Zeitschrift for Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 52, 149-182 (1980)
Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete 9 by Springer-Verlag 1980
Comportement des semi-martingales dans un grossissement de filtration T. Jeulin Laboratoire de Calcul des Probabilit6s, Universit6 P. et M. Curie, Tour 56, 4, Place Jussieu, F-75230 Paris Cedex 05
Introduction Soient (O,d,P) un espace probabilis6 complet et ~=(~)t=>o une filtration vdrifiant les conditions habituelles. On consid~re une deuxi6me filtration continue/~ droite fg=(fYt)t_>_o,telle que pour tout t: ~ c f f t c d . Le probl6me du grossissement consiste: - & donner des conditions sur f~ pour que toute semi-martingale par rapport ~t la filtration Y reste une semi-martingale par rapport ~t fr (on dira alors que fr satisfait/t l'hypoth6se (~'))1. I1 est clair dans ce cas que toute semi-martingale sp6ciale le reste pour ~. On se pose donc aussi le probl6me, si (~r est v6rifi6e - de donner des d6compositions canoniques (par rapport /t (4) des semimartingales sp6ciales. Dans le cas off ( ~ ' ) n'est pas v6rifi6e, on peut aussi chercher ~t distinguer des classes de semi-martingales qui conservent cette propri6t6 par r a p p o r t / t fr On donne dans une premi6re partie une condition suffisante (et n6cessaire lorsqu'il y a repr6sentation finie pour les martingales localement de carr6 int6grable) pour que fr v6rifie l'hypoth~se (~'). On s'int6resse ensuite plus particuli6rement au cas off la filtration fr est obtenue par grossissement de J /t l'aide d'une variable aldatoire L (~ valeurs darts lRw{+oo}, ce qui permet de traiter simultan6ment le grossissement <
> faisant d'une variable al6atoire positive un temps d'arr6t, et Fadjonction/t 20 d'une tribu s6parable). On sait (Jacod, Meyer [6]) que la solution est positive lorsque L ne prend qu'une infinit6 d6nombrable de valeurs; dans le cas gdndral, notre m6thode va consister fi travailler par approximation discr6te, en raffinant sur les majorations. A cot6 de l'6tude th6orique, on donne des exemples (et contre-exemples) plus explicites: diffusions conditionnelles, conditionnement du mouvement brownien par son premier temps de passage en 1, ou par le processus de ses maximums relatifs, ou encore par son maximum/t l'instant 1. 1
Nous conservons les notations introduites en [1l]
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T. Jeulin
I. Rappels et notations (f2, d , P ) d6signe un espace probabilis6 complet et N = ( ~ t ) t ~ 0 une filtration (constitu6e de sous-tribus de N) v6rifiant les conditions habituelles. Pour ce qui concerne les propri&6s g6n6rales des semi-martingales et l'int6gration stochastique, notre r6f6rence est le cours de P.A. Meyer ([13]). Rappelons que pour p r6el, 1 < p < + o% HP(~ ~, P) est l'espace des (~, P)-semimartingales sp6ciales X, admettant une d6composition canonique X = M + A en somme d'une (~P)-martingale locale M e t d'un processus ~-pr6visible /~ variation finie A, nul en 0, v&ifiant:
[IXILHp(~,v)
[M,M]~+ ~[dAsl 0
< + oo;
(1)
LP (p)
on prolonge cette d6finition ~t toutes les (~,P)-semi-martingales en posant P IIX bln,(~,v)= + oo si X n'est pas sp6ciale. Hm(~, P) d6signe l'ensemble des (o~, P)martingales de HP(J~, P). Nous notons J ( Y ) l'ensemble des processus ~-prdvisibles, born6s par 1, et Je(W) l'ensemble des processus ~-prdvisibles <(616mentaires>> born6s par 1, i.e. Fensemble des processus pouvant s'~crire spus la forme: n--1
Jo 1~o~+ ~ Ji 1~.,,, +,~. i=1
avec Jo ~o -mesurable, 0---tl--
Ji ~t -mesurable,
ov(X,~,P)=suP ( o~J.d X ~ Lv(p);J@J;(~),sEIR +) ;
(2)
Yor montre ([22], th6or6me 4) que Hv(~,,P) est aussi l'espace des (~, P)-semimartingales X v&ifiant:
ov(X , if, P) < + oo. Les deux normes %(.,,,~,P) et II.lln,(~,e) sont 6quivalentes: il existe deux constantes universelles cp et Cp, 0 < cp < C e < + o% telles que pour toute (Y, P)semi-martingale X'
cp [iX I[~r~(~,v)<=op(X, ~, P)<__C v IlX ][n,(~,v).
(2')
Pr6cisons encore quelques notations: s i x est un processus continu A droite, adapt6 ~t la filtration W, et si a=(0_<_t0
v A x . ~, g ) = ~ e.(I x . - ~ A x . +, I~%,)l) i=0
si Ee([Xt~[) est fini pour tout i = + oo sinon
(3)
Comportement des semi-martingales darts un grossissement de filtration
151
~p(x, ~, ~ ) = VAN, ~, ~ ) + E(IX,~ Ve(X, o~) = sup Ve(X, a, .~) ff
?v(X, . ~ ) = sup ~p(X, a, .~). ff
Par d6finition, X est une (~,P)-quasi-martingale si sa variation Vp(X, ~ ) est finie ([20]). Rappelons qu'une (~P)-quasi-martingale X est diff6rence de deux surmartingales positives (donc est une semi-martingale spSciale) et admet une d6composition canonique X = M + A, off A est ~-pr6visible, h variation int~grable; l'6galit6 IIAI[H~(~,p)=Ve(A,~ ([14], page 487), montre alors (cf. [20] et [16]) que HI(~,,P) est l'ensemble des processus g-adapt6s, continus/t droite X v6rifiant: Vp(X, o~)< + o0 et
Ne(X, ~)=Ep([X, X]~) + Vp(X, .~) < + oo.
(4)
En outre, il existe deux constantes universelles d et D, 0 < d < D < + o% telles que:
d I[XIIH~(~,e)
(4')
I1 est bon de remarquer pour la suite que si X est une semi-martingale et a
=(O<=to
J = ~ ji l~t,t~+~, ~=o
Ji=signe{Ee(Xt~+~lYt)--Xt~}.
Les deux r6sultats ci-dessous sont essentiels pour la suite. Le premier est dfi Yor ([22], th6or6me 5): N=(Nt)t~0 est une filtration contenue dans ~', v6rifiant les conditions habituelles, et pour tout t, ~ Nt; P ~ P),' supposons que X soit une (r P)-semi-martingale Proposition 1. Soit X~ H,,(~,
[spFciale], de d&omposition canonique X = Y+B (Y est une (N,P)-martingale locale, B un processus fY-prOvisible d variation finie, nul en 0). Alors YaH~(N, P) et il existe une constante universelle yp telle que: rlYIl~/~(~,p)< 7p IlXllu, t~,p).
(5)
Notre travail va donc consister h econtr61er~r B! Le deuxibme r6sultat est dfi ~t Stricker ([20]) et Dellacherie ([4]): Proposition 2. Soit ( k X ) ~ une suite de (~P)-semi-martingales. Il existe une
dO
probabiIiti Q iquivalente d P, la densitO de Radon-Nikodym ~p itant bornie, telle que les semi-martingales {(~X)', k e N , t e N + } ~ soient dans H ~(~, Q). Nous serons amen6s ~t changer de probabilit6s. Rappelons que si Q et P sont 6quivalentes, les notions de (~,,P) et (~,Q)-semi-martingales sont identiques; nous utiliserons le th6or~me de Girsanov: sis est une variable al6atoire/t valeurs dans ~,., X s est le processus X arr&6 en S: XS=Xs^t
152
T. Jeulin
Thfior~me3 ([131)9 Soient X une (~,P)-martingale locale, Q une probabilitl ~quivalente d P, M la densitd de Q pat" rapport d P e t M,=Ee(M]~t). X est une (~-~,Q)-semi-martingale spOciale si et seulement si ( X , M ) existe ; auquel cas, X-
1
M_
9( X , M ) est une (~, Q)-martingale locale.
Notons' enfin que toute (~,P)-semi-martingale est localement la somme d'une (~,,P)-martingale born6e et d'un processus /t variation finie @-adapt6 ([15]); l'hypoth6se (o~') est donc 6quivalente ~t ([211, page 63): (2/~) Toute (if, P)-martingale born~e est une (~, P)-semi-martingale.
II. R~sultats g~n~raux sur l'hypoth~se ( ~ ' ) Dans tout ce paragraphe N=(Nt),~o est une filtration v6rifiant les conditions habituelles et, pour tout t, ~ c Nt. On a alors le Lemme 4. Supposons l'hypoth~se (Jr') v~rifi& ; soit X une (~, P)-martingale locale, de N-d~composition canonique X = M + A. Soit ~(X, o~) l'ensemble des processus
~-prOvisibles q~ tels que le processus croissant
qo~d [ X , X ] s
soit (~,P)-
localement int~grable 3. Pour tout q~e~(X, ~ ) , qo~ d i M , M]s
i)
est (~, P)-localement intdgrable;
t
ii) ~lqo~lldA~l est p.s. fini pour tout telR+ (et est donc (N,P)-localement 0
borne); iii) la (~, P)-dicomposition canonique de la (~,P)-martingale locale q~. X est ~gale d ~o. M + ~o. A. D~monstration. a) soit q~ ~-pr~visible borne; on a q ~ ) X = ~ o ) X ; q~.M et q~.A sont bien d6finis, q). A est N-pr6visible g variation finie, et q~- X = q~. M + q~- A est la (N,P)-d6composition canonique de ~0. X. Quitte/t arrSter 32 (/~ l'aide d'une suite de (~)-temps d'arrSt), on peut supposer: X e I I ~ ( ~ P ) . On d6duit alors de la proposition 1:
Ep
q)2 d [ M , M ] s
<=~/1Ep
q~ d[X,X]~
,
in6galit6 qui se prolonge 5. toutes les (~, P)-martingales locales X, puis 5. tousles processus ff-pr6visibles q0, d'ofl i). (Remarquons que l'on peut mSme localiser
t~
~o~d[M, Ml~
dans Lt(P) A l'aide d'une suite de (~)-temps d'arrSt, pour
tout q~e4~(X, ~).) z Un processus ~ - a d a p t 6 Z e s t dit (~,~,P)-localement int6grable s'il existe une suite croissante de (~)-temps d'arrSt T, tels que: P(supT~<+~)=0
et
Ee(IZr.I,T,<+oo)<+co
pourtout n
Comportement des semi-martingales dans un grossissement de filtration
153
b) Remarquons aussi que, si C est un ensemble ~-pr6visible tel que 1c . X =0
.e. flc(s)d[X,X]~=O
, alors l c . M = l c . A = O ;
en cons6quence, si
o
~o~4~(X, ~-), on peut supposer (o fini; ~o. X est une (~, P)-martingale locale, (o. M est une (N,P)-martingale locale; ~ o . X - q ~ . M d6finit donc une (N,P)=semimartingale sp6ciale, de d6composition (N,P)-canonique NO+A ~~ Pour tout entier n>=l, soit J,=l@j_<,); on a:
J,. ((p. X - (p. M) = ((p J,). X - ((p J,). M =((pJ,). A = J , . NO + J,. Ae; d'ofi J,.Ne~-O, J , . A o = @ J , ) . A , enfin N~~
soit encore J,.[Ne, No]=O pour tout n, ou
Par suite AO=~o.A est/t variation finie, et i [dA~s[= i [q~ o
0
IdAsI.
( ~ ' ) 6tant toujours suppos6e vraie, soit X une (~P)-martingale locale; le t
lemme 4 montre que l'on d6finit, pour t fix6, une application ~o-~ [q~sl IdAsJ de 0
9 (X,~-) darts l'espace L~ des variables al6atoires finies P-p.s. En nous inspirant de la proposition 2 et des m6thodes de [18], nous allons montrer le: Th~or~me 5. Supposons (2/g') v~rifi~e et soit X une (J~,P)-martingale locale; il
dQ
existe une probabilit~ Q ~quivalente fi P, avec cIP bornOe, et, pour tout u > 0 une constante ~(u), 0 < 6 ( u ) < + oo (d@endant de P, ~ fq et X) telles que: II((o. X)U II/t1(~r
(6)
~(u)IJ (P-X rl/~l(~,p)
pour tout processus ~-pr~visible (o tel que Ep
q~2 s d [X, X]~
soit fini.
((i
qo~d[X,X]~
D~monstration. Pour ~0 ~--pr6visible, notons: N(~o)=E~
;)
, et
limitons nous dans la suite fi consid~rer des processus q~ tels que N@) soit fini. 1) Consid6rons les variables al6atoires il~o~lldA~l, qui sont P-p.s. finies o
(lemme 4-ii). Pour tout n ~ N et tout e>0, il existe 2,,~>0 tel que:
pour tout q~, N @ ) < l, P (i rcP~,jd Asl > 22,~ ) < e. Supposons en effet que ce ne soit pas le cas; il existerait alors n~N, e>0, et pour tout entier p > l , un processus ~-pr6visible positif (p(v) N(cp(v))
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T. Jeulin
~o=_1 ~p-2~o(v); on a: N(q~)< 1- E P - 2 N(qCv))<1,
Soient alors c = • p - 2 , p>-I
Cp>-i
tandis que, pour tout p > l , P
Cp>=l
q)sldAs[>
>~, ce qui contredit la finitude P-
p.s. de iq3~ldA~l. o 2) En particulier, pour tout n > 1, il existe 0 < 2, < 1, tel que pour tout ~0 ~ pr6visible, N(~o) <__1, on ait: P
I~p~l IdA~l>~l I < 2 - " ; =2,,] =
le lemme de Borel Cantelli montre que n
n>l
0
est fini P-p.s. d6s que N(q~) est fini. Sans changer de notations on peut supposer en outre: n
n>>_l
0
est P-p.s. fini. 3) Notons W =
1+ 2 2 , 2
" hdA~l
n>l
(0
P-p.s.), et @ le sous en-
0
semble convexe de LI+(P): 9=
W L
2 , 2 - " ~psldAsl; n>l
0
q~ ff-pr6visible born6 positif, N(q~)< 1}. Le m~me raisonnement qu'en 1) donne: pour tout e>0, il existe a , > 0 tel que N(q~) < 1 implique: P W22,,2-"~]q~,lldA,[> \
n>_l
0
Or, pour leur caract6risation des semi-martingales, Dellacherie et Mokobodzki ([18]) ont d6montr6 le lemme suivant: Lemme 6. Soit A un sous ensemble convexe de LI+(P). Les conditions suivantes sont ~quivalentes : i) il existe une variable al~atoire V telle que 0 < V< 1 P-p.s. et: sup Ep(a V) < 1 ; aEA
Comportement des semi-martingales darts un grossissement de filtration
ii)
la fonction "dOcroissante)x ~ s u p P { a
-~- 0 0 .
> x}
155
tend vers 0 quand x tend vers
aEA
Appliquons le lemme 6 ~ l'ensemble convexe 3 ; on obtient alors: il existe W', 0 < W'< 1 P-p.s. telle que
pour tout processus ~,-~-pr6visible ~0. W' 4) Soit V= et Q = v. P; X est une (f#, Q)-semi-martingale, de d6com-
E(w')
position canonique, t 1 =
t 1
M;
+
A;,
off X=M+A est la (fq, P)-d6composition canonique de X, ~ = E p ( V I % ) et les crochets ((., .)) sont relatifs ~t la filtration f# et fi P (ils sont bien ddfinis car Vest bornde). NXrlr~I(~,o)=E o [M',
M]~+ ' ~ ~[dA;I 0 OO
puisque [M', M']% _<[M, M]~; + ! ~
Id ((M, V))s I.
En outre, (Fefferman)
et donc
[IXHn~(fC,Q)< Ep (V i ]dAs[)
Remplagons dans les calculs prdc6dents X par ((p. X)" (N((p)=< 1); on obtient:
]'((P'X)"'iH'(~'o)-~c~(n)'~ Le th6orbme 5 est d6montr6.
E(W')I {2~ +(1 +4]/2)7 a}.
156
T. Jeulin
Corollaire 7. Soit ~ un ensemble fini de (~,,P)-martingales locales, nulles en O, localement de carrd int@rable, et soit ~ll* le 2-espaee stable engendr~ par ~ 4 . Si dQ l'hypothdse ( ~ ' ) est vgrifide, il existe une probabilit~ Q dquivalente d P, avec - dP bornOe, et pour tout s une constante O < t / ( s ) < + a2, telles que, pour tout U~q/*, IIu s II~, ........ ,~,~, =<~ (s) IIu I I . ~ , ~v
(7)
Ddmonstration. Soit ~ = ( 1 U ,
2U, . . . , " U ) ; o n p e u t s u p p o s e r les (r U) t _
a v e c ~u f f - p r 6 v i s i b l e et
H
2
E
iU 2d iU iU
"
i=
D'apr6s le th6or6me 5 - appliqu6 en prenant X=~U, et ~ = ~ u - et (2'), il existe pour chaque i une variable al6atoire Vii, 0 < ~, ~ born~e, et pour tout s des constantes 6~(s) finies telles que: sup Ep(E I(J~u.~ULf)<~ds ) [Iiu 9i Uflz~r
JeJ(~)
< 6i(S)/liu 9i u [l~;(~,p). Si V = i n f ~ , i
~=sup31, on obtient: i
sup Ep JCJ(~r
V
J" i_
iu 9i U
=
iliu-Ullu2(~,p~ i n
y
I[i= l
u.,U
,
IIH2(~,P)
d'o6 le corollaire 7, toujours d'apr6s (2'). Nous noterons dans la suite ~2(~,, P) la propri6t6 suivante: l'ensemble "des martingales de H~(ff, P) nulles en 0 est engendr~ (au sens des espaces stables) par un hombre fini de (~, P)-martingales locales, P-localement de carrd intdgrable. Nous pouvons alors 6noncer la P r o p o s i t i o n 8. Pour que l'hypothOse ( ~ ' ) soit @rifiOe, il suffit qu'il existe une variable al~atoire born~e V, 0 < V P-p.s., et pour tout s une constante 6 ( s ) < + ~ ,
telles que : pour route suite finie O
6//. est le plus petit sous espace ferm6 de H2(~',P) stable par int6gration stochastique et
contenant les u. U avec U ~ ~#, u ~-pr~visible et E~
(Tu~ d [U, U]~) < + oo (voir [9], par exemple) ~0
Comportement des semi-martingalesdans un grossissementde filtration
157
variables borndes par 1, gi fgs,-mesurable,
11--1
)
Ep ( ~ {Ee(rgil~,+,)-Ep(rgil~,)} 2 <6(s).
(8)
i=0
La condition est en outre n&essaire si la propri~td N2(J~,P) est vdrifi&. Remarques. 1) Des conditions du type (8) figurent ddj~t en ([11], proposition 16). 2) Nous ne savons donner des conditions n6cessaires et suffisantes que sous
~(~,P). D~monstration. Les (g~) v6rifiant les conditions qui figurent dans l'6nonc6, la quantit6: n--1
89
= Ep i~=o ! d ( V g i , V g i ) .
(oa(Vg~),=Ee(Vg, l~))
est la norme de la forme lin6aire continue 0 d6finie sur H~(~,P) par: ?l--1
O(X)=Ep((X, U)s),
avec
U = ~ l~,,~,+~.Vgi; i=0
une autre expression de 0 est:
O(X)=Ep(V(J.X)s ) o1~l J = ~ , g i l l l ....... ~Eoce(~)" La condition donn6e est donc 6quivalente fi: sup
sup Ee(V(J.X)~)<:)(s)~,
Ilxl[HL(~,p) <=l seJ~(~r
d'ofl les conclusions d'apr~s (4') et le corollaire 7,
IlL Grossissement/l l'aide d'une variable al6atoire, exemples Nous allons maintenant particulariser le probl~me. La donn6e est un espace probabilis6 complet filtr6 (O, ~ , J~, P) v6rifiant les conditions habituelles. Si L est une variable al6atoire d-mesurable, ~t valeurs dans 1 R u { + oe}, on note, en suivant ([5]), ~L la tribu engendr6e par ~ et inf(L, t) (t~lR+) et ~tL=cgtL+. (gL d6signe la filtration ((gtL)teo, ~ L la filtration (~L)teo; dans le cas off L est valeurs positives, o~L est la plus petite filtration continue ~ droite, contenant et faisant de L un temps d'arr& On s'int6resse darts la suite/t l'hypoth6se suivante:
(~/~) Toute (o~, P)-semi-martingale est une (~L, P)-semi-martingale. On connait un certain nombre de cas o/1 ( ~ / ) est v6fifi6e:
158
T. Jeulin
1) L e s t fin d'un ensemble if-optionnel ([2, 5, 21]); 2) L ne prend qu'un ensemble au plus d6nombrable de valeurs ([-5]); 3) enfin, de fagon plus g6n6rale, si le graphe de L (dans IR x t?) est inclus dans une r6union d6nombrable de graphes de variables/jn) v6rifiant (24~[(.)), alors L v6rifie 6galement (~L')' Nous reviendrons plus loin sur ces exemples. Avant de donner des conditions suffisantes (et n6cessaires sous N2(if, P)) pour que (;;/g~)soit v6rifi6e (paragraphe 5 ci-dessous), nous cherchons des crit6res assurant qu'une (if, P)-martingale locale donn6e X reste une ( i f L, P)-semimartingale. On peut bien stir se limiter au cas off X 0 est nul; le lemme suivant apporte un premier 616ment de r6ponse: Lemme 9. Soit X une (if, P)-martingale locale nulle en 0; les conditions suivantes sont dquivalentes : i) X est une ( i f L, P)-semi-martingale ; ii) il existe une probabilitk Q ~quivalente fi P, it densitO U bornOe, teUe que pour tout if-temps d' arrOt born~ T v~rifiant X TeI-Im(~, 1 ~- P) V~(X T, if~) soit fini. DOmonstration. Si X est une ( i f L, P)-semi-martingale, il existe, d'apr6s la proposition 2, une probabilit6 Q 6quivalente h P, ~ densit6 U born6e, telle que pour tout n ~ N X, ^. appartienne h H ~( i f L, Q); soit alors T u n if-temps d'arr6t born6 par n ~ N et tel que X r appartienne/~ H~(if, P) (i.e. Ep([X, X ] r ) < + ~ ) ; d'apr6s l'in6galit6 (2'), ( x r ) * = s u p IX,~ T] appartient /t LI(P) et donc /t D(Q) (U est t~]N+
born6e); de (4') vient enfin:
V(2(xT, IfL)~D IIXTIIH~(~L,Q)
Apportons quelques pr6cisions sur les variations.
1. Rappels sur les variations On note ~ (resp. ~L) la tribu if-pr6visible (resp. ifL-pr6visible sur IR* x t? (et non sur IR+ x t? comme d'habitude!). On a alors le Lemme 10. Soit H un processus ~r-mesurable borne; il existe J r bornO et K: (IR x IR+ x t-2, ~ | ~)5 ~(IR, ~ ) bornO, tels que: Ht(~ = Jt(0)) s
1(o
N est la tribu bor61ienne de la droite IR
t, co).
C o m p o r t e m e n t des semi-martingales dans un grossissement de filtration
159
D~monstration. I1 suffit de montrer le r6sultat pour des gdn6rateurs de la tribu ~L, donc pour des processus de la forme Ht(co ) = l(s
et ~(x, .) est ~ |
dans ce cas, on prend:
et K (x, t, co) = 1(~<,) ~ (x A S, co). Remarques I1. a) Si PK d6signe la projection ~--pr6visible du processus K, et si
H est ~L-mesurable born6, on a donc:
P(HI~0,L~) H I~O,L ] = I~0,L ~
zL
,
off Z L est la projection ff-optionnelle de l~o,L+~ (cf [10]). b) Rappelons (afin de justifier un certain hombre de divisions qui interviendront dans la suite) que si A est un ensemble mesurable sur lR+ • (2, fermd pour la topologie gauche, {P(1A)= 1} est inclus dans A ([3]). On note 6P l'ensemble des suites c~: 2 ~ I R , strictement croissantes, telles que lira ~ ( n ) = - o o , c~(0)=0, lira a ( n ) = + ~ ; pour ~ e 5 e, 6(~)=sup(c~(n+l) n~--oo
n--~ + oo
n
--~(n)); en outre, pour et x~lR, on pose: x ~ = ~ ( n + 1)
~ - =~(n)
si ~ ( n ) < x < ~ ( n + l )
(n~2~)
et ( + ~ ) ~ = ( + ~)~- = +o9. Lemme 12. Pour tout ~ESf, ~ L , ~ L et pour toute suite (~k) dans 5P telle que 5(~k) tende vers 0 quand k tend vers + o% k
Ddmonstration. D'aprbs le lemme 10, ~L~ est engendr6e par les processus de la
forme Jt ((I)) 1(o ~t
off J e t K sont ~-mesurables born6s et f continue sur ]R (born6e); en outre (U~) + est un (~L)-temps d'arr6t, U ~ d6croit vers L quand k tend vers + ~ , et la tribu a ( U ~) engendr6e par U ~ est contenue dans la tribu o-(L) engendr6e par L. L e m m e l 3 . Soit X une ( ~ P)-semi-martingale, telle que X * = s u p l X t [ soit PintdgrabIe. On a:
t Ve(X ' ~-L)= sup Vv(X, y L " ) = sup Vp(X, ~-L~k) ~eS"
pour toute suite (O~k) dans 5" telle que quand k tend vers + oo.
k
~k(~)~0~k+l(~)(kE]N)
et 6(~k) tend vers 0
160
T. Jeulin
DOmonstration. L'appartenance de X* ~t L ~(P) implique que t--,X, est continu ~t droite dans D (P) et donc que
vp(x, Y~) = vAx, Pour tout u, la famille de tribus t ~ L ~
~). est croissante et cd~ = ~ / c d ~ ; le k
th6or~me de convergence des martingales montre alors que pour toute subdivision finie a de IR+,
Vp(X, a, calL)= sup Vp(X, a, cdL"~), k
d'ofi le lemme 13, par interversion des supremums.
Remarque 14. Sous les hypoth6ses du lemme 13, pour calculer Vv(X, ~L) on peut se limiter/t des subdivisions a h valeurs dyadiques.
2. Cas d'une martingale locale a) Quelques notations. (9 d6signe la tribu Y-optionnelle sur IR+ x Q; pour U variable aldatoire positive born6e, on note par (a, s, co)~ A(U, a, s, ~) = A~(U)(c0) une version ~' | (9-mesurable, continue ~ droite et d6croissante en a, born6e par /I UHL~(e), de la famille de (~, P)-martingales
gp(U l(L~a)l~s) (a~lR); A(U, a, s - ) = A~_ (U) d6signe une version N | ~-mesurable (continue ~t droite et d6croissante en a), born6e par IIUILL~p~de la famille de processus P(UI(L>,)) (aelR). On abr6ge A;(1) et A~_ (1) par A] et A"s_. Si P ( U = 0 ) = 0 et Ep(U)=I, soit Q = U. P; ~K d6signe la Q-projection ~ 1 pr6visible du processus K. Avec gs=Ee(g]~),~_ A~(U) est une bonne version 1
de Ee(L > a l~), tandis que -Us - - Aas-(U) est une bonne version de ~ On note fI"~(U)=I(a+
On adopte des notations semblables pour les variables U (~ ~ 5~). Une application du th6or6me des classes monotones donne le
Comportement des semi-martingales dans un grossissement de filtration
Lemme 15. Soit f: (/P,.x
JR* x
f2, ~
x
161
~)~(IR, 5~) born~e;
P(f(L, .))~=~ f(x, s)A(dx, s - ) ;
(9)
P(U(L, .))~= -U1 - - ~ f(x, s)A(U, dx, s-).
(9')
On peut donner des expressions ((explicites >) de ML~(U) et ZL~(U):
Lemme 16.
ML:(U) = Uo + ~ l~(k),~(k+ 1)~' A~(k)(U) k~N
= V o 4- ~ l~0,~(k+ 1)U (fla(k)(U)-/]~(k+
I)(U));
(10)
k~N
z~2(u) = F, 1~(~),~(~+,)~A~)(U).
(10')
ken
DOmonstration. Les expressions donn6es en (10) ont bien un sens et ddfinissent une (~, P)-martingale locale W, h sauts born6s (par 1[U]loo); pour tout k e n tout V~H~(Y, P), on a: n=k
Vo)+oZ~
C(n+ 1)
et
dry,
=E/UoVo)+ ,=o ~ EF v<,+~)A21",)+1)(U)- V~, () A~(~)(U) () n=k
= E / U o vo) + Y, E/(V~(,+ , - Va(.)) U; ~(n) < L) n~O
=Ep(V~(k+ 1)^(L~)+ U), d'ofi
W~(k+ ~)= (ML~(U))~(k+ ~).
(10') resulte de (9') et de l'6galit6: ZL~(U)= U P(I~o,L@. b) Ces pr61iminaires 6tant 6tablis, montrons la Proposition 17 ([16]). Soit X ~ H~(J, P). a) X est une (yL~, Q)-semi-martingale [sp6ciale], de d&omposition canonique
X=~-vY+a-VB, off t ^ (L~) +
~-UBt=
~ o
t
1 L~-----d(X, ML~(U))s
Zs_(U)
d ( x , ~~ a b A~_(U)-A~_(U)
+ ~o l(b+
et ~-uy est b)
une ( ~ L~, Q)-martingale
Ve(X,~L=)=
~ Ep
Io=L~-,b=L"
(11)
locale. Id
.
(12)
162
T. Jeulin
D~monstration. cr
Montrons que X est une (ffL~, Q)-semi-martingale; soient n e t q deux entiers et S,,q le fiE%temps d'arr~t S,,q = c~(q)I(L> 2(-n)); on peut supposer X 0 = 0 ; le rSsultat sera acquis si nous montrons que X s',o appartient H I ( ~ L~, Q) pour tous n e t q. Or si H est un processus ~L%mesurable, born4 par 1, et si J e t K d6signent les processus obtenus au lemme 10, on peut d6finir (H.X)s,, ~ par q- 1
(J'X)(L~)+,,~(o) +
~
a(q)
l(~(k)
Y
K(a(k+
1), s)dX~
(a(k+ 1)) +
k= - n
(cf. [5], lemme 3). EQ((H.X)s,,~) est major5 par q-1
Ep((J.X)*+ ~ (K(cc(k+l),.)l~(k+l),+~ ft. X *) o o ) H i l l L m ( p ) k--n
et donc par C IIUIqL~(m(q+n+ 1)IIX[IHa(o~ m, off C est une constante universelle (donnSe par les indgalit6s de Burkholder-Davis-Gundy). D'ofl le premier point, d'apr~s (2'). fi) Notons X=~-uY+~-VB la (ffL',Q)-d4composition canonique de la (ffL~,Q)_semi_martingale sp6ciale X. I1 rSsulte de la proposition 1 que ~-~Y appartient h HIm(jL~,P); U 6tant born6e, le thdorSme3 montre que ~-vy appartient ~ H~(@ L', Q). Pour tout processus H ~L~-mesurable born6 par, on a donc:
EQ((H" X)s,,q) =EQ((H
VB)s,,~),
'"
relation qui v a n o u s permettre d'identifier " VB. si H=dl~o,L~ ~ avec Y e J ( , ~ ) , -
Eo((H. X)s., ~)= Ep(U (J. X~(q))(L~)+) /~(q) \0
=Ep U
\
)
l(s
o
zs_ (u)
_ 1_ =/~ (s!~H ~z~:(U)d(X' ML~ -
si
H=K(IY,
.)lllL~,+ool[
;
,
q--1
~"
EQ((H.X)s,,~)= ~, EQ ( ~i) K(c~(i+l),s)dXs;cffi)
\~(i-b 1)
))
;
Comportement des semi-martingales dans un grossissement de filtration
163
or pour a0, et W e J ( Y ) ,
EO. (bi W~dXs; a
b+ ws - A f 2 ~
' a
(ll) est donc v6rifi6e. 7) Enfin
Ve(X, ~L)= VQ(~-VB,@L~)=EQ ( i ld~-VB~,} =Ee (i ]d(X, ML~(U))s')
[d(X,fV(n)(g)-~ff(~+t)(g))~ ;
+ ~ gp n~TZ
)
il suffit d'appliquer (10) pour obtenir (12). c) Le lemme 13 et la proposition 17 nous conduisent au Th6or~mel8. Soit XeH~(~,P) et soit Q une probabilit~ dquivalente d P, la
dQ densitd de Radon-Nikodym U = ~ ~tant born~e. Les conditions suivantes sont Oquivalentes: i) X e H l ( ~ L,Q); ii) sup ~ Ep (~,d(X, fl~(")(U)-fff('+~)(U))~,]<+oc; ~5~ n ~
\O
/
iii) it existe une version de (a, t)--+(X, fU(U)), continue d droite en aet en t, nulle pour a>-t, telle que: t ~ ( X , fl~(U))t est d variation finie sur IR+, pour tout aelR; a ~ ( X , fl~(U))t est d variation finie sur IR, pour tout teN+ ; -
-
- si ,4,(u, x , L)=
~
Id
N,~ x lO,t]
alors Aoo(U,X,L) est P-intdgrable. D~monstration. L'6quivalence de i) et ii) r6sulte imm6diatement du lemme 9, du lemme 13 et de la proposition 17. Toujours d'apr6s le lemme 13, ii) est
164
T. Jeulin
6quivalente ~t
off ~d d6signe l'ensemble des suites e e ~ dyadiques. L'ensemble des
~ valeurs dans l'ensemble ID des
n~2g 0
6tant filtrant croissant, ii') 6quivaut/t
ii")
V=sup ~ ~Id(X, ]I~(")(U)-]P("+I)(U))sl ace,9~d neT/ 0
est P-int~grable. Si (a, t)~(X,/la(U)) t est continu ~t droite en a et en t, on a: V=A•(U,X,L); iii) implique donc ii). I1 nous reste/~ montrer que ii) implique iii), ou plus exactement que, sous ii), il existe une bonne version de (a, t ) ~ ( X , fl`,(U)) t. Notons K le processus/~ variation finie
Kt= ~ AXsl(l~x~l~l); s
s~t
K est localement int6grable; si K v est sa projection P-duale ~-pr6visible, Y = X - ( K - K p) est une (~, P)-martingale locale,/~ sauts born6s par 2 (cf. [15]), donc locatement de carr6 int~grable (i.e. (Y, Y) projection duale pr6visibte de [gY-I existe). Quitte /t localiser, on peut supposer que C = ( I I , Y ) + W p est fi variation int6grable; on a:
Comportement des semi-martingales dans un grossissement de filtration
165
Or
v(IB~--Bbl)=EP ( i Id(X'fl~(U)--flb(U)}~l)
(a
= sup Ep(FJ. X, ]la(U)-Ab(U)]o~ ) J~J(~)
= sup {Ep(U((Y.X)oo-(J.X)~+); a < L G b ) Ys J(.~)
+Ee(U((J. X)b+ - ( J " XL+); b
Ep(U I(J" X)~ - ( J . X)a+ ]; a
sont Oquivalentes : 1) X est une ( y L P)-semi-martingale; 2) il existe une variable alOatoire bornde strictement positive U ayant la propri&O suivante : il existe une version (a, t ) ~ ( X , fla(U))t continue d droite et d variation finie en chacune des variables (a~IR, t~]R+), nulle pour a>t, et le processus
AAu, x, L)=
S
(13)
Id(X, 3_~(UGI
N ~ • 10,t]
est (if, P)-localement int~grable. 3) il existe une variable aldatoire born~e strictement positive U v~rifiant (13) et Ee(At(U , X, L)) est fini pour tout t. D~monstration. Si V est une (if, P)-martingale locale born6e et K un processus ~t variation time Y-pr6visible, (V, K ) = IV, K] v =(A V. K)P=V(A V). K est nul (Lemme de Yoeurp). On peut donc supposer a priori que X est une (if, P)-martingale locale, nulle en 0. L'6quivalence de 1) et de 3) r6sulte alors imm6diatement du lemme 9 et du th6or6me 18; il est clair que 3) implique 2). Enfin si 2) est v6rifi6e, soit (T,) une
166
T. Jeulin
suite de o~-temps d'arrSt tels que sup T, = + oo et Ep(AT.(U , X, L)) < + oo pour tout n. AT.(U, X, L ) = A ~ ( U , X T", L~. X T" v6rifie alors 3), donc v6rifie 1); X est bien une (ffL, P)-semi-martingale.
Remarque 20. Soit X une (o~,P)-martingale locale et soit Q une probabilit6 6quivalente ~t P, A densit6 U born6e. - X est une (~L, Q)-martingale locale si et seulement si (X, A~(U)) est nul pour tout a; - supposons que X v6rifie la condition 2) du th6or6me 19 et notons X = v Y + VB sa (ffL, Q)-d6composition canonique (vy est une (ffL, Q)-martingale locale et VB un processus ~,~L-pr~visible nul en 0); alors 9
1
- - d A ~ ( U , X, L) est la projection Q-duale ~-pr6visible de ~ld v B~I.
ogs
-
o
3. Cas d'une martingale localement de carr~ int~grable Soit X e Hm, 2 loc(~, ~- P), ce qui revient & dire que (X, X ) , projection P-duale Y pr6visible de [X, X] existe. Conservons par ailleurs les notations du paragraphe III-2). D'apr~s l'in6galit6 de Kunita-Watanabe, pour tout a~iR, ( X , ffl~ est absolument continu par rapport ~ (X, X ) ; on en note 2(U, a, s) une densit6 ~ mesurable. Comme corollaire de la d6monstration du th6orSme 18, on a l e Lemme 21. Soit X une (~,P)-martingale localement de carr~ int~grable. Les conditions suivantes sont ~quivalentes : 1) X est une ( f f L P)-semi-marting ale ; 2) il existe une variable aldatoire born~e U strictement positive et il existe une version (a, s)-~2(U, a, s) ~ | ~-mesurable, continue g~droite et ~ variation finie en a telle que:
-
pour tout a, i 2(U, a, s ) d ( X , X)s est indistinguable de ( X , Ag(U)) 0 t
-
A , ( U , X , L ) = ~ ~[2(U, da, s ) l d ( X , X ) ~ o~
(lY)
est (J-~,P)-localement int~grable. Nous supposerons dans la suite que At(1, X , L ) = A t ( X , L ) est P-localement int6grable. Quitte ~ arrSter x , on peut se placer dans le cadre suivant:
XeH~(~,~,P)c~HI(ffL, P)
(i.e. Ep(A~(X,L))< +oo).
On note X = Y + B la ( f i t , P)-d6composition canonique de X. On d6finit alors une mesure (born6e) sur ~ L par:
A ~ t ( A ) = Ep((1A 9X)~) = Ep((1A - B)~o);
Comportement des semi-martingales dans un grossissement de filtration
167
la restriction de # / t NL~ est not6e #~; d'aprhs la proposition 17/2~ est absolument continue par r a p p o r t / t v = d ( X , X ) d P , de densit6 0~: H~ 2(a, s ) - 2 ( b , s) 0~= I(~(L~)+ ) ~ - ~ + l(b+ <~) - - - Z~_ A(a,s-)-A(b,s-)
~_~_
off H ~ est une densit6 ~ - m e s u r a b l e de ( X , M L~) par r a p p o r t / t ( X , X ) . De plus, (0% ~L-, v) est une martingale et sup v(I 0~1)=Ep(A~(X, L)) est fini. I1 existe done 0 ~L-mesurable telle que, pour toute suite filtrante (~,,) de S~ v6rifiant l i m S ( ~ ) = O , 0~" converge v-p.s, vers 0; la convergence a lieu dans n
L 1(v) si et seulement si v(] 0[) = E(A~ (X, L)) = lim v(] 0~"[). n
On a done, en revenant A la situation initiale:
si X est localement de carr~ int~grable et At(X, L) P-localement int~grable, B est absolument continu par rapport d ( X, X ) , si et seulement si: t
~"IOsld(X,X)~=At(X,L) 0
off 0~=liminf0s~", avec fi,(k)=k2-". n
Etudions un cas particulier: Th6or~me 22. Soit X H,,,lo~(~ 2 , P); supposons At(X, L) P-localement intOgrable; notons 2(a, s) une version ~ | ~-mesurable (continue d droite et d variation finie
d(X,A ~
sur IR en a) de d ( X , X ) " Supposons que d ( X , X ) dP-p.s., 2(da, s) soit absolument continue par rapport dl A(da, s - ) et soit (a, s)~Y(a, s) ~ | ~-mesurable telle que 2(da, s)=f(a,s)A(da, s - )
d(X,X)dP-p.s.
Alors : t
1 d(X, MI%-~I(L§ X t - tAL+ ~ o Zso
(14)
est une (~L, P)-martingale locale 6. DOmonstration. Soit H densit6 ~ - m e s u r a b l e de ( X , M L) par r a p p o r t / t ( X , X ) et
H~- + I(L+
Les hypoth6ses du th6or6me ne sont pas toujours v6rifi6es, cf. [12], deuxi6me <
168
T. Jeulin
I1 nous
suffit de m o n t r e r
que
pour
tout
E~(As(X,L))< + oe et Ep(
(o~)-temps
d'arr6t
a:
et p o u r tout c(~ 5 z.
l~o,s~ p-L:O = l~0,s~ 0 9 Or on a l e l e m m e suivant: Lemme.
Hs=)L(s--,s ) d
En effet, pour J ~ j ( ~ ) ,
Ee((J "XS)L§ = lim Ep((j. XS)(L~.)+) 6(~.)~ 0
=
lim 6(an)~O
=Ep
Ep(iJs{ ~ l(~(n)s) neN
(~Js2(S-,s)ds ) \0
par convergence domin6e. D ' a p r 6 s le l e m m e 15, S
] oo,s[
= E A A ~ ( X , L)) < + oo.
Toujours d'apr6s le l e m m e 15,
P(O 1~(,)< L_<~(n+1)), A ((x(Y/-~ 1), s - )
= l(~(n)< L<=a(n+ 1)< s) m (~ (g/), s - - ) -
;~(~(n), s)-,~(c~(n + 1), s) = ] (c~(n)< L =<~(n+ 1)< s) A (~(n), s -- ) -- A (0~(r/-[- 1), s - )
= I((L~)+<~) l(a(n)< C_
S tel que
Comportement des semi-martingales dans un grossissement de filtration
169
tandis que l(s__<(L=)+) P- L=(~O)~
1 ,/2(s-, s)
)
= l(s_-<(L~)+)~Za-Zs - ~-~L--Z~_ l(s-
2(s--,s)+ -
~ 1(~__<~(,+1)) n _>0
S ct(n)
l(~<~)2(dx, s)
1 =I(~_<_(L=)+)0~
(lemme 16).
4. Exemples a) D o n n o n s un calcul explicite: Proposition 23. Soit X un (~,P)-mouvement brownien, nul en O, et soit T 1 = inf(t, X~ = 1). Pour M ( ~ P)-martingale locale, il y a dquivalence entre: i) M est une ( ~ - rl, P)-semi-martingale ; Tz
ii) v! ~
1
]diM, X ] s ] ( + oo P-p.s.
Si i) est v~rifide, ( (1l ' - X s ) 2] 1 o~ 1 - X ~ T,-s ]d[M'X]~
t,,r~
M,+
(15)
est une (~,~- r~, P)-martingale locale. En particulier, Xt+ est un ( ~ v&ifiOe.
r~ r~ 1 So 1 - X ~
(1
TI-s
t! ds
(15')
r~,p)_mouvement brownien. Cependant l'hypothOse (~'-r~) n'est pas
D~monstration. P o u r z r6el, on note T ~ - - i n f ( t > 0 , X t = z ). T 1 6tant un (~,~)-temps d'arr6t, on a, p o u r tout a > 0,
AT=P(L >al~) = 1(~< rl) l(a=<0 + l(t<, Arl)P(V s E I-t, a], X s - X t + 1 - X,] Yt) : l(a< Tl
7 1 (2zcr3)~ exp (a_t)+J
= l(a< rl) 1(, =<,)+ 1(, < ~ ^ rl) f ( 1 -- X , a - t)
(l--X0 2
2r
dr
170
T. Jeulin
off
f(x,b)=P(Tx>b)=
~2
Ixl b - ~
!
U2
(b > 0)
e x p - ~ - du
(voir par exemple [8], 1.7). D'apres la formule d'Ito:
A"t=f(1, a)-
tA~^r~ ~ f
5
~(1-X,,a-s)dX,
0
= f(1, a ) -
( a - s)~ exp
(1 -
XS dXs;
2 (a - s)
pour M (~-, P)-martingale locale, on a donc:
d(M,
A"), = 2(a,
s)
d[X, M],
off a
2
1
2(a, s) = - l(s < ^ r l ) ~ 2- (a - s)-~ exp 1
tar1
A,(M, - T O = I / ~ 7
5o s
tAT1
(1 - - K s ) 2 "
2(a-s)
' (1 - Ks) 2
I(1-Xs)2-(a-s)l(a-s)~exp
2 (a - s)
da ]d IX, M]s I
1
=coS l_X--~ld[X,MLI o6 cen outre,
0
11-tlexp
2t (2rt ts) = = 2
9
)~(da, s)= ~(a, s)A(da, s), avec
1(
f(a,s)='l(s
1-Xs
1
(1 - Xs) 2 ] I 1(,<~).
D6signons par (L~) le temps local en x de la m a r t i n g a l e X ; on a pour tout z
Ee , o
1-~X s] = ! _ 2 i x-z 1-z
dx-2z(1-z)<
z 1-x
il suffit de faire tendre z vers - oe pour obtenir:
i ' ll _ ~ d s
est P-p.s. fini.
+m"
C o m p o r t e m e n t des s e m i - m a r t i n g a l e s d a n s u n g r o s s i s s e m e n t de f i l t r a t i o n
171
D'apr6s le th6or6me 22, ~1
( (l--Xs)2t
1
est donc une ( Y - v , , P)-martingale locale continue, de processus croissant associ6 [Y, Y]t = IX, X]t = t, i.e. un ( ~ - 7", P)-mouvement brownien. Si M est orthogonale i~ X, A t ( M , - T 1 ) = 0 ; M reste donc une (~-7-~,p)_ t
martingale locale. Si M = ~ o . X , avec (p ~-pr6visible tel que ~oZ, ds soit P0
localement int6grable, d'apr6s le lemme 4-ii), M est une (~-~l,P)-semimartingale si et seulement si:
(1
(1-Xs)21 ds Tl-s !
est P-p.s. fini.
Pour aller plus avant dans la ddmonstration de la proposition 23 6tablissons le lemme g6ndral suivant: Lemme 24. (Q, d , 4 , P) vOrifiant les conditions habituelles, soient A un processus croissant (o~t)-pr~visible, nul en O, et R un processus mesurable positif. On suppose qu'il existe une mesure positive # sur IR+ v~rifiant #({0})=0 et ~x#(dx) = 1 telle que:
v(f (R)) = ~f (x) # (d x) pour toute fonction bor~lienne f. Alors les ensembles (A~< + ~ )
et
RsdAs < + co
sont P-p.s. Ogaux. D~monstration. Rappelons que si B est un processus croissant, on a toujours (B p < + ~ ) c (Boo < + ~ ) (B p projection P-duale (~t)-prdvisible de B). Soient n ~ N et D =
R~dA~
nP(D)>=Ee ( i R~dAs; D ) = E v ( i P(1DR)sdAs) 9 Or 0 co
ao
= f P{(1D- l(,_->m)+} du > S (P(lv) - P(I(,,=>R)))+ du 0 co
= j" ('(1Dl-/~(u)) + du 0
0
si ~ ( u ) = u ( ] 0 ,
u]).
172
T. Jeulin 9 si T = i n f ( t , b t = 0 ou 6t
Soit alors 6 la martingale 6~=P(D[~s) et d=inf6~ s
= 0), 5s est nulle pour s > T; D est doric indus dans l'ensemble (d > 0). D'apr6s les calculs pr6c6dents,
)
nP(D)>E AGo ! (d-fi(u)) + du . A~ est donc fini sur oo
d'ofl
t~RsdAs<+oo )
c ( A , < + oo).
\0
Revenons ~ l'exemple 6tudi6 ici. D'apr6s la propri6t6 de M a r k o v forte et les propri6t6s d'homog6n~it6 du m o u v e m e n t brownien, pour tout ( ~ ) - t e m p s d'arr~t T, et toute fonction bor61ienne born6e F,
~
/ ' T
!,
soit, pour tout processus @-pr6visible (fini) positif q~, (ps--<+oo 1
-X s
=
cp, 1
T1 - s
--<+oo 1 -X
s
P-p.s.
i) et ii) sont done 6quivalents. II nous reste ~t d6montrer que (~-'T,) n'est pas v6rifi6e; il nous suffit pour cela de trouver une fonction bor61ienne positive w sur IR, nulle hors de [0, 1] telle que:
(o:) E v
) (i wZ(x)L~,TXdx )
wZ(1-Xs)ds =Ee ',0
1
=2~xw2(x)dx< + oo ; 0
(fi) P
w(1-Xs) l - X ~ - + ~ 1 7 6 =P
-L~T-~d:'X=x
+oc > 0 .
a m6me loi que le D'apr6s le th6or6me de R a y - K n i g h t (I-19]), t(L~-~ rl , 0<__x
i ~w(x) -X~dx=
+oo)>O.
Comportement des semi-martingales dans un grossissement de filtration
173
Or on a montr6 en ([12], proposition 10) que l'expression ci-dessus valait 0 ou 1 1 1( 1)-' suivant que ~ w(x) dx 6tait fini ou non. Si 1 < 7 < 1 et w(x) = 1(0 < ~< ~) x log x ' 0 i
1
x w2(x)dx est fini, ~ w(x)dx est infini, si bien que w ( 1 - X ) . X est une (@, P)0
0
martingale locale, mais n'est pas une ( ~ - r~ P)-semi-martingale. b) De fagon plus ggnOrale, soit X,~0 une sous tribu s6parable de d ; il existe une variable al6atoire L__>0 engendrant ~ o ; pour 6tudier la filtration ~ - L il est parfois plus commode de proc6der par grossissement successifs, comme le montre l'exemple suivant: Proposition 25. Soit X un ( ~ P)-mouvement brownien issu de 0, S t = sup X~. s
Soit ~ = ((gt) la filtration S>t
et
Ds=inf(t>s, S,>S~)
(=inf(t>s, Xt=S,) ).
Pour M (~, P)-martingale locale, les conditions suivantes sont OquivaIentes: i) M est une (~, P)-semi-martingale ; ii) io S~--X~ 1 [d IX, M],[ est P-localement intdgrable. Si i) est vdrifide, Mt+i
1
os
-x7
(1
(s. x")2/\ d [x, M]. D,-u
(16)
]
est une ((r P)-martingale locale. Ddmonstration. Nous ne connaissons pas de variable aldatoire (facilement maniable) engendrant la tribu ~f~o=a(S,, u~lR+); notons pour a~IR+, Ta =inf(t, Xt=a); ~ o est aussi la tribu engendr6e par le processus (T~)a=>o, qui s'av6re ici plus maniable que S, et que nous allons adjoindre progressivement/t la filtration ~-; on utilise la proposition 23, le lemme 24 et le fait que a---, 7~ est/t accroissements ind6pendants. M est une (J,P)-martingale locale fixde; on peut supposer M o = 0 et M ~ H~ (2, P). 1) Pour fi suite croissante telle que flo = 0 et supfln= + 02, notons Y#=(~,~#) n
la
filtration
~#=(~(~va(T#,,
ieN))
S?>t
interm6diaires suivantes: i-fl) M est une (Y#, P)-semi-martingale ;
et
introduisons
les
conditions
174
T. Jeulin ii-fl) io i~N2I ( T B i < s < T B i + I ) f l i + l _ X
1
s
[d[X,M]~I est P-localement intdgrable.
Si M v6rifie i) ou i-fi), pour tout n e N M est adapt6e ~ la filtration ~--T~. et est donc, d'apr6s un th6or6me de Stricker ([20]), une (~--TP~ martingale, ce qui n6cessite (proposition 23-ii): Tt~" o
1
--IdKX,
M],I< + ~
fl.-Xu
P-p.s.
On a donc i ) ~ i-fl)~ ii-fl). Inversement supposons ii-fi) vhrifi6e; soit n s N , a =/?,, b = f i , + l , l~ro, r~~ 9M est une ( ~ - r ~ , P)-semi-martingale, de d6composition canonique: 1
I]T~
b--X~
(1
(b--X)Z]
Tb--S /
d[X,M]s,
off N est une ( i f - T~, P)-martingale locale. Pour 0 < c < d, Ta - T~ est ind6pendant de ~-To; par suite l~ro, ro~' N e s t une ( ~ , P)-martingale locale. Finalement: i ) ~ i-fl)~:~ii-fi) et sous i-fl) on a:
{
1 (1
Mt+io i~Nl(Tfli
avec c = 2)
~Tfl~+l
(fii+l-X~)2)} d[X,M]~ Tfl i + ~ - S
(15-p) 1
Id[X,MLI)
Ep(]1 - 1/T1[) = 2 (2/rr e)L
Vp(M,~)=sup~ Vp(M,~)=cEe (i S, 1--~ [d[X'MluO"
Si ii) est v6rifi6e, on peut doric supposer par localisation que Vp(M,~) est finie (et M v6rifie i), cf. lemme 9); M est alors une (~,P)-semi-martingale de Ht(~,P); si # est la mesure sur la tribu ~-pr6visible: #(H)=E((H. X)oo), la restriction #p de #/t la tribu We-pr6visible est absolument continue par rapport ~t la mesure d IX, M]s dP, de densit6 0~, et 0~ converge, quand le pas de la subdivision fl tend vers 0, vers
-1 (1 (Ss-X~)2~;
O~-S ~ X~
Ds-S !
en outre,
~PlOslId[X, M3sL=c Id[X, M].[, o oS~-X~
Comportementdes semi-martingalesdarts un grossissementde filtration
175
d'ofi (16), de plus, pour toute fonction bor61ienne positive f, P(f(l
( S-D__. ' - X ' ) a ~! ! l(x
le lemme 24 montre que les ensembles
et
sont P-p.s. 6gaux. Si M v6rifie i), soit M - - Y + B sa (ff, P)-d6composition canonique (avec Y (N,P)-martingale locale, B N-pr6visible /t variation finie); pour tout e>0, l(s_x.~). M vdrifie ii), soit:
1 (1
l(s_x> ~). B = i - l(su-xu> ~)S,--X u
(Su- X . ) 2 . . . . . ff~,-u ) atA, lw],,
d'ofi, pour s tendant vers 0,
l(s_x>o).B=i ~ - I
(1 (S"-X")2~_~u]d[X'M]"
est ~ variation finie, ce qui n6cessite i 1 int6grable, soit ii) puis (16)! s ~ X ~ , [d[X, m]u I P-localement Corollaire 26. Soit X un (~, P)-mouvement brownien issu de 0, L ~ le temps local de X, C~=inf(t>s, X~=0) (seN+) et J{'--(Jfss) la filtration gfss= 0 ( ~ v c r ( L~ u~s
v EIR+)). Si M est une (~,P)-martingale locale, les conditions suivantes sont dquivalentes: 1) M est une (Y{, P)-semi-martingale ;
i
1
est P-localement intggrable.
Si 1) est vdrifiie,
' 1 (_
Xff
d[X,M]~
est une (dY,P)-martingale locale.
Ddmonstration. D'apr~s la formule de Tanaka, t
[X~[=y sgn(XsldX~+ L~ -X~ + L~ 0
(17)
176
T. Jeulin
d'apr6s ([6]),
LOt=S't=supX's;
il suffit donc d'appliquer la proposition 25 au
s
(if, P)-mouvement brownien X' et de remarquer que C~ = inf(t > s, L~ > L~ c) Un autre exemple est donn6 par les diffusions conditionnelles. Nous ne cherchons pas ici le maximum de g6n6ralit6. X est un (~-, P)-mouvement brownien issu de 0, Y est une (~-, P)-semimartingale continue (~t valeurs dans un intervalle I de IR) de d6composition canonique: t
Y~= Yo+ } a(Ys)dX~ + ~ ~(Y~) ds 0
(18)
0
off a et d sont des fonctions bor61iennes d6finies sur I; on suppose en outre que les esp6rances conditionnelles Ep(r(Y1)l~ ) (r bor61ienne born6e, t < 1) sont de la forme:
~r(x)p(1 -t, Yt, x)dx, I
off p: (u, y, x) s ]0, 1] x I x I ~p(u, y, x)e IR+ est mesurable, de classe C 1 en (u, y) pour presque tout b e I, et telle que
! ~y(u,y,x)dx
et
! ~u(u,y,x)dx
soient finis. On a alors: P(Y1 > a ] ~ ) = ~ l(a
-t, Y~, x)dx
(t < 1),
soit, d'apr~s la formule d'Ito:
P(Y~>aI~)=P(YI>aI~o)+!
)
l(a
=A(a, s)=P(Y 1> al ~-o)+ ~ ).(a, s) dX~, 0
off 2(a, s) = l(s< 1) {! l(a
s, Ys, x)dx} a(Ys)
oo
= ~ • (z, s) A (d z, s) a
si 0p ~(1-~, r,,z)
d(Z's)=l(s
si
Comportement des semi-martingalesdans un grossissementde filtration
177
est fini les hypoth4ses du th6or6me 22 sont satisfaites. Notons fgt la tribu (") ( ~ v a(YO) et ~ la filtration (~). Y est une (~, P)-semi-martingale continue et: t
Y~= ro+aj(Y~)dYs+bj(Y~)ds+f'
t~l
88~(l - s , Y~,
~o az(Y~) p(1-s, Y~, Y,) ds,
o
off )( est un (~, P)-mouvement brownien. Si o- et d sont suffisamment rOguliers et si rr est strictement positif, il existe une probabilit6 Q 6quivalente ~t P (utiliser la formule de CamOron-Martin...) telle que la (o~,P)-semi-martingale continue Z t = o a(u) (x~
fix6) soit un
(o~,Q)-mouvement brownien. I1 r6sulte alors de ([12], Th6or6me 3) que l'hypoth6se ( ~ ' ) n'est en g~n&al pas v&ifi6e par le couple (~, fr
5. L'hypoth6se ( ~ D L 6tant donn6e, nous allons 6tablir des conditions suffisantes (n6cessaires et suffisantes dans le cas off N2(~, P) est en vigueur) pour que (~s soit v6rifi6e. Nous conservons les notations des paragraphes III 1) et 2). Proposition 27. Soit U une variable al~atoire positive bornOe, d' espOrance 1 sous P,
Q = U.P, et soit Tun (~)-temps d'arr6t. Notons: K (L, U, T) =
sup (c~,/~)Ey x ~
d
~(n)(v)-Ac~(n+l)(U),Afl(m)(u)-~lB(m+l)(g))s
,
(19)
m
/((L, U, T) = sup { Vo(X r , ~~L ),X~Hm(~,,P),IIXJI~2(~,p) 2
(20)
On a: K (L, U, T ) ~ K ( L , U, T) ; sous l'hypoth8se ~2(~,P), il existe une constante h finie (ne d@endant que de ~ et P) telle que: K(L, U, T)
i= n
__~fJ.~Y
g2 2 ( ~ , P)
= sup
~
Ep
iJeJ(~.~) I
est major6 par ~ E p 1,J
(i
)
Id(iy,~Y)~[ (a).
(i
'JsJJ,d(iY, JY)s
)
178
T. Jeulin
Supposons ~2(J~,P) v6rifi6e, et soient 1U, 2U .... ,PU des (J,,P)-martingales locales (localement de carr6 int6grable), deux ~t deux orthogonales, nulles en 0, engendrant {X~H,.(~*,P),Xo=O 2 oZ" }. I1 existe alors une famille de processus o~ pr6visibles (i'ky)l
iy= E i'ky'kU" k=l
E E,
Idtir, sr),l
l
~'kYsllJ'kYsldCg, kS>~
<=E k = 1 i,j
= E
\0
=~liJ. (i,ky. kU
sup
k = 1 iJa f f ( ~ )
i
2(o~,P)
_
= p sup
~ij.
iJeJ(~)
b) Soit
( ct, m Y)~r
la
--A~(m+~)(U).
2 (~.~,y)
iy
i-~-1
famille
2
(a').
H2(~,P)
de
~'mY=A~(~)(U)
( ~ P)-martingales
Notons
k(U, T)=sup sup ct~
"J : ~"Y
sup
r~N ,njej(,~)
m=-r
. /
IIH2(~,P)
D'apr~s (a) k(U, T ) ~ K ( L , U, T), tandis que sous ~ 2 ( ~ , P ) , il existe, d'apr& (a'), une constante h finie telle que:
K(L, U, T)<=hk(U, T). c) Nous montrons maintenant: k(U, T)=I((L, U, T). Notons N la boule u n i t 6 d e Hm(~,P), 2 ~ . d'apr& le lemme 12 et la proposition 17, si X e N ,
v3xr, Y~) = sup(V~(XT,~ % , ~ )
=sup
e
, \
ra=-r
,c~E ! s~
rsN
Je
,
Comportement des semi-martingalesdans un grossissementde filtration
179
soit sup (VQ(X r, j r ) , X ~ )
/
\m=-r
IlHZ(~,p)
Remarque. On peut construire un espace probabilis6 complet filtr6 (~2,d , ~ , P) et une famille CY)f~ de (~, P)-martingales de carr6 int6grable telles que: sup sup n
i~ --~-0 : ni j . i y i=
iJeJ(~:)
H2 G,~,p)
<=1
et i,jeN
Corollaire28. Conservons Ies notations de la proposition 27. Les conditions suivantes sont dquivalentes : i) K(L, U , T ) < + ~ ; ii) il existe une version (a,b,t)~(fla(U),flb(U))tA r continue ?l droite en chacune des variables a, b, t, telle que a(L, U, T)=
~
Idt~,o,b)(~l~(U),fflb(u))~l
]0, T] xNa XNb
appartienne d L 1(P). DOmonstration. Le seul point /~ 6tablir est l'existence d'une bonne version de (fla(U), flb(u))tA T si K(L, U, T) est fini; si cette derni&e hypoth6se est v6rifi~e, d'apr& le th6or6me 19 et la proposition 27, pour tout aelR, il existe une version (t,b)--*((fla(U))r, flb(U))~ continue fi droite en b et en t; il suffit d'adapter la d6monstration du th6or6me 18 pour trouver une bonne version en (a, b, t)[ Par localisation, on d6duit du corollaire 7, de la proposition27 et du corollaire 28 le Th~or~me29. Pour que ( ~ ' ) soit v~rifi~e, il suffit qu'il existe une variable alOatoire born~e strictement positive U telle que: il existe une version (a, b, t)--*(~3a(U), flb(u))t continue ?t droite en chacune des variables et
~(L, U,t)=
[.
Idt~,a,b)
(21)
]0,t] x ~ x~%
est P-p.s. fini pour tout t. La condition est n~cessaire et suffisante si N2(~,,P) est vOrifiOe.
6. Exemple Nous reprenons les notations de III-4): X est un (Y,P)-mouvement brownien issu de 0, S t : s u p X s et nous prenons L = - S 1. s<_t
180
T. Jeulin Pour tout t < 1,
X'~= P (S 1 > al f f t) = P( T~< 11o~) -f(a-
= l ( r ~ <_,) + 1(, < r~
X,, 1 - t))
avec
f(x,b)=P(Tx>b)=
~
[xlb-89 U2 .[ e x p - ~ - du o
(cf. [8], 1.7.). La formule d'Ito donne:
8f
IATaA1
XT=P(S 1 > a ) +
~ x ( a - X s , 1- s ) d X s
~
o
/ ~ , ^ ro ^ 1 1 =P(SI>a)+V~ ! (l_s)4exp
(a - Xs) 2 ,. ~_~ a-'~s,
t
d'ofi (X",X)t=fa~ds avec o ~ < -lY 2 (a-Xs) 2 ~r,- ( *)[/ n ( 1 - s ) l(s*<")exp 2 ( l - s ) t a b (Z", X b)~=~%a~ds, si bien que, avec les notations de III-5), o 1
~(-S~, 1, oo)=~( ~ [%(da)])2 ds
o ~,+ 8i
1 exp-
=~ i - s
(Ss- Xs)2
1-s
ds
est P-p.s. fini (P(S, = X , ) = 0 ) . D'aprbs le thborbme 29, (~-' sl) est v6rifi6e. De plus,
Aoo(X,-S1)=2~_2_ !1~ e 1x p
(Ss-Xs)2ds 2(1-s)
est major6 par 4~2-; %(da)= E(a, s) Xs(da), avec
a-X~ E(a, s)= l(s < 1) l(s~<~) 1 - s
(a_ Xs)2 I
1 exp 2 ( l - s ) l ~s~>--a) ( l _ s) =* (,~-x,) u2 S exp--B- du O
Comportement des semi-martingales dans un grossissement de filtration
181
Les hypotheses du th6or6me 22 sont remplies; on a donc la Proposition 30. Soit X un (~,P)-mouvement brownien issu de 0 et soit S t = s u p X ~. s
$1 - X s d s 1-s
t^ 1 exp + j" l(s~=s,) s,-x~ 0
1/l-s
(S, - XO 2 2(1 - s )
ds il_s)}
(22)
r2
exp_T d r est un ( ~ - s , , P)-mouvement brownien. Remarque. Soit ~r le (~-s')-temps d'arrat a=inf(t, St=SO; a est aussi la fin de l'ensemble ~-pr6visible (t < 1, S~= Xt) et (s < a) = (S~< $1). Pour tout (~)-temps d'arr6t T, on a, d'apr~s la propri6t6 de Markov forte: P(a < T)= P(S a > ST)= Ev(P(S u > z),=(1_ r)+,z=Sr- XT; T< 1);
la (~,P) surmartingale Z r projection M-optionnelle de 1~o,~Hest donc 6gale r2
Z 7 = l(t < 1)
st ~Xtexp - 2(1 - t) dr;
d'apr+s la formule d'Ito, sa partie martingale/~r~ est donn6e par: ~ ]~til 1 M~=I+__ 0 ~exp-
(Ss--Xs) 2 2 ( l - s ) dX~.
D'apr6s ([10]), X est une (o~ , P)-semi-martingale et ~t=Xt_
d
~1 ( ~ ) 1 0 1
~)~
(23)
est un (~-r P)-mouvement brownien. L'6galit6 des tribus ~ l ~ , +oo~ et _~-s~ [~r +~a explique l'6galit4 de 1~, + ~r - Z ) (formule (22)) et 1~, +o~' ( X - X ) (formule (23)).
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T. Jeulin
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