Analysis Mathematica, 35(2009), 257–271 DOI: 10.1007/s10476-009-0402-z
mnogih peremennyh Priblienie funkcii Ω klassov Hp polinomami po sisteme Haara S. A. STASK Ukraina, Kiev 01601, ul. Terewenkovska 3, Institut matematiki NAN Ukrainy, e-mail:
[email protected] Postupilo 29 nvar 2008, pererabotanny i variant — 15 ma 2009 g.
R e z m e . V rabote izuqats voprosy priblieni klassov HpΩ funkci i mnogih peremennyh s zadanno i maoranto i smexannyh module i nepreryvnosti. Rassmatrivats dva vida priblieni i (line inoe i neline inoe): klassiqeskoe line inoe priblienie polinomami po sisteme Haara s indeksami v giperboliqeskih krestah i nailuqxee M -qlennoe priblienie polinomami po sisteme Haara. Dl sootvetstvuwih veliqin poluqeny toqnye po pordku ocenki.
1. Vvedenie Pust Lp ([0, 1]d ), 1 ≤ p < ∞, — prostranstvo 1-periodiqeskih po kado i peremenno i i summiruemyh v stepeni p na kube [0, 1]d funkci i f (x) = f (x1 , . . . , xd ) s normo i, kotora opredelets sleduwim obrazom: f p =
“Z
[0,1]d
|f (x)|p dx
”1/p
.
Budem sqitat, qto prostranstvo L∞ ([0, 1]d ) sostoit iz 1-perii odiqeskih po kado i peremenno i i nepreryvnyh na [0, 1]d funkci i snabeno obyqno i ravnomerno i normo i. 0133–3852/$ 20.00 c 2009 Akad´emiai Kiad´o, Budapest
258
S. A. Stask
Vsdu nie budem predpolagat, qto dl funkci i f ∈ Lp ([0, 1]d ), 1 ≤ p ≤ ∞, vypolnets uslovie Z
1 0
f (x) dxj = 0,
j = 1, d.
Prived¨ em opredelenie klassov funkci i HpΩ , rassmotrennyh v rabote [13]. Dl f (x) = f (x1 , . . . , xd ) i h = (h1 , . . . , hd ) opredelim smexannu raznost Δh f (x) pri pomowi ravenstva Δh f (x) = Δhd · · · Δh1 f (x) = Δhd (· · · (Δh1 f (x)) · · ·), gde Δhj f (x) = f (x1 , . . . , xj−1 , xj + hj , xj+1 , . . . , xd ) − f (x), j = 1, d. Dl f ∈ Lp ([0, 1]d ) i dl t = (t1 , . . . , td ), tj ≥ 0, j = 1, d, rassmotrim smexanny i modul nepreryvnosti Ω(f, t)p = sup Δh f (·)p .
(1)
|hj |≤tj j=1,d
Pust Ω(t) = Ω(t1 , . . . , td ) — zadanna funkci tipa smexannogo modul nepreryvnosti, kotora udovletvoret sleduwim uslovim: 1)
Ω(t) > 0, tj > 0, j = 1, d;
Ω(t) = 0,
d Y
tj = 0;
j=1
2) 3)
Ω(t) vozrastaet po kado i peremenno i; Ω(m1 t1 , . . . , md td ) ≤
d Y
mj Ω(t),
mj ∈ N, j = 1, d;
j=1
4)
Ω(t)
nepreryvna pri tj ≥ 0, j = 1, d.
Dl zadanno i funkcii Ω(t) = Ω(t1 , . . . , td ) tipa smexannogo modul nepreryvnosti opredelim klass funkci i (2)
n
o
HpΩ = f ∈ Lp ([0, 1]d ) : Ω(f, t)p ≤ Ω(t) .
Na funkci Ω(t) budem nalagat nekotoroe dopolnitelnoe uslovie (S), kotoroe nazyvat usloviem Bari–Steqkina [2]. Sformuliruem ego.
Priblienie funkci i polinomami po sisteme Haara
259
Budem govorit, qto funkci ϕ(τ ) ≥ 0 odno i peremenno i udovletvoret uslovi (S), esli ϕ(τ )/τ α poqti vozrastaet pri nekotorom α > 0, t. e. suwestvuet nezavisima ot τ1 i τ2 konstanta C1 > 0 taka, qto ϕ(τ1 ) ϕ(τ2 ) ≤ C1 α , 0 ≤ τ1 ≤ τ2 . α τ1 τ2 Nie budem sqitat, qto funkci Ω(t) = Ω(t1 , . . . , td ) udovletvoret uslovi (S), esli ona udovletvoret tomu uslovi po kado i peremenno i pri fiksirovannyh znaqenih drugih peremennyh. Zametim, qto v rabote budut rassmatrivats klassy HpΩ s maorantami specialnogo vida: Ω(t) = ω(t1 · · · · · td ),
(3)
gde ω(τ ) — zadanna funkci odno i peremenno i tipa modul nepreryvnosti, kotora udovletvoret uslovi (S). Pontno, qto v takom sluqae funkci Ω(t), zadanna formulo i (3), budet udovletvort sformulirovannym vyxe uslovim 1–4 i (S). Prived¨ em opredelenie sistemy Haara. Pust Ds , s ≥ 0, oboznaqaet mnoestvo vseh dvoiqnyh intervalov na otrezke [0, 1] vida I = [j2−s , (j + 1)2−s ),
j = 0, . . . , 2s − 1.
Dl vektora s = (s1 , . . . , sd ) ∈ Nd opredelim n
Ds = I = I1 × · · · × Id , Ij ∈ Dsj , j = 1, d i Qn =
[
Ds ,
o
gde s1 = s1 + · · · + sd .
s1 ≤n
Mnoestvo Qn nazyvat stupenqatym giperboliqeskim krestom. Dl koliqestva lementov Qn imeet mesto sootnoxenie (sm., naprimer, [11]) #{Qn } 2n nd−1 .
(4)
Poloim dl I ∈ Ds , s ≥ 0, I = [j2−s , (j + 1)2−s ), j = 0, . . . , 2s − 1, −1/2
HI (t) = |I|
8 < 1, :
−1, 0,
esli t ∈ [j2−s , (j + 12 )2−s ), esli t ∈ [(j + 12 )2−s , (j + 1)2−s ), esli t ∈ / I,
gde |I| = 2−s — dlina dvoiqnogo intervala I .
260
S. A. Stask
V d-mernom sluqae dl I = I1 × · · · × Id oboznaqim HI (x) =
d Y
HIj (xj )
j=1
i
δs (f, x) =
X
cI (f )HI (x),
I∈Ds
gde cI (f ) = (f, HI ) =
Z [0,1]d
f (x)HI (x) dx.
V rabote [1] ustanovleno, qto dl lbo i funkcii f ∈ Lp ([0, 1]d ), 1 ≤ p ≤ ∞, imeet mesto neravenstvo (5)
1
δs (f, ·)p ≤ 2d( p −1) Δ2−(s1 +1) · · · Δ2−(sd +1) f (·)p , s ∈ Nd . Takim obrazom, dl f ∈ HpΩ soglasno (1)–(3) i (5) poluqaem
(6)
δs (f, ·)p Ω(f, 2−(s+1) )p ≤ ≤ Ω(2−(s+1) ) = ω
d “Y
”
2−(sj +1) ≤ ω(2−s1 ),
j=1
gde pod sootnoxeniem δs (f, ·)p Ω(f, 2−(s+1) )p budem ponimat neravenstvo δs (f, ·)p ≤ C(p, d)Ω(f, 2−(s+1) )p s nekotoro i postonno i, kotora ot s i f ne zavisit. V dalne ixem pri dokazatelstve rezultatov poloitelnye funkcii μ1 (n) i μ2 (n) naturalnogo argumenta budem svzyvat sootnoxeniem μ1 (n) μ2 (n), esli dl nih vypolnets neravenstvo μ1 (n) ≤ C1 μ2 (n),
n ∈ N,
i, kogda s nekotoro i postonno i C1 . Esli e imeet mesto sluqa μ1 (n) μ2 (n)
i
μ2 (n) μ1 (n),
to budem pisat μ1 (n) μ2 (n). Zametim, qto vse postonnye Cj , j = 1, 2, . . ., kotorye budut vstreqats v rabote, mogut zaviset tolko ot parametrov, kotorye vhodt v opredelenie klassa, metriki, v kotoro i izmerets pogrexnost priblieni, i razmernosti d prostranstva Rd . Prived¨ em ew¨ e nekotorye sootnoxeni, kotorymi budem polzovats.
261
Priblienie funkci i polinomami po sisteme Haara
T e o r e m a L i t t l v u d a – P l i (sm., naprimer, [8, Gl. 3, s. 85]). Dl lboi funkcii f ∈ Lp ([0, 1]), 1 < p < ∞, imeet mesto sootnoxenie (7)
‚“ X ‚
|δs (f, ·)|2
C1 (p)f p ≤ ‚
”1/2 ‚ ‚ ‚ ≤ C2 (p)f p .
s
p
Iz (7) vytekat sleduwie neravenstva (sm., naprimer, [20]) “X
f p ≤ C3 (p)
(8)
δs (f, ·)pp0
”1/p0
,
s
“X
(9) f p ≥ C4 (p)
δs (f, ·)2p
”1/2
, 1 < p ≤ 2,
gde p0 = min{p; 2}.
s
Zametim, qto analogiqnye k (8), (9) neravenstva dl trigonometriqesko i sistemy take izvestny (sm., naprimer, [21, s. 17]). Pust 1 ≤ p < q < ∞, togda dl f ∈ Lp ([0, 1]d ) imeet mesto neravenstvo [22] (10)
“X“
1
1
δs (f, ·)p 2s1 ( p − q )
f q ≤ C(p, q, d)
”q ”1/q
.
s
Uqityva, qto funkci ω(τ ) udovletvoret uslovi (S) s nekotorym 0 < α < 1, dl s1 > n mono zapisat sootnoxenie (11)
ω(2−n ) ω(2−s1 ) . 2−αn 2−αs1 2. Osnovnye rezultaty
Opredelim veliqiny, kotorye budut issledovats nie. Oboznaqim n o X aI HI , aI ∈ R, n ∈ N H(Qn ) = t = I∈Qn
— mnoestvo polinomov po sisteme Haara so spektrom iz mnoestva Qn . Togda veliqina EH(Qn ) (f )q =
inf
t∈H(Qn )
f − tq
oboznaqaet nailuqxee priblienie funkcii f v metrike prostranstva Lq polinomami iz mnoestva H(Qn ). Sformuliruem poluqennu nami teoremu, v kotoro i ustanovleny toqnye po pordku ocenki veliqiny (12)
EH(Qn ) (HpΩ )q = sup EH(Qn ) (f )q . f ∈HpΩ
262
S. A. Stask
T e o r e m a 1. Pust 1 ≤ p ≤ ∞, 1 < q < ∞, Ω(t) = ω(t1 · · · td ), gde ω(τ ) — funkci tipa modul nepreryvnosti, kotora udovletvoret uslovi (S) s nekotorym α, gde ( p1 − 1q )+ < α < 1. Togda (13) ( d−1 1 1 ω(2−n )2n( p − q ) n q , 1 ≤ p < q < ∞, Ω EH(Qn ) (Hp )q d−1 1 < q ≤ p ≤ ∞, (p, q) = (∞, ∞), ω(2−n )n p0 , gde a+ = max{a; 0}. p0 = min{p; 2}, D o k a z a t e l s t v o . Dokaem snaqala ocenku sverhu v sluqae 1 ≤ p < q < ∞. Budem pribliat funkci f ∈ HpΩ qastnymi summami Fure–Haara, kotorye sostot iz slagaemyh s indeksami iz Qn : X X (f, HI )HI (x) = δs (f, x). SH(Qn ) (f, x) = s1 ≤n
|I|≥2−n
V takom sluqae, prinima vo vnimanie (10), (6), (11), moem zapisat dl f ∈ HpΩ ‚ X ‚
EH(Qn ) (f )q ≤ f (·) − SH(Qn ) (f, ·)q = ‚
‚ ‚
δs (f, ·)‚ q
s1 >n
“ X “
1
1
δs (f, ·)p 2( p − q )s1
”q ”1/q
s1 >n
“ X “ ω(2−s1 ) s1 >n
2−αs1
1
1
2(−α+ p − q )s1
”q ”1/q
ω(2−n ) “ X −(α−( p1 − 1q ))qs1 ”1/q 2 2−αn s >n 1
−n
d−1 1 1 ω(2 ) −(α−( p1 − 1q ))n d−1 2 n q = ω(2−n )2( p − q )n n q . −αn 2 Pust teper 1 < q = p < ∞. Ispolzu posledovatelno (8), (6), (11), poluqaem
‚ X ‚
EH(Qn ) (f )p ≤ ‚
(14)
s1 >n
“ X
δs (f, ·)pp0
”1/p0
s1 >n
‚ ‚
δs (f, ·)‚ p
“ X “ ω(2−s1 ) s1 >n
2−αs1
2−αs1
”p0 ”1/p0
d−1 ω(2−n ) “ X −αp0 s1 ”1/p0 2 ω(2−n )n p0 . −αn 2 s >n 1
Priblienie funkci i polinomami po sisteme Haara
263
Pri 1 < q < p < ∞ trebuema ocenka sleduet iz (14) v silu monotonnosti Lq -normy: EH(Qn ) (HpΩ )q ≤ EH(Qn ) (HpΩ )p ω(2−n )n
d−1 p0
.
Esli e p = ∞, 1 < q < ∞, to, vsledstvie vloeni Ω ⊂ HqΩ , H∞
1 < q < ∞,
i (14), budem imet Ω )q ≤ EH(Qn ) (HpΩ )q+1 ≤ EH(Qn ) (H∞ Ω )q+1 ω(2−n )n ≤ EH(Qn ) (Hq+1
d−1 2
.
Ocenki sverhu ustanovleny. Perehod k poluqeni ocenok snizu, zametim, qto oni vlΩ ts sledstviem ocenok Fure-popereqnikov d⊥ M (Hp , Lq ), ustanovlennyh v [5, 18], kotorye opredelts formulo i (sm., naprimer, [23]) d⊥ M (F, Lq ) =
‚ ‚
infM sup ‚f (·) −
{ui }i=1 f ∈F
M X
‚ ‚
(f, ui )ui (·)‚ , q
i=1
gde inf ber¨ ets po vsem ortogonalnym sistemam iz M lementov. V qastnosti, esli funkci Ω(t) zadana formulo i (3), a ω(τ ) udovletvoret uslovi (S) s nekotorym α > ( p1 − 1q )+ , to pri 1 ≤ p < q < ∞ (sm. [5]) 1
1
Ω −n n( p − q ) )2 n d⊥ M (Hp , Lq ) ω(2
(15)
d−1 q
,
a pri 1 < q ≤ p ≤ ∞ ((p, q) = (∞, ∞)) (sm. [18]) (16)
Ω −n )n d⊥ M (Hp , Lq ) ω(2
d−1 p0
,
gde M 2n nd−1 .
Poskolku my pribliaem funkcii iz klassa HpΩ ih qastnymi summami rda Fure–Haara, to polzus (pri 1 < q < ∞) ograniqennost operatora ortogonalnogo proektirovani na mnoestvo H(Qn ), moem zapisat (17)
Ω EH(Qn ) (HpΩ )q sup f (·) − SH(Qn ) (f, ·)q d⊥ M (Hp , Lq ), f ∈HpΩ
gde soglasno (4),
#{Qn } 2n nd−1 M.
Uqityva (17), (15) i (16), poluqaem trebuemye ocenki snizu. Ocenki snizu ustanovleny. Teorema 1 dokazana.
264
S. A. Stask
Pere id¨ em k rassmotreni drugo i approksimacionno i harakteristiki, kotora opredelet odin iz vidov neline inogo priblieni. Dl zadannogo mnoestva D lementov nekotorogo banahova prostranstva B nailuqxim M -qlennym priblieniem lementa f ∈ B po otnoxeni k sisteme D vlets veliqina (18)
σM (f, D)B =
inf
gj ∈D,aj
M ‚ ‚ X ‚ ‚ f − aj gj ‚ , ‚ j=1
B
M = 1, 2, . . . .
Dl F ⊂ B polagaem σM (F, D)B = sup σM (f, D)B .
(19)
f ∈F
Veliqina σM (f, {eikx }k )2 = σM (f, {eikx }k )L2 dl funkci i odno i peremenno i byla vvedena Steqkinym [19] pri formulirovke kriteri absoltno i shodimosti ortogonalnyh rdov. Vposledstvii issledovanie veliqiny (19) dl teh ili inyh funkcionalnyh klassov provodilis v rabotah mnogih avtorov (sm., naprimer, [3, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 24]), gde mono oznakomits s bolee podrobno i informacie i po dannomu voprosu. Rassmatriva v (18) i (19) v kaqestve D sistemu Haara H = {HI }I , a v kaqestve B — prostranstvo Lq ([0, 1]d ), sformuliruem i dokaem v sluqae F = HpΩ dl (20)
σM (HpΩ , H)q = sup σM (f, H)Lq f ∈HpΩ
sleduwi i rezultat. T e o r e m a 2. Pust 1 < p ≤ ∞, 1 < q < ∞, Ω(t) = ω(t1 · · · · · td ), gde ω(τ ) — funkci tipa modul nepreryvnosti, kotora udovletvoret uslovi (S) s nekotorym α, gde 1/p < α < 1. Togda (21)
σM (HpΩ , H)q ω
“ log d−1 M ”“
M
logd−1 M
”1/2
.
D o k a z a t e l s t v o . Ustanovim snaqala v (21) ocenku sverhu v sluqae 1 < p, q < ∞. Po zadannomu M podber¨ em n ∈ N, kotoroe n d−1 . Vved¨ em sleduwie oboudovletvoret sootnoxeni M 2 n znaqeni ΔQm = Qm \Qm−1 ,
n
o
Nm = # s ∈ Nd , s1 = m ,
m ∈ N,
265
Priblienie funkci i polinomami po sisteme Haara
Mm = [#{ΔQn }2−κ(m−n) ], Zametim, qto
m = n + 1, . . . , κ > 0, n ∈ N.
Nm md−1 ,
(22) a
Mm 2n nd−1 2−κ(m−n) ,
(23)
soglasno (4). Predstavim f ∈ HpΩ v vide “
∞ X
f (x) = SH(Qn ) (f, x) +
(24)
”
X
δs (f, x) .
s1 =m
m=n+1
Postroim dl funkcii f (x) pribliawi i polinom P (x), osuwestviv opredel¨ ennu proceduru vybora indeksov. em [Mm /Nm ] naibolxih po Dl kadogo s, s1 = m, vozm¨ modul kofficientov (f, HI ), HI ∈ Ds . Poskolku f ∈ HpΩ , to prinima vo vnimanie sootnoxenie (6), dl lbogo s, s1 = m, moem zapisat δs (f, ·)p ω(2−m ).
(25)
Izvestno (sm., naprimer, [4, Gl. 10, s. 210]), qto dl proizvolnogo p ∈ (1; ∞) i proizvolnyh de istvitelnyh aIj , |Ij | = 2−mj , mj = 0, 1, . . . , imeet mesto ravenstvo ‚ ‚ ‚
‚ ‚
X
1
1
1
δs (f, ·)p = 2s1 ( 2 − p ) “ X
X
|aIj |p
”1/p
.
|Ij |=2−mj
Sledovatelno dl s1 = m
=
“
p
|Ij |=2−mj
(26)
1
aIj HIj ‚ = 2mj ( 2 − p )
“ X
|(f, HI )|p
”1/p
=
I∈Ds
|(f, HI )|p
”1/p
1
1
2−m( p − 2 ) .
I∈Ds
Iz sootnoxeni (26), prinima vo vnimanie (25), poluqaem (27)
“ X
|(f, HI )|p
”1/p
1
1
ω(2−m )2m( p − 2 ) ,
s1 = m,
I∈Ds
gde v levo i qasti (27) soderits 2m slagaemyh. Zametim, qto esli my udalim [Mm /Nm ] naibolxih slagaemyh |(f, HI )|p iz summy v (27), to kadoe iz ostavxihs slagaemyh v silu sootnoxeni p
[Mm /Nm ]|(f, HI )|p ω p (2−m )2−m(1− 2 )
266
S. A. Stask
budet udovletvort neravenstvu 1
1
|(f, HI )| ω(2−m )2m( p − 2 )
(28)
“N
m
”1/p
. Mm Takim obrazom, nami postroen polinom P (x), kotory i soderit vse udal¨ ennye slagaemye, a take te, kotorye soderats v summe SH(Qn ) (f, x). Poskolku soglasno (4) i (23), ∞ X
#{Qn } +
∞ X
Mm 2n nd−1 + 2n nd−1
m=n+1
2−κ(m−n) 2n nd−1 M,
m=n+1
to otsda delaem vyvod, qto koliqestvo indeksov, po kotorym postroen polinom P (x), ravno po pordku M . Dalee, otpravls ot teoremy Littlvuda–Pli i uqityva (24), (28), (22), (23), poluqim ‚“ X ‚
”1/2 ‚ ‚ ‚
|(f − P, HI )|2 |HI |2 (·)
f (·) − P (·)q ‚
(29)
q
I
‚“ ‚
∞ X
‚
X
1
1
ω 2 (2−m )22m( p − 2 )
“N
m
Mm
m=n+1 I∈ΔQm
‚“ ‚
∞ X
‚
1
1
ω 2 (2−m )22m( p − 2 )
“ md−1 ”2/p
Mm
m=n+1
‚“ ‚
∞ X
‚
ω 2 (2−m )2
m=n+1 ∞ “ X
2m p
Mm 2m p
“
∞ X
ω 2 (2−m )2
2m p
2
2n p
χI
md−1 χ[0,1]d
Mm
2mκ p −(κ+1)
X
2m
“ md−1 ”2/p
m=n+1
”1/2 ‚ ‚ ‚
HI2 (·)
q
”1/2 ‚ ‚ ‚ q
I∈ΔQm
“ md−1 ”2/p
ω 2 (2−m )2
=
”2/p
md−1
2
”1/2 ‚ ‚ ‚ = q
”1/2
2
n− p (d−1) m p (d−1) md−1
”1/2
.
m=n+1
Poskolku ω(τ ) udovletvoret uslovi (S) s nekotorym α takim, qto 1p < α < 1, to suwestvuet κ > 0, dl kotorogo α − 1p − κp > 0, i, sledovatelno, iz (29) nahodim σM (HpΩ , H)q 2−(κ+1) p n− n
×
“
∞ X m=n+1
“ ω(2−m ) ”2
2−αm
ω(2−n )2αn 2−(κ+1) p n− n
d−1 p
1
d−1 p
×
2
22m(−α+ p + p ) m( p +1)(d−1)
“
∞ X m=n+1
κ
1
2
”1/2
2−2m(α− p − p ) m( p +1)(d−1) κ
”1/2
267
Priblienie funkci i polinomami po sisteme Haara
ω(2−n )2αn 2−(κ+1) p n− n
= ω(2−n )n
d−1 2
d−1 p
ω
“
1
2
2−2n(α− p − p ) n( p +1)(d−1) κ
“ logd−1 M ”“
logd−1 M
”1/2
=
”1 2
. M Ocenka sverhu v sluqae 1 < p, q < ∞ ustanovlena. Esli e p = ∞, 1 < q < ∞, to trebuemu ocenku sverhu v (21) poluqaem iz (13) i sootnoxeni Ω Ω , H)q EH(Qn ) (H∞ )q , σM (H∞
kotoroe vytekaet iz opredeleni i (20) i (12) pri M 2n nd−1 #{Qn }. Pere id¨ em k poluqeni ocenki snizu. Pri tom naxi rassudeni budut bazirovats na ispolzovanii nekotoryh specialnyh funkci i. Dl I ∈ Ds , s ≥ 0, I = [j2−s , (j + 1)2−s ), j = 0, . . . , 2s − 1, v sluqae d = 1 poloim 8 esli t ∈ [j2−s , (j + 12 )2−s ), < (t − j2−s )2s+1 , −s s+1 NI (t) = ((j + 1)2 − t)2 , esli t ∈ [(j + 12 )2−s , (j + 1)2−s ), : 0, esli t ∈ / I. V d-mernom sluqae dl I=
d Y
Ii ,
Ii ∈ Dsi , si ≥ 0,
i=1
opredelim funkcii NI (x) =
d Y
NIi (xi ),
g(x) =
X
NI (x).
|I|=2−n
i=1
V rabote [1] pokazano, qto (30)
Δh gp C2 ,
gde C2 > 0 — nekotora konstanta. Rassmotrim funkci f (x) = C3 ω(2−n )g(x),
C3 > 0.
Ispolzu sootnoxenie (30), dl vektorov s, udovletvorwih uslovi s1 = n, budem imet Δ2−(s1 +1) · · · Δ2−(sd +1) f p = = C3 ω(2−n )Δ2−(s1 +1) · · · Δ2−(sd +1) gp ω(2−n ).
268
S. A. Stask
Otsda zaklqaem, qto pri opredel¨ ennom vybore postonno i C3 > 0 funkci f prinadleit klassu HpΩ . Dl provedeni dalne ixih rassudeni i nam ponadobits znat kofficienty Fure–Haara funkcii f , dl vyqisleni kotoryh vospolzuems vspomogatelnym utverdeniem. L e m m a 1 (sm. [1]). Pust J = J1 × · · · × Jd , Ji ∈ Dti , ti ≥ 0, i = 1, d, i takie, qto si0 ≥ ti0 (31)
s = (s1 , . . . , sd ) ∈ Nd vypolneno dl nekotorogo 1 ≤ i0 ≤ d. Togda X
(NI , HJ ) = 0.
I∈Ds
Iz (31) sleduet, qto dl proizvolnyh J i s, s1 = n, suwestvuet i0 , 1 ≤ i0 ≤ d, dl kotorogo vypolnets neravenstvo si0 ≥ ti0 . Vyqislim (f, HJ ) dl J , |J| = 2−(n+d) . ine i mere odna komponenta vektora t ravna Esli J ∈ Dt , gde po kra 0, i potomu soglasno lemme 1 imeem (f, HJ ) = 0. Pust S oboznaqaet mnoestvo vseh vektorov t = (t1 , . . . , td ) takih, qto t1 = n + d,
tj > 0, j = 1, d.
Zametim, qto
#{S} nd−1 . Togda edinstvennym razbieniem [0, 1]d parallelepipedami iz Ds , s1 = n, dl kotorogo X
(NI , HJ ) = 0,
I∈Ds
soglasno lemme 1 vlets razbienie iz sj = tj − 1, j = 1, d. Krome togo, poskolku sj < tj , j = 1, d, to J soderits lix v odnom parallelepipede I J iz Ds , s = (s1 , . . . , sd ), i potomu, neposredstvenno vyqisl, poluqim (32)
5d
(f, HJ ) = C3 ω(2−n )(NI J , HJ ) = ±C3 ω(2−n )2−( 2 + 2 ) . n
Dalee, po zadannomu M podber¨ em n ∈ N takim obrazom, qtoby M 2n nd−1 i koliqestvo lementov vo mnoestve Fn =
[
t∈S
Dt
Priblienie funkci i polinomami po sisteme Haara
269
bylo by bolxe, qem 4M . to vozmono vsegda osuwestvit, poskolku #{Fn } 2n nd−1 . Pust T — proizvolnoe mnoestvo iz M vektorov. Rassmotrim mnoestva T ∩ Dt , t ∈ S. Togda mnoestvo P vektorov t takih, qto t∈S i 1 #{T ∩ Dt } ≤ #{Dt }, 2 soderit po kra ine i mere polovinu vseh t iz mnoestva S i potomu #{P} nd−1 . i polinom po sisteme Haara so spektPust pM (x) — proizvolny rom v T . Togda dl 1 < q ≤ 2 soglasno (9), (32) budem imet f (·) − pM (·)q
“
X
δs (f − pM , ·)2q
”1/2
≥
t1 =n+d
≥
“X
δs (f − pM , ·)2q
”1/2
ω(2−n )2−n/2−5d/2 (2n nd−1 )1/2
t∈P
ω(2−n )n
d−1 2
ω
“ log d−1 M ”“
logd−1 M
”1/2
. M V sluqae 2 ≤ q < ∞ vsledstvie monotonnosti Lq -normy poluqaem “ logd−1 M ”“ ”1/2 logd−1 M . σM (HpΩ , H)q ≥ σM (HpΩ , H)2 ω M Teorema 2 dokazana. V zaklqenie raboty prived¨ em nekotorye kommentarii. Esli r poloit ω(τ ) = τ , to iz (13) i (21) sledut rezultaty, kotorye poluqeny Andrianovym [1] dl klassov Nikolskogo M Hpr . Sopostaviv rezultaty teorem 1 i 2 delaem vyvod, qto pri M 2n nd−1 pordki nailuqxego klassiqeskogo priblieni i nailuqxego M -qlennogo priblieni po sisteme Haara sovpadat tolko v sluqae 1 < q ≤ p ≤ ∞,
(p, q) = (∞, ∞),
2 ≤ p ≤ ∞.
Esli e sopostavit ocenki, poluqennye v teoreme 1, s ocenkami sootvetstvuwih veliqin dl trigonometriqesko i sistemy (sm. [13, 14]), to vidim, qto s toqki zreni line inogo priblieni polinomami s indeksami iz giperboliqeskih krestov vozmonosti sistemy Haara i trigonometriqesko i sistemy odinakovy.
270
S. A. Stask
Sravniva rezultat teoremy 2 s sootvetstvuwimi ocenkami i sistemy veliqin σM (HpΩ , T )q (sm. [16, 17]) dl trigonometriqesko i(k,x) }k zameqaem, qto pri nekotoryh sootnoxenih medu T = {e parametrami p i q priblieni po sisteme Haara imet preimuwestvo po sravnenii s priblieniem po trigonometriqesko i sisteme. Vyraa iskrenn blagodarnost A. S. Romanku za cennye sovety, sdelannye im v processe obsudeni rezultatov raboty, a take recenzentu za poleznye zameqani, sposobstvovavxie uluqxeni izloeni materiala raboty. Literatura [1] A. V. Andrianov, Priblienie funkci i iz klassov M Hqr polinomami Haara, Matem. zametki, 66(3)(1999), 323–335. [2] N. K. Bari i S. B. Steqkin, Nailuqxie priblieni i differencialnye svo istva dvuh soprennyh funkci i, Tr. Mosk. matem. obw-va, 5(1956), 483–522. , Priblienie “plavawe [3] . S. Belinskii i” sistemo i ksponent na klassah gladkih periodiqeskih funkci i, Matem. sb., 132(1)(1987), 20–27. [4] B. I. Golubov, A. V. Efimov i V. A. Skvorcov, Rdy i preobrazovani Uolxa: Teori i primeneni , Nauka (Moskva, 1987). Ω [5] O. V. Fedunik, Ocinki aproksimativnih harakteristik klasiv Bp,θ periodiqnih funkci i bagatoh zminnih v prostori Lq , Problemi teori¨ı nablienn funkcii ta sumini pitann: Zbirnik prac Institutu matematiki NAN Ukra¨ıni, 2(2)(2005), 268–294. [6] R. S. Ismagilov, Popereqniki mnoestv v line inyh normirovannyh prostranstvah i priblienie funkci i trigonometriqeskimi mnogoqlenami, Uspehi matem. nauk , 29(3)(1974), 161–178. [7] B. S. Kaxin, Ob approksimacionnyh svo istvah polnyh ortonormirovannyh sistem, Tr. MIAN SSSR , 172(1985), 187–191. [8] B. S. Kaxin i A. A. Saakn, Ortogonalnye rdy, AFC (Moskva, 1999). [9] B. S. Kaxin i V. N. Temlkov, O nailuqxih m-qlennyh priblienih i ntropii mnoestv v prostranstve L1 , Matem. zametki, 56(5)(1994), 57–86. orov, O line [10] V. E. Mai inyh popereqnikah sobolevskih klassov, DAN SSSR , 243(5)(1978), 1127–1130. [11] N. S. Nikolska, Priblienie differenciruemyh funkci i mnogih peremennyh summami Fure v metrike Lp , Sib. matem. urn., 15(2)(1974), 395– 412. [12] P. Osvald, Ob N -qlennyh priblienih po sisteme Haara v H s -normah, Teori funkcii, SMFN , 25, (RUDN, Moskva, 2007), 106–125. tov, Predstavlenie i priblienie periodiqeskih funkci [13] N. N. Pustovoi i mnogih peremennyh s zadannym smexannym modulem nepreryvnosti, Analysis Math., 20(1994), 35–48.
Priblienie funkci i polinomami po sisteme Haara
271
tov, O priblienii i harakterizacii periodiqeskih funk[14] N. N. Pustovoi ci i mnogih peremennyh, imewih maorantu smexannyh module i nepreryvnosti specialnogo vida, Analysis Math., 29(2003), 201–218. [15] A. S. Romank, Nailuqxie M -qlennye trigonometriqeskie priblieni klassov Besova periodiqeskih funkci i mnogih peremennyh, Izv. RAN (ser. matem.), 67(2)(2003), 61–100. [16] S. A. Stask, Na ikrawi M -qlenni trigonometriqni nablienn klasiv Ω funkci i bagatoh zminnih Bp,θ , Ukr. matem. urn., 54(3)(2002), 381–394 — Ω S. A. Stasyuk, Best M -term trigonometric approximations of the classes Bp,θ of functions of several variables, Ukrainian Math. J., 54(3)(2002), 470–486. Ω [17] S. A. Stask, Na ikrawi trigonometriqni nablienn klasiv Bp,θ periodiqnih funkci i bagatoh zminnih u prostori Lq , Ekstremalni zadaqi teori¨ı funkci i ta sumini pitann: Praci In-tu matematiki NAN Ukra¨ıni, 46 (2003), 265–275. [18] S. A. Stask i O. V. Fedunik, Aproksimativni harakteristiki klasiv Ω Bp,θ periodiqnih funkci i bagatoh zminnih, Ukr. matem. urn., 58(5)(2006), 692–704 — S. A. Stasyuk and O. V. Fedunik, Approximation characteristics Ω of the classes Bp,θ of periodic functions of several variables, Ukrainian Math. J., 58(5)(2006), 779–793. [19] S. B. Steqkin, Ob absoltno i shodimosti ortogonalnyh rdov, DAN SSSR , 102(2)(1955), 37–40. [20] V. N. Temlyakov, The best m-term approximation and greedy algorithms, Adv. Comput. Math., 8(3)(1998), 249–265. [21] V. N. Temlyakov, Approximation of periodic functions, Nova Science Publishers (New York, 1993). [22] V. N. Temlyakov, Some inequalities for multivariate Haar polinomials, East J. Appr., 1(1)(1995), 61-72. [23] V. N. Temlkov, Popereqniki nekotoryh klassov funkci i neskolkih peremennyh, DAN SSSR , 267(2)(1982), 314–317. [24] V. N. Temlkov, Priblienie funkci i s ograniqenno i smexanno i proizvodno i, Tr. MIAN SSSR , 178(1986), 1–112.
Approximation of functions in severeal variables from classes HpΩ by polynomials with respect to the Haar system S. A. STASYUK
In the paper, problems of approximation of functions indicated in the title are studied in the case when a majorant of their mixed modulus of continuity is given. Two forms of approximation (linear and nonlinear) are considered: the classical linear approximation by polynomials with respect to the Haar system when the indices lie in hyperbolic crosses; and the best M -term approximation by polynomials also with respect to the Haar system. For the corresponding quantities, exact estimates are obtained as to their order of magnitude.
