337
1)ber lineare Randwertaufgaben der Potentialtheorie. I. T e i l . Von Josef Plemelj in Wien. Die meisten Randw~rtaufgaben der mathematischen Physik und der Funktionentheorie besitzen das gemeinsame Merkmal: daft die Randwerte der gesuchten Gebietsfunktion oder deren Ableitungen in der normalen Riehtung gegen die Berandung des Gebietes in den gestellten Bedingungen nut linear enthalten sin& Die Kenntnis einer aberall eindeutigen und im betrachteten Gebiete nur in einem Punkte nieht regul~ren GrandlSsung der vorgelegten Differentialgleichung und die Unstetigkeitseigensehaften der entspreehenden ,Potentiale" der einfaehen und doppelten Schich b ermSgliehen die Zurtiekffihrung der Aufgabe auf eine lineare Funktional- oder Integralgleiehung. Dureh diese Zuriiekf~ihrung hat F r e d h o 1m 1) die Potentialtheorie wohl yon jeder Sehwierigkeit~ die aus cler Kompliziertheit des Zusammenhanges der betraehteten Bereiehe bisher sieh ergab~ befreit; abet auch die der Irregularit~it der Begrenz~ng entspringenden wird hoffentlieh die Theorie der Integralgleichung in baldiger Zukunft beheben. Die Theorie des logarithmisehen und des Newtonsehen Potentials lassen einen vsllig analogen Aufbau zu; um in diesem Aufsatz die Analogie zu einer vollst~ndigen za maehen, werden einige neae gemeinsame Bezeiehnungen eingefiihrt. Der Betraehtung der Randwertaufgaben haben wir die grundlegenden S~tze der Potentialtheorie voraus~'esehiekt~ racist mit kurzer Angabe des Gedankenganges ihrer Herleitung~ wenn es nStig sehien~ die zu maehenden Voraussetzungen hervortreten zu lassen: oder auch bei nieht allgemein gelaufigen S~ttzen. In diesem Teile behandeln wit die dureh Einf[ihrung des Poinear6schen Parameters ~. verallgemeinerte erste und zweite Randwertaffgabe der Potentialtheorie. Beide Probleme betraehten wit' gleiehzeitig~ sic sind vom Standpunkte Fredholms yon einancler nieht wesentlieh versehieden, denn sic werden beide dureh dieselbe G r e e n s e h e Funktion gelSst. Das Reeiproeitatsgesetz dieser Greensehen Fanktion (Kap. 18) gibt uns ein Mittel in die Hand~ aus tier linearen Sehaar zu einer singul~ren k-Stelle gehSrigen Fundamentalfunktionen Poinear~s ein besonders zweekentspreehendes ,,eanonisehes" System auszuwahlen (Kap. 19). 1) Oefvers. af kong], vet. a~kad, l%rh., Stockholm, 1900.
338
J. Plemelj. I,
Das Gebiet tier Theorie des logarithmisehen Potentials (P. in der Ebene) and des Newtonschen Potentials (I?. im Raume) bilden alle die Differentialgleishung betreffsnclen Aufgabsn, in denen U(1)) eins zu sushende, f ( p ) sine als gsgebsn zu betrachtends Funktion der Koordinaten des Punktes p ist. Wie iblish, ist h U(p) die kttrzere Bezeiehnung far h U(p)--
O' U(p) , .0~ V'!~,) ~x ~ ~ -~f]
o-" ~70))
~u(p)-
0x,
+
in der Ebene~
a= ~Y(1)) I ~2 Uz'(p)
0~,"
~
im tlaume
Bezeielmet man die Distanz zweier Punkte p und q mit r~,,, 8O bildet bekanntlich sine partikulare LOsung obiger Differential-
gleiehtlng dis Funktion in der Ebsne 1
i
i l l ~ - l u n l o~
wobei die Integration beim logarithmischen Potentiale auf die gauze Ebene~ beim Raumpotential auf den Raam~ we f ( p ) yon Nail versehieden ist~ sieh bezieht. Die Bestlmmung der Funktion Uo (10 ist formell erledigt. Setzt man in ,.X U ( p ) ~ f ( p ) ~ um die allgemeine LSsung zn bekommen, U(I) ) : Uo (p) @ u (p), so geniigt ~, (?)) der homogenen Differentialgleiehung • ;~ (p) - ~ O.
Die Potentialtheorie kann demnaeh ohne Beeintriehtigung der Allgemeinheit auf die Betraehtung der Differenti~,lgleiehung A u (p) = 0 besehrgnkt werden. Sind zwei Funktionen U(p) und V(/~) in einem Gebiete mit ihren ersten Ableitungen regular~ d. h. sndlich and ststig nnd besitzt V(p) die zweiten Ableitungen~ dann lal~t sish das fiber das @ebist erstreekts Integral
/[OU 0 V.
~ U ~ V] ' ~ - Jr- ~ y ' ~ y j d ,:
in der Ebens
Randwer~aufgaben.
339
bekanntlieh durch folgende zwei Integrale
=_j
~ (9). d 9 ~) ~-;-
darstellen~ yon denen das erste tiber das gesamte Gebiet~ das zweite ~V fiber seine Begrenzung zu erstreeken ist. ~ ( 0 ) ist die Ableitung yon V(p) in der normalen Riehtung gegen den Punkt ~ der Begrenzung bei in das Gebiet (positiv) gerichteter Normale (normale Ableitung im Punkte 9). Setzt man in der obigen Formel U(p) = 1~ A V ( p ) = 0 so erh~lt man die Gleichung
r ~ v (o) . s o = o , j~-T
(~)
welche yon allen der Differentialgleiehnng A V (p) = 0 genttgenden samt den ersten Ableitungen regulgren Funktionen V(p)erfallt ist. Die Integration erstreckt sieh tiber die Begrenzung des Gebietes. Eine zweite wiehtige Eigenschaft der Fnnktion V(p) erh~lt man, wenn in der obigen Pormel U ( p ) - ~ - V ( p ) gesetzt wird. Es ergibt sieh~ dal~ das Integral
j (,,)= - f
(9)dg,
far welches wir konseqtlent die Bezeiehnung J(v) beibehalten Wollen~ far jede regulare Funktion V(p) positv ausf~tllt, es sei deml, dal~ V(p)ttberall konstant ware, in welehem Falle J ( v ) = 0 wird. Nimmt man beide Funktionen U(p) und V(2 ) so an, dal~ sie die Differentialgleiehungen A U (p) ~---0, ~ V (p) ~---0 befriedigen~ so folgt ftir dieselben die Eigenschaft (3)
f [ U(9)~ V
o
Die Gtfltigkeit der Formeln (1), (2)~ (3) erfordert die Existenz der normaien Richtung auf die Begrenzung" des Regularit~ttsgebiets yon U(p) und V(p). Die genaue Betraehtung" bei der Herleitung dieser Formeln 151~t die Riehtigkeit derselben an-oh dann noeh erkennen~ wenn die Normale in einzelnen Punkten nieht eindeutig bestimmt ist. 1) % ~}, t, s... sollen die Pmlkte anzeigen~welche in den Elcmenten d%
dr), dr, ds,.. liegen,
340
J. Plemelj.
Von besonderer Wiehtigkeit ist folgende t3 r u n d 10 s u n g der Differentialgleiehung A u (p) : 0 : 1 1 . lg in der Ebene g (P, q) = ;g(P~)
1 1 --.-2;; rpq
im l~amne.
Die Funktisn g (p, q) ist in jedem endliehen Gebiete saint den Differentialquotienten endlich und stetig~ die einzige Ausnahme maeht der im endlishen gelegene Punkt q. Setzt man g (P, ~) als U(p) in(3) sin und nimmt den Punkt q irgendwo im Gebiete an, so kann die Formel (3) erst angewendet werden~ wenn der Punkt q aus dem Gebiete herausgsnommen wird, indem nm demselben als Mittelpunkt ein kleiner Kreis bezw. eine Kugel gesehlagen wird und die Integration aueh fiber diese Kreisperipherie bezw. Kugeloberflaehs erstreekt wird. Berfieksiehtig~ man die Formel (1), so bekommt man ffir das Integral tiber die Kreisperipherie bezw. Kugelflaehe den Weft - - 2 V(q), indem man den Radius unendlish klein werden lal3t. Man bekommt demnaeh die Formel:
(4)
2
~(o)do-[-) v(~176176
= - (g ca, o) v
a u s d e r die Integration fiber die Kreisperipherie oder Kugelflashe ganz herausgefMlen ist.und die Integration nur auf die Begrenzung sines den Punkt q snthaltenden Gebietes~ in welshen V(p) regular ist, sieh bezieht. Die Formel (4) zeigt uns, dal~ jede Funktion V(p)~ welche der Differentialgleishung .~ V(p)=-0 entsprieht~ schon durch ihre Wsrte lungs der Begrenzung eines Gebietes und dutch ihre normalen Ableitungen im ganzen Innengebiete~ wenn sie daselbst mit ihrsn ersten Ableitungen fiberall regular ist~ vollkommen definiert ist Es ergibt sich ferner aus (4)~ dal? jede solehe Funktion schon dutch zwei Integrale ganz spezieller Form darstellbar ist. Diese beiden Integrale haben die Gestalt
V(p) = ( g
(p, o), (o) dO
w@) =j (o)~go(~
dO
und werden mit den Namen P o t e n t i a l d e r e i n f a e h e n S e h i e h t bezw. P o t e n t i a l tier D o p p e l s e h i s h t bezeiehnet; die Funktionen (8) und x (0) sollen ihre Belegungen heii~en. Die Potentiale V(p) und W(p) sind yon fundamentaler Wiehtigkeit und mtissen deshalb genauer untersusht werden; vor allem wollen 'wit uns aber die Bedeutung der Funktionen .9, (p~ q) und 0 9'~(~, n P) and deren Eigensehaften zm'eehtlegen.
Randwertaafffaben.
341
,
Die
GrundlSsung 1 lg
1
in der Ebene
.@ 1
1
Y (P~q) ~-----. 2~ rl,r
im Raume
definiert uns dureh Ableitung in der normalen Riehtung gegen einen Pankt q ~ ) der Begrenzung eine zweite wiehtige Funktion g (O,p)" welehe wir stets :nit h (0~p) bezeiehnen werden. Sie wird sieh folgendermal~en bestimmen lassen. Die Funktion g(p~q) ~ndert sieh nur.mit dem Radius r~,q. Es ist demnaeh
~q(2, q ! = ~ g ( p , q ) 8n 0 rp q
~rp~ 0n
and der Punkt q ist in der normalen Riehtung gegen den Punkt I) der Begvenz~ng r~icken zt: lassen. Es wird nan far lim q = t}
0 r ~ __ On
cos (%, rap),
wenn~ wie fiblieh, mit (ne, %p) der yon de:" Normale in I~ und d e m Radiusvektor raj, eingesehlossene Winkel bezeichnet wird. Wit haben de mnaeh h ('~bP ) -
cos (%, %~)
(~ ~) cos
hO, p) -
(%,
2=r~z,% /
in tier Ebene im Raume
and an dieser Bezeichnung h (0, t) werden wir aueh daan noeh festhalten: wenn tier Punkt p in einen Punkt t der Begrenzung abergeht, so dal3 atteh far Punkte r der Begrenzung die Funktion h (0, t) dureh h ~,O,t) ~-~
cos (%, %,)
in der Ebene
(G ~,)
l~(,%t)~definiert erseheint.
cos (%, %t) 2~r~
im Raume
342
!
/
J. Ptemelj.
N~thert sieh in (6b) der Punkt t) unbegrenzt dem Punkte t~ t so werden gleiehzeitig der Zithler und der Nenner beliebig klein. Um das genauere Verhalten yon h(~), t) in der Umgebung yon I ) = t zu erkennen~ erriehte man im Punkte ~) der Begrenzang die Normale nnd lege dureh diese ' nnd den Punkt t eine Ebene. Im Mittel\ \\ ,\ punkte der Distanz rat erriehte man \ \ , due Normal% welehe na in der Entfernung p yore Punkte D treffen sol1. Man hat dann
(7)
= 2,0 cos (%, %3
und der absolute Wert von 2 p liegt in allen regularen Punkten der Begrenzung f/ber einer endliehen Grenze. Man kann demnaeh schreiben 1 h (0~ t) - - 2 7: p in der Ebene (6c) 1 h (9, t) = 4 ~ O. r~ im Raume. In diesen Geiehungen ist p eine yon den Punkten 9 und t abhangige Funktion. welehe in keinem reguliiren Punkte der Begrenzung verschwindet und bei unbegrenzter Ann~therung der Punkte 0 und t in den Kriimmungshalbmesser des geod~ttischen Bogens 0t gbergeht. In der Theorie des logarithmisehen Potentials ist also die Funktion h (~ t)bei regul~irer Begrenzung allenthalben endlieh im Falle des Newtonschen Potentials kann das Produkt % t - h (~t) in regul~tren Oberfl~ichenpunkten nirgends unendlich werden. Far nicht regulate Punkte gilt die -Behauptung nicht~ da in (6b) der Nenner beliebig klein werden k~nnte~ ohne dag dies aueh ftir den Ziihler der Fall ware. Urn eine Deutung der Funktion h ({)~19) zu gewinnen~ nehmen wit um den Punkt I) ein Element d 0 tier Begrenzung. In tier Potentialtheorie der Ebene ist dO ein unendlich kleines Kurvensttie k, in der Theorie des ]~aumpotentials ein Oberflaehenelement um den Punkt ~). Die Ausdrtteke cos (%,
%,,) di~
rvqp
cos (%, %p) d r~
in der Ebene im Raume
343
Randwert~ufgaben.
sind die Projektionen des Elementes dO vom Punkte p aus auf den Einheitskreis bezw. Einheitskugel. Demnach ist das Integral
die Gesamtprojektion aller Element% tiber welehe sieh die Integration erstreekt~ yon iv a~ls auf den Einheitskreis oder Einheitskugel. Hiebei mulg noeh das Vorzeiehen der Projektion berfieksiehtigt und gleieh dem yon cos (%, rap ) genommen werden. Wit wollen den Wert yon
[h (~}~p)d~}bestimmen~ wenn
die
Integration sieh auf eine geseh~lossene sieh nirgends beriihrende oder durehsetzende Karve bezw. Fl~tehe bezieht. Bei tier Ableitung besehranken wir uns auf den Fall des Ranmes. Die gesehlolgene Oberfl~iehe ~ welehe yon irgend welchem Zusammenhange sein kann~ teilt den unendliehen Ramn in zwei Teile, deren einer ,der Aul~enraum" den nnendlieh fernen Punkt enthalt~ der andere ,der Innenraum '~ ist yon endlicher GrSl3e. Die Punkte q des Aul3enraumes sind aueh dadureh eharakterisiert~ dai3 die dureh dieselben gehenden Geraden die Fl~tehe ~ beiderseits yon q in einer geraden Anzahl yon Oberflaehenpunkten treffen; bei Innenpnnkten io ist die Anzahl der Durehsehnittspunkte beiderseits yon p eine ungerade. Es ist leieht ersiehtlieh~ dal3 jederseits des Punktes p oder q vom Dursehnittspunkte zum Durehsehnittspnnkte alas Zeiehen yon cos (n~, %~) bezw. cos (ne,%~) weehselt. Die Projektionen 2 ~ h (~}~q) d 9 yon einem Aul~enpunkte q heben sieh also auf und das Integral tiber die Oberfl~ehe ~ versehwindet. Wird ferner die Normale tiberall in das endliehe Gebiet positiv geriehtet, so tiberdeekt die Gesamtprojektion 2 ~ f h (1),p) d~} fttr i]
alle Innenpnnkte is die Einheitsknget gerade einmal. Das Integral
;
2 ~ h (~2) d ~} wird gleieh 4 ~. ~
Um aneh das Integral
2~[. h (I)~t) dD
Nr Oberfl~tehenpunkte
.(2
t zu bestimme~, erriehte man in t die Tangentialebene. Jene Seite der Tangentialeben% in weleher die yon t positiv gez~ihlte Normale verlanft, heil~e die positive Seite, die andere die negative. Die Anzahl der Durehsehnittspunkte einer dutch t gehenden Geraden mit ~2 ist auf der positiven Seite eine nngerade auf der negativen eine gerade.
Die Gesamtprojektion 2
=fh 0, t) d~)
tiberdeckt demnaeh
i]
f2
genaa die auf tier positiven Seite der Tangentialebene liegende Halfte der Einheitskugel. Das Integral 2 ~fh (~, t)d~d ist demnaeh in allen regalaren Oberflaehenpunkten t gleieh 2 ~.
3~4
J. Plemelj.
Eine ganz analoge Betraehtung li~l~t sieh in der Ebene anstellen. Wir habeu also den Satz: D a s t'tber e i n e g e s c h l o s s e n e B e g r e n z u n g ~2 e i n e s enctliehen Gebietes erstreekte Integral
.(h(O,p) dO=2_
ffir a l l e I n n e n p u n k t e
P
D
(8)
(h(~i,t) d~)---1
,,
,
regul~tren Randpunktet
/'h ([I~q) d ~}----~-O ,,
,,
Aul?enpunkte
t2
w e n n d i e N o r m a l e in d a s e n d l i e h e , , I n n e n g e b i e t :~ positiv gez~hlt wird. Ztthlt man die Normaie in das unendliehe Gebiet positiv~ so haben diese Integrale den entgegengesetzten Wert. .
Eine weitere Eigensehaft der Fun ktionen g (p, g) and h (~, p) bekommen wir, wenn wit' in (3) far U(p) and V(p) die Funktionen einsetzen u (p) = g (p, und die Punkte ql und q~ beide aut~erhalb eines endliehen Gebietes annehmen, um die Formel (3) ohne weiteres anwenden zu kSnnen. Ptihrt man tier Ktirze halber die Bezeiehmmg
(9)
g, (p, q) = ( g (p, o) h
q) d O
ein~ so erglbt sieh sofort ftir irgend welehe Aul~enpunkte ~qln d q2" Warden die Punkte qt und q2 beide innerhalb des Gebietes liegen, dann k0nnte man sie dutch 8ehlagen eines sehr kleinen Kreises bezw. einer K~agel um jeden der Punkte q~ und q~ Ms Mittelptmkt aus dem Gebiete entfernen und die Pormel (3) dadureh anwenclbar maehen~ dal~ man aueh tiber diese Kreisperipherien bezw. KugelflSehen integriert. Bei Beraeksiehtigung der Gleiehung (1) ergibt sieh unsehwer, dag die Integrale fiber die kleinen Kreise bezw. Kugelfl~tehen einander gleieh~ und zwar g (~l~ f~) werden und sieh in (3) aufheben. Wird demnaeh die Integration,q~ (q~, q2) nur tiber die gegebene Begrenzung erstreekt~ so gilt aueh ftir zwei Innenpunkte ql und q~ die Gleiehung gl (q~, q~) = gl (q~ ql).
Randwertaufg~ben.
345
Wenn nun p irgend einen Aul~enpunkt bedeutet, dann ist die Funktion Y (q,P) far alle Innenpunkte ~ regular und kann in (4) als V(q) eingesetzt wcrden. Es folgt g, @, q) -- gl (q, ~') = 2g (p, 9) dabei ist q irgend ein Innenpunkt~ p ein beliebiger Aul3enpunkt. Um diese Eigensehaft der Ynnktion Yl (P, q) aueh auf Randpunkte ausdehnen ztt kSnnen~ bemerken wir, dal~ zufolge der Definition (9) das Integral 9'1 (P, ~) in den Kdordinaten des Punktes p ein Potential der einfaehen Sehieht ist; in den Koordinaten des Punktes q ist es ein Potential der Doppelsehieht. Wir wollen bier yon einem spater za beweisenden Satze [Artikel 5, Satz (A) und Artikel 6~ Satz (a)l Gebraueh maehen~ wonaeh das Integral~ welches die Potentiale der einfaehen und der doppelten Sehicht definiert~ in einem Randpunkte t genau den Mittelwert seiner Werte in den zwei beiderseits der Begrenzung in unmittelbarer Nfihe yon t liegenden Punkten annimmt. Bezeiehnen wir mit t+ und t - je einen auf der Innen- bezw. Aui3enseite der Beg!4enznng unmittelbar am Punkte t gelegenen Punkt, so haben wlr naeh dem erw~thnten Satze 1
y [Yl (t+, q)@Yl (t-, q)] = y t (t, q) 1 Da t+ ein Innenpunkt~ t - ein Aul~enpunkt ist~ so geIten far alle Aufaenpunkte p die bereits abgeleiteten Formeln y~ (p, t+) --Yl (t+, p) = 2y (p, t+) = So (P, t) ql (p, t-) --r
(t-, P) = o.
Die Addition und Division dureh 2 gibt die Cxleiehung
,9'1 (P~ ,~)"7~1 (17 P) : ~ (P, t) ftir alle Aul~enpunkte p. Analog bekommt man far Innenpunkte q (% t) -
(t, q) = - - g (q, O.
Verfghrt man mit den letzten zwei Gleiehungen~ wie oben~ indem man far p und q die beiderseits des Randpunktes ~ gelegenen Punkte l)- und O+ nimmt und die beiden Gleiehungen addiert, so erhalt man noeh als letzte Erggnzung unseres Reziprozit~ttsgesetzes ftir & (p~ q) die Eigensehaft t) =
(t,
346
J. Pieme~.
Das Reziprozitatsgesetz kSnnen wit demnach im Satze zusammenfassen : Das Integral (10)
g, (p, ~) -.~ fff (p, O) i~ (~, q) dO h
erstreekt fiber die Begrenzang eines endliehen Gebietes, genfigt dem Reziprozit~ttssatze
g~ (p, ~) = g~ (q, p), wenn die Punkte p and q entweder beide im I~nengebiete oder beide im Aul3engebiete ocler in der Begrenzung liegen. Ferner hat man
g~ (e, ~) - ~ (q, 1)) - 2 g (p, q) gl(~,,t)--gl(t,p) = g(p, ~) ~,~ (q, ~) -
Das Potential
(11)
der einfaehen
v (p) = r e
Sehieht
(p, 0) ,~ (~) d O
in dem die GrundlSsung j (to, q) den .dureh die Gleiehung (5) definierten Weft besitzt~ bleibt in allen Punkten, welehe keinen der Elemente d{}, fiber welehe die Integration sieh erstreekt, unendlieh naherfieken, endlieh und_ stetig und sogar beliebig oft differenzierbar. Die Differentiation naeh den Koordinaten des Punktes p kann unter diesen Umst~nden ohne weiteres unter dem Integralzeiehen ausgeffihrt werden. Die GrN3e ,n = ..I (b L(l})d0
in de," Ebene
t12) '/77x ~
bezeiehnet man als Gesamtmasse odor Gesamtladung des Potentials V(p).. Das fiber ein Stfiek der Begrenzung erstreekte Integral f~(O) d{} sell dessen Oesamtbelegung genannt werden. Bei unbe-
Randwcrtaufgaben.
347
grenzt wachsender Distanz R des Punktes p veto Anfangspunkt des Koordinatensystems zeigt das Potential V ( p ) das Verhalten 1 V(p) = mlg~--}- u (t7) in der Ebene l
V ( p ) --~ m 9 ~--{- u (p) im Raume
und es versehwindet im Unendliehen die Funktion u(p) so, dal~ die Ortil~en R.u(p) in tier Ebene R ~.u(p)
im Raume
nicht unendlich werden. Das Potential V ( p ) sell nut dann im unendlich fernen Punkte regular heil~en, wenn m = 0 ist. Die Verh~tltnisse, welche eintreten: wenn der Punkt 2 der Begrenzung sich unendlieh ni~hert: erfordern eine genauere Betraehtung. Um Weitktufigkeiten zu vermdden, werden die Beweise nur ffir alas Raumpotential gegeben. Die Siitze gelten auch beim logarithmisehen Potential. Wir haben zuni~ehst den Salz (A). (A) D a s P o t e n t i a l (11) d e r e i n f a c h e n S c h i e h t i s t in j e d e r b e l i e b i g e n N~the d e s P u n k t e s t d e r Beg r e n z u n g ~ we d i e F u n k t i o n , ~ ( t ) e n d l i c h i s t ; s e l b s t endlieh nnd stetig und geht dureh die Begrenzung stetig durch. Die Endlichkeit des Potentials V (19) in der Oberfl~iehe kSnnte bei integrierbarer Funktion ~({)) nur desbalb in Frage kommen~ weft in der Umgebung des Punktes t der Oberflaehe die Funktion g (t~ g) beliebig groi~ werden kann. Dal~ das Integral (11) dennoeh en~Uieh bleibt~ kann folgendermal~en eingesehen werden : Man sehlage um den Punkt t als Mittelpunkt eine kleine Kugel veto Radius a. Diese sehneidet arts der Obert:ktche ein kleines Flaehensttick heraus, welches in reguli~ren I:'unkten t um so nigher einem Kreise veto Halbmesser a gleiehkommt: je kleiner a angenommen wird. Wird das Integral (11) nut fiber das aul~erhalb der Kugel liegende Fl~tehenstfick erstreckt~ so bleibt es endlich. Um zu zeigen~ dal~ anch das Integral abet das kleine kreisi~hnliehe Stfiek der Oberfl~iehe endlich bleibt~ bezeichne man mit r den Winkel zwisehen zwei Riehttmgen r t ~ nnd rt~ ~ und drtieke das Element d~) wic folgt (I3)
dt) ~ - A (t, ~) . d ~ . rt,~ d r ~ = d k .
r~,~ . drt~
in Polarkoordinaten aus, wobei die Intregation nach ~ nmso genauer das Intervall zwischen 0 und 2 7~ durehlguft, je kleiner a ist; dasselbe gilt yon k. Es wird bei dieser Darstellung A (t~) stets endlich bleiben und um so naher an die Einheit rfieken~ je
348
J. Plemelj.
n~ther aneinander die Punkte ~ und t liegen. Das Einsetzen des Wertes (13) in (11) zeigt, dal~ such das Integral tiber dss heransgesehnittene Plgchenstaek endlieh bleibt~ and zwar mit dem Kugelradius a beliebig abnimmt. Die Endliehkeit yon V(t) ist eine Folge davon. Der Weft yon V(t)lehnt sich nnn aueh an alle in der Umgebang yon t aul~erhalb der Flaehe liegenden Werte V(IS)stetig an. Diese Behauptung erfordert den Beweis, dal~ alas Integral
V(p)_V(t)__['~(O)
1
1 d~i=f,u(D}[rt~_l] d~
bei unbegrenzter Annaherung des Punktes p an den Oberflaehenpunkt t gegen Null abnimmt. Sehlagt man um t als Mittelpunkt eine kleine Kugel vom Radius a~ so wird dss Integral abet den aul3erhslb der Kngel befindliehen Tell der Oberfl~tehe mit abnehmender Distanz rtp beliebig klein~ und zwar unabhangig yon der Wahl des Kugelradius a~ wenn nut (tie Distanz r:~, im Verhaltnis zu a genagend klein~ sonst beliebig genommen wird. Das Integral fiber das kreis~thnliehe Flgehenstack nimmt~ well
- - 1 stets endlieh bleibt naeh 'dem bereits ~"tie
Auseinandergesetzten mit abnehmendem Kngelrsdius beliebig gegen Null sb. Es geht somit V(p) stetig in V(t) fiber. Da man nun vom PunktelS in anderer Riehtung zu snderen unendlieh nahe an t 1.!egenden Oberfl~tehenpunkten t~ gelangen kann und die Stetigkeit des Ubergangs von V(io) in V(t~) feststeh~, so geht aueh V(t) selbst stetig in V(t~) tiber. Die Stetigkeit und Endliehkeit ist also selbst lungs der Oberfl~tehe vorhanden; sie bleibt such bei unendlieher Annah.erung an nieht regul~tre Punkte der Oberflaehe erhalten. Uber die Ableitung des Potentials V(p) in normaler Riehtung gegen" den Punkt t des Begrenzung ksnn folgendes ausgesagt werden: Satz (B). Die normalen Ableitungen des Potentials (B) V(p) d e r e i n f a e h e n S e h i e h t e r l e i d e n an e i n e m r e g u l ~ t r e n P u n k t e t d e r B e g r e n z u n g ~ wo d i e Bel e g u n g }(t) e i n e i n t e g r i e r b a r e Punktion ist; S t e t i g k e i t s s p r t t n g e ~ w e l e h e d u t c h f o l g e n d e G-leiehungen gegeben sind:
1 [-~-(t-)@OV
(t+)l=/h(t,~}),a(D)d~).
~ lZ D a b e i w e r d e n m i t - 6 ~V- (t+) u n d ~]~-(t--) die (}renzweite tier n o r m a l e n
Ableitungen
auf
der
positiven
and
Randwertaufgaben.
349
negativen Seite der Normale im Randpunkte t bezeichnet. In einfaeher Weise kann dieser Satz fo]gendermafien erhalten werden, wobei wir uns anf das Raumpotential besehr~tnken. Man ziehe in einem Oberfllichenpnnkte t eine Normale und be: zeiehne mit t+ ~ und t -~ dig Punkt% welehe in der Distanz ~ und - - s von t in der Normale liegen. Die Normale in t wird mit st bezeichnet. Der Kiirze halber \-, t-' sollen die Distanzen des Punktes {} yon t+'~ -~. g t -~ nnd t der Reihe naeh ~h~ rs, r heifien. Wir ha ben dann
,~=.~ ,.~ + ~ -}- ~ e cos (n. ~) folglieh 0 rs. = r _~r,
- - r cos (nt, r)
woratls sieh wieder ergibt
o v (t+ 0 - - o v
o~
-aT(t+O = ~
1 ,f
~(~)
r oo~ (n~, r) - ~ d o
,'~
"
Es sind demnaeh folgende zwei Integrale zn nntersnehen
~V
1 f
On ( t - 0 - - ~
(,. r eos ('nt r) - - e
~(o) r
~.~
Wir bilden die halbe Differenz trod die halbe Summe
<,, r, (14) 21r'Vt ( -
-- ~n
/J
Bezeichnen wit mit h ~ dio GrSl~e
~ ] dl)-4-
D]','
350
J. Plemelj.
so haben wir die Entwieklungen 1 1[ rT=k=2.
3areos(nt, r)
1-{
,k~
1
]
@ ....
k'',
welehe wegen (7) bei jedem noeh so kleinen k bald s unter einer endliehen GrSl~e liegt. Man bekommt daraus 1
,
1
konvergieren,
so-
2
----.. - - =A-=g- t- ...
(16)
1
1
6 a r cos
(nt~ r) + " "
Die vernaehl~tssigteu Glieder haben zu den hingesehriebenen im Ganzen ein Verh~tltnis der Form A. s ~ bei tiberall enclliehem A. Wenn wir daher in (14) nut die ersten Glieder yon (16) einsetzen und finden, da~ s~tmtliehe Integrale sehon bei Voraussetzung eines endliehen ~(0) endlieh sind, so sind wit sieher, dal~ die vernaehl~tssigten Glieder Integrale liefern wtirden, welehe m i t ~ gegen Null abnehmen. Wir untersuehen also nur die Integrale
j
cos (.%
d
2::
III-IV=
3~ 1"
~eos(n~,r) d0,
1 / ' ~ (~1) r cos (n~ , r) d ~,
"j,
Aa
welehe aus (14) naeh Einsetzen der Ausdriieke (16) sieh ergeben. Das Integral I bestimmt sieh ~blgendermal3en. Um t sehlage man eine kleine Kugel yore Radius a. Das Integral I erstreekt nut tiber den aul3erhalb der Kngel liegenden Tell der Oberfl~ehe: bleibt endlieh und nimmt mit z gegen Null ab~ wenn man ca endlieh, wenn aueh noeh so klein~ nimmt. Innerbalb tier Kugel befindet sieh ein kreMthnliehes Stack (k) der Fl~tehe lind man kann naeh (13) in Polarkoordinaten um t setzen
d3=rdr.dk. Das Integral <18)
~o=j',~(~,),,,a ~,'d,' 2~z ka (k)
Randwertaufgaben.
351
welches tiber das kleine Fl~ehensttiek erstreekt wird, bleibt endlieh. Man bestimme bei festgehaltenem r die F u n k t i o n ' (19)
2i:
J
tiber die kreis~ihnliche Kurve (vom Radius r) integrierend. wird dann
Es
(20) o
Nun ist
0
Bedeuten g und G den k]einsten und grSl~ten ~u im Fl/iehenstt~ck (k)~ so haben wir aus (20) offenbar
(
")
(
yon ,~(r)
')
in (19) ist die Integration lungs der kreiss, hnliehen Schnittkurve mit einer Kugel yore Radius r zu erstreeken. Bei dieser Integration durehl~tuft~ wie die Betraehtung in (13) gezeigt hat~ k mn so gena_uer alle Werte zwisehen 0 und 2 ~ je kleiner r ist. Demnaeh ist ~ (r) ein Mittelwert aller l~ngs dieser Sehnittkurve liegemen Werte yon )~ (0). L~l~t man nun a gegen Null fallen und a gleichzeitig so abnehmen~ dal~
___~
noch unter einer be-
liebig kleinen positiven GrSfae liegt~ so sieht man~ dab I o bei diesem Ubergang% da es stets ein Mittelwert yon t* ({)) in der unmittelbaren Niche an "t ist~ in ~(t) selbst ttbergeht. W~tre dies ttbrigens nicht der Fall, so kSnnte man den Wert yon ~ (1}) i m Punkte t ohne weiteres dem hier sieh ergebenden Grenzwerte gleichsetzen ~ denn eine solehe Umanderung yon I9 (~) in einzelnen l:)unkten ~tndert am l:>otentiMe V(p) nichts. Wit ksnnen also immer sagen (21)
lira I = ~ (t).
Die Integrale H und I l I nehmen mit ~ zu Null ab. Um dies einzusehen, berticksichtige man~ dal~ in allen regul~ren Punkten t tier Oberfl~ehe naeh (7) gesetzt werden kann: cos (nD
=
r
und dabei bleibt I Pl stets tiber einer yon Null versehiedenen endlichen Gr(51~% bei unbegrenzter Anni~herung der Punkte {) und t Monatsh. flir Ma,thematik u. Physik. XV, Ja,hrg.
~3
352
J. Plemelj.
geht p in den Krfimmungsradius des geodtttisehen Bogens~g-t fiber. r Da. fibrigens naeh (15) i m m e r - ~ - < 1 ist~ finder man~ dal3 die Integrale /ar u n d III yon der Form s. A sind, bei nirgends unendliehem A; sie versehwinden also mit ~. Das Integral IV besteht aueh~ wenn man s == 0 setzt. Es wird dann gleieh ~')
C0S
do
F
(t, o)
(o) d
.
Die Differenz
1=j p, (O)'~e~ " (nt ' r) [1-- S ] d nimmt mit a gegen Null ab. yore Radius a~ so wird
Liegt ngmlieh 0 augerhalb der Kugel jr,3
1 --
3 62
A~--- t-=Z--@...
bei gentigend kleinem a beliebig raseh konvergierem der Kugel verfahre man folgendermafgen: Nan setze jr"
e o s ( n t , r ) = ~ - p,
Innerhalb
dg=dX.rdr
und bestimme bei festgehaltenem r das Integral
(22)
I
--Mr(t),
es wird dann der fiber (k)erstreckte Tell des Int-egrals 9gleich
IV--IV o
o
und dieses Integral~ welches bei end!iehem Mr (t) mite versehwindet~ ist v o n d e r Form (23)
I V - - I V o = a. ~)r
@...,
wo M(t) das Integral (22) im Punkte t, also for lira j r ' = 0 bedearer und die vernaehlassigten Glieder kIein yon hSherer Ordiaung in a Sin& Wir haben demnaeh gefunden~ dal3 die Integrale I b i s I V bei integrierbar vorausgesetzter Funktion ? (0) in allen regulgren Punkten, wo ~.(0) endlieh ist, selbst endlieh sind. Die Werte yon I / und IlI nehmen m i t e gegen Null ab. Das Integral I
Randwertaufgaben. konvergiert bei zu Null abnehmendem ~ gegen ~ (t) and gegen
;h(t~) ~ (~)d~.
353
IV
I n einem Punkte t, wo ~(0) Stetigkeits-
./
spr~inge zeigt~ ist ~(t) der Mittelwert aller auf einem unendlich kleinen Kreise am t liegender Werte yon ~ (0). Naeh Einhthrung dieser Ergebnisse in (14)erseheint / *der Satz B vollstandig bewiesen. Das Verhalten des Integrals t h (t, 9) } 0}) d ~ wird dutch fol? genden Satz bestimmt: S a t z (C): D e r W e r t d e s I n t e g r a l s
ist l~tngs d e r b e l e g t e n K u r v e o d e r F l ~ t e h e s t e t i g ; d i e D i f f e r e n z s e i n e r W e r t e in z w e i P u n k t e n y o n beliebig kleiner Distanz s hat mindestens den Kleinheitsgrad yon a [ I g a ] X e n d l i e h e GrSlSe. Beweis: Es seien t und t~ zwei in der Distanz s liegende Pankte einer belegten Fl~eh% die Normalen dasdbst seien n nnd n,~ die Distanzen der Punkte t und t1 yon einem Punkte 0 der Oberflsehe heigen r and r~. Zufolge der Definition (6b) ftir h (t~ I)) haben wir Nr die Differenz D des obigen Integrals in den Punkten t and tl den Ausdruek
Um den VVert yon D abzuseh~tzen~ sehlagen wir um t eine kleine Kugel (k) vom Radius a and es soll s gentigend klein sein, so daf3 ~a eine beliebig kleine vorgegebene Gr~13e nieht tibersteigt. Der Wert des Integrals D tiber das kleine kreisahnliehe Flaehensttiek innerhalb der Kugel (k) ergibt sieh dutch Betraehtung der tiber dieses Flaehensttiek erstreekten Integrale
2 1
cos
Fahrt man hierin um die Punkte t and t1 Polarkoordinaten ein und ber(ieksiehtigt das Unendliehkleinwerden (7) yon cos (n, r) and cos (n~, rl): so erkennt man, dal3 beide IntegraIe den Kleinheitsgrad (25) a X endl. GrSl3e besitzen und folglieh mit
a versehwinden.
354
x. Plemelj.
Um das Integral fiber die fibrige Ft~iche zu untersuchen~ bemerke man~ dal3 r~ rj und e Seiten eines Dreieekes sind. Die Projektiqn derselben auf die Normale n 1 gibt die Gleiehung r, cos (n~, ,'~) = r cos
(~, ~) - 5
~ cos 0'1,
~).
Demnaeh hat man (26@ cos (n, r)
cos (~h, r l ) _ 1 cos(n:r)
r' cos (,, , r)]
~cos0,1 ~)
Infolge der Regularit~tt der Flliche bilden die beiden Normalen n und ~h mit jeder Riehtung Winkel~ deren Untersehied den Kleinheitsgrad s der Distanz ihrer Ful3punkte t and t I besitzt.1) Man kann also setzen cos ( % r) =
cos
(,, ~) +
~A
und A bleibt endlich. Ftihrt man diesen Wert in kommt man
(26b) cos(,~,,0~.~ ~os~ (~, ) .~, . 1 = [oros~ . y(~, _ / r)~ ~_
(26a) ein~ so be-
~)__~ ,.~, ~] _ ~ cos. (~,, ~1~
Solange e gegen r und r I sehr ldein ist, hat
1-
den
Kleinheitsgrad " Das Einsetzen des Wertes (26b) in (240 zeigt r also~ dal~ jener Tell yon D~ weleher aus der Integration fiber das aul3erhalb der Kugel (/~) liegende Flaehenstfick hervorgeht~ bei festgehaltenem a u n d unbegrenzt abnehmendem ~ unendlieh klein wird wie s X endliehe Grille. Um soin Waehsen bei Verkleinerung des a u n d festgehaltenem s zu untersuchen~ berfieksiehtigen wir die GrSl~enordnung yon (26b) bei kleinem a. Es hat cos (n~ r) den Kleinheitsgrad des r~ cos (n, s)den yon s und 1 - - .
wird unend-
lieh klein wie--. Man bekommt~ sobald ~ gegen r sehr klein ist~ r
ffir (26b) die Gr~l~enordnung r~,
endliehe Gr013e
und die Einffihrung clieses Wertes fttr (26b) in die Gleiehung (24) zeigt naeh EinNhrung der Polarkoordinaten um t~ dal~ alas Integral D fiber die aul~erhalb tier Kugel (/~) liegende Fl~tche, wie (27)
e lg a M endliehe Grille
mit beliebig abnehmendem a w~tchst.
Setzt man a ~ a i ig s l~ so
wird die Bedingung, dag ~ unter einer beliebig vorgegebenen GrSl~e ct
1) Wit s~gen kurz: ~ hat den Kleinheltsg'rad yon ~, wenn bei unbeg'renzt 8 abnehmendem s der Q u o t i e n t - - n i c h t ins Unendliche w~chs~ E
Randwertuufg'abea.
355
liegt~ far gentigend kleine-: aufreeht erhalten und die GrSl~enordnung in (25) wird wiehtig wig die in (27). So finden wit alas ResuItat~ dal3 die Wertedifferenz D selbst den Kleinheitsgracl D -~- s ]lg e ] X endliehe Gr(St3e besitzt~ womit der Satz (C) bewiesen ist. .
Das Potential
der doppelten
Sehieht ,, . %
w(v)
(.s)
j
(u) h
d
77?; !' '~'
in dem die Fnnktion h (i)~_p) den dureh (6) definierten ~VVert hat~ bleibt in allen Pnnkten~ welche keinem der Elemente d D~ fiber welehe die Integration sieh erstreekt~ unendlieh nahe rficken: endlieh und stetig und sogar beliebig oft differentiierbar. Die Differentiation naeh den Koordinaten des Punktes _p kann unter diesen Verhgltnissen unmittelbar unter dem Integralzeiehen geschehen. Bei unbegrenzt waehsender Distanz R des Punktes p vom Koordinatenursprung zeigt das Potential W(p) das Verhalten~ daf~
R W(p) in der Ebene R ~W(p) im Raume~ endlieh bleibt. Das Potential I/V (p) versehwindet also im unendlieh fernen Punkte. Die Verhaltnisse, welehe eintreten~ wenn der Punkt p einem Elemente d{)~ fiber welches dig Integration in (28) sieh erstreekg sind denen des Potentials V(p) der einfaehen Sehieht sehr analog. Wit werden aueh hier die Beweise nur far das Ranmpotential geben. Die Satze gelten wieder aueh far alas logarithmische Potential. Es sei bemerkt~ dal3 zur Gtiltigkeit folgender S~ttze die belegte Kurve bezw. Flgche nieht gesehlossen zu sein braueht. Zuniiehst gilt der Satz (a): D a s P o t e n t i a l d e r D o p p e l s e h i e h t W(p) erl e i d e t an e i n e m r e g u l ~ t r e n P u n k t e t d e e B e g r e n z u n g , wo d i e B e l e g u n g x(t) e i n e i n t e g r a b l e F u n k t i o n ist, S t e t i g k e i t s s p r f i n g % w e l e h e d u r e h folgende zwei Gleiehungen gegeben sind:
(29)
J. Plemelj.
356
Dabeiwerden m i t W(t+) a n d W(t-) d i e G r e n z w e r t e y o n W(p) a u f t i e r p o s i t i v e n und negativen Seite der Normale in t bezeiehnet. I
Beweis: Man ziehe im Oberflgehenpnnkte t eine Normale nt und bezeiehne mit t+ ~ und t -~" die auf der Normale in den Distanzen -4-s und - - s yon t liegemen Punkte. Die Potentialwerte hei~en W (t+~) und W(t -~) und r, rl, rs sollen tier Reihe naeh die Distanzen der Punkte t, t+*: t - * yon 0 heil?en. g s folgen die Gleiehungen:
I
% cos (~a, r ~ ) = r cos (he, r)---: cos ("a, n,). Die so erhaltenen Werte for cos (se, rl) und cos ( ~ , r~) sind nun in die Potentiale W ( t + ~) und W ( t - Q einzuftihren und dann der Grenzgbergang auszuNhren. Dies tun wir dnreh die Bestimmung der Ausdrtieke: 1
[1
1
11
'/ ~.(o) co, (,.~,~,,,,) (~ - - ~ '1 d~
-1[ w(~+~)2 + w(~-~)J=~; 1 "
Wit setzen wie bei der analogen Untersuehung des Potentials V (p) ~s =
r s -4- ~s
and fahren unter die Integrale die Entwieklungen 1
1
~
1
2
I __ 6 r a cos (n~, r)
,'~
~
~....
ein~ wobei wir uns, wie oben~ nm' auf die ersten Glieder besehr~tnken k~nnen. Zu bestimmen sind folgende Integrale:
357
Randwertaufg'aben. S
cos (n~, n,). ~-/. dO, Ir =
'z~3~. j
(o) r ~ cos (n,, r) cos (n~, r) dO A5
(30) 1H= ~-
x (0) cos (n~, n~)-
IP~ COS (nt~ le)
1 f x / ~ r cos(n~, r) . d O . I V _ _ 27r "-J-- h a Das Integral I i s t yon derselben Form wie das ebenso be,zeichnete des vorigen Artikels. ]3ei Anniiherung des Punktes 0 an t konvergiert cos (n~ hi) gegen Eins. Es hat also ] die Form lim T---- x (t), Um H und I1[ zu bestimmen~ setze m a n r
g
ein. Pa und % liegen stets fiber einer ondlichen Grenze und werdon beide bei unendlieher 0N~iherung der Punkte t u n d 0 dem Krfimmungsradins des geo&ttischen Bogens t{) zustreben. Bei I [ I bertieksiehtige man~ dal3 r cosAs (st, r) stets endlich bleibt. Es ergibt sich leieht, dal3 1[ und I I I yon der Form A~ sind, mithin mit ~ verschwinden. ~ Das Integral I V existiert selbst~ wenn man yon vornherein e - a 0 setzt und nimmt hier~ wegen h ~ r~ den Wert an
fro =.(-~ (o) h (~, t) dr: Die Differenz
ist, wie die gleiehbezeichnete Grsi~e des vorigen Artikels yon der Form ~ v - - ~Vo = ~ . i (t) + . . . nnd verschwindet mit a. Der Grenzfibergang ffir ~ ~ 0 ist also ausfiihrbar. In der normalen Riehlung strebt das Potential W ( p ) auf beiden Seiten der Oberfl~tche stetig gegen je einen ganz bestimmten endliehen Grenzwert. Da, wie der Satz (c) zeigen wird, 1--[W(t+) @ W(t-)] li~ngs der Oberfl~ehe stetig ist, so ist die Stetig2
358
J. P l e m e l j .
W(p)
keit yon aueh auf jeder Seite in jeder Riehtung vorhanden~ wo dieses yon der Funktion x (~) gilt. Von den Ableitungen des Potentials der Doppelsehicht in der normalen Riehtung gegen die Begrenzung des Gebietes gilt folgender
W(p)
S a t z (b): B e i V o r a u s s e t z u n g eines abteilungsweise s t e t i g e n z(0) g i l t f a r d i e n o r m a l e n A b l e i t u n g e n d e s P o t e n t i a l s W@) d e r D o p p e l s e h i e h t die Gleiehung
[~W
(31)
~W.
.1
~=olim ~ - (t+~) -- ~ - (t-)J : 07
m S g e n d i e GrSl3en
~'-(t+~)on - _ und
OW O n (t-~) s e l b s t
s~---0 e n d l i c h s e i n u n d b e s t i m m t e n zustreben oder nieht.
ffir
Grenzwerten
DW %--W(t+ n - 0- und ~-n (t- ~) sind die Ableitungen yon
W(p) in
der Riehtung der dureh den Oberfl~ehenpunkt t gehenden NormM% wenn~ wie bisher~ dutch t+ ~ und t -~ die za beiden Seiten der Fl~che in der Entfernung ~ liegenden Punkte bezeichnet werden. Dem Satze (b) gem~l~ kSnnen die Grenzwerte yon
O~t -
-
und-~
(t-Q
nur gleiehzeitig existieren und sind dann auf beiden Seiten der Flache gleich. Den Safz beweisen wir in folgender Weise: Es
war
J
rl~
wobei
~'~= ~Nun ist
r~' +
.o~ - - 2~'~ oos ( n , , ~')
~W(t+~W[t+~l
also
0~
359
Randwertaufgaben.
Verfshrt man wie bisher fiblieh~ so hat man folgende Integrale zu untersuehen :
(32)
ow
~n (t+9 - - ~
ow..
(t- ) =
----3~fx--~--j (9) [cos(,'~.o,n,) (i -582\~-)@5 r~e~ (no r)e~ (n'%A~ r)l reos(nt,r)dl}A 5 Ices
<,,,, r)-
(,,o, ,,)l
+...
Die weggelassenen Glieder sind ffir die Untersuehung unwesentlich. Das Integral
I=
/',~ (0) cos (n~, n,) 1 - - ~ / .
A~
d9
kann folgendermagen abgeseh~ttzt werden. Das Integral~ erstreekt fiber den aufierhalb einer kleinen Kugel yon Radius a liegenden Teil~ wird yon der Form 8
~X
endliehe Funktion
sein und kann mit ~ unendlieh klein gemaeht werden. Im kreisahnliehen Oberfl~tehenstfiek ffihre man um t Polarkoordinaten ein, indem man setzt
d{)=rdr.d~.,
cos
r (nt,r)=~
Man bekommt
far das Integral den Ausdruek
fz({t)
-3e -g-j~-
[1--Sa~] A~ J -r3"/r X~"
cos (,~, n,) [
d x.
Bei festgehaltenem r bilde man nun das Integral fiber die kreis~hnliehe Kurve um t
Mr(t)= f ,~ (o) eo~ (,~, n,) . dx.
2p~
und dieses wird ein Mittelwert aller im Kreise um t liegenden Werte yon-
sein. Es bleibt also das [ntegra! P
a
I= 3 ~fM,(t)I1--5S] ,-~drS~ 0
zu bestimmen. Wenn • (I)) abteilungsweise stetig ist, dann gibt es
360
J. Plemolj.
M(t) yon M,, (t) fiir lira r - - 0 ; man kann identiseh
einen Grenzwert sehreiben a
I=3sM(t)
(/,
1--~j~-~-3~ 0
M,,(t)--
1-- A2 j ~
0
Nun ist
also (~
0
weleher Ausdraek unendlieh klein wird mit Aa . absolut griSl~te Wert yon M T ( t ) -
M(t) innerhalb der Kugel, dann
5e 2 isg gewil~, well im Integrationsgebiet 1 - ~ - s k i n g
abs3a f [
Sei nun y der Zeiehen itndert
g
M~(t)--M(t)] [1 - - A5a-2] 2 ] ~ -r~dr s
l a b s [ 1 - - ~ - ] ~r3d" g 9
0
0
Man bekommt a
-- , ~ /
a~ = g L25V~
(1/a~-+p)~]
9
weise
Ist die Funktion x (/)) in der Umgebung yon t abteilungsstetig, daun ist lira [Mr(t)--M(t)] offenbar Null, ufithin r~0
wird das Integral 1 selbst far a = 0 verschwinclen. In derselben Weise findet man~ dal~ unter den gleiehen Bedingungen tiber x (l)) die beiden anderen Integrale in (32) mit ~ gegen Null abnehmen~ womit tier Satz (b) bewiesen ist. Bei der Untersuehung des Wertes
0 w (t+ ~) - ~ - ~
(t- ~
zeigt es sich, dal~ die Voraussetzung der Stetigkeit der Funktion z (~) zur Existenz eines endliehen Grenzwertes ftir ~ ~ 0 nieht hinreicht. Der folgende Satz gibt uns Aufschlul~ tiber das Verhalten des Integrals jz, (0) h ({},t). d i}
361
Randwertaufgaben.
S a t z (c): D e r W e r t d e s I n t e g r a l s 1 [ w(t+) § W (t-)] = / z ( 0 ) hO, t) d~ ~i s t liings d e r b e l e g t e n K u r v e o d e r F l i i c h e s t e t i g ~ d i e D i f f e r e n z s e i n e r W e r t e in z w e i P u n k t e n y o n beliebig kleiner Distanz ~ hat mindestens den Kleinheitsgrad yon s[log~IXendliehe
Grille.
B e w e i s : Es seien t Lind t~ zwei in der Distanz liegende Punkte der belegten Flach% die Distanzen der Punkte t und t 1 yon einem Flaehenpunkte ~ seien r und r 1. Zufolge der Definition (6 b) yon h (5~ t) haben wit ffir die Differenz D des obigen Integrals in den Punkten t und t 1 den Ausdruek (33)
D=
1
/[cos(ha, r)
2~J[
e~
r ~
'rl)]z(i))di). r 1
j
Um den Wert yon D abzuschatzen~ schlagen wit um t eine kleine Kugel (z) yore Radius a und es soll ~ gentigend klein sein, so dal~ ~-6~ noeh eine beliebig kleine GrSl~e nieht fibersteigt. Der Wert des Integrals D fiber das kleine kreisahnliche Flachensttick innerhalb der Kugel (z) ergibt sich durch Betrachtung der fiber dieses Flachenstfick erstreckten Integrale
(k)
(k]
Ffihrt man bez~glich um die Punkte t u n d /1 in diesen Integralen Polarkoordinaten ein und ber~ieksiehtigt das Unendliehkleinwerden (7) yon cos (na~ r) nnd c o s ( n ~ rl) ~ so sieht man~ dab beide Integrale yon der GrSl~enordnung a X endliche GrSl~e
(34)
sind und folglich mit a versehwinden. Um das Integral tiber die tibrige Flaehe zu tmtersuchen~ bemerke man, daft r~ rj~ e Seiten eines Dreieekes sind. Die Projektion derselben auf die Normale na gibt die Gleichung
Man kann demnach setzen
(3s) ~0s
(.~ ~) r~
cos (~, ~,)_ cos (~, ,.) (~_ ~ / ~eos (.~, ~) ~'~ -r~ "\ rUr~
362
J. Plemelj. Solange nun die Seite s gegen r und r 1 genagend klein ist~
hat 1 - r~ den Kleinheitsgrad r"
Das Einsetzen des Wertes (35)
in (33) zeigt als% da$ der Teil yon D~ weleher aus der Integration tiber das aul3erhalb der Kugel liegende Flachensttiek hervorgeht, bei festgehaltenem a mit unbegrenzt abnehmendem z versehwindet. Urn sein Wachsen bei Verkleinerung des a zu untersuehen~ ftihre man um t Polarkoordinaten ein und bertieksichtige die Gr~genordnung yon (35) bei sehr kleinem a. Es hat cos (n~, r) den Kleinheitsgrad yon r u n d cos (n,~ a)ebenfalls~ da a gegen a noeh zu vern~tehl~tssigen ist. Polglieh ist (35) yon tier Grbl3enordnung g
r--~X endliehe Gr~ge und die Einhihrung dieses Wertes ftir (35) in die Gleiehung (33) zeigt, dal3 bei beliebig abnehmendem a das Integral D tiber die aul3erhalb der Kugel liegende Flitch% wie (34 a)
s lg a X endliehe GrSge
waehst. dal3 ~
Setzt man also a = s [ l g a [ ,
wodureh die Bedingung~
beliebig klein sein s011~ atffrechterhalten wird~ so ist die
Grsl3enordntmg (34) wichtig wie die in (34a) und wir haben das Resultat, dat3 die Wertedifferenz D selbst yon der Form D = ~. [lg ~.1. X endliehe Grsf~e ist. Dies ist die Behauptung des Satzes
(c).
o
Wit wollen hier einen Satz ausfahren~ yon dem wit in der Folge wiederholt Gebraueh maehen mtissen. Er lautet: E r s t r e e k e n s i e h d i e I n t e g r a t i o n e n t i b e r dass e l b e g e g e b e n e G e b i e t ~ (Flitch% K u r v e ~ Raum)~ so i s t s t e t s
wenn die belden Integrale
im g a n z e n G e b i e t e als F a n k i o n e n y o n {~ bezw.{)~ i n t e g r a b e l sind~ s e l b s t w e n n t i b e r a t l d i e F u n k t i o n f(~10~) b e i u n b e g r e n z t e r Ann~herung der P u n k t e ~ a n d ~2 u n e n d l i c h w a e h s t .
Randwertaufgaben.
363
Der B e w e i s kann tblgendermal3en gefahrt werden: wobei wit ans auf den Fall yon Fl~tehenintegralen besehri~nken: Man denke sieh si~mtliehe in der Fl~tehe fix gelegenen Punkte, wo die Funktion f(01 0~) unendlieh wird~ dutch Heraussehneiden endlieher, abet beliebig kleiner Flsoehenstfieke aus der Fl5ehe entfernt und erstreeke die Integrationen tiber das fibrige Gebiet. Nun teile man die Flaehe in eine sehr grof~e Anzahl yon Elementen 8 1},die in jeder Riehtung im Vergleieh zu einer vorgegebenen positiven Zahl a, welehe tibrigens beliebig klein angenommen werden kann: jedoeh als lest zu betraehten ist~ noeh beliebig klein sind. In jedem dieser Elemente 80 fixiere man einen festen Punkt {1 and bilde die Summen
2 f(01 02) ~ ~')) }OE//(0i 02) ~ 01) .O.--k .._ welehe alle Elemente B0 umfassen, in denen die fixierten Punkte 01 und 02 in f(01 {)2) voneinandereine grtil3ere Distanz als a haben. Offenbar gehen diese Summen bei festgehaltenern a and bei unendlieher Verkleinerung der Elemente g I) in die Integrale fiber
f/(o o.) d0., f/(0 o.) d0 , ~2--1c
f2 ~--k
in denen die Integration sieh fiber das ganze Gebiet erstreekt, welches aul3erhalb tier um den Punkt 01 bezw. 0~ mit dem Radius a gesehlagener Kugel (k) liegt. Nun gilt sieher
2a01 / ~ / ( ~ } 1 0 2 ) ~ 2 = ' ~ 0 2 s
Q - - lc
Q
"~f(0102) 801. .Q -- k
Dies sind nur versehiedene Gruppierungen derselben Summanden. Der Grcnzfibergang liefert die Gleichung
(.2
~--k
(.2
.O--k
welche bei jedem a strenge gilt. Nun ftihre man einen Grenzfibergang aus~ indem man den Kugelradius a unbegrenzt abnehmen l~l~t. Berticksichtigt man, dal~ anch in den fix gelegenen singularen Stellen die Funktion integrabel ist, dal~ mithin die aus der Fl~tehe ursloriinglich entfernten Elemente unendlich klein gemaeht werden k~innen, so erhMt man den behaupteten Satz fiber die Vertausehung der Integrationsfolge. Die Integrale sind fibrigens in der Potentialtheorie stets an den Stellen: wo die integrierte Funktion unendlieh witehst~ als solehe Grenzwerte zu betraehten~ die sieh ergebenwenn die singuliiren Punkte unter dem Integralzeichen dutch Herausnahme eines unendlieh kleinen Sttiekes entfernt werden.
364
J. plemelj. .
In diesem Abschnitt beweisen wir den Satz: Bei unbegrenzterAnn~herung desPunktes t~ a n e i n e n r e g u l ~ r e n P u n k t t2 e i n e r F l ~ c h % k a n n das ~ber dieselbe erstreckte Integral __ f E n d l . F u n k t . . dO
--J
(36) nieht
st~trker waehsen
als einAusdruek
lgrtLt ~ X e n d l i c h e
derForm
Grille.
Das Integral (37)
i2
/Endl.
F u n k t . lg r~t ~ . d {)
bleibt selbst bei unendlieher AnnS, h e r a n g der P u n k t e t 1 u n d t~ e n d l i e h . Liegen beide Pankte t I and t 2 in endlicher Entfernung voneinander~ so sind die Integrale (36)and (37) naeh dem Bisherigen gewil~ endlich. Sei nun die Distanz rtLt~ eine sehr kleine GrN~e 2e. Wit legen dann dureh die beiden Punkte t 1 and t~ eine Ebene, indem wir sie etwa aueh dureh jeden unendlieh fernen Punkt gehen lassen, welehen die Tangentialebenen in t 1 und t 2 gemeinsam haben. In dieser Ebene konstruieren wir ein System konfokaler Kegelsehnitte um t 1 and t~ als Brennpuv, kte. In der unmittelbaren N~the d er Punkte t 1 und t 2 sind die konfokalen Ellipsen Prqjektionen yon ellipsen~hnliehen Kurven der Oberflttehe auf unsere Ebena. Das Integral~ erstreekt fiber das aul3erhalb einer selehen ellipsen~hnliehen Kurve liegende Fl~tehensttiek, ist endlieh auch bei unendlicher N~herung der Punkte t 1 trod t~, wenn die Aehsen der projieierten Ellipse endlieh~ wenn attch noah so klein genommen warden. Das Integral fiber das innerhalb der Kurve liegende kleine Fl~chenstttek ist vergleiehbar mit dem Integral
f,2%, welches ~iber unsere Ellipse in der Ebene erstreekt wird. Dieses letzte Integral lttl~t sieh nun leieht auswerten. Die Ellipse soll die I-Ialbaehsen ao~ bo be sitzan. Nun ffihran wit dureh x=cteos~,
a~=e~@b 2
y --=- b sin % in alas Integral elliptisehe Keordinaten ein, indem wir b das Intervall von 0 bis bo, q) aber yon 0 bis 2~ durehlaufen lassen. Nun ist
365
Randwertaufguben.
dl)=dx.dy=
Oy
db.d~=
a
9db.
d?,
ferner nach einer bekannten Eigensehaft der Ellipse rt, ~ = a - - e cos ~, rt~r = a -[- e cos ~? mithin
ffdb.dw2=fVdb, b o 2.~:
f a ~ r t~, / . .
--
b0
a
o
e ~
o
Bei festgehaltener Ellipsenaehse das Integral
f
- - 2 r: lg a~176
o
d~
bei unbegrenzter
a o oder bo wird demnaeh Annliherung
der Brenn-
J ? ' t LO~ ?'v~t~
punkte t 1 and t~ wie - - 2 ,': lg r~l r~ waehsen und dasselbe gilt vom Fliiehenintegral 4 . Das Integral I~ ist endlieh, denn das fiber eine beliebig kleine die Punkte t 1 und t 2 enthaltene Fliiehe erstreekte Integral ist endlich. Das Integral 12 l~tt~t sieh mit dem fiber ein ebenes Stfick erstreekten lg rt, ~. d~
f
vergleichen. Ffihrt man in der Niihe des Punktes t 2 Polarkoordinaten elib indem man setzt dO = d ~ . r~,~ dra~; so erscheint das Inegral f i g rtL ~ . drt.o . d T. :Nun ist: wenn ~ dis Distanz yon t~ und t~ bedeutet 2 ~ ( % t ~ - e cos qo)e-~- e~sin ~2. rt,#
Das Integral /"2 ist demnach bei beliebigem e endlieh, weft f .
dasselbe sehon vom Integral j l g r~: d r ~ : = r ~ (lg %t~. - - 1) bei jedem r~r ~ zutrifft. Hiemit ist der Beweis nnseres Satzes erbracht. Ans diesem Satze folgern wir~ dal~ die Funktionen
(38 hl
(t,,
= f h (t,, h O,
d~
ftir den Fall des Raumpotentials bei unbegrenzter Ann~therung der
366
J. Piemelj.
Punkte t~ und t~ nuv wie lg rt, t~" waehsen ktsnnen~ w~ihrend die [ntegrale /. y~ (t:, @ =[y~ (t:, O)h (~, t~) d i) d (38b) /. h~ (tl, t~2) =jh 1 (tl, ~}) h ({), t2) dO schon allenthalben endlieh bleiben. Funktionen
(3s c)
Dasselbe gilt dann yon allen
g,, (t,; t~) = f Y . - 1 (t~, 0) h (07 t~) ~
h (t,, t~)=J "h~,_: (t,, ~) h O, t~) cZ~. In der Potentialtheorie der Ebene ist sehon die Funktion h (t~, t2) an der Begrenzung endlieh; dasselbe gilt von allen weiteren Funktionen y~ (tt, t2)~h t (t~, t2) ; g~ (ti, t2), h~ (it, t2~~ . . . . .
Definition
der Potentialfunktion.
Jede dutch irgend welche Bedingungen ineinem O e b i e t e in e i n d e u t i g e r Weise. definierte Funktion U(p)~ w e l e h e d e r D i f f e r e n t i a l g l e i e h u n g A U ( p ) = 0 genagt, soll eine Potentialfunktion heil3en. Das G e b i e b in w e l e h e m U(p) s a m t s e i n e n e r s t e n A b l e i t u n g e n in jederRiehtung endlieh and stetig ist~nennen wir das Regularitatsgebiet. Inbezug auf den unendlieh fernen Punkt treffen wir die Festsetzung~dal3 beiunbegrenzt waehsenderDistanzRvomUrsprungdes Koordinatens y s t e m s U(_p) d a s V e r h a l t e n z e i g t U @) = m lg 1 _]_ u (p)
in der Ebene,
(:~9) U ( p ; ---- m .
1 @ u ( 1 )) im Raume,
wobei m eineKonstante ist, w e l e h e G e s a m t m a s s e (Ges a m t l a d u n g ) y o n U(p) g e n a n n t w i r d , u(p) a b e t im Unendliehen einen bestimmten konstanten W e r t C annimmt~ w a h r e n d d o r t d i e A b l e i t u n g e n y o n u (p) in irgend einer Riehtung einen solehea Kleinheitsgrad b e s i t z e % dal~ (40)
R l g R . ~u(-p) On
in der Ebene,
R~ " 3 u (_____p) im I~aume On beiunbegrenzt waehsendemRgegenNullkonvergiert. Eine Potentialfunktion U(p) s o l l n u r d a n n im u n e n d -
RaMwertaufffaben.
367
l i e h f e r n e n P u n k t e r e g u l a r s heil3en, w e n n i h r e ~ [ a s s e m versehwindet. Naeh dieser Festsetztlng haben wit die Sgtze (I) his (4) des Artikels 2 auf unendliche Au13engebiete zu fibertragen and ihre Modifikationen za ermitte!n. Die Siitze (l) his (4) gelten gewil3, wenn des unendlieh ferne Punkt im Gebiet nieht enthalten ist~ wofern nut die Potentialflmktion hn tibrigen Gebiete durehaus regul~tr ist. Wit kSnnen nun mn den Koordinatenursprung eine gentigend grol3e Kreislinie (k) bezw. Kugel (x) sehlagen~ welehe nut regulare Pankte des Potentials trifft~ und wollen diese Kreisperipherie bezw. Kugelflaehe zar Begrenzung des Regular[tittsgebietes yon zahlen, d. 1l. die Integrationen in (1) his (4) aueh fiber dieselbe crstreeken. Lassen wit dann den ttalbmesser R yon (• unbegrenzt waehsen, so wird sieh uns das Verhalten der Integrale (1) his (4) fat" ein beliebig grot3es Gebiet ergeben. Setzt man in (1) ats die Potentialfunktion (39) ein und bedenkt~ dal3 in dem grol3en Kreise bezw. des Kugel die Riehtung der Normale mit des des abnehmenden Halbmessers
U(p)
U(p)
V(p)
U(p)aus
R ztuammenfgllt, dal3 mithin
~ U ~ U ist~ so ergibt sieh in~n - - D R folge des Eigensehaft (4:0) Nr das Integral abet d~e unendtieh grol~e Kreislinie der West 2~m~ fiber die unendliehe Kngel des Wert 4 ~ m. Wit haben also als ErgSnzung des Formel (1)
f~U (~-) d~) =
2 ~r. m in des Ebene,
(1 a) f~(0-)d~J~-4~.m
im Raume,
and hierin ist die Integration nut fiber die im Endliehen gelegene Begrenztlng des Gebietes za erstreeken. Die Normate wird in das endliehe gesehlossene Gebiet positiv gez~hlt. Fttr regul~tre Potentialfllnktionen ist m = 0 and die Formel (1) grit aueh im unendliehen Gebiete. Unterstlehen wir den Wert des Integrals (2). Dieses Integral J (U) war Nr jede regulare nieht konstante Potentialfunktion U (p) eines endliehen Gebietes positiv. Die Normale ist in (2) in das innere des Gebietes geriehtet~ hat also am Kreise (k) bezw. an der Kugel (x) die Riehtung des abnehmenden Radius R. Das Integral
- f u(~) o u (I)) d I) erstreekt t'tbex" (z), hat naeh (39) and (40) wegen J
den Wert 1 --2~m{mlg-~2l-C-{- .... }
in der Ebene,
--4,=m m .-~-@C@...
im Raume.
BIonatsh, fitr .~Iathematik u. ~Physik. X V . Jah~g.
2 zj:
368
J. Plemelj.
Die weggelassenen Glieder versehwinden mit unendlieh waeh.sendem R. Ist nun m ~ 0, so kann stets der Grenztibergang R ~ cx~ gemaeht werden. Im Falle des Raumpotentials ;st der Grenztibergang ;miner gestattet. Daraus ersieht man~ dal3 far jedes regul~re Potential U(p) auch im unendliehen t~aum das Integral (2) nie negativ werden kann nnd nut be; konstantem U gleieh Null wird. Das Raumpotential hat diese Eigenschaft aueh dann~ wenn es eine nicht verschwindende Gesamtmasse besitzt~ wofern C---0 ;st. Wird in (2) die Normale nieht in das Aul3engebiet positiv gezogen~ so mnl~ im Integrale (2) reehts das Vorzeiehen ge~indert warden. Ziehen wit die Normale in das endliehe Gebiet positiv~ so ;st far ein regulates Aul]enpotential das Integral d0 stets positiv und nat be; konstantem U gleieh Null. Sind U1 (p) nnd U~ (p) zwei Potent;ale eines Aul~engebietes mit den das Verhalten im unendlieh fernen Punkte eharakterisierenden Konstanten ml, C, bezw. m2~ 6~ so bekommt man ftir das Integral (3) erstreekt tiber die unendlich grol~e Kreisperipherie oder Kugelfl~tehe (D den Betrag 2 ~ [m, C.~- - m~ C~] in der Ebene 4 ~ [mI C~ -
n,~C,] im Raume,
weleher fat" alle regulgren Potent;ale versehwindet. Fttr jedes Potential der einfaehen oder doppelten Sehieht ;st die Konstante C gleieh Null; far ein Paar soleher Aul3enpotentiale gilt die Formel (3
~)
. ~;, 0 - ) ~
0-)
-
c~
0") ~ -
0-)
d0 =
o
aueh im Aul~engebiete, be; irgend welehen r e g 111a r e n Augenpotentialen ;st sie ;miner riehtig. Im Integrale (4) liefert die Integration tiber (k) den Be~tra~ C. Zahlt man nun wieder die Normale in das Innengebiet hinein positiv~ so bekommt man fitr Augenpunkte q die Gleiehung =
~-n 0-) d Q - f ~9r O - )
h
(0, q) d ~.
10. Die Formel (4) zeigt~ dal~ der .Weft jeder Po~~entmlfunktion ' V (I9) sehon dureh ihre Werte V(0)7 ~ nV (0) an der Begrenzung des Gebietes best;mint ;st.
Nehlnen wit in (4) als Integrationsgebiet
Randwertaufffaben, einen Kreis bezw. eine Kugel mit p a l s
369 Mittelpankt. In diesem
[ov
Falle ist g (p~ ~)) ftir alle Punkte 1) konstant. Da nun J~n-n
= 0
naeh (1) ist~ so fallt in (4) das erste Integral weg. Das zweite gibt, da die Normale mit dem abnehmenden Radius r tibereinstimmt, 0g 0g also~-Or und dieses wieder 0g __
1 in der Ebene ~:r
0n --'[__2~r 21 im Raume ist, ffir
V(p)
den Wert
l.@._.[V(~)dO
in der Ebene
Diese Formel sprieht uns den Satz yon G a u13 aus. Das Potential nimmt im Mittelpunkte einer Kreisfl/iehe bezw. einer Kugel genau den Nittelwert aller auf deren Peripherie bezw. Oberfl/iehe vorhandenen Werte an. Aus diesem Satze folgt~ da13 der Mittelpunktwert stets zwisehen dem kleinsten und gr513ten auf der Begrenzung vorkommenden Weft liegen mulk Wir kSnnen nun daraus noeh weiter sehliegen, da13ein Potential im ganzen Regularit~ttsgebiete tiberhaupt kein Minimum oder Maximum besitzen kann. H~ttte n~mlieh ein Potential in einem Punkte einen Extremalwert, so k~Snnten die Werte auf einer am diesen Punkt gesehlagenen Kugel bezw. auf cinem Kreise weder grSl?er noeh kleiner sein, d. h. nur mit diesem Werte selbst fibereinstimmen. Das Potential w~irde sieh tiberaU konstant ergeben. Ist das Potential nicht konstant, so kSnnen die Minima und Maxima nur auf der Begrenzung des Regularitatsgebietes liegen. Dug aueh im unendlieh fernen Punkte~ falls er ein regularer Pa.nkt ist~ hievon keine Ausnahme stattfiudet~ d. h. da13 aueh dort das Potential keinen Extremalwert hat, kSnnen wit uns folgenderma13en iiberzeugen. Das regulate Potential V(p) hat in einer grofien Entfernung R die Gestalt 1/(P) = C + w @), wo w(p) eine im Unendliehen versehwindend rcgulare Potentialfunktion ist. I-I~tte nun ira Unendliehen V(p)einen Extremalwert~ so w~tre dieser Weft die Konstante C. Da C ein Extremum ist fiir V(p), so mii13te die regul~re im unendlieh fernen Punkte versehwindende Potentialfunktion w(p) im ganzen An13engebiete ein definites Zeiehen besitzen. Eine solehe Potentialfunktion gibt es nun nieht. Der Ktirze halber zeigen wit dies yore regularen Raumpotential. 24~
370
J. Plemelj.
Sei w(p) monotou positiv im Aul~engebiete und nieht identiseh Null. Aul3er im Unendliehen kann w (p) nirgends verschwinden~ denn sonst mtil3te es in der Umgebung eines solehen Pnnktes aueh negative Werte von w (p) geben. Auf irgend einer im Aul3engebiete verlaufenden Fl~tehe g~ sind die Potentialwerte positiv nnd yon Null versehieden. Ein Wert c wird anter diesen tier kleinste sein~ dann sind wir sigher, dab w (p) diesen Wert aaf einer im AuBengebiete yon ~2 liegenden ~(2 umsehliel3enden gesehlossenen Pl~tehe annehmen muB. Die Gleiehung w @) =
c
definiert uns also eine Flitch% welehe ~2 umgibt~ tiberall regul~tr isg d. h. eine bestimmte Tangentialebene besitzt und das Gebiet in zwei Teile teilt, in deren einem (aul~eren) w (p) kleiner ist alsc (Niveaufl~tehe). Daraus folgt~ dug lungs dieser Ft~tehe die Ableitung ~w - - f i b e r a l l ein definites Zeiehen hat oder versehwindet. Das ~n Integral flow d D J ~n
erstreekt fiber diese Fliieh% kann demnaeh~ wenn nieht fiberall 0V 0~ = 0 war% nieht versehwinden~ was doeh far jede im Unendliehen reguli~re Funktion der Fall ist. Dieser Widersprueh zeigt uns die Nichtexistenz einer solchen Funktion. Wit" haben den Satz: Es g i b t aul3er d e r K o n s t a n t e kein amAul3enrande eines gesehlossenen Oebietes konstantes A u l 3 e n p o t e n t i a l , w e l c h e s s e l b s t im n n e n d l i e h f e r n e n P u n k t e r e g u l ~ t r ist~ d. h. e i n e v e r s e h w i n d e n d e G e s a m t m a s s e hat. 11. Die Satze des vorangehenden Kapitels setzen uns in den Stand folgende Behauptung zn beweisen: Jede Potentialfnnktion ist dureh die Weft% w e l e h e sic an d e r B e g r e n z n n g ihres Regularitatsg e b i e t e s a n n i m m t n n d f a i l s es s i e h um u n e n d l i e h e A u l ~ e n g e b i e t e h a n d e l b n o e h d n r e h A n g a b e i h r e r Ges a m t m a s s e in e i n d e u t i g e r W e i s e d e f i n i e r t . Ffir endliehe Gebiete ist der Beweis sehr einfaeh. Die Differenz zweier Potentiale mit gleiehen Randwerten ware ein regulares am Rande versehwindendes Potential. Da nun sowohl das Maximmn als aueh das Minimum am Rande liegt~ so versehwindet dieses Potential identiseh im Innern~ d. h. Potentiale mit denselben Randwerten sind nieht versehieden. Far das Aul~engebiet gestaltet sieh der Beweis folgendermal3en: Die Differenz zweier Potentiale, welehe am Aul3enrande
Ra,ndwer taufg'aben.
371
dieselben Werte, besitzen und zu dem dieselbe Masse haben~ ist ein am Au~enrande verschwindendes~ selbst im unendlich fernen Punkte regulares Potential. Dasselbe m~i~te im Unendliehen konstunt sein und butte demnach~ d a e s am Au~enrande versehwindet~ im ganzen Aul~engebiete dasselbe Zeiehen. Ein solehes regulare Potential ist naeh dem filfiheren nut die Konstante; diese versehwindet am Rande, ist also identiseh Null. ttandelt es sieh um ein Potential des Raumes~ so kann fiir das Aul~engebiet statt der Gesamtmasse aueh die Bestimmung treten~ dal~ das Potential im Unendliehen einen gegebenen Weft hat; aueh dutch diese Bedingung ist das Potential mit vorgegebenen Randwerten in eindeutiger Weise definiert. Die Differenz zweier Raumpotentiale mit denselben Randwerten und demselben Weft im Unendliehen~ ware ein sowohl am Aul~enrande als im Unendliehen versehwindendes Potential w (29). Da die Maxima nnd Minima nut am Rande oder im Unendliehen liegen, kann u (p) ttberhaupt keinen yon Null versehiedenen Wert annehmen. Dies beweist unsere Behauptung. Wir bemerken~ dal~ diese Beweise weder die Existenz oder Endliehkeit der normalen Ableitungen, noeh irgend eine Regularitgt des Itandes erfordern und sogar ein in keinem Elemente d~) der Berandung tiberall dieht liegendes Unendliehwerden des Potentials selbst zulassen. Es gilt ferner auch der Satz: J e d e s P o t e n t i a l ist d u t c h d i e W e r t e s e i n e r n o r m a l e n A b l e i t u n g e n an d e r B e g r e n z u n g e i n e s gesehlossenen G e b i e t e s in d i e s e m G e b i e t e bis a u f e i n e a d d i t i v e K o n s t a n t e in e i n d e u t i g e r W e i s e bestimmt. Gabe es namliela zwei Potentiale mit denselben normalen Ableitungen~ so ware ihre Differenz ein Potential w (p) mit versehwindenden normalen Ableitungen und~ falls es sieh um das unendliehe Augengebiet handelt, aueh mit versehwindender Gesamtmass% da diese naeh (1 a) dutch die W e r t e d e r normalen Ableitungen gegeben ist. Da also w (p) ein regulates Potential ist~ so ist (aueh bei Aul~engebieten) alas Integral J(w) naeh (2 a) definit bezeiehnet. Well Ow nun ~ ~---0 ist lungs tier ganzen Begrenzung, ist J(w) selbst Null und mithin w (/9) konstant im ganzen Gebiete. Dureh diese S~ttze ist jedoeh noeh nieht bewiesen~ dal~ es zu beliebig, vorgegebenen tlandwerten~ welehe das Potential in eindeutiger Weise definieren~ aueh wirklieh ein Potential gibt. Diesen klassisehen Problemen wenden wir uns zunaehst zu. Die erste und die z w e i t e Randwertaufgabe.
Unter den Problemen tier Potentialtheorie ist wohl das wiehtigste und bertihmteste jenes~ welches die Aufstellung eines Potentials verlangt~ wenn an der Begrenzung eines gegebenen Gebietes ent-
372
a. Plemelj.
weder die Werte des Potentials (1. Randwertaufgabe) oder dessen Ableitungen in der normalen Richtang gegen die Berandung (2. Randwertaafgabe) bekannt sind. Der Beweis, dal~ eine solehe Aafgabe nat dureh e in Potential 15sbar sein kann~ 151~t an Vollst~tndigkeit and Allgemeinheit n[ehts zu w~inschen t~brig (Artikel 11)7 behufs LSsung dieses Problems warden jedoeh die sinnreiehsten I-lilfsmittel ersonnen~ welehe zumeist nur dessen Existenz naehweisen oder unter sehr besehr~nkenden Voraussetzungen das Potential wirklieh liefern. Am weitesten kamen bei tier Untersaehung dieser Frage jene Gelehrten~ welehe den yon P o i n e a r g in seinen ideenreiehen diesbez[igliehen Abhandlungen 1) vorgezeiehneten Weg verfolgten. Die Existenz einer L~sung wurde dutch konsecluente Ausbildang der Ideen P o i n e a r g s ffir so allgemeine Gebiete~ wie sic bier vorausgesetzt werden kSnnen~ zuerst yon Z ar em ba ~) gegeben. Naeh F r e d h o l m 3) wird die Frage dareh LSsung einer linearen Integral- oder Fanktionalgleiehung beantwortet. Wtihrend die fraheren Methoden Nr das verallgemeinerte Problem kaam mehr als die Existenzsatze liefern~ gibt uns P r e d h o l m dureh LSsung einer Funktionalgleiehung unmittelbar einen expliziten Ausdruek far die Belegang des gesaehten Potentials und die dem Gebiete eigent~imliehen sogenannten F u n d a m e n t a 1f u n k t i o n e n P o i ne a r ~ s. Solange man nieht za speziellen Problemen ttbergeht~ wird die LSsung der allgemeinen Aufgabe wohl keine Vereinfaehung mehr gestatten~ so dal~ diesc l?rage der mathematisehen Physik, naehdem sie so viele Entwieklungsstadien durehmaehen mugt% yon tier definitiven Beantwortung nicht mehr ferne zu sein seheint. 12. Das Gebiet~ welches wit za Grunde legen wollen~ soll folgende Form haben. Seine Begrenzung besteht aus N getrennt liegenden sieh nirgends darehschneidenden oder ber~lhrenden gesehlossenen Einzelkurven oder Fl~ehen and diese kSnnen noch yon einem beliebigen Zusammenhange sein. Jeder Punkt soll ein 1 n n e n p u n k t heil3en~ wenn er nieht in der Begrenzang" liegt nnd die Anzahl der Durehsehnittspankte der dureh diesen Punkt gehenden Geraden mit dem System yon Kurven oder FlSehen auf beiden Seiten des Punktes eine U n g e r a d e ist; bei A u l ~ e n p u n k t e n ist diese Anzahl auf jeder Seite g e r a d e . Das ganze unendliehe Gebiet wird dutch diese N Kurven oder Flttehen in N - I - 1 Teile geteilt. Das den unendlich fernen Punkt enthaltende' ,unendliehe Aul~engebiet" grenzt an ein Innengebiet~ welches aueh aus mehreren getrennten Teilen bestehen kann. Nebst dem unendliehen Aul~engebiet kann a) Sur les dquations de la Physiclue ~ Rendic. d. Circ. mat. di Palermo. 1894. La Mdthode de N e u m a n n et le Probl~me de Dirichlet. A c t a mathematlca~ 1896. 3) Bulletin internat de l'Ac. de Cracovie, 4. Mars 1901. - - Comp. Rend. de l'Ac. de Paris~ 24. J u n i 1901. - - Journ. de Math. pures et appl. 1902. - Bull, internat, de l'Ac. de Cracovie~ 13. Oct. 1902. ~) Oefvers. af kongl, vet. akad. FSrh., Stockholm, 1900.
Randwertaufgaben.
3 73
dieses Innengebiet noch an endliehe ,:Aul3engebiete" angrenzen, diese wieder an weitere ,Innengebiete" u. s. w. Die Anzahl der getrennten s[nnengebiete" sei m, die der endliehen ,Aul~engebiete" n~ wit hubert dann offenbar die Gleiehung
----- m d- n. A!le begrenzenden Kurven bezw. Flaehen werden wir als durehaus regular ansehen, d. h. der Winkel zwisehen zwei Normalen in benaehbarten Punkten soll den Kleinheitsgrad der Distanz dieser Punkte haben. Die Formulier.ung der Aufgabe dureh die Fredholmsehe Funktionalgleiehung erfordert diese Bedingung nicht~ der Naehweis der Konvergenz der Fredholmsehen Potenzreihen verlangt jedoeh eigene Untersuehungen, sobald die Regularitat nieht in allen Punkten vorhanden ist. Hier soll daher diese Bedingung als dnrehaus erffillt angesehen werden. Es ist leieht zu ersehen, dal3 bei unserer Definition des ,,Augengebietes~ nnd ~Innengebietes" alle Satze der bisherigen Kapitel unver~indert Giltigkeit behalten. 13. Die Aufgaben, um die es sich handelt, sind die folgenden: M a n s u c h e ein P o t e n t i a l d e r D o p p e l s c h i c h t W(p) und einesdereinfachcnSchicht V(p)~ w e l c h e i n j e d e m regularen Punkte t der Begrenzung die Gleichungen ,
<)-
,
c,,-'-) +
w
=
(41)
~V X 2 erftillen~ in d e n e n k e i n g e g e b e n e r k o n s t a n t e r Par a m e t e r , f(t) e i n e in d e r B e g r e n z u n g d e s G e b i e t e s bek a n n t e O r t s f u n k t i o n ist. Diese beiden Probleme bilden die verallgemeinerte sogenannte erste bezw. zweite Randwertaufgabe and gehen fttr X = ~ 1 in die eingangs erw~hnten Fragen naeh einem Potential mit vorgegebenen Randwerten oder vorgegebenen normalen Ableitungen tiber. Naeh F r e d h olm 1) werden die Potentiale dureh Bestimmung ihrer Belegungen ermittelt. Es seien die gesuchten Potentiale W(p) = ( x (~) t~ (~,p) d~
(42)
J
V OD = / g
(e, ~) ,~(~) dD.
Die Integration in (42) erstreckt sich fiber die ganze B erandung des Gebietes. Die Funktionen g(p, 0) and h ([~p)sind f~r al[e Punkte der Ebene bezw. des Raumes bekannt und dutch (5) und (6) definiert. a) Oefvers. af kongl, vet. ak~d. J~'~rh., S~ockholm 1900.
374
3.
Ptemdj.
Die Unstetigkeitseigensehaften der Potentiate V (p) und W(p) (Artikel 5~ Satz B und Artikel 6~ Satz a) lassm~ al~s die Gleiehungen (41) sofort in der Form schreiben (t)
--
~{~. (o) a 0, t)
do
-- / (t)
d
(43)
:,. (t) -- ~,
_ ~ (o) do = f (t).
in diesen zwd Integralgleiehungen: in denen nebst dem Integrationsgebiet die Funktionen h(t:0) und f(t) ~tberall bel~annt sind, ist nun alles enthalte% was zur LiSsung der Randwertaufgabe (41) nStig ist. Die Funktionalgleichungen (43) lassen eine allgemeine Behandlung za; bei der LSsung derselben ist es nieht mehr ntitig~ Eigensehaften der Potentialfunktionen zu tlili'e zu nehmen. Die Oleiehungen (43) sind den Gieiehungen (41) aueh vNlig ~tquivalent~ wenn h (t~ {}) die dureh (6) deflnierte Punktion ist. Es ftihrt n~tmlieh jede L~sung yon (41) auf eine Lt}snng yon (43); umgekehrt 15st uns die Integralgleiehung (43) stets dann die Aufgabe (41)7 wenn aus (43) sieh Belegungen x (t) and bt (t) ergeben, far welehe der Satz B des Artikels 5 und Satz a des Artikels 6 bestehen. {)her diesen Pnnkt kSnnen wir folgendes bemerken: Die Fredholmsehe Ltisnng der Funktionalgleiehungen (43) gibt uns bereits bei.integrierbar voransgesetzter Funktion f(t)Werte far r. (t) und ,u (t), welehe in allen jenen Punkten endtieh sind, wo f(t) selbst einen endliehen Wert hat. Der Satz C der Artikel 5 und 6 sagt nns, dal~ die in (43) vorkommenden Integrale tiberall deft stetig sind, wo x (t) und ,~ (t) endliehe Werte haben, d. h. in allen Punkten, wo f(t) endlieh ist. Man sieht daraus, dal3 die Stetigkeit der Funktionen x (t), ~t (t),f(t) stets znsammen~llt. D i e einzige Voraussetzung~ welehe wit ttberf(t)maehen m it s s e n~ i s t d i e, d a 13 die Gleiehung (43) tiberhaupt 15sbar ist, und dies ist bei allgemeinem ~ stets der Fall~ wenn nut f(t) d i e Belegnng eines Potentials d e r d o p p e l t e n o d e r einf a e h e n S e h i e h t b i l d e n k a n n , im t t b r i g e n a b e t i n n e r h a l b d i e s e r B e d i n g u n g a a e h b e l i e b i g u n e n d l i e h werd e n darf. Die LOsung des Funktionalgleichung (43) gesehieht dutch die L0sung der (identiseh gleiehen) Resolventen ~) H (t, s) - - ~j'/1(~,
o) h (0, s) do
/, (t, .9
(44)
H(f~ @-
~,J'l~- (t,
o)//(~, s) d O = 7~ (t, s)
~) Fredholm: Compt. Rend. de I'&c. de Paris. 27 Jura 1902 (219--222); 30 Juin 1902 (1561--1561). -- Acta mathematlca: 27, S~oekholm, 1903 (365--390). Vorfasser: Diese }~fonatshefle f. ~[atb u. Phys. 15~ Wien, i90~ (93--128).
Rundwertaufgaben.
375
und zwar ergibt sieh x(t) und ~(t) in der Form
(t) =/(t) + xf/(~) H (~, t) d~ ,J
(45)
j
tx(t) ----f (t) @ k 'H(t, {)).f(0) dO. Die erste der Gleiehungen (45) folgt aus der zweiten in (43) naeh Multiplikation mit H(t~ s)dt uncl Integration. Dabei ist zu beraeksiehtigen, dal3 (43) und (44) als 10sbar vorauszusetzen sind und mithin der Satz tiber die Ver.tauschung der Integrationsfolge (Art. 7) angewendet werden darf. Ill iihnlieher Weise folgt die zweite der Gleiehnngen (45). Dureh ein ganz analoges Verfahren zeigt man~ dal3 die Gleichungen (44), falls sie beide 10sbar sind~ einander aufltisen und nut eine einzige LOsung haben k0nnen~ diese entspricht beiden Gleiehungen gleichzeitig, so dal~ die Funktion H(6 t) in (44) tiberall dieselbe ist. Es konzentriert sieh demnach das ganze Interesse auf diese ~l (5s e n d e '~ Funktion. Die Gleichungen (44) sind ein Spezialfall yon (45)7 es folgt z. B. die zweite Gleichung (43) aus der zweiten in (44), wenn der Punkt s festgehalten wird und H (t, s) = ~ (t), h (t, s) =/(t) gesetzt wird. Ist dieses spezielle Problem far alle s gel(ist~ so ist naeh (45) aueh die L0sung des allgemeinsten Problems bekannt. Unter tier Voraussetzung eines durehwegs endliehen integrierbaren h(t~s)litl3t sieh die Funktion H(t~s)als Quotient zweier ganzer Fanktionen (46)
u (~, s) _
d~u'stellen.
I) x,
- -
D (x)
Die fttr alle k konvergenten Potenzreihen
= ~4o (~, ~,.)- - T ~4~ (t, ~) + ~ . 4 (t, s) - g i . A~, (~s) - 5 . . .
(47)
),
k~
k3
D (x) = ~ -- T . A1 § ~.. & -- ~ . A § lassen sieh dutch folgende wiederholten Integrationen
~;
I 1~(t ~) , a (~)~ ~).), . . . , h (< (oj 1
und
A,~ =[A,_~(O: 0) tit), J
376
a.
Plemelj.
die fiber dasselbe gegebene Gebiet erstreekt werden mfissen~ bestimmen. Ftir diesen Fall ist durch (46) eine wohl jeder Anforderung entsprechende Lr yon (44) and (45) gegeben. Die LSsbarkeit yon (44) kSnnte nur dann in Frage gestellt sein~ wenn ftir ein gewisses ~, : )'o die Funktion D (~.) in (46) versehwindet. (Singul~tre ~.-Stelle.) Der Theorie der Freclholmschen Funktionalgleiehung gemiil3 ~) gibt es dann stets and auch nur dann nieht identiseh versehwindende ,a u s g e z e i c h n e t e" LSsungen ~ (t) and ,5 (t) der homogenen Integralgleiehungen
(t) =
~o[h (t 0) ~ 0)
d0
d
(48)
[,
,,o(t) = Xoj,~ (0) a 0t) d0, denen bier Potentiale q5 (p) der einfachen Schicht and Potentiale q~(p) der Doppelsehieht entsprechen~ die die homogene Randwertaufgabe
(49)
r (t§
r (~-)= to [,~ (~+)§ *, (t-)]
lSsen. Dabei ist ~ (t) die Belegung yon qb (p), ~ (p) ist das PotenP
tial der Doppdsehieht + (p) =-- ?o j ~ (0) h 0P) Im kommenden Absehnitt wird sieh ergeben~ dal~ im vorliegenden Falle die Funktion H(ts) nur einfaeho reale Pole haben kann. Es muf~ also bet ether z-faehen Nullstelle }'o yon D(a)
naeh (46), wenn x > l, aueh D (~ :) versehwinden, undzwar genau z - - 1-fach. Nun zeigt die Theorie, dal3 H(ts) eine Entwieklung hat e(t,) wo gO(ts) ftir k~---Xo endlieh ist and P(ts) in eine Summe (50) P (t s) = % (t) qq (s) -~- ~ (t) q~ (s) ~ - . . . q- q~ (t) ,?~ (s) yon genau z Prodakten ~o(t)q~(t) zerf~tllt. Die Funktionen %(t)~ ~%(t)~...~ ~,(t) sind x untereinander linear unabhgngJge LiJsungen yon (48) and die x linear nnabhgngige Funktionen 4, (t), @~(t).. ,.~.(t) l(isen die zweite Gleiehung (48). Jeae andere vorhandene LSsung einer Gleiehung (48) ist dutch die bier sieh ergebenden linear ausdrfiekbar. -1) Die hier nlJtigen Satze tiber diese Funktionalgleichung finden sich zusammengestellt in des Verfassers Berlcht: Si~zungsber. Ak. Wiss. Wien~ 112~ Abt. l I a (1--9); Naheres in der oben angegebenen Arbeit des Ve~ffassers.
377
Randwertaufgaben.
Die Funktionen q~(t) und r (t) besitzen die wiehtige Integraleigensehaft
51) un4 dieses Integral versehwindet aueh dann stets, wenn die Funktionen q0f~(9), ~,(~) nieht zu derselben singuliiren ~.-Stelle gehi~ren. In der Theorie des logarithmisehen Potentials ist bei vorausgesetzter Regularititt der Begrenzung naeh (6c) die Funktion h (ts) durehaus endlieh~ selbst wenn die Punkte t and s unendlieh gegeneinander gerfiekt werden. Die Ltisung (46) der Integralgleiehung (41) gibt nnmittelbar die gesuehte ltisende Funktion H(ts). Beim Raumpotential hingegen wird die Funktion h (ts) bei unbegrenzter Naherung der Punkte t and s beliebig grog nnd die Funktionalgleiehung (44) ist in der bisherigen Weise nieht ltisbar. Man kann jedoeh leieht der Fredholmsehen Methode zug~tngliehe Resolventen herstellen. Wit sehreiben die Gieiehung (44) in der Form
(52)
H (~) = h (ts) + ~,.fh (t ~) H(~s) d0.
Setzt man in dieser Gleiehung reehts ftir H(1)s) zweimal naeheinander den Wert (52) ein und bertteksiehtigt die Bezeiehnungsweise
[ho(ts)=h(ts)] , so erh~lt man die Gleiehung
H(ts) = ,'~(tS) § Xh~ (ts) -t- X% (ts) + ~,@,.~ (t~)) HOs ) d~. Die hiehei vorgellommene Vertansehung tier Integrationsfolge ist naeh dem Satze des Kapitels 7 erlaubt. Diese Gleiehung
(53) H(t
8)
'ist ebenfalls eine Funktionalgleiehung far H(ts). Die Funktion h~ (ts)bleibt jedoeh naeh den Ergebnissen des Absehnittes 8 in allen regali~ren Randpankten allenthalben endlieh, weshMb atff die Funktionalgleiehung (53) die bisherige Methode anwendbar ist. Ebenso wie die Funktionalgleiehung (43) dutch die Resolvente (44) geltist wnrde, ftihrt die Gleichung (53) auf die folgenden Resolventen
(54)
j 'H~ (tO) h~ Os)
J
h2 (ts)
378
J. Plemelj.
die fth. (53) dasselbe leisten wie (44) fitr die Integralgleichung (43) Die L~isung yon (54) wird die Form haben
D, ix) und beide Funktionen D~ (k, ~) und D.a(k) sind ftir jedes k konveNente Potenzreihen. Ist die Resolvente (54) gelSst worden, dann ergibt sieh die LSsnng yon (53) in der bisherigen Weise. Nan hat /
+ x3 fH~ (~0) [f, (0s) + x 7,, (0s) + x~ a~ (ts)] d~. Diese LSsung llil3t wegen (54) noch eine kleine Redukfion zu, so dal~ man erhah:
H(t~) = z, it~) q- x i,~ (t~) q- ~ t:i, (t~) q-
Hiemit ist Wie sitzen~ die sieht man
die urspriingliche Funktion H(ts) ermittelt. die Darstellang (55) zeigt, kann H(ts) keine Pole be-, nieht gleiehzeitig aueh Pole yon H~ (t s) w~tren. Hingegen aus (54) sofort~ dal3 H~ (ts) alle drei Pole ko, ko~,XoU, [ ~ - - - ~ + V - - ~ J
gleiehzeitig besitzt. Sind jedoeh alle Pole yon H(ts) real and gleiehzeitig einfaeh, was wit fttr unseren Fall spi~ter best~ttigen werden, so kann H.~ (ts) tiberhaupt keine anderen Pole besitzen als die dureh ~lultiplikation mit dritten Einheitswurzdn aus den Polen yon H(ts) erh~tltliehen. Es zeigt sieh zugleieh, dagi H~(//s) genau dieselben ausgezeiehneten L(isungen liefert wie H(ts). Sei n~tmlieh ;% ein i-faeher Pol yon It~ (ts). Wit haben dam~ die Entwieklung P(~) ~(~) + .... , H.~(ts) = iX~o )?), ~- (X~o_ x~),_ ~ denn naeh (54) enthi*lt H2(ts) nur Potenzen yon k ~. Wit setzen zur Abkfirzung P' (is) = k o f P ( t 0 ) ~, (0t) d~ p,,
(t~) = ~o f P(to) h,(,~ t) ct~. J
Randwertaufgaben.
37 9
Die Gleichung (55) gibt uns for das am st~rksten wachsende Glied den Ausdruek k2 Da H(ts)gemal3 der noeh zu beweisenden Annahme nur reale Pole hat~ so mug bei realem t o die KlammergrSl3e in dem vorigen Ausdruek sowohl ftir ~, -----Xo r ais f•r ~, ~ Xo~2 verschwinden. Nan bekommt so die Gkeiehungen P(t~) + ~ P ' ( t s ) + ~ P " ( t ~ ' ) = 0
P(ts) @ {~P'(ts) @ ~ P"(ts) = O, aus welehen dureh Addition und Subtraktion folgt
P (t ~) = P' (t s) = ~" (t s). -Dutch Einsetzen dieses Resultates reduziert sich das obige Glied auf
x~P(ts) ~o(Xo-x)(X~o- ~Y-~
Hierin ist der Pol k = X o noeh immer i-faeh, w~thrend er in den weiteren Gliedern h~ehstens i - - 1 - f a e h ist. Da der Pol k~---Xo nut" einfaeh sein daft und bier eine weitere Zusammenziehung der steigend geordneten Glieder nieht mehr mSglieh ist: mtil3te P(ts)versehwinden~ wenn nieht i gerade gleieh Eins ist. Wir sehen also, dal? die Funktion H,z (ts) keine anderen Pole haben kann als einfaehe; wgre ),~ nieht real~ so mal3te P ( t s ) versehwinden, da sonst H ( t s ) einen nieht realen Po1 h~ttte. Da man tibrigens ~, = )'0 @ ( k - Xo) setzen kann, sieht man, dal3 in der Umgebung yon ~o die Funktion H ( t s ) genau
H (ts) --= P(ts) ~o__ k ~-"" lautet~ wenn man far B~ (ts) die Entwieklung H~ (z ~) =
P (t s)
~,a_~+""
hat und umgekehrt. Die Resolventen (44) und (54) fiihren uns also zll denselben singul~iren ),-Werten und den gleiehen ausgezeiehneten Funktionen (50). Man wird H(ts)aueh hier in der Form (46) darstellen kSnnen~ indem man in D Q.) nm' die realen Nullstellen yon D 2 (~.) mit ihrer Vielfaehheit auihimmt; die komplexen Nullstellen mtissen sieh, wie naehgewiesen: wegheben lassen~ weil sie keine Pole yon H(ts) sin& Die Gleiehung (46) soll eine sehon s o reduzierte Darstellung sein.
380
J. Plemelj.
Hiemit ist die Anwendbarkeit der Fredholmsehen Integralgleiehung ftir die Randwertaufgabe (41) aueh in der Theorie des Raumpotentiats nachgewiesen. Dareh LSsung tier Funktionalgleiehtmg (54) ist zufolge (55) aueh die ursprangliehe l~SsendeFunktion H(t s) bekannt. Alle auf die Eigensehaften ausgezeiehneter LSsungen (50) Bezug habende S~tz% so besonclers die Integraleigensehah (51), bleiben erhalten. Die Theorie der Fredholmsehen Ftmktiona]gleiehung liefert sehon im allgemeinen FMIe eine Anzahl bemerkenswerter Sstze, so besonders die Existenz der ausgezeiehneten LSsungen und ihre Beziehungen (51)untereinander. Um weitere S~ttze~ die der Potentialtheorie eigentttmlieh sind, aufzudeeken, mug aueh der spezielle Charakter der Funktion h (ts) in Betraeht gezogen werden. Dutch die Funktion h(ts) ist die Integralgleiehung (44) vSllig bestimmt. Aus den Eigensehaften yon h(ts)~ wo t and s zwei Punkte der gegebenen Begrenzung sind, m~issen alle die Funktion H(ts) betreffenden S~ttze fliel~en. 15.
Die Theorie der Integralgleiehung (44) lehrt~ dal~ jeder Nullpunkt der Funktion D@) in (46) unter allen Umst~tnden ein Pol der Fnnktion tI(ts) ist. Jedem Pole )'o entspreehen ferner ~fieht versehwindende LSsungen der homogenen Integralgleiehungen (48). Bei unserer speziellen Besehaffenheit dec Ftmktion h(/s) sind die Oleiehungen (48) ideatiseh mit (49). Es mttssen also zu jedem singul~,iren ~-Werte nieht identiseh versehwindende Potentiale do (2) und ~(1)) existieren, welehe die C41eiehungen (49) befriedigen. Um weitere Sehltisse fiber die Funktion dO(p) and +(p) ziehen za kSnnen~ nehmen wit die erste der Gleiehungen (49) ~ (t-) - - ~
(t+) = ~,o 3 7 7 (~-)
~
(t+) 9
Diese Gleichung multiplizieren wir mit dt und integrieren abet die Begrenzhng des Gebietes. Da far ein endliehes Gebiet stets die Gleiehung f ~-d~o (t+)dt = 0 gilt~ haben wir hler
(56)
~do
(1 - - Xo)j ~
(~-) ~t = o.
Das Potential 9 (p) der einfaehen Sehieh,~ welches der ersten Gleielmng in (49) entsprich b hat also stets- eine versehwindende Gesamtmass% 1) es sei denn~ dag ko go, ado -{-1 wgre, Einem 1) Beim R~umpotential sina die weitel'en Schliisse auch ohne dieses Ergeb~is erlaubt.
Ranelwertaufgabem
38 1
etwaigen komplexen Pole ko = ~ @ ~i warde aueh ein komlolexes Potential 0 (p) entspreehen miissen~ d. h. die Belegung des Potentials w~tre komplex. Ein solehes Potential O(p) warde in zwei Teile zerfallen ,~ (29) = u @) + i v (p) und u (p), v (p) wSren wieder reale Potentiale tier einfaehen Sehieht~ welehe offenbar beide: wenn nieht gerade ?,~= @ 1~ einzeln eine versehwindende Masse besitzen mtissen. Die obige Gleiehung ftir qb (29) zerNllt beim Einselzen ven (P (p) --~ u (29)@ iv (p), Xo = ~ @ i~5 in die beiden folgenden : o~ (t-) --On
- ~ ( t + ) - - ~ tLo~. ( t - .) § o . (t+)] + ~ [~n(t_)+~_~n , r O . y Dr, ( t + ) J = O v ( t )
ov
a ~ (t+)] = o
u(O u(t) v (t).
Multipliziert man~ wie angezeigt~ diese beiden Gleiehungen~ so folgt dutch Addition und Integration [j(.-)
+ j ( ~ - ) - j(,~+) - J(~+)J - o
~ [d(u-) @ d(v-) - - J(u +) -- Y(v+)] -=
(57)
= J(u-) ~- J(v-) @ J(u ~) @ J(v+); denn die Gleiehungen
~ (t) ~,~ (t+) - ~ (~) u (t) ~
(t+)] d t = 0
(t-) - - v (t) ~ n (t-)] dt = 0
sind far alle regnktren Potentiale u (p) und v (p) naeh (3), Kap. 1 und (3a)~ Kap. 9 erNllt. Zudem sind die Integrale J0t +)=-
u(t)--(t+)dt, 0n
a (~+) = L, v (t) ~
(t+) d t,
J (~-) - f .
(t) ~ 0u (t-) d t
J (v-) = f v (""t ) ~~ ~' (t ) d t
naeh (2a)~ Kap. 7 infolge des Versehwindens der Gesmntmasse niemals negativ. In (57) ftthrt die Annahm% dal~ der Koeffizient yon a und verschwindet, za eiaem Widerspruche. Es mfil3ten n~mlieh alle Gr~gen J(u+)~ J(u-)~ J(v+): J(v-) einzeln versehwinden. Die Potentiale u (p) und v (29) waren fiberall konstant~ was bei einem Potential der einfachen Sehicht nicht mSglieh ist. Es mug also
382
J. Plemelj.
= 0 sein, d. h. der Pol )'o ist real. Deshalb kann v ( p ) = 0 angenommen werden. Sefzt man in (57) far ~ den Weft ~'o nnd ferner u (p) = V(])) v ( p ) = 0 ein, so bekommt man
},oIJ(v-)--j(v+)l_=J (V-)@J(g+ ).
(58)
Aus dieser Gleiehung folgt~ dab ;~o dem absoluten Betrage naeh nieht kleiner seia kann als 1. 8o11 ?,o =" 1 stattfindeI b daan mug eino der Gr~faen J(V+), J(V-) versehwinden. Diesen Fall werden wit besondcrs untersaehen. Wir haben noeh za zeigen~ daft die Pole der Funktion H(ts) ntlr einfaeh sein kiJnnen, dab also eine Entwieklung
H(t,)--
P(~8)
~
( ~ - - ~,)~
t"1(f~)
,
(Xo- x) ~-~ -c ....
hie besteh b wenn nieht i = 1 ist. Setzt man diesen Weft in die zweite der Gleichungen (44) ein, so erh~lt man~ wenn i ~ 1, stets (tie zwei Gleiehungen P (t, 8) - - ~,o f ~ (t, o ) / ' (~, s) d 0 = o
W~ihlt mat1 nun fat. s irgend einen festen Pnnkt, jedoeh s% dal3 P(ts) nieht identiseh 7r was gem~t~ der Annahme far s~imtliehe Werte yon s nieht der Fall sein darf~ so hat alan in P(ts) und PI (ts) Funktionen, welehe als Belegungen yon Potentialen u (p) und % (p) der einfachen 8ehieht genommen, naeh diesen Gleiehnngen die Relationen
o ,~
- 7 7 (t+) - Xo [-ag (c7) + ~ 7 ( ~ u = o
u ( ~ - ) - - g 7 (~+)
l-N/; ( - )
-
o n ( -j = ~ (e+) -7 ~ (,-)
erftillen. Die erste Oleiehung zeigt~ dab u (2) eine LOsung der homogenen llandwertaufg'abe ist, mithin der Eigensebaf*~ (58) entsprieht. Muhipliziert man die Oleiehungen (59) mit ul (0 und u (/.)~ so erh~tlt man naeh Addition und Integration J (,,+) - - J ( u - ) = o, denn die Gleiehnng (an), Kap. 9~ ist erfttllt~ da u (p) nnd v(p) Potentiale der einfaehen Sehieht sind. Ans (58) folgt nun .1 (.+)
+
J ( ~ r ) = o,
Randwertaufgaben.
383
weshalb J(u+) und J(~t-) einzeln versehwinden massen. Wenn also u eine versehwindende Gesamtmasse hat~ was nur far )'o = - ~ 1 in Frage steht, so kann man aus J(u-t-)---J(u-)~-0 schliel3en, dal~ u (p) selbst iiberall konstant ist, als% well im Unendliehen~ iclentisc5 verschwindet. Dies ist tin Widersprueh; es w~re ~-o kein i-theher Pol. Diese Sehlul3weise ist stets anwendbar, solange i > [~ da man dann inamer zwei Gleiehungen der Form (59) hat. Der Wert i o -~-1 kman keine Ausnahme maehen~ denn die Gleiehungen (59) geben fttr t o ~ 1 ~n
(t)=
-
2
uncI die Integration zeigt, da[~ die Gesamtmasse yon u (p) versehwinden mtilSt% also die vorangehende SehiulSweise stiehhaltig bliebe. Es gilt demnaeh der Satz: Die 15sendeFunktionH(ts) besitzt alsFunkt i o n y o n ~, als e i n z i g e S i n g u l a r i t i ~ t e n n u r einfaehe reale Pole, deren absoluter Betrag nieht k l e i n e r ist als 1. 16.
Die Werte )'o ~---• 1 nehmen, wie es sieh im vorangehenden Absehnitt gezeigt hat~ in gewisser tIinsieht eine besondere Stellung ein. Sie sind~ falls ihnen LSsungen der homogenen Gleichungen (48) oder (49) entspreehen~ was wit sofort bestatigen werden, die absolut kleinsten Pole tier Funktion H(ts). Die Gleiehung (49) gibt uns ftir }'o-----1
~-~- (t+) = 0 und + (t-) ---=-0
(6o) fiiri 0 = - 1
~(t-)----0
and ~(t+)----0
und dabei ist (I)(iv) ein Potential der einfaehen, q~'(p) eines tier doppelten Sehieht. Soll 1 oder - - 1 ein Pol sein, dann mug ein Paar yon Funktionen (D (/)) und ~ @) gleiehzeitig existieren~ welehe nieht identiseh versehwinden und den dazugehSrigen Gleiehungen (60) gentigen. Die Gleiehung (60) ergibt, dal3 r (p) in allen einzelnen Gebieten konstante Werte annehmen ram3. Nimmt niimlich ein Potential der Doppelsehieht auf einer Seite der ganzen Berandung eines Gebietes den Wert Null an, so mug es im Gebiete selbst tiberall versehwinden. Dies gilt aueh vom unendliehen Au~engebiet, da das Potential der Doppelsehicht dort versehwindet. Bei diesem Potential existieren demn~aeh die normalen Ableitungen am Rande und sind dann naeh dem Satze b~ Kap. 6, auf beiden Seiten ~,Iona~sla. ftir Na~hemat;ik u, Physik. XY. ffahrg.
~25
~84
J. Plemelj.
gleieh, und zwar versehwinden sie bier. Das Integral d ( ~ ) = 0 zeigt dann, dal3 das Potential im angrenzenden Gebiete konstant sein mnl3. Im unendliehen Teile des Aulaengebietes ist die Funktion ,5 @) identiseh Null. Aus der zweiten Gleiehung (60) folgt, wenn das Aulaengebiet nut aus dem einen unendliehen Teile besteht~ dal3 ~ (2) aberhaupt versehwindet. In diesem Falle kann folglieh } , = - - 1 kein Pol der Funktion H(ts) sein. Zur Erleiehterung der Vorstellung lassen wit bier die Begrenzung des Gebietes eine spezielle Form annehmen. Eine Verallgemeinerung hat dann keine Sehwierigkeit und ~tndert am Resultate niehts. Der unendliehe Tell grenzt an m getrennt liegend% gesehlossene Kurven~ bezw. Fl~tehen. Innerhalb dieser liegen m getrennte Innengebiet% welehe sieh yon der umsehlieitenden Begrenzung~ die sie mit dem unend!iehen Aul3engebiet gemeinsam haben~ naeh Innen his zu n weiteren gesehlossenen Kurven bezw. Fl~tehen erstreeken~ welehe n getrennte ,endiiehe Aulaengebiete" enthalten. Jedes derselben grenzt nur an eines der m Innengebiete an und wird yon diesem umsehlossen. Die Normale riehten wit in die Innengebiete positiv. Aus der ersten der Gleiehungen (60) folgt~ dafa die Funktion (p) in den Innengebieten konstante Werte annehmen mul3. Aus dieser Tatsaehe fblgt nun sofol't~ dal3 9 (p)~ als ein-'Potentiaf der einfachen Sehieht aueh in den n endliehen Teiien des Aul3engebietes konstant ist, well es dureh die Berandung stetig durehgeht. Diese Potentiale 9 (p) verhalten sieh demnaeh so, als waren die inneren Kurven bezw. Flaehen gar nieht vorhanden. Vom Verhalten im unendliehen Teile des Aulaengebietes kbnnen wit nut sehliel~en~ dala (I) (p) am Aulaenrande konstant ist~ reassert abet dafar l',tngs jeder der m getrennten Knrven bezw. Fl~tehen noch versehiedene konstante Werte zulassen. Es gibt nun genau m yon einander versehiedene Potentiale der einfaehen Sehieht~ welehe am Aul~enrande konstan~ sin& Um dies zu zeigen, brauehen wit nut za beweisen, dal~ die zweite der Gleiehungen (48) fttr ~'o~ 1 genau m linear nnabh~tngige LSst~ngen besitzt. Die beiden Funktionalgleiehungen (48) (far ~,o~---1)
(t) (6o.)
a (or) ,2
haben nsmlich gem~iti der Theorie der Fredholmschen Funktional-. gleichung dieselbe Zahl linear unabh~tngiger L~Ssmlg~n. Die Gleiehungen (t30a) sind naeh (48) und (49) genau aqttivalene den G-leietmngen : (t+) = o,
,s (t-) = 0,
385
Rand wertaufg, aben.
welche yon einem Potential 9 (p) der einfachen und einem ,4 (p) der doppelten Sehicht erf~tllt werden. Aus ~ (t-) =- 0 folgt, da13 ~ (p) in den Innengebieten konstant~ in den Aul3engebieten Null ist. Ist ein solehes Potential stets als Potential der Doppelsehieht darstellba B so mug dessen Belegung naeh Satz A~ Kap. 6, der halbe Sprung an der Berandung~ also hier konstant sein. Wir nehmen nun m Funktionen derart an, dai3 an der Berandung des
(61 a)
1. hmengebietes : /cI (D) = .1~ k~ (i)) = 0, . . . , ]c~ O) ---- 0 2. kl O) = o, ks O ) - - 1, . . . , ~o, 0 ) = o ~
m.
,,
.
.
.
.
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.
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.
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,
.
.
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.
.
]~(~)) = 0, k~t)) = 0 7 . . . , / ~ ( ~ ) = 1 9
~.,i
wird. Diese Funktionen l(isen - - far r eingesetzt - - siimtlich die erste der Gleichungen (60 a). Dies entspringt aus der Integraleigensehaft der Funktion h (i)t) naeh (8), Kap. 3. Den Belegungen /q (9), ks (i)),..., k,~ (1)) entspreehen m Potentiale ~ (p) der Doppelsehieht, deren jedes nut in je einem Innengebiete den Wert 2 hat und sonst versehwindet. Offenbar lal3t sieh jedes in den Innengebieten konstant% aul3erhalb versehwindende Potential der Doppelsehieht dutch sie linear ansdrtieken. Diese m Potentiale existieren also wirklieh nnd sind linear unabhgngig. Es mul~ mithin die zweite der Gleiehungen (60a) ebenfalls m linear unabhgngige LSsungen
((~2)
a~ (t), h~ (t), . . ,, a~, (t)
besilzen and die Funktion H(t[}) besitzt in der Umgebung yon )'o ----- 1 die Entwieklung /'/(t ~})
/~ =
(t, {}) 1--X ~-'''~
wobei" ((33) P +~ (t, i)) = h~ (*). s O) -~- h~ (t). k~ O) @ . ' " @ am (t) k~ 0). Die m Funktionen h1 (t), h2(t).., h~(t) liefern uns als Belegungen von Potentialen der einfaehen Sehieht genommen infolge der zweiten Gleichung (60a) genau m Potentiale ((;4)
r~ (p), r~ (p), . . . , r~ (~o),
welehe am Rande des unendliehen Anl3engebietes konstante Werte xnnehmen, in den Innengebieten and in den end.lichen Aul~engebieten aberall konstant sind. Die Punktionen h,~ (i)) in (62) mtissen also an der Begrenzung der eingesehlossenen endliehen Aul3engebiete identiseh versehwindem 25x
386
J. Plemelj.
Die Integraleigensehaft (51) der Funktionen h,~ (t), lrz (0 liefert uns die Gleiehungen
und wenn wir die Werte (61a) der Funktionen ]cf~(t) in Betraeht ziehen~ finden wir daraus
Dureh das dem Integral hinzugeffigte Zeiehen (@ ,~) ist angedeutet worden~ dal3 die Integration n ur tiber die Begrenzung des ~-ten Innengebietes zu erstrecken ist. Wit sehen aus diesen Gleielmngen~ dal3 die Gesamtladung des Potentials U, (p) yon Null versehieden ist und nut auf der Begrenzung des ~-ten Innengebietes vorkommt. Uber die Begrenzung der eingesehlossenen Gebiete braucht nieht integriert zu werden: weft dort die Funktionen ]~(t) samtlieh identiseh Null sind. Der Fall X = - - 1 erledigt sich ahnlich. Wir haben nach (60) Funktionenpaare (1)(/9) und 6` (p) zu bestimmen~ f~ir welche die Gleiehnngen bestehen (66)
0a ~t, n (t-) = 07 6` (t+) = 0.
Zum Bestehen dieser zwei Gleiehungen ist die LOsbarkeit der homogenen Fanktionalgleiehungen + (t) = - - f , + (9)/~ Or) do (66~)
d
(t) = --J),- (t~) ~ (9) dB durch nicht identisch verscbwindende Funktionen :? (t) und 6 (t) erforderlieh. Diese zwei Gleiehungen sind nur gleiehzeitig 15sbar. Nimmt man q~(t) als Belegung eines Potentials qb (p) der einfachen~ 6`(0 hingegen als Belegung des Potentials 6 (iv) der doppelten Sehieht~ so sind diese zwei Potentiale yon der verlangten Eigensehaft (66). Das Potential 9 (p) der einfachen Schieht hat, wie wir bereits naehgewiesen haben -- siehe (56) -- eine versehwindende Gesamtladung~ ist also aueh im unendlich fernen Punkte regular. Aus aO der GMehung (66) ~ (t-) ~---0 folgt~ dal3 (D (p) in allen endlichen -
AuI3engebieten konstant ist und versehwindet nach dem Schlul~satze des Kap. 10 infolge se~ner Regularit~tt im unendliehen Aui3enraume. Wenn solche Potentiale existieren~ so sind sie an der Berandung der Innengebiete konstant und versehwinden im nnendlichen Aufien-
387
Randwert/~o.fgaben.
gebiete. Die Existenz soleher Funktionen wollen wit, wenn es aueh endliehe ,, s gibt, wieder dadureh nachweisen~ dal~ w i t die L~sungen der ersten (31eiehung in (66a) bezw. der Gleiehung + ( t + ) = 0 in (66) geben. Gibt es ~ endliehe Augengebiete~ dann wghle man ~ Funktionen x~ (0), ~ (0),..., ~,,~(~) so, dal~ sie sonst ttberall versehwinderL und nur jedes x~. (~) an der Begrenzang des k-ten endliehen Aal3engebietes gleieh "@ 1 wird. Setzt man jecle dieser Funktionen als q~(~) in die Gteiehnng (66a) ein~ so tiberzeugt man sieh~ wenn auf die Integraleigensehaft (8), Kap. 3~ Bezug genommen und beraeksiehtigt wird~ dag die Normale ans dem endliehen An~engebiet ins Innengebiet positiv geriehtet ist, dal~ die erste Gleiehung (66a) far alle t befriedigt wird. Diese Funktionen x~ ([~) geben uns n Potentiale der Doppelsehieht~ deren iedes nat in je einem d e r n endliehen Aul~engebiete den Weft 2 hat und sonst /1befall versehwindet. Dutch diese Potentiale ist nun offenbar jecles andere Potential ,~ (p), welehes der Gleiehung (! ( t + ) = 0 in (66) entsprieht, linear ausdrfiekbar. Naeh der Theorie der Freclholmsehen Funktionalgleiehung gib~ es gleiehzeitig aueh n linear unabh~ugige LSsungen (1~7)
Z~ (t), Z~ (t),..., Z,, (t)
der zweiten Funktionalgleiehung in (66a) und die Entwieklung yon H(t~) in der Umgebung des Poles X o = - 1 lautet
H ( t ~ = P-~ (tO) , __l_k @''" worin
(68)
P_~ (t o) = xl (t) ~ (~) -~- z~ (t) ~2 (o) + . . . + z,, (t) .,. Ct)).
Die [ntegraleigensehaften (51) gebeu ~tbertragen auf die Funktionenpaare z~(t), zt,(t) die Beziehungen
(6o)
z~(t)dt=l, (-- -
(t)~t=o
~::),,
x}=1,2,...,,,.
(-- t~)
I)ureh das Zeiehen (--k), (--p) am Integral haben wir angedeutet, dal~ die Integration n u r ttber die Begrenzung des k-ten oder p-ten AulSengebietes erstreekt wird. Um die Werte der Integrale j'z'_ (t) dt tiber die Begrenzung der Innengebiete zn erhalten, bertieksiehtigen wir, dag z~(t) und ~(t) za versehiedenen Polen
38S
J. PlemeIj.
(ng,mlieh X~ -- 1 bezw. X= -[-- 1) gehSrige ausgezeichnete LSsungen sind~ dal3 mithin nach (51) unter allen Umst~tnden gilt: (t) k (t) d t = 0 bei tier Erstreekang des Integrals filer die ganze Begrenzang, Die Fm3iktion k,,(t) ist nut auf der Bezrenzung des v-ten Innengebietes gleieh 1 and versehwindet sonst. ~Wir haben deshalb (70)
fZ,~ (t) dt = O. (+ ~) ]
Konstruiert man sieh mit den Belegungen Z~ (i)), 7,.~(1)),...~ Z,~(~)) Potentiale (P (p) der einfaehcn Sehieht, so werden dieselben infolge tier zweiten Gleiehang in (66a) der Bedingung (66) --~n ( t - ) = 0 entspreehen und also innerhalb der endliehen Aul~engebiete konstant sein~ im unendliehen Aul~engebiete versehwinden. Die Gleiehung (69) zeigt~ da[~ das Integral [;(i, (t)d t erstreekt (--).)
fiber die Berandung des X-ten Aui3engebietes gleieh ist @ 1. Diese Berandung gehSrt auch zur Begrenzung des Innengebietes~ welches das X-te ,,endliehe Attt3engebiet" umsehliel3t. Das Integral (70) fiber die Gesamtbegrenzung des umsehliel3enden Gebietes ist Null~ es mug also die Erstreekung desselben nur ~tber die das anendliehe Aul3engebiet berahrende Berandung den Wert - - 1 geben. Jedes der mit den Funktionen i(~ (t), Z2 (t), . . . , Z,~ (t) konstruierten Potentiale (71) F' t (p), [I'2 (p), . . . : r', (p) hat atff dec Begrenzung je eines endliehen Auf~cngebiete,s dne Gesamtbelegung, welehe gleieh @ 1 ist, auf der Begrenzm~g des umsehliei3enden Innengebietes ist die Gesamtbelegung - - 1 und versehwindet sonst auf den tibrigen Kurven bezw. Fl~iehen. Die Potentiale F' 1 (p): F',2 @) . . . F', (p) sind linear unabhi~ngig und l~ings jeder Berandung konstant; im unendliehen Aul?engebiete s[nd sie /iberall Null. Wenn wit zu den einzelnen Potentialen (71) jenes der l';)~c~ia]e (64) hinzuf~gen~ welches nut auf der umsehliei3enden Kin'v,,: bezw. Fl~iehe die Gesamtbelegung'@ 1 besitzt~ so wird man wiecler Potentiale erhalten, welehe aut~' alien Kurven bezw. Flsct~en konstante Werte annehmen~ jedoeh auf der Begrenzung nut je einer eingesehlossenen Kurve bezw. Fl~tehe die Gesamtbe!egung @ 1 haben. Beze[chnen wit diese Potentiale mit F,, + ~(p), F,~+ 2(ie), ~,., F~ + ~(p): so haben wir mit (64) genau N~---m @ n Potential% weiche auf
Ran(lwertaufgaben.
389
jeder Kurve hezw. FL~tehe konstante Werte annohmen~ aber nut anf je einer eine nieht versehwindende Gesamtbelegung besitzen. Wit haben den Satz: Besteht die Begrenzung eines Gebietes aus N gesehlossenen~ sieh nieht durehsehneidenden Einzelknrven bezw. F l a e h e n yore b e l i e b i g e n Zns a m m e n h a n g , so g i b t es g e n a u N P o t e n t i a l e d e r e i n f a c h e n S e h i e h t ~ we l e h e n u r a n f j e e i n e r E i n z e l kurvebezw. Flt*ehe eineniGhtverehwindendeGesamtbelegungbesitzen end aufjeder derKnrven o d e r F l g e h e n k o n s t a n t e W e r t e a n n e h m e n . (Das Fnndamentalsystem der Konduktorpotentiale.) . Die Frage naeh tier Bestimmung eines Potentials mit anf der Begrenznng konstanten Werten werden wir im nttchsten Absehnitt behandeln, 17. Im Abschnitt 16 haben wir gezeigt, dal~ es bei Vorhandensein yon N gesehlossenen Kurven oder Fl~tehen genau N Potentiale (7~)
I"1 (is), ,-'~(p), ra @ ) , . . . , V~,(p)
aer einfachen SchiGht gibt, deren jedes auf jeder Kurve bezw. Fl~tehe konstant ist nnd nut auf je eider derselben eine yon Null verschiedene Gesamtbelegung hat. 1) Wir haben N Funktionen (Kondttktorbelegungen)
hi (0, h~ (t), h~ (t),..., l~. (0, welehe dureh
r. (is) = jv (1>o) a,~ (~) d ~
~,.= ,, 2,...,
24
die N Potentiale (87) geben nnd das Integral
(Ta)
;h,, ({})dg
g,= *, %..., N
erstreekt nnr aber die ,u-te Knrve oder F15ehe 1 ist~ sonst ~ersehwindet. Ans dieser Eigensehaft folgt sofort die lineare Unabh~ingigkeit der ~Konduktorpotentiale" (72). W~iren sie night linear unabDtngig~ so Dttten wir ni~mlieh ein dutch (72) lineal- mit konstanten Koeffizienten ansdrtiekbares KondnktorpotentiM [" (p) [' (P) = c, C~ @) q- c~ I'~ (Z') @ ' " ' q- c~,'i'~ (p) = 0, welches identiseh versehwinden wttrde. Infolge der im :Satz B, Kap. 5~ ansgedraekten Unstetigkeitseigensehaft des Potentials tier einfaehen Sehicht, versehwindet die Belegang tiberall identiseh~ 1) Vergl. N e u m a n n , E. R., Mathem. Analen. Band 55 und 56~ Zaremb~,, BaH. internat, de l'Ac. de Cracovie, lB. Okt. 1902.
390
J. Plemelj.
wenn das PotentM der einfaehen Sehieht Null ist. potential P(p) hat nun die Belegung
Das Koduktor-
und diese kann nat dann identiseh Null sein~ wenn s~tmtliehe Koeffizienten el~ c2, . . . , es einzeln versehwinden ; dies ist eine Folge der Eigensehaft des Integrales (73). Die direkto Bestimmung der Belegangen h 1 (t)~ ... ~h,v (t) werden wir in einem folgenden Absehnitt vornehmen; hier behandeln wir zwei Aufgaben~ welehe in der Fnnktionentheorie and in der mathematisehen Physik yon hervorragendem lnteresse sin& Diese Konduktorenprobleme.sind : 1. D i e B e s t i m m u n g elnes Konduktorpotentials mit gegebenen Ladungen auf jedev einzelnen Karve bezw. F l i t c h e. 2. D i e B e s t i m m u n g eines Kondaktorpotentials mit gegebener Gesamtladung und gegebenen N Kons t a n t e n , w e l e h e es a u f d e n e i n z e l n e n K u r v e n bezw. F l ~ t e h e n a n n e h m e n soll. Im Falle des Raumpotentials kann statt der Gesamtladung aueh der Wert des Potentials im Unendliehen vorgegeben sein~ so dal~ wir als 3. Aufgabe noeh betraehten: 3. D i e B e s t i m m a n g e i n e s K o n d a k t o r p o t e n t i a l s im R a u m e m i t v o r g e g e b e n e n k o n s t a n t e n W e r t e n a u f d e n e i n z e l n e n g e s c b l o s s e n e n F 1 5 e h e n a n d im U n e n d lichen. Die LSsung des ersten Problems ist ein Potential ['(p) = c~ [', @) + ~, 1'2 0') + " 9 9+ ~.,-r,,-(p), in dem die Konstanten ct~ ce~...~ e~- dutch die Natttr tier Aufgabe unmittelbar gegeben sind. Infolge der Eigensehaft der Potentiale (72) hat n~tmlieh das Potential F(p) auf tier ~t-ten Kurve bezw. Fl~tehe die Ladung c,,~ welehe eine gegebene GrOl3e ist. Um die Aufgabe 2 zu ltisen~ sei m die gegebene Gesamtmasse und C1~ C2,..., C:v seien die konstanten Werte, welehe das Konduktorpotential F(p) auf den einzelnen Kurven odor Flitehen anzunehmen hat. Das Problem verlangt die Bestimmung yon N-~- 1 Konstanten c1~ c2~" "7 c~v~ C~ so dal~ das Potential V(p) = ~ F, (p) + c, r, ( p ) @ . . - + c~,.r~(p) + C die verlangte Eigensehaft hat. Bezeiehnet man den Wert des Potentials F~,(p) auf der v-ten Kurve bezw. Fl~tehe mit F~,~.~ so sind die Bedingungen
(74)
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
391
Randwertaufgaben.
zu erftfllen. Aus diesen und der obigen Gleiehung ergibt sieh dureh Elimination der Konstanten c~, % . . . ~ c,v~ C die Determinante S (p), r~ (p), ~,~@ ) , . . . , S~,-(p), 1 C2~ FI~ ~ 9
9
9
m,
9
.
l'22 , 9
9
1~
,
...,Fro: ~
1
.
9
9
.
...~
1 =0~ 9
,
1,
.
O:
welehe das Potential F(p) bestimmt. Die Unterdeterminante yon F(p) versehwindet niemals; ware dies n~mlieh tier Fall, so k~nnte man ein derartiges System nieht identiseh versehwindender Konstanten cl, % . . . ~
q _ c = ~ r . + q v~, § (75)
+ <,~r,
c, - - c = ~ r . + h v~,~+ . . . + c~vr:,,~ .
9
9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
aus welehen in Verbindung mit der obigen
r(~,) - - c = ~, q (p) + c~ c, Q) + . . . + <,&,~(p) die Determinante
r ( p ) - - c, ri(p), V~(p),..., r~(p) Ci - - C:
F11: l'2i) ...:Fa,1
::,?: =o
392
J. Plemelj.
folgt~ und aus dieser ergibt sieh das Potential F(p), Die Unterdeterminanle yon F ( p ) - - C versehwindet nieht~ man Mtte sonst nieht sgmtlieh versehwindende Werte ftir q, % . . . , ezr ffir welehe die linke Seite in den Gleiehungen (75)tiberall Null w~tre. Das mit diesen Konstanten gebildete Potential e1 F1 (p) -Jr- e~ F~ (p) @-...-@ e,v Fly (1))
w~tre in der ganzen Berandung und aueh im Unendlichen Null. Es versehwindet identiseh, was infolge der linearen UnabMngigkeit der Konduktorpotentiale (72) wieder nut m~glieh ist~ wenn s~imtliehe KoeNzienten c~ c.~...
auf jeder einzelnen Kurve oder Fl~iehe konslant. Multipliziert man diese Gleiehung mit h~(t), so folgt naeh Integration~ welm die o
gigensehaft (73), wonaeh
[l~(O) d~} nur bei tier Integration fiber ~d
das v-re Sttiek der Berandung yon Null versehieden fund gMeh @ 1 i% die Gleiehung
Und aus dieser Darstellnng folgt die Behanptung F,. . . . F,,,,. 18. Die L5sung der Randwertaufgaben 1
(41)
I~V(t--)]- " 6V
.
a
'
(t)] = /(0 6v
= f (t)
393
Randwertaufg-aben.
gesehah dureh die Bestimmnng der Belegungen x (~) und ,u (~)) der Potentiale d
(42)
P
v (p) = j ~ (p 0) ~ (0) d ~. Ist eine LSsung H(ts) der Funktionalgleichungen
bekannt( so ergeben sieh die Belegungen x (t) und ~(~)) in der
Form 1) z (t) -~- f (0 @ Xf f (a) H (0 t) d {t
(4!~)
/,
bt (t) = f it) + xjH(t ~)/ (0) d U. Setzt man die so erhaltenen Werte far x (t) und ~ (t) in (42) ein: so erh~tlt die LiSsung die Gestalt
W (1,) = f f ({}) H ({}.lo) d {} d P
r(p) = j a (po) / (u) d wenn H (t~p) und G (p~ t) der Kttrze halber die dureh
H ( t ~ , ) - 1, (tp) = Xf
O) h (~)~o)go
(4.~)
fv (p, O)H(~t) g~
G@t) --a ( ~ ) = "~
definierten Funktionen sin& Vergleieht man die erste der Gleiehungen (44 a) mit (44)~ so sieht man~ dal~ die neue Funktion H (t p)~ in der p irgend ein Pnnkt des Gebietes ist, nur eine Ausdehnung der Funktion H(ts), in weleher beide Punkte t und s der Begrenzung angeh~3ren~ auf einen beliebigen Punkt p des Gebietes ist. Diese Ausclehnung gesehieht dureh Vermittlung der Funktion h (tp)~ wdehe ebenfalls eine Verallgemeinerung der Funktion h (is) der Begrenzung vorstellt. Wenn wir in der zweiten Gleiehung (44a), wo zun~tehst t ein Punkt der Begrenzung bedeutet~ einen allgemeinen Punkt q einsetzen, so erhalten wir die Funktion d~ in der p und q irgend welehe Punkte des Oebietes sein k~nnen. *)" Die hier vorgenommene Vertauschung der Integratlonsfo?ge erscheint~ wle alle welter noch vorzunehmenden~ nach dern Satae des Kap. 7 unbedenMich.
394~
a. Plemelj.
Diese Funktion G (p,g), welehe mit H(tp) in ganz analoger Beziehung steht, ~ie die Fanktion g (pq) mit h (tl))~ wollen wir die zu den Randwertaufgaben (41) gehSrige G r e e n s e h e F u n k t i o n I"1812n On,
Die Gleiehnngen (44a)' ergeben sieh auch~ wenn man die L~Ssungen der beiclen Fnnktionalgleiehnngert H (44~b) G @, 1) - - x f
g(~,o)h(ot)~u
=
v(z,t)
sueht and dabei den Pankt p nut als einen konstanten Parameter festhalt. Diese beiden Integralgleiehungen gehen in (43) Kap. 13 aber~ wenn ,u,(t) = fI (t p), x ( t ) = G(pt) gesetzt wird nnd far f ( t ) d i e Funktion h (tp) bezw. ~t~(p t) genommen werden. Die L0sung (45) geht mit diesen Werten.~nmittelbar in (44a) tiber. Multipliziet't man in (44a) die erste Gleiehung mit g (qt)St und integriert tfioer das Oebiet, so folgt bei Bertteksiehtigung der zweiten Oleiehung (44a) mit Leiehtigkeit die Relation
f g (qt) H (tp) dt-~ ;G (qt) h (tp)dt und wit kSnnen diese Cxleiehung sowie (4zta) un~l (44b) folgendermaiden zus~mmenfassen :
~,fa (t o) ~(~p) d~ = x/~(t~)h (op)ao = ~1(tj,)- i,(,~,) (77) x.,/) (q O) H ~Op) e o = aj G (~ o) a (o p) a o = a (qp) -- u (q 2.,). Die vier Gleiehungen (77) sind widerspraehslos und definieren die l~'unktionen H(tp)nnd G (flP) far alle Punkte des Oebietes voll~t~tndig, man kann in denselben f*~r p und q aueh Punkte der Berandung verstehen; dann enthalten sie aueh die Resolventen (44). DiG Fnnktion H (tp) steht mit der Gre en sehen Funktion G(q,p) in einem engen Zusammenhang. Um diesen aufzudeeken: bemerken wir: dal3 in (77) das erste Integral tier zweiten Gleiehung bezaglieh des Punktes q eln Potential tier einfaehen Sehieht ist mit der Betegung H (,3,p)~ in tier p a i s ein Parameter auftritt. Wir fibertragen den Sata B~ Kap. 5~ auf dieses Potential. Es kommt
•
2
j
ga~awsna~gauen. Der Index t i m Zeiehen ~
395
zeigt an, dag die Differentiation
langs der Normale im Punkte t zu verstehen ist. und Subtraktion dieser Gleiehungen gibt a
Die Addition
~%-e (t-, p ) = (I § x) ~(t~)
(Ts) a G(~,+,p)=(1 --x) H(tp).
~l~t
Aus den Relationen (78) erkennt man 7 dal~ die Funktion H(tp) aus der G r e e n sehen Funktion in ganz analoger Weise folgt~ wie die Funktion h(tp) aus tier Grundbsung g(q,P), mtmlieh dureh Ableitung naeh der Normal% sowohl naeh der inneren als naeh der ~tul~eren. Beztiglieh des Punktes p ist bei festgehaltenem q das erste Integral der zweiten Gleiehung (77) ein Potential der Doppelsehieht 7 also am Rande gem~t[~ den Gleiehungen des Satzes a i m Kap. 6 unstetig. Es ergeben sieh die Gleiehungen (79)
G (q, t+) = (1 @ ~.) G (% t)
(~ (~7 t-) = (t -- x) ~ (q, t).
Die Beziehungen (78)und (79) draeken die Unstetigkeitsverhitltnisse der G r e e n s e h e n Funktion entlang der Begrenzung aus. Das eleganteste die G r e e n sehe Punktion betreffende Theorem bildet folgendes : P~eziprozititsgesetz: D i e G r e e n s e h e F u n k t i o n G(p~) b e s i t z t d i e Eigensehaft
(p ~) = G (q ~), w e n n d i e P u n k t e p a n d q b e i d e e n t w e d e r im Innengebiete, o d o r b e i d e im A u g e n g e b i e t e o d o r in d e r B e g r e n z u n g l i e g e n . S i n d f e r n e r p ~ t der R e i h e n a e h die B e z e i e h n u n g e n ffir i r g e n d e i n e n Innenpunkt~Aul~enpunkt u n d R a n d p u n k t 7 so g i l t (i @ X) e (io, q) = (i -- X) G(q,p) G (t, 2P) = (1 -}- k) G (p, t)
G (t, q) = i1 -- x) G (p, t) ~) Dieses Gesetz mul3 aus dem Reziprozitatsgesetze (10)7 Kap. 47 hervorgehen 7 denn die Funktion G (qp) ist ia einzig dutch die Funktion 5' (~/P) bestimmt. 1) Die beiden letzten Gleichunffen sind iibrigens mit Bezug auf (79) berelts eiine Folge aer anderen.
396
J. Plemelj.
Die G r e e n sche Funktion G (p~ q) wird zuerst ftir Punkte t~ s der Begrenzung definirt~ da aus der Funktion~lgleichung (44) ocler (777 aus h (ts) sich zungchst die Funktion H(ts) ergibt, ia der t und s Punkte der Berandung sin& Erst wenn diese Funktion bestimmt ist~ lii/~t sich aus der Gleiehung (77) eine Ausdehnung auf beliebige Punkte des Gebietes bewerkstelligen. Wit haben demnaeh zunttehst das Reziprozitiitsgesetz for zwei Ranclptlnkte t lind s zu beweisen~ d. h. zu zeigen, daf}
(ts) = e (st) ocler: was zufolge (74) dasselbe ist~ die Gleiehung
abzuleiten." Analog der Bezeiehnungsweise
g~ (q,p) =
fg
(~ ~) t, (%),~z
des Kapitels 4 sehreiben wit zur Abktirzung
/ Die Gleiehheit dieser beiden Integlale ist in (77) ausgesproehen. Wir multiplizieren die Gleiehung (44)~ welehe wir in der Form H (u s) -
a f a ,o ~) ~ (~.~) e ~ = a (o,)~)
sehreiben ktinnen, mit g (t~))dO und integriren. Naeh der eingeftihrten Bezeiehnung ergibt sich die Gleiehung
(o)
G, (t s) - - >,f Y : (t a) 1-1 (z ,) ~l a -~- Yl (t s).
Unter dem Integralzeiehen wenden wit des Reziprozitatsgeselz 10) fiir gl (1z) an~ d. h. wir sehreiben gl (t 6) = g, (z t) =f~,
(o ~) I, (o t) d o.
Es erseheint auf diese Weise
< (,,) - a f v , (0,7 a (0,,) g u =
v,
(**).
Wird diese Gleichung als Funktionalglelehung ftir G~ (ts) aufgefal~t~ wobei s nut als ein Parameter fungiert~ so ist sie genau yon x) Die Integration nach ~ erstreckt slch natiirllch tiber die ganze Berandung.
Randwertaufffaben.
39 7
der Form der ersten Gleichung (43). Die L(Ssung ergibt sich nach (45)~ und zwar (,~)
G~ (t 8) -
@ , (~ 8) H
(9 t) ~ ~ = gl (t s ).
Vcrgleicht man dieso Oleichung mit der obigen (a), nachdem in der einml die Bachst~ben s and t konsequent miteinander vertanseht werden~ so erscheint
zavor
G~ (t 8) = G~ (8 t) and daraafhin aus (77) das Reziprozitatsgesetz ftir G(ts) selbst. Ftir Punkte der Begrenzung ist das Reziprozitatsgesetz erwiesen. Auf die Punktion G(tp), in der p schon ein beliebiger, t noeh immer ein Randpunkt ist, kann jetzt das Gesetz leieht erweitert werden. Wit nehmen in dcr zweiten Gleichung (77) ftir q den Punkt t and haben somit
Unter dem Integralzeiehen kann das Reziprozittitsgesetz far G(tD) bereits Verwendung finden~ da t and ~ beide Randpunkte ,,lind. Naeh (77) sehreiben wit nun
Es folgt nach Einsetzen in die vorangehende Gleichung
)'gl
i
Nun verwende man das gezlproziti~tsgesetz (10), wonaeh
ist und das obere Zeieher~ Innenpunkten p, das untere Augenpunkten p zukommt. Man bekommt
Fagt man hierin die Glieder mit :~ zusammen und setzt
~l (~),l,=Jff (pG) h (~l) d~;
b e z w . ffl
(P~) =jff (1~)(~)h ('~) dG e]II, SO
bekommt man ftir das Giied aaf der linken Seite:
(3t)d~)]d~) zk k [g (p t)@)fg(p
~) H(i) t)dU].
398
J. Plemelj.
Von den Klammergri~i3en ist naeh (77) die eine H (zt), die andere G(pt). Es ergibt .sieh
kj'g (pa) H (zt) da ~ k G (pt) = G (tp) -- q (tp . Das Integral in dieser Gleiehung ist naeh (77) gleieh G (p t) --
- - g (pt)~ folglieh haben wit a (q,) = (1 • x) a (v t), und hierin entsprieht das obere Zeiehen Innenpunkten 1), das untare gilt ffir Aul~enpunkte _p. Der Beweis der weiteren S~ttze hat an tier Hand der bereits abgeleiteten keine Sehwierigkeit. Die Ausdehnung auf ganz beliebige Punkte q~ p eNibt sich aus (77) in der bisherigen Weise, weshalb wir uns die Ableitung des tibrigen Teiles veto Reziprozitatsgesetze erlassen kSnnen. 19. In der Umgebung eines Poles ~,o yon H(ts)~ werden naeh (77) die Funktionen H(tp) und G (qp) bei unbegrenzter Anngherung des k an ~o beliebig waehsen mfissen. Die Funktion G (qp) besitzt nach (77) keine anderen Pole als H(ts); infolge der Gleiehungen (78) mul~ G(qp) alle Pole yon H(ts) auch wirklieh besitzen. In der Umgebung der singulgren Stelle Xo werden wit Entwieklungen der Form haben
Pctp) Lr (tp) = # (q,) -4-~,o_~ (80) G (qp) = ~ (qp) + ~,o Q (q'P) ko - - k Die Funktionen 5~(@) und ~ ( q p ) sind selbst far k ~ k o endlieh~ sie leisten~ wenn in denselben k = ~o gesetzt wird, bei diesem singulgren k-Werte einen ghnliehen Dienst, wie die (3-r eenschen Funktionen im Mlgemeinen Falle. Die Werte der Residuen P(tp) und Q (qp) werden sich aus dem Residuum
(81)
P(ts) = ~ (0 q (~) 4- ~ (t) % (,9 + . . . -4- ~ (t) % (~)
dureh die Formeln (77) bestimmen lassen. Das Einsetzen yon (80) in (77) ergibt naeh Multiplikation mit Xo - - k und naehherigem Grenzttbergang k = )'o die Gleiehungen P (t_p) = ),o (P (t ~)) h (~)p) d 0 (82)
J (i
Q (~.,) = / g (q o) p (op) d {~,
399
Randwertaufgaben.
welehe P (tp) and O (qP) durc,h das Residuum P (t s), worin t and s Randpunkte sind~ definieren. Die Gleichangen (82) lassen erkennen~ dal~ aaeh P(tp) and Q (qp) analog der Gteiehung (81) in eine Summe yon Produkten zerfallen. Wit haben naeh (81) and 82)
(83)
~, (q,) = % (t) ,~ (v) + % (t) % (p) + . . .
+ %, (t) ,.,, (l))
0 (q~o) = 4), (q) ,~, (p) q- 4).~ (q) ~ (p) + . . .
+ 4)k (q) *k (p).
Die Funktionen (84)
4, (P), ~,~ (P), 9 " *,k (P)
sind die dureh die Gleiehungen
(84 ~)
~i (p) = Xof~, (0) a (o~o) ~ ~
; = 2, 2,...
k
definierten Poten{iale der Doppelsehieht. Die Funktionen (85)
+~ (q), +, (q), ... % (q)
sind Potent:ale der einfaehen Schieht~ die naeh (82) dureh
(85 a) "
4), (q) = (g (q 0) ~ (0) d {~
~= ~, 2,... ~
za bestimmen sind. Diese Potentiale genfigen~ da die k Funktionenpaare qo~(t), 4; (t)~ i = 1, 2,.../c den homogenen Fanktionalgleichungen (48) entsprechen~ den homogenen Randwertaufgaben (49) n~tmlieh
(49)
(1 - ~o) ~ (t+) = (1 q- Xo) ~, (t-) 04) (1 -- k0)~-n (t-) = (1 --~ ?'o) ~ - (t+).
Das Potential 6 (/5) der doppelten Sehieht ist am Rande nnstetig. Vergleieht man die Gleiehung (84a) mit der zweiten in (r so sieht man~ daft nach dem Satze vt~ Kap. 6~ die Funktion ~.k(t) genatl tier Nittelwert yon ~(t+) rind $(~-) ist. Die Analogie d.es Integrals (84a) mit (48) entsehuldigt die Beibehalmng des Zeiehens ~ ftir dieses Potential der Doploelsehieht. Die Funktionen (85) nennt man naeh P o i near6~ die tier singul~tren Stelle Xo entspreehenden F u n d a m e n t a l f u n k t i o n e n . Diese Funktionen bleiben als Potentiale der einfaehen Sehieht beim Durehgehen dutch die Berandung stetig. Wir wollen uns nun tiberzeugen, dai3 dutch die Funktionen ,,51(p), r (p), ... 4,k (p) 5Ionateh. ftir 3Iailaemaiik u. Physik. XV. J'ahrg.
26
400
J. Plemelj.
keine wesentlieh neuen Potentiale gegeben sind~ da6 sie vielmehr sowohl im Innen- als aaeh im Aul~engebiete dureh die Fandamentalfunktionen (85) linear darstellbar sind. Um dies zu beweisen, nehmen wir die G r e e n s e h e Funktion G (~,p). Sind t und s zwei Punkte der Berandung~ dann gilt das Reziprozit~ttsgesetz
(t 4 = ~ (~ t). Setzt man hierin den Wert (80)..ein~ So gibt die Multiplikation mit ) ' o - k und d~raufhin der Ubergang k = ko die Gleiehung
0 (t ~) = 0 (s t) oder
r (t) q,~ (s) -t- % .(t) ~ (~) -/- ... ~- r (t) % (~.) = = r (~) ~, (t) +. % (s) ,,, (t) +... § r (s) % (t).
Die Funktionen r (s)~ ,Ca (s), ... ~ (s) sind linear unabh~tngig ; man kann hierin naeheinander k versehiedene solehe Werte ftir s w~thlen~ dal~ die entstandenen k Gleiehungen naeh den Funktionen q)~(t), (I)2 (t)... (1)k (t) auflssbar sind. I)iese ergeben sieh als lineare Kombinationen der Panktionen (84). Man bekommt demnaeh
(s6)
r (t) = a., ~(t) § a,,~ ~ (t) + . . .
4- ".~ r (t)
[z ~ 1~ 2, . . . k
Das Reziprozit~ttsgesetz gibt ferner die weitere Gleiehnng (1 ~ Xo) G (p t) = G (t~)), in welcher das obere Zeichen fttr Innenpunkte j@ das unter ftir Aul3enptmkte p gilt. Ftihrt man hierin den Weft (80)fat" G(pt) and G (tp) ein, so ergibt sieh die Gleichung (1 ,-4- Zo)O (pt) -~- O (tp) und daraus infolge (83) and (86) (86 a) (1 :t: )'o) Off (p) = at,1 ,r (p) @ a ~ ,,52(p) @ . . . --~ a,k
q~k(P),
in weleher wieder das obere Zeiehen im Innengebiet% das untere im Aul~engebiete gilt. Diese Gleiehung ist eine Erg~tnzung zu (86); sie zeigt den Zusammenhang tier Funktion (84) and (85). Die Koeffizienten a~, in (85) lassen sieh tblgendermal3en bestimmen. Wir multiplizieren (86) mit % (t) und integrieren tiber das Gebiet; es erseheint infolge der Integraleigensehaften (51)~ denen die Funktionen q~(t) und ,)(t) entspreehen
(87)
a,~ = f r
(t) ~, (0 dr.
oder mit Rtteksicht atzf (85 a)
(87 ~)
~,, = [ ~ g (t ~) ~,, (t) ~ (~) ozt d ~. JJ
Randwertaufgaben.
401
Das Koeffizientensystem (a~,) ~[ == 1, 2 , . . . ]cist symmetriseh, es ist a#
~, ~ -
ltr /,c .
Wir zeigen bier die wiehtige Tatsaehe~ dal3 die Koeffizienten
all~a2~, ... az~k samtlieh positiv sind: mit der etwaigen einzigen Ausnahme ftir Xo = 1 beim logarithmisehen Potential. Wegen (85a) gilt fiir das Potential d)~(p) der einfaehen Schieht die Gleiehung 1 73 O~,
,
aO~ (t+)
Setzt man in (87) diesen Wert ein: so erh~lt man 1
c%~ = ~ [ J (*F) + J (~I'+z)]. Die lntegrale J (OF) und J (~+) sind nach (2), Kap. 2 und (2a) Kap. 107 far alle Potentiale (P,(p), die im Augengebiete eine versehwindende Gesamtladung besitzen und nicht identiseh ~ul[ sind: stets positiv. Wie sehon gezeigt~ ist (I)s (p) stets ohne Gesamtladung~ wenn ~0 nteht g e r a d e - ~ 1 ist. Hiemit ist die Behauptung bewiesen. Wit wollen nun naehweisen, dal3 die Funktionen ~ (t) und + (t) in (81) stets so gewahlt werden ksnnen, dag in (86) die Koeffizienten a~t~ :-= 1 (~ ~ 1, 2, : ~ k) werden und die iibrigen samtlieh versehwinden. ~) Unter diesen Umst~nden htttte man ohne weiteres Man drtieke in (81) die Funktionen ~ (s): + (s), 9 9 +.k (s) dureh z andere linear unabh~tngige Funktionen +'~ (s): +'2 (s), ... ~'7~(s) linear aus. Ftir P(ts) ergibt sieh dann eine zu (81) analoge Gleiehung (81
)
P(ts)=,'
+'
'
'
9
'
'
und as sind die Funktionen q~'~(t): ~'~ (t), ... ~'~ (t)lineare Kombinationen yon % (t), q)2 (t), ... %~ (t). Die Gleiehnng (83) geht in eine andere itber, in der die Funktionen % ,~ dp dureh ~'~ if', d)' ersetzt werden und worth die Funktionen O' (p) mit d)(p) naeh (85 a) unter einander genau dieselbe Relation zeigen, wie die Belegungen ~' (t) und r (t). Wir lassen nun in (81 a) ausser der Funktion ~ (t) s~tmtliehe ~tbrigen Funktionen ~' (t) mit den ~ (t) yore gleiehen Index tibereinstimmen. F~ir ,,~'~(t) setzen wir (88)
~'x (t) = x z ~ (t) + x2 6~ (t) -@... --~ x~ 6~ (t). a) ~it anderen Worten: D~e ~us den K~)effizienten(a~) gebildete quadratische Form ist definit posltiv. 26*
402
J. Plemelj.
I)er Vergleieh yon (81a) mit (81) zeigt~ da~ zwisehen ~' (t) und q~ (t) die Beziehungen bestehen q~ (t) -m-xa q~',(t), ~2 (t) = x 2 q~; (t)-@ q~; (t), 9 9 %~ (t: = x k ~e'l(t) -~ '~i: (t). Dieselben Beziehungen bestehen naeh (85a) zwisehen (I)(t) und ~b' (t). Wit haben also
(t)= <
(0.
Die Koeffizienten Xl, x ~ . . . xT~ kSnnen wit nun so bestimmen~ dal3 9 It
(t) =
(t).
Naeh der vorangehenden Gleiehnng ist mit Bezug auf (88) n~Stig, dal~ 9 ~ (t) = xl Ix1 +7 (t) + x 2 +2 (/) + " ' x~ +,~ (t)l" Wird diese Gleiehung mit (86) verglichen, so folgen die Bedingungen X~ ~ ~11 ~ Xl:X2"-'~':Xk-'~--Clll:~I~:''':~lk~ und diesen kann~ well all positiv und yon Null versehieden ist, stets in eindeutiger Weise entsproehen werden. Mann kann nun ttberall die Funktionen % +, (b dutch die Funktionen ~'~ ~', (b' ersetzen. Liif~t man dann der Einfaehheit haIber die Akzente wieder weg, so bleibcn die fraheren Beziehungen alIe erhalten, Die Gleiehu~g (86) vereinfaeht sieh nun, da qb' (t)=+'~ (t) war. In derselben ist der Koeffizient ct~ = 1, w~thrend a ~ = az, = 0 far bL= 2~ 3~ ... k gilt. Nun kann man fortsehreitend wieder die Funktionen +' in (81a) sonst alle den + in (81) yon gleiehem Index gleieh setzen, nur sei 9 ; (s) = x~ +~ (s) @ xa +a (s) @ " " § xk % (s)' Dutch diese Substitution werden die Koefilzienten a~,~ ct~ ... a~ nicht tangiert. Die unbestimmt gelassenen Koefflzienten x2~ x a , . . , xk k~nnen so ermittelt werden, dad % (t)= +; (t). Der weitere Vorgang is~ klar. Man wird eine Darstellung yon P ( t s ) in (81) erhalten kSnnen, da~ die Funktion +~ (s) gleieh wird der nach (85a) aus %.(t) bestimmten Funktion q~ (s) oder mit anderen Worten: Die Funktion q~e (t) in (81) ist die Belegung eines Potentiales ) " ~ 9 q~ (io) der emfaehen Sehmht~ welches am Rande genau den Were der konjugierten Funktion 6 (t) annimmt. Die Gleiehungen (86) und (86a) lauten hier einfaeh
% (t) = % (t) +,, (1)) = (1 :E }o) 9 (p),
R~,n4wertaufg~ben.
~:03
wobei das obere Zeiehen im Innengebiet% das untere im Aussengebiete gilt. Ein derartig bestimmtes System yon Fundamsnialfunktionen (I~1(2), ~ (P)~ "" Ok (p) soll k a n o n i s e h genann t werden. Wit k0nnen nun in Verbindung mit (83) den folgenden Satz ausspreehen : D a s zu e i n e m s i n g u l ~ t r e n W e r t h e ~ o g e h S r i g e R e s i d u u m P(ts)-~lim (},o--k) H(ts) d e r l i ; s e n d e n .~=;i o
Funktion
H(ts) k a n n s t e t s in d e r F o r m
P(ts) = ,,, ~ (t) 0~ (s) + ~ (t)
r
(~) -1- ....
-t- ~-p~(t) ck (s)
dargestellt w e r d e n ~ in d e r j e d e s r ) der Randw e r t s i n e s P o t e n t i a l s (I);;@) d e r e i n f a e h e n S e h i e h t ist~ w e l c h e s d i e d a z u g e h S r i g e F u n k t i o n q%(t) als Belegung besitzt. Dutch dieses 7:kanonisehe" System r (:P), % @), ' " r @), yon FundamentalfunktionenPoineargs l~tl~t s i e h d a s R e s i d u u m ko (2 (qP)-=- l i m (?o-- k) G (q, p) d e r d e r Z=~
o
Randwertaufgabe (41) e n t s p r e e h e n d e n F u n k t i o n G(qp) in d e r F o r m
r (~p) = ~[r (q) r (p) § ,~ (q) r (~,)§
Greensehen
+.r
(~) r (p)]
ausdrtteken. D i e K o n s t a n t e c i s t 1~ w e n n p e i n R a n d p u n k t ~ l @ X o bezw. 1--),o~ w e n n p e i n I n n e n bezw. Aussenpunkt d e s G e b i e t e s ist. D i e e t w a i g e einzige Ausnahme maeht der singulare Punkt Xo = @ l beim logarithmis.chen Potential. Dieser Satz enthalt das bemerkenswerte ENebnis ~ dal~ das Residrmm Q (qp) beim Zusammenfallen der Punkte q and p nut Werte einss bestimmten Zeiehsns anzunshmen f~thig ist. In dieser Tatsaehe liegt die M0gliehkeit anf der Begrenzung des Gebietes voNesehriebene Werte naeh den Fundamentalfanktionen darztlstellen~ ahnlieh den naeh KugelpoIynomen fortsehreitenden Funktionen auf der Kugel. Das kanonische System yon Fundamentalfunktionen geht, wie leieht zu sehen, dutch jude orthogonale Substitution wieder in ein solehes fiber. Diese Substitutionen sind aber aueh die einzigsn~ dsnen gegentiber tier kanonisehe Charakter sines Systems unempfindlieh ist. 20. In tier Umgebung einer singul~tren LStelle wird die LUsung der Randwertaufgabe (41) im allgemeinen ebenfalls einen singulai'en Charakter zeigen. Wir wollen nun zusehen ~ unter welchen Berlin-
404
a. Plemelj.
gungen die Randwertaufgabe (41) trotz den singularen Werte ~-o l~sbar ist. Die Belegungen z (t) und ,~ (t) der Potentiale W (19) ~and V (19) habenwir durch die l~sende Funktion H(ts)nach (45) ausgedrtickt. Es ergab sich X
(l) = f (t) -~- ),./f ([}) H (Ot) dO
(t) = / (t) + x f H (t ~) f O) d o. In der Umgebung einer singul~tren Stelle )'o hat die Funktion
H(ts) die Form
H (, s) -_ Pdt s) ~o - - x ~- 9 (t s), wobei die Funktion ~ (ts) selbst ffir t, = ~ o regular ist~ ffir P(ts) aber die Entwicklung gilt (81) s
Pdts) = ~, (t) q (s) d- ,~ (t) % (~) -~. . . . d- ~k (0 % (,~).
Die Bedingungen~ unter welchen die Belegungen z (t) nnd } (t) k~)'o keinen Pol mehr haben, sind mithin f~r
(t):
o =[/(0)
P~o 0 t) d
d
(89)
,~(t) : o =jt'i~o (t o)/(o) do. Setzt man den Wert der Funktion P& (t s) in diese Gleiehungen ein und beaehtet die lineare Unabh~tngigkeit der Funktionen r (t) bezw. ?~, (t), so zerfallt jede der Bedingungen in k andere, und zwar ffir
(890
(0:
o = f / ( 0 ) ~ (0) d ~
~,.= ~, % . . . k
[,
, ,~(0 O=j,~(u)/~O)do
,=~,~
.... ~
Diese Bedingungen sind zur Regulariti~t in der Umgebung des Punktes )'o gewil~ hinreichend. Sie sind nun auch n~tig~ d~mit im Punkte )'o selbst eine Liisung existiert~ wie wir fo]gendermal~en erkennen kiinnen. Gibt es eine Ltisung der Randwertaufgabe fiir X-~-t,o, so mul~ auch die Integralgleichung (43) 15sbar sein. Sei etwa
(t) - ~of~ (o) a Or) dO ~
f (t).
Wir multiplizieren mit PZo(tS)dt und integrieren. Man bekommt
jz (t) Pzo(ts) dt-)'o
fx (o)f', (o,) ~o (,,/~, ~o
=/>. (t) P~.o(ts) dt.
Igandwertau%aben.
405 /,
Mit R•eksicht auf die Gleiehung Pzo(tS) = ),o/h(~9) ~o(0S) dO hekommt man linkerseits den Wert Null, womit die Bedingung
0 =ff
(9) PZo(9 s) dt
sieh ale n~tig herausstellt. Ebendasselbe gilt yon der anderen Bedingung. Emdeutlg 1st jedoeh dureh d:e Gle:eh ngen i41) d:e Losung in einem solchen Falle nicht bestimmt. Es gibt n/~mlieh ztl einem singulgren k-Werte stets eine besehrankte Anzahl linear unabhgngiger Fundamentalfanktionen, welche die homogene Randwertaufgabe (49) 15sen. Die L0sung yon (41) kann deshalb nut his auf eine additive zu diesem k-Werte gehSrige Fundamentalfunktion eindeutig bestimmt sein. Entsprieht f (t) den Bedingungen (89) nieht; so ist doeh sieher
A (t) = f (t) - - f f i9) p,,o lot) d eine Funktion~ welehe der ersten Gleiehung (89) als f(D) eingesetzt gentigt~ analog erfallt
f2 i t ) ' - ~ f ( t ) - - f P~o (tO)f(9)dt} die zweite Bedingung. Die Gleiehung/P~.o (t 9) P?.o(t}s) d I) --~ P~o (t s) ist eine Folge der Integraleigensehaften (51)~ denen die Funktionen ~o(0)nnd ,5./~ (9) I~~ 1:2 ... k entspreehen; sie ergibt sieh naeh Einsetzen der Werte (81) far Hits ) und naehheriger Integration. An der Hand dieser Gleiehung sind die folgenden .2
o=fs
o=/P o(t )f(o)d9
leieht z~ verilqzieren. 21. In diesem letzten Absehnitt
Fgile k ~ Kap. i i kannten. far
erledigen wir die besonderen
:t:-1. Es sind dies Probleme, yon denen wir sehon im eine Mehrdeutigkeit tier L~Ssv_ng als ausgesehlossen erWir haben hier die Aufgaben k=l ~V ~ (t +) =- - - Y (t) W (t-) = -- f (t),
far ) , ~ - - 1 w (t+) = f (t),
~V
0 n (t-) ~---f (t).
4013
J. Plemelj.
Die Werte der Potentiale im Gebiete selbst sind nazh Kap. 11 dureh die Werte an der Begrenzung desselben und bei Au~engebieten noeh durch das Verhalten im unendlieh fernen Punkte vsllig bestimmt. Aus diesem Grunde k6nnen wir hier die Begrenzung des Gebietes einfaeher voraussetzen~ indem wir uns alle Kuryen bezw. Fl~chen~ wenn sie nieht zt~r Berandung des Gebietes, in welehem die Potentiale betraehtet werden~ wegdenken. Wit betraehten zun~tehst das unendliehe Aul3engebiet. Es soll aul3erhalb m hir sieh gesehlossener Kurven bezw. Flgehen irgend eines Zusammenhanges liegen. Da hier keine endliehen Aul3engebiete vorhan ]en sind~ kann naehKap. 16 der Weft ~.o= - - 1 keine singulare Stelle sein. Dem Werte )'o ~----t- 1 entspreehen genau n Konduktorpotentiale, deren jedes nut auf je einer Kurve bezw. Fl5ehe mit einer nieht versehwindenden Gesamtmal]e belegt ist. Die Probleme der Aul3engebiete sind folgende:
(90)
fth" }. . . .
OV
1,
5n ( t - ) = / ( t )
=--f(t), wobei f ( t ) eine bekannte Funktion ist. Die erste dieser beiden A~fgaben erfordert~ d a - 1 kein singul~trer Wert des ~, ist~ keine Bedingung. Die LSsung ist durch dig Bestimmung (45) der Belegung des Potentiales V(p) der einfachen Sehieht stets mSglieh. Aber aueh dutch Weglassen der Bedingung: dal3 V(p) nur ein Potential der einfaehen Sehieht sein darf~ ergibt sieh niehts wesentlieh Neues. Die Differenz zweier LSsungen h~tte am ganzen Rande versehwindende normale Ableitungen, ware also yon verschwindender Gesamtmalge und ein solehes Potential des Aul3engebietes ist nur die Konstante. Die L~sung ist bis auf eine Konstante bestimmt und stats mSglieh. Die zweite der obigen Aufgaben ist, weil @ 1 ein Pol yon H(ts) ist~ im al]gemeinen nicht l/ssbar. Sit wird jedoeh sofort 15sbar~ wenn man die Funktion f(t) dureh dig folgende:
(9 t)
f (,) -f/(o)
(o t) d
ersetzt. Naeh (63) hat bei Xo ~---1 das Residuum P+~(ts) den Weft die Funktionen k. (s) nehmen nut auf je einem Begrenzungst~ieke den niehtversehwindenden Wert @ 1 an. Bezeiehnet mart also mit C,, C2~ ... C~ die Konstanten
= { f ( o ) h . (o)do, e
....
Randwertaufgaben.
407
so nimmt die Funktion (91) den Wert an
f (t) - - C~, f (t)-- C~, ... f (t)-- C~ , je nachdem der Punkt t auf dem ersten, zweiten, ... m-ten Teilstfieke der Begrenzung liegt. Sind also diese Konstanten nieht si~mtlieh Null, so ist die LSsung der Aufgabe dureh ein Potential W(p) der Doppelsehieht nieht m5glieh: wird abet sofort zu einer eindeutig m0gliehen, sobald aueh das Potential der einfaehen Sehieht zu Hilfe genommen wird. Die Bestimmung des Potentials erfordert nut die Ermittlung eines Potentials mit an den gesehlossehen Teilstfieken der Begrenzung konstanten Werten. Diese Aufgabe ist ein Konduktorenproblem, welches im Kap. 18 seine LSsung gefunden hat. In bezug auf das Verhalten im Unendliehen ist noeh eine gewisse Willktir vorhanden, sonst ist die LSsung stets mSglieh und~ wie aus Kap. 11 folgt, aueh eindeutig. Nun erledigen wit die entspreehenden Randwertaufgaben fttr ein endliehes Gebiet. Es soll an das unendliehe Aul3engebiet angrenzen und aulterdem noeh an n getrennt liegende far sieh gesehlossene Teilsttieke der Begrenzung. Ein Bertthren oder Dtlrehsehneiden tier einzelnen Begrenzungssttieke haben wit bereits fraher ausgesehlossen. Die Randwertaufgaben sind die folgenden: ftir ), = .5 1 wird ,
k=.51
,,
OV
~ - (t +) = -- f (t)
W(t+)=f(t).
Nach den Ergebnissen des Kap. 18 ist hier ~,o = . 5 1 ein singul~trer Wert~ dem ein einzigos Konduktorpotential entsprieht
F (p) = f g (pO) h (~) dO und dies ist im Innengebiete~ um welches sich hier handelt, konst~mt. Der singul~ren Stelle Xo - = - - 1 entspreehen nach Kap. 18 genau n linear unabh~ngige Konduktorpotentiale r~ (p), l'~ (p), ... r~ (p), welehe auf dem umschliel3enden St~tek der Begrenzung verschwinden und auf je einem inneren geschlossenen Begrenzungssti~ek die Einheitsladung besitzen. Die Funktionen P+~ (t s) und P_~ (t s) haben hier die Werte (t s) = h (t)
408
J. Plemelj.
Die Funktion h (t) versehwindet nur am umsehliel?enden Be"grenzungsstttek nieht~ z~ (s) ist nut auf dem /-ten inneren Stttck der Begrenzung yon Null verschieden ( = 1). Bei der Randwertaufgabe
v (t+) = - - f ( t ) , n welehe aus )~= 1 hervorgeht~ kommen nut die Bedingungcn ftir ~'o = 1 in Betraeht. Zu L(Ssbarkeit tier Aufgabe mula 0 = f P + ~ (t 0)/(0) d~, und, weil P+ l (t s) -= h (t) und nieht Null ist~ so haben wir die Bedingung
Diese Bedingung ist ttbrig'ens dureh keine Potentialarr zu umgehen. ~V Integriert man nttmlieh - ~ (t +) = - - f (t) fiber die gesamte Berandung, so erDtlt man naeh (1) Kap. 2 bei jedem Potential den Were Null. Ist diese Bedingung erftillt~ so ist die Ltisung stets mtiglieh und bis auf eine additive Konstante bestimmt. Die Randwertaufgabe w(t+) = / ( t ) geht aus ),------ 1 het.vor. Well 1,o ~ 1 eine singuli~re Stelle ist~ sind ffir f ( t ) Bedingungen nStig. Unter allen Umstitnden ist die Randwertautgabe
Wo (t +) = / (t) - ]) (0) P_~ (o t) d 15sbar. Bezeiehnet man mit C1~ C~ ... C~ die Konstanten
so hat f ( t ) --/24'(~) P_~ (0 t) d ~ infolge des Wertes yon P_, 0 t) die folgenden Werte ,
J
f(t) -
q,
f ( t ) - - c~, . . . f ( O -
o~,
je naehdem t auf dem 1r 2r m~'~ inneren Begrenzungssttiek liegt. Auf dem umsehliel3enden Stack der Berandung ist skin Wert der vorgegebene f(t)~ weil P_~ (0 t) versehwindet~ wenn t anf diesem Teile der Begrenzung liege. Wit" sehen also, dag der Aufgabe dureh dieses Potential W(lo) der Doppelsehieht nut auf der umsehliel~enden Kurve bezw. Fl~tche
Randwertaufgab~n.
409
vollkommen entsprochen wird~ wahrend auf den inneren Begrenzungsstficken W(p) sieh yon den vorgegebenen Werten um gewisse Konstanten unterscheidet. Im Fundamentalsystem r~ (p), r~ (p), ... P~ @) am umsehliel~enden Begrenzungsstfick versehwindender Konduktorpotentiale haben wir ein ttilfsmittel ein Konduktorpotential F (19) re!it den konstanten Werten C~ C2~ ... C~ auf den inneren Knrven be~zw. Flgehen zu bestimmen. Das Potential Wo (p) ~- F 09) entsprieht der Aufgabe vollkommen~ andere LSsungen gibt es nach Kap. 11 nieht. Zusammenfassend kSnnen wir also behaupten: D i e e r s t e R a n d w e r t a a f g a b e n (Das e l e k t r o s t a t i sehe Problem) w (t+) = f (t), w (t-) = f ( t ) ist b e i b e l i e b i g v o r g e g e b e n e r F u n k t i o n f ( t ) , w e l e h e n u r i n t e g r a b l e U n s t e t i g k e i t e n besitzt~ s t e t s in eind c u t i g e r W e i s e . 15sbar, w o b e i b e i m A u l ~ e n p r o b l e m fiber das V e r h a l t e n im U n e n d l i e h e n n o e h B e d i n g u n g e n a u f e r l e g t w e r d e n dfirfen. Die zweite Randwertaufgabe (Das h y d r o d y n a misehe Problem)
~0 rn (t+) = f (t),
~v (t-) = / ( t )
~
ist b e i g l e i c h e r V o r a u s s e t z u n g t t b e r d i e R ~ n d f u n k t i o n dann und n u r d a n n !Ssbar~ w e n n das I n t e g r a l fiber die B e r a n dungj>(t)dt versehwindet.
f(t) i m A u ~ e n g e b i e t e stets~ i m l n n e n g e b i e t e
Die Belegungen~ welche die Kondnktorpotentiale liefern~werden durch Ermittlang der zu den Polen ~ ~ 4- 1 gehsrigen Rosiduen yon H(ts) bestimmt. Die Funktion H(ts)~ yon der die L~sung der Randwertaufgabe (41) abhangt~ genfigt tier Gleiehnng
H (t s) - - f ~ ( t ~ ) h ( ~ ) d~ = l~ (ts) nnd hat in der Umgebung der singularen Stellen ~o~ 4- 1 eine DarsteIlung der Form
(93)
H(t ~) = P+~ (t s) P_~ (t ~) l--i ~ --l--i + ~ (is)
und dieses g$ (ts) ist in der Umgebung der Stellen ~,~- 4- 1 bereits regular.
410
J. Plemelj.
H(ts) (94)
Entwickelt man in tier vorletzten Gleichung die Funktion in eine Potenzreih% so bekommt man
H@8) = ]9 (~8) + ~h I (~3) -1L X2~2 (t8) + . . . ,
wenn man sich dev Bezeichnung (38c) des Kap. 8
a~(ts)=/hi_l(~)h (~)8)~
[ho(ts)=~(~8) l
beclient. Aus der Gleichung (93) erhttlt man mithin far gO(ts) die Potenzreihe
+ ~ [a2(t,)-P+ ~(~8)+ p_~ (t 8)]+x% (~8)- P+, (ts)- !,_ (~8)]+... ~.
Diese Potenzreihe mul3 abet- den Einheitskreis hinaus konvergieren~ sobald die Funktionen P+~(ts) und P_~(ts) die, zu den singulltren Punkten )'o~---~ 1 gehtirigen Residuen der Funktion H(ts) sind. Die Koeffizienten der steigenden Potenzen yon ), mtissen gegen Null abnehmen, soll die Potenzreihe Nr gO(ts) ~tber den Einheitskreis hinaus konvergieren. Zur Bestimmung der Funktionen P+~ (ts) und P_~ (ts) erhalten wit also folgende Bedingungen
])+1 @8) - - P--1 (tS) X lira h2,~(ts)
P-~-I@8) + P-1 (ts) = lilYl h2n@l({8) bei unendlieh wachsendem n. Aas diesen zwei Gleichungen ergeben sieh die Funktionen P+z (ts) und P_j (t@ deren jede, wie oben erw~thn~, in eine Summe yon Produkten
zerfallt. Die Funktionen k~ ( s ) . . . k~(s), x~ (8)... x~ (s) sina nut an der Begrenzung je eines Gebietes yon Null versehieden (=-1). Nan sieht~ daf) die Funktionen
h (t 8), h~ (t 8), h~ (t 8),... gegen eine, hingegen
h~ (t 8), h~ (t 8), h~ (t,),. o. im allgemeinen gegen eine andere Grenzfunktion konvergieren.
Randwert~ufgaben.
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Handelt es sieh z. B. am ein unendliches Auf~engebiet, so braucht man das Vorhandensein solcher belegten Kurven bezw. FL~ehen. welche an das unendlich ferric Gebiet nicht angrenzen, nicht vor~uszusetzen. Die S t e l t e - 1 wird nicht singular und m~n hat P_~ (ts)=0 zu setzen: In diesem Falle sind die Grenzwerte yon/~s~ (ts) und h~+~(ts) einander gleich~ und zwar gleich P§ (ts). Mit Rtteksicht auf die Werte yon x (s) bekommt man die Funktionen th(t)~h~(t)~ .., ~ ( t ) als Grenzwerte yon /~(ts), und zwar ist lira h~ (t s) gteieh
h, (t), h.
(t),
je nachdem s bei sonst beliebiger Lage entweder irgendwo auf der 1-ten~ 2-ten~ . . . , m-ten geschlossenen Einzelkurve bezw. Flgche liegt~ as welehe das unendliche Auf~engebiet angrenzt. Diese Funktionen ]~1(t}~ hs (t)~...~ h.,(t) sind die gesuchten Belegungen yon Konduktorpotentialen des unendlichen Gebietes~ wetche nach (65)~ Kap. 16~ nut gaf je einer begrenzenden geschlossenen Einzelkurve bezw. Flache eine nieht verschwindende Ladung besitzen. Verwendet man die Darstellung (93) der Fnnktion H(ts) und bmqicksichtigt die Potenzreihe far g)(ts)~ so gibt das Einsetzcn in (45) stets Belegungen x (t) und v. (t) der Potentiale der doppelten b(,zw.,o einfachen Schich b die die vorgelegte tlandwertaufgabe (41) 15sen~ sobald ~. nicht gerade gleich ist • 1. Sind die unerltil31iehen Bedingungen erftillt~ so kann man aueh X= ~_ 1 setzen und erhtflt die bekannten N e t x m a n n s c h e n und g o b i n s e h e n Reihen.
