manuscripta math. 102, 187 – 209 (2000)

© Springer-Verlag 2000

Arthur Lannuzel · Thong Nguyen Quang Do

Conjectures de Greenberg et extensions pro-p-libres d’un corps de nombres Received: 29 April 1999 / Revised version: 31 January 2000 Abstract. For an algebraic number field k and a prime number p (if p = 2, we assume that µ4 ⊂ k), we study the maximal rank ρk of a free pro-p-extension of k. This problem is related to deep conjectures of Greenberg in Iwasawa theory. We give different equivalent formulations of these conjectures and we apply them to show that, essentially, ρk = r2 (k)+1 if and only if k is a so-called p-rational field.

Introduction Soit k un corps de nombres algébriques, p un nombre premier (si p = 2, on impose de plus que µ4 ⊂ k), K˜ le composé de toutes les Zp -extensions de k. Alors ∼ ˜ 0˜ := Gal(K/k) = Zp r2 (k)+1+δp (k) , où δp (k) est un entier naturel, conjecturalement nul (Leopoldt) et r2 (k) désigne le nombre de places complexes de k. En liaison avec le problème de plongement (cf. [N1]), on se pose naturellement la question suivante : à quelles conditions ce Zp -module est-il l’abélianisé d’un groupe de Galois Gal(L(r2 +1) /k) qui soit pro-p-libre de rang r2 + 1 ? Plus généralement : On appelle Fd -extension une extension dont le groupe de Galois est isomorphe à Fd , le pro-p-groupe libre à d générateurs (d ∈ N) ; F1 = Zp est l’unique Fd qui soit abélien. On pose ρk = max{d ∈ N tel que k admette une Fd -extension} ; en supposant la conjecture de Leopoldt, on a ρk ≤ 1+r2 , et la question précédente est équivalente à la question : à quelles conditions ρk = r2 + 1 ? (la détermination de ρk en général est un problème plus difficile) – Si k est totalement réel (r2 = 0), il est clair que ρk = 1, et L(1) = k∞ , la Zp -extension cyclotomique de k. cycl

– Si k est imaginaire (r2 6 = 0), le problème est beaucoup plus compliqué et relié à des propriétés arithmétiques intéressantes de k. On connaît des exemples (cf. [Y]) où ρk < r2 + 1. A. Lannuzel, T. Nguyen Quang Do: Université de Franche-Comté, UMR 6623 CNRS, Laboratoire de Mathématiques, 16, route de Gay, 25030 Besançon Cédex, France. e-mail: [email protected]; [email protected] Mathematics Subject Classification (2000): 11R23, 11R32, 11R34

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A. Lannuzel, T. Nguyen Quang Do

Un exemple évident avec ρk = r2 +1 est celui des corps p-rationnels (cf. [MN]), où, par définition, le groupe de Galois de la pro-p-extension maximale de k non ramifiée en dehors des places de k divisant p, est isomorphe à Fr2 +1 . Dans le cas où µp ⊂ k, le résultat principal de cet article, modulo certaines conjectures profondes de la théorie d’Iwasawa proposées par Greenberg, est qu’il n’y a pas d’autres exemples : si k contient µp , vérifie la conjecture de Leopoldt et la “conjecture de Greenberg généralisée” en p et si ρk = r2 + 1, alors k est p-rationnel (il est probable que ce résultat reste vrai en supposant uniquement k imaginaire). Pour parvenir à ce résultat, nous exprimons d’abord le défaut (1 + r2 ) − ρk comme le rang d’un certain module d’Iwasawa (§1), puis nous “dévissons” certains modules de torsion attachés à des Zp -extensions multiples (§§2,3) afin d’établir différentes formulations équivalentes des conjectures de Greenberg (§4). Le théorème principal 5.4 en découle. NB : R. Greenberg nous a signalé que dans sa thèse (non publiée), D. Hubbard a obtenu indépendamment un résultat analogue à 5.4, mais sensiblement plus faible, car ne disposant pas des théorèmes techniques 3.2 et 4.4 ci-dessous. Notations générales k un corps de nombres algébriques. p un nombre premier impair. Dans toute la suite on supposera que p 6 = 2 ou k contient µ4 . r2 (k) ou r2 le nombre de places complexes de k. Sp (k) ou Sp l’ensembles des places finies de k au dessus de p. S ⊃ Sp une ensemble fini de places de k. GS = GS (k) = Gal(kS /k) le groupe de Galois de la pro-p-extension maximale kS de k non-ramifiée en dehors de S. Avec l’hypothèse sur p, on a cd(GS ) ≤ 2. Pour une place v de k, on note Gv , le groupe de décomposition de GS pour une place choisie de kS au-dessus de v. (.)ab désigne l’abélianisé si l’argument est un groupe, le corps fixé par les commutateurs si l’argument est un corps. 3∈S (k) := (GS (k))ab . On réservera la notation 3∈(k) au cas S = Sp . Une Zp -extension multiple de k sera notée K (a) , 0 (a) := Gal(K (a) /k) ∼ = Zp a . (a) (a) ∼ Une Fa -extension de k sera notée L , Gal(L /k) = Fa . Soit 3a = Zp [[0 (a) ]]. On sait que 3a ∼ = Zp [[T1 , . . . , Ta ]] l’algèbre commutative des séries formelles à a indéterminées. Pour tout R anneau commutatif intègre, pour tout R-module M, on notera Tor R M la R- torsion de M et f rR M le quotient de M par sa R-torsion. 1. Expression de (1 + r2 ) − ρk Soit L := L(ρ) une extension pro-p-libre de k de rang ρ. D’après [Y], on sait que l’extension L/k est non ramifiée en dehors de p, donc L ⊂ kS . Soit K (a) une Zp a -extension de k incluse dans L (donc forcément a ≤ ρ).

Conjectures de Greenberg et extensions pro-p-libres d’un corps de nombres

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On a l’extension de groupes : {1} −→ Gal(kS /L) −→ Gal(kS /K (a) ) −→ R := Gal(L/K (a) ) −→ {1}. La suite exacte d’inflation-restriction s’écrit alors : {0} → H 1 (R, Qp /Zp ) → H 1 (Gal(kS /K (a) ), Qp /Zp ) → H 1 (Gal(kS /L), Qp /Zp )Gal(L/K

(a) )

→ {0},

puisque R est un pro-p-groupe libre en tant que sous-groupe fermé d’un pro-pgroupe libre et, ainsi, H2 (R, Qp /Zp ) = 0. En dualisant (Pontrjagin), on obtient : {0} −→ 3∈S (L)Gal(L/K (a) ) −→ 3∈S (K (a) ) −→ Rρab (0 (a) ) −→ {0} où l’on a posé Rρab (0 (a) ) := Gal(L/K (a) )ab , le module des relations dans la présentation libre de rang ρ de 0 (a) donnée par : {1} −→ Gal(L/K (a) ) −→ Gal(L/k) ∼ = Fρ −→ 0 (a) −→ {1}. Rappelons que le module des relations Rρab (G) peut être défini pour n’importe quel pro-p-groupe G qui est quotient du pro-p-groupe Fρ , et qu’il apparaît dans la résolution de Lyndon (cf. e. g. [N2]), {0} −→ Rρab (G) −→ Zp [[G]]ρ −→ Zp [[G]] −→ Zp −→ 0. Soit K une sous-extension de kS /k. Si K/k est finie (resp. infinie), la conjecture de Leopoldt ordinaire (resp. faible) pour K en p équivaut à dire que H2 (GS (K), Qp /Zp ) = 0 (cf. [N1], [N2]). Proposition 1.1. Soit L une pro-p-extension libre de k de rang ρ, contenant une Zp a -extension K (a) (a ≤ ρ). Alors, avec les notations précédentes : (i) Si K (a) vérifie la conjecture de Leopoldt faible (i.e. H2 (Gal(kS /K (a) ), Qp /Zp ) = 0) , le 3a -rang de 3∈S (L)Gal(L/K (a) ) est égal à r2 + 1 − ρ. En particulier ρ = r2 + 1 si et seulement si 3∈S (L)Gal(L/K (a) ) est la 3a -torsion de 3∈S (K (a) ). (ii) Si toutes les sous-extensions finies de K (a) /k vérifient la conjecture de Leopoldt en p, alors ⊕ Fa0 /Fa00 ∼ 3∈S (L)Gal(L/K (a) ) ⊕ 3ρ−a = 3∈S (K (a) ), a où Fa0 , Fa00 sont respectivement les deux premiers groupes dérivés (fermés) du pro-p-groupe libre de rang a. Preuve. La résolution de Lyndon montre immédiatement que le 3a -rang de Rρab (0 (a) ) vaut ρ − 1. Quant au 3a -rang de 3∈S (K (a) ), la conjecture faible de Leopoldt (voir les rappels 2.1 ci-dessous) implique qu’il vaut r2 . L’assertion (i) en résulte sans difficulté. Pour montrer l’assertion (ii), notons d’abord que Leopoldt pour k implique Leopoldt faible pour K (a) . Considérons ensuite une sous-extension finie K/k de K (a) , de groupe de Galois G. On a une présentation libre {1} −→ R := Gal(L/K) −→

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A. Lannuzel, T. Nguyen Quang Do

F = Fρ −→ G −→ {1}, qui donne naturellement une extension de groupes {1} −→ Rρab (G) −→ F /R 0 −→ G −→ {1} à noyau abélien. Soit χ ∈ H2 (G, Rρab (G)) la classe de cette extension. Il est montré dans [N1] que (Rρab (G), χ) est un objet projectif dans la catégorie des Zp [G]-modules de type fini M pointés par des classes de cohomologie de H 2 (G, M). Si K/k se plonge dans une Fρ -extension et si K vérifie Leopoldt en p, alors (Rρab (G), χ ) est une image épimorphique de (3∈(K), ), où  est la classe fondamentale de H2 (G, 3∈(K)) fournie par le corps de classes (voir [N1]). On en déduit que Rρab (G) est un facteur direct (fonctoriellement) du Zp [G]module 3∈S (K). Par passage à la limite projective, on obtient ab (a) ). 3∈S (K (a) ) ∼ (a) ⊕ R (0 = 3∈S (L) Gal(L/K

)

ρ

ρ−a ∼ Mais = Raab (0 (a) ) ⊕ 3a d’après la résolution de Lyndon et le lemme de Schanuel, ce qui démontre l’assertion (ii). u t En appliquant ce dernier résultat au cas particulier a = 1, on obtient comme r condition nécessaire pour que ρk = r2 + 1 : f r31 3∈S (K (1) ) ∼ = 312 pour toute Zp -extension K (1) de k. Or cette condition s’interprète en terme de noyaux de capitulation (cf. [Ka], [N4]). Plus précisément, si K (1) = ∪n kn vérifie la conjecture faible de Leopoldt, on sait que lim(Ker(K2 (kn ) → K2 (K (1) ))) ⊗ Zp , ←− n où K2 (•) est le foncteur de Milnor, est un module fini dont le dual de Pontrjagin est isomorphe au conoyau d’un plongement f r31 (3∈S (K (1) )) ,→ 3r12 . Si en plus k contient µp et K (1) est la Zp -extension cyclotomique (qui vérifie automatiquement Leopoldt faible), ce conoyau est isomorphe au dual de Kummer de lim(Ker(An → A)) ←− n où An désigne la p-partie du groupe des Sp -classes de kn et A := limAn . −→ n On obtient ainsi le Corollaire 1.2. Soit k un corps de nombres algébriques vérifiant Leopoldt pour p. Si ρk = r2 + 1 : 1) Pour toute Zp -extension K (1) /k qui vérifie la conjecture de Leopoldt faible, on a lim(Ker(K2 (kn ) → K2 (K (1) ))) ⊗ Zp = 0. ←− n

Rρab (0 (a) )

2) Dans le cas où k contient µp et K (1) = k(µp∞ ), on a limKer(An → A) = 0. ←− n Remarque 1.3. La condition 2) du corollaire nous permet de donner des exemples, plus naturels que dans [Y], de √ corps k√pour lesquels √ r2 (k) + 1 : √ ρk < Par exemple, pour k = Q( −3, 67) ou Q( −3, 257), p = 3, Greenberg a montré dans [G3] que #Ker(An → A) = 3 pour n assez grand. La proposition 1.1 nous amène maintenant à étudier la 3a -torsion de 3∈S (K (a) ).

Conjectures de Greenberg et extensions pro-p-libres d’un corps de nombres

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2. Sur la torsion de certains modules d’Iwasawa Pour une extension K/k de groupe de Galois G, sous-extension de kS /k, on introduit le Zp [[G]]-module 3∈S (K) := Gal(kS /K)ab , qui sera noté 3∈(K) si S = Sp . Dans le cas d’une Zp a -extension K (a) /k, le 3a -module 3∈S (K (a) ) := Gal (a) (kS /K (a) )ab sera noté 3∈S , et même 3∈(a) si S = Sp . (a) Pour K (a) /k fixée, on prend une famille (kn /k)n∈N (parfois notée kn si la (a) précision s’avère nécessaire) telle que K (a) = limkn et donc 3∈S = lim3∈S (kn ). −→ ←− n n (a)

On note 0n (ou 0n si nécessaire) le groupe de Galois de K (a) /kn . (a) On se propose d’étudier dans cette partie les relations entre Tor 3a 3∈S et limTor Zp 3∈S (kn ). ←− n (a)

2.1. Quelques rappels sur la structure du 3a -module 3∈S

Soit K (a) une Zp a -extension de k de groupe de Galois 0 (a) . Par définition, on a la suite exacte : (a)

(a)

(a)

{0} −→ Tor 3a 3∈S −→ 3∈S −→ f r3a 3∈S −→ {0}. (a)

Rappelons les résultats de structure de 3∈S dans deux théorèmes, l’un algébrique, l’autre arithmétique. L (a) Théorème 2.1. (i) Tor 3a 3∈S est pseudo-isomorphe à ni=1 3a /Piei où les Pi sont des idéaux de 3a de hauteur 1 (donc principaux car 3a est factoriel). (a)

(ii) Si r est le 3a -rang de 3∈S , il existe un plongement (non canonique) φ : (a) f r3a 3∈S ,→ 3ra . En particulier, Cokerφ est de 3a -torsion. (iii) Soit θ ∈ 3a , θ 6 = 0. On peut choisir le plongement φ de façon que Cokerφ ait un annulateur premier à θ. Preuve. (i) et (ii) sont des conséquences immédiates des résultats généraux sur les 3a -modules. Pour (iii), c’est un simple raisonnement de localisation (voir e.g. [X] p. 291). t u Théorème 2.2. Avec les notations ci-dessus, si K (a) vérifie la conjecture faible de Leopoldt, on a : (a)

(i) rang3a 3∈S = r2 (k), (a)

(ii) 3∈S n’a pas de sous-module pseudo-nul non nul. Preuve. [G2] ou [N2]. Remarque 2.3. La conjecture faible de Leopoldt est vérifiée lorsque la Zp - extension cyclotomique de k est une sous-extension de K (a) (cf. [N2]).

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A. Lannuzel, T. Nguyen Quang Do

Comme 3a est noethérien et intégralement clos, énonçons le lemme suivant (cf. [B] chap. 4.8) qui servira au paragraphe 2.3 : Lemme 2.4. Soit A, B deux anneaux noethériens intégralement clos tels que A ⊂ B et B soit un A-module de type fini. Alors, si R est un B-module : Pour que R soit un B-module de torsion de type fini, il faut et il suffit qu’il soit un A-module de torsion de type fini. (1)

2.2. Lien entre Tor 31 3∈S et la limite projective des Tor Zp (3∈S (kn )) Théorème 2.5. Soit K (1) /k une Zp extension de k. Soit (kn )n une suite de corps de nombres algébriques tels que K (1) = limkn . On suppose la conjecture de Leopoldt −→ n vérifiée pour kn et p, ∀n ∈ N. Alors (1) limTor Zp (3∈S (kn )). Tor 31 3∈S ∼ = ←− n

Preuve. D’après [N3] p. 36 : Grâce aux théorèmes de structure sur les 31 -modules, on a les deux suites exactes : (1)

(1)

(1)

{0} −→ Tor 31 3∈S −→ 3∈S −→ f r31 3∈S −→ {0} et

(1)

{0} −→ f r31 3∈S −→ 3r12 −→ F −→ {0}

où F est un 31 -module fini. Par le lemme du serpent on obtient alors les deux suites exactes : (1)

(1)

(1)

{0} −→ (Tor 31 3∈S )0n −→ (3∈S )0n −→ (f r31 3∈S )0n −→ {0} et

(1)

{0} −→ F 0n −→ (f r31 3∈S )0n −→ (3r12 )0n −→ F0n −→ {0}

Des considérations de Zp -rangs, en se rappelant que kn vérifie la conjecture de Leopoldt en p et que (1) 0n ∼ = 3∈S (kn )/(3∈ )0 , S

n

donnent immédiatement la suite exacte : (1)

(1)

{0} −→ (Tor 31 3∈S )0n −→ Tor Zp ((3∈S )0n ) −→ F 0n −→ {0}. (1) (1) De plus, comme 0n ∼ = 3∈S (kn )/(3∈S )0n , on a Tor Zp ((3∈S )0n ) = Tor Zp (3∈S (kn )). D’où le résultat en passant à la limite projective. u t

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(a)

2.3. Lien entre Tor 3a 3∈S et la limite projective des Tor Zp (3∈S (kn )) Soit γ un générateur de 0, facteur direct de 0 (m) , 0 ∼ = Zp . n n Soit 0 n =< γ p >, le sous-groupe fermé de 0 engendré par γ p . n Soit Gn = 0/ 0 . Soit 0 (a−1) := 0 (a) / 0. Soit K (a−1) := (K (a) )0 . Soit K/k une Zp -extension telle que K.K (a−1) = K (a) et K ∩ K (a−1) = k. Soit n Kn := (K (a) )0 et kn = Kn ∩ K. (a) Alors K (a) /kn est une Zp a -extension, de groupe de Galois noté 0n . K (a) K (a−1)

Kn

0 (a−1)

K k

kn

Fig. 1. (a) Si l’on note 3a−1 := Zp [[0 (a−1) ]], on a Zp [[0n ]] ∼ = 3a−1 [[0 n ]]. De plus ∼ 3a−1 = Zp [[Gal(Kn /kn )]] pour tout n (on utilisera cet isomorphisme dans les notations qui suivent).

Théorème 2.6. Soit K (a) /k une Zp a -extension, a ≥ 1. On suppose la conjecture de Leopoldt vérifiée en p pour toute sous extension finie de K (a) . Avec les notations ci-dessus, on a une injection de 3a -modules : (a)

(a)

Tor 3a 3∈S ,→ limTor 3a−1 ((3∈S )0 n ), ←− n la limite projective étant prise par rapport au morphisme quotient naturel. Question 2.7. L’inclusion du théorème est-elle stricte ? (a)

(a)

Preuve du théorème. D’après le lemme 2.4, Tor 3a 3∈S est un Zp [[0n ]]-module (a) de torsion. On en déduit donc, puisque rangZ [[0 (a) ]] (3∈S ) = r2 #Gn , que p

(a)

n

rangZ [[0 (a) ]] (f r3a 3∈S ) = r2 #Gn . p n Pour n fixé, on peut choisir, grâce au théorème 2.1, une suite exacte : (a)

{0} −→ f r3a 3∈S −→ (Zp [[0n(a) ]])r2 #Gn −→ Yn −→ {0} n

telle que γ p − 1 soit premier à l’annulateur de Yn .

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A. Lannuzel, T. Nguyen Quang Do

On obtient alors, par le lemme du serpent, la suite exacte de 3a−1 -modules n

2 #Gn {0} −→ Yn0 −→ (f r3a 3∈(a) )0 n −→ 3ra−1 −→ (Yn )0 n −→ {0}

(1)

(a)

où la première flèche est injective car (Zp [0n ])r2 #Gn est libre. Supposons que pour tout πn dans l’annulateur de Yn , on a π˜ n = 0, où π˜ n est n l’image de πn dans 3a−1 , alors ωn := γ p −1 divise tout πn , d’où une contradiction avec l’hypothèse sur Yn ; donc, il existe πn tel que πn y = 0, ∀y ∈ Yn et π˜ n 6 = 0. De plus π˜ n y˜ = 0 où y˜ est l’image de y dans (Yn )0 n . Donc (Yn )0 n est de 3a−1 -torsion. Grâce au lemme du serpent appliqué à la suite exacte de 3a -modules (a)

(a)

(a)

{0} −→ Tor 3a 3∈S −→ 3∈S −→ f r3a 3∈S −→ {0}, on a la suite exacte de 3a−1 -modules : (a)

(a)

(a)

{0} −→ (Tor 3a 3∈S )0 n −→ (3∈S )0 n −→ (f r3a 3∈S )0 n −→ {0}

(2)

(a)

car f r3a 3∈S est sans 3a -torsion. Le 3a−1 -rang de (Yn )0 n étant nul, la suite exacte (1) nous donne (a)

rang3a−1 ((f r3a 3∈S )0 n ) ≥ r2 #Gn (a)

Mais rang3a−1 ((3∈S )0 n ) = r2 #Gn , d’où, grâce à la suite (2), (a)

rang3a−1 (f r3a 3∈S )0 n ≤ r2 #Gn . On a donc :

(a)

rang3a−1 ((f r3d 3∈S )0 n ) = r2 #Gn (a)

Donc, grâce à la suite exacte (2), (Tor 3a (3∈S ))0 n est de 3a−1 -torsion. On peut alors extraire de la suite exacte (2), en considérant la 3a−1 -torsion, l’injection de 3a−1 [Gn ]-modules : (a)

(a)

{0} −→ (Tor 3a 3∈S )0 n −→ Tor 3a−1 ((3∈S )0 n ) En passant à la limite projective, on obtient l’injection de 3a -modules : (a)

(a)

Tor 3a 3∈S ,→ limTor 3a−1 ((3∈S )0 n ) ←− n t u On en déduit le corollaire suivant : Corollaire 2.8. On suppose que la conjecture de Leopoldt est vérifiée en p pour toute sous-extension finie de K (a) /k. On a : (a)

Tor 3a 3∈S ,→ limTor Zp 3∈S (kn ). ←− n où les kn sont des corps de nombres algébriques tels que limkn = K (a) . −→ n

Conjectures de Greenberg et extensions pro-p-libres d’un corps de nombres

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Preuve. Fixons K (1) une Zp -extension de k. limTor Zp (3∈S (kn )) (cf. théorème On sait que Tor Zp [[Gal(K (1) /k)]] 3∈S (K (1) ) ∼ = ←− n 2.5). Le résultat est donc vrai pour a = 1. Supposons a ≥ 2. Soit 0 (a) le groupe de Galois d’une Zp a -extension K (a) de k, à laquelle on (a) associe 3a et 3∈S . On choisit 0 =< γ >∼ = Zp un sous groupe de 0 (a) et on associe 3a−1 à (a−1) (a) := 0 / 0. 0 On note K˜ (1) une Zp -extension de k telle que K˜ (1) .K (a−1) = K (a) On a vu au théorème 2.6 que : (a)

(a)

Tor 3a 3∈S ,→ limTor 3a−1 ((3∈S )0 n ), ←− n n

où 0 n :=< γ p > (sous groupe ouvert de 0). Soit la suite exacte : n

{1} −→ Gal(kS /K (a) ) −→ Gal(kS /(K (a) )0 ) −→ 0 n −→ {1}. La suite d’inflation-restriction donne : n

(a)

{0} −→ (3∈S )0 n −→ 3∈S ((K (a) )0 ) −→ 0 n −→ {0}. Cette dernière suite nous donne, ∀n ∈ N, (a)

n

Tor 3a−1 ((3∈S )0 n ) ,→ Tor 3a−1 (3∈S ((K (a) )0 )). Ce qui permet d’écrire : n

limTor 3a−1 ((3∈(a) )0 n ) ,→ limTor 3a−1 (3∈((K (a) )0 )) ←− ←− n n n

On fait ensuite le même raisonnement, ∀n ∈ N, sur l’extension (K (a) )0 /(K (1) ∩ n (K (a) )0 ) qui est une Zp a−1 -extension. Donc en répétant le raisonnement ci-dessus a − 1 fois, on obtient le résultat. t u Une autre description de limTor Zp 3∈S (kn ) sera donnée au paragraphe 3.2.2. ←− n 3. Dévissage de la torsion Grâce aux résultats techniques de la section précédente, nous allons pouvoir (r +1) plus fine que ce que donne le théorème 2.2. faire une étude de Tor 3r2 +1 3∈S 2 cycl la Zp -extension cyclotomique de k. Soit K Soit K (a) une Zp a -extension de k, de groupe de Galois 0 (a) , telle que K cycl ⊂ K (a) . Soit K 0 /k (ou K 0 (a−1) ) telle que K 0 .K cycl = K (a) et K 0 ∩ K cycl = k. Soit kn,m tels que kn,m = k0,m .kn,0 où limkn,0 = K cycl et limk0,m = K 0 . −→ −→ n m

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On conviendra de remplacer l’indice n ou m par ∞ pour signifier que l’on considère la limite inductive prise sur l’indice ainsi transformé (i.e. par ex. kn,∞ := limkn,m ). −→ m On posera également kn := kn,n , Gn := Gal(kn /k) et Gn,m := Gal(kn,m /k). K (a) K cycl

k∞,m kn,m

kn,0

K0 k0,m k Fig. 2.

Dans la suite, ces notations seront toujours les mêmes quel que soit le nombre de Zp -extensions considérées.

3.1. Au niveau fini Soit GS le groupe de Galois sur k de l’extension algébrique S-ramifiée maximale de k (GS est donc le pro-p-quotient maximal de GS ). Pour toute place v ∈ S, on notera Gv le groupe de Galois absolu de kv . La suite exacte de Poitou-Tate pour le GS -module Z/pn Z s’écrit {0} → Ker2S (k, Z/pn ) → H2 (GS , Z/pn ) →

Q

H2 (Gv , Z/pn ) ↓6 H0 (GS , µpn )∗ → {0} v∈S

où (.)∗ désigne la dualité de Pontrjagin, Ker2S (•, •) étant défini de façon tautologique. Si k vérifie la conjecture de Leopoldt en p, on sait que H2 (GS , Z/pn )∗ est isomorphe à la p n -torsion GS (k)ab [p n ] (cf. [N3]), d’où par dualité une suite exacte : diag

{0} −→ µpn (k) −→

M

µpn (kv ) −→ GS (k)ab [p n ]

v∈S

−→ Ker1S (k, µpn ) −→ {0}, où Ker1S (k, •) := Ker(H1 (GS (k), •) → ⊕v∈S H1 (Gv , •)).

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D’où, en passant à la limite inductive sur n, on obtient la Proposition 3.1 (Voir [N3], p. 38 ; comparer à [W1], p. 189). Si k vérifie la conjecture de Leopoldt en p, on a une suite exacte canonique diag

{0} → µp∞ (k) →

M v∈S

µp∞ (kv ) → Tor Zp 3∈S (k) → Ker1S (k, µp∞ )→{0}. (3.1)

3.2. Etude de Tor 3r2 +1 3∈(r2 +1) Prenons S = Sp . On va maintenant appliquer le corollaire 2.8 et prendre la limite projective sur n, grâce au dual de la restriction sur les H2 , des suites exactes (3.1) pour kn . On obtient alors la suite exacte : diag

M

Gn I nd(G (µp∞ ((kn )v )) →limTor Zp 3∈(kn ) n )v ←− n v∈Sp ↓

{0} → limµp∞ (kn ) −→ lim ←− ←− n n

limKer1Sp (kn , µp∞ ) ←− n ↓ {0} Il reste maintenant à étudier chacune de ces limites projectives. L Gn (µp∞ ((kn )v )). Mont3.2.1. Trivialité de la limite projective de v∈Sp I nd(G n )v rons tout d’abord un théorème de décomposition. Théorème 3.2. Soit K˜ la composée de toutes les Zp -extensions de k, de groupe de ˜ Pour toute place finie v de Sp (k), le groupe de décomposition 0˜ v est de Galois 0. Zp -rang supérieur ou égal à 2 dans chacun des cas suivants : (i) k contient µp (avec nos hypothèses k est forcément imaginaire), (ii) k contient un sous-corps imaginaire qui est galoisien sur Q. ˜ v contient le complété Preuve. (i) Si k contient µp , le complété (K) ^ (Q(µ p ))vp , où vp est l’unique place de Q(µp ) au-dessus de p. On peut donc supposer que k = Q(µp ), alors 0˜ est de Zp -rang égal à p−1 2 +1 ≥ ˜ vp a même 2 et la finitude du groupe des Sp -classes d’idéaux implique alors que (0) Zp -rang. (ii) Le même raisonnement que dans le début de (i) permet de supposer que k est imaginaire (r2 6 = 0), galoisien sur Q. Il est clair que, dans tous les cas, le complété en v ∈ Sp de la Zp -extension cyclotomique K cycl de k donne une Zp -extension (K cycl )v de kv . Il reste donc à fabriquer par complétion une autre Zp -extension de kv . Pour cela, soit 3∈w le groupe de décomposition de 3∈(K cycl ) pour une place w de K cycl au-dessus de v. On considère 3∈w comme un 3cycl -module par induction.

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A. Lannuzel, T. Nguyen Quang Do

Supposons que 3∈w soit de 3cycl -torsion pour une place w. Par l’hypothèse galoisienne, tous les 3∈w dans 3∈(K cycl ), pour toutes les places w au-dessus de p, seraient de 3cycl -torsion, donc le quotient de 3∈(K cycl ) par le sous-module engendré par les 3∈w serait de rang r2 6 = 0. Or ce quotient est la limite projective limAn (notation du Corollaire 1.2), dont on sait que c’est un 3cycl -module de ←− n torsion : contradiction. Donc 3∈w est de 3cycl -rang supérieur ou égal à 1, ce qui fournit, en prenant les co-invariants, une Zp -extension de kv distincte de (K cycl )v . u t Remarque 3.3. Il est probable que la propriété de décomposition du théorème précédent est valable pour tout corps k imaginaire (r2 6= 0). Cette conjecture simplifierait considérablement les énoncés des paragraphes suivants. Cependant, toute tentative de démonstration dans le cas non galoisien se heurte immédiatement à des problèmes non triviaux d’indépendance p-adique. On déduit du résultat précédent (les notations étant celle du paragraphe 2) : Proposition 3.4. Soit K˜ la composée des Zp -extensions de k. Soit kn /k des exten˜ On supsions galoisiennes finies de groupes de Galois Gn telles que limkn = K. −→ n pose que toute place v de Sp (k) vérifie la propriété de décomposition du théorème précédent dès que µp ⊂ kv . Alors on a : M Gn I nd(G (µp∞ ((kn )v )) = 0, lim n )v ←− n v∈Sp (k)

la limite projective étant prise par rapport à la norme où (Gn )v désigne le groupe de décomposition de Gn pour une place choisie au dessus de v et (kn )v le complété de kn pour cette place. Preuve. Voir la construction des kn,m au début du paragraphe 3. M Gn I nd(G (µp∞ ((kn,n )v )) lim n )v ←− n v∈Sp (k)

= lim ←− m

M

v∈Sp (k),µp ⊂kv

=

M

v∈Sp (k),µp ⊂kv

[Zp [Gal(k∞,m /K cycl )]⊗Zp [(Gal(k∞,m /K cycl ))v ] Zp (1)]

lim[Zp [Gal(k∞,m /K cycl )]⊗Zp [(Gal(k∞,m /K cycl ))v ] Zp (1)] ←− m

où cette dernière limite est prise par rapport au morphisme induit par la norme. Or, pour une place choisie v ∈ Sp (k) telle que µp ⊂ kv , d’après l’hypothèse de décomposition, il existe une Zp 2 -extension K (2) /k avec K cycl ⊂ K (2) dans laquelle les places de Sp (k) admettent une décomposition finie. Considérons les (2) limites projectives sur les k∞,m . (2) Soit T ∈ lim[Zp [Gal(k∞,m /K cycl )]⊗Z [(Gal(k (2) /K cycl ) ] Zp (1)]. ←− p v ∞,m m

Conjectures de Greenberg et extensions pro-p-libres d’un corps de nombres

199

Considérons T comme une suite cohérente de (2) )/K cycl ]]⊗Z Ti ∈ Zp [[Gal(k∞,m

(2) cycl ) ]] p [[Gal(k∞,m /K v

Zp (1).

Ce dernier groupe est isomorphe en tant que groupe à un produit fini, ne dépendant plus de m à partir d’un certain rang, de Zp (1). Le morphisme de liaison qui est la norme, devient le morphisme multiplication par p (dans Zp (1)) pour m assez grand. Choisissons Ti0 un élément de la suite cohérente. Alors Ti0 = pj .Ti0 +j , ∀j ∈ N. Or pour chaque composante (dans le produit fini) la valuation p-adique vp est minorée, mais vp (Ti0 ) = j + vp (Ti0 +j ), ∀j ∈ N, d’où une contradiction, sauf si Ti0 = 0. Et ceci pour tout élément de la suite cohérente, donc T = 0. Ceci montre que la limite projective est nulle quand on monte dans la Zp 2 extension choisie, d’où le résultat. u t 3.2.2. Description de la limite projective des Ker1 (GSp (kn ), µp∞ ). les notations du début du chapitre 3.

On reprend

Proposition 3.5. Soit K (a) une Zp a -extension de k dont toutes les sous-extensions finies véri-fient la conjecture de Leopoldt en p. On suppose également que toute place v au-dessus de p, telle que µp ∈ kv , vérifie la propriété de décomposition du théorème 3.2 (c’est le cas si a = r2 + 1 et µp ⊂ k). On a alors l’isomorphisme : limKer1Sp (kn , µp∞ ), limTor Zp 3∈(kn ) ∼ = ←− ←− n n la première limite projective étant prise par rapport à la norme et la deuxième par rapport à la corestriction. En particulier, ces deux limites projectives sont simultanément nulles ou non. Preuve. D’après la proposition 3.4, on a M Gn I nd(G (µp∞ ((kn )v )) = 0. lim n )v ←− n v∈Sp

La suite exacte {0} → limµp∞ (kn ) ←− n M diag Gn −→ lim I nd(G (µp∞ ((kn )v )) → limTor Zp 3∈(kn ) n )v ←− ←− n n v∈Sp

↓ limKer (GSp (kn ), µp∞ ) → {0}. ←− n 1

nous donne alors imédiatement l’isomorphisme cherché : limKer1Sp (kn , µp∞ ). lim Tor Zp 3∈(kn ) ∼ = ←− ←− n n

t u

200

A. Lannuzel, T. Nguyen Quang Do

3.2.3. Description de Tor 3r2 +1 3∈(r2 +1) par “transposition”. Soit k un corps de nombres algébriques vérifiant Leopoldt pour p. S = Sp . On reprend les notations du début du chapitre 3. Soit K (a) une Zp a -extension de k contenant la Zp -extension cyclotomique de k et 0 (a) son groupe de Galois sur k. On pose 3a := Zp [[0 (a) ]] (ou 3 si aucune ambiguïté n’en résulte). (a) On note An,m (ou An,m ) le p-groupe de Sp -classes (quotienté par les idéaux à (a) (a) support dans Sp ) de kn,m . Par le corps de classes, An,m ∼ = Xn,m (ou Xn,m ) le groupe de Galois de la p-extension non-ramifiée abélienne et Sp -décomposée maximale de kn,m . On notera Xn,m (k(µp )) et An,m (k(µp )) les mêmes groupes relatifs à kn,m (µp ). On pose alors : A(a) = A(a) (k) := limAn,m , −→ n,m X (a) = X(a) (k) := limXn,m . ←− n,m

A(a) (k(µp )) := limAn,m (k(µp )), −→ n,m

X (a) (k(µp )) := limXn,m ((µp )). ←− n,m Ecrivons les suites exactes de la proposition 3.1 pour les kn,m (µp ) et passons à la limite inductive sur n et m par la restriction : {0} → limµp∞ (kn,m (µp )) −→ n,m M diag G −→ lim I nd(Gn,m (µp∞ ((kn,m (µp ))v )) n,m )v −→ n v∈Sp

↓ limTor Zp 3∈(kn,m (µp )) → limKer1Sp (kn,m (µp ), µp∞ ) → {0}. −→ −→ n,m n,m On applique maintenant la dualité de Pontrjagin à cette suite exacte pour obtenir la suite exacte : {0} → lim(Ker1Sp (kn,m (µp ), µp∞ ))∗ ←− n,m −→ limTor Zp 3∈(kn,m (µp ))∗ ←− n,m

lim ←− m

M

v∈Sp

↓ 3m ⊗(3m )v Zp (−1) → limZp (−1) → {0} ←− m

où les deux dernières limites projectives sont prises à travers le morphisme identité, avec 3m := Zp [[Gal(k∞,m /k)]]

Conjectures de Greenberg et extensions pro-p-libres d’un corps de nombres

201

et (3m )v := Zp [[(Gal(k∞,m /k))v ]], (Gal(k∞,m /k))v étant le groupe de décomposition pour la place v de Gal(k∞,m /k). Or, puisque µp∞ ⊂ K (a) (µp ), on a lim(Ker1Sp (kn,m (µp ), µp∞ ))∗ = X(a) (k(µp ))(−1) ←− n,m par la théorie de Kummer et celle du corps de classes, d’où la suite exacte : {0} → X (a) (k(µp ))(−1) −→ limTor Zp 3∈(kn,m (µp ))∗ ←− n,m M → 3 ⊗(3)v Zp (−1) → Zp (−1) → {0} v∈Sp

où 3 := Zp [[Gal(K (a) /k)]] et (3)v := Zp [[(Gal(K (a) /k))v ]]. Comparer cette suite à [J] p. 200. Proposition 3.6. Soit K (a) une Zp a -extension de k contenant la Zp -extension cy(a) clotomique. On suppose également que le groupe de décomposition 0v , pour toute (a) place v au dessus de p de 0 , a un Zp -rang supérieur ou égal à 2 (donc k est forcément imaginaire). Les propriétés suivantes sont équivalentes : (1) X (a) (k) ∼ 0, (2) (Tor 3a 3∈(K (a) (µp ))(−1))1 = 0. où 1 := Gal(k(µp )/k). Preuve. Supposons tout d’abord µp ⊂ k. L Grâce à la propriété de décomposition, on sait que v∈S 3 ⊗(3)v Zp (−1) est un 3-module pseudo-nul : en effet, pour une place v ∈ S, considérons γ1 et γ2 (a) deux éléments de 0v engendrant un sous-groupe de rang 2 ; alors κ(γ1 )γ1 − 1 et κ(γ2 )γ2 − 1 (où κ est le caractère cyclotomique) sont premiers entres eux et annulent le module considéré. La suite exacte {0} → X(a) (k)(−1) −→ limTor Zp 3∈(kn,m )∗ ←− n,m M → 3 ⊗(3)v Zp (−1) → Zp (−1) → {0} v∈Sp

nous donne alors un pseudo-isomorphisme X (a) (k) ∼ Z(k)(1) := (limTor Zp 3∈(kn,m ))∗ (1). −→ n,m Nous allons maintenant décrire Z := Z(k) comme un module “transposé”, d’après U. Jannsen ([J], 1–5 et 5–4). Dans [N2], il est associé fonctoriellement à tout kn,m un Zp [Gn,m ]-module Y −(kn,m ) tel qu’on ait les suites exactes −(kn,m ) −→ Zp [Gn,m ] −→ Zp −→ {0}, {0} −→ 3∈(kn,m ) −→ Y

202

A. Lannuzel, T. Nguyen Quang Do

(d’où Tor Zp Y −(kn,m ) = Tor Zp 3∈(kn,m )) et −(kn,m ) −→ {0}, {0} −→ Zp [Gn,m ]r −→ Zp [Gn,m ]d −→ Y où d et r sont respectivement les nombres minimaux de générateurs et de relations du pro-p-groupe GS (k) (l’exactitude à gauche provient de la conjecture de Leopoldt pour kn,m ). En appliquant le foncteur HomZp [Gn,m ] (•, Zp [Gn,m ]), on obtient une autre suite exacte : Zp [Gn,m ]d −→ Zp [Gn,m ]r −→ (Tor Zp 3∈(kn,m ))∗ −→ {0}, 1 (Y −(kn,m )) ∼ −(kn,m ))∗ . car la finitude de Gn,m implique ExtG = (Tor Zp Y n,m On obtient, en passant à la limite projective sur n, m, deux suites exactes : 8

− := limY −(kn,m ) −→ {0} {0} −→ 3r −→ 3d −→ Y ←− n,m et

8+

3d −→ 3r −→ Z := lim(Tor Zp 3∈(kn,m ))∗ −→ {0} ←− n,m où les matrices 8 et 8+ sont transposées l’une de l’autre. Le module Z est dit transposé du module Y −. Il convient maintenant de faire quelques rappels sur les idéaux de Fitting : Soit R un anneau noetherien. Soit M un R-module de type fini. On note Ann(M) := {r ∈ R/r.m = 0, ∀m ∈ M}. 8

Soit R p −→ R q −→ M −→ {0} une présentation de M comme quotient d’un module libre. On note, pour i ≥ 0, Ei (M) l’idéal de R engendré par les (q − i) × (q − i) sous-déterminants de la matrice représentant 8 si i < q et 1 si i ≥ q. Cet idéal ne ` idéal de Fitting de M. dépend que de M. C’est le i i eme On note également αi (M) := Ann(∧i M) où ∧i désigne le ii`eme produit extérieur. On notera I ∼ où I est un idéal de R, l’intersection de tous les idéaux principaux contenant I et (Er+i−1 (M) : Er+i (M)) := {r ∈ R/rEr+i ⊂ Er+i−1 (M)}. Regroupons dans une proposition quelques propriétés algébrique des idéaux de Fitting et des annulateurs (toutes les démonstrations se trouvent dans [Hi]). Proposition 3.7. Soit r le rang de M, alors : (i) (αi (M))∼ = (Er+i−1 (M) : Er+i (M))∼ , ∀i ≥ 1. (ii) M est pseudo-nul si et seulement si (Ann(M))∼ = R. (iii) Dans le cas où R est factoriel, (αr+j (M))∼ = (αj (T orR M))∼ . Reprenons la démonstration de la proposition 3.6. Le pseudo-isomorphisme X (a) (k) ∼ Z(k)(1) montre que X (a) (k) ∼ 0 ⇐⇒ Z(k)(1) ∼ 0 ⇐⇒ Ann(Z(k)(1))∼ = (E0 (Z(k)(1)) : E1 (Z(k)(1)))∼ = 3a

Conjectures de Greenberg et extensions pro-p-libres d’un corps de nombres

203

car Z(k)(1) est de torsion. Comme une matrice carrée et sa transposée ont même déterminant, on a : −(a) (k)(−1)) = Ej (Tor 3a (Y −(a) (k)(−1))). Ej (Z(1)) = E1+r2 +j (Y Or −(k)(−1)) Ann(T or3a 3∈(k)(−1)) = Ann(T or3a Y −(k)(−1))) : E1 (Tor 3a (Y −(k)(−1))))∼ . = (E0 (Tor 3a (Y On en déduit immédiatement : X (a) (k) ∼ 0 ⇐⇒ Ann(T or3a 3∈(a) (k)(−1)) = 3a , autrement dit

X (a) (k) ∼ 0 ⇐⇒ Tor 3a 3∈(a) (−1) ∼ 0.

Or l’on sait que 3∈(a) n’a pas de sous-module pseudo-nul non nul, d’où : X(a) (k) ∼ 0 ⇐⇒ Tor 3a 3∈(a) (−1) = 0. Si µp 6 ⊂ k, la démonstration précédente est valable pour k(µp ) et donne un pseudoisomorphisme X (a) (k(µp )) ∼ Z(k(µp ))(1). Comme X (a) (k) = (X(a) (k(µp )))1 , on déduit immédiatement de ce qui précéde : X (a) (k) ∼ 0 ⇐⇒ Tor 3a 3∈(K (a) (µp ))(−1)1 = 0

t u

Corollaire 3.8. Soit k un corps de nombres algébriques contenant µp . On suppose la conjecture de Leopoldt vérifiée en p pour toute sous-extension finie de K (r2 +1) . Les propositions suivantes sont équivalentes : (1) X (r2 +1) (k) ∼ 0 en tant que 3r2 +1 -module, (2) Tor 3r2 +1 3∈(r2 +1) = 0. Preuve. L’hypothèse de décomposition d’après le théorème 3.2. u t

de

la

proposition

est

vérifiée

4. La conjecture généralisée de Greenberg 4.1. La conjecture classique Soit k un corps de nombres algébriques totalement réel. S = Sp . Notons K cycl la Zp -extension cyclotomique de k. Soit 0 = hγ i := Gal(K cycl/k). n Comme précédemment, on notera 0n = hγ p i et kn := (K cycl )0n . On note An le p-groupe de classes modifié (quotienté par les classes des idéaux à support dans Sp ) de kn . Par la théorie du corps de classes An ∼ = Xn , le groupe de Galois de la p-extension abélienne non-ramifiée et S-décomposée maximale de kn . On pose alors : Acycl := limAn (pour l’extension des idéaux), −→ n X cycl := limXn (pour le morphisme quotient naturel). ←− n

204

A. Lannuzel, T. Nguyen Quang Do

Théorème 4.1. Soit k un corps de nombres algébriques totalement réel, k cycl la Zp -extension cyclotomique de k. Les propriétés suivantes sont équivalentes : (1) Acycl est nul. (2) X cycl est pseudo-nul (i.e. fini dans ce cas). Preuve abrégée. L’équivalence entre (1) et (2) provient du fait que, pour la Zp extension cyclotomique, le dual de Acycl est pseudo-isomorphe au module adjoint de X cycl (cf. [I] ou [G1]). Conjecture 4.2. (GC) Les propriétés équivalentes précédentes sont vérifiées pour tout corps corps de nombres totalement réel (r2 = 0). Remarque 4.3. La conjecture d’origine concerne les p-groupes de classes au lieu des p-groupes de classes modifiés. Mais on sait (cf. [I] p. 276) que, modulo la conjecture de Leopoldt dans la tour cyclotomique, les deux formulations sont équivalentes. De plus, les p-groupes de classes modifés sont les objets naturels lorsqu’on est dans la situation S-ramifiée.

4.2. Conjecture généralisée Soit K (a) /k une Zp a -extension. On prend S = Sp . Les notations restent les mêmes que dans les paragraphes 3 et 3.2.3 : A(a) , X(a) , 3∈(a) ,. . . Notons K cycl la Zp -extension cyclotomique de k. Pour les passages à la limite, les notations seront les mêmes que dans les paragraphes 3 et 3.2.3. On remarquera que, avec ces notations, k∞,m est l’extension cyclotomique de k0,m . Théorème 4.4. Supposons que toute sous-extension finie de K (r2 +1) /k vérifie la conjecture de Leopoldt en p. Supposons en outre que pour toute place v ∈ Sp (k), le groupe de décomposition de v dans K (r2 +1) /k soit de Zp -rang supérieur ou égal à 2 (c’est le cas si k ⊃ µp ). Alors les propriétés suivantes sont équivalentes : (G1) A(r2 +1) = 0, (G2) X (r2 +1) ∼ 0, (G3) Tor 3r2 +1 3∈(K (r2 +1) (µp ))(−1)1 = 0, où 1 = Gal(k(µp )/k), (G4) lim(Ker1Sp (kn (µp ), µp∞ ))(−1)1 = 0, où limkn = limkn,n = K (r2 +1) et la −→ −→ ←− n n n limite projective est prise par rapport à la corestriction, (G5) lim(Tor Zp 3∈(kn (µp )))(−1)1 = 0, la limite projective étant prise par rapport ←− n à la norme.

Conjectures de Greenberg et extensions pro-p-libres d’un corps de nombres

205

Preuve. D’après la proposition 3.5 (G5) ⇐⇒ (G4). D’après la proposition 3.6 (G3) ⇐⇒ (G2). Démontrons (G1) ⇐⇒ (G5). On remarquera que, par propriété des parties cofinales et grâce au Théorème 2.5, on a (limTor Zp 3∈(kn (µp )))(−1)1 ←− n

= lim(Tor Zp 3∈(kn,m (µp )))(−1)1 ←− n,m = (limTor Zp [[k∞,m (µp )/k0,m (µp )]] 3∈(k∞,m (µp )))(−1)1 ←− m

Dans le cas où µp ⊂ k, la théorie de Kummer nous donne la suite exacte (pour m fixé) : {0} −→ E(k∞,m ) ⊗Z Qp /Zp −→ HomZp (3∈(k∞,m ), µp∞ ) −→ limAn,m −→ {0}. −→ n où E(k∞,m ) désigne le groupe des Sp -unités de k∞,m . Or, par la dualité de Kummer, on a E(k∞,m ) ⊗Z Qp /Zp ∼ = HomZp (Gal(Nm /k∞,m )), µp∞ ) 1

1

où Nm := k∞,m [(E(k∞,m )) p∞ ] et (E(k∞,m )) p∞ désigne la réunion des racines ` des Sp -unités de k∞,m , d’où la suite exacte : p n i emes {0} −→ Hom(limAn,m , µp∞ ) −→ 3∈(k∞,m ) −→ Gal(Nm /k∞,m ) −→ {0}. −→ n De plus ([I] p. 282), Hom(limAn,m , µp∞ ) est de 30,∞ := Zp [[Gal(k∞,m /k0,m )]]−→ n torsion, d’où la suite exacte : {0} → Hom(limAn,m , µp∞ ) → Tor 30,∞ 3∈(k∞,m ) → Tor 30,∞ Gal(Nm /k∞,m ). −→ n On a également, grâce à [I], ou mieux [Ku] p.307, les plongements canoniques Tor Zp [[k∞,m /k0,m ]] Gal(Nm /k∞,m ) ,→

M ] Gal(k∞,m /k0,m ) I ndGal(k∞,m /k0,m )v Zp (1) v∈Sp

L où f désigne le noyau de la somme. On en déduit limTor Zp [[k∞,m /k0 ,m]] Gal(Nm /k∞,m ) = 0 de la même façon que ←− m pour la proposition 3.4.

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A. Lannuzel, T. Nguyen Quang Do

On a donc limTor Zp [[k∞,m /k0 ,m]] 3∈(k∞,m ). limHom(limAn,m , µp∞ ) ∼ = ←− −→ ←− m n m / k, on considère k(µp ) et on prend ensuite les invariants par Dans le cas où µp ∈ 1, en remarquant que (A(r2 +1) (k(µp )))1 = A(r2 +1) (k). D’où (G1) ⇐⇒ (G5). Démontrons (G1) ⇐⇒ (G3). Dans le cas où µp ⊂ k.

1

Soit E (r2 +1) le groupe des Sp -unités de K (r2 +1) , N (r2 +1) := K (r2 +1) [E (r2 +1) p∞ ]. Comme précédemment, la théorie de Kummer nous donne des suites exactes (pour m fixé) : {0} −→ (E (r2 +1) )⊗Z Qp /Zp −→ HomZp (3∈(r2 +1) , µp∞ ) −→ A(r2 +1) −→ {0}, et {0} −→ Hom(A(r2 +1) , µp∞ ) −→ 3∈(r2 +1) −→ Gal(N (r2 +1) /K (r2 +1) ) −→ {0}, Or on montre facilement par récurrence, à partir du cas cyclotomique rappelé plus haut ([I] p. 282), que Gal(N (r2 +1) /K (r2 +1) ) est de 3r2 +1 -rang égal à r2 . De plus, comme on sait que le rang de 3∈(r2 +1) est aussi r2 (cf. Théorème 2.2 ; la démonstration de [N2] est de type cohomologique et n’utilise aucun calcul préalable sur les groupes de classes), on déduit de la suite exacte ci-dessus que Hom(A(r2 +1) , µp∞ ) est de 3r2 +1 -torsion, d’où {0} −→ Hom(A(r2 +1) , µp∞ ) −→ Tor 3r2 +1 3∈(r2 +1) −→ Tor 3r2 +1 Gal(N (r2 +1) /K (r2 +1) ). D’où (G3) H⇒ (G1). / k, la même manipulation que dans la démonstration Dans le cas où µp ∈ précédente montre le résultat. Or (G5) ⇐⇒ (G1) et (G5) H⇒ (G3) d’après le corollaire 2.8. D’où (G1) ⇐⇒ (G3). t u Conjecture 4.5. (GGC) Tout corps de nombres algébriques vérifie les propriétés (G1) et (G2) précédentes (notons que ces propriétés sont équivalentes si k est totalement réel, ou si k vérifie les hypothèses du Théorème 4.4). Remarque 4.6. Voici à notre connaissance l’état de ces conjectures : i) (GC) est vérifiée pour de nombreuses familles infinies de corps quadratiques réels (Kraft, Schoof, Ichimura, Sumida. . .). Voir [IS] et sa bibliographie. ii) (GGC) sous la forme (G1) ou (G2) a été vérifiée pour certaines familles de corps quadratiques imaginaires (Minardi) et quelques corps biquadratiques (Hubbard). iii) (GGC) sous la forme (G3) a un analogue local évident, qui est vrai, cf. [N2].

Conjectures de Greenberg et extensions pro-p-libres d’un corps de nombres

207

5. Sur les corps p-rationnels 5.1. Rappels Définition 5.1. Un corps de nombres algébriques k est dit p-rationnel si le groupe de Galois de la pro-p-extension maximale Sp -ramifiée de k est pro-p-libre. D’apprès [MN], on a la caractérisation suivante : Proposition 5.2. k est p-rationnel si et seulement si Tor Zp 3∈(k) est trivial et la conjecture de Leopoldt est vérifiée pour k et p. Exemples 5.3. 1) Q est p-rationnel pour tout p (même pour p = 2). 2) Si k est un corps quadratique imaginaire, p ≥ 5 ne divisant pas le nombre de classes de k, alors k est p-rationnel. 3) Un corps Q(µpn ), n ≥ 1, est p-rationnel si et seulement si le nombre premier p est régulier. 4) Tout sous-corps d’un corps de nombres p-rationnel est p-rationnel. 5.2. Corps p-rationnels et rang de la pro-p-extension libre maximale Voici maintenant le résultat principal de cet article qui montre que, souscertaines conditions, les seuls corps tels que ρk = r2 +1 sont les corps p-rationnels. Théorème 5.4. Soit k un corps de nombres algébriques contenant µp . Si de plus k vérifie la conjecture de Greenberg (GGC), les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) k admet une pro-p-extension libre L de rang r2 + 1 telle que toutes les sousextensions finies de Lab vérifient Leopoldt pour p. (ii) k est p-rationnel. Preuve. Introduisons la propriété (iii). Tor Zp 3∈(k) = {0} et la conjecture de Leopoldt est vérifiée pour k et p. L’équivalence (ii)⇐⇒(iii) étant connue (cf. proposition 5.2), ainsi que (iii)H⇒(i), il suffit de démontrer : (iii)⇐H(i). Notons L/k, de groupe de Galois F , une pro-p-extension libre de k de rang r2 + 1, 0 (r2 +1) l’abélianisé de F , K (r2 +1) /k l’extension correspondante. D’après le théorème 4.4, la conjecture de Greenberg nous donne Tor 3r2 +1 3∈(r2 +1) = 0. Or la proposition 1.1 montre que 3∈(L)Gal(L/K (r2 +1) ) est la 3r2 +1 -torsion de 3∈(0 (r2 +1) ). On en déduit, d’après le lemme de Nakayama, 3∈(L) = 0 et donc L = kSp . D’où la p-rationalité de k. u t En mettant ce résultat en parallèle avec ceux obtenus dans [N1], on obtient un énoncé plus frappant en termes de caractéristique d’Euler–Poincaré.

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A. Lannuzel, T. Nguyen Quang Do

Théorème 5.5. Soit k une extension finie de Q ou un corps local p-adique. On note Gk = Gal(/k) où ( la pro-p-extension maximale de k dans le cas local = kSp dans le cas global. et χk la caractéristique d’Euler–Poincaré de Gk . On a les résultats suivants : (i) ρk ≤ 1 + χk + rangZp H2 (Gk , Qp /Zp )∗ , (ii) Si on suppose de plus, dans le cas global, que k contient µp et vérifie (GGC), alors : ρk = 1 + χk ⇐⇒ Tor Zp 3∈(k) = 0 et H2 (GK , Qp /Zp ) = 0 pour toute toute sous-extension finie K/k de ab /k. Preuve. On sait que le groupe H2 (Gk , Qp /Zp ) est p-divisible, et que sa nullité est équivalente à la conjecture de Leopoldt (resp. est automatiquement vérifiée) dans le cas global (resp. local). ( nv dans le cas local De plusχk = r2 dans le cas global t u Nous espérons revenir dans un travail ultérieur sur l’étude de l’invariant 1 + r2 − ρk sans recourir à la conjecture de Greenberg. Bibliographie [B] Bourbaki, N.: Algèbre commutative, Chap. 7. Diviseurs. Hermann (1968) [G1] Greenberg, R.: On the Iwasawa invariants of totally real number fields. Amer. J. Math. 98, 263–284 (1976) [G2] Greenberg, R.: On the Structure of Certain Galois Groups. Inventiones Math. 47, 85–99 (1978) [G3] Greenberg, R.: A note on K2 and the theory of Zp -extensions. Amer. J. Math. 100, n. 6, 85–99 (1978) [Hi] Hillman, J.: Alexander ideals of links. Springer Verlag LNM, no 895 (1981) [Hu] Hubbard, D.: The nonexistence of certain free pro-p-extensions and capitulation in a family of dihedral extensions of Q. Thesis, Univ. of Washington (1996) [I] Iwasawa, K.: On Zl -extensions of algebraic number fields. Ann. Math. 98, 246–326 (1973) [IS] Ichimura, H. & Sumida, H.: On the Iwasawa invariants of certain real abelian fields. Int. J. Math. 7, 6, 721–744 (1996) [J] Jannsen, U.: Iwasawa Modules up to Isomorphism. Advanced Studies in Pure Mathematics 17, 171–207 (1989) [Ka] Kahn, B.: Descente galoisienne et K2 des corps de nombres. K-Theory 7, 55–100 (1993) [Ku] Kuz’min, L.V.: The Tate module for algebraic number fields. Math. USSR Izv. Vol. 6, No 2, 263–321 (1972) [Mi] Minardi, J.: Iwasawa modules for Zp d -extensions of algebraic number fields. Thesis (1986), Univ. of Washington

Conjectures de Greenberg et extensions pro-p-libres d’un corps de nombres

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