Anordnungsfragen in Benz-Ebenen Von HANS-JOACHIM KROLL in Miinchen W/ihrend Anordnungsfragen in der M6bius-Geometrie mehrfach untersucht wurden (vgl. [31, [131, [27], [231, [24]), fehlen entsprechende Untersuchungen ftir Laguerre- und Minkowski-Ebenen. In den ,,Vorlesungen tiber Geometrie der Algebren" [6] stellt W. BENZ die Geometrien yon M6bius, Laguerre und Minkowski in einheitlicher Weise dar. Dementsprechend sollen in dieser Arbeit Anordnungsfragen ftir die drei genannten Geometrien, die sogenannten Benz-Ebenen, einheitlich behandelt werden. Da sich der von E. SPEaNER [28] eingefiihrte Begriff der Ordnungsfunktion (w2) als ein fruchtbares Hilfsmittel zur Behandlung von Anordnungsfragen in der Geometrie erwiesen hat (vgl. [15], [17], [18], [191, [221, [23], [24], [25], [28], [29], [30]), liegt es nahe, diesen Begriff zur Beschreibung der geometrischen Anordnung einer Benz-Ebene zu benutzen (w 5). Bekanntlich 1/il3t sich jedem Punkt p einer Benz-Ebene eine affine Ebene, die ,,affine Ableitung im Punkt p" zuordnen. Im Fall einer Laguerre- bzw. Minkowski-Ebene ist in den affinen Ableitungen ein bzw. zwei Parallelbiischel ausgezeichnet und die Restriktion einer Ordnungsfunktion auf eine affine Ableitung keine vollst/indige affine Ordnungsfunktion. Es werden notwendige und hinreichende Bedingungen fiir die Fortsetzbarkeit der Restriktion einer Ordnungsfunktion angegeben (w 3, (5.2)). Wenn die affine Ableitung desarguessch ist, so existiert stets die Fortsetzung. Das umgekehrte Problem, die Frage nach der Fortsetzbarkeit einer affinen Ordnungsfunktion zu einer Ordnungsfunktion der Benz-Ebene, wird ftir ovoidale Benz-Ebenen vollstgndig gel6st ((6.2)). Fiir ovoidale Benz-Ebenen wird in w 6 eine Vorschrift angegeben, mit der s/imtliche Ordnungsfunktionen aus Ordnungsfunktionen des zugeh6rigen projektiven Raumes konstruiert werden k6nnen ((6.1), (6.5)). Mit Hilfe der Ergebnisse von E. SPEaNER [291 gewinnt man Beispiele von Ordnungsfunktionen von Benz-Ebenen. Die fiir ovoidale Benz-Ebenen erzielten Ergebnisse werden in w7 auf miquelsche Benz-Ebenen, d.h. Benz-Ebenen B (K, Q) tiber einem kommutativen *) Habilitationsschrift, Miinchen 1974.

218

Ho-Jo Kroll

K6rper K mit einer nicht-trivialen quadratischen Form Q auf K x K (vgl. w 1), spezialisiert. Jede Halbordnung des K6rpers K induziert eine Ordnungs. funktion von B (K, Q) und umgekehrt wird jede Halbordnung yon K durch eine Ordnungsfunktion von B (K, Q) induziert. Die durch eine Halbordnung g von K induzierte Ordnungsfunktion ~x von B (K, Q) ist fast-normal ((7.4)) und im Fall einer Laguerre-Ebene sogar zu einer normalen Ordnungsfunktion ~iquivalent ((7.5)). Wenn B (K, Q) eine Minkowski-Ebene und X eine echte Halbordnung von K ist, so ist ~x zu keiner normalen Ordnungsfunktion ~iquivalent; nach (6.10) ist n~imlich nur die triviale Ordnungsfunktion normal. Wenn B (K, Q) eine M6bius-Ebene ist, so ist ~z genau dann normal, wenn fiir alle ( x , y ) ~ K x K\{(0,0)} gilt x(Q (x,y)) = = 1 ([24] Satz (3.4)); wenn ~z nicht normal ist, so ist c~x zu keiner normalen Ordnungsfunktion iiquivalent. ,~,hnlich wie in der projektiven Geometrie kann in Benz-Ebenen jeder Ordnungsfunktion eine Trennrelation zugeordnet werden (w5). Und umgekehrt liiBt sich in ovoidalen Benz-Ebenen jede Trennrelation mit gewissen Eigenschaften durch eine Ordnungsfunktion beschreiben ((6.4)). ,~quivalente Ordnungsfunktionen induzieren die gleiche Trennrelation. In ovoidalen Benz-Ebenen entsprechen die Halbordnungen des zugeh6rigen Koordinatenk6rpers K umkehrbar eindeutig einer intern gekennzeichneten Klasse yon Trennrelationen ((6.6)); diese Trennrelationen lassen sich im miquelsehen Fall auch mit Hilfe des Doppelverhiiltnisses besehreiben ((7.8)). Im w 8 werden spezielle Anordnungen, insbesondere volle Anordnungen von Benz-Ebenen betrachtet. AbschlieBend werden mit den Ergebnissen yon w 7 die miquelschen BenzEbenen fiber euklidischen K6rpern gekennzeichnet ((9.1)). Herrn Prof. Dr. HELMUTK~ZEL m6chte ich sehr herzlich fiir seine wertvollen Hinweise danken.

w 1. Benz-Ebenen und Darstellungen miquelscher Benz-Ebenen Es seien P eine Menge, deren Elemente wir Punkte nennen, und ~5 eine Teilmenge der Potenzmenge yon P; die Elemente von ~5 heiBen Erzeugende. (P, ~ ) heiBt Gitter (vgl. [21]), wenn es eine Partition ~5 = 1.3 ~St yon ~5 gibt, so dab gilt G1 Zu jedem Punkt p ~ P und jedem i ~ I gibt es genau ein G ~ (51 mit p ~ G (Bezeichnung: [p]l := G) G2 Fiir alle ( i , j ) ~ I 2 mit i # j und IGI >~ 2.

und alle G~(SI, H ~ q J j gilt I G n H I =

1

Anordnungsfragen in Benz-Ebenen

219

Falls 15 = O ist, bedeutet G1, dab auch I = O gilt. FiJr jeden Punkt p ~ P eines Gitters (P, 15) sei [P] := U [P]~ u {p). a , b ~ P heiBen verbindbar, wenn es keine Erzeugende gibt, die a und b enth~ilt. Es sei 9~ eine weitere Teilmenge der Potenzmenge yon P; die Elemente yon R nennen wir Kreise. Ffir M ~ P setzen wir R (M) := {K e R ; M c K}. Eine Teilmenge M von P heiBt konzyklisch, wenn R (M) ~ O ist. (P, 15, R) heiBt Benz-Ebene, wenn (P, 15) ein Gitter mit 111 ~< 2 ist und wenn gilt (vgl. [51, [71, Ell], [121). B1 Jede Erzeugende scheidet jeden Kreis hz genau einem Punkt. B2 Zu je drei paarweise verbindbaren Punkten a, b, c E P gibt es genau einen Kreis K E R mit a, b, c ~ K. (Bezeichnung: (abc) := K) B3 Zu jedem Kreis K, jedem Punkt a ~ K und jedem mit a verbindbaren Punkt b ~ P \ K gibt es genau einen Kreis L ~ R (a, b) mit L n K = {a}. I14 Es gibt einen Kreis S e R mit [S] __> 3 und P \ S ~ O. Es gilt 0 ~ ~.

Sind (P, 15, R) und (P', 15', W) zwei Benz-Ebenen, so heiBt jede Bijektion ~: P ~ P', die Kreise in Kreise iiberfiihrt, Kreisverw:lndschaft. Zwei BenzEbenen (P, 15, R) und (P', 15', R') heiBen isomorph, wenn es eine Kreisverwandschaft z: P -~ P' gibt (vgl. [121). Eine Benz-Ebene (P, 15, R) heiBt M6bius- bzw. Laguerre- bzw. MinkowskiEbene, wenn [I[ gleich 0 bzw. 1 bzw. 2 gilt. Wenn im folgenden eine Benz-Ebene mit I ~ O betrachtet wird, so sei I = {1} bzw. I = {1, 2} je nachdem ob [I] = 1 bzw. [I] = 2 ist. Im folgenden sei (P, 15, R) eine Benz-Ebene. (1.1) Ist K ein Kreis und a ~ P k K sowie x ~ K \ ( [ a l ) , so sind a und x konzyklisch. Beweis. Wenn [I[ =< 1 oder [K[ ~> 4 gilt, so gibt es auBer x noch einen Punkt y E Kk([al). Wegen B1 und B2 ist dann {a, x, y} konzyklisch. Wenn [I1 = 2 und ]K] = 3 ist, so ist c : = [[a]1 r~ K12 (3 [[a12 (3 K]I sowohl mit a als auch mit x verbindbar, und daher ist {a, x, c} konzyklisch. Aus (1.1) folgt, dab zwei verschiedene Punkte a, b ~ P genau dann nichtkonzyklisch sind, wenn sie nicht verbindbar sind. Damit erhalten wir: (1.2) Es sei p e P und P" := P \ ( [ p ] ) , R p : = {K\{p}; K e ~ (p)} sowie 15" : = {Gk[P]; G e 15\1_J {['p],}} Dann ist (P', R" u 15P) eine affine Ebene. iEl

Die in (1.2) definierte Ebene heil3t Ableitung von (P, 15, ~) im Punkt p. Aus (1.2) folgt sofort: (1.3) Alle Kreise sind #leichmachtig. Alle Erzeugenden sind gleichmlichtig.

220

H.-J. Kroll

Wegen (1.3) kfnnen wir die Ordnung einer affinen Ableitung auch Ordaung yon (P, @, 2R) nennen. Eine wichtige Klasse yon Kreisgeometrien sind die ovoidalen Benz-Ebenen: Es sei H ein dreidimensionaler projektiver Raum mit der Punktmenge P, der Geradenmenge (5~ und der Ebenenmenge ~. Eine Teilmenge s von P, die weder ein Teilraum yon /7 noch ein Ebenenpaar ist, heiBt Quadroid wenn gilt [10]J~: Q1 Jede Gerade, die mit s drei Punkte gemein hat, liegt #anz in s Q2 Fiir jeden Punkt p ~ s ist die Vereinigungsmenge Ep der Geraden G mit G ta i3 = {p} oder p ~ G c s eine Ebene oder #anz P. Ein Punkt v eines Quadroids s mit Ev = P heiBt Spitze von s besitzt ein Quadroid h6chstens eine Spitze.

Nach [10]

Beispiele von Quadroiden in dreidimensionalen pappusschen projektiven R~umen sind alle Ellipsoide (d.s. nicht-ausgertete Quadriken vom Index 1), alle einschaligen Hypoboloide und alle Kegel; dies sind genau die Quadriken, die Quadroide sind. Fiir jedes Quadroid s sei 6i' := {G ~ ffi~; G c s und ftir jede Ebene E von H bezeichne s die Menge der Ovale 2~ von E. Nach [10] gilt (1.4) Es seien s ein Quadroid in 1-I, S := {v~s Ev = P}, (fi := { G \ S ; G~ flY) und ~ := { E n s Ee(~, E n s e s (s (5, a) eine Benz-Ebene.

Dann ist

Die in (1.4) auf einem Quadroid s des dreidimensionalen projektiven Raumes H definierte Benz-Ebene bezeichnen wir mit B (H, s Jede Benz-Ebene, die isomorph zu einer Benz-Ebene B (/7, s ist, heiBt ovoidal. Ist in (1.4) das Quadroid s eine Quadrik, so heiBt die Benz-Ebene B (/7, s miquelsch. Die miquelschen Benz-Ebenen lassen sich in der Klasse der BenzEbenen durch Schliel3ungss/itze, die S/itze von Miquel, kennzeichnen (vgl. [31], [6], [8], [16], [1]). Neben der durch die Definition gegebenen Darstellung miquelscher BenzEbenen wollen wir noch zwei weitere Darstellungen angeben. Es sei (P', (5', R') eine miquelsche Benz-Ebene. Dann gibt es nach Definition einen kommutativen K6rper K und eine quadratische Form Q (x, y) -= q x 2 + r x y + y 2 ~ K [ x , y ] vom Index L~< 1, so dab (P', lti',R') isomorph D

x) In [10] geh6ren auch Teilr/iume yon/7 und Ebenenpaare zu den Quadroiden. 2~ Eine nicht-leere Punktmenge 0 einer projektiven Ebene E heiBt Oval, wcnn keine drei Punkte yon 0 kollinear sind und es zu jedem Punkt t E 0 genau eine Gerade T aus E gibt, die 0 genau in dem Punkt t schneidet (vgl. [22]).

Anordnungsfragen in Benz-Ebenen

221

ist zu B (H (K 4, K), s 3), wobei s : = {K*(xo, xl, x2, x3) e

(K4)*/K*; Q (xl, x2)-x3 Xo = 0}

ist. Falls e = 1 ist, seien w 1, w2 e K die L6sungen von Q (1, y) = 0. Es .~ei I : = 0 , {I}, {1, 2} je nachdem ob Q (1, y) = 0 keine, eine oder zwei L6sungen hat. Die stereographische Projektion des Quadroids s von u : = K*(0, 0, 0, 1) in die Ebene x3 = 0 liefert die folgende Darstellung, wenn man noch dem P u n k t u den P u n k t oo bzw. (co, 0) bzw. (o% oo) zuordnet, je nachdem ob III gleich 0 oder 1 oder 2 ist, und im Falle ~ = 1 den Punkten K*(0, 1, w 1, x3) die Punkte (co, x3) und im Falle w I # wz den Punkten K*(0, 1, wz, x3) die Punkte (x3, ~ ) zuordnet: Es sei [{0, 1 } x K 3, falls , = 0 ({0, 1 } x K 3 ) * -= t{(e,

[

a,b, c) e {0, 1} x K 3 ; (w,-w2)2~.c ## -(a+bw~)(a+bw2)}, falls , = I.

Z u jedem Quadrupel (~, a, b, c ) ~ ({0, 1)x K3) * bilde man die Menge
y) ~ Kx K; eQ (x, y)+ax+by+c = 0} u E~(a, b)

mit [{co},

falls Ill = 0

Eo(a, b) : = ]{(co, 0)}, falls II1 = 1 /{co, co)}

falls III = 2

und

/'

[O,

El(a, b):= {{(co, -a-bWl)}, [{(co, - a - b w O , ( - a - b w z , co)},

falls Ill = 0 falls 1I] = 1 falls II[ = 2

Falls I # O ist, sei ftir jedes c e K:

t{(x,y) e K x K ; y - w ~ x+c = 0} falls 1I] = 1 < c > l : = [ { ( x , y ) e K x K ; y - w , x+c = 0} u {(oo, c(w2-wl))}, falls Ill = 2 und (c)2 :=

{(x, y) E Kx K; y - w 2 x+c = 0} u {(c (w 1 - w 2 ) , o0)}, falls III = 2

Nehmen wir nun [(K• e .= I(K~

u {co},

falls III = 0

{~})•

((Ku {co})•

faIIs ltf = 1

{co}),

falls III = 2

a~ Fiir jeden K6rper K sei K* := K\{0} und H ( K ' , K) der aus dem Vektorraum (K 4, K) abgeleitetr dreidimensionale projektive Raum.

222

H.-J. Kroll

als Punktmenge, := {(e,a,b,c~;(e,a,b,c)e({O,

1}xK3)*,l(e,a,b,c~l

>~2}

als Kreismenge und I{ 1; c e K } u ({oo} xK),

falls 111 = 0 falls III = 1

: = / { < e > , ; c ~ K} u ~(K u { ~ } ) x {oo}) u / u {(c>2 ; c e K} u ({oo} x (K u {oo})), als Erzeugendenmenge, so sind isomorph.

falls I I I = 2

B (K, Q) : = (P, ~i, R) und (P', if', R')

Schliel31ich kann eine Benz-Ebene B (K, Q) fiber einem kommutativen K f r p e r K mit der quadratischen Form Q vom Index t ~< 1 auch mit Hilfe des Doppelverhgdtnisses Dv dargestellt werden (vgl. [6]): Es sei ~I : = K [x]/(Q (1, x)) 4) die zweidimensionale Algebra fiber K, die durch Faktorisierung des Polynomringes K Ix] nach dem von Q (1, x) erzeugten Ideal entsteht. Es sei li die Menge der Einheiten yon 9.I. Falls t = 0 ist, gilt ~ I \ l i = {0}. Im Falle i = 1 seien wieder w1 und w2 die L6sungen von Q (1, x) = 0. Dann sind ~, = ((Q (1, x ) ) + x - w t ) (i = 1, 2) maximale Ideale, und es gilt oA\li = ~1 u 32. Es sei

O a x ~ ) * := { ( ~ , B ) ~ t x O a ; (~,#> = ~t} und

e := Ot x oa)*/li = {a (~, #); (~,/~) E ( ~ x ~)*}. Ffir a = (~q, ~2), [3 = (ill, f12) ~ ~][X~ sei la, bl :-- ~1 fl2--0~2 ill" Zwei Punkte lla, lib e P heil3en parallel, in Zeichen lta]llib, wenn la, bl ~ 9d\li gilt (vgl. [6]) 5). Jedem geordneten Punktequadrupel a = Ra, b = lib, c = l i c , d = lib mit

a~d, b ~ c ordnen wir ein Doppelverh/iltnis zu (vgl. [3], [5], [6]): Do (a, b, c, d) : = la, r

bl-(la, bl "lb, cl)-1 s).

Sind a, b, c drei paarweise nicht-parallele Punkte, so sei

(abe) : = {x E P; Dv (a, b, e, x) ~ K} u {a}. Falls t = 1 ist, so sei ffir a = lla E P : [a]t : = {x = U x e P ; la, xl ~ , }

(i = 1,2).

Setzen wir R : = {(abc); a, b, c ~ P, a~b~c.tt'a} 4) Fiir jeden Ring R und jedes a ~ R bezeiehne (a) das von a erzeugte Ideal. s) Diese Definition ist unabh~ngig yon der Wahl der Reprisentanten.

Anordnungsfragen in Benz-Ebenen

15 : =

/

O[, a] 1 ; a ~ P}, [ { [ a ] , ; a e P } w { [ a ] 2 ; a E P},

223

falls t = 0 falls L = 1 und wt = w2 falls t = I und w, # w2

so ist B (~I, K) : = (P, (5, R) eine miquelsche Benz-Ebene (vgl. [6]). Y a c h [20] gibt es einen involutorischen A u t o m o r p h i s m u s - :

--. -~ , so dab

: 1~. - , ~

eine quadratische F o r m ist mit Q'(~q) = Q'(O" Q'(q) fiir alle 4, ~/~ 9A. W~hlt m a n {1, fl} mit f12_ rfl + q = 0 als Basis yon 9.I, so gilt

Q'(#fl+q) = q ~ 2 + r # r / + q 2 = Q (~, r/).

Die Restriktion der Injektion e

~ ( K x 9A x K)*[K*

~P: 1I (~x, ~2) ~ K*(Q'(~2), ~1 ~2, Q ' ( ~ 0 ) a u f ~p (p)6) ist ein I s o m o r p h i s m u s von B(~I, K) a u f B (H, ,p (P)) mit / / =

=//(Kx

~I x K, K) 7' (vgl. [14]).

Es sei (P, (5, R) eine Benz-Ebene. Fiir A, B, C ~ R, a ~ A \ B u n d b ~ B \ A mit A r~ C = {a} und B n C = {b} heil3t die Bijektion

r

~ [b,

"

falls x = a

I(abx) c~ B \ { b } , falls x ~ [b] w {a} [ [ a ] j c~ B

, falls x s [b]~ u n d {i,j} = I

Zentralperspektivitdt mit dem Zentrum (a, b). ~ ist d u t c h A, B, a, b eindeutig bestimmt. N e b e n den Zentralperspektivit~iten ben6tigen wir noch die Beriihrtransformationen. U n t e r einer BeriihrtransJbrmation mit dem Grundpunkt w verstehen wir eine Bijektion ~o: A --. B mit A, B e R (w) u n d ~o (w) = w, deren Restriktion a u f A\{w} eine Parallelperspektivit~it in (pw, ~lwu (sw) ist. (1.5) Es sei B (9.I, K) eine miquelsche Benz-Ebene ~ber dem kommutativen

K6rper K und der 2-dimensionalen Aloebra ~I. Das Doppelverhiiltnis ist sowohl oegeniiber Beriihrtransformationen als auch Zentralperspektivitiiten invariant. Beweis. D a die Beriihrtransformationen als Forsetzung yon Parallelper6 Im Falle ~ = 0 und~ = 1 mit wt 4= w2 ist ~p(P), und im Fallet =1 und w~ = w_~ ist ~ (P) U {K*(0, ~, 0} mit ~"E ~ \ {0} eine Quadrik. 7~ Fiir jeden Linksvektorraum (V, K) bezeichne _F/(V, K) den zugeh6rigen projektiven

Raum.

224

H.-J. Kroll

spektivit~iten definiert sind, ist das Doppelverh~ltnis gegeniiber Beriihrtransformationen invariant. Die zweite Aussage ergibt sich wie im Beweis yon Satz 2 aus [26]. w 2. Ordnungsfunktionen einer Inzidenzstruktur

Es sei ~ , = (P, ~3) eine Inzidenzstruktur vom Grade m a) mit der Punktmenge P und der Blockmenge ~ ; die B16cke denken wir uns als Teilmengen yon P und die Inzidenzrelation dementsprechend als Enthaltenseinsrelation gegeben. Wenn p ein Punkt ist, so sei ~B(p) : = { B e ~ B ; p ~ B } und ~B(p)* : = -= { B \ { p } ; B ~ fB (p)} sowie 3,,,(P) = (/=\{P}, ~?(/7)*). Es sei jetzt P' bzw. eine Teilmenge yon P bzw. ~ und (~' x P' • P')* : = {(B, x, y) e ~B' x P' x P'; x, y r B}. Eine Abbildung ~: (~3' x P' • P')* ~ { - 1, 1}; (B, x, y) ~ (Blx, y) heil3t Ordnungsfunktion von (P', ~3'), wenn gilt (vgl. [23], [25], [28]): 01

Fiir alle Bl6cke A ~ ~ ' und fiir alle Punkte x, y, z ~ P ' \ A (AIx, s).(AIy, z).(AIz, x) = 1

gilt

02.m Wenn c, d Punkte eines Blockes G sind, die zu P' geh6ren, und wenn A, B Bl6cke aus ~ ' sind mit A n G = B n G und [ A n G[ >~ m - 1 sowie c, d 6 A, dann gilt (Alc, d) = (B[c, d) 02.m heil3t im Fall m = 1 Geradenrelation (vgl. [28]) und im FaUe m = 2 Kreisrelation. Nach [23] gilt ftir jede Ordnungsfunktion ~: (2.1) Fiir alle A ~ f3' und fiir alle b, c ~ P ' \ A gilt (A[b, b) = 1 und (A[b, c) = = (Ale, b).

Eine Ordnungsfunktion ~ von (P', ~3') heil3t fastnormal bzw. normal, wcnn gilt 03.m bzw. 03~m Wenn c, d zwei Punkte eines Blockes G sind, die zu P' oeh6ren, und wenn A, B zwei Bl6cke aus f8' sind mit [G n AI = IG n B I = m - 1 und c, d e A, B, dann gilt (Alc, d) = (Blc, d) bzw. (Alc, d) = 1. Im Falle einer affinen Ebene folgt 03.1 aus 02.1. Jede affine Ordnungsfunktion ist also fastnormal. Wenn fiir alle (B, x, y) ~ (~' x P' x P')* gilt (Blx, y) = 1, dann heil3t ct trivial. Es sei m > / 2 und p e P. Eine Ordnungsfunktion ~t von (P', ~3') heil3t (p)-normal, wenn die Restriktion yon ~ auf (P'\{p}, ~a'(p)) normal ist. Ist 3re(P) e~ d.h. 1. meN;2. VA, B r und [A A B1 = m (vgl. [23]).

~-Bgilt [ A A B ] < m ; 3.3A, B ~ m i t A - ' # B

Anordnungsfragen in Benz-Ebenen

225

vom Grade m - 1, so fftl3t sich jeder Ordnungsfunktion 9 yon (P', ~B') durch die Restriktionsvorschrift

( B \ ( p } l x , y)v : = (BIx, y) eine Ordnungsfunktion ~p von (P'\{p}, ~B'(p)*) zuordnen. Wenn ~ (fast-) normal ist, dann ist auch ~p (fast-) normal. Wie man leicht zeigt, gilt (vgl. [29], [23]): (2.2) Die Menge aller Ordnungsfunktionen yon (P', ~ ' ) bildet eine Gruppe t2, wenn man als Verkniipfung yon ~1 und ~2 die Produkte (BIx, Y)I" (BIx, Y)2 der Werte yon ~j und ~2 nimmt. Die fast-, (p)-normalen und normalen Ordnungsfunktionen bilden Unteroruppen yon I2. Zwei Ordnungsfunktionen ~ und ~' von (P', ~3') heil3en aquivalent, wenn es eine Belegung A :e, ~ { - 1 , 1}; x ~ ~ gibt mit (BIx, Y) = (Blx, y)'Yc~. (2.3) Zu jedem Tripel (a, b, c) E P' x P' x P' gebe es B e ~ ' mit a, b, c r B. Es sei ~ eine Ordnunosfunktion yon (P', ~B'). ~ ist genau dann aquivalent zur trivialen Ordnun#sfunktion, wenn gilt:

(t) Fiir alle x, y e P' und alle A, B ~ ~ ' mit x, y r A, B gilt (AIx, y) = (Blx, y) Beweis. Es gelte (t). Es sei a ~ P', Durch

(Xlx, a), wobei X ~ ~B' mit a, x r wird eine Belegung von P' definiert. Fiir x, y ~ P' und A ~ ~B' mit x, y r A gilt:

(Alx, y) = (A[x, a) (Ala, y) = ( Xlx, a) (Yla, y) = ~33, falls a r A. Falls a ~ A ist, gilt fiir B ~ ~ ' mit x, y, a r B: (Alx, y) = (Blx, y) = Yc~. Also ist ~ ~iquivalent zur trivialen Ordnungsfunktion. Die Umkehrung ist trivial. w 3. Zur Fortsetzung von Ordnungsfunktionen yon Teilstrukturen afliner Eben~3 auf affine Ebenen Nach (1.2) wird jedem Punkt p einer Benz-Ebene (P, Iti, R) eine affine Ebene (PP, RP u @P) - - die Ableitung im Punkt p - - zugeordnet. Falls I ~ O ist, ist also (P~, R p) eine Teilstruktur der affinen Ebene (PP, R P u ~ti~), deren Geradenmenge um ein oder zwei Parallelenbiisehel vermindert ist. Wir wollen uns deshalb in diesem Paragraphen mit Ordnungsfunktionen yon solchen affinen Teilstrukturen besch~iftigen, die durch Herausnahme von

226

H.-J. Kroil

zwei Parallelenbiischeln entstehen, und untersuehen, warm diese Ordnungsfunktionen auf die affine Ebene fortsetzbar sind. Es seien also (P, 15) eine affine Ebene, 151 und 152 zwei verschiedene Parallelenbtischel sowie 15' : = 15\(15~ u 152)- Weiterhin sei g eine Ordnungsfunktion yon (P, 15'). Wegen 02.2 und 01 besitzt g h6chstens eine Fortsetzung. Fiir die Fortsetzbarkeit von oc sind folgende Bedingungen notwendig: Fl.i ( i e {1,2}): Sind a, b, c drei nicht-kollineare Punkte, so dab weder a, b noch b, c noch c, a aus 151 sirld9), und sind H e 15| sowie A, B, C ~ 15' mit

A n c , b = Hc~c,b, B c ~ a , c = H e r a , c, C c ~ a , b = H n a , b, so gilt (alb, c) (Blc, a) (Cla, b) = 1. Denn wegen 02.1 und 01 gilt (AIb, c) (BIc, a) (Cla, b) = (HIb, c) (HIc, a). 9(Hla, b) = 1 fiir jede Ordnungsfunktion yon (P, 15'), die die Restriktion einer Ordnungsfunktion von (P, 15) ist. Zwei weitere notwendige Bedingungen sind F2.i (i~ {1, 2}): Es seien G 1, G2, G 3 drei verschiedene Geraden aus 15| und a~, b I ~ Gj (.] = 1, 2, 3) sechs Punkte mit a a r a 1, a2 und b a r bt, b2. Wenn die Schnittpunkte c2 := al, aa c~ bl, ba und c3 := ax, a2 ra bl, b2 existieren (Fig. 1) und A := a2, a a sowie B := b2, ba nicht in 151 u 152 liegen, so gilt (Alc 2, Ca) = (BIc2, ca). tl/

a~ 3 c z

o,

Fig. 1 Denn wegen 01, (2.1) und 02.1 gilt (AIc2, c3) = (Ale2, ax) (Alal, c3) = (G31c2, ax) (G21at, c3) = = (G31c2, bx) (G31bx, at) (G21ax, bl) (Gzlbx, c3) = = (Blc2, bt) (Bib1, ca) --- (Blcz, c3) 9) Fiir affino und projektiv, Riumv bezoichne a, b die Verbindungsgvradv der Punkte a,b(a ~ b).

Anordnungsfragen in Benz-Ebenen

227

Umgekehrt gilt (3.1) Eine Ordnungsfunktion ot yon (P, 15') laflt sich zu einer Ordnungsfunktion

yon (P, 15)fortsetzen, wenn eine der folgenden Bedingungen erfiillt ist: a) ~ hat die Eigenschaften FI.1, F1.2, F2.1 und F2.2. b) Die Ordnung yon (P, 15) ist hSchstens 3. Beweis. Da sich im Fall, dab die Ordnung von (P, 15) gleich 2 ist, jede Ordnungsfunktion von (P, 15') fortsetzen l~Bt (man braucht nur alle fehlenden Werte gleich 1 zu setzen), k6nnen wir annehmen, dab die Ordnung von (P, 15) gr6Ber als 2 ist. Um ~ auf (P, 15) fortzusetzen, miissen wir (HIa, b) fiir H e 151 w 152,

a, b e P \ H definieren: 1. Ist a = b, so sei (Hla, b) : = 1 2. Ist a 4= b und a, b ~ H , so sei (Hla, b) : = (Ala, b), wobei A ~ 15' mit A c~ H = a, b c~ H ist. (Wegen 02.1 ist (Hla, b) in diesem Fall wohldefiniert). 3. Ist a 4: b und a, bllH, so werde (Hla, b) : = (Hla, c) (HIc, b) gestezt, wobei c e P \ ( H w a, b) ist und (Hla, c), (HIc, b) gem~B 2. zu berechnen sind. Fiir die gemiil32, zu berechnenden Werte gilt (Hla, b) = (HIb, a) wegen (2.1). Wir miissen nun zun~chst zeigen, dab (Hla, b) auch im dritten Fall wohldcfiniert ist. Es sei d ein weiterer Hilfspunkt zur Bereehnung yon (Hla, b). Fall 1. Die Ordnung von (P, 15) sei 3. AuBer 151 und 15z gibt es dann in (P, t5) noch genau zwei weitere ParaUelenbiischel 153 und 154. Es seien A~, B~ e 15~ (i = 3, 4) mit a e A~, b e B~. Da sowohl A3 c~ H ~ B3 c~ H als auch A4 n H B 4 c~ H gilt, folgt A 3 n H = B4 c~ H oder A 4 N H = B 3 n H wegen I H I = 3. Ohne Einschr~nkung k6nnen wir also A.~ c~ B 4 e H annehmen. Es sei jetzt Cz e 15~ mit a, b r C, (i = 3, 4). Setzen wir x : = A 3 c~ C4, y : = B3 r~ A 4 u n d z : = C3 n B4, so gilt {x,y,z} 15 und c, d e {x, y, z} (vgl. Fig. 2)

z

A3 /

Fig 2.

r B~ , Aq

228

H.-J. Kroll

Nach 02.1 gilt:

(Hla, y) (HIy, b) = (C31a, y) (C,dy, b) (Hla, x) (HIx, b) = (B,,la, x) (C31x, b) (nla, z) (nlz, b) = (C,da, z) (A31z, b), und damit folgt wegen {x, y, z} e (5 nach 01 und 02,1

(Hla, y) (Hly, b) (Hla, z) (nlz, b) = --- (C3la, b) (C3[b, y) (C4[b, y) (C4la, z) (A31z, b) = = (C,da, b) (A3lb, y) (C4lb, y) (C,da, z) (Azlz, b) = = (C,[y, z) (A3lY, z) = 1

(nla, y) (Hly, b) (Hla, x) (Hlx, b) = = (C31a, y) (C,,ly, a) (C41a, b) (B,da, x) (C31x, b) = = (C31a, y) (B41Y, a) (C31a, b) (B41a, x) (Calx, b) = = (C31x, y) (B41x, y) = 1 Da c, d e {x, y, z} ist, gilt also: (Hla, c) (Hlc, b) = (Hla, d) (Hid, b). Fall 2. Die Ordnung von (P, (5) sei gr613er als 3. Es geniigt den Fall d, c.WH zu betrachten. Nach der Fortsetzungsvorschrift 2. und FI.1 bzw. F1.2 gilt dann

(Hlc, d) (Hid, b) (HIb, c) = 1 = (HIc, d) (Hla, d) (Hla, c), also

(Hla, d) (Hid, b) = (Hla, c) (Hlc, b) d.h. beide Berechnungen (sowohl die mit Hilfe von c als aueh die mit Hilfe yon d) fiihren zum selben Ergebnis. Aus der Fortsetzungsvorschrift und FI.1 sowie F1.2 folgt sofort die Giiltigkeit yon 01. Wir zeigen jetzt 02.1. Es seien also H1,//2, L drei verschiedene Geraden mit HI c~ H 2 = H1 c~ L u n d a, b e L \ H t . Nach der Fortsetzungsvorschrift gilt (Hlla, b) = (H21a, b), falls nicht beide Geraden H t , / / 2 in (St oder (52 liegen. Ohne Einschr~inkung seien nun Ht,/-/2 e (51. Dann gilt L e (51. W~hlt man im Fall der Ordnung 3 zur Berechnung von (H~la, b) als Hilfspunkt c~ den Punkt p, fiir den a,p, b,p e (53 u (54 gilt, so erh~ilt man (Hxla, b) = (H21a, b). Im Fall der Ordnung gr613er 3 seien At, B2 e (52 mit a e At, b e B2 und al : = AI c~ Ht, c1 := At n/-/2, b2 := B2 n / / 2 , c2 := B2 n HI und a2 := := c 2, a c~//2 sowie bt := Cl, b c~ H 1 (Fig. 3).

Anordnungsfragen in Benz-Ebenen

bl

c2

229

0:

8e be

c~

ae

Fig. 3 Fiir .4 : = al, a2 und B : = bl, b 2 gilt dann .4, B ~ 151 u 152. Nach F2.1 gilt also (A[cl, c2) = (B[Cl, c2) und daher

(H1]a, b) = (Ala, cl) (B[cl, b) = (Ala, c2) (AJc2, cl) (BJcl, c2) (BJc2, b) = = (H2la, b). Aus dem Beweis yon (3.1) folgt (3.2) Jede Ordnungsfunktion ~t yon (P, 15\151) mit den Eigenschaften F I . I und F2.1 l~13t sich zu einer Ordnungsfunktion yon (P, (5) fortsetzen. (3.3) Es sei (P, 15) desarguessch. Jede Ordnungsfunktion ct yon (P, 15)' ldflt

sich auf (e, 15) fortsetzen. Bcweis. Da (P, (5) desarguessch ist, sind die Bedingungen F2.1 und F2.2 wegen 02.1 erfiillt. Wegen (3.1) brauchen wir f'tir die Ordnungsfunktion also nur noch FI.1 und FI.2 nachzuweisen, wobei wir voraussetzen k6nnen, dab die Ordnung von (P, 15) gr6Ber als drei ist. Es seien also H e 151 und a 1, a 2, a 3 ~ P \ H drei nicht-kollineare Punkte mit al, a2, a2, a3, a3, a I r 151. E s s e i e n c,+ 2 : = at, al+t c~ H und H~ e 152 mit at ~ Hi (i e Z3). Auf H a gibt es einen Punkt b3 mit b3 4= a3, b3 6 H. Wit setzen B~ : = ba, ci (i = 1, 2) und w~hlen einen Punkt b2 ~ B A H 2 mit b2 4~ cl, ba. Weiterhin sei B s : = : = b2, ca. Nach Wahl yon b2 gilt a2, b2 6 152. Fiir z : = a2, b2 ra H a gilt nun wegen des Axioms yon Desargues z, a I c~ B a = z, at n B2 (vgl. Fig. 4). Damit erhalten wir (Balal, a2) (Bl[a2, a3) (B2laa, al) =

= (B3lal, z) (B3[z, a2) (Blla2, z) (Bl[z, a3) (B2[a3, z) (BzJz, al) = = (B3lal, z) (Bllz, a2) (B, la2, z) (Bllz, a3) (Bda3, z) (Balz, al) --

1

Wegen 02.1 gilt damit FI.1. Analog zeigt man F1.2. Als Folgerung aus (3.3) erhalten wir (3.4) Wenn (P, 15) desarouessch ist, so laflt sich jede Ordnungsfunktion ~ mn

(P, 15\151) auf (P, 15) fortsetzen.

230

H.-J. Kroll

#

at

z

as

6~

us

Fig. 4

w 4. Ordnungsfnnktion und Zwischenrelation einer affmen Ebene

AuSer dutch Ordnungsfunktionen kann die Anordnung in einer amnen Ebene noch dutch eine Zwischenrelation beschrieben werden. AIs Vorbereitung auf w 5 stellen wit in diesem Paragraphen den Zusammenhang zwischen beiden Anordnungsbegriffen her. Es sei (P, Cb) eine affine Ebene und (p3), := {(a, b, r koltinear und a ~ b, c}. Eine Abbildung

a,b, c sind

(I,): ( e 3 ) , ~ {--1, 1}; (a, b, C) -'}
heiBt Zwischenrelation yon (P, {5), wenn gilt (vgl. [18] S. 73 und [23] S. 206): ZI Fiir alle a, b, c, d e P mit (a, b, c), (a, c, d) e (e3). gilt
Anordnungsfragen in Benz-Ebenen

231

funktion von (P, 15), die eine Fortsetzung ~ auf den projektiven AbschluB (P,, 15~) yon (P, 15) besitzt. Durch die Vorschrift (V2) Fiir f, a, b, c 9 P~ mit f, a 4: b, c und f, c 9 a, b ~ lo~ sei If, alb, c] := (Fib, c),.(Alb, c)~ wobei F, A 9 15~\{a, b ~} ist mit f 9 F, a 9 A.

wird in (P~, 15~) eine Trennrelation definiert (vgl. [28]). Die Trennrelation [,I,] ist gegeniiber Perspektivit~iten invariant, u n d e s gilt [a, blc, d] [a, bid, e] [a, ble, c] = 1 fiir alle a , b , c , d , e 9 mit a,b 4: c, d, e und a,d, e e b , c s (vgl. [28] S. 116 if). Daher wird durch die folgende Vorschrift eine Zwischenrelation yon (P, 15) definiert: (VI*) Fiir ( a , b , c ) 9 c) := (FIb, c)(Alb, c), wobei F, A 9 mit a 9 A und F c~ a, b = O ist. Durch Restriktion der Vorschrift (VI*) auf die Menge der normalen Ordnungsfunktionen erh~lt man die Vorschrift (V1). Da sich nach H. K~zEL [19] eine Ordnungsfunktion ~ der aflinen Ebene (P, 15) genau dann auf den projektiven Abschlul3 von (P, 15) fortsetzen l~Bt, wenn ~ zu einer normalen Ordnungsfunktion ~quivalent ist, folgt nun (4.1) Jede Ordnunflsfunktion yon (P, 15), die zu einer normalen Ordnunflsfunktion aquivalent ist, induziert gemal3 (VI*) in (P, 15) eine Zwischenrelation. Jede Zwischenrelation (I,) l~Bt sich gem~B (V1 *) durch genau eine normale Ordnungsfunktion ~ induzieren, und eine Ordnungsfunktion induziert die Zwischenrelatt~n ([,) gemiiB (VI*) genau dann, wenn sie zu ~ ~quivalent ist. Wenn (P, 15) desarguessch und ]P] > 4 ist, dann ist jede Ordnungsfunktion yon (P, 15) fiquivalent zu einer normalen Ordnungsfunktion (vgl. [19], [15]). In diesem Fall liefert die Vorschrift (VI*) also fiir jede Ordnungsfunktion yon (P, 15) eine Zwischenrelation yon (P, 15). w 5. Ordnungsfunktion und Trennrelation einer Benz-Ebene

Es sei (P, 15, R) eine Benz-Ebene. Unter einer Ordnungsfunktion yon (P, (]5, R) verstehen wir eine Ordnungsfunktion cr von (P, R), die folgender Vertrgtglichkeitsbedingung geniigt: OV Wenn e, d Punkte einer Erzeugenden G und A, B Kreise sind mit A n G = = B c~ G und c, d r A, dann gilt (Ale, d) = (BIe, d). ao~ F ~ x, y ~ P= ndt x of y bezeichnex ~ = die Verbindungsgeradeyon x, y in (P=, 15=).

232

H.-J. KroU

Fiir den Fall, dab (P, ($i, R) eine M~ibius,Ebene ist, ist die Vertr~glichkeits, bedingung OV belanglos, da dann 6i = O ist. Aus der Definition der Ordnungsfunktion einer Benz-Ebene folgt sofort (5.1) Fiir jede Ordnungsfunktion ~ yon (P, qJ, R) und jeden Punkt w ~ P ist die Restriktion ~w yon ~ auf (pw, R,) (vgl. w 2) eine Ordnungsfunktion yon st Nach w 3 gilt (5.2) Es sei w e P und ot eine Ordnungsfunktion yon (P, f~, ~). Die Restriktion o~ yon ot auf (ew, Rw) l~flt sich genau dann auf (P~', a ~ u ffiw) fortsetzen, wenn otw fiir alle i e I die Bedingungen Fl.i und F2.i erfiillt. Wenn (pw, R TM u ~w) desarguessch ist, so liiflt sich *(wfortsetzen. Im folgenden sei w ~ P ein fester Punkt. Nach (5.1) induziert jede Ordnungsfunktion yon (P, ~i, ~) eine Ordnungsfunktion von (pw, Rw), die sich unter gewissen Bedingungen (vgl. (5.2)) zu einer Ordnungsfunktion von (P', R ~ w I~i") fortsetzen l~13t. Hier ergibt sich nun sofort die Frage: Gibt es zu jeder affinen Ordnunsfunktion ~,, von (P'~, ~ u ~i~) eine Ordnungsfunktion von (P, ~i, R), so dab die Restriktionen auf (pw, Rw) iibereinstimmen ? Eine positive Antwort kann ich nur fiir den Fall der ovoidalen Benz-Ebenen geben (vgl. (6.2)). Hier werden wir nur die Fortsetzbarkeit der trivialen atFanen Ordnungsfunktion nachweisen und die Teilaufgabe der Eindeutigkeit der Fortsetzung behandeln (vgl. (5.3) und (5.4)). Offensichtlich gilt (5.3) Es sei ^ : ['w] --* { - 1, 1}; x --, ~ceine Belegung yon [w]. Wird /" durch ~, : = 1 fiir y ~ P \ [ w ] a u f P fortgesetzt, so erMlt man dutch die Festsetzung (Kla, b) : = : = ab eine Fortsetzung der trivialen affinen Ordnungsfunktion ~ yon (pw, 5t~,u qJ'). Diese Fortsetzung yon ~ ist genau dann normal, wenn fiir alle a ~ P gilt a = 1. (5.4) Die Ordnung o yon (P, qJ, ~) sei gr~13er als 2 oder 5 oder 7 je nachdem ob (P, 6J, R) eine M~bius. oder Laguerre- oder Minkowski-Ebene ist. Es sei o~ eine a.~ne Ordnungsfunktion oon (pw, Rw u 6JTM) und oq, or2 zwei Fortsetzungen yon ~w auf (P, ~ , ~). Dann gilt: (a) (Kla, b)t = (Kla, b)2, falls a, b ~ I'w] (b) Die beiden Ordnungsfunktionen ~1 und ot2 sind aquivalent. Zum Beweis yon (a) k6nnen wir w 6 K und a 4= b voraussetzen (da (a) andemfalls trivialerweise gil0. Es sei zun~ehst a mit b verbindbar, Im Fall der Minkowski-Ebene kfnnen wir wegen 01 annehmen, dab I'b] c~ [w] c~ K # O gilt. Wegen der Voraussetzung fiber die Ordnung gibt es einen Kreis L ~ ~ \ R (w) mit a, b e L u n d L c~ K oe O, so dab L c~ K mit w verbindbar ist. Dann gibt es einen Kreis

Anordnungsfragen in Benz-Ebenen

233

M e R (w) mit M n L = L n K. Nach 02,2 gilt nun (Kla, b)t = (Mla, b)l fiir i e {1, 2} und damit (Kla, b)t = (Kla, b)2, da M e R (w). Sind a und b nicht verbindbar, so w~ihlen wir einen mit a und b verbindbaren Punkt c e P \ ( K u [w]) und erhalten durch zweimaliges Anwenden des oben gezeigten zusammen mit 01

(Kla, b)t = (Kla, c)1 .(Klc, b)l = (Kla, c)2"(Klc, b)2 = (Kla, b)2. Um (b) zu beweisen, geniigt es wegen (a) zu zeigen, dab fiir x e [w] das Produkt

Yc'= (Kla, x)t .(Kla, x)z mit K e R \ R (x) und a e P \ ( K w Ix] u [w]) unabh~mgig yon der Wahl yon K und a ist. Es gilt (1) (K[a, x)l .(K[a, x)2 = (Klb, x)~ .(K[b, x)2 fiir alle a, b e P k ( K u Ix] u [w]). Denn nach 01 gilt (K[a, x)l = (K[a, b)l .(K[b, x)~, woraus (1) wegen (a) folgt. (2) (Kla, x)t .(Kla, x) 2 = (L[a,x)l .(Lla, x)2 fiir alle K, L e R\R(x) mit K 4: L, K n L , tk und K n L ~ P \ [ x ] und fiir alle a e P \ ( K u L w Ix] u [w]). Zum Beweis yon (2) w~hlen wir auf G e R (x) mit G n K = L n K ein b mit b . K u [w] (alas ist wegen o >- 3 bzw. 6 m6glich). Es gilt b e Ix] w L. Wegen 02.2 gilt (KIb, x)l.(KIb, x)2 = (Lib, x)l'(LIb, x)2, woraus mit (1) die Behauptung folgt. (3) (K[a, x)l.(Kla, x)z = (Lla, x)l "(Lla, x)2 fi~r alle K, L e R \ R ( x ) alle a e P \ ( K u L w [w] u [x])

und fiir

Da o >~ 3 bzw. 7 ist, gibt es einen Kreis M e R \ R (x) rnit M ~ K, L, K n M 4: 4: ~b, L n M ~= q~ und K n M, L n M ~ P \ [ x ] . Durch zweimaliges Anwenden von (2) folgt dann zusammen mit (1) die Behauptung. Aus (3) und (1) folgt nun, dab ~2 wohldefiniert ist. In der projektiven Geometrie wird zur Beschreibung der Anordnung neben dem Begriff der Ordnungsfunktion der der Trennrelation benutzt. Nach E. SPrRNER [28], [29] lfiBt sich jede Trennrelation aus einer Ordnungsfunktion gem~B (V2) ableiten. Wir wollen jetzt jeder Ordnungsfunktion einer BenzEbene eine Trennrelation zuordnen und diese Trennrelation untersuchen. Im folgenden sei die Ordnung der Benz-Ebene (P, qi,R ) gr6Ber als 2. Es sei (p4), : = {(a, b, c, d) ~ p4; a, b 4: c, d und a, b, e, d sind konzyklisch}. Unter einer Trennrelation yon (P, 6i, R) verstehen wir eine Abbildung [, I,]: (V#) * ~ {--1, 1}; (a, b, c, d) ~ [a, blc, d]. Eine Trennrelation [, 1,] heiBt trivial, wenn fiir alle (a, b, c, d ) 6 (p4), gilt [a, blc, d] --- 1. Es sei nun 9 eine Ordnungsfunktion yon (P, ~ , R). Wegen (VI*) liegt zur

234

H.-J. Kroll

Definition einer Trennrelation mit Hilfe der Ordnungsfunktion 9 folgende Vorschrift nahe: (V3) Fiir (a, hi c, d)~ (p4), mit a, b, c, d E K (K ~ R)undA, L ~ R mit A c~ K = = {a}, L c~ K = {a, b} sei [a, blc, d] := (Ale, d) (Lie, d). 11)

[a, b[c, d] ist wegen 02.2 unabh~ingig v o n d e r speziellen Wahl von A und L. Die gem~iB (V3) definierte Trennrelation hat die folgenden Eigenschaften: TO Fiir alle a,c, d e P mit (a,a,c,d)r * gilt [a, alc, d] = 1. T1 Fiir alle a, b, c, d, e E P mit (a, b, c, d), (a, b, d, e) e (1>4), gilt

[a, blc, d] [a, bid, e][a, hie, c] = 1. Der Beweis yon T1 folgt unmittelbar aus 01. T2 Wenn das Punktequadrupel (a, b, c, d) e (p4), durch eine Zentralperspektivitat mit dem Zentrum (a, a') in das Quadrupel (a', b', c', d') iiberfiihrt wird und b, c, d r [a'] gilt, so gilt [a, blc, d] = [a', b'lc', d']. Denn nach Voraussetzung gibt es A, K, K', L ~ R mit a, b, c, d e K, a', b', c', d ' e e K ' , A n K = {a}, A c ~ K ' = {a'} und L t a K = {a,b}, L c ~ K ' = {a',b'} (vgl. Fig. 5). Da a, c, c ', a' bzw. a, d, d', a' konzyklisch sind, gilt

(Ale, c') (Lie, c') = 1 = (Aid, d') (Lid, d')

Fig. 5

und daher

[a, blc, d] = (Ale, d) (LIc, d) = = (Ale, c') (Ale', d') (Aid', d) (Lie, c') (LIc', d') (Lid', at) -. =

(AIc', d') (Lie', a') = [a', b'lc', d'].

Fiir jede Trennrelation [, I,] mit der Eigenschaft T1 erh~lt man, indem man zun~chst c = d = e und dann d = e setzt: 11) Die in [23] for M6bius-Ebenvn angegebene Vorschrift zur Definition einer Trennrelation untvrscheidet sich von (V3) so wie sich (V1) yon (VI*) unterscheidet. Beide Vorschriften stimmen genau auf der Klasse der normalon Ordnungsfunktionen 0herein.

Anordnungsfragen in Benz-Ebenen

235

Fiir alle (a, b, c, d) e (/,4). gilt [a, blc, c] = 1 and [a, blc, d] = [a, bid, c]. (5.5) Es sei ot eine Ordnungsfunktion yon (P, 15, 2) und [, I ,] die gem~13 (V3) abgleitete Trennrelation. a) ct ist genau dann fast normal, wenn gilt: TF Fiir alle (a, b, c, d) e (P')* gilt [a, blc, d] = [b, alc, d] t2' b) Wenn ~ aquivalent zu einer normalen Ordnungsfunktion ist, so hat [, I ,] die Eigenschaft TN Es sei L ein Kreis und c, d zwei verschiedene Punkte, die nicht auf L liegen. Wenn a t, a2, bl, b2 Punkte yon L u n d Kt, K2 e ~ (c, d) sind mit L c~ Kl = = {a,,b,} (i = 1, 2), so gilt [at, bdc, d] = [as, b21c, d]. Beweis. a) Fiir A, B, L, K e R und a, b, c, d e K mit a, b 4= c, d, K c~ L = = {a,b}, Kc~ B = {b}, Kra A = {a} gilt [a, blc, d] = (AIc, d) (LIc, d) =(Blc, d) (LIc, d) = [b, alc, d] genau dann, wenn (AIc, d) = (BIc, d) gilt. b) Da fiquivalente Ordnungsfunktionen die gleiche Trennrelation induzieren, k6nnen wir annehmen, dab 9 normal ist. Dann gilt

[at, btlc, d] = CLio, d) = [as, b21e, d]. (5.6) Wenn alle affinen Ableitungen oon (P, 15, 2) desarguessch sind, dann gilt far jede gemafl (V3) definierte Trennrelation 1"3 Fiir alle (a, b, c, d ) e (PC)* mit a 4: b und alle Beriihrtransformationen ~: (abc) --* K (K 6 2) mit dem Grundpunkt a gilt [a, blc, d] = [a, cp (b)l~p (c), ~p ( d ) ] . Denn die nach (5.2) existierende Fortsetzung von ~a auf die affine Ebene (Pa, 2" u 15") ist nach [191 Etquivalent zu einer normalen Ordnungsfunktion von (P*, ~ ~ 150, und wegen des Zusammenhangs der Vorschrift (V3) mit (VI*) folgt [a, blc, d] = [a, cp (b)l~p (c),~p (d)] nach (4.1). Jede Trennrelation [, I ,] der Benz-Ebene (P, 15, ~t) mit den Eigenschaften TO, T1, T2 und T3 heil3t Halbordnung von (P, 15, 2) (5.7) Es sei a e P, und (P~ R ~ u 15~ sei desarouessch. Zu jeder Trennrelation [, I ,] yon (P, 15, 2) mit den Eigenschaflen T1 undT3 9ibt es 9enau eine Zwischenrelation(, I)ovon(P ~, R ~ u 15~ der Eioenschaft, daflfiir alle(a, b, c, d)e(P4) * mit a 4: b gilt (b[c, d)a = [a, blc, d]. Beweis. Wegen Z2 kann es h6chstens eine Zwischenrelation mit der geforderten Eigenschaft geben. Wir definieren in (P', ~a U 15") wie folgt eine Zwischenrelation (I ,)o: ~2~ TO, TI, TF gehSren zu den Trennungsaxiomen, die B. PETKANT$CHIN[27] fiir MSbius-Ebenen zugrunde legt.

236

H.-J. Kroll

(1) Fiir (b, c, d) e ((pa)3), mit (a, b, c, d) e (pa), sei (blc, d), := [a, blc, d]. (2) Fiir (b, c, d) e ((pa)3). mit (a, b, e, d) r (P')* sei (blc, d)a : = [a, blc', d'] wobei (a, b, c', dO s (p4). mit (acc') n (add') = {a} oder (acc')= (add') ist.

(blc, d)~ ist im Fall (2) unabh~ngig v o n d e r Wahl von c', d', denn sind ohne Einschr~inkung c # d und c", d" zwei weitere Punkte mit (a, b, c", d") e (p4). und (acc") n (add") = {a}, so gilt nach dem Axiom yon Desargues (ac'c") n n (ad'd") = {a} und daher [a, blc', d' 1 = [a, bIc", d"] nach T3. Wegen T1 erfiillt (] ,)~ die Bedingung Z1. Z2 folgt sofort aus T3, d a man im Falle (5 # O jede Parallelperspektivit[it in Richtung (5~ (i 6 I) wegen des Axioms von Desargues als Produkt von zwei Parallelperspektivit~iten mit Richtungen, die yon (5~ (i e 1) verschieden sind, schreiben kann. (5.8) Es seien ~ und o~' zwei Ordnunflsfunktionen yon (P, (5, •) und [, [ ,1 sowie [, [ ,1' die aemei8 (V3) abgeleiteten Trennrelationen. o~ und ~' sind genau dann iiquivalent, wenn [, 1,1 = E, [,1' gilt. Beweis. 1. Wenn ~ und g' ~iquivalent sind, so gilt [, 1,1 = [, 1,1' nach (V3). 2. Es sei [, I,] = [, I,]'. Wegen (2.3) und (2.1) geniigt es zu zeigen, dab fiir c, d e P und L, M e R mit c, d 6 L , M und c # d gilt:

(LIc, el) (Lie, d)' = (Mlc, d) (MIc, d)'. Wir k6nnen L n M :~ 13 annehmen. a) Wenn die Ordnung yon (P, 15, R) kleiner als 8 ist, so ist ftir w ~ L n M die affine Ableitung (pw, Rw u (sw) desarguessch (vgl. [12]), und damit gilt nach (5.7) und ~4, dab ~w und ce~ ~quivalent sind, also (LIc, d)(Lie, d ) ' = = (Mlc, d) (glc, d)' gilt. b) Die Ordnung von (P, (5, ~) sei gr6Ber als 7. ~) Es seien c und d verbindbar. Es gibt a e L, b e M und G, H, K ~ ~ mit a, c, d e H, b, c, d6 K, a, b ~ G und c, d r G. Es seien L n H = {a, 1}, G n H = = {a, g} und A ~ a mit A ca H = {a}. Dann gilt:

(Alc, d)(Zlc, d) = [a, lie, d] = [a, lie, d]' = ( A I c , d)'(LIc, d)' (Alc, d) (Glc, d) = [a, gIc, d] = [a, glc, d]' = (Ale, d)'(GIc, d)' also

(L[c, d) (Llc ,d)' = (GIc, d) (Glc, d)'. Analog gilt

(G[c, d) (GIc, d)' = (Mlc, d) (MIc, d)'. [~) Zusammen mit O1 folgt aus ~) fiir alle c, d e P mit c, d ~ L, M dab

(Lie, d) (Lie, d)' -- (glc, d) (gIc, d)' gilt.

Anordnungsfragen in Benz-Ebenen

237

(5.9) Es seien alle affinen Ableitunoen yon (P, 15, R) desarguessch und i E I. a) Jede Trennrelation [, 1 ,] mit den Eioenschaften TO, T1 und T3 hat die Ei#en-

schaft T4.i Fiir a, b 1, b2, bs, cl, c2, ca ~ P mit (a, bl, b2, b3), (a, cl, C2, r E (p4), und bj ~ [cj], (j = 1, 2, 3) gilt [a, bdb2, b3] = [a, c~[c2, ca]. b) Jede Trennrelation [, [ ,] mit den Eigenschaften TO, T1, T3, und TF 9eniigt der folgenden Verschiirfung yon T4.i: T4*i Fiir (a i, a2, aa, a4), (bl, b2, b3, b4) ~ (p4). mit aj ~ [bj]t (j = 1, 2, 3, 4) oilt [al, a2laa, a4] = [bl, bzlba, b4]. Beweis. a) folgt sofort aus (5.7). b) Wegen TO k6nnen wir a t 4:a2 voraussetzen. Es gibt c 2 e [b2],\([al] u u [bl]). Es seien C e R ( a l , c~), DeS~(c2, b~) sowie cj := C n [bl], und dl := D c~ [bj]l (j = 1, 2, 3, 4). Es gilt c a = al, d2 = c2 und d t = b~. Nach a) und TF folgt: [a~, a2la3, a4] = [a~, C21C3, C4] = [C2, adca, c4] = = [d2, btlda, d4] = [bt, d21d3, d4] = Ibm, b2lb3, ba]. (5.10) Jede affine Ableitun9 yon (P, 15, R) sei desarouessch, und die Ordnuno yon (P, 15, R) sei im Fall einer Minkowski-Ebene mindestens 7. a) Jede Trennrelation [, I ,] mit den Eioenschaften TO, T1, I"3 und TN l~iflt sich oem?ifl (V3) durch eine normale Ordnunosfunktion induzieren. [, I ,] ist eine Halbordnun9. b) Es sei ~ eine Ordnunosfunktion yon (P, 15, R). ~ ist 9enau dann aquivalent zu einer normalen Ordnunosfunktion, wenn die 9emafl (V3) definierte Halbordnun 9 T N erfiillt. Beweis. a) Nach (5.7) gibt es zu jedem a e P genau eine Zwischenrelation (I ,)~ yon (P~ R ~ 15"), so dab fiir alle (a, b, e, d ) ~ (p4). mit a + b gilt (blc, d)o = [a, blc, d]. Naeh (4.1) gibt es zu a E P genau eine normale affine Ordnungsfunktion ~o von ( P ' , ~ " u 15~), die die Zwischenrelation (I ,), gem~iB (VI*) induziert. Jetzt k6nnen wir eine normale Ordnungsfunktion ~ von (P, 15, R) definieren: Fiir A e R und c, d ~ P \ K s e i (A[c, d) : = (A\{a}[ c, d)o, wobei a ~ A \ ( [ c ] u [d]) ist. ist wohldefiniert, denn ffir at, a2 ~ A \ ( [ c ] u [d]), c ~ d und (a, cd) n A = = {at, hi} (i = 1, 2) gilt nach (V1) und TN:

(A\{ax}[c, d)o, = (b~lc, d)~ = [a~, bt[c, d] = = [a2, b21c, d] = (b2[c, d)~ = (A\{a2}lc, d)~2 Wegen der Voraussetzung fiber die Ordnung von (P, 15, R) erfiillt ct die Bedingung 01, da fiir A e R, c, d, e ~ P \ A zur Berechnung der Werte (AIc, d),

238

H.-J. Kroll

(AId, e),(Ale, c) ein fester Hilfspunkt a gew.~hlt werden kann, so dab (AIc, d)(Aid, e)(Ale, c) = 1 wegen der Giiltigkeit yon 01 ftir ~o folgt. Ebenso folgt 02.2 bzw 0V aus der Giiltigkeit yon 02.1 fiir die affinen Ordnungsfunktionen ~o. Da die ~~ normal sind, ist ~ also eine normale Ordnungsfunktion. Ftir (a,b,c,d)E(P4) * und A , K , L ~ R mit a,b,c, d e K , A n K = { a ) , LnK= {a,b} gilt

(Alc, d) (Llc, d) -- (Llc, d) = (L\{a}lc, d)o = In, blc, d] b) ergibt sich als Folgerung aus (5.5b), a) und (5.8). Fiir M6bius-Ebenen l~13t sich (5.10) auch ohne die Voraussetzung, dab alle abgeleiteten affinen Ebenen desarguessch sind, beweisen (vgl. [23] Satz (3.5)). Eine wichtige Eigenschaft der Trennrelationen von projektiven Ebenen ist die Vertauschungsregel [a, blc, d] = [c, din, b] (vgl. [17] Satz I). Wir wollen jetzt untersuchen, wann eine nach (V3) definierte Halbordnung der Vertauschungsregel gentigt. Notwendig fiir die Giiltigkeit der Vertauschungsregel ist wegen T1 die Bedingung TP Fiir alle a, b, c, d, e ~ P mit (a, b, d, e), (a, c, d, e) E (p4), gilt In, bid, e] [b, cld, e] [c, aid, e] = 1. Aus TP folgt TO und "IF. Wenn alle atfinen Ableitungen yon (P, ~ , R) desarguessch sind und die Ordnung gr6Ber als 3 ist, so ist TP auch hinreichend dafiir, dab die Vertauschungsregel gilt. I2enn zu (a, b, c, d) e (p4), mit a + b und c + d gibt es e e (abc) m i t e #: 4: a, b, c, d, so dab wegen TP und TF gilt

[a, blc, d] = [e, blc, d] [e, alc, d] =(Blc, d) (Alc, d), wobei A, B e R mit A n (acd)= {a, e} und B n ( a c d ) = {b, e} sind. Da (1)

(P', R e u (5e) desarguessch ist, ist ~e auf den projektiven Abschlul3 yon (pe, Re u (Se) fortsetzbar (vgl. (5.2) und w 4). Damit folgt wegen (1), dal3 In, bIc, d] (und analog It, dla, b]) auch gem~B (V2) mittels der projektiven Fortsetzung von ~e berechnet werden kann. Wegen der Giiltigkeit der Vertauschungsregel fiir die gem~13 (V2) definierten Trennrelationen in projektiven Ebenen gilt damit [c, din, b] = In, blc, d]. Wenn eine Halbordnung der Vertauschungsregel und damit TP geniigt, so gilt folgende Versch~irfung yon T2: T2* Wenn die Quadrupel (a, b, c, d), (a', b', c', d') ~ (p4). dutch eine Zentral-

perspektivitat mit dem Zentrum (w, w') ineinander iiberfiihrbar sind und a, b, c, d r [w'] gilt, so gilt In, blc, d] = [a', b'lc', a']. Entsprechend l~13t sich dann T3 versch~rfen.

Anordnungsfragen in Benz-Ebenen

239

w 6. Ordnungsfunktionen und Halbordnungen von ovoidalen Benz-Ebenen

In diesem Paragraphen sei B (//, s eine ovoidale Benz-Ebene im dreidimensionalen projektiven Raum / / = (P, ~ ) mit der Ebenenmenge ~. Im Falle einer Laguerre-Ebene sei s die Spitze von f3. Es sei ~3' die Punktmenge von B (//, s Die Ordnung yon B (H, 9 ) sei im folgendcn grOl3er als 2. Da in einigen Beweisen die Laguerre- und Minkowski-Ebene der Ordnung 3 nicht mit erfaBt wird, schlieBen wir auch diesen Trivialfall in dicsem Paragraphen aus. Wir in [23] zeigt man (6.1) Jede Ordnungsfunktion ~t~ yon //la) induziert nach folgender Vorschrift eine Ordnungsfunktion o~ yon [3 (1I, ~3) (V4) Fiir alle K ~ $1 und alle a, b e ~ ' \ K

sei (KJa, b) :-- (/~Ja, b)~ 1.)

Offensichtlich induzieren iiquivalente Ordnungsfunktionen von H .~quivalente Ordnungsfunktionen yon B (H, s Als dreidimensionaler projektiver Raum i s t / / desarguessch und I~il3t sich daher als Koordinatengeometrir (K4)*/K * fiber einem K6rper K darsteIlen. Jeder Halbordnung Z tS) des K6rpers K kann man nach [29], S. 417 dutch folgende Vorschrift eine Ordnungsfunktion ~ von / / zuordnen: (VS) Jedem Punkt a yon II wird zundchst der Koordinatenvektor a ~ a zugeordnet dessen erste yon Null verschiedene Komponente gleich 1 ist. Wenn die Ebene E dutch die Gleichung ex = 016) beschrieben wird und a, b ~ P \ E sind, so sei (E[a, b)~ : = Z (ca) Z (eb). /~ndert man die Vorschrift (VS) dadurch ab, dab man eine andere Normierung der Koordinatenvektoren der Punktr w[ihlt, so erh~lt man eine Ordnungsfunktion, die zu der nach (VS) definierten ~iquivalent ist (vgl. [29]). Mit Hilfc von (VS) und (V4) kann man damit jeder Halbordnung von K cine Ordnungsfunktion von B (H, s zuordnen. Fiir ovoidale Benz-Ebenen wird nun die in w 5 angeschnittene Fortsetzungsfrage beantwortet durch (6.2) Es sei w e 13'. Jede affine Ordnungsfunktion ~w der affinen Ableitung (s ~ , w (5 TM)ldflt sich zu einer Ordnungsfunktion ~ von B (//, ~3)fortsetzen, die gemiifl (V4) dutch eine Ordnungsfunktion ~ yon 1I induziert wird. ~3) Zur Definition der Ordnungsfunktion in einem projvktiven Raum vgl. [23] S. 211. ~4) 1~ bczcichne die projcktive Hfille r Tr162 M yon P. 15) Unter einer Halbordnung Z des K6rpcrs K vcrstchcn wir einen Homomorphismus der multiplikativen Gruppe yon K in die Gruppr {--1, 1} (vgl. [29], S. 417 und [17], S. 277). ~6) Mit et kiirzen wir die Summe eo xo+e~ x~+e2 x2+ea xa ab.

240

H.-J. K r o l l

Beweis. Da (~'~, R ' u ~'~) desarguessch ist, ist jede Ordnungsfunktion von ( ~ " , g ' ~ u 15~) /iquivalent zu einer normalen Ordnungsfunktion. Wir k6nnen daher ohne Einschr/inkung annehmen, dab ct~ normal ist. Es sei p ~ ' \ [ w ] und Hp bzw. H~ die Tangentialebene an s im Punkt p bzw. w. Die stereographische Projektion 0"-"

"-~ X~ W f~ t t p

ist ein Isomorphismus der affinen Ebene (t0", R ~' • 15") auf die arlene Ebene H A H w. Durch a wird die normale a n n e Ordnungsfunktion e~ auf I-IAHw iibertragen; diese Ordnungsfunktion bezeichnen wir mit e~. Nach den Ergebnissen aus [19], [28] und [29] gibt es eine Ordnungsfunktion e~ yon 1I mit folgenden Eigenschaften: 1. Ftir alle a, b ~ P \ H w gilt: (H~la, b)~ = 1 2. Ftir alle a, b ~ H p \ H , und fiir alle H e ~\{Hp, Hw} gilt ( H n (Hp\Hw)la, b)~ = (Hla, b),.

Wit zeigen jetzt, dab die nach (V4) durch ~ induzierte (w)-normale Ordnungsfunktion ~ von B (H, s eine Fortsetzung yon ~, ist. Es seien also K ~ R (w), a, 6 E s w [w]) und K' := K \ { w } . Dann gilt a (K') = Kta (Hp\Hw) und (Kla, b) = (Kla, b)~ sowie (Rig (a), cr (b)), = ( K n (HAHw)la(a),a(b))~ = = (K'[a, b)~. Damit erhalten wir zusammen mit der 1. Eigensehaft von a~ wegen 01: (Kla, b) (K'la, b)~ = (h'[a, b)=.(/~[~ (a), a (b))= = = (KIa, a (a)),.(/~'[a (a), b ) , - ( k [ a (a), b),.(glb, a (b)), = = (Hwla, a ( a ) ) , ' ( H , lb, a (b)), = 1.

Da es nach [18] S. 75 zu jeder Ordnungsfunktion yon 7/eine .~quivalente gibt, die die 1. Eigenschaft der Ordnungsfunktion 0c~aus dem Beweis yon (6.2) hat, ersieht man noch aus dem Beweis yon (6.2) (6.3) Es seien w e s ~w eine Ordnunosfunktion yon (D '~, R" u 15~) und ~,, fl~ zwei Ordnungsfunktionen yon 1-1, die zwei Fortsetzungen yon aw induzieren. Dann sind ~ und ft, iiquivalent. Jeder Ordnungsfunktion von B (7/, 9 ) lal3t sich vermSge (V3) eine Trennrelation [, [,] zuordnen. Nach w 5 ist [, 1,] eine Halbordnung. (6.4) Zu jeder Halbordnun9 [, ] ,] yon B (1-1, 9 ) gibt es eine Ordnunosfunktion ~, die [, I,] mduziert und selbst durch eine Ordnunosfunktion ~, yon 7/ #zduziert wird. Beweis. Da jede affine Ableitung von B (H, s desarguesseh ist, gibt es nach (5.7) zu jedem Punkt a e P eine Zwischenrelation ( ] , ) ~ von

Anordnungsfragen in Benz-Ebenen

241

(s R ~ u (5a) mit der Eigenschaft, dab fiir (a, b, c, d) e (D,4). mit a # b gilt (b[c, d~a = [a, blc, d]. Daher ist im Fall tier Ordnung 4 die Halbordnung trivial (vgI. [29]). Wir k6nnen also voraussetzen, daB die Ordnung o gr6Ber als 4 ist. Es sei w e P. Zu ~1 ,)~ gibt es eine normale Ordnungsfunktion ~t,, yon (s R ~ u (5~), die (I ,)w gemaB (Vl *) induziert (vgl. w4). ctw15J3tsich nach (6.5) zu einer Ordnungsfunktion ~ von B (//, 9 ) fortsetzen, die yon einer Ordnungsfunktion ~q yon H induziert wird. Es sei [, [,]' die mit Hilfe yon ~t nach (V3) definierte Halbordnung. Fiir (w, x, y, z) e (~D'4)* mit w ~ x gilt [w, x[y, z] = ~xly, z)w = (Wly, z). 9(L[y, z) = [w, x[y, z]', wobei W, L e R mit W r~ (wxy) = {w}, L c~ (wxy) = = {w, x} sind. Da es wegen o ~ 5 zu (a,b, c,d)~(~D'4) * mit a # b und a r [w] r Kette fl von Beriihrtransformationen mit dem Grundpunkt a gibt, so dab fl (b), fl (c), fl (d) ~ [w] gilt, folgt damit wegen T3 und "1"2, daB [, [,] [, [,]'

gilt. Aus (6.4), (5.8) und (6.3) folgt (6.5) Zujeder Ordnungsfunktion ot yon B (H, ~ ) gibt es eine Ordnungsfunktion ot~ yon II, die r g em~B (V4) induziert. Sind ~ und fl zwei ~quivalente Ordnungsfunktionen yon B (II, s so sind die sie induzierenden Ornungsfunktionen ~ und fls auch ~quivalent. Wegen (6.4), (5.8), (6.5) und [29] gilt fcrncr (6.6) Jeder Halbordnung yon B (II, 9 ) entspricht umkehrbar eindeutig eine Halbordnung X des Koordinatenki~rpers yon II. Da die affincn Untercbencn von B (//, s wcgcn (5.2) wie in [24] (2.1) zeigcn:

allc dcsarguessch sind, laBt sich

(6.7) Jede Ordnungsfunktion ~ yon B (H, 9 ) ist fiir jedes w e ID' zu einer (w)-normalen Ordnungsfunktion ct' dquivalent. Ebenso wic in [23] crgibt s ch (6.8) Eine Ordnungsfunktion ~ yon B (II, ID), die (lurch eine Ordnungsfunktion ct~ yon II induziert wird, ist genau dann (w)-normal, wenn fiir die Tangentialebene Hw im Punkt w gilt: W

Fiir aIle a, b e s

Als Folgerung r

gilt (H~la, b), = 1.

wir

(6.9) Die durch eine Ordnungsfunktion oe, yon II induzierte Ordnungsfunktion yon B (/-/, i3) istgenaudann normal, wennfiiralle w ~ s W erfiillt ist. In [24] sind Bcispiele yon miquelschen und damit ovoidalen MSbius-Ebenen

242

H.-J. Kroll

mit normaler Ordnungsfunktion und solche mit nicht-normaler Ordnungsfunktion angegeben worden. Fiir ovoidale Minkowski-Ebenen gilt (6.10) Es sei B (1-1, 9 ) eine Minkowski-Ebene. Dann ist jede normale Ordnungsfunktion yon B (11, SD) trivial. Beweis. Nach (6.5) gibt es eine Ordnungsfunktion ~ von 11, die ~ induziert. Nach [10] ist D ein einschaliges Hyperboloid von 11. Es sei G eine Erzeugende yon s und a, b, c, d e G mit a, b ~ c, d. Dann gibt es Tangentialebenen A, B an I3 mit a e A, b e B, aber G ~ A, B. Wegen (6.9) gilt dann [a, blc, d]~ : = : = (Alc, d)~.(Blc, d), = 1; d.h. die durch ~ auf G induzierte Trennrelation [, I ,], ist trivial. Nach [29] ist 0c~daher zur trivialen Ordnungsfunktion v o n / / ~quivalent, folglich 0t trivial. In den folgenden Aussagen betrachten wir ovoidale Laguerre-Ebenen. (6.11) Es sei B (11, 9 ) eine Laguerre-Ebene und ~ eine Ordnungsfunktion yon 11, zu der es eine Ebene S mit S c~ s = {s} gibt, so daflfiir alle a, b e D' mit a e [b] gilt (Sla, b)~ = 1. Weiterhin sei ~ die gem?ifl (V4) induzierte Ordnungsfunktion Dann gilt: O L Fiir alle Kreise A t, A 2, B 1, B s e R und alle Punkte ai, bt, ct, dl e As mit a,, b, e B, undc,, as ~ B, (i = 1, 2) sowie a, e [as], bl e [bs], cl e [cs] und d 1 e [d2] gilt (Bttc 1, all) = (B21cs, ds). Beweis. Ftir die Ebene E = [a2] w [b2] v o n / / g i l t (Btlcl, dl), = (Elcl, dl), und (B21cs, ds), = (Elcs, ds), sowie (Elcl, c2), = (Sic1, c2), = 1 = (Sldl, d2), = = (elan, aD,. Damit folgt (Bdcl, dt) = (Elcl, d~), = (EIc~, cD, (elcs,aD,9(Elds, d D , = (Sslc2, dD.

(6.12) Es sei B (1I, s eine Laguerre-Ebene. Fiir jede Ordnungsfunktion o~ yon B (11, ~3) sind folgende Aussagen aquivalent: (a) ~ ist aquivalent zu einer normalen Ordnungsfunktion. (b) ~ ist fastnormaL (c) Es gibt einen Kreis K e ~, so daft flit alle A, B e R mit IA c~ KI = IB c~ KI = 1 und alle c, d e K \ ( A v B ) g i l t (Alc, d) = B I c , d). Beweis. (b) folgt aus (a) und (c) aus (b). Es sei nun (c) vorausgesetzt. Nach (6.5) gibt es eine Ordnungsfunktion ~, yon 11, die ~ induziert. Nach [18] S. 75 diirfen wir annehmen, dab es eine Ebene S von /I mit S c~ ~ = {s} gibt, so dab (Sla, b) = 1 fiir alle a, b e 9 ' gilt. Es sei k e K ein fester Punkt des Kreises K. Fiir x e s sei x' : = Ix] n K. Auf ~3' definieren wir wie folgt eine Belegung

l} "Ix ~ (Tlk, x'), wobei T e R mit lT c~ K[ = I u n d k, x' ~. T ist.

Anordnungsfragen in Benz-Ebenen Wegen (c) ist "~" wohldefiniert.

243

Die O r d n u n g s f u n k t i o n ct', definiert durch

(AIx, y )': = (AIx, y);c) ist normal, denn fiir A, B ~ ~ mit IA n BI = 1 u n d a, b e A \ B sowie T, U e ~ mit IT n K I = 1, k , a ' , b ' ~ T und U u A = = [Tn

K ] n Agilt wegen (6.11) und (c)

(Bla, b)' = (Bla, b) (Tlk, a') (TIk, b') = (Bla, b) (Tla', b') = = (Bla, b).(Ula, b) = 1 Aus d e m Beweis yon (6.12) ergibt sich, dal3 (6.12) auch im Fall nichtovoidaler Laguerre-Ebenen gilt, wenn m a n fiir die O r d n u n g s f u n k t i o n die Eigenschaft O L fordert.

w Beziehungen zwischen der geometrischen Anordnung einer miqueischen Benz-Ebene und der algebraischen Anordnung des zugehiirigen Koordinatenkiirpers Bevor wir uns den Ordnungsfunktionen zuwenden, beweisen wir den Hilfssatz

in miquelschen

(7.1) Es sei 1I = (P, 15) eine projektive Ebene, s

Benz-Ebenen

ein 4-pascalsches OvaP ~

undct eine Ordnungsfunktion yon 11. a) Fiir alle S, T e l 5 mit I S n s oilt (S[a, b) = (Tla, b).

-- I T n s

-- 1 und alle a, b e s

T)

b) Wenn (P, t5) desarguessch ist, so #ilt fiir alle a, b, c, d ~ s mit a, b W- c, d und A , B , C , D e 1 5 n i t A n s = {a}, B n s = {a,b}, C c ~ s = {c} und D n ~ = {c, d}: (Alc, d) (BIc, d) = (Cla, b) (Dla, b). Beweis. a) Wir k/Snnen S 4: T und a :~ b annehmen. Es seien s : = S n s t : = T n s G : = a, b, s ' : = G n S und t ' : = G n T. D a s ein 4-pascalsches Oval ist, liegen die drei P u n k t e T n S, a, s n b, t u n d b, s n a, t a u f einer G e traden H (Fig. 6). Es sei h : = H n G. D a s P r o d u k t der Perspektivit~iten tr:G ~ H mit d e m Zenr u m s und ~: H ---, G mit d e m Z e n t r u m t fiihrt die P u n k t e h, s', a, b fiber in die P u n k t e h, t', b, a. N a c h [28] S. 116 gilt daher (Hla, b) (Sla, b) = = (Hlb, a). (Tlb, a), also (Sla, b) = (Tla, b). b) O h n e Einschr~nkung k/Snnen wir annehmen, d a b a, b, c, d vier verschiedene P u n k t e v o n ~ sind. Es seien E ~ 15 mit E n s = {d}, e : = a, d n b, c, f : = a, c n b, d sowie g : = C n E. D a s ein 4-pascalsches Oval ist, gibt es eine G e r a d e F e 15 mit e,f, g e F(vgl. Fig. 7). Es seien a ' : = A n D, s: = D n B u n d c ' : = B n C. D a s ein 4-pascalsches Oval ist, sind s, e, A n C kollinear, xT) Ein Oval 9 heil3t 4-pascalsch, wenn der folgende Spezialfall des Satzes yon Pascal gilt: Sind a, b, c, d vier verschiedene Punkte von s und A bzw. B die Tangente an s in a bzw. b, dann sind die Punkte A n B,a,c n b,d,b,c n a,d koUinear (vgl. [1] S. 94).

244

H.-J. Kroll

f

Fig. 6

\ ~ ' ~\\\\ \\\\ \ \ \

••///

\\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \

/ / / .-

/

\\ \\ \

1I

\ \ \ \

\

\1

,

\ g Fig. 7

,4,

~

G"

Anordnungsfragen in Benz-Ebcnen

245

d.h. die Dreiecke (a', d, a) und (c', b, c) liegen axial. Da (P, ffi) desarguessch ist, folgt daher f e a', c'. Die Perspektivit~t Q:D ~ B mit dem Zentrum f ftihrt daher die Punkte a', s, c, d iiber in die Punkte c', s, a, b. Nach [28] S. 116 gilt daher (AIc, d) (BIc, d) = (Cla, b) (Dla, b). Im folgenden sei B (K, Q) eine miquelsche Benz-Ebene tiber dem kommutativen K6rper K und der quadratischen Form Q (vgl. w 1) und ~D = {K*(xo, xl, x2, xz) e (K4)*/K*; Q (x 1, x , ) - x 3 Xo = 0} das im ersten Paragraphen angegebene Quadroid aus dem projektiven Raum 1-1 = (K4)*/K *. Wie in w 6 wollen wir voraussetzen, dab die Ordnung yon B (K, Q) gr6B er als 2 und im Fall ffi # O gr6Ber als 3 ist. Bevor wir jetzt eine Vorschrift zur Definition einer Ordnungsfunktion yon B (K, Q) angeben definieren wir die folgende Abbildung (vgl. w 1): RxP

~ K

eQ(pl,P2)+api+bp2+c, falls p o:

= (PI,P2)

8, f a l l s , = 0 u n d p = ~oder,= 1, w1 = w 2 und p = ( ~ , 0 ) oder ~= 1, wt + w2 ((e, a, b, c), p) -o und p = ( ~ , Go) a + bWl + epa, falls p = (oo, Pa) und P3 4= 0 bei wi = w2 a+bw2+eps, fallsp = (P3, oo)

Ftir p e P und C e R gilt p e C genau dann, wenn Cop = O. Jeder Halbordnung g des K6rpers K wird mittels der Vorschriften (V5) und (V4) aus w 6 eine Ordnungsfunktion .z yon B (//, ~D) zugeordnet. Die Ordnungsfunktion .z lfiBt sich durch die stereographische Projektion ~ yon u = K*(0, 0, 0, 1) aus auf B (K, Q) iibertragen. Da ~z wegen der in (VS) gewfihlten Normierung (u)-normal ist, erhalten wir damit den ersten Tell yon (7.2): ('/.2) Es sei u = oo, (oo, O) oder (co, oo) je nachdem ob B (K, Q) eine M~bius-, Laguerre- oder Minkowski-Ebene ist. Mit jeder Halbordnung Z des Kiirpers K l~flt sich aem?ifl der folaenden Vorschrifl (V6) eine (u)-normale Ordnunasfunktion definieren : (V6) Fiir C e R, p, q e P \ C sei (CIp, q) = x(Cop) x(Coq). Umgekehrt induziert jede (u)-normale Ordnungsfunktion ~ nach der folgenden Vorschrift (V7) eine Halbordnung Z yon K: (V7) Fiir x e K* sei Z (x) = (C[(I, 0), (x, 0)), wobei C = (0, 1, O, O) ist. Die zweite Aussage von (7.2) folgt nach [18] S. 76, da zur Definition der Halbordnung Z nur die normale affine Ordnungsfunktion ~u verwendet wird (vgl. [24] S. 100). Wenn man auf eine Halbordnung Z die Vorschriften (V6) und (V7) nacheinander anwendet, so erh~It man die gegebene Halbordnung X (vgl. [24], S. 100).

246

H.-J. Kroll

Wegen (6.7), (7.2), (6.4) und (6.3) erhalten wir damit (7.3) Zu jeder Ordnung~funktion ~ yon B(K, Q) gibt es genau eine Halbordnung Z, so daft die mittels Z gemafl (V6) definierte Ordnungsfunktion aquivalent zu ~ ist. Wir woUen uns jetzt mit den Eigenschaften einer gem~iB (V6) definierten Ordnungsfunktion befassen. Es sei Z eine Halbordnung yon K und ~tx bzw. die mittels der Vorschriften (VS) und (V4) bzw. (V6) definierte Ordnungsfunktion von B (H, s bzw. B (K, Q). Da bei der stereographischen Projektion a die Ordnungsfunktion ~z in ~ iJbergeht, haben ~x und ~ dieselben Eigenschaften. Die mindestens zweielemtigen ebenen Schnitte von D, die Kreise von B (11, D) sind, sind pascalsche Ovale, da s eine Quadrik ist. Wegen (7.1) ist daher jede Ordnungsfunktion von B (11, D), die durch eine Ordnungsfunktion yon 11 gem~13 (V4) induziert wird, fastnormal. Insbesondere gilt daher wegen (7.3) (7.4) Jede Ordnungsfunktion yon B (K, Q) ist fastnormal. Und wegen (6.12) gilt (7.5) Jede Ordnungsfunktion einer miquelschen Laguerre-Ebene B (K, Q) ist iiquivalent zu einer normalen Ordnungsfunktion.

Analog zu [24] (3.2) gilt (7.6) Fiirjede Halbordnung Z yon K und die gemiil3 (V5) in 1I induzierte Ordnungsfunktion o~ sind folgende Aussagen iiquivalent: (a) Z (Q (xt, x2)) = 1 fiir alle (x 1, x2) ~ K x K mit Q (xl, x2) + 0. (b) Fiirjede Tangentialebene Tvon D mit l T n ~ n [u]l ~_ 2 gilt ( Tla, b)~ = 1 ]'fir alle a, b ~ ~ ) ' \ ( T ~) [u]) (c) Es gibt einen Punkt t ~ O \ [ u ] , so daB flit die Tangentialebene T in t gilt: (Tla, b)~ = 1 fiir alle a, b ~ D ' \ ( T u [u]), Fiir die miquelschen M6bius-Ebenen B (K, Q) folgt aus (7.6), dab die gem~tB (V6) durch eine Halbordnung Z von K in B (K, Q) induzierte Ordnungsfunktion genau dann normal ist, wenn z(Q (xl, x2)) = 1 fiir alle (xl, x2) e K• g\{(0,0)} gilt (vgl. [24] Satz (3.4)). Wir betrachten nun den Fall, dab Q den Index, = 1 hat, d.h. dab B (K, Q) eine Laguerre- oder Minkowski-Ebene ist. Es seien wieder wt, w2 ~ K die Lfsungen yon Q(1, y) = 0. Dann gilt Q(x 1, x2) = ( x 2 - Wl xl) ( x 2 - w2 xl). Wenn wl 4:w2 ist, gibt es daher zu jedem c e K ein (Xx,x2)~ K x K mit Q(xl, x~) = c. Also gilt in diesem Fall z(Q (xl, x2)) = 1 fiir alle (Xl, x2)E K x K mit Q(x~, x2) 9 0 genau dann, wenn Z die triviale Halbordnung yon K ist. Zusammen mit (7.5) und (6.9) haben wir damit einen zweiten Beweis fiir (6.10). Es sei nun Wl = w2; d.h. B (K, Q) ist eine Laguerre-Ebene. Fiir jede Halbordnung X yon K gilt in diesem Fall Z (Q (xl, x2)) = z ((x2 - wt xl) 2) = 1 fiir alle (xt, x2) e K x K mit Q (Xx, x2) :t: 0. Es seifdie zu der quadratischen Form

0: (Xo,

x2, x3) -' 9. (xl, x )-Xo

Anordnungs~agcn in Bcnz-Ebcncn

247

geh6rige Bilinearform. Fiir K't, K * r e i 3 mit t = (to, tl, t2, ta) und r = = (Xo, Xl, x2, xa) gilt f ( t , r) = 2 ( x 2 - w I Xl) (t2--W 1 t l ) - - t 0 X a - - X 0 t 3 Da fiir K*t ~ [K*(0, 0, 0, 1)1 = [u] gilt Xo = 0 and x2 = wl Xl, haben wir insbesonderc fiir K*t e [u] und K*t ~ ~ : f ( t , r)) = - to xa. Daher induziert jede Halbordnung X unter Beachtung yon (7.6) mittels der Vorschrift (VS*), die aus (VS) dadurch hervorgeht, dal3 wir fiir allr x e [u]\{u} den Koordinatenvektor r = (0, xt, wt xt, 1) e x anstelle von z' = (0, 1, wl, x71) wiihlen, in dem projektiven Raum H eine Ordnungsfunktion ~*, so dab fiir alle w e ~O die Bedingung W aus (6.8) erfiillt ist. Die Ordnungsfunktionen ~ undct* unterscheiden sich dutch die Belegung I(K*)*/K* -~ { - 1 , 1}/x (xa) falls Xo = 0, x 2 = WlXl, x 3 4:0 /x : [K*(xo, xl, x2, xs) -~ ~ 1 sonst Wegen (6.9) erhiilt man durch Hintereinanderausfiihren der Vorschriften (VS*) und (V4) fiir jede Halbordnung Z eine normale Ordnungsfunktion von B (//, f3). Jeder Halbordnung Z von K lfiBt sich verm6ge der Vorschriften (VS), (V4) und (V3) eine Halbordnung [, [,] der miguelschen Benz-Ebene B (//, 13) zuordnen. Wegen (5.5) und (7.4) gilt TF fiir [, [,]. Da ~ eine Quadrik ist, erfiillt [, [,] wegen (7.1b) die Vertauschungsregel. ~bertr~igt man [, [,] mit Hilfr der stereographischen Projektion auf B (K, Q), so erhiilt man diejenige Trennrelation, die sich nach (V6) und (V3) ergibt. Andererseits lfiBt sich mit Hilfe des Doppelverhfiltnisses in der zu B (//, ~ ) isomorphen Ebene [3 (92, K), wobei 92 = K [x]/(Q (1, x)) ist (vgl. w 1), jeder Halbordnung • wie folgt eine Trennrelation [, [,]' zuordnen (vgl. [31): (V8) Ist (a, b, c, d) ein konzyklisches Punktequadrupel mit a, b # c, d, so sei [a, bit, d]' := Z (Dr (a, b, c, d)). (7.7) Jede nach (VS) definierte Trennrelation yon B (92, K) ist eine Halbordnun 0 yon [3 (~, K), die TF und die Vertauschunasreael erfiillt. Beweis. Aus den Rechenregeln Dv(a,b, c, d).Dr (a,b, d, e). Dv (a, b, e, c) = 1o Dv (a, a, c, d) = 1 und Dv (a, b, c, d) = (Dr (b, a, c, d)) -1 = Dv (c, d, a, b) folgt sofort die Giiltigkeit yon TO, T1, TF und der Vertauschungsregel. T2 und T3 folgen aus 0.5). Im folgenden sei {z, 1} eine Basis yon 9.I mit z 2 - r z + q = 0. Nach w 1 k6nnen wir den Punkt 1I (~t z + tX2,f l "~+ f2)aus ( ~ x 9.0"/~I mit K*(Q (fit, f2), (~x z+~2) (flit z + f 2 ) , Q (eta, ~2)) aus ~3 = (Kx ~ x K)*/K* identifizieren. Es gilt dann

248

H.-J. Kroll

(7.8) Ffir jede Halbordnung Z des K6rpers K sind die gemafl (V8) bzw. (V5), (V4) und (V3) definierten Trennrelationen der miquelschen Benz-Ebene B (II, s g leich. Beweis. Es sei [, I,]' bzw. [, I,] die gem~tl3 (V8) bzw. (V5), (V4) und (V3) definierte Trennrelation. Wegen T3, TF und (5.9) geniigt es zu zeigen, dab [, 1,], und [, I,] anf dem Kreis C = {H(~, 1); 4 ~K} u {H(1, 0)} iibereinstimmen. Es seien also a, b, c, d e C mit a, b # c, d. Wegen T1 und der Vertauschungsregel k6nnen wir annehmen, da$ a = H (I, 0) ist. Es seien b = H (fl, 1). c = H (?, 1) und d = H (g, 1). Es gilt dann Dv (a, b, c, d) = (t~-fl)(7-fl) -1, also [a, blc, d]' = Z (g-fl) X (7-fl). Die Ebene L : = {K*(~o, 4~ 9 + 42, 43) e (K x ~ x K)*/K*; 42 - fl = 0} v o n / / geht durch a = K*(0, 0, 1) und b = K*(1, fl, f12), abet nicht durch c = = K*(1, 7, ?2) und d = K*(1, g, 62). Da die gem~B (VS) und (V4) definierte Ordnungsfunktion (a)-normal ist, gilt damit nach (V3): [a, blc, d] = = X (?-fl) X (6-fl). Also gilt [a, blc, d]' = [a, blc, d]. Aus (6.4), (7.8) und (7.7) folgt: (7.9) Jede Halbordnung einer miguelschen Benz-Ebene genfigt TE. Wfihrend jeder kommutative K6rper K als Koordinatenk6rper sowohl einer miquelschen Laguerre- als auch Minkowski-Ebene auftritt, gibt es K6rper (z.B. die komplexen Zahlen C), die nicht Koordinatenk6rper einer miquelschen M6bius-Ebene sind (vgl. w 1). Ftir kommutative K6rper mit nicht-trivialer Halbordnung gilt jedoch (7.10) Jeder kommutative K6rper K, der eine nicht-triviale Halbordnung Z besitzt, ist Koordinatenk6rper einer miquelschen M6bius-Ebene. Beweis. Da X eine nicht-triviale Halbordnung des K6rpers K ist, gibt es ein n e K* mit Z (n) = - 1, also n e K * \ K t2) 18). D a n ein Nichtquadrat und n 4:0 ist, hat die quadratische Form Q: (x, y) --, y 2 nx2 den Index t = 0. Also ist B (K, Q) eine M6bius-Ebene. Da nach [2] S. 295 jeder kommutative K6rper K mit K t2) # K* eine nichttriviale Halbordnung besitzt, folgt aus (7.7) (7.11) Jede miquelsche M6bius-Ebene B (K, Q) fiber einem K6rper K mit char K # 2 besitzt eine nicht-triviale Halbordnung [, [ ,]. Da ftir alle endlichen K6rper K mit char K = 2 gilt K t2) = K*, gibt es miquelsche M6bius-Ebenen, die nut die triviale Halbordnung besitzen.

,s~ Kt2) :,~ {xZ;

x~K*}.

Anordnungsfragen in Benz-Ebenen

249

w 8. Spezielle and voile Anordnungen Es seien (P, 15, ~) eine Benz-Ebene, deren Ordnung gr613er als 2 ist, und [, I ,] eine Halbordnung yon (P, 15, R). Fiir (a, b, c, d) e (p4). mit a 4: b, c 4: d bezeichne Z (a, b, c, d) die Anzahl der Werte [a, blc, d], [a, c[d, hi, [a, dlb, c], die = - 1 sind (vgl. [28], [18]). [, I ,] heiBt harmonisch bzw. anharmonisch, wenn fiJr alle (a, b, c, d) e (e4). mit a 4: b,c 4: d gilt Z ( a , b , c , d ) e { 1 , 3 } bzw. Z ( a , b , c , d ) e { 0 , 2 } . Wenn fiir a e P die affine Ableitung (pa, Ra u 15") desarguessch ist, so gibt es nach (5.7) eine Zwischenrelation (I ,)o mit der Eigenschaft, dab (blc, d), = = [a, blc, d] fiir alle b, c, de P\[a] mit (a, b, c, d ) e (P')* gilt. Es gilt daher entweder Z (a, b, c, d) ~ {1, 3} fur alle b, c, d, ~ P \ [a] mit c+-d und (a,b,c, d) e ( p 4 ) , oder Z ( a , b , c ; d ) e { O , 2}ffar alle b,r mit c ~ d u n d (a,b, c, d)e(P4) * (vgl. [28] S. 128, [181 S. 84). Fiir (w, x, y, z) e (p4), mit w r [a] und w v~ x,y, z gibt es - - i m Fall 15 r O unter der Zusatzvoraussetzung, dab die Ordnung gr613er als 4 i s t - eine Kette fl von Beriihrtransformationen mit dem Grundpunkt w, so dab fl (x), # (y), fl (z) r [a] gilt. Wegen T3 und 1"2 gilt daher Z (w, x, y, z) e {1, 3} genau dann, wenn fiir b, c, d e P \ [ a ] mit c ~ d und (a, b, c, d) e (p4). gilt Z(a, b, c, d)e {1, 3}. Da die affine Ebene der Ordnung 4 nur die triviale Zwischenrelation besitzt erhalten wir damit (8.1) Wenn eine affine Ableitun 9 yon (P, 15, R) desar#uessch ist und die Ordnuno (m Fall 15 ~ 0 9r613er als 3 ist, so ist jede Halbordnung [, I ,] yon (P, 15, R) harmonisch oder anharmonisch. Analog zu [18] Satz 6 gilt (8.2) Es seien a e P und [, I ,] eine Halbordnuno yon (P, 15, R). Wenn fiir alle b,c, d e P \ [ a ] mit c # d und (a,b,c,d)~(P4) * gilt Z ( a , b , e , d ) > 2, so ist (P, 15, R) die miquelsche Benz-Ebene der Ordnung 3 oder 5. Beweis. Es seien b, c, d e P\[a] mit c ~ d und (a, b, c, d) e (p4),. Ohne Einschrankung k6nnen wir [a, blc ,d] = [a, cld, b] = - 1 annehmen. Fall 1. [a, d16, c] = 1. Fiir e e (abc) mit e :~ a, b, c, d gilt dann [a, alb, e] = = - 1 nach T1. Gabe es el, e2, e3 e (abc)\{a, b, c, d} mit el 4:e2 4:e3 4: el so ware fiir {i,j, k} = {1, 2, 3} nach T1 stets [a, elles, ek] = 1 im Wiederspruch zu Z (a, el, e2, e3) > 2. Fall 2. Aus [a, dlb, c] = - 1 folgt wegen T1 wie im Fall 1, dab gilt.

I(abc)l <=6

Die Ordnung von (P, 15, R) ist also h6chstens 5. Nach [9] ist (P, 15, R) damit miquelsch. Wegen (5.7) ist daher nach [181 Satz 6 die Ordnung von (P, 15, R) entweder 3 oder 5.

250

H.-J. Kroll

Jede harmonische Halbordnung [, I ,] mit Z (a, b, c, d) = 1 fiir alle (a, b, c,d) e e (P+)* mit a :1: b, c + d heil3t voile Anordnung. Wie (4.1) in [24] zeigt man (8.3) Jede volle Anordnung [, I,] mit der Eigenschaft TF erfiillt die VertauschungsregeL Zusammen mit den Ergebnissen aus w 6 und w 7 folgt (8.4) Es sei B (1I, s eine ovoidale Benz-Ebene. Jede voile Anordnung des Koordinatenk6rpers K yon 1-I induziert in B (11, s gemafl (V5), (V4) und (V3) eine voile Anordnung, und umgekehrt induziertjede voile Anordnung yon B (11, 9 ) in K eine voile Anordnung. (8.5) Es sei B (K, Q) eine Benz-Ebene fiber dem K6rper K und der quadratischen Form Q. Jede voile Anordnung yon K induziert gemal3 (V6) und (V3) eine voile Anordnung yon B (K, Q), und umgekehrt induziert jede voile Anordnung yon B (K, Q) eine voile Anordnung in K. Jede voile Anordnun# yon B (K, Q) geniigt TF.

w 9. Eine Kennzeichnung der euklidischen Benz-Ebenen Jede miquelsche Benz-Ebene B (K, Q), bei der der Koordinatenk6rper K ein euklidischer K6rper 19) ist, heiBt euklidische Benz-Ebene. (9.1) Es sei B (K, Q) eine miquelsche Benz-Ebene mit sagen sind iiquivalent:

IKI > 3. Folaende Aus-

(a) B (K, Q) ist eine euklidische Benz-Ebene. (b) B (K, Q) besitzt eine harmonische Halbordnun# [, I ,] mit den Eigenschaften TF und

S Wenn a, b, c, d, d' fiinf verschiedene konzyklische Punkte und A, C' zwei Kreise sind mit a, b e A, c, d' e C' und A c~ C' = 0 sowie [a, blc, d] = = - [ a , blc, d'], so gilt A c~ C ~ Ofiir alle Kreise C e R ( c , d ) . Beweis. 1. Es sei K ein kommutativer K6rper mit char K :1: 2, Q (x, y) = = qx2+y2e K Ix, Y] eine quadratische Form, deren Index hfchstens 1 ist und 92 = K [y]/(Q (1, y)). Weiterhin sei {fl, 1} eine Basis von 92 mit q+fl2 = O. Dann gilt fiir ~ = r fl+r e 92: ~- = - 4 1 fl+r und ~ = Q ( ~ , r (vgl. w 1). Es seien a, b, c, d vier verschiedene konzyklische Punkte der Benz-Ebene B (92, K) und A, C zwei Kreise mit a, b e A, c, d~ A und c, d e C sowie a, b ~ C. Dann gibt es a, b e (92 x 92)*, c5e K*\(1}, ct = fl+~2, ~ = fl+~2 e l t \ K 19~ Unter einem euklidischen K6rper K versteht man einen kommutativen K6rper K, der eine voile Anordnung Xbesitzt, so dab jedes Element a yon K mit Z (a) = 1 ein Quadrat in K ist.

Anordnungsfragen in Benz-Ebenen

251

mit a = lla, b = lib, c = li(a+b), d = li ( ? a + b ) und A = {1I (2~a+b); 2 ~ K} u {a} sowie

C = {11(27 ( a + b ) + 6 a + b ) ; Z e K }

w {c}.

Wir wollen jetzt notwendige und hinreichende Bedingungen dafiir angeben dab A und C sich schneiden. Es gilt A c~ C # O r

3 2 e K mit 1I (23,+6) a + ( 2 ? + l ) b ) e A

32 ~ K mit Dv (a, b, li (~a+b), li ((47+6) a+(23,+ 1)b)) = = (43,+6) (2?+ 1)-I .0r I ~ K r

~ K mit (43,+6) (43,+ 1).2 = (22?~+6) 2 + 2 (3,+6y-) ~ e K

r ~ K mit 0 = (22Q (1, 3,2)+6) ( - 1)+4 ((1-6) a 2 - ( 1 +6) 3,2) ~ ( 1 - 6)2ct2 + (1 + 6)23,2 - 2 (1 - 6) (1 + 6) ct2 ?2 - 46 (q + 3,2) = = (1 - 6) [(~2 - ?2) 2 -- 6 (0t2 + 3,2) 2] -- 46q

~

K (2) k) (0}.

Mit

S (6. ~2, ?2) := (1-6) [(~2-?2)2-6 (~2 +3,2) 2] -46q gilt also 1)

A c3 C ~ 0 r

S (6, ~t2, ?2) r K(2) u {0}

und insbesondere IA n CI = 1 r

S (8, ~2, ?2) = 0.

2. Es sei B (K, Q) eine euklidische Benz-Ebene. Dann ist ohne Einschrankung Q ( x , y ) = qx2+y 2 mit q = 1 oder = 0 oder = - 1 , je nachdem ob B (K, Q) eine M?bius- oder Laguerre- oder Minkowski-Ebene ist. Als euklidischer K6rper besitzt K genau eine nicht-triviale Halbordnung, n~imlich die voile Anordnung Z. Diese induziert naeh (8.5) in B (K, Q) eine voile Anordnung [, I,], die TF geniigt. Also besitzt B (K, Q) eine harmonische Halbordnung [, I,] mit der Eigenschaft TF. Um die Eigenschaft S nachzuweisen betrachten wir statt B (K, Q) die isomorphe Ebene B (92, K) mit 92 = = K[y]/. Es seien a, b, c, d, d' fiinf verschiedene konzyklische Punkte und A, C' zwei Kreise mit a, b ~ A, c, d' e C' und A c~ C' = O sowie [a, blc, d] = - [a, blc, d']. Wie im 1. Abschnitt gibt es a, b e (92 x 92)*, 6 , 6 ' e K * \ { 1 } und 0t = fl+0~2, ? ' = f l + y ; e l i k K mit a = lia, b = lib, c=U(a+b), d=li(Sa+b), d'=R(f'a+b) und A = {li(2~a+b); 2 e ~ K } w { a } sowie C ' = {li(2?'(a+b)+8'a+b); 2 K}u{c}. Wegen (7.8) gilt [a, blc, d] = Z (Do (a, b, c, d ) ) = Z (8) = - [ a , blc, d'] = - Z (6'). 1. Fall: q e{ I, 0}. Wenn Z (6) = - 1 ist, so gilt S(6, ~2, ?2)~ KC2) fiir alle 9 2, 72 ~ K, falls q = 1 ist, und S (6, ~2, ?2) e K(2) fiir alle %, ?2 e K*, falls q = 0 ist 2~ Wegen (1) gilt also: 2o~ ~

= ~2 = 0 ~ # + a 2 , # §

r

252

H.-J. Kroll

Wenn Z (6) = - 1 ist, so wird jeder Kreis durch a, b von jedem Kreis durch c, d geschnitten. Aus A ra C' = 13 folgt also X (6') = 1 und damit ;((6) = - 1, also gilt A n C # O fiir alle C e R (c, d). 2. Fall: q = - 1. Fiir alle ~, a, z e K mit ~ # 0, 1 und a, z 4= I, - 121) gilt

(2)

S(~, a, z) _~ S(~, a, (1 + 0 (1 - O'la) = 4~ (1 - a 2 ) 22).

Aus A ra C' = O folgt X (S (6', ~2, ~ ) = - I, also gilt nach (2) X (~'(1 -~22)) = = - 1. Wegen X (6) = - X(6') folgt daher X (6 (1 _~2)) = 1, also S (~, ~2, ~2) > > 0 fiir alle ~2 E K\{1, - 1 } nach (2). Wegen (1)gilt also A n C 4= O fiir alle C ~ ~ (c, d). 3. B (K, Q) besitze eine harmonische Halbordnung [, I ,] mit den Eigenschaften TF und S. Nach (6.6) lfiBt sich [, [,] durch eine Halbordnung X yon K induzieren. Da [, ],] harmonisch ist, gilt X ( - 1 ) = - 1 nach [18] S. 84, insbesondere also char K # 2. Wegen [K] > 3 gilt damit IKI > 7. Wegen char K # 2 k6nnen wir Q (x, y) = qx 2 +y2 annehmen. Es sei wieder 9.I = K [ y ] / ( Q (1,y)). Es seien a, b, c drei verschiedene Punkte und a, b G(~xgA)* mit a = lIa, b = llb und c = 1I (a+b). a) Es sei q # 0. Dann gilt f l e l I \ K . Es sei A : = {ll (2fla+b); 2 ~ K } w {a} Fiir 6 e K * \ { 1 , - 1 } sei d : = 1I (6a+b) und d' : = l I ( - 6 a + b ) . Es gilt a, b, c # d, d'. Wegen (7.8) gilt fiir t5 e K * \ { 1 , - 1 } : [a,blc, d] = X(O) = - X ( - 6 ) = - [ a , bit, d'].

Wegen S gilt also A t~ C 4= O fiir alle C ~ R (c, d) oder A c~ C' 4= 0

fiir alle C ' ~ R (c, d').

Da {l[ (Aft ( a + b ) + 6 a + b ) ; 2 e K} w {c} e R (c, d) und {U (Aft ( a + b ) - ~ a + b ) ; 2 e K} u {c} e R (c, d'), gilt also wegen (1) S (5, 0, 0) = - 4~q ~ K (2) oder S ( - t~, 0, 0) = 4fiq E K (2). Da Z ( - 1) = - 1 und damit - 1 ~ K (2) gilt, ergibt sich:

a, f l + c r e l I . ~ r

1,-1.

22) Fiir x, y ~ K sei wie iiblich definicrt: x > y *~ Z (x--.l,) = I.

Anordnungsfragen in Benz-Ebenen

253

Es gilt entweder - 6q e K (z) oder 6q e K (2), insbesondere gilt also entweder - q e K (2) oder q ~ K (2), da Kt2)\{1} # O wegen IKI ~ 7 gilt. Daher gilt fiir 3 ~ K* entweder - 6 ~ K (z) oder 6 e K (z) und ohnr Einschrgnkung q = - 1 oder q = 1. Es sei nun 6 e K* mit X O) = 1 und 6 # qx (q). Dann gilt 6q -I 4: 4= 1, - 1 . Da S(6q -1, 0, 0) = - 4 6 und damit S(6q -1, 0, 0) r K ~2) w {0} gilt, gilt wegen S and (1) fiir alle 7 e K mit f l + ? ~ lI

S ( - 6 q -1, O, 7) = (1 +3q-1)z72 +46 e g c2) w {0} also insbesondere S ( - 6 q -~, 0, 2 (1 +6q-~) -1) = 4 (1 +6) ~ K (2), falls q = - 1 und 6q -~ # - 3 ist oder q = 1 gilt. Da im Fall q = - 1 fiir 6 = - 3 q gilt 6+1 = 4 e K (2), gilt fiir alle 6 e K * mit X ( 3 ) = 1 und 6 # x ( q ) q also z ( l + 6 ) = 1. Es sei nun 6 e K * mit X (6) = 1 und 3 = X(q)'q. Da ]KI _--- 7 ist, gibt es 6 ' e K mit ~ ( 6 ' ) = 1 und 6 ' # x ( q ) q, also x ( l + 3 ' ) = 1. Dann gilt 6(1+3')=6+36'#6 und daher 6 ( i + ~ ' ) # z(q)'q. Wegen Z ( 6 ) = = 7~(1+~') = I gilt damit ; ( ( I + 6 ( 1 + 3 ' ) ) = 1. Da 1 + 3 ( t + 6 ' ) # 63" wegen 3 # - 1 ist, folgt weiterhin 1 = Z (1 + 6 ' - 1 ( 1 + 6 (I +6'))). Da 1 +6'-~(1 +6 (1 +6')) = 3'-1(6'+ 1) (6+ 1) gilt, folgt daher X (6 + 1) = 1 wegen X (~') = X (6' + 1) = 1. Da X ( - 1) = - 1 und fiir 6 e K* entweder - 6 e K (2) oder 6 e K (2) gilt, folgt damit, dab 6 ~ K (2) ftir 3 ~ K* mit X (6) = 1 gilt und X eine volle Anordnung ist. b) E s s e i q -- 0. D a n n g i l t ~ : = f l + l e II~K. E s s e i A : 2 e K} u {a}

= {lI(2ga+b);

FiJr 3 ~ K*\{1, - 1 } sei d : = lI (6a+b) und d' : = 1I ( - 6 a + b ) . Es gilt a, b, c # d, d'. Wie in Teil a) gilt [a, blc, d] = - [a, blc, d']. Wegen S und (1) gilt daher fiir 3 e K * \ { 1 , - 1 } : S(6, 1, y) = ( 1 - 6 ) [(1 - ? ) 2 - 6 (1 +7) 2] e K (2' u {0} fiir alle ? e K* oder S ( - 5 , 1, r) = (1 +6) [(1 - ? ) 2 + 6 (1 +?)2] ~ K(2) u {0} ffir alle ? e K*. Also gilt

S(6, 1, 1) = - 4 6 ( 1 - 6 ) e K (2) und S(6, I, - 1 ) = 4 ( 1 - O ) e K t~) odor S ( - 6 , I, 1) = 46 (1+3) e K(Z) und S ( - 6 , 1, - 1 ) = 4 ( 1 + 6 ) r Damit gilt entweder - 6 ~ K (2) oder 6 ~ K (z). Also folgt 6 ~ K ~) ftir alle 6 ~ K* mit X(6)= i, da X ( - 1 ) = - I .

254

H.-J. Kroll

Es sei 6 e K * \ { 1 } mit X ( 6 ) = 1. Wegen t ~ e K (2) u n d S ( 6 , 1 , 1 ) = =-46(1-6) ar S ( 6 , 1 , - 1 ) = 4 ( 1 - 6 ) 4: 0 sowie X ( - I ) = -1 gilt S ( 6 , 1, 1 ) r r u {0} oder S ( 6 , I, - 1 ) r r w {0}. D a m i t gilt also 8 ( - 6 , 1 , - 1) = 4 (1 + 6 ) e K ~2), also 1 + 6 e K ~2). Fiir alle 6 e K * \ { 1 } mit X (6) = 1 gilt daher X (1 + 6 ) = 1. X (2) = I folgt nun wie in a) u n d damit, dab auch in diesem Fall K euldidischer K 6 r p e r ist. (9.2) Fiir miquelsche M6bius- und Laouerre-Ebenen, deren Ordnun9 gr6Ber

als 3 ist oilt: Eine harmonische Halbordnuno [, ] ,] erfiillt 9enau dann S, wenn gilt S' Es seien A, Ca, C2 Kreise und c, d zwei verschiedene Punkte mit c, d e A und e, d e C1, C2.Wenn A n C 1 = {r bx} mit [al, bl[c, d] = - 1 gilt, so oibt es a2, b 2 e ,4 ~ C 2 mit [a2, b2[c , d] = - 1. D e r Beweis folgt aus (7.9), (9.1), (7.5), Satz (3.4) aus [24] und (5.5). Die Bedingung S' ist im wesentlichen eine Verscharfung von T N u n d geh6rt zu den v o n B. PETKANTSCHIN benutzten T r e n n u n g s a x i o m e n (vgl. [27], S. 129 A10). Literaturverzeichnis

[1] ARTZY,R.: A Pascal Theorem Applied to Minkowski Geometry. J. of Geometry 3 (1973) 93-102. [2] BACHMANN,F. und KLINGENBERG,W. : Ober Seiteneinteilungen in aliinen und euklidischen Ebenen. Math. Ann. 123 (1951) 288-301. [3] BENZ, W.: Axiomatischer Aufbau der Kreisgeometrie auf Grund von Doppelverh~Utnissen. J. reine angew. Math. 199 (1958) 56-90. [4] BENZ, W.: Beziehungen zwischen Orthogonalitats- und Anordnungseigenschaften in Kreisebenen. Math. Ann. 134 (1958) 385-402. [5] BENZ, W.: Ober M6biusebenen. Jber. Deutsch. Math. Verein. 63 (1960) 1-27. [6] BENZ, W. : Vorlesungen fiber Geometrie der Algebren. Berlin-Heidelberg-New York 1973. [7] BENZ, W. und MAURER,H.: Ober die Grundlagen der Laguerre-Geometrie. Ein Bericht. Jber. Deutsch. Math. Verein. 67 (1964/65) Abt. 1, 14-42. [8] CHEN, Y. : Der Satz yon Miquel in der M/Sbmsebene. Math. Ann. 186 (1970) 81-100. [9] CHEN, Y. und KAERLEIN,G. : Eine Bemerkung fiber endliche Laguerre- und Minkowski-Ebenen. Geometriae Dedicata 2 (1973) 193-194. [10] HEISE,W. und KARZEL, H. : Eine Charakterisierung der ovoidalen Kettengeometrien. J. of Geometry 2 (1972) 69-74. [11] HEISE,W. und KARZEL.H.." Symmetrische Minkowski-Ebenen. J. of Geometry 3 (1973) 5-20. [12] HEISE,W. und SEYBOLD,H.: Das Existenzproblem der M6bius-, Laguerre- und Minkowski-Erweiterungen endlicher attiner Ebenen. Sitz. Bet. Bayer. Akad. Wiss., Math.-Nat. KI. (1975)43-58. [131 HOFFMAN,A. J.: On the foundations of inversion geometry. Trans. Amer. math9 Soc. 71 (1951) 218-242. [14] HOTJE,H. : Einbettung gewisser Kettengeometrien in projektive Raume. J. of Geometry 5 (1974) 85-94. 9

/

Anordnungsfragen in Benz-Ebenen

255

[15] JOUSSEN,J.: Ober die projektive Erweiterungsf~ihigkeit affiner Ordnungsfunktionen. Abh. Math. Sere. Univ. Hamburg 26 (1963) 23-38. [16] KAERLEXN,G.: Der Satz von Miquel in der pseudo-euklidischen (Minkowskischen) Geometrie. Dissertation Bochum 1970. [17] KARZEL,H.: Ordnungsfunktionen in nicht-desarguesschen projektiven Geometrien. Math. Zeitschr. 62 (1955) 268-291. [18] KARZEL,H.: Anordnungsfragen in tern~iren Ringen und allgemeinen projektiven und affinen Ebenen. Algebraical and Topological Foundations of Geometry. OxfordLondon-New York-Paris (1962) 71-86. [19] KARZEL,H.: Zur Fortsetzung affiner Ordnungsfunktionen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 26 (1963) 17-22. [20] KARZ~L,H. : Kinematische Algebren und ihre geometrischen Ableitungen. Abh. Math. Sere. Univ. Hamburg. 41 (1974) 158-171. [21] KARZEL,H. und KROLL,H.-J.: Gruppen von Projektivit~ten in Zwei-und Hyperbelstrukturen. Lonz-Festband, Berlin (1976) 125-134. [22] KARZEL,H., K. S6RENSErq und WINDELBERG,D.: Einfiihrung in die Geometrie. G6ttingen 1973. [23] KROLL,H.-J.: Ordnungsfunktionen in Mtibiusebenen. Abh. Math. Sem Univ. Hamburg 35 (1971) 195-214. [24] KROLL,H.-J.: Ordnungsfunktionen in miquelschen MSbiusebenen und ihre Beziehungen zu algebraischen Anordnungen. J. of Geometry 1 (1971) 90--109. [25] KROLL, H.-J. : Ordnungsfunktionen yon ~-affinen Raumen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 40 (1974) 17-25. [26] KgOLL, H.-J. : Die Gruppe der eigentlichen Projektivitaten in Benz-Ebenen. Erscheint in Geometriae Dedicata. [27] PETKANTSCHIN,B. : Ober die Orientierung der Kugel in der MSbiusschen Geometrie. Jber. Deutsch. Math. Verein. 51 (1941) 124-147. [28] SPURNER,E.: Die Ordnungsfunktionen einer Geometrie. Math. Ann 121 (1949) 107-130. [29] SPERNER,E.: Beziehungen zwischen geometrischer und algebraischer Anordnung. Sitzungsber. Heidelberger Akad. Wiss. 1949, 10. Abh. [30] SP~RNER,E.: Konvexitat bei Ordnungsfunktionen. Abh. Math. Sere. Univ. Hamburg 16 (1949) 140--154. [31] WAERDEN,B. L. VAN DER und SMXD,L. J.: Eine Axiomatik der Kreisgeometrie und der Laguerregeometrie. Math. Ann. 110 (1935) 753-776.

Eingegangen am 20.5.1975