Beziehungen zwlschen elnlgen a/finen ScldieBungssiitzen Von W I L H E L M KLINGE1VBERG in Kiel I m folgenden werden Beziehungen zwisehen affinen SehlieBtmgss~tzen, die mit der affinen Streekenreehnung im Zusammenhang stehen, untersucht und eine Reihe yon Abh~ngigkeiten zwisehen diesen S~tzen konfigurativ bewiesen. Wir geben zun~chst eine Darstellung der HmSERTsehen Streckenrechnung 1) auf Grund des kleinen Satzes yon DESAm~UES (d) und diskutieren einige hierbei auftre~ende Fragen. I m Mittelpunkt der Arbeit steht der SchlieBungssatz (A), der dem assoziativen Gesetz der Multiplikation entsprieht. Seine wiehtigsten Eigenschaften sind: 1. (A) folgt nieht aus den SehlieBungss~tzen, die den andern Sehiefkorperaxiomen entsprechen; 2. (A) ist ~quivalent zum Satz yon DES~GUES (D); 3. (A) folgt aus dem Satz yon PxPPUS-PASCAL (P). Die Tatsache 2. zeigt, dab man die affinen Ebenen fiber Sehiefk0rper allein durch den Satz (A) kennzeiehnen kann, der die Assoziativit~t der Multiplikation ausdriickt, ebenso wie dies ffir die affinen Ebenen fiber Korpern dutch den Satz (P) m0glich ist, der die Kommutativit~r der Multiplikation ausdrfickt. 2. und 3. ergeben zusammen einen neuen Beweis des H~SS~BER(~schen Satzes 2), dab (D) aus (P) folgt. W~hrend sich der HESSE~B~RGsehe Beweis einer algebraischen Deutung widersetzt, l~Bt sieh der SehluB yon (P) auf den zu (D) ~quivalenten Satz (A) als das konfigurative ~quivalent eines einfaehen algebraisehen Sehlusses yon Kommutativit~t auf Assoziativit~t deuten, der aueh gewisse andere Abhhngigkeiten yon Schnittpunkts~tzen durehsichtig machO. (A) ist keine Konfiguration; man kann jedoeh (A) mater Hinzunahme der uno eigentlichen Elemente zu einer Konfiguration (Ay) vom Typ (16s, 124) erg~nzen, die der ebene Schnitt der r~um]iehen RE~-~-Konfiguration a) ist. (Ay) ist ~quivalent zu (A). Betrachtet man die HILB~Tsche und die aus dem Gewebe-Begriff erwachsene REIDEMI~ISTERsche Streckenrechnung 4) in der projektiven Ebene, so sind die die Verknfipfungen definierenden Figuren dual zueinander. Damit werden auch die den Verknfipfungsregeln entspre1) Vgl D. ~II_~B~.RT, Grundlagen der Geometrie. 7. Aufl. Leipzig 1931. 2) G. HESSE~rS~.RO,Beweis des I)~.SARaUEsschen Satzes aus dem PASCALschen. Math. Ann. 61 (1905) S. 161--172. 8) Vgl. D. HILB~.RT-S.COHN-VossEN, Anschauliche Geometrie. Berlin 1932. 4) Vg]. K. REIDEMEISTER, Grundlagen der Geometrie. Berlin 1930.

W. Klingenberg, Beziehungen zwischen einigen affinen Schliei]ungss~tzen

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chenden Schliel]ungss~tze dual. Insbesondere gilt dies fiir die dem multiplikativen Assoziativit~tsgesetz entsprechenden S~tze (A)p und (R**)p (der Index p bezeichnet den zu dem affinen geh0renden projektiven Satz), worin (R**) die zentrale REID~MEISTERfigur ist. Das duale Gegenstiiek zu (Ay)~ ist die mit (R**)p ~quivalente ebene Projektion (Ry)p der R~vE-Konfiguration. Da (A)p und (R**)p dual sind, folgt aus 2, da~ aueh (R**)p ein ~l,quivalent zu (D)p ist. Wir diskutieren die Msgliehkeiten, diese ~quivalenzaussage affin zu interpretieren, und finden, dab die affinen Spezialisierungen (R) oder (R*) yon (R**)p, bei denen eine Gerade oder zwei unverbundene Punkte, die mit je drei Geraden der Figur inzidieren, uneigentlich sind, zu (D) ~quivalent sind. Ftir die REIDEMEISTER-Figur (R**), in der zwei Punkte, die mit je vier Geraden der Figur inzidieren, uneigentlieh sind, bleibt die ~quivalenz mit (D) often. Dagegen sind die den S~tzen (R) und (R*) entsprechenden affinen Spezialisierungen (Ry) und (Ry*) yon (Ry)p ~quivalent mit (D). Eine Folge (r) yon (R) erweist sieh als ein ~quivalent yon (d). Die sich hierbei aufdr~ngende Frage naeh der ~quivalenz verseMedener affiner Spezialisierungen ein und derselben projektiven Figur stellen wir insbesondere fiir den Satz yon DES~GUES und den Satz yon P~ePUSPASCAL. So zeigen wir, dab (D) und (D*), wobei in (D*) statt einer Geraden zwei unverbundene Punkte uneigentlieh sind, ~quivalent sind. Fiir das entsprechende Paar (P) und (P*), worin (P*) auch T~OMSEN-Figur heist, dagegen kOnnen wir den SeMuI~ von (P*) auf (P) nur unter Verwendung yon (d) vollziehen. Fiir die Abh~ngigkeiten der SchlieBungss~tze geben wir durehweg konfigurative Beweise; dabei beweisen wir mehrfach statt eines SehlieBungssatzes die ihm logisch ~quivalente Kontraposition; es w~re yon Interesse, den Untersehied yon direkten und apagogisehen Beweisen yon SchlieBungss~tzen, auf den bereits tt~,SSENBERG hingewiesen hat1), genauer zu untersuehen. Die vorliegende Untersuehung entstand in Zusammenarbeit mit Herrn F. BACIdlVIANN.

w 1. Deflnitionen Wir legen unseren Betrachtungen eine affine Inzidenzebene ~ zugrunde. Darunter verstehen wir Folgendes: Es sind gegeben Geraden g, h . . . . und Punkte P, Q, . . . . Ffir die Paare P, g i s t die Relation ,,inzident", P I g, erkl~rt, g und h heil~en parallel, g l[ h, wenn g ---- h oder wenn es keinen Punkt gibt, der mit g und h inzidiert. Ftir die l~egation yon • I g 1) G. HESS~.~ERG, Begrtindung der elliptischen Geometrle. Math. Ann. 61 (1905) S. 173--184. Insbesondere S. 183.

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Wilhelm Klingenberg

und g II h schreiben wir P ~ g mad g ~ h. Es gelten die Axiome: (I) Fiir je zwei verschiedene P u n k t e P, Q gibt es genau eine Gerade g so, dab P, Q I g. Fiir g schreiben wir auch PQ. (II) Es gibt drei Punkte, die nicht mit einer Geraden inzidieren. (III) Zu jedem P, g gibt es genau ein h mit gllh und P I h . Wir stellen zun~chst die Definition einiger SchlieBungssgtze zusammen, die im folgenden immer wieder auftreten werden. Unter dem Satz von DESARGUES (D) [Fig. 1] verstehen wir die Aussagel): Aus g~ I O; P~, Q~Ig~, ~g~(i~:b), ( i , b - - 1 , 2 , 3 ) ; PI=~=Qi; P2Pa:=~=P1P3; PiP3 I[ Q~Q~; P~P~ II Q~Qa folgt P~P~ [[ Q~Q~. Unter den in e gfiltigen Axiomen ist (D) Fig. 1 : (D) mit der folgenden ,,Umkehrung" yon (D) ~quivalent, die wir ebenfalls mit (D) bezeichnen: Aus P i , Q~ I g~, ~gk; P~Pk II Q~Qk (i :[: k), (i, k = 1, 2, 3); P2Pa ~ PIP3; P1 :~: Q1; g~, g3 I O folgt g~ I O. _e, q, _g, Unter dem ,,kleinen" DESARGUESschen Satz (d) k ~ [Fig. 2] verstehen wir diejenige Aussage, die wir _L// ~ aus (D) erhalten, wenn wir start gi I 0 voraus~ a, setzen gl ][ g2 [[ g3- Aus der ,,Umkehrung" von Fig. 2: (d) (D) erschlieBt man: (d) ist eine 2'olge von (D). Unter dem Satz yon PAPPus-PASCAL (P) h [Fig.3] verstehen wir die Aussage: Aus Pi Ig, ~h; Q~ I h, ~ g (i = 1, 2, 3) ; P~ ~ P2, Pa ; PIQ2 I1 P2Q~; P~Q3 II P3Q~ folgt PIQa II P3QI. Unter dem ,,kleinen" Satz von PAPPUS-PASCAL (p) verstehen wir den Speziaffall yon (P), ftir Fig. 3: (P) den g II h gilt. Unter den] Schlieflq~ngssatz (A) ~ r [Fig. 4] verstehen wir die Aussage: ~ ~..~ ]\ / \ Aus P i , Q~Ig; P i , Q i t h ( i = 1, 2); Pk, Qk I h ; Pk, Qk~g (b = 3, 4); P~ ~: P2, Q1; Pa ~: Pa; P1Pa ][ QIQa; P1Pa [[ Q~Q~; P2P3 I[ Q2Qa folgt P2 P4 [[ Q2Q4. Fig. 4: (A) Unter dem Satz (a) verstehen wir den Speziaffall yon (A), fiir den g ][ h i s t . ~ b e r die Definition der weiteren in der Arbeit auftretenden SchlieBungssgtze gibt ein Verzeichnis am SchluB Auskunft. 1) Wit formulieren unsere Schliei3ungss/itze stets so, da~ die trivialen Aussagen, d.h. die schon in ~ gtiltigen Aussagen, ausgeschlossen werden.

Beziehungen zwisphen einigen affinen SehlieBungss~tzen

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w 2. Schliellungss~tze der Hilbertsehen Streckenrechnung 1. Naeh I~ILBEI%T a.a.O, erkl~ren wit in 8 mit Hilfe eines Bezugss~tstems eine Streekenrechnung. ~ besteht aus zwei verschiedenen Geraden g, g" I O, auf denen beziehungsweise die Einheitspunkte E, E" ~ 0 liegen. Den Punkten P I g, P ~= 0 entspreehen umkehrbar eindeutig die Punkte P ' I g', P ' ~ 0 mit der Eigensehaft PP" II E E ' . Die geordneten Punktepaare 0, P und 0, P' nennen wir Strecken und bezeichnen sie mit a, b, c . . . . und a', b', c', . . . . Fiir 0, 0 ; 0, E ; O, E" schreiben wir beziehungsweise 0, 1, 1'. Wir erg~inzen ~ dureh g" mit g'" I E"; g'" i l g und ordnen einem geordneten Paar a, b yon Strecken mit Hilfe der in Fig. 5 und Fig. 6 erkI~rten Konstruktionen Addition und Multifs 9 plikation eine mit a -f- b und ab bezeiehnete Streeke zu. A u f Grund der Eigenschaflen yon bilden die Strecken (bei der Multiplikation mit Ausnahme der O, far die Oa = aO = 0 Fig. 5: a ~ b gilt) unter jeder der beiden Verl~niipfungen ein Loop. Ein Loop 1) L i s t ein Bereich, in dem (I) jedem geordneten Elementpaar a, b 6 L ein mit ab bezeichnetes Element aus L eindeutig zugeordnet ist, (II) es Elemente x, y gibt, die den Gleichungen xb -~ c; a y = v fiir a, b, c 6 L genfigen und (III) ein zweiFig. 6: ab seitiges ]~inselement existier~. Bevor wir auf die Bedeutung yon (d) fiir die Streckenreehnung n~her eingehen, bemerken wir: Die Galtigkeit yon (d) in einer festen g-Richtung (d.h. (d) mit der zus~tzlichen Eigenschaft g~ II g) ist dquivalent mit der Existenz einer transitiven Translationsgruppe in der g-Richtung. Eine Translation ~ in g-Riehtung ist dabei eine eineindeutige Abbfldung der Punkte yon e a u f sich so, daB, wenn P~ das Bild yon P bezeiehnet, P P ~ it g fiir P ~ P~ und PQ ]1P~Q~ fiir P ~= Q gilt. Man folgert, dab eine Translation, wenn sie nicht die Identit~t ist, keine Fixpunkte besitzt2). Die Transitivitdt besagt, dab es zu jedem P, P* mit, wenn P ~ P * ist, P P * ]] g, eine Translation v gibt, so dab P" = P* ist. 1) Solche Bereiche hat schon G. BoL unter dem Namen ,,Normbereich" vom geometrisehen Standpunkt aus untersucht; G. BOL, Gewebe und Gruppen. Math. Ann. 114 (1937) S. 414--431. Es hat sieh jedoeh der Name Loop eingebiirgert, den A. A. ALBERTin Quasigroups I, Trans. Am. Math. Soc. 54 (1943) S. 507--519, einfiihrt. s) Vgl. E. ARTr~, Coordinates in affine geometry, Rep. math. Colloquium, II. Ser. Bd. 2, Notre Dame 1940, S. 15--20.

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H a t man n~mlich die Existenz einer transitiven Translationsgruppe in g-Richtung, und machen wir die Voraussetzungen yon (d) mit g~ I[ g, so gib~ eine Translation r so, dai~ P~ ---- Q8 ist und damit zugleich auch P~ -- Q1 und P~ =- Q2. Dann gilt aber auch PIP2 [[Q1Q2. - - Umgekehrt konnen wir bei der Giiltigkeit yon (d) in g-Richtung zu jedem Paar P , P * mit P_P* [[ g, wenn P * ~ P ist, eine Translation ~ so angeben, dab P ' ~- P * ist. Wir kOnnen P ~= P * voraussetzen. ]:)aim setzen wir P'---- P * und bestimmen, falls Q t P P*, Q" durch QQ~ ][ g; PQ [I P~Q~. Fiir die Punkte R I P P* bestimmen wir R ~ mit Hiffe eines Punktes Q ~ P P * dureh t~R" I] g; QR [[Q'R ~. Wegen (d) ist R ~ unabh~ngig yon der Wahl yon Q. Da bei dieser Abbildung die Punkte einer Geraden wegen (d) in die Punkte einer parallelen Geraden iibergehen, ist sie in der Tat eine Translation. Zusammen mit der identischen Abbildung als Einheit bilden die Translationen dann offenbar eine transitive Gruppe. Zu der Frage, welche l%lgen die Giiltigkeit yon (d) in zwei Richtungen hat, beweisen wir den Satz 1: Gilt (d) in zwei verschiedenen Richtungen, so gilt (d) in allen Richtungen l ). Den Beweis fiihren wir unter Voraussetzung yon (d) in den Riehtungen g und h (g H h) mit dem Hilfssatz: Aus P i , Qi I gi, ~gk (i ~ k), (i,k---- 1 , 2 , 3 ) ; g~l[ga; P~PaI[Q~QaI[g; P2Ps[IQ2Qa[lh; P ~ Q 1 ; P1 P~ H Q1 Q~ folgt g2 H gi. Hieraus folgt durch Kontraposition (d) in der beliebigen Riehtung g~, jedoeh mit der Einsehr~nkung P~Pa I[ g; P2Pa ][ h. Hieraus erhalten wir aber aueh (d) allgemein, da wir uns sukzessive yon diesen Richtungen frei machen k~nnen. - - Zum Beweis [Fig. 7] des Hilfssatzes bestimmen wir mit R 1; R 1 I P1 Pz, Q1Q2 den P u n k t R3 dureh R1R3If P1Pa; Q3R3II Q1.RI. Dann folgt aus (d) in g-Richtung fiir R 1P1 Q1 ; RaPa Qa : ~PI R1 II Pa RaDamit bestimmen wir R2 dutch R2 R3 I1P~ P3; R2 ~ Pl-RI und Q~' durch P2 Q* ]l Pa Qa; Q* I Q2 Qa- Dann folgt aus (d) in h-Richtung Fig. 7 ftir PaQzR3; P2Q* R2 :Q'R2 I[ QaRa l[ QI R~.

~

gJ

1) Gibt es in e Translationen in zwei Richtungen, so sind die Translationsgruppen in einer festen Richtung bekanntlich kommutativ, vgl. E. ARTIZ~ a.a.O. Mit Satz 1 kSnnen wir diesen Sachverhalt auch konfigurativ einsehen: Aus der Gfiltigkeit yon (d) in zwei Richtungen folgt (d) allgemein; hiermit kSnnen wir darm, wie wir im Anschlul] zeigen (Satz 2), den Satz (p) beweisen, der der Kommutativit~t der Translationen in einer Richtung entspricht.

Beziehungen zwischen einigen affinen Schllel~ungss~tzen

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Aus R 1 ~ R~ (da R1 ~: R8 und R~ ~= R~ und g i{ h) und RIQ~ ( = Q1 Q~) =~ R1R2 ( : P1P~) 1) folgt Q~ ~= Q*, was wegen P~ ~.Q~Q3 der Behauptung g2 = P2Q~ Hgl entspricht. Wir setzen jetzt die Gtiltigkeit yon (d) aIlgemein voraus. Dann k0nnen wit gewisse Schliel~ungsss die einigen Regeln der Streekenreehnung entsprechen, beweisen. Solche Figuren sind stets an das der Streekenrechnung zugrunde liegende Bezugssystem !~ gebunden. Wir wollen jedoch einen Schnittpunktsatz der Streckenreehnung, falls nieht ausdrtieklich Einsehrs gemaeht sind, immer als atlgemeinen Satz, d.h. als fiir jede Wahl yon !8 gtiltigen Satz auffassen. Zuns ktmnen wir den dem Assoziativgesetz (a ~-b)-~ c = a + (b ~- c) entsprechenden Satz (a) aus (d) folgern: Dazu f'tihren wir mit der dureh P~-----Q1 bestimmten Translation z das Viereek P1P~P3P4 in (a) in das Viereck ~ //f-h // Q1Q~Q3Q4tiber, woraus P~P4 II Q2Q~folgt. Ferner o +

§ a

entspreehende Satz (p) aus (d). Zum Beweis [Fig. 8] maehen wir die Voraussetzungen wie unter (p) -~R und bestimmen R dureh R Pill P~ Qs; _RPsi[ P1Q~. Fig. 8: (d) ~ (p) Aus (d) ftir P1QsQ~; RP~P3 folgt RP2]I P~Qs. Aus (d) ftir PIP~R; Q~Q1Pa folgt Q1Pa II P~R ]l QaP1, q.e.d. SehlieBlich k0nnen wir den dem linken Distributivgesetz a(b + c) = ab + ac entspreehenden Schlieflungssatz (disz) [Fig. 9] unter der unwesentliehen Voraussetzung ~,~ a, b, c ~= 0; " a ~ = l folgender- q~(~ maflen formulieren: Aus P1, P2, , ~ , .~ ~~ ~/ ~

Q1,Q I , P;, P *,Q Ia, ig; QaIg, c; Qa~g,d; QaIg',c,d; P~, R1,R~Ig ,g lig, P~PIlIQ~Qll] , Q1R~IIQ~R~IIg ; P~P~IIQ~Qll[ ,

9 ~

~

~

P~P*IIQaR1; / ) I ~ P ~ , Q ~ folgt 0 ~ ~ ~ r o~ o ~ P~P* li Q~R~. e, ~. ~, ~, ~, ~. Wir zeigen, dab aueh (dis~) Fig. 9: (dls~) eine Folge yon (d) ist [Fig. 9]. Dazu bestimmen wir S dutch S I Q1R1; , QaSR1 folgt SQa[I P~P1, SP~llg. Aus (d) ftir P I P 1' P e*" ' 9 also S ~ c. Ist ferner TIQ~R~, d, so folgt aus (d) ftir Q~Q1Q'I; TSQ~:ST[Ig; also P~ T I1g. Damit folgt aus (d) ftir P~P~Pu, ' *" Q~TR~: P~P* [I Q~R~, q.e.d. - - Damit haben wir den Satz 2: Aus (d) folgen (a), (p) und (dis~). Wir denken uns in e ein Bezugssystem ~ gegeben. Dann sind die Punkte yon e m i t Hilfe der Parallelen zu g, g' in der iiblichen Weise umkehrbar ~) Hierbei setzen wir Q~~ P~P~ voraus. Fails Q~~P~P~folgt Q~ ~=Q* unraittelbar.

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eindeutig auf die Streekenpaare (a; b) bezogen, die wir ,,Punkte" nennen. Die Geraden in swollen wir durch die Gesamtheit der mit ihnen inzidierenden P u n k t e charakterisieren. ])ann er~... kennt man an H a n d der Fig. 10, dal3, unter ~,' gr Verwendung yon (d) in g-Richtung, die mit einer festen Geraden h inzidierenden , \ ~ ,,Punkte" (x; y) umkehrbar eindeutig dureh lineare Gleichungen vom Typ b y q- x --~ c; Fig. 10: (byq-x=c) y = c bestimmt sind. Ist ein algebraischer Bereich B m i t zwei Verknfipfungen gegeben, so verstehen wir unter der (ebenen) affinen Geometrie abet B den Bereieh der ,,Punkte" (a; b) mit a, b E B und der als ,,Geraden" bezeiehneten Mengen yon P u n k t e n (x; y), die einer linearen Gleiehung vom Typ b y q- x = c oder y ----c m i t b, c, x, y E B genfigen; ferner sei die Relation ,,inzident" zwischen den ,,Punkten" und ,,Geraden" dureh die Relation ,,Punkt" E ,,Gerade" erkl~rt. Ein Elementsystem mit den Eigenschaften, wie sie die Streeken bei den Verknfipfungen der Hilbertsehen Streekenreehnung unter Voraussetzung yon (d) haben, nennt M. tIALL 1) VEBLEN-WEDDERBURNSystem. Es ist dies also ein System von zwei Verknfipfungen, Addition und Multiplikation genannt, mit den Eigensehaften: Gegenfiber der Addition bilden die Elemente eine abelsehe Gruppe, gegenfiber der Multiplikation (mit Ausnahme der additiven Einheit 0, ffir die 0a = a0 = 0 gilt) ein Loop. Ferner gilt a(b q- c) = ab + ac und, dab b y - - b * y = d fiir b ~ b* eine eindeutige L0sung y besitzt. Die letzte Eigensehaft entsprieht der Tatsaehe, dal~ in der dureh die Streekenreehnung fiber e mit (d) erzeugten affinen Geometrie zwei nicht-parallele ,,Geraden" by q- x = c; b*y + x ---- c* einen eindeutigen Sehnittpunkt haben. Die Bedeutung des VEBLEN-WEDDERBU~r-Systems beruht nun darauf, dal3 auch umgekehrt die affine Geometrie fiber einem solehen System eine affine Inzidenzebene e bildet, in der (d) allgemein gilt~). 2. Der dem rechtsseitigen Distributivgesetz (b + c)a = ba + ca entspreehende Schlie[3ungssatz (disr) [Fig. 11 ] lautet unter der unwesentlichen Voraussetzung a, b, c~=O; a=~: 1: Aus P1, Ps,Q1,Q2Tg, Tg'; P2Ig; P , , Q s I g ' , ~ g ; Ps, P4,Q51 g" ; g'" I[ g; PIP4HQIQs[Ig' ; P~ PsIIQI Qs; P2PsIIQ2Q3; P3PslIQsQ2; Fig. 11 : (disr) P1 =[: P2, Q1 folgt QsPsII PaPu. 0

ba

c

b" -* c

-

~ b9

1) M. HALL, Projective planes. Trans. Am. Soc. 54 (1943) S. 229--277. ~) Man prfift leieht nach, dab in der affinen Geometrie fiber ein VEBr~r-

Beziehungen zwischen einigen affinen Schliei~ungss~tzen

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Unter dem Schlieflungssatz (d') verstehen wir den SpeziaffaU yon (D), fiir den PIP~ II Q,Q~ II g3 gilt. Satz 3: Unter Voraussetzung von (d) sind (d') und (dis,) dquivalent. Zum Beweis [Fig. 11] bestimmen wir Q4 dureh Q4 IQ1Qs; Q4Q31Ig. Aus (d) fiir PsQ3P3; Q~Q4Q5 folgt Q~Q4 l[ PsP3 l[ P2P4. Damit haben die Vierecke P1P~Ps_P4; Q1Q2QsQ4 paarweise parallele Seiten. Ffihren wir dutch eine Translation P1 in Q1 fiber, so ergibt sieh eine Figur (d'), d.h. da alle Sehliisse umkehrbar sind, aus (d') folgt (dis,) und umgekehrt, q.e.d. Dem multiplikativen Assoziativgesetz (ab)c = a(bc) entsprieht der SehlieBungssatz (A). (.4) ist unter Voraussetzung yon (d) mit (D) dquivalent. I)as erkennen wir mit Hiffe der Translation, die in (A) den P u n k t P1 des Viereeks P1P2P3P4 in den P u n k t Q1 des Viereeks QIQ2Q3Q4 fiberffihrt. Die vorstehenden Uberlegungen zeigen unter anderem, wie alle SehlieBungsss die den iibliehen Sehiefk0rperaxiomen 1) entspreehen, aus (D) folgen: Zuns folgert man (d) aus (D) und erhs damit (a), (p) und (disl). (dis,) und (A) sind dann mit (d) unmittelbare Folgerungen aus (D). Es tritt hierbei nieht (D) selbst als das ~quivalent eines Sehiefkt~rperaxioms auf. Es bleibt dann noeh die Abh~ngigkeit des mit der HILBERTSehen Streekenreehnung erkls algebraisehen Bereiehs yon dem Bezugssystem !~ zu untersuehen. Dabei stellt sich heraus, dab die Gfiltigkeit yon (D) in ~ ffir die Unabhs des Schiefk0rpers (zu dem der algebraische Bereieh dann ja wird) yon der Wahl yon !~ hinreieht. Dagegen ist das VEBLEN-WEDDERBU~-System yon der Wahl yon !~ abhs was HALL dureh einfache Beispiele belegt hat~). Wir woUen auf diese Fragen jedoch bier nieht eingehen. Endlich entsprieht dem Kommutativgesetz der Multiplikation ab -~ ba der SehlieBungssatz (P). 3. Fordert man in e neben der Gfiltigkeit yon (d) nieht gleich die Gfiltigkeit yon (D) oder (A), sondern nur die Giiltigkeit yon Folgerungen aus diesen Ss so entsteht die Frage naeh Bereiehen, die allgemeiner sind als ein Sehiefk0rper. Fordern wit z.B. neben der Gi~ltigkeit yon (d) nur die C~Itigkeit yon (d') und (d"), worin der Satz (d") der Speziaffall WeDDE~BURN-System die Eigenschaften von e g~iltig sind und (d) in den Riehtungen y = 0; x = 0 gilt, was nemh Satz 1 genfigt. Vgl. auch HALLa.a.O. 1) Vgl. etwa v. D. WAERDEN.Moderne Algebra. Bd. 1, 2. Aufl. Berlin 1937, S. 40. 2} Anm. bei der Korrektur: Nach neueren Untersuehungen ist der durch unsere Verkniipfungen fiber e definierte Bereieh dann und nur dann (bis auf Isomorphismen) unabh~ngig vonder Wahl yon ~, wenn er ein AlternativkSrper (vgl. w2.3) ist. Vgl. hierzu ~r Rev. II (1951) S. 668.

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yon (D) ist, ffir den Q1 T P2Pa ~lt, so wird aus dem VEBLEN-WEDDERBURN-System ein Alternativk6rper. Dabei ist ein Alternativk6rper ~) ein Bereich, in dem neben den fibrigen Schiefk(~rperaxiomen an Stelle des multiplikativen Assoziativit~tsgesetzes nur die speziellen Regeln (I) aa -1 -----a-la = 1; (II) a-l(ab) ~-- b; (III) (ba)a -~ ~-- b gelten. Wir k0nnen unsere Behauptung folgendermaBen leicht einsehen: Mit (d) und (d') haben wir nach Satz 2 und 3 jedenfalls alle Sehiefk0rperaxiome mit Ausnahme des multiplikativen Assoziativgesetzes. Man findet, dab die Regeln (I) und (II) einer Figur (A) mit der Eigensehaft P~P4 If P~P3 entspreehen. Diese ist aber eine Folge yon (d) u n d (d'), wie wir mit Hilfe der durch P1 und Q~ bestimmten Translation erkennen, die unser spezielles (A) in eine Figur (d') iiberfiihrt. Der Regel (III) dagegen entspricht ein (A) mit der Eigenschaft P4 = Q3; dies spezielle (A) folgt aber aus (d"), indem m a n den gemeinsamen P u n k t S yon P~P4 und P I P 3 und den gemeinsamen P u n k t T von Q~Q4 und Q1Q3 bestimmt (falls P~_P~ [[ P1P3 oder Q~Q4 l[ Q1Q8 schlieBt m a n wie oben mit (d')). Dann folgt aus (d"), dab 0 ( 0 1 g, h) und S und T mit einer Geraden inzidieren und hieraus folgt dann mit (d")~: P~P4 It Q~Q~. ~ Man k a n n nun aber auch umgekehrt zeigen, da]3 in der affinen Geometrie fiber einem Alternativkorper die SehlieBungss~tze (d), (d') und (d") gfiltig sind, vgl. etwa HALL a.a. 0. ~). Zum Sehlul~ bemerken wir noch, dab die Gfiltigkeit yon (d) allgemein und von (A) mit der Beschr~nkung auf ein festes, nieht-paralleles Paar yon Tr~gergeraden g, h die affine Geometrie fiber einem vollst~ndigen 2'astb6rper 3) (das ist ein System, in dem alle SchiefkOrperaxiome mit Ausnahme des rechtsseitigen Distributivgesetzes gelten) mit der Eigenschafl, daft b y - b*y----c far b ~ b* eine eindeutige L6sung y besitzt, eharakterisiert. Denn einmal k/)nnen wir g, h zu den Geraden g, g' eines Bezugssystems !D machen: Dann gilt neben den Eigensehaften des VEBLv,N-WEDD~RBU~N-Systems wegen (A) auch das multiplikative Assoziativgesetz. Umgekehrt bildet die affine Geometrie fiber einem vollst~ndigen Fastk0rper mit cter genannten zus~tzliehen Eigensehaft offenbar ein s, in der (d) und (A) gtiltig sind. 1) Die Definition siehe bei R. N[ouFA~o, Zur Struktur der AlternatlvkSrper. Math. Ann. 110 (1935) S. 416--430. 3) Mit (Dl~)p bezeichnen wir denjenigen projektlven DESARGUEsschen Satz, bei dem gegeniiber dem allgemeinen DES~GU-Esschen Satz eine zus~tzliche Inzidenz statthat. Dann haben wit also den AlternativkSrper gerade dutch diejenigen drei verschiedenen affinen Spezialisierungen von (D10)p gekermzeiehnet, bei denen eine Gerade uneigentlich ist. a) Die Definition siehe bei H. ZASSE~HAUS, ~ber endliehe FastkSrper, diese Zeitschr. 11 (1936) S. 187--220.

Beziehungen zwisehen einigen affinen Schliel3ungss~zen

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w 3. Der Sehliellungssatz (A) 1. Aus dem Beispiel der Cxv~Yschen Oktaven, die einen eehten Alternativkorper bilden, k0nnen wir entnehmen, dal] mit Ausnahme von (A) keiner der den fiblichen SehiefkOrperaxiomen entspreehenden SehlieBungss~itze (selbst bei der Giiltigkeit yon (d)) (D) zur Folge haben kann. Fiir (A) jedoch gilt der Satz 4: Die Figuren (A) und (D) sind ~luivalent. Fiir den Schlu$ yon (D) auf (A) folgern wir ztmKehst (d) aus (D) und folgern daraus, wie oben gezeigt, (A). - - Die Umkehrung beweisen wir mit dem I-Iflfssatz : Aus gi ~ 0; P~, Q~ ~ g~, ~ g~ (i =~ k), (i, k = 1, 2, 3); P~ =~:Q1; P~Pa :~= -P2Ps; PIPaltQIQa; P~P2, Q~Q~-S1; S~:~ga folg~ bei der Gfiltigkeit yon (A) P~.P~ ~ Q~Q~. Den Beweis [Fig. 12] ftihren wir dadureh, dab wit die Viereeke 0 P1 P2 Pa und OQ1Q~Qa dutch Anwendung yon (A) in den Punkt S~ ,,transportieren" und hier die fragliehen Seiten vergleichen: Wir bestim2, men die Punkte So, Sa, S~, S~ durch ~qo, Sa I ga; $2 1/)1 P~;

S~ tQ~Q2; S o S i I[ as; $1~3 [I ~:)lX~)a I1Q1Qa; Sos~ lI SoS~ 11g~. Dann folgt aus (_4) f'tir die Viereeke

01)l P~ Pa ; So S1S~ S~ und OQ~Q~Qa; SoSiS~Sa: S~S~ t] PaP s und S~S~ It Q~Q~. Wix

~'ig. 12: (A)-* (D)

mfissen jetzt also noch zeigen, da$ SaS ~ #: $8S ~ ist. Dies gilt, wenn wir $2 =~ S~ zeigen, da ja sieher $3 ~ SoS2 = SoS~. Wegen gl # g~ ist aber auch SoS1 # SoS2 = SoS~ und damit S~ =~ S~, q.e.d. Durch Kontraposition folgt aus dem HiIfssatz, dab bei den unter (D) gemachten Voraussetzungen (I) t)1Pa [IQ1Q2gilt oder (II) P1P2, Q1Q~,ga einen Ptmkt Ta; Ta ~= O gemeinsam haben. Wir zeigen, dab (I) richtig ist aueh f ~ den Fall, dal3 (II) riehtig ist. Dazu bestimmen wit zu T3 die Punkte T1, T~ durch T 1 I gx, T2 ! g~; T1 Ta II P1 Pa; T~ Ta PI P~ P3. Wegen P~Pa :4=-P2Pa ist T 1T~ ~ Ta und damit gilt fiir die Dreieeke P1 P~ Pa; T1 T~ Ta und Q1Q~Qa; T~ T2 Ta : P1 P2 If T l Tz und Q1Q2 tl TI T2, also (I): P1P2 I[Q1Q~, womit Satz 4 bewiesen ist. 2. Auf Grund yon Satz 4 sind wir in der Lage, die affine Geometrie fiber einem Sehiefk0rper anstatt mit dem Satz (D) auch mit dem Satz (A) zu kennzeichnen. Dies ist ein Gegenstfick zu der Kermzeichnung der affinen Geometrie fiber einem K0rper dureh den Satz (P), bei weleher der HESSENBERoscheSatz, dab (D) eine Folge yon (P) ist, die entseheidende Rolle spielt. Damit ist aueh (A) eine Folge yon (P). Wir k0nnen diesen Sachverhalt abet auch einfacher direkt einsehen: 6886 Hbg.Math. Abh., Bd. XVIII.

9

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Wilhelm Klingenberg

Satz 5: (A) folgt aus (P) dutch dreimalige Anwendung yon (P) zwischen den Trdgergeraden g, h yon (A)Z). Wir be~rachten zun~chst ein Loop Z. Man kann in 15 bezfiglich eines beliebigen Elements b E/~ eine neue mit ~ bezeichnete Verknfipfung ffir die in der:Form ab u n d c geschriebenenElemente von L durch ab ~ c : ac einftihren. Der so erkl~rte Bereich L~ ist wieder ein Loop; b ist das Einselement~). Es gilt nun: Sind die L~ f~r alle b ]~ommutativ, so ist L assoziativ ~) (und also eine abelsche Gruppe). Dies folgt aus der SchluBkette (*) a(bc) ---- a(cb) ---- (ab) ~ (cb) = (cb) ~ (ab) : c(ab) : (ab)c

Wenn wir jetzt diese Schluflkette auf die multiplikative Verkniipfung oder additive Verknfipfung der tt~LBEaTschen Streckenrechnung fibertragen jenachdem in (A) gHh oder g ]l h gilt, so erhalten wit eine vollst~ndige Beweisfigur [:Fig. 13] ffir den Satz 5: Wir maehen also die Voraussetzungen wie unter (A) und bestimmen Ps, Q5 durch P51 g; b r ab bc abc P, ~ Pt Q, #' PsQa II P1P4; Qs Ih; P2Q5 II P1P4. Fig. 13: (P) ~ (A) Dann folgt aus (P) fiir das Sechseck P~QaQ~P4PIP3:PsP3 II Q~P~. Hiermit folgt aus (P) ffir das Sechseck PsQsQ~QsP~Ps: PsP3II Q~Q6. Sehliei~lieh folgt aus (P) ftir das Seehseck P2QsQ~Q4QiP~: P2P4 II Q2Q4, q.e.d. Wir bemerken noch, daft die Beweise yon Satz 4 und 5 einen Beweis f~r den HESS~.NBEI~schen Satz bilden. 1) Impliz~it finder sich dieser Satz fiir die euklidische Ebene bei I-IILBERT a.a.O., w o e s d a r a u f ankommt, aus der Giiltigkeit yon (P) zwisehen orthogonalen Tr~gergeraden das Assoziativgesetz zu ersehliei~en. s) Jedes Element aus L l~il3t sich j a in der F o r m a b darstellen. - - Man k a n n natiirlich aueh durch a ob b c ~ - a c eine neue Verkniipfung einfiihren u n d d a m i t ein Loop L~ erkl~ren. L und L b bzw. L~ nennt ALBERT isotop. a) I)ieser Satz (ausgesproehen fiir das multiplikative Loop eines ,,Cartesian number system"; es ist dies dasjenige Zahlsystem, alas die Strecken in ~ unter den Verkntipfungen der !tILBERTsehen Streckenreehnung bilden, weim m a n die Giiltlgkeit yon (d) in g-Richtung voraussetzt. Die Gfiltigkeit yon (d) in g-Richtung gestarter es, fiir die additive Verkniipfung das assoziative Gesetz zu beweisen u n d die Geraden durch lineare Gleiehungen zu eharakterisieren) un4 die entsprechende Formelzeile finder sich auf S. 108 bei R. BAER, The fundamental theorems of elementary geometry, Trans. Am. Soe. 56 (1944) S. 94--129. - - Auf die MSglichkeit, diesen algebraischen Satz als geometrisehe Aussage tiber die Abh~ngigkelt von Schlie~ungss~tzen zu interpretieren, h a t mlch Herr BACEMAN~ aufmerksam gemacht.

Beziehungen zwischen einigen affinen Schliel~ungss~tzen

131

3. Eine weitere Abh~ngigkeit yon SchlieBungss~tzen erhalten wir, wenn wir die SchluBkette (*) in der REIDEMEISTERSChen Streckenrechnung 1) interpretieren. Darunter verstehen wir die folgenden aus dem Begriff des Gewebes erwachsenen Verkniipfungsvorschriften: Wir legen als Bezugssystem ~ zwei Geraden g, g" ; g, g' I 0 ; g ~= g' und einen P u n k t E* ; E* ~ g, g" zugrunde. Wir bestimmen hierzu noch g* dutch g* I 0, E und g" durch g" I[ g; g" ~ E*. Dann ordnen wir einem geordneten Paar y o n Strecken a, b (Strecken sind ebenso wie in f~ erkl~rt) durch die in Fig. 14 und Fig. 15 erkl~rten Konstruktionen die m i t a +o b und a o b bezeichneten Strecken zu. Wir erg~nzen !~ durch die Punkte E ; o ~ ~ o~ ~ E I g ; E E * II g" und E'; E' Ig'; E ' E * II g Fig. 14: a + a zu einem HILBERTschen Bezugssystem !B. ~ b e r das Verh~ltnis der in ~ erkl~rten Verknfipfungen der HILBERTschen Streckenrechnung (die in Fig. 14 und Fig. 15 gestrichelt gezeichnet sind) zu den in erkl~rten REID~,MEIST~.~schen Verkniipfungen erkennen wir: Unter Voraussetzung

yon (d) in g-Richtung ist far ein beliebiges Bezugssystem, das die Gerade g al8 g-Achse Fig. 15: aob enthdIt, stets a-}-b ~ a +o b und umgekehrt folgt aus der Galtigkeit dieser Beziehung far jedes solche Bezugssystem die Craltigkeit yon (d) in g-Richtung. In derselben Weise ist die Galtigkeit der Beziehung ab ---- a o b dutch die Galtigkeit yon (d') in g-Richtung (d.lh. (d') mit g3 II P 1 P , II g) gekennzeichnet. Von den SchlieBungss~tzen der REIDEMEISTERschen Streckenrechnung interessieren uns hier die folgenden: Dem Assoziativgesetz (a o b) o c ~ ao(boc ) entspricht die REIDEMEISTER]~g~r(R**) [Fig. 16]: AusgiIO; P ~ , Q d g i ; Pi,Qi~gk (i~=k), (i,k---- 1,2,3,4); PIP2IIQxQ2ll

8

Q~

P 3 P , IIQsQ4;P~Pa[IQ2Q3[IPIP4; P~=~Q1; Fig. 16: (R**) 1) Vgl. REIDEMEISTERaoa.Oo;werlrl bei REIDEVLEISTERauch der Gewebe-Begriff und die hiermit zusammenhangenden Klassen parallelgleicher Strecken im Vordergrund des Interesses stehen, so laBt sich unsere Definition der REIDE~ISTERSChen Streckenrechnung jedoch unmittelbar daraus abnehmen. 2) l~Iit (R**) gilt auch derjenige Schliei3ungssatz, bei dem in (R**) start Pi, Qi~gk (i =~k) nur vorausgesetzt wird: Pi, Qi~g~+l,g~+,. 9*

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Wilhelm Klingenberg

Dem Gesetz (a ~ b) +o c -----a ~ (b ~ c) entsprieht der SchlieflungsQ~__~, satz (r**) [Fig. 17], den wir erhalten, wenn wir in / ~--/----~ Q, (R**) statt g~. IO voraussetzen: gl II g211 g311 g4" py-TZ-~~ Dem Kommutativgesetz a o b --~ b o a entsprieht die THOMSENfigur (P*) [Fig. 18]: Aus g~ TO; Pi, Q; Igi, Fig. 17: (r**) ~ gk (i 4= k), (i,/c : 1, 2, 3); P~Qa I[ P2Q~ II P3Q2; P~Q~ I[ P2Q3 folgt P~Qa II PaQI. - - Erg~nzt man (P*) durch die uneigentlichen Elemente, so erkennt man, dab es sieh bei (P*) um eine PAPPVS-P~SC~L-Figur handelt, bei der zwei unverbundene Punkte uneigentlich sind. Den dem Gesetz a o+ b ---- b o+ a entsprechenden Schlie[3ungssatz (p*) erhalten wir, wenn wir in (P*) statt gi I O setzen: g~]l g211 ga. Wenn wir die SchluBkette (*) jetzt in der REIDEMEISTERSChen Streekenrechnung interpretieren, so erhalten wir gerade den yon Fig. 18: (P*) THOMSEN~) stammenden Beweis ffir den Satz 6: (R**) folgt aus (P*) und (r**) folgt aus (p*) durch dreimalige

Anwendung yon (P*) beziehungsweise (p*). Wir erw~hnen noch, daft (R**) eine Folge von (D) und (r**) eine Folge yon (d) ist. Dies kann man einmal aus der ~quivalenz der HILBE•Tsehen und REIDEMEISTERschen Verknfipfungsvorschriften bei der Gtiltigkeit yon (D) (und damit yon (d')) beziehungsweise (d) ersehlieBen. Man kann dies aber aueh sehr einfach direkt einsehen, indem man etwa unter den bei (R**) oder (r**) gemachten Voraussetzungen zun~ehst P1P3 II QIQ3 folgert und dann durch abermalige Anwendung yon (D) oder (d) P1 P4 II Q1Q4 folgert. 4. Wir denken uns ffir einen Augenblick e um die uneigentliehen Elemente erg~nzt; wir bezeiehnen sie wie die eigentlichen Elemente, unterseheiden sie aber doch weiterhin yon diesen als die uneigentliehen Elemente. Der so gleichzeitig erweiterte Satz (A) ist nicht eine Konfiguration 2) in dem Sinne, dab jede Gerade mit der gleichen Anzahl yon Punkten und jeder P u n k t mit der gleiehen Anzahl yon Geraden inzidiert. Wir k(irmen (A) jedoch folgendermaBen zu einer Konfigarution erg~nzen: Wir bestimmen in (A) R1, R~, $1, $2 durch R 1 I PIPa, Q2Q4; Re I P1Pa, Q2Qa; S~ I P2P4, Q~Q3; S~ I P2Pa, QIQ4. Wir behaupten: Bei der Gtiltigkeit des projektiven DESARGVESschen Satzes (D)p (das ist eine solcher um die uneigentlichen Elemente erg~nzter Satz (D), bei dem eine beliebige eigentliche Gerade die RoUe der uneigentlichen Geraden in (D) 1) G. THOMSEN, S chnittpunktsi~tze in ebenen Geweben, diese Zeitschr. 7 (1929) S. 99--106. Eine Darstellung des Beweises z.B. bei REIDEMEIS~ERa.a.O.S. 78. I) Die Definition siehe bei F. LEVI, Geometrische Konfigurationen, Leipzig 1929.

Beziehungen zwischen einigen affinen Schliei~ungss~tzen

133

spielen kann) gibt es eine Gerade k mit der Eigenschaft k I R1, Re, $1, S~ [vgl. Fig. 19]. R, Wenn R1 ~ $I, dann ist R 1 uneigentlich und umgekehrt folgt, wenn R1 uneigentlieh ist, R1 -~ S1. Dasselbe gilt ftir die Beziehung R~----S~. Wenn R1 = $1 und Re = S~, dann ist unsere Behauptung dureh die uneigentliche Gerade erfiillt. Wir nehmen ~. jetzt an: Re ~= S~. Dann sind die P u n k t e U, V mit U I P2P3, P1P4; V I Q~Qa, Q1Q4 eigentlich. P' Hiermit folgt, je naehdem in (A) der P u n k t W; ~, ~ , ~, W I g, h eigentlich ist oder nicht, aus (D) oder (d): ~ Es gibt eine Gerade I mit 1 1 U, V, W. Hiermit folgt Fig. 19: (Ay) aus (D)p fiir die Dreiecke R2Q3P4; $2Q1P~ mit dem Zentrum $1 und oder Aehse l: R2S~ I $1. Ebenso folgt aus (D)p ftir die Dreieeke P~S2Q4; P1R~Q~ mit dem Zentrum R~ u n d der Aehse l: R2S2 1 R1. ~ ~ 1~S~ geniigt also unserer Forderung.

Der auf diese Weise um die uneigentIichen Elemente und die Punkte R1, R2, $1, S~ und die Gerade k erweiterte Satz (A ) ist, die Verschiedenheit aller vorkommenden Elemente vorausgesetzt, diejenige regulate Konfiguration vom Typ (16~, 124) [vgl. Fig. 19], die man als Schnitt der raumlichen REu 1) mit einer Ebene erhaIt. Unter dem Schlieflungssatz (Ay) [Fig. 19] verstehen wir n u n die Aussage: Aus den in Satz (A) formulierten Voraussetzungen folgt: P2 P4 IIQ~Q4; u n d : Die (eigent]ichen oder uneigentliehen) P u n k t e R~, R e, S~, S~, die dureh R~ I PIP3, Q~Q4; R2 T pip4, Q2Qa; $ i r p ~ p ~ , Q~Q3; S~ I P~ Pa, Q~Qa definiert sind, inzidieren mit einer (eigentliehen oder uneigentliehen) Geraden k. Es gilt nun: (A) und (Ay) sind ~quivalent. Denn einmal ist (A) eine Teflaussage yon (Ay); und umgekehrt folgt, wie wir sahen, (Ay) aus (A) unter Verwendung yon (D)r. (D)~ ist aber bekanntlich eine Folge yon (D) ~) und damit wegen Satz 4 aueh yon (A). Damit gilt der

Satz 7: (A y) und (D) sing dquivalent. I n (A y) haben wir also einen weiteren SchlieBungssatz, der die affine Geometrie tiber einem Schiefk0rper kennzeietmet.

w 4. Die projektiv-dualen SehlieSungss~tze und ihre a|flnen Spezialisierungen 1. Wir betraehten zun~chst an Stelle von e die projd~ive Inzidenzebene %. Wir erhalten sie, wenn wir zu e die uneigentlichen Elemente hinzufiigen und diese dann nicht mehr yon den eigentliehen unter1) Zum Begriff der REYE.Kordlguration vgl. H~BERT - - COHN-VossENa.a.O. w22. ~) Einen konfigurativen Beweis hierftir geben wit in w4. 4.

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WiLhelm Klingenberg

scheiden. I n % treten an die SteUe der bisherigen Figuren ihre um die uneigentliehen Elemente (die nieht mehr yon den eigentlichen untersehieden werden) vermehrten projektiven Erweiterungen, die wir dureh den angeh~ngten Index p bezeichnen. Wir kOnnen dann alle Betraehtungen dualisieren. I n d e m wit den Dualisierungsprozel3 auf unsere obigen S~tze anwenden, erhalten wir Aussagen fiber die dualen Gegenstfieke unserer SchlieBungss~tze. Uns werden dann immer die affinen Spezialisierungen der so gewonnenen Abh~ngigkeiten interessieren, d.h. solehe Interpretationen in s, bei denen gewisse Elemente uneigentlich sind. Zun~chst bemerken wir: Die projektiven Erweiterungen der Figuren f~r die Definitionen der Verkni~pfungen in der HILBERTschen und REIDEMEISTERSChe~ Streclcenrechnung sind zueinander dual. So sind zun~chst einmal tSp, bestimmt durch die Geraden g ~ , g, g' und die Einheitsgerade e; e I E, E', E ~ (die in e uneigentlichen Elemente von !~ erhalten den Index ~ ) , und ~ , bestimmt durch die P u n k t e O, P ~ , P ~ (mit P - I g', g~ ; P ~ I g, g~) und den Einheitspunkt E*, zueinander dual. Hiermit l ~ t sieh unsere Behauptung leieht verifizieren. Es folgt, dal3 aueh die den einzelnen Verkntipfungsregeln entsprechenden Sehlie~ungss~tze dual sind. So gilt insbesondere, daft (R**)p zu (A)p und (r**)~ zu (a)p dual ist. Dabei entsprechen den drei Geraden in (A)~ (yon denen eine in (A) uneigentlieh ist), die mit v i e r P u n k t e n der Figur inzidieren, die drei Punkte in (R**)p (yon denen zwei in (R**) uneigentlich sind), die mit vier Geraden der Figur inzidieren. Ferner ist (P*)p zu (P)p und (p*)p zu (p)p dual. Dies gilt fiir (P*)~ und (P)p auch schon deshalb, weil sie beide eine PAPPus-PAscAT,-Figur bedeuten, welehe selbstdual ist. Wenn wir die aus der ~quivalenz yon (A) und (D) folgende ~quivalenz yon (A)p und (D)p dualisieren, so erhalten wir den Satz 8: (D)p, (A)p, (R)~ sind paarweise dquivalent. Auf die gleiche Weise folgt aus Satz 5 der Satz 9: (R**)p folgt aus (P*)~ dutch dreimalige Anwendung yon (P*)~. I n derselben Weise folgt (r**)p aus (p.)pl). Wenn wir diesen Satz so affin spezialisieren, dal3 (R**)p zu (R**) und (r**)p zu (r**) wird, dann wird aus (P**)p (P*) und aus (p*)p (p*), und wir erhalten den Satz 6. 2. Wir wollen die Aquivalenz yon (R**)p und (D)p durch geeignete affme Spezialisierung der l~iguren zu einer Aquivalenzaussage in s erweitern. Wir legen unseren Betraehtungen jetzt wieder e zugrunde. 1) Den drei festen Geraden yon (P) in Satz 5 (yon denen eine in (P) uneigentlich ist) entsprechen dabei drei feste Punkte von (P*)p.

Beziehungen zwischen einigen affinen Schlieitungssiitzen

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Dabei denken wit uns (R**)v so spezialisiert, da6 eine Gerade uneigentlieh wird. Wir erhalten dann den Schlieflungssatz (R) [Fig. 20]: Aus

P~P~ II Q~Q~; Ql t Pi Pk; Pl t QiQk P~ ~= P~; Q~#Qk(i=~k), (i, k = 1, 2, 3); P~Pa#P~P~; R2 ~ P i Q 3 , PaQ~; Rat P~Q~; R~Ra 11P2Pa folgt

Q,

R3 1 P~ Q~. Der Satz (R) weist eine gewisse ~amliehkeit mit (D) auf, wodureh er sich leicht einprgg%: Ms Ausgangspunkt k0nnen beide Male zwei beliebige Dreieeke P~P~Pa; QtQ~Qa mit paarweise paxaUelen SeiMn gewiihlt werden. Wghrend darm bei (D) die Verbindungsgeraden PiQ~ entspreehender Punkte einen Punkt gemeinsam Fig. 2o: (R) haben, werden bei (R) zwei der drei Geradenpaare PiQ~; PkQi (i ~ k) zum Schnitt gebracht mad fiir die Sehnittpunkte R~, R3 gefolgert: R~R~ II P~P3 II Q~Q3. Es liegt nahe, in (R) auch das dritte Geradenpaar P~Qa, PaQ2 zum Schnitt zu bringen. Gilt (R), so gibt es in der Tat einen Punkt RI: RIIP~Qa, PaQ~ so, dal~ gilt RiR, IIPiPtllQiQ, (i~=k) (i, k = 1, 2, 3) 1). Unter dem Schlieflungssatz (Ry) [Fig. 21] verstehen wir jetzt den um diese Folgea, rungen erweiterten Satz (R). Setzen wlr dieVerschiedenheit aUer Elemente in (R y) voraus, so zeigt sich, daft sich (Ry),

wenn wit die uneigentlichen Elemente mitrechnen, als die Konfiguration yore Typ (124, 16a) auffassen Mflt, die sich als ebene Projektion der ri~umlichen REYv.-Konfiguration ~) ergibt. Offenbar sind (A y)p und (Ry)~ dual zueinander. Da (R) eine Teilaussage yon (R y) ist und umgekehrt (R y) eine Folge yon (R), so sind (Ry) und (R)

P,

Fig. 21: (Ry)

dquivalent. Unter dem Schlieflungssatz (r) [Fig. 22] verstehen wir die Aussage, die aus (R) entsteht, wenn start R2 ! P~Q~, P3Q1 vorausgesetzt wird: P1 Q8 II P3Q~ und daraus P1Q2 II P~Q1 gefolgert wird. Die

p,

:Fig. 22: (r), (ry)

1) Fiir PsPa # Q~Qafolgt dies unmittelbar aus (R). Den Fall PaPaI Q,Qa kann man dann hiermit indirekt behandoln, t) Vgl, ttmBERT--Com~oVossv,N a.a.O. S, 124.

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]~rg~nzung von (r) zu dem mit (r) dquivalenten Satz (r y)1), bei dem auch noch P~Q3 11P~Q2 gefolgen wird, liegt auf der Rand [Fig. 22]. J~hnlich wie bei dem SchluB yon (D) auf (d) erkennt man: (r) oder auch (ry) ist

eine ]Yolge yon (R) oder auch (Ry). Als affine Spezialisierung der ~quivalenz yon (R**)p und (D)p gilt nun der Satz 10: (R) oder auch (Ry) ~znd (D) sind dquivaIent. Damit kennzeichnen auch (R) und (Ry) die q, ~, affine Geometrie fiber einem Sehiefksrper. Zum Beweis ben0tigen wir neben (D) auch diejenige affine Spezialisierung (D*) von (D)p, bei der zwei unverbundene Punkte uneigentlieh \ ~ / ~ g ' sind. Der Schlie[3ungssatz (D*) [Fig. 23] lautet: s''x,x ~ / Aus P~, Q i I g i , ~gk (i=~=k), (i,k = l, 2, 3);

gi Ng2 IIg3; P2 P3 JrQ~Q3I[R2 R3; t)1 1 P2 R3, Pa R2; QI I Q2Ra; R3 ~- gl, g~; R2~gl, ga; P2=4=Qs; .P1P~ ~ P1P 3 folgt Q1 !QaR2 9 Nach Satz 14

Fig. 23: (D*) ~

. p.

~

,

haben wir mit (D) aueh (D*) zur Verffigung. Um zu zeigen, dab (R) aus (D) folgt [Fig. 24], setzen wir zun~chst in (R) P2~P1Q 3 voraus. Der Fall P~ I/)1Qa folgt hieraus durch indirekten SchluB. Wir bestimmen unter den Voraussetzungen von (R) den Punkt T durch T I R~P2;

Zentrum R~ und den Dreiecken P~ P2 P3; Q3 TQ1: Q3TIIP~P2. Hiermit folgt aus (D*) mit den Dreiecken R 2TQs; R3Q1Q2 auf parallelen Tr~gergeraden: P1 Q21 R3, q.e.d. Fig. 24: (D), (D*)-~(R) Den SehluB yon (R) auf (D) ffihren wir mit dem Hilfssatz : Aus P~ I gl, f gk; S ' P~P~lIQiQk(i ~ Ic), (i,b-~ 1,2,3); ~. 0 ~ gl, g3 ; P~ ~= Q1; P~ P3 9 P~ P~; ~, gl ~ P~ P3; A 1 ~ g3, ~ gl folgt A ~~g~. Wir kormen A~ ~ Pa, Qa annehmen, da P3, Q3 ~ g~ bereits vorausgesetzt z, ~' ist. Wir bestimmen zum Beweis [Fig. 25] A2, A 3 dureh A3 ~ gl; A~A~ [[ PiP~ (i ~ k), (i, Ic----1,2,3). Ferner ist h durch h ll P3P~ilQ3Q~; h~O Fig. 25: (R)-~ (D) definiert. Aus (R) ffir die Dreieeke ~) Der Satz (ry) finder aich bei G. T~oMs~, Grundlagen der Elementargeometrie, Leipzig 1933, S. 25. Hier wird aueh bemerkt, dab (p) der Spezialfall von (ry) ist, f'tir den P, I PIQa; Q~~ PsQ, gilt.

Beziehungen zwischen einigen affinen SchlielSungss~tzen

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A1A2As; P 1 P ~ P s folgt ffir B m i t B I h, P1A~: B I P~A1. Ebenso folgt aus (R) fiir die Dreiecke A~A2As; QIQ2Qa fiir C mit C I h, QIA~: C I Q2A1. Aus P1 =~ Q1 folgt wegen A 2 ~ g~: B ~ C; B, C :4: O. Hieraus folgt AIP~ :4: AIQ2, also A 1 Ig2, q.e.d. Dutch Kontraposition folgt aus dem ttilfssatz, dab unter den Voraussetzungen der ,,Umkehrung" (D) gilt: (I) gl t O oder (II) P~P~ It gl. Wit miissen zeigen, dab auch im Fall (II) die Aussage (I) richtig ist. Dazu bestimmen wit im Fall (II) R~., R a dureh R~ Igl, g~; Ralgl, gs. Entweder ist R2 = Rs und damit R2 ---- O; dann gilt (I). Oder es ist R2 ~ Rs. Wir bestimmen in diesem Falle R1 durch R1R2 II P1P2; R11~s II PIP3. Dann ist I~P~ HP~P3; RIQ~ ~ Q~Qa. Damit ist (II) falsch fiir die Dreieeke R1R2Rs; P~P2Ps und RIR2Rs; Q1Q2Qs und es folgt deshalb mit (I) : R1 P1 10 und R~Q~TO. Dies bedeutet aber P1 Q~ = gl I O, q.e.d. Damit ist der Satz 10 bewiesen. Mit ganz iihnliehen Sehliissen kt~rmen wir auch beweisen: Satz 11: (r) oder auch (ry) und (d) sind dquivalent. Wenn wir in Satz 9 (R**)~ zu (R) speziMisieren, so stellt sieh heraus, dab dabei die (P*)~ in (P) iibergehen. Es gilt d~mit der o Satz 12: (R) folgt aus (P) dutch drei-

malige Anwendung yon (P)~). Z u m Beweis [Fig. 26] bestimmen wir unter den bei (R) gemaehten Voraussetzungen D durch D I PsQI; P~D II P~Q~ u n d E dureh E ] Q~Qs, P~P~ und F d u r e h F IP~Q~, ED. Dann folgt aus (P) ffir das Seehseek PsP~ DEQ~P,: D E = D F II PsP, IIQsQ~. Dann folgt aus (P) ftir das Seehseek PIEFQI@Qs: P~Qs = R~P~ HFQ~. Dann folgt aus (P) ffir das Sechseek P~R~RaQ~FD: P~D II RsQ~; d.h. aber

o,

6

s

Ra I P~Q~. Die Beweise yon Satz 10 und 12 bilden wiederum einen Bewei8 far den Hessenbergschen Satz. S. Zu einer anderen affinen Spezialisierung yon (R**)~ gelangen wir, wenn wit hierin zwei unverbundene Punkte, die nur mit drei Geraden der Figur inzidieren, uneigentlleh machen. Der so eh~rakterisierte lYchlieflung~satz (R*) [Fig. 27] lautet: Aus

r

Fig. ~6: (P) -~ (R)

5

Fig. 27:(R*) ~) Die drei auftretenden (P) haben die Punkte P~ und Qa und die Richtung PaPa [[Q~QsIIDE gemeinsam.

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g~IS; P~, Q~g~, ~ge(i=~k), ( i , k = 1,2,3); PIPS II Q1Qs II P~Pa; P s P a II QsQa [I PaPa; PIPs =4=PaPs; PI ~ Qi; P~Ig~gsgs~); T I P1Qa, PaQ~ folgt T ~ P~Qs. Die Folge einer ,,Umkehrung" yon (R*) ist der Schlieflungsaatz (r*), in dem start T ~ P~Qa, PaQI vorausgesetzt wird: P~Qs II PaQ1 und hieraus PIQa II P4Q~ gefolgert wird. (R*) kOnnen wir leieht zu einer REID~EISTm~figur (R**) erggnzen [vgl. Fig. 28]: Wir bestimmen den P u n k t Q~ dureh Q~ ~ S P~ = ga; PaPa II QaQa. Dalm gilt wegen (R**) mit dem Zentrum S und den Punkten PsPaP4P1; Q~QaQ~: PsQ4 ~ T. Hiermit folg$ aus einer ,,Umkehrung" yon (R*) mit dem Zentrum S und den Punkten t)aPaP1P~; Q~Q4QI: P1P~ I[ Q1Q4. Dann bilden die Punkte P~P2PaP4; Q~QsQaQ~ mit dem Zentrum S in der Tat eine Figur (R**). Unter dem Schlieflungssatz (R y*) [Fig.28] verstehen wir die Aussage, bei der aus den Voraussetzungen wie in (R*) neben T I-P4 Qs auch noch die Existenz eines Punktes Q4 o~ mit PIP4 I[ Q~Q4; PaP4 II QaQ4; P4Q4I S; Fig. 28: (/~y*) PsQ4 1 T gefolgert wird. (Ry*) und (R*) sind dqq,ivalent. Denn (R*) ist eine Teflausgabe von (Ry*) und umgekehrt folgt, wie soeben gezeigt, (Ry*) aus (R*). Dabei ist (Ry*) diejenige affine Spezialisierung yon (Ry)p, bei der zwei unverbundene Punkte uneigentlich sind. Die ~quivalenz yon (R**)p mid (D)~ gestattet nun eine weitere affine Interpretation in der Form yon Satz 13: (R*) oder auch (Ry*) und (D) ~ind ~quivalent. Wir haben hiermit erneut zwei affine Figuren, die die affine Geometrie tiber einem Schiefk0rper kennzeichnen. - - DaB (R*) eine Folge yon (D) ist, erkennen wir einfach, indem wir mit den Voraussetzungen yon (R*) aus (D), angewandt aufdie Dreiecke P1 P3 P2; Q1QaQ2mit dem Zentrum S, folgern: P1Pa [[ QIQ3. Die abermalige Anwendung yon (D) auf die Dreiecke P4 P1 t)~; QsQaQ1mit dem Zentrum T liefert dann die Behauptung. Umgekehrt zeigen wit, dal3 (D*) (und wegen Satz 14 dann aueh (D)) eine Folge des Hilfssatzes ist: Aus Pi, Qi Igi, ~gk (i ~ k), (i,k = 1, 2, 3);

P~P311QsQz I[ RsRa; PI ~ PsRs; PaR~; Q~ I Q~Ra, Q3Rs; Ra ~g~, gs; Rs.~gi, gs;

Pa4:Q3;

PaPs4:P1P3;

Rs~g~;

gsllg3 folgt g2[Ig~.

x) Man sieht leicht ein, dab bei der Gtiltigkeit yon (R*) in ~ auch der Satz giiltig ist, bei dem in (R*) start P4 ~ g~ vorausgese~zt ist P4 ~ q~. Die Gtiltigkeit yon (R*) mit P4 ~ gl oder P~ ~ ga start P4 ~ gx, gs folgt, wenn man die Rollen yon und T vertauscht, dureh indirekten SehlulL

Beziehungen zwischen einigen affinen Schliel~ungss~tzen

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Wegen der Eigensehaften yon e ist diese Aussage mit (D*) ~quivalent, falls R3 ~ g3- Hieraus folgt aber auch (D*) im Falle R 3 1 gs. Dazu bestimmen wir in diesem Fall unter den Voraussetzungen yon (D*) den Punkt Q* durch Q* I gl, Q3 R2. Auch ffir Q* ~= Q1 folgt jetzt Q* -- Q~, also (D*). Dazu bestimmen wir den Punkt R* durch R* I P~P~, Q*IQ2. Es gilt R* tg3, g~, g~. Mit dem Punkt R*; R 2* Ra* I[ P~ P~, R* ~ P~ P~ folgt dann aus (D*) fiir die Dreiecke PIP~P~; Q*Q~Qa mit R*~g3: QaR*IQ*. Wegen Q~R~ ~Q* heiBt das: R* ---- R~; R* -~ R~; Q* -- Q1. Wir beweisen den I-[ilfssatz jetzt [Fig. 29], indem wir zeigen, dab unter den angegebenen Voraussetzungen ftir einen Punkt P* mit P* ~ g~ stets P* ~ gl folgt. Wir konnen clabei P* =~=_P~, Q~ annehmen, da P2, Q~ ~ gl sehon vorausgesetzt war. Uberdies sei P* ~ R2 Ra. Die sich hieraus ergebende Moglichkeit, dab start g~l[ g2 die Geraden gl, g2, R2 Ra einen Punkt gemeinsam haben, l~Bt sich leicht ad absurdum fiihren, worauf wir hier aber nicht eingehen wollen. Dann bestimmen wir die Punkte U, V durch P* U II P~P3; U I gs; V R3 Fig. 29: (R*) -~ (D*) [] ga; V I P~ P*. Dann folgt aus (R*) oder (r*) mit dem Zentrum PI und den Punkten P*P2PsU; V RaR 2 die Existenz eines Punktes T mit T I P*R2, P3 V, U R3 oder es ist _P* R211 P3 V II U Rs. Dann bestimmen wir den Punkt W dureh WRa II g3; W I Q1P* und finden aus (R*) oder (r*) mit dem Zentrum Q1 und den Punkten QsQ2P* U; R2R a W wegen P* R~ ~ UR3: Qa W I T oder Q3 W II P8 V. Aus den Voraussetzungen folgt T ~ g3. Damit folgt aus P3 ~= Q8 in jedem Falle V ~ W und damit P1P* =4=Q~P* und damit P* ~ gl, q.e.d. 4. Man wird schlieBlich auch noeh nach einer solchen affinen Spezialisierung der Beweisftihrung fiir den SchluB yon (R**)p auf (D)p fragen, bei der die beiden darin auftretenden Figuren (R**)p in Figuren (R**) iibergehen. Dies gelingt jecloch nicht, und so bleibt es eine offene Frage, ob aus der REIDEMEZSTE~figur (R**) (D) folgt - - die Umkehrung hatten wir schon in w 3.3 gezeigtl). 1) W i t h~tten tibrigens auch von dem Satz (A)~ noch auBer (.4) zwei andere affine Speziallslerungen (.4') und (.4*) betrachten kSnnen, bei denen einmal eine Gerade mit n u t drei P u n k t e n der Figur und das andere Mal zwei unverbundene P u n k t e der Figur uneigentlieh sind. Man k a n n dann zeigen, dal~ (.4*) mit (D) ~quivalent ist, w~hrend dies f fir (A') often bleibt.

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Die vorstehenden Untersuchungen lassen sich auch unter dem Gesiehtspunkt betrachten, die Abhgngigkeit verschiedener affiner Spezialisierungen ein und desselben projektiven Schliel~ungssatzes zu untersuchen. So haben wir mit Satz l0 mad 13 gezeigt, dab (R) mit (R*) und (Ry) mit (Ry*) gquivalent ist. Hierbei wurde schon wesentlieh benutzt, dab wir zu dem aufgeworfenen Problem ftir den Satz yon D~sxaov~s beweisen konnen: Satz 14: (D) und (D*) sind i~quivalent. Unter dem Schlieflungesatz (D**) [vgl. Fig. 30] verstehen wir die Aussage, die aus (D*) entsteht, wenn statt gt 11gz 11ga vorausgesetzt wird: gi • O. Fiir den Sehlul] yon (D) auf (D*) zeigen wir nun, daft (D**) eine Folge yon (D) ist [Fig. 30]; aus (D**) folgt dann aber (D*) wie beim SehluI3 yon (D) auf (d). - - Unter den Voraussetzungen yon (D**) bestimmen wir den Punkt Q* durch Q*Igl; Q~Q311PIPs. Aus (D) mit dem Zentrum O und den Dreiecken P1P2Ps; Q*Q~Q3 folgt dann RaP 1 = P1P2 l! Q*Q~. Hiermit folgt aus der Fig. 30: (D) --~ (D**) ,,Umkehrung" yon (D) mit dem Zentrum Q~ und den Dreieeken R~P~Rs; Q3Q*Q2:QsR2 IQ1; d.h. es gilt (D**). Den Sehlul3 von (D*) auf (D) fiihren wit wieder, apagogiseh, indem wit die folgende Kontraposition yon (D) beweisen [Fig. 31]: Aus Pi, Qi Igi, ~g~: (i~=k), (i, k = l , 2, 3) P~Ps IIQaQa;

P2Pa [IQ~Qa; P~P2 HQ~Q2; gl, g3, ~0"~ P~ ~ Q~; P~Pa=~P~Pz folgt g~ IO1). Es gibt also einen Punkt R~ mit Ri ~ P1P~, QiQ~. Wit bestimmen den Punkt Rs dureh R 1Ra II P1Pa; P~ Ra ~'ig. 31: (D*) ~ (D) II PtR~ und den Punkt S dureh S~Q~R~; OSft PtR1. Wir k0nnen S ~ Q~ annehmen; denn aus S = Q~ folgt P2Q~ --g~ ~O unmittelbar. Dann folgt aus (D*) ffir die Dreiecke Q1P1 R i ; QaPa Rs auf parallelen Tri~gergeraden: RaS I Q3. Dann bestimmen wir den Punkt Q* dureh Q* I OP2, Q~Qamad den Punkt R2 dureh R~ I P1R1; R~Ra II P2P3 II Q'Q3. Dann folgt aus (D*) fiir die Dreieeke QaP~Rs; Q*P~R~: R~S IQ*. Wegen R1 ~ R2 (derm es ist R1 =~ R3; Ra ~ R~ und wegen 1) Wird in der nachfolgenden Beweisfigur (vgl. Fig. 31) die Gerade O S die uneigentliehe Gerade, so erhal~en wit die Beweisfigur Fig. 7 von Satz 1.

Beziehungen zwischen einigen affinen Schliel3ungss/itzen

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PIPa =~=P2Pa auch

R1R a =~ R2R3) ist auch Q2 g= Q* (denn es ist S t R1 R~; S :~= Q~). Damit ist aueh P2 Q* ~ P2 Q2 -- g2, also g~ t 0, womit Satz 14 endgiiltig bewiesen ist. Wir woUen noeh zeigen, wie man aus (D) den Satz (D***) erhs Dabei verstehen wir unter (D***) die Aussage, die man aus (D**) erhs wenn man hierin statt P2Pa II Q2Qa I[ R2Ra voraussetzt, da6 sieh die Geraden PzPs, Q2Qa, t~Rs in einem Punkt R~; R1 ~ g2, g~ sehneiden sollen. Unter den so formulierten Voraussetzungen bestimmen wir P*, Q* dureh P* I PIRa; P'Pall R~Ra; Q* IOP*, Q1Q2. Dann folgt aus einer ,,Umkehrung" yon (D**) ftir die Dreieeke PzP*Ps; QzQ*Qs mit dem Zentrum O: Q*Qs II R1R2 = RJ~s. Dann folgt aus (D**) ftir die Dreieeke PIP*Pa; Q1Q*Qa mit dem Zentrum O: QsR~ IQ1, also (D***). Da aber (D**) eine Folge yon (D) ist, haben wir gezeigt, dab aueh (D***) eine Folge yon (D) ist. Da nun umgekehrt, wie bei dem SchluB yon (D) auf (d), (D**) eine Folge yon (D***) und (D*) eine Folge, yon (D**) ist, haben wir mit Satz 14 gezeigt, daft die vier mb'glichen affinen Spezialisierungen (D), (D*), (D**), (D***) des Satzes von DESA_~-

OUES alle untereinander aquivalent aind. Zum Sehlul3 untersuehen wir die Frage naeh der Abh~ngigkeit versehiedener affiner Spezialisierungen fiir den Satz yon PAPers-PASCAL. Wir beweisen hierzu den Satz 15: (P*)folgt aus (P). Aus (P*) und (d) folgt (P). Ob nieht sehon aus (P*) alleine (P) folgt, bleibt dabei often. Die Frage ws positiv entsehieden, wenn gezeigt w~re, dal3 (D) aus (R**) und damit wegen Satz 6 aueh aus (P*) folgt. Man kaun dies aus den BecIeutungen dieser SchlieBungss/~tze in der REIDI~MEISTEI~schen und HILB~RTschen Streckenreehnung erschlieBen; man kann aber auch unmittelbar einsehen, dab (P) und (P*) unt,er einmaliger Anwendung yon (D) ~quivalent sindl). Sie sind es ja sogar schon unter Verwendung yon (d), wie wir jetzt zeigen wollen. Fiir den SchluB yon (P*) und (d) auf (P) bemerken wir zun~chst, dab naeh Satz 2 mit (d) aueh (p) gtiltig ist, so dab wir in die Voraussetzungen von (P) g • h aufnehmen konnen. Dann bestimmen wir [Fig. 32] die Geraden k, 1 und die Punkte ! R, S, T durch k[ll[I g; ]cIQ1; l IQ~; RIk, P1Q2; S tl, P~Q3; TIk, P1Q3. Dann folgt aus (P*) mit dem Zentrum Qs und den Punkten STQ1P2P1Q~: S T I[ PIQ2 II P~Q1. Dann folgt aus (d) ftir die Dreieeke Fig. 32: (P), @), (~) --, (p*) 1) Siehe REID~,MEIST]~Ra.a.O. S, 140.

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TP2S; RPsQ~: TP~I] RPa. Dann folgt aus (p) ffir das Sechseck PIRP3Q~P~T: PIQ3 : P I T ][ P3Q1, q.e.d.1) 9 Fiir den Schlul~ yon (P) auf (P*) bemerken wir, dab mit (P) auch (d) giiltig ist: Denn nach dem HESSENBV.RGschen Satz, wie er etwa mit Satz 4 und 5 bewiesen wird, ist (D) und damit auch (d) eine Folge yon (P). Wenn wir aber (d) haben und (p) (schon als Spezialfall yon (P)), dann lassen sich die vorstehenden Schlfisse in umgekehrter Reihenfolge vollziehen und wir erhalten (P*), womit dann Satz 15 bewiesen ist. Unter dem Satz (d'") wollen wir den SpezialfaU yon (D) verstehen, ftir den zuss P3 P2I[ g~; P1 P2 I[ g3 vorausgesetzt wird. Dann kann m a n auch, wie mir Herr BACHMAN~ mitteilte, beweisen: Satz 16: Aus (P*) und (d'") folgt (P).

Da (d'") nicht aus (d) folgt 2), ist dies eine von Satz 15 unabh~ngige Aussage.--Ftir den Beweis [Fig. 33] nehmen wir unter die Voraussetzungen yon (P) wiederum g ~ h auf. Sei also 0 1 g, h. Dann bestimmen wir die Punkte P~*, P2*, P~*, Q*, Q*, Q* dutch P ' P = = Q * P : [ [ h; P* = Q* II h; P * P1 = Q* P , [Ih; Q'Q2 : P*Q~I[g; Q*Qa= /'*Q3 I[ g, QsQI-P2QIIIg. Dann folgt aus (d") mit dem Zentrum 0, dal3 P 1 Q I I O " , P3* Q3* ~ 0 gilt9 o p, ~ ~ Aus einer ,,Umkehrung" yon (P*) Fig. 33: (P), (d'") -* (P*) ftir die Punkte P*, Q*, P*, Q*, P*, Q* mit dem Zentrum 0 folgt, daft auch /)2* Q2* r= 0, und hiermit aus (d") wiederum P1Q3 [] P3Q1, q.e.d. Aus einer ,,Umkehrung" yon (P) mit g H h folgt dann aber auch (p). 1) Die vorstehende Beweisfigur Fig. 32 l~Bt sich dutch geeignete affine Interpretation aus der projektiven I-IESSE~rBERGsehen Beweisfigur ffir den SchluB von (P)p a u f (D)p gewinnen, wie sie sich in der a u f S. 120 zitierten Arbeit findet. Wir bemerken noch, dab die Beweisfigur sich auch so interpretieren laBt, dab dureh die je einmalige Anwendung yon (p), (P) und (P*) der Satz (d) folgt. D a m a n nun nach HESSENBERG aus (P) direkt (D) erschlieBen kann und hiermit nach I~.XDE~EISTER a . a . O . S . 140 auf direktem Wege auch (P*) erhalt, so liefert also unsere Beweisfigur den SchluBstein zu einem direkten Beweis von (d) aus (P). W i t bestatigen hiermit die Bemerkungen I~IEssENBERGS (vgl. Anm. I, S. 121) fiber die ]~xistenz eines direkten Beweises von (d) aus (P). 2) I n der I-IILBERTschen Streckenreehnung entspricht dem Gesetz ( - - 1 ) a ~- - - a eine spezielle Figur (d'")9 H ~ L h a t nun a . a . O , eln VEBLEN-WEDDERBITRNSystem angegeben, in dem nicht stets ( - - 1 ) a ----a ( - - 1 ) = - - a gilt. Also ist (d'") keine Folge yon (d)9

Beziehungen zwischen einigen affinen SchlieBungss~tzen

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Die Frage nach den Beziehungen zwischen (P) u n d (P*) h a t iibrigens auch v o m Standpunk~ der Inhaltslehre Interesse, wie sie y o n H e r r n R~IDEMEISTE~ in einem Vortrag a m 12.1.1952 im Mathematischen Seminar der Universit~t H a m b u r g entwickelt wurde.

Verzeiclmis der in der ~rbeit auftretenden afflnen SchlieBungss~tze

(A) (a) (Ay) (D) (D*) (D**) (/9***) (d) (d') (d") (d"') (d/s~) (d/st)

S. 122 [Fig. 4] S. 122 S. 133 ['Fig. 19] S. 122 [Fig. 1] S. 136 [Fig. 23] S. 140 [vgl. Fig. 30] S. 141 S. 122 [Fig. 2] S. 127 S. 127 S. 142 S. 125 [vgl. Fig. 9] S. 126 [Fig. 11]

(P) (-P*) (p) (Su*) (R) (R*) (R**) (r) (r*) (r**)

S. 122 [Fig. 3] S. 132 [Fig. 18] S. 122 [vgl. Fig. 8] S. 132 S. 135 [Fig. 20] S. 137 [Fig. 27] S. 131 [Fig. 16] S. 135 [Fig. 22] S. 138 S. 132 [Fig. 17] (Ry) S. 135 [Fig. 21] (Ry*) S. 138 [Fig. 28] (ry) S. 136 [Fig. 22]