Zum Zentrumproblem. Von Hubert Cremer in Berlin.

Die Frage n a ~ dem Verhal~en einer an~lytischen lhmktion f(z) in

dot Umgebung eh~es regul'~renFixpunkt~s ~e: erregt schon seit langem das Interesse der Mathema~ik~r~). Dieses V~rhal~en tiiBt sich in den F~ilten [f'(*)l<

1

~d

ff'($)l>

I

teieht besohreiben: Die Sehrfdersche Funlrtionalgleiehung (1)

S (f(z))= f'(~).S(z)

/~e~z~ eine in ~ reguIKre Lfstmg S = ~(z

-

~) --e~(z

-

~)~ § ...

mit S'($) ~ c~ + O, d. h. das Ver/~alten yon f ( z ) in der Umgebung yon kann vom Standpunkr dot konformen Geomet~ie dumb das Verhalten der Drehstreekung w = aaz in der Umgebung des Nutlpunktes vollst~ndlg eharakterisiert werden~). In~besondete werden alle Punkte einer passenden UmgebuJag yon ~: ,angezogen" bzw. ,abgestol~en". ~) E. Schr~er. Math. Annalen 2 (]870), S. 31'7 und ~1 (1871), S. 296; J. Farka~, Jourr~al de M~tZa6nmtique8(8) 10 (1884), S. 101; O. Koeaaigs,Amaales de l'~eole No/male (:8)1 (1894), Supplkment toad (~) 2 (1~85), S. 385; A. Gravy, Annales de l~eole E ormala (3) 11 (1894),. S. 249; L. I.,eau, Annales d~ ~ Faculr des Sdenees de Toulouse U (1897); E. Ka~ner, Free. of the F ~ International Cong~ssofMath. Camhtldge, 2 (1912), S. 81--87; A. A, Bennett;, An~/s of Mat$aenmt~e~1~ (1915), S. $8; s T'mns. of f~ho Am~ean .Matda.8oaiegy 18 (t917), S. 185---t98; ~ Julia, $oUrnal de Math~ma~ique~pure~ ~ ~ p p l i q ~ (8) 1 (1918), S. 47--245.mad C o m ~ ~adu~ 168 (1919~ I), S. 147--149; P. FaC~a, BuIleCin de t~ Soci6t~ M~h/amat&/ae d~ 47 (1919), S, 161--271 und 48 (1920). S. 33--94, 208~314; P. F ~ u , Ar nta~eaaatlea ~7 (1926), S. :8~7--370. 9 ~) G. Kceni~, Rc~lemhe~ sat les &tna~io~ fonr ~ de F ~ Notmate (8) 1 (188~).

152

H. Cromer.

Ist ~(~) eine EinheRswnrzel, so existiert elne I~suug yon (I) mit den oben angegebenen Eigensch~ften dsnn und nut dann, wenn eine Ite. rierte yon fl(z)die Ident~ta'tistS). Ist dies nioht der Fall, so gibt es in jeder Umgebung yon ~ sowohl Punkte, die angezogen, als such solche, die abgesto~en werden 4). Uber den int~ressantenFM], in welchem $ eln irrationalindifferentcr FL~punkt, d.h. der Mu]tiplikator f (2) zwar dem absoluten Betrage n~h gleich I, aber k~ne Einheitswurzel ist, ist nur sehr weuig beksnnt. Es trit~ hier insbesondere die Fragc auf, wann die Abbilduug w = f(z) in der Umgebung yon ~ als Bfld einer Drehung au~gefa~t werdcn ksnn. Damnter soll folgendes verstanden werden: Es gibt elne analytische, in nebst ihrer Umkehrung re~fl~ireFunktion S vonder BeschaffcnhciL da~ nach Ausfiihruug der Transformationcn w ' ~ S(w), z'= S(z) in dcr Urn. gebung des Nultpunk~es w ' - - ~z' mit [~l ~ ] grit. Es soll sich also elne in der Umgebung des Fixpunktes umkehrbar eindeutige, sualytische Tramformation S finden lassen, die so beschsffen ist, dab die Beziehnag zwischen den trsnsformierten Variablen in der Umgebung des NuI1punktes die einer einfsehen Drehung ist. Dss ist gleichbedcutend m~t der Fordexung, da~ die SchrSclersche Funk~ionalgleichung (I) eine in der Umgebnng yon $ reguliire LSsung S mit S'(~)=}=0 besitzen soll~). Den Fixpunkt ~ nennen wit dana mit Julia ein Zentrum. Den Drchwinkel ~p der zugehSrigen Drchung heil]en wir den ,Drehwinkel des Zentrums% Zu~ VcreinJ~achung der Ausdrucksweisc wird ein irrational indif[erenter Fixpunkt, der kein Zentrum Jst, im folgenden ein ,Nichtzentrum ~ genannt werden. Wit wollea femer die der Funktion f(z) zukommenden Eigcnschaften such ihren Zentren bzw. Nichtsentren zuordnen, also z.B. ein ZentrUm ciner rationslen Funktion ein ,rationales Zentnlm ~ n~nlxen l]~w.

Es ist sehr bemerkenswert, da~ in dem von uns nunmehr allein be, trachteten Fslic a ' n + 1 ( m = 1, 2 , . . . ) , in welchem also der Drehwinkel ein irrationales Vielfaches einer ganzen Drehung ist, die formsle Ents) Diesen A~nahmefall (der iibrigens fiir nichtlineare rationale Funk~onen ~0 ointr~en kann (vgl, Ful3note as.)) hat schon Babbage 1815 behande]t. VgL C. B~bbage, An essay towards ~]ae oaloutus of funetio~s, Philosoplfieal T r a n s a ~ o n s of the Roy. So~ London 1815, S. 389--423, insbeg. S. 410 usf. Von weiter~n Atbeiten fiber die

Babbagegchs Gleichung f~(z)=__z seiea bier angeflihrt: O. Ransenberger, M~th. An~. 18 (1881), S. 379---409, insbos. S. 384 usf.; L. Leau, Bull. de la Sor Math do France 26 (1898), S. 5--9. ~) L. Leau, ]~tude sur leg dquations fonctionnelles, Ann~les de l~ Faoulth de~ Scienoeg de Toulouse l l (1897). Vgl. den Berieht des Verf., JaJaresber. d. d e n ~ Matl~-Ver. ~ , S. 196. ~) Dabei mu~ dann notwendig f ' ($) = a~ = ~ sein.

Zentrumproblem.

] 53

~cklung y o n ~ in eine P o t e ~ r e i h a , wie eine leioht~ U b e r l e g u n g ze~gt, stets mSglich ist~), w~Lrend diese f o r m a l e E n t w i e k l u n g i m a l l g e m e i n e n versagt, worm e~ elne E i n h e i t s w u m e l ist. O. A. Pfeiiter h a t bewiesen 7), d a b es analyfische F u n k t i n n s u f ( z ) g i b t s), welche die F n a k t i o n a l g M e h u n g (1) keine L S s n a g h a t , die f o r m a l e E n t ~cklung y o n S also divergiertP). Julia h a t gezeigt lo), d a b ein i r r a t i o n a l indifferenter F i x p u n k t $ d a n a mad our dann ein Z e n t r u m ist, w e n a die F o l g e d e r I t e r i e r t e n f l ( z ) , fe(z) . . . . . f,~(z) . . . . 11) in ~ n o r m a l ist. E r h a t die B e h a u p t u n g ausgesprochenl~), daft es, abgesehen y o n d e m ~ivialcn Fslic, in wel~hem f ( z ) eine ]ineare F u n k t i o n ist, r a t i o n a l e Z e n t r e n nioht g]bt, d. h. also, dal~ die SchrSders~he F u n k t i o n a l g l e i e h u n g ( 1 ) flit I~l = 1 n n d r a t i o n a l e s f ( z ) y o n m l n d a s t e n s z w e i t e m G r a d e kelne L S s u n g zul~l~t. J u l i a h a t fiir diese B e h a u p t u n g eine B e w e i s a n d e u t u n g gegeben~ffi), ~) Der ~-te Koeffizient der formalen Entwicklung S(z)=c~(z-r ha~ die Form c~. P~ ( ~, ~ ... a~ ) c~ = ~ * - ' ( l - ~) (1 - ~ ' ) . . . (1 - ~ - D

'

wcbei p~ eine gauze r~tiona~e Funktinn der a, a~ . , . a~

~) Trans. of Am. Math. ~ 18 (t91.7), S. 185--189. ~) Pfeiffers Bowels ist ein ]~dsteazbeweis, er erm6glldat nlch~ die Konsmtktion dues Beispiels. Da bei ibm masndlich vlele Koeffizienten basehr~nkenden Bedingun~n unterworfen werden, ]~Bt sich ilma die Existe~z rationaler NiehLzentren nich~ entn~nen. 9) Pfeiffcr bewei~t fo]genden Satz (Ice. cir. S. 189): Le~ 9 ( x ) ~ A~ z + A, ~ § be a~y analytic function defined in the vicinity of the origin and such that 1At ] = 1, then there exists ~n unsountable infinity of a ~ a l ~ o fu~otio~, f ( ~ ) ~ eq x + a~ z ~ + . . . . defined in the vicinity of the origin and such that l a~ i = 1, a~ ~: 1, n = 1, 2 . . . . . and r a . ~ , ~ i < 3 , ,i= 1, 2 . . . . . where ~ i~ an arbitrary positive number, for which the corresponding formal solutions of the given funetionM equation are all divergent everywhere except for z = O, Damit ist die yon Kasner auf dem 5. Mathematikerkongre~ in Cambridge (1912) a~gespreehe~e Vermutung, daft (in unsarer Ausdruaksweise) alle L~ational inditferentau ~ u n k t e Zentren seien, widerlegt. Vgl. E. K~ner, Confo~mal Geometry, Prec. of the ~iith Int. Ccngr. of Math. 2, S. 83. ~0) Siehe Jourm de Math. (8) I (1918), S. 242. n) Wi~ eetzen ]'I (z) = / ( z ) ; f . (z) = f ( f ~ _ , (z)). ~') Coraptes ~endus 168 (1919, I), S. 147--149. ~ ) VgL ]oc. cir. S. 148: ,On peut ell effet d6montrer clue, s i $ 4tai~ centre, ]'&tue,t~on fonetiormelle ~ ( e ~ Z> = ~ [ q~( Z ) ] (.~ bede~tet ei~e rationale l ~ a ~ i o ~ , O e/he reelle Zahl. I)er Verf.) qui a une solution ~ (Z) 6gale ~, r pour Z = 0 ~ holc~0rphe autour de Z = 0 aurai~ pour oette solution une fonction m$romerphe dana teat le plan de Z. ~ Aus dieser Behauptung, f'dr die jedoch Julia keinen Beweis angiht, l ~ t sich die Niohtexistenz r~tienaler Zentren leiaht folge~n (vgl. Julia, leo. oit.).

154

H, Cremer.

die bei genauerer Betrachtung a]s undurehfiil~bar erscheint "and dahervon Fatou mit Reeht nieh~ anerkannt wird~a). Die Ju]iasehe Behaupt~ung ist fiir (tie Theorie der I~eration rationa|e~ Ftmktionen yon fundamentMem Interesse. Aut ihr beruht u. a. der merk. wiirdige Sate, dab die Grenzfimktionen der Folge des Igerierten stet~ ,stiiekweise" (d. h. in jedem Gebiet, iu welehem die Folge dex Iterierten normal ist) konstant sind. Der gegenwgrtige Stand des ,:Zentrumproblems" steIIt sieh also folgeader. magen dar: 1. Es ist bewiesen, dab es analytische Fuuktionen gibt, welehe Nicht. zentren besitzen; es ist jecloeh kein Verfabxen bekannt, das die Konstruktioa eines Beispiels gestattet. "2. Es wircl vermu~et~), dab die in'a~/onal indifferenten Fix-punkte ra~ionaler Funktionen siimtlieh Niehtzen~ren sind; es ist jecloeh die MSglida. keit, da[l sie z. T. oder sogar glmtlieh Zentren sind, nieht widerlegg. Hier soil nun der folgende Satz bewiesen werden: Die Menge ~ der Drehu~nkel ~, zu welchen nichtlinea~e ~ationole Zentre~ nieht gehgren k6nnoz, b~sitzt die Miiehtigkeit des Konginuu~as. Teihnengen yon ~J~, die die M~ehtigl~'eit des Kontinu,ums besitzea, kdnnen beslimmt angegeben werden14~ Der obige Satz ist eine Folge des Fundamentalsa~zes der Algebra, also elemenr als die meisten S~itse fiber Iterationen. Die Nieh~ existenz nichtlinearer ragionaler Zentren l~l]t sich also auch fiir gewis~ Drehwinkel ~v, die kein rationales Viel~aches eiaer vollen Drehung sinai g~wghrt die Alternative: entweder Ri~htigkei~ der Juliaschen Vermu~ung oder Klassifikation der reellen Zahlen yore Zentrumstandpunkt ans, aL~ n a ~ Iun~ionentheoretlschen Gesiehtspunk~en. Zuni~ehst begirme ich mit einem Hilfssatz, den ieh bier etwas allge meiner formuliere, alw sum Beweise an sieh nStig wiire, weil dadurch das Wesentliehe beaser hervortritt. 1~) Vgl. P. Fatou, ISuli de ]a Soc. Math. ~8 (1920), S. 58: aM. Julia ~ 6 n ~ " fair sans d6monstxation~. Aach Fatou e.ut~eheidet dlesr Frage nicht; vgk auch l~ cir. 47 (1919), S. 2'20. a.~) Einen Grund ffir dlese Vermutung vermag tier Verf. vorderhaud nicht~dry zusehen. ~4~) F~ sei bier beme~kt, dab dutch alas nun zu schildernde Ver'~hron ~'~ Ex~stenz yon Teilmengen yon ~O~t,die eln posittve~ Lebesgueseh~ M~B beu-itzen, ge'zeig~ oe

Zentzumproblom.

155

Gegeben sei eine Funktion f ( n ) , die jeder natiirliehen ZaJfl n eine positive (aber im iibrigen gaaz beliebige) Zahl f ( n ) zuordnet~). Es gilt dam~ der folgende Satz:

I. Z u ]edem voraeqebenen f ( n ) la~se~ 8ich kontinuierlich vide Z~thlen fl ([/~ = 1) kon~truieren, die der U~gleichung

(~)

I~" -

~ i < f(,,)

/ ~ unerutlich vide n geuiiqen. Wir wollen fiir den Tagbestand I gelegentlich aueh abkiirzend sagen, dag sich die 1 dutch fl" ,beliebig k r ~ t i g " approximieren lasse. Es ist das eine EigensehaN, die die Punkte des Einheitakreise~ vor den anderen Punkten voraus haben; 0 trod oc la~sen sieh dutch a ~ zwar aueh beliebig, abet nicht ,,beliebig kr~ittig" approximierea~6). -Nun zum Beweis! Setze ich / 7 = e r (go zeell), so geniigt es, zu zeigen, dab fiir eine unendliche Folge natfirllcher Zahlen nz, n~, n.~, ... giit: (3)

i nr.?~ -- 2~m~.' t < f(n.)

(r = 1,2 .... ),

wobei die m ganze Zahlen sind, di~ passend gew~hlt werden diirfen. Unterscheiden sieh n~mlich die Argumente von /7" und yon 1 rood 2 z um weniger als f ( n ) , so unterscheiden sieh /7~ und 1 selber erst recht um weniger als f ( n ) , da die Sehne kleiner ist als der Bogen. Nun brauehe ich nur z. B. in fl = et~ ~ e ~ r den dyadischen Bruch y~0,

7aYeY3""

so zu bcstimmen, daJ~ atff jede 1, wenn sie die k-re Stell~ hinter dem Komma [st, mindestens -- log~ f(2 ~) -~ 3 2r fotgen. Denn dann ist ersiehtlieh, wenn Yk~) die r-re 1 ist, iiir n ~ = 2 i(~) unct m ~ [ n , . ? ]

,n,. r -- m [ < 9.-(-1~

= 2 - S f ( n ~ ) < f(n,)

Die so bestimmten Zahlen besitzen die M~chtigkelt des Kontinuums, da die Ungleichungen (3) giiltig bleiben, wenn ich in einer so konstruierten Zahl 7 eine 1 durch eine 0 ersetze, and da insbesondere die Menge der Zahlen, die auf diese Weise aus einer i~rationalen ZaM entstehen, yon der M~chtigkeit des Kontinuums ist. ta) Es ise fibrigens nur JaStig, da~ f(n) fiir unendlich vide n positiv ist. Der folgende Beweis ist da~n etwa~ M~zu~ndorn. ~) Z. B. ist die Ungloichung l a " l < 2 - "! tmi Iestem a offenbar nut ffir endlich viele natlirliehe Zahlen n or/iilJt. W~re es anders, so liefle deh iibrigens mitteis des nun zu schfldernden Beweiaverfahrens auch folgem, daft es Fix-'punkte $ mit If' (~)!< 1 g~.be, dle nicht aaziehelld wilren, w~ihrond bekanntlich (vgl. S. 151 dot voHiOgeadenArbeit) a]Io derartigen Fixpunkte anziehend sind.

]56

H. Cremer.

Der im Hilfssatz I enthalteae Ta~bestand ist na~iirlieh bekannt. Er liegt z. B. dem bekaunten Liouvilleschen Beweis tier F~istanz transzen. dearer Zahlen 17) zugrunde. Denn der bexuht ja gerade auf dex Konstraktion von Zahlen, die sich dutch rationale Briicho ,zu gut" approximi~rea lassen. W~ihrend abet LiouvlUe yon seinen Zahlen x nut verlangt, d~f~ die Unglei~ung 1

bei betlebigem positiven A und na'~iirliehem ~ niemals flit allo rationalen Briiohe s erfiillt is~, wcrdon wir an unsere Zahlen fl eine sehr viel seh~r. fete Forderung stellen mfissen. Auch P~eif[er benutz~ unserem Hilfssatz I vorwandto Uberlegungen. Er erzwingt damit die Divergenz dor tormalen ]~ntwicklung tier SohrSd~rschen Funktion. Bevor ioh nun den sehr einfachen Gedanken ontwickeln werde, de~ einen leichten Beweis unserer Behauptung gestattet, mug ioh nooh elne vorbereitende Betraehtung e~nschalten. Es sei mir eine (beIiebige) rationale Ftmktion m i t irrational indiiterontem Fixpunkt $ vorgelegt. Zun~chst bringo ioh duroh eine lineare Transformation d~z Funktion and ihres Argumentes is) d~n Punkt ~ in den Nu]]punkt, einen seiner yon ibm vorsoMedenon Vorg~nger erster 0rdnung, d. k einen Pm~kt y =~ ~, in welchom die Funktion don Weft ~ annimmt (di~ Exlstenz derartlger Punkt8 ist stet~ geslchert, wenn dot Grad der Funktion 1 iibersteigt), in den unendtieh fern~n Punkt; dann haben w i t : R(~)= ~+~+'''+~'~ 1 +b~z+...+b~z*

(a,+O, b~+O),

wobel 8 > r und R ' (0) ~ fl is~. Wie eine leiehte Ubexlegung zeigt, erhalten wit dana fiir die n-~e Iterierte ~9): ~.(z) - Z"~+ " + ~ ' * 1 + . . . + B , ~ (n)z swobei wieder s , = ~ " > r,~ and ~,~/~l*~~ b**" ist~~ a~) J. Lioavflle, Journ. de Math_ 16 (1851), S. 133--142. ~s) Das ist enlaub% d~ eine sol,he Transfomat~on die Eigensehaft vines paukte~, Zentrum bzw. Nichtzentrum zu sein, offenbar nicht ~nde~. ~) Wlr set,zen ~ (z) = R ( ~ (z)) . . . . , ~ , (z) = R ( ~ - x (z}). ~o) Die eim~che Form diese~ Koeffizionten, in~besondoro seine alleinige Abhgngigr keit yon b,, ist wesentlich dutch die Beziehung ~ > r bedingt; im aUgemeinen (~u& im Falle s = r ) setzt sich d/eser Koeffizient in verwickclt~r Weise au~ den Koeffi" zienten van .R (z) zusa~nmen.

Zentrumproblom.

157

Die Gleiehung der Fixpunk~ der n-ten It~riert~n R. (z) = z eth~il~ dann die Form ~1)

'(~)

f"z+...+A,,z

=z +...+

b,'~z "§

(~, < , " +

1).

Wenn nun der lqullpankt ein Zentrum sein sell, so diirfen sioh die Fix'punkte der I~erierten in ibm jedenfalls nieh~ hs Das ist bekannt mad sehr leieh~ einzusehen. Da n~imlieh die Drehung w = / ~ z und ihre Iterierten w , = fl'~'z wegcn fin @ 1 keinen yon Null mad Unendlieh vers~kiedenen Fixpunkt besitzen, und sieh die Fix-punkte also insbesondere ira ~rallpunkt nieht h~afen, so h~ufen sie sieh aueh aleh~ in seinem Bilde, dem Zentrum. Wit werden nun abet zeigen, dad~ sieh die Fixpunk'~ der R , ( z ) bei pazsender Wahl der fl im Nullpunk~ hi~ufen -- der Loser sieht gewil~ sehon wie--, woraus daun ~[olgt, dal3 dieser ein Niohtzentrum ist. Wit sehreiben die Gleiehungen (4) in der Form

(~a)

sn

(#"-1)=+...-

b, =

an+l

=0.

h'aeh Division dureh z "2t~) geht (4a) iiber in:

(4~)

(/~"-1)+..

"

""

o.

lqunmehr wird der l ~ n d a m e n t ~ l ~ clef Algebra die Entseheidung herbeiffihren. Es ~rcl j e t ~ benutzt, da~ alas Produkt allot Wurzeln einer norm/er~en algebraisehen Gleiehung bis auf das Vorzeiehen gleieh dem absoluten Glied der Glei~ung is~. Wir haben also in unserem Falle, wenn ~ir mi~ ~, die dem absolutea Betrage n~eh kleinste Wurzel bezeiehnen, ~b,I " odor

Wenn ieh nun f so w'2hlen kann, dal~ flit beliebige positive s z w a r /~" -- 1 =N0 (n = 1, 2. . . . ) ist, abet lira in~ *~/ fl" -- 1 = 0 wird, so gilt aueh lira inf [ ~ [ = O,

~, + O,

d.h. die l~ixpunkt, e t~iufen sieh im Nullpunkt. ~a] Da der Grad yon R . ( z ) genau s ~ is~, sind wirklich ~dle Liisungen yon (4) ~ h L~angca yon / ~ (z)= z. sx~) An dieter Ste.Ue benu~zen wir wezentlieh div wichtige Vorau~etzung, dal~ I/(z) yon mindesten~ zweitem Grade i~4~.

158

It. O ~ e r .

Dos kann ich a b e t in der Ta~, da sioh die 1 d u t c h fl~ ,beliebig k r ~ f t i g ~ a p p r o x i m i e r e n l~l~. Ioh brauche ja n u t e t w a fl so zu bestimrae~, da/~ fiir tmendlich v/ele n die Unglelehung

effiill~ ist, was nach Hilfssatz I mSglich istSlb). G e r a d e die HSglichkeit der ,,beliebig kr~ftigen g A p p r o x i m a t i o n erm S g h c h t eben die erfolgreiche Benut~ung einer so tmgew6hnlich rohen k b s e h ~ t z u n g wie der obigen. Hiermilb ist der auf S. 154 ausgesprochene Sat~ bewiesen. Die Menge der Drehwinkel ~ , deren s Z e n f m r a f e i n d s c h a f t " m a n n u n m e h r beweisen kann, is~, wie m a n tsicht einsieh~, n ~ v o m Lehesgueschen MaBe Nult'~'-'/. Sie sind fibrigens s~mtlir en~weder ~ationale ~ ' ) odor aber transzendente Vielfache einer vollen D~ehung, d a sie der Liouvillesehen Bedingung gentigen ,.,s). B e t r a c h t e n w i t n u n beliebige Z e n t r a m f u n k t i o n e n . U n t e r einer , , Z e n t r u m f u n k t i o n a vel~tehen w i t eine analytische Funktion, die ein Zen. ~,b) Die Erfiillung der Nebonbedin.gung f l ~ - 1 :- 0 ma~ht keine Schwiorigkeia~ da die Einhei~swuraoln nur ~n ab~ihlb~trer Menge vorhanden sJnd. ~) Man ilberleg~ sich unschwer, dal~ bereits elne ~Ienge yon Drohwinkein r die die Ungleichungen C (A) j ~ - - 1 1 < - fi- O > 0 odor (B) in~--I~(n)] < K- K>0 ( C , .K bedeuten ~on~tanten, ~*(~z)passende ~anze Zahlen)tfir tmendlich violo ~

und Ieste U~ K befriedigen, nur das Lobesgue~cho MaB Null besitzk Denn die Zahlen ~v, dis ffir eln festos n tier ]~edingung (B) mJt 0 _ ' ~ . ~ < ~ genfigon, ]iegen in Ini~er~rallon mit den Eckpunkt,en 2~ K 2~(n--1) .K K O, ~--~:;~ T n-~; . . . ; - - ~ :F-~; 2 # - ~ , ' 2 ~ ; und der Gosamtinhalt, dieser Intervalle is~ 2.K

2K

Dos Lebesguesche Ma~ dor Monge fits,, aller 7~ahlen ~, die ffir irgemdein r

der

K nimm~ al~o mi~ Ungloiohung (B) geniigen, isb jedenfalls nichl, ~55er ats _2 _~ 2~-7~' ~=2v w achsendem 3/~egen Null ab. Die gesuehtc Menge ~ oiler Zahlen ~ (0 ~ ~, < 2a), die J~/iruneadlieh elsie ~ dot U~gloiehu~g (B) ge~figen, ist ~un fief Dumhsoha:~t oiler ~ v ; d~s Lebeeguesvhe Ma~ yon ~ is$ da3aer Null. ~*) F/ir rationale Vielfache yon ~ IS.fit sieh der Bowels bekanntlich schr loieht ~tihren : Aus S ~ S - ~= ~ z, =~ = 1 fotgt SR~ S - ~ = z odor R~ (z) = z (iden$isch in z); der Grad yon / ~ (z) ist aber nur dann gleich 1, wen~ ~ (z) yore Croton Grade ist~ ~a) Often bleibt, also u. a. die Frage, ob zu Drehwinkeln, die algobrsdsehe ( n i ~ rationals) Vielfaehe yon ~r sind, rationale Zentren gehSroa kfanen.

Z~n~rampeoblem.

150

besitzt. Imbesonde~e werden wit, we~a wit hervorheben wollen, dalt der Drehwinkel des Zentrums kein rationales Vielfaehes einer vollen Dreh~lg is~ (~v . ~ ~; p , q ganz), yon einer . eigentliehen Zentrumfimktion" spreehen. Nine ~mktion, gegen welehe sine Teilfolge der Folge der Iterierten yon f ( z ) in "der Umgebtmg des Zentmms koavergier% nennen wit zur Abkiirzung im folgenden sine Gren~funktion yon f ( z ) " ESne solehe Ftmktion isg wieder sine Zentrumfunktion. 2a.) Nine eigentliche Zenerumfunktion b ~ i ~ z t kon~inuierlleh viele Gre~funktionen, und zwar geliSrt zu jedem Drehwinkel sine trod nut eine Grenzflm~ion, die sin Zentrum mit diesem Drehwinkel besitzt. ~'~') Die geomstrische Veransehaulichung dieses Tatbestandes is~ leicht. Es sei &

Sf=aS

oder

SfS-l=az

die zu f( z ) : o:z -i- a~ z" ~ . . . gehSrige SehrSdersehe Funktionalgleiehung ~'). Dutch S wird das Innere sines Kremes um den Nullpunkt sehlieht auf sin Gebiet G abgebflde~, das dutch f sehlieht an{ sieh abgebildet wird. VerraSge S entsprieht den D.~ehangen w = r sine Sehar yon Funktionen, die G sehlicht auf sieh abbiiden and einen gemeinsamen Fixpuak~ (und zwar sin Zentrum) im Innern yon G besitzen. Aus dem soeben bewiesenen Satze folgt nun sofort: Unter den Greazfunktionen einer beliebigen niehtlinearen eigentliehen Zentrttmfunk'~ion gibt es mindestens kontinuierlich viele niehtrationale. Wir bmuehen diesen Satz aber nicht; denn auf direktem Wege kann man leieht sin wesentlieh sch~rferes Reauitat ~rhalten; sine einfa~he Betraehtung zeigt n~mlieh, d~ die Menge der rationalen Grenzfunktionen einer niehtlinearen ZentrumIunktion abzihlbar isk Die folgenden U]~erlegangen gestatten zugleieh die Ableitung noeh weiterer Resultate ahnlieher Art. Wir setzen f ( z ) = ~ r a , z~, a, = a.

Zun~ehs~ soil gezeig~ werden, dab die Koeffizien~en A~"~ der n-ten Itefierten

Polynome in den a = sind mit Koeffizienten, die zwar noeh yon a (und 9al~dem yon a~, a s , . . . ) abh~ngen, aber yon ~ unabh~ngig sind. ~) Man s:eht das sofor~sin, wennmau start tier Iterierten yon f ( z ) die diesen VermSge(1) entspreohenden Drehungr betrax.htet. ~)/)as Zent,tun sei im fo'geaden immer dee b,'ullpuakt.

160

H. Cremer.

Die Behauphmg gilt offenbar fiir k = l ,

da A{~)= P ~ ( a = ) = a ~ ist.

Ich nehme an, da$ sic fiir alle k _< m gelte. Aus der Funkr

f(f~ (z)) = f,, (f(z)) ode~ r ~m> 7=1

/~=1

,,,V

~

:

V=l

~fn)f ~

_,~19

~:1

e r l ~ l t m a n dutch G/eiehsetzung der Koeifizienten von z ~+l

i:~+, (,~,,+,-

~) = Q ( ~ ' ) .

l~erbei ist die rech~e Sei~ ein Polynom in a ~ mit den verlangt~a Eige~. sehaften, da sie eino ganze rationale Funk~ion der A~~, A.~(~I. . . . . A~('~mit yon n unabhlin~gen Koefllzien*en isr Also ist (wegen a ~ l ) A ~ + ~ = P~+~(a") ebeafalls ein Polynom in a " mi~ yon n uuabhs Kodfizienten ~); womit die Behauptung tfir alle k bewiesen ist. ][st nun f(z) eine eigentliche Zentrumhmktion, so ist diejenige G~r~, funktion, die im N u l l p u n ~ die Ableitung fl besltzt,- yon der Form (5)

g(z)=g(z;fl)=flz+P.~(fl)z:+P~(fl)za+

wobei die P~(fi) Polynome yon fl

....

sind'~%

I s t g(z) ra$~onal, so geniig~ es einer Gleiehung yon der Form (6)

( % + a x z + . . . +a,,z")g(z)+%§

+ a,+oz + . . . +a.,,+zz'~=O,

in dor mindestens ein a, yon Null verschiedon ist. (6) ist eino I d e r h ~ in z; se~z~ maa (5) in (6) ein, so erhiil~ man ein .System yon unendli& v i e h n linearen Gleiohungen zwischen den a~, doren Koeffizien~on Polynomr yon fl sind: ~) Im Falle ~m= l, in welehean dloser Sehlufl versagt, waehsen dagogen dio A~ im allgemefnen mic ~t fiber allo Grenzen. (Die A~ "~+" sind Polyaomo in ~ bz~ konstan~.) Im Folio am Jr 1 (m = 1, 2,...) bloib~ dagegen jedes ~l~ als Polyn~ in e~= unterhalb oiner, yon ~ unabhKngigen Sohranke C~. Die Sch~r (5) l~fl6slth in diesom :Folio formal also immer bilden, w~oja auoh die Eng't~ioldungdor SchrSd~ schen Funkt~on formal ~t@f~mOgli~hi~. ~a.) Man befzachgr eino Folge f%(z) ( i = 1 , 2 . . . . ) mi~ t*~--~v~; [,,(z) ko~ vergierb gleic~n~flig gegen g(z) in tier Umgebung des Zentrums O; f~r den k-te~ Koeffizienten B~ yon g (z) erh~l~ man alao Bk = lira/)~ (a m) = Pk (lira a":) = Pt (~

Zentrumproblem.

(7)

161

ao Poe (fi) + a~ Po~ (fl) + " " + a~.+~Po . . . . (fl) = 0 aoPao(fl) + at P~x (fl) + .. . + a.,,,+ ,P~ . . . . (fl) = 0 aoP, o(D ) + a~ P~I (fl) + - . . + a~,~+t 1a~9,~+~(fl) = 0 .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a o P , , o ( f l ) + a ~ P , ~ ( f l ) + . . . + a~,,+~P~,,+x(fl ) = 0

Die Existenz nieh~trivialer L4isu~gen dieses Gleichungssystems ist not, wendig und hin~eichend flit die Erfiillbarkeit yon (6). (7) besi~zt dana and n ~ dann niehttriviale LSsungen, werm die Unterdeterminanten (2 n + 2)-ten Grades ss verschwinden. Es sind nun zwei Fii,lle zu unterscheiden: 1. SRmtliche Unterdeterminanten ( 2 n + 2)-ten Grades vers~windeal identisch. Dann ist (7) fiir jeden Wer~ yon fl 15sbar; alle Grenzfunktioneax sind rationale Fun~ionen yon hSchstens n-tern Grade. Dann sind sie s~imtlich linear. Wenn n~mlleh g(z) veto Grade r ist, so ist 9~(z) (die k-re ~terierte yon g(z)) veto Grade r ~. Da g~(z) stets auch Grenzftmktion yen f(s) ist, so gibt es also, falls rationale nichtlineare Grenziunk4ionen yon f(z) existieren, auch solche betiebig hohen Grades. Der Fall 1 lieg~ also nut dann vor, wenn alle g(z) (insbesondere f{z) selbst) linear sind. Dann ~st g(z; fl) = ,ez bzw. g(z; ,6) = L,a L -1 (L linear), also im wesentlichen eine Drehung. 2. Es existiert wenigstens eine nieht identiseh verscliwindende Unterdeterminante D (fl)(2 n + 2)-ter~ Grades. Dann gibt es, da D (fl) als Polyamm yon fl nur endlich viele NullsteUen besitzt, hSchstens endlich viele fl, zu welchen rationale Grenztunktionen n-ten Grades gehSren. Wenn also fiir kein n der (triviale) Fall 1 eintritt, so ist die Zahl der rationalen Grenzfunktionen abz~hlbar. Es ist also bewiesen:

Eine nichaineare Zentrum]unktion 2~) be*itzt hSch*tens abzdldbar unendllch vide ratianale Grenz/unktionen ; unter diesen sind nut endlich viele veto 91eichen Grade. Der vorstehende Beweis ist so gefiihr~ worden, daft er sofort weitgehend verallgemeinert werden kann. In der Tat kann man genau ebenso z.B. beweisen, daft die Gretmtunktionen einer (eigentliehen) Zentrumfunkr f(z) entweder ~mtlieh algebraisch oder fast alle (d. h. alle bis anf abzfihlbar tmendlieh vlele) tran~zendent sin& ~6) Die Begriffe .Zentrumfu~ktioa ~ und .Grenzfunktion einer Zentrumfunktiona warden uuf Seite 158 und 159 erkl~,rt~ MathematiSChe Anna|en. 98,_ 11

162

H. Cremer. Ist 9 (z) alg~braisch, so geniigt es eiaer Gleiehung yon der Form

(8)

F(,~, m; g,z) = p , g - + p,_l g " - ' + . . . + Po = 0,

we die p, Polynome in z you hSchsteus m-tern Grade sin& Notwendig und hiareiehend fiiz die ]~rfii]lbaxkeit yon (8) ist wiederum die (niehttriviale) LSsbarkeit sines Systems yon unendlieh vislen ]inearen Gleiehungen zwischen den n- (m + 1 ) Koeffizienten tier :v~, und man folgert genau go wie eben, dab entweder alle oder nur endlieh viele g Gleiehungen van der Form (8) mit festem n und m geniigen. Die oblge Behauptung ist damit bewiesen, da die beaebtenswert (d. h. in n oder m) verschiedenen F (n, m; g, z) eine abz~hlbare M~nge bilden. W~Lrend die Forderung, dab alle g(z) rational sein sollen, auf den trivialen Fall linearer g(z) ffihrt, ist die MSglichkeit, dal~ die g(z) s~mtlieh algebraisch sind~ bekanntlieh ~) in niehttrivialer Weiss realisierbar; denn wenn etwa die SehrSdersehe Funktion ~ rational isb, so erkl~ir~ die SchrSdersehe Funktionalgleiehung

z(f)=~8 sine algebraische l~_nktion f, die sin Zentmm m i t dem Multiplikata~ a besitzt and deren Grenzflmktionea s/imt|ich a]gebraiseh sindeS). Man iiberlegt sich unsehwer~), dal~ im algebraisehen Falle (sgmtliehe g (z) algebraisch) die rationalen Grenzfunktionen stets linear sindS~ Wit haben also das g e s u l t a t :

Die Grenz/unktionen ei~zerZentrum/unktion a~) simi entweder /a,gt ( d. h. alle bi~ au] abzShlbm viele) transzendent oder sdratlich algebrais~h. "~) Vgl. Julia, Joum. de Math. (8) 1 (1918), S. 24;L as) Nichttriviale Zentrumfunktionen, die e~n Zontram mit vorgegebenem Dre~ winkel besitzen, kSnnvn also solar leieht ~ngegeben werden. Noch ungelSst, ist dagegen die Frage, ob es za jedem vorgegebeneu a eino a~alytisohe Funlcfion gibt, die einen Fixponl~ ~ mit f ' ( ~ ) = a besitzt, der kein Zentrm~ ist. ~) Man beaehte wieder, dal~ die Existeaz einer ni~h$1inearetlrationalen Grer~ hmk~on die Ex~stenz r~ionaler Grenzfunktionen belleblg hohvn Gracle~ bedingt, wS.h~end einer Gleichung F(n,m;9,z)=O nat rationale FunkVienea yon hSchste~ m-tern Grade geniiget~kfirmcn. ~) Ihre Anzahl ist also (veto trivialen Fall abgesehen) endlieh. Beispiel: Die Funktiona~lgleiehuag

f(z)"§

(=m-~l , m = l , 2 , . . . )

erkl~rt eine (eigentliche) Zentrumfunktion f(z), die n lineare Gre.azfanktionen I~ sitzt, n~mlich diejenigen, welehe zu den Drehwinkeln ~, = ~ .~ (~= 0, l, ..., n - 1) gehSren~ *~) Vgl. Ft~note ~).

Zen~umproblem.

163

lm letzteren Falle gibt es keine rationale Grenz/unktCon var~ hdherem al8 erstem Grade. Mit der geschilderten M e t h o d e k s n n m a n leieh~ noeh weitere S~tze ~hnlicher A r t beweisen. So finder m a n z . B . , d a ~ e n t w e d e r Mle Grenzfunktionen a l g e b r a i s c h e n Differentialgleiehungen geniigen, o d e r f a s t nile trsnszendental-transzendent sindSZ). ~) Die Beweise der meisten vorstehenden Beh~uptungen benutzen nut die l~gonsohsft der g(z; ~), in der Umgobung yon ~ ] = 1 analytiaeh yon ~ ~bzu/a~ngem Es sei E ( z , , zg) eine anaJ.ytische Funktion in zz~ z~. Dann ist F(z~, zs) eine rationsle Funktion ~-ten Grades in zz und z~, wenn es fiir nnendlich viele Werte yon za, die eiuen ft~ufungspunkt im Regul~rit~tsbereich besitzen, eine rutionale Funktion ~-ten Grades yon z~ ist; es is~ eine Mgebr~ische Funktion in z 1 und z2, wean es ~fir mehr Ms &bz~hlb~r v/ele Werte yon zt Ms ~mkt~on yon ~ algebraiseh ~st usw. (Eingegangen ~m 17.6. 1926.)