Analysis Mathematica, 39(2013), 217–233 DOI: 10.1007/s10476-013-0305-x

Ω  Priblienie klassov Bp,θ periodiqeskih funkcii mnogih peremennyh line inymi metodami

 A. F. KONOGRAI Institut matematiki, Nacionalno i Akademii Nauk Ukrainy, Ukraina, Kiev 01601, ul. Terewenkovska 3, e-mail: [email protected]

Postupilo 2 marta, 2012; pererabotanno i variant 12 in, 2013.

R e z  m e . V rabote izuqats voprosy priblieni line inymi metodami Ω , 1 ≤ p ≤ ∞, periodiqeskih funkci i mnogih peremennyh v prostklassov Bp,θ ranstve L∞ .

1. Vvedenie V rabote issleduts nekotorye voprosy, svzannye s pribliΩ , 1 ≤ p ≤ ∞, periodiqeskih funkci i mnogih eniem klassov Bp,θ peremennyh line inymi metodami v prostranstve L∞ . Bolee konkretno ob tom budet idti req v sootvetstvuwih qasth raboty, a snaqala privedem neobhodimye oboznaqeni i opredeleni. Pust Rd , d ≥ 1, oboznaqaet d-mernoe prostranstvo s lementami x = (x1 , . . . , xd ),

(x, y) = x1 y1 + · · · + xd yd

i Lp (πd ),

1 ≤ p ≤ ∞,

πd =

d 

[0; 2π],

j=1

0133–3852/$ 20.00 c 2013 Akad´emiai Kiad´o, Budapest 

218

A. F. Konogra i

— prostranstvo 2π-periodiqeskih po kado i peremenno i funkci i f (x) = f (x1 , . . . , xd ), dl kotoryh 

−d

f p := (2π)



πd

|f (x)|p dx

1/p

< ∞,

1 ≤ p < ∞,

f ∞ := ess sup |f (x)| < ∞. x∈πd

Dalee budem predpolagat, qto dl funkci i f ∈ Lp (πd ) vypolneno dopolnitelnoe uslovie 

2π 0

f (x) dxj = 0,

j = 1, d.

i modul Dl f ∈ Lp (πd ) oboznaqim qerez Ωl (f, t)p smexanny nepreryvnosti pordka l Ωl (f, t)p = sup Δlh f p , |hj |≤tj j=1,d

gde t = (t1 , . . . , td ), l ∈ N, Δlh f (x) = Δlhd · · · Δlh1 f (x) = Δlhd (· · · (Δlh1 f (x))) i xj i — smexanna raznost pordka l s xagom hj po peremenno Δlhj f (x) =

l 

(−1)l−n Cln f (x1 , . . . , xj−1 , xj + nhj , xj+1 , . . . , xd ).

n=0

Pust Ω(t) = Ω(t1 , . . . , td ) — zadanna funkci tipa smexannogo modul nepreryvnosti pordka l, kotora udovletvoret sleduwim uslovim: 1) Ω(t) > 0, tj > 0, j = 1, d; Ω(t) = 0,

d 

tj = 0;

j=1

2) Ω(t) ne ubyvaet po kado i peremenno i; 3) Ω(m1 t1 , . . . , md td ) ≤

d 

l

mj Ω(t), mj ∈ N, j = 1, d;

j=1

4) Ω(t) nepreryvna pri tj ≥ 0, j = 1, d. Budem govorit, qto Ω(t) udovletvoret take uslovi (S) i (Sl ), kotorye nazyvat uslovimi Bari–Steqkina [1]. to oznaqaet sleduwee.

Ω Priblienie klassov Bp,θ periodiqeskih funkci i mnogih peremennyh

219

Funkci odno i peremenno i ϕ(τ ) ≥ 0 udovletvoret uslovi (S), esli ϕ(τ )/τ α poqti vozrastaet pri nekotorom α > 0, t.e. suwestvuet nezavisima ot τ1 i τ2 postonna C1 > 0, taka, qto ϕ(τ1 ) ϕ(τ2 ) ≤ C1 α , 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1. α τ1 τ2 Funkci ϕ(τ ) ≥ 0 udovletvoret uslovi (Sl ), esli pri nekotorom 0 < γ < l, ϕ(τ )/τ γ poqti ubyvaet, t.e. suwestvuet nezavisima ot τ1 i τ2 postonna C2 > 0, taka, qto ϕ(τ2 ) ϕ(τ1 ) ≥ C2 γ , 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1. γ τ1 τ2 Budem sqitat, qto Ω(t) udovletvoret uslovim (S) i (Sl ), esli Ω(t) udovletvoret ti uslovi po kado i peremenno i tj pri fiksirovannyh ti , i = j. Itak, pust 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, a Ω(t) — zadanna funkci tipa smexannogo modul nepreryvnosti pordka l, kotora udovletvoret uslovim 1–4. Togda, soglasno opredeleni [9] Ω Bp,θ



:= f ∈ Lp (πd ) : f Bp,θ Ω =

pri 1 ≤ θ < ∞ i



d  Ω (f, t) θ  dtj 1/θ l p πd

Ω(t)



Ω := f ∈ Lp (πd ) : f Bp,∞ Ω = sup Bp,∞ t>0

j=1

tj



≤1 ,

 Ωl (f, t)p ≤1 Ω(t)

(zapis t > 0 dl t = (t1 , . . . , td ) ravnosilna tj > 0, j = 1, d). Ω sovpadat s klassami Zametim, qto pri θ = ∞ klassy Bp,θ Ω  tovym v [5]. Hp , kotorye byli rassmotreny Pustovoi V posleduwih rassudenih nam budet udobno polzovats kvivalentnym (s toqnost do absoltnyh postonnyh) opredeΩ . leniem klassov Bp,θ Kadomu vektoru s = (s1 , . . . , sd ), sj ∈ N, j = 1, d, postavim v sootvetstvie mnoestvo   ρ(s) = k = (k1 , . . . , kd ) : 2sj −1 ≤ |kj | < 2sj , kj ∈ Z \ {0}, j = 1, d

i dl f ∈ Lp (πd ) oboznaqim δs (f, x) =



f (k)ei(k,x) ,

k∈ρ(s)

gde

f (k) = (2π)−d

 πd

f (t)e−i(k,t) dt

— kofficienty Fure funkcii f .

220

A. F. Konogra i

Itak, pust 1 < p < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω(t) — zadanna funkci tipa smexannogo modul nepreryvnosti pordka l, kotora udovletvoret uslovim 1–4, (S) i (Sl ), togda s toqnost do absoltΩ nyh postonnyh klassy Bp,θ mono opredelit sleduwim obrazom (sm. [9]): (1)



Ω Ω := f ∈ Lp (πd ) : f Bp,θ = Bp,θ

pri 1 ≤ θ < ∞ i (2)



Ω−θ (2−s )δs (f )θp

1/θ



≤1 ,

s



Ω := f ∈ Lp (πd ) : f Bp,∞ Ω = sup Bp,∞ s

 δs (f )p ≤1 , −s Ω(2 )

zdes i v dalne ixem Ω(2−s ) = Ω(2−s1 , . . . , 2−sd ),

sj ∈ N,

j = 1, d.

Otmetim, qto pri Ω(t) =

d 

r

tj j ,

0 < rj < l,

j=1 Ω r est analogi izvestnyh klassov Besova Bp,θ (sm., klassy Bp,θ naprimer, [3]). Ω mono rasprostranit Privedennoe opredelenie klassov Bp,θ i na kra inie znaqeni p = 1, ∞, vidoizmeniv v (1) i (2) «bloki» δs (f, x). Pust Vn (t), n ∈ N, oboznaqaet dro Valle Pussena pordka 2n − 1:

Vn (t) = 1 + 2

n 

cos kt + 2

k=1

2n−1 



1−

k=n+1

k − n cos kt. n

Sopostavim kadomu vektoru s = (s1 , . . . , sd ), sj ∈ N, j = 1, d, polinom As (x) =

d  



V2sj (xj ) − V2sj −1 (xj )

j=1

i dl f ∈ Lp (πd ), 1 ≤ p ≤ ∞, qerez As (f, x) oboznaqim svertku As (f, x) = f ∗ As . V printyh oboznaqenih (s toqnost do absoltnyh posΩ , 1 ≤ p ≤ ∞ opredelts sleduwim obrazom tonnyh) klassy Bp,θ (sm., sootvetstvenno [8] i [5]): 

Ω Ω := f ∈ Lp (πd ) : f Bp,θ = (3) Bp,θ

 s

Ω−θ (2−s ) As (f )p θ

1/θ



≤1 ,

Ω Priblienie klassov Bp,θ periodiqeskih funkci i mnogih peremennyh

pri 1 ≤ θ < ∞ i

221

 As (f )p . ≤ 1 Ω(2−s ) s Otmetim, qto pri 1 < p < ∞ opredeleni norm funkci i s Ω klassov Bp,θ (1) i (2) kvivalentny opredelenim norm (3) i (4) sootvetstvenno. Ω , kotorye opreNie my budem rassmatrivat klassy Bp,θ delts funkcie i Ω(t) vida:

(4)



Ω Ω := f ∈ Lp (πd ) : f Bp,∞ = sup Bp,∞

(5)

Ω(t) = ω

d 



tj ,

j=1

gde ω(τ ) — zadanna funkci (odno i peremenno i) tipa modul nepreryvnosti pordka l, kotora udovletvoret uslovim (S) i i (Sl ). Pontno, qto v takom sluqae funkci Ω(t), zadanna formulo (5), budet udovletvort sformulirovannym vyxe uslovim 1–4, (S) i (Sl ). Dalee, pust Qn oboznaqaet mnoestvo

Qn =

ρ(s),

s1 = s1 + · · · + sd ,

s1 ≤n

kotoroe nazyvat stupenqatym giperboliqeskim krestom. Inogda nam budet udobno rassmatrivat mnoestvo Γ(N ), sootvetstvuwee mnoestvu Qn . Po opredeleni 

Γ(N ) = k : k = (k1 , . . . , kd ), 0 <

d 

|kj | ≤ N



j=1

i pri tom Γ(N ) nazyvat giperboliqeskim krestom. Qerez T (N ) oboznaqim mnoestvo polinomov vida 

t(x) =

ck ei(k,x) ,

k∈Γ(N )

a qerez T (Qn ) — mnoestvo polinomov vida t(x) =



ck ei(k,x) .

k∈Qn

Otmetim, qto v printyh oboznaqenih imet mesto vklqeni

T (Qn ) ⊂ T (2n ) ⊂ T (Qn+d ). Dl f ∈ Lp (πd ) opredelim veliqiny EN (f )p =

inf

t∈T (N )

f − tp ,

1 ≤ p ≤ ∞,

222

A. F. Konogra i

EQn (f )p =

inf

t∈T (Qn )

f − tp ,

1 ≤ p ≤ ∞,

kotorye nazyvats nailuqximi priblienimi funkcii f trigonometriqeskimi polinomami s «nomerami» garmonik iz giperboliqeskogo i stupenqatogo giperboliqeskogo krestov sootvetstvenno. Dl funkcionalnogo klassa F polagaem EN (F )p = sup EN (f )p , f ∈F

EQn (F )p = sup EQn (f )p . f ∈F

Esli A — koneqnoe mnoestvo, to qerez |A| budem oboznaqat koliqestvo ego lementov. Teper ostanovims kratko na istorii issledovani rassmatrivaemyh v rabote voprosov. Izvestno [2], qto v odnomernom sluqae suwestvuet posledovatelnost operatorov, kotorye realizut pordki nailuqxih priblieni i klassov periodiqeskih funkci i Wpr v metrike prostranstva Lp , 1 ≤ p ≤ ∞, i, krome togo, normy tih operatorov ravnomerno ograniqeny. Neskolko ina situaci imeet mesto r i Hpr v v mnogomernom sluqae pri priblienii klassov Wp,α metrikah prostranstv L1 i L∞ . Tak, v rabotah [10–12] Temlkovym bylo ustanovleno, qto suwestvut line inye operatory so znaqenimi v T (Qn ), kotorye r i H1r v obespeqivat tako i e pordok priblieni klassov W1,α r metrike L1 , kak i nailuqxie priblieni EQn (W1,α )1 i EQn (H1r )1 sootvetstvenno. No pri tom posledovatelnost takih operatorov imeet neograniqennye normy. Analogiqna situaci imeet mesto r v metrike prostranstva L∞ . Zamei pri priblienii klassov H∞ r r i B1,θ sootvetstvenno tim, qto analogiqny i ffekt na klassah B∞,θ v metrikah prostranstv L∞ i L1 byl obnaruen Romankom v [6]. V svzi s tim obstotelstvom, predstavlets interesnym issledovat povedenie norm posledovatelnoste i line inyh operatorov, kotorye obespeqivat tako i e pordok priblieni Ω v ravnomerno i metrike, kak ih nailuqxie pribliklassov B∞,θ eni. Issledovani togo voprosa i posvwena perva qast raboty. Vo vtoro i qasti raboty ustanavlivats sootnoxeni medu Ω v metrike L∞ polinonailuqximi priblienimi klassov Bp,θ inymi operatomami iz T (Qn ) i priblienimi tih klassov line rami so znaqenimi v T (Qn ). Otmetim, qto v processe dokazatelstva poluqennyh rezultatov ispolzuts metody, kotorye primenlis pri issledovanii

Ω Priblienie klassov Bp,θ periodiqeskih funkci i mnogih peremennyh

223

r sootvetstvuwih voprosov na klassah Hpr i Bp,θ v rabotah [12, 6]. Bolee podrobno ob tom budet govorits v kommentarih.

2. Ocenka norm operatorov priblieni Imeet mesto sleduwee utverdenie. T e o r e m a 1. Pust na L∞ (πd ) opredelena posledovatelnost ograniqennyh lineinyh operatorov LQn , kotorye stavt v sootvetstvie kadoi funkcii iz L∞ (πd ) trigonometriqeskii polinom Ω , 1 ≤ iz T (Qn ) takim obrazom, qto dl funkcii f iz klassa B∞,θ θ ≤ ∞, Ω(t) = ω(t1 · . . . · td ), gde ω(τ ) udovletvoret uslovim (S) s nekotorym α > 0 i (Sl ), vypolneno pordkovoe neravenstvo Ω )∞ . f − LQn (f )∞ EQn (B∞,θ

Togda dl lbogo ε > 0 imeet mesto ocenka LQn   n(d−1)(1−ε) . Z a m e q a n i e 1. Zdes i v dalne ixem dl poloitelnyh funkci i μ1 (N ) i μ2 (N ) zapis μ1 μ2 oznaqaet, qto suwestvuet postonna C > 0 taka, qto ∀ N ∈ N , μ1 (N ) ≤ Cμ2 (N ). Sootnoxenie μ1 μ2 ravnosilno tomu, qto μ1 μ2 i μ1  μ2 . Otmetim take, qto vse postonnye Ci , i = 1, 2, . . . , kotorye budut vstreqats v rabote mogut zaviset tolko ot teh parametrov, kotorye soderats v opredelenih klassov, metriki i razmernosti prostranstva Rd . D o k a z a t e l  s t v o . Pust z = (z1 , . . . , zd ),

zj ∈ R, j = 1, d,

i Iz oboznaqaet operator sdviga argumenta funkcii f (x) na vektor z, t.e. Iz f (x) = f (x + z). Kak i v rabote [4], rassmotrim ograniqenny i line iny i operator istvuwi i na funkci f (x) po pravilu TQn , de −d

(TQn f )(x) = (2π)



πd

(I−z LQn Iz f )(x) dz.

224

A. F. Konogra i

Togda vsledstvie invariantnosti normy otnositelno sdviga argumenta, imeet mesto neravenstvo TQn  ≤ LQn .

(6)

Krome togo, legko proverit, qto 

k ∈ Qn , k∈ / Qn .

cn,k ei(k,x) , 0, De istvitelno, esli k ∈ Qn , to TQn (e

i(k,x)

(7)

)=

TQn (ei(k,x) ) = (2π)−d −d

= (2π)

 πd



πd

I−z LQn ei(k,x+z) dz =

I−z LQn ei(k,x) ei(k,z) dz.

V rezultate togo, qto LQn (ei(k,x) ) est lement iz T (Qn ), budem imet 

LQn (ei(k,x) ) =

(8)

cn,m ei(m,x) .

m∈Qn

Takim obrazom, iz (7) i (8), poluqim TQn (ei(k,x) ) = (2π)−d = (2π)−d



 πd

ei(k,z)





πd





I−z ei(k,z)

cn,m ei(m,x) dz =

m∈Qn





cn,m ei(m,x−z) dz = cn,k ei(k,x) .

m∈Qn

Analogiqnym obrazom mono proverit, qto esli k ∈ / Qn , istvuet na f to TQn (ei(k,x) ) = 0. Sledovatelno, operator TQn de sleduwim obrazom: (TQn f )(x) = f (x) ∗

(9)



cn,k ei(k,x) .

k∈Qn Ω Ω . Togda Iz f ∈ B∞,θ i soglasno uslovi Dalee, pust f ∈ B∞,θ teoremy

(10)

Ω )∞ . Iz f − LQn (Iz f )∞ EQn (B∞,θ

Pust I — ediniqny i operator. (10), budem imet (11)



f − TQn (f )∞ = (2π)−d −d

≤ (2π)

 πd

πd

Togda, vospolzovavxis

I−z (I − LQn )(Iz f ) dz

  I−z Iz (f ) − LQn (Iz (f ))

∞

dz =

∞

≤

Ω Priblienie klassov Bp,θ periodiqeskih funkci i mnogih peremennyh

= (2π)−d

 πd

225

Ω Iz (f ) − LQn (Iz (f ))∞ dz EQn (B∞,θ )∞ .

Takim obrazom, iz sootnoxeni i (6) i (11) sleduet, qto dokazatelstvo teoremy dostatoqno provesti dl operatora, kotory i opredelets ravenstvom (9). Pust  LQn (f ) = (2π)−d

gde

LQn (y) =

πd

f (x − y)LQn (y) dy,



cn,k ei(k,y) .

k∈Qn

Togda dl normy operatora LQn , moem zapisat LQn  = LQn 1 .

(12)

Dl dalne ixih rassudeni i nam ponadobits vspomogatelnoe utverdenie, kotoroe sformuliruem v vide lemmy. L e m m a 1. Suwestvuet δ > 0 takoe, qto dl vseh n imeet mesto neravenstvo  |cn,k | ≥ δ|Qn |. k∈Qn

D o k a z a t e l  s t v o . Budem vesti rassudeni ot protivnogo, t.e. predpoloim, qto dl lbogo δ > 0 na idets takoe n, qto 

(13)

|cn,k | < δ|Qn |.

k∈Qn

Pust



V = k : k = (k1 , . . . , kd ), |cn,k | >

1 . 2

Togda iz (13), poluqim δ|Qn | >



|cn,k | +

k∈Qn \V

=

 k∈V

 k∈Qn \V



|cn,k | >

|cn,k | +

k∈Qn \V

1  1= 2 k∈V

1 1 |cn,k | + |V | ≥ |V |, 2 2

t.e. (14)

|V | < 2δ|Qn |. Dalee, qerez S oboznaqim mnoestvo takih vektorov s = (s1 , . . . , sd ),

s1 ≤ n, ρ(s) ⊂ Qn ,

226

A. F. Konogra i

qto dl nekotorogo vektora ks = (k1s , . . . , kds ) ∈ ρ(s) vypolneno neravenstvo |cn,ks | ≤ 12 . Sootvetstvenno, S oboznaqaet mnoestvo ostalnyh vektorov s = (s1 , . . . , sd ) takih, qto ρ(s) ⊂ Qn . Dl dalne ixih rassudeni i nam ponadobits sleduwee sootnoxenie 

(15)

s1

2

s1 ≤n

=

n 

1

s1 =j

j=1

2s1 =

j=1 s1 =j



2j

=

n  

n 

2j j d−1 2n nd−1 .

j=1

Takim obrazom, vospolzovavxis neravenstvom 

2s1 ≤ |V |

s∈S

i sootnoxenimi (14) i (15), budem imet 

1

2s1 < 2δ|Qn | δ2n nd−1 = 2n−log2 δ nd−1

s∈S 1



2n−log2 δ n − log2

1 d−1

δ



2s1 .

s1 ≤n−log2 1δ

Sledovatelno, dl koliqestva lementov mnoestva S dolno vypolnts sootnoxenie  1 d , δ > n−1 . (16) |S| n − log2 δ Dalee, poskolku |S| + |S| nd ,

(17)

to soglasno (16) i (17), moem zapisat   1 d  1  nd−1 log2 . (18) |S| ≥ C(d) nd − n − log2 δ δ Rassmotrim funkcii f1 (x) = C3 |S|−1/θ



ω(2−s1 )ei(k

s

,x)

1 ≤ θ < ∞, C3 > 0,

,

s∈S

i

f2 (x) = C4



s∈S s (k1 , . . . , kds )

gde vektory k s = Pokaem, qto

ω(2−s1 )ei(k

s

,x)

C4 > 0,

,

∈ Qn takie, qto |cn,ks | ≤ 12 .

Ω , 1 ≤ θ < ∞, f1 ∈ B∞,θ

i

Ω f2 ∈ B∞,∞

pri nadleawem vybore postonnyh C3 i C4 .

Ω Priblienie klassov Bp,θ periodiqeskih funkci i mnogih peremennyh

De istvitelno, Ω

f1 B∞,θ

|S|−1/θ





ω −θ (2−s1 )As (f1 )θ∞

s∈S

1/θ

ω −θ (2−s1 )ω θ (2−s1 )

1/θ

227



|S|−1/θ |S|1/θ = 1,

s∈S

As (f2 )∞ ω(2−s1 )

sup = 1. −s1 ) −s1 ) s∈S ω(2 s∈S ω(2 Ω . Budem Pust f — proizvolna funkci iz klassa B∞,θ rassmatrivat priblienie funkcii f s pomow polinoma vida Ω

sup f2 B∞,∞



tn (f, x) =

As (f, x).

s1 ≤n

Takim obrazom, budem imet 

f − tn (f )∞ = =

s1 >n





As (f )

∞



≤

As (f )∞ =

s1 >n

ω −1 (2−s1 ) As (f )∞ ω(2−s1 ) = I1 .

s1 >n

Qtoby poluqit ocenku I1 rassmotrim neskolko sluqaev. Pust snaqala 1 < θ < ∞, togda vospolzovavxis neravenstvom Geldera i sootnoxeniem 

(19)

2−σs1 =

s1 ≥n

=

∞ 



2−σj

poluqim

1

 

I1 ≤

(20)

s1 >n

×

∞ 

2−σj j d−1 2−σn nd−1 ,

σ > 0,

j=n

ω −θ (2−s1 )As (f )θ∞

   ω(2−s1 ) θ s1 >n

Ω

f B∞,θ

2−σs1 =

j=n s1 =j

s1 =j

j=n

∞  

2−αs1

2−αs1 θ



1/θ

1/θ

×

d−1 1 1 ω(2−n )   −αs1 θ 1/θ 2

ω(2−n )n θ , gde +  = 1. 2−αn s >n θ θ 1

Pust teper θ = 1. My budem imet (21)

I1 =

 s1 >n

ω −1 (2−s1 ) As (f )∞

ω(2−s1 ) −αs1 2

2−αs1

228

A. F. Konogra i

ω(2−n ) −αn  2 ω −1 (2−s1 ) As (f )∞

2−αn s >n



1

−n

ω(2

Ω )f B∞,1 ≤ ω(2−n ).

Nakonec, esli θ = ∞, to vospolzovavxis (4) i sootnoxeniem (19), nahodim 

I1 =

(22)

As (f )∞

s1 >n



ω(2−s1 ) =

s1 >n



=

s1

ω(2−n )  −αs1 ω(2−s1 ) −αs1 2

2

−αn −αs1 2 2 >n s >n 1

ω(2−n )

−αn 2−αn nd−1 = ω(2−n )nd−1 . 2 Takim obrazom, sopostaviv (20)–(22), prihodim k ocenke 1 Ω )∞ ω(2−n )n(d−1)(1− θ ) . (23) EQn (B∞,θ Soglasno uslovi teoremy dl f1 pri 1 ≤ θ < ∞, budem imet Ω )∞ . f1 − LQn (f1 )∞ EQn (B∞,θ

Itak, prinima vo vnimanie poluqennu ocenku i sootnoxenie (23), poluqim 1

f1 − LQn (f1 )∞ ω(2−n )n(d−1)(1− θ ) .

(24)

Analogiqnym obrazom, dl funkcii f2 v sluqae θ = ∞, mono poluqit sleduwee pordkovoe neravenstvo f2 − LQn (f2 )∞ ω(2−n )nd−1 .

(25)

Ocenim levye qasti (24) i (25) snizu. Budem imet f1 − LQn (f1 )∞ ≥ |f1 (0) − LQn (f1 (0))| 

(26)





(1 − cn,ks )ω(2−s1 )  |S|−1/θ ω(2−s1 ) 

−1/θ

 |S|

s∈S −n

 ω(2 (27)

−1/θ

)|S|

f2 − LQn (f2 )∞ 



−n

|S| = ω(2

s∈S 1−1/θ

)|S|

,



 (1 − cn,ks ) ω(2−s1 )  s∈S −s1

ω(2

)  ω(2−n )|S|.

s∈S

Takim obrazom iz (24), (26) i (25), (27), poluqaem, sootvetstvenno, sleduwie sootnoxeni 1

1

ω(2−n )|S|1− θ ω(2−n )n(d−1)(1− θ ) ,

Ω Priblienie klassov Bp,θ periodiqeskih funkci i mnogih peremennyh

229

ω(2−n )|S| ω(2−n )nd−1 , otkuda sleduet, qto (28)

|S| nd−1 . Dalee, sopostaviv (18) i (28), nahodim, qto

1 1

nd−1 , t.e. log2 ≤ C5 , δ δ gde C5 > 0 — nekotora postonna. Legko videt, qto dl nekotoryh δ > 0 to neravenstvo ne vypolnets. Lemma dokazana. nd−1 log2

Dl zaverxeni dokazatelstva teoremy, nam ponadobits ewe odno vspomogatelnoe utverdenie. L e m m a 2 (sm. [6]). Dl proizvolnogo η > 0 naidets postonna Cη > 0 taka, qto dl proizvolnogo polinoma t ∈ T (Qn ) vypolnets neravenstvo (29)



|t(k)| ≤ Cη nη 2n t1 .

k∈Qn

Takim obrazom, zapisav (29) v vide t1 ≥ Cδ n−δ 2−n



|t(k)|

k∈Qn

i vospolzovavxis lemmo i 1, gde qislo δ > 0 udovletvoret ee uslovim, a take ravenstvom (12), budem imet (30) LQn  = LQn 1  n−δ 2−n δ|Qn | n−δ 2−n 2n nd−1 n(d−1)(1− d−1 ) . δ

Dalee, polaga ε = Teorema 1 dokazana.

δ d−1 ,

iz (30) poluqaem nunoe sootnoxenie.

3. Sootnoxenie medu line inymi metodami priblieni i nailuqximi priblienimi Ω , Ustanovim snaqala ocenku snizu priblieni klassov Bp,θ 1 ≤ p ≤ ∞, line inymi metodami v prostranstve L∞ . ta ocenka v soqetanii s rezultatom o nailuqxih priblienih (sm. [7]) pozvolit zapisat sootnoxenie medu priblienimi line inymi Ω , 1 ≤ p ≤ 2, v metodami i nailuqximi priblienimi klassov Bp,θ prostranstve L∞ .

230

A. F. Konogra i

T e o r e m a 2. Pust LN — lineinyi ograniqennyi operator, sopostavlwii kadoi funkcii Ω , f ∈ Bp,θ

1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, Ω(t) = ω(t1 · . . . · td ),

gde ω(τ ) udovletvoret uslovim (S) s nekotorym α > [ p1 ], trigonometriqeskii polinom LN (f ) ∈ T (N ). Togda (31)

1 p

i (Sl ), l >

1

sup f − LN (f )∞  ω(N −1 )N 1/p (log N )(d−1)(1− θ ) ,

Ω f ∈Bp,θ

gde [a] — cela qast qisla a. D o k a z a t e l  s t v o . Soglasno rassudeni i analogiqnyh k tem, kotorye byli ispolzovany pri dokazatelstve teoremy 1, i zadaocenku (31) dostatoqno poluqit dl operatora LN , kotory ets formulo i −d

LN (f ) = (2π) gde



πd

f (x − y)LN (y) dy,



LN (y) =

cN,k ei(k,y) .

k∈Γ(N )

Pust Vm (t) oboznaqaet dro Valle Pussena pordka 2m − 1. Dl vektora s = (s1 , . . . , sd ), sj ∈ N, j = 1, d, poloim fs (x) =

d 

(V2sj +1 (xj ) − V2sj (xj )).

j=1

Izvestno (sm., naprimer, [12, s. 66]), qto 1

fs p 2s1 (1− p ) ,

1 ≤ p ≤ ∞.

Po zadannomu N vyberem qislo n iz sootnoxeni 2n−1 < N ≤ 2n i rassmotrim funkcii 1

f3 (x) = C6 ω(2−n )2−n(1− p ) n−



d−1 θ

fs (x),

C6 > 0,

s1 =n

i

1

f4 (x) = C7 ω(2−n )2−n(1− p )



fs (x),

C7 > 0.

s1 =n Ω (1 ≤ θ < Dokaem prinadlenost tih funkci i k klassam Bp,θ ∞ i θ = ∞) pri sootvetstvuwih znaqenih postonnyh C6 i C7 . De istvitelno, my imeem Ω

f3 Bp,θ

 

s1 =n

ω −θ (2−s1 )As (f3 )θp

1/θ



Ω Priblienie klassov Bp,θ periodiqeskih funkci i mnogih peremennyh 1

ω(2−n )2−n(1− p ) n−

d−1 θ

  s1 =n

1

ω(2−n )ω −1 (2−n )2−n(1− p ) n−

d−1 θ

ω −θ (2−s1 )fs θp  

1

1/θ

2s1 (1− p )θ

231

1/θ

s1 =n 1

1

2−n(1− p ) 2n(1− p ) n− θ n θ = 1, As (f4 )p Ω

sup f4 Bp,∞ −s1 ) s1 =n ω(2 1 1 1 fs p

2−n(1− p ) 2n(1− p ) = 1.

ω(2−n )2−n(1− p ) sup −s 1) s1 =n ω(2 Otmetim, qto soglasno opredeleni mnoestva polinomov T (N ) i v silu vybora qisel n i N , imet mesto sleduwie ravenstva (32) f3 (x) ∗ LN (x) = 0, d−1

d−1

f4 (x) ∗ LN (x) = 0. Takim obrazom, vospolzovavxis ravenstvom (32) i sootnoxeniem 2n−1 < N ≤ 2n , budem imet (33)

(34)

f3 − LN (f3 )∞ = f3 ∞ ω(2−n )2n/p n−

d−1 θ

nd−1

1

ω(2−n )2n/p n(d−1)(1− θ ) ω(N −1 )N 1/p (log N )(d−1)(1−1/θ) . Analogiqno predyduwemu sluqa, vospolzovavxis ravenstvom (33) i sootnoxeniem 2n−1 < N ≤ 2n , poluqim (35)

1

f4 − LN (f4 )∞ ω(N −1 )N p (log N )d−1 . Dalee, ob edin (34) i (35), budem imet sup f − LN (f )∞  ω(N −1 )N 1/p (log N )(d−1)(1−1/θ) . Ω f ∈Bp,θ

Teorema 2 dokazana. Dalee, nam ponadobits rezultat S. A. Staska [7], kotory i v ispolzuemyh nami oboznaqenih formuliruets sleduwim obrazom. T e o r e m a 3. Pust 1 ≤ p ≤ 2, 1 ≤ θ ≤ ∞, d ≥ 2, Ω(t) = ω(t1 · . . . · td ), gde ω(τ ) udovletvoret uslovim (S) s nekotorym α > 1p i (Sl ), l > [ p1 ]. Togda 1

1

Ω )∞ ω(N −1 )N 1/p (log N )(d−1)( 2 − θ )+ , (36) EN (Bp,θ gde a+ = max{a, 0}.

232

A. F. Konogra i

Sopostaviv ocenki (31) i (36), prihodim k sleduwemu utverdeni. T e o r e m a 4. Pust 1 ≤ p ≤ 2,

1 < θ ≤ ∞,

d ≥ 2,

Ω(t) = ω(t1 · . . . · td ),

gde ω(τ ) udovletvoret uslovim (S) s nekotorym α > p1 i (Sl ), l > [ p1 ]. Togda dl posledovatelnosti lineinyh ograniqennyh operatoΩ v T (N ), vypolneno sootnoxenie rov LN , deistvuwih iz Bp,θ (37)



Ω )∞ = o EN (Bp,θ



sup f − LN (f )∞ .

Ω f ∈Bp,θ

Sootnoxenie (37) svidetelstvuet o tom, qto priblienie Ω , 1 ≤ p ≤ 2, 1 < θ ≤ ∞, line inymi metodami v ravnoklassov Bp,θ merno i metrike ne realizuet pordkovyh ocenok sootvetstvuwih nailuqxih priblieni i. Z a m e q a n i e 2. Pri ω(τ ) = τ r i sootvetstvuwih ograniqer , nih na parametr r rezultaty teorem 1, 2 i 4 (dl klassov Bp,θ r r 1 ≤ θ < ∞ i Bp,∞ = Hp ) poluqeny v [6] i [12] sootvetstvenno. V zaklqenie vyraa iskrenn priznatelnost recenzentu za sdelannye im poleznye zameqani, kotorye sposobstvovali uluqxeni izloeni materiala raboty.

Literatura [1] N. K. Bari i S. B. Steqkin, Nailuqxie priblieni i differencialnye svo istva dvuh soprennyh funkci i, Tr. Mosk. mat. o-va, 5(1956), 483–522. ¨ rlich, A conjecture of M. Golomb on optimal and nearly[2] W. Dahmen and E. Go optimal approximation, Bull. Amer. Math. Soc., 80(6)(1974), 1199–1202.  , Prostranstva funkci [3] P. I. Lizorkin i S. M. Nikolskii i smexanno i gladkosti s dekompozicionno i toqki zreni, Tr. Mat. in-ta Steklova AN SSSR, 187(1989), 143–161. [4] J. Marcinkiewicz, Quelques remarques sur l’interpolation, Acta Sci. Math. (Szeged ), 8(1937), 127–130.  tov, Predstavlenie i priblienie periodiqeskih funkci [5] N. N. Pustovoi i mnogih peremennyh s zadannym smexannym modulem nepreryvnosti, Analysis Math., 20(1994), 35–48. r [6] A. S. Romank, Priblienie klassov Bp,θ periodiqeskih funkci i mnogih peremennyh line inymi metodami i nailuqxie priblieni, Mat. sbornik., 195(2)(2004), 91–116.

Ω Priblienie klassov Bp,θ periodiqeskih funkci i mnogih peremennyh

233

[7] S. A. Stask, Nailuqxee priblienie pereodiqeskih funkci i neskolkih ω peremennyh iz klassov M Bp,θ v ravnomerno i metrike, Tr. Inst. Mat. Meh. UrO RAN , 18(4)(2012), 258–266. Ω [8] S. A. Stask i O. V. Fedunik, Aproksimativni harakteristiki klasiv Bp,θ periodiqnih funkci i bagatoh zminnih, Ukr. mat. urn., 58(5)(2006), 692– 704. [9] Sun Youngsheng and Wang Heping, Representation and approximation of multivariate periodic functions with bounded mixed moduli of smoothness, Tr. Mat. in-ta Steklova RAN , 219(1997), 356–377. [10] V. N. Temlkov, Priblienie funkci i s ograniqenno i smexanno i raznost trigonometriqeskimi polinomami i popereqniki nekotoryh klassov funkci i, Izv. AN SSSR. Ser. mat., 46(1)(1982), 171–186. [11] V. N. Temlkov, Priblienie periodiqeskih funkci i neskolkih peremennyh trigonometriqeskimi polinomami i popereqniki nekotoryh klassov funkci i, Izv. AN SSSR. Ser. mat., 49(5)(1985), 986–1030. [12] V. N. Temlkov, Priblienie funkci i s ograniqenno i smexanno i proizvodno i, Tr. Mat. in-ta AN SSSR., 178(1986), 1–112.

Ω Approximation of classes Bp,θ of periodic functions in several variables by linear methods

A. F. KONOGRA˘I Ω The author studies problems of the approximation of the classes Bp,θ , 1 ≤ p ≤ ∞, of periodic functions in several variables by linear methods in the metric of the space L∞ .

Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Tereschenkivska st. 3, Kiev-4, 01601 Ukraine, e-mail: [email protected]