Inventiones math. 21, 59-116 (1973) 9 by Springer-Verlag 1973

Uber das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie JiJrgen Neukirch (Regensburg)

Einleitung In der vorliegenden Arbeit soil die Theorie des Einbettungsproblems der algebraischen Zahlk6rper auf der Grundlage des Dualit~itssatzes von Tate und Poitou neu begriindet werden. Nachdem man dutch die Klassenk6rpertheorie einen Einblick in den Aufbau der abelschen Erweiterungen erhalten hat, liegt der Gedanke nahe, als n~ichstes die aufl/Ssbaren K6rper zu betrachten, und zu versuchen, diese durch abelsche Schritte aufzubauen. Dieser Gedanke wurde in den wunderbaren, iiberaus tiefsinnigen Arbeiten von gafarevi~ fiber die Konstruktion yon K/Srpern mit vorgegebener aufliSsbarer Galoisgruppe in einer glanzvollen Art und Weise durchgefiihrt. Im Zentrum der Er~Srterung solcher Problemstellungen steht das sog. Einbettungsproblem: Eine schon gegebene galoissche Erweiterung Klk soll in eine gr/SBere Nlk so eingebettet werden, dab die Galoisgruppen yon NIk und KIk eine vorgegebene Gruppenerweiterung realisieren. Ober den Zahlk6rpem hat dieses Einbettungsproblem in gewissem Sinne eine arithmetische Struktur. Jedem Einbettungsproblem fiber einem Zahlk6rper k sind in kanonischer Weise lokale Einbettungsprobleme tiber den Komplettierungen kp zugeordnet, und es ergeben sich dadurch eine Reihe wichtiger Lokal-Global-Fragen. Wann z.B. kann man von der L/Ssbarkeit der lokalen Einbettungsprobleme auf die L6sbarkeit des globalen Einbettungsproblems schliel3en, oder wann existieren globale L/Ssungen, die im Lokalen vorgegebene L6sungen induzieren? Fragen dieser Art, die also das Zerlegungsverhalten der Primstellen bei dem Aufbau der gesuchten K/Srper betreffen, spielen eine wichtige Rolle u.a. bei der Konstruktion von K/Srpern mit vorgegebener Galoisgruppe. Als ein Prototyp der einfachsten Art ist hierbei etwa der Grunwaldsche Existenzsatz anzusehen, der besagt, dab bei Vorgabe lokaler zyklischer Erweiterungen Kplkp an endlich vielen Primstellen p (bis auf einen speziellen Fall) stets eine globale zyklische Erweiterung KIk existiert, die die vorgegebenen Erweiterungen Kpikp als Komplettierungen besitzt. Ein systematisches Studium der L/Ssungsmannigfaltigkeiten solcher Einbettungsprobleme f~ihrt nun in kanonischer Weise auf eine Hindernis-

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theorie, die sich harmonisch in den Gedankenkreis um den Dualit~itssatz von Tate und Poitou einlagert. Dieser Dualit~itssatz kann z.B. die recht komplizierten Rechnungen mit den htiheren Potenzrestsymbolen, wie sie bei ~afarevi~ auftauchen, durch eine begrifflichere Methodik ersetzen und verallgemeinern, und aus der in dieser Weise aufgebauten Theorie ergeben sich viele der klassischen Resultate fiber das Einbettungsproblem fast automatisch. Dariiberhinaus lassen sich aber auch manche neue Ergebnisse gewinnen, von denen hier nur die folgende Verallgemeinerung des Grunwaldschen Existenzsatzes auf den Fall der nilpotenten Erweiterungen erw~ihnt sei. Sei z. B. k der K6rper der rationalen Zahlen. Sei eine beliebige endliche nilpotente Gruppe G ungerader Ordnung vorgegeben und seien weiter an endlichen vielen Primstellen lokale galoissche Erweiterungen K~,lkp vorgeschrieben, deren Galoisgruppen G(K~,[kp)in G einbettbar sind. Dann gibt es eine globale galoissche Erweiterung Klk, die einerseits eine zu G isomorphe Galoisgruppe besitzt, andererseits die vorgegebenen lokalen Erweiterungen Kplkp als Komplettierungen annimmt. w 1. D a s einfache Einbettungsproblem

Sei Ib eine pro-endliche Gruppe ~. Ein Einbettungsproblem g(qJ) ffir

die Gruppe q) besteht in einem Diagramm

1

~A

)E

J

(fi

)G--

,1

mit endlichen Gruppen A, E, G, exakter Zeile und surjektivem Homomorphismus ~p, und in der Frage nach der Existenz eines (surjektiven) Homomorphismus ~k: ~ --, Emit j o $ = ~0. K6rpertheoretisch ist dieses Problem folgendermagen zu verstehen: Sei k ein K6rper und lti die absolute Galoisgruppe tiber k, d.h. die Galoisgruppe der separabel-algebraisch abgeschlossenen Hiille von k. Durch ~p, genauer durch ~i0=Ker(rp) wird eine galoissche Ktirpererweiterung Klk mit der Galoisgruppe G(KIk)=e~/~o~-G festgelegt, und die Existenz eines surjektiven Homomorphismus $: ~i--,E mit jo$=~0 bedeutet dementsprechend die Existenz einer Erweiterung N~_K~_k mit zu E isomorpher Galoisgruppe G(NIk), derart dab die kanonische Projektion G ( N l k ) ~ G (Klk) nach Identifizierung der Gruppen mit E bzw. G mit dem vorgegebenen Homomorphismus E J , G zusammenffillt. i Jede pro-endliche Gruppe ist als topologische Gruppe aufzufassen, und es werden Homomorphismendurchwegals stetigund Untergruppenstets als abgeschlossenvorausgesetzt.

Ober das Einbettungsproblemder algebraischenZahlentheorie

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Ist ~b nicht surjektiv, so erh~ilt man anstelle des Ktirpers N lediglich eine galoissche Algebra mit der Gruppe E als L6sung des Einbettungsproblems (vgl. Hoechsmann [6]), oder auch einen K6rper Ntk mit der Galoisgruppe ~b(~)= E c E. Man ist natiirlich in erster Linie an der Existenz surjektiver Ltisungshomomorphismen ~, interessiert. Fiir den Aufbau einer befriedigenden Theorie ist es jedoch notwendig, beliebige (d.h. nicht notwendig surjektive) Homomorphismen als L6sungen zuzulassen, und die Frage nach der surjektiven L6sbarkeit erst nachher zu stellen, da sie yon einer ganz anderen Natur ist. Im Hinblick auf die gleichzeitige Betrachtung mehrerer Einbettungsprobleme und insbesondere bei dem sp~iter zu definierenden wichtigen Einbettungsproblem ,,mit lokaler Vorgabe" kommt eine besondere Bedeutung der Frage zu, wann zwei L/Asungshomomorphismen ~b und ~b' des obigen Einbettungsproblems 8(ffi) als ~iquivalent angesehen werden sollen. Es l~ige nahe, zwei LSsungen ~, und ~,' genau dann ~iquivalent zu nennen, wenn sie die gleiche K/Srpererweiterung N von k liefern, wenn also Ker(~,)--Ker(~b') gilt. Dieser Aquivalenzbegriff ist jedoch zu weit gefaft, wenn man die sukzessive L/Ssung sich iibereinander ttirmender Einbettungsprobleme mit lokaler Vorgabe im Auge hat. Prozesse dieser Art lassen sich dagegen gruppentheoretisch recht einfach behandeln, wenn man das andere Extrem w~ihlt und zwei Homomorphismen ~, und ~k' nur dann als ~iquivalent ansieht, wenn sie gleich sind. Jedoch ist diese ,~quivalenzrelation vom k/Srpertheoretischen Standpunkt zu straff. Es mtigen n~imlich Ktirper mit allen gewiinschten Eigenschaften existieren, obgleich das Einbettungsproblem mit lokaler Vorgabe aus rein gruppentheoretischen Griinden unl6sbar ist. Aus mehreren Griinden dr~ingt sich jedoch die folgende Definition auf: (1.1) Definition. Zwei Homomorphismen ~, ~,': ~ E mit jo~,=jo~,'=tp heil3en ~iquivalent, wenn ~k'(a)=a -1 ~k(a) a,

fiir alle a~ffi,

mit festem a e A gilt. Jede .~quivalenzklasse [~b] nennen wir eine l_,6sung des Einbettungsproblems g(tS) und bezeichnen mit Aast~) den L6sungsraum, d.h. die Menge aller L6sungen. Die Ltisung heil3t [~] eigentlich, wenn die Homomorphismen ~k aus [~b] surjektiv sind. Sei durch das Diagramm

1

~A-

~E

i

,G

~1

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J. Neukirch

ein Einbettungsproblem 8(ffi) vorgelegt, und sei ~ ' eine Untergruppe von (!i. Es entsteht dann ein neues Einbettungsproblem ~(~') f'tir die Gruppe ~ ' durch das Diagramm ~/'

1

~A-

,E'

J' ~G'

~1,

wobei G'=q~(~')___G und E ' G E das voile Urbild von G' unter dem Homomorphismus E J ~ Gist. Wir nennen g((fi') die Verlagerung des Einbettungsproblems g(6J) auf die Untergruppe (ti'. Ist 6i die absolute Galoisgruppe fiber dem KiSrper k, und ist k' die durch ffi' festgelegte algebraische Erweiterung von k, so bedeutet g(6i') das auf den neuen Grundk6rper k' verschobene Einbettungsproblem. Ist K I k bzw. K'lk' die durch cp bzw. ~0'=~ol| gegebene galoissche K/Srpererweiterung mit der Galoisgruppe G bzw. G', so ist K ' = K . k'. Jede L/Ssung [~] von 8 ( ~ ) definiert durch Einschriinkung auf die Untergruppe ~ ' von 9 eine L6sung von g(~'). Im Falle L#t~,j#: 0 haben wir also die kanonische Restriktionsabbildung L#tt~) ~ .~ett~,). (1) Wir werden uns in dieser Situation vor allem mit den folgenden beiden Fragestellungen zu besch~iftigen haben: 1. Wann zieht die L6sbarkeit yon 8(ffi') die L6sbarkeit yon r nach sich? 2. Wann existiert eine L6sung [~k] yon g(~), die eine vorgegebene L6sung [~b'] yon o#(ffi') induziert, oder allgemeiner, die unter der Abbildung (1) in eine vorgegebene Teilmenge yon ~'tt~') hineinfiillt? Das Einbettungsproblem zielt u. a. darauf ab, K6rper mit komplizierteren Galoisgruppen zu konstruieren, und zwar durch die Methode des sukzessiven Aufsteigens in m/Sglichst einfachen, d.h. wirklich ausffihrbaren Schritten, und hier kommen in allererster Linie die abelschen Schritte in Frage. Dem Studium des Einbettungsproblems mit abelschem Kern A kommt daher eine zentrale Bedeutung zu. Sei also ~(Ib) ein Einbettungsproblem mit abelschem Kern und sei ffio = Ker(q~). Wir betrachten dann das exakte Diagramm ,ffi 0 //

//

//

~0 i"1 // : //

r

1

~A

//

//

eft

:

g ~E-

//

}:

/// [

//

J ~G

0

~1.

{Jber das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie

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Der Kern A ist ein G-Modul und wird fiber tp zu einem 15-Modul, wobei 15o trivial auf A operiert. Ein L~isungshomomorphismus ~,: 15 ~ E liefert durch Einschr/inkung auf 15o einen G-Homomorphismus ~bo: 150 ~ A. Jedes solche Einbettungsproblem 8(t5) wird nun durch die exakte Kohomologiesequenz 1--* H t (G, A ) ~ H 1(ffi, A ) ~ H 1(15o, A)~ - ~

H2 (G, A) ~

H 2(15, A)

begleitet mit einer Kohomologieklasse ~HZ(G,A), die die Gruppenerweiterung 1 --~ A ---, E -~ G --~ 1 festlegt. (1.2) Satz (Hoechsmann [-6]). Das Einbettungsproblem 8(15) besitzt genau dann eine Liisung, wenn Inf(e)= 1 ist, d.h. genau dann, wenn es einen G-Homomorphismus ~'o: 15o--'A gibt, der dutch die Transgression auf abgebildet wird. Beweis. Sei 6 = E x ~ 15 = {(e, or)~E x 15[j (e) = ~o(a)} das Faserprodukt yon E und 15 fiber G. Wir haben dann das kommutative exakte Diagramm 1

-~A

,(~

1

-~A

,E

:

J

,t~

,1,

)G

,1,

wobei )" bzw. (o durch f(e, a) = a und t~ (e, a) = e gegeben ist. Die obere Gruppenerweiterung ist dann durch das Element ~=Inf(e)eH2(15, A) gegeben. Diese zerf~illt also genau dann, wenn ~= Inf(e) = 1. Aufgrund der universellen Eigenschaft des Faserproduktes ~ = E x ~ 15 entsprechen aber die homomorphen Schnitte s: 1 5 ~ (~, d.h. die Zerf~illungshomomorphismen der Erweiterung (~ ~ 15 umkehrbar eindeutig den L/Ssungshomomorphismen @: 15---)E von g(15). Daher ist 8(15) genau liSsbar, wenn ~ = Inf(e) = 1. Ist X ein topologischer Raum und F eine Gruppe, die auf X stetig und einfach transitiv operiert, so heil3t X ein prinzipaler homogener Raum fiber E Sei Y eine abgeschtossene Untermenge von X und Fo die Gruppe aller derjenigen Elemente von F, die Y in sich iiberf'tihren. Operiert Fo auf Y transitiv, so ist Y ein prinzipaler homogener Raum fiber Found wird als homogener Unterraum von X bezeichnet. (1.3) Satz. Sei 8(15) ein 16sbares Einbettungsproblem mit abelschem Kern A. Der (diskrete) Liisungsraum ~t(o) ist dann ein prinzipaler homogener Raum fiber der Gruppe H t (15, A). Die homogenen Unterri~ume fiber H 1(G, A) bestehen dabei gerade aus allen L6sungen [~k], deren Einschr~nkung auf qio=Ker(tp) einen festen G-Homomorphismus ~bo: 15o--* A ergeben.

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J. Neukirch

Beweis. Ist ~b ein L6sungshomomorphismus von ~(~), xeHl(ffi, A) und X: ~ ~ A ein 1-Kozykel aus x, so wird durch ~q'(~)=z(~)' qJ(~) ein LiSsungshomomorphismus x~b: ( 5 ~ E definiert. Eine andere Auswahl von ~( aus x und ~ aus [~k] liefert dabei lediglich einen ~iquivalenten LiSsungshomomorphismus im Sinne yon (1.1). Durch die Zuordnung [~,] --, ~[~] = E~r

erhalten wir also eine Operation von H ~((5, A) auf Lat (~). Diese Operation ist transitiv. Sind n~imlich irgend zwei L6sungen [~b] und [~b'] gegeben, so wird durch ein 1-Kozykel X: t S ~ A , also eine Kohomologieklasse x~H~(eb,A) definiert mit ~[~O]= [xr = [~b']. Sie ist fiberdies einfach transitiv, weil #/und q/genau dann ~iquivalent sind, wenn Z ein Korand ist. Der exakten Sequenz I~HX(G,A) 1"f,Hl(qJ,A)~Ht(ffio,A)~ entnimrnt man schlieBlich, dab ~,l~o=X~kI~o genau dann gilt, wenn x~Inf H~(G,A) ist. Ist ~i' eine Untergruppe von 6i und g(~i') die Verlagerung von g(ffi) anf ~i', so sieht man sofort, dab die Abbildungen ~as(~)--~.~s<~,),

HI(ff~,A) ~ ~HX(~',A)

einen Morphismus prinzipaler homogener R~iume darstellen.

w2. Einbettungsprobleme mit iokaler Vorgabe Das soeben betrachtete Einbettungsproblem 8 ( ~ ) ist yon rein algebraischer Natur und kann fiber einem beliebigen K/~rper definiert werden. Nun sind abet die algebraischen Zahlkfirper arithmetische Kfirper, ausgestattet mit Primidealen, Komplettierungen usw., und jene andere fundamentale Fragestellung der Zahlentheorie, n~imlich die nach dem Zerfall der Primstellen in algebraischen Erweiterungen wird durch das obige Einbettungsproblem nicht berLihrt. Dagegen gibt es ein Existenzproblem, das gerade solche arithmetisehen Fragen betrifft. Ist n~imlieh k ein Zahlkfirper, Seine gewisse Primstellenmenge von k, und sind kp die Komplettierungen yon k hinsichtlich p e S, so kann man lokale Erweiterungen Np ]kp vorgeben und nach einer globalen Erweiterung Nik fragen, die an den Stellen p e S gerade die gegebenen Komplettierungen Npikp besitzt. In dieser Richtung hat man z.B. den bekannten Grunwaldschen Satz, nach dem bei Vorgabe zyklischer Erweiterungen Npikp an endlich vielen Stellen p yon k (bis auf einen speziellen Fall)

l~ber das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie

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stets eine globale zyklische Erweiterung NIk vom Grade [ N : k ] = k.g.V. {[Np:kp]} existiert, die das Geforderte leistet. Wir betrachten in dieser Arbeit ein Existenzproblem, das als eine Synthese aus dem einfachen, rein algebraischen Einbettungsproblem 8 (15) und einem Existenzproblem vom zuletzt genannten arithmetischen Typ verstanden werden kann. Wir beginnen dabei ganz abstrakt. Sei t5 eine pro-endliche Gruppe und ~ip, peP, eine Familie abgeschlossener Untergruppen, wobei die Indexmenge P ein topologischer Raum ist. In jeder Gruppe ~ip sei ein Normalteiler Zp ausgezeichnet. Wir nehmen an, dab die Menge S= {peP[~___lI} ftir jede offene Untergruppe II von 15 eine offene Teilmenge von P ist. Sei z.B. 15 die Galoisgruppe tiber einem endlichen algebraischen Zahlk~Srper k und P die Menge der PrimsteUen yon k, die wir uns stets mit der Zariskitopologie ausgestattet denken (d.h. offene Mengen sind die co-endlichen Mengen). Ftir jedes p e p sei 15p die Zerlegungsgruppe einer Fortsetzung von p auf dem algebraischen Abschlul3 von k und Zp die Tr~igheitsgruppe in 15p. Ist It eine offene Untergruppe yon 15, so sind fast alle p e P in der durch II festgelassenen endlichen Erweiterung von k unverzweigt, d.h. Z p ~ l l f'tir fast alle peP. Daher ist die Menge {p~Pl~:p~ll} often in P. Die gleiche Situation findet man bei einem unendlichen algebraischen ZahlkiSrper k, wenn man beachtet, dal3 die Primstellenmenge P von k der projektive Limes der Primstellenmengen aller endlich-algebraischen Teilktirper von k ist, und somit die Limestopologie tr~igt. Sei nun 8(15) ein Einbettungsproblem f'tir 15. Wir bilden dann ftir jedes p e p die Verlagerung g(15p) yon ~(ffi) auf die Untergruppe 15p und erhalten die Diagramme 15 15p

1

'A

~E J ' G

,1,

1

~A

~Ep J~--~Gp

,1.

Dabei ist Gv=~p(15v)c_G, ~pp=tp[~ound Ep=j-I(Gp)~_E. Wir nennen 8(15) ein globales Einbettungsproblem und g(15p) die zugeh6rigen

lokalen Einbettungsprobleme. Wir nennen eine L6sung [~bp] von 8(15p) unverzweigt, wenn die Gruppe ~p im Kern von ~p liegt. Wir betrachten jetzt for jedes p e P die Restriktionsabbildung A~ (s) --, L~'~(~o). Ist [~,]eAet(| so nennen wir die Bilder [Op] in ffs(~) die lokalen Komponenten yon [~]. Da die Menge {PeP[ [~%] unverzweigt} = {p e P I Z , 5 Inventionesmath., Vol.21

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Ker(t#)} often in P ist, erhalten wir (im Falle Aa,(~)4:O) die kanonische Abbildung IJEP

wobei das beschri~nkte Produkt rechts die Menge aller Elemente ([~])p~ee ~ Aa| bedeutet, derart, dab {t~ePl[~kp] unverzweigt} often in P ist. Dieses Produkt ist in der folgenden Weise als topologischer Raum aufzufassen: Die Mengen Aatt~D) tragen die diskrete Topologie und die Mengen

bilden eine Basis oftener Mengen von E[ ~($o), wobei Lp eine beliebige p~P

Teilmenge von .Y~(| ist, .Y~o) die Menge der unverzweigten L6sungen in ~s(~) und S eine offene Untermenge von P bedeutet. Sind alle Mengen 0~(~o) endlich, so ist [I -Yt(~o) lokal kompakt. peP

Ist der Kern Avon 8(~) abelsch, so ist A ein endlicher ~B-Modul, und wir k~Snnen die Kohomologiegruppen Hq(~, A), Hq(~p, A) bilden. Wir setzen Hg,(~ip, A)=Bild [Hq(eSp/fgp, A ~p)

Inf)

Hq(~bp, A)]

und nennen diese Gruppe den unverzweigten Tell von H~(~p, A). Wir haben nun den kanonischen Homomorphismus

U~(~, A)

' l-I n ~ ( ~ , A), p~P

wobei das besehr~inkte Produkt rechts die Gmppe aller Elemente (xp)~,e 1-I H*(~i~, A) ist, derart, dab {pePIx~eH~,(ff~, A)} often in P p,r

ist. Dieses Produkt ist in analoger Weise wie oben als topologische Gruppe aufzufassen. Besitzt P die ,,Zariskitopologie" der co-endlichen Mengen, so handelt es sieh hier um das tibliche beschr~inkte Produkt (vgl. hierzu Neukirch [13]). Es ist nun klar, dab 1-1 ~s($o) einen prinzipalen homogenen Raum ~,r

tiber der Gruppe [] H ~( ~ , A) darstellt, und wir haben den (2.1) Satz. Ist 8(ff~) ein 16sbares Einbettungsproblem mit abelschem Kern A, so stellen die kanonischen Abbildungen

~,(~)-+~ --~,(~), H* (if),A)-~ N H* (if)v,A) p~P

peP

einen Morphismus prinzipaler homogener Rftume dar.

(]bet das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie

67

In manchen Fiillen gibt es f'tir das Einbettungsproblem 8(15) ein Lokal-Global-Prinzip, und zwar haben wir den folgenden (2.2) Satz. Sei 8(15) ein Einbettungsproblem mit abelschem Kern A. Ist dann die Abbildung H 2(15, A ) ~ 1-] n 2(15p, A) pep

injektiv, so besitzt 8(15) genau dann eine L6sung, wenn alle lokalen Einbettungsprobleme 8(15v) eine LOsung besitzen. Beweis. Wir betrachten das kommutative Diagramm H 2(G, A) Inf ) n 2 (15, A)

t/2(Gp, A) lnfo , H2(15~, A). Sei eeH2(G,A) bzw. ep=resp(e)sIt2(Gp,A) die zu 8(15) bzw. 8(15v) gehi3rende Kohomologieklasse. Besitzen alle 8(15~) eine LiSsung, so ist Infp(~)=Resp(Inf(e))=l f~ir alle p nach (1.2). Wegen der Injektivit~it yon LI Resp folgt hieraus Inf(0= 1, also nach (1.2) die L~Ssbarkeit yon pEP

8(15). Dieser Satz wird es uns erm6glichen im konkreten zahlentheoretischen Fall explizite Kriterien ftir die L6sbarkeit des globalen Einbettungsproblems 8(15) bereitzustellen. Von zentraler Bedeutung ist aber jetzt die folgende, gewissermaBen arithmetische Verschiirfung des Einbettungsproblems. (2.3) Definitio,. Unter einer (homogenen) lokalen Vorgabe ftir das Einbettungsproblem 8(15) verstehen wir einen (homogenen) Unterraum Lvon ]1 .LPe(| ) und nennen das Paar (8(15), L) ein Einbettungsproblem pep

mit lokaler Vorgabe. Eine LiJsung yon (8(15), L) ist eine L/Ssung [~k] yon 8(15), die durch die Abbildung pep

in den Unterraum L hinein abgebildet wird. Die LiSsung [~k] heiBt eigentlich, wenn sie eigentlich als LiSsung von 8(15) ist. Wit werden es in dieser Arbeit ausschlieglich mit homogenen lokalen Vorgaben L zu tun haben und setzen daher die Homogenit~it im folgenden stillschweigend voraus. Bei der Konstruktion von KiSrpern mit vorgegebener aufl/Ssbarer Galoisgruppe hat man jedoch auch nichthomogene lokale Vorgaben zu betrachten. 5*

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J. Neukirch

Ist d'(15) ein Einbettungsproblem mit abelschem Kern A, so gehiSrt zu jeder lokalen Vorgabe, d.h. zu jedem Unterraum L yon H L~t(~o) pep

eine Untergruppe A v o n H H~(15~, A), die aus allen Elementen yon pep

H H1(15~, A) besteht, die L in sich iiberf'tihren. Wit betrachten den pep

Homomorphismus p(A): Ht(15, A)--* H Ht(15~, A)/A pep

und setzen A(15, A, A)- Koker (p(A)). (2.4) Satz. Sei ~(15) ein liSsbares Einbettungsproblem mit abelscfiem Kern A. Dann ist jeder homogenen lokalen Vorgabe L ffir ~(15) in kanonischer Weise ein Hindernis r/(L)6A (15, A, A)

zugeordnet, dessen Verschwinden gleichbedeutend mit der L6sbarkeit des Problems (8(15), L) ist. Beweis. Sei [St]e~cet(o) und [~t] das Bild von [St] in 1-I-Lat(o~ Ferner sei [~2]~L beliebig und p~e

~e H nt(15p,a) peP

das Element, das [r und [~2] unterscheidet: [q)~]='~[~2]. Wir definieren dann /7(L)= Restklasse von ~ in A (15, A, A). t/(L) h~ingt nicht vonder Auswahl von [S1]e&at(o) und [~2]eL ab. Ist n~imlich [Si] und [~[] eine andere Auswahl, so ist [SI]=~[Sx]

und

[~]--~[~2]

mit xt~H1(15, A) und ~2~ H Ht(15~, A). Es wird daher [~i]=~'[~t]= p%e ~ v ~ [ ~ 2 ] = ~ 1 ~ [ ~ ] , d.h. [~bl] und [ ~ ] unterscheiden sich dutch das Element xl" x2~" x, wobei ~ das Bild yon xl~Hl(15, A) in H Ht (15p, A) I~ela

und ~2~A ist. Daher bestimmt ~1' ~2-t" x in A(15, A, A) das gleiehe Element wie $. Gleichzeitig sieht man, dab die L6sung [Si] yon g(15) genau dann in den prinzipalen homogenen A-Raum L abgebildet wird, wenn ~ 1 . ~ 1 . ~ A , d.h. ~t-$eA, und dies ist genau dann der Fall, wenn r/(L) = 0.

fiber das Einbettungsproblemder algebraischenZahlentheorie

69

(2.5) Korollar. Das Einbettungsproblem(~ (15), L) besitzt stets eine L6sung,

wenn das globale Problem ~ (15) 16sbar und die Abbildung p(A): H1(15, A)--* H Ht(15p, A)/A p~P

surjektip ist. Aufgrund des Satzes (2.4) stellt sich die Aufgabe die Gruppe A(15,A,A) und die Hindernisse ~ (L) im konkreten zahlentheoretischen Fall explizit zu berechnen. Wir werden zeigen, dab sich diese Aufgabe mit Hilfc des Dualit~tssatzes von Tate und Poitou in vielen F~illen 16sen l~Bt.

w3. Beispiele iokaler Vorgaben Wir denken uns jetzt die Gruppe (5 als die absolute Galoisgruppe eines algebraischen Zahlk6rpers k, d.h. als die Galoisgruppe der algebraischen AbschlieBung k yon k. Clber jeder Primstelle p yon k w/ihlen wir eine feste Fortsetzung r auf den algebraischen AbschluB k aus und bezeichnen mit 15p bzw. Zp die Zerlegungsgruppe bzw. die Tr/igheitsgruppe yon ~ fiber k. 15~ kann dann wie iiblich als die absolute Galoisgruppe fiber der Komplettierung kp yon k aufgefaBt werden: 15p= G (~:pIkp). Sei jetzt durch die Diagramme 15

1

~A

~E J ,G-----*I,

15v

1

,A-----~Ep~Gp

,1

ein Einbettungsproblem ~(15) gegeben mit den zugeh6rigen lokalen Einbettungsproblemen 8(15p). Ist KIk bzw. Kplkp die durch (p bzw. (pp definierte KiSrpererweiterung mit der Galoisgruppe G bzw. Gp, so ist K~ die Komplettierung von K hinsichtlich der Einschr~inkung von auf K und die Untergruppe Gp_ G ist gerade die Zerlegungsgruppe von IK iiber k. Ist ~b: 15--,E ein L6sungshomomorphismus von 8(15) und ist N~_K~_k die durch ~, definierte K~rpererweiterung mit der Galoisgruppe E=~,(~i)__.E, so ist die durch den L~Ssungshomomorphismus ~kp= ~, I| definierte K~Srpererweiterung Np Ikp gerade die Komplettierung von N Ik hinsichtlich p IN. Wir kiSnnen jetzt die Frage stellen, ob man eine L/Ssung [~,] von 8(15) finden kann, deren lokale Komponenten [~bp] oorgeschriebene lokale Erweiterungen Nplkp definieren. Diese Frage f'tihrt auf die folgenden beiden lokalen Vorgaben.

Beispiel 1. Sei Seine endliche Primstellenmenge von k. Fiir jedes p ~ S sei eine L~sung [~b~]~ Aet(~) von $'(15p) vorgegeben. Wir betrachten

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J. Neukirch

dann die lokale Vorgabe

L= I1 {[q'~]} x [ I pES

p~S

~e~<|

[1-~(+o), p

die wir mit

L =([q'p])r~s abkiirzen. Eine LSsung des Problems (g(ffi), L) liefert dann eine K/~rpererweiterung Nlk, die einerseits das globale Einbettungsproblem 8(ff~) 16st, andererseits an den Stellen p aus S fest vorgegebene Komplettierungen Nr ]kr besitzt. In dem extremen Spezialfall, dab G = 1 und E zyklisch ist, geht das Problem in das Grunwaldsche Existenzproblem iiber: Es wird nach einer zyklisehen Erweiterung N lk gefragt, die an den endlich vielen Primstellen pES vorgegebene zyklisehe Komplettierungen Np Ikp besitzt. Zur lokalen Vorgabe L = ([~r])r~s geh6rt offenbar die Gruppe

A= [I {0p} • I1 H1 ((]gr, A)~EI Hl((~r, A). p~S

rr

p

Daher ist die Hindernisgruppe A(ff~,A, A) gerade der Kokern der Abbildung p(A): H~(~, A)--.I-I H~(~r, A). peS Wir werden in w6 zeigen, daft dieser Homomorphismus zwar in vielen F~illen surjektiv ist, d.h. A(ffi, A, A) =0, durchaus aber nicht immer. Es muff darauf hingewiesen werden, dab eine L~sung [~b] des Problems (~'(ffi),L) mehr liefert als die vorgegebenen lokalen Erweiterungen Nrlk r (neben einer LSsung von g(~)). Die Einschr~inkungen qJI+~ sollen n~imlich nicht nur den gleichen Kern wie die vorgegebenen Homomorphismen qJ, haben, sie sollen sogar konjugiert zu diesen sein unter einem Element areA. Bei genauerem Hinsehen bedeutet dies, dab in der abstrakten Gruppe E die Konjugiertenklasse der Zerlegungsgruppen vorgesehrieben wird, und dies ist u.U. eine erhebliche Versch~irfung der Fragestellun~ Will man lediglich die lokalen Erweiterungen Nrlkr vorschreiben, so kommt man zu tier folgenden Absehw~iehung des hier definierten Problems (g(~), L): Beispiel 2. Sei wieder Seine endliche Primstellenmenge yon k und [~Or]~z(,,), p~S, vorgegeben. Sei ffi0p=Ker(~%) und qJor: ~or - ' A der GeHomomorphismus, den man als Einschr~inkung yon q/p auf ffiop erh~ilt. Der Kern yon ~0orlegt den zu [q/~] gehSrigen LSsungskiSrper Nrlkp fest. Dabei beachte man, dab ~'or nicht yon der Auswahl yon ~0r aus der

Ober das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie

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Klasse [~,p] abh~ingt. Im allgemeinen gibt es aber mehrere L6sungen [~b~le LPc(@~ die den gleichen G~-Homomorphismus ~bov:ffiop--~ A (und damit die gleiche Erweiterung N~Jkp)definieren, niimlich nach (1.3) genau diejenigen, die sich yon [~kp] um ein Element aus Hl(Gp, A) unterscheiden. Wir setzen daher

und betrachten jetzt im Unterschied zu Beispiel 1 die lokale Vorgabe p~S

pr

Eine LiSsung des Problems (g(ffi), L) liefert jetzt eine KOrpererweiterung NIk, die einerseits das globale Einbettungsproblem g((5) 10st, andererseits an den Stellen p~S vorgegebene Komplettierungen besitzt, nicht aber automatisch die Bedingung hinsichtlich der Zerlegungsgruppen yon Nlk erfiillt, wie das im Beispiel i der Fall ist. Zur lokalen Vorgabe L gehOrt hier nach (1.3) die Gruppe A=

I] n'(6~,

o~S

Hn '

A) •

(m~, a).

pr

Die Hindernisgruppe A05, A, A) ist in diesem Fall der Kokern der Abbildung

H 1(if), A) --~ H H' (if)v, A)/H' (Go, A). peS

Beispiel 3. Wir kOnnen die lokale Vorgabe L = ([~bj)p~s von Beispiel 1 in der folgenden Weise versch~irfen. Sei S' eine weitere Primstellenmenge von k mit S c~ S'=O, derart, dab die Verzweigungsstellen der durch 8(~i) gegebenen Erweiterung Ktk in SuS' liegen (d.h. (p~ ist for pr unverzweigt). Wir betrachten dann die offene Menge L# = H L~ ~ H p

~(m.),

p

wobei L~={[~kp]} fiir peS, Lp=Le~(~ I f'tir peS' und Lp=L,e~(%~) die Menge der unverzweigten L6sungen yon r f'tir p~SwS' ist. Hier werden dem L6sungsk6rper NIk also nicht nut die lokalen Erweiterungen Nplkp, peS, vorgeschrieben, sondem auch die m6glichen Verzweigungsstellen, die in S u S' hineinfallen sollen. Ist z.B. S =0, so besteht das Problem (6r(ffi),L*) in der Frage nach der Existenz eines auBerhalb S' unverzweigten L6sungsk6rpers NIk yon g(~). Die zur lokalen Vorgabe L* geh6rende t3ruppe A ist die Gruppe

A=H{o.}• H

n.~.((!i,,,A)xH Ht(ff~p,A),

72

J. Neukirch

d.h. die Hindernisgruppe A(tS, A, A) ist in diesem Fall der Kokern von

H'(15, A ) ~ H H'(15p,A)x p~S

11 H'(qJ,,A)/H~,(15p,A). p~SuS'

Bei der Betrachtung des Einbettungsproblems (8(15), L) mit lokaler Vorgabe und der Aufstellung des Hindernisses r/(L) muff die Existenz einer Ltisung des globalen Problems gesichert sein. In manchen F~illen haben wir aufgrund von (2.2) hierf'tir ein Lokal-Global-Kriterium, d.h. wir brauchen nur die Ltisbarkeit der lokalen Probleme 8(15p) nachzupriifen. Die bisherigen Untersuchungen sind so allgemein gehalten, daB wir anstelle der Zerlegungsgruppen 15p irgendeine andere Untergruppenfamilie von 15 w~ihlen kSnnen, um zu weiteren L~Ssbarkeitskriterien ftir 6'(15) zu kommen. Wir erwiihnen in diesem Zusammenhang die folgenden beiden Beispiele.

Beispiel 4. AnsteUe der Zerlegungsgruppen 15p sei ftir jede Primzahl p eine p-Sylowgruppe 15tp~von 15 ausgewiihlt (und es sei Zp = 15(P)). Es ist klar, dab jede offene Untergruppe von 15 fast aUe Sylowgruppen enth~ilt. Ist 8(15) ein Einbettungsproblem und dr(15
L6sung besitzen. Beweis. Nach Serre [21], Ch. I, w2, Cor. zu Prop. 9 ist die Abbildung n 205, A) --* LI H2 ((~i(p), A) P

injektiv, so dab der Satz aus (2.2) folgt. Ist d'(t~i) ein Einbettungsproblem und ist 15. ~ ,G der zugeh6rige Homomorphismus auf die Galoisgruppe G der Grundktirpererweiterung KIk, so kann man auch die p-Sylowgruppe Gp yon G betrachten und das voile Urbild 15p= ~o-t(Gp) w~ihlen. Die Verlagerung 8(15) yon ~r ist dann ein Einbettungsproblem tiber dem Fixk/Srper yon Gp und ist durcb das Diagramm

l~ 1

,A

.... , Ep

, Gp

, 1

gegeben. Wir nennen 6~(15p)ein zu dr(lfi) geh0riges p-Sylowproblem. Auch hier gilt mit der gleichen Argumentation der (3.2) Satz. 6~(lti) besitzt genau dann eine Lfsung, wenn jedes p-Sylow-

problem eine Lfsung besitzt.

Ober das Einbettungsproblemder algebraischen Zahlentheorie

73

Beispiel 5. Sei A ein endlicher (5-Modul vom Exponenten n und A' = Hom(A,/t.) der zu A duale tf-Modul, wobei #. die Gruppe der n-ten Einheitswurzeln bedeutet. Ffir jedes Element zeA', d.h. f'tir jeden Homomorphismus X: A---, #. setzen wir efix= {treefilx~ = ~} und betrachten die Untergruppenfamilie (fix, Ze A', von ffi. Diese Familie steht im Zentrum der Arbeit von Hoechsmann [6]. Da Z: A ~/~. ein 6iFHomomorphismus ist, haben wir die Homomorphismen Hq(eb, A) Re~ , H , ( ~ x , A ) x* ,nq(ffix,#.), also die kanonische Abbildung

Hq(eb, A)--, I-[ Hq(ffi x, 12,,), xEA'

fiber die der folgende Satz gilt (vgl. Hoechsmann [6], 6.1): (3.3) S a t z . 1st ffi die absolute Galoisgruppe fiber dem endlichen algebraischen Zahlkfrper k und ist ffir jede Primstelle p yon k eine Zerlegungsgruppe qJp in qJ ausgewfhlt, so ist die Injektivitft yon

mit der Injektivitfit yon

H 2 ((5, A) --. 1-[ H2 (~,,, A) P H 2 (ffi, A) -~ l-I n 2 ((tix, #.)

gleichbedeutend,

x~a'

Sei jetzt g ( ~ ) ein Einbettungsproblem, derart dab die durch g ( ~ ) gegebene Grundk~frpererweiterung Klk die n-ten Einheitswurzeln enthalt. Wir betrachten dann die Diagramme ffi

1

>a

,E

1.

'G"

q~x

,1,

1 -----~ A

1

) #.

*Ez----~Gx

, i,

wobei Gz = { a ~ G l f f = X } ist (so dab ffix =r ), wobei ferner/~z diejenige Gruppenerweiterung ist, die zum Bild der Kohomologieklasse der Erweiterung 1 ~ A ~ E x ~ G z ~ 1 unter der Abbildung H 2 (G z, A) -+ H 2 (Gz,/~.)

74

J. Neukirch

geh~Art, und wo ~: E z ~/~z ein Homomorphismus ist, der das Diagramm kommutativ macht. Durch die rechte obere Gruppenerweiterung wird dann gerade die Verlagerung 8(15z) von 8(15) auf die Gruppe 15z definiert. Durch die rechte untere Gruppenerweiterung entsteht ein neues Einbettungsproblem mit dem Kern/z,, das wir mit 8x(15x) bezeichnen. Es gilt nun der (3.4) Satz. Ist die Abbildung H 2(15, A)--~ [ I H2 (15p' A) injektiv, so besitzt P

dr(if)) genau dann eine L6sung, wenn alle 8x(15x) eine L6sung besitzen. Beweis. Es ist klar, dal3 jede LSsung von 8(15) zu einer LiSsung von 8x(15x) ftihrt. Andererseits haben wir die kommutativen Diagramme H 2 (G, A) __~lnf , H 2 (15, A)

H2 (Gx, ~n) ~nf~ 9

(15x, #,)"

Ist ee//2(G,A) die zu 8(15) geh~Srende Kohomologieklasse, so ist e~= ax(~)e//2 (G~, #,,) die zu 8~ (15x) geh6rige Klasse. Sind nun alle ~f~(15z) liSsbar, so ist Infx(~x)=flx(Inf(~))=0 nach (1.2). Nach (3.3) ist aber [I/~x injektiv, d.h. es ist Inf(~)=0. Wegen (1.2) ist daher ~'(15) 16sbar. z~A'

Der Satz (3.4) f'tihrt das Einbettungsproblem 8(15) mit dem beliebigen abelschen Kern A auf solche zurtick, die den spezieUen Kern ~a, besitzen.

w4. Dualit~itssiitze Ist k ein K~rper, so bezeichnen wit mit k stets den separablen AbschluB yon k und nennen die Galoisgruppe 15=G(klk) die absolute Galoisgruppe tiber k. Ist A ein 15-Modul, so nennen wir A auch einen Modul tiber k und setzen fortan Hq(k, A)= Hq(15, A). Mit #, bzw. # bezeichnen wir stets den tS-Modul der n-ten bzw. aller Einheitswurzeln und mit k* die multiplikative Gruppe von k. Die Gruppen Z, 71/n, ff~, ~/Z fassen wir immer als triviale 15-Moduln auf. Ist A ein 15-Modul, so nennen wir jede galoissche Erweiterung Ktk eine A trivialisierende Erweiterung, wenn die zu K gehSrige Untergruppe von t5 trivial auf A operiert. A ist dann ein Modul tiber der Galoisgruppe G(KIk). Der Fixk6rper der Gruppe

15A= {ae151a~=a f'fir alle aeA}

Uber das Einbettungsproblemder algebraischenZahlentheorie

75

ist die kleinste trivialisierende Erweiterung. Diese bezeichnen wir mit k (A), und nennen sie die dutch A erzeugte Erweiterung von k. Zum Beispiel ist k~u,) der K6rper der n-ten Einheitswurzeln fiber k. Wir schreiben hierffir auch k((,), wobei (, stets eine primitive n-te Einheitswurzel bedeutet. Sei kp ein p-adischer Zahlktirper mit der absoluten Galoisgruppe (Sp und der Tr~igheitsgruppe Zp. Ist A ein ffip-Modul, so setzen wir

Hg,(kp, A)= Bild [ nq((~Jv/Zv, A ~o) ~ n*(kp, A)]. Es gilt H~ Prop. 18).

A)=H~

A) und H2,(k~, A)=0 (vgl. Serre [21], Ch. II,

(4.1) Satz (lokaler Dualit~itssatz). Sei A ein endlicher ffJp-Modul und A'= Hom (A,/~) der zu A duale Modul. Dann gibt es eine kanonische nichtausgeartete Paarung endlicher Gruppen

H~(k~,A)• HZ-~(kp,A')---~/Z,

0=
Dabei sind die Gruppen Hq.,(kp, A) und HZd-q(kp,A ') gegenseitige orthogonale Komplemente, vorausgesetzt, daft im Falle q = 1 die Ordnung yon A teilerfremd zur Restk6rpercharakteristik p yon kp ist. Zum Beweis sei auf Poitou [15], Exp. 12, w verwiesen. Ist Kp eine endliche Erweiterung yon kp, so besteht zwischen dem Dualitatssatz tiber k~ und fiber Kp das kommutative Diagramm

Hq(kp, A) x H2-q(kp, A')

coT

, Q/Z

l

Hq(Kp, A) x Hz-'(Kp, A') -------* q / Z , wobei Cor die Corestriktion bedeutet. Ist A=TZ/n, so ist A'=/~.. Die Gruppe Hl(k~, 7~/n) l~iBt sich mit H o m ( ~ , Z / n ) und die Gruppe Ht(k,,#.) fiber die exakte Kummersequenz mit kp/k, * *" identifizieren. Ist x~Hom(ffip,7~/n) und wird das Element x~H~(kp,/~.) durch aEk* repr~isentiert, so ist die Paarung

H 1(kv, 7I/n) x H 1(kp, #,) --* 7I/n durch die Zuordnung (Z, x ) ~ z(a, K~lk~) gegeben. Dabei bedeutet (,K~lkp) das Normrestsymbol der durch X: ebp ~ 7Z/n definierten zyklischen Erweiterung K~lkp. Benutzen wir das absolute Normrestsymbol ( , k~), dessen Werte in der Galoisgruppe ffi~b der maximalen abelschen Erweiterung fiber kp liegen, so kiSnnen wir auch x(a, Kplkp)=x(a, k~) schreiben.

76

J. Neukirch

Sind die n-ten Einheitswurzeln im Grundk6rper kp enthalten, so k6nnen wir Z/n mit #n identifizieren. Danach l~iBtsich auch die Gruppe H 1(k,, Z/n) mit k~/k *~ identifizieren. Die rich auf diese Weise ergebende Paarung * *~ x k v/kp

k*o/k*"--~

#~

ist gerade die durch das klassische Hilbert-Symbol ( - ~ - ) g e g e b e n e (vgl. Serre [21], Ch. II, w Exercise 1). Sei jetzt k ein endlicher algebraischer Zahlk6rper, (fi seine absolute Galoisgruppe und kp seine Komplettierungen. Ober jeder Primstelle p yon k w~ihlen wir eine Zeflegungsgruppe ~Spin ~5 aus, d. h. die Zerlegungsgruppe einer Fortsetzung ~ von p auf den algebraischen AbschluB k. Betten wir k in den algebraischen AbschluB ko so ein, dab ~ die Einschfiinkung der kanonischen Bewertung von k, ist, so k6nnen wir ~i~ mit der absoluten Galoisgruppe tiber kp identifizieren. Sei A ein endlicher ~B-Modul. Wir betrachten dann die kanonischen Restriktionsabbil-

n~(k, A) --, [-[ Hq(kp, A),

dungen

p

wobei rechts das auf die Untergruppen Hg,(kp, A) beschriinkte Produkt steht. Dieses ist lokal-kompakt, weil die Faktoren H~(kp, A) endlich sind. Im Falle q = 0 handelt es sich um das tibliche (kompakte) direkte Produkt und im Falle q =2 um die (diskrete) direkte Summe. Wit betrachten nun das Diagramm

H*(k, A)

n2-q(k, A')

I I

EI H'(k~,A)xV[ H2-'(ko,A ')

,1, , ~/Z,

0
p

Dabei steht unten die sich aus dem lokalen Dualit~itssatz ergebende nicht ausgeartete Paarung lokal-kompakter Gruppen. (4.2) Satz (globaler Dualit~itssatz). 1st A ein endlicher ff~-Modul und A'= Horn(A, #) der zu A duale Modul, so gilt:

1. Die Bilder yon Hq(k, A) und yon H 2-q(k, A') sind unter der Paarung ]-[ H*(k,, A) x l~ H2-'(kp, A')--~ ~/7~ p

p

gegenseitige orthogonale Komplemente, 0 < q < 2. 2. Zwischen den Kernen der Abbildungen n I (k, A) ~ U Hi (k,, A) und n 2(k, A')--~ ]-] H 2 (kp, A') p

besteht eine kanonische Dualitlit.

p

Ober das Einbettungsproblemder algebraischenZahlentheorie

77

Zum Beweis vgl. Poitou [15], Exp. 15. Ist g(~) ein Einbettungsproblem mit der lokalen Vorgabe L, so geht~rt zu L eine offene Untergruppe Avon V[ H1 (kp, A), und der Satz (2.4) p

liefert fiir die L6sbarkeit des Problems (8(15), L) ein Hindernis im Kokern A((5, A, A) der Abbildung p(A): Ht(k, A)~

[I Hi(k,, A)/A. P

Wir werden dadurch auf die folgende allgemeine Fragestellung gefiJhrt: Ist die Abbildung p(A) surjektiv, oder kann man, falls nicht, in einer kanonischen Weise den Kokern A(~b, A, A) beschreiben, um zu einer praktikablen Obstruktionstheorie rfir das Einbettungsproblem mit lokaler Vorgabe zu gelangen? Wir beweisen hierzu eine Verallgemeinerung des globalen Dualitiitssatzes und bedienen uns dabei der folgenden (4.3) Definition. Sei A ein endlicher 15-Modul, A eine Untergruppe yon H H~(kp, A) und p(A) die Abbildung P

p(A): re(k, A)-~ H m(k~, A)/A. P

Wit setzen dann V~(k,A, A)=Ker(p(A))/Ker(p(O)).

A~(k, A, A)= Koker (p (A)),

Fiir q = 1 schreiben wir insbesondere A bzw. V anstelle von A1 bzw. VI. Betrachten wir die durch den lokalen Dualitiitssatz gelieferte nichtausgeartete Paarung

H Hq(kp , A) x H H2-q(k, , A')--~ Q/Z, P

so kSnnen wir zu jeder Untergruppe A yon H H* (kp, A) das orthogonale P

Komplement A• in H H2-q(kp , A') bilden. Ist A often, so ist A1 kompakt. P

Aus dem globalen Dualitiitssatz (4.2) ergibt sich nun das folgende wichtige (4.4) Theorem. Sei k ein endlicher algebraischer Zahlkfrper, A ein endlicher Modul iiber k und A' = H o m (A, li) der zu A duale Modul. Sei ferner A eine offene Untergruppe yon I[I Hq(kp, A) und A • das

orthogonale Komplement in H H2-*(kp,A'), 0=
eine kanonische nicht-ausgeartete Paarung endlicher Gruppen Aq(k, A, A) x V2-~(k, A', AL) ---, Q/Z.

78

J. N e u k i r c h

Beweis. Nach (4.2) sind die Bilder der Homomorphismen p: n q(k, A)--~ [-[ H q(kp, A) und

p': n 2- ~(k, A') --* I J n 2 - q(kp, A')

p

P

unter der Dualit~it 11 Hq (kp, A) x I-[ H 2 - q(k,, A') ~ Q/Z p

P

gegenseitige orthogonale Komplemente. Daher wird [p n q(k, A). A] "L= p H *(k, A) • c~ A • = p' n 2-4 (k, A') c~ A • [p' H 2- q(k, A') c~ A l ] • -- [p H q(k, A). A] x• = p H q(k, A). A, wegen der Abgeschlossenheit yon p H ~(k, A). A. Wir erhalten daher eine Dualit~it

[]-[ H~(kp, A)]/p Hq(k, A) . A x p' H2-~(k, A')c~ A -L--. ~/7Z. P

Man sieht sofort, dab links die Gruppe A~(k, A, A) und rechts die Gruppe V2-~(k, A', A x) steht. Da A • wegen der Offenheit yon A kompakt und p'H2-q(k,A ') diskret ist, ist V2-*(k, A', A • und damit AS(k, A, A) endlich. In den meisten F~illen h~ingt die Gruppe A funktoriell yore K6rper k ab, d.h. jeder endlichen algebraischen Erweiterung K yon k ist eine Untergruppe A(K) yon [[Hq(K,,A) zugeordnet, derart dab das Diagramm

A(K)

,[-IH*(K,,A)

A(k)

' El H'(kp, A) P

kommutativ ist. Eine einfache Lrberlegung zeigt, dab wir in diesem Fall die kommutativen Diagramme A a (K, A, A (K)) x V 2-q (K, A', A (K) • Res

Cor

A'(k,A,A(k))x

I Res I

V-q(k,A',~'t(k) •

, ~/Z Id

,~/Z

haben. Die Gruppe W(k, A, A) ist als Faktorgruppe nach dem Kern der Abbildung p(O): H~(k, A)--, ]-I Hi(kp, A) P

Ober das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie

79

definiert. Ihre Berechnung vereinfacht sich, wenn diese Abbildung injektiv ist. An dieser Injektivit~it sind wir insbesondere im Fall i = 2 auch deswegen interessiert, weil wir nach (2.2) immer dann ein LokalGlobal-Prinzip erhalten. Es zeigt sich nun, dal3 diese Injektivit~itsfrage entscheidend yon der Arithmetik der durch den dualen Modul A ' = Hom(A,/~) erzeugten Erweiterung k(A')lk abh~ingt, d.h. yon dem Fixk/Srper der Gruppe

15'= {tr~151a~=a fiJr alle a~A'}, die auch als Kern der durch die 15-Operation definierten Abbildung 15 ---, Aut (A') aufgefal3t werden kann. Das atlgemeinste Resultat, das man hier beweisen kann, ist das folgende (vgl. auch Hoechsmann [6], 6.1, 6.2, 6.3): (4.5) Satz. Sei A ein endlicher 15-Modul und G' die Galoisgruppe der dutch A' = H o m (A, #) erzeugten Erweiterung k (A') Ik. Ffir jede Primstelle p yon k sei in G' eine Zerlegungsgruppe G'p yon k(A')lk ausgewiihlt. Dann sind die folgenden Bedingungen gtquivalent : (i)

H 2 (k, A) ~ 17 H z (kp, A)

ist injektiv,

p

H 1(kp, A ' ) ist injektiv,

(ii) H l ( k , A ' ) ~ I P

(iii) n I(G', A') ~ l-[ Hi (G'p, A') ist injektiv.

Diese Bedingungen sind insbesondere dann erJ~llt, wenn @G'=k.g.V.{@G',,}. Beweis. Die Aquivalenz (i)<:~ (ii) folgt aus dem Dualit~itssatz (4.2), und die ,~quivalenz (ii) ~ (iii) ans dem exakten kommutativen Diagramm

1

,H 1(G', A')

1 ~ [1 H' (G'p,a') P

, H 1(k, A')

l

, [[ n' (k~,, A') P

~H 1(k (i'), A')

l

' 17 H' (k (A')r A'), p'

wobei p' alle Primstellen yon k(A') durchliiuft. Wir haben dazu nur zu zeigen, dab die rechte Abbildung injektiv ist. Sei also zr A'), und sei das Bild von X in allen Gruppen HI(k(A')r A') gleich 0. Da A' ein trivialer Modul fiber k(A') ist, ist Z ein Homomorphismus X: 1 5 ' ~ A' der absoluten Galoisgruppe qi' fiber k(A') und definiert somit eine abelsche Erweiterung K Ik(A'). Das Verschwinden von X an allen SteUen

80

J. Neukirch

p' bedeutet, dal3 alle Primstellen von k(A') in K voll zerlegt sind. Nach dem Frobeniusschen Dichtigkeitssatz folgt hieraus K = k(A'), also X=0. Sei nun ~ G' =k.g.V. { ~ G'p}.Setzen wir np =(G': G~), so ist g.g.T. {np} = 1. Betrachten wir die Abbildungen H ~(G', A')~ c.... ' H ~(G~, A'), ot D so gilt corporesp(x)=npx. Ist nun resp(x)=0 fiir alle p, so ist npx=O f'tir alle p, also x = 0 . Daher folgt auch die letzte Behauptung des Satzes. Die Bedingung ~ G' = k.g.V. { 4~G~} ist insbesondere immer dann erf'tiUt, wenn 15 zyklisch auf A' operiert, d.h. wenn k (A')lk zyklisch ist. Nach dem Tschebotareffschen Dichtigkeitssatz gibt es n~rnlich dann unendlich viele unzerlegte Primstellen von p von k, so dab also G ' = G'p ist. Fiir A' = # , ergibt sich der folgende wohlbekannte (4.6)

Satz. Die Abbildung

k . / k . . _ , l-I kp/kp . .n . P

ist injektiv, d.h. eine Zahl aus k* ist genau dann n-te Potenz, wenn sie i~berall lokal n-re Potenz ist. In der Tat ist ja k*/k* n ~ H1 (k,/~n), kp/kp * *" = ~ H (kp, #,). Ist n ungerade, so ist die Erweiterung k (tt,)lk zyklisch, d.h. der Satz ergibt sich aus der obigen Bemerkung. Der nicht-zyklische Fall erfordert noch eine leichte zus~itzliche Oberlegung, fiir die wir auf Artin-Tate [1], Ch. 10.1 verweisen wollen. Allgemeiner gilt sogar der folgende (4.7) Satz. 1st A ein trivialer endlicher 15-Modul (z. B. A = Z/n) oder ist A zu einem solchen dual (z.B. A =/~,), so sind alle Abbildungen

injektiv,

Hq(k, A)--~ ~I Hq(k,, A), p

q>--O,

AUgemeiner gilt dies f'tir jeden sylow-zentralen ~i-Modul A und rtir jeden, der zu einem solchen dual ist. Dabei heiBt A sylow-zentral, wenn die p-Sylowgruppen yon 15 ftir jede Primzahl p auf der p-Sylowgruppe von A trivial operieren.

Beweis. Fiir q = 0 und q 3 gilt die Injektivit~it bei beliebigem endlichen 15-Modul A (vgl. etwa Serre [21], Ch. II, w Th. B und C). Da sich jeder triviale endliche 15-Modul in ein direktes Produkt von Moduln vom Typ Z/n zerlegt, k~innen wir uns weiter auf die beiden F~ille A = Z/n und A = l t , = H o m ( Z / n , Iz) beschr[inken. Im letzten Fall folgt die InjektiviRit ffir q = l aus (4.6) und f'tir q = 2 aus (4.5) wegen A'=Z/n, d.h. G'= G(k(Z/n)l k)= 1. Fiir A = Z/n folgt die InjektiviRit in beiden Fallen aus (4.5).

~ber das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie

81

Sei jetzt A sylow-zentral. Wir k6nnen offenbar annehmen, dab A p-primiir ist. Wir finden dann eine endliche Erweiterung k' von k von zu p teilerfremden Grad, derart, dab A fiber k' ein trivialer Modul ist. In dem kommutativen Diagramm n*(k, A)

' H H~(kp, A)

/-/,(k', A)

' [I/4'(k;,, A) p'

ist nun der linke senkrechte Pfeil wegen ([k':k], 41:A)= 1 und der untere waagerechte nach dem soeben Bewiesenen injektiv. Daher ist auch der obere waagerechte Pfeil injektiv. Aufgrund von (4.5) ergibt sich der Satz hieraus automatisch f'tir jeden endlichen {5-Modul, der zu einem sylowzentralen dual ist. Fiir eine sp~itere Anwendung wollen wir f'tir einen beliebigen Ktirper der Charakteristik 0 noch die folgende Tatsache beweisen (vgl. hierzu Hasse I-4"1): (4.8) Satz. Die Gruppe ltpr (p Primzahl) besitzt als Modul iiber der Galoisgruppe g = G (k (/~r) l k) triviale Kohomologie, es sei denn p = 2, r >-_2 und der Kfrper k c~ ~(#2~) ist reell. Beweis. Sei gp die p-Sylowgruppe von g./~pr besitzt triviale g-Kohomologie, wenn die Tateschen Kohomologiegruppen

~i(gp, # r ) = 1

f'tir i = 0, - 1

sind (vgl. etwa Lang [12], Ch. III, Th. 1). Wir k6nnen daher offenbar annehmen, dab g = gp ist. Sei zun~ichst p 4=2. Dann ist k c~ Q (~r) = ~ (~e)

(1 < s _-
Die Galoisgruppe g = G(k (#e-)l k) ~ G ( ~ (gp-)}~ (#p,)) ist nun zyklisch von der Ordnung pr-, und wird yon der Substitution r I+p" {7: ~pr F-~ ~pr

( a P ' - ' = 1)

erzeugt, wobei ~p~ eine primitive p'-te Einheitswurzd bedeutet. Ftir die Norm yon {p, erhalten wir trpr - s -- 1

N ~ = ~l,, ~-I

(1 +

=(pr

p s ) p r - s -- 1

P"

= r~r~-~= t'~ ~pr =pS

wobei u ~ 0 mod p ist. Hieraus ergibt sich einerseits N(/z~) =#p, = (/~F, d.h. ~0 (g,/~) = 1. 6 lnventiones math., Vol. 21

82

J. Neukirch

Zum Beweis yon H - l ( g , / a : ) haben wir zu zeigen: Ist N ( v , = l , so 9 ao a - - 1 gdt ~a: = (~:) f'tir passendes ao. Aus N ~ , = ~ a = 1 folgt aber a = ao'pS, und wir erhalten Sei jetzt p = 2 und K = k n Q ( # 2 , ) , so dab wieder g=G(Q(#2r)IK) gilt. Im Falle r = l ist g = l . Sei also r > 2 , und sei Ko der maximale in K gelegene reelle K6rper. Ist K komplex, so ist K eine quadratische Erweiterung von K o. f2ber K o gibt es aber nur zwei komplexe quadratische Erweiterungen innerhalb Q (#~r), von denen die eine die Gestalt Q (#:), 2<=s
+ 2s),

(O'2~-~= 1)

erzeugt. In der Tat, a l~il]t den reellen Teilk6rper Ko yon Q (#2-) lest, und Q(/~2r) hat fiber dem FixkiSrper K~ den gleichen Grad 2 "-s wie fiber Q(g2-), d.h. K , IKo ist quadratisch. Ko kann nicht reell sein, weil Q(/~u,)IKo zyklisch ist, und ist offenbar auch verschieden von Q(/~2~). Daher ist K , = K. Ist n u n ~rE(~2r)g , SO ist ((~,)cr-1~-~((~,)(-2-2~)~---1, also ~2,~=1, d.h. a =- 0 mod 2"- 1. Daher ist (/~2.) ~ = ~ , . Fiir die Norm von ~2, erhalten wir tr2r- s

N~2,--~2 ~ - 1

1

(l+ 2s)2r-*_ l =~2 r --2-2s

=~r

2r-l=

--I,

wobei u ~ O rood 2 ist.Es ist also auch N~2,)=#z, d.h. ~O(g,/~2,)= I. Ist andererseits N ~ , = 1, so ist notwendig a=2a'. W~ihlen wir nun ao so, dab - a ' = a o ( 1 + 2 s-l) mod 2 "-1 gilt, so wird (~a2o)a-l =:'ao(2 - 2")__r2ao(l+ 2"-q__r2a'__/'a ~2 r -- b2 r - - b 2 r - - b2r~

und dies bedeutet H - t (g, ~t2,) = 1. w 5. Liisbarkeit des einfachen Einbettungsproblems U m die in den vorangegangenen Paragraphen entwickelte Theorie auf das Einbettungsproblem mit lokaler Vorgabe anzuwenden, muB man zun~chst die L6sbarkeit der einfachen globalen Einbettungsprobleme 8 ( ~ ) sichern. Sie ist z.B. gegeben, wenn die zu #(~i) geh6rende Gruppenerweiterung 1 - , A--~ E--~ G ~ I

Ober das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie

83

zerfallt, denn ein homomorpher Schnitt G ~ E liefert zusammen mit dem Homomorphismus ~a: f l i n g einen (uneigentlichen) L/Ssungshomomorphismus. Im allgemeinen ist die L6sbarkeit von 8(ffi) selbst bei abelschem Kern A ein Problem, das sich dem direkten Zugriff entzieht, wenn kein Lokal-Global-Prinzip vorliegt. Ist dieses jedoch gegeben - und die Siitze (4.5) und (4.7) liefem immerhin eine recht grol3e Klasse solcher F~ille - , so wird man auf die Betrachtung der Einbettungsprobleme 8(~ip) fiber den p-adischen ZahlkiSrpern kp zurfickgefiihrt. Auch hier jedoch kann die Entscheidung iiuBerst schwierig sein, wiewohl sie vom Grunds~itzlichen her zu f'~illen sein sollte, vorausgesetzt 8(flip) liegt in geniigender Explizitheit vor. Die L~sbarkeit von 6~(flip) ist niimlich eine Frage, die die Struktur der Gruppe flip betrifft, und diese ist nach den Arbeiten von Koch und Jakovlev explizit bekannt. Die Situation ist jedoch so kompliziert, dab man zu allgemeingfiltigen Siitzen, die fiber die Betrachtung eines einzelnen, explizit vorgelegten Einbettungsproblems hinausffihren, nur unter starken Einschriinkungen kommt. Wir behandeln hier den Fall, dab die durch ~ (flip) gegebene Grundk~Srpererweiterung Kp Ikp zyklisch ist. Sei also kp ein ta-adischer Zahlk~Srper. (5.1) Satz. Ist Kplk p eine zyklische Erweiterung des p-adischen Zahlk6rpers kp, so sind die folgenden Bedingungen i~quivalent. (i) Jedes Einbettungsproblem 8(flip) der Erweiterung Kplk v mit einem beIiebigen (nicht notwendig abelschen) Kern A yore Exponenten n ist liSsbar. (ii) Jede n-re Einheitswurzel in kp ist Norm eines Elementes yon Kp. Dies ist stets der Fall, wenn Kv [kp unverzweigt ist. Ist Kplk p zahm verzweigt mit dem Verzweigungsindex e, so gilt (i) und (ii) genau dann, wenn n' . e / q - 1, wobei n'= l-I pOp(n~und q die Anzahl der p/e

im Restki~rper yon kp gelegenen Elemente ist. Beweis. Sei Gp = G(Kplkp). Die Bedingung (i) ist gleichbedeutend damit, dal3 das zur Gruppenerweiterung l ~ TZ./n~ Z/m ~ Gp---~ 1

geh6rige Einbettungsproblem 16sbar ist. Ist niimlich dies bewiesen, und ist

1 6*

,A

,Ep

,Gp

,1

84

J. Neukirch

ein beliebiges Einbettungsproblem mit exp(A)=n, so w~ihlen wir ein erzeugendes Element ~ von Go und ein Urbild tr in E o und bilden die durch a erzeugte Gruppe Z c_Ep. Wegen exp(A)= n ist Z zyklisch von einer in n. 4~Go aufgehenden Ordnung m. Durch die Gruppenerweiterung Z -+ Gp -'-~ l erhalten wir ein neues Einbettungsproblem dessen LiSsbarkeit die Ltisbarkeit des alten nach sich zieht. Da aber das durch Z / m - * Gp gegebene Einbettungsproblem eine LiSsung besitzt, trifft das gleiche f'tir das durch Z--~ Go gegebene zu. Wir identifizieren Go m i t 7~/r, r = [Kp:ko] , und erhalten tpp als ein Element von Hom((Bp,7,'/r)=Hl(ko,7~/r) der Ordnung r. Wir werden damit offenbar auf die Frage zuriickgef'tihrt, wann tpo im Bild des durch die kanonische Abbildung I/m--~Tg/r=G o induzierten Homomorphismus

H 1(ko, Z/m)

~ ~H 1(ko, Z/r)

liegt. Bedenken wir nun, dab der Homomorphismus Z/m--~TZ/r die Inklusion/~, ~ / A , der dualen Moduln induziert, so erhalten wir durch den lokalen Dualit[itssatz das Diagramm, H 1(kp, l / m ) x H 1(ko, I~)

, ~/Z

I-I~(k,, Z/r) x 1-1l(ko, ~,)

, ~/Z,

dessen Kommutativit~it man leicht nachpriift. Es folgt, dab Ker(i) das orthogonale Komplement von Bild(n) ist. Ist jetzt #n(kp) die Gruppe der n-ten Einheitswurzeln in kp, so erhalten wir aus der exakten Sequenz 1--~p,~#,.

" ,/~.---~1

die exakte Sequenz /t~ (kp)--~ n ~(kp,/~,)

i , n I (kv, #m),

und wenn wir H 1(kp, #,) mit ..pk*/k*',..pidentifizieren, so ergibt sich Bild (n) • = Ker (i) = #~ (kp) . k*'/k*'. Wird nun das Element x ~ H 1(kp,#,)=kp/k ~ . o. , durch a~k* repr~isentiert, so wird das Paar (tpo, x) unter der Dualit~it n 1(ko, 7r/r) x n l(kp, #,) --* • / Z auf das Element q~p(a, K o [kp) abgebildet (vgl. w4, S. 17), wobei ( , Kp Ikp) das Normrestsymbol der durch ~o definierten Erweiterung Kp Ik o ist.

Uber das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie

85

~pp liegt daher genau dann in Bild(~), wenn tpp((, Kp [kp) = 0, d. h. (~, Kp[kp) = 1 f'tir alle ~e#n (kp) ist, also genau dann, wenn p, (kp)_~N (K*) = Normengruppe yon K* tiber k w. Ist Kp[kp unverzweigt, so sind bekanntlich alle Einheiten yon kp Normen yon Kp, also insbesondere/~,(kp)_~N(Kp*). Sei jetzt Kp[kp zahm verzweigt, und sei Tp[kp der Tr~ighr yon K~,[kp. Die Gruppe Pc- 1 bzw. p~s_ list gerade die Gruppe aller in kp bzw. Tp gelegenen Einheitswurzeln yon zur Restk6rpercharakteristik p teilerfremden Ordnung. Dabei ist f = [Tp: kp]. Ist Kp = Tp(V~) mit einem Primelement yon Tp, so ist nach der Klassenk6rpertheorie NK~ITo(K*)=(Tr)"(/~q,-xY" UTlo, wobei (n) die durch ~ erzeugte Gruppe und U~-~die Einseinheitengruppe ist. Das Produkt rechts hat n~imlich in Tp*den Index e, und liegt sicherlich in der Normengruppe von K*, da (e, p)= 1 und Urt~eine pro-p-Gruppe i st. Da Tp[kp unverzweigt i st, gilt NTDIkD(]/q1-1) =/zq -1 and NTDIk~( U 1 ) = U~p. Wir erhalten somit Nr~

N ((rO) " (~q_O ~. Vkl ,

d.h. N (K*)n lzq_l=(la~_l) e. Sei jetzt n=p s. n 1, (nl, p)= 1. Wegen #v~(kp)~ Uklo~_N(K *) gilt p,(kv) ~_N(K*) genau dann, wenn /t,, (kp) _~N (K*) n/tq_ 1= (Pq- 1)~. Nun ist aber p,,(kp) = p,, c~pq_ ~=/~ mit d=g.g.T.(n~, q - 1) = g.g.T.(n, q - 1) und (#q_0~=#g mit g=k.g.V.(e, q-1)/e. Die Inklusion #,(kp)~_N(K*) ist also gleichbedeutend mit e .g.g.T.(n, q - 1)/k.g.V.(e, q - 1), und eine elementare Rechnung zeigt, dab man hierfiir auch n'. e / q - 1 mit n'=l- I p~-(") schreiben kann. p/e

Sei jetzt K lk eine galoissche Erweiterung endlicher algebraischer ZahlkSrper und Seine endliche Primstellenmenge von k die alle wilden Verzweigungsstellen von K lk enth~ilt. Zu den letzteren z~ihlen wir auch die reellen Primstellen, die in K komplex werden. (5.2) Definition. K Ik heiBe eine tolerante Erweiterung hinsichtlich (n, S), wenn die Primstellen p~S zyklische Zerlegungsgruppen besitzen und die Kongruenz 9~(p) = 1 mod %. ep

86

J. Neukirch

erf'tillen, wobei 91(p) die Absolutnorm von p, e~ der Verzweigungsindex und np = H pVp(,)ist. p/ev

Ist S=~, so nennen wir K l k eine tolerante Erweiterung hinsichdich n. Eine tolerante Erweiterung K lk hinsichtlich n ist also eine zahm verzweigte Erweiterung mit lauter zyklischen Zerlegungsgruppen, derart, dab ~ ( p ) = 1 mod %- ep f'tir aUe Primstellen p von k gilt. Dabei beachte man, daB dies ftir die unverzweigten Primstellen p automatisch erf'tillt ist. Bei der Konstruktion von KiSrpern mit gegebener aufl6sbarer Galoisgruppe benutzt ~afarevi~ eine speziellere Klasse yon Erweiterungen K Ik, die sogenannten Scholzschen Erweiterungen. Diese sind i. w. dadurch charakterisiert, dab die kritischen Primstellen yon k, d.h. die im Grad [K: k], die in n und die unendlichen Primstellen roll zerfallen, dab die (zahmen) Verzweigungsstellen rein verzweigt sind, und dab ihre Komplettierungen geniigend viele Einheitswurzeln enthalten (vgl. Safarevi6 [17] und [18]). (5.3) Satz. Sei Klk eine tolerante Erweiterung hinsichtlich (n,S). Sei 8(15) ein Einbettungsproblem yon K l k mit abelschem Kern A yore Exponenten n, derart dab die Abbildung H 2 (k, A) ~ H Hz (kp , A) injektiv ist. P

Dann ist die L6sbarkeit yon 8(15) gleichbedeutend mit der LiJsbarkeit der lokalen Einbettungsprobleme 8 (15p) fiJr p ~ S. Beweis. Nach (2.2) besitzt 8(15) genau dann eine L~sung, wenn alle lokalen Einbettungsprobleme 8(15p) liSsbar sind. Letzteres folgt aber Rir die Primstellen pr aus (5.1), da diese entweder unverzweigt oder zahm verzweigt sind. Wir nennen 8(15) ein zentrales Einbettungsproblem wenn der Kern A ein trivialer 15-Modul ist, d.h. wenn Aim Zentrum der zu 8(15) gehSrenden Erweiterungsgruppe E liegt. Allgemeiner heil3e 8((5) sylowzentral, wenn die p-Sylowgruppen von 15 trivial auf der p-Sylowgruppe von A operieren, und zwar f'dr alle Primzahlen p.

(5.4) Korollar. 1st Klk eine hinsichtlich n tolerante Erweiterung, so besitzt jedes zentrale ( allgemeiner jedes sylow-zentrale ) Einbettungsproblem yon Klk mit einem Kern A vom Exponenten n eine L6sung. Beweis. Fiir sylow-zentrale 15-Moduln A ist die Abbildung

n 2 (k, a) ~ [I n~ (k~, A) nach (4.7) injektiv. Da K [k eine tolerante Erweiterung hinsichtlich (n, 0) ist, folgt das Korollar aus (5.3). Es sei hierbei bcmerkt, dab nach r Satz yon Ikeda, (vgl. Ikeda [8]), den wir im nfichsten Paragraphen neu bewr werden, bei abelschem

Ober das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie

87

Kern stets eine eigentliche L~Ssung existiert, wenn nur eine L6sung schlechthin vorliegt. w6. Einbettungsprobleme mit Iokaler Vorgabe an endlich vielen Stellen Wir betrachten in diesem Paragraphen Einbcttungsprobleme 8((5) mit lokaler Vorgabe yore Typ L=([~p])~ s,

S endliche Primstellenmenge,

wie wit sic in w3, Beispiel 1 eingefiihrt haben. Den lokalen Einbettungsproblemen ~f((~p) sind also for die PrimsteUen p~S feste Lfisungen [-~%] vorgeschrieben. Nach den Er6rterungen des vorigen Paragraphen setzen wit jetzt voraus, dab das globale Einbettungsproblem g((~) eine L6sung besitzt. Fiir die L~sbarkeit yon (8((~), L) haben wit dann nach (2.4) ein Hindernis q (L)~ A (k, A, A), wobei A=A(S)= 1-[ {Op}• [1 H'(kp, A) peS

p~S

ist. A(k, A, A) ist also der Kokern der Abbildung Ps: Hi( k, A)--'I] Ht(kp, A). p~S

Wit setzen A(k,A,S)=A(k,A,A)

und V(k,A',S)=V(k,A',A•

Im folgenden wollen wir mit Hilfe des Dualit~tssatzes (4.4) eine Reihe von Kriterien for die Surjektivit~it der Abbildung Ps d. h. for die Trivialit~it yon A(k~A, S) (und damit yon q (L)) herleiten. Wit bedienen uns dabei der folgenden gruppentheoretischen (6.1) Definition. Ist G eine endliche Gruppc und A ein G-Modul, so sctzen wir F(G, A) = Ker [H t (G, A) ~ ]-I HI ((a), A)], OEG

wobei (a) die durch a t G erzeugte Gruppe bedeutet. (6.2) Satz. Sei G eine endliche Gruppe. Dann sind die folgenden Bedingungen fiquivalent : (i) F(G, A) = 0 ffir jeden endlichen G-Modul A. (ii) G i s t zyklisch oder bizykliseh yore Typ (r, s)= 1, d.h. Gist semidirektes Produkt zweier zyklischer Gruppen yon teilerfremder Ordnung. Zusatz. 1st G nicht vom Typ (ii), so ist F(G, A)# 0 sehon ffir das Augmentationsideal A des Gruppenringes Z/n [G], n = # G.

88

J. N e u k i r c h

Beweis. Nach einem Satz von Zassenhaus (vgl. Huppert [7], IV, w2, 2.11) ist die Bedingung (ii) gleichbedeutend damit, dab alle Sylowgruppen von G zyklisch sind. Wir w~ihlen daher Ffirjede Primzahl p eine p-Sylowgruppe G tp) von G. Die Restriktionsabbildung H 1(G, A) --+ I] H1 (Gtr), A) p

ist dann bekanntlich injektiv, so dab wit eine injektive Abbildung

r(G, A) ~ 1-] r(G{P}, A) p

erhalten. Sind alle Sylowgruppen Gtp) zyklisch, so ist offenbar F(G tp},A) = O, d.h. F(G, A)=0. Dies zeigt (ii) ~(i). Sei umgekehrt (i) erfiillt, und sei A das Augmentationsideal des Gruppenringes Z/n [GI, n = ~ G. Da 7Z/n [G] ein induzierter G-Modul ist, ergibt sich f'tir jede Untergruppe H ~ G der Ordnung m aus der exakten Sequenz O --* A ---~7~/ n [ G ] ---~Z / n --~ O die Isomorphie HI(H, A)~-Z/m. Aus der wegen F(G, A)=0 injektiven Abbildung H 1(G, A)--* I-I H1 ((a), A) erhalten wir daher die injektive Abbildung Z / n - * [-I Z/n,, wobei n, die Ordnung von a ist. Es gilt somit u~G

n=k.g.V.{n~la~G}. Andererseits ist n = [ 1 % , n~ = ~#G~p). Hieraus folgt, dab ftir jede Primp zahl p ein a~G existiert mit n, = np, so dab (a) eine p-Sylowgruppe yon G ist. Daher sind alle Sylowgruppen von G zyklisch. Sei jetzt A' ein endlicher ~-Modul und G' die Galoisgruppe der durch A' erzeugten Erweiterung. Wit betrachten die Homomorphismen y : /~1 (G', A') ~ ]-[/4' (G'~, A'),

Ps.-'" /~ (G', A') ~ El /~' (G., ) , 'A '

p

yes

wobei G'p eine zu 0 geh~rige Zerlegungsgruppe von k(A')lk ist. (6.3) Satz. 1st Seine endliche Primstellenmenge yon k, so gilt V(k, A', S) = Ker (~)/Ker (~'), und wit haben eine kanonische injektive Abbildung V(k, A', S)-+ l-I r(G'p, A'). p~S

Beweis. Ist A = 1-[ {0~} • El n ' ( k . , A)=_]-[ n~(k~, .4), p~S

p~S

p

so wird A• = I-I n'(kp, A') x [ [ {Op}~ [ [ n'(k~,, A'). p~S

~r

p

15ber das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie

89

Betrachten wir also die Abbildungen

p': H'(k.A')--+I-[H'(kp,A'),

P's: H~(k,A')--~]-[H'(kp,A'),

p

pCs

so ist V(k, A', S)=Ker(p's)/Ker(p'). Wir erhalten nun ein exaktes kommutatives Diagramm I

,

Ker (fi~)

,

Ker(p~)

1

,

HX(G ',A')

,

H i k,A')

1

' [ I H' (G;, A') pCs

, ]-[ H' (kp, A')

-~ Ker(p~)

, H 1(K, A')

, ~ I4 ~(K~, A'),

pCs

wobei K = k(A') und S die Menge der fiber S liegenden Primstellen von K ist. Nun ist Ker(p})=0. Ist n~imlich 15' die absolute Galoisgruppe fiber K, so ist A' ein trivialer 15'-Modul, und ein Element ;teHI(K,A')= Hom(15', A') legt eine galoissche Erweiterung NIK lest. Ist p}(x)=0, so sind alle Primstellen ~ r von K voll zerlegt in N, d.h. es ist N = K und somit ~ = 0 nach dem Frobeniusschen Dichtigkeitssatz. Wir erhalten also eine Bijektion Ker(fi})--+ Ker(p}) und ganz entsprechend eine Bijektion K e r ( ~ ' ) ~ Ker (p'), so dab V(k, A', S)= Ker (p~)/Ker (~').

(.)

Wir betrachten nun die exakte Sequenz 1 --+ Ker(F) ~ Ker ( ~ ) ~ I-I HI(G'p, A') oeS

und haben nut noch zu zeigen, dab das Bild von Ker(15~;) schon in I-I F(G'p,A') liegt, d.h., dab peS

Ker (~}) ~ l-I I ] Ha ((tr), A') p~S oEG~

die Nullabbildung ist. Es gilt aber ganz allgemein: Ker(~}) ~ H l((a), A') ist rtir jedes a e G ' die Nullabbildung. Nach dem Tschebotareffschen Dichtigkeitssatz ist n~imlich jede zyklische Untergruppe (a) yon G' eine Zerlegungsgruppe G'p fiir unendlich viele 0r und die Abbildung Ker(~}) ~ n I(G;, A')= n I ((a), A') ist wegen der Definition von Ker(~}) die NuUabbildung.

90

j. Neukirch

Sei A ein endlicher 15-Modul, A ' = Hom(A, g) der duale Modul und G' die Galoisgruppe der durch A' erzeugten E rweiterung k (A')lk. Ziehen wir den Dualit~itssatz (4.4) heran, so ergibt sich aus (6.3) das folgende Korollar iiber das Verschwinden der Gruppe A(k, A, S)= Koker [H 1(k, A)--~ I-I H1 (kp, A)]. peS

(6.4) Korollar. Ist A ein endlicher ffJ-Modul und Seine endliche Primstellenmenge yon k, so ist die Abbildung n 1(k, A) ~ H n t (kp, A) p~S

in den folgenden Fi~llen surjektiv :

a) F(G'p, A')=0 fiir alle peS. b) G'p ist f/ir alle peS zyklisch oder bizyklisch vom Typ (r, s) = 1 (vgl.

(6.2)).

c) H 1(G', A') = O. d) # G'=k.g. V.{ # G'plpq~S}. e) A ist zyklisch yon ungerader Ordnung. f) A ist ein trivialer (~-Modul, und wir befinden uns mit dem Tripel (k, n, S), n = exp(A), nicht im ,,speziellen Fall". Dabei bedeutet G'p eine i~ber p gelegene Zerlegungsgruppe in G'. Zu f). Sei n = 2 t. m, m ungerade, und sei ~2, eine primitive 2t-te Einheitswurzel. Wir sagen, dab mit dem Tripel (k, n, S) der ,,spezielle Fall" vorliegt, wenn S alle Primstellen p/2 enth&ilt, f'tir die k~(~2t)lkp nicht zyklisch ist. Er liegt z.B. nicht vor, wenn A eine ungerade Ordnung hat, oder wenn 1 ~ k, oder wenn S keine fiber 2 liegende Primstelle enth~ilt. Beweis. Aufgrund yon (4.4) ist A(k,A, S)=0 gleichbedeutend mit V(k, A', S)=0. Im Falle a) ist dies wegen (6.3) richtig, und aus b) folgt a) wegen (6.2). Ist HI(G ', A') = 0, so folgt V(k, A', S)=0 aus (6.3). Ist d) erfiillt, und ist pO die maximale in ~ G' aufgehende p-Potenz, so muB p~ G'p f'fir mindestens eine p ~S gelten, d.h. G~ enth~ilt eine p-Sylowgruppe G tp) yon G'. Da die Abbildung HI(G ', A')--~ l-[ Hi( G(p}, A') injektiv ist, ist p

auch die Abbildung ~ : HI(G'p,A')--~I-I HI(G'p,A ') injektiv, d.h. es ist peS

V(k, A', S ) = 0 wegen (6.3). Ist A zyklisch yon ungerader Ordnung, so ist Aut(A') zyklisch, d.h. G' ist als Bild der kanonischen Abbildung ff~--~Aut(A') zyklisch. Daher sind auch alle Zerlegungsgruppen G'p zyklisch, d.h. aus e) folgt b). Im Falle f) k/Snnen wir uns offenbar darauf beschr&inken, dab A = 7Zipt ist, p Primzahl. Ist p4=2, so ist f) dutch e) erledigt. Sei also A = Z/2'.

Ober das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie

91

Dann ist A'= #2t. Liegt der spezielle Fall nicht vor, so ist die Abbildung

k*/k*2'

l-[ kv/k~ , pr

also die Abbildung Hl(k,l~2~)-~Hl(kp,~2 t) nach Artin-Tate [1], yeS

Ch. 10, Th. 1, injektiv. Daher ist auch die Abbildung

HI(G ',~2t)--'l~ HI (~'p, ~2,) pCs

injektiv,und es folgt V(k, A', S)=0 nach (6.3). D e m obigen Korollar steht dcr folgcnde Satz entgegcn: (6.5) Satz. Zu jedem endlichen algebraischen Zahlki~rper k und jeder endlichen Primstellenmenge S ~O yon k gibt es einen endlichen (5-Modul A, derart daJ3 die Abbildung H ~(k, A)--~ I-I n~ (k~, A) p~S

nicht surjektiv, d.h. A(k, A, S)+O ist. Beweis. Sei Nlk eine endliche galoissche Erweiterung mit der Galoisgruppe G' und den folgenden Eigenschaften: 1) G' ist nicht zyklisch oder bizyklisch vom Typ (r, s) = 1 (vgl. (6.2)). 2) k besitzt mindestens eine in N unzerlegte Primstelle p. 3) Die Zerlegungsgruppen G'p sind zyklisch f'tir pr DaB eine solche Erweiterung stets existiert, geht in der folgenden Weise aus dem in w bewiesenen Theorem (9.3) hervor. Sei p eine Primzahl, derart, dab k die p-ten Einheitswurzeln nicht enth~ilt. Mit T werde die Vereinigung von S mit allen in p und ~ aufgehenden Primstellen bezeichnet. Sei poeS und N, olkpo eine endliche nicht-zyklische Erweiterung mit der Galoisgruppe G' vonder Ordnung pr. Fiir die Primstellen p e T, p ~ePo schreiben wir die trivialen Erweiterungen Nv = kp vor. In (9.3) w~ihlen wir nun ffir Kik die triviale Erweiterung K=k. Sie ist sicherlich eine Scholzsche Erweiterung hinsichtlich (f, T). Das Theorem (9.3) liefert dann die Existenz einer Erweiterung Nlk mit der Galoisgruppe G', die an den Stellen p e T die Komplettierungen Nplk~ besitzt und hinsichtlich (1, T) Scholzsch ist. Die Erweiterung erfiillt nun die Bedingungen 1), 2), 3). Ihre Galoisgruppe G' ist n~imlich nicht zyklisch und nicht bizyklisch vom Typ (r, s)= 1. Wegen IN:k] = [Npo:kpo] ist Po unzerlegt in N. Da NIk hinsichtlich (1, T) Scholzsch ist (vgl. (9.1)), sind die Primstellen p ~ T entweder unverzweigt oder rein zahm verzweigt, besitzen also in jedem Fall zyklische Zerlegungsgruppen, w~ihrend die Primstellen aus T - S triviale Zerlegungsgruppen haben.

92

J. Neukirch

Wegen 1) gibt es nach (6.2) einen endlichen G'-Modul A' (z. B. das Augmentationsideal von Z/n [G'-I, n = ~: G'), derart, dab F(G, A')~: 0 ist. Da die Zerlegungsgruppen G~ f'tir pr zyklisch sind, und da umgekehrt nach dem Tschebotareffschen Dichtigkeitssatz jede zyklische Untergruppe von G' zu einer solchen Zerlegungsgruppe konjugiert ist, ist F(G', A') der Kern von #~: Ht(G ', A')---, I-[ Hi (G'v,A'). Cs Andererseits ist ~': H 1(G', A')--, 1-~H1(G'p, A') injektiv, wegen der P

unzerlegten Primstelle p, f'tir die G~ = G' ist. Ziehen wir (6.3) heran, so ergibt sich V(k, A', S)=Ker(~'s)/Ker(~')=F(G', A'):4:0. Nach (4.4) haben wir daher A(k, A, S) :1:0, wenn A =Hom(A', ~:*) ist. Aus (6.4) ergibt sich jetzt das folgende Theorem fiber die eigentliche L/Ssbarkeit des Einbettungsproblems mit lokaler Vorgabe L=([~bp])p~s: (6.6) Theorem. Sei g(~) ein Einbettungsproblem fiber dem endlichen algebraischen Zahlk6rper k mit abelschem Kern A und lokaler Vorgabe L=([~kp])p~s, wobei Seine endliche Primstellenmenge yon k ist. Besitzt dann das globale Problem t~(ffJ) eine L6sung (z.B. wenn die Gruppenerweiterung 1 --* A ~ E --~ G ~ 1 zerfiillt ), so besitzt (d'(~i), L) eine eigentliche L6sung in allen unter (6.4) aufgez~hlten Fifllen. Beweis. Aufgrund von (2.4) und (6.4) erhalten wir jedenfalls eine L6sung yon (#(ffi), L), da die Hindernisgruppe A(k, A, S) verschwindet. Um die Existenz einer eigentlichen Ltisung aufzuzeigen, erweitern wir die lokale Vorgabe L in der folgenden Weise: Wir betrachten die Diagramme fit (Sp

1

'A

,E

'G

'1,

1

~A

'Ep-----'Gp

'1.

Sei K Ik die durch ~ definierte Erweiterung mit der Galoisgruppe G und K'lk das Kompositum von KIk und k(A')lk. Ist 0 eine in K'lk voll zerlegte Primstelle, so ist p voll zerlegt in KIk und in k(A')lk. Die Zerlegungsgruppe Gp bzw. G~ von K Ik bzw. k(A')lk ist also = 1. Unter den unendlich vielen in K'lk voll zerlegten Primstellen w~ihlen wir nun endlich viele qt ..... qn~S, qi4V2, aus, und finden Homomorphismen ~bq,: (5,,--, Eq,= A, derart dab A durch die Bilder der ~k,, erzeugt wird. Wir setzen S*= Su{qx ..... q,} und L*=([C,p])p~s.. Sind nun die Bedingungen a ) - f ) von (6.4) f'tir S erf'tillt, so sind sie wegen G~, = 1, i= 1..... n, auch t'tir S* erf'dllt, d.h. A(k,A,S*)=O. Nach (2.4) besitzt daher das Einbettungs-

[3ber das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie

93

problem (8(15),L*) eine L/Ssung [~,], die natiirlich gleichzeitig eine L~sung yon (g(15),L) ist. Da A durch die Bilder ~,(15~,), i=1 ..... n, erzeugt wird, ist A_~ ~k(15), d.h. ~b ist surjektiv. Wir wollen einige Spezialffille des obigen Theorems besonders herausheben: (6.7) Korollar (Ikeda). 1st 8(15) ein Einbettungsproblem fiber dem endlichen algebraischen ZahlkSrper k mit abelschem Kern, und besitzt g(15) eine Lfsung, so existiert sogar eine eigentliche LSsung. Dies ist der Fall S = 0(6.8) Korollar. 1st ~(15) ein zentrales Einbettungsproblem mit lokaler Vorgabe L=([-~,pJ)p~s, und enthSlt S alle Verzweigungsstellen der zu ~(15) gehSrigen GrundkSrpererweiterung K Ik, so besitzt (~(15), L) eine eigentliche LSsung, es sei denn, wit befinden uns mit dem Tripel (k, n, S), n = exp (A), im ,,speziellen Fall".

Beweis. Dies ergibt sich aus (6.4), f), wenn gezeigt ist, dab (f((5) eine LSsung besitzt. Nach (4.7) ist aber H2(k, A ) ~ L I H2(kp, A) injektiv, so p

dab 8 (15) nach (2.2) genau dann 16sbar ist, wenn alle lokalen Einbettungsprobleme ~(15p) eine LSsung besitzen. Ftir p~S ist dies Voraussetzung und ftir p~S folgt es wegen der Unverzweigtheit aus (5.1). (6.9) Koroilar (Grunwald-Hasse-Wang). Sei S e i n e endliche Primstellenmenge yon k, A eine endliche abelsche Gruppe und Kplkp, p eS, lokale abelsche Erweiterungen, derart, daft die Galoisgruppen G(Kplkp) in A einbettbar sind. Dann gibt es eine globale Erweiterung K Ik mit zu A isomorpher Galoisgruppe, die an den Stellen pE S gerade die vorgegebenen Komplettierungen Kpl kp besitzt, es sei denn, wir befinden uns mit dem Tripel (k, exp(A), S) ira ,,speziellen Fall". Dies ergibt sich aus (6.6), t), wenn G = 1, also E =A ist. w7. Explizite Berechnung der Hindernisse im zentralen Fall Sei S e i n e beliebige Pfimstellenmenge des endlichen algebraischen Zahlk6rpers k und T ~_S eine endliche Teilmenge von S. Ferner sei A ein endlicher 15-Modul. Wir nehmen an, dab S alle in n=exp(A) aufgehenden und alle unendlichen Primstellen enth~ilt. Wir setzen

A(S, T)= I-I {op} x W[ n'(kp, A) x EI H~(kp, A), o~T

o~S- T

pr

und betrachten die Gruppe A (k, A)s = Koker [H 1(k, A)---, I-[ HI (kp, A)/A(S, T)]. !a

94

J. Neukirch

Diese Gruppe tritt als Hindernisgruppe auf, wenn man bei den Einbettungsproblemen g((fi) nach solchen LiSsungen fragt, die an den Stellen p aus T vorgegebene L6sungen [r von g(ffip) induzieren, deren Verzweigungsstellen aber iiberdies in die gegebene Menge S hineinfallen (vgl. w3, Beispiel 3). Die Gruppe A(k, A~r weist das folgende funktorielle Verhalten auf: Ist k' eine endliche algebraische Erweiterung von k, und ist S' bzw. T' die Menge der fiber S bzw. T gelegenen Primstellen yon k', so erhalten wir die kanonischen Homomorphismen A(k, A)~, res , A (k', A)~',, cot

und es ist wie iiblich cor o r e s = [ k ' : k ] . Id. Jeder ffi-Homomorphismus A--. B induziert einen Homomorphismus A (k, A)s --~ A (k, B) s, und wir haben A (k, A ~ S)~-- A (k, A)~ ~ A (k, S ~ . Ist S___S bzw. T_~ T, so erhalten wir die kanonischen Homomorphismen

A(k,A)S--~A(k,A)gr

bzw.

A ( k , A ~ T ~ A ( k , A ) s,

denn es ist A (S, T) ~_A (S, T) bzw.

A (S, T ) _ A (S, IP).

Fiir die EriSrterungen dieses und des niichsten Paragraphen rtihren wir die folgende wichtige Gruppe ein:

US(n)={aek*la~ Up .k*" fiJr p~S, aek*" fiir p E S - - T } , wobei Up die Einheitengruppe von k v bedeutet. (7.1) Satz. Es besteht die kanonische Isomorphie

A (k, 7~/n)s ~- Horn (Us (n), Z/n). 1st rlEA(k, TZ/n)s, und ist (Zp)EI-[ Hl(kp,7~/n) eine tl repriisentierende P

Homomorphismenfamilie, so ist derdem Element t1 zugeordnete Charakter Fl: US(n) --, 7Z/n durch die Formel ~-l(a)=~.xp(a, Kplkp),

a~US(n),

P

gegeben, wobei ( , Kplkp) das Normrestsymbol der durch Zp: flip~ 7Z/n definierten Erweiterung Kp [kp bedeutet 2. 2 Ist ( , kp)das absolute Normrestsymbolfiber kp,das Werte in der Galoisgruppeffi~bder maximalen abelschen Erweiterung yon k~besitzt, so k~Snnenwir auch Xp(a,kp) anstelle yon Xp(a, Kplkp)sehreiben.

Uber das Einbettungsproblemder algebraischen Zahlentheorie

95

Beweis. Das unter der Paarung ]--[H' (kp, Z/n) x ~ H' (kp, #~) --~ Z/n P

P

orthogonale Komplement yon A(S, T) (genommen f'tir A = I / n ) , ist die Gruppe

A• T)= l-[H'(kp,#n)x ]-[ {0p}xI~H'~,(kp,#~). peS--T

peT

p~S

Wir setzen V (k, ~,og = Ker [ H ' (k, ~o)--. [I tI'(kp, ~.)/A~(S, T)] ~o

= Ker[H' (k,/Q--~ U H' (kp,/Q x U H,',(kp,#~)] peS-T

p~S

mit 14~,(kp, IQ = Ht (kp, #,)/H~(k~,, #~). Beachten wir, dab die Abbildung H ' (k, Pn) --~ ]-1 Hl(kp, #,) P

nach (4.7) injektiv ist, so sehen wir, dab die Gruppe V(k,/~n) s nach dem Dualit~itssatz (4.4) zur Gruppe A (k, 7~/n)s dual ist. Aus der exakten Kummersequenz ergibt sich nun

H ~ (k, #n)~-k*/k *",

HX(kp, #,,)=kp/kp ,

1 H~,(kp, a~)~

uJU2,

letzteres f'tir p~S, da S alle in n aufgehenden und alle unendlichen Primstellen enth~ilt. Wir haben also V (k, #,)s ~ Ker [k*/k *" ~

[I k*/k*" x LI k*/Up, k*"] = Us (n)/k*". p~S-- T

pr

Damit ist

A (k, X/n)~ _~Horn (V (k, #,)s, X/n) ~ Horn ( Us (n)/k *~, X/n)

=Hom(US(n),X/n). Zum Beweis der expliziten Formel haben wir nur zu beachten, dab die lokale Dualit~it H' (kp, X/n) x H l (kp , I~.) -~ Z/n in der folgenden Weise gegeben ist (vgl. w Sei zeHl(kp,7//n)= Hom (ffi~, 7l/n), und werde die Kohomologieklasse x e H 1(kp, #,)---_ kp/kp durch das Element aek* reprSsentiert. Dann wird das Paar (Z, x) aufdas Element

z(a, Kplkp)~ TUn abgebildet, wobei ( , K~ [kp) das Normrestsymbol der dutch Z: (bp --~ Z/n definierten Erweiterung Kp[k~, ist. Dementsprechend erhalten wit die Paarung

A(k, I/n)Sr x V(k,/~.)s ~ , )> 7~/n

96

J. Neukirch

durch die Formel

(~l, a) = ~ Zp (a, Kp Ikp) ~ Z/n, P

wenn ~/eA(k,g / n g durch die Homomorphismenfamilie (Xp)el-[Hl(kp, TUn) P

und ~eV(k,/~n)ST-----UST(n)/k*~ durch a t US(n) repr/isentiert wird. (7.2) Korollar. 1st A ein beliebiger endlicher trivialer (5-Modul mit den charakteristischen lnvarianten ql =P~', .... q s_- Psr~, so ist $

A(k, A)S~ [1 H~ (UTS(q,),Z/q,). i=1

Dieser lsomorphismus hiingt nur yon der Wahl einer ldentifikation A ~s

1-[ Z/qi ab.

i=1

Dies ist klar, wr dic Zerlegung A ~- [ I 7~/q* eine Zerlegung A (k, A~T ~

fi

i=1

A(k, Z/q~) s kanonisch induziert. Man kann sich yon der Wahl

if!

einer solchen Zerlegung sehr leicht befreien. Ist z.B. A vom Typ Z/n x ... x Z/n, so erhalten wir eine kanonische Isomorphie A(k, A)S ~ Horn (UrS(n),.4), und diese wird durch die Zuordnung t / ~ ~ (a) = ~' g, (a, Kp ]k,)

(a ~ Us (n))

P

gcgeben, wenn (Xp)~['IHl(kp,A) r

t/ rcpr~isenticrendr Homomor-

P

phismcnfamilir mit Wcrten in A ist. Wir wollcn im folgcndcn eine weitcrr galoistheorctischr Charakterisicrung dcr Gruppe A(k, A~T hcrlcitcn. Sci/f cine Primzahlpotenz, ~p. eine primitive p'-te Einhcitswurzel und k'=k(~f). Sei Seine Primstcllcnmenge yon k, die allr in p. oo aufgehenden Primstellen cnth~ilt, und T einc cndlichc Teilmcnge yon S. Wir sctzcn k"=k'({ ~'a] a~ US(f)}), und nennen die Erwciterung k"lk' die zum Tripel ( f , S, T) geh6rende Obstruktionserweiterung. Sic ist eine endlichr abelsche Erweiterung von in /9" aufgehendem Exponenten. Ihre Galoisgruppe G(k"lk') ist ein Modul tiber der Galoisgruppr g=G(k'lk). Ist S' bzw. T' die Menge der iibcr S bzw. T gelegenen Pfimstellen von k', so haben wir fiir k"l k' die folgende Charakterisierung:

1]ber das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie

97

(7.3) Satz. Setzen wir voraus, daft der K6rper kr~ ~((2r ) im Falle p=2, r > 1 komplex ist, so ist k"[ k' die maxim.ale abelsche Erweiterung yon in p" aufgehendem Exponenten mit den folgenden Eigenschaften: 1) k"[k' ist unverzweigt auflerhalb S'. 2) Die Primstellen aus S ' - T' sind roll zerlegt in k". 3) Homg (G (k" Ik'), # f ) = Horn (G (k"lk'), #p.).

Beweis. Wit sctzcn Us = US(p ") und cntsprechend UST',= {a~k'* [ae Up,. (k'p*)p~ fiir p'~S', ae(k'p*)f f'tir p ' e S ' - T'}. Nach der Kummertheorie gehtirt zum K6rper k"lk' die Gruppe

US.(k'*)P~ c_k '*,

d.h. Hom(G(k"lk'),#f)~US.(k'*)r/(k'*) p'.

Setzen wir

t2=k'({~/alaeUS:}), so ist entsprechend Hom (G (t21 k'), # f ) ~- uSr:/(k '*)J'. Eine einfache Uberlegung zeigt, dab t21 k' die maximale abelsche Erweiterung yon in p' aufgehendem Exponenten ist, die auBerhalb S' unverzweigt ist, und in der alle Primstellen p ' ~ S ' - T ' voll zerfallen. Die maximale Teilerweiterung von [2[k', die auch der Bedingung 3) geniigt, entspricht also der Gruppe (US~/(k'*)P')~; wir haben daher zu zeigen, dab diese Gruppe mit der Gruppe Us. (k'*)f/(k'*) g iibereinstimmt. Wir zeigen zun~ichst die Gleichheit

u~=(u~:)~. Sei also ae(US',) ~. Dann ist aek* und ae Up,. (k'p*)g f'tir p'~S', ae(k'p*)f

t'tir p' ~ S ' - T'.

Wir betrachten nun die exakte gp, = G (k'p,[kp)-Modulsequenz 1 - ~ , r ~ k'p* p r (k~*)f ~ 1.

Nach (4.8) ist H 1(gp,, #~,) = 1, und wir erhalten aus der exakten Kohornologiesequenz die Gleichheit

(k'~*,) f c~k* =(k*) f . Es ist also a~(k*~" i'fir p ~ S - T . Fiir p'~S' ist die Erweiterung k'p,lkp unverzweigt, d.h. ein Primelement ~ von kp ist auch ein Pfimelement yon k~,. Wegen a~Up..(k'~*,)r" k~nnen wir schreiben a = u . ~ ~'r" mit u~Up,. Wegen a , ~ k p ist u~Up, d.h. a~U~,.(k~)p~. In der Tat ist also G~UTS. 7 Invention~math.,Vol.21

98

J. Neukirch Wir betrachten nun die beiden g-Modulsequenzen 1 - ~ #pr

, k' * ~

(k'*)Pr

,1,

1 --~(k'*)Pr-* US: ~ US:/(k'*)Pr-~ 1.

Nach (4.8) ist Hq(g,/tp,) = 1 fiir q__>1. Aus der ersten Sequenz ergibt sich daher [(k'*)Pr]~ = k * pr, und wegen H2(g, #pr)= 1 und Hi(g, k'*)= 1 (Hilbert Satz 90) ist tiberdies H l (g, (k'*)~")= 1. Die zweite Sequenz liefert daher die exakte Sequenz 1 --* k*'--~ Us -* (US:/(k'*)r

- . 1.

Es folgt also ( US~/( k' * )Pr)~= US/k * Pr= Us. (k' * ) r /( k' *)p" wegen Us n(k'*) p" [(k'*)P"]g=k *pr, d.h. USc~(k'*)P"=k*P". Wir k6nnen jetzt die Gruppe A(k, A)~ in der folgenden Weise beschreiben: (7.4) Theorem. Sei A ein trivialer endlicher ff~-Modul mit den charakteristischen lnvarianten q l , . . . , q~. Im Fall, daft qi = 2"' und ri > 1 ]fir ein i ist, setzen wit voraus, daft der KOrper kt~Q((2.i) komplex ist. Dann ist A(k, A ) S ~ (-I G(k;'lk'~), i=1

wobei k'i' ]k~ die zum Tripel (qi, S, T) geh6rende Obstruktionserweiterung ist. Beweis. Nach (7.2) ist s

A (k, A)s -~ l-[ H o m (US(ql), Z/q,). i=1

Wie schon im Beweis zu (7.3) gezeigt, ist andererseits n o m (G (k'{[ k',),/~q,)~- Us (ql)/k* q' , d.h. G(k'{Ik'~)~-Hom(US(q~),ktq,). Wghlen wir eine primitive qi-te Einheitswurzel (~, aus, und identifizieren wir ~t,, mit Z/q~ durch die Zuordnung (q, ~-~ 1 mod ql, so erhalten wir die Isomorphie Som(US(qi), Z/q,)~-G(k'{ Ik',). Bemerkung. Der obige Isomorphismus h~ingt nur yon der Wahl $

einer Identifikation A ~- I-I Z/q~ und v o n d e r Wahl einer primitiven i=1

q,-ten Einheitswurzel (~, ab. Bei einer genauen Verfolgung der Abbildung sieht man jedoch, wie sich diese Abh~ingigkeit vermeiden l~iBt. Ist z.B. A vom Typ Z i p ~x ... x 7~/p*, so erh~ilt man eine kanonische Isomorphie A(k,A~|

t!

t

Ik ) |

Uber das Einbettungsproblem

der algebraischen Zahlentheorie

99

wobei k"lk' die zum Tripel (p', S, T) geh6rende Obstruktionserweiterung ist. Im Fall A = e / p (allgemeiner im Fall A ~ T l / p x ... x 7Z/p) l~iBt sich die im obigen Theorem ausgesprochene Isomorphie explizit beschreiben. Wir betrachten dazu das kommutative Diagramm

[-[ I-V(k~, e/p)

9 , A(k, ~./p)~

I2I ~I'(k;,, e/p)

~ , A(k', e/p)I',.

p'

Jedes Element tl~A(k, TZ/p)s ist durch eine Homomorphismenfamilie (Zv)e]-] Hl(k~, 7Z/p) gegeben, und res(r/) wird durch P

(Zp,) = res ((X~))~ ]-[ H1 (k'r 71/p) p'

repr~isentiert. Identifizieren wir nun 7Z/p mit pp durch die Auswahl einer primitiven p-ten Einheitswurzel ~p, so haben wir r r, p ;G' e H 1 (kr~ Z/p) --- H 1 (kp,, pp) ~= kri , /(k v, ) .

Xp. wird also durch ein Element ar reprasentiert, wobei ar fiir fast alle p' als Einheit gew/ihlt werden kann. Die Familie (Xr und damit die Familie (Zp) wird somit durch ein Idel a = (ar von k' repr~isentiert. Wir nennen a ein das Element t1~ A (k, e/p) s reprfisentierendes Idel, und erhalten den folgenden (7.5) Satz. Nach Auswahl einer primitiven p-ten Einheitswurzet ~p wird die Isomorphie A (k, e/p) s - , G (k"[ k') dutch die Zuordnung q ~ , ( a , k " l k ' ) - ~ G ( k " l k ') mit

n. [ k ' : k ] - l ( p )

gegeben, wobei a ein tl reprfisentierendes Idel yon k' und (a, k"lk') das Normrestsymbol der zum Tripel (p,S, T) geh6renden Obstruktionserweiterung k" l k' bedeutet. Beweis. Wir betrachten das aufgrund yon (7.1) gegebene kommutative Diagramm

A(k, 7Z/p)s cor

lk,

l'

, res

~' , a (k', Z/p)~,

~ , Hom(UTs,Z/p)

l

p

z" .~ Hom (uS:, Z/p).

~

, G(k"tk')

100

J. Neukirch

Dabei ist US; tiber k' in analoger Weise wie Us tiber k definiert, und p ist die zur Inklusion US--* US; duale Restriktionsabbildung. lk, bedeutet die Idelgruppe yon k', und 6' ist die Abbildung, die durch die Isomorphismen r _ k,./ll~,..~v~Hl(k~, ' /av)=H ~ 1(k,,, , Z/p) induziert wird. DaB links die Corestriktion maBgebend ist, liegt daran, dab wir die waagereehten Pfeile tiber die Dualit[it A x V ~ Q/Z gewonnen haben, und dab wir for die letztere das kommutative Diagramm , Z/p

V(k,/~v)s r

id

res

A(k', Z/pYI, •

, Z/V

V(k', upS',

haben (vgl. S. 20). Wir studieren zun~ichst die Abbildung 2'06': l k , ~ Hom(US:, Z/p). Ist a=(ar

und ist (Xr

so wird nach dem Zusatz zu (7.1)

2% 6'(a)(a) = ~ Xp' (a, k~,),

a t uS:,

re '

wobei wit bier das absolute Normrestsymbol ( , k~,) tiber k~, genommen haben. Nach der Kummertheorie ist (a, k;,) [/-a-~r= (xo,(o,~,). ~r d.h.

(a, a ~ _i'xr

ist gerade das Hilbertsymbol tiber dem K6rper k~,. Beachten wir, dal3

(a, ap,)r = (ar a)~l, so ergibt sieh die Formel

~va'~176176

p'

(a,., a)~;',

Car alle a t US:.

Ist insbesondere a t Us, d.h. V a t k '', so haben wir

(a,k,,Ik,)Va=l-I(a,,,a),,Va=~;~'~176176 p'

(1)

Andererseits ordnet die Abbildung 6: Hom(U s, Z/p)~G(k"Ik')jedem Homomorphismus h: Us---, Z/p das Element atG(k"lk') zu, mit

aVa=~(,,)Va,

a t U s.

(2)

Ober das Einbettungsproblemder algebraischen Zahlentheorie

101

Aus den Formeln (1) und (2) folgt daher, dab a~lk,, unter dem Kompositium 6opo2'o6' gerade auf

(a,k"lk')-'~G(k"lk') abgebildet wird. Sei nun ~/~ A (k, ZIp)STund t/' = res (~/)~ A (k', Z/p)sT',. Sei neine natiirlichr Zahl mit [k':k] 9n-= 1 mod p. Dann ist r/= coro res (r/n) = n. cor (r/'). Sei a =(%,)e lk, ein r/repriisentierendes Idel, so dab also (Xp,)= 6'(a) eine ~/' repr/isentierende Homomorphismenfamilie ist. Es gilt dann 6 o 2 (7) = (6 o 2 o c o r (~/,))n = (6 o 2 o c o r o 6'(a))" = (6 o p o 2'o 6 ' ( a ) ) n = (a, k"lk')-".

Wir wollen zum Schlug noch eine Bedeutung der Gruppe U~(n) im Falle T = 0 erw~ihnen, die die zweidimensionale Kohomologie betrifft. In diesem Fall schreiben wir U s anstelle yon U~. Bedeutet (a)das Hauptideal yon a~k*, so haben wir offenbar:

US(n)= {a~k*l(a)=a n, a~k*" f'tir p~S}. Setzen wir 13S(n)=Hom(US(n)/k*",Z/n), (vgl. Koch [11], w11, 11.2), so haben wir den Satz. 1st ffjs die Galoisgruppe der maximalen auflerhalb S unverzweigten Erweiterung yon k, so besteht eine kanonische exakte Sequenz (7.6)

0---~ t3S(n) ---*n2(f~ s, Z/n) p2 LI nz(ffJp, Z/n). p~S

Beweis. Nach Tate [22-1, Th. 3.1, ist der Kern yon p2 in kanonischer Weise dual zum Kern yon n l ( ~ s, V,) P " [ ] n l ( o ~ , an). r~S

Sei t2lk die maximale auBerhalb S unverzweigte Erweiterung yon k. Aus der exakten Sequenz 1 ~ / ~ - - * t2* ~ , t2*"---, 1 erhalten wir dann die kanonische Isomorphie

n 1(ffjs, itn) ~ (k* c~ t2*")/k *~ und behaupten, dab k* c3 Q * ' = {aEk*laE Up. k*" far p e s } =.. v s.

102

J. N e u k i r c h

In der Tat, ist aE Up. k*" ftir alle p~S, so ist die Erweiterung k(~/a)lk ftir jede Wahl von ~/a unverzweigt auBerhalb S, da die in n. oo aufgehenden Primstellen in S liegen. Wir haben somit k(~/a)___f2, d.h. act2*". Sei umgekehrt ae k*, a = bn mit b e t2*. b liegt dann in einer endlichen galoisschen Erweiterung KIk, die aul3erhalb S unverzweigt ist. Ist p ~ S und n ein Primelement yon k,, so ist 7r auch ein Primelement der unverzweigten Erweiterung Kplkp. Wir k6nnen also b = u. n~ mit einer Einheit u von Kp schreiben und erhalten a=un.rr~*=u ' . n ~. Wegen a, rrekp ist u' eine Einheit von kp, d.h. a~Up. k*" ftir alle p~S. Die Abbildung p~ geht also tiber in

V S/ k

, n ---1.

, ,n EI ka/kp ,

a~S

so dab der Kern von p~ zur Gruppe

{ae VSlaek *~ f'tir peS}/k*"= US(n)/k *" kanonisch isomorph ist. Es wird daher in der Tat Ker (p2) ~ Horn (U s (n)/k*, 7Z/n) --- I3s (n) .

w8. Das Einbettungsproblem bei vorgegebener Verzweigungsmenge Sei A ein trivialer endlicher 15-Modul und S e i n e beliebige Primstellenmenge von k, die alle unendlichen und alle in n=exp(A) aufgehenden Primstellen enth~ilt. Wir betrachten nun Einbettungsprobleme g(15) tiber k mit dem Kern A und fragen nach der Existenz solcher L6sungen, die auBerhalb S unverzweigt sind, deren Verzweigungsstellen also in die vorgegebene Primstellenmenge S hineinfallen. Wir haben dabei nattirlich vorauszusetzen, dab das Einbettungsproblem 8(ffi) selbst auBerhalb S unverzweigt ist, d.h. dab die durch 8(15) gegebene Grundk6rpererweiterung Klk auBerhalb S unverzweigt ist. Dies nehmen wir ftir die folgenden Untersuchungen stillschweigend an. Wie in w7 setzen wir wieder US(n)= {a~k*laE Up. k *n ftir p~S, a~k *n ftir p ~ S - T}, wenn T eine endliche Teilmenge von S ist, und insbesondere

US(n) = U~(n)= {a~k*](a)= an, a~k*" ftir pES}. Mit BS(n) bzw. ]3S(n) bezeichnen wir die Charaktergruppe von US(n)/k *" bzw. US(n)/k *'. a (8.1) Satz. Ist 15s die Galoisgruppe der maximalen auflerhalb S unverzweigten Erweiterung yon k, so sind die folgenden Bedingungen i~quioalent : 3 In Koch [11], wI 1, 11.2findet man ftirBS(p)die BezeiehnungBs.

(Jber das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie

103

(i) Jedes 16sbare Einbettungsproblem g(ff~) mit dem Kern A besitzt eine auflerhalb S unverzweigte L6sung. (ii) Die Abbildung H 2 (ff~s, A) -~ H a (f~, A) ist injektiv. (iii) t~S(q3=0 fiir i = 1..... s. Diese Bedingungen sind insbesondere dann erffillt, wenn die ql ungerade sind und wenn der K6rper k(~,) keine unverzweigte abelsche Erweiterung vom Exponenten ql besitzt, in der alle fiber S liegenden Primstellen voll zerfallen, also z.B. dann, wenn k(~,) eine zu qi teilerfremde Klassenzahl besitzt. Bemerkung. Die Grupl~ A wird in diesem Paragraphen stets als trivialer ~-Modul verstanden, und qt=p[ 1, .... q~=p~ bedeuten die charakteristischen Invarianten yon A. Beweis. Da ~s eine Faktorgruppe yon ~ ist, k6nnen wit jedes (auBerhalb S unverzweigte) Einbettungsproblem o~(ff~) auch als Einbettungsproblem ~(ff~s) fiir die Gruppe (~s auffassen. Die L6sungen yon ~(ff~s) entsprechen dann umkehrbar eindeutig den auBerhalb S unverzweigten L6sungen von 8(~). Die Aussage (i) ist also gleichbedeutend mit ~8(~) 4: Zum Beweis yon (i)*~(ii) betrachten wit das kommutative Diagramm H 2 (G, A) 9 _, H2 (~s, A)

H 2 (~, A), wobei G eine endliche Faktorgruppe von ~5s ist. Ist nun geH(ff, s, A) mit Inf(g)=0, so k6nnen wir G so groB w~ihlen, dab ~=~(e) mit eeH2(G, A). Durch dieses e wird eine Gruppenerweiterung von A durch G, also ein auBerhalb S unverzweigtes Einbettungsproblem g(~) mit dem Kern A definiert. Wegen fl(e)=Inf(0t(e))=0 besitzt r nach (1.2) eine Li~sung. Unter der Giiltigkeit yon (i) besitzt daher auch g(ffis) eine LiJsung, d.h. es ist ct(~)=~=0 nach (1.2). Daher gilt (i) ~(ii). Setzen wir urngekehrt die Injektivit~it von Inf voraus, und ist ~(~) ein l~isbares (auBerhalb S unverzweigtes) Einbettungsproblem mit der Gruppenerweiterung 1--* A ~ E--~ G--~ I und der zugehfirigen Kohomologieklasse eeH2(G,A), so ist G eine Faktorgruppe yon ~s, und es gilt fl(e)= Inf(~ (e))= 0, also ct(e)= 0, so dab r nach (1.2) eine L6sung besitzt. Dies zeigt (ii) ~ (i). Zum Beweis von (ii)~(iii) schicken wir die folgende Bemerkung voraus: Ist pr so ist das Kompositum der Abbildungen H2 (~s, A) ---r H 2 (.~., A) -~ H 2 ( ~ , A)

104

J. Neukirch

die Nullabbildun~ Das Kompositum von (fip ---, 15 ~ (5 s hat niimlich die Triigheitsgruppe Zp von ltip im Kern, da lti s die Galoisgruppe einer auBerhalb S unverzweigten Erweiterung ist. Die Abbildung H 2 ( ~ s, A)--* H 2 (ltip, A) kann man somit als das Kompositum von H 2 ((~is, A) --* n 2 ((tir/~p, A) i,f , n 2 ((~,, A) auffassen, und das Bild yon inf ist gerade die Gruppe H.2,(t~p, A)=0 (vgl. Serre [211 Ch. II., Prop. 18). Aus dieser Bemerkung folgt, dab das kanonische Diagramm H 2 ({!is, A)

osl

H H2 ((~p, A) p~S

i,e , H 2 (~, A)

lo

' H H2 (~p, A) /p

kommutativ ist. Der Kern von p ist nach (4.7) gleich 0, and die untere Abbildung ist injektiv. Hieraus folgt, dab die Injektivitiit von Inf, d.h. dab die Bedingung (ii) gleichbedeutend ist mit der Injektivit~it von pS. s

Zerlegen wir A in ein direktes Produkt A ~- I-I Z/ql, so sehen wir, da$ die i=1 Injektivitiit yon pS gleichbedeutend ist mit der Injektivitiit von n 2 (qjs, Z/q3 ~ I_I H2 (ffip, Z/q,),

i= 1..... s,

p~S

und dies ist nach (7.6) gleichbedeutend mit BS(q3=O, i= 1..... s. Sind die ql ungerade, und besitzt k;=k(~,) keine unverzweigte abelsche Erweiterung vom Exponenten q~, in der alle iiber S liegenden Primstellen von k~ voll zerlegt sind, so ist die zum Tripel (q~, S, 0) geh6rige Obstruktionserweiterung k~'lk~ trivial (vgl. (7.3)). Damit folgt die Bedingung (iii) aus (7.4) und (7.2). (8.2)

Korollar. lm Falle k=ff~ sind die Bedingungen yon (8.1) stets erffdlt.

Beweis. Wir weisen die Bedingung (iii) nach. Es geniigt zu zeigen, dab US(ql)=~ *~' ist. Sei also a~US(qi). Dann ist a = a q' mit einem Ideal a von k. Im Fall k = ~ ist a ein Hauptideal, d.h. a = _ b q', also a = ( - b ) q' im Fall q~ ungerade. Ist q~ gerade, so verwenden wir die zus~itzliche Bedingung aEk *q' f'dr pES. Da S die unendliche Primstelle enthiilt, folgt aelR *q', also a > 0 , d.h. a=M'. In jedem Fall ist also aeff~ *~'. Im folgenden setzen wir durchweg voraus, dab der Ktirper k n Q((2r) komplex ist, falls 2' die maximale in exp (A) aufgehende 2-Potenz und r > 1 ist. Wir versch~irfen jetzt das Einbettungsproblern in der folgenden Weise. Wir suchen nach solchen L6sungen von ~'(lii) die einerseits auBerhalb S

Ober das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie

105

unverzweigt sind, die aber iiberdies an den Stellen p einer endlichen Teilmenge T von S vorgegebene lokale LiSsungen [~kp] yon 8(15,) induzieren (vgl. w Beispiel 3). Wir betrachten also lokale Vorgaben vom

Typ L(s, T)= I-I {[~3} • [I ~e,,(|215 [I ~e;~| peT

p~S- T

p~S

und fragen nach LiSsungen des Problems (8(15), L(S, T)). Zur lokalen Vorgabe L(S, T) geh6rt nun die in w S. 35 definierte Hindernisgruppe A(k, A)s. Sie ist unabh~ingig v o n d e r speziellen Wahl der lokalen L6sungen [~p] yon 8(15~) f'tir peT. Das durch L(S, T) definierte Hindernis ~/in A(k, A~ h~ingt jedoch durchaus von dem vorgegebenen System ([Op])p~r ab. Um dies genauer zu er6rtern, betrachten wir den kanonischen Homomorphismus

I-In'(ko,A) ~ , A(k,A~, p~T

der durch die kanonische Einbettung l-IH*(kp,A)-+~ H*(k~,A) entsteht. Wir haben dann das

p~r

p

Lemma. Besitzt 8(15) eine auflerhalb S unverzweigte L6sung, so besteht das Bild yon H H'(kp,A) * , A(k, A)~

(8.3)

peT

aus genau allen Elementen, die man als Hindernis einer lokalen Vorgabe yore Typ L(S, T) erhiilt. Beweis. Sei [~bl] eine auBerhalb S unverzweigte L/Ssung von r und seien [~xp]~a,(~0) die zugeh/Srigen lokalen LiSsungen. Ist eine lokale Vorgabe L(S, T) mit dem System ([~bp])r~r vorgelegt, so gilt [~kp]=Z~[~b~,]

mit

%p~nt(kp, A)

f'tir peT. Das Hindernis t/cA(k, A)s zur lokalen Vorgabe L(S, T) wird nun durch ein System ( x p ) ~ I H z(ks, A) repfiisentiert, derart dab P

(x~,Er

T).

Da [~klp] auBerhalb S schon unverzweigt ist, und da fiir die Stellen aus S - T keine Forderungen erhoben werden, ktinnen wir xp = Xp

f'tir p E T

und

xp = 0

f'fir p r T

w~ihlen. Das Hindernis t/zu L(S, T) ist also das Bild yon (Xp)p*r unter der Abbildung 2. Durchl~iuft (Zp),~r alle Elemente yon I-IHI(k~,A), so set

durchl~iuft L(S, T) gerade alle in Betracht kommenden lokalen Vorgaben, d. h. das Lemma ist bewiesen.

106

J. N e u k i r c h

Wir sehen gleichzeitig, dab das Problem (8(~), L(S, T)) be, Vorliegen einer aul3erhalb S unverzweigten LiSsung [@l] yon r genau dann eine L/Ssung besitzt, wenn das System (Zp)~ r e l-I H1 (kp, .4), das ([~j)pE r p~T

und ([~lp])~er unterseheidet, im Kern yon ;t liegt. Wir identifizieren jetzt A mit I:I 71/qi. Aufgrund der Zerlegung '=l

H 1(kv , A) = f i H i (kp, Z/qi) ordnen wir jedem Element ;G~ H 1(k~, A) seine Komponenten Zip ~ Hi (k~, 7l/q,) zu. Mit dieser Bezeichnung haben wit den s

(8.4) Satz. Sei 8(ffJ) ein Einbettungsproblem mit dem Kern A = [-[ 7l/q i. i=l

Besitzt g(ff}) eine auflerhalb S unverzweigte LOsung [~bl], so besitzt das Einbettungsproblem (g(ff~), L) mit der lokalen Vorgabe L = ([q/v]),~T genau dann eine auflerhalb S unverzweigte LOsung, wenn ~-~Z,D(a, k~) = 0

ffiralle aeUS(q,),

i=1 ..... s.

vet

Dabei ,st ( , kp) das absolute Normrestsymbol fiber kv, wfihrend zpEHl(kp, A) durch [Op] = Zp [~blp], Pe T, definiert ,st. Beweis. Eine auBerhalb S unverzweigte L~sung yon (g(~i), L) ,st nichts anderes als eine LiSsung yon (~(~), L(S, T)). Wie wir soeben gesehen haben, wird das Hindernis r/zur lokalen Vorgabe L(S, T) durch das Element (x~)EEI Hl(kp, A) reprO,sent,eft, mit xp =Zp f'tir p e T und P

x v = 0 f'dr p r T. Spalten wir r/gem~il3 der Zerlegung A(k, A)ST= f i A(k, 7l/q,) s i=1

in die Komponenten rh auf, i = 1..... s, so wird qi durch das System (xip) mit x,p=;~,p flit p e T und xi~=0 fiir p 6 T repr~isentiert. Nach (7.1) ist nun q, = 0 genau dann, wenn Z,p(a, kp)= ~ Zip(a, k~)=O p

fiir alle a~ US(q,).

peT

Die lokalen L~Ssungen [~bp], p ~ T, k/Snnen also nicht willkiirlich vorgeschrieben werden, sondern haben einer Geschlossenheitsrelation zu geniigen. Dies wird noch deutlicher im Fall A =2g/p, wo wir den Satz (7.5) anwenden ktinnen: Sei ~p eine primitive p-te Einheitswurzel und k' = k(~p).

0ber das Einbettungsproblemder algebraischenZahlentheorie

107

Die Elemente xpeH l (kp, Z/p), die die lokalen LiSsungen [~p] definieren, werden dann durch Elemente aeek'p* repr~isentiert, p'~ T ' = Menge der tiber T liegenden Primstellen von k' (vgl. S. 41). Ist nun a das Idel von k' mit den Komponenten %. fiir p'e T' und %. = 1 ftir p'r T', so besitzt das Problem (r L), L=([~bp])p~r, genau dann eine auBerhalb S unverzweigte L~Ssung, wenn (a, k"lk')= l-[ (ar k;,Ik'p,)= 1 p'~T'

ist. Dabei bedeutet k"lk' die zum Tripel (p, S, T) geh6rende Obstruktionserweiterung. (8.5) Satz. Es sei eine der beiden ~quivalenten Bedingungen erfiillt : (i) l~S (qi)=O fiir i= 1..... s. (ii) Die zum Tripel (qi, S, T) geh6rende Obstruktionserweiterung k'i'tk~ ist trivial, i = 1,..., s. Ist dann ~((~) ein 16sbares Einbettungsproblem mit dem Kern ,4, so besitzt das Problem (~((~), L) fiir ]ede lokale Vorgabe L=([~'J)p~T eine auflerhalb S unverzweigte L6sung. Beweis. Die Existenz einer augerhalb S unverzweigten L6sung yon (8((~), L ) i s t gleichbedeutend mit der L(Ssbarkeit yon (8((~), L(S, T)), wobei L(S, T) die zu Anfang dieses Paragraphen definierte lokale Vorgabe ist. Zu L(S, T) geh6rt aber die Hindernisgruppr A(k, A)s, und diese verschwindet unter den Voraussetzungen (i) und (ii) nach (7.2) und (7.4). Daher folgt der Satz aus (2.4). (8.6) Korollar. Unter der Voraussetzung (i) oder (ii) yon (8.5) ist der H omomorphismus H l ( ~ s, A)--~ l-I Ht(ffi~, A) pET

surjektiv, wenn ffjs die Galoisgruppe der maximalen auflerhalb S unverzweigten Erweiterung yon k ist. Man erh~ilt dieses Korollar als Spezialfall aus (8.5), wenn man ftir 6'((5) das Einbettungsproblem w~ihlt, bei dem die Grundk/Srpererweiterung Klk trivial ist. Es handelt sich hier also um einen versch~irften Grunwaldschen Existenzsatz: Unter den Bedingungen (i) oder (ii) wird die Existenz von Erweiterungen N Ik gesichert, die eine Untergruppe von A als Galoisgruppe besitzen, deren Komplettierungen an den Stellen 0 ~ T vorgegebene Erweiterungen Nplkp sind, und die auBerhalb S unverzweigt sind. Es ist im allgemeinen ein schwieriges arithmetisches Problem, zu entscheiden, wann die Bedingungen (i) oder (ii) yon (8.5) bei fest vor-

108

J. N e u k i r c h

gegebener Primstellenmenge S wirklich erfiillt sind. Es kommt jedoch oft nur auf die Frage an, wie man die Mengen S w~ihlen muB, um die VerzweigungssteUen der L~isungen unserer Einbettungsprobleme in S hinein verbannen zu k6nnen~ Um dies etwas genauer durchschauen zu k/Snnen, nehmen wir an, daB die endliche Primstellenmenge T selbst schon die unendlichen, die ira Exponenten yon A aufgehenden Primstellen und die Verzweigungsstellen der durch das Einbettungsproblem 8(~i) gegebenen Erweiterung KIk enth~ilt. Sei wieder k~=k(~q,) und T/ bzw. S~ die Menge der iiber T bzw. S liegenden PrimsteUen yon k;. Wir setzen t P q~ T K,=k,({~fdla~V~ }),

wobei v~r={a~k*laeU,.k *~' f'tir p$T}.

K;I k; ist dann eine endliche abelsche, aul3erhalb T( unverzweigte Erweiterung vom Exponenten q~, i = 1, ..., s. (8.7) Satz. Ist 8(ffJ) ein 16sbares Einbettungsproblem mit dem Kern A, und wird die Galoisgruppe G(K~lk'i), i=1 ..... s, durch die Frobenius-

automorphismen e G (K~Ik~),

p e S, - T~

erzeugt, so besitzt (g (ff~), L) bei jeder lokalen Vorgabe L=([ffp])p~r eine auflerhalb S unverzweigte Lfsung. Beweis. Ist k'[ Ik~ die zum Tripel (q~, S, T) geh~rende Obstruktionserweiterung, so ist k'/~_K~, und man entnimmt dem Satz (7.3) sofort, dab k'( gerade der FixkiSrper der durch alle (K~lk~] \ p' / ' p'eS~-T/, erzeugten Untergruppe von G(K'llk;) ist. Die Bedingung, dab G(K;Ik;) durch die Frobeniusautomorphismen erzeugt wird, ist also gleichbedeutend mit k;' =k'~. Hiernach ergibt sich der Satz aus (8.5). Beachtet man, dab jedes Element yon G(K'=Ik;) nach dem Tschebotareffschen Dichtigkeitssatz als Frobeniusautomorphismus unendlich vieler Primideale p' yon k'~auftritt, so sieht man, dab man T auf unendlich viele Weisen durch r = ~ Rang G(K;Ik;) isl

Primideale zu einer Menge S ergiinzen kann, derart, dab jedes Problem (~'(IB), L) eine LiSsung besitzt, deren Verzweigungsstellen in die Menge S hineinfallen. Man sieht aber auch, dab man die Zusatzmenge nicht willkiidich vorgeben darf, und dab sie sehr stark yon T und yon den charakteristischen Invarianten q~ von A abhiingt.

Ober das Einbettungsproblemder algebraischenZahlentheorie

109

w9. Ki~rpermit vorgegebener nilpotenter Galoisgruppe und gegebenem lokalen Verhalten In dem vorliegenden Paragraphen wollen wit u.a. den Grunwaldschen Existenzsatz (vgl. (6.9)) auf den Fall der nilpotenten Erweiterungen verallgemeinern: Wir suchen nach einer galoisschen Erweiterung KIk, die einerseits eine vorgegebene endliche nilpotente Gruppe G als Galoisgruppe besitzt und andererseits an endlieh vielen Primstellen p vorgegebene Komplettierungen annimmt. Wir machen dabei die Voraussetzung, dab der GrundktJrper k die p-ten Einheitswurzeln fiir alle diejenigen Primzahlen p nicht enthalten soil, die in tier Ordnung von G aufgehen. Wir sind dadurch yon vornherein auf den Fall von Gruppen ungerader Ordnung eingeschr~inkt, jedoch erhalten die Ergebnisse im iibrigen z.B. fiber dem Kfirper Q der rationalen Zahlen voile Gtiltigkeit fiir alle nilpotenten Gruppen ungerader Ordnung. (9.1) Definition. Sei K lk eine endliche galoissche Erweiterung, neine nattirliche Zahl und T eine endliche Primstellenmenge von k, die alle in m = n. [K:k] und oo aufgehenden Primstellen enth~ilt. Wir nennen K Ik eine Bcholzsche Erweiterung hinsiehtlich (n, T), wenn die nicht in T gelegenen VerzweigungssteUen von K ik rein verzweigt sind und in k(~m)lk voll zeffallen. Eine Scholzsche Erweiterung K]k ist eine spezielle tolerante Erweiterung hinsichtlich (n, T) im Sinne von (5.2). In der Tat, ist pC T eine Verzweigungsstelle von K lk mit dem Verzweigungsindex ep, so ist p rein, und wegen pA~[K:k] zahm verzweigt, d.h. die Zerlegungsgruppen iiber p sind zyklisch. Andererseits ist p voll zerlegt in k(~m), d.h. ~mekp. Wegen pA'm folgt hieraus 91(p)= 1 mod m. Setzen wir n,= I-Ip v.~.), so gilt np. ep/n. ep/n. [K: k] = m, d.h. 91(p) = 1 mod np. ep, p/e~ Wir betrachten nunmehr Einbettungsprobleme gr((5), bei denen der Kern A der Gruppenerweiterung 1-.A-*E-*G-*I eine nilpotente (also nicht mehr notwendig abelsche) Gruppe ist, und E auf den Faktoren einer aufsteigenden Zentralreihe trivial operiert. Solche Einbettungsprobleme nennen wir quasi-zentral. Als Beispiel haben wir den Fall, dab E selbst nilpotent ist, oder dab Aim Zentrum yon E liegt. (9.2) Theorem. Sei K[k eine Scholzsche Erweiterung hinsichtlich (n, T), derart dab ~pr k und K n k (~p)= k fiir alle Primzahlen p/n ist. Dann besitzt jedes quasi-zentrale Einbettungsproblem (8(~),L) yon KIk mit lokaler Vorgabe L=([~bp])p~r eine eigentliche, hinsichtlich

(n--~, T 1 Scholzsche LOsung, vorausgesetzt die Ordnung a des Kerns .4 geht inn auf.

110

J. Neukirch

Bemerkung. Wir werden sogar noch etwas Sch~irferes beweisen: Sind n~imlich L6sungshomomorphismen ~%: flip~ E p ~ E der lokalen Einbettungsprobleme g(flip) ftir p e T vorgegeben, so gibt es sogar einen surjektiven Scholzschen L6sungshomomorphismus ~h: fli ~ E, derart dab ~hl~o=~hp f'tir o c T ist. Die Formulierung des Theorems besagt lediglich, dab ~hI~o zu ~hp unter einem Element von A konjugiert ist. Beweis. Wir werden den Beweis mit vollst~indiger Induktion fiber die Ordnung a yon A fiihren und werden zu zeigen haben, dab der Scholzsche L6sungsk6rper N so gefunden werden kann, dab er die Bedingung / n N c~ k(~p) = k f'tir P / Z - erf'tillt. Wir betrachten zuerst den Fall A =Z/p, p Primzahl. Wir erweitern die lokale Vorgabe in einer dreifachen Weise. Um die Existenz einer eigentlichen L/Ssung zu sichern, w~ihlen wir einen unverzweigten surjektiven Homomorphismus ~'qo: fliqo--~7Z/P, wobei qo~T eine von den unendlich vielen in K[k voll zerlegten Primstellen ist. In der zu 8(fliqo ) geh6renden Gruppenerweiterung

1 ~ 7Z/p ~ Eqo --~ Gqn -~ 1 ist die Zerlegungsgruppe Gqo von K[k trivial, d.h. 7~/p=Eqo , so dab ~'~o eine L~Ssung [~hqo] von o~(fliqo) darstellt. Setzen wir To = T u {qo} und Lo =([~bp])p~ro, so gilt:

dede L~sung yon (,~(fli), Lo) ist eine eigentliche LSsung yon (8(fli), L). Ist n~imlich [~h] eine Ltisung von (~(fli), L0), so ist [~,] auch eine L6sung yon (d'(fli), L), und die Einschr~inkung von ~k auf iliao ist der surjektive Homomorphismus ~b,o: fliqo~TZ/p. Das Bild von ~h: f l i ~ E enth~ilt also den Kern Z/p, d.h. ~b ist surjektiv. Als n~ichstes sorgen wir ftir die Bedingung N(~k(~t)=k f'tir alle /

Primzahlen l~ n , die der Liisungsktirper N erf'tillen soil. Dazu betrachten wir die galoisschen/e Erweiterungen K (~t) l k, wobei I alle in n aufgehenden P Primzahlen durchl~iuft. Da K(~,)IK zyklisch ist, gibt es nach dem Tschebotareffschen Dichtigkeitssatz unendlich viele Primideale von k, zu denen K als ein ZerlegungskiSrper der Erweiterung g(~t)[ k geh6rt. Sei qzr To eines dieser Primideale. Da qz in K voll zerf~illt, ist die zum lokalen Einbettungsproblem geh/Srende Gruppe Gq,= 1, so dab der triviale Homomorphismus ~hq,: fliq,---~Eq, eine Liisung von 8(fliq,) darstellt. Setzen wir T1= To u

i Il

und L1 = ([~k])p~rl, so gilt:

Jede L6sung yon (8(fli), LI) ist eine eigentliche Liisung yon (~(fli), L), und der zugeh6rige LSsungsk6rper N erfiillt die Bedingung N n k(~)=k i

fC,r alle Primzahlen I / n . /p

Ober das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie

I 11

Jede LiSsung [~k] von (8(15), L1) ist n~imlich einerseits eine L6sung von (8 ((~), Lo)und somit eine eigentliche L6sung von (8 (15), L). Andererseits induziert [~k] f'tir qt die triviale L~Ssung [~kq,] von 8(tSq,), d.h. q~ ist voll zerlegt in N. Nun gibt es aber nach Voraussetzung eine iiber q~ gelegene Primstelle St von K, die in K(~) unzerlegt ist. Wegen des totalen Zerfalls von St in N ist somit N n K(~l)= K. Es folgt N n k((t)~_ K~k((l) n

= k fiir alle Primteiler I v o n - - . P Wir geben nun weiter f'tir jede Verzweigungsstelle p ~ T~ yon K Ik eine rein verzweigte LiSsung [~bp] von 8(l~p) vor. DaB dies in der Tat m/Sglich ist, zeigt die folgende Oberlegung. Da K Ik hinsichtlich (n, T) Scholzsch ist, ist die Verzweigungsstelle p in k(~m), m=n.[K:k], voll zerlegt, d.h. (mekp. Sei

I -* Z/p ~ E~ --* Gp -~ 1

die zu 8(flip) geh6rige Gruppenerweiterung und K~lkp die rein (und zahm) verzweigte Erweiterung mit der Galoisgruppe Gp. Wir k6nnen dann schreiben K p = k p ( i / ~ ) mit einem Primelement ~z yon kp, r = [Kp:kp]. Sei ~ ein erzeugendes Element von Gp und a ein Urbild in Ep. Die Ordnung s von tr ist dann ein Teiler von p. r. Da p in n und r in [K~:kp] aufgeht, geht s in m auf, d.h. (s~kp. Der KSrper Np=kp(~/~) ist daher eine K~ enthaltende reinverzweigte zyklische Erweiterung vom Grade s. W~ihlen wir nun eine U rbild ~-eG (Np[kp) der Ordnung s von ~G(Kplkp) und bilden dieses auf aeEp ab, so erhalten wir ein kommutatives Diagramm ~ i p

E~

' G~

} 1,

so dab durch ~ eine rein verzweigte L/Ssung yon 8(~i~) definiert wird. Wir setzen T * = T1u {OIP verzweigt in K Ik} und L * = ( [ ~ ] ) , ~ r . . Bilden wir schlieBlich die Primstellenmenge S = T* ~ {PIP voll zerlegt in K (~)l k}, m = n. [K: k], so erhalten wir das folgende Resultat.

Jede auflerhalb S unverzweigte L6sung yon (8(ffi), L*) ist eine eigentliehe, hinsichtlich ( n , TI Scholzsehe Lfsung oon (8(~),L),/ _ _ wobei der I \P Li~sungsk6rper N fiberdies die Bedingung N c~k((~)=k ffir l i p erffillt.

112

J. Neukirch

Zum Beweis haben wir nur noch zu zeigen, dab der zu einer auBerhalb S unverzweigten L6sung [~] von (~r(~), L*) geh6rende K6rper N eine Scholzsche Erweiterung yon k hinsichtlich ( p , T)ist. Die Menge n

T enth~ilt zun~ichst alle in m = - - [N: k] = n [K: k] und in oo aufgehenden P Primstellen. Ist nun P eine nicht in T gelegene Verzweigungsstelle von NIk, so ist pES--T. Die Primstellenmenge T* besteht aus T, den Prim1

stellen qo, q~, 1/-~-, die wegen der lokalen Vorgaben [~b,o], [~q,] nach Konstruktion unverzweigt in N Ik sind, und den Verzweigungsstellen yon K Ik. Ist jetzt pc T* - T, so ist p schon in K Ik verzweigt. Die lokalen Vorgaben [~%] an den Verzweigungsstellen p r T von K Ik sind abet nach Konstruktion rein verzweigt, d.h. p ist rein verzweigt in N Ik. Da K Ik Scholzsch hinsichtlich (n, T) ist, ist iiberdies jede solche Verzweigungsstelle voll zerlegt in k(~m), wobei m=n. [ K : k ] = n . [N:k] ist. Ist aber P p ~ S - T*, so ist p voll zerlegt in K(~m), also voll zerlegt in k(~=) und in K. Wegen [N: K] =p kann p in N somit nur rein verzweigt sein. Wit haben das Problem jetzt auf die Aufgabe zuriickgefiJhrt, eine augerhalb S unverzweigte LiSsung von (d'(t~i),L*) zu finden und ziehen dazu den Satz (8.5) heran. Danach geniigt es zu zeigen, dab die zum Tripel (p, S, T*) gehiSrende Obstruktionserweiterung k"[k' (vgl. (7.3)) trivial ist. Wir zeigen zun~ichst, dab die Galoisgruppe g=G(k'lk) auf der Galoisgruppe G(k"lk') trivial operiert. Wegen p/m ist k'= k((v)c_ k((m) ---K((m). Jede Primstelle aus S - T * ist daher voll zerlegt in k'. Da aber nach (7.3) alle fiber S - T* liegenden Primstellen yon k' voll zerlegt in k" sind, ist die ganze Primstellenmenge S - T* voll zerlegt in k". Da S - T* aus fast allen Primstellen besteht, die in K ( ~ ) voll zerfallen, folgt nach einem bekannten Satz von Bauer (vgl. Bauer [21) die Inklusion k"_~ K(~m). Die betrachteten K6rper bauen sich somit nach dem nachstehenden Schema auf.

k ~jk' Dabei ist k'=k(~p), K'--K(~p) und Kc~k'=k nach Voraussetzung. Sei ~ ein erzeugendes Element yon g = G(k'[k). Wegen K n k'= k gibt es eine Fortsetzung ~ yon # auf K(~m), derart dab e l f = Id~ ist. Betrachten

Ober das Einbettungsproblemder algebraischen Zahlentheorie

113

wir nun ein Element ~ von G(k"ik') und eine Fortsetzung z auf K((m), so wird tr z a - 1 IK= z IK und tr T a - 1I,g.) = z Ikg.), da k((~)l k abelsch ist. Es ergibt sich also trz tr -~ =z, und dies bedeutet insbesondere, dal3 auf G (k"l k') trivial operiert. Wir verwenden jetzt die Beziehung 3) von (7.3): Homg (G (k" Jk'),/2p) = Horn (G (k"l k'), #p). Ware die Obstruktionserweiterung k"lk' nicht trivial, so zerfiele G (k"lk') als trivialer g-Modul vom Exponenten p in ein Produkt yon g-Moduln yore Typ Z/p, und es ergiibe sich (#p)g = H o m , (Z/p, #p) = H o m (Z/p, ~t,) = #p, also llpc::k, w a s der Voraussetzung (pCk widerspricht. Damit ist der Beweis im Falle A = Zip gefiihrt. Sei jetzt allgemeiner A eine nilpotente Gruppe, derart dab die Gruppe E auf den Faktoren einer aufsteigenden Zentralreihe yon A trivial operiert. Im nicht-trivialen Zentrum von A gibt es dann einen Normalteiler Z von E, der als E-Modul vom Typ Z ' ~ Z / p ist, p Primzahl. Wir betrachten nun die durch ~(15) und d'(15p), peT, gegebenen kommutativen Diagramme t5 15p

1--~ A

) E

J ,G--*I

1-* A

~ E

1 --. A/Z , E/Z i , G --* 1 1 --~ A/Z , Ep/Z , Gp ~ 1, wobei die Homomorphismen Op durch die lokalen Vorgaben [~p], p e T , gegeben sind und ffp=np o ~kp gesetzt ist. Durch die unteren Gruppenerweiterungen und die Homomorphismen ffp entsteht dann ein Einbettungsproblem (~(15),L) der (h_insic__htlich (n, T)) Scholzschen Erweiterung K Ik mit lokaler Vorgabe L = ([~kp])p~r und dem Kern A/Z. Die Ordnung ~ = alp yon A/Z ist nun ein echter Teiler der Ordnung a yon A, so dab ~/n gilt. Wir ktinnen daher mit vollst~indiger Induktion annehmen, dab das Problem (~(15),L) eine eigentliche, hinsichtlich

-~-, r

Scholzsche L6sung [~] besitzt, derart dab der/.LiSsungskiSrper

die Bedingung /~ c~ k((l) = k f'tir alle Primzahlen I / ~a erf'tillt. Im Hinblick auf die Bemerkung_ zu (9.2) nehmen wir sogar an, dab wir den L~Ssungshomomorphismus ~: 15---, E/Z so wahlen k6nnen, dab ~l~o= ~p 8 Inventiones math,, Vol. 21

fiir p e T

114

J. Neukireh

gilt. Es entstehen nun die neuen Diagramme 15

1

~Z

,E ~ ~E/Z

~1,

1---*Z

~Ep ~~

~1,

mit ~p = ~ I~0 und ~ = rcpo 0p, P~ T. Da Z im Zentrum yon E liegt, stellt das linke Diagramm ein zentrales Einbettungsproblem ~(15) der hinsichtlich ( n , T)Scholzschen Erweiterung/~. k dar, w~ihrend die rechten Diagramme gerade die zu ~(15) gehiSrenden lokalen Einbettungsprobleme ~(15p) mit den Lesungshomomorphismen ~b., p e T, repriisentieren. Wir betrachten nun das Einbettungsproblem (~(15), L) mit dem Kern Z~-TZ/p und der durch die Homomorphismen ~bp,p c T, gegebenen lokalen Vorgabe L. Nach dem oben Bewiesenen besitzt (~((5), L) eine hinsichtlich ( ~ p , T)Scholzsche eigentliche L~ksung - man beachte a = ~ p - , derart dab der zugeherige Lesungsk6rper N lk die Bedingung

Nnk(~t)=k fiir alle Primzahlen I / ~ erfiillt. Genauer gesagt gibt es einen surjektiven Homomorphismus ~O: 15 ~ E m i t n o ~O= ff und

~1~o=~;.,

p~T,

mit ~p e Z, der eine hinsichtlich (an---,T)Scholzsche Erweiterung N Ik mit der Eigenschaft N c~ k(~)= k far

detiniert. Wegen

j o I]/=] o • o ~b=} o t~ = tp ist ff ein Ltisungshomomorphismus fiir r Da das Element apeZ im Zentrum von E liegt, ist der durch ctp definierte innere Automorphismus yon E die Identit~it, so dab sogar ff ]~p=~kp fiJr p e T gilt. Damit ist das Theorem und die sich daran anschlieBende Bemerkung bewiesen. Betrachten wir den Fall, dab die Grundkerpererweiterung K[k trivial ist, so haben wir die Diagramme 15

1

~A ~ ~E

~1

~1,

1

~A ~ ~Ep

~1

,1,

peT.

~ber das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie

115

Das Theorem (9.2), genauer die anschlieBende Bemerkung, besagt hier, daft wir zu vorgegebenen Homomorphismen @p: 15p--* E einen surjektiven Homomorphismus @: 15---,E m i t ~kI~o=~,p finden. Bezeichnen wir mit M (k) das Produkt aller Primzahlen p mit ~pe k, so erhalten wir also das (9.3) Koroilar. Ist G eine endliche niIpotente Gruppe yon zu M(k) teilerfremder Ordnung und T eine endliche Primstellenmenge yon k, so ist die Restriktionsabbildung Hom (15, G) ' l-I Hom(15p, G) peT

surjektiv. Sie ist sogar surjektiv auf der Menge der surjektiven Homomorphismen yon 15 auf G. Die Zerlegungsgruppen flip sind in 15 nur bis auf Konjugiertheit bestimmt. Die Tatsache, dab das Korollar (9.3) bei beliebiger Auswahl der flip richtig ist, beruht auf der Bemerkung zu (9.2) und ist ein Charakteristikum der nilpotenten Gruppen G. Im Falle etwa der aufliSsbaren Gruppen Gist das Korollar in dieser scharfen Form keinesfalls mehr zu erwarten. Aus (9.3) ergibt sich die folgende Verallgemeinerung des Grunwaldschen Existenzsatzes: (9.4) Korollar. Sei G eine endliche nilpotente Gruppe yon zu M (k) teilerfremder Ordnung. Sei ferner T eine endliche Primstellenmenge yon k und Np[kp galoissche Erweiterungen der Komplettierungen k v, peT, deren G aloisgruppen Gp = G (Np Ikv) in G einbettbar sind. Dann gibt es eine globale Erweiterung N[ k mit zu G isomorpher Galoisgruppe, die an den Stellen p e T die vorgegebenen Erweiterungen Nplkv als Komplettierungen besitzt. Das Korollar (9.3) macht sogar die folgende viel sch~irfere Aussage. Es seien Einbettungen G (Nv Ikp) -* G mit dem Bild Gp _ G lest vorgegeben. Ferner sei fur jede Primstelle pc T eine Fortsetzung ~ auf den algebraischen AbschluB k von k beliebig vorgegeben. Dann gibt es eine globale Erweiterung N l k mit zu G isomorpher Galoisgruppe, derart, dab Gp fiir p ~ T gerade die Zerlegungsgruppe von ~ IN fiber k wird. Es k6nnen also nicht nur die Gruppe G und die lokalen Erweiterungen Nplkp, sondern auch die Zerlegungsgruppen in der abstrakten Gruppe G exat., vorgeschrieben werden. In der Tat, sei flipc_t5 die Zerlegungsgruppe von ~ fiber k. In kanonischer Weise erhalten wir dann Homomorphismen flip--~G(Nplkp), und die Einbettung G (Np [kp)--~G liefert ffir pc T einen Homomorphismus ~p: flip - , G mit dem Bild Gp. Nach (9.3) gibt es jetzt einen surjektiven Homomorphismus ~k: 15-~ G mit ~, I~, = ffp. Eine einfache Uberlegung zeigt, dab ~, einen K6rper N lk und einen Isomorphismus G (Nlk) G mit allen gewiinschten Eigenschaften definiert. 8*

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J. Neukirch

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