Math. Ann. 259, 111 118 (1982)

Mathematische Annakn 9 Springer-Verlag 1982

Construction d'enveloppes d'holomorphie par la m6thode de H. Cartan et P. Thullen Jean-Pierre Vigu6 37, Parc d'Ardenay, F-91120 Palaiseau, France

La construction de l'enveloppe d'holomorphie d'un domaine 6ta16 dans IF" a 6t6 faite par Cartan et Thullen [-3] (voir aussi [1, 4]). Leur m6thode est int6ressante/t cause de sa simplicit6, et parce que, comme nous allons le voir, elle peut se g6n6raliser ~t d'autres espaces analytiques. Une autre m6thode de construction est due A Rossi [-8, 13]. Dans cet article, nous allons montrer l'existence de l'enveloppe d'holomorphie dans certaines sous-cat6gories de la catdgorie des espaces analytiques, et en particulier, darts les deux sous-cat6gories suivantes: 1) celle des espaces analytiques irr6ductibles, loealement irr6ductibles sur lesquels les fonctions holomorphes globales s6parent localement les points; 2) celle des espaces analytiques normaux K-complets (ce qui redonne un r6sultat de Iwahashi [-9], Kerner [-10] et Scheja [14]). Signalons que des contre-exemples dus fi Cerrone [-5] montrent que, en g6n6ral, il n'existe pas d'enveloppes d'holomorphie dans la cat6gorie des espaces analytiques quelconques. (Cet article est inspir6 d'id6es que M. Henri Cartan m'a communiqu6es.) 1. D~finitions et rappels

Rappelons d'abord la d6finition des espaces analytiques K-complets. Dkfinition l.I. On dit qu'un espace analytique X de dimension n est K-complet, si pour tout point a de X, il existe une application holomorphe f :X ~ " telle que a soit un point isol6 de la fibre f - l ( f ( a ) ) . On d6duit de la th6orie de la repr6sentation analytique locale la proposition suivante (voir par exemple [113).

Propositionl.2. Soit f : X ~ " une application holornorphe. Une condition n~cessaire et suffisante pour que a soit un point isol~ de f - l ( f ( a ) ) est que l' anneau local (gx, a soit un Cr de type fini, Grauert [-6] a montr6 la proposition suivante.

0025-5831/82/0259/0111/$01.60

112

J.-P. Vigu6

Proposition 1.3. Soit X un espace analytique de dimension n K-complet. Alors, il existe une application holomorphe f : X - ~ n telle que, pour tout point a de X, f - l ( f ( a ) ) soit discret. Le probl~me que nous allons 6tudier est le suivant : soit 5p une sous-cat6gorie pleine de la cat6gorie des espaces analytiques r6duits, globalement irr6ductibles, irr6ductibles en chaque point, de dimension n, K-complets. Soit I un ensemble donn6 d'indices. Soit (X, (fi)iel), Oil X est un espace de la cat6gorie 5P, et (f~)i~1 une famille de fonctions holornorphes fl : X ~ . Supposons de plus que la propridt~ suivante est v6rifi6e : (P)

pour tout point a de X, il existe n Jonetions (Ji . . . . . . . [i,) de la Jamille (]i) teIles que a soit un point isolO de (Jl ..... , ,]i,,)- 1 (.[i~, .... Ji,) (a).

(X, (.fi)~l) 6tant donn6, on d6finit une nouvelle cat6gorie d~(X, (Ji)~,~)- Les objets sont des (Y, (91)i~1,q)), oil Y est un espace analytique de la cat6gorie ~ , (gi)i~t une famille de fonctions holomorphes sur Y v6rifiant la propri6t6 (P), et q~ : X ~ Y une application holomorphe de X dans Y telle que g~orp=f~, pour tout i~I. Les morphismes sont: f :(Y,(gl)i~,,tp)--~(Z,(hl)i~1, tp) oil

f : Y--*Z

est une application analytique telle que ~=fo
2. Construction de l'espace universel U(n, I) Soient n un entier et I un ensemble d'indices donn6s. Soit (X, x o, (fi)i~z), oh X est un espace analytique irr6ductible en chaque point, de dimension n, oh x 0 est un point de X, et (fl)i~t une famille index~e par I de fonctions holomorphes sur X. On dit ators que (X, Xo,(fi)i~ r) et (Y, Yo,(gi)i~t) sont 6quivalents s'il existe des voisinages ouverts U de x 0 dans X et V de Yo dans Y, et

Construction d'enveloppes d'holomorphie

113

un isomorphisme analytique q~ " U--~,V tel que q)(xo)=Yo, et que pour tout isl,

fli ~ ~-=f i" Ceci d6finit bien une relation d'6quivalence, et une classe d'6quivalence sera appel6e germe d'espace analytique au point x o, de dimension n, irr6ductible au point x o et aux points voisins, muni d'un germe de famille de fonctions analytiques

(fi)i~r Par d$finition, l'espace U(n, I) est, au point de vue ensembliste, l'ensemble de ces germes d'espaces analytiques tels que, de plus, on puisse trouver un nombre fini de fonctions (fi,, .--fiN) de la famille (fi) qui ddfinissent un plongement local. Nous allons maintenant munir U(n,l) d'une topologie. Soit (X,(fi)iJ un espace analytique irr6ductible en chaque point, muni d'une famitle index6e par I de fonctions holomorphes, telles que, pour tout x e X , il existe un hombre fini N(x) de fonctions (fl)(fi,,--. f;,,~x~)qui d6finissent un plongement local au voisinage du point x. On d6finit alors une application (Px de (X,(fi)ir dans U(n,I) de la fagon suivante" ~ tout point x de X, on associe le germe de X au point x, et le germe de la famille (f~) au point x. Proposition et d6finition 2.1. L'ensemble des images (Px(X,(fi)i~j), pour tousles

espaces (X, (fi)i~1) vdrifiant les conditions ci-dessus forme une base d'une topologie sur U(n, I). Nous considdrerons U(n, I) muni de cette topologie. DOmonstration. I1 suffit de montrer que, si (X, (f~)~i) et (Y, (9i)~) sont deux espaces v6rifiant les propri6t6s ci-dessus, alors, pour tout point (Z, z, (hl)zr de l'intersection

q)x(X,(fi)i~1)cS(py(Y,(gi)iEi), il existe (T,(ki)i~i) tel que (Z,z,(hi)izl) appartienne it tPr(r,(ki)i~1) et que ~or(T,(ki)i~1) soit contenu dans ~ox(X,(fi)i~r)c~q)r(Y,(gi)i~i). I1 suffit de prendre un repr6sentant du germe (Z, z,(hi)i~x) suffisamment petit. Th6or~me 2.2. La topologie de U(n, I) est sdparde.

Ddmonstration.

Soient deux germes distincts (X, xo,(fi)ir et (Y, Yo,(gi)iJ, et choisissons des repr6sentants que nous noterons encore (X, Xo,(fi)i~i) et (Y, Yo,(gi)i~t). Quitte ~t r6duire la taille des repr6sentants, on peut trouver, par hypoth6se, N fonctions (f~, ..., f ~ ) et (9~,,---, g~,,) (index6es par te m~me ensemble d'indices) qui sont des plongements de X et Y dans des ouverts de tFN. Notons (X, Y%,(f i)i~1) et (Y, Yo, (gi)iJ les espaces X et Y ainsi plong6s dans Ir N. 1) Xo #Yo. I1 existe dans I1YN deux voisinages U(2o) et V@o) d'intersection vide. L'image dans U(n, I) de U(2o)C-ug et de V(~o)C~Y sont deux voisinages disjoints de (X, Xo, (f~)i~1) et de (Y, Yo, (gi)i~I) respectivement. 2) ~o=~o . u) Le germe de J( en x0 est distinct du germe de Y"en .Vo. Alors Xc~Y est un sous-espace propre de X et de Y, et comme X et Y sont irr6ductibles, il est de dimension < n. Au voisinage de xo, X \ 0 ( n Y) et f'\(.,Yc~Y) sont denses dans J( et respectivement. On en d6duit que les germes induits aux points voisins de ~0 par et Y sont distincts. I1 est facile alors de trouver les deux voisinages distincts cherch6s.

114

J.-P. Vigu6

13) L e germe de .,Yen x0 est 6gal au germe de Yen Y0- On peut alors supposer que X = Y. On sait qu'il existe un indice i 0 tel que le germe de f~o en ~o est diff6rent du germe de g~o en x0. C o m m e X est irr6ductible en chaque point, il est facile de v6rifier qu'il en est de m6me sur tout un voisinage de x 0. Ceci suffit ~ montrer que l'espace U(n, I) est s6par6. On a vu qu'&ant donn6 un point (X, x o, ( ~ ) ~ ) de U(n, I), il existe un voisinage V de ce point et un hom6omorphisme ~p~ :(X,(f~)~)-:-> V. On en d6duit facilement le Th~or~me 2.3. U(n, I) est muni de far naturelle d'une structure d'espace analyti-

que de dimension n, irrdductible en chaque point, et d'une famille de fonctions holomorphes globales ( f i)i~l qui fournissent un plongement local au voisinage de chaque point. Nous serons amen6s fi consid6rer des ouverts de U(n,I): Uo(n, I) le sous-ensemble des points r6guliers de U(n, I). Si { 1..... n} C 1, soit U'o(n, I) le sous-ensemble des points r6guliers de U(n, I) au voisinage desquels (f~ ..... f,) fournissent des coordonn6es locales. Bien stir, Uo(n,I) et Uo(n,I) sont naturellement munis d'une structure de vari6t6 analytique.

3. Enveloppes d'holomorphie de vari6t~s

3.1. Varidt~s dtaldes dans ~n (Enveloppe de Cartan-Thullen) Soit 6~ la cat6gorie des vari6t6s X connexes de dimension n, munies d'une famille de fonctions holomorphes globales (fl)i~t telles que les n premieres (fl, .-.,f,) fournissent des coordonn6es locales au voisinage de chaque point de X. [On dit alors que f = ( f l , ...,fn) : X ~ r est un 6talement.] On a le Th~or~me 3.1.1. Dans la cat~gorie 6e, il existe un espace de prolongement analytique

maximum des fonctions ( f i)i~1 d~finies sur X. D~monstration. Soit U'o(n,I) l'espace d6fini au paragraphe pr6c6dent. On d6finit une application

qg. (X, (f,),~t)

Uo(n,I)

qui,/t x associe le germe de X au point x et le germe de la famille (fi)i~1 au point x. Soit (X, ( f i)i,~) la composante connexe de Uo(n,1) qui contient ~p(X). Si (Y, (9i)i~i, ~P)est un espace de prolongement analytique des (fl)i~l. on peut envoyer Y dans U'o(n, I), et c o m m e w(Y) est connexe, il est contenu dans X. Ainsi, (X, (fi)i~t) est bien l'espace de prolongement analytique m a x i m u m cherch6. Si on applique ce r6sultar /t toutes les fonctions holomorphes sur X, on trouve le Th~or6me 3.1.2. Soit (X,f) une varidtd analytique connexe de dimension n ~talde

dans ~" par f : X ~ ~. Dans la cat@orie des varidtds analytiques dtaldes dans ~", (X, f) admet une enveloppe d'holomorphie (H(X), f). On sait d'apr~s des r6sultats de O k a 1-12] que H(X) est une vari6t6 de Stein.

Construction d'enveloppesd'holomorphie

115

3.2. VaridtFs sur lesquelIes les fonctions hotomorphes 9Iobales donnent des coordonnOes locales en tout point Soit 5 p la cat6gorie des vari6t6s X, connexes de dimension n, munies d'une famille de fonctions holomorphes globales (fi)i~1 telles que, pour tout point x de X, il existe n fonctions holomorphes globales (f~,...,f~,) qui forment un syst6me de coordonn6es locales au voisinage de x. En utilisant l'espace Uo(n, I), on montre, comme au paragraphe 3.1 le

Th6or6me 3.2.1. Dans la cat@orie 5 ~, il existe un espace de prolongement analytique maximum des fonctions ( f i)i~l ddfinies sur X. Consid6rons maintenant la cat6gorie des vari6tds analytiques sur lesquelles les fonctions holomorphes globales fournissent en chaque point des coordonn6es locales. On a alors le

Dans cette cat~oorie, toute vari~td analytique X admet une enveloppe d'holomorphie H(X). Th~or~me3.2.2.

Remarque. H(X) n'est pas de Stein, en g6n6ral, comme le montre l'exemple suivant : Soit Y = {(x,y,z)~(F3[x2 + y2 + z2=O} et soit X = Y - {(0, 0, 0)}. Alors H ( X ) = X , et comme Y est un c6ne normal, il est clair que X n'est pas une vari6t6 de Stein.

4. Enveloppe d'holomorphie des espaces analytiques irr6ductibles en chaque point sur lesquels les fonctions holomorphes globales s~parent localement les points Soit X un espace analytique. On dit qu'une famille de fonctions holomorphes globales (fi)i~i s6pare localement les points si tout point x de X poss6de un voisinage U(x) sur lequel les (fi)i~ s6parent les points. Soit 5p la cat6gorie des espaces analytiques globalement irr6ductibles, irr6ductibles en chaque point, de dimension n, munis d'une famille de fonctions holomorphes globales (f~)i~1 qui s6parent localement les points. Consid6rons un espace X de la cat6gorie ~ , de faisceau structural (9x. Je noterai ,rd((fi)i~1)~ le sous-anneau de l'anneau local (gx.~ engendr6 analytiquement par les germes des (fi)i~i au point x. [Un germe 9~sr si et seulement s'il existe N fonctions f a , "",f~,, de la famille (f~) et un germe h de fonction holomorphe sur Ir N tel que 9 = h ~ f~,,).] Je noterai sC((f~)i~) le sous-faisceau de (9x correspondant. En g6n6ral, ~r est plus petit que d)x. Or, dans la d6finition de l'espace universel U(n, 1), on a suppos6 que les (fi)i~l fournissaient un plongement local. On se ram~ne/t cette situation/t l'aide du th6or6me suivant.

Th~or~me 4.1. Soit (X, ( f i)i~1) un espace analytique de la catdgorie 5& Alors il existe un espace analytique ( Y, (9i)i~i) de la catdgorie 5P, tel que, pour tout y~ Y, on air d)r,y = ~r et une application holomorphe bijective ~o : X ~ Y telle que pour tout it I, on ait g~~ fi.

116

J.-P. Vigu6

D~monstration. Remarquons que le th6or6me 4.1 est en fait de nature locale et que l'on ne change rien en supposant que la famille (fi)~, est une r Un point x o de X 6tant donn6, on peut trouver un voisinage U de x o dans X et un nombre fini de fonctions holomorphes (fil, .... f~,) de la famille (f~) qui s6parent les points de U. Quitte ~ restreindre U, f = (fi,, .... fi,,) est une application bijective propre de U sur Y = f ( U ) qui est un sous-ensemble analytique d'un ouvert V de ~?N. D'apr6s le th6or6me de l'application propre de Grauert, f , C v e s t un faisceau de (gr-modules coh6rent. Bien stir, f,d((fl)iel ) e s t un faisceau de Cr-modules et un sous-faisceau de f,(9 v. D'apr6s une propri6t6 noeth6rienne des faisceaux analytiques coh6rents (voir Serre [15, p. 365]), f , zC((fi)i~t) qui est la r6union d'une famille filtrante croissante de faisceaux de Or-modules coh6rents, est coh6rent. Localement f,~&((fi)i~x) est donc engendr6 par un nombre fini de fonctions (fi~,.l ..... fi~+~). Alors, il est clair que g=(fil, "'''J)N' fiN+,' . . . . fiN+~) envoie bijectivement un voisinage U o de x o dans X sur un sous-ensemble analytique Z d'un ouvert de ~?N+k, et que le faisceau (9z est engendr8 par l'image des (fi)i~r cqfd. A l'aide de l'espace U(n, I), on montre tout de suite le

Th~or~me 4.2. Soit (X, (~i)~t) un espace de la cat~gorie ,9~. Dans cette catOgorie, il existe un espace de prolongement analytique maximum (X, ( f ,)~) des ( f i). De plus, au voisinage de chaque point 2 de X, les (f ~) dOfinissent un plongement local. On en d6duit le Th~or~me 4.3. Dans la carOgorie des espaces analytiques globalement irrdductibles,

irrOductibles en chaque point, de dimension n, sur lesquels les fonctions holomorphes globales sOparent localemem les points, tout espace analytique de cette catOgorie admet une enveloppe d'holomorphie. Un exemple dti /t Bingener [2] montre que, m~me si X est un ouvert d'un espace de Stein normal, l'enveloppe d'holomorphie H(X) n'est pas, en g6n6ral, un espace de Stein.

5. Enveloppes d'holomorphie d'espaces analytiques normaux K-complets Soit 5 ~ la cat6gorie des espaces analytiques irr6ductibles normaux de dimension n, munis d'une famille de fonctions holomorphes globales (fi)i~z telles que, pour tout point x de X, il existe n fonctions (fi,, ..., fi.) de la famille (fi) telles que x soit un point isol6 de la fibre (fh, .... L , ) - l ( L , , .... L~ [ C o m m e pr6cedemment, on peut supposer que les (f~)i~I forment une r It n'est pas possible d'utiliser l'espace universel U(n, I) pr6cedemment construit, et il nous faut construire un nouvel espace universel V(n, I). Rappelons d'abord que, si X est un espace analytique, l'ensemble des points normaux de X est ouvert. Ainsi, si x o est un point normal de X, X est normal et donc irr6ductible en tousles points d'un voisinage de x o. Par d~finition, l'espace V(n, I) est l'ensemble des (X, Xo, (.~)i~), off (X, x0) est un germe d'espace analytique normal au point x o, de dimension n, et off (f~)~t est un germe de famille de fonctions holomorphes sur X telle qu'il existe n fonctions

Construction d'enveloppes d'holomorphie

117

(fi~, .... fi,) de la famille (fi) telles que x o soit un point isol6 de la fibre (f/~,...,f/,)-l(fi,,...,fi,)(x0). [I1 revient au m~me de dire que (gX,xo est un d ( f i l ..... fJxo-module de type fini.] Supposons de plus qu'il existe un repr6sentant normal (X, (fi)i~i) du germe (X, Xo, (fi)i~i) tel que, pour tout point x de X, l'anneau local (gx,~ soit la cl6ture int6grale de l'anneau ~r162 Munissons V(n, 1) d'une topologie : soit (X, (f~)i~) un espace analytique normal de dimension n, muni d'une famille index6e par I de fonctions holomorphes globales (f~)i~l telles que, pour tout point x de X, il existe n fonctious (fi~,..., fl,) de la famille (f/) telles que x soit un point isol6 de la fibre (f/l, ..., Jr/,)- 1(f/~, ..., fi,) (x) et que (_gx,~ soit la cl6ture intdgrale de ~4((Ji)i~) ~. On d6finit une application q~x : (X, (fi)iE1)~ V(n, I) qui, ~t x, associe le germe de X en x, et le germe de la famille (f/) en x. On montre comme au paragraphe 2 la Proposition 5.1. L'ensemble des q~x(X,(fi)i~r) forme une base d'une topologie sur

V(n, I). Nous supposerons V(n,I) muni de cette topologie. Th~or~me 5.2. La topologie de V(n, I) est s@ar~e.

DOrnonstration. Soient (X, x o, (f/)i~t) et (Y, Yo, (gi)i~i) deux points distincts de V(n, I). On peut choisir des repr6sentants normaux de ces germes que nous noterons encore (X, x o, (f/)i~1) et (Y, Yo, (gi)iJ tels que, pour tout point x de X (resp. y de Y), l'anneau local (gx.~ (resp. (gr.y) soit la cl6ture int6grale de ~4((fi)i~t) x [resp.

~((gi)ir

On montre facilement qu'on peut trouver N fonctions (f~, .... , f J et (g~, .-., g~N) des families (f~) et (g~) (index6es par le m~me sous-ensemble d'indices) telles que zC(f~)~,)~o= ~'(f~, ..., f~,)~o et que d((g~)~,)yo = ~r .--, g~)yo. Quitte ~ diminuer la taille de X et Y, on peut s'arranger pour que f = ( f i , , "",f~N) et g=(9~,-..,gi~,) soient des applications propres de X et Y dans des ouverts U et V de eN, et que, de plus, f - l ( f ( x o ) ) = {xo} et g-1(9(Yo))= {Yo}. Les images aleX et Y par f et g sont des sous-espaces analytiques d'ouverts de ~N. Notons-les X et ~'. Soient Xo =f(x0) et Y0 =g(Yo). Le lemme sur les propri6t6s noeth6riennes des faisceaux analytiques coh6rents (voir [15]) que nous avons d6jh utilis6 montre que f , sg((fi)i~i ) [resp. g,sC((gi)id)] est un faisceau de (~x (resp. (90-modules coh6rent. En ~o (resp. Yo), on a:

[f.~C((fi)i~,)]~o = (9~o [resp. [g,~l((gi)i~,)]yo = (-gyo] ; on en d6duit que, dans tout un voisinage de Xo (resp. Yo) on a:

f , ~c((f i)i~) = (9~z [resp. g . sC( (gi)i~i ) = ~ ~] . Quitte ~t diminuer/~ nouveau la taille de X,)(, Y, Y, on peut munir)~ (resp. Y) d'une famille de fonctions holomorphes (fi)i~ [resp. (01)i~] telles que pour tout ieI

fiof =f,,

~7io9=9~. X et Y sont alors les normalis6s de ,~ et Y. La suite de la d6monstration est identique ~ la d6monstration du th6or6me 3.2.

118

J.-P. Vigu6

O n v6rifie a l o r s q u e V(n,I) est m u n i , de fa~on naturelle, d ' u n e s t r u c t u r e d ' e s p a c e a n a l y t i q u e n o r m a l , et d ' u n e famille (fl)i~1 de f o n c t i o n s h o l o m o r p h e s globales, telles que, en t o u t p o i n t x de V(n, I), l ' a n n e a u local Cv~,,i),x soit la c l o t u r e int6grale de ~'((fi)i;l)x. P a r u n e d 6 m o n s t r a t i o n a n a l o g u e ~ celle d u t h 6 o r b m e 4.1, on m o n t r e le T h ~ o r ~ m e 5.3. Soit (X, (fi)i~1) un espace de la cat~gorie 6~. Alors il existe un espace

(Y,(gi)~1) de la cat~gorie 6e, tel que pour tout point y de Y, (fiy,y soit la cloture int~grale de ~r et une application holomorphe surjective (o : X ~ Y telle que, pour tout i~I, gioq)= fr A l'aide d u thOor6me 5.3 et de l ' e s p a c e V(n, I), on m o n t r e le T h 6 o r 6 m e 5.4. Soit (X,(fl)i~1) un espace an~ytique de la catkgorie S~. Dans la

cat~gorie 6~, il existe un espace analytique (X,(fi)i~l) de plus grand prolongement analytique des fonctions ( f l)i~r O n en dOduit le

Soit X un espace analytique normal K-complet irr~ductible de dimension n. Dans la cat~gorie des espaces analytiques normaux K-complets irrOductibles de dimension n, X admet une enveloppe d'holomorphie H(X).

T h 6 o r 6 m e 5.5.

S i g n a l o n s que, d'apr~s un e x e m p l e d f i / i G r a u e r t [7], cette e n v e l o p p e d ' h o l o m o r p h i e n'est pas en g6n6ral un e s p a c e de Stein.

Bibliographie 1. Behnke, H., Thullen, P.: Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Ver~inderlichen. 2. Edit. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1970 2. Bingener, J. : Holomorph-pr~ivollst~indige Restr~iume zu analytischen Mengen in Steinschen R~iumen. J. reine angew. Math. 285, 149 171 (1976) 3. Cartan, H., Thullen, P. : Zur Theorie der Singularit~iten der Funktionen mehrerer Ver~inderlichen : Regularit~its- und Konvergenzbereiche. Math. Ann. 106, 617-647 (1932) 4. Cartan, H.: S6minaire E.N.S., 1951-1952, Ecole Normale Sup&ieure, Paris 5. Cerrone, P. : Inviluppi d'olomorfia, th~se, 1980 6. Grauert, H. : Charakterisierung der holomorph-vollst~indigen komplexen R~iume. Math. Ann. 129, 233-259 (1955) 7. Grauert, H.: Bemerkenswerte pseudokonvexe Mannigfaltigkeiten. Math. Z. 81, 377-391 (1963) 8. Gunning, R., Rossi, H. : Analytic functions of several complex variables. London : Prentice Hall 1965 9. lwahashi, R. : Domains spread on a complex space. J. Math. Soc. Japan 9, 452--463 (1957) 10. Kerner, H. : HolomorphiehiJllen zu K-vollstandigen komplexen R/iumen. Math. Ann. 138, 316-328 (1959) 11. Narasimhan, R.: Introduction to the theory of analytic spaces. Lecture Notes, Vol. 25. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1966 12. Oka, K.: Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. Tokyo: Shoten 1961 13. Rossi, H. : On enveloppes of holomorphy. Comm. Pure Appl. Math. 16, 9-19 (1963) 14. Scheja, G. : Verzweigte HolomorphiehiJllen. S.-B. Bayerische Akad. Wiss. Math.-Natur. KI. 1958, 6-18 (1959) 15. Serre, J.-P.: Prolongement de faisceaux analytiques coh6rents. Ann. Inst. Fourier 16, 363-374 (1966) Requ le 10 octobre 1981