STOLL,W.

Math. Annaten, Bd. 136, S. 393-429 (1958)

l~ber meromorphe Abbildungen komplexer R[iume. II Von WILHELM STOLLin Princeton, N.J. Im Teil II werden weitere Kriterien fiir die ]~bereinstimmung der beiden Meromorphiebegriffe aufgesteUt. Wie in Teil I bezeichnet T eine holomorphe Abbildung einer offenen Teilmenge A eines komplexen Raumes G in einen komptexen Raum H, wobei M = G - - A diinn vorausgesetzt wird. Die Abbildung T heiBt lfiekenlos, wenn fiir jede konvergente P~ E A mit lira P~ = P E M die Bildfolge ~(P') eine konvergente Teitfolge hat. Die Abbildung v heiBt R-meromorph (meromorph im Sinne yon REMMERT), wenn ihr Graph T, das ist die abgeschlossene Hfille yon T = {(P, ~ ( P ) ) I P E A} in G × H, eine in G × H analytische Menge ist. Eine R-meromorphe und lfickenlose Abbildung heiBt SR-meromorph. Die andere Definition der Meromorphie benutzt den Begriff der Streumenge. Sind R ~ M und L ~ G, so geh6rt Q E H dann und nur dann zu ~'~ (R, L), wenn es eine Folge P~ E L f~ A mit lira (P", v(P)) = (P, Q) E R × H gibt. Die Abbildung heiBt meromorph (bzw. schwach meromorph bzw. liickenfrei), wenn ffir jeden P u n k t P E M und jede eindimensionale komplexe Teilmannigfaltigkeit L yon G mit L f~ M = L ~ M • {P} die Streumenge z~, (P, L) aus genau (bzw. h6chstens, bzw. mindestens) einem P u n k t besteht. I m iibrigen sei auf die Definitionen und Bezeichnungsweise yon Teil I verwiesen. Nach einigen Vorbereitungen in § 6 werden die Kriterien in § 7 hergeleitet; sie werden in § 8 auf Modifikationen angewandt.

§ 6. Einige Hilfssiitze In diesem Paragraphen sollen einige sparer ben6tigten Hilfssi~tze bewiesen werden. H i l f s s a t z 6.1. V o r a u s s e t z u n g . I m Raum C n yon n komplexen Ver~nderlichen sei ein Gebiet G gegeben. Sei E die Ebene {~ I z~ + i . . . . . z~ = 0} ~znd M---- G ~ E zusammenhdngend. Sei W ein Gebiet in der Zahlenebene C 1 der Verdnderlichen w und t5~ ein beschriinktes Tei~ebiet mit ~'~1~-W. Sei W - - W 1 ein Gebiet. Auflerdem werde gesetzt: A=G--M, S= W ×M=V--B

B=

W×A,

V=W×G S1-----Wx×M g_S.

In B sei eine rein p-dimensionale analytische Menge N gegeben, die au] S - S 1 reguliir ist. N werde in einem Punkt yon S 1 singuldr. Zu ~edem Punkt a E M

394

W I L H E L M STOLL :

werde die Ebene L(a)=W×{515EG,

z~----a~, v = l . . . . ,p}

(aCM)

de/iniert. Sei F die Menge aller a C M so, daft die Punkte von N au/ L (a) sich nicht gegen eiuen Punkt von S hdu/en. B e h a u p t u n g . 1. Zu jedem a C M gibt es ein w C S1 so, daft N in (w, a) singuliir wird. 2. Die Menge F hat das Marl Null beziAglich des Lebesgueschen Mafles von 2 p (reellen) Dimensionen au/ E. B e w e i s . Die analytisehe Fortsetzung von N in B I : B ~ ' ( S - - S 1 ) = V - - S 1 ist N1 = N (~ B1. I n S - - S 1 ist 2V~= N 1 (~ S analytisch m i t dim N 2 p - - 1. Sei ~ : V-+ G die natiirliche Projektion g(w, 5) = 5Die Faser Nz('~z,-iz~(w, 5) der auf N 2 beschr/~nkten Abbildung ~ hat hSchstens die Dimension 1. Die Punkte (w, 5), in denen diese Faser die Dimension 1 hat, bitden eine analytische Menge N a c=N~. Da W - - W1 zusammenh/ingend ist, h a t N a die Gestalt h q = (W--W1) × ~(N3). Daher ist die Projektion 2Y~ = ~ (Na) analytisch. Es ist dim N~ _< dim N a - - 1 =< p - - 2. Daher kann N nicht nur auf ~1 × N~ singul/ir werden. AuBerdem zeigt sich, dab M - - N~ ~ D zusammenh~ngt. Sei D 1 die Teilmenge der a E M, f/ir die W × {a} einen singut/tren P u n k t yon N enth~lt. Wie soeben festgestellt wurde, ist D ~ D 1 =[=O. l~Iun grit: a) I n M ist D 1 abgeschlossen: Sei 50 C J~l f~ M. Dann gibt es eine Folge (wL 5~) EW1 ~ D1 von singul/~ren Punkten yon N mit 50 -- lim 5". Da W1 komp a k t ist, gibt es eine konvergente Teilfolge w'~ yon w~EW1. Es ist (w, 50) lim (w~,, 5~) ( Wl × M =cW × M ein singuliirer P u n k t von N. Also ist [2--+ OO

5o ~ D1. Daher sind D 1 in M und D 1 f~ D in D abgeschlossen. b) I n D ist D I ~ D o//en. Sei 30EDlf~D. Es ist ~-I(3o) f ~ N 2 : [ W × × { ~0}] ~ N2 analytiseh in B m i t dim ~-~ (50) (~ N~< 1. Also gibt es ein beschr/inktes Gebiet We mit W ~ W ~ W ~ W so, dab

N~

[(flT~--W~) x {~0}] = 0

ist. Da (fl~,--W~) x {50} k o m p a k t ist, gibt es eine offene, zusammenh';ingende Umgebung U yon 50 in G so, dab [ ( f i T _ W~) × U] ~'~N~----0 ist. Seien

A*=U~A-~U--M, V* = W~ x U

M*=U~M-----U--A*, B*=W, xA* S*--- W~ x M*---- V*-- B*, N * = N ~ V*~= A*.

Man kann U so w/ihten, dab M* zusammenhgngend ist. Man hat nun

[(W~--W,) ×

U]~*=

[(W~--W~) × U ] ~ 5 5 = 0 .

Daher ist die Projektion ~z* : N*-+ A* eigentlieh. Jede Faser ~r-~ (5o) ~ N* hat h6chstens die Dimension Null. Daher ist N ' = ~r* (N*) in A* analytisch und v o n d e r reinen Dimension p oder leer. Da aber N, also auch N*, in einem IMnkt von W~ × {50} ~- S singular wird, sind N * 4 0 und N'=k O. Angenommen, N ' ist regular auf M*. Dann ist N ' ~ M* eine h6ehstens (p - - 1)-dimensionale analytische Menge und N* ~ S*_~ W~ × ( N ' ~ M*). Also

Meromorphe Abbildungen komplexer R~ume. I I

395

wird N* nur auf der h6chstens p-dimensionalen analytischen Menge W~ x x ( N ' f ' , M*) singul/~r. Da N* singul/~r wird, ist es singul/ir in jedem Punkt, eines irreduzibeln Teiles W~ x N " yon W~ x (N' ~, M*). Also ist

0 # (W~--W2) x N " g ~* ~ [(W2-- W2) × U] = 0. Widerspruch. Die analytisehe Menge N ' ist in einem, also jedem P u n k t yon M* singuliir. W~xe nun a ~ M * - - D a, so w£re N regul£r auf W2 x {a}, also auch regular auf W2x ( U I ~ M * ) , wobei U 1 eine offene Umgebung in U yon a ist. Dann ist / V ' ~ U I = z ( N f ~ (W2x U1)) = ~ ( N * ~ (W 2 x U0) analytisch in U I. Also w/ire N ' regular in a, was falsch ist. Folglich ist D ~ D 1 ~ M* mit M * = U 5-, M. Es ist D ~ D~ in D often. Da D zusammenh/ingend und D A DI~= 0 abgeschlossen und often in D ist, folgt D ~ D~ = D. Aut3erdem grit M = D ~ M __
C¢

mit (w~, 5w) ~ [W x L ' ( a ) ] . ~ N = L ( a ) ~ N . Also ist a ( M * - - F, woraus sich F ~ U ~_F ' ergibt. Da F ' einc Nullmenge ist, ist auch F ~ U und somit. F ~ D eine Nullmenge. M - - D = N~ ist eine Nullmenge, also auch F = (F ~ D) w (F f~ N~), w.z.b.w. Die Menge der Singularit/~ten yon N braucht nicht analytisch zu sein, ja kann eine h6here (topologisehe) Dimension ats N haben, wie m a n an Beispielen leicht sieht. Aus Hilfssatz 6.1. kann m a n einige Kriterien fiir die Fortsetzung analytischer Mengen erhalten. H i l f s s a t z 6.2. V o r a u s s e t z u n g . I n einem komptexen R a u m G sei eine analytische Menge M der reinen Dimension s gegeben. Sei ~ : G -~ H e i n e holomorphe Abbildung in einen komplexen Raum H. Der Rang der Abbildung au/ M sei r(P, M) = s -- dimp[zt-~ze (P) ~ M] =- q konstant. B e h a u p t u n g : I n G ist zt(M) /astdiinn vonder Dimension q. B e w e i s . Sei (M*, Z) der zu M geh6rige l~berlagerungsraum und r*(R) der Rang der holomorphen Abbildung z z : M * ~ H. Es ist r * ( R ) = s - - - d i m ( g Z ) - ~ z(R). Sei P ~ z ~ - x z t ( P ) ~ M , dann ist ~ - l z t ( P ) f ~ M = ~t-l~(P~) r ~ M in P1 (s - - q)-dimensiondl. Also hat n - ~ n ( P ) r~ M die reine 16) Siehe STOLL[21], Zusatz zu Satz 2.

396

WILHELM STOLL :

D i m e n s i o n s - - q. D a Z-1 (P) fiir jedes P E M n u r aus endlich vielen P u n k t e n b e s t e h t , h a t (~ Z)-I= z ( R ) = ~-l(gl:-1:7~ z ( R ) ) die reine D i m e n s i o n s - - q . D a h e r ist r* (R) = q fiir alle R E M*. Zu j e d e m P u n k t R E M * g i b t es n a e h REMMERT [12], S a t z 19 eine offene U m g e b u n g U so, d a b ~ z(U) l o k a l a n a l y t i s c h u n d rein q-dimensional ist. A b z / i h l b a r viele solcher U m g e b u n g e n U~ fiberdecken M*. Also ist

f a s t d i i n n y o n der D i m e n s i o n q, w.z.b.w. H i l f s s a t z 6.3. V o r a u s s e t z u n g . In einem komplexen Raum G sei eine

ar~lytische Menge M der reinen Dimension s gegeben. Sei ~ : G -~ Heine holomorphe Abbildung in einen lcomplexen Raum H mit dem Rang r(P, M) = s -- d i m p [ ~ - l ~ ( p ) ~ M ] r(M) ----M a x r(P, M) . PEM

Sei Mq= {PI P ~ M und r(P, M) <__q}. Behauptung. 1. Die Menge i q ist analytischa:). Sind MZq (~ ~ Aq) ihre irreduziblen Teile, so ist r(P, M~) g q /iir P E M~ r ( P , M ~ ) = r ~ /iir PEM~q--Mq_I r(P, Maq) ~_ rq /iir P E Maq~ Mq_l 2. Die Bildmenge ~(iq) ist /astdiinn vonder Dimension q in H. 3. Ist H rein p-dimensional mit p > q, so ist ~(iq) in H/astdiinnlS). B e w e i s . Sei PoE M~q - U M~. Sei P E :~-lre(Po)~M. D a n n gilt ~EA¢

~4~ [< s - - q ffir P C M - - Mq d i m p ~ - a n ( P o ) r ~ M = d i m p z - l ~ ( P ) ~ M ]>= s - - q ffir P C Mq s - - q f~r P E Mq-- Mq_ 1 . D a h e r g i b t es einen i r r e d u z i b e l n Teil F y o n ~ - l ~ ( P o ) ~ M d u r e h Po m i t dimF~s--q, D a h e r ist FC__Mq. D a fiir eine U m g e b u n g U von Po gilt M~' ~ U = Mq ~ U, folgt s - - q =< d i m F <_ dimpo~-lre(Po) ~ Mq= d i m p o ~ - l ~ ( P o ) ~ M'q', d.h.

r(Po, Mq~) = d i m M ~ ~ - - d i m p o ~ - a ~ (Po) ~ M u g d i m M ~ - - (s - - q) = r ~ d i m M - - (s - - q) = q ffir alle Po E M ] m i t A u s n a h m e einer a u f M ] n i r g e n d s d i c h t e n Menge D. I s t Po E Mq~ beliebig, so g i b t es eine U m g e b u n g U 1 yon Po m i t r (P, MUq) >=r (Po, M~') ffir alle P E U ~ M ~ . E i n P E U I ~ M ~ q - - D existiert, woraus r(Po, M*q') g g r(P, M~) g r~q g q folgt. I s t PoE Mq~ - - Mq-1, so ist r(P0, M~*) = d i m M ~ - - d i m p az-lre(Po) ~ Mq~ _~ d i m M ~ - - d i m p o ~ - l ~ ( P o ) ~ M = d i m M~' - - (s - - q) = r~' . D a m i t ist die B e h a u p t u n g 1 bewiesen. ~') Dies folgt aus REMMERT [12], Satz 16. ~) Speziell ist in Aussage 3 der Satz I0 yon GRAUERT [4] enthalten.

Meromorphe Abbildungen komplexer R~ume. I I

397

2. Die zweite Behauptung ist ffir q = 0 riehtig. Denn dann ist M o rein s-dimensional oder leer. Entweder ist ~ (M0) = 0, oder jede Faser xt-lzt ( P o) M 0 ist leer oder besteht aus einer Vereinigung von irreduziblen Teilen von M. Daher gibt es h6ehstens abz/£hlbar viele nicht leere Fasern, d. h. ~t (P0) ist hSchstens abz/~hlbar, also fastdiinn yon der Dimension Null. Angenommen, die zweite Behauptung ist ffir q - 1 richtig. Dann ist 7~(Mq_l) fastdiinn yon der Dimension q - - l , also auch v o n d e r Dimension q. In G - Mq_l ist M ~ - Mq-1 leer oder rein dimensional und hat den konstanten Rang rq~< q. Also ist 7~(M~q--Mq_I) fastdiinn von der Dimension rq~< q gem/~B Hilfssatz 6.2. Es ist ~(Mq) c= U 2EAq

:~(M~q--Mq_l)~7~(Mq_l)

fastdfinn v o n d e r Dimension q. Die Behauptung 2 ist bewiesen, woraus sofort die Behauptung 3 folgt. H i l f s s a t z 6.4. Sei M / a s t d i i n n vonder Dimension p im komplexen I~aum G und ~r : G ~ H e i n e holomorphe Abbildung. D a n n ist ~ ( M ) /astdiinn yon der Dimension p in H. B e w e i s . Abz/~hlbar viele hSchstens p-dimensionale irreduzible lokalanalytische Mengen My iiberdecken M. Jedes M~ ist analytiseh in einer Umgebung U~. Die Abbildung 7~ : U~-~ H hat auf M~ den Rung r ( P , M~) < < d i m M ~ g p. Also ist Jt(M~) fastdfinn yon der Dimension p. Dasselbe gilt dann von ~ (M) ~ 7~

=

w.z.b.w.

H i l f s s a t z 6.5. V o r a u s s e t z u n g . I n einem Gebiet G des C ' = C n - v × Cp sei eine von der Dimension n -- p/astdiinne Menge M gegeben. Sei F die Menge der Punkte ): C C "-p, fiir die M ~ ({~} x C v) mehr als abzdhlbar viele Punkte enthdlt. B e h a u p t u n g . Die Menge F ist /astdiinn in C È-v. B e w e i s . Sei z : C~-~ C ~ - v die natfirliche Projektion ~(z 1. . . . , z~) = (z 1. . . . . z,_v). Es gibt abz~hlbar viele lokalanalytische und irreduzible Mengen M~, die M iiberdecken: M ~

U M~ mit d i m M ~ n - - p .

Es ist

v=l

r(5, M , ) = d i m M ~ - - d i m ( 7 ~ - l ~ ( 5 ) ~ M~) der lokale Rang yon ~ in 5 ~ M~ beziiglich M r u n d r(M~) = Max r(5 , M~) der globale Rang yon ~ bezfiglich M~. sEMI,

1. Fall. Es sei r(M~) ---- n - - p . Wegen dimM~ ~ n - - p ist dim (~-1~(5) ~M~) : 0 , wenn r(5, M ~ ) = n - - p ist. Die Menge 2 ~ = { s I r ( 5 , M~) < n - - p } ist analytisch auf M,, mit dim M~___ n - - p 1. Also ist der Rang auf jedem irreduzibeln Teil 2~,', yon 2~/~

r (M,,) = Max r(5, ~,',) _~ d l m M , ~ n - - p - - 1 . Daher ist 7 ~ ( ~ ) = F ~ fastdfinn in C n-v. Wenn ~ ( C ' - ~ - - F ~ ist, so ist u -~ (%) f~ M~ leer oder lokalanalytisch von der Dimension Null, d. h. hSchstens abz~hlbar.

398

WILHEL~I STOLL ."

2. Fall. E s sei r(M~) < n -- p. N a c h Hilfssatz 6.3 ist F , = ~(M~) f a s t d i i n n in C ~-p. V~'enn ~ C C n - ~ - - ~ ist, so ist 7r1(~:) ~ J l v = 0. Nun ist F'=

U F , fastdiinn in C n - ' .

I s t ~ ~ C '~- 9 _ F ' , so i s t ~ ~ F , fiir

v~t

jedes ~'. F o l g l i c h g i l t co

u :~-~(~) ~ M , , = ~-..t (:,:) ~ ~=1

~ M,, ~ (Oc} x C,') ~ M ~=I

i s t hSchstens a b z a h l b a r , d. h. ~ ~ C n - ~'-- F . W e g e n F <__F ' i s t F f a s t d i i n n in C ~ - ~ , w,z.b.w. D a r a u s erhitlt m a n leicht H i l f s s a t z 6.6, V o r a u s s e t z u n g . I n einem Gebiet G des C n sei eine /ast-

diinne Menge M gegeben. Der komplexpro~ektive Raum P ~ - I werde als Graflmannmannig/altigkeit der durch den Ursprung gehenden komplexen Geraden au/ge/aflt. Sei F die Menge der Geraden g C pn,~l, /iir die g I~ M mehr als abziihlbar viele Punkte enthdlt, Behauptung. Die Menge Fist/astdi~nn in p , - i B e w e i s . Sei E : (~ I Zn = O}, D u r c h z~ .... ,~,, z~:l , z~) T(~,)= ( ,-~:wird C~ - E u m k e h r b a r h o l o m o r p h a u f sich abgebildet. Seien ( z l : . . . :z~) homogene K o o r d i n a t e n y o n pn-1 u n d sei D = {(z1 : . . . : z~) I z~ = 0}. Die komp l e x e G e r a d e g = {~ I ~ ~- z a} m i t a =~ 0 w i r d d u r c h d e n P u n k t g = (a 1 : . . . : an) y o n p , - 1 r e p r a s e n t i e r t . Sei g C p n ~ - l . _ D ; d a n n w i r d d u r c h

eine u m k e h r b a r h o l o m o r p h e A b b i l d u n g ,con p , ~ - i D a u f E gegeben. Die N e n g e F ' aller b E E, zu d e n e n es iiberabz/i,hlbar viele P u n k t e (b, z~) ~ v ( M - - E) g i b t , i s t n a e h d e m l e t z t e n Hilfssatz fastdfinn in E . Sei n u n g = (a 1 : . . . : %) eine G e r a d e aus F - - D. D a n n ist M ~ g - - E, also a u c h ~ ( M ~ g - - E ) = T ( M - - E) r~T(g - - E) =~(M--E)f~

= ~(i

515=

'''"

a~ '

- - E ) m (O'(g), z,~) l 0 < tz,,l < oo}

iiberabzi~hlbar. Also i s t ~(g) ~ F ' , d . h . g ~ ~-~(F'), w o r a u s F - - D <=~-~(F') folgt. D a F' u a d s o m i t a u c h 2 - ~ ( F ') fastdfinn sind, ist a u c h F - D, also F fastdiinn, w.z.b.w. N u n soll n o c h S a t z 2.8 v e r a l l g e m e i n e r t w e r d e n ; d a z u w i r d zun&chst bewiesen: H i l f s s a t z 6.7. V o r a u s s e t z u n g . Sei G ein Gebiet des C ~ und E eine

q.dimensionale komplexe Ebene yon C n. Sei M = G ~ E zusammenhdngend und ~ eine rein p-dimensionale analytische Menge aus A = G -- M, die hSchstens au/ einer abgeschlossenen und vonder Dimension p -- 1/astdiinnen Teilmen~e S yon M innerhalb G sin~uldr wird.

Meromorphe Abbildungen komplexer Raume. I I

399

Behauptung. Durch N wird S eindeutig in G/ortgesetzt. B e w e i s . Ffir p __>qist die B e h a u p t u n g richtig nach Satz 2.8. A n g e n o m m e n , die B e h a u p t u n g ist richtig fiir q - 1 ~ p, so werde sie ffir q bewiesen. Sei a o ~ S beliebig gewghlt. Man wghlt a o als U r s p r u n g eines Koordinatensystemes, dessen letzten q-Koordinatenachsen die Ebene E aufspannen. D a q - - 1 ~ p u n d S va [N w (M - - S)] = (S va N) ~ M fastdiinn y o n der Dimension p - - 1 a u f E ist, k a n n m a n naeh Hilfssatz 6.6 die letzte Koordinatenachse so wghlen, dab sie (S ~ N ) ~ M in h6ehstens abzghlbar vielen P u n k t e n schneider. Eine U m g e b n n g U des Nullpunktes der folgenden A r t existiert Vl=

((211 . . . . .

Zn-1)

I Ig'vl < By, 'b' =

1 ....

,J'l, --

1},

u ~ = (z~ I lzd < *~}, u~ = (zn I I*d -<- r} U = U I × U2,

(0 < r < 8 0 ,

U ' = U~× U~,

Mo= Me, U = ((0,, O, ~._~+, . . . . , ~.) I I*~1 < 8.}, N o = AT m U <=U', So= U c~ S <=Mo C~ U ' = M~ . Angenommen, N ist in einem P u n k t von S O singulgr. D a n n isg N O im selben P u n k t singulgr u n d No=4=0 eine rein p-dimensionale analytische Teilmenge y o n A 0 = U f~ A = U - - M o. Sei • die Projektion =(zl, . .., z,) = (z1. . . . , Z,_l). Es ist 7~(U) = U 1 often u n d ~(Mo) = M I ~ U, ein z u s a m m e n h g n g e n d e r Sehnitt mit einer (q - - 1)-dimensionalen komplexen Ebene. D a N Oin U' enthalten ist, ist die Projektion ~ : N o o U 1 - M I = A 1 eigentlieh u n d jede Faser ist nulldimensional. Also ist N I = ~z(N0) in A 1 analytisch u n d rein p-dimensional. N a c h Satz 6.4 ist S t = z(S0) ~ M 1 fastdiinn y o n der Dimension p - 1. I s t 5~~ S 1 mit lim 5~= 8 { M1, so gibt es eine Folge (5", z~) ~ S o. D a lz~l < r ist, gibt es v --~ oo

eine konvergente Teilfolge z~, mit z n = lim z'~, wobei Iz, I < r ist. Es ist /~---> cG

(~, zn) = lim (~,, z~) E ~qo~ U = S o . p ---> OO

Daher ist 5 ~ z~(So) = S 1. Die Menge S 1 ist abgeschlossen in M1. Es ist N O(~ (U - _ ~-1 (S1)) __ No analytisch in U - - z-1 ($1) mit No v~ A o = N o. Wegen Nog U'-- - z q ( S i ) Jut N ~ = g(No) analytiseh in U~-- S~ mit N~A1-----/V 1. Also wird N~ h6chstens a u f S1 singulgr. N a c h I n d u k t i o n s a n n a h m e ist das nicht der Fall. I n U~ ist N ~ U~ analytisch. Es ist No__
400

~VILHELM STOLL ;

B e w e i s . Sei C ~_ S die Menge der singul/~ren Stellen yon N. Sei Po~ C u n d U eine offene U m g e b u n g von C, f/ir die die analytische Hiille C O yon C ~ U in U d/inn ist. I s t U hinreichend klein, so gibt es eine in U analytischo Menge S O2 S ~ U, die keinen irreduzibeln T e i l v o n U f~ N enth/~It.Wegen Co_<_S' enth~ilt auch C O keinen irreduzibeln Teil von U ~ N. Es ist also U F, N rein p-dimensional u n d singular a u f C ~ U ~= 0. Man k a n n U dabei so klein w~hlen, dab U als analytisehe Menge eines Gebietes U I des C n aufgefallt werden kann. Sei Co die Menge der nichtgew6hnlichen P u n k t e y o n C o. D a n n ist C0 echte Teilmenge y o n C O u n d analytisch in U. Daher ist Co ~ C ~ U.

Also gibt es

eine offene Teilmenge V y o n U mit C ~ V = (C - - Co) ~ V # 0, die m a n als analytische Menge in einem Gebiet V1 des Ca auffassen kann, wobei C o y~ V ~-- E ~ V1 for eine geeignete q-dimensionale komplexe Ebene E gilt.. D a C O nirgends dicht a u f N ~ U ist, ist C O~ V nirgendsdicht auf N ~ V, enth'~lt also keinen irreduzibeln Teil von N ~ V. I n V1-- Co ist V ~ N - - C Oanalytisch u n d rein p-dimensional und wird h6chstens a u f der yon der Dimension p -- 1 fastd/innen Menge V1 ~ C singuliir. N a c h Satz 6.7. wird V ~ N - - C O dutch V (~ N - - C O~ V1 ~brtgesetzt. Da V ;~ Co-- S keinen irreduzibeln Teil vo~ V r~ N enth/~lt, gilt

V~N=

V~N~

V~=V~,N

Co~ V~.

Also ist N in V analytisch u n d N a u f C ~ V ~= 0 regul£r, was falsch ist. Also ist C : 0 und N wird durch N naeh Satz 2.7 fortgesetzt, w.z.b.w. § 7. Die ~bereinstimmung der Meromorphiebegriffe in einigen Spezialf~illen Die Gleichheit der Meromorphiebegriffe 1/£I]t sich zeigen, wenn an den Bildraum besondere Anforderungen gestellt werden. So h a t sich die ~Tbereinstimmung (meromorph ~ R-meromorph) ffir 1/ickenfreie Abbildungen i~l H-vollst/~ndige R/~ume bereits in Satz 4.5 gezeigt. Dies gilt d a n n auch f/it Teilr/£ume, Produktr/iume u n d ~berlagerungsr~ume, denn aus Satz 3.8 u n d Satz 3.9 folgt: S a t z 7.1. Stimmen die Beffri//e meromorph und R-meromorph /iir alle

liicken/reie Abbildungen fin die RSume H, iiberein, so auch /iir das Produkl ]~tt~= 1t. B e w e i s . Sei 1: : A -~ H a u f G ~_ A meromorph. Sei ~ : H -+ H v die nat/irliehe Projektion. N a e h Satz 3.8 ist ~o,T: A ~ H~ in G meromorph, also Rmeromorph. N a e h Satz 3.9 ist v R-meromorph. I s t v R - m e r o m o r p h und 1/iekenfrei, so aueh m e r o m o r p h naeh Satz 3.3, w.z.b.w. S a t z 7.2. a) Stimmen die Begri//e meromorph und R.meromorph /iir alte

liiclcen/reie Abbildungen in den lcomplexen Raum H i~berein, so auch /i~r ]ede~ komplexen Teilraum H yon I1. b) Stimmen die Begri//e schwach meromorph und R.meromorph /iir alle Abbildungen in den komplexen Raum H igberein, so auch /iir ]eden abgeschIossene'~ komplexen Teilraum H yon H.

Meromorphe Abbildungen komplexer R~ume. II

401

B e w e i s . Sei ~ : A -~ H auf G _~A (schwach) meromorph. Nach Satz 3.12 ist auch z : A - + / t meromorph (sehwach meromorph, wenn H abgesehlossen in H ist). Also ist T : A -~ H R-meromorph m i t T(A) ~ H. Nach Satz 3.13 ist T : A -~ H R-meromorph. I s t v R-meromorph, so ist v schwach meromorph. I s t T auBerdem lfickenfrei, so ist T meromorph, w.z.b.w. S a t z 7.3. V o r a u s s e t z u n g . Sei z : H - ~ F eine o//ene und holomorphe

Abbildung. Die Faser •-1 Z (Q) bestehe aus hSchstens abzdhlbar vielen Punkten. Fi~r ]ede liicken/reie Abbildung in F stimmen die Begri//e meromorph und Rmeromorph iiberein. B e h a u p t u n g . Die Begri/[e meromorph und R-meromorph stimmen auch /iir ]ede li~cken/reie Abbildung v in H iiberein. Z u s a t z . Ist )~ lokaleigentlich, so gilt Satz 7.3. auch noch, wenn man das Wort ,,liicken/rei' ausliiflt und ,,meromorph" durch ,,schwach meromorph" ersetzt. B e w e i s . a) S e i ~ : A - + H auf G ~ A meromorph. Dann ist Z ~ : A - ~ F meromorph, also R-meromorph. Nach Satz 3.11 ist v R-meromorph. b) Ist ~ : A -~ H ltickenfrei und R-meromorph, so meromorph. c) Sei v : A - + H auf G ~ A schwach meromorph und X : H - + F lokaleigentlich. Sei R 0 ~ z~z~(P0, L), wobei L eine eindimensionale komplexe Teilmannigfaltigkeit yon G mit L ~ M = L ~ M == {P0} ist. Eine Folge P" ~ L f~ A mit lim(PL Z T(P~)) = (Po, R0) existiert. Sei U eine relativ kompakte, offene v~-~ cc

Umgebung yon R o. Ffir r > vo ist z v ( P " ) ~ U, also v ( P ~) <=Z-I(U) =Qz-l(ff). Da Z lokaleigentlieh ist, kann U so klein gew~Lhlt werden, dab Z-1 (U) k o m p a k t ist. Eine Teilfolge v(P",) konvergiert, lim~(P",) = Qo. Es ist QoE 27~(Po, L) I t - - C - O0

und X(Qo) = l i m z v ( P ' )

= Ro.

Daher ist X(~X,(Po, L)) ~ 2:z~(Po, L), d . h .

#t ---> ¢x~

27x, (Po, L) besteht aus h6chstens einem Punkt. Die Abbildung Z z ist sehwaeh meromorph. Unter der Annahme des Zusatzes ist sie dann aueh R-meromorph; also ist T naeh Satz 3.11 R-meromorph, w.z.b.w. In Satz 7.3 kann man die Rolle yon H und F vertauschen : S a t z 7.4. V o r a u s s e t z u n g . Sei Z: H - ~ F eine hoIomorphe Abbildung.

Die Fa~er Z -1 z(Q) bestehe hSchstens aus abziihlbar vielen Punkten. Fiir ~ede IiickenIose Abbildung in H stimmen die Begri//e meromorph und R-meromorph i~berein. B e h a u p t u n g . Sie stimmen aueh /~r jede liickenlose Abbildung 7: in F iiberein, die die Form Z ~ = v hat, wobei ~ : A -> H holomorph und liickenlos ist. Z u s a t z . Ist Z o//en und lokaleigentlich, so gilt Satz 7.4 auch noch, wenn man das Wort ,,liickenlos" ausldflt und ,,meromorph" dutch ,,schwaeh meromorph" ersetzt. B e w e i s . a) Sei v = )~ v : A ~ F meromorph und liiekenlos auf G. Nach Satz 3.10 m i t Z = vQ, fiir jedes Q0 ist ~ : A ~ H auf G meromorph. Nach Voraussetzung ist ~ : A -+ H auch ltiekenlos. Also ist ~ : A --> H SR-meromorph. Nach Satz 3.5 ist T = Z ~ SR-meromorph.

402

WILHEL2~I STOLL *"

b) Sei T = Z ¥ : A -~ F R-meromorph und liickenlos, also auch schwach meromorph und lfiekenfrei, d. h. meromorph. c) Sei Z often und lokaleigentlich und T ~ Z ~ : A -~ F schwaeh meromorph. Nach Satz 3.10 ist ~ schwach meromorph, also ~ : A - ~ H R-raeromorph, wenn m a n die Voraussetzungen des Zusatzes macht. Nach Satz 3.11 ist • ~ R-meromorph, w.z.b.w. Sieht m a n yon Feinheiten ab, so kann man sagen, die beiden Meromorphiebegriffe stimmen iiberein ffir eine gewisse Klasse R yon Bildr'£umen, die mit jedem R a u m auch alle Teilr~ume und (~berlagerungsr~ume enth~lt, sowie jeden P r o d u k t r a u m endlich vieler l ~ u m e aus R. Die Klasse R enth~lt alle M-vollstiindigen R~ume, insbesondere alle algebraischen R~ume. Dabei heifle ein R a u m algebraisch, wenn er abgeschlossener komplexer Teilraum eines komplexprojektiven Raumes ist. Nun k o m m t es darauf an, noch andere R£ume in R zu linden. Dazu ist es n6tig, den Graphen T fiber M × H fortzusetzen. Dabei ist h~ufig dim T < dim M × H, und ffir diesen Fall gibt es keine brauchbaren Fortsetzungssi~tze. Jedoch wird Hilfssatz 6.1 etwas weiterhelfen. E r erm6glicht den folgenden Satz: S a t z 7.5. V o r a u s s e t z u n g . 1. Die l]~enge S der sinfful~ren SteUen der Abbildung T sei diinn yon der Codimension p - 1 und fastdiinn v o n d e r Codimension p >=2. 2. Sei S R die Menge der R.Singularit~ten yon v und sei ~ ( S R ) di~nn yon der Dimension p. 3. Wenn L lokalanalytisch und rein p-dimensional in Gist, wenn L ]compakt ist, wenn L ~ M a u ] L di~nn ist, wenn ( L - L ) ~ S ~ 0 ist, wenn L ~ S aus hSchstens abzdhlbar vielen Punkten besteht und wenn L ~ S di~nn vonder Dimension 1 au/ L ist, dann enthalte Z~(L ~ S, L) keine p-dimensionale Teilmannig/altigkeit yon H. B e h a u p t u n g . Die Abbildung T ist R-meromorph. B e w e i s . Sei A0-~ G - S und ~o die analytische Fortsetzung von T in A o. Es reieht, den Satz fiir eine genfigend kleine Umgebung eines jeden Punktes von G zu beweisen. O.B.d.A. k a n n m a n daher G als n-dimensionale, irreduzible und lokalirreduzible analytisehe Menge eines Gebietes G 1 des C ~ mit t >= n annehmen, wobei sogar M in einer analytischen Menge M o der reinen Dimension n - 1 und S in einer analytischen Menge S o der Dimension n - - p ÷ 1 enthalten ist. Sei q = n - p. Sei S~ die analytisehe Hfille yon S~ in Gr Es ist S ag G und dim S a ~ q ~- 1. Angenommen, S R =~ 0. Die Menge S~ der nichtgewShnlichen Punkte yon S a enth~lt nieht S R ~= 0. Daher kann man annehmen, dab S R auf einer komplexen Teilmannigfaltigkeit mit nur gewShnlichen Punkten (in G1) liegt, deren Dimension q ÷ 1 nicht iibersteigt. Folglich kann m a n annehmen, daI~ SR~= 0 auf einer hSchstens (q ÷ 1)-dimensionalen komplexen Ebene liegt, durch die m a n eine (q ~-1)-dimensionale komplexe Ebene E legt: SR<= E. N u n wird ein spezielles Koordinatensystem gew~hlt. Der Ursprung sei ein P u n k t yon S R. Die ersten (q ÷ 1) Koordinatenachsen sollen die Ebene E aufspannen. N u n ist S fastdiinn y o n der Dimension q (d. h. Codimension p) in G, also ist S ~ E fastdiinn (yon der Dimension q) in E.

Meromorphe Abbildungen komplexer R~ume. II

403

Naeh Hilfssatz 6.4 k a n n m a n die erste Koordinatenachse so w/ihlen, dab sie S (~ E in hSchstens abz~hlbar vielen P u n k t e n schneider. Weil q + 1 = n p ÷ 1 ~ n = d i m G i s t , k a n n m a n die letzten t --- n K o o r d i n a t e n a c h s e n so wi~hlen, dab sie eine E b e n e ~ aufspannen, die G im U r s p r u n g isoliert schneidet. Dieses Teilkoordinatensystem werde zu einem vollen erg~nzt. Sei E~ die Ebene, die yon der 2. bis (q ÷ 1)-ten K o o r d i n a t e n a e h s e aufg e s p a n n t wird. Sei ~ : Ct-~ E 2 die Projektion -

-

7~(Z 1 . . . . .

Zt)

=

( 0 , Z2. . . . .

Zq+l,

0 ....

, 0) •

D a n n ist L ( a ) = ~ - l ( a ) eine ( t - - q)-dimensionale k o m p l e x e E b e n e ffir jedes a C E2. Weil S fastdiinn yon der Dimension q ist, ist die Menge F o : (a t a ~ E~ u n d L (a) f~ S iiberabzi~hlbar} nach Hilfssatz 6.5 fastdfinn a u f E~. Seien M~(). ~ A ) die irreduzibeln Teile y o n M 0 u n d r.(5, Mo~) = n - - t - --dim(~-lT~(5)f~,Mo~) der R a n g yon z~ beziiglieh M~. A u f i o ~ ist M~ = {5 t r~(5, M ~ ) ~ q - - 1 } analytisch. Nach Hitfssatz 6.3 ist die Projektion (M~) fastdfinn in E~. Auch F ~ = U ~(l]l a) ist in E~ fastdiinn. Also h a t ~EA

~-1 (a),~ M~ ffir a ~ E ~ - - F 1 hSehstens die Dimension d i m ~ - l ( a ) f ~ M o = n - - - 1 - - r~(a, M~) ~ n - - 1 - - q = p - - 1 < p. D a h e r ist ~z-1(a) ~ M o = L ( a ) ~ M o hSchstens (p - - 1)-dimensional ffir a ~ E 2 - - F u . Seien S~(2 ~ A1) die irreduzibeln Teile yon S O u n d r,(5, S ~ ) = dim S ~ - - dim ~ - ~ (5) ~ So~ der R a n g yon 7~ beziiglich S 0. A u f So~ ist S a = {5 [ r~(5,S~) q - - 1 } analytisch. Nach Hilfssatz 6.3 ist die Projektion ~ ( ~ ) fastdfinn in Ee. Auch E l = U ~(S~) ist in E~ fastdfinn, Also h a t 7 e - ~ ( a ) ~ S ~ ffir a ~ E ~ - - F ~ h5chstens die Dimension dimT~-l(a) r~ S~ = d i m S o ~ - - r ~ ( a , S~) G q ÷ 1 - - q = 1 . D a h e r ist ~ - l ( a ) f ~ S 0 = L ( a ) (~ S O hSchstens eindimensional fiir a ~ E ~ - - F 1. I n jedem P u n k t yon 5 ~ L ( a ) f~ G gilt dim~L(a) f~ G ~ dimaL(a) + dimsG ~ dim~C t = t - - q + n - - t = p . Andererseits schneider die E b e n e ~ die Menge G ~ L (0) isoliert im Nullpunkt, wobei ~ _~ L (0) ist. N a c h der Definition der Dimension gilt d i m o L ( 0 ) r~ G g dim0L (0) - - d i m 0 ~ = t - - q - - ( t - - n) = p . Der R a n g r~ der P r o j e k t i o n ~ : G -~ E~ ist also: r~ (0) = n - - p = q u n d r, (5) n - - p = q fiir 5 ~ G. Die Menge {b t r~(~) ~ q - - 1} ist abgeschlossen in G u n d enth~lt den N u l l p u n k t nicht. Man k a n n d a h e r eine offene U m g e b u n g U des ~ u l l p u n k t e s w~hlen, a u f der r . (5) ~- q fiir 5 ~ G ~ U ist. D a a u f der ersten K o o r d i n a t e n a c h s e in E n u r abz~hlbar viele P u n k t e yon S liegen, k a n n m a n einen Kreisring ((z~, 0 , . . . , 0) ) r ~ tz~l ~ s} in U f~ ((7~-- S) linden. Eine offene U m g e b u n g U~ des Nullpunktes des C ~-~ existiert so, d a b

ist. O.B.d.A. k a n n m a n neben den Voraussetzungen des Satzes also a n n e h m e n : ~Iath. Ann. 136

28

404

W~L~L~

S~OLL:

a) Es seien El=

{Z1 []Zl[ < 8}

R I = E 1 x {(0 . . . . , 0)} =CC t

E1 = {Z1 ] I;~1[~ r} R[ = E~ × {(0 . . . . ,0)} (= C t, E2={(z 2. . . . . Zq+l) l [ z , i < s ~ , ~ = 2 , . . . , q + l } E3-----{(zq+~ . . . . , z , ) l l z , l < s , , u = q + 2 . . . . ,t} R ~ = {0} × E~ × {(0 . . . . ,0)} ~_ C~,

(0 < r < s)

R3 = {(0 . . . . , 0 ) } x E~ ~ C ~ ,

E=E~xE~

R =Ex{(0,...,0)}~C

~,

E ' = E l × E~

R' = E' × { ( 0 , . . . ,

G1= E × E a

G~ = E' × E 3= E~ × E 2× E 3.

0)} ~ C~,

b) I n G1 ist G analytisch, rein n-dimensional und lokalirreduzibel. c) EsistOC=SR~_R' u n d S C = G ~ G . d) Sei L(a) = E 1 x {(1} × E 3 fiir a EE 2. ])ann hat L ( a ) ~ G die reine Dimension p. e) Die Menge F 0= {a I a E E~ mit L (a) ~ S fiberabz~hlbar} ist fastdiinn inEe. DieMengen F I = { a ] a E E ~ m i t d i m ~ L ( a ) ; s S > 1} u n d F 2 = {a [a EEe mit dim$,L(a) ~ M ~_ p} sind fastd/iun in E~. Sei (P, Q) ein singul/~rer Punkt des Graphen T in G1. Es ist P ( SR und (P, Q) E ( T - - T ) f ~ ( G , x H ) . Daher gibt es eine Folge (P~, Q') in T m i t lim (P', Q') --- (P, Q). Wegen Q ' = v(P') ist Q E Z~(P) C 2J,(SR). Daher wird v-+oo

T innerhMb G1 hSehstens auf SR x 2:,(SR) singul/~r. Sei (0, Qo) ein singulgrer Punkt yon T. Dann ist Qo E 2:,(SR). Also gibt es eine offene Umgebung F yon Qo mit einer in V analytischen und hSchstens p-dimensionalen Menge No, die Vf5 2J~(SR) enth/ilt. Sei C die Menge der Singularitaten von T innerhalb G x V. Es ist (O, Q,) E C ~ (G x V) f~ (SR x 27,(R)) -----S R × (V ~ 2:,(R)) ~ SR × No. Sei ~ die Menge aller in V analytischen Mengen N mit C c=S R x 2(. Wegen NoE~I ist ~ =~ 0 und NI-= fl N analytiseh in V mit P l = dimNl-<-- P. Es ist /VE~

O + C g f'l S R x N = S a N(~

× fl N = S R x N

,.

NE~

Man konnte dabei die offene Umgebung V von Q0 so klein annehmen, dal~ es eine umkehrbare holomorphe Abbildung a : V - + V' gibt, wobei V' eine irreduzible und lokMirreduzible analytische Teilmenge eines Gebietes ~ des C" mit u _~ m i s t . In ~ ist a ( N , ) = / Y ~ analytisch. Die Menge N~ der nichtgew6hnliehen Punkte yon N[ ist analytiseh und eine eehte Teilmenge yon N~. Also ist die in V analytische Menge N~-= a -~ (N[) nicht in ~ enthalten. Ein Punkt (O, Qi) E C mit Q~E ~V1-- N~ existiert. Man wghlt in V--/Vl eine offene, zusammenhgngende Umgebung W~ yon (O, Q~) so, dab N1 ~ W1 zusammenh~ingend ist. In einem Teflgebiet W yon V ist W~----a(W1)-----]~(~ V' analytiseh, irreduzibel und lokalirreduzibel. D~ g (O, Q1) gew6hnlicher Punkt yon

Meromorphe Abbildungen komplexer Riiume. II

405

N{ ist, k a n n m a n in 1~ ein Teitgebiet l~*, das ~¢(0, Q1) entha.lt, u n d eine umk e h r b a r holomorphe Abbildung fl y o n l~* a u f einen Polyzylinder ~V y o n C u linden so, dab fl(N~ f~ ]]7,) der Durchschnitt v o n t~ mit der durch die ersten Pl Koordinatenachsen aufgespannten Ebene ist. Identifiziert m a n l~* m i t ~V verm6ge fl u n d W-~ : ¢ - 1 ( ~ , ~ W~) m i t l~* f~ W~, so k a n n m a n a n n e h m e n : f) Es seien: U 1 : {(w1. . . . . u,~) I two} < t~ ffir ~---- 1 . . . . . u~=

{(W~+l. . . . .

p}

w~) I lull < t~ f~r v = p + 1 . . . . . u}

W = U~ x U~ =

V 1 x {(0 . . . .

, 0)} ~ ~ r .

g) W ist eine o//ene Teilmenge yon H und zugleich eine lokalirreduzible, rein m-dimensionale analytische Menge in i~ mit ~ ~ H = W. h) Sei J B : Gl x I~V-- R x N. Dann ist T I = T f~ B analytisch in B und in G x W enthalten. Es ist T I rein n-dimensional und wird h6chstens au/, R' × N innerhalb G1 x i~V singuldr. i) I n einem Punkt von R' x N ist T~ singuldr. Aus den Eigensehaften a ) - - i ) soll nun ein Widersprueh zur Voraussetzung des Satzes hergeleitet werden. D a z u wendet m a n Hilfssatz 6.1 an, dessen Voraussetzungen m a n mittels der folgenden ~Tbersetzungstabelle leieht naehpr/ift.

Satz 6.1 Hier

C" Ct +'~- ~

Tabelle E

M

iV

z~ ~= 0 fiir v =- q ÷ 2 . . . . . t ! E~x{(0 . . . . . 0)}xN El wp:=0 fiir # == p q- 1. . . . . ul

Satz 6.1 ..W]! ttier

E~I

..... 0) ×N

Satz6.1

P tN

L(a) fiir a ( M

Hier

n ~j

l.!a

×,rlR×xIR'×N !F

F h a t also das 2n-dimensionale Mall Null u n d ist die Menge alter (a, b) ( ( E , x U 1, f/ir die die P u n k t e y o n T 1 a u f

L(a, b) = E1 x {a} x E~ x {b} x Us sich nicht gegen einen 1)unkt y o n R x iV hiiufen, also nicht gegen einen P u n k t y o n L(a, b) r~ (R x N) = E x x {a} x {(0 . . . . . 0)} x {b} x {(0 . . . . . 0)}. N u n wird behauptet, dab T 1 f~ (M x H) dfinn a u f T~ ist. Es ist T r~ [(G - - - S R ) x H ] in ( G - - S ~ ) x H analytisch u n d rein 2n-dimensional u n d der G r a p h von T fiber G - - S R. N a e h Satz 2,11 ist ~ r ~ [ ( M - - S R ) x H ] d/inn a u f T r ~ [ ( G - - S R ) x H ] . I s t (P, Q) ( T , = B r ~ T , so ist P ¢ S R ; denn ftir 28*

406

W ~ L ~ M STOLL."

P ( S~ ware Q (Z~(SR), also (P, Q) ( S R × Z~(SR) ~ B <= (R × 5;) ~ B -- 0. Daher ist TI-~ B x • = B ~ ~ c~ [(G - - SR) x H I u n d M I=T I(~(MxH)

=Br~c~[(G--S~)xH]f~[MxH] =BAT(~[(M--SR)

xH].

D a B often ist, ist M 1--- T 1 (~ (M x H) diinn a u f T1, also diinn v o n d e r Dimension n - - 1 in G1 x W. Die Projektion M 2 yon M 1 in E 2 × U 1 ist also fastdiinn in E 2 x U1, h a t also das 2n-dimensionale MaB Null in E~ × U1, wobei E~ x L~ die reetle Dimension 2 (q + p) = 2 n hat. Die Fasern der t)rojektion sind L(a, b ) ~ , M 1. I n E ~ x U 1 ist F s - = F ~ M 2 eine Nullmenge. Eine Nullmenge D <=E~ existiert so, daB Fa(a ) = F s f~ ({¢1} x b~) eine Nullmenge fiir jedes a ( E ~ - - D ist. Die Menge Fo,,yF 1 ~yF~ ist fastdfinn in E~, also eina Nullmenge in E 2. D a h e r ist E 2-- (D ~ F 0 ~y F 1 ~y F2) nicht leer u n d ein a ( E 2 - - (D ~J F 0 ,~yF 1 ~J F~) werde n u n lest gew/~hlt. Weil a ( E 2 - F 0 ist, enth/ilt L ( a ) = E I x {a} x Ea naeh e) hSehstens abz/~hlbar viele P u n k t e y o n S, wobei L(et) = {(zl, a 2 , . . . , aq+l, zq~e, . .., z~) I tz,,l < s~} ist. Also k a n n m a n Zahlen v,, m i t r < vl< s 1 nnd 0 < v,. < s~ ffir v = q ÷ 2 , . . . , t so w/~hlan, dab ( L * - - L*) ~ S = 0 ist mit L*---- {(Zl, a 2 , . . .

,

aq~, zq+~,..., z~)llz d < v~}.

Es ist L* often u n d relativ k o m p a k t in L(~). Wail L(a) f~ R = (E~ x {a} x Es) ~ (E~ x E~ x {(0 . . . . ,0)}) = E 1X {d} x { ( 0 , . . . , 0 ) } eine aindimensionale analytische Mange in G1 ist, ist G ~ L(~)(~ R analytisch u n d hSchstens eindimensional in G. Daher ist T (~) = (G~ x l~) ~ ((P, v 0 (P)) [ P ~ A 0 ~ L (~) p, R} eine hSchstens eindimensionale lokalanalytische Menge in G~ x ~ . Der R a n g der Projektion G~ x I J --> U~ a u f T (a) ist hSchstens 1, w~hrend dim U~ = p > 1 ist. Daher ist die Projektion T'(a) yon T(a) fastdfinn in U1, h a t also das 2p-dimensionale Lebesguesche MaB Null. Well a ~ D ist, gibt es ffir fast alla b ( U~, d. h. alle b ( UI-- (T'(a) ~Fa(a)) eine Folge (P", Q~) ( L(a, b) ~ TI mit l i m ( P ~, Q~) = (P, Q), wobei (P, Q) ( (R × N ) ~ L ( a , b) ~=G~× fir ist. Wegen (R x N) (~ L (a, b) = Ex x {a} x { (0 . . . . . 0)} x { b} x { (0 . . . . . 0)} Q=(b, 0,...,0)(N. Wegen ( a , b ) ~ E ~ x U I - - F a ~ E ~ × U ~ - - M ~ ist L(a, b) ~ M ~ = O m i t M~---- T~ ~ (M x H). Also ist P ' ( A ~ L ( a ) m i t l i m p ~

ist

= P (L(a) p~ G u n d Q ' = v ( P ' ) . A n g e n o m m e n , P ( A o. D a n n ist Q = ~o(P) m i t P(AoP~L(a)f~.R, also ( P , Q ) ( T ( a ) u n d b(T'(a), was falseh ist. D a h e r gilt P ( S~,L(a) f~,R g_ aia(E~ x {~} x { ( 0 , . . . , 0)}) = E i x{a} x {(0 . . . . ,0)} = L*. Also ist P ~ S f ~ R ~ L * .

Sei L = L * ~ G .

D a L* often a u f L(a) ist und

Meromorphe Abbildungen komplexer Raume. I I

407

P~ E L (a) gegen P E L* strebt, ist P~ E L* fiir v > v0. Es ist P~ ~ L* ;~. A = L ~ A fiir ~, > v0 mit l i m ( P ~, T(P")) = (P, Q) und P E S, woraus sich Q E 2:~(L f', S, L) fiir fast alle Q = ( b , 0 . . . . . 0) E N ergibt. Es ist L ~ S = L * ~ S = L * ¢ ' ~ S kompakt, weil L* k o m p a k t und S abgeschlossen ist und L* in der offenen Umgebung G1 liegt. Daher ist die auf N dichte Menge Z'~(L f~ S, L) in G, also auch G1, abgeschlossen, enth/~lt also N, woraus unter anderem auch 2/=c H folgt. Andererseits gilt: d.h. (L--L)~S-=O. Wegen L v ~ A ~ O ist L ( a ) ~ G und L = L * ~ G je eine rein p-dimensionale, lokalanalytische Menge. Wegen a ~ E ~ - - F 0 enth~lt L ( a ) ~ S , also erst recht L ~ S hSchstens abz~hlbar viele Punkte. Wegen a E E 2 - F 1 ist L (a) r~ S in einer in G1 hSchstens ein-dimensionalen analytischen Mengen enthalten, d. h. L ~ S ist dfinn yon der Dimension 1 anf L. Wegen a E E ~ - - F 2 ist L ( a ) ~ M, also auch L ~ M, in einer in G hSchstens ( p - 1)dimensionalen analytischen Menge enthalten, also diinn (yon der Dimension p - - 1) a u f L . Well L ~ L* C=L(a) ~ G1 und G in G~ abgeschlossen ist, und weil L =c Gist, folgt L c= G. ~Veil L* k o m p a k t ist, ist auch die abgeschlossene Hfille yon L in G nfimlich L ~ G = L kompakt. Nach Voraussetzung 3 enthhlt X~(L f~ S, L) keine p-dimensionale Teilmannigfaltigkeit yon H, speziell ist N nicht in Z~ (L f~ S, L) enthalten. Ein Widerspruch zur Annahme S R :4: ~) wurde hergeleitet, w.z.b.w. Der Satz 7.5 wurde fiir p ~ 1 nicht bewiesen. I n diesem Fall ist S diinn, weil M ~ S ist. Daher f~llt die erste Voraussetzung weg. I s t aber S dfinn v o n d e r Codimension p, so kann man die dritte Voraussetzung abschwhchen. Man erhhlt den S a t z 7.6. V o r a u s s e t z u n g . 1. Die ,~e.nge S der singuldren Stellen von sei diinn vonder Codimension p ~ 1. 2. Sei S n die Menqe der R-Singularitdten von ~ und sei ~ ( S ~ ) d'ann yon der Dimension p. 3. Wenn L lokalanalytisch und rein p-dimensional in G ist, u~nn [~ kompakt ist, wenn L f~ M diinn au/ L ist, wenn (L -- L) ~ S = 0 und L ~ S' = {Po} ist, so enthatte ~ (Po, L) keine p-dimensionale komplexe Teilmannig/altiglceit von H. B e h a u p t u n g . Die Abbildung ~: ist R-meromorph. B e w e i s . Sei A o = G - S und vo die analytische Fortsetzung von v in A o. Es reicht, den Satz ffir eine genfigend kleine Umgebung eines jeden Punktes yon G zu beweisen. O.B.d.A. kann m a n daher G als n-dimensionale, irreduzible und lokalirreduzible analytisehe Menge eines Gebietes G1 des C t mit t ~ n annehmen, wobei sogar M in einer analytischen Menge M o der reinen Dimension n - - 1 und S in einer analytischen Menge 5'0 der Dimension q ----n - - p enthalten ist. Sei Sa die analytisehe Hiille yon S~ in G~. Es ist Sa ~_ G und d i m S a ~ q. Angenommen, Sa~-O. Die Menge S a der niehtgewOhnliehen Punkte yon Sa enth~lt nieht S~ ~ O, Daher kann m a n annehmen, dab S~ auf einer komplexen Teilmannigfaltigkeit mit nur (in G~) gewShnliehen Punkten

408

WILttELM STOLL:

liegt, deren Dimension q nicht iibersteigt. Daher k a n n m a n annehmen, dab S R =~ 0 auf einer hSchstens q-dimensionalen Ebene liegt, durch die m a n eine q-dimensionale Ebene E legt. N u n wird ein spezielles K o o r d i n a t e n s y s t e m gew~hlt. Der U r s p r u n g sei ein P u n k t y o n S~. Die ersten q-Koordinatenachsen sollen die Ebene E aufspannen. Weil q = n - - p < n = dim G i s t , k a n n m a n die letzten t - n Koordinatenachsen so w~hlen, dab sie eine Ebene aufspannen, die G im U r s p r u n g isoliert schneider. Dieses Teilkoordinatensystem werde zu einem vollen, aber vorl~ufigen erghnzt. Sei J~ die y o n den ersten n-Koordinatenachsen aufgespannte Ebene. N a c h dem Einbettungssatz y o n REMMERT u n d STEIN [13] ffihrt die Projektion C~-->E die Menge S O in eine im U r s p r u n g analytische Menge S~ der Dimension q fiber, da S Odurch im U r s p r u n g n u r isoliert geschnitten wird. D a S~ ~ E in E enthalten u n d im U r s p r u n g analytisch u n d q-dimensional ist, k a n n die (q + 1)-re bis n-te Koordinatenachse so gew£hlt werden, dab die dureh sie aufgespannte E b e n e die Menge S~ ~ E im Nullpunkt isoliert schneider. D a n n schneider die d u r c h die (q + 1)-re bis t-te Koordinatenaehse aufgespannte Ebene die Menge S O im U r s p r u n g isoliert. Sei 7~ : C~--> E die Projektion ~z(z1. . . . , z~) = (Zl, . .., zq, 0 . . . . , 0). D a n n ist L(a) = ~-1 (a) eine ( t - q)-dimensionale komplexe Ebene ffir jedes a E E. Weil ~-1 (0) ~ S o den U r s p r u n g als isolierten P u n k t enth~lt, gibt es eine offene U m g e b u n g U* des Nullpunktes u n d eine Zahl k, so dab L ( a ) ~ S ~ U* hSchstens aus k P u n k t e n besteht. Seien M0~ (4 E A) die irreduzibeln Teile von M o u n d r.(5, M0~) - - n 1 -- - dim (~-1~(~) ,~ M0~) der R a n g yon ~ bezfiglieh i o. A u f / ~ ist i ~ = {5 I r-(5, M0~) < q} analytisch. N a c h Hilfssatz 6.3 ist die Projektion n(2~ ~) fastdfinn in E.

Auch F I =

O ~(2~ ~) ist in E fastdfinn.

Also h a t ~ - i ( a ) E M ] ffir

2EA

a E E - - ~ 1 hSchstens die Dimension dim ~-~ (a) F', Mo~ = n - - 1 - - r, (a, M0~) ~n--l--q=p--l
r,(3)~n--p-----q

fiir 3 E G .

Die Menge {3 I r , ( 3 ) ~ q - 1} ist abgesehlossen in G u n d enthalt den Nullp u n k t nicht. Man k a n n daher eine offene U m g e b u n g U des Nullpunktes w~hlen, a u f der r~(5) = q ffir 3 E G(~ U ist. D a die Ebene, die durch die letzten (t - - q) Koordinatenachsen aufgespannt wird, die Menge S Oim Ursprung n u r isoliert schneider, k a n n m a n eine offene U m g e b u n g U 1 des Nullpunktes

Meromorphe Abbildungen komplexer Rgume. I I u n d Z a h l e n 0 < r, < s~ fiir v = q + 1 . . . . .

{ ( h , . •., =~) I (=1. . . . . ~ , o . . . . .

409

t f i n d e n , so d a b

o) c ~ ~ E , ~,~_ I~,l < ~,, ~ = q + 1 , . . . ,

t}

in U z5 (GI - So) liegt. O.B.d.A. k a n n m a n n e b e n d e n V o r a u s s e t z u n g e n des Satzes also a n n e h m e n : a) Es seien E

-~- { ( z I . . . . .

Zq) ] [zv[ <:~ 8~, ~) =

E ~ = {(=q÷l . . . . . E ~ = {(zq+ 1. . . . .

1 .....

q}

z,) [ Iz, I < s . v = q + 1 . . . . . zt) I [z,[ g rv, v = q + l , . . . ,

R = E x {(0 . . . . .

t} t}

(0 < r~< s,)

0)} _CC ~

R3= { ( 0 , . . . , 0)} × E a ~_ C t R i8 -

{(o,

o . . ~ o))

× E ; c O~

G I = E × E~ .

b) I n G1 ist G analytisch, rein n-dimensional und lolcalirreduzibel. c) Es ist 0 ~ SR c=R und S ~_ Soc~ G~ c=G, wobei S o analytisch und rein

q-dimensional ist. d) Sei L(a) = {a} × E a [iir a E E. Dann hat G r~ L(a) die reine Dimension p. e) Die Mange L(a) ~ S besteht aus h6eh~stens k Punkten /iir jades a C E. Die Menge FI= {a ] a E E~ mit direfuL(a) A M >=p} ist /astdi~nn in E. W i e i m Beweis y o n S a t z 7.5 e r g i b t sich, daB m a n w e i t e r h i n a n n e h m e n kann: f) Es seien UI= {(wl,..., U 2 = {(w~ + 1

w ~ ) l l w , l < t~

.....

fiir v =- 1 . . . . .

p}

Wu) ]IW, I < t~ ffir v = p + 1 . . . .

, u}

g~ = Ul x U~

:v = u~ × {(o . . . .

,0)} ~ ~ .

g) W ist eine o[/ene Teilmenge yon H und zugleich eine lolcalirreduzible, rein m.dimensionale analytische Menge in 17~ mit ITV~ H = W. h) Sei B -----G1 × l ~ - - R x N. ])ann ist T I = T ~ B analytisch in B und in G × W enthatten. Es ist T 1 rein n-dimensional. i) I n einem P u n k t von R x / V = E x {(0 . . . . . 0)} x U 1 x { ( 0 , . . . , 0)}, also jedem Punkt yon R × N wird T 1 singuldr. Die Mange F atler (a, b) E E x U 1, ffir die d i e P u n k t e y o n T 1 a u f L(a, b) = {a} x Ea x {b} x U~ sich n i e h t gegen einen P u n k t y o n R x N , also n i c h t g e g e n Pa, ~ = (a, 0 , . . . , 0, b, 0 . . . . . 0) E C ~+~ M u f e n , h a t d a s 2 n . d i m e n s i o n a l e Lebesguesche Mall NulP6). W i e im Beweis y o n S a t z 7.5 folgt, d a b T 1 r~ ( M × H ) = M 1 d i i n n in T1 ist. Die P r o j e k t i o n M~. y o n M 1 in E x U 1 h a t also d a s 2 n - d i m e n s i o n a l e MaB Null, w o b e i 2 n die reelle D i m e n s i o n y o n E x U 1 ist. I n E x U 1 i s t F a - F u M e eine NuUmenge. E i n e N u l l m e n g e D C E e x i s t i e r t so, d a b F a ( a ) - - - - - F a ~ f~ ({a} × U1) eine N u l l m e n g e fiir ]edes a ~ E - - D i s t . E i n ¢I ( E - - (D ~ / ~ i ) 4= 0

410

W~L~b~ STOLe:

werde nun fest gew~hlt. Weil L({1) = {(al, . . . , aq, Zq+l, . . . , zt) I Iz~[ < By} h6chstens k P u n k t e y o n S enthi~lt, k a n n m a n Zahlen v~ mit 0 < v~ < s~ ffir = q ÷ 1 . . . . . t finden so, dab ( L * - - {(a, 0 . . . . . 0)}) f~ S = 0 ist mit L * = {(a 1. . . . . aq, zq+ 1. . . . . zt) ltz~t < v,}. Es ist L* often u n d relativ k o m p a k t in L(a). Well a ~ D ist, gibt es ffir fast alle b E U1, d. h. alle b E U i - - F a ( a ) eine Folge (P~, Q") aus L(a, b) ~. T 1 mit lira (PL Q~) = Pa, b = (P, Q), wobei P = (a, 0 . . . . . 0) E C t u n d Q = ( b , 0 . . . . . 0) C v--~

oo

E N i s t . W e g e n (a,b) E E × L ~ - - F a c = E × U , MI:TI~(M×H ). Also ist P ' E A ~ L ( a )

1-M 2ist L(a,b)~Ml=O mit l i m P ~ : P ~ L ( a ) ~ , G

mit und

Q ~ : v(P~). A n g e n o m m e n , P C Ao. D a n n ist Q : % ( P ) : T0(a, 0 . . . . . 0) ffir fast alle Q E N, was falsch ist, da To(P) einen P u n k t darstellt. Also ist P ~ S u n d L* f~ S =: L* f~ S = {P}. Sei L =: L* r~ G. D a L* often a u f L(a) ist und P'E L ( a ) f ~ A gegen P EL* strebt, ist P~CL* ~ A : L ~ A fiir v ~ v0 mit lim (P~, z(P~)) = (P, Q) u n d P E S, woraus sich Q E 2:~(P, L) ffir fast atle y-~oo

Q = (b, 0 . . . . 0) E N ergibt. Weil 2:~(P, L) in G, also in Gt abgeschlossen ist, folgt N c__X~(P, L) ~ H. Andererseits gilt

Lf~S~

L* ~ G ~ S g_L* ~ S =

L* f ~ S :

L~G ~S : L~S

,

d.h., (J~--L)~S=O und Lf~S:L*~S={P}. Es ist L ~ L * C G x und L g G und G abgeschlossen in G1 ; also folgt L ~ G : L, wobei L als abgeschlossene und beschr~nkte Menge k o m p a k t ist. Wegen L ~ A ~: 0 ist L (a) ~ G u n d auch L* ~ G - L eine rein p-dimensionale, lokalanalytische Menge. Wegen a E E - - F~ ist L (a) f~ M~, also auch L f~, M, in einer h6chstens (p ~- 1)dimensionalen in G~ analytischen Menge enthalten, also diinn (yon der Dimension p --- 1) a u f L . N a c h Voraussetzung 3 enth~i.lt Z~(P, L) keine p-dimensionale komplexe Teilmannigfaltigkeit y o n H, speziell ist N nicht in Z:~ (P0, L) enthalten. Die A n n a h m e S~=P 0 st6i~t also a u f einen Widerspruch, w.z.b.w. A n m e r k u n g e n zu den S~tzen 7.5 u n d 7.6: 1. A n m e r k u n g . Ist G eine komplexe Mannig/altigkeit, so braucht man die Voraussetzung 3 in den Sdtzen 7.5 und 7.6 nut /i£r komplexe Teilmannig/altigkeiten L zu verlangen. B e w e i s . Man k a n n d a n n im Beweis des Satzes t = n, G = G~, ~ = {0} u n d L * = L annehmen. Offensichtlich ist L d a n n eine komplexe Teilmannigfaltigkeit. 2. A n m e r k u n g . I n den Sdtzen 7.5 und 7.6 ist unter Annahme der Voraussetzung 2 die Voraussetzung 3 i~quivalent zu : 3". Wenn ~ eine rein p.dimensionale, lokaIanalytische Teilmenge yon Gist, wenn ~ kompakt ist, wenn L ~ M di~nn au/ L ist, wenn ( ~ - - L ) ~ S leer ist, wenn L ~ S au8 h6chstens abziihlbar vielen Punkten besteht und di£nn yon der Dimension 1 au/ L ist (bzw. wenn im Falle des Satzes 7.6 L ~ S = {P0} gilt), so ist v£ = ~ I L ~ A R.meromorph au[ L.

Meromorphe Abbildungen komplexer Ritume. II

411

B e w e i s . Aus 3/olgt 3': Der Graph von v t L z ~ A ist T ~ [ ( L f ~ A ) × H ] = TL, und es ist zu zeigen, dab TL (~ (L × H) in G × H lokalanalytiseh ist. Es gibt eine offene Umgebung U von L mit L A U = L. In U ist L analytisch. Sei C die Menge der R-Singularit/~ten von ~ I L I A . Es ist C ~ L f ~ S . Also ist C hSchstens abz£hlbar. Angenommen, C 4= 0. Dann gibt es einen isolierten P u n k t PoE C und eine offene Umgebung U o _~ U yon Po so, dab (Uo--Uo)~SAL:0 und U o r ~ C = { P o } ist. Dann wird T L f ~ ( U o × H ) hSchstens auf {Po} x H singular. Sei C* die Menge der Singularit/iten yon T L in U o x H. Nach Annahme existiert (Po, Qo) c C*. Nach Satz 1.1 ist {Po} × 2:~(Po, L) = ({Po} × H) (~ T L > C* A (U o × H ) . Es gibt eine offene Umgebung V yon Qo~ 27,(Po, L ) ~ C * mit einer in V p-dimensionalen analytischen Menge N, die Z~(Po, L ) ~ V umfal3t. Also wird die rein p-dimensionale analytische Menge T L ~ . [ ( U o ~ A ) x V] in (Po, Qo) singul£r und hSchstens auf {Po} × N singular; sie wird in jedem P u n k t eines irreduzibeln Teiles {Po} × N' yon {Po} × 2/ singular, wobei N' p-dimensionaler irreduzibeler Teil von 2V ist. Wegen {Po} × N'_< C* ~ ({Po} × H) = C* A ( U o × H) ~ {Po},X X,(Po, L) enth/ilt X,(Po, L) die Menge N', die wiederum eine p-dimensionale komplexe Teilmannigfaltigkeit yon H enth~lt entgegen Voraussetzung 2. Aus 3' /olqt 3: Es sei U ~_L often mit U , ~ L = U ~ L . In U × H ist T L ~ (U × H) = TL ~ (L × H) analytisch. Fiir Po E M ~ L i s t ({Po} × H) ~ TL = {Po} × X,(Po, L) in U × H analytisch und in T L ~ (U × H) enthalten, aber auf dieser Menge nirgends dicht. Daher ist die abgeschlossene Menge Z~(Po, L) eine hSchstens ( p - 1)-dimensionale analytische Menge in H. Es ist X , ( S ~ L, L) = (J X,(Po, L) fastdfinn yon der Dimension p -- 1, enthfilt PoESNL

also keine p-dimensionale komplexe Teilmannigfaltigkeit yon H, w.z.b.w. 3. A n m e r k u n g . I n den Sdtzen 7.5 und 7.6 ist unter der Annahme der Voraussetzung 2 die Voraussetzung 3 i~quivalent zu: 3". Wenn L eine rein p-dimensionale lokalanalytische Teilmenge von Gist, wenn L kompakt ist, wenn L A M diinn au/ L ist, wenn { L - L ) A S leer ist, wenn L ~ S aus hSchstens abz~ihlbar vielen (im Falle des Satzes 7.6 aus einem) Punkten besteht und diinn yon der Dimension 1 au/ L ist, dann sei X~(P o, L) eine hSchstens (p -- 1)-dimensionale analytische Menge in H/iir ]edes Po ~ L A S. B e w e i s . a) Aus 3"/olgt3: Denn X , ( S A L , L) = O Z~(Po, L ) i s t d a n n PoESnL

fastdiinn yon der Dimension p - |, enth~ilt also keine p-dimensionale komplexe Teilmannigfaltigkeit yon H. b) Aus 3/ol!!t 3": Denn zun/~ehst folgt 3' und aus dem Beweis yon Anmerkung 2 (b) geht hervor, dab 27,(Po, L) eine hSchstens {p -- 1)-dimensionale analytisehe Menge in H fiir jedes Po ~ L A S (ja sogar Po 6 L ~ M) ist, w.z.b.w. 4. A n m e r k u n g . l m Satz 7.6 ist im Falle p = 1 die Voraussetzur~l 3 unter Annahme der Voraussetzung 2 dquivalent zu : 3 " . Wenn L eine eindimensionale komplexe Teilmannig/altiekeit yon G mit L A M = L A M = {Po} ist, so enthalte 27~(Po, L) h6chstens einen Punkt.

412

W~H~L~ STOLb:

B e w e i s . Aus 3 ]olgt 3'": Denn aus 3 folgt 3". Sei U eine offene, relativ kompakte Umgebung U yon P0 mit L o = U ~ L = U ~ L. Dann ist L o kompakt, L o f~ M = L o f~ M = {Po} diinn auf der rein eindimensionalen, lokalanalytisehen Teilmenge L o yon G. I s t P o ~ G - - S , so besteht 2:,(Po, L ) = 2:~(Po, Lo) ge~au aus dem P u n k t To(Po), wenn To die analytische Fortsetzung yon v in A o= G - - S ist. Ffir Po E S ist L o ~ S = {Po}, also besteht die hSehstens nulldimensionale analytisehe Menge Z , ( P o, L) = Z~ (Po, Lo) nur aus isolierten Punkten, also naeh Satz 1.4 hSchstens aus einem Punkt. Aus 3'" /olgt 3: Sei L eine eindimensionale lokalanalytische Menge in G mit L kompakt, (/, - - L) f~ S = O und L ~ M dfinn auf L mit L f~ S = {Po}. Da L f~ M abgeschlossen und dfinn yon der Dimension 0 ist, besteht L f~ M nur aus isolierten Punkten. Es gibt eine Umgebung U von P0 mit U f~ L = U ~L=

(J L~, wobei L~ eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten v~l

aus g mit L , f ~ M = L , f ~ M = : { P o }

r

sind.

Es ist 2:,(Po, L ) ~ U Z,(Po, L,)

endlich, enthKlt also keine eindimensionale komplexe Teilmannigfaltigkeit yon H, w.z.b.w. Anmerkung 4 besagt aber niehts anderes als: ~ ist schwach meromorph. Daher ist bewiesen : S a t z 7.7. Wenn T schwach meromorph ist und wenn ~ ( M ) diinn vonder

Dimension 1 ist, so ist T R-meromorph. Speziell ist also jede schwaeh meromorphe Abbildung in eine eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeit R-meromorph. U m nun die S~tze 7.5 und 7.6 weiter ausniitzen zu kSnnen, mfissen also Abbildungen v lokalanalytischer Mengen L untersucht werden, die h5chstens abz~hlbar viele Singulariti~ten haben; dabei kann man sich gem~B § 5 auf komplexe R~ume L besehr~nken. S a t z 7.8. (C~sORATI-W~I~RSTRASS) V o r a u s s e t z u n g . Die komplexen Rgume G und H seien rein n-dimensional und H zusammenhiingend. Die Menge S R der R-SingutaritSten der Abbildung v sei hSchstens abzdMbar. B e h a u p t u n g . 1. S R = {P t X~(P) = H, P ~ M}. 2. Zu ~edem Po E SR gibt es eine Nullmenge Npog H so, daft es zu ~edem Q ~ H -- Np° eine Folge P'E A mit lim P * = Pound "c(P') = Q gibt. B e w e i s . a) Ist v R-meromorph in Po, so gibt es eine offene Umgebung U yon Po so, daB,(U × H) f~ T analytisch und rein n-dimensional in U × H i s t . W~hlt man U zusammenhhngend, so ist aueh U f~ A und damit [(U f~ A) × × H ] f~ T zusammenh~ingend. Die in (U f~ A) × H irreduzible anatytische Menge [(U f~A) × H] f~ T wird durch (U × H) ~ T fortgesetzt. Daher ist (U × H) f~ T irreduzibel. Also ist ({P0} × H) ~ T analytiseh und hSehstens (n - - 1)-dimensional. Wegen {P0} × 27~(P0) = ({P0} × H) ~ Y ist 27,(Po) analytiseh und hSchstens (n ~ 1)-dimensional in H, d. h. ~7,(Po) # H. b) I s t v R-singular in P o u n d P0 ein isolierter P u n k t yon S~, so gibt es eine offene Umgebung U yon P0 mit S~ f~ U = {P0}. AuBerdem kann man U

Meromorphe Abbildungen komplexer R/lume. II

413

so klein w/ihlen, dab U k o m p a k t ist, dab eine in U analytische Menge M o m i t Mo ~ M f~ U existiert und dab m a n U als rein n-dimensionale, irreduzibele und lokalirreduzibele analytische Teilmenge eines Gebietes U 1 des C t annehmen kann. Sei T singul/~r in (Po, Qo) E M × H. Die M e n g e / t der niehtuniformisierbaren Punkte von H ist dfinn yon der Dimension n - 2. Also kann Y ~ [(V - - {Po}) × H ] nicht nur auf {Po} × / t singular werden. Ein QoE H - - / t existiert, ffir das (Po, Qo) singul~rer P u n k t yon T ist. Sei Qo irgendein soleher Punkt. Eine offene und zusammenh/~ngende Umgebung V von Qo existiert, die man als Teilgebiet des C ~ auffassen kann. D a n n ist T I = • ,~ [(b~-- {Po}) × × V] in (U I - {Po}) x V = W analytisch und in einem, also jedem, P u n k t yon {Po} × V singular. Dabei ist U I × V e i n Gebiet in C t × C'~= C t+'~ und {Po} × V ein n-dimensionales Ebenenstiick. Naeh STOLL [21] hat die Menge Fp° aUer Punkte Q ff V, zu denen es keine Folge (P~, Q) ff T 1 mit l i m P v - Po gibt, das 2 n-dimensionale Lebesguesche MaB Null auf [7. Seien

N p -..~{Q ] Poe v-~(Q)} D r 0 = {Q I (P, Q) ~ [(Mo-- {P0}) × H] ~ T } . Ist Q c (:Vpo--(FpokJDp,) ) ~ V, so gibt es eine Folge (P', Q ) ~ T 1 mit l i m P ~ = P o . Weil T l c _ T g G × H ist, folgt P ~ U ~ f ~ G = U mit P ' ~ P o . v--~ oo

Weil Q ¢ Dpo ist, folgt (P~, Q) ¢ [(M o - {Po}) × H] ~ T. Weil P~ 4: Po ist, folgt P ~ ¢ M o - - { P o } , also P " ~ M o. Also ist P " ~ A . Es ist v ( P ~ ) - ~ Q ~ V , d. h., P o = l i m P ~ ~--I(Q). Daher ist Q ~/Vpo, was falsch ist. Folglieh ist N . ° ~ V =c (Fe, ~, De° ) f~ V. Es ist [(M o - {Pa}) × H ] f~ T analytiseh in (U - - {Po}) × H. Weft [(U - - - {Po}) × H ] ~ T irreduzibel ist, hat [(M o - {Po}) × H ] ~ T h6chstens die Dimension n - - 1 . Die Projektion De. in H ist also eine 2n-dimensionale Nullmenge 19) in H, Daher ist Neo f~ V eine Nullmenge in V. Weil T singular auf {Po} × V ist, ist die Menge der Singularit~ten yon T often und abgeschlossen auf dem zusammenhi~ngenden R a u m {Po} × (H --/~). Also wird T in jedem P u n k t yon {P0} × (H - - / ~ ) , also in ]edem P u n k t yon {P.} × H singular. Es ist {P0} × H g_ ({Po} × H) f~ T = {Po} × XT:(Po). lo) Denn diese Projektion ist fastdiinn in H. Eine Teflmenge M einer komplexen Mannigfaltigkeit H ist eine Nullmenge, wenn es zu jedem Punkt von Heine offene Umgebung U und eine umkehrbar holomorphe Abbildung ~ : U --> U' auf ein Gebiet U" des C~ gibt so, dab ~(M~U) eine Lebesguesehe Nullmenge in U' ist. Eine Teilnahme M eines rein n-dimensionalen komplexen Raumes H, dessen niehtuniformisierbare lhmkte die Menge H bilden, heii]t Nullmenge, wenn M ~ ( H - HA)Nullmenge auf der komplexen Mannigfaltigkeit H ~ Hist. Dies ist genau dann der Fall, wenn es zu jedem Punkt yon H eine offene Umgebung U und eine umkehrbare holomorphe Abbildung ~: U-~ U' auf eine lokalirreduzible, rein n-dimensionale lokalanalytische Menge des C~ mit u ~ n gibt so, dab ~(U~M) eine Nullmenge des 2n-dimensionalen Oberfl~ehenmaBes yon C~RXTHEODORYist.

414

WILltELM

STOLL

:

Also ist H = ~'~(Po). Aul]erdem iiberdecken abz/ihlbar viele Mengen V die offene Teilmenge H -- H yon H, also auch N p o - I4. Daher ist Np. - - / t eine Nullmenge. Da H selbst eine ist, ist Np. eine Nullmenge auf H. Ist Q ~ H .... Np°, so ist Po ~ r-1 (Q) ; also gibt es eine Folge P~ ~ 3-1 (Q) ~ A mit lim P~= Po -

-

und r ( P ~) = Q. Die Aussage 2 ist ftir jeden isolierten Punkt yon S R bewiesen. AuBerdem gilt ffir jeden isolierten Punkt Po E SR die Gleichheit H = X~(Po). c) Sei Po ~ S~ H/iufungspunkt yon isolierten Punkten P~ yon S R. Man kann P o = lim P~ annehmen. Sei Q eine Metrik auf G. Zu jedem Q C H -y---> oo co

--t.J Np~ gibt es eine Folge P t ~ A 1

~

~(Pt,,, P~) <-v- werde gewKhlt. P~

mit ~ ( P ~ ) = Q. Eine Folge /~v mit 1

Wegen ~(P,,~, Po) < -v- ÷ ~ (PÈ' Po) strebt

A gegen P0 mit r(P~,~) = Q. Die Aussage 2 gilt also fiir Po, wenn z. B. oo

Npo= O Np: gew/thlt wird.

Es ist H - - N p ,

~ X~(Po). Da 2Vpo als Null-

menge keine offene Menge enth/ilt und 27~(P0) in H abgeschlossen ist, folgt H----- 2:,(Po). Wie das folgende Lemma zeigt, gilt dann H = ~,(Po) ffir-a]le Po ~ SR und Aussage 2 fiir alle Po ~ SR, womit der Satz bewiesen ist. L e m m a : Ist S e i n e abgeschlossene , h6chstens abziihlbare Menge in einem metrischen, vollstdndigen Raum G und ist R eine abgeschlossene Teilmenge yon S' die alle isolierten Punkte von S enthdlt, so ist R = S. B e w e i s . Angenommen, P ~ S - - R existiert. Dann gibt es eine off~ne Kugel K um P mit K ' / ~ R = 0 und ( K - - K ) ~ S = 0 . Im vollst/tndigen metrischen Raum K ist K / ~ S :4=0 abz/~hlbar, abgeschlossen, also nicht perfekt. Ein isolierter Punkt P~ ~/~ ~ S = K / ~ S existiert. Da K often ist, ist P1 isolierter Punkt von S. Wegen K / ~ R = 0 gehSrt P1 nieht zu R, was falseh ist. Nun kann man leicht einige weitere Kriterien fiir die Gleiehheit der beiden Meromorphiebegriffe herleiten. S a t z 7.9. V o r a u s s e t z u n g . 1. Die komplexen Riiume G und H seien rein n-dimensional und H zusammenhdngend. 2. Die holomorphe Abbildung T : A -+ H sei au/ G meromorph. 3. Die Menge S n der R-Singularitdten sei hSchstens abziihlbar. 4. Au[ H gebe es eine nichtkonstante holomorphe Funktion /. B e h a u p t u n g . Die Abbildung T ist R.meromorph. B e w e i s . Naeh Satz 4.1 1/~llt sich die in A holomorphe Funktion [ r analytisch zu 1" in G fortsetzen. Angenommen, es gibt ein P0 E SR. lqach Satz 7.8 gibt es zu fast jedem Q 6 H eine Folge P~ ~ A mit l i m P ~ = P o u n d v ( P ~) = Q. Es ist ]* (Po) = lim/* (P~) = lim[ z ( P ~) = [(Q), d. h. [ hat in fast allen Punkten ~ - - ~ oo

v--> oo

yon H denselben W e r t / * (Po). Also ist / konstant entgegen Voraussetzung 4. Es ist SR= O, w.z.b.w.

Meromorphe Abbildungen komplexer R~ume. II

415

Allgemeiner gilt sogar: S a t z 7.10. V o r a u s s e t z u n g . 1. Die komplexen Rdume G und H seien rein n-dimensional und H zusammenhdngend. 2. Die Abbildung T sei meromorph. 3. Die Menge S n der R.Singularitdten sei h6chstens abzdhlbar. 4. Au/ H gibt es n - - 1 meromorphe unabhgngige Funktionen /1. . . . . /,-1. Das heiflt: Ist II die Menge der niehtuni/ormisierbaren Punkte von H, so ist die au/ H -- [I meromorphe guflere Di/[erential/orm d/1 A • • " A d / n - l ~ 0. B e h a u p t u n g . Die Abbildung T ist R-meromorph. B e w e i s . O.B.d.A. kann man G zusammenh~ingend annehmen. Angenommen, die Menge S~ ist nicht leer. Dann enth/ilt T(A) fast jeden P u n k t yon H. In H ist die Menge hr~ der t)ol- und Unbestimmtheitsstellen yon f~ eine rein (n -- 1 )-dimensionale analytische Menge oder leer. Daher ist T(A) ~ N~, weshalb die in A analytische Menge T-I(N,,) dfinn ist. Daher ist die a u f A -- T-1 (N~) holomorphe Funktion f,T zu einer in G meromorphen Funktion/~* fortsetzbar. In Gist die Menge 24" der Pol- und Unbestimmtheitsstelten v o n / * leer oder rein (n -- 1)-dimensional. Die Menge G (bzw. H) der nicht uniformisierbaren Punkte yon G (bzw. H) ist analytiseh und h6chstens (n - - 2)-dimensional in G (bzw. H). In A ist T-~(/t) analytisch; wegen v(A) ¢[I ist T-I(/~) h6chstens (n--1)-dimension~l. Ist r(P) der Rang von ~ in A, so ist B = { P [ r(P) < n} analytiseh in A. W/ire B -~ A, so w/ire T (A) fastdiinn in H, also eine Nullmenge in H. Well aber H - - v ( A ) eine Nullmenge in H ist, kann das nicht sein. Daher ist B hSchstens ( n - - 1)-dimensional. Also ist

A~= A - - ( G ~ J B~j~:-I(H)~

U ~*)=~0

eine offene zusammenh/ingende Teilmenge yon A und M I = A - A I i s t analytisch und hSchstens (n - - 1)-dimensional in A. Es ist I:(A1) ~ H - - H = H. Da der Rang der auf M 1 beschr/inkten Abbildung T a u f jedem irreduzibeln Tell yon M 1 hSchstens n -- 1 ist, ist T (M~) fastdiinn auf H, also eine Nullmenge auf H. Wegen v(AI) ~ "r(A)~ T(M1) enth/ilt v(A 0 fast jeden tMnkt yon H. Es ist T : A I->/4 eine hotomorphe Abbildung einer n-dimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit A 1 in eine n-dimensiona]e komplexe Mannigfaltigkeit/~ mit tCang n. Also ist die Funktionaldeterminante der Abbildung nieht identiseh Null. Die Nullstellen der Funktionaldeterminante bilden vielmehr eine in A 1 leere oder rein ( n - 1)-dimensionale analytisehe Menge D. Die offene Menge Ag-~ A 1 - - D ist zusammenh/ingend und T(D) eine Nullmenge in /~. Daher enth/ilt T(A~) _~~(A1) - - v ( D ) fast jeden P u n k t yon H. Auf A1 ist d]~ A ' ' " A d]~ holomorph und /,* = / , T . Die Menge C der Nullstellen dieses Differentiales ist analytisch in A 1. Angenommen, dimC = n. Dann ist 0 = A v Zu jedem I)unkt P0E A~ gibt es eine offene Umgebung U g A 2 yon P0 und eine offene Umgebung V yon ~:(P0) ~/~ mit T(U) ~ V _C/~, auf denen es umkehrbar holomorphe Abbildungen ~ : U -> U' und fl : V -~ V'

416

WILHELM STOLL:

auf Gebiete U', V' des C ~ gibt. Es sei m (3) = flv ~-1 (3)- Well U ~ A o= A 1 - D ist, gilt a(w:. . . . . w,) a~,7~.,z~) - - A ( ~ ) ~ O fiir 3 G U'. ])ann ist 0 =d/*

A''" A d l * _ 1

,~

~,

a(/, . . . . . Io_,)

--~=l .-=1 a(w: . . . . . w~,~,w~,+~. . . . . w~) x dz:

A " " " A dz,,._

a(w: . . . . . w#_,,w,,÷, . . . . . w.) ~(z:. . . . ,z~_,,z~+~,...,z~) ×

1 A dz~+ 1 A ' " " A dzn .

Da z] (5) :~ 0 ist, ergibt sich a (/, ..., 1,_:)

O(wl . . . . , w~,_, w~,+l. . . . . w~)

= 0

ffir /2 = 1 . . . . , n

in T(Po), also d/1 A ' • • A d f n - : = 0 in z(A2) , d, h., fast fiberall auf H. Es ist, ~ = 0, was falsch ist, Also ist dimC < n. Es sei A s = A 2 - C. Dann ist A a often in G, und z (As) enth~lt fast alle Punkte yon H. AuBerdem ist A a dicht in A2, also dicht in AI, also dicht in A, also dicht in G. Es ist (A - - As) eine Nullmenge in H. Sei PoE SR und Np. die Nullmenge in H nach Satz 7.8. Eine offene Umgebung U yon P0 mit einer in U analytischen Menge M o ~ M .~ U existiert, wobei d i m M 0 g n - - 1 ist. Es ist z ( M o f~ A) eine Nullmenge in H. Sei Q0 E H ---('~(A--Aa)~Np.u~(MoAA)). Eine Folge P~EA mit ~ ( p v ) = Qo und lim P ~ = Po existiert. Wegen T(P ~) = Qo~ T(A -- As) ist P~ E A - - (A -- As) dr1A " " " A d/n-1

v - - > oo

= A 3. Auf A a ist/~* holomorph und/*(P~) =/~(z(P~)) = fF,(Qo). D a / * meromorph auf Gist, wird durch n--1

Lo=

f'l { P t / * ( P ) = / ~ , ( Q o ) ,

PEG}

eine in G analytisehe Menge definiert, wobei einer meromorphen Funktion an jeder Unbestimmtheitsstelle jeder Funktionswert zugesehrieben werde. Die Vereinigung L aller irreduzibeln Teile yon Lo, die in A s eindringen, ist analytiseh in G und wegen P" E L0 f~ As nicht leer. Wegen d / ~ A • • • A d / * n - 1 4 = 0 und holomorph auf A s ist L f~ As, also such L rein eindimensionat. Eine offene Umgebung b~ _~ U yon Po existiert so, dab L (~, U1 nut endlich viele irreduzible Teite Lq(O = 1 , . . . , r) hat, die komplexe Teilmannigfaltigkeiten sind und die paarweise nur den P u n k t Po gemeinsam haben. Fiir v ~ vo ist P" E 5 i q = L ~ U 1. Eine Teilfolge P ' , liegt auf einem einzigen Lq. I n U1 e=l

ist Lq f~ M 0 analytiseh und enth~lt P0. Angenommen, Lq f~ M 0 ist eindimensional. Weft Lq in U: irreduzibel und eindimensional ist, gilt Lq : M 0 = Le, d.h., Q 0 = : ( P ~ , ) E z ( L q ~ A ) = ' ~ ( L o ~ M o : A ) ~_z(Mo~A), was falsch ist. Deshalb ist Le ~ M 0 nulldimensional. Es gibt eine offene Umgebung U~ yon Po mit Lq r~ U~-----L* und L* r~ M = L* (~ M -----{Po}, so dab L* irreduzibel in U~ ist. Da z meromorph ist, da v(P~) = Qo mit lira P ' ~ = Po und P ~ E L*

Meromorphe Abbfldungen komptexer gaume. I I

417

f/Jr/x > fzo gilt, wird L* durch To(P)

T(P) fiir P ~ L* ~,A

I

Qo ffir P = Po

holomorph in H abgebildet. Wegen 3 o ( P ~ ) = @o und l i m P ~ , = Po ~ L* und P ~ L* is~ To(P ) ~ Qo, d.h. 7;(P) = Qo fiir alle @oF L* ~ A . Wegen T(P) = Qo C H - - 3 (A - - Aa) ist P ~ A a fiir alle P C L* ~ A, d. h., L* ~ A a = L ~ A a. Der Rang yon T ffir P C L* ~ A berechnet sich zu r (P) = dimp G - - dimp 3 -13 (P) = n - - dimp 3 -1 ( Qo) < n--dimpL* ~A = n-- 1 . Daher ist 0 4= L* ~ A a = L* h A ~ B ~ A - - A I ~ A - - A 3. Widersprueh! Die Menge S R ist leer, w.z.b.w. Fiir eine liiekenlose Abbildung in einen nichtkompakten R a u m ergibt sich leieht: S a t z 7.11. V o r a u s s e t z u n g . 1. Die komplexen R~ume G und H seien rein n-dimensional. Der Raum H sei zusammenh~ingend und nicht kompakt. 2. Die Abbildung v sei liickenlos. 3. Die Menge S k der R-Singularit~iten sei hSchstens abz~ihlbar. B e h a u p t u n g . Die Abbildung 7: ist R.meromorph und dann natiirlieh SRmeromorph. B e w e i s . Nach Satz 7.8 gilt H --= Z , ( P ) fiir P C SR, und nach Satz 1.2 ist ~ , ( P ) kompakt, also auch H kompakt, was falsch ist. Daher ist S R leer, W.z.b.w,

Bemerkenswerterweise wurde in Satz 7.11 nicht die Meromorphie der Abbildung v vorausgesetzt, l~brigens gibt es meromorphe und nieht lfickenlose (abet doch liickenfreie) Abbildungen, wie das Beispiel am Ende yon § 8 zeigt. Wie in der Einleitung gezeigt w~arde, gibt es wesentlich singul/~re Abbfldungen 3 : A --> H, wobei G und H n-dimensionale und zusammenh/ingende komplexe Mannigfaltigkeiten sind und M genau aus einem P u n k t besteht, in dem wesentlich singul/ir wird. Nun k a n n man die S/~tze 7.5 und 7.6 einerseits mit den S/itzen 7.8 bis 7.11 andererseits kombinieren: S a t z 7.12. V o r a u s s e t z u n g . 1. Die Menge S der singutdren Stellen der Abbildung v sei diinn yon der Codimension p - - 1 und /astdiinn vonder Codimension p > 2. 2. Der Bitdraum H sei zusammenh~ngend und p.dimensional. Wenigstens eine der ]olgenden Annahmen gelte : a) Die Abbildung 3 ist meromorph und au/ H existiert eine nichtkonsta~vte holomorphe Funktion. b) Die Abbildung 3 ist meromorph und au/ H existieren p - 1 unabhdngige meromorphe Funktionen /1, . • . , / v - l , d. h., die abgesehen yon den nichtuni/ormisierbaren Stellen definierte auflere Di//erential/orm d fl n " ' " n d [~-1 ist nicht identisch Null. c) Die Abbildung 3 ist liickenlos und H nicht kompakt. B e h a u p t u n g . Die Abbildung 3 ist R.meromorph.

418

WILHELM STOLL:

B e w e i s . Nach Satz 7.5 und Anmerkung 2 ist zu beweisen, dab die Abbildung T auf ]eder rein p-dimensionalen lokalanal)¢ischen Teilmenge L yon G, auf der L f~ M dfinn ist, wobei L ~ S = L ;~ S hSchstens abz~hlbar und diinn yon der Dimension 1 ist, R-meromorph ist. Sei (L*, Z) der zu L gehSrige komplexe ]~bertagerungsraum. Es ist T Z : X--1(A ~ L) -~ H holomorph und L * - - X-I (A ~ L) = Z - I ( L ~ M) diinn in L*. Es ist T Z regular sicher bis auf die hSchstens abz~hlbar vielen Punkte der Menge Z -1 (L ~ S ) ~ Z -1 (L ~ M). Der R a u m L* ist rein p-dimensional. Unter der Annahme a) oder b) ist T Z meromorph nach Satz 3.4, also R-meromorph nach Satz 7.9 bzw. 7.10. Unter der Annahme c) ist ~ Z lfickenlos (vgl. den Beweis yon Satz 5.3), also naeh Satz 7.11 R-meromorph. Nach Satz 5.3 ist T : L ~ A -~ H R-meromorph. Nach Satz 7.5 und Anmerkung 2 zu diesem Satz ist T : A -> H in G R-meromorph, w.z.b.w. Der Satz 7.6 gibt keine Verbesserung des Satzes 7.12 auger im Falle p = l, geht dann aber in einen Spezialfall von Satz 7.7 fiber. I m Falle einer meromorphen Abbildung ist Voraussetzung 1 von Satz 7.12 von selbst ffir p = 2 erffillt; denn nach Satz 3.6 ist S dfinn und yon der Codimension 2 fastdfinn. Die Bedingung 2 b) besagt im Falle p = 2, dal3 es eine meromorphe Funktion mit nicht identisch verschwindender Ableitung, d. h. eine niehtkonstante meromorphe Funktion auf H gibt. Es folgt also: S a t z 7.13. Gibt es au/]eder zweidlmensionalen Zusammenhangskomponente des zweidimensionalen ]complexen Bildraumes H der li~cken/reien Abbildung 7c eine nichtkonstante meromorphe Funktion, so ist T dann und nur dann R-meromorph, wenn v meromorph ist. Mittels der Bedingung e) erhiilt man: S a t z 7.14. Gibt es auf ~eder kompakten Zusammenhangskomponente der Dimension 2 des zweidimensionalen ]complexen Bildraumes H der li~ckenlosen Abbildung v eine nicht]constante meromorphe Funktion /, so ist T dann und nur dann R-meromorph, wenn "c meromorph ist. Speziell ist eine li~ckenlose Abbildung 1: in einen nicht]compakten, zusammenh~ngenden komplexen Raum der Dimension 2 oder I immer R-meromorph.

§ 8. Meromorphe Modifikationen Nun sollen die vorhergehenden Ergebnisse auf meromorphe Modifikationen [G,A,M,T~ angewandt werden. Nach STOLL [16] liegt eine M odi/ikation ~ : ~ n \ H, B, N, v ] vor, wenn gilt: 1. G und H sind rein n.dimensionale ]complexe R5ume. 2. Dutch T wird die of/ene Teilmenge A yon G umkehrbar holomorph auf die o~/ene Teilmenge B yon H abffebildet. Es ist v -~ v -~ : B ~ A. 3. Es sind M -~ G -- A diinn in G und N -~ H - - B d~nn in H. Die Umkehrung ~ - 1 =

~ln \G, A, M,

ist wieder eine Modifikation. Die

Modifikation ~rt heiBt often, wenn r ( U ~ A ) v N ffir jede o[[ene Umgebung U

Meromorphe Abbildungen komplexer R~ume. II

419

yon M often ist, was genau dann der Fall ist, wenn v lfickenlos ist2°). Die Modifikation ~ heiBe beiderseits o/fen, wenn ~ und ~ - 1 often sind, d. h. wenn v und z lfiekenlos sind. Eine Modifikation heil3e li~cken/rei (liickenlos), wenn es ist; sie heil]e beiderseits liicken/rei (liickenlos), wenn T und v es sind. Die Modffikation heil~e meromorph (schwach meromorph, R-meromorph, SR-meromorph), wenn es ~ ist. Sie heiBe beiderseits meromorph (schwach meromorph, R-meromorph, SR-meromorph), wenn 9~ und 9~ -1, d. h. z und v e s sind. Eine R-meromorphe Modifikation ist offensichtlich beiderseits R-meromorph, well der Graph yon T in den yon v dureh die Transformation (P, Q) -+ (Q, P) fibergeht. Eine Modifikation heigt holomorph, wenn v in jedem P u n k t yon N regul~.r ist. Eine holomorphe Modifikation ist beiderseits R-meromorph (und natiirlich auch beiderseits sehwaeh meromorph). Eine Modifikation heige trivial, wenn sich ~ zu einer holomorphen und eineindeutigen Abbildung T * : G - ~ H auf H ibrtsetzen l/~Bt. Der Graph der Modifikation T/l sei der Graph von ~ fiber G. S a t z 8.1. Ist die Modi[ikation f~l = ~ \H, B, N, v] R-meromorph, so gibt es einen komplexen Raum K und zwei holomorphe Modi/ikationen ~ , = _ /G, A, M, vl\ ~ , , _.. Ill, B, N, vl

wobei ~zl(P)=v(P) ~pVl(Q) = v(Q)

/iir /iir

P~A Q EB

gilt und wobei ]ede konvergente Folge P~C A, deren Bild/olge T(P') konvergiert, eine Teil/olge p~t, hat,/iir die v 1(P~) konvergiert. Z u s a t z 1. Ist Q ~ B und konvergieren die Folgen Q~ und v(Q~), so konvergiert vl ( Q~,) /iir eine geeignete Teil/oOe vs. Z u s a t z 2. Sind YJo, q% die Fortsetzungen von yJ bzw. ~v au/ K, so ist X~(Po) = % YJo1 (P o)/iir Po CM und Z~ (Qo) = % q% 1(Qo) [iir Qo ~ N. Z u s a t z 3. Man kann /iir K speziell den Cartanschen [)berlagerungsraum T* des Graphen T wdhlen, wobel Z : T*--> T die zugehSrige Projektion sei. Sind : ? ~ G und ~ : T ~ H die Pro]ektionen ~(P, Q) = P und ~(P, Q) = Q, so ist dabei ~ = ~ g und ~v = ~ g. Z u s a t z 4. Wenn ~: liickenlos, d. h. 9~-1 olden ist, so ist % eigentlich. Wenn insbesondere 9~ beiderseits o//en ist, so sind % : K --> G und q%: K -+ H eigentlich. Z u s a t z 5. Wenn n = 2 und in A keine nichtuni/ormisierbaren Punkte liegen, so kann man/iir K eine komplexe Mannig/altigkeit wdhlen. B e w e i s . Der Graph T ist analytisch in G × H. Sei (K, Z) = (T*, Z) der zugehSrige ~bertagerungsraum. Seien ~ : T - + G und ~ : T - + H die Pro]ektionen ~ ( P , Q ) = P und ~ ( P , Q ) = Q . Es sind % = ~ x : K - ~ ( 7 und % = ~ Z : K ~ H holomorph. Durch "~(P) = (P, v(P)) wird A u m k e h r b a r holomorph auf T m i t ~-1_= ~ ] T abgebildet. Der Graph T der holomorphen Abbildung v : A -+ H ist lokalirreduzibel. Daher ist X : X-l(T) -~ T holomorph umkehrbar. Durch ~ = Z - l t T wird T holomorph auf die offene Teilmenge 20) Siehe STOLL[16], Satz 2.3. Math. Ann. 136

~9

420

WmH~

S~o~L:

X-I(T) -~ 0 yon K abgebildet mit ~-1= Z I O. Die Abbildung TI= ~ v : A -~C ist holomorph umkehrbar. Die Umkehrung ist yJ = ~ - 1 ~ - 1 = ~ Z i C = YJolC. Da S = K - - C = K - - Z-1 (T) = Z-1 ( T - - T) auf K diinn ist, wird dutch T/l' eine holomorphe Modifikation definiert. Ebenso wird dutch ~ " eine hotomorphe Modifikation definiert, wenn man vl = ~ v : A -~ C und ~ = ;-1 ~-1 = ~ z i o = ~ol o setzt.

Fiir P ~ A und Q ~ B gilt vl(P)=~Z~(P)=~(P,T(P))

v2v~(Q)=~Z~ ~(Q)-~v(v(Q),Q)

=v(P)

=v(Q).

Ist P'E A eine konvergente Folge, deren Bildfolge T(P ~) konvergiert, so konvergiert ~(P~) = (P', T(P')) -~ (P0, Q0) ET ffir v -+ co. Da Z: K ~ T lokaleigentlich mit z ( K ) = T ist, gibt es eine konvergente Folge P ~ K mit X(P'~) = ~ ( P ~ ) . Da ~(P'~) ET ist, folgt P ' ~ = Z-IT(Pv~) =TI(P'~ ). Die Folge z 1(P~v) = P,a konvergiert. Der Satz und Zusatz 3 sind bewiesen. B e w e i s zu Z u s a t z 1. Sei Q~E B und lim(v(Q~), Q~) = (P, Q). Dann kon,-~oo

vergiert VlV(Q',)=Vly~Vl(Q TM) = v l ( Q ~v) ffir eine geeignete Teilfolge Q~,, w.z.b.w. B e w e i s zu Z u s a t z 2. Sei QoEX~(Po)ffir POEM. Eine Folge P'EA mit lim(P', T ( P ' ) ) = (Po, Qo) existiert. Ffir eine Teilfolge P ~ konvergiert v--+ oo

zl(P'p) -~ R o ffir /~ ~ co. Es ist ~0ovx(P~) = T(P~), also ~0o(Ro)= Qo und P ' p = ~%TI(P'v), also P o = %(Ro), d. h., Qo= %(Ro) E (~o~Vol(Po). Sei QoE 9o~pol(Po) ffir PoE M. Ein RoE K mit %(Ro) = Qo und ~o(Ro) = Po existiert. Weil Po E M i s t , geh6rt Re zu S; nun ist aber S diinn auf K, also gib~ es eine Folge R'E C mit l i m B ' = R o. Es ist y)(R~) E A mit lira ~v(R~) v-c- oo

,-->

oo

= ~ ( R o ) = Po- Es strebt v y~(R')= ~Vl~O(R') = ~(R ~) -+ %(Ro) = Qo ffir -+ co. Also ist Qo E X,(Po). Insgesamt folgt 27~( P o ) = 9 o ~°ol (1='o)fiirPo E M. Ebenso beweist man ,E~(Qo) = Vo ~ ~oo(Qo) fiir QoE N. B e w e i s z u Z u s a t z 4. Sei z lfickentos. Sei 15 _g G kompakt und R'E E ~Oo~(L). Eine Folge R~E U mit limRt] = R" existiert. Sei E eine Metrik auf G pt-~

c~

mad a eine Metrik auf K. Da L kompakt ist, kann man eine - - wieder mit R" bezeichnete - - Teilfolge auawiihlen, fiir die v/o(R") -> Po fiir v-~ co strebt. Es ist PoE L. Es strebt ~o(R~) -~ ~o(R ~) fiir/L -~ co. Fiir eine Folge tu, ist

e ( ~ (R" . , ) , V'o(R')) <

und ~ (R;,, R') < T

Es ist 1 q(~0o(R~,), P o ) ~ ~- + E(~oo(R'), Po). Daher strebt % (R" ~ , ) -~ Po ffir v -~ co. Da % ( ~R', ) E A ist, gibt es eine Teilfolge z~'a= R~a mit l i m ( % ( ~ a ) , ~ %(i~va))= (Po, Qo). Also konvergiert fiir A--~CO

oine mit Rao= R ' ~ bezeichnete Teilfolge die Folge , ~ o ( R ~ ) - , R o f'tir E-~ co"

Meromorphe Abbildungen komplexer Riiume. I I

421

Das heil~t lim R ~ = R o. Aus 1 ~ ( R % , Ro) ~ a (R o, R~) + -~folgt limR~ae = R 0. Da L ' = ~Ool(L) abgesehlossen und R"% ~ L ' ist, folgt R o C L' 0--+00

und damit die K o m p a k t h e i t yon L'. Daher ist ~0o eigentlich, w.z.b.w. B e w e i s z u Z u s a t z 5. Sei n = 2. Seien !~2l', T~" zun~chst bestimmt wie in Zusatz 3 und YJ0, ~°o wie in Zusatz 2. Es ist K ein rein zweidimensionaler komplexer Raum. Da A keine nichtuniformisierbaren Punkte enth~lt, hat aueh C = T1(A) keine nichtuniformisierbaren Punkte. Die Menge E der niehtuniformisierbaren Punkte ist vielmehr in S enthalten. Sie besteht nur aus isolierten Punkten. Naeh HIRZEBI~UCH [8] gibt es eine beiderseits offene holomorphe Modifikation

wobei K* eine komplexe Mannigfaltigkeit ist. Die Abbildungen vl~ = ~ T1 : A -* ~ C* mit C* = ~ (C) = K* und v~ = ;t vl : B -~ C* sind umkehrbar holomorph mit ~o*=(v~) -a = ~ ~ = ~o~ol C*, und ¢P* =(v~) -1 = ~ ~ = ~o~o1 C*, wobei a0: K*-+ K die analytische Fortsetzung yon q ist. I n K* ist S * = K - C* = a o 1 (K - - C) = a o 1 (S) = 2(S ~ D) ~J S diinn. Also werden dutch ( G , A, M, ~*~ und ~ * * ~(H, B, N, v*~ ~/~* == ~ 2 , C*, S*, ~o*] = K*, C ~, S*, ~o*] holomorphe Modifikationen definiert. Ffir P C A und Q ~ B gilt 9*T~ (P) = 9 a ~ vl(P) = ~0Zl(P ) = v(P) ~*vi* (Q) = ~ a ~ Vl(Q ) = 9 Vl(Q ) = v(Q). I s t P~ ~ A eine konvergente Folge, deren Bildfolge z(P*) konvergiert, so gibt es eine - - wieder m i t P~ bezeichnete - - Teilfolge, ffir die z~(P~) ~ C konvergiert. I s t R 0 = lira ~I(P") ~ D, so konvergiert ~* (P~) = ~ ~ (P~) -+ ~(Ro) fiir Y-~00

v -~ oo. I s t R0~ E, so gibt es eine Teilfolge Zl(P~,), fiir die ~zx(P~v) = ~*(P~) konvergiert, da ~R beiderseits often ist. Zusatz 5 ist bewiesen. Wie nun gezeigt werden soll, stimmen die beiden Meromorphiebegriffe ffir n = 1, 2, 3 fiberein.

[ 6t, A, M, ~:'~ .

S a t z 8.2. Sei TR= ~ n ~ U , B , N , vje,ne Modi/ikation.

Sei S~ die Men~e der R.SinguIaritdten yon v und S~ die Menqe der R.Singularit~en yon v. Dann wire[ der Graph T yon v i~er A hSchatens au/ S~ × S~ singuliir, spezieU hSchaens au/ M × N. Es iat ( ~ - - T ) g M × N. B e w e i s . Sei (Po, Qo) eine singulare Stelle yon T. ])ann gehSr~ Po zu S~ nach Definition yon S~. Es ist T = {(v(Q), Q)] Q ~ B} der Graph yon v und (Po, Qo) singularer P u n k t yon T. Also ist Qo ~ S~ R-singulgre S t , fie yon v. Es ist ( P o, Q0) ~ S~ × S~. I s t ( P o, Qo) ~ T - - T , so ist P0 ~ M, weft T Graph yon ~ fiber A und Qo ~ N, well T Graph yon v fiber Bist. Also ist T - - T g M × N, W.z.b.w,

29*

422

WILHELM STOLL :

S a t z 8.3. I m Fall n ~ 1 ist ]ede Modi/ikation f2R R-meromorph und ]ede beiderseits o//ene Modi/ikation trivial. B e w e i s . M und N sind analytisch und nulldimensional, also auel~ M × N. Daher 1/iBt sich die rein eindimensionale analytische Menge T, die hSchstens auf M × N singul/ir wird, in G × H durch T ana.lytiseh fortsetzen. 9~l ist R-meromorph. Fiir jeden P u n k t Po ( M i s t 2:~ (Po) <=N, besteht also hSehstens aus isolierten Punkten, also hSchstens aus einem Punkt. Ist 97l 4 often, Mso T liickenlos, so ist 2J~(Po)4 0 fiir jedes Po~ M, also besteht Z~(Po) aus genau einem Punkt. Die Abbildung T ist zu einer holomorphen Abbildung v0 : G -> H fortsetzbar. I s t auch 92l often, so ist v zu einer holomorphen Abbildung To: H--> G fortsetzbar mit Tovo(Q ) : Q ffir Q ~ H und VoTo(P) = P fiir P ~ G. Daher ist To eine konforme Abbildung yon G auf H, w.z.b.w. S a t z 8.4. I m F a l l e n ~ 2 ist jede schwach meromorphe Modi/ikation ~2R

=9112 \H, B, N, R-meromorph. Ist Po eine singuliire Stelle der 8chwach meromorphen Abbildung v, so ist Z~ (Po) leer oder eine rein eindimensionale analytische Me~u2e. Es ist v reguliir au/ Z~( Po), abgesehen yon einer h6chstens abziihIbaren Menge DR. Ist vo die Fortsetzung, so ist To(Q) : Po /i~r Q ~ 2,~(Po) - - DR. Ist S o die ilfenge der singuliiren Stellen yon T, die Iceine Liiclcen sind (d. h., ,S~(Po) 4 0), so ist S o hSchstens abzi~hlbar. B e w e i s . Weil Z~(M) _g_N und N diinn yon der Dimension 1 ist, ist T R-meromorph gem~B Satz 7.7. Also ist T analytiseh in G × H. Es ist {Po} × × Z~(Po) = ({Po} × H) ~ .~Tanalytisch, d. h. Z~(Po) analytisch. Ist Z~(Po) ~= 0, so besteht 2J~(Pe) entweder aus genau einem Puukt, dann ist T in Po regul/tr, oder es enth/ilt Z~(Po) mehr als einen Punkt; dann hat Z~(Po) in jedem P u n k t yon Z~(Po) eine Dimension grSl~er als Null, ist diinn und analytiseh, folglich ist 2:~(Po) analytiseh und rein eindimensional. Sei ~ o : T ~ G die nattirliche Projektion. Die Fasern der Projektion sind ({Po} × H) c~ ~ = {Po} × ~ ( P o ) , d. h., der Rang der Abbildung ist kIeiner als zwei in (Po, Qo), dann und nur dann, wenn /)0 singul/~rer P u n k t von z ist. I s t S die Menge der singul£ren Stellen von T, so ist also S1-----y)-l(S) analytisch und rein eindimensional oder lear. Es ist Ip ( S 1 ) = ~p~p-I(S)~ So die Menge der singul~ren Stellen von T mit 2:~(Po) ~= 0. Es ist S I = I.I {Po} × X~(Po). Da [{Po} × 2:~(Po)] ~ [{PI} × P~ESo × 2:~(P1) ] = 0 fiir P o 4 P1 ist, ist Po × 2J~(Po) Vereinigung yon irreduzibeln Teilen von S 1 oder leer. Da S 1 hSchstens abz/ihlbar viele irreduzibele Teile hat, enth/ilt S OhSchstens abz/~hlbar viele Punkte. Fiir v gelten dieselben Aussagen wie ffir T. Sind S~ die Menge der singu1/iren Stellen van v und S o die Menge der singul/iren Stellen, die keine Liicken sind, so sei Dpo = X~(Po)~ 8~. Es ist Dpo h5ehstens abzghlbar. I s t Qo c, Z~(Po)--Dp,, so gibt es eine Folge P ~ 6 A mit lim (P', T ( P ~ ) ) = (Po, Oo)v--~oo

Wegen T(P ~) ~ B und v v ( P ' ) = P" ist Po~ 2J~(Qo), d. h. X,(Qo ) 4 0 . Also ist Qo ~ S~, - - No und Qo ¢ So. Also ist v in Qo regul/ir. Fiir die Fortsetzung Vogilt: w.z.b.w.

vo(Qo) = lira vov(P') = lim v T(P') = lira P ~ = P o , ~-~ ~-*~ ~-*~

Meromorphe Abbildungen komplexer R~ume. I I

423

Aus Satz 3.7 folgt sofort: Z u s a t z . Ist ~fR-1 o/fen, also T liickentos, so ist S = S o. Es ist S analytisch und h6chstens nuUdimensional, besteht also hSchstens aus isolierten Punkten. Der Satz 8.4 m i t Zusatz ist eine Verallgemeinerung des ,,Hauptsatzes fiber meromorphe Modifikationen", wie er von STOLL [18] bewiesen wurde. Aus Satz 8.1 mit Zusatz 5 und dem Satz von HOPF (STOLL [19], Satz 11.1 und STOLL [20], Satz 14.1 und Satz 14.2 und HOrF [10]) folgt dann unmittelbar, da~ man jede schwach meromorphe, insbesondere jede beiderseits meromorphe Modifikation zwischen komplexen Mannigfaltigkeiten dureh a-Prozesse und Umkehrungen von a-Prozessen ,,aufl5sen" kann. Somit haben sich die wesentlichen Resultate yon STOLL [18, 19 und 20] wieder ergeben, und zwar in einer etwas altgemeineren Form, n~mlich: 1. Die Mengen M sind bier in einem etwas allffemeineren Sinne diinn. 2. Die Modi/ikation ~ braucht nicht beiderseits o/fen zu sein. 3. Die Menge ~v~(Po) ist aIs analytisch nachgewiesen. Andererseits gelten die hiesigen Ergebnisse nur /fir komplexe Ri~ume, bzw. Mannigfaltigkeiten m i t einer abz~hlbaren Basis der offenen Mengen. Genauso wie Satz 8.4 beweist man S a t z 8.5. Wenn ~ = T q n \ H , B , N ,

eine schwach meromorphe Modi-

/ikation und N di~nn yon der Dimension 1 ist, so ist ~ R-meromorph. S a t z 8.6. Ira F a l l e n = 3 ist eine beiderseits meromorphe Modi/ikation R-meromorph. B e w e i s . Sei S ~ die Menge der Singularit~ten von ~ und S" die Menge der Singularit~ten von v. Sei T der Graph von v. I n G × H - - S ~ × £" ist T - - - ~ × S" analytiseh und frei yon der Menge S ~ × S', die in G × H d finn yon der Dimension 4 und fastdfinn v o n d e r Dimension 2 ist, wie sofort aus Satz 3.6 fo]gt. Nach Hilfssatz 6.8 ist T analytiseh in G × H, w.z.b.w. Sei !Eq = 7.~ln \H, B, N, v/ eine Modifikation.

Seien G und H zusammen-

h~ngend. Seien K(G) der KSrper der meromorphen Funktionen auf G und K (H) der KSrper der meromorphen Funktionen auf H. Da ~ (A) = B nicht in der Menge der Pol- und Unbestimmtheitsstellen irgendeiner Funktion / ~ K (H) enthalten ist, wird durch ~ (f) ----] v eine meromorphe Funktion auf A definiert. Sei K~ (H) die Teilmenge der f E K (H),/fir die sich ~ (f) zu einer in G meromorphen Funktion ~* (f) fortsetzen l~Bt. I s t T* (f) ~ 0, so ist f v ~- 0 a u f A , d. h. / ~- 0 auf B, d. h. f ~ 0 auf H. Daher ist K" (H) ein K6rper und v* : K" (H) •~> K(G) ein K6rperisomorphismus in K(G). I s t / ~ K~ (H), so gilt T* (/) -----/ T auf G, abgesehen yon einer dfinnen Menge (n/~mlich M und der Menge der Pol- und Unbestimmtheitsstellen yon ~* (/)). Es ist T*(/)v = / T v = / , abgesehen yon einer diinnen analytischen Menge auf B, wobei / die Funktion v* (/)v meromorph in H fortsetzt. Daher ist z*(/)EK',(G). Das heiBt, es ist ~:*(K~(H))~_K~,(G). I s t /~K~,(G), so ist v*(f) E K'(G) und / = 7:*v*(/) C "c*(K'(H)). Daher ist T* : K'~(H) ~ K:,(G) ein Isomorphismus auf K" (G). Der Satz 4.5 ergibt nun:

424

WmHELM STOLL:

S a t z 8.7. Sei T~ eine Modifikation zwischen M-voltstSndigen, zusammenhdngenden komplexen Rdumen G und H, die beiderseits liickenb'ei ist. Dann sind die/olgend~n Aussagen dquivalerd. 1. Die Modi/ikation 92l ist meromorph. 2. Die Modi/ikation T1-1 ist meromorph. 3. Die Modl/ikation ~ ist R-meromorph. 4. Die Modi/ikation T1-1 ist R-meromorph. 5. K~ (H) -----K (H), d. h. ~ de/iniert einen Isomorphismus von K (H) in K (G). 6. K~ (G) = K (G), d. h. ~ de/iniert einen Isomorphismus yon K (G) in K (H). 7. K~(H) = K(H) und K~(G) ----K(G), d. h. T* : K(H) ~ K(G) ist ein Isomorphismus des KSrpers der meromorphen Fun~ionen au/ H au/ den KSrper der meromorphen Funktionen au/ G. B e w e i s . Aus 1 folgt 3 nach Satz 4.5. Aus 3 folgt trivialerweise 4. Aus 4 folgt 2, well v lfickenfrei ist. Aus 2 folgt 1 wegen !~ = (~)~-1)-1. AI:IS 1 folgt 5 und aus 5 folgt 1 gem~B Satz 4.5. Aus 2 folgt 6 und aus 6 folgt 2 gem~B Satz 4.5. Aus 5 folgt 1, aus 1 folgt 2, aus 2 folgt 6, aus 5 und 6 folgt 7 und aus 7 folgt 5 und 6. Also sind alle Aussagen ~quivalent, w.z.b.w. Eine beiderseits lfickenfreie Modifikation zwischen M-vollst~ndigen, zusammenh~ngenden komplexen l ~ u m e n ist also dann und nur dann (beiderseits) meromorph (R-meromorph), wenn die Modifikation einen Isomorphismus der K6rper der meromorphen Funktionen bewirkt. Eine liickenlose Abbfldung braucht nicht lfickenfrei zu sein, wie jetzt in einem Beispiel angegeben werden sollZl). Seien

M=Ro={(z l,z~)lz2=0},

A =G--M,

P o = (0, 0),

Ao= G-- M o .

M o = {Po},

I m Ursprung Po werde ein a-ProzeB ausgefiihrt, d . h . eine holomorphe beiderseits offene Modffikation [Go, Ao, Mo, ~r~) ~ 1 ~" ~ 2 ~O1 B1 ' N1 ' Vl '

die durch die Forderung, dab G1 eine komplexe Mannigfaltigkeit und N 1 eine eindimensionale, kompakte, zusammenh~ngende, komplexe Teilmannigfaltigkeit ist, bis auf analytische ~quivalenz eindeutig bestimmt ~) ist. Es ist a 1(R0) = R I und R 1 A N I = (P1} -----M r Ein Atlas 111= {Urn Ul~} auf G1 existiert mit in Ulo lokalen Koordinaten x~, Yl~, so dab die analytische Fortsetzung v~ von Vl durch za= Xll / auf e l l und Z l = a u f U12 Z2 = Xll Y~/ Z~= XX~ J

Xl2Yl2[

8~) Dieses Beispiel wurde zu einem anderen Zweck zuerst yon H. HorF [10], S. 145 angegeben. ~J) Siehe H o ~ [10] und STOLL[19].

Meromorphe Abbildungen komplexer Rliume. I I

425

gegeben wird. Auf Ult ~ UI~ ist y114= 0 mad y124= 0. Es ist N1 ('~ U I , = {(Xlv, Yl~) I Xlv---~0} R 1 = R 1 ('x Ull = {(Xll , Yll) ] Yll = 0} AI = G1-- i l

P l : x11= Y l I = 0 .

~bt, man nun in P1 wieder einen 6-ProzeB aus, so erh/~lt man durch induktive Konst~alktion eine Folge yon q-Prozessen:

(G,_~, A,,_~, M,,_~, ~ v = Tl, G.

By,

N.,

) a, v~

(v = 1, 2, "" .)

und eine Menge yon rein eindimensionalen irreduzibeln analytischen Mengen R~, N~(/x = 1. . . . . v -- 1) so, daft gilt a) Auf G~ existiert ein Atlas 11~ = {U~l . . . . . U.,~+I} mit lokalen Koordinaten x~,~,, y~,. auf U~, so dab die holomorphe Fortsetzung v* yon v~ auf G~ durch Xv--1, 1 -~" Xv, 1

[

/ a u f U~, 1 Y~-l, 1 ~ x~, 1Y,,, 1)

x . - 1 , 1 = x~'2Y~'~ I auf U.,~ Yv-1, 1 -~ Xv, a

J

Xv-l,vt xv, l~ + l auf U.. Yv-l,v ~---Y~,v+I )

fiir # = 3 . . . . , v + 1

gegeben wird, wobei Y~I# 0 und Y~2# 0 auf Uvl (N Ut2 sind. Es ist N . ~ U~v---- {(x,,v, y~v) I x~.= 0} ffir /x = 1, 2 , /V~ U~=0

ffir /x ----3 . . . . .

v + 1.

b) Es ist R~= R.f~ U.,1-----{(x,. 1, Yr, 1) I Y.,I-= 0}

v,,(R,,) = R,._ 1 {P.} -= M,,-----R,, t~ N,, mit P.: x..1----- y . , t = 0 . c) Es ist ,,--1

G~--a~. . .al(Ao)~- N~= N ~

U N~,

wobei N~ und N~ kompakt und die irreduzibeln Teile yon ~ r sind. Fiir = 1 . . . . , v -- 1 ist N~ = a , a ~ - l . . • aj,+2a~,+x(N~,(~At,) kompakt. d) Es gilt G ~ - - a , . . . a I ( A ) - - - - R ~ N ~ , wobei R~ irreduzibeler Tell yon hT~u R~ ist. Die Mannigfa|tigkeiten A, soUen nun entlang den offenen Teilmengen ~A~ ffir v ~ ~u a . . . . av+l(Av) ftir v > #

426

WILHELM STOLL"

verm6ge der Abbildungen

[% . . . a v + l

yf,~= ~Identit~t

ffir fiir

v~# v~ #

'(v~+l...v~

ffir

~>#

identifiziert werden. Durch y,~ wird A , , ~ A~ umkehrbar holomorph auf A~, abgebildet. Die Voraussetzungen des Identifizierungssatzes lassen sich leicht nachpriifen23). Also gibt es eine zweidimensionale komplexe Mannigfaltigkeit H und umkehrbar holomorphe Abbildungen H~ von A~ auf die offene Teilmenge H~ von H so, dab gilt 1. H =

UH,,

2. H~/% H , = H~(A,~) = H, ( A ~ ) , 3. Ffir Q ~ A , , gilt H;1H.(Q) = y,v(Q). Seinun~=H 0{AundB=T(A)

undN:H-Bundv=~-l.

Esist

N/% H~ = H~(A~) - - H~( a ~ . . . ~ (A)) = H, (A~ r~ (R~ ~ h~,)) v--1 p=l

Daher ist N ~ H~ analytisch und rein eindimensional und hat die irreduzibeln Teile H~(A~~ R , ) , H~(A~f~N~), H~(N~). Daher ist 2V analytisch und rein eindimensional. Da H~(N~) __ v gilt n/imlich

Da 2V~- 1 und N ; - 1 verschieden kompakte irreduzibele analytische Mengen der Dimension 1 sind, besteht 2V£~-1 ;7 N~71 ffir # q= v hSchstens aus endlich vielen Punkten, also sind 5~ und ivy versehieden fiir # q= v. 2. Es ist Tl = TI 2 \H, Be iV, eine holomorphe Modifikation. Offensiehtlich ist ~ eine Modifikation. Die Abbfldung v,: B~-~ A,_ 1 l~Bt sich holomorph zu v* : G~-~ G,_1 fortsetzen. Also wird v l . • • v~ : A0,--> A 0 dureh v* v ~ . . . v~* : G~-->G holomorph fortgesetzt. Auf H~ ist v~ . . . v~* H j I : H ~ A 0 holomorph. A u f H 0 f~H~ i s t a o l = 70,H~ 1 ----Vl. • • v~H~-1___V~ . . . V~*H~-1. Well H~-- H 0 dfinn ist, wird Ho 1 auf H~-- H 0 reguliir und l~Bt sieh eindeutig in H~ fortsetzen. Also ist v = Ho l { B auf H~-- B regular, d. h., v lal]t sich holomorph zu v* : H -~ GO fortsetzen, wobei v(Q)=v~...v*H;~(Q) gilt. Die Modifikation ist holomorph. 88) Siehe z. B. STOLL[19], Satz 10.1.

fiir Q ~ H ~

Meromorphe Abbildungen komplexer Raume. I I

427

3. Es ist (v*)-l(Po) = X~(Po) ---- U 2Vv. Es ist nitmlich v=2

v*(Nv) = vL. • v*~;-l~(~V~-~) :v~..

'

= v L . . v~* ay(N~_1A A,_I)

v~*_l(~'~._l~Av_l)=v~..

•

v~-2({P~-2}) : {Po}, *

co

d . h . , U Nyc= (v*)-l(Po). Sei QoE Z,(Po). Eine Folge PyE A m i t l i m ( P ~, T(P~)) : (Po, Qo) existiert. Sei ~ die kleinste ganze Zahl m i t Qo E Ha. Es ist Q o : ~(/~} m i t P E A~. Es strebt

a~a~.., al(P ~) = a o ( P ~) -> a~(P) a~...al(P~)-->P az_~...al(P')-->v~(P)

fiir f/Jr ffir

v -~ c¢, d . h . ~-+c~, d h. ~--> ~ .

W/ire v ~ ( P ) ~ A z - 1, so w£re a~_lvl'(/~) = ~ ( / ~ ) = Qo, d . h . , QoEH~_I, wo,s falsch ist. Also ist v~(J~) = P~, d.h., P E (v'~)-~(P;.) EN~ und a~+~(P) E 0"~+1

(N). (', AX) C=N~+ 2, d. h. oo

Dara,us folgt U2V~= U ~ ( N i - i ) ~ ZdPo). Ist v*(Qo)= Po, so gibt es eine ~=2

Folge

~=2

Q~EB m i t

limQ~--- Q0. Es

ist

v(Q ~) EA

undlim(v(Qy),vv(Q~))

y-~o~

y->co

= (v*(Qo), Qo) ~- (Po, Qo)" D a h e r ist Q0E Z~(P0)- I n s g e s a m t folgt (v*)--~(Po) :

(~/Vy: Z,(Po) .

4. Die Abbildung ~: : A .-~ H ist li~cken/rei und sogar meromorph. Denn sei L eine eindimension~le komplexe Teilmannigfaltigkeit m i t L ~ M ~ ~ f ~ M : {Po}. Sei v eine N u m m e r , ffir die (xy(r~_1 . . . ( r ~ ( P ) --> Py ffir P - > P0 m i t P E L ~ A strebt. ])ann ist Q ~ a ~ . . . a~(P)E U~I, wenn P gen/igend nahe bei Po ist. Seien x~, y ~ die K o o r d i n a t e n von Q und z~, z~ die yon P. Es ist z~:p 0. Man h~t z~-----x~, z~= x ~ y,~, d . h . x y ~ : z~, y ~ - gl

Sei z ~ 0 a u f L. D a n n ist

z ~ - t~gl(t), z~= tqg~(t) fiir Itl < (~ m i t p ~ 1 u n d q ~ 1 eine P a r a m e t e r d a r s t e l t u n g y o n L in einer U m g e b u n g des Nullpunktes, wobei g,(t) in Itl < ~ holomorph m i t g,(0) =P 0 ist. Es streben

Alsoistq--vp>0,

t~g~(t)-~x,~O

fiir

t-+0

tq_, v -g~(t---)g~(t) = Y~-+ 0

ffir

t --> 0 .

d.h,,v<

ffir P - > Po m i t P E L ~ A .

P " I s t z~-~ 0 auf L, so strebt ql --q

( P ) --~

P{ 4= P~

Also gibt es eine N u m m e r v so, dab a , . ,, a~(P)

428

WILHELM STOLL"-

n i e h t gegen P , ffir P - ~ P0 m i t P E L c~A konvergiert. D a a b e r a ~ . . . a 1 m e r o m o r p h ist, s t r e b t a ~ . . . a i ( P ) -~ 1~ fiir P -~ P0 m i t P ~ L f~A, wobei P E A~ ist. E s folgt

v(P)=o~o(P)=~,a~...a~(P)-',~(P)

fiir P-> Po m i t P c L ~ A .

D i e A b b i l d u n g v ist liickenfrei in Po. I s t L eine e i n d i m e n s i o n a l e k o m p l e x e T e i l m a n n i g f a l t i g k e i t y o n G mig L f~ M = L ~ M = {J°} u n d P + Po, so s t r e b t

~:(P) = oqa~(P)

--->

alO*l(P )

ffir P ~ P0 m i t P ~ L f~A .

Die A b b i l d u n g ~ ist lfiekenfrei u n d sogar m e r o m o r p h . D a ihr G r a p h a n a l y t i s c h • ist, ist sie auch R - m e r o m o r p h . 5. Die Abbildung ~ : A -+ H ist (in Po) nicht liickenlos; d e n n 2:,(P0) ist a n a l y t i s c h , rein e i n d i m e n s i o n a l u n d h a t u n e n d l i c h viele irreduzible Teile, ist also n i c h t kompakt~*). D a m i t ist ein Beispiel einer lfickenfreien, ja sogar m e r o m o r p h e n u n d Rm e r o m o r p h e n A b b i l d u n g gegeben, die n i c h t lfickenlos, also a u c h n i c h t SRm e r o r n o r p h ist. Diese A b b i l d u n g d e f i n i e r t sogar eine h o l o m o r p h e Modifik a t i o n TI. Die B f l d m a n n i g f a t t i g k e i t l£I]t sich r d c h t so erweitern, dat] ~ merom o r p h bleibt, a b e t lfickenlos wird, d a 2:, (P0) a n a t y t i s c h ist u n d bereits abz/ihtbar viete k o m p a k t e irreduzibele Teile hat. Literatur [1 ] AEPI'LI, A. : Modifikationen yon reellen und komplexen Mannigfaltigkeiten. Comm. Math. Helv. 81, 219--301 (1956). - - [2] BEH~KE, H., u. K. STEIn: Modifikationen komplexer Mannigfaltigkeiten und Riemannscher Bereiche. Math. Ann. 124, 1--16 (1950). - [3] CARTAN,H.: S6minaire ]~c. norm. sup. Paris 1951/52 (hektographiert). - - [4] GRAVERT, H. : Charakterisierung der holomorph vollst~ndigen komplexen R~ume, Math. Ann. 129, 233--259 (1955). - - [5] Gm~UERT,H., u. R. RE~MERT: Zur Theorie der Modifikationen. I. Stetige und eigentliche Modifikationen komplexer R/~ume. Math. Ann. 129, 274--296 (1955). - - [6] GnAUEaT, H., u. R. REMMERT: Singularitaten komplexer Mannigfaltigkeiten und Riemannscher Gebiete. Math. Z. 67, 103--128 (1957). - - [7] GRAV~RT, H., u. R. RE~MERT: Komplexe t~ume. Math. Ann. 136, 245--318 (1958). - - [8] HInZEB~ULm, F.: ~A~aer vierdimensionale Riemannsche F1/ichen mehrdeutiger analytischer Funktionen yon zwei komplexen Ver/~nderlichen. Math. Ann. 126, I---22 (1953). - [9] HOPF, H.: t.~ber komplex-analytische Manmgfaltigkeiten. Rend. Mat. appl. Ser. V, 10, 169--182 (1951). - - [I0] HoPF, tI.: Schlichte Abbitdungen und lokale Modifikationen 4-dimensionaler komplexer Mannigfattigkeiten. Comm. Math. tIelv. 29, 132--155 (1955).-[11 ] REMMERT, R. : Projektionen analytischer Mengen. Math. Ann. 180, 410--441 (1956).-[12] REr~ERT, R.,: Holomorphe und meromorphe Abbfldungen kom.]?lexer l~ume. Math. Ann. 133, 328---370 (1957). - - [13] REVERT, R., u. K. STEIN: ~ber die wesentliehen Singularit/iten analytischer Mengen. Math. Ann. 126, 263--306 (1953). - - [14] ROTHSTgIN, W.: I)er Satz yon CASORA~-WEIERSTRASSund ein Satz yon THULLE~. Arch. Math. 5, 338---343 (1954). ~ [15] STOLL,W. : Einige Bemerkungen zur Fortsetzbarkeit 2~) Wie man leieht sieht, hat z. B. die Folge T(P ~) mit

keinen H~ufungslaunkt in H. In jedem Punkt P~ ~ (zl, O) rait zl ~= O ist T regulgLr.

Meromorphe Abbildungen komplexer R~ume. I I

429

analytischer Mengen. Math. Z. 60, 287--304 (1954). - - [16] STOLL,W.: (~ber meromorphe Modifikationen. I. AUgemeine Eigenschaften der Modifikationen. Math. Z. 61, 206--234 (1954). - - [17] STOLL,W.: t~ber meromorphe Modffikationen. II. Allgemeine Eigenschaften meromorpher Modifikationen. Math. Z. 61, 467--488 (1955).-[18] STOLL,W. : ]~ber meromorphe Modifikationen. III. Streueigensehaften analytiseher und meromorpher Modifikationen. Math. Z. 62, 189--210 (1955). - - [19] STOLL,W.: ~ber meromorphe Modifikationen. IV. Die Erzeugung analytischer und meromorpher Modffikationen zwischen kompakten Mannigfaltigkeiten dutch a-Prozesse. Math. Ann. 130, 147--182 (1955). - - [20] STOLL,W.: ~ber meromorphe Modifikationen. V. Die Erzeugung analytischer und meromorpher Modifikationen dutch a-Prozesse. Math. Ann. 130, 272--316 (1955). - - [21] STOLL,W. : ~ b e r die Fortsetzbarkeit analytischer Mengen endlichen Oberfl~eheninhaltes. Arch. Math. 9, 167--175 (1957). - - [22] T ~ I M , W.: ~ber ausgeartete meromorphe Abbildungen I. ~ber die ~ d e r u n g der Monodromiegruppe parameterabhi~ngiger analytiseher Mannigfaltigkeiten. Math. Ann. 125, 145--164 (1952). - - [23] T~M~., ~V.: ~ber ausgeartete meromorphe Ahbildungen II. Math. Aim. 125, 264--283 (1953). - - [24] THIM~I,W.: ~ber die Menge der singul~ren Bildpunkte einer meromorphen Abbitdung. Math. Z. 57, 456--480 (1953). - - [25] Tm~M, W. : Untersuchungen fiber ausgeartete meromorphe Abbildungen. Math. Ann. 127, 150--161 (1954). - - [26] Tn~M~, W.: ~ber meromorphe Abbfldungen yon komplexen Mannigfaltigkeiten. Math. Ann. 128, 1--48 (1954). - - [27] THI~M, W.: Meromorphe Abbfldungen yon Riemannsehen Bereichen. Math. Z. 60, 435--457 (1954). - - [28] T ~ M , W.: Die Struktur der Menge der singul~ren Bitdpunkte einer meromorphen Abbildung. Math. Ann. 134, 143--153 (1957). (Eingegangen am 5. Mai 1958)