118
flzo KoEm~s~a~R.
t3ber das identische Verschwinden der Hauptgleichungen der Variation vielfacher Integrale. Von LEO KOENIGSBERGER i n
Heidelberg.
Bedeutet H e i n e Funktion yon t, einer yon t abh~ingigeu Variabeln p und deren Ableitungen bis zur v*~ Ordnung bin, so hat die zur Variation des Int~grales tl to
gehSrige Hauptgleiehtmg die Form ~H
d ~H
~p
dt ~p" + dt*- ~#---; . . . .
d ~ ~H
cg ~H + (--1)
~
dtV-- ~_p(v) -~- O,
und es is~ bekanntlich fiir das identische, yon der Funktionalbeziehung zwischen p und t unabhgngige Verschwinden derselben die notwendige und hinreichende Bedingung die, dag sich H als ein nach t genommener vollst~indiger Differenfialquofient einer F1mktion yon t, 19 und der Ableihmgen der abh~ngigen Variabeln p bis zur v - 1~ Ordnung hin darstelten l~gt. Dieser fiir die Mechanik, in welcher t die Zeit, p einen Parameter und H das kine~ische Potential ~2ter Ordnung bedeutet,- wichtige Satz soil im folgenden auf Funkfionen beliebig vieler abhingigen und unabh~ugigen Variabeln mi~ den nSfigen Modifikationen erweitert, und zum Zwecke der Anwendung auf die Mechauik mehrerer unabh~ngiger Variabeln in einfacher Form ausgesprochen und bewiesen werden. Um vor allem die Beweisar~ selbst zu kennzeichen, gehen wir yon einer Funk~ion H e/mr unabhingigen Variabeln t, ~ abh'~ngigen P1, P~, "",P~ und deren Ablei~ungen bis zur vt~ Ordnung aus, fiir welche die Beziehung tl
8 f t t d t = O, to
Identisches Verschwinden der Variation.
119
unter der Voraussetzung, dag die Varia~ionen der p~, p ~ , . . . , p~, und ihrer ~,--1 ers~n Ableitungen an den Grenzen verschwinden, den 9 Gleichungen ~iquivalen~; ist: ~H
(~)
d aH
d ~ OH
d~ a H
0
( s = l, 2 , . . . , # ) .
Zun~ichst ist ersichflich, d a ~ wenn H in der Form darstellbar ist H=
d__. ~_
at ~
worin co eine yon denselben Variabeln abh~i,ugige Funktion bedeute~, welche die Ableitungen der p, nut bis zur v - 1m Ordnung bin enth~lt, die /~ Hauptgleichungen (1) identisch efffill~ sein werden, da t~ to wegen der fiir die Variationen an den Grenzen angenommenen Beschr~]~ung unabh~i~ugig yon den Funktionalbeziehungen zwischen den p, und t verschwindek Dasselbe wfirde sich auch unmittelbar aus den bekann~n Beziehungen*) d~ d ~ ~ d~ ~ ~p~ dt
.~
dco
d ~
dt ~t~'
~!o(,") dt
~
~p(~) dt -~ dt ~(~) -]- ~(~-~)
~1o(,,'-~)'
(X= 1, 2 , . .
'
v--l)
ergeben~ da hiernach die Hauptgleichungen in '
'~
dt ~p~ ~t
'~
ag+~J+~
ag' +
"
'~
. . . . + ( - 1 ) ~ d ~ ~ ap~_~---~= o
iibergehen~ und somit~ wie der Anblick lehr~, iden~isch befriedig~ werden. Aber es is~ auch ebenso leicht~ die Umkehrung dieses Satzes einzusehen, wonach, wenn H die Haup~gleichungen iden~isch efffill~, es sich als vollst~ndiger D~eren~ialquotient einer solchen Funk~on co darstellen lassen soll. Zun~chst is~ n~mlich aus jener A•nahme nnm~elbar ersichtlich, dag, well die Koeffizien~n der h5chsten, also der 2~,~ Ableihmgen der p, in den identisch zu befriedigenden Gleichungen (1) durch
dargestelll werden, und diese somi~ verschwinden miissen~ H eine in den v t~'~ Ablei~ungen ]ineare Fun~;ion yon der Form *) Vergl. meine ,,Principien der Mechanik" S. 5.
120
L,o Komas~a~m~.
(2)
H = ~ (t, p~,..., ~ , , . . . , p ? - ~ ) , . . . , ~ , - ~))i,?) +...+
G(t,p~,
. . ., p , ,
. . .,p?-~),
. . . , 1,nO' .,
1) ,"~~,nO') ,,
-
+ H (t,p~,...,~,,...,~?-~),...,~(~-~)) sein wird; nun folgr abet sogleich, dal~ die Gleichungen (1), welche alsdann nut yon der 2 v - I t~ Ordnung sind, in den 2 v - i t~" Ableitungen linear sein werden~ und der Koeffizient yon .p(~'-~) wegen des idenfischen Verschwindens der Hauptgleichungen die Beziehung hefern wird (3)
~2~,_,) = ~p(e,,~t)
( ~ , s = 1, 2,. . ., ~).
Bildet man nun, was nach den eben gefimdenen Bedingungen mSglich isi~ eine Funkfion % yon t~ p~, ..., p~, ..., p~-~), ..., p~'-t)~ welche den Oleichungen genfig~
(4)
~
= ~,
--~)
...,
= ~,
so wird, weft H den Hauptgleichungen (1) identisch geniigen so]], und do~ ~ wie vorher gezei~ worden~ dieselben ebenfalls identisch befriedigt,
dt
die vermSge (2) und (4) die ibleitungen nur bis zur v - - 1 ~= 0rdnung hin enthaltende Ftmktion H
d~, = K(t,2~ ' " "',P~,, " . .,p?_~),.. dt
p(~-l))
"~
den Hauptgleichungen (1), die nunmehr in (5)
~K ~P8
d ~K d ~ ~K dt ~ -~- d t ~ ~p~' - - ' ' "
1 ) ~ _ i aft - i ~- ( ~ dt ~-i
~K ~pjo,-1) -'~ 0
fibergehen~ wiedernm identisch genfigen. Wendet man auf die Gleichungen (5) trod die Funlrtion K yon der ~, ~ I ten O r d / l u . ~ g dieselben Schliisse an, so wird sich fiir H sukzessive die Form ergeben H - ~ - --d-E -F- d ~ - "-~- " " -~- d--[- =
dt '
indem die zuletzt tibrig bleibende Funkfion, die nur yon t, Pl, P~,'" ", P~, abh~iagt~ und der Haup~gleichung identisch gentigen soil, die Parameter gar nicht~ enlhalt,en daft, und wir finden sorer als notwendige und hinreichende Bedingung dafiir, daft fiir eine Funktion t t der ~,~ Ordnung, yon einer unabhiingigen und ~ abh~ngigen Vaxiabdn t, Pl~ P ~ ' " ", P~ die Hauptgleichungen der Variation (1) identisch befriedigt werden, die, daft t t der nach t genommene vollsttindige ~fferentialquotient einer Funktion v---' 1~ Ordnung dersdben unabhiingigen und abhSztgigen VariaSeln ist. ]
Iden~isches Verschwinden der Variation.
121
Sei z. B. die FunkCion H=
+
+
+
+
gegeben, welche den beiden Hauptgleichungen ~H
~Pl
d ~H d~ 8H=o, dt ~p~" ~ dt ~ ~Pl'"
d ~ H + d ~ ~H, , = 0 d t ~_p~" dt ~ ~%
8H
~P2
identisch gentig~ so sind in den angewand~en Bezeichnungen 2
'
'2
~ i = 2PiP~ 'i)i JF .P~P~ ,
'
'
2t~ -~- 2p~pl p~ ,
und somil die Gteichungen (3) iden~isch be~riedigk Den Gleichungen (4) gemi~B ergibt sich lind daraus d o)1
H
9
dt --Pi zF tPl = K ,
worin K den beiden Hauptgleichungen ~K d ~K_0, ~K ~291
identisch geniigt.
dt
~PI"
d ~K ~ 0
~p~.
dt ~P2"
Setzt man weibr e% = t A ,
so folgt d% H-~
d @~p~2p~* 2 + .P~A *P~"2 -1- t~i)
d co~
dt -~- dt -~
dt
"
Um nun einen analogen Satz ffir die Hauptgleichungen der Variat;ion eines vielfaehen Integrales 1 1 t I t2 tlo to2
tl f H tQo
aufzuste]len, in welchem H e i n e l ~ ] ~ t i o n der 0 unabh~ngigen Variabeln tl, t ~ , . . . , t e , der tt abh~ngigen Variabeln ~ I , P ~ , " " , P ~ mid deren par~ieller Differenlialquotienten his zur v ~ Ordnung hi~ sein soll, Gleiehungen, die sieh bekannflieh, wenn ~,
= "~!i l i 2 " " i ~
gese~zt wird, in der Form darstellen:
(6)
~H
~
d
d~
6./.,.--. G,
~H
~~
d~
~.B"
~H
= "0
(s= 1,2,...,tO,
122
L~.o Ko~.sms~a~a.
worin die nach den i~, 4 , " " genommenen Summen ~uf alle Zusammen~tellungen der i aus den Zahlen 1, 2 , . - - , 0 auszudehnen sind, in welchen i~ ~_~i2 ~ i~..-, - - werde zuniichst bemerkt, da~, wie aus der Variution des vielfachen Integrales unter der der frfiheren analogen Festsetzung ffir die Variationen in dem Grenzgebiete hervorgeht*), der Ausdrack d%
d%
d t, -~- - ~
d~ e - ~ " " " -~- d t r '
in welchem co,, e%, . . - , coe beliebige Funktionen v - 1~* Ordnung der # abhii~gigen and ~) unabhiingigen Variabeln darstellen, den Hauptgleichungen (6) identisch genti~, und dab somit die MSglichkeit der Darstellung der Funktion H in dieser Summenform yon Differentialquotienten hinreichend fiir die identische Erffilhng der Hauptgleichungen is~. Um abet die wichtigere Frage nach den notwendigen Bedingungen zu bean~wor~en~ mSgen zuniichst Funktionen H der ersten Ordnung yon e/net abhiingigen und p unabhiingigen Variabeln untersucht werden, fiir welche sich, wenn sie der ~ r s = 1, u = 1 aus (6) entspringenden Hauptgleichung d ~H d ~H d-Y~ >~(~--~. . . . d t e ~(e) 0 - -
=
identisch geniigen sollen, genau wie oben die Form ergibt:
(s)
~ = ,t, (t~,..., t~, p),~) + ~ ( t ~ , 9 9 t~, p)~(~) + . . .
+ n~(t~,..., t~, ~)p<~) + H(t~,..., t~, p). Set;zt man nun
(9)
~(t~, . . ., t~, p) = f ~ j p , da~ Q
so wird die Funkt;ion erst;er Ordnung d t ~ wie oben gezeigt, ebenfalls die ttauptgleichung (7) ident:isch befi-iedigen, und somit auch nach (8) und (9) die Funk~ion e = H~P(t) + H~P(~) + " " + He -~p(e-~) + ~" K = H - - d~ d--~ 9) Benutzt~ man die, den in meinen ,,Principien der Mechanik" S. 5 uufgestellten Beziehungen analogen, t~ela~ionen ffir mehrere unabhiin~ge Variable
9
.. i z
(z, 12...
i~_
9
"
worin (i~, ~)= 0 ist, wenn 1 yon i~ verschieden, und den Weft 1 hat, wenn ~.= i~ is% so erkemat man ~uch dutch unmi~elb~.re Subsr d~.t~ die Haup~gleichungen (6) iden~iseh befriedig~ werden.
IdenHsches Verschwiaden der Variation.
123
Setzt man ~,hnlich
%_~(tl, " ", to,P) = f Ho_ldp, bildet ~-
dm0 - i dto_ 1 '
usw., so 'gelangt man zu eiaer yon p(1),p(~),.. ", io(e) tmabhiingigen, also nur yon ti, t ~ , . - - , t0, p abh~ngigen Ftmk%ion, welche der Gleichung (7) identisch gentigen, also yon p frei sein mul~, and sich daher als Differentialquotient nach irgend einer der unabh~ingigen Variabeln darstellen li41~t, und es ergibt sich somit als notwendige und hinreichende Bedingung dafiir, daft eine Funktion I-I der e r s t e n Ordnung yon e i n e r abhiingigen und Q unabMingigen Variabeln der Hauptgleichung (7) identisch geniigt, die, daft jene Funktion in der .Form darsteUbar ist B ~. d eo1 d o)~ d ~o dt, [- ~ ~t- " " " nt- dt O ' worin ~1, e~ "" ", coo nur yon tl, t~, . . . , t o und p abhiingen.
Um also zu priifen, ob eine solche F~ml~ion H in der angegebenen Weise als Summe yon totalen, nach den tmabh~ngigen Variabeln genommenen Differentialquotienten darstellbar ist~ hat man nut nachzusehen, ob H der tIauptgleichung (7) identisch Geniige leistet. So wird z. B. in der Form darstellbar sein
d_
/
2
{t~ t~ p2 _ _ dt 1 ~-
Wesentlich anders gestalflet sich das l%esultat der Untersuchung der notwendigen und hinreichenden Bedingungen fiir die identische Erftillung der Hauptgleichungen der Variation, wenn die Funk%ion H yon einer hSheren Ordnung als der ersten ist oder, wenn yon der ersten, mehr als eine abh'~iagige Variable enthilt. Zuniichst ist unmi~elbar eln~usehen, daft, wenn eine Funktion H der ~ * Ordnung yon ~ abMingigen und O unabhiingigen Variabeln in der Form darstdlbar ist: d ah
H=dt
'
d e%
d eae
+...
+ dt e ,
worin ~l, eo~, . . . , ~r ebenfal-ls -Funktionen v ~ Ordnung eben dieser Varia.. beln sisal, H den zugehiirigen Hauptgleichungen 2 v t~ Ordnung idv~isch g e -
124
Lzo Ko~.~msszso~.s. d eo~ d ~%
d~e
niigen wird~ da d t ~ d t ~ ' ' ' "
dte nach dem Friiheren als Funktionen
+ 1t~ Ordnung die entsprechenden ttauptgleichungen 2v + 2 ~ Ordnung identisch befriedigen, mid aus diesen Hauptgleichungen, da die Summe der nach ti, t~, . . . , te genommenen Differentialquotienten yon co~, c%, . . . , coe nut eine Funktion ~t~ Ordnung sein sollte~ die den partiellen Differentialquotienten u + 1ter Ordnung zugehSrigen Glieder herausfallen.*) *) Man kann dies abet auch, ihnlieh wie oben, unmittelbar an den Bauptgleichungen (6) verifizieren. Denn da H e i n e Funlr~ion v*'* Ordnung sein soll, so muff coi
::~).<~) ::)) +
0
+"" + ~
Ol~i
"~
...
_:
~
~
o~
..
01%
sein, wenn die Zusammenstellung der Indizes . .
1
~
=
~,l
9
. .
~.
.
.
.
.
.
9
ist, und da nach dem Frfiheren d%. d t . ~- ~2
den zugehSrigen Hauptgleichungen ~S2x
d
~
d~
$z
+ (-
~
il i~_
d~+ 1 1)~+l~
~2~
d t i dti: . . . d/~ dt~.
~p~i~i~'"i~)
=0
:~ i~ . . . i v
identiseh genfigt und
ist, so werden die Hauptgleiehungen ffir
H = f~ "-l- ~2 -k- "'" -t- Qe in die Gleiehungen (6) iibergehen. So werden z. B. ffir zwei Funk~ionen zwei~er Ordnung einer abhingigen und zweier unabhingigen Variabeln eoi ~---ioi~(2)210(le)~- iDio(1)~o(s)iD(22), eo~ ~
-- i~io(2?io(li)-- pp(i)io(s)io(Is)
vermSge clef Zusammenstellungen der Indizes (111), (121) = (112), (221) = (212) die Beziehungen e ~ I l t sein eaI ~io<~ ) =
und
o,
der Tat d co1 d e% /I= dt~ + ~ =
-~)
+
- -
=
o,
+
~
=
o,
in
-- P(~Pi~
nur yon der zweiten Ordnung sein. en~sprechend ist
+
P(1)~i~(~)io(~) _
ivto(~)(p(n)~p(~) _ to(l~)~)
Den obigen Beziehungen zwischen ~l und eoi
Identisehes Versehwinden der Variation.
1~5
U m aber die Existenz der U m k e h r u n g dieses Satzes zu un~ersuehen und die F o r m dersell~en zu finden, mtissen w i t die F u n k t i o n e n H nach ihrer O r d n u n g und der Zahl ihrer abh~ngigen mad unabh's Variabeln unterscheiden. Sei z u n ~ h s t H yon d e r v ~ Ordnung, enthalte aber nur e i n e abMingige u n d zwei unabMingige Variable p, t~, t~, so soil im folgenden, der kiirzeren Schreibweise wegen,
e t ~ ' ~ ): = p(Z,~.) gesetzt werden, nimmt (9)
so dal~ die H a u p t g l e i e h u n g
die F o r m an-
~ H -~- d "~ 0 H d 0 H t- d -~ 0 H q- d" dt e ~o(~ 1) ' dt~ ~ ~jo(~,o) dtld ~ ~9(1,D dt~" ~--~(o,2)
~H d ~H ~p - - d t ~ ~p(~.o)
....
der Variation
(-
+(-1),
- ,r dt~_2dt~ ~(~_9,~)
d ~-~ ~tt d ~ ~11 d~ ~11 - ~ . . - ~ - ( - - 1) "-~ dt~-I ~p(o,v-1) ~- (-- 1 ) ' -dt~ - ~/o(''~ ~-(--1)'dt,~_idt--)~p(,_~,~ i . d~ ~ H + ( - 1)=o. - ~ - - . - ~ - (-- 1)" dtldt~"- ~ ~p(1,v-1) . dt~ ~p(O,~) Soil nun dieser Gleichung dutch H identiseh genfigt werden, so werden die Koefiizienten der 2 v t~ partiellen Ableitungen yon p n~ch t~ und ~ genommen, welche lediglich aus den letzten v - ~ 1 Gliedern dieser ~f21
~ol
-- 0,
~f2,
~eo1
o~21 __ v~
=pp(1)p(~)
woraus Of~,
----- o,
O/a(ili)
~f~l
+
~f~'----- o,
~ p(i2i) Op(li2)
~f2___~ + (~-----L~ O~p = o, ~
0p(~i)
= o,
~ p(2Ss)
und hiernaeh d3
~f21
d3
~$2, 2)! -~_ 0 /
folgt, u n d e s wird somit der Hauptgleich, mg 4 t,~ Ordnung ~H ~p
d ~H dta ~p(i)
H ---- ~21 q- ~22
d ~H d ~ ~H d2 0H d~ 0H dt~ ~p(~) "q- dtx ~ ~--~Tt) Jr- dttdt~" ~p(l~) + ~/~ ~p(~zj ~--- 0
identisch Gen6ge leisCen.
126
L~o Ko~..~sa~.a~.~.
C~leichung hervorgehen, verschwinden miissen, und daher, wie unmittelbar zu sehen, der Koeffizient yon p(x,~), worin ~ + ~ ~ 2~, ist, (10)
~H ~2H ~2H ~p(nO)~p(7.-n~) -'}- ~p(~-z,~)~p(~+z-,,~-z) ~ ~2(~-2,~)~p(7.+2_n~_~)
sein, wenn die nach p mit negativen Indizes genommenen Differentrialquotienten gleich Null gesetzt werden. Ffir v ~- 2 und v ---- 3 folgt unmittelbar aus der Gleichung (10), dab si~mtliche dritten Differentialquotienten yon H~ nach den 2 t~ resp. 3 ~ partiellen Differentialquotienten yon p genommen, identisch verschwinden, trod H somit nach (10) die Form ,,,nimmt
H = tt~p(~, ~ -4- H~p (~z) -}- H~p (~ + Ht(p(~'~ (~ --p(~,~)~) -fund .j~'_~_ Hl.p(3,o) + ~2p(2,1) + H3.p(1,2) + H4p(o,3) + Hs (p(S,o)p(~,~)_ p(~,~)~) ~- H~(p(3,o)p(o, 3) --~v(:,~)p(~,~)) § H7 (p(e, ~)p(~ _ p(~,~):) % H , worin t11, JH~, ..., H Funktionen yon t~ t~, p, p(~,o), p(o,~) resp. tz, t:, p, p(~,o), p(O,~),p(e,o), p(~,~) p(O,~) sin& Ffir v - ~ 4 folgt jedoch aus der Gleichung (10) nur das identische Verschwinden aUer dritten Ableitungen yon H , nach den 4 ten partiellen Differentialquotienten yon p genommen, mit Ausnahme der folgenden, fiir welche sich n u t die Bezlehungen ergeben ~o(4,O)~p(1,a)~p(~,a)
~--- ~jo(3,1)~p(3,z)~(o,~)
-m- --
~p(a,1)~jg(~,~)~p(1,3
)
~-- ~- ~ p(~,~)~ p(~, ~)~2(~, ~) ~ -- 2 ~ p(~,o)~2(3, ~)~p(o,a), und erst tier Umstand, dal~ auch s~ntliche Gheder der Gleichung (9), welche die 6 ten partiellen Differentialquo~ienten yon p quadratisch enthalten, verschwinden miissen, liefert auch ftir alle dritten Differentialquotienten yon H identisch verschwindende Werte, so daft diese Funktion verm5ge (10) fiir v = 4 die Form annimmt:
H----H~ (~,~ + H~p (~,~)~. H~p (~,~) + H~p (',~) ~- Hsp(~ + Hs(p(~~ + ~ (p(~,o)p(z,~) __ p(~,z)p('~,~)) + Hs(p(a, 1)2~(o,~) __ p(~,~-)p(Z,a)) "t- H~ (P(~'~)P(~ (~'~)') -t- H~o (P(~'~ P(~ worin 1tl, H~, 9 9 H Funktionen yon
(~'~)")~- tt~ (p(a, x)/)(x,~)-- p('~,~)~)-}-H ,
t z, t~~p~ p(~, o) p(O,Z)p(~,o), p(x, ~),p(O,:) p(a,o), p(~,~), p(,, ~),p(O,a) bedeuten.
)
Identrisches" Verschwinden tier Variation.
1~7
So erhaZten wit allgemein fiir Eunktionen t t d e r v ~ Ordnung yon e i n e r abhiingigen und z w e i unabh~ngigen Variabeln als notwendige :Form dafiir, daft dieselben der Itauptgleichung yon der 2~,te~ Ordnung identisch geniigen
1 1 = Bop(~,o) + 11~p(,-1,1) + 11~p(~-~,~) + . . .
+ 11,p(o,,)
+ Ho~(p('-l,i)'---p(',~247176
(11)
+
+...
...
1) -P("~176
+
1) _ p ( , -
+
@(,- 3,3),
1)p(o,,))
.44- H,_~,(p(~-I)'--P(3'"-2)P (~
.4- H ,
worin die Funktionen Ho, H i , . . . , H o 3 , . . . H nur yon tl, t~, p und den 2artiellen Ableitungen yon p bis zur v - 1~ Ordnung bin abhiingen. Um nun auf den Beweis des Saizes yon der Ausdriickbarkeit einer solchen Funktion H als Summe yon nach t1 und t3 genommenen t;ofalen Different-ialquotieaten zweier Funklionen coi und c% der ~t,. Ordnung fiberzugehen, werde zun~chst bemerkt, da$, wenn d~o~ do~ d t~ .4- d ~ wieder nur eine Funktion v ~ Ordnung darstellt, einerseits diese Summe aus frtiher angegebenen Griinden die Hauptgleichung 2v ~ Ordnung idengisch befriedigt, andererseits, weft die Differentialquotienten v .4- 1t~ Oralhung aus jener Summe herausfallen mfissen, den Beziehungen (12)
~a)~ =-0,
~p(~,o)
~ ~% = 0 , @(,- i, 1) .4- @(~,o)
@(~,,-1) .4- @(3,,-3) = 0,
~
~p(~--:~,3)
"4- @(;~ =-0, -.i, i)
@-@,) .4- @(~,--,_1) = 0, @(o,,) = 0
identisch genfig~ werden mug. Aus (12) folgt nun zuni4chst, dab col= M~p(~ § Nx,
cos=- M3p(n~ § _Y~
is~, worin die nut yon p(,-1,x), p(,-3,3) . . .,p(1,,-1) and niedrigeren Ableittmgen abhiingigen Funktionen M~, 2
(,o---- 1, 2 , . - . , v) identisch befriedigen mtissen, woraus sich aM, ~- O, ~p(,- e, e)
~M, = 0 ~ ( , - e + ~, e- 1)
= 0
128
L~o Ko~xGS~.aa~a,
und daher z][i und Me yon den Ableittmgen V ~ 0rdnung unabh~ingig ergeben, wiihrend N 1 und ~ den Gleichungen ~p(~' - e, e) -]
,~.p ( ~ - e + x, e - 1) =
0
unterliegen, welche den Gleiehungen (12) analog sind, und es folg~ daher aus (12) unmittelbar: daft, wenn die Funktion do h d% d t 1 --~ dt~ '
worin coi und c% Funktionen v ~r (}rdnung in den nach ti und t e genommenen partiellen .Differentialquotientea yon p sind, wiederum eine Funktion v ter Oralhung sein soll, also der Hauptgleichung 2 v te~ Ordnung identisch geniigt, co1 und cog die Form haben werden
(13)
( ~=
f~p(,-1,1)+f~(,-2,~)+...+t'~_,p(1,,-1)+f,p(o,~)
%=_f~p(,,o)
_ f~1~(,-~,1) . . . . .
+FI,,
f , _ i p ( ~ , , - e ) _ f,p(1,,-,) + m~,
worin fi, f e , ' " ", f~, F i , F2 nur yon ti, re, p und den partiellen ~]~erentialquotienten yon p bis zur v - - 1 ~ Ordnung bin abhiingen, jedoch sonst keiner weiteren l~edingung unterliegen. Geniige nun die Funktion H v~ Ordnung yon einer abhiin~gen umd zwei unabh~ngigen Variabeln der Haup~gleichung (9) iden~isch, habe also,
wie oben gezeig~ worden, die Form (11), so kann man zun~chs~ zwei Funktionen coi und co2 yon der Form
(14)
co1
f~p(~ 1,1)+ f2~(,-.o,e)+... + f~p(o,,)
1
-
bestimmen, deren v yon den v - 1 ersten pariiellen Differentialquotienten yon p abh~ngige Koeffizienten den v Bedingtmgen un~erliegen
(15)
3 t l ~t @(~-e;
9 p ( , - ~, ~)
~f~ o) __ @(~-~,
9/0(~- i, o)
Hoe,
, 9/0(0, ~ - ~)
9 p ( ~ - 1, o)
m~d man sieht unmit~elbar aus (14) mad (15), daft sich fiir die Funktion H
d~ dt~
d~ = K dt~
der Ausdruck ergibt (16)
K---- Kop(~,~ + K i p ('-~,1) + . . . + K,p(~
+ Kl~(p(~-m ~)'--/~('-1, i)p('-~, m) + . . . + Kl,(p(,-e,~)Ld~, , - ~ ) _ p ( , - ~ , ~)p(o,,)) + . . . "4- K v - 2,. (p(1, v-- 1)~ __ p(2, .-- 2) p(0, .)) + K ,
Identisches Verschwinclen der Variation.
129
in welchem p(',~ nur als Koeffizient yon Ko vorl~ommt, Ko, ..., Kv_~,~,~ stimtlich .Funktionen v - - I t~" Ordnung sind, und welcher nach der vorausgega~genen .Bemerkung wiederum der Haa~tgleichung (9) identisch geniigen wird. So wird z. B. ftir eine der Hauptgleichung 6. Ordnung identisch genfigende Funktion 3. Or4uung H die Funktion K, in welcher coi _ fl.p(~,1)+ f~?(~ ~)+ f~p(o,~),
%
=
_
f
p(1,9),
worin fi, f~, f~ den Bedingungen u~terliegen ~)(1, 1)
~(~, o)
~/o(o,~)
~iv(~,o)
die Hauptgleichung 6. Ordnung ebenfalls identisch befriedigen und die Form annebmen
worin Ko, K1, K~, Ka, K~, K wiederum Funk~ionen zweiter Ordnung sind; zugleich sieht man aber unmittelbar, dab die Substitution dieses Wertes yon K in die Hauptgleichung 6. O r d n u ~ ftir den Eoeffiziea~en des Gliedes p(~,i).pO, S) den Ausdruck
~K~ liefert, uad da~ somit, da ~io(~,~ identisch befriedigt sein soil, K.~ yon p(~,o) unab-
die Hauptgleichung hingig sein wird. Ebenso leicht folg~ allgemein aus den letzten 2v + 1 Gliedern der zu dem Ausdrucke (16) gehSrigen Hauptgleichung (9), ini'olge des identischen Verschwindens des Koeffizienien der in den partiellen Differentialquotienten 2 u - 2ter Ordnung yon p quadratischen Glieder, daii ~(~-
i, o) =
~ 2 ( ~ - i, o) . . . . .
~ p ( ~ - i, o) . . . . .
~ p ( , - 1, o) = 0 ,
diese eriil~en solbst also yon p('-', o) anabhiingig sin& Setzt man nunmehr P
CO1 ~---
r P(" - s, 2) Jr (Ps P ( " - s, 3) -t- 9 " 9 +
o~' = -- cpsp('-i, i)_ 9)8p(~-~,s).....
~ , p(O, ,),
9~p(i, .-i)
worin die yon den ~ , - - 1 ersten par~ieIlen Differentialquo~ienten yon abhiingigen, aber p(~- 1, o) nich~ enthaltenden Funktionen (P2, (Ps, " " ", (P, den iden~ischen Gleichungen geniigen sollen .o
ap ( ' - ~' ~)
a p ( ' - ~' ~)
M a t h e m a t i s c h e Av,~,~en. L'ETr:
"' ap (~ " - ~)
ap ( ' - ~' ~) = K i , ) 9
130
L~,o Ko~m~ss~.a~.a.
m6glieh ist, da K : a , . . . , K : , yon 20(~- 1, o) unabh:i~gig waxen, so wird der Ausdruek v t~" 0rdnung was
d a~
L=K
d a~
die Form annehmen L = Lop(',~ + L : p ( ' - : , l ) + --. + L,p(~ ")
+ L~(p(,-~, 3)p(~-:, :)_p(,-~,,2)~(o,,)) + . . . + L _ ~ , , @(1,,-:)~ _ ~(~,,-~)p(o,,)) + L and wiederam der Hauptgleichung (9) idenfisch Gentige leisten. Da aber jetz~ wieder L ~ , . . . , JL2,,..., L~_2, , yon p("-:, 1) unabh[in~g sein werden, so kann die Redaktion in derselben Weise dutch Subtraktion yon nach t: and t~ genommenen totalen Different:a]quotienten yon Funktionen v *~ 0rdnung co:" und eo~" der angegebenen Art fortgesetzi werden, und wit gelangen somit zun:ichst zu dem Resul~at, daft, wenn die Funktion t t der v t~ Ordnung der Hau~tgleichung (9) identisch geniigt, zwei Funktionen co: und e% yon der Form co: =
f ~ # , - :, 1) + f~ ~(~- ~, ~) + . . .
~: _
f:p(,,o)
+ f, p(o, ,),
_f~p(,-:,:) .....
f,#1,,-1)
bestimmbar sind, in welchen f:, f~, 9 9 ", f, Funktionen v -- lt~ Ordnung darstdlen yon der Art, daft H
d~,dtl
4%dt~
=
J~ro~0(v' ~ + H : p ( v - : ,
:) § - 9 9 § ~ ' , / o (0, ") § H--
wiederum die Hau~tgleichung (9) idvntisch befriedigt. Es bleibt somit nut noch nachzuweisen, daB, wenn ein Ausdruck yon der Form
(:8)
~ = Mop(', o) + M:p(~_l, 1) + . . . + M,~r
+ M,
worin Mo, M : , . . . , Mr, M Funl:tionen v - - I u~ Ordnung in den Ableitungen yon ~ bedeuten, der Hauptgleichung (9) identisch Gentige leistet, Mwiederum durch totale Differentialquotienten, nach t: und t~ genommeu, darstellbar ist, und die Form dieser zu differentiierenden Funktionen zu untersuchen. Setzt man ~ : = F , ( t , t~, p, p(:,o), p(o,:), . . . , p(~-:,o), . . . , ~(o,,-:)),
~=
F~(t:, ~, ~, p(:, o), ~(o, :), . . . , ~(,-:,o), 9 9
so genfig~ -d-~-§ d~ d%
als Funktion
v~ Ordnung
~(o;.,-:)),
der Hauptgleichung
2 ~ ~ Ordnung (9)~identisch, und bestimmt man die Fun~ionen ~': and t~'e den Gleichungen
Identisches Versehwinden der Variation. ~
=Mo,
~'"
131
~
gemii~, so wird
(19)
N= M
d ~o~
a~
d%
a~ = N ~ p o - ~ , , ) + . . . + Ar ~(o,,)+ iV
wieder die Gleichung (9) identisch befriedigen. Setzt5 man aber diesen Ausdruck in jene Hauptgleichung ein, so ergibt sieh aus den lef~en 2v + 1 Gliedern derselben, wie unmittelbar zu sehen, als Koeffizient des Ausdruekes 10(~'- a, ~). jo(~,o) die GrSSe
woraus, da dieselbe verschwinden mu$, folgt, dab ~ , und genan ebenso die iibrigen N s , - - - , N, in bezug auf p(,-i,o) yore el~sten Grade sind, so dal~ (19) in
(20)
~=
(io,~(.-,,o)+ q,) r
,, ,) + (i0,~o(.-1,o)+ Q~)~(.-,,,) + . . .
+ (i~ r
o)+ q,)~o(o,,)+ ~r
iibergeh~, worin _P~, Q~, . - . , t ) , , Q , Funktionen v - I u* Ordnung sind, welehe p(,-1, o) nicht entshaltsen. Subsii~uiert man abet diesen Weft in die idenfiseh zu befriedigende Hauptgleiehmag (9), so erh~lt man, wie unmittdba& zu sehen~ die zu erfiillenden Gleiehungen c%Pr 8P a (21) @('- ~ "- ~) = t p('- ~, e - ~) (q, a = 2, 3 , . . . , ~,) und (22) ~O~ 9/9(~- a, a- 1) 9p(,- ~, 1) ~.p(,, - q, q - 1) ~ p ( , - ~, 0 ~ ~.pO'- a - 1, a) - - ~p(,, - q - 1, q) ( ~ , a =- 2 , 3 , . . . ,
v),
welehe die naehfolgende Redul~ion ermSgliehen werden. Setzt man n~ralieh nunmehr = fi (~, t ~ , p , r r162 = f~ (ti, ~, p, p(1, % p(o, 1),...,
1), r
r
1),...,
,_.. ~(o, . - 1)), p(o,,-1)). Id'-~, e)
+ fs (tl, t2, p, p(1, o), lo(o, 1 ) , . . . , p(,-~, 1),..., io(o,,-1)), so wird wiederum naeh FriLherem der Ausdruck rico1
d%
-dra -]- d t~ '
we/eher yon der v t~ 0rd_uung ist, der ttanptqleiehung (9) identisoh ge~ niigen, and unterwir~ man die Ftm~ionen fi, f~, fs den Bedingungen 9*
132 (23)
Lro Kor~asrraa~.a.
(~4) (25)
b~ -~ P ~ , . . ~f~ = P , , ~Io(~- s, ~) ", ,~ p(O, ~-~)
~1' = P~, ~ ( ~ - ~ , ~)
f~ +
~
~f~ ~f~ @(~_~,~> 4 @(~_~,, = ~,-.-, 9
.
~
,e3f~ ~ + @(---6--,~)
~f~
~(o, ~-x)
~f,
~_0(~- e' e-- 1)
=Q~
= Q.,
so da$ die Bedingtmgen (23) vermSge der Integrabilit~tsbedingungen (21) f~ bestimmen, fl dana durch (24) gegeben ist, und endlich fa aus (25) vermSge der Beziehungen (22) bestimmt warden kann, so wird T----- .N-- dg--~--dco~ dt x
dt~
ebenfalls der Hauptgleichung (9) iden~isch genfigen, welehe aber, weil T nur v~on der v - 1~ 0rdnung ist, in die entsprechende Hauptgleiahung, die nut yon der 2 v - 2 tea 0rdnung ist, iibergeh~. Da nun auf die Fllnl~tion T der v - 1t~ Ordnung dieselbe Reduk~ion angewandt werden kann, so ergibt5 sieh allgemein das folgende Theorem: .Die notwendige und hinreichende Bedingung dafiir, daft eine Funktion H d e r v t~ Ordnung van einer abhtingigen und z w e i unabhiingigen Variabeln der zugehgrigea Haul~tgleichung 2 v t~ Ordnung identisch Geniige leiste G i s t die, daft dieselbe in der ~'orm d to1 d a~
H = -d~[ + at~
darstellbar ist, worin die lXunktionea to1 und eo2 ~ n i c h t vorher fiir Funktionen erster Ordnung mit einer abhiingigen viden unabh~ngigen Variabdn beharMdten Falle, Funktionen hung sandern ~ wiederum Funktionen v ~ Ordnung van der
co,=
f~(~-~,~)+f2~o(~-~,~)+...+f,p(o, *)
%=_f~p(~,o)
_ f~p(,-1,1) . . . . .
wie in dem und beliebig v - 1 t~ Ord~orm sind
+ F~,
f,p(1,~-~) + F ~ ,
und f~, . . . , f , , ~x, ~ Funktionea v - 1 t~" Ordnung bedeuten. Zugleich war ersichtlich, daft, wean H eine in den v t~ partiellen Able#ungen van p lineare Funktian war~ die ~'unktionea ~ uud co~ wiederum nut tzunktianea v - - i t~" Ordnung sein werden.
Wenn die Funktion H d e r v m Ordnung zwar nur noah wie bisher e i n e abh~ingige, abet mehr als zwei unabh~ngige Variable enth~ilt, wird zwar der Satz yon der Darstellung der Funkt~ion H a!s Summe yon ~talen Differentialquotien~en erhal~en bleiben, aber tier Charak~r tier Funk4ionen ~ sich ~indern.
Identisches Verschwinden der Variation.
133
Untersuchen wit z u n ~ h s t wieder die'Form der Fnnktionen rot, ro~, "", roe, welche e i n e abh~i~gige Variable jo und doren DifferenfiaIquotienten, nach den umubh'~i~agigen Variabeln tx, C , ' " ", t e genommen, bis zur v m Ordnung enthalten und so beschaffen sein sollen, dal~ der Ausdruck dro~
(26)
H-~ ~
de%
+ ~
""
de~
+ . " + dt~,
selbst nur yon der ~,u~ Ordnung ist; dieser wird dann nach dem Frfihcren wieder der Hauptgleichung 2 v t~" Ordnung ~H
d
OH _ } _ ~
d 0~
OH
d~
+ (-
...%
~H
)= o
~,,~...~,, identisch Gentige leisten, in welcher 0~1o
_~_io(+~;~-9
and die nach den /1, i.~, - . . genommenen Summen auf alle Zusammenstellungen der i aus den Zahlen 1, 2 , . - . , 0 auszudehnen sind, in welchen i1 ~ i ~ i s - . . sind, und es werden sich genau wie oben die FOr die Funktionen rol, roe, " "', c~ notwendigen und hinreichenden Bedingungen daraus ergeben, dal~ die partiellen Differentialquotienten v + 1~ Ordnung yon ~o aus der Summe (26) herausfallen mfissen.Es geniigt, wegen der bequemeren Darstellung in der Bezeichnung, den Fall zu betrachten, in welchem rol~ ro~ ro~ Funktionen zweiter Oralhung der drei Variabeln t~, t~, t~ sind, und d co~
d%
d eo8
selbst nut yon der zweiten Orduung ist, somit der Hauptgleichung vierter O~dnung
(2s)
OH ~
d OH dt 1 Op(~)
d OH dt~ ~p(~)
d~ 0 H d OH d ~ OH _jr=dt~ dr3 O2(3) + dtt + O2(II) +-0~(2~)
d ~ OH d~ OH d2 ~ H .+. d ~ ~H ~- dts ~ O~(3~) "~= dtldt~ ~(t2) -1- dt~dts Op(iS) dt~dts Op(2s)
0 -
-
identisch Geniige leistek Da H e i n e Funk+don zweiter Ordnung sein soll, ergeben sich aus (27) unmittelbar die identisch zu befriedigenden Beziehungen
134
L~.o Kor~ass-Rc~a.
= o, -U~)+ ~V1)= o, - ~ ) + ~ ) = o, ~w)+ ~ ) = o, a~-~ ) + a~-~) +
(29)
--
= o,
blo(~) + ~i~(~2)
+
= o,
blo(~----~)-{- ~---p(~a)= 0, - ~ )
= o,
= 0,
nach denen, wie nnmiitelbar zu sehen, col, e%, e% zuniiehst die Form annehmen
(30)
~ , = f~l(p(la),
p(23))~(11) .,~ 53(10(1~) i0(1~))~0(3~)_[._ ~%10(11)I0(33)
worin die Funktionen f, ~, ~' auger den bezeichne~en Differentialquotienten zweiter Ordntmg yon p noch tl, t~, ~, p(1),.~(~),i~(a) enthalten werden. Se~zt man diese Werte yon col, eo~, e% in die Bedingangsgleichungen (29) ein, so ergeben sich leich~ ffir die Funktionen f, % iV' die Beziehtmgen af~ + q~ = O, af~__~ + % = 0,
af'~ + % = 0,
~/o(TM)
~t~ + q)~ = 0
bp(~)
~i~(l~)
0p(~)
~io(l~)
~f~
av~ + f~ = O, a-~) + 51 = o 0p(i~)
~f~ + ( P l = O
aF, + fa~ = 0
alo(~a) ~(~) + f~ = 0,
aF, + f~a
0
~f~
~/o(~) aF~ + a~-'~ + aF~
p(2a)
~io(l~)
~ p(~)
o,
un& daraus ftir die drei Funktionen col, e%, e% die Formen:
~1 = f~id12) + f~io(13) + &P('~). + f~P(~) + f51o(33)+ gl (io(~)2 _lo(~)p(3~)) + g~ (p(12)2(33)__#13)2(~) ) + ga(p(~3)p(~) _ 1o(t~)io(2~)) + G~ e%= -- flp(n) + fTp(~)--fsp(1~) + f6p (la) + fsp (~3)+ gi (P(19')i~176
+ a~(p(~v-f')p(~)) + ~ ,
Iden~isches Versehwinden tier Variation.
135
wo~i~ fl, . . . , s ~1, ~, ~, ~ , a~, Ga beliebige Funl~ionen yon t,, t~, G ~,/9(t) p(~), 20(~) sind. Bemerk~ man aber, dab sowohl ftir ~1~ =
(32)
f~(~) + f~(~) +
~ % - - - f~ p(~) + f~p(~)- f~p(i~) + f6p (~) + f~p(~), ~i~
=
-- f~p(n) _
f~io(~) - -
als auch fiir die mi~ beliebigen Mulfiplika~oren erster Ordnung versehenen Un~erdeterminanten zweiter Ordnung yon p(~l)/o(~) p(~)
n~mlich
(33)
die Funktionen dcoqi do~qo, doJq3 dtl + dto + dt~
(0 = 1, 2, 3, 4),
wie unmittelbar aus ihrer Form zu erkennen, wiederum nut F, ml~ionen zweiter Ordnung sind und somit bekanntlieh tier Hauptgleichung (28) identisch gentigen, so folgt: daft, wenn fib" drei Funktionen zweiter Ordnung col, e%, % einer abhiingigen und dreier unabhii~zgigen Variabeln der Ausdruck d co1
d e%
at1 -~- - ~
d cos
-{- d ts
wiederum yon der zweiten Ordnung ist und somit der ttauptgleichung (28) identisch Geniige leistet,
ist, worin die coO, ~e~, eoe8 (lurch die Ausdriic~ (32) und (33) definiert sind, f~, gfl, G v willkiirliche Funktionen erster Ordnung sind, und die F u n ~ tionen d~r t + d~e~ + d~r d t~
d t~
d ts
136
L~o Kom~s~v.n~.
se~st w i e ~ als Fanktionen zweiter Ordnung die Hau~tgleichung (28) id~isch befriedigen. Untersuchen wir nun, um die Frage nach der Umkehrung des Satzes zu beantworten, die Form einer jeden FunkCion zweiter Ordnung H, welche der ttauptgleichung (28) identisch genfigt, so liefer~ das identische Verschwinden der Koefilzienten der vierten partidlen Ableitungen yon p die Bedingungsgleichungen
b~H l~ (34) ]
~'H
2
F'H bi~(~)bio(~s) = 0,
__--
_
,
~"~
+
=
o,
a~H = O, 8~H = O, a.p(l'a) a p(~) alo(lz) aio(is) a~H ai~(la) a.p(ss) -- O, a'H a~H
O,
2
~H
8~H 2
c~H
~H
910(11)91o(SS) § 91o(iS)-----~__ ~ O~
woraus sich zun~ichst H in der Gestalt ergibt
(a5)
§ Kz (p(Zl)p(~)_p(l~)=) § Ks (/9(n)p(~s)_p(l~)p(13)) § Ks (p(lz)p(~3)_$(ls)~) § K~ (p(z~)p(~s)_ p(ls)p(~)) + K5 (p(zs)p(~) _ ~(z:)p(aa))
+
+ K,
worin t-11, H2, . . . , I(1, .K~, . . . Funktionen erster 0rdnung bedeuten, wiihrend K noch die partiellen Ableitungen zweiter 0rdnung yon p in einer hiiheren Dimension als der zweiten enthalten kann. Aus den Gleichungen (34) folgt aber unmittelbar, dab die siimtlichen partiellen Ableitungen vierter 0rdnung yon 17 nach den 10~.rtiellen Differentialquotien~en zweiter 0rdnung der /o verschwinden, w~i~hrend die Ableitungen der driYcen Ordnung yon H , nach eben diesen Differentialquotienten genommen, ebenfalls verschwinden mit Ausnahme der folgenden, fiir welche sieh die Beziehungen ergeben: bSH
~sH
~io(il)~io(~8)~io(~8) sH = 2 01D(zs)01D(i~)01D(~ )
ash
Identisches Yersehwinden tier Variation.
137
so d ~ K = .K7 ~(11)p(22)~)(~3)--~o(11)~o(23)~"--z-o(~s)p(1~)~-- p(22)p(1~)~ + 2.p(12)~(15)~ (2~)) + g
wird, worin K~ und H Funk~ionen erster 0rdnung sind, and somit (35) in
(,36) H=//~o(1~) -t- -~r2p(12) -31--~3_p(is) -4- -H4~(22) 2i- ~5.~) (25) -~- -~6~9($3)
+ p(~)0(~%(~s) - ~(~)~(~)) } + H iibergeht, worin si~mtliche Koeffizien~n nur Funktionen erster 0rdnung bedeuten. Genfis~ nun H der Hauptgleichung (28) identisch, besitzl es also die dureh (36) dargestellte Form, und bestimmt man eine Funktion erster Ordnung g~ aus der Gleichung
vg' -- K~,
~1o(~)
so wird~ wie unmittelbar zu sehen, die Funk~ion zweiter Ordnung (37)
dt~
d~
dr,
wiederum die Hauptgleichung (28) identisch befriedigen, und M selbst die Determinante der zweiten Differentialquo~ienten yon /o nicht mehr entha]ten. Wenn aber eine ~ml4ion
M -~ Ml.p (11) -Jr..~.p(l~) _]_M~p(ls) _{_Ma~(2~) _]_M~p(~8) + M6p(ss )
+ ~p,(~ (1~)~ (~3)--~(1~)~(~))+ /) ~(~(~a)~(~a)- ~ (~)~(as)) + ~ ( ~ (~)~(~) -~
(~)~) + ~
der Hauptgleichung (28) identisch genfig~, so sieh~ man unmit~elbar dutch Substitulion dieses Wertes yon M in (28), dab das notwendige Verschwinden des Koeffizienten des Gliedes p(~)/o(is)* die Gteichung nach sieh zieh~
(38)
~' @(s~
~ ' @(s) + @(~)~ ~'~s ~'P, ~ ' ~p(~) ~ ~'26 = 0, ~(~) @(1) ~(3) + @(1) + ~(~---V
mad unterwirft; man nunmehr f~, f~,.--, fs den seeks Gleiehungen
138
L~o Kor~msrr~a~.
as
~f,
-1- ~(a)
~p(,) =
welche sich in die Form setzen lassen~
7
~f~.7 ~o (~)~] dP(1)' -
=-/6,
so ist, wie unmitblbar zu sehen, fib beliebige Werte yon fl und f~ vermSge (38) die Integrabilit~tsbedingung effifllt, und es werden die so gefundenen Werte f i , ' " , fs vermSge der Gleiehungen (32) drei Funktionea eoii, eoi~, eoi~ definieren yon der Beschaffenheit, daft auch M
d~11 d tt
do~l~ da~l~ = d t~
N
d ts
die Hauptgleichung (28) identisch befriedigt, worin (39) N---- ~ l p (11)-~- .~22 (12)-~ .~3~0(13)-~- N4~0(22)"~-~Sp (23)--~ .~T6~0(33)+ N is~, und ~ i , ' " ", ~Y~, 2f Funl~ionen erster Ordnung bedeuten. Bestimmt man nun drei Funktionen ersbr Ordnung col, eo~, e% so, da$ ~p(~) ist~ so wird (40)
Q = ~V
d a)1 dt~
d to~ dt~
d%
dt~ --~ Qip(li) "~ Q~p(i~) _~_ Q~9(2~)~_ ~ ,
woi4a Q~, Q~, Q~, Q Funktionen erster 0rdnung sind, wiederum der Hauptgleiqhtmg (28) Gentige leisten. Die Substitution des Ausdruckes yon Q in diese identisch zu erfiillende Gleichung liefert aber durch Identifil~ation der Glieder die Beziehtmgen also w'~hrend die Identifizierung der iibrigen in den zweiten Differential-
I d e n t i s c h e s Vexsehwinden
139
de: Variation.
quotienten yon 19 quadratisehen Glieder die yon 1o(~) freien /~a~ den Bedingtmgen unterwirf~ (4~)
~ ~ - - ~ = ~j9(1) '
~~
= ~9(2) '
~p(1)~ + -'---~ ~p(2) = ~9(1) ~p(2) "
Bezeieh~O; man nun mit; col, ~ , c% drei solehe Fnnlrfionen yon
(43)9
~~
= Rl'l~~eo~
~c~} +
~p(~) + ~ ~o~
~%
~,9e(t) =
~
. ~e%
O, ~io(~) I- ~
=
O, ~v(~) = O,
so folgen aus den drei letzten Gleiehungen
~%= Q~(t~, t~, t~, p, ~(1), p(~)), c%=--~(o.) coi
=
~ * p('~).+ Q~(t~, __ ~/9(i)
t~,t~,
p, p(1)
ld ~)) ,
w~ihrend naeh den drei ers~en Q1, Q~, Q~ den Bedingungen un~erworfen sind: e,~s
=
e'~,
_/~,
~
_/~,
fiir welche vermSge der Gleiehungen (42) die Integrabili~tsbedingungen erfiillt sin& Da nun der Ausdruek Q naeh (40) die Form annimmt Q=
+
und nach Friiherem, da r
+
+ Q,
cos, c% Funktionen ers~er Ordnung sind, d ah
d a~
d oJs
dr, + -d~-~ + dts
ebenfalls der Haup~gleiehung (28) idenfiseh Geniige leisbt, so wird aueh S-- Q
d~l
da~
d~s
dr,
dt~
dt s
dieselbe befriedigen, und da S vermSge der Gleichung (43) nat yon der ers~en Ordnung ist, somit der Hauptgleiehang ~S
d
~S
d
~S
d
~8 = 0
identiseh genfigt und naeh Frfiherem daher als Summe yon naeh tl, ts, ts genommenen totalen Differenfialquotienten yon drei F~mlrtionen yon tl,t~, ~, 19 4arstellbar is~, so folgt zun~chs~:
140
L~o K o ~ - ~ s ~ a ~ a .
daft, wenn eine Funktion
. ~ = .~lp(ll) + .~2.p(12)+ .~$~(13) + .~4p(22) + .~5~(23)+ .~6p(33) + .~ der Hauptgleiehung vierter Ordnung identisch Geniige ~:stet, diesdbe stets in der Form darstellbar ist d ~o~ o~s ~=-xff + d-%~ + da~,
worin rot, ro~, e% ~unktionen erster Ordnung bedeuten. Fassen wit nunmehr die einzelnen hier gewonnenen Resultate zusammen, so folgt als notwendige und hinreichende Bedingung dafiir, daft eine Funktion H zweiter Ordnung yon einer abhgngigen und drei unabMinglgen Variabeln der zugehSrigen Hau2otgleichung vierter Ordnung identisch Geniige leistet, die, daft dieselbe in der Form darstellbar ist d eo~
~=
d e%
d e%
~-ff + ~
+ ~,
worin ro~, ro~, r% durch die in den Unterdeterminanten erster und zweiter Ordnung der aus den 2. ~axtiellen Differentialquotienten yon p gebildeten Determinante linear zusammengesetzten Ausdriicke (31) definiert sind. Genau ebenso stell~ sich die notwendige und hinreichende Bedingung ftir die idenfische Befriedigung der zugehSrigen Hauptgleichung dar fiir eine Funktion H beliebiger Ordnung yon einer ubhiingigen und beliebig vielen unabhiingigen Variabeln dutch die Zusammensetzung .yon nach den unabhiingigen Variabeln genommenen totalen Differentialquotienten. Wir gehen nun endlich zu Funklionen mehrerer abh~ingiger Variabeln fiber, bei welchen selbst schon ffir solche erster Ordnung nicht mehr, wie es Rir den Fall e/her abhiingigen Variabe]n oben nachgewiesen women, die Funktionen co nut yon der 0TM Ordnung sein werden. Untersuehen wir den Fall einer Funkgon H der ersten Ordnung yon zwei abh~ingigen und zwei unabhiingigen Variabeln, so ist zuniiehs~ wieder unmittelbar ersichflich, daB, wenn cot und cos Funkfionen erster Ordnung yon tt, t~, Pl, P~ bedeuten, und doh
de%
H ~-- ,d t I -]- d t~
ebenfalls eine Funktion erster Ordnung sein sell, somi~ den beiden Hauptgleiehungen (44)
~H
~o,
d
~H
at1 ~p(t)
d
eqH ~ 0 ~
at~ ~p~)
e3H
~p~
d
6~H
d~ ~p(1)
d "all
dt~ ~ ) -
o
identisch genfigen wird, die Bedingungen zu befriedigen sind ~v(1) -~ o,
+ ~ =
o,
= o,
+ ~ -
o, - -
= o,
=o,
Ident4sches Verschwinden der Variation.
141
aus denen die Formen sich ergeben:
(45) ~1 = f~pl~) + f~(:) + ~x, ~ = - f~p~l)_ 5pit) + p~, worin die Fun.ktionen fl, f~, El, ~'2 nut yon tl, t~, Pl, P~ abhiingen. Wenn sich somit eine Funktion H der ersten Ordnung zweier abh~'ngiger und zweier unabMingiger Variabeln in der _Form darstel~en liiflt H=
do) 1 d~ dr, -~- d t~ '
und somit den beiden Hauptgleichungen (44) identisch geniigt, so werden die beiden ~Funktionen eo1 und % die dutch die Gleichungen (45) angegebene 9 "orm besitzen. Um wiederum die Frage der Umkehrang zu beantwor~en, suchen wir die Form einer jeden Funktion H der ersten Ordnung, welche die Hauptgleichungen (44) identisch befriedigt, and finden aus den Bedingungsgleichungen
~(~) ~p(:)= o, ~(:)~ - o, ~p(~)~p~) + ~i~ ) ~ )
= o
H in der Gestalt
(46)
H = H~pi~)+ H~p~)")+ tt~p(~~) + H,p~~)+ ~:~ (~(~)~(~)--~1 ~(~)~(~)) + H,
worin H~, H : , . . - , H nur yon t~, t~, Pl und p~ abhiingen, wie z. B.
H = (t~p~ +PlP~ + p2
~(~)
--2t-~"~pg) + (2t~p 1 § t ~(~(~)~(~) ~(1)~(~)~
1"
Zuni~chst ist wiederum ersichilich~ da$, wenn man
~ = f~ (tl, t~, ~, ~)p?), se~i, die Funk~ion erster Ordnung deo 1
~ = - f~ (tl, t~, ~, ~0~)~i ~) dr
dt, ~ at,, ebenso wie H der Vorausse~zung nach, den beiden Hauptgleichungen (44) identisch Geniige leistet, und dab daher, wenn f~ durch die Gleichang bestimm~ ist ~f~ = - H ~ , dasselbe fiir die ~mk=tion K= H
dr
d~o,
worin die K1, K ~ , . . . , K wiederum 0 ~" Ordnung sind, der Fall ist.
I42
LEo K o m ~ s ~ . ~ .
Geniig4 abet eine FtmkfAon yon der Form K den Hauptgleichungen (44) identisch, so finden, wie die Substitution unmittelbar lehrt, die Beziehungen stat~
und bestimmt man daher zwei Ftmktionen
~
= L (~1,
~:, ~, ~),
~-~= f~(~l, ~,~1,~.~)
mittels der Gleichungen
~
= K~,
C
2C3,
~
~,
=
~s
= K~,
was verm;ige der Integrabilit~sbedingungen (47) mSglich is~, so wird
dt~
dt~
wiederum den Hauptgleichungen (44) identisch gentigen~ und L als Ftmktion 0 t~ Ordnung von pt und p~ frei sein miissen. Setzen wir die beiden eben gefundenen Resultate zusammen; so folgt als notwendige und hinreichende Bedingung dafiir, daft eine ~unktion H erster Ordnung yon zwei abhiingigen und zwei unabh~ingigen Variabeln den beiden zugehSrigen Hauptgleichungen identisch Geniige leistet, die, daft dieselbe in der _~orm darstellbar ist dr 1
deo~
dr, + dt~ ' we~
~o~= - f t ~ t (1) + f ~,
und fl, f l , f~, f~ Eunktionen 0 t~ Ordnung bedeuten. In dem oben zu (46) beigeftig~en Beispiel ist eo~---- (tlt~p~-- 2t~'2p~p~)pl(~)+ tlplp.~ - 2t2pt~p~,
Ist nun H e i n e Ftmktion erster Ordnung yon abhilngigen und zweiunabh~hlgigen Variabeln, so fmdet man ebenso teich~ als die notwendige Form dafiir, dag dieselbe den zugeh5rigen ttauptgleichungen 6~H
~p,
d
~H
dtt ~p(,~)
d
6~H---~0
dt~ ~19(,~'
(s-~ 1, 2 , - - - , ~)
idenlisch gentigt: + ~ i ~ ( p l ( l ~ p ~ ( ~ ) - p y ) p ~ (1)) + ~ 1 3 ( p ~ ( 1 ) p ~ ) - p I ~ ) p ~ (~)) + . . . _
~(~) - v! ~) p!~)~ + H ,
Identisches Verschwinden tier Variation.
143
worin die H ~ l , . . . , H x ~ , . . . , H Funktionen 0 u~ Ordnung sind, mid es ergibt sich somi~ auf Grund der friiheren Bebachtungen als notwendige und hinreichende ~dingung dafiir, daft eine Funktion H erster Ordnung yon ~ abhiingigen und z w e i unabhtingigen Varia~dn d~m zugehSrigen ~ Haut~tgleichungen identisch Geniige leistet, die, daft dieselbe in der Form darstellbar ist d co1
d 0.}2
H ~ - dt~ -~- d't, ' worin gD1 ~--
f~p~(~) + f~p.~(~) + . . . + f~,~(,~) + ~ ,
f~ ~ ( ~ ) _ f ~ ( 1 ) . . . . .
f . ~(2) + ~ ,
t~, . . , f , , ~ , ~ Funktionen 0 ~ Ordnung bedeuten. Und ebenso folgt allgemein als notwendige und hinreichende Bedingung dafi~r, daft eine lXunktion H der ersten Ordnung yon ,u abhiingigen und ~ unabh~ngigen Variabeln den zugehgrigen tt Hauptgleichungen identisch Geniige leistet, die, daft diese Funktion in tier Form da/rstellbar ist ~
d
H= worin r sind :
~ =
r
eoi
d e%
d me
dt~ + -d~ + " " " + dte'
coe ebenfalls Funktionen erster Ordnung yon der ~'orm
A ~ ? ) + A ~ ; ~) + - 9+ f,,.pi~) + f~p?)+ A~i ~)+ . . . + f,~p?' + . . . + ~ ,(r + fo ,(~) + . . . + f , ~(~) + F~, 22 z'2
+g~,op?) +g~pi,')+... +a, ep~) + P~, (D3
- f,~ pi~)- Ap~,) . . . . .
~,o:--fe~!~)-~,~.~ ~(~). . . . .
f, ~ p ~ ) - gl~pl~) - g ~ p l :) . . . . . g, ~p~) + . . . + l l ~ i ~ ) +i~,.~;~) + - - - + i , ~ o ? ) + ~ , f
~(~). . . .
Wiihrend nun abet bei e/net abhi~ngigen mid zwei unabh~gigen Variabeln sieh ein Un~ersehied in der Form der ~ fiir Funlddonen H der ersten und einer hSheren Ordnung ergab, bleib~ fiir mehrere abhiingige mid zwei unabh~ngige Variable die Form der ~ dieselb% yon welcher Ordnung H aueh sein mag.
L~o Ko~asa~aam~.
I~4
Ist ~ m l i c h H eine F,,~ktion zweiter Ordnung yon zwei abhiin~gen trod zwei unabh~ngigen Variabeln, so werden sich, wenn die beiden ttauptgleiehtmgen OH
d ~H
or~
at1 o~?)
~H
d
~H
d OH d ~ ~H d ~ ~H d ~ OH dt, ~p~)-~"dtx ~ O~v(n)-{-dt, dt, 02)~n)+ dt~.~-~<~-~)= 0 ,
d 0H
d'
0H
d~
0H
d-" 0H
=0
dutch dieselbe identiseh befriedigt sein sollen, wie dureh Substitution unmittelbax folgt, die ebenso fiir beliebig viele abhiingige Variable geltenden Beziehungen ergeben
~H
o~ ~) ~ )
~H
~H
+ ~~ ~ ) ~o"~);+ ~07~)~ )
= o,
mad daher, well die dritten Differentialquotienten yon H sKmtlieh versehwinden, H die Form annehmen
H = H~pi") + B~pl ~) + ~ p l ~) + ~ p l ~) + ~ p ~ ) +
~,~ ~(~)
+ ~ (pl ~) 1,7 ~) - ioi~)~) + ~ ~,-~(~(~)~(~)~.~- i,(~)~) H
(~"~)nff "2)
+ "~5 ~ k/J1/~(~2)a~(11)/'2- - fla~(11)"~1"2 aa(2~) ] + H6 (~Ill).P122) - - ~(12) 'n(12)~.rl Y2 ] + R ,
worin H l l , . . . , H i , . . . , H FtmkCionen erster Ordnung bedeuten, und man zeig~ wieder genau wie oben, dab die notwendige und hinreichende Bedingung dafiir, daft eine Funktion ~weiter Ordnung zweier abhiingiger und zweier unabl~ngiger Variabeln den beiden zugehSrigen Hauptgleichungen 4. Ordnung identisch Geniige leistet, die ist, daft diesdbe sich in der Form daxstellen liiflt do) 1
worin ea1 u~d ~
d (D2
Fun~ionen zweiter Ordnung yon der Form sind
145
Identisches Yerschwinden der Variation.
wenn [1, f~, f~, f~ _Funktionen erster Ordnung, r ~P,, ~P~ Funktivnva 0 ~ Ordnung bedeuten, und genau dieselbe Reduktionsform ergibt sich fiir Funktionen H vie, Ordnung yon ,~ abh~ugigen und zwei tmabh~i~gigen Variabeln.
Sei endlich H eine Funktion zweiter Ordnung yon zwei abh'~ngigen und drei unabh~ingigen Variabeln, so werden sich die Funktionen el, cos, cos wieder den Gleichungen (31) analog zusammensetzen, indem nur diese Funl~tionen aus der Summe solcher Ausdriicke bestehen, die sich dutch die Kombination der Indizes der abhRngigen Variabeln p voneinander unterscheiden, und entsprechend werden alle diese Siitze auch fiir Funktionen H beliebiger Ordnung mit ~ abhiingigen und Q unabh's Variabeln lauten. Fassen wit nunmehr die in der vorliegenden Untersuchung gewonnenen Resultate zusammen, so ergibt sich das nachfolgende Theorem: Die notwendige und hinreichende JBedingung dafiir, daft eine Eunktion H der v t~ Ordnung yon ,~ abh~ingigen Variabeln Pl, T~, "" ", P, und Q unabhiingigen Variabeln tl, t s , . . . , t e den zu der Variation I
tl
ti
0
0
tz
I
~
t~
0
ts
t~
geh6rigen l~ Hauptgleichungen 2 v ~r Ordnung ~H
d ~H
~_~
d~
~//
+ ( - 1) ~ ~ d~ dt~...d~, ~...~
~#,~"~)=0
identisch Geniige leistet, ist die, daft H in der Form darstellbar ist d~ 1
H=
de%
d%
d tl + -di~ + " " ' + d t r '
worin I. die Funktionen col, cos,..., e% F u n k t ~ der 0 te~ Ordnung sind, wenn H eine Funktion e r s t e r Ordnung yon einer abMingigen und Q unabhtingigen Variabeln ist ; H. die Eunktionen co1 und r die _Form haben coI _--__ flp(,_l,~) + _
f~p(,_~,~)+ . . . + f,p(o,,) + $1, . . . . .
f,p(1,,-1)
+
worin fl, f~,'" ", f,, _F1, _F~ _Funktionen v - - 1 ~ Ordnung bedeuten, wenn H Mathematische Annalon.
LXIX.
10
146
L~.o Ko~sms~a~m
eine Funktion vt~, Ordnung (v ~ 1) yon einer abhiingigen und z w e i unabhiingigen Variabetn ist, und iihnlich ~2 =
f:~P~) + ~ ~(~>+ " "
+
! 22-t'2
~ ~(~)~- ..-
+ ~ ~(~)+ f:~PP + / ~ P . ? ) + " ---
§ g~,.~(~) -F "."
~ ,a 2 -t'/x
+ --
r ~(:) . . . . .
f
.(~)-
a
o~)(~)~- ...
+
+ h2,op~) + h~r176 + . . . c o , , = - f2,~P7 ) -
+
9
+
9
worin die Koe[fizienten yon 0 t~ Ordnung sind, wenn H e i n e Funktion erster Ordnung yon ,~ abh~ngigen und ~o unabMingigen Variabeln ist; ferner &ie entsprechenden Formen ~2 =
f : ~ i ~) + ~ ~2~)
pi~)
~i~)
worin f:, f~, f~, ['~ Funktionen erster, q~:, ~p:, ~P~ Funktionen 0 ~ Ordnung bedeuten, wenn H e i n e Fanktion z w e i t e r Ordnung yon z w e i abhiingigen und z w ei unabh~ngigen Variabeln ist, und die ghnliche Darstellung fiir _Funktionen vt~" Ordnung mit t~ abhiingigen, abet z w e i unabh~ingigen Variabeln ; lIl. die _Funktionen ~ol, ~ , cog die Gestalt haben
+ g~(p(:.2)p(~)_ p(:~)2(2~)) + g3(p(28)p(~)_p(:~)p(~3)) + G2 ' ~2 -- - - f: p(:l) § f~ p(~3)_ f8 p(i2) _~/~ p(la) + [~ p(33) + g: (p(22)p(~)_ p(13)~0(.~3)) + g~(p(:8~_ p(22)p(~)) § g~(p(u)p(~)_ p(2~)p(2~)) + e~,
~)_f~p( ~)__ ( s + f~)2(:~)_s + g: (2( 2 ~ ) p ( ~ ) _ + g~ (p(n)2(~)_ p(2~)p(:~)) + g~(p(2,)'-_p(::)2(~) ) _ Gs '
~o~ = - 5 p ( 2 2 ) _ f ~ (
worin fl, f~,
""
",
p(2~)p(~))
fs, g:, g~, g~, G:, G~, G3 Funktionen yon t~, t~, t~, p, p(2),
p(~), 2 (3) sind, wenn H eine Funktion zweiter Ordnung mit e i n e r abh~ngigen und dr ei unabh~ingigen Variabeln ist; und fiir ~'unktionen ~e, Ordnung mit e i n e r abhiingigen und Q unabh~ngigen Variabeln die ents~arechenden additiven
Identisches Verschwinden der Variation.
147
Zusammensetzungen aus den Unterdeterminanten der verschiedenen Ordnungen der aus den partiellen Di]~'erentialquotienten der abhiingigen Variabeln gebildeten Determinanten anzusetzen sind. Die analogen Zusammensetzungen der co ergeben sich f'd/r eine Funktion H der zweiten Ordnung mit zwei abhiingigen und drei unabhiingigen Variabeln, allgemein fiir eine Funktion H der ~ Ordnung mit ,~ abh~ngigen und unabh&~gigen Variabeln. Heidelberg, den 24. Juni 1905.
