180

~ber lineare Randwertaufgaben der Potentialtheorie. II. T e i l . Von Josef Plenmlj in Wien. Der vorliegende zweite Tell 1) der linearen Randwertaufgaben der Potentialtheorie behandelt in der mathematisehen Physik wichtige Probleme der Elektrostatik~ der stationiiren elektrischen Strbmung und des stationaren Temperaturzustandes (3. Randwertaufgabe) unter der sehr allgemeinen Voraussetzung, daI~ im betraehteten Gebiete Flachen liegen~ wo die normalen Ableitungen des Potentials einen Sprung erleiden~ der dutch eine lineare Relation zwiseben den beiderseitigen normalen Ableitungen gegeben ist. Die Liisung gelingt und ist eindeutig und dabei kbnnen die Flaehen einen beliebigen Zusammenhang haben. In dieser Hinsicht erreiehen die modernen Hilfsmitt@ welehe uns die F r e d h o 1m sehe Funktionalgleiehung geliefert hat~ fast die wthlsehenswerte Vollkommenheit. Dennoeh zeigt die Methode eine ganz erhebliche Lfieke. Es gelang bisher kein genug weittragender Konvergenzbeweis ftir die F r e d h o 1m scben Reihen ira Fall% dal~ die Begrenzung des Gebietes~ fiber welehe die Integrationen zu erstreeken sind~ Singalaritaten~ wie etwa Ecken oder Spitzen hat ; sehon die Abbildung auf ein Reehteek erledigt die allgemeine Methode nicht. Das Bewufitsein dieser gro~en Unvollkommenbeit hat die Verbffentlichung dieser Resultat% welche im wesentliehen bereits in meiner Vorlesung im Studienjahre 1902/03 vorgetragen wurden~ hintangehalten. Der Standpunkt~ auf dem die Methode jetzt noeh steht~ ist leider derselbe geblieben. Soweit mir bekannt, hat sich in Verfolgung der Ideen P o i n e a r 6 s ffir das N e u m a n n s e h e Problem in der Ebeue bisher nur Herr S. Zar e m b a yon der Voraussetzung der Regularitiit der Begrenzung einigermal~en befreien kbnnen. ~) Seine wiehtigen diesbezfigliehen Ergebnisse erffillen uns mit der Zuversicht~ dal~ der direkte Konvergenzbeweis far die F r e d h o l m s e h e n Reihen in diesen Fallen gelingen wird~ wodureb man der Anwendung kombinatorischer Methoden tiberhoben wtirde. Ffir die hier aufgestellten Funktionalgleiehungen geben uns die F r e d h o lm sehen Reihen ein jedenfalls konvergentes Resulta L wenn die betraehteten Flachen ohne Singularitlit sind, d. h. wenn sie in jedem Punkte eine einzig% stetig sieh andernde Normalen1) I. Tell: Diese Monatshefte f. Math. u. Phys., Wien, 1904 (337--412). ~) Journ. d. Math., Paris~ ~904, 5, IV. (395--444).

Randwertaufgaben.

!81

richtung besitzen und der Winkel zwischen zwei Normalen in benachbarten Punkten den Kleinheitsgrad der Distanz dieser Punkte hat. Diese Restriktion betrifft jedoch nat die bisherigen Konvergenzbeweise, ist also nur vorlitufig, die Funktionalgleichungen sind yon dieser Bedingung frei, sie enthalten a[le und nur die vorhandenen LSsungen. Bei diesen Untersuchungen beschr~tnke ich reich durchweg auf das Raumpotential. Eine Ersetzung der L a p 1a c e schen Differential' 0., Ov 0 c~, 0 O,J gleichungdurch die allgemeinere ~x ( z ~ ) + ~ - ~ ( x ~ u u ) + ~ (Z~zz)--0 y Y hatte zwar keine wesentliehe Erschwerung der Untersuchang naeh sieh gezogen, wohl aber gehen viele durchsiehtige Resultat% so besonders diejenigen~ welche die Konduktorpotentiale betreffen, verloren und die Verhiiltnisse im Unendlichen sind nicht immer so einfach wie im vorliegenden Falle. Die Methode ist dieselbe and ftihrt gleiehfalls zum Ziele. Was die Bezeiehnung betrifft, sei erwiihnt, dab ich~ wie im ersten Teile der Ktirze halber 1 , 3 g (P' q ) = 2~rp~ h (s, p) ~ (~:~7*p) gesehrieben habe, unter rpq die Distanz der Punkte p und q verstehend. Ein Flaehenelement im Flaehenpunkte s bezeiehne ieh kurz mit ds~ was sieh als sehr tibersiehtlieh erweist, und weil nur flttehenhafte Integrationen vorkommen~ zu keinem Migverstandnis fiihren kann. Punkte der Berandung habe ieh mit s, z, allgemein liegende Punkte mit p, q bezeiehnet und dabei zur Unterseheidung stellenweise flir das Innengebiet p+, ~+: ffir das AuBengebiet T-~ qgesetzt. Die Zitate des Textes beziehen sich auf .den I. Teil dieser Arbeit. 1) 1. Im 18. Absehnitte des I. Teiles dieser Arbeit wurde eine G r e e n sehe Funktion G (p, ~) aufgestellt~ welehe die beiden Randwertaufgaben -

(1)

1 OV

y OF

(s+)l

k 3V

+ w

(s)

0V

15st, denen dureh ein Potential W (p) - - der doppelten und eines - - V(p) der einfachen Schieht zu entsprechen war. Die Greensehe Funktion hlingt nur yore Parameter k und yon der Konfiguration des vorliegenden Gebietes ab und ist yon der gegebenen Funktion f (s) unabhiingig. 1) Siehe FuBnote 1) auf S. 180.

182

Josef Plemelj.

Die LSsang ergibt sich in der Form

W (p) ---f f (~) H (z, p) dz

(2)

V(p) =ff(~) G (p, ~) dz~ wobei naeh dem dort Auseinandergesetzten die Funktion H(~io ) sich aus G (p, q) herleiten liigt und umgekehrt. Es hat sich nun ergebea (I. Teil~ Abschn. 16)7 daft G (p~ ff)~ betrachtet als Funktion des Parameters k~ an der Stelle k ~ 1 immer einen einfachen Pol hat~ and auch k ~ 1 ein Pol derselben ist~ wenn das Gebiet so beschaffen ist~ dal~ geschlossene Fliiehen yon einer anderen ganz eingeschlossen werden. In den gerade am meisten interessierenden Fifllen~ wo ftir ein zu bestimmendes Potential die Randwerte oder die normalen Ableitungcn am Rande gegeben sind~ ist das Problem deshalb im allgemeinen nicht 15sbar. Wir haben nan zuzusehen~ inwiefern man demselben doch entsprechen kann. Die Ergebnisse dieses Abschnittes sind ftir die Folge unentbehrlich. Wir befreien zun~tchst die Funktionen H(s,p) und G (g~ p) yon jenem Glied% welches: an einem Pole ~0 unendlich wird (Hauptteil), indem wir setzen (s, H (,, p ) = ~ ~ (s, p) + P~,o P) . ko - - k (3) 1 Xo0~,o(q, P)' so dag also 5~ (s~_p) und (~ (g,p) ftir k ~ )'0 endlich blciben. Die hier auftretenden Funktionen P~,o(s~p) and Q~.o(q~ p) sind yon einem sehr speziellen Charakter und genfigen den Gleichungen : a

(,

P~.o(s,p) = ~,o.IP~o(S,.

r h (z, p) &

(4)

(I. Teil~ S. 398).

jg (~, ~) P,.o(~,p) dz

O~.,,(q,p) =

Die erste dieser Gleichungen zeigg dag PZo (s~ p) als Funktion yon p ein Potential der Doppelsehieht yon der Belegung ko P~.o(S~~) ist~ gleichzeitig bestimmt sic P~.o(S~p) dureh die Funktion P(s, z)~ in der beide Punkte s und z Randpunkte bedeuten, l~ach der zweiten Gleichung ist Q~.o(q~P) als Funktion des Punktes q ein Potential der einfachen Schicht yon der Belegung P~o(~,p). Wir setzen die Darstellung ( 3 ) i n die Potentiale (2) ein und bezeichnen mit ~ (p) und i~ (p) die endlieh bleibenden Teile 1

~5)

(P) = ~ / ~ f (~) ~ (~, P) & 1

(~) = ~-~,~-:-.I 2 (~) (~ (p, ~) dz

R~ndwortaufgaben.

183

Die unendlieh werdenden h~ngen yon P~o(Z,p) und O;.o(P:~) ab. Wenn man die Unstetigkeitsverhiiltnisse der Potentiale PZo(S,p) und Q;~o(q~_p)als eines Potentials der doppelten und eines der ein faehen Sehieht (4) in Betraeht zieht~ so gibt das Einsetzen yon (3) in (2) und dann in (1) f~ir die beiden Potentiale ~ (p) und ~ (/9) die Randbedingung

2 (6)

1

2

), ~

~,,(s-)

1-~X

,

~ (*-) - f (*) "ff(~) P;,o(O,,) do

_..(s+)-f(s)

f/(~) ~.o(S, ~) d~,

wobei kein Hindernis mehr besteht, auch k - Xo einzusetzen. Welchen Randbedingungen entsprechen daher die Potentiale (p) und ~ (p) ftir X 0 - - • 1 ? Um dies vollstandig iibersehen zu kOnnen~ sind die Funktionen /-'+1(s, o) und P l(S, o) genauer zu betrachten. Ich berufe reich bier auf die Abschnitte'16 und 21 des I. Teiles~ wo diese Funktionen genau diskutiert und bestimmt wurden. ~aeh dem dort Auseinandergesetzten sind die Funktionen P+x(S~ ~) und P-1 (s, ~) yon der Gage des zweiten Punktes a nut insoweit abhiingig~ als P+~ (s, ~) u n d / ) 1 (6 o) eine andere Funktion yon s wird, je naehdem a auf der einen oder anderen geschlossenen Fliiche, welehe zur Begrenzung geh~rt~ liegt. So wird

(7 a)

P+, (~, o) = h~ (s), h~ (~),..., h,, (~),

je nachdem ~ auf der pe~ 2 ~ . . . , n ~ Fliiehe liegt~ welehe alle an das unendliche Aul~engebiet angrenzen. Analog ist

(7 b)

P_~ (s, o) - - z~ (s), z~ (s),..., z~ (s),

jen naehdem z auf der lt% 2 t % . . . ~ m~ Fl~iche liegt, welche yon einer anderen ganz eingeschlossen werden. Daraus folgt sofort~ dab P+~(s~T) als Potential der Doppelsehicht (4) in allen Aultenpunktenp Verschwindet. Dies Jst eine Folge der bekannten Bedeutung yon h (s,p) (S. 181). Die Funktion P_~ (s,p) verschwindet in allen Punkten p~ welehe aufierhalb der eingesehlossenen Flttehen liegen. Dasselbe gilt dann nach (4) yon tier Funktion Q (~,p)~ soweit es den Zweiten Punk.t p betrifft. Die Funktionen ~h (S) und Z (s) sind Konduktorenbelegungen (nattMiehe Bel.)~ welche Pontentiale der eini~ehen Sehieht. geben~ die nur a u f J'e einer Fl~tche die Einheitsladung bes~tzen und auf allen F1/~ehen konstant sind. Die mit den Funktionen Z (s) als Belegungen gebildeten Potentiale der einfaehen Schieht verschwinden auf der umschliel]enden Fl/~ehe und dann im ganzen nnendlichen Anllengebiete. Aus diesen l[Iberlegnngen folgt, dal] O (~p) naeh (4) in ein Konduktorpotentiat F~ (q) fibereht~ wenn p in einen Punkt p ~ s der Fl~tche eintritt~ und zwar m jenes KonduktorpotenfiaI, welches nur an tier l~~l~tehe, " " weleh e p

f

184

Josef Plemelj.

eintritt, eine nieht versehwindende Ladung (---" 1) besitzt; Q-1 (q:p) wird Nulli wenn iv in die umschliegende Fliiche tritt. Naeh dieser Auseinandersetzung wollen wir die Eigenschaften der Funktionen (~ (q~ p) nnd ~ (s~p), Welche den Werten )'o = =[= l entspreehen, genauer betraehten. Da in jeder Randbedingung (6) ftir ).o ~----~-1 oder - - 1 nur noch einr Seite der Fl~ehen auftritt~ interessiert die Funktion (~ (q: if) hier nur dann: wenn die Punkte p und q beide auf derselben Seite der Fliichen liegen. F t i r diesen Fall habe ich yon der allgemeinen G r e e n s c h e n Funktion G(~t,p) das Symmetriegesetz bewiesen (I. Teil~S . 395); welches,nach (3) sich sofort auf die Funktionen (~ (~?,p) iibertr$igt. Dieses Gesetz lautet

(8)

(q, p ) =

(p, q)

and bleibt auch dann riehtig i wenn die Punkte p~ q an den Rand rticken: , Wenn die Punkte p und g unendlich sieh nahern~ wird die Funktion q~(q~p) unendlich wie 2=g(~p)~ d. h. wie die rezipr0ke Distanz - - . r q p

(Siehe: I. Teil~ Gleich. (77): S. 394). .

:

.

Wir wollen nun Innenpunkte mit p+ oder q+ und Augenpunkte mit einem dartibergesetzten Zeicheu - - also p,~ q= bezeiehnen. Dasselbe soll fiir die inneren "and aul]eren Randpunkte s+ bezw. s gehen. Zuniichst betrachten wir die beiden Fanktionen (~+ ~(q-, TA)~ (~_ 1(q+, 29+). Die Gleiehungen (78) I. Teil~ S 395 geben fiir diese zwei Funktionen (9)

2.

=

2.

(s, p+) =

0

+' o

p ) p-%

so dal~ sleh die Fanktionen ~+~ (s, p = ) a n d ~_i(s~ p+) als normale Ableitungen yon G r e e n sehen Funktione n ergeben. Diese beiden G r e e n schen Fanktionen (~+~ (q,:20-)UP d (~_~ (q+, p+J gehen nach (79) (!. Teil~ S. 395) 7 wenn p in einen Randpunkt s - bezw: s+ rtiekt: in die Funktion O+l(q',S) bezw. Q~_~(~+,:s) tiber d. h . in jenes Konduktorpotential F, (q-) bezw. F, (q+), welches nur aufjener Fliiehe geladen ist, in die p (----~s - oder s+) eintritt: F~ (q+) versehwindet~ wenn s aus der umsChliegenden Flliche liegt; Wir sehen~ d a l~d i e Ko n s t a n z am Rande bei mehrfach iusammenhi~ngenden Gebiet e n n u r so z u v e r s t e h e n : i s t , d a g ~+~(q, p) a n d q~_~(q, p) y o n der. n ~ t h e r e n L . a g e j e n e s P u n k t e s r t i c h t m e h r abh i i n g e n : w e l e h e r ~n d e n R a n d t r i t t , Die Funktionen (~+: :(~--;p-) and G : (~+:p+) sind bei einfach:zusammenhiingenden Gebieten genau die klassisChen G r e e n sehen Fuhktionen: sie wurden jedoch aaf einem vom ttblichen ganzlich verschiedenen Wege hergeleitet.

Randwertaufgaben.

185

Die hier (9) betraehteten Funktionen werden uns Potentiale mit gegebenen Randwerten liefern. Bei gegebenen normalen Ableitungen am Rande erweisen sieh die beiden G r e e n schen Funktionen (~_ 1(q=: P-) und (~+ 1 (q+, P+) als yon Wichtigkeit. Ftir einen Randpunkt s drtieken sich die Funktionen (~_1 (p-, s) und (~+~ (p+: s) sofort in der Form aus (79) S. 395

~_~(p-, s) - : ~ ~_l(p , s-) (10)

++, (p+, 8) - 89 ++ ;(p+, 8+) wobei wie tiblich (~_l(p-~s-) dan Grenzwert bedeutet~ dem ~ - I ( P - , q-) sich nahert, wenn •- gegen den Randpunkt s - sich bewegt. Die normale Ableimng der G r e e n schen Funktion (~_ 1(q-~ P-) ergibt sieh (I. Teil~ G1. (78)7 S. 395) mit Rtteksicht auf (3) unabhiingig yon der Lage des anderen Punktes ira Aul]engebiete. Analog wird die normale Ableitung der Innenfunktion (~+ 1(g+~ p+) an allen eingeschlossenen Flachen Null. an der umsehliel~enden Flliche ist sie eine Randfunktion h (s)~ welche yon der Lage des anderen Punktes im Innengebiete nicht abhangt. Sie ist genau gleich der Konduktorbelegung (nattirliehe Bel.) itir das Aui]engebiet dieser Flaehe. Die durch F. N e u m a n n 9 ftir diesen Fall durch die Konstanz der normalen Ableitungen ftir einfach zusammenhangende Gebiem eingeftihrte Funktion entspricht nicht dem Symmetriegesetze. Nach Herstellung desselben ergibt sieh genau unsere Funktion. Die Beziehung

11) G (q,p) - - g (q, p) - - kfg (q, o) H (z, p) d s = ~, f G (q, o) h (,p) d welehe (I. Teil~ S. 393) zwisehen G (q~ p) und H(,p) im altgemeinen Falle gilt, geht mit Rticksicht auf (3) direkt in eine Gleiehung ftir (~ (q,p) und ~ (~p) tiber~ welche man sofort dureh Er1 1 setzen yon G und H mit ~ (~ bezw. ~ ~) erhalten kann. Eine kleine Modifikation tritt nut bei der G r e e n s c h e n Funktion @§ ~(q+~p+) ein, welehe bei gegebenen inneren normalen Ableimngen Verwendung findet. Diese.Abweichung wtirde sich iibrigens als belanglos erweisen infolge emer Bedingung, welehe die gegebenen normalen Ableitungen zu erfttllen haben~ wenn die Randwertaufgabe iiberhaupt I(isbar sein sell. Nun betrachten wir die Randwertaufgaben ( 6 ) f t i r die Falle ~ o - - • 1. Zun~tchst kSnnen wir sofort annehmen~ daf$ im Falle :1) Siehe: W e b e r - R i e m a n n , S. 452--453.

Partlelle Differentialgleichungen I.~ 1900,

186

Josef Plemelj.

des Problems f'tir ein unendliehes Aufengebiet keine Flaehen vorkommen, welehe von anderen eingesehlossen werden, so daf in diesom Falle 1 kein Pol ist, daher P l(~,s) versehwindet. Die Bedeutung der Funktionen P+I(~, s) and / ' - i (~, s) ist in Beti'aeht zu ziehen, sodann bekommt man aus (6) die LSsungen der beiden Probleme: ~i~ (s-) = - - f (s) -~- C~(12)

~3 (s+) =

f (s) - - C+ ,

ffir ~ : ftir k

).0 = ~- 1 ),o : - - 1,

wobei C;- = f f (~) L (~) d~, C+ = ff (a) Z8 (a) d~ Konstanten sind, die denselben Wert haben, solange s a u f derselben Flaehe liegt; C~+ versehwindet, wenn s a u f der umsehliefenden Flaehe liegt, so daft ~ ( p + ) a u f dieser Fl~che die vorgesehriebenen Werte genau annimmt. Die beiden Potentiale ~i~ (p-) und ~(p~-)drticken sieh dutch (5) aus~ die wegen (9) in die folgenden Gleichungen ttbergehen. @-) =

i~

0 ~+~(~_,p.). d~

(13) Die mit Hilfe d e r G r e e n s c h e n Funktionen ~ + ~ ( q - , 2 " ) und (~_~(q+,p§ ermittelten Potentiale nehmen also vorgesehriebene W e r t e f ( s ) his auf je einen konstanten Untersehied Cz, ~ auf jeder Fli~ehe an ; an der umsehlielgenden Flache eines Innengebietes werden vorgeschriebene Werte genau angenommen. Diese beiden Potentiale ~ (p-) and ~ (io+) waren der Herleitung nach Potentiale der Doppelschicht und haben als solehe sine bemerkenswerte Eigenschaft, die besonders betont zu werden verdient. Jedes Potential der Doppelsehieht W(p) hat nitmlich auf der belegten Fli~che eine verschwindende Ladung, d, h, d a s Integral f

W(~)d~

erstreekt tiber eine Pl~ehe, welehe die belegte einsehlieft, ist Null. Dies folgt aas der Gr~fenordnung des Versehwindens im Unendlichen: ~ (p) ist illln eine Summe yon Potentialen, deren jedes nat auf j e einer Fli~ehe eine Doppelbelegtmg hat. Es folgt daraus, dal~ ~[~ (p--)und ~ (p+) auf jeder Flaeho ohne Ladung sind - - ein Umstand~ der ihnen eine besondere Bedeuttmg verleiht. Jedes ist n~tmlieh bis auf eino willkiirtiehe Konstante das einzige, auf keiner Flaehe geladene Potential, welches vorgesehriebene Randwerte bis a u f j e einen konstanten Untersehied auf jeder Flaehe annimmt. Die Differenz zweier ware ein auf den Fl~tehen konstantes, iiberall ladungsloses Potential. Ein sobches kann nur die stetige Konstante sein. (Vergleiehe die Sehlufweise 1. Teil, S. 369~370.) Wir haben also den Satz I.

187

Randwertaufgabon.

Die G r e e n s c h e F u n k t i o n $+1 (~--~ P-) bezw. ~--~-1(~+,P-~-) gibt naeh(13) bis auf eineadditive(stetige) Konstante d a s e i n z i g e r e g u l i ~ r e P o t e n t i a l e i n e s A u g e n - bezw. I n n e n gebietes, welches vorgesehriebene Randwerte f(s) bezw.--f(s) his auf je einen konstanten Untersehied aufjederder b e g r e n z e n d e n g e s c h l o s s e n e n F l ~ e h e n annimmt und aufjeder o h n e L a d u n g ist. Man kann wohl der Bedingung~ vorgeschriebene Randwerte durch ein Potential genau darzustellen stets entsprechen: aber dazu ist die Zuhilfenahme yon geladenen Potentialen, wie es die Kom duktorpotentiale sind~ erforderlich. Dies waren auf je einer Fl~tehe geladene Potentiale der einfaehen Sehicht: welehe aufjeder begrenzenden F1ache je einen konstanten Wert annehmen (I. Absehn. 17) und eine sehr einfache physikalisehe Bedeutung haben. Eine be= sonders hohe funktionentheoretisehe Wichtigkeit kommt den Konduktorpotentialen und den hier konstruierten G r e e n s c h e n Funktionen (~+~(~-~ p-)~ (~ ~ (~+~ p+) im analogen Falle des logarithmisehen Potentials zu; ,diese VerhMtnisse err wir nieht welter. Wenn die normalen Ableitungen am Rande gegeben sind, so haben wir naeh (6) in !8 (p-) und ~ (p+) zwei Potential% welche folgenden Randbedingungen entsprechen o (s-) = f ~n

(14)

fttr i = i o = - - i /"

~-~ (s+) ~- - - f ( s ) + h (s)/f(a) do, fttr t, ~- ko = -~- 1 denn - - 1 isg wie schon oben erwiihnt~ beim Aul~enproblem kein singulitrer Wert ftir ~ so dai~ /)-1 (s~ a) ~-- 0 wird ; P+~ (s~ a) ist eine Randfunktion h (s)~ ni~mlich die Konduktarbelegung ftir die alle tibrigen umsehliel~ende Fliiche. Wenn die G r e e n s c h e n Funktionen (~ ~(~-~ p~) und (~+~ (q+,p+), die erste ftir alle Au~enpunkte~ die zweite ftir alle Innenpunkte gegeben sind~ ergeben sieh mit Rtieksicht auf (5) und (10) die beiden Potentiale ~ (p-) und !8(p+) in der Form

p-i =

(F,

do

(15) Das zweite Potential -- ~ (p-k) - - nimmt nach (14) beliebig vorgeschriebenen normalen Ableitungen am Rande nur dann an, wenn die gegebene Funktion f(s) d i e Bedingung jf(~)__ d z ~ 0 erfttllt. Diese Bedingung ist nun zur LSsbarkeit der Randwertaufgabe

188

Josef Plemelj.

0 v(~+)

n

f (s) unumgRnglieh, da fitr jedes Potential V (p) bei

der Integration tiber dio ganze Begrenzung eines endlichen Regularitiitsgebietes das Integral Ir ~ V ~ n(S+)d s sich Null ergibt. Es gilt demnach der Satz II. Die G r e e n s c h e F u n k t i o n (~-1 (~/-:p-) bezw. ~§ (!/+,p+) g i b t n a c h ( 1 5 ) bis a u f e i n e a d d i t i v e (stetige) Konstante alas e i n z i g e r e g u l i i r e P o t e n t i a l e i n e s A u l ~ e n - bezw. I n n e n gebietes, welchesvorgesehriebenen(~rmalenAbleitung am R a n d e a n n i m m t . Ffir die Ltisbarkeit des Problems im Innengebiete ergab sich die notwendige Bedingung, dab das Integral fiber die gegebenen Randwerte verschwindet~ im Aul~engebiete ist die Aufgabe stets 15sbar. 2.

Das allgemeine

Problem

der Elektrostatik.

Die Elektrostatik fordert von der Potentialtheorie die Bestimmung einer Funktion V(p), welche folgenden Bedingungen entsprieht : 1) I. Die Funktion V(p) gentigt im ganzen Raume der L a p 1a c eschen Differentialgleichung AV(p)~--0 mit Ausnahme gegebener R~umteile: wo die Differentialgleichung

,~V (p) := 4 7:? (p) besteht, wobei p(p) eine gegebene Raumfunktion ist. Die Funktion V(p) mul~ saint allen ersten Ableitungen fiberall stetig sere, mit Ausnahme gewisser Fli~chen, an denen die Verbiiltnisse dureh die weiteren Bedingungen festgelegt sind. II. In den Leitern ist V(p) konstant, und zwar im allgemeinen nur sttiekweise konstant. Die Wertdifferenzen dieser Konstanten in den einzelnen Teilen eines Leiters sind gegeben (Kontaktelektrizitlit), nieht die Konstanten selbst. Uberdies ist die jedem einzelnen Lei~er mitgeteilte Elektrizitiit~ d. h. das fiber seine Oberfliiehe erstreekte Integral d

fO~(~-)dz (Ladung)als gegeben anzusehen. q

III. An den niehtleitenden Fliichen ist V(p) stetig, seine normalen Ableitungen zu beiden Seiten einer Trennungsfliiehe zweier versehiedener Leiter sind gemit[~ der Bedingung ~Y

0V

- "U~ (s-) - - ~+. U~- ( s + ) - - 2 +. (s) 1) 2Naheres fiber die physlkallsehe t t e r k u n f t dleser B e d i n g u n g e n finder m a n z. B. in : W e b Cr - R i e m a n n~ Partielle Differentlalgleichung I, 1900, S. 3 1 0 - 311~ 318--321.

Randwertaufgaben.

189

unstetig. Darin sind 5- uad e+ zwei gegebene Konstanten und ~ (s) eine gegebene Oberfliichenfunktion (Fl~tchendiehtigkoit der wahren Elektrizit~tt). Die Dielektrizitiitskonstante ~- ist fitr einen und denselben Nichtleiter konstant. Um dieses Problem zu 15sen, lassen wir zuniichst die Niehtleiter, d. h. die Bedingung III~ beiseite und bestimmen partikuli~re L(isungen, welche den Bedingungen I und II Gentige leisten. Bedeutet w (p) irgend eine LCisung der Differentialgleichung Aw ~ 0, so gentigt bekanntlich (16)

rv p

tier Differentialgleiehung I, wenn das Integral hier als Raumintegral aufgefal~t und fiber den ganzen'Raum, we D(~) yon Null versehieden ist, erstreekt wird. Dieses ,Raump0tential" ist in der ganzen Ebene mit seinen ersten Ableitungen endlieh und stetig. Dasselbe hat auf" den Leitern (II) gewisse V~erte und wir verftigen nun tiber die Funktion w (p) in (16) derart, dais sie bis auf Konstante an den iLeitern die entgegengesetzten Werte des Raumpotentials annimmt. Im vorangehenden Abschnitte haben wir gesehen,, da~ die Bestimmung yon w (p) in eindeutiger Weise so gelingt, daft w (p) auf jedem einzelnen Leiter ohne Ladang ist, sonst aber aufierhalb der Leiter samt seinen ersten Ableitungen fiberall endlieh und stetig ist und im Unendlichen versehwindet, Da das Raumpotential in (16) ebenfalls in jedem Leiter mit seinen Ableitungen stetig, somit ebenfalls daselbst ladungslos ist~ gilt dies aueh yon der Funktion U~ (p). Diese Funktion gentigt also der Bedingung I u n d ist auf jedem Leiter ladungslos und konstant, au~erhalb der Leiter mit seinen ersten Ableitungen endlich and stetig. Es li~t sich weiter in eindeutiger Weise ein. Aui~enp0tential U2 (p) der Leiter so bestimmen, daiS es nur yon der Kontaktelektrizit~t herriihrt; auf den Leitern sttickweise, wie es die Bedingung II :v0rsehreibt, konstant and tiberdies auf jedem Leiter ~ ohne Ladung ist, d.h. es versehwindet das Int%ral~:' f ~0- -U ~2- ( a - ) d ~ bei der Erstreekung fiber die Oberflache jedes einzelnen Leiters. Das Potential wird naeh dem Verfahren des vorigen Abschnittes bestimmt. Dieses Potential entspricht also den Bedingungen I I beziiglieh der konstanten Differenzen auf jedem Leiter~ in welchem Kontaktelektrizitat tatig ist. Der konstante Weft Veto Leiter zum Leiter ist nicht willktirlich vorzuschreiben, sondern :durch die Bedingung~ daiS die Ladungen verschwinden mitbestimmt, nattirlich nur bls a u f eme Konstante ftir den ganzen Raum, die der Natur tier Sache naeh tiberhaupt unbestimmt blei9 und willktirlich gewi~hlt werden darf. Drittens bestimmen wir ftir.das Aul~ere der Leiter ein Potential " [' (p)~ welches a t f f der Ober6~ehe jedes einzelnen Leiters (nieht mehr sttiekweise) je einen konstanten Wert annimmt and aufjedem

190

Josef Plemelj.

die dutch I[ vorgeschriebene Ladung hat. Die Bestimmung dieses Potentials ist ein Konduktorenproblem, welches im 1. Teile als Aufgabe 1 auf Seite 390 seine Ltisung gefunden hat. Die Bestimmung yon Konduktorbelegungen (nattirliche B.) findet sieh daselbst auf Seite 410--411. Die Summe

U(p) = ~ (p) + U~(p) + r (p) der bisher bestimmten Funktionen U1 (p), "U,2 (p), F (p) geniigt den Bedingungen I u n d II vollstiindig, ist aui~erhalb der Leiter mit seinen ersten Ableitungen tiberall stetig uud wtirde also bis auf eine additive Konstante schon die einzig vorhandene Lssung des Problems sein, falls keine Nichtleiter, wo die Bedingungen III zu erfiilten sind, vorhanden waren. Um die schlieiiliehe LSsung V (p) zu finden, setzen wir (17)

V(p) = U(p) + W (p)

wo U(p) die bereits bestimmte Funktion ist and nun noeh W(p) gesueht wird. Die Bedingungen ftir W(p) sind weit einfacher als die yon V(p). Setzt man (17) in III ein, so bekommt man ftir W(p) an den Nichtleitern die Randbedingung (18)

o w (s ) ~+ ~ W (s+) 2 + (s) - - (~_~-~ - -on - -= '

weft ja die gefundene Funktion

OU (s), ~+-~

U(p) an den Nichtleitern stetige

0U normale Ableitungen besitzt: weshalb ~ (s-) -~- ~

~-(s)

(s+) = ~ U

gesetzt werden kann. Da die Funktion U(p) die Differentialgleichung I erftillt, mug W(p) iiberall der Potentialgleichung 5W(p)--~ 0 entsprechen; weil welters die Funktion U (19)auf den Leitern sowohl die fiir V(p) verlangten Ladungen als auch die vorgeschriehenen konstanten Sprtinge hat, mul3 W(p) auf jedem Leiter je einen konstanten Wert haben und auf jedem ohne Ladung sein.

OU (s): welches in (18) zur Funk-

])as Zusatzglied ( ~ ' - - ~ + ) ~

tion 2 ~ (s) hinzugekommen ist, rtihrt yon den riiumliehen Massen p (p), der Kontaktelektrizit~t und den Ladungen der Konduktoren her und stellt also die dureh diese Massen auf den Nichtleitern indu; +OU_ zierte Belegung dar; die Summe derselben ] ( s - - - s )~nn d ~ auf den Leitern ist Null - - eine bekannte Tatsaehe der elektrisehen Verteilung. 8~ Das allgemeine Problem der Elektrostatik wurde bisher auf die folgende Aufgabe reduziert:

Randwertaufgaben.

191

I, Die gesuchte Funktion W(p) ist eine im gazen Raume ausnahmslos stetige Liisung yon A W ( P ) = 0. II. Das Potential W(p) hat in jedem Leiter 0 je einen konstanten Wert; die Ladung des Potentials W (p) ist auf jedem 0W Leiter Null~ d. h. das Integral ~ f ~ : n ( 0 - ) d 0 verschwindet bei der Erstreckung tiber die Oberfliiehe jedes einzelnen Leiters. III. Die ersten Ableitungen des Potentials W(p) sind an der Oberfli~che der Niehfleiter Z in normaler Richtung nach der iblgenden Gleichung unstetig :

~W

OW

~- ~-~ (8-) -- ~+ - ~ (s+) -----2 ~" (s),

wobei 6- und 6+ gegegebene, vom Nichtleiter zum Nichtleiter wechselnde Konstanten und ~ (s) eine gegebene Funktion ist. Zum Unterschiede wollen wir Punkte auf der Oberil~tche O der Leiter mit 0, d i e Oberfl~tchenelemente der Leiter also mit d {) bezeichnen, wahrend ftir die Punkte und Flitchenelemente der Nichtleiter X die Zeiehen s, ~ bezw. d s, d ~ gewi~hlt werden sollen. Das Potential W(p) ist an den Nichtleitern X stetig, hat aber unstetige normale Ableitungen. Wir bestimmen deshalb ein Potential v (p) der einft~chen Schicht auf den Niehtleitern X

v (p) = fg (p, o) ~ (~) d ~,

2

welches eine zu bestimmende Belegung ~ (6) hat. duktoren (9 nimmt dieses Potential den Weft an

Auf den Kon-

v (0) -=[g (0, o) ~ (~) d ~. Nun bestimmen wir naeh dem Abschnitte 1 ein Potential (p)~ welches auf den Leitern (9 bis auf additive Konstanten die entgegengesetzten Werte yon v ( p ) h a t . Dies geschieht mit Hilfe der Funktion q~+l (q-~ P-) ftir die Aul3enpunkte p% 2 - tier Leiter nach (13). Weft wir nur mit Augenpunkten zu tun haben, lassen wir den daraber gesetzten Querstrieh tiberall weg. Wir haben:

also nach Einsetzen des Wertes yon v (0)

(p)=lff

(z)g (z, o)

~+~(0, p) dO.da.

Dieses Potential ist nach dem Satz I ladungslos auf allen Konduktoren. Die Summe der beiden Potentiale v ( p ) - ~ ~ (p) nimmt

192

Josef Plemelj.

auf den Leitern konstante Werte an und hat auf keinem eine Ladung, weil dies sowohl yon v (p) als ~ (p) gilt. Wir setzen nun W ( p ) ~ v (1o)-~- ~i~ (p) and traehten q0(~) so zu bestimmen~ dal] W ( p ) das Problem 15st. Wir bekommen:

W(P)~- f ~' (:) [g (a'P)-J-l~,.f g (~ ~) ~n~

(19)

Z

+ i ({)~1))d{)] d z.

0

Die bier in der Klammer auftretende Funktion ist mit Rticksicht auf die Gleiehung (11) genau die oben betrachtete G r e e n s c h e 1 Fanktion ~ (~+ ~ ( a - , p - ) far Aul]enpunkte ~ p der Leiter; denn p ist ein beliebiger Aul~enpunkt der Leiter, z ein Punkt auf den Niehtleitern~ somit auch ein Aui~enpunkt der Leiter. Wir k0nnen also ktirzer setzen:

w(p)=

(19')

5f ~(~)~+,(~,p)d~. ..

2:

Dieses Potential ist auf allen Leitern ladungslos und aufjedem konstant~ was auch ohne weiteres daraus folgt~ dal~ (~+1(%P) beim Einrttcken des Punktes jo in einen Leiter yon der Lage des Punktes p auf demselben unabhi~ngig wird. Die Unstetigkeitsverhiiltnisse der normalen Ableitungen auf den l~ichtleitern Y-sind nun zu ermitteln. Unstetig in den normalen Ableitungen ist nut der erste Teil v (p)~ welches ein Potential der einfachen Sehieht auf X ist. Es ist also i[0W

(20)

~-

~/-

(8-) --

8W

]

W

(8+) = ~ (8).

Der, Mittelwert der normalen Ableitungen ergibt sich sofort durch Differentiation unter dem Integralzeiehen. Dies .gilt yore ersten Teil in (19) als einem9 Potential der einfachen Schicht~ yore zweiten, weil es aul~erhalb der Leiter ganz reguli~r ist. Man kann nach dem Reziproziti~tsgesetze s die G r e e n sche Funktion (~+l(~p) die Punkte 29 und ~ miteinander vertauschen, denn sie liegen beide aul3erhalb der Leiter~ und sieht dann, dab in (19) das zweite Integral ein Potential der einfachen Schicht auf den Leitern ist~ somit auf denselben stetig ist. Die Funktion W(p) ist also nieht blo6 am Aul~enrande der Leiter konstant~ sondern naeh dieser Vertausehung im Leiter selbst dieselbe Konstante. Man findet die normale Ableitung yon (~+1 (~, p) in einem Punkte p ~ s der Nichtleiter

1

~ ~ + , (8, .) ......

--

h (8, ~) ~

h (8 9) ~ (~)

.

9

193

Randwertuufgaben.

mit der auf Seite 181 gegebenen Definition yon h (s~ *) und somit

/ (~) ~0@ (20') ~1 [ 0W ~ (s-) + 0~ W(s+)l ---=~1 -'~ ~ + l(s,~)d~" ~7

Die Bedingungsgleichung III geht mit Riieksicht auf (20) und (20') fiber in die F r e d h o 1m sehe Funktionalgleiehung

1 V__ s---~+f (21)~(8)+~' ~r

2

O|

(~ i ~

=-+=+

T(s)~

aus welcher die Belegung W(s) zu bestimmen ist. Diese Funktion (s) gibt dann nach (19) die L(isung W(p). Der Faktor yon ? (~) unter dem Integralzeichen der Funktionalgleiehung hat bei unbegrenzter N~therung der Punkte s und alas Unendliehwerden der Fanktion h (s, a) und es fihrt hier genau dieselbe Methode zur LSsung der Funktionalgleichung~ wie ieh sic in einem analogen Falle (I~ S. 377) angegeben habe. ----

--

e+

~-.

_

.

Der Faktor " m d e r Funktionalgleiehung ist nur sticke- --~- e+ weise konstant, also noeh eine Funktion des Punktes s~ falls mehr als zwei verschiedene hhehtleiter vorhanden sin& Der allgemeinen Theorie der Funktionalgleichung entnimmt man> dalt (21) nur dann nach tier F r e d h o 1 m schen Methode nicht 15sbar oder nicht eindeutig 15sbar ist~ wenn die homogene Funktionalgleichung, also fir ~' ( s ) ~ 0 , lisbar ist. Dies kann hier nicht der Fall sein~ es wirde sonst ein Potential W(p) g eben, welches allen Bedingungen I~ II~ III mit T (s) ~ 0 gentigen wtirde. Schreibt man nun die Gleichung III in der Form --

so sind ~

OW

OW

~,--~ ( 8 - )

-

~W

~+ ~

(8+) =

o

OW

(s-) und 3n7. (s+) die normalen Ableitungen mit ins

Aul~en- bezw. ins Innengebiet positiv gezi~hhen Normalrichtung~ also immer in das Gebiet, wo der Randpunkt s - bezw. s+ liegt. Der ganzen Begrenzung jedes Dielektrikums entspricht ein- und dieselbe Dielektrizitiitskonstante s. Multipliziert man die letzte Gleichung mit W(s) und integriert~ so erhiilt man eine Summe yon lauter positiven Integralen~ da bekanntlieh

-fw

d~ positiv ist und

nur bei konstantem IV versehwindet. Solange also alle a positiv sind~ was in der Physik zutrifft~ kann man sehliegen, dal~ W konstant sein mfil~te; diesem W kann also nur ein identiseh versehwindendes ~ (s) zukommen. In allen die Physik interessierenden F~llen ist folglich das Problem stets dureh die Funktionalgleichung (21) und danaeh durch das Potential (19) in eindeutiger Weise l~sbar. Monatsh. fiir Mafhemafik u. Physik. X V I I I . 5ahrg.

13

194

Josef Plemelj.

o

Das Problem der station~tren elektrisehen

Strt~mung.

Die Aufgabe, die bier behandelt wird, ist die folgende: 1) Es ist ein Potentiai V(p), also eine LSsung yon • zu finden, welehe samt den ersten Ableitungen iiberall stetig ist bis auf Fl~tehen, auf denen folgende Bedingungen za erfttllen sind. I. An der Oberfl~tohe des gesehlossenen Leitergebietes~ d. h. auf l?l~tehen~ we Leiter und Niehtleiter zusammenstossen, ist V(p) stetig~ seine normale Ableitung auf des Seite des Leiters mug ttberall versehwinden~ d. h. es ist

~ 0 ) ---=0 auf der Seite der Leiter. II. An gewissen gegebenen (elektromotoriseh wirksamen) Fl~tehen erleidet das Potential einen sttickweise konstanten gegebenen Sprung V(s+) - - v (s-) = 2 ~. III. Innerhalb des Leitersystems befinden sieh gesehlossene oder his an die Oberfl~teh% d. h. his an die Niehtleiter reiehende Fl~ehen~ auf denen OV X+ OV x - 3 5 ; (~-) - U~ (~+) = o erftfilt ist (Trenmmgsflttehen versebiedener Leitf~thigkeit X). Die Leitftihigkeit 1, ist ftir die ganze Begrenzung der einzelnen Leiterteile dieselbe gegebene Konstante. Die Leiter werden also hier ftir die elektrisohe Leitung als isotrop angenommen, da ). stttekweise konstant vorausgesetzt wird. Es l~l~t sich zunaehst sofort ein Potential angeben~ welches der Bedingung II entsprieht. Naeh einer allgemeinen Eigensebaft eines Potentials der Doppelsehieht f z h (~ p) d ~ ist der halbe Sprang an einer doppelt belegten Fl~tehe genau gleieh der Belegung z. Wir haben also in @) = f ~ h (~, p) d ~ § w (p)

ein Potential , welches der Bedingung II entsprieht~ wenn w (p) irgend ein aueh auf diesen elektromotoriseh wirksamen Fl~tehen stetiges Potential ist. Naeh der bekannten Bedeutung yon fh (~ p) d (I.~ S. 343) ist das Integral der letzten Gleiehung gar niel~t abhangig a) Beziiglich der Herleitung dleses Problems verweise ich auf: W e b e r ~ R i e m a n n : Partlelle Differentialgleichung I~ 1900~ S. 410 ft.

Randwertaufgaben.

195

yon der Flitch% iiber welehe es erstreckt wird, sondern nur yon der Randkurve, welche einem und demselben x entspricht. Es ist n/~mlich bis auf den Faktor x das Integral nichts andcres als die vom Punkte p: gesehene scheinbare Grsl3e der elektromotorisch wirksamen Fhiche, wobei bei etwaigen mehrfachen l~lberdeckungen eine naheliegende Modifikation der Vorstellung Platz greift. Aus diesem Umstand ist das konstruierte Potential mit Ausnahme der Randkurve allenthalben mit allen Ableitungen stetig; auf beiden Seiten der Flache~ die unter Beibehalten der Randkurve beliebig stetig verlegt werden kann~ hat man den konstanten Sprung x Das betrachtete Integral hat als Potential der Doppelschicht auf keiner gesehlossenen Fl/iche eine yon Null verschiedene Ladung. An der in der I. Bedingung gemeinten Oberfl/iche der Leiter hat dieses Potential der Doppelschicht gewisse normale Ableitungen~ aber jedenfalls soleh% dal~ die Ladung auf der Oberfl~tche Null ist. Man kann also infolge dieses Umstandes fiber das Potential w (2) so verftigen, dal~ es auf den F1/tchen I g e n a u die entgegengesetzten normalen Ableitungen des eben betrachteten Potentials annimmt und sonst im Innern (und auch im Aul3ern) des Leitergebietes mit allen Ableitungen stetig ist. Nach d~eser Bestimmung yon w (p)haben wir in U(p) bereits ein Potential~ welches die Bedingungen I und II vollst/tndig erftillt. Setzt man V (2)) = U (2)) -~- W (2)), so bleibt nur noeh das Potential W(p) zu bestimmen. Welches ist die Randbedingung ftir das Potential W(/))? Man tiberzeugt sich sofort~ da~ f~ir das Potential W(p) die Fliiehen II tiberhaupt aul~er acht kommen. Weft U(p) schon der Bedingung II gentigt~ ist W(p) dort stetig. Seine Ableitungen sind daselbst ebenfalls stetig~ wenn nicht die Flachen II gleiehzeitig zu den Fli~ehen III gehSren~ was ganz unwesentlich ist. Da nun U(p) und V(p) die Bedingung I erftillt~ mu~ dasselbe yon W(p) gelten. Die Randbedingung" III geht in eine Randbedingung fiir W(p) fiber~ wobei man zu bertieksichtigen hat~ dal~ die normalen Ableitungen yon U(p) dort bekannt und stetig sind~ mithin O~ OU ~U ~nn (~-) = ~nn (s+) = ~ (s) gesetzt werden kann. 5. Die Bedingungen~ denen das gesuehte Potential W(jo) zu entsprechen hat~ lassen sich wie folgt zusammenfassen: Das Potential W(p) ist fiberall stetig. Dasselbe gilt yon seinen ersten Ableitungen bis auf Fli~cben~ wo folgende Vorschriften gelten: I. Die normalen Ableitungen verschwinden an den Fl~tchen 0, welehe Leiter van Nichtleitern trennen, so dai~

OW ,~n (~) = o

ist auf der Innenseite der Leiter.

196

J o s e f Plemelj.

II. An den Trennungsfl~tehen )2 yon Leitern versehiedener Leitt'~higkeit k sind die beiclerseitigen normalen Ableitungen yon W(p) naeh folgender Gleiehung unstetig ~-" ~ n w (~-) - - ~+

~ u(~).

~ (~+) = ( ~ - - - ~'+) N ;

Die Leitf~higkeiten undadie Funktion ~

U(z) sind gegeben.

Die Funktion ( ~ , - - - k + ) ~ U(~) hat die Eigensehaft bei der Integration tiber alle Fl~chen 2 Null zu geben. ist namlieh die Summe der Integrale f k ~

Dieses Integral

U(c;) d~;, deren jedes tiber

die ganze gesehlossene Oberflaehe clues Leiterteile% dem dasselbe ). zukommt, zu erstreeken ist. Bei jedem einzelnen Integral ist dann die Normale in das Gebiet, tiber dessen Begrenzung integriert wird, positiv zu zahlen. Jedes einzelne dieser Integrale ist Null, well U(p) ein ladungsloses Potential ist. Das Potential W(p) ist im ganzen Leitergebiete stetig~ seine normalen Ableitungen an ~ kSnnen jedoeh nieht stetig sein, deml sonst wSre W(p) im Leitergebiete mit seinen ersten Ableitungen allenthalben stetig, und well am Rande seine normalen Ab!eitungen verschwinden sollen~ mtilhe es in den Leitern konstant sein~ was nur bei versehwindender Funktion - ~ U(z) der Fall ist. Well also die normalen Ableitungen an den Flsehen E einen Sprung haben, wird man ein Potential v (p) der einfaehen Sehieht konstruieren~ welches genau diesen Sprung hat. Die Funktion W @) kann sieh dann yon v (p) nut um ein Potential ~ (p) unterscheiden, welches im Leitergebiete saint seinen ersten Ableitungen ttberall stetig ist. Well nun W (p) am Rande 0 verschwindende normale Ableitungen ha% mul~ ~ (p) genau die entgegengesetzten normalen Ableitungen yon v (p) an 0 annehmen. Es sei also 2 Die normalen Ableitungen yon v (p) auf 0 sind:

X

denn die Fl~che 0 ist yon Z versehieden~ so dag unter dem Integralzeiehen differentiiert werden konnte. Das Potential ~3(p) nimmt die entgegengesetzten normalen Ableitungen yon v (p) an. Naeh (14) und (15) lautet dieses Potential

+~ (~, ~). ~ v ({}) ~ =

(~) = ~ f 0

ZO

Randwertaufgaben.

197

wobei die IntegI'ationsfblge vertausehbar ist. Naeh dem zt~ (15) Bemerkten mul~ damit die normalen Ableitungen genau angenommen werden, das Integral f ~~v (I)) d~) versehwinden, d. h. v (p) ohne Ladung sein. Soll dies stattfinden~ so mug

(22)

j~_ (~) ~ = o X

sein. Diese Bedingung ist notwendig und hinreiehend. Wit haben nun das Potential W(2 ) in tier Form v (p) @ ~ (p), d.h. Z

O

Die bier in der Klammer auftretende GrSl~e kSnnen wir 1 2~ |

(-P~z) gleieh setzen. Dies folgt aus der Gleiehung (11) naeh

einer dort gemaehten Bemerkung~ ist abet aueh aus der Eigensehaft der hier aaftretenden Klammergr~il3e unsehwer direkt zu entnehmen. Wir haben also

(23')

W(p)

=

d~.

(p, X

Um die Unstetigkeit der normalen Ableitungen auf z zn untersuehen~ hat man zu beaehten, dal3 nut v (p) unstetige normale Ableitungen hat~ das zweite Potential 2~ @) abet unter dem Integralzeiehen differentiiert werden darf. Naeh einer bekannten Eigensehaft eines Potentials der einfaehen Sehieht findet man den )Iittelweft der normalen Ableitungen ebenfalls sofort dutch Differentiation unter dem Integralzeiehen. Wir haben also:

1 [ ~ W(s-)+~-~ --2

W(s+)]= 1

~ f ~ , (~)~ ~+~ (s, ~). d~. X

Die Randbedingung II geht dann in die folgende Integralgleiehung fttr ~ (s) fiber 1 k - - - ) . + ,~

~ (~+1 (s, z). dz

X" - - - - k+

U(s).

X

Die L~sung des Problems reduziert sieh also auf die L~sung dieser F r e d h o 1m sehen Funktionalgleiehung. Das Unendliehwerden

198

Josef Plemelj.

0 yon ~+l(s,z)

fttr s = z

ist das der Funktion

h(s,~) und

kann in allen reguf~ren Punkten yon Y nach dem im 1. Teile (S. 377--378) angegebenen Verfahren beseitigt werden. Wenn keine der Flaehen 2 bis 0 reieht and 2 durehwegs regular ist, so lagt sieh zeigen, dag (25) bei positiven X nnr eine LSsung besitzt~ welehe der Bedingung (22)entsprieht~ somit (23') eine LSsung des vorgelegten Problems liefert. Ist namlieh die Funktionalgleiehnng (25) gelSst, so ergibt sieh mit Hilfe des gefundenen ~ (s) ein Potential W@) aus (23'), welches jedenfalls der Bedingung II auf 2 genfigt, aber nnr dann aueh versehwindende normale Ableitungen am Rande 0 hat, wenn das gefundene ? (s) der Bedingung (22) entsprieht. Wird nun in II, welehe Bedingung vom gefundenen W(p) wegen (24) ja befriedigt wird, das Integral fiber alle Flaehen genommen, so ergibt sieh~ wie bereits gesagt, reehterhand Null, die

r~IV(~) do

linke Seite reduziert sieh zufolge der Eigensehaft, dal3 J - - ~ -

bei der Erstreckung fiber ein gesehlossenes endliehes Gebiet~ wo Regularitgt der ersten Ableitungen vorhanden ist: verschwindet, auf das fiber die .erandung 0 erstreekte Integral

t't,~W(3)d~

Ist nun k Igngs 0 fiberall dieselbe Konstant% f8

Un

W(0)

=

0

Das Potential

W(p) besteht

nun

O.

so ergibt sieh aus

zwei Poten-

tialen v (p) -[- ~ (p), yon denen das zweite 93 (p) aul~erhalb 0 fiberall regular ist~ also

~ ~ ({})d~ = 0 entsprieht, in diesern Falle folgt

aueh ffir v (p) die Ei~ensehaft [ .<-v 0})d[}~0~ so dai3 v (1))ladungslos 3 on

ist und demnaeh q~( s ) d e r Bedingung (22) gentigt. Daraus fblgt aber sofort, dal~ W(p) am Rande versehwindende normale Ableitungen hat. Ffir diesen Fall ist die Aufgabe gelSst und es gibt keine andere L6sung. Die Funktionalgleiehung ist n~imlieh nur dann nieht 15sbar~ wenn sie in homogener Form, wo also ~ ist~ gelsst werden kalm. Falle, d. h.

U(s)= 0

Multipliziert man nun II im homogenen

- - X- 9~ - ~ n W(s-) - - ~,+ ~n W(s+) = 0 mit W(s) und integriert fiber X und 0, so ergibt sieh genau die Summe der tiber die Begrenzung jades Gebietes, dem dasselbe X zukommt~ genommenen Integrale ~ )

/ ' W ~ Wd~ bei in das Gebiet

' ~

On

positiv gezahlter Normale. Diese Integrale sind positiv und nut Null~ wenn W konstant ist. Daraus wfirde dann aus (24) q~(s) -~-0 folgen, weil W(2 ) keinen Sprung der Ableitungen hat. -Dies zeigt nun~

199

Ranclwertaafgaben.

da~ im homogenen Falle keine yon Null Versehiedene LSsung yon (25)existiert. Anders ist es in dem Falle, wo Leiter versehiedener Leitf~higkeit his an die Begrenzung 0 (an die Niehtleiter) reiehen. Aus einer LSsung ~(s) wird man dann noeh keine LSsung W(p) erhalten~ wenn die Bedingung (22) nieht erf~illt ist. Damit in diesem Falle alas Problem 16sbar ist~ mug eine LSsung des homogenen Problems existieren~ welehe der Bedingung (22) ebenfalls nicht entspricht~ s o dal~ dann far die LSsung des niehthomogenen Problems die Bedingung (22) aufrecht erhalten werden kann. Diesen Fall untersuehen wir nicht welter, zumal die bisherigen Methoden nieht ausreichend sind~ die Konvergenz der F r e d h o 1m[schen Reihen fiir die LSsung der Funktionalgleiehung (25) in diesem Falle nachzuweisen. Die Schwierigkeit besteht in den Unstetigkeiten von

~(~+l(s,z)~

welehe dort entstehen~ wo zwei versehiedene

Leiter an einen ~ichtleiter angrenzen. 4. Die dritte Randwertaufgabe. Die Theorie des statlon~ren W~rmezustandes fiihrt auf die Aufgab% e i n e Lssung V(p) der L a p l a c e s e h e n Differentialgleiehung AV(p)~-O zu bestimmen, welehe an der Oberfl$[che eines K0rpers der Bedingungsgleichung ~ ~(s+) =: x (s) LV (s+) - - ~;(s)] entspriehg in tier x(s) und U(s) bekannte Ortsfunktionen des Oberfl~ehenpunktes s sin& Wenn der KUrper aus Teilen verschiedener Leitfahigkeit besteht~ so ergeben sich noch Unstetigkeitsbedingungen ~V far ~ an den Grenzfl~chen versehiedener Leitf~higkeit. Wie bei den vorangehenden Aufgaben~ wircl m a n vorerst solche Unstetigkeitsfl~ehen aus dem Spiele lassen. Wir setzen also bier voraus~ dal~ V(p) mit seinen ersten Ableitungen im Innern des betraehteten Gebietes fiberall stetig sei, der KSrper also far die W~rmeleitung isotrop ist. Es erweist sieh als zweekm~ig~ die Aufgabe dureh Hinzufagen eines konstanten Parameters k zu verallgemeinern Far das gesuehte Potential V(p) soil also die Randbedingung

(A)

-k

(s) F(s+) =

(s) V(,)

angenommen werden. Neben dieser ist die homogene Randwertaufgabe 0 (B) 0 ,,. ~I;(s+) -~- 4 = ), x (s) ~i"(s+) = 0 yon Bedeutung.

200

Joset Plemelj.

Bei der physikalisehen Fragestellung ist die Funktion z (s) niemals negativ. Die LiSsbarkeit der Aafgabe ertbrdert~ wie der Gang der Entwieklung zeigt, diese Voraussetzung nieht. Unter der Annahme, dug x (s) ein unvergnderliehes Zeiehen hat, kann man weitergehende Sehlttsse ziehen, indem man beweist; dag eine LSsung des homogenen Problems (B) nut flit eine unendliehe t~eihe (26)

0, 71, X2, ~, 9 9 -

diskret liegender~ realer und nieht positiver Werte des Parameters, die nur im Unendliehen sieh hgufen, besteht and zu jedem dieser ,~ausgezeiehneten Parameterwerte" eine endliehe Anzahl linear versehiedener ,,ausgezeiehneter L(Ssungen" (yon B) gehSren. Ftir jeden anderen Weft des Parameters ),, vor allem also in allen die Physik interessierenden Fallen, ist das Problem A bei jeder integrierbaren Oberfl~tehenfunktion U(s) 15sbar und dies nut in einer Weise. Gewisse sehr einfaehe Integraleigensehaften der ,ausgezeiehneten L~sungen" haben Anlag zu Entwieklungen naeh diesen Funktionen gegeben. Ieh bemerke noeh, dug die Endliehkeit der Funktion z (s) nieht vorausgesetzt wird, es gentigt die Integrierbarkeit~ d.h. die Endliehkeit des tiber die gauze Begrenzung erstreekten Integrals Es ist vor allem naheliegend dem Problem dureh tin Potential der einfaehen Sehieht 1

(~)

zu entspreehen, indem die Belegung p (a) in geeigneter Weise bestimmt wird. Die Unstetigkeitsgleiehungen, dureh welehe die beiderseitigen normalen Ableitungen eines Potentials der einfaehen Sehieht miteinander verknfipft sin(l, lassen die normale Ableitung yon V(p) dureh ein Integral darstellen. Naeh Einsetzen in die Randbedingung A ergibt sieh ftir p (s) die Funktionalgleiehung

aus weleher sieh naeh dem F r e d h o l m s e h e n Verfahren p(s) als Quotient zweier ganzen Funktionen yon 1, bereehnet. In dieser Weise wurde das Problem yon E. P i e a r d (Rendie. Circ. Mat, Palermo, 1906) behandelt. Die Gtiltigkeit der F r e d h o l m s e h e n Reihen ffir ein integrables Ix (s)] ist leieht zu zeigen. Ffir weitergehende Sehlttsse, besonders fttr den Naehweis dee unendliehen Anzahl der Parameterwerte (1) zeigt sieh diese Funktionalgleiehung nieht handlieh. Die Funktionalgleiehung~ auf welehe im folgenden das Problem zuriiekgeftthrt wird, lggt die unendliehe Anzahl der ausgezeiehneten Parameter leicht erkennen. Es zeigen sich dabei aueh bemerkens-

Randwertaufg'aben.

201

werte Erscheinungen, so z. B. der Umstand, dal~ die ausgezeiehneten Parameterwerte (1) im allgemeinen keinen singularen Fall ffir die Integralgleichung selbst involvieren uncl umgekehrt ; die allgemeinste LSsung yon A and B ergibt sich nichtsdestoweniger mit Leichtigkeit. Als Ausgangspnnkt dient der Umstand~ dal~ durch die normalen Ableitungen jedes Potential in einem Gebiete bis auf eine Konstante festgelegt ist. Im ersten Absehnitt, wurde eine G r e e n s c h e Funktion | (p+~ q+) bestimmt, welche das Potential durch eine Integration liefert. Diese G r e e n s e h e Funktion wird, wie daselbst erwithnt, bei Annitherang der Innenpunkte p und ff unendlich wie 1 Da w i r e s nur mit Innenpunkten za tun haben, k0nnen wir, rp ohne ein Mi~verstiindnis zu befiirchten, die dort tibliehen fiber p nnd q gesetzten +-Zeiehen weglassen~ and sehreiben ktirzer (~ (p~ ~) statt (~+~ (p~ q). Die Funktion (~ (p, if) entspricht dem Symmetriegesetze (~ (p, ~) ---- ~ (% P), welches auch ftir Randpunkte gilt. Das Potential V(p) ergibt sieh nach (14) und (15) in der Form - - - 1 ~ - fOV ~ (a) (~ (~, p) d~ wobei ffir die allgemeinste L(~sung noch eine Konstante hinzugeftigt werden mulk Aus der Randbedingung A ergibt sieh flit V(p) sofort die Gleichung

welehe in eine F r e d h o l m s e h e Funktionalgleiehung far V(s) tibergeht~ wenn~ was gestattet ist, der Punkt p zu einem Randpunkt s wird. Analog bekommt man ftir ~" (p) die Gleichung (27')

q; (p) --~ xf(~ (p, ~) (F (s) z (s) d~ = c,

[c = const.]

welch% wenn p ein Randpunkt s wird, ebenfalls eine F r e d h o l m sehe Funktionalgleiehung ist. Zur LSsbarkeit der Randwertaufgabe ist notwendig~ daI~ J[.0 T nv do ----0 wird. Dies gibt naeh (A) und (B) ftir

V(s) und

q; (s)

die Integralbedingungen :

(2s)

#,

~,j~ (s) ~ (s) ds

O.

Aus der Funktionalgleichung (27) und (27)' sind die Funktionen V (s) bezw. T (s) zu bestimmen nnd die Konstante c so einzarichten~

202

Josef Plemelj.

dal3 die Bedingung (28) erfiillt ist. Nach dieser Bestimmung der Konstante c hat man gewil3 alle vorhandenen LSsungen yon A und B in den LSsungen der Funktionalgleiehungen (27) und (27') mitgenommen~ abet aueh keine anderen. Befriedigt jedoeh bei einem bestimmten c die LSsung V(s) yon (27) nieht die Integralbedingung (28), so gibt sie keine LSsung der Randwertaufgabe A, Naeh den allgemeinen Prinzipien 15st sieh die F r e d h o 1msehe Funktionalgleiehung (27) dutch eine der folgenden gleiehwertigen Resolventen

(29)

@, q) § ~(~ (p, ~) c~ (~, ~) ~. (~) d~ -= ~ (p, ~), (p, ~) § x f ~ (p, ~) ~ (~, ~) ~. (~) cl~ = ~ (p, ~),

aus weleher die Funktion ~ (p~ q) bestimmt Werden mug. Dies gesehieht naeh der F r e d h o l m s e h e n Methode, indem man 2 und zunaehst beide am Rande annimmt~ also ~ (s~ ~) bestimmt. Die Ausdehnung auf allgemein liegende Punkte ist dann in den Gleiehungen (29) selbst enthalten. Dabei erhellt unmittelbar~ dal~ die Endliehkeit yon ~ (s) nieht vorausgesetzt werden mul~ da in den F r e d h o 1m sehen Reihen aberall nut das Differential dureh x (~)d~ zu ersetzen ist. Die beiden Resolventen 15sen einander gegenseitig auf. Ist die LSsung yon (29) geschehen, dann ergibt sieh aus (27), wo zuerst p = s zu setzen isb die Funktion V(p) naeh Multiplikation mit ~ (p, s) x (s) ds und Integration. Die Beracksiehtigung yon (29) gibt naeh leiehter Reduktion 1 .~ Zm" Bestimmung der Konstante c ergibt sieh aus (28) die folgende @leiehung

Die Klammergr~ge in dieser Gleiehung spielt eine wiehtige Rolle. Wir setzen zur Abk~rzung (3I)

, (p) =

1-

x

f~ (p, ~) ~. (~) d~,

wodureh die Funktion ~ (p) far jeden Punkt 21) bestimmt ist. Der Wart der Konstante c ist in die LSsung (30) einzusetzen. Unter Einftihrung einer Funktion ~ (p, ~)~ die dureh (32)

~ (P, q) = ~ @, ~) 4,-

~ (p)' + (~)

Randwertaufgaben.

203

definitiert ist~ ergibt sich das gesuchte Potential V(p) in der Form

(33j

1

v (p) --: ~ . / ' ~ (p, 0). u (~) ~ (0) do.

Es repri~sentiert also ~' (2)~(]) die G r e e n sche Funktion dieses Problems. Hiemit ist die allgemeinste LSsung der Randwertaufgabe gegeben. Das Interesse konzentriert sich auf die Eigensehaften der G r e e n schen Funktion ~ (p~ 9)Die Funktion 6 (p) gentigt der Integralgleiehung

(34)

~ (p) + ~ f ~ (p, o) '4 (0) ~. (0) do --- 1.

Sie ist nach (31) eine Folge der Eigensehaft (29) yon ~ (p~ if). Der Anblick yon (27') zeigt soibrt, dal~ 6 (p) eine LSsung des homogenen Problems B isb wenn die Integralbedingung (28) erfiillt ist~ welche hier in k ['6, (0) z (•) do - - 0 iibergeht. Diese Bedingung ist nun die~ da~ ein vorliegendes k fttr den Nenner X],~ (0) z (~) do des ..Zusatzgliedes" in (32) eine Nullstelle ist. Die'se Nullstelle ist ein Pol yon ~' (p, ~/). Zwisehen den LSsungen T (p) des homogenen Problems und den Funktionen ~ (1), q) und ~ (f, if) bestehen wiehtige Beziehungen. Wit nehmen die Funktionalgleiehung (27') bei einem bestimmten )'o : (27")

To (P) @ ),o./'| (p. z) q'o (z) dz - - c~

wahlen fitr p hierin einen Randpunkt s~ multiplizieren sodann mit q~ (9, s) x (s) ds und integrieren. Die Funktionalgleiehung (29) fttr (P, 9) gibt

(35)

*o (q) = 0.

~o).(~ (~, o) % (0) ~ (0) d~ § ~,~ (~),

Wobei ~ (p) die frtthere Funktion (31) ist. Multipliziert man nun die Gleiehung (32) (flit 7 - - s) mit (k - - ~'o) To (s) z (s) ds und integriert, so ergibt sieh naeh Einsetzen des Integrals aus (35) die ftir die Folge wiehtige Gleiehung

(3~)

% (1))-: (~.

~.o)f~ (p, ~) % 0)

(:) do,

far jede Funktion q;o (s), welehe die Integralbedingtmg (28)~ d. h. f T o (s)x ( s ) d s - - 0 erfiillt und somit eine LSsung des homogenen Problems B far den Parameter ~'o gibt. LSsungen der Funktionalgleiehung (27") ftir c ~ 0 kann man nun auf folgende Weise erhalten. Es sei ~,o ein m-faeher P o l d e r Ftmktion ~ (p, ~). Setzt man dann (), ~ ko) ~ (p, q) - - P (1), q)-~-... TM

204

Josef Plemelj.

indem man unter P(FI q) das s ), =-)~o nieht verschwindende Glied versteht~ so gibt die Funktionalgleiehung (35) f(ir P(p, q) die Gleiehung

P (~, ~) + Xoj'~ (2,1 o) P (0, ~) ~ (0) c~z = o,

(37)

so (lab P(p~q) eine LSsang von (27") fiir c~-~-0, ist. Dabei ist nur ein Parameter. Wir haben also fiir dieses P (p, q) nach (35) (38)

P (2, ~) -----(x - - Xo)f~ @, o) P (0, ~) ~ (~) ~ ~.

Aus dieser Gleiehung ersehlieBen wir sofort die Realit~tt und Einfaehheit der Pole von ~ (1, ~). Da namlieh ~ (p~)• (0)eine reale Fanktion ist~ waren Xo und sein konjugierter Wert Xo gleichzeitige und gleieh vielfaehe Pole. Dem Pole ).o wfirde die zu P (p, ~) konjugierte Funktion P (p~ q) entspreehen. Naeh Multiplikatio9 der letzten Gleiehung mit (k - - ~,o )~ und Grenztibergang X = X0 ergibt sieh (),o - - ~.o)f fi-(p, ~) P (~, q) x (z) d~ = O, eine Gleiehung, die t~r p = ~ nieh( bestehen kann, da P~-(p, o) za P (alP) konjugiert 1 x(~)positiv ist. Die Pole kSnnen aueh nieht real und mehrfaeh sein, well in der obigen Gleiehung far p = ~ beim Grenz~ibergang k = Xo die linke Seite endlieh bleiben, die reehte unendiieh waehsen wtirde. Die Pole sind also real und einfaeh. Naeh der allgemeinen Theorie hat nun ~ (p, ~) als LSsung von (29) keine anderen Singularit~ten ftir endliehes ). als Pole. Der Theorie der F r e d h o 1m schen Funktionalgleiehung entlehnen wit die Tatsaehe, dab i't~r einen Pol i,o yon ~ (io~~) das ) Hauptglied der Entwieklung Pk(-P ' q)'o

Iautet,

wobei P ( p , ~) die

Form hat (39)

P ( p , ~) = O~ (2) % (~) + O~ @) % (~) + . . -

@ O, (l>) % @,

wo n e i n e endliehe Zahl, die Funktionen O~ (p)q52 ( / ) ) 1 . . . ~ (P) abet unter sieh und ebenso tF1 (~), tt:2 (q),... ~t'~, (~0 linear unabhangig sind. Aus den beiden aquivalenten Resolventen (29) folgt ftir zwei Randpunkte s, zaus der Symmetrieeigenschaft ~ (al s) -~- (~ (s, o) sofort (40) und daraus wieder

(40')

~ (~, s) = ~ (s, ~)

P (~, s) = / ? (s 10).

Aus der Gleiehung (38) folgt dureh Grenztibergang fttr X ~--~o die Gleiehung

P (p, q) = [ P @, ~) P (~, ~) -~(~) d

Randwertaufgaben.

205

und aus dieser ergibt sich infolge der linearen Unabh~ingigkeit der Funktionen r (P), (I)~ ( p ) , . . . r (19) und q'l (q), q'~ (~) .... tt",~ (~) die Integraleigensehaft f dp, (~) q5~ (~) z (~) d~ ----- { 0, 1, ,venn ,, ,u~ ~ 4= ~v"

(41)

Naeh (37) sind die @.. (p) und q'~. (s) LSsungen der homogehen IntegrMgleiehung (27") (ftir c = 0 ) . Sie geben also sofort auch Lssungen der homogenen Randwertauigabe B, falls die Bedingung (28), d . h . @,(~)z(~)d~:0 bezw. [~tr,(~)x(z)dz=Oerfctllt ist. f Nan kann nun die Funktionen 4)1 (s), @~ (s),...@/~ (s) stets so einriehten~ dal~ hSehstens eine von ihnen, etwa (I)~(s), die erw~thnte Integralbedingung nieht erNllt, indem man die ttbrigen nStigentMls mn geeignete O i (s) eonst. ~tndert. Die tFi ( q ) . . . q:. (q) erleiden dadurch in ( 3 9 ) n u r eine lineare Substitution. Aus der Symmetrieeigensehaft (40')folgt, dag die Funktionen q:,(s) dureh (I)l(s), @~ (s),...(1),~ (s) linear sieh ausdrfieken. Es sei (42)

r (.~)-+-...-+- ~,~ ,:I,~ (s)

% (s) = a~l r (s) -l- a~ .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

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.

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,

.

Die Integraleigensehaft (41) der Funktion O~(s) und q:/~(s) gibt far die Koeffizienten az~ naeh ]~lultiplikation der Gleichungen (42) mit ~F, (s)x (s)ds und Integration die Darstelhmg

ds, so da~ das System (a,~) der Koeffizienten symmetriseh und die Diagonalkoeffizienten a~, positiv und yon Null versehieden sin& Diesen Umstand verwenden wit zu einer Normierung der Funktionen @ , ( s ) u n d q',(s). Der Anbliek yon (42) zeigt~ dal~ die Differenzen ~I', (s) -- a. 1 (t~l (s) die Funktion (I)i (s) nieht mehr entail halten. Wenn wir also in (39) yon jeder Funktion (g~(ff) ein entsprechendes Glied a'--L T~ (if) abziehen, so ist der fibrig bleibende 6~11

Tell yon (I)1 (~) nieht mehr abhangig, also nur ein linearer Ausdruek yon (I)~ (q)~. 9 , (I),~(if). Man hat im ganzen - -1 ,v~ (q) E,~, r (io) + al 1

-~- a2~ *~ (2o) ~ - . . . - J - a , , r (p)], d. h. naeh (42) genau _1_ ~'i (q) tt'~ (p) all

subtrahiert und hat dieses Glied wieder hinzuzuffigen. Hitte man 1 im vorhinein statt 4)i (p) die Funktion ]/a-~-~" q:'~ (p) gewahlt, die

206

Josef Plimelj.

tibrigen d)z (p) beibehalten, so hi~tte (39) schon die einfachere Gestalt~ dal3 (I)1 (p) ~-- T~ (p) wi~re und in (42) reehts witren s~hntliche Koeftizienten der ersten Horizontal- und Vertikalreihe aul~er a l l = 1 gleich Null. Ein fortgesetztes Verfahren zeigt~ dais ftir P (P, 7) die Form vorausgesetzt werden kann: (43)

P (p, ~) = ~ (p) ~ (q) § % (p) % (q) + . . . - } -

% (p) % (~),

wobei noch mit etwaiger einziger Ausnahme einer der Funktionen IF, (p) e t w a q;1 (q) - - die Integralbedingung / ~" (z) z (z) d z 0 erffillt wird. In analoger Weise ist das Residuum der G r e e n s c h e n Funktion ~ (p~ s) an einem Pole )~o zu untersuchen. Es sei zu diesem Zwecke )~o ein Pol yon ~ (1)7 q) und eine der betraehteten Funktionen, (Fl(s), gebe ein vonNull verschiedenes Integral ]'qr 1 (z) z (~) dz = a ( # 0). Die Funktion ~ (p) in (31), yon welcher das Zusatzglied in (32) abhlingt, hat dann in der Umgebung yon ).o die Entwieklung (44)

~ (P) = - - ~ ~o - - ~~o . ~1 (p) § . . . . . .

der Nenner ).j',4 (s)z (s)ds des Zusatzgliedes (32) lautet (45)

6t2

',~ (~)

, X__ ),o-~ "" so dab das Zusatzglied selbst die Form hat

~: (P) % (0 , k - - )~o -1- .... Daraus folgt nun, daft sieh in (32) dieses Glied vom Residuum der Funktion ~ (p~ ~/) weghebt und nur jene Funktionen T , (_p) ira Residuum yon 9 (2), ~) fibrig bleiben, welehe der Integralbedingung .(q[**(z)• ( z ) dz = 0 entsprechen l i n d also Liisungen des homogenen Problems (B) fiir k ~ o bilden. Wenn diese Integralbedingung yon allen (F~ (s) befriedigt wird, dann wird ,b (p), also der Ziihler des Zusatzgliedes, endlieh, der Nenner kSnnte noeh verschwinden. Es eriibrigt noeh der Fall, daf~ ftir )'-----)~o der Nenner kf,b (z) z(~) dz versehwindet. Die dazugehSrige Funktion sei (s), d so dal3 )'j~o (z)z (z)dz = 0 ist. Ftir '~o (s) haben wir nach (34) ~o (8) + ~ o f O (8, ~) ~o (~) ~ (~) d~ = 1.

Randwertaufgaben.

207

Wird diese Gleiehung mit ), r (s) • (s) ds multipliziert und die Funk tionalgleichung (34) ftir r (s) in Betracht gezogen, so bekommt man: (46) und der links stehende Ausdruck ist genau der INenner des Zusatzgliedes in (32). Aus dieser Gleiehung ergibt sich die Realitiit der INullstellen der linken ,Seite, ferner die Einfachheit derselben. Einer l~ullstelle entsprieht r (P) als (ausgezeiehnete) LSsuug der Randwertaufgabe (B) nebenbei aueh siimtliehe Funktionen T 1 (p)~ tie2 ( p ) , . . . ~ ~2~, (p), wenn )~o gleichzeitig ein Pol yon ~ (p~ q) war. Da nach (46) der Faktor yon ),--),o an einer Nullstelle ~o positiv ist~ geht mit wachsendem k der iNenner ),f r (0) z (0) d~ an jeder l~ullstelle vom l~egativen ins Positive fiber. Daraus folgt unmittelbar, dab zwisehen zwei Polen des Nenners ~/'~ (0) z (0) d~ nur eine Iqullstelle liegen kann. Diese iNullstelle ist nun aueh wirklieh vorhanden. Die Darstellung (45) des ~qenners in der Umgebung tines Poles zeigt~ dag derselbe an jedem Pole links positiv~ rechts negativ ist~ mithin zwischen zwei Polen durch Iqull und: wie bereits gezeigt, gerade einmal hindurehgehen mug. An einem Pole des ~enners verliert sich aus dem Hauptglied yon ~ (p~ ~) ein Glied q; (p) ~F(q) an einer ~Nullstelle gewinnt man ein Zusatzglied derselben Form, so dal3 in einem Intervall des }, die Anzahl aller vorhandenen Funktionen T (p) in den Residuen ~ (p, 9) yon denen in der G r e e nsehen Funktion ~ (p, ~) h(ichstens um eins abweieht. Die unendliehe Anzahl der Pole yon ~ (p: ~) liegt nun im Wesen der Funktionalgleichung (29)

(p,

+

(p,

(0)

=

(p,

In der Umgebung e i n e s Poles ~o hat man fiir ~ (/~, if) die Darstellung (47)

k - - )~o

~o wobei wir die zweite Gleiehung in Analogie angesehrieben haben, weil ftir k ~ 0 die Funktionen ~ (p~ ~) und if6 (p~ ~) tibereinstimmen. Die Funktion f (p~ q) und nattirlieh auch g (p, q) bleiben ftir ~.=X~ endlich. Zwisehen diesen beiden Funktionen besteht die Integralgleichung (4S)

f (p, if) + kf~ (p, o) ~ (~, ~) z (z) dz = ~ (p, q),

208

Josef Plemelj.

welehe wieder eine F r e d h o l m s e h e Resolvente genau yon der ursprtingliehen Gestalt ist. Sie verifiziert sieh nach Einsetzen aus (47) unter Bertteksichtigung der Eigenschaffen yon P(p~ q). Die in dieser Resolvente zu suehende Funktion f (p~ 2) ist yore Pole ),o frei. Man bemerk% dal~ bier der Pol weggeschaft wurd% indem die bekannte Funktion nieht nur aul~erhalb des Integralzeichens, sondern auch unter demselben ge~;ndert wurd% so zwar, dag die ursprtingliche Gestalt einer F r e d h o lm sehen Resolvente die Integralgleichung beibehalt. Es kommt nur noeh darauf an, naehzuweisen~ dag hier naeh einer endlichen Anzahl yon Sehritten sieh nicht eine Resolvente der Form (48) ergeben kann, deren LOsung fiir alle endliehen k singularit~itenfrei w~re. W~re dies der Fall, so h~ttte man aus (48) eine far jedes endliche ), konvergente Entwicklung (49) ~ (29,q ) : w~ (1), ~) - - k w e (t9, ~) Jr-). ew 3 (p, q) - - k3u'a (1>71))@... mit dem augenseheinliehen Bildungsgesetze

q) und infolge der Symmetrie 0 (P, ~) = 0 (q, 2J) positiven Koeffizenten w2~ (p, if). Eine bekannte Sehlugweise yon S e h w a r z gibt die Ungleiehung w2~,~(p, ~) - - w:~+~ (p~ p) w.~_~ (q~ q) < 0 und daraus

was ein Widersprueh ware, da sonst die Reihe (49) ftir ~ - p nieht bei allen ). konvergiert wttrd% falls nicht w, (p~lo)~-~ - w 6 (/0,20) . . . . . 0 ist. In diesem Falle abet folgt aueh w~ (p, q) ~-- w 1 (p, q) ~ 0 (P, q) ~ 0, was hier sehon deshalb nicht sein kann~ weil (~ (1~ ~) fiir p = ~ unendlich wird und ~ (p, q) sich yon (~ (/9, q) nur dureh eine endliehe Anzahl endlieh bleibender Glieder unterscheidet. Dal3 eine Funktionalgleiehung der Form (48) nieht ohne singul~re Parameter sein kann~ folgt auch sofort aus der Tatsach% da$ die F r e d h o l m s c h e ganze Funktion von h, deren Nullstellen die singularen Parameter sind~ einen endliehen Rang l) hat und ihr Logarithmus, wie bereits F r e d h o l m angegeben hat. sieh durch eine einfaehe Potenzreihe darstellen l~igt, deren Koeffizienten die Form

88

(s, s) ~ (s) ds haben. Diese Koeffizienten miissen,

~) A u f diesen U m s t t m d wurde ich durch elne freundiiche miindllche Mitteilung des Herrn E d u a r d H e 11 y a u f m e r k s a m gemacht.

209

Randwertaufgabem

wenn Nullstellen s yon einem gewissen n an infolge des endliehen Ranges der ganzen Funktion verschwinden~ was wieder aaf w~,,(s~ s) = 0 und daraus auf w 1 (s~ s) = g (s~ s) ~--- 0 ftihrt. Nun beherrschen wir die Aufgaben A und B vollkommen. Die L~sung der Randwertaufgabe A ergibt sieh dureh die G r e e n s e h e Funktion ~ (p~q) dieses Problems in der Gestalt

v(p) = ~ f ~ (~, o) ~, (o) ~.(~) do

(33)

f~ir jedes X, welches nieht ein Pol yon ~ (p, q) ist. IJber die Verh~iltnisse an einem Pol ~o gibt uns die Gleichung (36) T (p) ~---(X - - Xo)f& (t9, z) T (o) x (o) do

(36)

vollstanaige Aufklarung. I~t n~mlieh die homogene Randwertaufgabe B durch ein 9 (2) ffir X = Xo gel5st~ so befriedigt diese Funktion identiseh bei jedem X die Gleiehung (36). Daraus folgt schon, dab ),o ein Pol yon ~ (27 ~) sein mug, da sonst diese Gleiehung i~ir L = ~o rechts die Null geben wfirde. Die homogepe Randwertaufgabe ist also nut an den Polen der G r e e n sehen Funktion ~ (Pi q) 15sbar. Nun hat das Hauptglied der Entwicklung v o n & (/9, q) an einem Pole Xo die Gestalt: i

~,

(60) x - Xo"{ ~4 (p) (,~)+ % (p) % (~) +

...

+ ~'~ (p) ,t~ @}

mit einer endlichen Anzahl yon Funktionen T 1 (p)~ ~'~ (p)~... T~ (p). Aus (36) folgt dann~ dab jede beliebige LSsung tt; (p) nur eine lineare Kombination der LSsungen T~ (p)~ tF2(p) , . . . ~ ( p ) sein kann~ mithin durch diese Potentiale die LSsungen des homogenen Problems ffir den Parameter ~o sehon erschSpft sind. Es gibt also keine anderen ausgezeichneten LSsungen~ als die in den Residuen der G r e e n schen Funktioa auhretenden. Die Funktionen Wx (p)~ ~I~2 ( p ) , . . . W~(E) gen~igen der Integralgleichung (27') and kSnnen so eingerichtet werden, da6 hSehstens f~ir eine die Kenstante c nieht Null ist~ n~imlieh jen% die aus einem allf~tlligen Zusatzglied in (32) entspringt. Die Gleichung (36) gibt nach Einfahrung des Hauptgliedes (50) f~ir ~ (p~ q) die Integraleigenschaft (51)

f T , (o) ~'~, (o) x (o) do = {1, 0, wenn ,, ~~ =~vv

der Potentiale g~ (p)~ ~F~ (p)~ . . . ~ ( p ) . Ffir zwei Funktionen T,(s)~ ~ (s)~ welehe nicht zu demselben Pole Xo gehSren, s aus derselben Gleiehung f~ir jeden Fall das Verschwinden des Integrals (51). Damit die Randwertaufgabe A an einem Pole ko l~sbar ist, mtissen Integralbedingungen erffillt sein~ welche bewirken, dal~ das Monatsh. f~ir Ma~hematik u. Physik. XVIII. J-ahrg.

1~

210

Josef Plemelj.

ttauptglied in (33) far die Stelle ko wegf~tllt. Diese Bedingungen driieken sich durch das Verschwinden des Integrals aus

f u (~) ~ , (~) ~ (~) d~ = O,

,~ = 1, 2 , . . .

m.

Unter dieser Annahme ist dio Aufgabe A 15sbar und nattirlieh nur bis auf einen additiven linearen Ausdruek der q"~ (2)7 W~( p ) ~ . . . q;~ (p) festgelegt. Fiir k~ die nieht Pole der Funktion (p) sind~ ist die Aufgabe A in eindeutiger Weise 15sbar, die homogene Randwertaufgabe B nicht 15sbar. Giinzlich analog ist die Betrachtung im unendlichen Aul~engebiet% wobei aber zur eindeutigen Bestimmungsweise noeh Annahmen beztiglich des Wertes im Unendlichen oder der Gesamtmasse zu machen sind, d. h. festzusetzeja ist, wie welt der unendlich ferne Pankte eine Quelle oder ein Sehlund ftir die Wiirme ist. Wenn die KSrper, deren Wi~rmezustand betrachtet wird, zusammeugesetzt sind~ so hat man im Innengebiete Fliichen 0, wo die Unstetigkeit

besteht. An der Hand der gefandenen G r e e n s e h e n Funktion (p~ ~) hat es nun kein Hindernis mehr~ dieses Problem ganz analog za behandeln~ wie z. B. das allgemeine Problem der Elektrostatik. Ieh erlasse mir diese Arbeit, zumal sie fast nur einer Reproduktiou des bereits Durchgenommenen gleiehkommen wiirde.

Beriehtigungen zum I. Teile dieser Arbeit~ Bd. XV~ Seite 377 ft. Seite 339, Zeile 12, 14, 15 yon unten~ schreibe J ( F ) start J(v). Seite 339~ Zeile 13 v. u., zwischen V(p) und ,positiv a der Satz ,welche A V = 0 befriedigt" einzuschieben. Seite 371, Zeile 21 yon oben, ist der Satz von ,,und s o g a r . . . " a n g e f a n g e n zu streichen. Seite 375, Zeile 3 v. o., lies statt ,,zweiten in (43)" richtig , e r s t e n in (44)". Seite 383~ Zeile 6 v. u. N a c h ,Seite" das W o r t ,,1Angs" einzuschieben. Seite 383~ Zeile 3 v. u. $tatt ~dort '~ ist , i m U n e n d l l c h e n " zu setzen. Seite 385~ Zeile 4. Das W o r t ,stets '~ ist zu streichen. Seite 396~ Zeiie 10. Statt (74) zu lesen (77). Seite 406, Zeile 6. I~ach ,Gebietes ~ fehlt das Wort ,geh~iren ~.