Uber die Anzahl der eigenflichen Untergruppen mad dee Elemente yon gegebener 0rdnung in p-Gruppen. Von A. Kulakoff in Moskau.

In seiner bekannten Arbeit ,,Verallgemeinerung des Sylowschen Satzes" hat Frobenins fiir die in der Gruppenordnung aufgehenden Primzahlpotenzen/9~ den Satz bewiesen, dab die A~zahl der Untergruppen yon der Ordnung /9~ kongruent 1 (rood/9) ist. Sparer ist dan Theorem von Frobenius fiir nicht-zyldische Gruppen, deren Ordnungen Primzahlpotenzen sind, in einigen speziellen F/ilten versch/irft worden. So ist bewiesen worden, dal~ die Anzahl der Untergruppen yon der Ordnung /9~,-1 in einer nieht-zyklischen Gruppe G v o n d e r Ordnung /9~ (/9 > 2 ) die Form 1 +/9§247 § ~ hat, wo ~ > 0 eine ganze Zahl ist, so da~ die Anzahl dieser Untergruppen kongruent 1-~-/9(mod/9 ~) ist. Ferner hat .~IiUer1) bewiesen, dab die Anzahl der Untergruppen v o n d e r Ordmung /9~ in einer nicht-zyklischen Abelschen Gruppe yon der Ordnung /9" (p>_~ 2; 1 __~ 2) erweitert. In der oben erw~hnten Arbeit yon Frobenius ist als Hilfssatz folgendes Theorem bewiesen worden: Wenn G eine Gruppe yon der Orclnung g und n ein Teller yon g ist, so ist die Anzahl aller Elemente der Gruppe G, deren Orclnungen in n aulgehen, dureh n teilbar. ~ nicht-zyklische Gruppen yon tier Oxdmung /9~ (/9 > 2) kann dieses Resultat verschE~ft werden. M.it Anwendung des Satzes yon Miller~), nach welchem die Anzahl

~) Bulletin of the American Mathematical Society 1919. 2) Proc. L. M. S. 1904.

A. Kulakoff. Anzahl der Untergruppen in 2-Gruppen.

779

der zyklischen Untergruppen yon der Ordnung p~ in einer nicht-zyklischen Gruppe von der Ordnung pm (p ~ 2, 1 ~ s < m) dutch p teilbar ist, und mit Anwendung des Satzes yon Frobenius ist es leicht zu zeigen, da~ die Anzahl aller Elemen~e in einer nicht-zyklischen Gruppe yon der Ordnung p ~ (p > 2), deren Ordnungen in p~ aufgehen (1 ~ s < m), dutch p~+~ tei]bar ist. Im zweiten Teite dieser Arbeit ist ein Beweis flit diesen Satz gegeben, der yon den S~tzen von Frobenius und Miller unabh~ingig ist.

w Wir bezeichnen eine Gruppe, deren Ordnung eine Primzahlpotenz p m ist, als p-Gruppe und beweisen folgenclen S a t z 1. Die Anzahl der eigentlichen Untergruppen yon gegebener Ordhung in einer nicht-zyklischen p-Gruppe (p > 2) ist -~ 1 -~- p (modp~). Im folgenden werden wir der Kiirze halber folgende Bezeichnungen gebrauchen: die Anzahl der Untergruppen yon der Ordnung p~ in einer Gruppe G yon der Ordnung p~ (# ~ m) werden wir mit e~(G) bezeichnen. Bevor wir zum Beweise des Satzes 1 iibergehen, wollen wit folgenden Hilfssatz aufstellen: Hilfssatz. Sind in einer Gruppe G yon der Ordnung p'~ (p ~ 2) Untergruppen yon der Ordnung p J~ (h ~ m) vorhanden, die eine Untergruppe H yon der Ordnung ph~ (h~ ~ h) als Normalteiler enthalten, so ist ihre Anzahl gleich eh_h,(Q/H), wo Q die grSfite Untergrappe yon G is$, die H als Normalteiler en$hdlt. Es seien H~,H,,...,Iti alle verschiedenen Untergruppen yon der Ordnung p~ der Gruppe G, die H als Normalteiter enthalten. Jede dieser Untergruppen ist in Q enthalten, woraus folgt, dal~ ]ede t~aktorgruppe H~,/H (1 ~ i'__~ i) Untergruppe der G~uppe Q / H ist. Nun kann man eine eindeutige Zuordnung zwischen den Untergruppen /-/j-, yon Q und Untergruppen //j,/H yon Q] H herstellen, womit der Hilfssatz bewiesen ist. w Der Satz 1 gilt fiir die nicht-zyklische Druppe yon der Ordnung pe (p ~ 2), denn die Anzahl ihrer Unterg~uppen yon der Ordnung p ist bekanntlieh gleich 1 -~- p. Wit versuchen daher, die Methode der votlst~digen Indul~ion anzuwenden. Wit setzen den angefii_hrten Satz als bewiesen voraus fiir alle nicht-zyklischen p-Gruppen (p ~ 2), deren Ordnung ein Teiler yon p"~ ist, und zeigen, da~ er dann aueh fiir die gegebene nichtzyklische p-Gruppe v o n d e r Ordnung p " ~It.

780

A. Kulakoff. w

Wenn eine nicht-zyklische Gruppe G ~ -~) 8) yon der Ordnung p ~ (p > 2) Elemente v o n d e r Ordnung 79"~-1 besitzt, so ist die Anzahl der eigentlichen Untergruppen yon gegebener Ordnung in G~ ~-1) gleich 1-+-p. Die Richtigkeit dieser Behauptung ergibt sich fib die Abelsche Gruppe G~~-~) mit Hilfe des Basis-Begriffes der Abelschen Gruppen 4). Fiir eine nicht-Abelsche Grnppe G ~ -i> ist sie yon Burnside ~) bewiesen. Wir wollen jedoch bier einige Uberlegtmgen hinzufiigen, welche seinen nicht ganz beendeten Beweis vervollst~ndigen und welche wit augerdem weiter benutzen werden (w 10). Burnside beweis~, da/3 die nicht-Abetsche Gruppe ~t~-l> wenigstens 1 q- p Untergruppen yon der Ordnung 79~ - ~ enthilt, und zwar eine nichtzyklische Abelsche Untergruppe v o n d e r Ordnung 19.... 1 und p zyklische Untergrnppen von derselben Ordnung..Die nicht-zyklische Untergruppe yon der Ordnung 79~-~ wollen wit mit ~-l~-(~-~) bezeichnen und die 79 zyklischen Untergruppen yon der Ordnung 79~,-i mit G~_I,I,G,~_~,~ ..... G,~_i.~,. Wit erhalten also die Reihe yon Untergruppen v o n d e r Ordnung 79~-~:

(1)

~(~-~)

Jetzt bietet es keine Schwierigkeit zu beweisen, dsB ~), (G(,~-i)) = 1 Jr 79

(1 _~ s < m).

Vor allem wollen wir beweisen, dat~ durch die erw~hnten Untergruppen von der Ordnung p ~ - x alle Untergruppen dieser Ordnung der Gruppe G~m-~) erschSp~ shad. Man erkennt leicht, da~ der Durchsctmitt zweier belieblger Untergruppen der Reibe (1) eha6 und dieselbe zyldi~che Gruppe G~-i yon der Ordnung p " - ~ ist; hieraus folgt, dal~ die Anzahl der verschiedenen Elemente, die in den Untergruppen der Reihe (1) liegen, gleich

p~-~ + (1 +p) (p.,-1 _p,~-~) =p,,, ist, d.h. in den Untergruppen der Reihe (1) befinden sich alle Elemente der Gruppe G(~~-l>. Man kann dabei beweisen, daft alle Elemente der Gruppe G(~~-i), de~en Ozdnungen nicht grS~er als 79~-~ sind, in t ~ - i liegen. In der Tat, da jede der zyklischen Untergruppen de~ Reihe (1) genau ~o(p ~-~) - - - - - p ' - ~ ( p - 1)~) Elemente yon der Ordnung p,~-i ents) Mit dem Symbol G(b) werden wit iiberhaupt eine Grulape yon der Ordnung pa bezeiehne~u, in weleher die hSchste vorkgmmende 0rdnung eines Elementes T a (b < a) is~. ~) Die~e Bemerkung, sowie auch einige andere, die mir die ~6gliehkei~ gaben, die urspriingliche Redaktion meiner Arbeit zu vereinfachen, verdanke ich Herrn Pros

O. J. Sehmidt. ~) The theory of groups of finite order (second edition), p. 135. ~) ~(?~-l) bezeichnet die bekannte Eulersche Funktion.

781

Anzaht der Untergruppen in :~-Gmppen.

h~lt, so enth~lt G~m-i) genau p m - 1 ( p _ 1) Elemente dieser Ordnung, woraus folgt, dab G~~-l) 9,, _ p , ~ - l ( p _ 1) --- p~-~ Elemente besitzt~ deren Ordnungen nicht grb/~er als p~-~ sind, w. z. b. w. Nun sei G,'~ irgendeine Untergruppe yon der Ordnung p,~-i der Gruppe G~~-~). Wenn G~ eine zyklisehe Untergruppe ist, so mu~ G" notwendig mit einer von den zyklischen Untergruppen der Re~e (1) iibereinstimmen. Warm nun G~ eine nicht-zyklische Untergruppe v o n d e r Ordhung p~-~ ist, so sind die Ordnungen ihrer Elemente nicht grSfler als lo m - 2 , folglich sind sie aUe in ~,Cv(m-9) .,-i enthalten, so da~ G'~-~ ~,(m--2) .~.~-I 9 Auf solche Weise haben wit bewiesen, da$ Jetzt wollen wit zeigen, dal~ auch % (G(~-l)) = 1 q- p

(s <~ m -- 2).

In der Tat, a11e Untergruppen yon der Ordnung p~ (s ~_~m - 2) sind in m-~ enthalten. Wenn dabei s < m - 2 is% so sind alle diese UnterG(m-~) gruppen in der einzigen nioht-zyklischen Untergruppe G(~m-~a) yon der Oralhung p~-~ der Gruppe ~m-x~(~-~)enthalten. Indem man so fortf~hrt, erhiilt man folgendes Resultat: s Untergruppen yon der Orclnung p~ (s ~ m -- 2) s + l VOI] tier Gruppe G~"-1) siad in einer nicht-zyklischen Untergruppe ~~(~) der Ordnung , + l enthalfen, folglich ist =

=

i +

V,

W. Z. b. w,

Also im Falle, daft die nicht-zyklische Gruppe G yon der Ordnung p " (p > 2) Elemente vonder Orclmmg io~ - I besitzt, wird die Kongruenz '

e

(v) = i . § p (rood

(1 =< s <

zur Gleichheit. w Jetzt wollen wit zar Betrachtung des Falles iibergehen, wo die Grappe G keine Elemente von der Ordnung p ~ - I enth/ilt. Nehmen wit an, dab G I und G~. zwei beliebige Untergruppen yon der Ordnung p ~ - i der Gruppe G sind. Ihr Durchschnitt sei D. Da Gx und G~ Normatteiler yon G sind, so ist auch D Normalteiler yon G, wobei, wie bekamat, die Ordnung yon D gleich p ~ - ~ ist. Die Fakt~rgmppe G / D yon der Or&aung p S i s t Abelsche Gruppe mad dabei vom Typus (20, p).7) Bezeiohnen wit ~etzt mit G1, G~. . . . . G~ ~) Burnside, Theory of groups, S. 127-128. Mat~emat~scheAnnalen. I04,,

51

782

A. Kulakoff.

alle versckiedenen Untergruppen von der Ordnung p ~ - i der Gruppe G, die D enthalten. Da jede diesex Untergmppen D ats Normalteiler enth~lt, so ist auf Grtmd des I-~Ifssa~zes yon w 1 die Anzahl dieser Untergruppen der A~zahl der Untergruppen yon der Orduung p in G/D gleich, so da~ x ~ 1 ~ p. Die Reihe yon 1 -]- p Untergruppem G1, G~. . . . , GI+ ~ werden wit ,Fundamentalreihe" nennen. Jetzt teflen wir alle eigenthchen Untergruppen yon clef Ordnung p~ ( l _ _ ~ s < m ) der Gruppe G in zwei Kategorien ein. Die Untergmppen yon der Ordnung p*, die wenigstens in einer yon den Untergruppen der Fandamentalreihe enthalten sind, wollen wit zur ersten Kategorie recimen. Zu~ zweiten Kategorie rectmen wit die Untergmppen yon der Ordnung p~, die in keiner von den Untergruppen der Fundamentalreihe enthalten sind. Die Anzahl der Untergruppen der ersten Kategorie bezeichnen wit mit u,, die Amzahl der Untergruppen der zweiten Kategorie mit u~, so dal~

(I)

e,(o) =

+ u:.

Es sei bemerkt, da~ alle Untergmppen der zwei~en Kategorie nicht-zy]dische Grappen sin& In den Untergruppen der Fundamentalreihe sind alle Elemente der Gruppe G enthalten. Daraus folgt, dab ]ede zyklische Untergruppe von G zur ersten Kategorie gehS~t, Iolglich ist jede Untergruppe der zweiten Kategorie nicht-zyklische Gruppe. Diese Bemerkungen werden wit spiiter benutzen kSnnen. Wit wollen zuerst die Form der Anzahl der Untergruppen der ersten Kategorie unte~suchen. w Indem wit den Satz I dutch IncluSion beweisen, nehmen wit an (w2), da~ er flit alle nicht-zyklischen Gruppen yon jeder Orclnung p ~ < p% p > 2, richtig ist. Wit wollen nun zeigen, daI~ unter dieser Voraussetzung die Kongruenz %---- l + p ( m o d p :) ( l ~ s < m) besteht. Nehmen wir zuerst an, daI~ s < m - 2 ist. Dann miissen wi~ zwei F~ille unterscheiden. 1. D ist eine lficht-zyklische Gmppe. Fiir die nicht-zyklische Gruppe D yon der Ordnung p " - ' a < p,, gilt der Satz nach Voraussetztmg, so das (1)

o~(D) ~ 1 q - p (modp ~)

(a < m -- 2).

jede der Untergruppen der Fundamentaireihe ist der Satz ebenfalls Ms rich~ig vorausgese~zt~ folglich

(i=1,

1 +p).

Anzahl der UnCexgruppen in ?-Gruppen.

783

Da D der Durchschnitt zweier beliebiger Untergruppen der Fundamentalreihe ist0 so ist offenbar i=l+p

%= es(D) -I-- .~ (Q~(G,)-- 0,(D)).

(3)

i=1

Aus den Kongruenzen (I) und (2) erh~t man

~,(O,)--Q,(D)~O(modp ~)

(i=t,

2.... ,l+p),

folglich i=-l+~

~Y (e,(G~) -- e, CD)) -~ 0(modp~"),

mad wit erhalten wegen (1) und (3) u,~- 1 @ p ( m o d p ~)

(s < m - - 2).

2. D ist eine zyklische Gruppe. In diesem FaUe enth~lt jede Untergmppe der Fundamentalreihe, da sie eine nicht-zyklische Gruppe v o n d e r Ordnung io" - ~ ist und Elemente yon der Ordnung p~-~" besitzt, genan 1 @ p Untergmppen yon der Ordnung ps (w 3). Die zykllsche Gruppe D enths nu_r eine Untergruppe yon der Ordnung p~, Iolglich

u -~l@p(l+p)=I+p+p~l+p(modp

~)

(s<:m--2).

Setzen wit ]etzt voraus, dab s ~ m - 2 ist. In diesem Falle, unabh~ingig davon ob D eine zyklische oder nicht-zyldische Gruppe ist, hat man i~1+~

(4)

u,._~ = 1 +

Z

(0.,-~ (G~) -- I).

Augerdem haben wir

(5)

e~_~(O,)=l+p(~odp ~)

O<--i~l+p).

~,,_~(G,)-- l ~ p ( m o d p ~)

(l ~ i ~ l - ~ p ) ,

Aus (5) zieht man also i=t+~

i=l+10

(0~_~ (O,) -- l) --~ 2 i=1

P:P+P~(mod?~),

i=1

woraus folgt {=l+p i=1

und wegen (4) urn_ - 1 + p (rood

Wenn schlieitlich s = m -

I, so ist es Mar, da~

u,~_l= I + p . Also, ist l g s ~ _ m - - I , (II)

so ist us~- 1 ~-p(modp~). 51"

784

g.

K~i~ko~.

w Wit wollen jetzt beweisen, dab mater der Voraussetzung des w 2 die Kongmenz -= 0 (moa 79 ) (1 _< s _< - 1) besteht.. Weam u~ ~ 0 (d. h. wenn die Gruppe G keine Untergruppe von (let Ordnung p~ der zweiten Kategorie besitzt), so wird diese Kongruenz zur Gleichheit. Nehmen wit jetzt an, dab u~' > 0 ist. Wit wollen zuerst den Fall s > 2 betraehten. G' sei irgendeine Untergruppe yon der Ordnung 798 der zweiten Kategorie; mit p*' bezeiclmen wit die Ordnung des Duxchsetmittes yon G' und D. Wit zeigen, dal~ s ' = s - 2. W~ire n~tmlich s ' < s - 2, so w~re die Ordnung der Untergruppe G'D (G'D ist eine Gruppe, da D Normalteiler yon G ist) gleieh was nicht mSgtieh ist. W~re nun s'~--s- 1, so wiirde die Ordnung der Untergruppe G'D gleich p~-~ sein, so dab G' in der Untergruppe G'D der Fundamentalreihe enthalten w~re, gegen die Voraussetztmg. ,Mso ist s ' = s -- 2. Hieraus foIgt, dal~ jede Untergruppe yon der Ordnung p~ der zweiten Ka+~egorie im~aer eine und nu~ eine Untergruppe yon der 0rdnung ?s-~ der Gruppe D enth~lt. Wit wollen ]etzt alle Untergruppen yon der 0rdnmag p~ der zweiten Kategorie in Systeme einteilen, indem wir zu einem System solehe Untergmppen rechnen, die eine und dieselbe Untergruppe v o n d e r 0rdnmag 798-~ der Gruppe D enthalten. Bezeiehaen wit diese Systeme mit X.,Z

......

L..

Die Anzahl der Untergruppen im System X~,, (1 ~ a' ~ a) bezeiehnen wit mit n,,,,, und mit atle verschiedenen Untergruppen, die dem System Xo,, angehSren. Wie wit eben bewiesen haben, kann eine und dieselbe Untergruppe yon der Ordnung 79~ der zweiten Kategorie nieht gleichzeitig zwei Systemen angeh6ren; hieraus fol~

Wir wollen nun zeigen, dal~ die Kongruenz besteht n a , , ~ 0 (modp e)

(1 ~ o ' ~ o; s ;> 2).

Mit he, haben wit die Anzahl der Untergruppen im System Xo,, bezeictmet. Wit wollen noeh einige weitere Bezeiehnungen einfiihre~

Anzaht der Untergruppen in ~0-Gruppen.

785

Ist D~_~ die~enige Untergruppe yon der 0rdnung :ps-~ der Gmppe D, welche in jeder Untergruppe des Systems Xo,~ enthalten ist, und ist eine Untergruppe yon der Ordnung p f (8 <: f) der Gruppe G, die D,-~ enth~t, so werden wit die AnzaM aller Untergruppen yon der Ordnung ~8 der Gruppe F, die D,-~ als Normalteiler enthalten, mit ~2,9,_~ bezeichnen. Die Anzahl aller Untergruppen yon der Ordnu_u~g l09 der ersten Kategorie, die D8-2 als Normalteflex enthaltel~, bezeichnen wi~ mit ~D,-~; die Anzahl de~ ebensolchen Untergruppen clef zweiten Kategorie mit a~_~, so da~ Wit zeigen nun, da~ D,._.o Ms Normalteiler in jeder Untergruppe des Systems X~,8 enthalten ist. Ist G Abelsche Gruppe, so ist unsere Behauptung selbstversti~ndlicl~ Angenommen nun, G ist nicht-Abelsche Gruppe und D~-e ist nicht als Normalteiler z. B. in der Untergruppe G~~ enthalten. Dann wiirde die Anzahl der Untergruppen yon G~~ die in g~~') mit D~_~_ konjugiert shad, grSger als 1 sein, und da D als Normalteiler yon G aUe mit Ds-~ konjugiel~n Untergnlppen enthalten mul~, so wiixde die Anzahl der Untergruppen yon der Ordnung ps-2 der Gruppe D, die in G~~') enthatt~n skid, grS~er als 1 sein, d.h. G~~') wiirde gegen die Voraussetzung eine Untergruppe der ersten Kategorie sein. Also ist Ds-s in jeder Untergruppe aus Xo, s als Normalteiler enthalten. Da au~erdem die Untergruppen des Systems X,,, die einzigen Untergruppen yon der 0rdnung pe der zweiten Kategorie shad, die D,-e enthalten, so ist Inclem wit dies in (I') einsetzen, erhalten wit

(I")

o~,D,_~ = ~ , _ ~ + no,,

(8 > 2).

n(o') den Durchsctmitt der Untergruppe G}~ Wir bezeichnen nun mit ~-i~ (1 ~ i~no,8) aus dem System X~,, und der Untergruppe Gk !1 ~k_~< 1 + p )

ae;

die O,a ung

D f'

D(a') i~ yon der Ordnung ~0*-~ ist in einer Unt~rgruppe G~, von tier Ordmmg p* der Gruppe G, enthalten. Man kann nun beweisen, da~ D , _ , als Normalteiler in G~, entha~ten ist und da~ G** nicht ha D enthalten ist. Wit setzen zun~Lchst voraus, cla~ G nicht Abelseh ist. Man bemerkt vor allem, dal~ D ~ '~ Normalteiler yon G** ist. W ~ e nun Ds-,~ nicht Normalteilev yon G~,, so mii~te D~ '~, die D,_~ enth~tt, aueh alle Unt~rgruppen, die in G,~ mit D,_~ konjugiert sind, enthalten, und da diese Untergruppen auch in D enthalten sein miissen, so wffrde die Anzahl cler Untergruppen von der Ordnung p*-~ der Gruppe D, die in D(~') ~ und also auch in G~~ enthatten sind, grSi~er als 1 sein, gegen die

786

A. Kulakoff.

Voraussetzung. Da ~,i~ ~(~') in D nicht enthalten ist, so is~ natiirhch auch Gk, nicht in D enthalten. Fiir Abelsche Gruppe G i s t der erste Teil unserer Behauptung evident; der z~wei~eTell folgt ~ie fiir die nicht-kbelsche Gruppe. Also ist bewiesen, dab jede Untergruppe der Fundamentatreihe Untergruppen v o n d e r Ordnung p8 besitzt, die nicht in D en~halten sind und die D~_~ als Normalteiler enthalten. Hieraus folgt, dal~ ist. Folglich ist immer o~_~ > 1, and a fortiori Die Ungleichung ~a,z~-~ > 1 auf Grund des Hilfssatzes yon w 1 und de~ Methode tier votlsts Indukiion zieht nach sich

(II')

e~,D~_~- 1 + p (rood po.)

(s > 2).

Wir wollen jetzt die Form der Zahl oD~_~ untersuchen. Es ist klar, dab oD~_~: 1 -~-p. Betrachten wit nun den Fall s < m -- 1. Nehmen wit zuerst an, dal~ ~o~,D,_~> 1 is~. Dann wird die Kongruenz bestehen ~oD,D~_~-~ 1 + p (rood p:). Wie oben bewiesen, besteht immer die Ungleichung ea,,~-~ > ~oD,~,_~

(1 _< i _< 1 + p),

und da nach Voraussetzung 01),9,-~ > 1 ist, so ist afortiori ea,,~,_= > 1

(1 _~ i_~ 1 + p).

O a ~ , D ~ _ ~ - - l + p ( m o d p ~)

(1_~ i_~ 1 + p).

Hieraus folgt, dab Es ist ersichtlich, dal~ o~_~ in der Form yon i=!+l~ i=1

d~rgestell~ werden kann. Indem wir jetzt wSrthch die Uberlegufigen yon w 5, die sich auf den Fall s < m - 2, D-nicht-zy~lische Gruppe beziehen, wiederholen, gelangen wit zur Kongruenz ~ ~- 1 + ~(modp'~). Nelmaen wi~ jetzt an, dab 0~),~,-~: 1 ist. Da immer Oa,,D,~ > OD,D~.-.~ ist, ~o mu~ auch in diesem Falle ~a,D~_, > 1 sein, so ~ wie friiher ea,,~,.-~ ==- 1 + p (mod p~).

Ferner exgibt sich, dab im vorliegenden ~alle i=l+~ /=1

Anzatd der U n t e r g r u p p e n in p - G r u p p e n .

787

Indem wit nun ebenso wie im Falle s ~ m -- 2 yon w 5 verfahren, erh~lt~n wit wieder

1+

(modp ).

Angenommen ~dlich, c1~$ 09,9~_,-~ 0 ist. Bezeichnen wit mit alle versehiedenen Untergruppen v o n d e r Ordnung p ' der ersten ]~ategorie, (s) die D~_~ als Normalteiler enthalten. Mit r~ ~tJ,, D wollen wit den Durchschnitt ~ , v ist yon Gi,s mad D (1 _< i g m~) bezeichnen. Die Ordnung jedes ~'(') gleich p~-l. Wit wollen zuerst beweisen, dab T) (s)

/ 5 (s)

.-, (s)

Wit nehmen das Gegenteil an und setzen z. B. voraus, dab D(*) 1,D =~ "~(~) -Ug,D

(i =F 1).

Die Unte~gruppe Ds-~. ist in jeder Untezgruppe der Reihe (cl) en~halten; dabei ist D,_e, die Gruppe yon der Ordnung p , - ~ Normalteiler jeder dieser Untergruppen v o n d e r Orctnung p*-~. Speziell ist D,_~ Normalteiler ~(~) woraus folgt, da~ D,-~ auch Normalbeider Untergruppen n(~) ~,~.D und lJ~v, (~) D i<*) teiler von Q a ~- - Dt 1.~, , ~" ist. Wean aber D ,.~=~=~-l.D (~) n(~) ist, so ist die Ordnung yon Qa nicht kleiner als ps. Hieraus folgt, dab D,_z als Normalteiler in einer Untergruppe yon der Ordnung p ' der Gruppe D enthalten sein mul~, was abet unserer Voraussetzung widerspricht. Also enthalten im vorliegenden Falle alIe Untergruppen yon (g) eine trod dieselbe Unter~'(*) --Ds-1 v o n d e r Ordnung p , - I der Gruppe D. gruppe JJ~,DEs sei Q die grSl3te Untergruppe der Gruppe G, die Ds-~ als Normalteiler enthiEl$. Jede der Untergruppen der Reihe (g) ist in Q enthalten; dabei Bind die Untergruppen dieser Reihe die einzigen Untergruppen yon der Ordmungp s der Gruppe Q, dieD,_ x enthalten. In der Tat, da D,_~ in D~_~ enthalten ist, so mug jede Untergruppe von Q, die D~_ 1 enthiilt, zugleieh auch D ~ enthalten, trod dabei als Normalteiler, denn D,_~ ist Normalteiter yon Q; abe~ keine der Untergruppen yon der OrOmmagp* der zweiten Kategorie kann D,_~ enthatten (w 6), folglieh sind dutch die Untergruppen der Reihe (g) alle Untergruppen yon der Ordnung p ' tier Gruppe Q, die D~_~ enthalten, erschSpft. Da dabei D,_~ als Normalteiler in jeder dieser Untergruppen enthalten ist, mad zv,~ > 1 ist, so ist (III')

ov,_~ ~ 1 + p (rood p'%

Also, ist 2 < s < m, so is~ die Kongruenz (III') in allen F~Uen erfiilIt. Inclem wit (III') von (II') subtrahieren, erhalten wit, mit Beriieksich~igung yon (I"),

0 (rood

(s > 2).

788

A. Kulakoff.

Diese Kongruenz gilt fiir behebiges o'=~_ o, also u'8 ~

. ~ nO P8 qP=J.

0 (rood pe)

(2
kul~erdem hat man (w 5) % ~ 1 + p (mod po) folglich Q,(G) = u s + u ; - ~

1 + p (modp ~

(2 < s
w Es bleiben noch die Fi~lle s = 2 und s = 1 zu untersuchen. Der Fall s = 1 ist der eirdachste. In der Tat, da alle Untergruppen yon der Ordnung p zyklische Gruppe sind, so gehSren sie alle zur ersten Kategorie (w 4), folglich ist u;-----0; und da u~ ~ 1 + p (modp ~) ist (w 5): so ist Wit wollen nun den Fall s = 2 betrachten. Ist w~= 0, so ist (w 5) ~ (G) = u.~ ~ 1 + p (modp~). -Nehmen wit nun an, da~ u~ > 0 ist. Bezeichnen wit mit H~ eine der Untergruppen yon der Ordnung p~der zweiten Kategorie. Die Ordnung des Durehschnittes yon H~ und D ist gleich p ~ - e = 1 (w 6), d.h. H e und D besitzen keine gemeinsamen Etemente auger E. Es sei nun bemerkt, da~ der Normalteiler D in einer Hauptreihe enthalten ist. Er enthglt infolgedessen einen Normalteiler P yon G yon der Ordnung p. Da P in H e nicht enthalten ist, so ist das System H e P = P H e eine Oruppe von der 0rdmmg p~. Dal~ H~ P die kbelsehe Gruppe vom Typus (p, p, p) ist, folgt daraus, da~ H: als eine Untergruppe der zweiten Kategorie nichf~zyklische (w 4) Gruppe ist und da~ jedes Element aus P zum Zentrum von G geh6rt s), und folglich auch zum Zentrum yon He P. Es ist klar, da~ H~zP zur zwei~en Kategorie gehSrt, woraus folgt (w 6), da~ die 0rdnung des Durchschnittes yon H~ P und D gleich p ist; dieser Durehsclmitt stimmt also mit P iiberein. Es gibt 1 + p + Ioe verschiedene Untergruppen yon der Ordnung p~ in der Gruppe H: p.0) Die Anzahl derjenigen Untergruppen yon der Ordnung p~", die P enthalten, ist gleich 1 + p (Hilfssatz yon w 1); Iolghch ist die knzahl der Untergruppen yon der Ordnung p~ der zweiten Kategorie, die in H ~ P enthalten sind, gteich pe. s) Bm'nside, Theory of groups, S. 127.

o) Davon kann ma,n sich fiberzeugon, indem man zeigto dab oz(H~P)= e~ (H~P).

Anzahl der Untergzuppen in T-Gruppen.

789

Setzen wit jetzt voraus, dal~ eine Untergruppe Hi vonder Ordnung 79"z der zweiten Kategorie existier~, die in H~ P nicht enthalten ist. Indem wir die soeben angefiihrt~n Uberlegungen wiederholen, kSnnen wit beweisen, dab die Anzahl aUer Untergruppea yon der Ordnung 1o~ der zweiten Kategorie yon G, die in der Gruppe H~ P enthalten sind, gleich p~ ist. Dabei ist keine dieser Untergruppen in H~P enthalten, weil sonst H i P m~t H~ P identisch ware. Die Gruppen H~P und H i P besitzen also im ganzen 2p ~ verschiedene Untergruppen yon der Ordnung 799 der zweiten Kategorie. Eine Fortsetzung dieses Verfahrens liefert offenbar das folgende Resultat: Die Anzahl aUer Untergruppen von der Ordnung p'~ der zweiten Kategorie ist gleich r p ~, wo r die Anzahl derjenigen Untergruppen yon der Ordnmag pS bezeichnet, die P mad gleichzeitig einige Untergmppen yon der Ordnung p~ der zweiten Kategorie enthalten. Also hat man u.~ = r p ~ = 0 (modp~); aul~erdem u ~ - - l + p (rood p~), folglich e,(G) = u.2 -~- u~ -- 1 ~- p (rood p:). Damit ist der Satz 1 vollstSndig bewiesen. In nahem Zusammenhang mlt dem soeben bewiesenen Satze steht folgender Satz 1". Gibt es in einer Gruppe G yon der Ordnung p " (p ~ 2) (p-Gruppe) Untergruppen yon der Ordnung p ~ , die eine Untergruppe G" yon der Ordnung p'~ (m~_~_ m~ ~ m) als Normalteiler enthalten, so ist die Anzahl dieser Untergruppen yon der Ordnung p ~ entweder gleich 1 oder ~ - l ~ - p (modp~). Wean G eine zyklische Gruppe ist, so ist die Richtigkeit dieses Satzes evident, wobei auch der Fall p ~ 2 nicht ausgescMossen ist. Wenn G eine nicht-zyklische Gruppe yon der Ordnung p~ (p ~ 2) ist, so Iolg~ unmittelbar der Satz 1" aus dem Satze 1 und aus dem Hilfssatze yon w 1. Andererseits, werm wi~ in der Bedingung des Satzes 1" G' ~ 1 setzen, so werden wit zum Satz 1 gefii3a~t, so dag de~ Satz I einen speziellen Fall von Satz 1" bfldet.

w Im Falle T = 2 ist die Indu]~ion unanwendba~, denn es enth~lt z.B. die Quaternionengrappe, eine nieht-zyldische Grappe yon der Ozdnung 2 s, nut eine Untexgruppe yon der Ordnung 2. Jedoch gilt ~ einige Typen yon Gruppen yon der Ordnung 2 " ein dem Satze 1 analoger Satz.

790

A. Kula~off.

Nehmen wit zun~chst; an, dab Ga eine nieht-zyldische Abelsehe Grappe yon der Ordnung 2 ~ ist. Es kann bewiesen warden, da~ die Anzahl der eigentliehen Un~ergrappen yon gegebener Ordntmg in der Gruppe Go kongruent 3 (rood4) is~. Wenn G~ Elemente v o n d e r Ordnung 2 ~ - I besitzt, so fist die Anzahl ihrer Untergruppen von jeder Ordmmg 2 ~ (1 ~ s < m) gleich 3. Speziell fist dies riehtig far die nieht-zyklische Abetsche Gruppe yon der Ordnung 2 ~. Wlr k5nnen also die Incluktion anwenden, indem wir den angefiihrten Satz mit ttilfe yon Uberlegungen beweisen, die den Uberiegangen der vorhergehenden Paragraphen analog sind. Auf Grund des Satzes 1 is$ die Anzahl der Un~ergruppen v o n d e r Orduung p* in einer nicht-zyldfischen Abelschen Gruppe yon der Ordnung p ~' Wenn wit diese Resultate vereinigen, werden wit zum Millerschen Satze gefahrt. Betrachten wir noch die Gruppe G~ yon der Ordnung 2 ~, we m ~ 4 ist, welche die Elemente yon der Ordntmg 8 nicht enth~ilt. Die Ordnungen der Elemente in den Untergruppen und Faktorgruppen der Gruppe G~ sind ebenfatls nieht grSt]er als 4. Ferner kann man sich unmittelba~ iiberzeugen, da~ in jeder Gruppe yon der Ordnung 2 ~, die Elemente yon der Ordnung 8 nicht enth~ilt, die Ar~zahl der eigentlichen Untergrappen yon gegebener Ordnung ~ 3 (rood4) is~. Also ist auch in diesem Falle die Methode der vollst~indigen Induktion anwendbar, und der Satz gilt far G~. Speziell ist cler Satz richtig fiir die Hamiltonsche Gruppe yon der Ordmmg 2 "~ (m :> 4). w Nach dem Theorem von Frobenius fist die Anzahl der Untergmppen der Ordnung p~ in einer Gmppe G von der Ordnung p~ 0 =<8 < (modis). Dutch UbeEegtmgen, die ihrem Wesen nach denjenigen analog sind, welehe wit beim Beweise des Satzes 1 anwandten (die Worte ,,kongruent 1 d- is modulo p~" werden iiberall dutch die Worte ,kongruen~ 1 modulo p" ersetz~ wexden miissen) kSnnen wit einen neuen Beweis dieses Satzes erhatten. von

w 10. Wie schon angedeutet worden ist, e~mSgliehen die S~ze yon ~obenius und Miller (siehe die Einleitung), den iolgenden Satz zu bewefisen: Sa~z 2. Die Anzahl aller F~lemente in einer nicht-zyldischen Gruppe G yon der Ordnung p '~ (p > 2), deren Ordnungen in p ~ au/gehen (1 ~ s < m ) , ist dutch p~+~ teilbar.

Anzah] der Untergruppen in ?-Gruppen.

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Der Kiirze wegen wollen wit ~olgende Bezeichnungen gebrauchen. Wit bezeichnen die Elemente yon G, deren Ordnungen in p~' ( m ' < m) au~gehen, mit e<~,). Nun sei n~(G) die Anzahl aller e(~,) der Gruppe G (d. h. die A~zahl Mler Elemente yon G, durch deren Ordnungen p~ teilbax ist) und ~ ( G ) die Anzahl der Elemente yon der 0rdnung p~. Vor aUem bemerkt man, da~ n~(G) folgendermal~en dargestellt werden kann

n~(G) -~ n,+l(a ) -- ~,+~(G)

(I)

(1 s s < m).

~Nach dem Theorem yon Frobenius ist n~+i(G ) dutch p*+~ teilbar. Gibt es in G kein Element v o n d e r Ordnung p~+~, d. h. ist ~+~(G) ~ 0, so ist wegen (1) folglieh ist n~ (G) durch p ~+l teilbar. Ist nun %+~(G) > 0, so ist nach dem Satze von Miller die Anzahl c~+~ after zyklischen Untergruppen yon G yon der 0rdnung p~+~ dutch p teilbar, so da~ c,+~-~ k p, wo k eine ganze Zahl ist. Nun hat man

=9(p

)c,+~-~p'+~(p--1)k,

d . h . %+~(G) ist dutch p~+~ teilbar; das gleiehe gilt also auch fiir =

-

v,+Ae).

Wir wollen jetzt einen anderen Beweis von Satz 2 anfiihren. Wir schicken folgende Hilfss~itze voraus. H i l f s s a t z 1. Wenn eine nicht-zyklische Gruppe G ~- G~r~-l) (w 3) yon der Ordnung p~ Elemente yon der Ordnung p ~ - i besitzt, so ist die Anzahl atler e(p,) der Gruppe G ~ -~) gleich p~.l. Ist s ~ m - 1, so ist offenbar //~(m--1)\ = ~gm = ~9(m--1)~-I

~-it~

)

Ist nun 0 < s < m - 1, so sind aUe e~,) yon G~~-i) in der einzigen -i yon G~~-i) yon der O~dnung p ~ - i nicht-zyklischen Untergruppe ~~(~-'~) enthalten (w 3). Ist dabei s < m - 2, so sind alle e(~ in der nicht~(~-~) enttmlten. Indem man diese zyklischen Untergruppe ,~-3) ,J~_~ von ~m-i Uberlegung fortsetzt, beweist man, da~ alle e(~,) von ~ in der nicht~ + l enthalten sind; also zyklischen Unterg~mppe ~(~)

n (Gs

=nA'G

(I=< <

W. Z. b . w .

H i t f s s a t z 2. Wenn der Du~chschnit~ D" zweier Untergru~en van der Ordnung ~ - i der Gruppe G = G ~ -~) ( w eine zytd~se~e G r u ~ is~, so ist no(O~" - ~ ) = ~,'+" (i ~ ~ < m -- 1).

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A. Kulakoff. Netmaen wi~ an, dab !

G~, G.~, 9 .-, G~§

diejenige Flmdamentalreihe (w 4) der Gruppe G(~~-~) darstellt, deren Untergruppen D' enthalten. Bezeichnen wit mit n,(G') die Anzatll alhr e(~,) in der Untergmppe G~. Auf Grund des Hilfssatzes 1 hat man

n,(G~) = p*+~

(1 g i _< 1 + p).

Nun beachte man, dag in den Untergruppen der Fundamentalreihe s Elemente der Gruppe G liegen (w 4); speziell sind in diesen Untergruppen alle e(~) der Gruppe G enthalten, folglich i=l+l~

,~

~=p'+

2: ( n , ( v , ) - p ' ) - = p ~ + ( l + p ) ( p - - - p ' ) =

i=1

~'+~,

W. Z. b. w .

Aus dem bewiesenen I-Iilfssatz folgt

~9 [m(m-e)x \~*m )

=

~.~(~,-~)a _ n s - - l k ~(n(m-~)~ ) m )

7bs~LTm

=

ps+~

--

ps+x = pz+X(p _ 1)

(l 2). Es sei G1, Go.. . . . , Gl+p eine Fundamentalreihe der Gruppe G und D diejenige Untergruppe von der Ordnung p ~ r a - - 2 , die in jeder Gruppe G~ enthalten ist. Die Fi~lle, wo die Gruppe G Elemente von der Ordnung p ~ - I besitzt oder wo G----~(~-~), D zyMische Gruppe ist, wuxden schon in den Hilfss~tzen 1 mid 2 erSrtert. Es bleib~ nur der Fall zu un~ersuchen, wo G kein Element yon de~ Orclnung p'~-~ besitzt und D eine nicht-zyklische Gruppe ist. Vor allem bemerken wit, daI~ in diesem Falle

Nehmen wlr jetzt an, da~ s ~ m - 3 ist. ~ die nicht-zyklische Gruppe D, ebemso wie flit die Untergruppen de~ FundamentMreihe gilt der Satz nach Voraussetzung, so daI~

und (8)

= k,p

Anzahl der Untorgruppen in p-Gmppen. ist, wobei k, k 1, k~, ..., kl+ ~ ganze Zahlen sind. Nun ist abet i=l+~

(4)

n,(G) = n (D) -t- Z, (n,(G~) -- n,(D)). i=1

Indem wit aus (2) und (3) in (4) einsetzen, erhalten wir

n,(G) = k ' p ~+1, WO i=l+p

k ' = k + iZ (k,--k), =l womit der Satz 2 vollstiindig bewiesen ist. M o s k a u , 5. August 1930. (Eingegangen am 11.8. 1980.)

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