A >~* B si y s61o si P(A) ~ P(B). Utilizaremos un espacio auxiliar ([0, 1], /3[0,U) y a los elementos de/3[0 ,1] los denotaremos por a, b, c,... Consideraremos tambi6n el espacio producto ([0, 1] • ~,/3[0 ,U x a) y llamaremos ~- a la clase formada por las uniones finitas de rectfingulos, a cuyos elementos denotaremos por E, F, G,... A d e m i s de los espacios anteriormente citados, vamos a considerar dos relaciones binarias ~> y >1 definidas sobre las clases ~ y /3[o,u, respectivamente, en donde >~ 1 es la probabilidad comparativa engendrada por la longitud o medida de Lebesgue en/310,U, es decir: Si a, b ~/310,1] es a ~> 1 b s i y s61o si l(a) >I l(b) A dichas relaciones exigiremos verifiquen los siguientes axiomas: B1.

>~ es un preorden completo en ~ .

B2.

[0,1] x ~ > ~ b

B3.

VEe~

,

E>~b

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B4. Si E , F , G e ~ E>~Fsiys61osiEuG

son tales que E A G >FwG.

=FnG

=~b, entonces

B5. SiA, B e a, y e x i s t e u n 2 e (0, 1] t a l q u e [0,2] x A >~ [0,2] x B, entonces se verifica que [-0, 0t] x A > [0, ~] • B para todo ct e [0, 1]. B6.

Si a, b e fl[0,U, entonces es a ~> 1 b si y s61o si:

a x A >b

x A

paratodoAea.

B1, ..., B4 son los axiomas bfisicos de la probabilidad comparativa y serfin fundamentales para demostrar que una relaci6n de preferencia que definiremos en la clase a es una probabilidad comparativa. B5 y B6 nos garantizan la consistencia entre los pre6rdenes >~ y >~ 1- Aprovechando esta consistencia definiremos un preorden sobre a. D a m o s ahora una serie de resultados que se deducen de los axiomas anteriores y cuyas demostraciones omitiremos por ser consecuencias inmediatas de los mismos.

Consecuencia 2.1.

Si E e ~ , entonces se verifica que [0, 1] • ~ >~ E.

Consecuencia 2.2.

Si E, F e ~

Consecuencia 2.3.

Si E, F e ~" y ademfis E ~ F, entonces E ~> F.

Consecuencia 2.4.

Si a e fl[0,1] Y ademfis a "Pl qg, entonces a x if) > ~b.

y adem&s E > F, entonces P >~ E.

Consecuencia 2.5. Si E , F , G e ~ entonces E u G ~> F u G. Consecuencia 2.6. EnG

son tales que E ~ > F y E n G

Si E , F , G y H e ~ =~b, e n t o n c e s E u G > F u l l .

son tales que E > ~ F , G > H

= ~b, y

Definici6n 2.1.

Dados A, B e a, diremos que <~* B, si y s61o si existe un ~ e [0, 1] tal que [0,0~] x A >~ [0,0t] x B.

Consecuencia 2.7. Si A, B e a, entonces es A ~>* B si y s61o si para todo aefl[0,1] es a x A >~ a x B. Teorema 2.1.

3.

La relaci6n >~* es una probabilidad comparativa en a.

Teorema de existencia y unicidad de la probabilidad subjetiva

La idea que aqui vamos a seguir es la de construir un espacio de mixtura para el que se verifiquen los axiomas de la teoria de la utilidad

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de von N e u m a n n con el fin de demostrar la existencia y unicidad de una probabilidad subjetiva que caracteriza a la probabilidad comparativa '>~*. Antes de proseguir, hacemos notar que cualquier elemento E ~ 1o podemos expresar en la forma E = 0 al x A~ en donde los al verii=1

fican las siguientes condiciones: a)

si

ai c~ aj = tP

i~j

PI

U a, = [0,1]

b)

i=1

c)

Sii
entonces a~ estfi a la izquierda de a~. De un elemento que est6 expresado en la forma anterior, diremos que estfi expresado en forma can6nica. Definici6n 3.1.

Dados E, F ~

n

cuyas expresiones en forma can6nica

in

sean U ai • A~y U bj • B j, respectivamente, y dado ~ [ 0 , 1 ] . i=1

Lla-

j=1

mamos mixtura de E y F por el operador ~, y la representamos por (a, E, F), al elemento G e ~- que viene determinado por G = E' w F' donde: I1

E'= Ua'ixai i=l

con los a; tales que: n U

!

ai = [0, ~]

;

!

r

al c~ ah = ~b si

i :~ h

i=1

si i < h, entonces a~ estfi a la izquierda de a~,; y l(a~) = ~l(ai) m

F' = ~ b~ x Bj j=l

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con los b) tales que:

m j=l

U b)=(~,l)

;

bjnb~=4,

si j # k

si j < k, entonces b) estfi a la izquierda de b~ yl(b)) = (1 - ~)l(bg) Lema 3.1.

Si E, F e ~ y ~ e [0, 1], entonces se verifica: (~, E, F) ~ (1 - ~, F, E)

La demostraci6n es inmediata si recordamos B6 y la consecuencia 2.6. Lema 3.2.

Si E, F e ~

y ~ , T e [ 0 , 1], entonces: (7, (g, E, V), F) ,,~ (7~, E, F)

Demostraci6n. Si las expresiones en forma can6nica de E y F son, respectivamente,

(j

i=1

a~ x Ai

-

y

Q) b~ x Bj

j=l

sabemos que:

(a,E,F) =

ai • Ai i

bj • B j

en donde los a~ y b) vienen determinados por la definici6n 3.1, por tanto podemos poner

(7,(a,E,F),F) =

{( __-01a;'

x Ai

i

by x B i ) U ( __-01 )} U( __-01bj'"" x Bj ) j

j

en donde: a)

a;' i

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U

\j=l b /

= [0,7]

y

U bj j=l

= (7,1]

tt

t!

b) al,...,a,, c)

,

r

tt

tt!

bl,...,bm;

it!

ba,...,bm

l(a',') = 7' l(al) = :q,. l(a,); y l(b~') -- (1 - 7)l(bj).

son disjuntos dos a dos.

l(b~') = ~,l(b~) = ~(1 - a)l(bj)

Si tenemos ahora presente que"

b 7 • Bj U

b 7' x Bj

j=l

j=l

=

b 7~b):'

x Bj

j=

tenemos:

(+)

(7,(o~,E,F),F) =

a'i' x ai

i

~ ~ (b 7 [,.) b)'' j=l

)

x Bi

De otra parte, sabemos:

itf

(y~, E, F) =

tit!

ai x Ai i

bj

x Bj

j

en donde los a~" y bj'" verifican las condiciones de la definici6n 3.1 y, por tanto: ai "~zai para t o d o i = 1,...,n; (bj w b j ) ~ t b j para todo j = 1,..., m. De donde por B6 y la consecuencia 2.6 se sigue el resultado deseado. Tenemos asi que el par f o r m a d o por el conjunto o-~ y la operaci6n definida anteriormente es un ((espacio de pseudomixtura>>. D a m o s ahora un nuevo axioma, anMogo al axioma de continuidad de Herstein y Milnor (1953) para la teoria de la utilidad que nos va a permitir demostrar, en primer lugar, que en ( ~ , >~) se verifica el axioma de linealidad o sustituci6n y, m~s tarde, nos servir• para demostrar la parte ((s61o si>> del teorema de representaci6n de la probabilidad comparativa. ttt

B7.

tt

tt

tt!

tttr

Si E, F, G e ~-, entonces se verifica que:

{ ~ [ O , 1];(o~,E,G)>~F}

y

{ ~ [ O , 1];F>~(oqE, G)}

son subconjuntos cerrados de [0, 1].

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Definiei6n 3.2. Si E ~ y ~ e [0, 1]. L l a m a m o s producto de ~ por E, y lo representamos por ~E, a la mixtura (a, E, ~b). 1 1 si y s61o si - E ~ - F . 2 2 La demostraci6n es inmediata si se aplica B6 y la consecuencia 2.6. Una generalizaci6n de este lema es el siguiente: L e m a 3.3.

Si E , F ~ ,

entonces es E ~ F

L e m a 3.3.

Si E , F ~ ,

entonces es E > F

paratodon

= 1,2 .... , a d i n f .

1 1 si y s61o s i - - E ~ > - - F 2" 2"

Lema3.4. SiE, F~,entoncesesE~Fsiy t o d o ~ e [0, 1]. Demostraci6n. la forma:

s61o si ~ E ; ~ F

para

Consideremos la expresi6n de ~ en base 2 que serfi de

~= ~

1

+ ~

1

1

+... + ~ . ~ + ...

con los 7i e {0, 1}, y construyamos la sucesi6n {Otn}ne N donde"

1

~. = ~ +

~

1

1

+... + 7 . ~

que es tal que ~. " ' ~ ; ~ . Suponemos ademfis que ~x = 1, pues si 7~ = ~2 . . . . . ~, = 0 y Yh+x = 1 nos bastar/l considerar la sucesi6n {7.+h}neN. Veamos primeramente que para todo n se verifica que E ~> F si y s61o si ~.E > ~.F. Sea k fijo, y consideremos los conjuntos:

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1 Ex = y x - E 2

1 Fx = y x - F 2

1 Ek = ~k_-~-E 2~

1 Fk = ~k_~-F 2~

para los que por el lema 3.3', sabemos que se verifica: E ;~ F si y s61o si Eh > Fh para todos los h ~< k tales que Vh = 1. Sean ahora El, ..., Ek; F'I ..... Fk tales que: !

!

!

I

!

Eh~Eh, Fh~Fh para todo h=l

..... k

y

!

!

r

E'hc~Ep=FhnFt,'=c

k

si

hv~p

La existencia de estos conjuntos p o d e m o s garantizarla en virtud de B6 por ser los ~k ~< 1. Si recordamos ahora la consecuencia 2.6 y la definici6n 3.2, tenemos que: !

!

OtkE "~ E1 w ... w Ek 1

!

r

y I

!

I

OtkF ~ F1 u ... w Fk !

!

dedondealserEhnEp=YhnFp=~b si h ~ p , y a d e m f i s E h > F h para todo h = 1, ..., k, si aplicamos de nuevo la consecuencia 2.6, tenem o s q u e E ;~ F s i y s61o si CtkE ;~ CtkF, y si en una relaci6n se da la indiferencia, tambi6n se da en la otra. La forma de concluir ahora nuestra demostraci6n es la siguiente: Si fijamos CtkF y consideramos la sucesi6n {otn}n>>.k, tenemos que si E >~ F, entonces OtkE >~ ~tkF, pero c o m o Otk+hE ~ O~kE para todo h e N, podemos concluir que si E >~ F entonces otnE >~ ~RE para todo n - = k, k + 1, ..., ad inf de donde, por B7, tenemos que ~tE ;e OtkF. C o m o esto anterior lo podemos hacer para todo k = 1, 2 .... , ad inf, si aplicamos de nuevo B7, tenemos el resultado deseado. La parte ~s61o si~ de la demostraci6n la omitimos por ser evidente. C o m o consecuencia inmediata del lema anterior, tenemos el siguiente teorema (axioma de linealidad o sustituci6n de la teoria de la utilidad). Teorema 3.1. Si E, F ~ ~ , entonces es E ;~ F si y s61o si (~, E, G) ;~ > (~, E, G), cualesquiera que sean G ~ ~ y 0t e I-0, 1].

Definiei6n 3.3. D a d o s E, F e a~-, diremos que estfin relacionados mediante R, y lo representaremos por E R F si y s61o si E ,,~ F. Teorema 3.2. La relaci6n R anteriormente definida es una relaci6n de equivalencia en (~-, >~).

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Si denotamos ahora por ~ / R al conjunto de las clases de equivalencia, y a los elementos de ,~/R por E, F,..., d o n d e E representa la clase de equivalencia que contiene a E y todos los elementos de ~que son indiferentes a 61, podemos considerar la siguiente relaci6n de preferencia en el conjunto de las clases de equivalencia. Definiei6n 3.4. Dadas dos clases de equivalencia E y if, diremos que la primera es mils preferida que la segunda, y 1o representaremos por E > F, s i y s 6 1 o s i E > F . Tenemos asi un orden total definido sobre ,~/R, con lo que estamos en condiciones de construir un espacio de mixtura sobre el que se van a verificar los axiomas de la teoria de la utilidad. Definiei6n 3.5. Dados E, F e ~ / R , y dado ~ e [0, 1]. Llamamos mixtura de E y F pot el operador ~, y la representamos por (~, E, F), a la clase t~ tal que si E e E y F e F, entonces (~, E, F) e (~. Teorema 3.5. La operaci6n de mixtura anteriormente definida es independiente de los representantes que escojamos para las clases E y F. La demostraci6n es una aplicaci6n de la consecuencia 2.6 y del lema 3.4. Tenemos asi, en virtud de la definici6n 3.5 y de los lemas 3.1 y 3.2, que ~ / R es un ~(espacio de mixtura)). Adem~ts, por la definici6n 3.4 por B7 y por el teorema 3.1, tenemos que se verifican los axiomas de Herstein-Milnor para el espacio de mixtura ~ / R , los cuales implican la existencia de una funci6n de utilidad definida sobre ~ / R . C o m o ademfis por B2 existen, al menos, dos elementos en ~ , y por tanto en ~ / R , que no son indiferentes, la funci6n de utilidad no es constante. En particular, se verifica el siguiente teorema: Teorema 3.7. Existe en ~ / R una funci6n de utilidad U tal que E > F si y solo si U(E) > U(F) y U(~, E, F) -- 0tU(E) + (1 - 0t)U(F). Ademfis U es 6nica salvo transformaciones lineales positivas.

Demostraci6n. Puede verse en Rios (1976) p. 47 a 51. A partir de la funci6n U, anteriormente considerada, podemos definir una funci6n P sobre a de la siguiente forma: VA ~ a

;

P(A)

= U(E)

d o n d e E es la clase de equivalencia a que pertenece [0,1] x A.

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Teorema 3.8.

a)

P es una probabilidad subjetiva que concuerda con la probabilidad comparativa >*.

b)

P es flnica si la normalizamos, esto es, P(~b) = 0 y P(f~) = 1.

c)

P es aditiva.

Demostraci6n.

a)

Sean A, B e a, y veamos que A >~* B si y s61o si P(A) >~ P(B). Si llamamos E a la clase a que pertenece [0, 1] x A y P a la clase a que pertenece [0, 1] x B, por la consecuencia 2.7, sabemos que A ;~* B s i y s61o si [0, 1] • ~ [0, 1] x B; por la definici6n 3.4, [0, 1] x A >~ [0, 1] x B si y s61o si E >~ F y por el teorema 3.7 es E > F si y s61o si U(E)>~ U(ff) de donde se obtiene el resultado deseado.

b)

Es una consecuencia inmediata de la unicidad de U.

c)

Es una consecuencia inmediata de la linealidad de U.

REFERENCIAS

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