Beitrag zur Theorie der Sehseh~irfe. Yon

A l e x a n d e r Gleiehen. M i t 18 T e x S f i g u r e n .

Inhalt. 1. Allgemeine Bemerkungen fiber das SehverrnSgen. 2. Die Abbildungsbeziehungen des Auges bezogert auf die Hauptpunkte und auf die ~Iitten tier Eintritts- und Austrittspupille. Haup~punktsrefraktion und Pupitlenrefrak~ion. 3. Allgemeine Definition des Begriffs , , S e h v e r m S g e n " ftir scharfes und unsehaffes Sehen. Der ~bungskoeffizient. 4. Das SehvermSgen bei Ametropie innerhalb des Akkonamodationsgebietes. 5. Tiefe und A-l~ommodation. 6. Das SehvermSgen auBerhalb des Akkommodationsgebie~es in seinem Zusammenhang mit dem SehvermSgen beim scharfen Sehen. 7. Physiologische Emmetropen. 8. Aquivalenz yon Linsenwirkung und SehvermOgen. 9. Das astigmatische Auge. 10. Das SehvermSgen des astigmatisehen Auges. 11. Die exakte Refraktionsbestimmung. 12. Minderung der Sehschgrfe dutch falsehe Refraktions- und Brillenbestimmung. 13. Brillenfehler. 14. Sehseh~rfe bei schr~.ger Bliekriehtung dureh ein Briltenglas.

Bezeiehnungen. A = - ~ 1 die objektseitige Refraktion des Auges yore vorderen ttauptpunkt H aus gemessen. 1 a = =~ die Entfernung eines fixierten Punktes yore vorderen I~auptpunkt H des Auges. c~ = ObjektgrSBe. Ace = P1 - - P~ die D o n d e r s s e h e Akkommodationsbreite, d.h. die Differenz der

hTahpunkts- und Fernpunktsrefraktion. Ast = Astigmatismus im D o n d e r s s e h e n ~¢IaB. B =~-

die bildseitige reduzierte Refraktion, w o n ' der Breehungsexponent

des Bildraums (GlaskSrpers) ist. n r

b =~i

En~fernung des hinteren Hauptpunktes H ' yon tier Fovea.

fl = BildgrSBe auf der Netzhaut, insbesondere das k l e i n s t e Netzhautbild. c eine Konstante, die den Wert 0,000291 (abgekttrzt 0,0003) hat.

304

A. Gleiehen:

D -- f -- ~, die Breehkraft des Auges bei einem beliebigen Akkommodationszustand, wo ] und [" die zugehSrige vordere und hintere Brermweite des Auges bedeutet. D == A -4- B. 1

n~

Do -- ]o -- ]g die Breehkraft des akkommodationslosen Auges. d-----Durehmesser der Eintrittspupille des Auges. F und i7' vorderer und hinterer Brennpunkt des Auges. H und H' vorderer und hinterer ttauptpunkt des Auges, deren Oi~e bei der Akkommodation praktisch unvera.ndert bleiben. (H) ~- Hypermetropie. Hst ~ Hornhautastigmatismus. K = - - das VerhMtnis der l~adien resp. der Durehmesser der Austfittspupille (A. P.) und der Eintrittspupitle (E. P.) des Auges. (M) =Myopie. tOo = 2 eoo der individuelle physiologisehe Grenzwinke], dutch den das Sehverm6gen irmerhalb des Akkommodationsgebietes bestimmt ist. tO-----2~o der Grenzwinkel beim Sehen mittets Zerstreuungskreise. Px = g e o m e t r i s c h e r ~Nahpunkt, zugleich auch die Nahpunktsrefraktion be1 zogen a~f den Mittelpudakt R der (E. P.), also aueh P ~ 1

:P~"

P~ ----p h y s i o l o g i s c h e r Nahp~mkt, zugleich auch po = P~ t~efraktion fiir den physiologisehen Nahpunkt bezogen auf R. AnMoge Bildungen bestehen fiir: P2 = g e o m e t r i s c h e r Fernpunkt; po = p h y s i o l o g i s e h e r Fernpunkt. Die St;reeke P1o p~o heil3t da,s manifeste Akkommodationsgebie~. Px und PH sind Punkte aul~erhalb des manifes~en Akkommodat~ionsgebietes, yon denen Ps dem Auge n~her Ms p o u n d PH ent~ernter Ms po liegt. Qs und Qm die astigmatischen Einstellpunkte naeh D o n d e r s . R und R" die Mit~elpunkte der (E. P.) und (A.P.) des Auges, die ihre Or~e bei der Akkommodation praktisch nieht andern. mid e ' Radien der E. P. and A. P. des Auges. S ~ SehvermSgen des Auges innerhalb des manifesten Akkommodationsgebietes. S~ = Sehsehgrfe des astigmatischen Auges. Ss und SII SehvermSgen des Auges beim Fixieren der Punkte P I und P s i . too T = ~- = Tiefe des Auges. U ~-- Fehler in der Refraktionsbestimmung. U = P ~ - - Ps ~ P H - - P~. V = t~ehler in der Brechkraftsbestimmung. Es ist bei der Bestimmung der Fernbrille V praktiseh U gleieh. z = Radius des Zerstreuungskreises auf der Ne~zhaut. A n m e r k u n g . In den meisten Fi~llen stellt die Bezeiehnung eines Aehsenpunktes zugleieh dessert auf den zugehSrigen Fixpunkt bezogene Refraktion dar, wodureh die Darstellung besonders anschaulich wird. Ist z. B. Q ein Aehsenpunkt, sO ist Q ~ -1- seine Refraktion (Vergenz), wo q die Entfernung des Punktes Q vom q zugehSrigen Fixpunkt ist.

Beitrag zur Theor~e der Sehsch~trfe

305

1. Allgemeine Bemerkungen iiber das Sehvermiigen. Der Begriff des Sehens hiasiehtlich seiner qualitativen Untersehiede und Stufen ist viel zusammengesetzter, Ms es zun~chst den Anschein hat. Trotz einer aul3erordentlieh groi3en Literatur ist das betreffende Thema noeh keineswegs nach der experimentellen und theoretischen Seite erseh6pft. Ersehwerend bei dem Studium wirkt hierbei der Urnstand, dal3 verschiedene Forseher mit denselben Bezeiehnungen nieht immer denselben Erscheinungskomplex meinten. So finder man aul~er den Definitionen der Hell- und Dunkelsehsch~rfe, der zentralen und peripherisehen Sehsch~rfe die Bezeiehnungen: SehvermSgen, Sehleistung, optisches AuflSsungsverm6gen, optischer Raumsinn und Sehsch~rfe sehleehthin. Die scharfe Unterteitung des letzteren Begriffs in natfirliehe, absolute und relative Sehseh~rfe verdanken wir G u l l s t r a n d in der neueren Zeit, w~hrend man in der i~lteren Literatur auch noeh die Bezeiehnungen wahre und seheinb~re sowie korrigierende Sehseh~rfe finder. Aueh den Begriff des sog. physiologisehen Grenzwinkels, auf den die landl~ufige Definition der Sehsch~rfe sich stiitzt und worunter man denjenigen objektseitigen Gesiehtswinkel versteht, der dem k l e i n s t e n in seinen Details noch aui~i6sbaren Netzhautbildehen entspricht, ist durehaus nieht eindeutig. Man hat hier ein ,,minimum visibile", ein ,,minimum separabile" und ein ,,minimum cognoseibile" untersehieden. Die Einfliisse, welehe den Akt des Sehens bestimmen, kann man in drei gro~e Gruppen teilen, ni~mlieh in einen physikalischen, physiologisehen trod psyehologisehen Bestandteil, je naeh den Vorgi~ngen, die sieh im Apparat des Auges auf und in der Netzhaut und drittens im Gehirn abspielen. Diese drei Anteile sind natiirlich eng und untrennbar miteinander verbunden. Der erstere, weleher den Gesetzen der physik~lisehenund insbesondere der geometrischen Optik folgt, ist am ehesten einer exakten mathematischen Darstellung zug~nglieh und soll vorwiegend Gegenstand der folgenden Untersuchungen sein. Wir besehr~nken uns dabei zun~chst auf die Darstellung der Sehseh~rfe des unbewaffneten Auges und fiihren dafiir das WoIi ,,Sehve r m 5ge n" ein, nur um dadureh etwas abseits yon dem Durcheinander der bestehenden Terminologie zu bleiben. Wenn wir dann sp~ter die gewonnenen l%esultate zur Bestimmung der bei der Brillenverordntmg sieh einsehleichenden Fehler beniitzen und es alsdann mit dem k o r r i g i e r t e n S e h v e r m S g e n zu tun haben, werden wir das Wort , S e h sch~rfe '° gebrauchen. Die wichtigsten Arbeiten auf diesem Gebiete, soweit die mathematisehe Formulierung in Frage kommt, sind die yon S a l z m a n n , welehe unter dem Titel ,,Das Sehen in Zerstreuungskreisen" in v. Graefes

306

A. Gleichen:

Archiv fiir Ophthalmologie (Bd. 39, Heft 2, S. 83; Bd. 40, Heft 5, S. 102 und Bd. 49, Heft 1, S. 168) erschienen sind. In der ersten dieser Arbeiten macht S a l z m a n n noch die Voraussetzung, dab man das Auge durch eine einfaehe brechende Flgehe ersetzen k6nne, in deren Hauptebene, also ira Scheitel, sieh die Pupille befindet. Die unter diesen vereinfaehten Annahmen hergeleitete Formel fiir die Sehschgrfe ist der ~uBeren Form nach identiseh mit unserer a]lgemeingiiltigen Gleichung (42) des nachfolgenden Paragraphen 6. In den weiteren Arbeiten befreit sieh S alz m a n n yon diesen Voraussetzungeu, indem er in der zweiten Arbeit die Pupille yon der falsehen Stellung in der Hauptebene losl6st und in der dritten sogar die Einund Austrittspupille eines beliebigen zentrierten Systems einffhrt. Der EinfluB der Abbeschen Lehre yon der Strahlenbegrenzung wird hier deutlieh sichtbar. S a l z m a n n kommt zu dem SchluB, dab die obige Fore, el, um ihr voile Allgemeingiiltigkeit zu geben, mit dem Faktor 1 q-dx zu multii0lizieren sei, wo d 1 die Entfernung der E. P. yon der al voMeren Hauiatebene und a I der auf die letztere Ebene bezogene Fernpunktsabstand sei. Es gelang ihm jedoeh niche, diese Gleiehmlg auf die yon uns gegebene einfaehe Form zu bringen, offenbar well ibm die Kenntnis der auf die Pupillenmitten als Fjxpunkte bezogenen Abbildungsgleichungen fehlte. ~V[anerhglt so den Eindraek, als wgre die Sehsehgrfe beim unseharfen Sehen strenggenommen yon dem Aufbau der dioptrischen Elemente des Auges abhgngig. Im iibrigen sind die Arbeiten S a l z m a n n s ausgezeiehnet dutch die mathematisehe AusnStzung der yon Lhm entwiekelten Prinzipien und den Reiehtum experimenteller Versuehsresultate zur Bestgtigung seiner fiir die Sehleistung beim Sehen mittds Zerstreuungskreisen aufgestellten Formel. S a l z m a n n kam zu dem Ergebnis, dab we nn man die Sehsehgrfe beim unseharfen Sehen ebenso wie balm deutliehen Sehen (bei Seharfeinstellung der Bilder auf der Netzhaut) dem objektseitigen 8ehwinkel fiir die Zerstreuungskreise umgekehr~ proportional setzt, man zu keiner befriedigenden Ubereinstimmung mit der Praxis gelangt, wenn man ngmlieh die Sehsch~rfenbestimmung mittels Buchstaben naeh den bekannten Probetafeln maeht. Die Theorie ergibt durchsehnittlieh eine viel geringere Sehseh~rfe, als die Praxis sie zeigt. S a l z m a n n erkannte deutlich, dab das Sehen im unscharfen Bilde (mittels Zerstreuungskreisen) zwar grundsgtzlich nieht vom seharfen Sehen versehieden ist, indem im letzteren Falle die kleinsten noeh Liehteindriieke vermittdnden Netzhautelemente den Zerstreuungskreisen gquivalent sind, dab aber die verschiedenartige Lichtverteflung innerhalb eines Zerstreuungskrdses das Problem des unseharfen S ehens ~uBerst kompliziert maeht, zumal bei der Entzifferung yon Leselaroben und dergleiehen lohysiologisehe -

-

Beitrag zur Theorie der Sehsch~rfe.

307

und psychologische Einfifisse stark zur Geltung kommen. S a l z m a n n kam deshalb auf den Gedanken, diese Einfliisse wenigstens in erster Anordnung dadurch zu berficksiehtigen, da$ er der Formel ffir das Sehen in Zerstreuungskreisen einen Faktor hinzuffigte, den er als U b u n g s k o e f f i z i e n t e n bezeichnete, iJ3oer die GrOSe dieses Koeffizienten bemerkt S a l z m a n n : ,,Die Gr6$e des Ubungskoeffizienten h~ngt yon der absoluten Gr6$e des Zerstreuungskreises ab, so da.g er fiir einen Zerstreuungskreis yon bestimmter Gr6$e ein Maximum erreicht. Wenn der Zerstreuungskreis unter diese GrSi~e sinkt, nirmnt der •bungskoeffizient schnell ab, 'steigt der Zerstreuungskreis fiber diese Gr6t3e, so nimmt er nur ]angsam ab." Den Astigmatismus des Auges und die Vorg/~nge bei der Akkommodation hat S a l z m a n n nicht in den Kreis seiner Betraehtungen gezogen, well sie, wie er andeutet, zurzeit im Zusammenhang mit dem Sehen in Zerstreuungskreisen einer strengen mathematisehen Behandlung nieht zug~ng]ich w~ren. Bei den naehfolgenden Untersuchungen soll es sieh nun wesentlich nur um eine mathematische Darstellung des SehvermOgens des mensehlichen Auges handeln auf Grund einfacher Annahmen fiber die Natur des Sehvorganges nach dem Stande der heutigen olotischen Abbildungslehre. ~Tber die S a] z m a n n sehen Untersuchungen glaubt der Verfasser in formaler Beziehung insofern hinausgelangt zu sein, als die strenge Allgemeingfiltigkeit der mathematischen Ausdrfieke flit das unseharfe Sehen erwiesen wird, und sachlich dfirfte darin wohl ein Fort, schritt gesehen werden, da$ nieht nur der strenge Zusammenhang des SehvermOgens innerhalb und au6erhalb des Akkommodationsgebietes fiir ametropisehe Augen, sondern auch die Wirkungen des Astigmatismus des Auges dargeste]]t sind. Als Physiker hat sich der Verfasser streng in den Grenzen seiner Zust~ndigkeit gehalten und hal manehen naheliegenden SehluB auf psyehologisehe und pathologische Zustgnde unterdrfiekt, um nicht in die Domi£ne des Arztes einzugreifen. Da beim unseharfen Sehen der Pupillendurchmesser eine ausschlaggebende Rolle spielt, so mui~te dieser in die Rechnung eingeffihrt werden.

Um zu einfaehen und allgemeingfiltigen Beziehungen zu gelangen, wurden als Ausgangs!ounkte der Z~hlung ffir die objektseitigen und bildseitigen Schnittweiten die 3iittelpunkte der Eintritts- und Austrittspupille des Auges (E. P. und A.P.) gew~hlt. Da eine derartige ZKhlweise bisher in der Ophthalmologie nicht allgemein gel~ufig war, so sind im ngchsten Abschnitt die betreffenden Beziehungen zuni£chst neben dem allgemein iibliehen System der Hauptpunkte dargestellt. v. Graefes Archiv flit Ophthalmologie, Bd. 93.

21

308

A. Gleichen:

Ferner wird bemerkt, da,B die Sehnittweiten yon den gew~hlten Fixpunkten im ObJektraum entgegen der Lichtriehtung und im Bildraum im Sinne der Liehtrichtung positiv gez~hlt sind (s o g. a n s c h a ul i c h e s S y s t e m d e r Z ~ h l u n g ) . Das myopische Auge mit seinem v011st~ndig im l~ee]len liegenden Akkommodationsbereich stellt d~nn den Regelfall dar, ffir den alle in den Figuren dargestellten Strecken Ms positiv in Reehnung kommen. Die g~nze D~rstellung ~drd dadureh besonders anseh~ulieh. 2. Die Abbildungsbeziehungen des Auges bezogen auf die Hauptpunkte and auf die Mitten der Eintritts- nnd Austrittspul0flle, tIauptpunktsrefraktion und Pupillenrefraktion. Das Auge k~nn man in erster Ann~herung Ms ein zentriertes optisches System aus brechenden Kugelfl~ehen auffassen. Die brechenden Elemonte sind die I-Iornhaut und die KrystMlinse. In der Fig. 1 sei ein emmetropisches Auge in Akkommodationsruhe dargestellt. F i s t der vordere, F ' der hintere BrenrJpunkt, der sich auf der Netzh~ut befinder. S ist der Hornhautseheitel, H und H ' sind vorderer und bin, terer Hauptpunkt. Nach dan Lehren der geometrisehen Optik sind dann

......~ C

Ft

Fig1. .

F H = [o

und

F'H'=

f~

vordere und hintere Brennweite des Auges in A k k o m m o d a t i o n s r u h e . Es besteht ferner die bekannte Beziehung

wo n d e r Brechungsexponent im Objektraum und n' der des Bildraums, bier des GlaskQrpers, ist. Wegen n = 1 (Luf~) und n' = 1,336 ist also:

l0 ]6

1 1,336 "

M~n hat Durehsehnittsaugen (sehematische Augen) aufgestellt, yon denen wir einige Daten betreffs des H e l m h o 1t z sehen und G u ll s t r a n d sehen angeben wollen. I. Nach H e l m h o l t z ist: ]o = 15,50 mm, ]g = 20,71 S H ~ 1,75,

II. Naeh G u l l s t r a n d

S ' H " ~ 2,10.

ist: i0 = 17,05, ]g = 23,72

S H = 1,35,

S ' H r = 1,60.

Beitrug zur Theorie der Sehszh~rfe.

309

Wenn auch die menschlichen Augen individuellen Schwankungen unterliegen, so entfernen sie sich doch erfahrungsgemgt3 durehsehnittlich nicht welt in ihren Konstruktionsdsten yon gewissen Mittelwerten. Bekanntlieh kann man diese Voraussetzung aueh fiir den weitaus grSltten Tefi der ametropisehen Augen maehen, wenn ngmtieh die Ametropie lediglieh eine Folge der Verl~ngerung oder Verkiirzung des Augapfels ist (Achsenametropie), wghrend der verhgltnismggig selten vorkommende Fall starker Brennweitenver~,nderungen (Kriimmungsametropie) sich welter yon der Norm entfernen kann. Fig. 2 stellt den Fall des akkommodierenden emmetropisehen Auges dar. Die Brennpunkte F u n d F' nghern sieh dem tIornhautscheitel S. Der Punkt P, auf den das Auge akkommodiert, is~ jetzt dem Netzhautpunkt N konjngiert (d. h. kommt in 3/ znr sehai{en Abbildung). P1 sei der Nahpunk~, der bei Erseh6pfung der ganzen Akkommodation erreicht wird. Das G u l l s t r a n d s c h e Auge trggt hinsichtlich der bei der Akkommodation eintretenden Kriimmungsgnderung der optischen Elemente des Auges den tatsgehlichen Verhgltnissen besser Reehnung wie das H e l m h o l t z s e h e . Fiir unsere Zwecke, wo es sieh nut um eine erste Orientierung handelt, sind diese Unterschiede jedoch belanglos. Wit machen jetzt die erfahrungsmgBig gesieherte Annahme, daft die X n d e r u n g der L a g e der t I a u p t p n n k t e bei der A k k o m m o d a ~ i o n v e r n a c h l g s s i g t w e r d e n k a n n . Tatsgchlich betriigt die Versehiebung nur wenige Zehntel eines Millimeters. Unter dieser Voraussetzung erscheint der Akkommodationsvorgang aufterordentlich einfach. Indem wit die praktiseh festen Punkte H und tt" als Fixpunkte wghten, setzen wit Iiir den Fall der Akkommodationsruhe: 1 n' f-/= = Do.

pt

e'

' I

F1

,SN//NH' F'/V ~

.....

rag. 2.

Ist ] die Brennweite des Auges, wenn es auf Punkt P (Fig. 2) akkommodierg, so sei 1

1 Hier stellen D o und D die in Dioptrien gemessenen Breehkrgfte dar, wobei die GrSgen ], ]o, [~ in Me~ern ausgedriiekt sind. 21"

310

A. Gleichen:

Wir setzen ferner in Fig. 2 fiir den Zustand der A k k o m m o d a t i o n

PH:a,

H'N~b

und 1 --

a

=

A

n1 -- = b

'

B

(1)

"

] ) a n n besteht die fiir jedes zentrierte System giiltige Gleichung: A + B = D.

(2)

Es ist abet wegen der Unver~nderlichkeit yon 111 auch H t N ~ b -~/0 u n d also B ----

n t

n t

b

/g

D O.

(3)

Gleiehung (2) liefert also: A+D

o=D

oder

A=D--D

O.

(4)

Die Brechkraft D des akkommodierenden Auges ist also u m die objektseitige P~efraktion A grSBer als die Brech_kraft D o des ruhenden Auges. Sei z. B . . D o ~ 60 Dioptrien und a k k o m m o d i e r t das Auge auf einen 20 am ~on H entfernten P u n k t P, so ist A ~ 5 Dioptrien, u n d m a n erhglt aus (4) D = 60 + 5 = 65 Dioptrien. D e n k e n wir tins in Fig. 2 ein Objekt y o n der Gr6Be c¢, das im P u n k t e P senkreeht zur Achse steht, und sei ~6 das zugehbrige Bild auf der Netzhaut, so gilt fiir jedes zentrierte System bekanntlieh:

A = ~.

(5)

I n dem speziellen Falle der A k k o m m o d a t i o n des Auges ergibt sich a u s (3):

A = Do"

(6) fl

5

1

I n unserem Beispiel war A ~ 5 u n d D O= 60, so dab . . . . . . "-- ist. c¢ 60 12 Die Bildgr6Be auf der N e t z h a u t betr~gt also den zw61ften Tell der Objektgr6Be. Mittels der Gleiehungen (4) und (6) beherrseht m a n den A k k o m m o d a t i o n s v o r g a n g vollst~ndig; jedoeh versagt die Gleiehung (6) fiir d e n Fall des r u h e n d e n emmetropischen Auges, da alsdann a ~ o0 und d e m n a e h A ~ 0 wird. I n diesem Falle ha~ m a n bekannttieh den Winkel co einzufiihren, • u n t e r d e m m a n yore Augenort aus das ferne Objekt sieht, u n d h a t alsd a n n fiir die Netzhautbildgr6Be fl: O)

fl = f0" co = D--~"

(7)

Beitr~g zur Theo1% der Sehsch~rfe.

311

Der Scheitel des Winkels w braucht fiir den Fall sehr ferner Objekte nicht im vorderen Itauptpunkt zu liegen, sondern mu$ nur in einer solchen N~he des Auges angenommen werden, dab seine Entfernung vom Auge gegeniiber der sehr groBen Entfernung a verschwindend klein ist. Die ttauptpunkte sind nicht die einzigen konjugiergen Punkte im mensehliehen Auge, die bei der Akkommodation prakgiseh lest bleiben. Man kann sogar zwei konjugierte Punkge bestimmen, die bei einem gegebenen Akkommodationsgebiet in der Anfangs- und Endlage des Akkommodationsprozesses mathematisch streng aufeinander fallen. Die geringe Lagenvergnderung der Haupgpunkte hgngt wesentlich damit zusammen, dab diese Punkte der vorderen ~lgche der Nrystallinse olotisch sehr na~e liegen, so dab die Kriimmungsgnderung dieser Fli~che bei der Akkommodation ohne wesentlichen Einflul3 bleibt. Es kommt iibrigens bier nicht allein darauf an, dab die Fixpunkte ihre Lage wenig ver~ndern, sondern auch darauf, dab das Verh~ltnis yon Objekt- und BildgrSBe in diesen Punkten nahezu konstant bleibt.

P Fig. 8.

In Fig. 3 seien R und R' zun~chst zwei beliebige konjugierte Punkte, die wir als Fixpunkte w~hlen. Wir kennzeichnen diese Punkte dadurch, da$ ein achsensenkrechtes Objekt @ in R im Punkte / V e i n achsensenkrechtes Bild yon der GrSge @" erzeugt, und setzen in ~Tbereinstimmung mit der G u l l s t r a n d s c h e n Bezeichnung: @' --

@

=

K.

(8)

Im iibrigen entspricht die Fig. 3 genau der Fig. 2, stell~ also den Fall des auf den Punkt P akkommodierenclen Auges dar. Setzen wit noch P R = p und R ' N -= Io', so ist jetzt, wenn wir wieder mit n und n' die Brechungsexponenten ira ersten und letzten Stadium bezeiclmen, allgemein giiltig ffir jedes beliebige zentrierte System: /'-p-t-/

"-~7 = @'@',

(9)

und das Verhgltnis yon Bild und Objektgr61~e in den Punkten 3 / u n d P ist: fl_ = p_' n . ~ (10) o¢ p n' @'"

312

A. GMchen:

Fiihren wir die im G u l l s t r a n d s e h e n Sinne reduzierten Reiraktionen ein, setzen also: p = ~n und p , = np~' (11) und beachten die bekannte Beziehung T~

D ..... /

n t

f'

(12)

so kann man die Gleiehungen (9) and (10) ~uch schreiben: ~.P

+ e'2P' = e.e'D

(13)

und

_#~= P'--P.~ 1).

(14)

Die Gleichungen (13) und (14) entsprechen also genau den Gleichungen (2) und (5) und gehen in diese fiber, wenn man 9 = 9' setzt. Diese letzte Setzung ist ja bekanntlieh die Bedingung dafiir, dab die Punkte R und R' in die Hauptpunkte H und H ' iibergehen, indem jetzt ein achsensenkreehtes Objekt in H ein gleichgrot~es und gMehgeriebtetes Bild in H ' erzeugt. Bemerkt sei ferner, dab die Punkte R und R' in die sog. Knoteniounkte des Auges iibergehen, wenn man die Forderung aufstellt, dab sieh die GrSBen ~ und 9' wie die Breehungsexponenten im Objektund Bildraum, also wie n zu n' verhalten. Diese letzteren Punkte haben jedoeh in der modemen Ophthalmologie kein besonderes Interesse mehr. Wit wollen im folgenden unger R und R' die Mittelpunkte der Eintrittspupille (E. P.) und A u s t r i t t s p u p i l l e (A. P.) verstehen. Die P u p i l l e des Auges ist die wirksame Blende. FaBt man diese als aehsensenkreehtes Objekt auf und bildet sie naeh dem Objektraum dutch die vorgelagerten Systemtefle ab, so erhglt man die (E. P.). Da die Pupille an der vorderen Fl~che der Krystallinse anliegt, so hat also die Abbildung nut durch die Hornhaut hindureh zu gesehehen. Da die letztere bei der Akkommoda~ion ihre Kriimmung nicht gndert, so wiirde sich also der I~adius der (E. P.), der jetzt mit der GrSBe Q identisch ist, ebenfalls ~ c h t ~ndern, wenn man nicht annehmen miiBte, dab die Pupille bei der Akkommodation infolge der vermehrten W61bung der vorderen Linsenflgche. um einen allerdings geringen Betrag nach vorn gedrgngt wfirde. Die Austr~ttspupille (A. P.) mit dem I~adius 9" ~) ~ber die Entwicklung der Formeln (9) lois (14) vgl. z.B. des Verfassers ,,Theorie der modemen op¢ischen Instrumente". Stuttgart 1911. S. 70--74. M~n be~chte fibrigens, dab die dort eingefiihrte GrSge/3 nach der Nomenkl~tur Abbes eine andere Bedeutung hat wie hier, n~mlich d~s VergrSBerungsverhgltnis in konjugierten Punkten darstellt.

Beitrag zur Theorie der Sehschlrfe.

313

wird gefunden, indem man die Pupi]le dutch die KristMlinse hindurch abbildet. Die Anderung der Gr6ge p' ist deshMb sehr gering, weil sieh die Ms Objekt fiir die Abbildung z u betrachtende Pupi!le in unmittelbarer N i h e der vorderen Linsenfliche befindet, durch deren Breehkrafts~nderung der Akkommodationsvorgang ganz wesentlich bestimmt wirdl). Nun ~ndert ja allerdings die Pupille selbst bei vermehrter Liehtzufuhr und bei Konvergenzbewegungen des Auges ihren Durchmesser verh~ltnis:m~13ig stark (etwa yon 2 bis 8 m m ) . An diesen ~ndei~ngen n i m m t aber der Quotient - - = K gar nicht tell. Die Gr6ge K ist naeh den LeJaren der geometrisehen Optik bekanntlieh unabh~ngig yon der absoluten GrSge der wirksamen Blende und i n d e r t sieh nur mit den Lagen~nderungen yon R und R'. Die Abbildungsbeziehungen (13) und (14) sind nun aber tediglieh yon der Gr6Be K abh~ngig, denn man ka,nn ihnen die Form geben: P + K a. P ' = K . D

(15)

und fl

P

i

0¢

P'

K

n p ' l

n'

~) K

(16)

Der Verfasser hat die ~nderungen numeriseh untersueht, welehe die Abbildungsbeziehungen am menschliehen Auge erfahren, wenn man die %mderungen der Lage der Punkte R und R' bei der Akkommodation in Reelmung zieht, und zwar auf Grund des schematisehen Auges yon t t e l m h o l t z . Es ist mit Bezug auf ~ g . 3, wenn man Akkommodationsruhe voraussetzt: S R =- 3,0 m m ,

S R ' = 3,6 m m

trod bei Aufwendung einer Akkommodation von 7 Dioptrien SR :

2,7 m m ,

SR'=3,3mm,

wghrend die GrSBe K im ersten und zweiten Falle die Werte 0,92 und 0,94 annimmt. Eine weitere Untersuchung auf Grund dieser Daten hat ergeben, dab fiir alle iI1 der Praxis vorkommenden Fille der Emmetropie und Ametropie diese J~mderungen auf die Lage und GrSt~e der vom optisehen System des Auges entworfenen yon zu vernachlgssigendem EinfluB sind, nur dab sieh danaeh die P u p i l l e n m i t t e n , d. h. die M i t t e ] p u n k t e d e r (E. P.) u n d (A. P.), ebenso gut als ~ixlounkte eignen, wie die tIaupt1) Von der geringen Or~sveranderung der Pupilte bei v~riabler Beleuehtung sehen wir bier ab.

314

A. Gleichen:

punkte. Fiir die weiteren Untersuchungen ist die letztere Z~hlweise unerl~i~lich. I n f o l g e n d e m n e h m e n w i r a l s o d i e M i t t e l p u n k t e d e r (E. P.) u n d (A.P.) w ~ h r e n d d e r A k k o m m o d a t i o n a l s l e s t a n u n d b e ziehen die objekt- und bildseJtigen l%efraktionen P und P' ~uf diese Punkte. I s t in ~ig. 4 wieder P der Punkt, auf den d~s Auge scharf eingestellt ist, und sind H und R der vordere H a u p t p u n k t und der Mittelpunkt der (E. P.), so ist also: P H ~- a und P R ~ p . Setzt ma,n fi~ einen Augenblick H R = e, so ist p - a = ~, oder 1

1

. . . . P A

P I

Fig. 4.

~.

(17)

C

Dureh diese Gleichung ist der Zus~mmenhang zwischen den l~efraktionen A und P gegeben. F i i r s k~nn mail etwa den Wert 1 m m bis 1,5 m m setzen, so dab sich die A-Werte yon den P-Werten praktisch k~um unterscheiden. Fiir A ~ 10 d p t r und e = 0,001 m liefert Gleichung (17) z. B. P ----9,90, also nur eine Differenz yon 10 Dioptrien. Fiir kleinere Werte yon A wird diese Differenz entsprechend noch geringer. Fiir die GrSBe K , die wir ebenfMls Ms unver~nderlich annehmen, werden wit im lolgenden den Mittelwert K = 0,92

(i8)

annehmen. Der Akkommodationsvorgang stellt sich mittels der neuen Fixpunkte ebenfMls ~uBerordentlioh einfach dar. Li~Bt man die Gleichung (15) fiir das ruhende Emmetropenauge gelten, so ist P ----0 and D ----D o zu setzen, und man erh~lt K . P ' = D o, wo nun P ' = ~ n" w~hrend des ganzen Akkommodationsvorganges konstant bleibt. Infolgedessen kann man Gleichung (15) sehreiben: P -~ K (D - - Do), welche der Gleichung (4) entspricht.

Gleichung (16) liefert nun

fl -- P DO analog der Gleichung (6).

(19)

(20)

]3eitrag zm" Theorie der Sehsch~rfe. Das a c h s e n a m e t r o p i s c h e

315

Auge.

a) Myopie (M). ])as achsenametropisehe Auge unterseheidet sieh vom emmetropisehen lediglich dutch die Verschiedenheit der G~nge des Auges in der Achse, w~hrend die Brechkraft und die Lage der Punkte H und H' und R und R' als mii den entsprechenden Werten im Emmetropenauge iibereinstimmend angenommen werden. In Fig. 5 sei ein myopisehes Auge dargestellt mi~ dem Fernpunkt Pn and dem Nahpunk~ P1- Das Auge m6ge auf den Punkt P akkommodieren, der also dem Netzhautpunkt N konjugiert ist. Den Punkten P, P1 and P~ kommen also die Refraktionen A, A~ und A n resp. P, P1 und /)2 zu, je naehdem man die Hauptpunkte oder die Pupillenmitten als Fixpunkte annimmt.

I

I

"

~

I

N

Fig. 5.

Ist wieder D die Brechkrait des Auges im akkommodierten Zustande, so bestehen die beiden Gleiehungssysteme (2) and (5) resp. (15) und (16) A ~B

a

= D

A B

P-~- K 2 . P ' =

Z c~

P P'

K.D

1 K"

(21)

(22)

Die Strecken H ' N reslo. RtN und demnach auch die Gr6Ben B und p, bleiben bei der Akkommodation konstant. Die GrSSen A resp. P nehmen alle mSglichen ~Terte an, zwischen den Nahptmktsreffaktionen A~ und P1 und den Ferngunktsrefraktionen A n und Pn. Bei Einstellung auf den Fernpunkt, also bei Akkommodationsruhe, ist die Breehkraft des Auges D 0. Aus der Gleichung (21) erh~lt man fiir den Fernpunkt:

An + B = D o

[ P2 + K2. P ' = K . Do

und demnach A--A2=D--D

O ] P--P2=K(D--Do).

(23)

Die letzteren Gleichungen kOnnen z.B. dazu dienen, die Brech kraft des Auges im akkommodierten Zustand zu berechnen, wenn die

316

A. Gleiohen:

Fernpunktsrefraktion (A bzw. P) gegeben ist. Die Gteiehungen (22) lieiern ferner: A

o¢

.Do -- A~

p

und

0¢

P2 ' K

D°

(24)

b) Hypermetropie (H). Beim hypermetropischen Auge liegt der Fernlounkt P~ bekanntlich virtuell hinter dem Auge, wie dies dureh Fig. 6 dargestellt ist. Bei dem yon uns eingefiihrten Sinn der Z~hlung sind also die Strecken H P ~ -~ a~ und R P 2 ---- p~ , und demnach aueh dieFernpunktsrefraktionen A~ = I__ un4 P2 ---- -~ n e g a t i v in Anreehnung zu bringen. Der N a h as

P2

t~unkt P1 (Fig. 6) und der beliebige Punkt P, auf dan das Auge akkommodiert, k6nnen bekanntlich entweder virtuell oder auch reell sein, in einem besonderen Halle auch gerade im Unendlichen liegen. Jedenfalls ist die GrSBe A s resp. Pe immer negativ anzusetzen, wghrend die GrSge A negativ, Null oder such positiv sein kann.

Fig. 6.

Die Formeln (9,3) und (24) gehen also in die ffir das h2~Termetropisehe Auge fiber, wenn man A s resp. P2 negativ setzt. Man erhglt : A + A s = D - - Do

P + Ps = K (D -- Do) fi

~x

Do -

As

~x

P

Ps " Do + K -

(25) (26)

Liegt z. B. (H) yon 5 Dioptrien vor, bezogen auf den vorderen Hauptpunkt, so ist A s = 5 und Gleiehung (25) wird, werm wir D o = 60 ansetzen:

A+5=D--60 oder D---65+A. Ffir das ruhende Auge ist A ---- - - 5 und D wird gleich D 0. Dutch das Einsetzen der Akkommodation erhfi.lt A kteinere negative Werte. ]:st z. B. A = - - 3 , was etwa der Lage des Punktes P in Fig. 6 entsprieht,

Beitrag zur Theorie der Sehsch~rfe.

317

so erh~It man D = - 6 5 - 3 = 62. Liegt der Nahpunkt des Hypermetropen im Reellen, so kann A durch Null hindarehgehend positive Werte annehmen. Fiir A = 0 ist D = 65 und der Hypermetrop sieht seharf in die Ferne. Liegt der Fixationspunkt im Reellen, so wird A positiv wie beim myopischen Ange und D vergrSBert sich, bis A seinen grOl~ten Wert A 1 (Refraktion des Nahpunktes) angenommen hat. Die Gleichungen (26) haben fiir uns jetzt n u t Interesse ffir positive Werte yon A, d.h. fiir den Fall reeller Objekte c¢. Akkommodiert unser Hypermetrop z.B. auf einen Punkt, der 25 cm yore vorderen ttauptpunkt entfernt liegt, so ist A = 4 und Gleiehung (21) liefert 4 _

_

4 ~

60 -}- 5

_

65 "

Die Behandlung der auf den Mittelpunkt der (E. P.) bezogenen Gleichungen ist ganz analog, wenn man darin fiir K den Mittelwert 0,92 setzt.

3. Allgemeine Definition des Begriffs Sehvermiigen fiir seharfes und und unseharfes Sehen. Der iJbungskoeffizient. Das Sehverm6gen hgngt ab yon dem Meblsten ~qetzhautbild fi, das noeh gerade getrennte Sinneseindriicke naeh dem Gehirn vermittelt. FM3t man das Ange gewissermafien als Projektionsapparat auf, so kann man sich vorstellen, da$ es yon einem Netzhautstiick der Gr6$e fi ein Bild ~ im Objektraum entwirft, das bei Emmetropie und Akkommodationsruhe im Unendlichen, sonst an der zur Netzhaut konjugierten Stelle im Endliehen liegt. Das dem kleinsten Netzhantbild fi konjugierte Bild ~ im Objektraum (d. h. im freien lgaum vor dem Auge) m6ge vom Mittelpunkt R der Eintrittspupille des Auges aus unter einem Winkel Y20 erseheinen, den man den ; , p h s y o l o g i s e h e n t ~ r e n z w l Ke nennt. NTach einer gel/£ufigen Annahme definieren wir dann das S e h v e r m S g e n S als e i n e G r S S e , die d e m W i n k e l ~(20u m g e k e h r t p r o p o r t i o n a l ist~). In Fig. 6a sei wieder ein Auge dargestellt, das auf den Punkt P scharf eingestellt ist, so dab also P dem Netzhautpunkt N konjugiert ist. Das kleinste Netzhautbild habe einen Durehmesser C E := 8 , den wir uns dutch N halbiert denken. Im Objektraum entsprieht dem Bild fi das Objekt bei P yore Durchmesser A B = ~, das dureh Punkt P halbiert ist. Der physiologische Grenz~4nke] ist gegeben durch ~ARB

~- ,,(2o

=: 2 ~o0,

x) Wahlb man als Scheitelpunkt des Grenz~4nkels andere Fixpunki~ als den Mittelpunkt der E. P. des Auges, so gelangt man zu abweichenden Definitionen des Begri~s der Sehseh~rfe. Vgl. z.B. He!mholtz, Physiol. Optik. 3. Aufl. S. 313£

318

A. Gleiehen:

wo also coo die Winkel sind, welche die Geraden A R und BR mit der Achse bilden. l~iir f20 hat man bekanntlieh einen mittleren Weft yon einer Bogenminute angenommen. Im Bogenmag ist der mittlere Wert 0,000291. Einem Auge mit diesem mittleren Wert schreibt man das SehvermOgen E i n s zu. Nach dem Obigen definieren wit das SehvermOgen S dureh C

(2o ' wo c eine Konstante und D0 der physiologische Grenzwinkel des gerade in Frage kommenden Auges ist, der also grOger oder Meiner als eine Winkelmifiute sein kann.

Fig. 6 a,

Wir messen in folgendem die Winkel immer im BogenmaB. Verlangen wit dann, dab S den Wer~ E i n s fiir D -~ 0,000291 annimmt, so liefert die letzte Gleichung C

0,000291 oder

c~0,00029, und man hat: 0,000291 P0

S - -

In Fig. 6a ist P R =-p ~ ,

1

(27)

und man hat P

Gleiehung (27") liefert atsdann: =

0,000291 P-S

(27a)

wo P die Reffaktion des Auges ist. o¢ ist also hier der Dm'chmesser des kleinsten Objektes in der Entfernung p, welches yore Auge nicht mehr in Details aufgel6st werden kann. Ist P z . B . gleich 4 Diolotrien, was der konventioneIlen Lese-

Beitrag zur Theorie der Sehscharfe.

319

weite yon p = 25 cm entspricht, so ist z. B. flit S ~ ½-; ¢ ~ 0,000145 m = 0,145 ram. I s t ferner z. B. ffir S = 1, p = 2000 m, so wgre ~ -= 58 cm. Innerhalb einer Kreisfl~che yon 58 cm Durchmesser kann also ein Auge yon S ~ 1 aus einer Entfernung yon 2 k m keine Details und auch z. B. keine Farbennuancen mehr erkennen. ]Die betreffende Fl~che erscheint, wenn sie hell genug beleuchtet ist, vielmehr als farbiger P u n k t in der Mischfarbe.

3. Das Sehen mittels Zerstreuungskreisen. Das soeben definierte SehvermSgen S ist, wenn man yon Beugungserscheinungen absieht, unabh~ngig yon der GrSl~e der Pupille, weft es sich hier um s c h a r f e A b b i l d u n g auf der ~Netzhaut handelt und der fixierte P u n k t dem 1N~etzhautpunkt konjugiert ist. Nun k o m m t es aber h~nfig vor, dab ein Objektpunkt nicht scharf auf der Netzhaut zur Abbildung gelangt, wenn ngmlich der betreffende P u n k t aul~erhalb des Akkommodationsgebietes des Auges liegt, oder das Auge einen n~her oder entfernter liegenden Objektpunkt fixiert. An Stelle eines Punktes erscheint alsdann ein Zerstreuungskreis auf der Netzhaut, der yon der GrSl~e der Pupille abhgngig ist. Das jetzt vorhandene Sehverm5gen mul~ also yon der GrSBe der Pupille abh~ngen und folgt ganz anderen Gesetzen als die Sehschgrfe bei scharfer Abbildung auf der Netzhaut. U m diese Verhgltnisse anschaulicher zu machen, sei in Fig. 7 ein Auge dargestellt, das auf den P u n k t P scharf eingestellt ist, so dal~ also P dem Netzhautpunkt iV konjugiert ist. Wir kSnnen uns unter P z . B . den N a h p u n k t eines myopischen Auges vorstellen. Die Sehsch~rfe in diesem Punkte folgt also der oben gegebenen Definition. t/

V

Fig. 7.

Will nun das Auge einen etwas n~her gelegenen P u n k t bei I fixieren, so wird, wghrend das Auge immer scharf auf P u n k t P eingestellt ist, dieser letztere P u n k t bei iV einen Zerstreuungskreis erzeugen, der um so grSt~er ist, je grSl~er die Pupille ist. I s t dieser Zerstreuungskreis kleiner als das kleinste Netzhautbild fi, so wird er die physiologische

320

A. Gleichen:

Seh~rfe der Abbildung nicht beeintr~ehtigen und die Sehsch~rfe im Punkte I folgt der obigen Definition. Dieses Verhalten wird sieh erst ~ndern, wenn bei weiterer Entfernung des Punktes I yon P der Durchmesser des Zerstreuungskreises gr6Ber wird als die Gr6fte ft. Bekanntlich tritt dies ein, wenn der Punkt i aus dem Teile der sog. A k k o m m od ~ t i o n s l i n i e hinaustritt, der sich yon P aus nach dem Auge zu erstreckt. Liegt der Punkt, den das Auge fixieren m6chte, etwa bei P r a,uBerhalb der Akkommodationslinie, so wird der bei N erzeugte Zerstreuungskreis einen Durehmesser 2 z' h~ben, der gr61~er als fl ist, wobei also immer das Auge scharf aui P eingestetlt ist, so dal] P und N konjugierte Punkte sind. Denkt man sich den Zerstreuungskreis 2 z ' in den Objektraum hinausprojiziert, wie wir dies oben mit dem k]einsten Netzhautbild fi vorgestellt haben, so wird er bei P ein reeltes scharfes Bfld yon der Gr61~e U V erzeugen, das veto Mittelpunkt R der (E. P.) aus unter dem Winkel ~ erscheinen m6ge. Alle Objekte, die sich innerhalb des V~inkel raums t~ befinden, sind also nieht aufl6sbar. Insbesondere hat jener objektseitige Zerstreuungskreis bei P I die Gr6t~e TW. Der Winkel Y2 spielt also jetzt gewissermalten die Rolle des physiologischen Grenzwinkels beziiglieh der Sehseh~rie beim Versuch den Punkt Px zu fixieren. Ffir die weiteren Betraehtungen bediirfen wit ehmr ]3eziehung zwischen dem Winkel ~ und den Konstaaten des Auges so~de des herrsehenden t~efraktionszustandes, die wir jetzt entwickeln wollen. IA~eh>Ta

& ....

I

P

G

<~

R

~'

Z,

-

C F i g . 8.

Es seien in Fig. 8 R und R" die l%fittelpunkte der (E. P.) und (A. P. des Auges; den beiden Objektpunkten P und Px en%loreehen die Bildpunkte P ' und P~. Der Punkt P ' liege auf der l%etin~, w~hrend ein yon Pz a,usgehender, den Rand der (E. P.) und demnach auch den Rand K der (A. P.) durchdringender Strahl bei J die Retina durehst68t, indem er naeh P~ konvergiert. Der Punkt Pz wird atso als Zerstreuungskreis auf der Netzhaut veto lZadius J P ' = z' abgebildet. Setzen wir PR :

p,

P'R' :

p',

P,R

~ p,,

.R'P~ ~- p~,

]Seitrag zur Theorie der Sehschi~rfe. so h a t man bekanntlich fill' den Radius J P ' = kreises

321

z' des Zerstreuungs-

Zufolge der ~ig. 8 ist nun: Z~

o g t

Ferner ist aus Fig. 8, wenn wir fiir einen Augenbliek PC = z setzen: Z

o9 ~

--

P Z

Z~

z p 79 Z

der Quotient ~ ist aber identiseh mit dem Ausdruck

~x fl

n~p np'

1 K

gem~l~ Gleichung (16), so dab man h a t :

n'z'. K

co =

- - n - p~

(29)

Gleiehung (28) wird jetzt, wenn wir dan aus (29) folgenden Wert einsetzen:

n'K

= ~'

P'

oder: o9 . ~ -

=

= ~o'( P ' - - e l ) .

(30)

Denk~ m a n sich nun die Gleiehung (15) zweimal hingeschrieben, und zwar einmal fiir das konjugier~e P u n k t p a a r P und P', mad das andere Mal ffir das ebenfalls konjugierte P t m k t p a a r P I und P [ , und zieht die so entstandenen Gleiehungen voneinander ab, so wird:

p~ = P I - - P K~

pt_

Setzt m a n diesenWert in Gleiehung (30) ein, so wird wegen K wenn man noch n = 1 setzt:

0

£O

-D

=

PI

--

P

(31)

322 oder: wenn man 2 co : messer der (E. P.) ist:

A. Gleichen: Y2 und 2 ~ : d setzt, wo also d der DurehP l - - P ~- -~-

(32)

eine Gleichung yon grundlegender Bedeutung. L~ge der den Zerstreuungskreis auf der Netzhaut bildende Punkt P2 welter als P yon R entfernt (Fig. 8), so h~tte eine ganz analoge Betrachtung zu der Gleichung: t2 P n -- P ~ ---~(33) gefiihrt. Bemerkt sei noch einmal, dab t2 derjenige objektseitig gemessene Winkel ist, unter dem der in den Objektraum hineinprojizierte Zerstreuungskreis vom Punkte R aus erseheint. Der Winkel ~2 ist also identiseh mit dem dutch Fig. 7 dargestellten Winkel t2. Die im pei'~xialen Gebiet streng giiltigen Gleiehungen (32) und (33) sind bemerltenswert dadurch, daB sJe auBer yon d, y o n a l l e n K o n s t a n t e n des o p t i s c h e n S y s t e m s des A u g e s u n a b h & n g i g sind. Bemerkt sei noch, dab wenn wir mit irgendeinem Me{~instrument den Pupillendurehmesser festste]len, wir nieht den Pupillendurehmesser, sondern den Durchmesser d der (E. P.) messen, weft die ~[essung dutch das Hornhautsystem hindurch geschieht. Die einzige in den Gleiehungen (32) und (33) vorkommende Konstante d ist also der direkten Messung leicht zug&nglieh. Es liegt nun nab'e, das Sehverm6gen bei Sehen mittels Zerstreuungskreisen in analoger Weise zu definieren, wie dies beim Sehverm6gen beim Sch~rfsehen geschieht. Dann w[irde man also ffir den Punkt Px haben: 0,000291 £2

Sx= oder gem~B Gleichung (32)

0,000291 d(Pz -- P)" Analog w~re fiir einen Punkt PH 0,000291 d(P - pn).

Sieht z . B . ein Myop yon der Fernpunktsrefraktion P Dioptrien unbewaifnet in die Ferne, so ist Pzx = 0. Nimmt man fiir den Durehmesser der (E. P.) des Auges einen mittleren Wert yon d = 0,00291 m an, so liefert die letztere Gleichung: 1 Sii

=

I-b--P-

"

Bei~rag zur Theorie der Sehscharfe.

323

Fiir Werte yon P = 1, 2, 3, 4 usw. Dioptrien wiirden sich also Werte Yon SH gleich ]¢, 1 ~ , ~v, ~¢ usw. ergeben. Der Abfall des Sehverm6gens w~re also hiernach aul~erordentlich stark und s t e h t mit der Erfah1~ang im Widerspruch. Wenn z . B . ein Myop yon 4 Dioptrien mit unbewaffneten Augen eine Probetalel betraohtet, die fiir das Sehen aus der Ferne eingerichtet ist, so kann man unschwer feststellen, dab sein SehvermSgen bedeutend gr6i~er ist, als die obige Formel es ergibt. Man kann etwa ein SehvermOgen yon T% his xlv feststellen. Die Griinde fSr diese Erscheinung sind im einzetnen rechnerisch noch nicht festgestellt. G u l l s t r a n d 1) macht die eigenartigen Aberrationen im menschlichen Auge und die Beugung an den Pupillenr£ndern da~iir verantwortlich. DaB derartige Verhaltnisse hierbei eine gotle spielen, ist sehr wahrscheinhch, da ja yon den relativ groi~en Zerstreuungskreisen eine grol~e Anzahl yon perzipierenden Elementen, insbesondere Z~pfchen, angeregt werden, wodurch eine erhShte 0rientierung infolge der kaustischen Linien und Beugungsfiguren ermSglicht wird, denen zufolge die Intensitat des Lichtes innerha]b eines Zerstreuungskreises keineswegs konstant ist. Da man also zur Zeit nicht in der Lage ist, die bier mitwirkenden physiologischen und psychischen Einflfisse rectmerisch zu veffolg~n, so kann man sich nach dem Vorgange S a l z m a n n s dadurch helfen, dab man den obigen Gleichungen einen Koeffizienten ~ hinzufiigt, den man , , U b u n g s k o e f f i z i e n t e n " nennt. iKan hat also dann z.B. 0,000291 •

Siz

d(P - -

PI~)

(33a)

"

Die Gr61~e )~ ist der Natur der Sache nach eine sehr zusammengesetzte Funktion, deren Darstellung wohl allgemein nie gelingen diirfte, wenn dabei Form, Farbe, Beleuchtung, Kontrastverh~itnisse der Objekte beriicksichtigt wcrden sollen, ganz abgesehen yon den mehr psychischen Einfliissen der wirldichen Ubung im Sehen. Allgemein laBt sich yon der Funktion 2 n u t aussagen, dal3 sie an der physiologischen Grenze des scharfen und unscharien Sehens den Wert Eins haben muB, damit die Kontinuit~t beim Ubergang yon der einen zur anderen Art des Sehcns erhalten bleibt, wie spate r noch ausgefiihrt wird. Nach der Lehre yon der naturgetreuen photographischen Abbfldung 2) hat der Verfasser sich eine geihe yon Photogrammen herstellen lassen, welohe genau den Eindruck wiedergeben, welchen ein Auge empf~ng~ 1) ttelmholtz, Physiol. Optik. 3. Atffl. S. 318 u. 319. 3) Vgl. ,,Die Grundgesetze der naturgetreuen photographischen Abbildung." Halle a. S. 1910. v. Graefes Archly flir Ophthalmologie. Bd. 93.

22

324

L Gleichen:

(~bgesehen allerdings yon den Aberrationsresten der betreffenden Objektive). Daraus ergab sich, dab ffir relativ geringe Sehsch~i{en~nderungen, also in der N~,he der Pointierungsebene, die Funktion )~ konstant und gleich der Einheit, angenommen werden kann, wenigstens mit dem Grade yon Ann~herung an die Wahrheit, der allen Definitionen und Betrachtungen fiber die Sehsch~rie eigen ist. Bei st~rkerem Abfa]l der Sehseh~rfe, etw~ fiber S ---- ½ steigt ~ sehr schnell etwa bis zu Weft 3 hinauf, wenigstens bei Verwendung der iiblichen Priifungstafeln; doeh hat die letztere Zahl wegen der schon erw~hnten, schwer zu kontrollierenden I~ebenumst~nde nur bedingten Wert. F i i r die w e i t e r e n B e t r ~ c h t u n g e n e r w ~ c h s t fiir uns aus dem g e s c h i l d e r t e n V e r h ~ l t e n die V e r e i n f a c h u n g , daft wir g e r a d e fiir d e n uns b e s o n d e r s i n t e r e s s i e r e n d e n F a l l der S e h s e h ~ r f e a b n a h m e bei u n g e n a u e r B r i l t e n b e s t i m m u n g ~----1 s e t z e n k 6 n n e n , da es sieh b i e r i m m e r u m v e r h ~ l t n i s m ~ l ~ i g g e r i n g e ~ n d e r u n g e n y o n S u n d d e s h a l b a u c h der e n t s p r e c h e n d e n Zerstreuungskreise handelt. 4. Das Sehvermiigen bei Ametropie innerhalb des Akkommodationsgebietes. InnerhMb des Akkommod~tionsgebietes vermag ein Auge den fixierten Punkt scharf auf der Netzhaut zur Abbildung zu bringen. Das Sehverm6gen ist also durch den lohysiologischen Grenzwinkel ~20 bestimmt. Aus den Gleichungen (24) und (26) folgt, da 0~

~Qo-~--=a.P P ist, ffir myopische Augen

und far hypermetropisehe

wo also fi das kleinste Netzhautbild und Do der physiologisehe Grenz winkel ist. Demnach ist : S = 0,00029 = . 0,00929 (34) ~2°

/3 ~(DO+~)-P2 '

je naohdem (M) oder (H) vorliegt. Hier ist, um es noeh einmM zu sagen, D o die Breehkraft des Auges im I~uhezustand, P2 die Pupillenrefra,ktion ~iir den. Fernpunkt nnd K

Beitrag zur Theorie der Sehscharfe.

325

das Verh~ltnis des Durchmessers der (A. P.) des Auges zum Durchmesser der (E. P.). Ein Mittelwert fiir K ist, wie oben erwghnt, K = 0,92. Fiir P~-----0 liefert die letzte Gleichung das Sehverm6gen fiir das emmetropische Auge 0,00029 S = ft. D-----o--. (35) Handelt es sich um ein bestimmtes Augenindividuum, so ist fl unvergnderlich. Da nun auch die Gr61~en D 0, P~ und K unvergnderlich sind, so lehren die letzten ~leichungen: Jedes einzelne A u g e n i n d i v i d u u m hat dasselbe Sehverm S g e n i n n e r h a l b des g a n z e n A k k o m m o d ~ t i o n s g e b i e t e s . Bei Achsenametroloie verhalten sich die SehvermSgen der emmetropischen, myopischen und hypermetropischen Augen bei gleicher Funktionstiichtigkeit der Iqetzhaut umgekehrt wie die Gr6Ben Do, D o

P2 K

und D o ~- P2

K" Dementsprechend verhalten sich auch die SehvermOgen eines emmetropischen und eines unter Akkommodationsanstrengung auf unendliche Ferne eingestellten hypermetropischen Auges wie D O~- ~P2 - : Do

.

Der ttypermetrop sieht also schlechter in die Ferne als der Emmetrop. A n m e r k u n g : Wenn man ein achsenametropisches Auge mit einem am Orte des vorderen Brennpunk~s aufgestellten Brillengtas korrigiert, so hat die Kombination yon Auge und Brillenglas bekanntlich die Brechkraft D o und es ist Qo--fl" Do oder die Sehschgrfe1) S -- 0,00029 _ 0,00029 £2o

Die Sehschgrfe ist also in diesem Falle iden-

# . Do "

tisch mit dem Sehverm6gen des emmetropischen Auges. Die letztere Beziehtmg gilt abet nut fiir das Sehen in die Ferne. Setzt bei dem fiir die Ferne korrigierten Ametropenauge die Akkommodation ein, so gndert sich im Gegensatz zum Sehverm6gen des unbmwffneten Auges die Sehschgrfe. Die letztere bleibt zwar konstant flit den Mittelpunkt der (E. P.) der Kombination von Brfllenglas und Auge, nicht aber fiir den yon uns gewghlten Fixpunkt, der dutch den Mittelpunkt der (E. P.) des u n b e w a f f n e t e n Auges dargestel]t ist. Ebenso bedarf die ~nderung der Sehschgrfe der brillenbewaffneten Ametropenaugen einer besonderen Untersuchung, falls die Kombination yon Auge und Brflle eine endliche Fernpunktsrefraktion (z. B. ~qahbrille) erzeugt. 1) Das Sehverm6gen des brillenbewaffnetenAuges bezeichnen wir ats Sehschgrfe. 22*

326

A. Gleichen:

Aus dem Gesagten geht fibrigens hervor, dM3 beim Fixieren ferner Objekte bei einem bestimmten hypermetropisehen Auge, und zwar einmal mittels der FernbriUe, das andere Mal unter Akkommodationsanstrengung, die Sehsch~rfe zum SehvermSgen sich verhgl~ wie D O+ ~ P2 - zu D 0.

Es finder also eine Aufbesserung des AuflSsungs-

verm0gens durch die Fernbrille start. 5. Tiefe und Akkommodation. Unter der ,,Tiefe" eines optischen Systems versteht man die Eigensch~ft, nicht nur eine bestimmte Objektebene, sondern auch noch benachbarte Ebenen aui der Bildebene zur p h y s i o l o g i s c h schal~[en Abbildung zu bringen. Fiir die Photographic hat diese Eigenschaft grol~e Bedeutung gewonnen. L~ der Funktion des Auges tritt sie gegeniiber dem iiberlegenen Mittel der Akkommodation zuriick. Die Tiefe des Auges w-ird dutch die beiden Gleiehungen (32) und (33) Px -- P = ~-

und

P n -- P = ---~

(35a)

bestimmL wenn man diese Gleichungen fiir diejenige Stelle der optisehen Achse gelten l~13t, wo infolge des unscharfen Sehens gerade eine merkbare Verringerung des Sehverm6gens eintritt. Im Sinne der geometrischen Optik tritt dies ein, sobald der Winkel t) gleieh dem Winkel f20 wird, weft dann der Zerstreuungskreis an Gr6Be gleieh dem entsprechenden kleinsten Netzhautbild fl wild, durch welches das SehvermSgen innerhalb des Akkommodationsbereiehes bestimmt wird. Mit Reeht bem~ngel~ G u l l s t r a n d eine solehe SehluBweise, indem er hinweisend auf die Aberration im Auge und die Beugungserscheinungen sagt, dab die exakte Untersuchung der Tiefe der Abbfldung im Auge, der Akkommodationslinie C z e r m a k s , ein sehr kompliziertes mathem~tisches Problem seil). Da aber zur Zeit gar keine Aussieht besteht, dieses Problem exal~ zu 16sen, und diese L6sung doch nur gewisse fiir die Praxis kaum in Betracht kommende Korrektionswerte liefern wiirde, in ghnlieher VVeise wie dies etwa der Fall ist bei der beugungstheoretisehen Untersuehung Air ys fiber den gegenbogen, so werden wir den bestehenden Verhgltnissen am besten Rechnung tragen, wenn wir hier 2 = 1 setzen, da es sich jetzt um die Meinsten fiir unscharfes Sehen in ]3etracht kommenden Zerstreuungskreise handelt. In den Gleichungen (35a) rficken also die Punkte Pr und P~/ mit den Refraktionen Pz und PH in die beiden Endpunkte p0 und p0 der Tiefenstrecke mit den zugeh6rigen Refraktionen, die ebenfalls mit 1~ I-Ielmholtz, Physiol. Optik. 3. Aufl. S. 318.

Beitr~g zur Theorie der Sehsch~rfe.

327

P~ und P~ bezeichnet werden sollen, wobei der Winkel D in den speziellen Weft Do iibergeht. Die Ausdriicke -d D° aui der rechten Seite der Gleichung (35a) bezeichhen wir dann als die d i o p t r i s c h e

T-

T i e f e T des Auges und haben:

f2° d

(36)

Da nun das SehvermSgen S innerhalb des Akkommodationsgebietes nach Gleichung (27) dutch 0,000291 S=

.%

bestimmt ist, so wird T = DO d

0,000291 S- d

(36a)

Die Gleichungen (35a) kOnnen wir dann schreiben: P~und

P -- T

p0 __ p = __ T.

(37) (38)

In der Fig. 9 ist P der geometrisch scharf aui der Netzhaut eingest~llt,e Punkt. Infolge der ,,Tiefe" erscheinen nun also auch noch die 1)unkte po und pO, und tiberhaupt alle Punkte zwischen peo p p¢o R p0 und po physiologisch scharf Fig. 9. auf der Netzhaut. Die durch die Punkte p o u n d po erzeugten Zerstreuungskreise erreichen (als Grenzi~lle) gerade die GrSBe des Meinsten Netzhautbildes ft. Die Strecke P I,0~;0 P 2 ist die A k k o m m o d a t i o n s l i n i e . Aus der Form der Gleichungen (37) und (38) geht hervor, dab die Gr6ge T als die Brechkraft einer diinnen Linse, und zwar einmal einer Sammellinse, das andere 5{al einer Zerstreuungslinse, aufzufassen ist und demnach in Dioiotrien auszudriicken ist. Hierdurch wird die Tiefenwirkung des Auges aul3erordentlich anschaulich. Wenn man ngmlich am Oft der (E. P.) des Auges einmal eine Linse yon ~ - T , das andere Mal yon - - T Dioptrien vorschaltet, so verlegt man den Punkt P das eine ~VIal in den Punkt po, den man als N a h p u n k t der Tiefe, das andere ]~{al in den Punkt p027 den man als F e r n l o u n k t der Tiefe bezeichnen kann. Insbesondere gegeniiber der Akkommodationsbreite hat die T i e f e , die man auch als Tiefenbreite bezeicImen kSnnte, sehr kleine Werte. So ]iefert Gleichung (36a) fiir S -~ 1 und d -~ 2,91 ram = 0,00291 m den Wert T = l ~ Dioptrie.

328

A. Gleichen:

Die Tiefe wgehst mit abnehmendem Pupillendurchmesser und mit abnehmendem Sehverm6gen. Zur Best,immung der Lgnge der beiden Zweige der Akkommodationslinie dienen die Gteichungen (36), (37), (38). Es ist ngmlich znfolge Gleiehungen (37) und (38): 1

p0

1

P ~ T

und

P~ -- P -- T "

(38a)

Fixiert z.B. eine Person mit S = ~ und d = 0,0029 m einen 1 m entfernten Punkt ( P = 1), so liefert zungchst Gleiehung (36a) T = - ~ , und aus den GMchungcn (38a) folgt: p0 = ~ m po =17Om. Da p == 1 m i s t , so ist also in Fig. 9 die Streoke

ppo = 1 - - }~ = ~ m = 23 em

und die Strecke p0 p = _,7_~__ 1 = ~- m = 43 em. Die Lgnge der ganzen Akkommodationslinie P~P2 -0 0 in Fig. 9 betrggt also 66 era. h~t abnehmendem Sehverm6gen wgchs~ also die )msdehhung der Akkommodationslinie auBerordenflich. Ist nun in Fig. 10 P1 der g e o m e t r i s e h e NahpunkG P2 der g e o m e t ri s e he Fernpunkt, so ist die a uf R bezogene A k k o m m o d a r i o n sb r e i t e A~ p.°

1~

~

~ I

~o ~

R l

P,-

P~ = A ~ ,

(40)

Fig. 10.

wo, wie friiher, P I und P2 die auf. R bezogenen Refrakt.~onen ffir den Nab- und Fernpunkt sind. An das Akkommodationsgebiet P2P1 setzen sieh gem~B Fig. 10 die Zweige Px p0 und P~ po der Akkommodationslinie an, welche also d~s Gebiet begrenzen, welches noeh p h y s i o l o g i s e h seharf gesehen wird. Infolge yon Akkommodation und Tiefe kommt also das ganze zwischen p0 und p0 liegende Gebiet zur seharfen Abbildung. Die Punkte P~ und p0 k6nnen ~Sr als p h y s i o l o g i s c h e n Nahpunkt resp. Fernpunkt bezeichnen. LgBt man Gleichung (37) flit den Nahpunkt P1 und Gleiehung (38) ffir den Fernpunkt P2 gelten, ersetzt also P dureh P1 resp. P2, so wird : p0 _ Pl = T, p 0 _ P2 = - - T ;

T

0,00029 S-d

(40a)

Hieraus folgt: p 0 _ _ po = P 1 - - P2 + 2 T und demnach :

(41) W i r n e n n e n Me~ die m a . n i f e s t e A k k o m m o d a t i o n s b r c i t e .

Beitrag zur Theorie der Sehscharfe.

329

Bei der praktischen Bestimmung der Akkommodationsbreite, sei es mittels Leseproben, sei es mittels vorgesehalteter Linsen, wird im allgemeinen die Summe Ace + 2 T bestimmt, und man erkennt aus Gleichnng (41), dab die Summe M~ sich gengu so wie die gewShnliehe Akkommod~tionsbreite als die Differenz der Reiraktionen fiir die beiden ~uBersten, noch scharf gesehenen Punkte darstellt. Wie wir oben schon sahen, hat bei normaler Tagesbeleuchtnng (d.= 2,9 mm) und normalem SehvermSgen (S = 1) 2 T den Weft yon Dioptrie und kommt praktiseh kaum in Betracht, wenn A~c noch erheblich groB ist, wenn also jugendliche Personen in Betracht kommen. Dabei ist aber zu beachten, dab die beiden Summanden A~ und 2 T yon ganz verschiedener Natur sind; indem der erstere lediglieh yon dem brechenden System des Auges, der andere yon der 0ffnung dieses Systems nnd yon dem Sehverm6gen, also wesentlich yon der Funktionstiichtigkeit der Netzhaut abhgngt. Die GrSBe Ac~ nimmt mit dem Alter ab, die GrSBe 2 T bleibt konstant oder nimmt sogar zu, well im hSheren Alter 5frets Abnahme des SehvermSgens und Pupillenverengerung-beobachtet wird. I m hSheren Alter kann der Summand 2 T einen erhebliehen Betrag der ganzen manifesten Akkommodationsbreite ausmachen. Ist z . B . bei einer 60jahrigen Person S = ¼ und d = 2 ram, so Lst gemaB Gleichung (36a): 2 T --

0,00029- 4- 2 -- 1,16 Dioptr. 0,002

Man schreibt einer 60j~hrigen Parson gewShnlieh einen durchschnittlichen Wert Ac~ = 1 Dioptrie zu, der also yon der Gr6Be 2 T in gewissen F~Ilen iibertroffen werden kann. 6. Das Sehvermiigen aul~erhalb des Akkommodationsgebietes in seinem Zusammenhang mit dem Sehvermi~gen beim seharfen Sehen. Will das Auge einen P u n k t fixieren, der auBerhalb des Gebietes der manffesten Akkommodation liegt, so ist nach den Betrachtmlgen, die wir an die Fig. 7 gekniipft haben, das SehvermSgen nach Gleichung (27a) demjenigen Winkel ~ umgekehrt proportional, unter dem objektseitig der in die Luft hinausprojizierte Zerstreuungskreis erscheint, der yon dem zu ~ixierenden Punkt (z. B. P1 in Fig. 7) erzeugt wird. Setzen wir ein myopisches Auge voraus, so sind die beiden F/~lle zu unterseheiden, dab der zu fixierende Punkt dem Auge zu nahe oder zu entfernt tiegt, um geometrisch oder physiologisch scharf auf der Netzhaut zur Abbildung zu gelangen. Im ersteren Falle wird der Punkt mit Pz, im zweiten mit PH bezeiehnet, w~hrend das SehvermSgen in den Punkten P I und P n durch S± resp. SH dargestellt sein soll.

330

A. GMchen:

Lassen wh" den Punkt geometriseh seharfer Einstettung P mit der Refraktion P gemgg GMehung (33a) einmal mit dem geometrisehen Nahpunkt /)1, das andere Mal mit dem geometrisehen Fernpunkt P~ (vgl. Fig. 10) zusammenfallen, so ergeben sieh die Sehverm6gen 0,00029. Sz = d (P1 -- Px) ' 0,00029 • SH = d (P2 PI1) -

-

(42) (43)

"

Die Gleiehung (42) grit ffir den Fall, dab der anvisierte Punkt PI ngher als der Nahpunkt P1 liegt, wghrend geln~B Gleiehung (43) der anvisieI~e Punkt Pzx weiter entfern~ liegt aLs der Fernpunkt P~. Fig. 11 gibt einen ~3berbliek fiber dig betreffenden Verh~ltnisse. (Unscharfe Abbildung)

0,0O029.

(Unschaffe Abbildung)

I

-

(Physiologisch seharfe AbbUdung)

0,00029 . 2 po Manifestes Akkommodationsgebiet 2H 1

Punkt

0,00029 • 2 81 = d(Px---P~)

Sehvermsgen konstant = S

8 / / = d((P~-~/~x~

Akk.

P~

=

Akkommodationsgebiet (Geometriseh scharfe Abbildung) 22 - - ' - - - ~ ........... 2 i Linie t A

Nahpunkt

¢

/~I

el

Zu fixierender Punkt

Physiologischer Nahpunkt

Physiologischer Fernpunkt

P2 -- P~ = _0,00029 s.d

0,00029 • ).

Y~-Yl

E.P. mit dem Durchmesser d

0,00029 s.~

Fig. 1l,

Bemerkt sei noeh, dal3 das SehvermSgen S innerhalb des manifesten Akkommodationsgebietes Pl~-fi° konstant ist. Aul3erhalb desselben herrscht das SehvermSgen SI resk SII, das relativ sehnell abnimmt rail wachsender Entfernung yon jenem Gebiet. Beachtenswelt ist, dal3 Sx und Sxx ganz u n a b h ~ n g i g yon dem individueilen SehvermSgen sind. Ob a l s o die b e t r e f f e n d e P e r s o n ° i n b e d e u t e n d e s o d e r g e r i n g e s S e h v e r m S g e n h a t , i s t ffir d a s u n s c h a r f e S e h e n g a n z g l e i e h g f i l t i g . Man hat eben zu beachten, dab die Formeln (42) und (43) erst gfiltig sind fiir Lagen des Punktes /)i resp. Piz angerh~lb des manifesten Akkommodationsgebietes. Die i~ufiersten Punkte, ffir welche

Beitrag zur Theorie der Sehseh~rfe.

331

sie gelten, sind die Grenzpunkte p0 trod po. Setzt man in den Gleichungen (42) und (43) fiir Px und Pxx die Reffaktionen po resp. p0 ein, so erhglt man: 0,00029 • =

Six=

- -

P1);

0,00029 • 3, d (P~ -- po) •

Nun ist nach Gleichung (40a) und (36a) po _ P1

0,00029S. d

und

po _ p~ =

0,00029S. d

(44)

Die letzten Gleichungen ergeben demnach Sx = S . ~ und SH = S . fiir die beiden Grenzlounkte der manifesten Akkommodationslinie. Da wir aber fiir die Punkte p o u n d po die GrSBe ~ = 1 setzen kSnnen, so ist die Kontinuitgt des Uberganges yon S in Sx reslo. Sx~ gewghrt. t~iir den E m m e t r o 1 0 e n ist P~ = 0. Gleichung (43) liefert einen unbrauchbaren negativen Weft fiir S~, welcher dem Teile P 2 P ° der Akkommodationslinie entsloricht, der sich ins virtuelle Gebiet hineinzieht and das Auge gewissermaBen ganz schwach hypermetroioisch erscheinen lgBt. Dagegen gilt Gleichung (42) in vollem Umfange fiir alle Punkte P~, die diesseits des Nahpunktes P1 liegen. Die Anngherung des Objektes um 2,7 cm an das Auge lgBt also das Sehverm6gen yon ½ av2 ~ sinken. Die entwickelten Gteichungen gelten sinngemgl3 angewendet auch fiir das h y p e r m e t r o p i s c h e Auge. Bei absoluter (H) liegt auch der Nahpunkt P t i m Virtuellen und die Reiraktion P1 des letzteren ist mit umgekehrtem Vorzeichen einzuiiihren, so dab Gleichung (42) wird: 0,00029 • )~ Sx -- d (Px ~- P~)"

(45)

Die Refraktion Pz des zu fixierenden Punktes kann alle m6glichen positiven Werte, yon Null anfangend, annehmen. Mit wachsenden Werten yon Pz, d.h. mit der Anngherung der zu fixierenden Objekte an das Auge, sinkt $I relativ schnell, weft P1 mit positivem Wert in l~echnung zu ziehen ist. Fiir Pz --=0 sieht der t I y ioe rm e t r o p in die t~erne, und zwar mit einem Sehverm6gen S~

0,00029. d. P,

(46)

332

A. Gleichen:

Vergleichen wir hiermit das SehvermSgen eines ~Iyopen mit .der FernpunktsrGfraktion P2, der Gin unendlieh fernes Objekt fixieren will, so h~t derselbe das Sehverm6gen (gem~l] Gleichung [43]): S~z --

0,00029 ; g. p ~

(47)

Dureh Vergleieh dGr beiden 1Gtzten G1Giehungen kommt man zu dem Satz: Hat die Nahpunktsrefraktion eines absoluten ttypermetropen denselben Weft wie die Fernpunktsrefraktion eines Myopen, so haben bei gleichem Pupillendurchmesser beide Ametropen gleiche SehvermSgen bGim unsehaffen Sehen in die Ferne, falls aueh die ~bungskoeffizienten ~ einander gleieh sind. 7. Physiologisehe Emmetropen. Unter einem p h y s i o l o g i s c ' h e n Emmetropen im Gegensatz zu einem geometrischen verstehen wit eine Person, die nur dadurch scharf in dig Ferne sieht, dal~ der Endpunkt der an den Fern- oder Nahpunkt ansetzenden Akkommodationslinie gerade im Unendlichen lie~. Der erste Fall kann eintreten bei geringen Graden yon Myopie, der andere bei absoluter ttypermetropie, wenn die Akkommodationsbreite ihrem absoluten Werte nach wenig ldeiner als die Fernpunktsrefraktion ist. Die mathematisehe Bedingung hierftir ergibt sieh, wenn man in den beiden G1eichungen (44) p0 und p0 der Null gleiehsetzt. M~n finder ftir ~Iyopie 0,00029 P2 = S . d (48) und fiir~ ttypermetropie ebenfalls P~

0,00029 S. d

(49)

Zufolge Gleiehung (48) k6nnen sehwaehe Grade yon Myopie bei stark herabgesetzter Sehschgrfe durch die Tiefen~irkung des Auges vollsti£ndig verdeckt werden. Ist z.B. Ps = ½ und S = =}, so folgt aus Gleiehung (48) d = 2,9 sam. Bei einem solchen Pupillendurchmesser sieht also der ~VIyopmit dem ihm zur VGrfiigung stehenden Sehverm/Sgen seharf in die Ferne. l~rweitert sich jedoch die Pupille infolgG geringerer Lichtzufuhr, so wird die Myopie manifest. Die betreffende Person ist also nur bei sehleehter Beleuehtung kurzsiehtig, und die Sehsehg.rfe ist bei unbewaffnetem Auge herabgesetzt. Bei schwaeher Rypermetropie, die in h6herem Alter absolut geworden ist, k5nnen ganz analoge Verhgltnisse eintreten. Fiir beide Fglle der Ametropie gilt nun folgende

mathematische Formulierung:

Beitrag zur Theorie der Sehsch~rfe.

333

~ n d e r t sich d infolge vergnderter Beleuchtungsstgrke und nimmt etwa den Werg d' an, so sehen die betreffenden Augen unscharf in die Ferne. Das jetzt fiir die Ferne bestehende SehvermSgen erhi~lt man aus den Gleichungen (42) und (43), wenn man dort Pzz ~-- 0 u n d / ) i = 0 setzt. N[an hat : 0,00029 SH = d ' . P~ und 0,00029 S~--

d,.p I ,

weil im letzteren Falle P1 mit umgekehrten Vorzeichen, als dem virtuellen Gebiet angeh6rig, versehen werden muB. Unter Beriicksichtigung von (48) und (49) erhi~lt man: d

Su = S. -~,

und

d Sr = S ~d .

(50)

Die S e h v e r m S g e n bei s c h a r f e r u n d u n s c h a r f e r A b b i l d n n g v e r h a l t e n s i c h a l s o d i r e k t wie die P u p i l l e n d u r c h m e s s e r . Da in extremen Fgllen d' etwa 3 - - 4 m a l so gro6 sein kann wie d, so kann also das SehvermSgen auf den 3. bi~s 4. Teil sinken. Diese Verhi~ltnisse kSnnen fiir die Brfllenbestimmung yon Wichtigkeit sein. Wird ngmlich nach der bekannten D o n d e r s s c h e n ~ e t h o d e mit entfernten Probetafeln die Refraktionsbestimmung, z . B . eines myopischen Auges, vorgenommen, und zwar dureh Applikation des schwgchsten Konkavglases, mit dem noch scharf in die Ferne gesehen wird, so kann, wenn im Untersuehungsraum relativ starke Itelligkeit herrscht, leieht physiologische Emmetropie erzeug~ werden. Der Brillentrgger erleidet Msdann infolge der Ausdehnung der Pupille eine entsioreehende Abnahme der Sehsehgrfe, sobald die AuBenbeleuchtung geringer wird. Es diirfte sieh deshalb vielleicht empfehlen, die l~efraktionsbes~immung in einem m6gliehst dunkeln Ramn vorzunehmen und nur die Buchs~aben der Probetafeln auf dunkelm Grunde leuehtend zu machem

8. _~quivalenz von Linsenwirk~mg nnd Sehvermiigen. Bei der Bestimmung der Grenzpunkte des manifesten Akkommo~ dationsgebietes haben wir uns oben der Wirkung unendlich diinner Linsen bedient, die man sich am Ort der (E. P.) des Auges aufgestellt denkt. Eine ghnliche Vorstellung kann man sich atlgemein machen beziiglich der Feststellungo des SehvermSgens SI und Six in Punkten ~Pr und Px~. Die Gleichungen (42) und (43) kann man schreiben:

334

A. Gleiehen:

0,00029. Px --/)1

=

P u -- P2 =

S. d --

(50 ~)

0,00029 • ). S. d

(50 b)

~ach unserer Z~hlweise ist P 1 - P1 die Brechkraft einer unendlich dfinnen Konvexlinse am 0rte der (E.P.) des Auges, durch welche der Nahpunkt P1 in den noch n~heren Punkt Px verlegt wird. Dagegen ist P 1 1 - P2 die Brechkraft einer ebenso gelagerten Negativlinse, welche den Fernpunkt P2 in den entfernteren Punkt Plx verlegt. Ist die Brechkraft A einer solchen diinnen Linse bckannt, so erh~lt ma~ das SehvermSgen im Punkte P1 resp. P2 aus der Gleichung S = 0,00029-_.), d.A

(51)

Ist z. B. die ~ahpunktrefraktion P1 eines Presbyoben 2,5 Dioptrien (Pl ~ 40 cm) und geben wir der Refr~ktion Pz den Weft yon 4 I)ioptrien (PH ~-25 cm), so ist A ~ 4 - - 2 , 5 = 1,5, und das Sehverm6gen im Punkte Px betr~gt, wenn man ~ etwa zu 2,9 mm annimmt, g e m ~ Gleichung (51) : 3 1 S= 15 15 ~ 5 ' wenn m~n ~ etwa gleich 3 ~nnimmt. Nimmt man im Mittel d ~ 2,9 mm an, so k~nn ma.n ersichtlich die Gleichung (51) in der einfachen Form:

2 S = 10--A

(52)

schreiben. Das m i t t ] e r e S e h v e r m S g e n i n P u n k t e n P1 resp. PH a u ~ e r h a l b des m a n i f e s t e n A k k o m m o d a t i o n s g e b i e t e s ist a l s o gleich e i n e m B r u c h mit dem Z~hler 2 und e i n e m iNenner, d e r alas Z e h n f a c h e d e r B r e c h k r a f t d e r j e n i g e n a m 0 r t d e r (E.P.) des A u g e s a u f g e s t e l l t e n d i i n n e n L i n s e i s t , die d e n N a h p u n k t r e s p . F e r n p u n k t in d e n P u n k t PI r e s p . Px~ v e r legt.

9. Bas astigmatische Auge. Bei einem mit regelm~$igem Astigmatismus behafteten Auge finden sich bek~nntlich in zwei senkcecht aufeinander stehenden, dutch die optische Achse gehenden Ebenen (sog. I-Iauptschnitten) verschiedene ]~rechkr~fte vor. Die in Frage kommenden Ebenen unterscheiden wir als M e r i d i o n a l - und S a g i t t a l e b e n e n . Als gemeinsam beiden Ebenen kann man die wirksame Blende des Auges, die Pupille, auf-

Beitrag zur Theorie der Sehschi~rfe.

335

fassen. Dagegen h~ben deren Abbilder, die (E. P.) und (A. P.), im allgemeinen in beiden Ebenen versehiedene Lage und Gr61~e, da j~ die Abbildungskonstanten in beiden Ebenen verschieden sind. Die mathematische Darstellung des SehvermSgens des astigmatischen Auges wird nun dadnrch au[~erordentlich vereinfacht, daf~ w i r die L a g e n - a n d G r S l ~ e n g n d e r u n g d e r (E. P.) u n d (A. P.), s o w i e die V e r ~ n d e r u n g e n des Q u o t i e n t e n K d e r t ~ a d i e n d e r l e t z t e r e n bei allen praktisch vorkommenden ]?gllen vernachI~ssigen k5 n n e n. An einigen schematischen Beispielen wollen wir dies zeigen wobei wir uns jedoch anf reinen H o r n h a u t a s t i g m u t i s m u s beschr~nken. Der Mittelpunkt R ' der (A. P.) ist alsdann unverlagert, da ja die Krystallinse als frei yon Astigmatismus angenommen wird. Dagegen erscheint der Mittelpunkt ~ der (E. P.) ver]agert, da ja das Hornhautsystem in den beiden astigmatischen Hauptebenen verschiedene Brechkraft besitzt, die wir mit D~ und D1 bezeiehnen wollen, wo die Indices m u n d s a u i die Meridional- resp. Sagittalebene hinweisen. Wenn wir, was hier gestattet ist, die Brechkraft der inneren Hornhautfl~che vernachl~ssigen und die I~adien der ~ul~eren an Luft grenzenden Fl~che mit r,, und r s bezeichnen, so ist: D~

n--1

n--1 Di = - - ,

,

rm

(53)

rs

wo n der Brechungsexponent des Kammerwassers ist. Indem wir uns an die bekannten schematischen 5~ittelwerte anschliet~en, setzen wir r,m konstant gleich 8 mm und va.riieren lediglich re; und zwar setzen wir, um zwei BeiSpiele zu h~ben, nacheinander fiir r s die Werte 7 m m u n d 6,5 ram. Die Entfernung des Mittelpunktes M der Pupille vom Hornhautscheitel (Fig. 12) sei M S = ~ u n d kann im Fig. 12, Mitre1 zu e - - 3 , 6 mm angenommen werden. Die Mittelpunkte der Eintrittspupillen in den beiden astigmatischen Itauptsehnitten werden gem~B Fig. 12 mit R m u n d Rs bezeichnet, und wir setzen R~nS = e ~ und R ~ S - - e ~ . Dann bestehen nach den Grundformeln der Dioptrik die Gleichungen: ...... n em

~(n -- l)

rm

und

~

~ ( n - - 1)

es

rs

--- = n

(54)

1. Fiir rm = 8 m m u n d n = 1,33 erh~lt man, wenn ~ = 3,6 mm ist, em ~

3~04,

w~tn'end fiir re = 7 mm sich es = 3,10

336

A. Gleichen:

ergibt, wghrend es

1,018 ist.

em 2. Ffir rs =

6,5 mm

hat

man

es = 3~13. Ferner folgt fiir den letzteren Fall .

e~ e~

.

.

3,13 3,04 .

.

1,029.

Die Verlagerung der (E. P.) in den beiden I-Iauptschnitten betr~gt also nnr Hundertstel h~[illimeter. Die beiden in Frage kommenden astigmatischen Augen haben beide im Meridionalschnitt Brechkr~fte der Hornhaut 1 D~, ~ 41,7 Dioptrien, 3- 0,008 -

-

w~hrend sie im Sagittalschnitt die Brechkr~fte D~

-

-

1 3.0,007

=

47,6 Dioptrien

und D ~,

1

3.0,0065

---- 51,3 Dioptrien

besitzen. Als Hornhautastigmatismus H~t bezeichnen wir in bekannter Weise die Differenz der Brechkrgfte in den beiden astigmatischen I-Iauptschnitten. Es ist also: t 4 = D~ - - D~. (55) Ffir die als Beispiel gew~hlten beiden Augen ist also Hst efnmal gleich 5,9, das andere Mal gleich 9,6 Dioptrien. Durch die tor'ische Form der Hornhaut wird also die Eintrittspupille strenggenommen ats r~umliches Gebilde erzeugt, indem ihre Mittelpunkte auf der Achse in den beiden Hauptschnitten nicht zusammenfallen. Die Verlagerung betr~gt abet, wie oben gezeigt, nut Hundertstel yon Millimetern, so dab wit die (E. P.) als in einer achsensenkrechten Ebene liegend annehmen kSnnen. Anlterdem hat ~ber die (E. P.) zwei verschieden grol~e Hauptdurchmesser, ist also gewissermalten elliptisch deformiert. Die oben errechneten GrSl~en es geben das Ver6m

h~ltnis der, grol]en zur kleinen Achse der deformierten (E. P.). Abet auch diese Deformationen sind in unseren Beispielen so gering, dab wir sie praktisch vernachl~ssigen kSnnen, und demnach die Gr0l]e X als in beiden ~¢Ieridianen einander gleich annehmen kSnnen.

t~eiSrag zur Theorie der Sehseh~rfe.

337

Es wird nun noch zu untersuchen sein, in welchem Verh~ltnis der ttornhautastigmatismns zum Gesamtastigmatismus des Auges steht. In letzterer Beziehung bedienen wit uns des yon D o n d e r s eingefiihrten MaiZes. Iri Fig. 13 sei ein astigmatisches Auge mit den Mittelpunkten R und R ~ der (E. t).) und (A. 1).) dargesteUt. Die optische Achse durchst6t3t die IIornhaut im Plmkte S und die Netzhaut im Punkte N. Ist in den beiden astigmatischen Hauptschnitten N einmal konjugiert zu Q~, das andere Mal zu Q,,, so ist der 2~stigmatismus A,t des ganzen Auges nach D o n d e r s gegeben dutch die Differenz der Refraktionen Q~ und Qs. Man hat Msol): A,t = Qs - - Qm. (56)

Fig. 18.

Nun besteht aber zulolge Gleichnng (15) in den beiden astigmatischen Hauptschnitten eine Gleichung yon folgender Form:

Qm + K~Q(n = Din"K, (28 + K~Q[ = Ds. K, wo D.~ und D s die Brechkriifte des ganzen Auges in den beiden Hauiotschnitten and K das VergrSl3erungsve~ltnis in den Yupillen Lst, das wir, dem Obigen zufolge, als in beiden Hauptsclmitten praktisch gMch ansetzen kSnnen. n

Die GrSBen Q~ = ~

n

und Q~ = --

wo

~¢

der Brechungsexponent

des GlaskOrpers ist, stud ebenfalls einander gleich zu setzen, denn in Fig. 13 ist q~ = q'~ = R ' N , well der Punkt R ~in beiden Hauptschnitten denselben Ort hat. Durch Subtraktion folgt aus den obigen Gleichungen : A,t = Q, - - Q,~ = K . (D~ - - D,~).

(57)

Bekanntlich ist A~t die Brechkraft eines bei R aufgestel]t gedachten Zylinders, der den Astigmatismus aufhebt. Wir haben oben bereits die Brechkr~fte der I-Iornhaut in den beiden I-Iauptschnitten mit D~ und D~n bezeichnet. Setzen wir noch die BrechkrMt der Krystallinse gleich Dg und die Strecke S G in Fig. 13 gleich g, wo G der vordere 1) Es besteht hier~nur~der ganz geringfiiglge Unterschied, dab Donders nicht den Mittelpunkt der (E. P.), sondern den vorderen Knotenpunkt des Auges Ms Fixpunkt w~hl~.

338

A. Gleichen:

H a u p t p u n k t der Kryst~llinse ist, so hut m a n nach einer b e k a n n t e n Formel der Dioptxik:

De = D'~ + D O - - g-~D'~Dg, It,

D~ = D~, -+- D O - - g~ D ~ D g , wor&us

(

--gD

folg*. U n t e r Beriicksichtigung yon Gleichungen (55) u n d (57) wird also:

Ast = H~t" ( l - - g-" Dg) " M~n h~t

also den H o r n h a u t a s t i g m a t i s m u s

(58)

Hst mit dem Ausdruck

1 - - gn D g]~- g zu multiplizieren, u m den Ges~mtastigmatismus A~t im D o n d e r s c h e n ~[at~ zu erhalten. I m Mittel kSnnen wir setzen fiir das akkommod~tionslose Auge D o = 21Dioptrien,

g = 0,005m,

n' = 1,33,

K .... 0,92

und erhalten :

A.~t = Hst" 0,85.

(59)

Fiir die beiden yon uns als Beispiel gew~hlten Augen war Hst einmal gleich 5,9, das andere M~I 9,6 Dioptrien, so dab sich fiir Ast die Werte 5,01 und 8,16 Dioptrien ergaben. II III Auge I Ast]gmatismus des ganzen Auges nach D o n 5,01 8,16 Dioptrien Cyl. 0 ders Ast . . . . . . . . . . . . . . . 5,9 9,6 ,, ,, ~Iornhautastigmatismus Hst . . . . . . . . 0 8 8 mm Radius der Hornh~ut im Meridionalschnitt 8 7 6,5 ,, Radius der Hornhaut im Sagittalschnitt • • 8 3,04 ,, Ort der (E. P.) im Meridionalschnitt . . . . 3,04 3,04 3,13 ,, O f t der (E. P.) ira Sagittalschnitt . . . . . 3,04 3,10 (Astigmatische Verlagertmg des Mittelpunktes 0,06 0,09 ,, der (E. P.) . . . . . . . . . . . . . . 0 Verhaltnis des groBen zum kleinen Durch1,018 1,029 messer der deformierten (E. P.) . . . . . 1 0,92 K im Meridionalschnitt . . . . . . . . . 0,92 0,92 K im Sagittalschnitt . . . . . . . . . . . 0,92 0,936 0,947 Die obige Tabelle zeigt die Zusammenstellung der errechneten Resultate fiir ein y o n Astigmatismus freies Auge (I), ffir ein solches y o n 5,01 Dioptrien (II) und ein drittes y o n 8,16 Dioptrien (III). HShere Grade als da~s letztere zeigt, pflegen in der Praxis selten vorzukommen.

Beitrag zur Theorie der Sehscharfe.

339

Aus der obigen Tabelle ziehen wir ffir unsere weiteren Betrachtungen die Folgerungen : F i i r f a s t atle in d e r P r a x i s v o r k o m m e n d e n G r a d e v o n A s t i g m a t i s m u s k S n n e n wir die d u r c h die t o r i s c h e D e f o r m a t i o n der I ~ o r n h ~ u t e r z e u g t e 0 r t s - u n d G r S l ~ e n g n d e r u n g der E i n t r i t t s p u p i l l e v e r n a c h l ~ s s i g e n . E b e n s o k S n n e n wir ~ d~ das V e r g r S ~ e r u n g s v e r h g l t n i s K . . . . . als u n v e r i ~ n d e r lich a n s e h e n , p d t~iir den Fall, d~I~ auch die Krystallinse ~n der Erzeugung des Astigmatismus teilnimm~, haben wir die bet.reffenden l~echnungen zw~r nicht durchgefiihrt, obschon dies fiir ein schem~tisehes Auge ohne Schwierigkeit mSglich w~re. }Ian erkennt aber auch ohnehin, d~I~ bei der GrSl~enordnung der bier in Frage kommenden )~nderungen das Resultat kein ~nderes sein wiirde. Bemerkt seinoch, dal] zufolge Gleichung (58) das Donderssche Mal~ des Astigmatismus n i c h t k o n s t a n t ist, sondern mi~ zunehmender Akkommod~tion infolge der VergrSl~erung yon Dg abnimmt. Zufolge des schematischen Auges yon G u l l s t r a n d z.B. kann Da bei einer Akkommodgtionsbreite yon 10 Dioptrien den Weft Da-~ 33 Dioptrien annehmen, wor~us fiir A~t der Weft A~t ~ Hst" 0,8 folgt.

10. Das Sehvermiigen des astigmatisehen Auges. Bei der Definition des Dondersschen MaSes des &stigm~tismus machten wir die Fiktion, dab der Netzhautpunkt ein strahlender Punkt sei, yon dem homozentrisches (yon Astigmatismus freies) Licht ausginge. Die Punkte Q,, und Q, (Fig. 13) waren'die in den beiden Meridianen erzeugten objektseitigen Abbilder des Netzh~utpunktes. Beim Sehen des astigm~tischen Auges ist der Vorgang jedoch a~nders, in gewissem Sinne umgekehrt: Wir stellen uns auf der Achse im Objektraum einen strahlenden Punk~ vor, der homozentrisches Licht aussendet. Indem dasselbe in das astigmatische Auge eindringt, erzeugt es ein astigmatisches Strahlenbiinde], das bekanntlich bei regelm~l~igem, symmetrischem Astigmatismus die Form des sog. Sturmschen Conoids hat. Zur leichteren Anscha.uung sei gem~l~ ]t'ig. 14 die Papierebene die Meridionalebene, w~hrend die Sagittatebene senkrecht d~rauf steht und die grSi~ere Breehkr~ft aufweist. In Fig. 14 sei ABCD die Austritts10upille mit dem Mittelpunkt R" und dem ~adius ~'. P~ ist der sagittale und P~ der meridionale Bildpunkt, d;e yon e:nem homozentrisches Licht ~usstrahlenden Ogjektpunkt, den das Ange fixiert, in der Nghe der Netzhgut e.rzeugt werden. Denkt man sich das S t u r m s c h e Conoid dnrch achsensenkrechte Ebenen zerschnitten, so sind bekunntlich die Querschnitte im ally. Graefes

Archly flit 0ph~halmologie. ]~d. 98.

23

340

A. Gleichen:

gemeinen elliptisch. In der N~he yon R' liegen die grol~cn Achsen dieser Schnitte in der Papierebene. Bei P~ entartet der Querschnitt zur Brennstrecke a b, die ebenfa.lls in der Papierebene liegt, wiihrend der Sehnitt bei P~ eine s e n k r e c h t zur Papierebene liegende Brennstrecke c d liefert. A]le noch welter yon R' entfernten Schnitte liefern wieder elliptische Sehnitte. Zwischen P~ und Pg~ befindet sich ein dadurch bemerkenswerter Punkt N, dal~ an seiner Stelle der Querschnitt k r e i s f 6 r m i g ist (Kreis der k l e i n s t e n V e r w i r r u n g ) . Diese Stelle ist also dadurch definiert, dat~ die beiclen Durchmesser der Ellipse einander gleich werden. Auf der Netzhaut des Auges wircl also im allgemeinen ein elliptischer Zerstreuungskreis zustande kommen, so dal~ auch innerhalb des Akkommodationsgebietes u n s c h a r i e s Sehen eintritt. Nur wenn die Netzhaut sich an den Stellen P~ oder P~ befindet, ist das Sehvermbgen yon hbherer Ordnung insofern, als s t r i c h i S r mige Objekte scha.rf zur Abbildung gelangen, welche im ersteren Falle p~rallel, im zweiten senkrecht zm" P~pierebene sein miissen. A

I

j

L

Fig. 14.

Zeigen jedoch die fixierten Objekte keine ansgesprochene Richtung, so liegt kein Anreiz flit das Auge vor, bei der EinsteUung einen der Punkte P~' oder Pin zu bevorzugen. Man kann annehmen, dab das Auge ~tsdann durch Akkommodation sich auf die sylnmetrische Stelle N, d.h. auf den Kreis kleinst~r Verwirrung, einstellt. Das hierdurch bestimmte SehvelsmOgen wo!len wir das m i t t t e r e nennen und mit Sf, bezeichnen. Ftir die weitere mathematische Entwicklung ist zungchst eine Beziehung wichtig, zwischen dem in Fig. 14 dargestellten allgemeinen Strahlenbiindel und dem Dondersschen M~I~ Ast des Astigmatismus. Denken wir uns das gstigmatische Strahlenbiindel gemg~ Fig. 14 als erzeugt durch einen Objektpunkt P anf der Achse, so ist, wenn man Gleichung (15) auf beide Hauptschnitte anwendet: P + K ~P,~, : KDs,, P + K ~P~ ~- K D s ,

Beitrag zur Theorie der Sehschi~rfe.

341

wor&IIS

K ~ • (P~ -- P~)

=

K(D~

-- D~)

folgt. Unter Berfieksioh~igung v on Gleiehung (57) ergibt sich: • ;2. ( P ~ ' - P,~) = A~,

(60)

eine Beziehung, die uns sp~ter niitzlich sein wird. Wir fiihren gemgB Fig. 14 folgende Bezeichnungen ein: <):,CP~D = q~, ,

~AP~B

lVP" = rl, A =

r~ +

= qJ2,

.NP~ r2 =

= r,,,

p[. -- p~.

Den Radius der (A. P.) mi~ dem Mittelpunkt R' bezeichzmn wit mit ~)*, den des Kreises kleinster Verwirrung mit dem Mittelpunkt N mit #', dann folgt ohne weiteres ~us Fig. 14 2 0' Q)I

Pst

2~' ,

p~,

~02

11114 fiir den Kreis ktcinster ¥erwirrung ~°i=

2# rl

,

q~s

.

.

.

2# r~

.

.

Aus diesen Glelchungen folgt nach einigen Umformungen:

un4

~ = r~p ~' ..

(62)

Wir setzen uns die Entfernung des Kreises kleinster Verwirrung yon der (A. P.), d. h. die Strecke R ' N := p ' . Dann ist zufolge der Fig. 14 p' = p,' + r i -~ p ~ -

r~

(63)

Wir machen nun die plausible Annahme, dab sich das astigmatische Auge bei der Bebrachtung eines Achsenpunktes a 11f de n K r e i s k le i n s t e r V e r w i r r u n g e i n s t e l l t . ])ieser K r d s mit dem l~adius # hat also den Mittelpunkt 37 auf der Netzhaut und spielt die Rolle des Zerstreuungskreises beim unscharfen Sehen. In der Fig. 15 seien wieder R und J~" die Mittelpunkte der (E. I).) und (A. P.). ])as VergrSBerungsverhgltnis in diesen Punkten werde wieder (lurch K bezeichnet, so dab also e' = K

(64) 23*

342

A. Gleichen:

ist. Wie oben bewiesen, k6nnen wit mit hinreichender Genauigkeit sowohl die Orte der EintrittspupiUen in den beiden astigmatischen tIauptsehnitten als aueh deren Radien einander gleich setzen, so dab also der Radius der (E.P.) in beiden Hauptsehnitten denselben Weft ~ hat. R R~ ~ . ~ W In Fig. 15 ist ierner d e r Radius # des Kreises Ideinster Verwirrang dutch W N bezeichFig, 15~ net. Die Breehungsexponenten im Objekt und Bildraum (d. h. in Luft and im Glask6rper) werden mit n und n' bezeiehnet. Ein Strahl vom Randpunkt W des Zerstreuungskreises naeh R' unter der Achsenneigung co' gezogen, m6ge /2 unter der Neigung co dureh-

~,....------fw")N

COt

dringen. Dann stellt - - das sog. Konvergenzverh~ltnis in den Pu60 pfllen dar. Nach einem bekannten Theorem der geometrischen Optik ist in konjugierten Punkten eines beliebigen zentrierten Systems das Produkt aus VergrSgerungsverhgltnis und Konvergenzverh~ltnis gleieh dem Quotienten aus den Breehungsexponenten im Bildraum and Objektraum. Man hat also: COt

-co --K

= n-'"

(65)

In Fig. 2 ist nun ferner die Strecke /VW gleich der dutch Gleichung (63) ngher bestimmten Strecke p', und man hat aus der Fig. 15

Aus der letzten and der Gleichung (5) folgt nun co ~

n ' . ~t - K np ~

(66)

:Man erh~lt nun sukzessive unter Beriicksiehtigung yon Gleichungen (61), (62) und (63): n'./~ • K n

n ~./~. K ~(p;~--r2)

n

n ' K ~ . re '" '

~and wegen : t

co=Kn'~"

P ~ ' - - p"

n • 2 . p ~+. p , ,"

Beltrag zur Theorie der Sehseh~rfe.

343

oder m=

2Qn

--

"

Fiihi~ man die reduzierten ICefraktionen 7bp

~P

ein, und setzt - - ~ K , so wird Gleichung (67) ffir n ~ 1 ~o K2e (p, p~), 2 w o n = 1 der Brechungsexponent des Raumes vor dem Auge, also der Luft, ist. Nach Gleichung (60) ist nun, wcnn man noch ~2co

und

d~2~

d . A~t ~Q . . . . 2 ~ .

setzt,

Fiir das m i t t l e r e S e h v e r m S g e n gebietes hat man also:

(68)

innerhalb des Akkommodations-

St ~ = _0,00029. ~ = 2 . 0 , 0 0 0 2 9 . )~ , d. A.st

(69)

wo das Zeichen Ast das D o n d e r s s c h e Mal~ des Astigmatismus bedeute~. :Die Gleiehungen (68) und (69) sind bemerkenswert dureh ihre Einlachheit und durch ihre Unabh~ngigkeit yon den K o n s t a n t e n des Systems des menschliehen Auges. Vergleieht m~n sie mit den Gleiehungen (42) und (43), welche ganz ~nMog gebaut sind, und setzt m a n etwa P1-

P1 = U1 ]

P2-

PH = U2

f

(70)

so k a n n m a n U 1 lind U~ Ms das Mal~ fiir d i e U n s c h ~ r f e , erzeugt durch l~efraktionsdiHerenz, bezeichnen und man kann die Gleichungen (42) und (43) in der Form sehreiben:

s~

0,00029- )~ , d . U,

s~

0,00029 • )~ d . U~

(7~)

Der Vergleieh der Gleichungen (69) und (71) lehrt, dab das dutch Refrak*ionsdifferenz bestimmte SehvermSgen n u r h a l b so groB ist wie das dutch A s t i g m a t i s m u s verursachte bei gleich grol~er Pupille und bei gleiehen Werten des Ubungskoeifizienten ~.

34~:

A. Gleichen:

11. Die exakte Refraktionsbestimmung. Unter ,,exakter l%efraktionsbestimmung" wollen wir eine solche verstehen, die unter Beriicksichtigung der oben entwickelten Lehren geschieht. Das natiirliche Ziel einer Refraktionsbestimmung ist die Feststeltung desjenigen Brillenglases, mit dem der betreffende Ametrop (resp. Presbyop) die grSl~te Sehsch~rfe hat, und zwar mSglichst unt,er allen den guBeren Bedingungen, denen der Sehakt unterwolCen ist. Wenn eine solche Bestimmung nach den heute fiblichen Methoden ordnungsm~.t3ig erfolgt ist, so werden die Fehler verh~ltnism~i~ig gering sein. Wenn infolge solcher Fehler doch unter Umst,gnden unscharfes Sehen eintritt, so werden die dabei anftre~enden Zerstreuungskreise aul~erordentlich klein sein im Verhi~ltnis zu den Zerstrenungskreisen, wie sie beim Sehen eines Ametropen mit unbewaffneten Augen auftreten kSnnen. Aus oben er0rterten Grfinden werden wir also fiir das korrigierte oder doch nahezu korrigierte Auge den ~Tbungskoeffizienten der Einheit gleichsetzen kSnnen. Die B r i l l e n b e s t i m m u n g fiir die F e r n e sollte so g e s c h e h e n , dal~ der B r e n n p u n k t des B r i l l e n g l a s e s m i t de ra geo m e t r i s c h e n l ~ e r n p u n k t P2 z u s a m m e n f g l l t . Alsdann sieht das Auge ohne Akkommodations~nstrengung bei jeder PupillenSffnung scharf in die l~erne ~md die BriUenbestiramung wird auch unabh~ngig yon der Sehsch~rfe. Der physiologische Fernpunkt Ps° ist alsdann virtue]l. Ist die eben ~ufgestellte Bedingung nicht erfiillt, so kSimen, wenn wir uns den Oft des Brillenscheitels lest denken, zwei F~lte eintreten. 1. Ist die Brechkraft D 1 des Glases bei vorliegender (M) zu grol3, bei (H) zu klein, so sieht der Bril]entrgger mit einer, wenn auch geringer Akkommodationsanstrengung in die l~erne. 2. Ist D 1 bei (M) zu klein, bei (H) zu groin, so kann der Fall eintreten, dal3 bei weir geSffneter Pupille der physiologische Fernpunkt P~ in endlicher Entfernung yore Auge ]iegt und iniolgedessen nicht scharf in die Ferne gesehen wird. Der hierdurch bedingte Abfall der Sehschgr~e kann relativ bedeutend sein, wie unten niiher nachgewiesen werden wird. Nun wird aber nach den meisten bel~nnten Methoden der lZefr~ktionsbestimmung nicht der geometrische, sondern der phys~ologische F e r n p u n k t p0 bestimmt, dessen Lage sowohl yore Pupillendnrchmesser d als ~uch yon der Sehleistung S abh~ngt. Vgl. z. B. Fig. 11. Nehmen wir an, dab nach irgendeiner Methode (mittels Leseproben, nach dem Scheinerschen Prinzip usw.) diese Bestimmung mit Bezug auf irgendeinen Fixpunkt gelungen sei, so kann man die beziigliche Refraktion auch auf den Punkt R beziehen, wenI1 man sich aui eine konventionelle Entfelaaung des Punktes R vom ttornhautscheitel, etwa

Beitr~g zur Theorie der Sehsch~rfe.

345

RS -~ 3 mm und entsprechend vom Brillenscheitel R S 1 ~- s = 17 ram, geeinigt hat. Alsdann gewinnt man die p h y s i o l o g i s c h e F e r n p u n k t s r e f r a k t i o n p 0 die man wenigstens in der p r a k t i s c h e n Ophthalmologie yon der g e o m e t r i s c h e n F e r n p u n k t s r e f r a k t i o n P2 bisher nicht unterschieAen hat. Will man. nun aus der experimentell festgestellten physiologischen Fernpun'ktsrefraktion p0 die Brechkraft D 1 des BrillengLuses so bestimmen, da]3 der Brennpunkt des letzteren mit dem ge o me t ri s c he n Fernpunkt P~ zusammenf~llt, so hat man folgendermaBen zu verfahren und zwar beispielsweise unter Voraussetzung eines m y o p i s c h e n Auges. Wie wit oben sahen ist: p~ _ po = 0,00029 d-S ' Wenn wir der Bequemliehkeit halber als Einheit des physiologisehen Grenzwinkels den Wert 0,0003 setzen und d in Millimetern ausdriicken, erhalten wir: 3

P~ = P~ + .]o. - - - -dS - "

(72)

Fig. 16.

Ist nun in Fig. 16 P2 der geometrische Fernpunkt, so muB dieser mit dem Brennpunkt des a]s unendlich diinn vorausgesetzten Brillenglases zusammenfal]en, dessen Scheitel S 1 y o n / ? die Entfernung S 1 R -----o habe. Es ist danrl P 2 S 1 ~ ]1 die Brennweite des Glases, und man ha.t, wenn man P 2 R ~ i% setzt: P2 - - / 1 = o.

(73)

Nebenbei sei bemerkt, dab wenn 'S1 mit dem vorderen Brennpunk¢ des Auges zusammenf~llt, o -~ ~ ist, w o / 0 die Brennweite des Auges in Akkommodationsruhe und K der Vergr6Berungskoeffizient in der (E. P.) und (A. P.) ist. 1 1 Aus Gleichung (73) folgt nun uregen p= =P-22 und [t~ = D-;: 1

I

/)1

P=

(7

346 oder:

A. Gleichen: P2 D1-- 1--a. Ps'

w o ~ in Metern auszudriicken, also etwa = 0,017 zn setzen ist. Aus (72) und (74) folgt: 3 + 10d. S . P ° D1 = 10d. S - ( 1 - - ~p0) _ 3~"

(74)

(75)

H a t also das Auge bei der Bestimmung der physiologischen Fernpunktsreffaktion Ps° einen Pupillendurchmesser d und ist die Sehschgrfe S festgestellt, so ]iefert Gleichung (75) die Brechkraft D 1 der FernbriUe. An zwei Beispielen wollen wir zeigen, da$ insbesondere bei enger Pupille und sehr herabgese~zter Sehsch~rfe D 1 betrgchtlich yon denjenigen Werten abweichen kann, die sich nach den iiblichen Methoden der Refraktionsbestimmung ergeben, wenn m a n zwischen P2 und po nicht unterscheidet. Sei z. B. gefunden: Ps° = 1 Dioptrie d ~ 2 mm

S=½, so ergibt sich zungchst, wenn man in iiblicher Weise aus Gleichung (74) D 1 berechnet, indem man P2 = 1 u n d o = 0,017 setzt, D 1 = 1,02 Dioptrien. Rechnet m~n jedoch nach der strengen Formel (75), so ergibt sich D 1 ----1,33. Es ergibt sich also ein Brechkraftsunterschied yon fast einer Drittel Dioptrie, der, wie wir welter unten sehen werden, unter Umstgnden einen bedeutenden Verlust an Sehsch~rfe herbeifiihrt. Wiihten wit ferner po = 10 Dioptrien und wieder d = 2 m m und S ----~, 1 so erhgl~ man bei Vernachlgssigung des Unt~rschiedes yon /)2 und p0 den Wert D 1 = 12,05 Dioptrien, wahrend aus (75) der richtige Weft D 1 = 12,49 Dioptrien folgt. Der Un*erschied betrggt also fast eine halbe Dioptrie. Bemerkt sei noch einmal, da~ wir bier eine e x a k t e Bestimmnng von p0 vorausgesetzt haben. I n der Praxis werdeI1 geringe Fehler der Bestimmung der GrSl~e P~ der Regel hath, grSbere Fehler nicht selten mit unterlaufen. Je grSl~er bei der Bestimmung von po die Sehscharfe und der PupiUendurchmesser ist, um so geringer wird n~tiirlich der Unterschied zwischen P~ und p o Fiihrt m a n die GrSl3e 3 T -(75a) lO.d.S

Beitrag zur Theorie der Sehschiirfe.

347

ein, so erh~ilt man aus (72) und (74) die bequemere Form:

PO-~ T n~ ----- 1 -- ~(P° ~_ T)"

(76)

Die Werte fiir T kann man bus der folgenden Tabelle entnehmen, die noch nach der Gleiehung (75a) berechnet ist fiir Pupfllendurchmesser yon d ---- 2 bis d -----8 mm und fiir Sehleistungen yon S ---- 0,2 bis S = 1,2. Tabelle fiir T. SehvermSgen S. d 2 3 4 5 6 7 8

0,2 0,75 0,5 0,375 0,30 0,25 0,214 0,187

0,4 0,375 0,25 0,187 0,15 0,125 0,107 0,0937

0,6 0,25 0,16 0,125 0,10 0,0833 0,071 0,0625

0,8 0,187 0,125 0,0937 0,075 0,0625 0,0535 0,04(}8

1 0,15 0,10 0,075 0,06 0,050 0,0428 0,0375

1,2 0,125 0,125 0,0625 0,05 0,0416 0,0357 0,0312

1,4 0,107 0,107 0,0535 0,0428 0,0357 0,0306 0,026

118 0,083 0,05 0,0416 0,033 0,0277 0,0237 0,02

12. Minderung der Sehschiirfe dutch falsche ttefraktions- und Brillenbestimmung. Die bisherigen Betrachtungen bezogen sich lediglich auf die Sehseh~rfe des u n b e w a f f n e t e n Auges. Der Leser wird aber bereits bemerkt haben, dM~ hiermit auch die sicheren Grundlagen fiir die Bestimmung der Sehschi~rfe des brillenbewaffneten Auges gegeben sind. S~mtliche Formeln sind auf Grund der allgemeinen ]~igenschaften optischer zentrierter Systeme zustandegekommen. Die Einschr/~nkungen, die wit uns erlauben durften beziiglich der Unver~nderlichkeit der Lage yon Ein- und AustrittslouIoille bei der Al(~ommodation sowie die Verlagerung der Eintrittspupille bei Astigmatismus behalten ihre volle Berechtigung, wenn wir als brechendes System das mit der Brille bewaffnete Auge voraussetzen. Dabei ist nur folgendes zu beachten: Bei dem System ,,Auge -~ Brillenglas" hat erstens der P u n k t R, n~mlich der ~ i t t e l p u n k t der Eintrittspupille und der Ausgangslounkt der Z~hlung eine andere Lage. ~[an finder die neue Lage, indem man den Mittelpunkt der (E. P.) des Auges durch das Brillenglas hindurch abbildet. Ferner hat aueh die GrSge d, der Durchmesser der neuen Eintrittspupille, einen yon dem ursioriinglichen ubweichenden Wert. Die neue Eintrittspupille ist das Bild der Pupille, "~ie es uns durch die Brille hindurch erseheint. Auf G n m d dieser neuen Gr6$en l~Itt sich nun die Sehleistung des brillenbewaffneten Auges in gleicher Weise aufsteUen, wie w i r e s oben mit dem unbewaffneten Auge getan haben. Die Zwisehenbeziehun-

348

A. Gleichen:

gen zwischen den fraglichen GrSl~en in beiden F~]ten tgssen sich unschwer angeben, wodureh die verschiedenen Arten der Sehseh~ffe, auch fiir verschiedene Ametropien, auf ein einheitliches Mal~ zurfickgefiihrt werden kOnnen. Bemerkt sei jedoch, da~, wenn man die durch die Brille bedingte n e ue L a g e des Fern- undNahpunktes gelten l~l~t, die oben entwickelten Formeln fiir fast alle Fi~lle der Praxis bereits annghernd genaue Resultate liefern. Besonders gering sind die Xndernngen, die dadnreh entstehen, dab in dem System ,,Auge + Brfllenglas" der Fixpunkt fiir die Refraktionen verlagert ist, vie im n~chsten Abschnitt bewiesen wird, d. h, die Gr6l~en U 1 resp. U2 in den allgemeinen Gleichungen (71) behalten praktisch denselben ~;ert wie beim unbewaffnet.en Auge. Aber auch tier Einflu~ der Xnderung der Gr61~e d dureh das Brillenglas iiberschreitet nur in extremen F~llen einige Prozent der Sehseh~rfe. Bildet man ngmlich die (E. P.) des Auges vom Durehmesser d (vgl. Fig. 16) dureh das BrfllengIas yon der Breehkraft D 1 hindureh ab~ so m6ge der so erhaltene neue Durehmesser der (E. P.) der Kombination ,,Auge d- Brillenglas" den Wert d" haben. Man finder leicht: d " --

d 1 +~.D

1

,

(76a)

wo das -~- oder --Zeichen grit, je nachdem eine Zerstremmgs- oder eine Sammellinse in Frage kommL Die Gleietmng 71 nimmt fiir den Fall der Kombination die Form: 0,00029.2 _ 0,00029. (1 + o . D~) • )~ SX,H -- d " . Ux,H d- UI, H

(76b)

Da a = 0,017, das Korrektionsglied a . D 1 also gleich t'7"D1 100 ist, so wird also die Sehsehi~rfe Si, ix um 1,7. D 1 Prozent vermehrt oder vermindert, je nachdem eine Zerstreuungslinse oder Sammellinse in Frage kommt. Der Weft, yon 1,7. D1% bleibt fiir m~l~ige Ametropiegrade immer klein, weshalb wir ihn bei den weiteren Betraehtungen vernachl~ssigen. Nur in extreraen Fgllen, wie z. B. bei einem Starglas yon 15 Dioptrien und einer ebenso starken Zerstreuungslinse, erreieht er eine ansehnliche H6he yon beispielsweise 25%. Dal~ das Sehverm6gen beim unsehaffen Sehen durch Anwendung koITigierender Gl~ser bei (M) vergr613ert, bei (H) verldeinert wird, hgngt ersiehtlieh damit zusammen, dal~ die Eintrittspupil]e d e s kombinierten Systems im ersten Fa]le kleiner, im zweiten gr61~er als die EintrittspupiIle des Auges ist.

an.

Beitr~g zur. Theo~ie der Sehsch~rfe.

349

Will man iibrigens in den naehfolgenden Beisl0ielen diese Verhgltnisse beriieksiehtigen, so hat man nut die erreehneten Sehseh~rfen S~,n bei vorliegendem (M) um 1,7. D1% zu vergr6Bern. Betrachten wit noch einmal Fig. 11 und nehmen wir an, dab der dort dargestellte gefraktionszustand jetzt unter Mitwirkung eines dem Auge ~'orgesehMteten Brillenglases zustande gekommen ist, so gelten unter den gemaehten Einsehrgnkungen die dort angegebenen Formeln ohne weiteres. Die Punkte PI~ resl0. Px wgren dann diejenigen, welehe, Je naehdem eine Korrektion fiir die Ferne oder f f r die Nghe in Frage kommt, s e h a r f , d. h. mit der der betreffenden Parson eigentiimliehen besten Sehsehgrfe abgebildet warden sollten. Wir nehmen jedoeh jetzt an, dab infolge eines fehlerhaft bestimmten Glases dieser Zustand nieht erreieht ist, sondern ein Zustand gesehaffen ist, wie er oben dutch Fig. 11 im Sinne der friiheren Auffassung dargestellt ist. Die Refraktionsdifferenz P 2 - - P ~ I resp. P x - - P 1 kSnnen wit jetzt Ms d e n F e h l e r U der I~efraktionsbestimmung bezeiehnen. Die hierdureh erzeugte verminderte Sehsehgrfe ist dann gegeben dutch die Ausdriieke: 3 Su = 1 0 . d . U

resp.

3 10.d.U '

Sz

wenn wir als Einheit des physiologischen Grenzwinkels wieder den Wert 0,0003 zugrunde legen und d in Millimetern ausdriieken. Wir beschrgnken uns jetzt der grSBeren Anschauliehkeit wegen auf den Fall der Bestimmung der l ~ e r n b r i l l e e i n e s M y o l a e n . Dann liegt der P u n k t Pzi, den das Auge betrachtet, im Unendlichen und die Refraktion PH ist gleich Null, so dab

U ~ P2~ und also : Sxx "

3

10-d-P~

3

(77)

10.d.U

wird. Wir betrachten ztmgehst den ungiinstigsten Fall, dag der lahysiologische Fenapunkt zuf~tllig streng inl Unendliehen tiegt. ])era geometrischen Fernpunkt geh6rt jetzt eine l%efraktion g]eieh T zu. Das brillenbewaffnete Auge verhglt sieh also jetzt wie ein iohysiologiseh emmetropisehes (Absehnitt 7). Es ist 3 lO.d.S

"

}Venn sich die Pupille slogter erweitert, und den Durehmesser d' ~nnimmt, so riickt der Punkt po aus der Unendlichkeit in die reelle

350 Endliehkeit und es wh'd ehungen folgt:

A. Gleiehen: 3

S1z - - l O d ' S "

Aus den beiden letzten Glei-

d ,sH=p,s. Die dem betreffenden Auge eigentfimliehe SehschgHe nimmt also im Verhgltnis der Pupillendurehmesser ab. War d bei der Brillenbestimmung etwa 5 ram, so ist, wenn sieh die Pupille nachtrgglich etwa auf 7 mm erweitert, die verminderte Sehsehgrfe ~ S, ein Betrag, der nieht sehr ins Gewicht fgllt. Bei den in Abschnitt 12 gegebenen Beispielen hatten wit absiehtlich extreme Fglle behandelt, indem wit d = 2 mm bei der Brillenbestimmung setzen. 0finer sich spgter die Pupille etwa auf 6 mm, so sinkt die in den beiden Beispielen zu S =-~- angenommene Sehschgrfe auf As herab. Der soeben angenommene extreme Fall, dal~ der Punkt po± gerade im Unendhchen liegt, wird allerdings in der Praxis nur selten eintreten, und zwar ebenso selten, wie der andere extreme Fall, dab gerade der geometrisehe Fernpunkt im Unendlichen hegt. Ein wahrseheinlicher mittlerer Fall ware der, da$ die Tiefe T durch den unendlich fernen Punkt gerade gehglitet wiirde. Alsdann ware der Fetfler U-----2' und man gelangt dutch ganz analoge Schliisse wie oben zu der Gleichung: 2d $I~ = ~7 S . Diese Gleichung gilt natiirlich gemgl~ den frfiheren Entwieklungen nur, wenn SII k l e i n e r ats S ist; denn andernfalls ist immer die beste Sehseh~rfe S vorhanden. In dem jetzigen Falle mug sich also die Pupille schon mehr als um das Doppelte erweitern, wenn eine ~finderung der Sehseh~rfe eintreten soll. Fiir die Praxis der Brillenbestimmung kOnnte man aus dem Vorstehenden etwa folgende Forderung empfehlen: Will man den umst~ndlichen, in Abschnitt 12 angegebenen Weg der exakten Bestimmnng vermeiden, so empfiehtt es sich, die Brillenbestimmung bei Myopie bei grOSerer Pupillenoffnnng (etwa 5 ram) vorzunehmen. Ist dies unter Umstgnden nicht mOglich, so wird zur Breehkraft des schwgehsten Konkavglases zweckmgGig 1 his -~ Dioptrie zugesehlagen, je nachdem es sich um schwache oder starke Grade der Ametropie handelt. Bei der Bestimmung der ]gefraktion eines Auges mitte]s vorgescha]teter Glgser entsprieht jeder Refraktionsdifferenz U eine Brechkraftdifferenz V des applizierten Brillenglases. ~¢Venn wir U als Fehler der Refraktionsbestimmung bezeiehnen, so kSnnen wit V d e n F e h l e r d e r Brillenglasbestimmung nennen. Die letztere GrSt~e interessiert den Augenaxzt in erster Linie, well sie direkt mef~bar resp. gegeben ist.

Beitr~g zur Theorie der Sehscharfe.

351

Wir wollen jetzt nachweisen, dal~ wir die GrOl3en U und V mit einer fiir unsere Zwecke geniigenden Genauigkeit einander gleichsetzen k6nnen, was iibrigens in der l~raktischen OphthMmologie bisher auch wohl immer geschehen ist. U m den Zusammenhang zwischen U und V zu finden sei in Fig. 17 wieder R der ~Iittelpunkt der (E. P.), S1 der Linsenscheitel, also SiR

=

0,017.

7 -~

]~erner sei L 2 der geometrische Fernl0unkt des u n b e w a f f n e t e n und ~2 der des mit dem Glase yon der Breohkrait D i b e w a f f n e t e n Auges. Da wir annehmen, dal~ D 1 iehlerhaft bestimmt ist, so wird ~ nicht im Unendlichen liegen. ]~s sei nun ferner 1

Fig. 17.

die auf S 1 bezogene Refraktion des Punktes L 2. Dutch das konkave Brillenglas yon der Brechkraft D 2 wlrd bekannt.lich die Refraktion der Kombination ,,Auge + Brillenglas" yon der GrSBe ~2 ~ L 2 - - D 1 1 erzeugt, wo ~2 = P 2 ist, wenn ~2S1 = P2 gesetzt wird. lgan hat also: 1

Zufolge der Fig. ]7 ist nun, wenn m a n P2 = R ~ 2 setzt: p~ ---- s ÷ 93"

Es ist nun Pe = 1 die R e f r a k t i o n d e s F e r n p u n k t e s des bePs waffneten Auges, bezogen auf den Punk?~ ~ 1), ist also identisch mit der oben als t % e f r a k t i o n s f e h l e r definierten GrS{~e U. Aus den letzten Gleichungen iolgt nun 1

P~

--o~-

1

Ls - - D i "

x) Wie oben bereits erw~thnt, vernachl&ssigen wir die Verlagerung der (E. P.) durch das Brillengl~s, weft der betr. Einflu8 fiir die weiteren ]3etrachtungen unerheblich ist.

352

A. Gleichen:

Nun ist aber L 2 -- 1

wie die Figur lehrt, nichts anderes als die Brech-

kraft des das Auge s t r e n g korrigierenden Glases, und die Differenz L 2 - - D 1 stellt also den Fehler V der Brillenbestimmung dar. Setzt man noch fiir P~. den Weft U ein, so ist: 1

1

U

o

,

und Gleiehung (77) liefert:

Nx =

30

Das Glied ~ i ~

10d

---- 10. d . V + 1 0 ~ "

ist so klein, dag wir es vernachl/~ssigen kSnnen.

D a d den praktiseh kleinsten Wert d = 2 annehmen kann und ~ -~ 0,017 gesetzt werden kann, so ist der praktiseh gr6Bte Wert dieses Gliecles 3.0,0!7 --0,0025 und beeinflul~t die Sehsehgrfe Slz nur unmerklieh. 20 ~ a n hat also 3 SH 10-d-V " Durch Vergleich mit Gleichung (77) erh~lt man U:

V.

(78)

und hiermit das l%esultat: Der in Dioptrien gemessene Fehler der Brillenbestimmung erzeugt einen ebenso gro~en Refr~ktionsfehler des bewafincten Auges. 13. Briilenfehler.

Unter ,,Brillenfehler" wollen wir diejenigen Fehler V verstehen, die dutch unkontrollierbare oder wenigstens bisher nicht kontrollicrte Einfliisse cnt,stehen. Diese Fehler kOnnen sich aus verschiedenen Summanden zusammensetzen: ungenaue Ausffhrung der brechenden Kugelfl~chen des Brillenglases, ungenaue Nachmessung etwa mittels eines nicht eichf~higen Sphgrometers beim Ersatz eines Glases durch ein neues, Vergnderung der Entfernung des Brillenortes infolge besonderer Ausbildung der Klemmer- oder Brilleuform, Vernachlgssigung der Dicke des Glases, insbesondere bei starken Konvexglgsern. Bei den letzteren sollte iibrigens in den Fabrikationsstgtten nicht die Brechkraft, sondern die auf den vorderen Scheitel des Glases bezogene ,,Scheitelrefraktion" angegeben werden, da es bei den Refraktionsbestimmungen in erster Linie auf den O f t d e s B r e n n p u n k t e s des Brillenglases ankommt.

Beitrag zur Theorie der Sehscharfe.

353

Zur Darste]lung des Einflusses des Fehlers V ~uf die Sehsch~rfe SH wollen wir die beiden extremen F~lle betrachten, dal~ bei der Brillenbestimmung 1. der geometrische Fernpunkt im Unendlichen, 2. der physiologische l%rnpunkt im Unelldlichen liegt. Im ersteren Fa]le ist die Sehscharfe bestimmt dureh 3 Sx~ = ~ .

(79)

d'.~-V"

Im zweiten Falle addiert sich zu V noch die Tiefe T--: so dab

man

3 lO.d.S

'

hat:

3

3

~o. d'(V ÷ T)

(

10.d" V +

lO.d.S

)

I-Iier ist d der l~upfllendurchmesser beim Akt der B r i l l e n b e s t i m m u n g und d' der Pupillendurehmesser bei der naehherigen B e n i i ~ z u n g d e s B r i l l e n g l a s e s seitens des Patienten, wobei noch einmal bemerkt sei, daI~ die Gleichung fiir $II immer nur gilt, wenn Six kleiner uls S ist. Andernf~lls besteht die beste Sehschgrfe S. Als mittleren Fehler k6nnen wir, wie oben nigher erl~iutert, V + T 2 setzen. Die zugeh6rige Sehschgrfe ist 3

3

Der durch den BriUenfehler V verursachte Abfall der Sehseh~rfe SIt tritt natiirlich nut fiir p o s i t i v e Fehler Vein, d. h. nur wenn das applizierte Konkavglas um V Dioptrien schw~eher ist als das yon dem Arzt bestimmte. Dieser Abfall der Sehseh~rfe wgehst sehr sehne]l mit V und wird, wie die obigen Gleiehungen lehren, such stark beeinfluI3t durch Nebenumst~nde. A]lgemein kann man sagen, daI3 ein Brillenfehler V Sx~ um so kleiner maeht 1. je Ii~her bei tier an sich richtig voltzogenen Brillenbestimmung der physiologische Fernpunkt dem unendlichiernen Punkt lag; 2. je grSl3er d' im Verh~Itnis zu d ist; 3. je kleiner das individuelle SehvermSgen S ist. Den ersten dieser drei schgdlichen Einfliisse, tier allein sehon unter besonders ungiinstigen Umstgnden (wenn n~mlich d' etwa 3---4real gr6i3er als d ist) einen Abfall der Sehschi~rfe auf ½ bis :~- des ursprfmg-

354

A. Gleichen:

lichen Wertes herbeiffibxen kann, k a n n jedooh der Arzt, wie wir oben sahen, dureh besondere MM]nahmen aussehliel~en. Wir wollen deshMb yon diesem Einilul~ hier absehen und annehmen, da$ das Glas ursprfinglich exakt mit Bezug auf den geometrischen F e r n p u n k t bes t i m m t sei. Aus der Gleiehung (79) 3 SH = 1Od'.~--V k a n n man dann leicht folgende kleine Tabelle in abgerundeten Z~hlen hinsehreiben, die einen schnellen tJberblick fiber den Abfall der Sehseh~rfe fiir Werte yon V = J-Dioptrie resp. ~ Dioptrie resp. ½ Dioptrie liefert, und zwar fiir versehiedene Werte yon d' yon 2 m m bis 8 m m aufsteigend. Die Werte fiir S~r in der Tabelle gelten nur, solange $I~ tdeiner Ms S is~. AndernfMls ist volle Sehsehgrfe S vorhanden. d ~ in ~1i ~ar V = ~

mm

2

3

4

5

6

7

8

........

Aus der Tabelle folgt obne weiteres: Bei st~rk herabgesetzter Sehschgrfe yon etwa S = {- hat ein l%hler V = {- Dioptrie gar keinen schgdliohen' Einflul~; denn wie die horizontale Reihe fiir V = } zeigt, sinkt Sx~ erst bei d' = 8 m m unter S herab. Bei normMer Sehsohgrfe " S - - I beginnt sich der Abfall bereits bei d ' = 3 m m bemerkbar zu maehen, und sinkt fiir d ' = 6 m m auf Six = ~v = ~. Personen, deren 8ehschgrfe gr6Ger ~ls ~ ist, erleiden bei alien vorkommenden Werten yon d eine Einbul~e an 8ehsehgrfe, wenn der Bfillenfehler V ~ Dioptrie betr~gt. Betraohtet man die horizontMe Reihe ffir V = ~, so erkennt man, dal~ nur Myopen mit ganz geringer Sehseh~rfe ( 8 - ~ C v - = - } etwa,) einen solehen Brfllenfehler ohne EinbuBe ihrer SehsohR,rfe vertragen k6nnen; denn erst bei einer Pupi]len6ffnung yon d = 7 ram sinkt $II = ~ unter S herab. Augen mit normaler Sehsehgrfe S = 1 erleiden unter allen Umstgnden einen Verlust, da fiir d = 2 mm SH bereits den IVert ~ a n n i m m t und dann mit steigenden Werten v0n Sir sehnell sinkt. Ffir einen Fehler V = ½ Dioptrie werden die Verhgltnisse entsprechend ungfinstiger, wie die betreffende ItorizontMreihe der Tabelle

lehrt. Es sei sehliet~lieh noeh kurz der Einflul~ auf die GrO~e S~x diskutiert, der dadureh entsteht, dM~ bei der vielgeiibten Methode der D o n d e r s sehen Refraktionsbestimmung die Probetafeln dem zu priifenden Auge z u n ~ h e sind.

Beitrag zur Theorie der Sehsch~rfe.

355

Eine einfache Betraehtung lehrt, da$ die oben entwickelten Gleiehungen (79) bis (81) und die daraus gezogenen Folgerungen uneingeschr~nkt gelten, wenn man an Stelle yon V den Wert 1 setzt, wo r die in Metern ausgedriickte Entfernung der Probetafeln yore Auge ist. Es ergibt sieh dies daraus, dM3, wie wit oben sahen, der Refraktionsfehler U dem Brillenfehler praktiseh gleiehgesetzt werden kann. Der Einflu$ zu naher Probetafein auf die Sehsch~rfe des bewaff~eten Auges fiir die Ferne ist also relativ bedeutend. Er l~$t sich, wie aus den friiheren Betrachtungen folgt, unter Beriicksiehtigung der betreffenden Nebenumst~nde dadureh kompensieren, da$ m~n zur Brechkraft des :Fernglases den V~'ert V _ 1 hinzuffigt oder abzieht, je nachdem (M) oder (H) vorliegt, r 14. Sehseh~irfe bei sehr~iger Blickrichtung durch ein Brillenglas. •ehmen wir an, ein yon Astigmatismus freies Auge w~re zutreffend dutch ein Glas korrigiert und babe beim seharf.en Sehen eine Sehsch~r~e S in Richtung der optisehen Aehse. Wenn es dann unter Rollbewegungen sehief durch das Gl~s sieht, so wird das System ,,Auge + Brfllenglas" im allgem:einen, wenn das Brillenglas nicht ,,punktuell abbildend" ist, einen gewissen Astigmatismus aufweisen, der yon der Breehung des Lichtes im Glase herriihrt. Wit wollen fiir diese sehief das Briltenglas durchdringenden Biindel in erster Annaherung die Gfltigkeit der Gleichung (69) S.

2- 0,0O029- ). d . Ast

(82)

annehlnen.

Beziiglich der Bedenken, dab die jetzt in Frage kommenden Biindel nicht mehr die stxenge Form des S t u r m s c h e n Conoids haben, verweisen ~dr auf C z a p s ki, Theorie der optischen Instrumente, Breslau 1893, S. 106, wo ganz analoge Voraussetzungen zu anerkannt richtigen ]~ormeln ffihren. Wenn wit die Gleichung (82) fiir das kombinierte System gelten lassen, so geschieht dies natiirlich unter Vernaehlgssigung yon Umst~nden, die wir oben bereits erSrtert haben. Wenn wir nun die ~rage stellen, welehen Wert die Gr68e Ast annehmen darf, ohne seh~dlich zu wirken, so mu~ offenbar die Sehschgrfe Sf, gleich der Sehschgrfe S in Richtung der optischen Aehse des kombinierten Systems sein. Man hat dann S~ = S =

2- 0,00029 • )~ d . A~

v. Graefes Archly ftir Ophthalmologie. Bd. 93.

(83) 24

356

A. Gleichen: Beitrag zur Theorie der Sehsch~rfe.

Driicken ~ r wieder d in 5{illimetern aus und ersetzen 0,00029 durch 0,0003, so wird 2-0,3-4 S---d - A~t oder : 0,6.4 Ast d. S (8~) der zulgssige Astigmatismus des Brillenglases beim schiefen Durchblick. Fiir die Beurteilung der Gr0ge ~ des Ubungskoeffizienten fehlt uns beim Sehen in astigmatischen Zerstreuungskreisen allerdings zur Zeit jedes Erfahrungsmaterial. Setzen wir, zumal es sich bier um relativ sehr kleine Zerst,reuungskreise handelt, die GrSBe 2 = 1 und d = 8 ram, indem wir vertangen, dab das Brillenglas auch bei weitgeSffneter Pupi]le dem roUenden Auge volle Dienste leisten soll, so wird 0,075

&, = - 5 -

(s5)

Ffir normale Sehsch~irfe (S = 1) sollte also der Astigmatismus am I~ande des Glases nicht mehr als 0,075 Dioptrien betragen, eine Bedingung, die dureh die modernen punktuell abbildenden Brillenglgser erfiillt wird.