Arch. Math., Vol. 54, 125-141 (1990)

0003-889X/90/5402-0125$ 4.90/0 9 1990Birkh/iuser Verlag, Basel

C o n s t r u c t i o n B , / , D et anneaux localement residuellement de Jaffard

ou

Par PAUL-JEANCAHEN

Introduction. Tousles anneaux consid@bs sont commutatifs, unitaires et de dimension de Krull finie. On note R [n] l'anneau des polyn6mes en n ind6termin6es sur un anneau R, il est bien connu qu'on ales in6galit6s n + dim R < dim R [hi < n dim R + n + I [18], [23] et on appelle dimension valuative de R, on note dimv R, la borne sup6rieure (6ventuellement infinie) de la suite dim R [n] - n; on a bien stir dim R __
Totalement ~de

~,kaffard ~

Localement ~ . de Jaffard 4

~

R6siduellement de Jaffard

~ S-fort

2" Jaffard

126

P.-J. C A I E N

ARCH. MATH,

Dans cet article on montre en particulier que les propri6t6s S-fort, localement de Jaffard et r6siduellement de Jaffard sont ind6pendantes en donnant des exemples d'anneaux poss6dant chacune des combinaisons possibles de ces propri6t6s et enfin des exemples d'anneaux poss6dant les trois propri6t6s sans ~tre totalement de Jaffard ainsi que totalement de Jaffard sans ~tre universellement S-fort. Pour obtenir ces exemples on g6n6ralise la tr6s classique construction D + M [5], [9], [14] aux couples d'anneaux A c B partageant un id6al I [10]; on obtient un tel couple en se donnant un anneau B, un id6al I de Bet un sous-anneau D du quotient B/I: l'anneau A contenu dans B e t partageant avec lui l'id6al I e s t form6 des 616ments dont la classe modulo I e s t dans D, ainsi A/I est isomorphe fi D et on ale carr6 cart6sien [13].

A

>B

D

, B/I

l

On dit alors que A est ranneau de la construction B, I, D [10], on se limite le plus souvent ici ~ des constructions presque simples, off tout id6al premier de B contenant Iest maximal [10] ou m~me ~ des constructions simples off en outre D poss~de un unique id6al premier minimal (par exemple D int6gre, nbamoins on souligne qu'on ne suppose pas en g~n6ral B ni D int6gre, ni I premier dans B ni B semi local et que l'anneau d'une construction B, I, D n'est donc pas toujours l'intersection d'anneaux de la construction D + M, m~me si la construction B, I, D est simple). Dans un premier paragraphe on 6tablit quelques g6n6ralit6s sur les anneaux de Jaffard, en particulier que la propri6t6 localement de Jaffard est universelle (~ la diff6rence de la propri6t6 r6siduellement de Jaffard) et que pour un anneau cat6naire int6gre et local il suffit d'etre de Jaffard pour l'~tre totalement. Au second paragraphe on donne une formule pour la dimension valuative de l'anneau d'une construction B, I, D presque simple, celle-ci regroupe et g6n6ralise divers r6sultats de [2]. Aux trois paragraphes suivants on donne des conditions pour que l'anneau d'une construction B, I, D, le plus souvent suppos6e simple, soit respectivement localement de Jaffard, r6siduellement de Jaffard et S-fort. Au paragraphe 6 on r6alise, ~ l'aide de constructions simples, une premi6re s6rie d'exemples d'anneaux combinant certaines de ees propri6t6s, en dormant pour chaque cas une version cat6naire et une version int~gre et local, au paragraphe suivant on compl6te cette liste par des exemples qui, dans leur version int6gre et local, n6cessitent de proc6der ~i deux constructions simples successives; enfin au paragraphe 8 et dernier, on d6taille un peu plus le dernier exemple qui est celui d'un anneau totalement de Jaffard qui n'est pas universellement S-fort. On utilise le symbole c pour d6signer l'inclusion au sens strict et ~ pour l'inclusion au sens large; si P est un id6al premier de l'anneau R, ht P d6signe sa hauteur et P [n] l'id6al de R [n] form6 des polyn6mes ~ coefficients dans P; enfin, dans le cadre de la construction B, I, D, si Q est un ideal premier de Bet P = Q c~ A, on note d~2le degr6 de transcendance du corps des fractions de B/Q sur celui de A/P.

Vol. 54, 1990 1.

Construction B, I, D et anneaux de Jaffard

127

Propri6t6s de Jaffard. On commence par quelques remarques.

R e m a r q u e s. 1) On sait que R e s t localement de Jaffard si et seulement si S - 1R est un anneau de Jaffard pour toute partie multiplicative S de R [2]; de m~me R e s t r6siduellement de Jaffard si et seulement si R/I est de Jaffard pour tout id6al I (et alors R/I est bien stir aussi r6siduellement de Jaffard). 2) I1 r6sulte imm6diatement du th6or~me de la cha~ne sp6ciale [8], [18], que pour un premier P de R on a dim Rp [n] = ht P [n] + n donc que R est localement de Jaffard si et seulement si, pour tout P e t tout n, on a ht P [n] = ht P. Notamment le Lemme 1.4 de [19] dit alors que R e s t localement de Jaffard si et seulement si il v6rifie l'in6galit6 de la dimension. Lemme 1. Soit Run anneau, s'il existe un entier a tel que, pour tout premier Pet tout entier n > a, on a ht P [n] = ht P [a], alors, pour n > a, l'anneau R [n] est localement de Jaffard. D 6 m o n s t r a t i o n . Soit ~ un id6al premier de R [n], n > a, il faut montrer que pour tout r > 0, on a ht ~ [r] = ht ~ . On note P l'intersection ~ n R, alors ~ Jr] est au dessus de P dans (R [n]) [r] = R [n + r] et, d'apr~s le Th6or6me 1 de [8], on a h t ~ [ r ] = h t P [ n + r] + ht~[r]/P[n + r] par hypoth~se, ht P [n + r] = ht P [n] = ht P [a], pour tout r, et d'autre part on a ht ~ [r]/P [n + r] -- ht ( ~ / P [n]) [r] -- ht ~/P [n] (quitte ft localiser, on se ram6ne au cas o3 R e s t local d'id6al maximal P e t dans ce cas R/P est un corps). En conclusion, ht ~ [r] ne d6pend pas de r. [] Du lemme on tire alors la proposition suivante (fi rapprocher de la Proposition/.2 de [2] et du L e m m e / . 4 de [19]).

Proposition 1. Soit Run anneau i) ii)

si Rest localement de Jaffard, alors, pour tout n, R [hi est loealement de Jaffard. sin > dimv R - 1, alors R [n] est localement de Jaffard.

D 6 m o n s t r a t i o n . Le premier point r6sulte imm6diatement du lemme, pour le second, si P e s t un id6al premier de R, il est clair que d i m ~ R p < dim, R; posant a = dim~ R - 1, alors, pour n > a, on a n > dim~ Rp - 1 et donc dim Rp [n] = dimv R v + n [3], soit ht P [n] = dimv Rv, on est ainsi darts les conditions du lemme. R e m a r q u e 3. L'anneau R peut ~tre r6siduellement de Jaffard sans que R [X] ne le soit [paragraphe 8, Exemple 8]. On tire alors imm6diatement, un premier exemple (similaire h [2], Remarque 13). E x e m p 1e 0. Si dim R = 1 et dim~ R = 2, alors R [X] est un anneau localement de Jaffard de dimension 3 qui n'est ni S-fort ni r6siduellement de Jaffard (puisque R e s t un quotient de R [X] qui ne poss6de aucune de ces propri6t6s); l'exemple d'un tel anneau est tr6s simplement donn6 par l'anneau des polyn6mes tt coefficients darts K(T) (fractions rationnelles sur un corps K) mais de terme constant dans K [10].

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P.-J. CAHEN

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Le r6sultat suivant ne fait que rephraser la Proposition 1.8 de [2] ou la Proposition 10, IV, w3 de [18]. Lemme 2. Si Rest un anneau tel que par tout premier P passe une chafne de longueur maximale, alors il suffit que R soit de Jaffard pour l'~tre ~ la fois r~siduellement et localement. D 6 m o n s t r a t i o n . Suivant la d6monstration de Jaffard [18], si P e s t un premier on a par hypoth6se dim R = dim Rp + dim R/p, tandis que par ailleurs dim~R > dim vRp + dimv R/p, d'apr6s [18], IV, w 1, Proposition 2, ainsi dim R = dim~ R implique dim Rp = dim~ Rp et dim R/p = dim~ R/p. [] R e m a r q u e 4. L'hypoth6se du lemme n'est stable ni par localisation ni par quotient, ainsi un anneau qui la v6rifie peut-~tre de Jaffard sans l'atre totalement [paragraphe 6, Exemple 6a et paragraphe 7, Exemple 6b]. L'hypoth6se du lemme implique que R est ~quidimensionel (c'est/t dire que tous ses id6aux minimaux ont la marne profondeur) et co~quidimensionel (tous ses id6aux maximaux ont la mame hauteur), elle n'implique pas R cat6naire [w6, Exemple 6b] mais r6ciproquement elle est v6rifi6e sous l'une des hypoth6ses de la proposition suivante.

Proposition2. Soit Run anneau cat~naire; si R vdrifie rune des deux hypothdses: R est ~quidimensionel et local. Rest codquidimensionel et possdde un unique iddal premier minimal alors il suffit que R soit de Jaffard pour I'dtre totalement. i) ii)

D 6 m o n s t r a t i o n . L'une ou l'autre hypoth6se implique que par tout P passe une cha~ne de longueur maximale or en outre la premiere est manifestement stable par quotient premier et la seeonde par localisation; si Rest de Jaffard, la premi6re hypoth6se entralne donc, d'apr~s le lemme, que pour tout P, R/p est ~ la lois localement et r6siduellement de Jaffard et la seconde que Rp poss~de ces propri6t6s. [] R e m a r q u e 5. Un anneau cat6naire, int~gre et local vbrifie l'une et l'autre hypoth6se, il suffit donc qu'il soit de Jaffard pour l'~tre totalement et donc en particulier pour ~tre S-fort; r6ciproquement, il peut ~tre S-fort sans ~tre de Jaffard [paragraphe 6, Exemple 3].

Corollaire1. Soit R un anneau cat~naire, pour que R soit totalement qu'il v~rifie rune des hypothdses suivantes

de Jaffard, il suffit

i) Rest rdsiduellement de Jaffard et local ii) Rest localement de Jaffard et poss~de un unique ideal premier minimal. D 6 m o n s t r a t i o n . Soit P u n id6al premier, sous la premi6re hypoth~se R/p est un anneau de Jaffard 6quidimensionel et local, sous la seconde R vest un anneau de Jaffard co~quidimensionel et poss~dant un unique id6al premier minimal, ainsi on retrouve l'une ou l'autre hypoth~se de la Proposition 2 et on 6tablit que R/p ou Rp est totalement de Jaffard, pour tout P.

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Construction B, L D et anneaux de Jaffard

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R e m a r q u e 6. Pour qu'un anneau cat6naire soit totalement de Jaffard, il ne suffit pas qu'il soit localement de Jaffard et local [paragraphe 6, Exemple 1] ni r6sidueUement de Jaffard et int6gre (afortiori r6siduellement de Jaffard et avec un seul id6al premier minimal) [paragraphe 6, Exemple 2].

2. Dimension valuative et construction B, I, D. Lemme 3. Soient A ranneau de la construction B, I, D, n, m, r trois entiers tels que n = m + r, Q un ideal premier de B, minimal contenant I, P = Q (~ A et dQ le degr~ de transcendance du corps des fractions de B/Q sur celui de A/p; alors

i) ht P [n] _->ht Q [m] + Inf(dQ, r) ii) dim A [n] __>ht Q [m] + Inf(de, r) + dim (A/p) [n]. D 6 m o n s t r a t i o n. i) On considbre une cha~ne

dans B [m], off h -- ht Q [m], elle d6coupe une cha~ne de m~me longueur darts A [m], soit ~o ~ ~

~

...

= ~ h - ~ ~ ~h = P [m] .

Comme dQ est encore le degr6 de transcendance du corps des fractions de B [m]/~ h sur celui de, A [m]/~h, il rbsulte du Lemme 6 de [10]qu'entre ~h- 1 [r] et ~h [r] on peut intercaler strictement Inf(dQ, r) id6aux premiers de (A[m]) [r] = A [n]. ii) r6sulte imm6diatement de i). On tire aussi du Th6or6me 2 de [10], la majoration Lemme 4. Soit A l'anneau de la construction B, I, D; alors

dim A In] < sup (dim B [n], sup {ht Q In] + Inf(dQ,,) + dim (A/Q n A) [n] }). Q==I La minoration du Lemme 3 porte sur les id6aux premiers minimaux de I tandis que la majoration du Lemme 4 porte sur tousles premiers contenant I. Pour simplifier, on se restreint done aux constructions presque simples, off tout id6al premier de B contenant Iest maximal [10]. Th6or6me 1. Si la construction B, I, D est presque simple on a alors i)

dim A = sup (dim B, sup {dim BQ + dim A/Q c~ A}) Q__=I ii) dimvA = sup(dimvB, sup {dimvBQ + dQ + dimvA/Q c~ A}). i) C'est le Corollaire 2 de [10]. ii) Soit Q un id6al maximal de Bet P = Q c~ A; si Q contient I, on 6crit l'in6galit6 du Lemme 3 (ii) sous la forme dim A [n] - n __>ht Q [m] + Inf(dQ, r) + dim (A/p) In] - n Archlv der Mathernatlk 54

9

130

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et on fait tendre m et r vers l'infini, donc 6galement n = m + r, on tire dimv A > dimv BQ + dQ + dim vA/p (chacun des termes du membre de droite 6tant 6ventuellement infini). Si Q ne contient pas I, alors Ap = B e et dimvA > dimvAp = dimvB e, on a alors dimv A > dim~ B e pour tout id6al maximal Q de B, et donc dim. A > dim. B. Si S = s u p ( d i m ~ B , sup { d i m . B e + d Q + d i m o A / Q ~ A } ) , on a donc 6tabli que Q~=I

.

dim~A__>S. Inversement, sl n_->S, Q contient I et P = Q c ~ A , alors n > d i m ~ B , n __>dim vBe, n > de et n =>dim~ A/p donc dim B [n] = dim~ B + n, ht Q In] = dim, Be, Inf(de, n) = de et dim Alp In] = dim~ A/p+ n [3], on tire donc du Lemme 4 la majoration d i m A In] - n _-
Proposition 3. Soit A l'anneau de la construction B, I, D. a)

Si Iest contenu dans un seul id4al premier M de Bet si D est de dimension O, on a l'encadrement n + ht M + Inf(d~t, n) <_-dim A In] < dim B [n] + Inf(dM, n).

b)

Si en outre Best de Jaffard et M est de hauteur maximale dans B on a l'~galit~ dim A In] = n + dim B + Inf(du, n).

Le point a) est un plus g6n~ral que celui de la Proposition 2.7 de [2] (on ne suppose pas en effet B local ni I = M) et l'encadrement est plus fin; en outre le point b) en r6sulte imm~diatement (a fortiori si Best un anneau de valuation, comme darts [2]).

3. Construction B,/, D et anneaux localement de Jaffard. Soit A l'anneau de la construction B, I, D et S une partie multiplicative de A, alors S - 1A est l'anneau de la construction S-1B, S-1I, S-ID (en outre, si S rencontre I, alors S-1A = S-~B); si la construction B, I, D est presque simple il en va aussi bien stir de m~me de la construction S-1B, S-1I, S-1D.

Proposition 4. Si la construction B, I, D est presque simple alors, pour tout partie multiplicative S de A, notant X s l'ensemble des id~aux premiers de B contenant Iet ne rencontrant pas S, on a i)

dim S - 1A = sup (dim S- 1B, sup {dim BQ + dim S- i (A/Q c~ A) }) Q~Xs

et

dim~ S- ~A = sup (dim~ S- ~B, sup {dim~ BQ + dQ + dim~ S- ~(A/Q n A) }). Q~Xs

Construction B, L D et anneaux de Jaffard

gol. 54, 1990 ii)

131

Si S est la partie compldmentaire d'un premier P contenant I dans A, on a alors d i m S - 1 A = sup {dimBQ + dimS-l(A/Qc~A)} Q~Xs

et dimvS-1A = sup {dimvBo- + do. + dimvS-l(A/Q

c~ A)}.

O-~Xs

D 6 m o n s t r a t i o n . i) r6sulte directement du Th6or6me 1. ii) Si Q1 ne rencontre pas S dans B, alors Q1 c~ A ~ P donc (Q1 c~ A) + 1 c P e t Q1 + 1 ne rencontre pas S (sinon s = i + q o f f i ~ I e t q s Q1, mais alors q = s - i ~ Q1 c~ A et s = q + i E P); ainsi tout id6al premier de S - 1 B est contenu dans le localis6 d'un id6al Q contenant I e t ne rencontrant pas S, d'ofi afortiori. dim S - 1B __< sup {dim BO- + dim S- ~(A/Q c~ A) } Q~Xs

et dim v S - 1B < sup {direr S- 1BO- + do. + dim~ S- 1(A/Q c~ A) }. Q~Xs

R e m a r q u e. Si S rencontre I (par exemple si S est la partie compl6mentaire d'un premier de A ne contenant pas I), alors X s est vide, et les formules de (i) donnent dim S - 1A = dim S - ~B e t dim vS - ~A = dim~ S - a B, ce qui est bien stir puisque

S-1A =S-aB! On dit que la construction B, I, D est simple si elle est presque simple et en outre D poss6de un unique id6al premier minimal (c'est en particulier le cas si D est int~gre), dans ces conditions il existe un unique id6al premier minimal de I darts A, soit N, et pour tout premier Q de B contenant I, on a Q c~ A = N; si S est la partie multiplicative compl6mentaire d'un premier P contenant I dans A, alors, pour tout Q contenant I dans B, Q ne rencontre pas S, on tire donc C o r o l l a i r e 2. Si la construction B, 1, D est simple et Best localement de Jaffard, alors les assertions suivantes sont ~quivalentes.

i) ii) iii)

A est locaIement de Jaffard. D est localement de Jaffard et il existe un premier P contenant I dans A tel que A, soit de Jaffard. D est localement de Jaffard et sup {ht Q} = sup {ht Q + dQ}. Q~I

Q~=I

D 6 m o n s t r a t i o n . Si P ne contient pas I dans A, alors Ap = Bp est par hypoth6se un anneau de Jaffard et si P contient I, on tire de la Proposition 4(ii) dim Ap = dim Dp + sup {ht Q} Q~=I

dimv Ap -- dim~ Dp + sup {ht Q + do-}. Si A est localement de Jaffard, alors dim Dp = dim~ Op, pour tout P contenant I, donc D est localement de Jaffard, et on a en outre l'6galit6 sup {ht Q} = sup {ht Q + do-}. Q~=I

Q~I

9*

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ARCH. MATH.

Inversement si D est localement de Jaffard, il suffit d'avoir cette 6galit6 ou de fa$on 6quivalente que dim Ap = dim~ Ap pour un seul premier P contenant I pour que ceci soit vrai pour tout premier P contenant I.

Corollaire 3. Si la construction B, I, D est simple, B est localement de Jaffard et l' anneau A est local alors il suffit que A soit de Jaffard pour ~tre localement de Jaffard. Le corollaire suivant g6n6ralise un peu le Corollaire 2.12 de [2] (off l'id6al Iest maximal dans B).

Corollaire 4. Si Iest contenu dans un seul iddal premier M de B, alors A est localement de Jaffard si et seulement si Bet D sont localement de Jaffard et dM = O. D 6 m o n s t r a t i o n . On note que si I est contenu dans un seul id6al premier M de B, alors la construction est simple et N = A c~ M est l'unique id6al premier minimal de I dans A; d'apr6s la Proposition 4(ii) on a alors ici. dim A N = dim DN + dim BM et

dim~ A N = dim~ DN + dim~ BM + d u.

Si A est localement de Jaffard, on tire que BM est de Jaffard, par ailleurs, pour Q distinct de M, si P = Q c~ A, alors B o = Ap est de Jaffard, ainsi B est loealement de Jaffard. Inversement, si B e s t localement de Jaffard, on est alors ramen6 aux conditions du Corollaire 2 (qu'il suffit de traduire ici dans le cas particulier off Iest contenu dans un seul id6al premier de B).

4. Construction B , / , D et anneaux r6siduellement de Jaffard. Si A est l'anneau de la construction B, I, D, alors, pour tout id6al J de B, A/J c~ A ~= B/J et ces quotients partagent l'id6al (I + J)/J, cet id6al n'est pas r6duit/t (0) si et seulement si J ne contient pas I, mais on peut avoir A/J c~ A = B/J, par exemple si I + J = B. Si tout id6al premier contenant I e s t maximal dans B, il en est alors de m~me de tout id6al premier contenant (I d- J)/J darts B/J et du Th6or6me 1 on tire alors

Proposition 5. Si la construction B, I, D est presque simple et si Jest un ideal de B ne contenant pas I, on a alors i) ii)

dimA/Jc~A=sup(dimB/J,

sup {dim(B/J)Q+dimA/Qc~A}) Q=__I+J dim~A/J c~ A = sup(dim, B/J, sup {dim,(B/J)Q + dQ +dim, A/Q c~ A}).

O==I+J

R emarque 1. Si I + J = B, alors la famille des premiers Q de B contenant I + Jest vide et les formules se r6duisent alors ~ dim A/Jc~A=dimB/J et dimv A/J c~ A = d i m v B/J, ce qui est bien stir puisqu'alors A/J c~ A = B/J ! Si A est r6siduellement de Jaffard, alors il en est imm6diatement de m~me de D = A/I, inversement si on suppose Bet D r6siduellement de Jaffard, on tire de la proposition une condition pour que A l e soit, en se restreignant, comme au paragraphe 3 ci-dessus, aux constructions simples.

Construction B, I, D et anneaux de Jaffard

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133

Corollaire 5. Si la construction B, I, D est simple et Bet D sont r~siduellement de Jaffard, alors A est r~siduellement de Jaffard si et seulement si, pour tout premier Qo de B, ne contenant pas I mais contenu dans un premier contenant I, on a sup(dim B/Qo,

sup {ht Q/Qo} + dim D) Q~I+Qo

= sup(dimB/Qo,

sup {htQ/Qo + dQ} + dimD). Q~I +Qo D 6 m o n s t r a t i o n . Soit P u n id6al premier de A, - si P contient I, alors Alp est un quotient de D et c'est un anneau de Jaffard. - si P ne contient pas I mais se relive en Q0 dans B, tel que Qo ne soit contenu dans aucun premier contenant I, alors A/p = B/Q o est un anneau de Jaffard. - si P ne contient pas I et se relive en Qo dans B, tel que Qo soit contenu dans (au moins) un premier contenant I, alors pour que A/p soit de Jaffard il faut et il suffit que la formule du corollaire soit v6rifi6e, (ainsi qu'il r6sulte imm6diatement de la Proposition 5). R e m a r q u e 2. Dans les conditions du corollaire il est imm6diat que si I e s t contenu dans un id6al Q de B de hauteur maximale et tel que d~ > 0, alors A n'est pas r6siduellement de Jaffard. ii) si tout id6al premier Qo de B, ne contenant pas I et contenu dans un id6al premier contenant I, est tel que i)

dimB/Q o>

sup h t { Q / Q o + d Q } + d i m D Q~I+Oo (les id6aux premiers contenant I + Qo 6tant relativement <>),alors A est r6siduellement de Jaffard. Ces observations peuvent 6ventuellement permettre de conclure plus rapidement dans certains des exemples ci-dessous [paragraphe 6]. 5. C o n s t r u c t i o n B , L D e t a n n e a u x S - f o r t s . Si l'anneau A de la construction B, I, D est S-fort il en est alors imm~diatement de m~me pour D = A/1; supposant en outre que B est S-fort, on a: Proposition 6. Si la construction B, I, D est presque simple et si Bet D sont S-forts, alors l' anneau A est S-fort si et seulement si pour tout premier Qo de B ne contenant pas Iet tout Q contenant 1 + Qo on a dQ = 0 ou ht Q/Qo > 1.

D 6 m o n s t r a t i o n . L'anneau A est S-fort si et seulement si, pour tout couple de premiers Po c P tels que htP/Po = 1 alors l'anneau AJPoA pest S-fort, c'est/t dire de Jaffard (puisqu'il s'agit d'un anneau de dimension 1); or si Po contient I, A/P o est un quotient de D et si P ne contient pas I, Ae = Be, donc, ayant suppos6 que B e t D sont S-forts, on peut se restreindre au cas ot~ P contient I e t Pone le contient pas, dans ces conditions Pose relive en Qo dans B, de mani~re unique, et, quitte/t localiser, on peut supposer A local d'id6al maximal P. De la Proposition 5 on tire dim A/Po = sup(dim B/Qo,

sup {dim(B/Qo) Q + dim A/Q c~ A}) Q~=I+Qo

134

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ARCH. MATH.

et, s'6tant ramen6 au cas particulier o f A est local et dim A/Po = 1, on a n6cessairement

dimA/Po

= dimB/Qo

-= sup

{dim(B/Qo)a}

= 1

Q==X+ eo (notamment, pour tout Q ~ I + Po, on a Q nA = P e t donc dim A/QnA = dim A/P = 0). I1 en r6sulte que, pour tout Q contenant I + Qo, on a ht Q/Qo = 1. Par ailleurs on tire encore de la Proposition 5

dim~A/Po

=

sup

{dim(B/Qo)o.

+ do. }

O~I + Po

et donc A/P o est de Jaffard si et seulement si, pour tout Q ~ I + Qo, on a alors do.= 0. [] 6. Constructions simples. On donne ici une s6rie d'exemples d'anneaux qui, parmi les propri6t6s S-fort, localement de Jaffard et r6siduellement de Jaffard en poss6dent une ou deux et enfin d'un anneau qui poss~de les trois sans ~tre totalement de Jaffard. Hormis le cas d'un anneau S-fort qui n'est pas de Jaffard [Exemple 3], il r6sulte de la Proposition 2 du paragraphe 1 que de tels anneaux ne peuvent ~tre & la fois cat6naires, int6gres et locaux, on donne donc si possible deux versions de ces exemples, l'une est cat6naire, l'autre est int6gre et locale (compte tenu plus pr6cis6ment du Corollaire 1 du paragraphe 1, la version cat6naire est en outre locale si l'anneau n'est pas r6siduellement de Jaffard, int6gre si l'anneau n'est pas localement de Jaffard). Les anneaux consid6r6s s'obtiennent & l'aide d'une construction B, I, D off Best un localis6 d'une alg6bre de type fini sur un corps bien choisi, Iest l'intersection d'un nombre fini d'id6aux maximaux de B et enfin D est un corps. Ainsi il s'agit de constructions simples et en outre Bet D sont universellement S-forts, les propri6t6s de A se d6duisent alors imm6diatement des r6sultats des trois paragraphes pr6c6dents (off l'on demandait, suivant les cas, ~t Bet ~t D d'avoir seulement certaines des propri6t6s ~tudi6es ici). Pour se donner toute libert6 dans les exemples, on veut pouvoir fixer arbitrairement les degr6s de transcendence dQ des id6aux Q de B contenant I, quelque soit la hauteur ht Q; tous les exemples de ce paragraphe sont alors des variations sur le th~me de l'exemple type suivant. E x e m p 1e A. Soit K un corps et Bo une K-alg6bre de type fini; par localisation on peut obtenir un anneau semi local B dont les id~aux maximaux sont de hauteur arbitrairement choisie (quitte ~t prendre B 0 de dimension suffisante), l'anneau B est alors Noeth6rien et cat6naire; on prend ensuite pour 1 l'intersection finie d'id6aux maximaux de B; on prend enfin D = K, mais, au besoin, on fair de D u n sous-anneau de B/I par la consid6ration d'autres morphismes que le morphisme canonique, afin que le degr6 de transcendance dQ de B/Q sur D, pour tout premier Q de B contenant I, puisse ~tre arbitrairement fix6; pour cela on prend pour K le corps k(xl,..., x ..... ) des fractions rationnelles en une infinit6 d'ind6termin6es sur un corps k et on note alors que, pour tout id6al maximal Q de B, le quotient B/Q est une extension alg6brique d'une extension transcendante pure de K, de la forme L = k ( t l , . . . , t , xl . . . . , x , , . . . ) , pour tout d il existe donc un morphisme 0 de K = D dans L qui fait de B/Q une extension de degr6 de transcendance d sur D (il suffit de ~d6caler~) les ind6termin6es); si I = ~ Q~, alors i

Construction B, L D et anneaux de Jaffard

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B/I = I~ B/Qi et, pour r6aliser la construction

135

B, I, D avec des degr6s de transcendance

di; arbitrairement choisis, pour chacun des Qi, on fait de D u n sous anneau de B/! par la consid6ration du morphisme produit I~ 0~. Dans les exemples ci-dessous, Best semi-local (avec au plus trois id6aux maximaux) et Iest l'intersection de tousles id6aux maximaux de B, sauf au plus l'un d'entre eux qu'on note alors M. On symbolise la hauteur des id6aux maximaux par la repr6sentation d'une cha~ne et on note entre parenth~se le degr6 de transcendance dQ des id6aux maximaux contenant 1 (dans tousles exemples dQ < 2);/t c6t6 de chaque sch6ma ainsi donn6 pour l'anneau B on repr6sente aussi l'anneau A de la construction B, I, D qui fournit l'exemple demand6. Si Iest l'intersection de tousles id6aux maximaux de B, alors A est local d'id6al maximal I, sinon A pbss6de deux id6aux maximaux, l'un est Iet l'autre, not6 N, se relave de mani~re unique en M dans B. Enfin, si dQ > 0, alors, pour tout id6al premier Qo de B contenu dans Q et tel que ht Q/Qo = 1, notant P = Qo c~ A, on peut interealer dQ id6aux premiers entre P[n] et I[n] dans A[n], pour n < dQ (d'apr~s le Lemme 6 de [10]); on symbolise ce ph6nom6ne ~ l'aide d'autant d'6toiles 9 entre P e t I dans le sch6ma de A (si ht I/p= 1, alors A n'est pas S-fort). E x e m p 1 e 1. A est localement de Jaffard mais ni r6siduellement [voir aussi paragraphe 1, Exemple 0]. a) Cat6naire (et local): dim A > 2. (0) (1) ~

de Jaffard, ni S-fort

/

A b) Int6gre et local: dimA > 3. (0)

B

~

/

I

P

A

E x e m p 1 e 2. A est r6siduellement de Jaffard mais ni localement de Jaffard, ni S-fort. a) Cat6naire (et int6gre): dim A > 2. M

B

b) Int6gre et local [voir paragraphe 7 ci-dessous].

N

A

136

P.-J. CAHEN

ARCH. MATH.

E x e m p 1e 3. S-fort mais non de Jaffard (Cat6naire, int6gre et local): dim A > 2. I

P E x e m p 1e 4. Localement de Jaffard et S-fort mais non r6siduellement de Jaffard. a) Cat6naire (et local): dim A > 3.

(o)(0) ~

I

B

P b) Int6gre et local: dimA > 4.

(

(o)

I

(0)

**f~'N

B

A

E x e m p 1e 5. R6siduellement de Jaffard et S-fort mais non localement de Jaffard. a) Cat6naire (et int6gre): dim A > 3.

) ( 2 ~ ~ / ~

M

N

**

B

~/. P

b) Int6gre et local [voir paragraphe 7 ci-dessous].

A

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]37

E x e m p 1e 6. R6siduellement et localement de Jaffard mais non S-fort. a) Cat6naire: dim A > 2. N (0)

M

B

b) Int6gre et local [voir paragraphe 7 ci-dessous]. E x e m p 1e 7. R6siduellement, localement de Jaffard et S-fort mais non totalement de Jaffard. a) Cat6naire: dim A > 3.

(o~) b) Int6gre et local [voir paragraphe 7 ci-dessous]. R e m a r q u e. Les anneaux A des Exemples 6a et 7a sont cat6naires, 6quidimensionels et co6quidimensionels, ils sont de Jaffard et le sont donc fi fois r6siduellement et localement [paragraphe 1, Lemme 2] mais ils ne le sont pas totalement [voir paragraphe 1, Proposition 2].

7. Constructions doubles: anneaux int~gres et locaux. Pour obtenir certains des exemples d6sir6s, sous la forme int6gre et local, on fait deux constructions simples successives, variations sur le th6me de l'exemple type suivant. E x e m p 1e B. Soit B une K-alg6bre int6gre semi locale sur un corps K bien choisi, avec certains id6aux maximaux Qi et M (de hauteur pouvant &re arbitrairement fix6e par localisation d'une K-alg+bre de type fini); soit I = n i Qi et D u n anneau de valuation discr6te de corps des fractions K(X); si K = k(xl,..., x ..... ), on peut plonger D dans B/I de sorte que les degr6s de transcendance des B/Q~ sur K (X) soient arbitrairement choisis [Exemple A, paragraphe 6]. On note alors C l'anneau de la construction B, 1, D, qui est donc simple, et les propri6t6s de C se d6duisent facilement des paragraphe 3, 4 et 5. L'id6al I e s t commun ~t B et C, darts C il est premier, de profondeur 1, contenu dans un unique id6al maximal qu'on note N', par ailleurs on note N = C n M. A partir de C on proc~de

138

P.-J. CAHEN

ARCH. MATH.

alors /t une deuxi+me construction simple, avec l'id6al J = N c~ N' et D ' = K, qu'on plonge dans C/J = C/N x C/N', de mani~re/t ce que C/N et C/N' soient alg6briques sur D' = K (toujours par le proc6d6 de l'Exemple A, paragraphe 6). On note A l'anneau de la construction C, I, D'; on note I' = I c~ A, on a alors A r = Cz (puisque I' est strictement contenu dans J) et on peut facilement conclure que A r n'a pas certaines des propri6t6s 6tudi6es si c'est d6j~tle cas de Ct. L'anneau A est toujours int6gre et local. Dans les exemples ci-dessous, on repr6sente sch6matiquement les spectres de B, C et A de la m~me mani+re qu'au Section 6 ci-dessus. E x e m p 1e 2b. A est r6siduellement de Jaffard mais ni localement de Jaffard, ni S-fort: dim A > 3.

M B

C

(1

/@ J

N A

I

C est r6siduellement de Jaffard [paragraphe 4, Corollaire 5 et Remarque 2ii)] mais CI n'est pas de Jaffard [paragraphe 3, Corollaire 2] et n'est doric pas S-fort, puisqu'il est de dimension 1. A est r6siduellement de Jaffard [paragraphe 4, Corollaire 5], il n'est ni localement de Jaffard ni S-fort puisque A r = C~ ne l'est pas. E x e m p 1e 5b. A est r6siduellement de Jaffard et S-fort mais n'est pas localement de Jaffard: dim A > 4.

N J

B

(0)

(2@///

C

A

**I',,rf /

C est r6siduellement de Jaffard [paragraphe 4, Corollaire 5] et S-fort [paragraphe 5, Proposition 6] mais Ct n'est pas de Jaffard [paragraphe 3, Corollaire 2].

Vol. 54, 1990 Exemple dim A > 4.

Construction B, L D et anneaux de Jaffard

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6b. A est r6siduellement et localement de Jaffard mais non S-fort: M

N

N

J

C est r6siduellement de Jaffard [paragraphe 4, Corotlaire 5 et Remarque 2ii)], localement de Jaffard [paragraphe 3, Corollaire 2] mais il n'est pas S-fort [paragraphe 5, Proposition 6]. E x e m p 1 e 7b. A est r6siduellement, localement de Jaffard et S-fort mais n'est pas totalement de Jaffard: dim A > 5. M

N'

N

J

(o) B

\

C

A

C est r6siduellement, localement, de Jaffard et S-fort, mais (C/P')~ n'est pas de Jaffard.

8. Anneau totalement de Jaffard. E x e m p 1e 8. A est totalement de Jaffard mais A [X] n'est ni S-fort ni r6siduellement de Jaffard avec A cat6naire, int6gre local et de dimension 3. C'est une variation sur le th6me de l'exemple type A du paragraphe 6. 1) K est un corps quelconque et B une K-alg6bre semi-locale d'id6aux maximaux Q1 et Q2 de hauteur respective I e t 3, on suppose en outre B Noeth&ien, int+gre et cat6naire (par exemple B = S - 1 K [u, v, w], localis6 de 1 anneau de polyn6mes en trois ind6termin6es u, v, w, pour la partie multiplicative compt6mentaire de la r6union (u - 1) ~ (u, v, w), dans B on a alors les deux id~aux maximaux Q1 = (u - 1) et Q2 = (u, v, w)). L'id6al I est l'intersection I = Qa c~ Q2 et D = K est un sous-anneau de B/I ~- B/Q 1 x B/Q 2 par le morphisme naturel. On note A l'anneau de la construction B, I, D, c'est ~i dire le sous anneau K + I de B.

140

P.-J. C A H E N

ARCH. MATH.

2) Sch~matiquement, on peut repr6senter comme suit les spectres de B e t de A, avec des conventions analogues aux paragraphe 6 et 7. (0) Q2

I it

B

**

A

L'anneau A est cat6naire, int6gre et local. 3) L'anneau A est de Jaffard [Section 3, Corollaire 2], il est donc totalement de Jaffard [paragraphe 1, Proposition 2 et Remarque 5]. 4) On note e un 616ment de B tel que ~ soit transcendant dans B/Q 1 sur K = A/I, mais tel que c~e Q2 (dans l'exemple pr6cis off B = S - ~K [u, v, w], on peut prendre c~ = v, en effet B/Q1 ~- K(v, w) et Q2 = (u, v, w)). L'id6al (c~X - 1) de K [X] d6coupe dans A [X] un id6al premier P~ de hauteur 1 (form6 des polyn6mes nuls en l/a) qui est contenu darts I [X] (d'apr6s [10], Lemme 6). 5) On montre que htI[X]/P,=l: sinon il existe une chalne de la forme (0) c P~ ~, c I[X] dans A IX] et celle-ci se relive dans B [X] en (0) c (c~X - 1) c 9 c m ' ([10], Proposition 4); t'id6al M' reldve I [X] et contient c~X - 1, il ne peut contenir Q2 (sinon il contient 1, puisque e e Q2), il doit alors contenir Q1 mais ceci contredit le fait que dans B [X], les id6aux contenant Q~ sont de hauteur au plus 2 alors que manifestement ht M' > 3. 6) Soit fl un 616ment de B tel que le syst6me (~, fl) soit alg~briquement libre dans B/Q 1 sur K = A/I (par exemple, si B = S-1K[u,v,w] e t a - - - v , alors fl = w). L'id6al (aX - 1, f l Y - 1) de K[X, Y] d6coupe darts A[X, I1] un id6al P~.p tel qu'on ales inclusions.

P~[Y] c P~,p c I[X, Y] ([10], Lemme 6) ainsi ht I IX] [Y]/P,[Y] > 2 et l'anneau A IX] n'est pas S-fort. 7) On montre que d i m A [ X ] / P ~ = 2. En effet si on a une chalne non rafinable P~ c . . . ~ . . . c M1 dans A IX]; si cette cha~ne passe par I [X], comme ht I [X]/P~ = 1 et I est maximal dans A, alors elle est de longueur au plus 2, sinon M 1 est le seul id6al de la chatne contenant 6ventuellement I e t celle-ci se rel6ve tout enti6re dans B [X], P~ se relevant en (aX -- 1) dans B [X], or, comme c~X - 1 n'est contenu dans aucun id6al premier contenant Q2, il est clair que dim B [X]/(eX - 1) < 2. 8) On a d i m A [ X , Y]/P~[Y] > 4, on a en effet la chalne

P~,[Y] c P~,p c I[X, Y] c (I[X, Y],X)

c (I[X, YI,X,

Y)

ainsi A [X]/P~ n'est pas un anneau de Jaffard (car dim. A [X]/P~ = dim A [X]/P~ = 2 impliquerait d i m A [X, Y]/P~[Y] = 3).

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Construction B, L D et anneaux de Jaffard

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*) Eine Neufassung ging am 8. 2. 1989 ein.