manuscripta math. 83, 1 9 9 -

213 (1994)

manuscri~ta mathemat~ca SlPrin~er-Verla~ 1994

Bases normales d'entiers et unit6s m o d u l a i r e s E . J. G 6 m e z

Ayala

Let K be an imaginary quadratic field with discriminant dK < --4, dK ----2, 3 mod 4. and p a prime number, p - 1 mod 8. p split in K; let f~p be the ring class field over K with conductor p and K(p) the ray class field over If with conductor p. An explicit normal basis is constructed for the ring of integers of the unique quadratic extension of f~p contained in K(p) over the ring of integers of f~p. This uses certain classical modular units considered by Deuring and Hecke.

Si F est un corps de nombres, on note O F son maneau d'entiers. Soit M / L une extension ab6lienne et finie de corps de hombres, de g r o u p e de Galois G. O n dit que DM poss~de une base normMe sur D z s'il existe un 616merit a de J'~M tel que {ag}ues constitue une base de Jl.~M e n tant que L~Lmodule. On r e m a r q u e qu'alors L~M est libre sur l'alg&bre DI,[G], de base a. E. N o e t h e r a d6montr6 que p o u r qu'il existe une telle base l'extension M / L dolt ~tre mod6r6ment ramifi6e. C e t t e condition n6cessaire n'est en g6n6ral pas suffisante. I1 est facile de construire des extensions q u a d r a t i q u e s et non ramifi~es de corps de nombres sans base normale d'entiers. Le b u t de ce travail est de construire des bases normales d'entiers p o u r certaines extensions quadratiques, non ramifi6es, de corps de nombres qui a p p a raissent darts la th~orie de la multiplication complexe. Ces bases sont construites p a r t i r de certaines unit~s modulaires. Plus pr6cis6ment, soient K un corps q u a d r a t i q u e imaginaire de discriminant d ~ < - 4 dans lequel 2 n'est pas ramifi6 et p u n nombre premier, p = 1 rood 8, d"ecompose dans K . Si L = f~p est le corps d e classes d ' a r m e a u de K de c o n d u c t e u r p, et N = K(p) est le corps de classes de rayon de K de c o n d u c t e u r p, on m o n t r e que N/L est une extension cyclique, non ramifi6e, de degr6 e.~.L. O n note M l'extension q u a d r a t i q u e de L contenue dans N et G le g r o u p e de Galois de M sur L. On n o t e H l e d e m i - p l a n de Poincar6. Nous d6montrons:

200

G()MEZ AYALA

T h 6 o r ~ m e : Soi~ r E H tel que ~L~ K = ZT "[- Z. Alors ~-'~M est libre sur l'alg~bre de groupe DL[G], de base a, d6finie par 1'~gali~6: 1 + ( ~ ( r ) / v v ~ ( w ) ) ~" off )1 est la fonction ~ta de Dedekind et m l'exposan~ du groupe des unit6s de D M /2L~ M.

Corolla]re:

Si 2 es$ inerte darts K, alors

OM = aOf,[C] avec a~

1 + ( ~ ( r ) / p v ~ ~(v~)) 9 2

On remarque que si K est un corps quadratique imaginaire de discriminant dK < --4 dans lequel 2 n)est pas ramifi~, le th~or~me de Dirichlet nous permet d)affirmer ]'existence d)une infinit~ de nombres premiers satisfaisant nos hypotheses et donc d'une infinit~ d'extensions M / L ~ bases normales d'entiers explicites. On note aussi que parmi les 9 corps quadratiques imaginaires q(x/rZd) de nombre de classes ~gal ~ I, ceux correspondant ~ d -- 11, 19, 43, 67 et 163 satisfont les hypotheses du corollaire. Le contenu de cet article est le suiwnt: le premier paragraphe est de nature g~n~rMe; on y d~montre les propri~t~s des courbes modulaires et de l'extension K ( p ) / ~ p qu'on va utiliser. On d~finit darts le w la fonction g qui permettra la construction de la base normale. Enfm) d~ns le w on d~montre le th~or~me principal et le corollaire ~nonc~s ci-dessns. Ce trava]l f0Jt pattie de la th~se soutenue par l'auteur ~ ]'universit~ Bordeaux I. Je tiens ~ remercier ici mon directeur de th~se Philippe Cassou-Nogu~s 8Jnsi que Martin Taylor pour toutes les discussions enrichissantes que nous avons eues.

1. S p ~ c i a l i s a t i o n sur les c o u r b e s m o d u l a i r e s Soit S une courbe projective, complexe, irrdductible et lisse, c'est g dire une surface de Riemann compacte, ddfinie sur un corps de hombres k, et soit k(S) le corps de fonctions rationnelles sttr S de corps de constantes k. On s i t que k(S) est une extension de k de type fini et de degr6 de transcendance 1 sur k. Pour tout z 6 S, l'application ~z : f ~ f ( z ) de k(S) dans C U co est une place de k(S) ([1], chap. VI, w dont l'anneau Az est l'ensemble des / 6 k(S) telles que f ( z ) ~ oo et dont l'id4al m, est l'ensemble des f 6 k(S) qui s'annullent

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201

en z; A, est un anneau local d'idral maximal mz. En fait, A.. est l'anneau de la vMuation

v, : k(S) ---} Z O oo drfinie par v , ( f ) = o r d , ( / ) , off o r d , ( / ) est l'ordre du zrro ou l'oppos6 de l'ordre du p61e en z de la fonction f; Vz est une valuation discrete et p a r consrquent A , est un anneau de valuation discrete ([1], chap. VI, w On appelle sprcialis6 de k(S) en z et on note k(S), 1'image du morphisme de sprcialisation

r

: A, ----} C f , } f(z)

On a doric k ( S ) , _~ Az/m,; autrement dit, k(S), est isomorphe au corps rrsiduel de la valuation vz. Soit r : S ---} S' un morphisme surjectif, drfini sur k, de courbes du type consider6 ci-dessus (c'est s dire, un revfitement de surfaces de Riemann compactes), et k(S') C k(S) l'immersion canonique correspondante entre les corps de fonctions sur k. Alors: Proposition

1.1:

a) Si k ( S ) / k ( S ' ) est une extension galoisienne t~nie, a/ors

[k(s), : k(s'),(,)] di~i~e [k(s) : k(s')] po~ tout ~ e s. b) si k( S) / k( S') ~,t = e e~ension ~=ie, non =~ce,,~ment g~oi,ie=~e, ~o~ [k(S), : k(S')~(,)] < [k(S) : k(S')] pou~ ~out z e s. [1],

chap.

VI, w

9

On ~'int~resse au~ courbes ~odul~res X(1), X0(-) et X~(~) ([111, chap. I, w et w On co=air des #n~rateurs sur k pour le~ co~ps k(XO)) et k(X0(~)):

k(x(1))

=

k(j)

k(x0(~)) = k(j, j,,) o{t j e s t la fonction modulaire de Klein et jn est drfmie par jn(r) = j ( n r ) . Le corps k ( X l ( n ) ) est moins connu; on va prrciser une proprirt6 de ce corps (cf. corollalre 1.3 ci-dessous) utile s notre 6rude. On rappelle que pour a E Q2/Z2, a non trivial, on drfinit la fonction de Fricke h(a) par h(a)(~-)

=

-

2~3 ~ g2 (r)g3 (r) A(v) go(l'(alv + a2)

o~ Qr est le rrseau g/~ = Z r + Z , Pn, la fonctlon de Weierstrass du rrseau Q r , g2, g3 et A sont les fonctlons usuelles ([3], chap. VII, w et (al, a2) est un reprrsentant de a dans Q~; on confondera souvent dans nos notations a e t un reprrsentant de a modulo Z 2, en le prrcisaat si n~cessaire. Plus grn~ralement, ~ tout rrseau f~ de C on associe la premiere fonction de Weber hn. C'est la fonction elliptique pour ~, drfinie pax

ha(z)=_2~3~g2(gl)ga(fl),~~flk~z ~)

202

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Ainsi h(a)(r) est la valeur au point de torsion a~r + a2 de C / a ~ de la fonction de Weber hn,. On a la proposition suivante:

Proposition 1.2: Soit k un corps de hombres tel que k C Q(~n). A1ors le corps k(j, j , , h(a)) avec a = (1/n, O) est le corps des fonctions modulaires pour F(n) dont les coefficients de Fourier sont dems k. C'est essentieUement la d~monstration de la proposition 6.9, (2), de [11]. On pose Y = k ( j , j , , h(a)) et on note X le corps des fonctions modulaires pour F(n) dont les coefficients de Fourier sont dans k. Puisque les coefficients de Fourier de j, jn et h(a) sont dans Q, on a bien Y c_ X. On salt ~galement qu'on a X c_ Y(G,) donc X ( r = Y ( ( , ) . Puisque X et C sont lin~airement disjoints sur k, Y et C le sont aussi, et l'on a: [X(r

: X] = [k(r

: k] = [Y((,,): Y] = [X(G~): X][X : Y]

d'ofi X = Y. On en d6duit le corollaire: C o r o l l a i r e 1.3: k ( Z l ( n ) ) C_ k(j, jn, h(a)) avec a = ( l / n , 0 ) , pour tout corps de hombres k t d que k C_ Q(~n). 9 On va s'int~resser dens ce qui suit au cas off n = p premier, p > 3. Dens ce ca.s, le groupe de Galois du rev~tement galoisien X~(p) --* Xo(p) est isomorphe h (Z/pZ)*/{-t-1}, groupe eyclique d'ordre ~.L, et le rev~tement Xo(p) ~ X(1) est de degr~ p + 1. On obtient ainsi la tour d'extensions:

k(x(1)) c k(x0(p)) c k(Xl(p)) avec k(Xl(p))/k(Xo(p)) cyc quede degr

et k(Xo(p))/k(XO)) (en g n ral,

non galoisienne) de degr~ p + 1. On fixe maintenant K un corps quadratique imaginaire de discriminant dK, dK < - 4 , tel que DK = Z r + Z pour r E H. Pour tout ideal entier f de OK, on note K(f) (resp. a l ) le corps de classes (resp. corps de d ~ s e s d ' ~ n e a u ) de rayon de K. On d~signe par Ht( le corps de classes de Hilbert K(1) de K. On ales inclusions Htc C a ! C K(f) Soit p u n nombre premier, p > 3 et p d~compos$ dans K. On veut sp~cialiser en r les extensions de corps de fonctions:

k(x(1))

k(x0(p))

, k(xl(p))

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pour k 6gal s K, Q et Q(v/~), respectivement.

P r o p o s i t i o n 1.4: On a: a) K ( X ( 1 ) ) ~ = K(j(r)) = Hi( b) K(Xo(p)), = K(j(r), j ( p r ) ) = f/p On sait que K ( X ( 1 ) ) = K(j), donc K ( X ( 1 ) ) ~ = K(j(r)). D'apr~s le thfior~me classique de Fueter et Weber, I((j(r)) = HK. Ceci montre a). Puisque K(Xo(p)) = K ( j , j , ) , on a K(j(r),j(pr)) C K(Xo(p)),. Mais on salt, grs s [11], chap. V, w que K(j(r),j(pr)) = K(j(pr)) = f~p. En plus, [ap : HK] = p - - 1 ([11], chap. IV, w 4.12). On a donc: =

,-1

-L

K(Xo(p))T

d'ofi A(p - 1) _< p + 1 (d'apr~s la proposition 1.1), et la seule possibilit6 (pour p > 3) est A = 1. Ceci montre b). 9 P r o p o s i t i o n 1.5: Si f est modulaize pour P(p), ~ coetEcients de Fourier dans Q(fp), et sia = Zr~ +Zr2 est un id~al de DI( tel que f est dd/h2ie en r = r l / r 2 E H,

aloes

e K(p).

[8], chap. X, w corollary. 9 C o r o l l a i r e 1.6: Pour tout corps de hombres k tel que k C Q(~p), on a: c K(p). C'est imm~diat s partir de la proposition 1.5. 9

P r o p o s i t i o n 1.7: On a: a) Q(X(1))~ = Q(j(T)) C_ H/( b) Q(X0(p))~ = Q ( j ( r ) , j ( p v ) ) c_ f~p 0 n sait que [ Q ( j ( r ) ) : Q] = [K(j(T)) : K] et [ Q ( j ( p r ) ) : Q] = [K(j(pr)) : K] ([11], th6or~me 5.7, (ii)). On conclut en utilisant la proposition 1.4. 9 R e m a r q u e 1.8: On peut montrer en utilisant les propositions 1.1 et 1.7 et le corollaire 1.6 que le corps q(v/=fi)(X0(p))T est une extension de degr6 1 ou 2 de

Q( v~)(j(r ),j(pr ) ) contenue dans K(p). La proposition suivante 6nonce les propri6t6s de l'extension K(p)/f~p dont on aura besoin. P r o p o s i t i o n 1.9: a) Le corps K(p) est une extension de f~p, non rami~de et cyclique de degr6 ( p - 1)/2. b) Sip = 1 rood 4, v ~ E f~p et K(p) = ~p((p). Le point a) se ddmontre facilement en utilisant la th6orie du corps de classes. Nous d6montrons b). Soit ~le diviseur [ = pDK = PP. On rappelle que le symbole

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d'Artin (

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, K ) induit un isomorphisme:

J(K)/K*Uz, I(K) ~_ Gal (s 06. J(K) est le groupe d'idbles de K et Uz.I(K) est le sous-groupe des id~les unit6s (aq)q tellesqu'ilexiste r E Z , ( r , p ) = l ,

avec a p - r m o d p

et a f i - - r m o d p .

Puisque ~ ( x / P ) est une extension ab61ienne de K contenant 6galement un isomorphisme:

~p

, on a

J(K)/K*H ~ Gal (Qp(x/~)/K) pour un certain H C_ Uz, i(K) , et l'on peut d~crire le groupe de Galois de f~p(v~) sur ~p de la faqon suivante:

K*Uz,f(K)/ZC*H~_ C a : ( s Soit v e Uzj(K). Pour d~montrer que vf~ E tip, il suffit alors de v~rifier que:

V~ ( v,K) -----~/~ Mais ron a un diagramme commutatif ([21, chap.VII, w (,K)

J(K)/K*

-----, Gal(K"b/K)

N J, J(Q)/Q*

(,Q) --,

J, n a t Gal(Q~b/Q)

de sorte que v/~ (v,K) = V/~ (N(v),Q), off N d6note la norme, 6tendue aux id~les, de K sur Q. Mais v E Uz,f(K), donc iI existe r E N, (r,p) = 1, tel que vp -- r rood p et ,~ = r rood ft. D o n c g ( v )

- r 2 rood p. Alors, on a ([7], chap. X, w

~p(N(v),Q) --'--~;-2 Pax consequent:

VP ("'K) = (,_~.~ _ x(~" p-1

=~x(=)g

~-' = x(,~),(x) = ,(x) = ~

En outre g ( p ) = ~p(~p), puisque Q(r c K(p) pax la th~orie du corps de classes et que Gal (K(p)/s agit sttr ~p comme les caxr~s de F ; . 9

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205

2. D d f l n i t i o n et p r o p r i ~ t g s d e la f o n c t i o n g Soit k un entier, k _> 0. Pour toute fonction f m~romorphe sur H, et tout 7 = (:db) de F, on va noter flk7 la fonction flk~(r) = (cr + d)-kf(7~ -) S i f est une fonction m~romorphe sur H e t A un sous-groupe de F d'indice fini, on dit que f e s t une forme modulaire de poids k pour le groupe A lorsque f l k 6 = f pour tout ~ E A et f e s t m6romorphe aux pointes de A ([3], ch~p. VII, w Rappellons qu'on dfifinit la fonction fita de Dedekind sur le demi-plan H par le produit infini:

y('r) = q~/24 fi

(1 - q ~ )

m=l

avec q~ = exp(2zrir). I1 s'agit donc d'une fonction holomorphe de H dens C. D'autre part, la fonction diseriminant A v~rifie pour tout r E H : OQ

zx(~) = (2~) ~ q~ 17[ (1 -

q~)~'

rn=l

de sorte que les fonctions fita et delta sont li~es par la relation:

A0- ) = (2~) 12 ~(~-)2' La fonction A est une forme modulaire pour F de poids 12, tandis que le comportement de la fonction r/ sous Faction du groupe modulaire est d~crit par les formules ([31, chap. VIII, w lemma 2.3):

~ ( r + 1) = exp(ri/12)~(r)

~(-1/,) =VCZ7-;~(~) o~ la racine carr6e sur ~(z) > 0 d6note la branche qui est positive sur l'axe r~el positif. Pour tout nombre premier p > 3 , Hecke ([6], w suivante

a consider6 lafonction

~,(~)= ~,(~) (~vec

~p(r) = 0(pr)) et il amontr~ que, pour tout

a = (~)

~ r0(p):

206

G O M E Z AYALA

avec k = ~-~ et (~) le symbole de Legendre. On suppose dor~navant p - 1 m o d 8. On d~finit: 09p3

g = (2~r)a"~

A(p-1)/s C o m p t e tenu des relations pr~c~dentes, on a l'~galit&

Proposition

2.1: Soit p u n nombre premier, p -- 1 m o d 8. Alors la fonc~ion g = (T//r/p) a est modulaire pour F1 (p). En outre elle satisfait les propri~tds suivantes:

a) g2 e q(Xo(p)). b) 9 e q(v~)(X~(p)) - q(v~)(X0(p)). On salt que pour tout ~l~ment a ---- (:db) de F0(p), on a:

g(~r) = ( ~ ) g(r) On en d4duit imm4cliatement que g (resp. g2) est invaxiante pax Faction de Pl(p) ma~s g n'est pas invarlante par Faction de P0(p). Les propri&& de la fonction r/impliquent que g est holomorphe et sans z4ro sur H . On &udie maintenant le ddveloppement de Fourier de g2 aux pointes de P0(p), c'est s dire, en {oo} et en {0}. On va pour cela utiliser l'expression en produit infini de (r//r/p) 6. Soit h = ~ 8 darts ce qui suit.

(resp. r0(p)),

1) La pointe {oo} : On a r/(r) ---- _1/~4

'~

II 0 - q,")

m=l

On en ddduit

~?(pr) = q~li4 H (1 - q~m) donc

,,,:1

:7)

2) La pointe {0}: I1 faut passer de oo g 0; pour cela, on consid&re S = (,0--10)' de sorte que S r = - l / r . Grgce aux formules de transformation qu'on connait pour la fonction ~ta de Dedekind, on a

~(sr) = q777 ~(r) done

~(pSr) = ~

= ~~(r/v)

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d'ofi

IS (,)=

-~ J=7-;,7(,-Ip)] =

(

\ ,7(,/p)

l :O~"'~ o

o~ Q,. = q~/P = exp(2rrir/p). Le d6veloppement de g2 ~tant s coefficients dans Z, on en d6duit a). Appellons X le rev~tement de degr6 2 de Xo(p), domaine naturel pour la fonction g, de sorte qu'on a des projections:

x l (p) ~

x ~

X0(p)

On salt que le rev~tement Xl(p) ---* Xo(p) est non ramifi~ aux pointes ([111, chap. I, w donc la fibre de oo drms X ---* Xo(p) est constitute par deux pointes, qu'on note ool et oo2. Grs aux calculs precedents, les d~veloppements de Fourier de g en o~1 et oo2 sont dorm,s, au signe pros, par:

:kqrh r I

_

qPrm )

=

:kq'~h(1

rn=l

+ Z j>0

aiqJ)

avec aj E Z pour tout j > 0. La fibre de 0 dans X ---, Xo(p) est constitu6e de deux autres pointes, qu'on note 01 et 02, auxquelles les d6veloppements de Fourier sont donn6s, au signe pros, par

m----1

j>0

avec bj E Z pour tout j > 0. On volt ainsi que le diviseur de la fonction g2 sur la courbe Xo(p) est donn~ par divxo(p)(g') = 2h((0) - (oo)) tandis que le diviseur de g sur la courbe X est donn~ par d i v x ( g ) = h((01) + (02) - ( 0 r

(cr

En outre, puisque ai, bi E Z pour tout j > 0, on en d~duit que

g e q(v~)(x~(p)) ce qui ach~ve la d~monstration de la proposition. 9

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Soit malntenant K un coil, s quadratique imaginalre, tel que dK < - 4 , dans lequel p est d6compos6 et satisfalt p = 1 rood 8. Soit s = Z r + Z l'anneau des entiers de K , r E H. On s'int6resse tt la Sl~cialisation en r de g.

Proposition

2.2: g(r) est tm entier alg~brique de K(p).

Puisque p _= 1 mod 4, ~ E Q(fp). Or on sait, grace ~ la proposition 2.1, que g appartient h Q ( v ~ ) ( X I ( p ) ) . Ainsi, le corollaire 1.6 montre que g(r) e If(p). Puisque g est holomorphe sur H e t que ses d6veloppements de Fourier aux pointes de F~ (p) sont ~ coefficients entiers, le principe du q-d6veloppement ([3], chap. VII, w implique que g(r) est un entier alg6brique. 9 P r o p o s i t i o n 2.3: g2(r) E 12p. On salt par la proposition 2.1 que g2 E Q(X0(p)). On en d6duit que g2(7") appartient h Q(Xo(p))~ = Q(j(r),j(p~')), donc g2(r) e ~/p = K(j(r),j(pr)). 9 g(r) E K(p) - f~p.

P r o p o s i t i o n 2.4:

On d6duit des propositions 2.2 et 2.3, qu'il suffit de montrer l'existence d'un automorphisme a e Gal (Ir tel que g(r) a = - g ( r ) . Soit ~'p le corps des fonctions modulalres de niveau p rationnelles sur Q(~p), c'est s dire, le corps des fonctions modulalres pour P(p) dont les coefficients de Fourier aux pointes sont darts Q(r et soit k = Q(x/P)" On a l e diagra~rne suivant ([111, chap. VI, w

k(j)

P+~ k(j, jp)

2T Q(j)

p(p:~/2

2T ~

Q(j, jp)

k(j,jp, h(a))

(p-1)__,/2 :~p

2T p(p--l~/2 Q(j, jp, h(a))

II ~

~p

avee a = (1/p,O). On pose h = h(a) pour a = (1/p,O), et n = { p ( p - 1). Puisque h est alg6brique de degr6 n sur k(j,jp), tout ~l~ment de k(j, jp, h) peut s'exprimer comme un polynfme en h de degr6 n - 1, s coefficients dans k(j,jp); en particulier g (d'aprhs le corollaire 1.3) peut s ecnre sous la forme

g = Ao + A1 h + . . . + An-1 h n-1 avec A i e k(j, jp) (0 < i < n - 1). On veut montrer que Ai(r) # cx~ et qu'en outre Ai(r) e f~p pour tout i. On salt que l'extension ~p/k(j, jp) est galoisienne ([11], th6or~me 6.6, (1)); soient w l , . . . , w n e Gal(~p/k(j, jp)) tels que { h ' } = {hi} (0 < i < n - 1) soit l'ensemble des conjugu6s de h sur k(j,jr). Ainsi

g~ = Ao + Al hi + "" + An-l h~ -1

O <_i <_ n - 1

On obtient ainsi un syst~me lin6alre d'ordre n x n satisfalt par les Ai, dont le d6terminmnt est un d6terminant de Vandermonde, 6gal h:

D=

l'I O
(hi-hi)

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On remarque, d'autre part, que gW' = g ou g~' = - g , puisque Ainsi, la r~solution de ce systhme nous donne:

Ai=

Pi(g, h o , " ' , h , - 1 ) D

g2 E k(j,jp).

0 < i < n- 1

oh. Pi est un polynSme b. coefficients dans Z h n + 1 ind~termin~es. Ai E k(j, jp), on peut ~crire

Puisque

Ai = A~ + A~' v/'~ avec A~,A~' e Q ( j , j p ) . Soit ca e Gal(~Pp/Q(j, jp)) tel que v ~ " = - V ~ "

Alors:

A~' = A~ - A~' x/~ de sorte que A~ = (Ai + A~)/2 A~' = (Ai - AT)/2v/'p Maintenant, puisque D est un produit de differences de fonctions de F~icke distinctes, primitives d'ordre p, D(r) r 0 pour tout r e H tel que g2(r)ga(v) ~ 0 (c'est s dire, pour tout r tel que r r x/rL-1 et r r ( - 1 + v/L-3)/2); cela implique que D ( r ) ~ 0 pour tout v E H satisfaisant nos hypotheses. D ' a u t r e part, Pi est bien dfifini en r et Pi(r) ~ oo , car ni g ni les hi ne poss~dent des pSles sur H. On a donc A i ( r ) r oo. En outre Pi(g~,h~,

AT=

..

,h~_l)

D,e

avec gW = g ou g~a = _ g , et l'on obtient pour A~ une expression du m~me type que celle obtenue pour Ai, et par cons6quent A~a(r) # oo . On en d6duit:

A'i(r ) r Alors:

et

A~'(r) r

A~(r) e q ( J , j p ) r = q(j(r),jp(r)) A~'(r) E Q(j, jp)r = Q(j(r),jp(r))

donc A i ( r ) e Q(V~)(j(r),j(pr)) c ~p, compte tenu de la proposition 2.3. On a

done:

g(r) = Ao(r) + AI('r) h(r) + . . . + An-l(r) h " - Z ( r ) Ai(r) e a p , 0 < i < n - 1. On sait que Fp/{=t=l} ~ Gal(g(p)/Ftp) (proposition 1.9). Appellons a t l'automorphisme de ce t r o u p e de Galois qui correspond la classe de r E Z dans F ; / { : i : l } . On connait Faction galoisienne de ar sur h(r) = h ( a ) ( r ) ([11], proposition 6.34): avec

( h ( a ) ( r ) ) "r - h ( r a ) ( v )

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On en d4duit: g ( r ) ~'r = A0(r) + A l ( r ) h ( r a ) ( r ) + . - . + A n - l ( v ) h ( r a ) n - l ( r ) Par l'identit~ de B4zout, on peut trouver r ~, k E Z tels que rr ~ - kp 2 = 1, de sorte que rr' - 1 m o d p2, et en particulier, r ' est l'inverse de r darts F ~ / { • kph ; ~ Soit a = (r ~pr,/ a E F0(p). Notons r ' = a t = ~p~+r' E H. Alors, on a: ,

h(a)(~') = h z ~ , + z ( ~ / p ) = h z ( ~ ) + ~

\pr +

= hz(rr+kp)+Z(pr+r,)(~r + k) = hfl.(~7" + k) = h n , ( a r r + k) = h ~ , ( a r v ) C'est s dire:

h(a)(r') = h(ra)(r) Ou ce qui revient au mSme: h ( a ) ( r ) ~r = h ( a ) ( r ' ) En outre, A,(~-) -- A i ( r ' ) sous Faction de F0(p).

pour 0 < i < n - 1, car la fonction Ai est invarlante

On en d4duit:

p o u r tout r E Z, (r,p) = 1, off r' est l'inverse de r dans Fp. Supposons, en particulier, que r e s t un g6n6rateur du groupe F p / { • D~s que p -= 1 m o d 4 , - 1 est un cart6 modulo p, c'est s dire {• C F~ 2, et l'on a:

F;/{+I} F;2/{•

~ F; ~{+1} - r;2 -

Cela montre que r n'est pas un cart6 modulo p, donc r I ne l'est pas non plus. Alors:

et donc g(r) a" = - g ( r ) . On conclut que g ( r ) • f~p. 9 Finalement, on remarque qu'on peut d4terminer la valuation axithm6tique de g(r). En effet, on a la proposition suivante:

Proposition 2.5: g ( r ) / p v ~ est une unit6 alg6brique.

GOMEZ AYALA Puisque p e s t d@compos& dans K, on sait que p12 ~ ([4], w

211 est une unit@ alg@brique

1.1)d'ofi, en prenant la racine douzi~me, on en d~duit que 1 ( ~ ) 2

est une unit& alg~brique. D'apr~s la d~finition de g, on obtient que g(r)2/p 3 est une unit& alg&brique, ce qui montre la proposition. 9

3. D ~ m o n s t r a t i o n d u th&or~me p r i n c i p a l On rappelle les hypotheses du th&or~me: K est un corps quadratique imaginaire de discriminant dK < --4 dans lequel 2 n'est pas ramifi&; p e s t un nombre premier, p ~ 1 mod 8 et d@compos@ dans K. Si L = ~p est le corps de classes d'anneau de K de conducteur p e t N = K(p) le corps de classes de rayon de K de conducteur p, l'extension N / L est cyclique de degr& 2a~-~, donc il existe une seule extension quadratique M de L telle que L C M C N. D~monstration du thdor~me: D'apr~s la proposition 2.2, l'extension M / L est non raznifi&e. Elle est aussi quadratique, et on peut donc utiliser le lemme suivant: L e m m e : Soit E l F une extension non ramif~de et quadratique. A1ors DE poss&de une base normale sur 1.~F si et seulement si E = F(v) avec v E D*E - O*F, v2 E D ~ et v -- 1 mod 2; sous ces hypo$hbses, (1 -b v)/2 engendre une base normale de DE sur OF. C'est une cons&quence facile de [5], formule 1.3, p. 385. 9 Soit r E H tel que DK = ZT + Z. D'apr~s les propositions 1.9, 2.2, 2.3, 2.4 et 2.5, on sait que M = L(g(r)), o~ g est la fonction d6finie darts le w de sorte que g(r) 2 E L, g ( r ) est un entier alg&brique et g(v)/py"fi est une unit& alg&brique. Posons u = g(r)/pqrfi. Alors, u poss~de les propri&t6s suivantes, imm&diates s d&montrer: I) u E

- o1.

2) u ~ E L.

3) M =

L'ordre du groupe (OM/2k~M)* est donn& par ff2(2OM) , o~ (I) est la fonction d'Euler sur les id&aux, c'est ~ dire, la fonction multiplicative d&finie par ~(pr) = N ( P ) r - I ( N ( p ) - 1) pour les puissances d'un id&al premier p. Or, 2 n'est pas raraifi& dans K, donc dans M, de sorte que @(2DM) est un prodnit de hombres impairs m l , m 2 , . . . , m s , d o n c i m p a i r . Soit m = p . p . m . c . ( m l , . . . , m a ) . On en d@duit que (DM/2DM)* est un groupe d'exposant m, m impair. On consid~re

212

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v = u '~ ; v v6rifie les propri6t~s suivantes:

I) v

e

D~

-

D*L"

2) v ~ E L. 3) M =

4) v ---- 1 mod 2. Par cons6quent, ~ 2

constituent une base normale de OM sur DL. 9

et ~

D ~ m o n s t r a t i o n du corollaire: Supposons K = Q ( v ~ ) avec d E Z, d < - 3 , d sans carr6; soit p u n nombre premier, p - 1 mod 8 et d6compos6 dans K. Supposons en outre que 2 est inerte dans K (c'est ~. dire, d - 5 rood 8). I1 sufi:it de montrer que sous nos hypotheses l'entier m du th6or~me est 6gal k 3. D'apr~s les r6sultats du w M est une extension ab61ienne de K dont le groupe de Galois est d6crit via le symbole d'Artin par l'isomorphisme:

Iir

) ~- Gal ( M / K )

pz(~) off IK,p est le groupe des id~aux fractionna~res de K premiers s p e t . K,p est le sous-groupe de IK, v constitu~ par les id~aux fractionnaires principaux aDK tels que a = e mod *p, avec c E Z, c premier avec p e t tel que c e s t un carr~ modulo p. Soit f le degr~ d'inertie de l'id~al premier 2 dans l'extension M / K . Grace la loi de d~composition des premiers fournie par la th~orie du corps de classes ([9], chap. IV, w theorem 8.4), f est le plus petit entier f > 0 tel que 21 E pZ!~)

pz(2).

ou - 2 1 E . K,p , autrement dit, f est le plus petit entier tel que 21 est un carr~ modulo p, puisque - 1 est d~js un carr~ modulo p. Or, on salt bien que 2 est un carr~ modulo p s i et settlement s i p -- -I-1 rood 8, donc f = 1 , et par consSquent, l'idSal 2DK est totalement d$compos~ dans M. On en d~duit que le groupe (tDM/2DM)* est annul~ par 3. I1 en r~sulte que

{

1+

12

'

} 2

est une base normale de ,O M s u r DL. 9 R e m a r q u e : Le fait que g2(r) E f~p peut se d~duire des travaux de G. Robert. La fonction g2 est essentiellement une racine douzi~me de quotients de fonctions delta qu'il ~tudie. Plus pr~cisement, on peut exprimer g2(r) de la faqon suivante:

g2(r) =

p3 A(L)5(p-D/4 (2 5 3 4 g2(L)ga(L)) 3(p-1)/2 ~rl(L'L)

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o~t L est un r~seau ~quivalent h ~ = Z v + Z (i.e. L = A ft, pour un certain A E C*) tel que g2(r), ga(-r) et A(L) sont dans H~r L e s t d~fini par L = A ( Z r + Z ~) et r~(L,L) est une certaine fonction homog6ne d4finie et 6tudi6e par Robert ([10], w et w On d6duit de cette description que g2(r) e HK(ZC~(L,L)). Mais le corollaire 3.5 de [10] affirme que 7r~(L,L) ~ Q(j(L),j(L_)) = Q(j(-c),j(pr)), donc 1rl(L,L) E g/p, d'o~t g2(r) e Qp. Le r~sultat que nous obtenons, Proposition 2.4, montre que sous nos hypoth6ses g2(r) n'est pas un carr~ de Qp. Bibliographic 1. N. Bourbaki, Alg6bre commutative, Itermann, Paris, 1961-65 2. J. W. S. Cassels, A. ~.Shlich (ed.), Algebraic number theory, Academic Press, London and New York, 1967 3. Ph. Cassou-Noguhs, M. J. Taylor, Elliptic functions and rings of integers, Progress in M~thematics 66, Birkhs Boston, 1987 4. M. Deuring, Die KltssenkSrper der komplexen Multiplikation, Enzyklopildie der Math. Wiss., Band I, 2. Teil, Heft 10, Tell II 5. A. Frbhlich, Aritllmetic and Galois m o d u l e s t r u c t u r e / o r tame extensions, J. reine angew. Math. 286/287 (1976), 380-440 6. E. Hecke, Herleitung des Eulers-Produk~es der Zetafunktlon und e/niger L-Reihen aus ihrer Funktionalgleichung, Math. Ann. 119 (1944), 266-287 7. S. Lang, Algebraic number theory, Addison-Wesley, 1970 8. S. Lang, Elliptic functions, Addison-Wesley, 1973 9. J. Neukirch, Class field theory, Springer Verlag, Berlin, 1985 10. G. Robert, UnitSs de S t a r k c o m m e miitds ellip~iques, Pr~publication de l'Institut Fourier (Grenoble), n. 143. Anude 1989 11. G. Shimura, Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Iwanami Shoten and Princeton University Press, 1971

E.J. GOMEZ AYALA Departarnento de Matem~.tic,~s Facultad de Ciencias Uaiversidad del Pals Vasco Apartado 644 48080 Bilbao Espafia

(Re~u le 2 novembre 1993)