Invent. math. 144, 177–223 (2001) Digital Object Identifier (DOI) 10.1007/s002220100134

Correspondance de Langlands semi-simple pour GL(n, F) modulo

= p Marie-France Vign´eras Institut de Math´ematiques de Jussieu, Universit´e de Paris VII – Denis Diderot, 175/179, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France Oblatum 7-I-2000 & 21-XI-2000 Published online: 29 January 2001 –  Springer-Verlag 2001

A Jacques Martinet Soient F un corps local non archim´edien de caract´eristique r´esiduelle p et  un nombre premier
= p. La correspondance semi-simple de Langlands consiste en bijections entre les repr´esentations semi-simples complexes de dimension n du groupe de Weil W F , et les supports supercuspidaux des repr´esentations irr´eductibles complexes de G L(n, F), pour tous les entiers n ≥ 1. On peut remplacer le corps C des nombres complexes par une clôture alg´ebrique Q du corps Ql des nombres -adiques, en choisissant un isomorphisme Q  C. La correspondance de Langlands semi-simple sur Q que l’on obtient, d´epend du choix de l’isomorphisme uniquement si l’ordre q du corps r´esiduel de F n’est pas un carr´e; dans ce cas, elle d´epend ∗ √ uniquement de l’´el´ement α ∈ Q correspondant à q. Soit Z l’anneau des entiers de Q et F son corps r´esiduel (une clôture alg´ebrique d’un corps fini Fl à  e´ l´ements). Le but de cet article est de montrer “la correspondance de Langlands semi-simple modulo ”, c’est-à-dire l’existence et l’unicit´e d’une correspondance semi-simple de Langlands sur F compatible à la r´eduction modulo  de la correspondance de Langlands semi-simple sur Q . On sait comment en d´eduire “la correspondance complète de Langlands modulo ” entre les F -repr´esentations de dimension n du groupe de WeilDeligne WD F et les F -repr´esentations irr´eductibles de G L(n, F) lorsque le corps des nombres complexes est remplac´e par un corps commutatif alg´ebriquement clos quelconque de caract´eristique
= p. On sait que les fonctions L et ε de paires sont compatibles avec la r´eduction modulo , la conjecture de Langlands sur F est une façon d’exprimer les congruences modulo  entre ces fonctions.

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La correspondance de Langlands modulo  est d´emontr´ee dans [Vig1] seulement si  > n et F est de caract´eristique 0. La restriction est impos´ee par l’utilisation de l’induction automorphe et de l’analyse harmonique locale modulaire de SL(n, F). Nous allons donner une autre d´emonstration, valable sans restrictions, qui e´ vite totalement l’emploi de ces outils, et les remplace par l’existence de congruences entre repr´esentations automorphes pour des groupes de type compact. L’id´ee de cette d´emonstration est due à Khare. On montre qu’une repr´esentation automorphe pour un groupe de type compact, triviale à l’infini, dont une composante locale π est une repr´esentation supercuspidale de G L(n, F), est congruente modulo  à une repr´esentation automorphe, triviale à l’infini, de composante locale une repr´esentation π  quelconque de même r´eduction que π modulo  ou dans un bloc quelconque du -bloc de π. Des congruences analogues s’en d´eduisent par les th´eorèmes de changement de base pour les repr´esentations automorphes cuspidales pour G L(n) pour tout n ≥ 2. On rappelle que les congruences entre formes automorphes pour G L(2) jouent un rôle important dans la construction de repr´esentations galoisiennes associ´ees aux formes modulaires de Hilbert et dans la d´emonstration du th´eorème de Fermat. Les congruences – ainsi que les th´eorèmes de correspondance de Langlands globale de Harris-Taylor et de Laumon-Rapoport-Stuhler – permettent de montrer que si π, π  sont deux repr´esentations supercuspidales entières correspondant à des repr´esentations -adiques de W F de même r´eduction modulo , alors les r´eductions modulo  de π, π  ont le même support supercuspidal. La th´eorie locale des repr´esentations modulo  permet d’enlever la restriction que π, π  sont supercuspidales, de montrer une r´eciproque de cette propri´et´e, de construire par r´eduction modulo  une correspondance de Langlands semi-simple sur F , et enfin de montrer la compatibilit´e des correspondances de Langlands semi-simples sur Q et sur F avec la r´eduction modulo . La th´eorie (l´egèrement g´en´eralis´ee) des types de Bushnell-Kutzko sur Q ou sur F jouent un rôle essentiel dans toutes les constructions. Je remercie Lafforgue, Harris, Khare, Rouquier, Venkataramana et tous les auditeurs de mon cours au semestre automorphe du centre Emile Borel qui ont permis d’am´eliorer la version originale de cet article, l’Institut de Math´ematiques de Jussieu, et le Mathematical Sciences Research Institute à Berkeley qui m’a permis de r´ediger une partie de ce travail dans des conditions et une atmosphère remarquables. Cet article est d´edi´e à mon patron de thèse Jacques Martinet, en reconnaissance de son aide enthousiaste et de sa g´en´erosit´e lors de mes d´ebuts en math´ematiques.

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Table des matières 1 Th´eorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 R´eduction au th´eorème faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Congruences entre repr´esentations automorphes . . . . . . . . . . . . . . 4 Repr´esentations galoisiennes associ´ees à des repr´esentations automorphes 5 Preuve du th´eorème faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Appendice A : Produit tensoriel et représentations entières . . . . . . . . . . Appendice B : Représentations non ramifiées . . . . . . . . . . . . . . . . . Appendice C : Conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 Th´eorème principal On note q l’ordre du corps r´esiduel k F de l’anneau d’entiers O F de F, R un corps commutatif alg´ebriquement clos de caract´eristique
= p (muni de la topologie discrète), Irr R G L(n, F) l’ensemble des classes d’isomorphisme des R-repr´esentations lisses irr´eductibles de G L(n, F), Scusp R G L(n, F) le sous-ensemble engendr´e par les R-repr´esentations supercuspidales (voir ci-dessous), Irr R G L F = ∪n≥1 Irr R G L(n, F), Scusp R G L F = ∪n≥1 Scusp R G L(n, F), MScusp R G L F l’ensemble des sommes formelles finies π1 +. . .+πr d’´el´ements de Scusp R G L F , Irr R W F (n) l’ensemble des classes d’isomorphisme des R-repr´esentations continues irr´eductibles de W F de dimension finie n, Mod R W F l’ensemble des classes d’isomorphisme des R-repr´esentations continues semi-simples de dimension finie de W F . Une R-repr´esentation est souvent identifi´ee à sa classe d’isomorphisme. Elle est toujours lisse (le stabilisateur de tout vecteur est ouvert). L’isomorphisme de r´eciprocit´e du corps de classes (1.1)

F ∗ → W Fab

(W Fab est le plus grand quotient s´epar´e ab´elien) qui envoie une uniformisante p F de F sur l’image d’un Frobenius g´eom´etrique Fr nous permet d’identifier les R-caractères de F ∗ et de W F (c’est la bijection de Langlands pour n = 1). 1.2 Support supercuspidal Une R-repr´esentation irr´eductible de GL(n,F) est dite cuspidale si elle n’est pas isomorphe à un quotient d’une induite parabolique propre. Elle est supercuspidale si elle n’est pas isomorphe à un sous-quotient d’une induite parabolique propre; c’est l’analogue d’une Rrepr´esentation irr´eductible du groupe de Weil W F de dimension n.

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La correspondance de Langlands semi-simple sur F repose sur le support supercuspidal. Le support supercuspidal [Vig2] est l’application surjective à fibres finies sc : Irr R G L F → MScusp R G L F qui associe à π ∈ Irr R G L(n, F) la somme formelle finie
sc(π) = π1 + n i = n, d´efinie . . . + πk où πi ∈ Scusp R G L(n i , F) pour 1 ≤ i ≤ k et par la propri´et´e que π est un sous-quotient de la R-repr´esentation induite parabolique normalis´ee π1 × . . . × πk . Le support supercuspidal sc(π) de π est le caractère infinit´esismal de π dans la terminologie de Bernstein, et l’analogue de la partie semi-simple σ d’une R-repr´esentation (σ, N ) du groupe de Weil-Deligne WD F de dimension n. Remarque Soit G le groupe des points rationnels d’un groupe r´eductif connexe sur F. La transitivit´e de l’induction parabolique normalis´ee implique que toute repr´esentation π ∈ Irr R G(F) est un sous-quotient de l’induite parabolique normalis´ee d’une repr´esentation ρ ∈ Scusp R L(F) supercuspidale, L e´ tant un F-sous-groupe de Levi d’un F-sous-groupe parabolique. Lorsque (L, ρ) est unique modulo conjugaison par G(F), on dit que la classe de conjugaison de (L, ρ) est le support supercuspidal de π. On ne sait pas montrer en g´en´eral que le couple (L, ρ) est unique modulo conjugaison par G(F) lorsque G
= G L(n) (même dans le cas fini). Autrement dit, on ne sait pas montrer que les ensembles des sous-quotients irr´eductibles de deux induites paraboliques normalis´ees de repr´esentations irr´eductibles supercuspidales sont disjoints ou confondus. Par contre, l’existence du support cuspidal est toujours connue : un couple (L  , ρ  ) pour L  un F-sous-groupe de Levi d’un F-groupe parabolique de G, ρ  ∈ Irr R L(F) cuspidale, π quotient ou sous-repr´esentation de l’induite parabolique normalis´ee de ρ  , est unique modulo conjugaison par G(F) [Vig3]. La classe de conjugaison de (L  , ρ  ) est le support cuspidal de π. Il est clair que si le support cuspidal de π est supercuspidal, alors π a un support supercuspidal e´ gal à son support cuspidal. C’est le cas par exemple lorsque π a un vecteur invariant par un sous-groupe d’Iwahori (Appendice B). 1.3 Un ensemble de bijections quelconques π ↔ σ : Scusp R G L(n, F) ↔ Irr R W F (n) pour tout n ≥ 1, induit une bijection MScusp R G L F ↔ Mod R W F et via le support supercuspidal une application surjective à fibres finies (1.3.1)

π → sc(π) ↔ σ : Irr R G L F → Mod R W F

telle que σ = σ1 + . . . + σk si σi ↔ πi pour tout 1 ≤ i ≤ k et sc(π) = π1 + . . . + πk .

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La correspondance de Langlands semi-simple sur Q est l’application IrrQ G L F → ModQ W F d´eduite des bijections de Langlands ScuspQ G L(n, F) ↔ IrrQ W F (n) pour tout n ≥ 1 d´emontr´ees par Harris et Taylor [HT], et Henniart [He1] si F est de caract´eristique 0 et par Laumon, Rapoport et Stuhler [LRS] si F est de caract´eristique p. 1.4 Q -repr´esentations entières Une Q -repr´esentation lisse (le stabilisateur de tout vecteur est ouvert) de longueur finie π d’un groupe localement fini G est appel´ee entière s’il existe une extension finie E/Q  d’anneau des entiers O E et une O E -repr´esentation L de G qui est un O E -module libre tel que Q ⊗ O E L  π et tel que L est un O E G-module de type fini. On dit que L est une O E -structure entière de π, que π est O E -entière. Soit k E le corps r´esiduel de O E . On dit que k E ⊗ O E L est la r´eduction de L et que F ⊗ O E L est la r´eduction modulo  de L. Lorsque G est un groupe r´eductif p-adique ou un groupe profini ou W F , la semi-simplifi´ee de F ⊗ O E L est une F -repr´esentation r (π) de G de longueur finie qui ne d´epend pas du choix de L (le principe de Brauer-Nesbitt est vrai [Vig3]). On appelle r (π) la r´eduction modulo  de π. La r´eduction modulo  ne respecte pas l’irr´eductibilit´e dans le cas galoisien G = W F , et ne respecte pas la supercuspidalit´e dans le cas lin´eaire G = G L(n, F) (cependant la r´eduction modulo  d’une repr´esentation irr´eductible supercuspidale entière est irr´eductible et cuspidale). Une Q -repr´esentation irr´eductible entière de W F (resp. de G L(n, F)) sera appel´ee -irr´eductible (resp. -supercuspidale) si sa r´eduction modulo  est irr´eductible (resp. supercuspidale). Une Q -repr´esentation irr´eductible σ de W F de dimension n est de la ∗ forme σ  ⊗ χ où χ : W F → Q est un caractère, et σ  se prolonge à Gal(F/F) [Tate]. Donc σ est entière si et seulement si son d´eterminant σ → det(σ) : IrrQ W F (n) → IrrQ W F (1) = IrrQ W Fab est entier. On sait [Vig3 II.4.12] qu’une Q -repr´esentation irr´eductible supercuspidale π de G L(n, F) est entière si et seulement si son caractère central π → ωπ : ScuspQ G L(n, F) → ScuspQ G L(1, F) = IrrQ F ∗ est entier. Une Q -repr´esentation semi-simple de dimension finie σ ∈ ModQ W F est entière si et seulement si ses constituents irr´eductibles sont entiers. Le r´esultat analogue pour G L F est vrai : une Q -repr´esentation irr´eductible π ∈ IrrQ G L F est entière si et seulement si les constituents irr´eductibles de son support supercuspidal sc(π) sont entiers. Le caractère central et le d´eterminant se correspondent par les bijections de Langlands sur Q et par l’isomorphisme de r´eciprocit´e (1.1). Donc la correspondance de Langlands semi-simple sur Q respecte la propri´et´e d’être entière.

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1.5 Si π ∈ IrrQ G L F est entière, les sous-quotients irr´eductibles de r (π) ont le même support supercuspidal dans MScuspF G L F e´ gal à sc(r π1 ) + . . . + sc(r πk ) si sc(π) = π1 + . . . + πk est le support supercuspidal de π. On dit que c’est le support supercuspidal de r π et on le note sc(r π). L’´egalit´e sc(r π) = r (scπ) a lieu si et seulement si toutes les repr´esentations entières π1 , . . . , πk sont -supercuspidales. On a sc ◦ r (π) = sc ◦r ◦ sc(π). Nous allons d´emontrer que les bijections de Langlands sur Q  se r´eduisent modulo , qu’il existe des bijections de Langlands sur F et que la correspondance de Langlands semi-simple sur F associ´ee est compatible avec la r´eduction modulo  de la correspondance de Langlands semi-simple sur Q . 1.6 Th´eorème principal Soient F un corps local non archim´edien de caract´eristique r´esiduelle p, et l
= p un nombre premier. Soient π, π  ∈ IrrQ G L F , σ, σ  ∈ ModQ W F des Q -repr´esentations entières en correspondance de Langlands semi-simple sc(π) ↔ σ, sc(π  ) ↔ σ  . Alors (i) sc(r π) = sc(r π  ) si et seulement si r σ = r σ  . (ii) Il existe un unique ensemble de bijections π ↔ σ : ScuspF G L(n, F) ↔ IrrF W F (n) pour tout n ≥ 1, qui induit par le support supercuspidal sc : IrrF G L F → MScuspF G L F une correspondance de Langlands semi-simple sur F : π → sc(π) ↔ σ : IrrF G L F → ModF W F compatible avec la r´eduction modulo  : soit π ∈ IrrQ G L F , σ ∈ ModQ W F , sc(π) ↔ σ entiers en correspondance de Langlands semisimple sur Q , alors sc(r π) ↔ r σ par la correspondance de Langlands semi-simple sur F . 1.7 Il n’est pas difficile de passer des deux cas R = Q , F au cas d’un R g´en´eral. La correspondance de Langlands sur Q donne par restriction une correspondance de Langlands sur clôture alg´ebrique Q de Q dans Q . Posons k = Q si R est de caract´eristique 0 et k = F si R est de caract´eristique  et choisissons un homomorphisme non nul j : k → R. On dispose donc d’une correspondance de Langlands semi-simple sur k. L’homomorphisme j permet d’identifier une k-repr´esentation à une Rrepr´esentation. L’ensemble Scusp R G L F est e´ gal à Scuspk G L F modulo torsion par un caractère non ramifi´e. En effet, soit π ∈ Scusp R G L F . Il

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existe alors un caractère non ramifi´e χ : F ∗ → R∗ tel que le caractère central de π  = π ⊗ (χ ◦ det) ∈ Scusp R G L F est d’ordre fini, π  de caractère central d’ordre fini est d´efinie sur k [Vig3 4.9]. On prolonge uniquement la bijection Scuspk G L F ↔ Irrk W F en une bijection Scusp R G L F ↔ Irr R W F compatible avec la torsion par les caractères non ramifi´es. Les v´erifications n´ec´essaires sont très faciles. On en d´eduit comme en (1.3) une correspondance de Langlands semi-simple sur R. Elle ne d´epend pas du choix de l’homomorphisme j si q est un carr´e, sinon elle d´epend uniquement du choix d’une racine carr´ee de q dans R. 1.8 Correspondance de Langlands complète Nous indiquons très brièvement comment on peut d´eduire de la correspondance de Langlands semisimple sur R une correspondance de Langlands complète sur R, compatible avec la r´eduction modulo . Les classes d’isomorphie des R-repr´esentations irr´eductibles de G L(n, F) de support supercuspidal donn´e forment un ensemble fini d´ecrit par la th´eorie de Zelevinski sur R [Vig2]. Notons (1.8.1)

ν : W F → R∗

le caractère non ramifi´e correspondant au module de F ∗ via l’isomorphisme de r´eciprocit´e (1.1), ν est trivial sur le sous-groupe d’inertie I F de W F et ν(Fr) = ν( p F ) = q −1 . On a [Vig2], [Vig5]: 1.8.2 Th´eorème Si σ ∈ Mod R W F , les π ∈ Irr R G L F de support supercuspidal sc(π) ↔ σ , sont en bijection avec les endomorphismes nilpotents N de l’espace de σ (modulo isomorphisme) qui v´erifient σ(w)N = Nσ(w)ν(w) pour tout w ∈ W F . On dit que (σ, N ) est une R-repr´esentation du groupe de Weil-Deligne WD F . Il existe donc une bijection de Irr R G L F sur les classes d’isomorphisme des R-repr´esentations du groupe de Weil-Deligne WD F (1.6), (1.8.2). Il reste a d´efinir la bijection de Langlands. 1.8.3 Le choix de l’´el´ement nilpotent N associ´e à π ∈ IrrF G L F est compatible avec la r´eduction modulo , mais pas naivement. Cela se voit d´eja sur les caractères. La partie nilpotente d’un Q -caractère est nulle. Montrons sur un exemple que la partie nilpotente d’un F -caractère ne sera pas toujours nulle. Soit G = G L(2, Q5 ) et  = 3. Consid´erons le caractère trivial id de G et le caractère ν ◦ det de G (on les note de la même façon sur Q , F ). Leurs parties semi-simples sont ν 1/2 + ν −1/2 et ν 1/2 + ν 3/2 sur Q ou sur F (1.6). Mais sur F , les parties semi-simples sont e´ gales puisque 5 = −1 mod 3, tandis que les caractères sont diff´erents puisque −1
= 1 mod 3. Leurs partie nilpotentes sur F doivent être diff´erentes.

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1.8.4 La d´efinition de l’´el´ement nilpotent N associ´e à π ∈ Irr R G L(n, F) se fait en utilisant la th´eorie des d´eriv´ees, la th´eorie des modèles de Whittaker g´en´eralis´es. La partie nilpotente N de π dans la “correspondance de Zelevinski” (qui n’est pas la correspondance de Langlands) d´ecrit les degr´es des plus grandes d´eriv´ees successives de π. Si π est g´en´erique (par exemple si π est cuspidale ou de Steinberg) alors N = 0. Si π est entière, la r´eduction modulo  de π admet un unique sousquotient J (π) ∈ IrrF G L(n, F) ayant les mêmes degr´es des plus grandes d´eriv´ees successives. L’application J respecte la propri´et´e d’être g´en´erique, elle coincide avec r sur les repr´esentations -irr´eductibles entières. On a [Vig2]: Th´eorème Toute repr´esentation de IrrF G L(n, F) est de la forme J (π) pour une repr´esentation entière π ∈ IrrQ G L(n, F). G L F l’ensemble des repr´esentations Autrement dit, si nous notons Irrent Q entières de IrrQ G L F , l’application J : Irrent G L F → IrrF G L F Q 

est surjective. La correspondance de Zelevinski sur F est compatible avec la r´eduction modulo  naive. Si π ↔ (σ, N ) par la correspondance de Zelevinski sur Q . Alors J (π) ↔ (r σ, N ) pour la correspondance de Zelevinski sur F . 1.8.5 La correspondance de Langlands sur Q est compos´ee de la correspondance de Zelevinski avec l’involution de Zelevinski sur Q . L’involution de Zelevinski est une involution de ModQ G L(n, F) qui respecte IrrQ G L(n, F), fixe le support supercuspidal (donc respecte la partie semisimple), e´ change les caractères avec les repr´esentations de Steinberg. Cette involution a e´ t´e calcul´ee explicitement par Moeglin-Waldspurger, elle se g´en´eralise à tous les groupes r´eductifs sur F (Aubert, Bezrukavnikov, Schneider-Stuhler). Pour obtenir la correspondance de Langlands sur R, on utilise l’existence d’une “involution de Zelevinski” sur Irr R G L(n, F) (elle ne peut pas être d´efinie dans Mod R G L(n, F)) qui fixe le support cuspidal [Vig5]. Elle respecte donc la partie semi-simple, et un peu mieux. Cette involution a e´ t´e calcul´ee explicitement par Leclerc-Thibon-Vasserot. On d´efinit alors la correspondance de Langlands sur F . Soit Z R l’involution de Zelevinski de Irr R G L F . Supposons que π ↔ (σ, N ) par la correspondance de Langlands sur Q . Alors la correspondance de Langlands sur F est telle que Z F ◦ J ◦ Z Q (π) ↔ (r σ, N ) pour π ∈ IrrQ G L F entière.

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1.8.6 Congruence modulo  Soient π, π  ∈ IrrQ G L(n, F) entières, (σ, N ), (σ  , N  ) les repr´esentations du groupe de Weil-Deligne associ´ees par la correspondance de Langlands (σ, N ) ↔ π, (σ  , N  ) ↔ π  . On dira que π, π  sont congruentes modulo  si les repr´esentations du groupe de Weil-Deligne sont congruentes modulo , i.e. si l’on a les propri´et´es e´ quivalentes: a) r σ = r σ  , N = N  , b) J ◦ Z Q (π) = J ◦ Z Q (π  ).

On dira que π, π  sont faiblement congruentes modulo  si les parties semi-simples des repr´esentations du groupe de Weil-Deligne sont congruentes modulo  (1.6): a’) leurs parties semi-simples sont congruentes modulo : r σ = r σ  . b’) sc(r π) = sc(r π). La congruence modulo  faible est e´ quivalente à la congruence modulo  pour – les repr´esentations supercuspidales, – les repr´esentations non ramifi´ees, car N = 0 est constant sur ces repr´esentations. Pour les repr´esentations non ramifi´ees, elle est aussi e´ quivalente à l’´egalit´e de la r´eduction modulo  des caractères de Satake (Appendice B). 1.8.7 Reprenons l’exemple (1.8.3) G = G L(2, Q5 ),  = 3. a) L’involution de Zelevinski e´ change la repr´esentation triviale et la repr´esentation de Steinberg St sur Q . b) L’involution de Zelevinski e´ change la repr´esentation triviale et le caractère ν ◦ det sur F . c) Sur Q , la partie semi-simple de St est ν −1/2 + ν 1/2, la partie nilpotente N de St sur Q n’est pas triviale, son noyau est la droite propre pour ν 1/2 . On note St ↔ (ν −1/2 → ν 1/2). d) On a Z F ◦ J ◦ Z Q (St) = ν ◦ det, donc sur F on a ν ◦ det ↔ (ν −1/2 → ν 1/2 ).

e) On v´erifiera tout aussi simplement que id ↔ (ν 1/2 → ν −1/2 ). f) Il est clair qu’il y a trois F -repr´esentations non isomorphes du groupe de Weil-Deligne de partie semi-simple ν −1/2 +ν 1/2. Il nous manque celle de partie nilpotente nulle. C’est la repr´esentation cuspidale unipotente J St ∈ CuspF G L F (non supercuspidale). 2 R´eduction au th´eorème faible Nous allons d´emontrer dans ce paragraphe que le th´eorème faible ci-dessous implique le th´eorème principal 1.6. En gros, on va se r´eduire à montrer le th´eorème principal 1.6 lorsque π est supercuspidale, et uniquement dans un sens.

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2.1 Th´eorème faible Soit π ∈ ScuspQ G L F , σ ∈ IrrQ W F , π ↔ σ entières en bijection de Langlands. Alors Pour π  ∈ ScuspQ G L F , σ  ∈ IrrQ W F , π  ↔ σ  entières en bijection de Langlands, on a r π = r π  implique r σ = r σ  . (ii) Si σ est -irr´eductible, alors π est -supercuspidale. (iii) Si π n’est pas -supercuspidale, il existe des relèvements à Q de sc ◦ r π et de r σ en bijection de Langlands, autrement dit il existe π1 , . . . , πk ∈ ScuspQ G L F , σ1 , . . . , σk ∈ IrrQ W F , π1 ↔ σ1 , . . . πk ↔ σk tels que

(i)

sc ◦ r π = r (π1 + . . . + πk ) et r σ = r (σ1 + . . . + σk ). 2.2 Soient π ∈ ScuspQ G L(n, F) et σ ∈ IrrQ W F (n) entières en bijection de Langlands π ↔ σ . On rappelle le critère num´erique permettant de reconnaitre si π est -supercuspidale ou si σ est -irr´eductible. On considère – B(σ) l’ensemble des repr´esentations σ  ∈ IrrQ (W F ) entières de même d´eterminant sur un Frobenius (g´eom´etrique) Fr, et de même r´eduction modulo  que σ , – B(π) l’ensemble analogue pour π, en remplacant le d´eterminant par le caractère central, et Fr par l’uniformisante p F qui lui correspond par l’application de r´eciprocit´e du corps de classes (1.1). – le nombre t de caractères non ramifi´es χ ∈ IrrQ F ∗ tels que π ⊗ (χ ◦ det)  π. C’est aussi le nombre de Q -caractères non ramifi´es χ de W F tels que σ ⊗ χ  σ , puisque les bijections de Langlands sur Q sont compatibles avec la torsion par les caractères. Critère num´erique [Vig1 2.3] Les deux nombres Card B(π) et Card B(σ) sont major´es par a où a = (n/t)(q t − 1). π est -supercuspidale si et seulement si Card B(π) = a . σ est -irr´eductible si et seulement si Card B(σ) = a . Le critère num´erique permet de montrer: 2.3 Lemme Les parties (i) et (ii) du th´eorème faible impliquent a) π est -supercuspidale si et seulement si σ est -irr´eductible, b) si σ est -irr´eductible, alors r σ = r σ  implique r π = r π  . Preuve 1) La propri´et´e (i) du th´eorème faible, et la compatiblit´e des bijections de Langlands sur Q avec le caractère central, le d´eterminant et la propri´et´e d’être entière (1.4), montrent que la bijection de Langlands induit une application injective b : B(π) → B(σ).

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= p

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Avec le critère num´erique (2.2), on d´eduit Card B(π) ≤ Card B(σ) ≤ a . Supposons que π est -supercuspidale, i.e. Card B(π) = a par (2.2). On a alors Card B(π) = Card B(σ) = a , b est bijective et σ est -irr´eductible par (2.2). La propri´et´e a) du lemme est d´emontr´ee (l’autre sens est donn´e par la partie (ii) du th´eorème faible). 2) Inversement, supposons que σ est -irr´eductible. La partie (ii) du th´eorème faible montre que π est -supercuspidale. Par 1) l’application b est bijective, autrement dit les deux conditions r σ  = r σ et det σ  (Fr) = det σ(Fr) impliquent r π = r π  . L’´egalit´e des d´eterminants sur Fr peut être supprim´ee. En effet si r σ  = r σ , il existe un caractère non ramifi´e χ de W F trivial modulo , tel que det(σ  ⊗ χ)(Fr) = det σ(Fr), et les bijections de Langlands sont compatibles à la torsion par un caractère. La propri´et´e b) du lemme est d´emontr´ee. ♦ Il est fondamental de savoir que : 2.4 Relèvement Toute repr´esentation π ∈ ScuspF G L(n, F) ou σ ∈ IrrF W F (n) se relève à Q . Preuve Dans le cas lin´eaire c’est difficile, car cela r´esulte de la th´eorie des types de Bushnell-Kutzko sur F [Vig3 III.5.10], dans le cas galoisien c’est une cons´equence facile de la th´eorie de Clifford [Vig1 4] car le groupe W F est -r´esoluble [Vig5 1.7]. ♦ 2.5 Corollaire Les parties (i) et (ii) du th´eorème faible impliquent qu’il existe des bijections uniques de Langlands sur F ScuspF G L(n, F) ↔ IrrF W F (n) compatibles avec la r´eduction modulo . Preuve [Vig1 1.2] On dit que π ∈ ScuspF G L(n, F) et σ ∈ IrrF W F (n) se correspondent s’ils ont des relèvements à Q (2.4) qui se correspondent par la bijection de Langlands sur Q . Alors (2.3) et la partie (i) du th´eorème principal montrent que l’on a bien d´efini une bijection ScuspF G L(n, F)  ♦ IrrF W F (n) [Vig1 6.1]. Donc les parties (i) et (ii) du th´eorème faible fournissent une bijection MScuspF G L F ↔ ModF W F et une application π → sc(π) ↔ σ : IrrF G L F → ModF W F via le support supercuspidal (1.3). La partie (iii) du th´eorème faible permet de montrer que cette application est compatible avec la r´eduction modulo . En effet, elle signifie que (2.5.1)

sc(r π) ↔ r σ

pour π ∈ ScuspQ G L F , σ ∈ IrrQ W F , π ↔ σ entiers, si π n’est pas supercuspidale (on le sait d´eja si π est -supercuspidale). On obtient (2.5.1)

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M.-F. Vign´eras

par lin´earit´e pour tout π ∈ IrrQ G L F entier, car sc(r π) = sc(r (scπ)) (1.5). Donc le th´eorème faible 2.1 implique le th´eorème principal 1.6. La suite de cet article est consacr´ee à la d´emonstration du th´eorème faible (2.1). Une m´ethode globale d´evelopp´ee dans les chapitres 3 et 4 fournit le lemme crucial 5.1. La d´emonstration de (2.1) est donn´ee en 5.3. 3 Congruences entre repr´esentations automorphes Nous montrons dans ce chapitre des congruences faibles modulo  entre repr´esentations automorphes d’un groupe r´eductif G de type compact, entières, triviales à l’infini, en utilisant la th´eorie des types de Bushnell-Kutzko. On pourrait probablement enlever la condition “triviale à l’infini”. 3.1 Congruence modulo  Soient F un corps local non archim´edien d’anneau des entiers O F , G un groupe r´eductif connexe non ramifi´e sur F tel que G(O F ) est d´efini, e´ gal à un sous-groupe ouvert compact maximal sp´ecial de G(F), E/Q une extension finie contenue dans Q d’anneau des entiers O E , et π, π  ∈ IrrQ G(F) non ramifi´ees O E -entières (Appendice B). La Z-algèbre de Hecke sph´erique H de G(F) par rapport à G(O F ) est commutative et agit sur l’espace vectoriel π G(O F ) de dimension 1 par le caractère de Satake de π λ : H → OE . La r´eduction de λ est le caractère H → k E qui s’en d´eduit sur le corps r´esiduel k E de O E . Notons λ : H → O E le caractère de Satake de π  . On dira que π, π  sont congruentes modulo  si leurs caractères de Satake ont la même r´eduction. Oublions le cas local. D´esormais dans ce chapitre, F un corps global de caract´eristique 0 ou p > 0. Soient X l’ensemble des places finies de F, ∞ celui des places infinies (vide si F est de caract´eristique p > 0) Fv le compl´et´e de F en v ∈ X, Ov l’anneau des entiers de Fv , A = Fˆ × F∞ l’anneau des adèles de F, Fˆ sa partie finie, F∞ sa partie infinie (triviale et A = Fˆ si F est de caract´eristique p > 0), G un groupe r´eductif connexe sur F, T ⊂ X de compl´ementaire fini, tel que pour toute place v ∈ T , G(Fv ) est non ramifi´e, G(Ov ) est bien d´efini, e´ gal à un groupe compact maximal sp´ecial de G(Fv ); on note G T la composante en T de  G(A), H T la Z-algèbre de Hecke sph´erique de G T par rapport à G(OT ) = v∈T G(Ov ), E/Q une extension finie contenue dans Q , d’anneau des entiers O E , de corps r´esiduel k E , et p E une uniformisante. π A , π A ∈ IrrQ G(A) de composantes en T , not´ees πT , πT , non ramifi´ees et O E -entières (Appendice A). L’action de H T sur la droite πTG(OT ) est

Correspondance de Langlands semi-simple pour G L(n, F) modulo 
= p

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donn´ee par le caractère de Satake de πT λT : H T → O E . On note λT le caractère de Satake de πT . On dit que π A , π A ∈ IrrQ G(A) sont T -congruentes modulo  ou faiblement congruentes modulo  si πT , πT sont congruentes modulo , i.e. si leurs caractères de Satake ont la même r´eduction. 3.2 Groupe de type compact On suppose d´esormais que G est de type compact. On note Z le centre de G. Le groupe G(F) se plonge diagonalement en sous-groupe discret de G(A). Etre de type compact signifie : (3.2.1)

G(F)Z(A)\G(A) et Z(F∞ )\G(F∞ ) sont compacts

Rappelons que G est dit anisotrope sur un corps k (contenant F) si G ne contient pas de tore d´eploy´e sur k non trivial [Sp 3.4 page 12]. On sait [Sp 4.2 page 16, 4.11 page 19] que (3.2.1) est e´ quivalent à: (3.2.2) G/Z est anisotrope sur F et sur Fv pour toute place infinie v de F Si F est un corps de nombres, les quatre propri´et´es : (3.2.1), (3.2.2), G(F∞ )/Z(F∞ ) compact, G/Z est anisotrope sur Fv pour toute place infinie v de F, sont e´ quivalentes car si G/Z est anisotrope sur Fv en une place de F, alors G/Z est anisotrope sur F. On appelle cas exceptionnel la situation où F est de caract´eristique p > 0 et G admet un tore central maximal F-d´eploy´e non trivial. Dans le cas exceptionnel, on suppose que le rang de Z est 1. On choisit alors une place o ∈ X, une uniformisante po de Fo , un homomorphisme rationnel t : G L(1) → Z et l’on note Γo = t( pZo ). Alors Γo Z(F)\Z(A) est compact. Le groupe G(F) se plonge diagonalement dans le groupe localement ˆ On pose dans le cas exceptionnel profini G( F). Y := G(F)Γo \G( Fˆ ). et dans le cas non exceptionnel, Y := G(F)\G( Fˆ ). Alors (3.2.1) implique (en fait, est e´ quivalente à): (3.2.3)

ˆ et Y est compact G(F) est un sous-groupe discret de G( F)

On donne des exemples de groupes de type compact en (3.14).

190

M.-F. Vign´eras

3.3 Formes automorphes Les fonctions localement constantes f : Y → A sont des formes automorphes pour G. Elles forment un A-module que l’on ˆ agit sur Y donc sur C ∞ (Y ; A), cette action note C ∞ (Y ; A). Le groupe G( F) est not´ee ρ A , ou ρ si A = Z. (3.3.1)

Le Z-module C ∞ (Y ; Z) est libre.

Preuve On choisit un système fondamental de voisinages de l’unit´e de ˆ form´e par une suite d´ecroissante d´enombrable (K n )n≥0 de sousG( F) groupes ouverts compacts, et pour tout entier n ≥ 0 une base Bn du Zmodule L n := C ∞ (Y/K n ; Z) libre de rang fini e´ gal au nombre d’´el´ements de Y/K n , telle que Bn ⊂ Bn+1 (une fonction sur Y/K n s’identifie à une fonction sur Y qui est K n -invariante). C’est possible car L n+1 /L n est libre donc L n est un facteur direct de L n+1 . ♦ Alors B = ∪n Bn est une base de C ∞ (Y ; Z). (3.3.2) La repr´esentation ρQ est admissible et semi-simple. Chaque sousˆ de ρQ est O E -entier pour une exquotient irr´eductible π X ∈ IrrQ G( F)  tension finie E/Q . Preuve La repr´esentation ρ sur Z est d´eja admissible [Vig3 I.4.17] car ˆ Pour la Y/K est fini pour tout sous-groupe ouvert compact K de G( F). semi-simplicit´e, on utilise l’isomorphisme Q  C, la conjugaison comˆ Une mesure G( F)-invariante ˆ plexe z → z et l’unimodularit´e de G( F). dy ˆ sur l’espace compact Y fournit un produit hermitien non d´eg´en´er´e G( F)invariant sur C ∞ (Y ; R)  ( f 1 , f 2 ) := f 1 (y) f 2 (y)dy ( f 1 , f 2 ∈ C ∞ (Y ; R)). Y

On en d´eduit la semi-simplicit´e. Montrons maintenant l’int´egralit´e. Soit f non nul dans l’espace V(π X ) de π X . Comme f n’a qu’un nombre fini de valeurs, il existe une extension finie E/Q et a ∈ O E tel a f ∈ C ∞ (Y ; O E )∩ V(π X ). Le O E G-module engendr´e par a f est O E -libre car il est contenu dans le O E -module libre C ∞ (Y ; O E ) et O E est principal. C’est une O E structure de π X (1.4). ♦ Lorsque F est un corps de nombres, les composants irr´eductibles π X de ρQ sont les parties finies des Q -repr´esentations automorphes de G(A) [B1 14.1 page 52] triviales à l’infini. Lorsque F est de caract´eristique p > 0, ce sont les repr´esentations automorphes de G(A), modulo torsion par un caractère non ramifi´e dans le cas exceptionnel (pour se ramener au cas où Γo agit trivialement).

Correspondance de Langlands semi-simple pour G L(n, F) modulo 
= p

191

3.4 Donc toute repr´esentation automorphe π A de G(A) triviale à l’infini (oublier cette condition si F est de caract´eristique p > 0) est entière dans le cas non exceptionnel. Dans le cas exceptionnel, une repr´esentation π A automorphe de G(A) est entière si et seulement si son caractère central est entier (cela est e´ quivalent à χ entier si π A ⊗ χ est trivial sur Γo ). 3.5 Hypothèses Soit π A ∈ IrrQ G(A) automorphe, entière, triviale à l’inˆ un sous-groupe ouvert (on ne le suppose pas compact) fini. Soit K ⊂ G( F) et Λ ∈ IrrQ K contenue dans la restriction de π A à K (on dit que Λ est contenu dans π A ). On suppose que l’ensemble des places finies de F est une union disjointe X = v1 ∪ S ∪ T , avec S fini et πv non ramifi´e pour tout v ∈ T , telle que : K = K v1 × K S × K T ,

Λ = idv1 ⊗ΛS ⊗ idT

avec K T = G(OT ) compact maximal sp´ecial, K v1 un sous-groupe ouvert Kv compact de G v1 de pro-ordre premier à  et πv1 1
= 0, dans le cas exceptionnel Γo ⊂ K S , la composante de Λ sur K v1 × K T est triviale. On suppose que (3.5.1)

ˆ gKg−1 ∩ G(F) est fini pour tout g ∈ G( F),

On se donne ΛS ∈ IrrQ K S entière telle que (ΛS , ΛS ) v´erifient: (3.5.2) Il existe une extension finie E/Q , des structures O E -entières L S , L S de ΛS , ΛS et une inclusion de k E K S -modules k E ⊗ O E L S ⊂ k E ⊗ O E L S . On note Λ := idv1 ⊗ΛS ⊗idT ∈ IrrQ K . Alors (Λ, Λ ) v´erifient (3.5.2). 3.6 Congruences Sous les hypothèses ci-dessus, il existe π A ∈ IrrQ G(A) automorphe, entière, triviale à l’infini, (πv 1 ) K v1
= 0, T -congruente à π A modulo  et contenant Λ . Ceci g´en´eralise un r´esultat de Khare [Kh]. La preuve donn´ee en 3.7 est essentiellement celle de Khare. Nous donnons des exemples de groupes G en (3.14), de groupes K en (3.8), de repr´esentations (ΛS , ΛS ) en (3.11) utilisant la th´eorie des types, et de repr´esentations automorphes (π A , π A ) T -congruentes modulo  en (3.13). Par les diff´erentes fonctorialit´es de Langlands entre repr´esentations automorphes, on d´eduit de (3.6) des congruences entre formes automorphes pour des groupes r´eductifs ne v´erifiant pas les conditions de compacit´e (3.2). Remarque Une m´ethode similaire permettrait de construire des congruences faibles modulo  entre repr´esentations automorphes non triviales à l’infini.

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M.-F. Vign´eras

3.7 Preuve de (3.6) On rappelle le lemme de Deligne-Serre [DS Lemma 6.11]. 3.7.1 Lemme Soient E/Q une extension finie, M un O E -module libre de type fini muni d’une action d’une Z-algèbre commutative H, et f ∈ M/ p E M un vecteur propre (non nul) de H de valeur propre λ : H → k E . Il existe une extension finie E  /E et un vecteur propre de H dans M ⊗ O E O E  de valeur propre λ : H → k E  telle que λ = λ modulo p E  O E  . On appliquera ce lemme à un module M du type ci-dessous et à l’algèbre de Hecke sph´erique H T de G T relative à K T . 3.7.2 Lemme Soit Λ ∈ IrrQ K entière triviale sur K T . Il existe une extension finie E/Q et une O E -structure entière L de Λ telle que les valeurs propres de H T dans le O E -module libre de type fini M = C K (Y, L), form´e par les fonctions K -´equivariantes f : Y → L, f(yk) = Λ(k) f(y) (y ∈ Y, k ∈ K ) sont en bijection avec les caractères de Satake des composantes en T des sous-quotients irr´eductibles de ρQ contenant Λ ∈ IrrQ K . Preuve On choisit une extension finie E/Q telle que Λ a une structure O E -entière L (1.4). Alors M = C K (Y, L) est une structure O E -entière de C K (Y, Λ) stable par H T . La dimension du Q -espace vectoriel C K (Y, Λ) est finie car Y/K est fini et la dimension de Λ est finie. Les valeurs propres de H T dans C K (Y, Λ) appartiennent à O E  pour une extension finie E  /E. En remplacant E par E  , on se ramène à supposer que toute valeur propre de H T dans C K (Y, Λ) a un vecteur propre dans M. Soit  = ⊕ πX ρQ 

la somme directe des sous-quotients irr´eductibles de ρQ contenant Λ. La repr´esentation ρQ e´ tant semi-simple et admissible (3.3.2), cette somme est finie. Notons K = K T × K T , Λ = ΛT ⊗ idT et π X = π X−T ⊗ πT . La restriction à K d’une Q -repr´esentation irr´eductible de ρQ est semi-simple, car K est compact modulo le centre. On a      , Λ)  ⊕π X Hom K T π X−T , ΛT ⊗ πTK T Hom K (ρQ , Λ) = Hom K (ρQ 

et aussi

Hom K (ρQ , Λ)  C K (Y, Λ)  C K T (Y, ΛT ) K T .

Ces isomorphisme sont e´ quivariants pour l’action de l’algèbre de Hecke sph´erique H T qui opère naturellement sur C K T (Y, ΛT ) K T , πTK T et trivialement sur Hom K T (π X−T , ΛT ). Donc les caractères de Satake des com posantes en T des sous-quotients irr´eductibles de ρQ sont les valeurs pro ♦ pres de H T dans C K (Y, Λ).

Correspondance de Langlands semi-simple pour G L(n, F) modulo 
= p

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On choisit une extension E/Q “assez grosse”. On applique le lemme au O E -module M d´efini avec L = L S muni de l’action naturelle de K , triviale sur K v1 × K T et prolongeant l’action de K S (3.5). Le caractère de Satake  λT de la composante en T d’un sous-quotient irr´eductible de ρQ est une  valeur propre de H T agissant sur M. On peut considère le O E -module M  d´efini avec L S (3.5). Le but des conditions de (3.5) est d’obtenir M/ p E M ⊂ M  / p E M  . Il suffit de montrer le lemme suivant. 3.7.3 Lemme On a des isomorphismes de E ou k E -espaces vectoriels : E⊗ O E C K (Y ; L)  C K (Y ; E⊗ O E L), k E ⊗ O E C K (Y ; L)  C K (Y ; k E ⊗ O E L). Les isomorphismes (s’ils existent) sont clairement H T -´equivariants. Preuve L’espace compact Y = ∪yK est une union finie des orbites de K . On a un isomorphisme de O E -modules (3.7.4)

C K (Y ; L)  ⊕ y L K y

où K y = { k ∈ K | yk = y } est le fixateur de y dans K . Comme O E est principal et L est O E -libre de type fini, le O E -module L K y est libre de type fini pour tout y, donc C K (Y ; L) est libre de type fini. Tout revient à montrer les isomorphismes d’espaces vectoriels sur E ou k E (3.7.5) (E ⊗ O E L) K y  E ⊗ O E (L K y ),

(k E ⊗ O E L) K y  k E ⊗ O E (L K y ).

Pour cela, il suffit que l’image Hy de K y dans Aut L soit d’ordre fini premier à . Montrons que Hy est d’ordre fini premier à . Comme K S agit trivialement sur L, Hy est un quotient de la projection C y de K y dans K S  K/K S (resp. K S /Γo  K/K S Γo dans le cas exceptionnel). Il suffit de montrer ˆ tel que y = G(F)g que C y est d’ordre fini premier à . Soit g ∈ G( F) dans le cas non exceptionnel et y = G(F)Γo g dans le cas exceptionnel. La projection de C := g−1 G(F)g ∩ K dans K S , ou K S /Γo dans le cas exceptionnel, est C y . En effet pour k ∈ K S , les relations a) G(F)gkK S = G(F)gK S b) kK S ⊂ CK S sont clairement e´ quivalentes dans le cas non exceptionnel. Dans le cas exceptionnel il faut remplacer K S par Γo K S dans a) et b). Il suffit de montrer que C est d’ordre fini premier à . Par hypothèse (3.5.1) le groupe

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C est fini. Il s’identifie à un sous-groupe de K v pour toute place finie v. Par les hypothèses de (3.5) K v1 est un groupe profini de pro-ordre premier à , donc l’ordre de C est premier à . ♦ On d´eduit alors les congruences (3.6) du lemme de Deligne-Serre (3.7.1) lorsque π X ⊂ ρQ . Dans le cas exceptionnel il existe un Q -caractère entier χ trivial sur ˆ trivial sur G F tel que π X ⊗ χ ⊂ ρQ . Les repr´esentations K v1 × K T de G( F)  π X ⊗χ, Λ⊗χ| K et Λ ⊗χ| K v´erifient les propri´et´es requises. Par hypothèse il existe un un sous-quotient irr´eductible de ρQ v´erifiant (3.6) pour ces ˆ La repr´esentation π X donn´ees. On le note π X ⊗ χ pour π X ∈ IrrQ G( F). v´erifie (3.6). Ceci termine la d´emonstration de (3.6). ♦ 3.8 Nous examinons maintenant l’hypothèse (3.5.1) sur les conjugu´es du ˆ Si K est compact, comme G(F) est discret sous-groupe ouvert K ⊂ G( F). ˆ dans G( F ), (3.5.1) est trivial. Le lemme suivant donne une condition sur K , ˆ qui assure (3.5.1) lorsque K n’est invariante par conjugaison par g ∈ G( F), pas compact. ˆ de la forme K = K v × K v Lemme Soit K un sous-groupe ouvert de G( F) v où K est un sous-groupe ouvert compact de G X−v , et K v est un sous-groupe ouvert de G(Fv ) compact modulo le centre de G(Fv ) pour une place finie v de F. Alors G(F) ∩ K est un groupe fini. La preuve montrera que lorsque F est un corps de nombres, on peut remplacer v par un ensemble fini de places de caract´eristiques r´esiduelles diff´erentes. Preuve On peut supposer que K v ⊃ Z v où Z v est le tore d´eploy´e central maximal de G(Fv ). Le groupe K admet un unique sous-groupe compact maximal K (o) , car K v a cette propri´et´e. En effet, le groupe Z v a un unique sous-groupe compact maximal Z v(o) , et si K v(o) est le sous-groupe de K v engendr´e par ses sous-groupes compacts, alors K v(o) /Z v(o) est un sous-groupe ferm´e du sous-groupe compact K v /Z v . Donc K v(o)/Z v(o) est compact, et K v(o) est compact. On va montrer que G(F) ∩ K = G(F) ∩ K (o) donc G(F) ∩ K est un groupe fini. Il suffit de plonger G(F) dans G L(n, F) pour un entier n assez grand et de montrer que les valeurs propres des e´ l´ements de G(F) ∩ K sont des racines de l’unit´e. Soit g ∈ G(F) ∩ K et λ une valeur propre de g dans F. Alors E := F(λ) est une extension finie de F, et l’on veut montrer que |λ|w = 1 pour toute valeur absolue | − |w de E. Comme g se plonge dans le sous-groupe compact K v on sait que

Correspondance de Langlands semi-simple pour G L(n, F) modulo 
= p

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|λ|w = 1 si la place correspondante w de E ne divise pas v. La formule du produit [W IV §4 th.6]  |λ|w = 1 w

montrera |λ|w = 1 pour tout w|v. Comme le sous-groupe Z v K v(o) de K v est d’indice fini m, on a gm ∈ Z v K v(o). Comme Z v est un tore central d´eploy´e et comme K v(o) est compact, la valeur propre λm de gm est de la forme xu pour ∗ x ∈ Fv∗ et une unit´e u de l’anneau des entiers de F v . Donc |λ|w = |x|v[Ew :Fv ] pour toute place w de E qui divise v et  |λ|w = |x|[E:F] . v w|v

donc |x|v = |λ|w = 1 pour tout w|v. Par la formule du produit 1 = |x|[E:F] v ♦ Le but du paragraphe 3.11 est de donner des exemples non triviaux de Λ, Λ ∈ IrrQ K v´erifiant les hypothèses de (3.5). On s’y pr´epare avec les paragraphes (3.10) et (3.11). Le lemme suivant si simple m’a e´ t´e donn´e par Raphael Rouquier. 3.9 Lemme Soient H un groupe fini et τ, τ  ∈ IrrQ H telles que r τ est un sous-quotient irr´eductible de r τ  . Pour toute extension finie E/Q telle que τ, τ  sont O E -entières, il existe des O E -structures L, L  de τ, τ  telles que l’action de H sur L/ p E L est isomorphe à une sous-repr´esentation de L / pE L . Preuve On choisit des O E -structures L, N  de τ, τ  . Par le principe de Brauer-Nesbitt L/ p E L ∈ Irrk E H est isomorphe à un sous-quotient de N  / p E N  . Soit Q → L/ p E L une couverture projective. Il existe un homomorphisme non nul f : Q → N  / p E N  et un O E H-module projectif P qui relève Q  P/ p E P. Par la propri´et´e caract´eristique des modules projectifs f se relève en un O E H-homomorphisme φ : P → N  . L’image L  de φ est une O E -structure entière de τ  et L/ p E L est un quotient de L  / p E L  . Par dualit´e on obtient une O E -structure entière L  de τ  et L/ p E L est une ♦ sous-repr´esentation de L  / p E L  Un exemple de repr´esentations τ, τ  ∈ IrrQ H v´erifiant le lemme 3.9 est fourni par la th´eorie de Dipper-James [James] pour les repr´esentations du groupe lin´eaire fini H := G L(n, Fq ). 3.10 Lemme a) Toute repr´esentation de ScuspF G L(n, Fq ) se relève à Q . b) Soit τ ∈ ScuspQ G L(n, Fq ). Alors r τ est irr´eductible, et sc(r τ) = bτ1 pour τ1 ∈ ScuspQ G L(a, Fq ) et ab = n.

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M.-F. Vign´eras

c) Soit τ  ∈ IrrQ G L(n, Fq ). Alors r τ est un sous-quotient de r τ  si et seulement si τ  est g´en´erique et sc(r τ  ) = sc(r τ). Preuve Pour a) et b) voir [Vig3 III.2]. Pour c) utiliser [Vig3 III.1.10, III.1.11] que τ, r τ sont g´en´eriques, la formule de Leibniz et l’unicit´e du modèle de Whittaker. ♦ 3.11 Types de Bushnell-Kutzko Soit v ∈ X une place finie du corps global F de caract´eristique r´esiduelle pv et R un corps alg´ebriquement clos de caract´eristique diff´erente de pv . Rappelons quelques propri´et´es fondamentales des types de Bushnell-Kutzko (´etendus) de G L(n, Fv ). Pour tout π ∈ Cusp R G L(n, Fv ) (cuspidal) il existe un sous-groupe ouvert K v ⊂ G L(n, Fv ) compact modulo le centre et Λ ∈ Irr R K v (un type e´ tendu) tel que [BK 8.4] [Vig3 III.5.3, III.5.10]: π = indGK vL(n,Fv ) Λ (l’induite à support compact de Λ est e´ gale à l’induite sans conditions de support). Ainsi π est l’unique R-repr´esentation irr´eductible de G L(n, Fv ) contenant Λ. Lorsque R = Q , alors cuspidale=supercuspidale. 3.11.1 Th´eorème Soient π, π  ∈ ScuspQ G L(n, Fv ) entières. 1) r Λ et r π sont irr´eductibles. 2) On a r π = r π  si et seulement s’il existe un type e´ tendu de BushnellKutzko Λ ∈ IrrQ K v (le même K v ) de π  tel que r Λ = r Λ . Preuve Cela se d´eduit de la classification [Vig3 III.4.23, III.5.3, III.5.10] ♦ Rappelons que Λ = κ ⊗ τ, avec les d´efinitions suivantes. Il existe – une extension finie E/F d’indice de ramification e et de degr´e r´esiduel f , efd = n pour un entier d, – un sous-groupe ouvert compact K vo ⊂ K v normalis´e par E ∗ tel que E ∗ K vo = K v et E ∗ ∩ K vo  O ∗E , et tel que Λ restreint à K vo est irr´eductible, – un pro- pv -sous-groupe K v1 ⊂ K vo distingu´e dans K v tel que K v1 \K vo  G L(d, Fq f ), – une repr´esentation η ∈ Irr R K v1 , τ ∈ Cusp R G L(d, Fq f ) (cuspidale) d´efinissant par prolongement et inflation des repr´esentations de K vo not´ees κ, τ (η est la restriction de κ et τ est trivial sur K v1 ) normalis´ees par E ∗ , puis par prolongement des repr´esentations κ, τ de K v . La repr´esentation

λ := κ ⊗ τ ∈ Irr R K vo

est un type de Bushnell-Kutzko de π. L’intêret de λ provient du th´eorème suivant :

Correspondance de Langlands semi-simple pour G L(n, F) modulo 
= p

197

3.11.2 Th´eorème 1) π  ∈ Irr R G L(n, Fv ) contient λ = κ ⊗ τ si et seulement si π  = π ⊗ χ où χ est un caractère non ramifi´e. 2) Supposons R = Q . Alors π entière est -supercuspidale si et seulement si τ est -supercuspidale. Preuve [Vig3 III.5.10 (ii), III.5.14 (3)].

♦

3.11.3 Les repr´esentations irr´eductibles de K vo contenant η sont κ ⊗τ  pour tout τ  ∈ Irr R G L(d, Fq f ), et κ ⊗ τ  κ ⊗ τ  si et seulement si τ  τ  . Ceci r´esulte de la th´eorie de Clifford [Vig1 4.2] pour les repr´esentations lisses d’un sous-groupe distingu´e d’un groupe d’un groupe profini appliqu´ee au sous-groupe distingu´e K v1 de K vo . Les repr´esentations λ := κ ⊗ τ  ne sont pas des types de BushnellKutzko, qui supposent toujours τ  supercuspidale. Les repr´esentations λ ont e´ t´e introduites et not´ees κmax ⊗ τ  dans [Vig2]. Le 1) du th´eorème se g´en´eralise à λ . Soit τ1 + . . . + τr où τi ∈ Cusp R G L(di , Fq f ) et d = d1 + . . . + dr , le support cuspidal de τ  . On identifie τ1 ⊗ . . . ⊗ τr à une repr´esentation irr´eductible cuspidale d’un sous-groupe de Levi de G L(d, Fq f ) (unique modulo conjugaison). Par la th´eorie de Bushnell-Kutzko, le sous-groupe de Levi de G L(d, Fq f ) d´efinit un ordre h´er´editaire du commutant de E dans M(n, F), un sous-groupe parabolique P = LU dans G L(n, F) (unique modulo association) de sousgroupe de Levi L  G L(efd1 , Fv ) × . . . × G L(efdr , Fv ),  o un sous-groupe ouvert compact K v,i de L analogue à K vo , des repr´eseno tations κv,i ∈ IrrQ K v,i endo-equivalentes à κ. Un repr´esentation πi de Irr R G L(efdi , Fv ) contenant κi ⊗ τi est cuspidale, unique modulo un caractère non ramifi´e de G L(efdi , Fv ) par le 1) du th´eorème (3.11.2). Th´eorème Si π  ∈ Irr R G L(n, Fv ) contient λ , alors le support cuspidal de π  est de la forme (1)

π1 χ1 + . . . + πr χr

pour des caractères non ramifi´es χ1 , . . . , χr . Inversement si le support cuspidal de π  ∈ Irr R G L(n, Fv ) est de cette forme, alors π  contient λ = κ ⊗ τ  avec τ  ∈ Irr R G L(d, Fq f ) de même support cuspidal que τ  . Les mêmes r´esultats sont vrais en remplacant partout “cuspidal” par “supercuspidal”.

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Preuve Ce r´esultat fondamental r´esulte de la th´eorie de Bushnell-Kutzko [Vig2]. ♦ Il est probable que l’on peut d´eduire de [BH 2.4, 2.9] une version plus forte si τ  est g´en´erique: π  ∈ Irr R G L(n, Fv ) contient λ si et seulement si π  est g´en´erique et le support cuspidal de π  est de la forme (1). Le th´eorème se comprend mieux avec la th´eorie des blocs. 3.11.4 Blocs Soit G le groupe des points d’un groupe r´eductif connexe sur Fv . Un bloc de la cat´egorie Mod R G des R-repr´esentations de G est une sous-cat´egorie ind´ecomposable qui est un facteur direct. La cat´egorie Mod R G est produit de ses blocs. Si π ∈ Irr R G est dans un bloc B, alors B contient toutes les repr´esentations π  ∈ Irr R G dont le support supercuspidal est e´ gal à celui de π, modulo torsion par un caractère non ramifi´e [Vig2]. Ceci implique que pour 
= pv , on peut d´efinir la r´eduction modulo  d’un bloc de ModQ G. Chaque bloc B de ModQ G contient une repr´esentation π ∈ IrrQ G entière, i.e. de support supercuspidal entier, et r π est contenue dans un bloc de ModF G. Ce bloc est ind´ependant du choix de π, on le note r B, et on l’appelle la r´eduction modulo  de B. La r´eduction modulo  d´efinit une partition des blocs en -blocs : par d´efinition deux blocs sont dans le même -bloc s’ils ont la même r´eduction modulo . Lorsque G
= G L(n, Fv ), on ne sait pas si la r´eduction modulo  est surjective; c’est-à-dire, si toute repr´esentation de IrrF G se r´ealise comme sous-quotient irr´eductible de la r´eduction modulo  d’une repr´esentation de IrrQ G entière. Th´eorème Deux repr´esentations π, π  ∈ Irr R G L(n, Fv ) appartiennent au même bloc si et seulement si elles ont le même support supercuspidal modulo torsion par des caractères non ramifi´es. Preuve C’est la th´eorie de Bernstein lorsque la caract´eristique de R est 0. ♦ Lorsque la caract´eristique de R est 0 < 
= pv [Vig2 IV.6.2]. Par le th´eorème (3.11.3), si π  ∈ Irr R G L(n, Fv ) contient λ = κ ⊗ τ  , alors π1 ∈ Irr R G L(n, Fv ) appartient au bloc de π  si et seulement si π1 contient λ = κ ⊗ τ  avec τ  de même support supercuspidal que τ  . Corollaire Pour π ∈ ScuspQ G L(n, Fv ) de type λ = κ ⊗ τ, les blocs de ModQ G L(n, Fv ) dans le -bloc de π sont en bijection avec les relèvements à Q de sc(r τ). Preuve L’unicit´e d’une repr´esentation irr´eductible g´en´erique de support supercuspidal donn´e, pour un groupe lin´eaire fini ou p-adique, implique que les blocs du -bloc de π sont en bijection avec les repr´esentations

Correspondance de Langlands semi-simple pour G L(n, F) modulo 
= p

199

τ  ∈ IrrQ G L(d, Fq f ) g´en´eriques, tels que sc(r τ  ) = sc(r τ). Le bloc correspondant à τ  contient indGK vo (κ ⊗ τ  ).

♦

3.11.5 Proposition Pour tout τ  ∈ IrrQ G L(d, Fq f ) g´en´erique et sc(r τ  ) = sc(r τ), on peut choisir τ  ∈ IrrQ K v (as before 3.11.2) telle que Λ = κ ⊗ τ, Λ = κ ⊗ τ  v´erifient (3.5.2). Preuve On utilise le produit tensoriel par un Q -caractère entier de K v /K vo , pour se ramener à (3.9). On choisit τ  ∈ IrrQ K v obtenu par inflation et prolongement à partir de τ  . On peut supposer que r τ est un sous-quotient de r τ  . V´erifions-le. Par (3.10.c) r τ est un sous-quotient irr´eductible de r τ  = r τ +τ2 +. . .+τr avec τi ∈ IrrF G L(di , Fq f ). Ceci entraine r τ  = (r τ) ⊗ χ  + τ 2 + . . . + τ r pour des repr´esentations τ i ∈ IrrF K v et un F -caractère non ramifi´e χ  de K v /K vo  E ∗ /O ∗E . On relève χ  en un Q -caractère χ de K v /K vo , alors r τ est un sous-quotient de r (τ  ⊗ χ −1 ). On remplace τ  par τ  ⊗ χ −1 . L’action de Fv∗ sur τ  et τ est maintenant la même modulo . En tordant τ  par un Q -caractère de K v /K vo trivial modulo , on peut supposer qu’une uniformisante donn´ee p Fv agit sur τ  et τ par le même scalaire. On peut supposer que ce scalaire est trivial. Sinon on tord τ  et τ par le même Q -caractère de K v /K vo pour s’y ramener. Le groupe K v est compact modulo le centre, donc τ, τ  sont triviales sur un sous-groupe distingu´e d’indice fini. On peut donc appliquer (3.9), il existe une extension E  /Q assez grosse, des O E  -structures entières L 1 , L 1 de τ, τ  avec L 1 ⊗ O E  k E  ⊂ L 1 ⊗ O E  k E  comme k E  K v -modules. Si L o est une structure O E  -entière de κ, en faisant le produit tensoriel avec L o sur O E  on obtient des O E  structures entières L, L  de Λ, Λ avec L ⊗ O E  k E  ⊂ L  ⊗ O E  k E  comme k E  K v -modules. ♦ Il existe une th´eorie des types analogue aux types de Bushnell-Kutzko pour les groupes multiplicatifs des algèbres de division [Z] [Br], mais la th´eorie modulaire n’est pas faite. 3.12 Passage local-global On va d´emontrer le th´eorème faible (2.1) en utilisant des congruences entre formes automorphes comme en (3.6). On a donc besoin de savoir plonger des donn´ees locales dans une situation globale particulière. Le but de ce paragraphe est de v´erifier que c’est possible.

200

M.-F. Vign´eras

3.12.1 Tout corps local E non archim´edien est isomorphe à un corps Fv pour un corps global F et une place v de F. Si la caract´eristique est 0, on peut supposer F totalement r´eel et il existe une extension quadratique totalement imaginaire F  /F telle que v est d´ecompos´ee dans F  . Preuve C’est bien connu. Dans le cas de caract´eristique > 0, on a E  Fq ((T )); il suffit de prendre F = Fq (T ). Dans le cas de caract´eristique 0, on a E  Q p [X]/(P(X )) pour un polynôme irr´eductible P(X ) ∈ Q p [X] de degr´e fini n. On choisit des nombres r´eels distincts a1 , . . . , an ∈ R et on note R(X ) = (X −a1 ) . . . (X −an ) ∈ R[X]. Le corps des nombres rationnels Q est dense dans Q p × R et l’on choisit un polynôme Q(X ) ∈ Q[X] dont les coefficients sont très proches de ceux de P(X ) dans Q p , et de ceux de R(X ) dans R. Alors on prend F := Q[X]/(Q(X )). On construit F  de façon analogue. 3.12.2 Soit S un ensemble fini de places de F, et pour tout v ∈ S soit ωv : Fv∗ → C∗ un caractère d’ordre fini. Alors il existe un caractère χ : A∗ /F ∗ → C∗ de composante locale χv = ωv pour tout v ∈ S. Preuve Grunwald’s theorem [AT Ch.10 Th.5 page 103]. 3.12.3 Notations comme au d´ebut du chapitre. Soit ω A un Q -caractère entier de Z(A) trivial sur Z(F) et à l’infini (condition vide si la caract´eristique de F est p > 0). Pour tout ensemble fini S ⊂ X de places finies de F ne divisant pas , toute repr´esentation π S ∈ ScuspQ G(FS ) de caractère central ω S est la composante en S d’une Q -repr´esentation automorphe entière triviale à l’infini π A ∈ IrrQ G(A) de caractère central ω A . Preuve Dans le cas exceptionnel, on peut en tordant par un caractère π S et ω X , supposer ω A trivial sur Γo (si la caract´eristique de F est p > 0). Il suffit de trouver une sous-repr´esentation irr´eductible de la repr´esentation ρω X ⊂ ρQ (3.2) dont la composante en S est isomorphe à π S , où ρω X est la restiction ˆ → Q de ρQ au sous-espace des fonctions localement constantes φ : G( F) ˆ g ∈ v´erifiant φ(g F zg) = ω X (z)φ(g) pour tout g F ∈ G(F), z ∈ Z( F), ˆ G( F). On applique les arguments de [He2 Ap.1 page 146] et l’isomorphisme Q  C. Voir aussi [LRS 15.10]. La situation est particulièrement simple car Y est compact. ♦ 3.13 En utilisant (3.11) et (3.12), on d´eduit de (3.6) les congruences suivantes. On note F un corps global,  un nombre premier, X l’ensemble des places finies de F, v ∈ X de caract´eristique r´esiduelle diff´erente de  G un groupe r´eductif sur F de type compact (3.2) tel que G(Fv )  G L(n, Fv )

Correspondance de Langlands semi-simple pour G L(n, F) modulo 
= p

201

T ⊂ X − v de compl´ementaire X − T − v = S ∪ v1 fini non vide K v1 un sous-groupe ouvert compact de G v1 de pro-ordre premier à  K S un sous-groupe ouvert compact de G S et ΛS ∈ IrrQ K S . Corollaire Soit π A une Q -repr´esentation automorphe de G(A), entière, Kv triviale à l’infini, de composante locale πv ∈ ScuspQ G(Fv ) en v, πv1 1
= 0, π S contient ΛS et πT non ramifi´ee. Soit ρv ∈ ScuspQ G(Fv ) entière de même r´eduction modulo  que πv (resp. soit B un bloc de ModQ G(Fv ) dans le -bloc de πv (3.11.4)), alors il existe π A ∈ IrrQ G(A) automorphe, entière, triviale à l’infini, T congruente à π A modulo , (πv 1 ) K v1
= 0, π S contient ΛS , et de composante locale πv en v isomorphe à ρv (resp. contenue dans B). 3.14 Exemples de groupes Les congruences (3.13) seront utilis´ees pour les groupes G ci-dessous : a) F est un corps de fonctions d’une variable sur un corps fini de caract´eristique p > 0 et G est le groupe r´eductif sur F d´efini par le groupe multiplicatif G(F) = D∗ d’une algèbre de division D de centre F et de dimension n 2 sur F. Alors G est de type compact (3.2.2), car le centre Z de G est un tore d´eploy´e de rang 1 et G/Z est anisotrope sur F. b) F est un corps de nombres totalement r´eel et G est un groupe unitaire sur F compact à l’infini associ´e à une extension F  /F quadratique totalement imaginaire, une algèbre de division D de centre F  et de dimension n 2 sur F  , un anti-automorphisme J de D qui induit la conjugaison complexe sur F  . Le groupe G est d´efini par le groupe G(F) = (D∗ )θ des points fixes de l’automorphisme θ(x) = J(x −1 ) de D∗ . L’existence de (D, J ) follows from [CL1 §2] [Sch]. Le groupe G est de type compact (3.2.1). On pose k = F dans le cas a) et k = F  dans le cas b). Dans les deux cas, il existe une place vo de F telle que G(Fvo )  G L(n, Fvo ) (et même une infinit´e). Dans le cas b) la place vo est d´eploy´ee dans k, les places de k au-dessus de vo sont d´eploy´ees dans D. Remarque Pour un corps de nombres totalement r´eel F lorsque n = 2, on aurait pu utiliser le groupe multiplicatif d’un corps de quaternions totalement ramifi´e à l’infini. 4 Repr´esentations galoisiennes associ´ees à des repr´esentations automorphes Soit G un groupe de type compact comme en (3.14). On choisit une clôture alg´ebrique k de k. Soit π A ∈ IrrQ G(A) automorphe, entière, triviale

202

M.-F. Vign´eras

à l’infini, cuspidale en vo . Conjecturalement on peut associer à π A une repr´esentation -adique entière du groupe de Galois topologique Gal(k/k) de dimension n, i.e. un homomorphisme continu Σ : Gal(k/k) → G L(n, O E ) où E/Q est une extension finie d’anneau des entiers O E , Σ est non ramifi´e à presque toutes les places finies de k, et l’application π A → Σ est compatible avec des correspondance locales. On peut le faire – ou presque – grâce aux travaux de Clozel, HarrisTaylor, Laumon-Rapoport-Stuhler. La construction de Σ (4.6) n´ecessite un long d´etour (4.1) à (4.5), et une restriction (4.2) qui devrait être inutile. Le lecteur peut se rendre directement en (4.6). 4.1 Soit H le groupe r´eductif sur k d´efini par le groupe multiplicatif D∗ (3.14). On suppose dans ce paragraphe que F est un corps de nombres. Pour toute place infinie v de F, le groupe G(Fv )  U(n) est compact et la repr´esentation πv ∈ IrrQ G(Fv ) est triviale. On note A l’anneau des adèles de F  . On sait [CL A.5.2] associer à π A une repr´esentation automorphe π A ∈ IrrQ H(A ). Pour toute place v de F on note Fv = F  ⊗ F Fv (donc Fv  Fv × Fv si v est d´eploy´e dans F  ), πv ∈ IrrQ H(Fv ) la composante correspondante de π A . Lorsque v est infinie, Fv  C et H(Fv )  G L(n, C). Nous notons st ∈ IrrQ H(Fv ) la repr´esentation cohomologique d´eduite de la repr´esentation triviale par le changement de base de G(Fv ) à H(Fv ) [Cl4]. Th´eorème Soit π A une Q -repr´esentation automorphe de G(A) triviale à l’infini et cuspidale en vo . Alors il existe une Q -repr´esentation automorphe π A de H(A ) telle que a) si v est infinie, ou si v est finie et πv est non ramifi´ee, alors πv est d´eduite de πv par le changement de base (non ramifi´e si v est finie) de G(Fv ) à H(Fv ) (en particulier πv  st si v est infinie). b) si v est finie et d´ecompos´ee dans F  , alors πv  πv ⊗ π˜ v où π˜ v est la contragr´ediente de πv . Preuve Dans [CL A.5.2] les conditions d’application sont plus g´en´erales et les conclusions moins fortes. Le a) faible de (loc. cit.) conviendrait pour la suite. Nous admettons b) comme dans [HT, fin de la preuve du th. VI.I]. Le changement de base non ramifi´e de G(Fv ) à H(Fv ) est d´ecrit dans [HT VI]. ♦ Notons T l’ensemble des places finies v de F telles que πv est non ramifi´ee, et S l’ensemble des places finies de F d´ecompos´ees dans F  (l’intersection T ∩ S n’est pas vide). Comme en (3.14.b) la conjugaison

Correspondance de Langlands semi-simple pour G L(n, F) modulo 
= p

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complexe c de F  /F induit une involution de H(F  ⊗ F Fv ) et donc sur IrrQ H(F  ⊗ F Fv ) pour toute place v de F. On d´eduit du th´eorème que: 1) πv o est cuspidale (car vo ∈ S, la contragr´ediente d’une cuspidale est cuspidale, et πvo est cuspidale). 2) πT ∪S est entière et son image par c est isomorphe à sa contragr´ediente. 4.2 On revient maintenant au cas d’un corps global quelconque F. On note A l’anneau des adèles de k (et non celui de F si k = F  ) jusqu’en 4.5 inclus. On dispose d’une repr´esentation automorphe π AD ∈ IrrQ H(A) : π AD = π A lorsque k = F est de caract´eristique p > 0, celle que nous venons de construire π AD = π A lorsque k = F  est de caract´eristique 0. On sait associer à π AD une repr´esentation automorphe Π A ∈ IrrQ G L(n, A). Nous faisons d´esormais l’hypothèse : Pour toute place x de k, Dx  M(n, k x ) ou Dx est un corps gauche. Th´eorème Il existe une bijection des repr´esentations automorphes de H(A) sur les repr´esentations automorphes de G L(n, A) dans le spectre discret et de composante locale de Steinberg ou de Speh pour les places x de k ramifi´ees dans D, compatible avec la correspondance locale IrrQ H(Fx ) → IrrQ G L(n, Fx ) pour toute place x de k. La bijection respecte la propri´et´e d’être entière. Preuve Seule la dernière assertion ne figure pas dans [Vig4]. Elle dit que si π A est une repr´esentation automorphe de H(A) dont la partie finie est O E entière, il existe une extenstion finie E  /E telle que l’image de π A est une repr´esentation automorphe de G L(n, A) de partie finie O E  -entière. Ceci se d´eduit des trois propri´et´es suivantes (A.4): – La correspondance locale de Hx à G L(n, Fx ) est l’application identique si Hx  G L(n, Fx ), donc pour toute place x de k sauf un nombre fini. – La correspondance locale de Hx à G L(n, Fx ) respecte le caractère central. – Lorsque x est une place finie de k telle que Dx est une algèbre de division, une Q -repr´esentation irr´eductible D∗x = H(Fx ) ou une Q repr´esentation de Speh ou de Steinberg de G L(n, k x ) est entière si et seulement si son caractère central est entier. Je ne sais pas si l’on peut choisir le même corps E  = E. ♦ On associe donc à π AD une repr´esentation automorphe Π A IrrQ G L(n, A) v´erifiant:

∈

1) Π A est cuspidale car Πx  πxD est cuspidale pour les places x de k divisant vo (d´ecompos´e dans k). Les composantes Πx pour x ramifi´ee dans D sont donc de Steinberg.

204

M.-F. Vign´eras

2) Si k = F  est un corps de nombres, l’image ΠcA de Π A par la conju˜ A de gaison complexe c de k/F est isomorphe à la contragr´ediente Π Π A . Ceci r´esulte du th´eorème de multiplicit´e 1 pour les repr´esentations automorphes cuspidales de G L(n, A) et de (4.1) 2). 3) Πx  st est cohomologique pour toute place infinie x de k si k est un corps de nombres. 4) Π A est entière si k = F est un corps de fonctions. Si k = F  est un corps de nombres, la partie finie de Π A est entière, mais on ne le sait pas encore. On sait cependant que Π S∪T est entière, car π S∪T est entière. 4.3 Pour toute place finie x : k → k x de k, soit k x une clôture alg´ebrique s´eparable de k x et x : k → k x une place de k au-dessus de x. On identifie canoniquement le groupe de Galois Gal(k x /k x ) avec le groupe de d´ecomposition de x. Une repr´esentation -adique de Gal(k/k) de dimension n est un homomorphisme continu Σ : Gal(k/k) → G L(n, E) où E/Q est une extension finie, telle que pour toute place finie x de k, sauf un nombre fini, la restriction Σx de Σ à Gal(k x /k x ) est non ramifi´ee (triviale sur le sous-groupe d’inertie). Comme Σ est continu et Gal(k/k) est compact, l’image de Σ est un sous-groupe compact de G L(n, E). Donc l’image de Σ est contenue dans un conjugu´e de G L(n, O E ). Pour toute place finie x de k, la correspondance de Hecke est la bijection ScuspQ G L(n, k x ) → IrrQ Wkx (n) qui associe à π σ˜ ⊗ ν (1−n)/2 pour σ ∈ IrrQ Wkx (n), π ↔ σ en correspondance de Langlands. On lui associe une correspondance de Hecke semi-simple (1.3). L’un de ses m´erites est d’être e´ quivariant par Aut Q ; la correspondance de Langlands sur Q n’est e´ quivariante que par les automorphismes qui respectent q 1/2 (donc est e´ quivariante par Aut Q seulement si q est un carr´e). Lorsque k est un corps de nombres, on sait [HT Theorem C] associer à Π A construite en 4.2 une repr´esentation continue Σ de Gal(k/k) de dimension finie m (multiple de n et conjecturalement e´ gal à n) compatible avec les correspondances de Hecke locales semi-simples ([LRS], [HT], [He1]) à toutes les places finies de k ne divisant pas . 4.4 Th´eorème [HT Theorem 11.11] Soit k une extension quadratique totalement imaginaire d’un corps de nombres totalement r´eel F, A les adèles de k, et Π A ∈ IrrQ G L(n, A) automorphe v´erifiant les conditions suivantes:

Correspondance de Langlands semi-simple pour G L(n, F) modulo 
= p

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Π A est de Steinberg en un place finie, La contragr´ediente de Π A est isomorphe à l’image de Π A par la conjugaison complexe c ∈ Gal(k/F), Π∞ est cohomologique. Il existe alors un entier a ≥ 1, une extension finie E/Q et une repr´esentation -adique de Gal(k/k) de dimension na Σ : Gal(k/k) → G L(na, O E ) telle que pour toute place finie x de k ne divisant pas , la semisimplification de Σx est aσx où σx est l’image de Πx par la correspondance de Hecke semi-simple. Preuve Seule l’existence de E ne figure pas dans [HT Theorem 11.11]. Elle provient de la construction de Σ dans la cohomologie de la vari´et´e de Kottwitz-Shimura associ´ee à un groupe unitaire sur F (non compact à l’infini, de type (1, n − 1)) et de propri´et´es de la cohomologie (see [BR 2.3, 2.4 page 538–539]). ♦ Comme la correspondance de de Hecke semi-simple (1.4) respecte la propri´et´e d’être entière, et que Σ est entière on en d´eduit que Π A est entière. Lorsque F est un corps de fonctions, le th´eorème analogue est annonc´e par Lafforgue [La Introduction, VII.4]. 4.5 Th´eorème Soit k un corps de fonctions d’adèles A et soit Π A ∈ IrrQ G L(n, A) automorphe cuspidale entière. Il existe une extension finie E/Q et une repr´esentation -adique Σ : Gal(k/k) → G L(n, O E ) telle que pour toute place v de F ne divisant pas , la semi-simplification de Σv est l’image de Πv par la correspondance de Hecke semi-simple. Le cas trait´e par Laumon-Rapoport-Stuhler pour H (le groupe multiplicatif d’une algèbre de division) au lieu de G L(n) nous suffit. L’´enonc´e de [LRS] dit seulement que la correspondance globale est compatible presque partout aux correspondances locales. On sait que l’on peut en d´eduire la compatiblit´e à toutes les places locales. La d´emonstration doit figurer dans le texte de Lafforgue. Posons m = n dans le cas “corps de fonctions”, et m = na dans le cas “corps de nombres”. On d´eduit de ce chapitre le r´esultat suivant (4.6) qui permet de d´emontrer le lemme 5.1. L’´enonc´e de (4.6) peut être e´ videmment am´elior´e.

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4.6 Th´eorème Soit F un corps global d’adèles A et G un groupe r´eductif sur F comme en (3.14) avec l’hypothèse (4.2). Soit π A ∈ IrrQ G(A) automorphe, triviale à l’ infini, entière, cuspidale en une place finie vo de F telle que G(Fvo )  G L(n, Fvo ). Il existe une extension finie E/Q et une repr´esentation -adique Σ : Gal(F/F) → G L(m, O E ) telle que si v est une place finie de F ne divisant pas  et v = vo ou πv n’est pas ramifi´ee, la semi-simplification de Σv est un multiple de l’image de πv par la correspondance de Hecke semi-simple. L’intêret de (4.6) pour deux repr´esentations automorphes faiblement congruentes modulo  provient du th´eorème de Chebotarev (pour un corps de nombres [S 2.2], pour un corps de fonctions [J]) qui implique [DS lemme 3.2 page 513]: 4.7 Proposition Soit R le corps des nombres complexes ou une extension finie de Q avec sa topologie naturelle1 , ou un corps fini avec la topologie discrète. Soient k un corps global, T un ensemble de places de k de densit´e 1 et soit Σ, Σ : Gal(k/k) → G L(m, R) deux R-repr´esentations semsi-simples continues de Gal(k/k) non ramifi´ees en T et telles que Σx  Σx pour tout x ∈ T . Alors Σ, Σ sont isomorphes. 5 Preuve du th´eorème faible 2.1 Soient F un corps local non archim´edien et π ∈ ScuspQ G L(n, F) une repr´esentation entière supercuspidale de type e´ tendu de Bushnell-Kutzko Λ ∈ IrrQ K (K contient le centre). 5.1 Lemme Soit Λ ∈ IrrQ K entière telle que (Λ, Λ ) v´erifient (3.5.2). Alors il existe π  ∈ IrrQ G L(n, F) entière tel que a) π  | K contient Λ , b) r σ = r σ  si σ, σ  ∈ IrrQ W F (n) sont les images de π, π  par la bijection de Langlands locale. Preuve 1: Choix de G On choisit un corps global dont le compl´et´e en une place finie vo est isomorphe à F. Si la caract´eristique est 0 on choisit le corps global totalement r´eel et une extension quadratique totalement imaginaire de ce corps dans laquelle vo est d´ecompos´ee (3.12.1). On change imm´ediatement les 1

Naturellement il n’existe pas d’isomorphisme topologique Q  C

Correspondance de Langlands semi-simple pour G L(n, F) modulo 
= p

207

notations pour la preuve : le corps global est not´e F, le corps local du lemme devient Fvo , l’extension quadratique est not´ee F  . On choisit G comme en (3.14): a) si la caract´eristique est p > 0, alors G est d´efini par le groupe multiplicatif d’une algèbre de division D de centre F, de dimension n 2 sur F, telle que Dv est une algèbre de division pour toute place v de F ramifi´ee dans D, et vo n’est pas ramifi´e dans D [W III §6 th.4]. b) si la caract´eristique est 0, alors G est le groupe unitaire sur F compact à l’infini associ´e à: – une algèbre de division D de centre F  , de dimension n 2 sur F  , telle que Dx est une algèbre de division pour toute place x de F  ramifi´ee dans D, les deux places de F  au-dessus de vo ne sont pas ramifi´ees dans D, – un anti-automorphisme J de D induisant la conjugaison complexe c ∈ Gal(F  /F) sur F  . 2: Choix de π A En tordant par un caractère non ramifi´e (la correspondance de Langlands est compatible avec la torsion par un tel caractère), on se ramène au cas où le caractère central ω de π est d’ordre fini, et (si la caract´eristique est p > 0) trivial sur un sous-groupe central Γo  Z de G vo . Soit X l’ensemble des places finies de F. On choisit x ∈ X − vo tel que G(Fx )  G L(n, Fx ), λx ∈ IrrQ K x un type de Bushnell-Kutzko dans G(Fx ) (non e´ tendu, K x est compact, tout πx ∈ G x tel que πx | K x contient λx est cuspidale et unique modulo un caractère non ramifi´e), π A ∈ IrrQ G(A) automorphe, entière, triviale à l’infini, de composantes locales πvo  π en vo , πx | K x contient λx . C’est possible par (3.12.2) et (3.12.3). 3: Choix de π  Soient v1 ∈ X, v1
∈ {vo , x}, T l’ensemble des places de X − {vo , x, v1 } non ramifi´ees dans π A , π A ∈ IrrQ G(A) automorphe, entière, triviale à l’infini, T -congruente à π A modulo  et telle que πv o ⊗ πx restreint à K × K x contient Λ ⊗ λx . C’est possible par (3.6). Donc πx est cuspidale car sa restriction à K x contient λx . On pose π  := πv o . Par construction Λ ⊂ π  | K . 4: Repr´esentations -adiques Σ, Σ On note k = F (si la caract´eristique est p > 0) et k = F  (si la caract´eristique est 0) et k une clôture alg´ebrique de k. On associe à π A , π A des des repr´esentations -adiques Σ, Σ : Gal(k/k) → G L(m, O E ) comme en (4.6), le rôle de vo dans (4.6) est jou´e maintenant par x. Les semisimplifications des r´eductions modulo  de Σx , Σx sont isomorphes pour tout x ∈ T . Par (4.7) les semi-simplifications de Σ, Σ ont la même r´eduction

208

M.-F. Vign´eras

modulo . Donc r σ = r σ  si σ, σ  ∈ IrrQ W Fvo (n) sont les images de π, π  par la bijection de Langlands locale. ♦ 5.2 La r´eduction modulo  d’une Q -repr´esentation irr´eductible entière de W F de dimension n, et le support supercuspidal de la r´eduction modulo  d’une Q -repr´esentation irr´eductible de G L(n, F) ont des formes analogues et sp´eciales. Soient π ∈ ScuspQ G L(n, F) et σ ∈ IrrQ W F (n) entières. On note t(π) l’ordre du groupe des caractères non ramifi´es qui fixent π et ε(π) l’ordre multiplicatif de q t(π) modulo . On d´efinit t(σ), ε(σ) de façon analogue. On rappelle que ν est le module (1.8.1). Th´eorème. Soient π ∈ ScuspQ G L(n, F), σ ∈ IrrQ W F (n) entières. 1) Il existe π1 ∈ ScuspF G L(a, F), σ1 ∈ IrrF W F (c), n = ab = cd telles que sc(r π) = π1 ⊗ (1 + ν + . . . + ν b−1 ),

r σ = σ1 ⊗ (1 + ν + . . . + ν d−1 ).

2) Si b
= 1, alors b est une puissance de  multipli´ee par ε(π). 3) On a π1 ⊗ ν i  π1 si et seulement si i ∈ Zε(π). 4) Inversement pour tout (b, π1 ) v´erifiant les conditions 2) et 3), il existe π v´erifiant 1). 5) Les propri´et´es 2), 3), 4) sont vraies en remplacant (π, ε(π), b, π1 ) par (σ, ε(σ), d, σ1 ). Preuve [Vig5], [Vig3].

♦

La longueur b de sc(r π) se voit sur la partie finie du type e´ tendu Λ de Bushnell-Kutzko de π. On e´ crit Λ = κ ⊗ τ ∈ IrrQ K comme en (3.11.3). Alors b est la longueur du support supercuspidal sc(r τ) = bτ1 de la r´eduction modulo  de τ. 5.3 Preuve du th´eorème faible (2.1). Dor´enavant F est un corps local non archim´edien de caract´eristique r´esiduelle p
= . Soit π ∈ ScuspQ G L(n, F), σ ∈ IrrQ W F (n), π ↔ σ entières en correspondance de Langlands. Montrons (i). Soit π  ∈ ScuspQ G L(n, F), σ  ∈ IrrQ W F (n), π  ↔ σ  entières en correspondance de Langlands telle que r π = r π  . Par (3.11.1) il existe des types de Bushnell-Kutzko e´ tendus Λ, Λ ∈ IrrQ K contenus dans π, π  tels que r Λ = r Λ . Par le lemme 5.1 on a r σ = r σ  . On obtient la partie (i).

Correspondance de Langlands semi-simple pour G L(n, F) modulo 
= p

209

Montrons (ii). Par (3.11.5), on peut choisir (3.11.3) Λ = κ⊗τ  ∈ IrrQ K avec τ  g´en´erique, sc(τ  ) = bτ1 de longueur b, sc(r τ  ) = sc(r τ) = bτ1 , (Λ, Λ ) v´erifient (3.5.2). Alors on peut appliquer le lemme (5.1) et choisir π  ∈ IrrQ G L(n, F), σ  ∈ ModQ W F (n), sc(π  ) ↔ σ  en correspondance de Langlands, telle que π  contient Λ , et r σ = r σ  . La longueur de sc(π  ) est e´ gale à celle de sc(τ  ) (3.11.3) et à la longueur de σ  . La longueur de σ  est donc b. La longueur de σ  est e´ videmment inf´erieure ou e´ gale à la longueur de r σ  . Donc b est inf´erieur ou e´ gal à la longueur de r σ . Supposons r σ irr´eductible. Alors b = 1 et r π est supercuspidale. Montrons (iii). On suppose r π non supercuspidale. On veut montrer sc(r π) ↔ r σ par la correspondance semi-simple sur F (2.5.1). On va montrer: Lemme Soit π  comme dans la preuve de (ii). Alors sc(r π  ) ↔ r σ et r π est isomorphe à un sous-quotient de r π  . Cela implique (iii), car sc(r π  ) = sc(r π) si r π  a un sous-quotient isomorphe à r π (1.5). Preuve La longueur du support supercuspidal sc(π  ) est e´ gale à la longueur b de sc(r π). On note n = ab. Par (3.11.3) il existe des caractères non ramifi´es χi , 1 ≤ i ≤ b − 1 de F ∗ , identifi´es par le d´eterminant à des caractères de G L(a, F), et π1 ∈ ScuspQ G L(a, F) tel que sc(π  ) = π1 ⊗ (id +χ1 + . . . . . . + χb−1 ). La repr´esentation r π1 est supercuspidale car r τ1 = τ1 est supercuspidale (3.11.2). Soit π1 ↔ σ1 ∈ IrrQ W F (a). Alors r σ1 est irr´eductible par le lemme (2.3). Par d´efinition de la F -correspondance de Langlands sur les supercuspidales (2.5) r π1 ↔ r σ1 . Par d´efinition de la correspondance de Langlands semi-simple sur Q on a σ  = σ1 ⊗ (id +χ1 + . . . + χb−1 ). La longueur de r σ  est e´ gale à b. On a r σ = r σ  donc la longueur de r σ est e´ gale à b. On a r σ = σ1 ⊗ (id +ν + . . . . . . + ν b−1 ) (5.2). On peut choisir π1 de sorte que r σ1 = σ1 et r χi = ν i pour 1 ≤ i ≤ b − 1. On a donc r (scπ  ) ↔ r σ. La fin du lemme se d´eduit des propri´et´es des types dans l’induction parabolique. On a r (scπ  ) = sc(r π  ) = (r π1 ) ⊗ (id +ν + . . . . . . + ν b−1 ). On considère les induites paraboliques (normalis´ees)   Ib (r π1 ) := r π1 × . . . × r π1 ⊗ ν b−1 et Ib (τ1 ) := ×b τ1 sur F . Par d´efinition du support supercuspidal d’une ´ repr´esentation V ∈ IrrF G L(n, F) les propri´et´es suivantes sont equivalentes

210

M.-F. Vign´eras

a) sc(V ) = r (scπ  ) b) V est un sous-quotient de Ib (r π1 ). On sait que 1) Ib (r π1 ) a un (unique) sous-quotient irr´eductible cuspidal Vo (par la th´eorie des types). 2) r π  est contenu dans la semi-simplification de Ib (r π1 ) (la r´eduction modulo  commute avec l’induction parabolique). 3) r Λ est contenu dans la semi-simplification de la restriction à K de r π  (car τ est contenu dans r τ  ). 4) L’action de K o (d´efini comme en (3.11)) sur la partie η-isotypique (3.11) de Ib (r π1 ) est isomorphe à r κ ⊗ Ib (τ1 ). 5) Tout sous-quotient irr´eductible de Ib (r π1 )) contient r η. Les propri´et´es 4) et 5) se d´eduisent de [Vig1 IV.5.4]. Les propri´et´es de Ib (r π1 ) ci-dessus impliquent que le type e´ tendu de Vo ne peut être que r Λ, i.e. Vo = indGK r Λ = r π. En effet Vo e´ tant cuspidale et contenue dans Ib (r π1 ), sa restriction à K o contient r κ ⊗r τ by 5), 4). Si le type e´ tendu de Vo e´ tait diff´erent de Λ, alors la propri´et´e 3) impliquerait que la multiplicit´e de r κ ⊗ r τ dans Ib (r π1 ) restreint à K o serait > 1. C’est impossible par 4) et par la th´eorie de Clifford, puisque r τ est de multiplicit´e 1 dans Ib (τ1 ). La propri´et´e 3) implique que Vo donc r π, est un sous-quotient de r π  . ♦ Appendice A : Produit tensoriel et repr´esentations entières Soit G un groupe localement profini, A un anneau commutatif intègre de corps des fractions R. On notera par K un sous-groupe ouvert compact de G. A.1 D´efinitions Soit V un R-espace vectoriel muni de la topologie discrète. Une R-repr´esentation π de G d’espace V est un homomorphisme continu π : G → Aut R V dans le groupe des R-automorphismes de V . (a) π est dite admissible si le R-espace vectoriel V K des vecteurs de V fixes par un sous-groupe ouvert quelconque K de G est de dimension finie. (b) π est dite A-entière s’il existe un A-module projectif L muni d’une action de G telle que la R-repr´esentation de G sur l’extension des scalaires R ⊗ A L est isomorphe à π. Si V est un RG-module admisible (resp. de type fini), on demande aussi que L K soit un A-module de

Correspondance de Langlands semi-simple pour G L(n, F) modulo 
= p

211

type fini pour tout sous-groupe ouvert compact K de G (resp. L soit un AG-module de type fini). On dit que L est une A-structure de π. Lorsque A est un anneau principal, un A-module projectif est libre [Bki A VII.14 Cor.2, Cor.3], un module sans torsion de type fini est libre [Bourbaki A VII.19 Corollaire 2]. Lorsque A est un anneau principal local complet, un A-module L ne contenant pas de droite est libre [Bourbaki A VII.58, ex.6 a)]. (c) L’algèbre de Hecke de G relative à K est la Z-algèbre de convolution H(G, K ) des doubles classes de G modulo K , isomorphe à EndG indGK i Z . Par extension des scalaires on obtient une algèbre de Hecke sur tout anneau commutatif. L’algèbre H(G, K ) agit naturellement sur V K par KgK.v = x.v x∈KgK/K

pour tout g ∈ G et v ∈ V . K

A.2 Dimension d´enombrable 1) Si G admet un système fondamental de voisinages de l’unit´e au plus d´enombrable, une R-repr´esentation admissible V de G est de dimension au plus d´enombrable. 2) Si de plus V a une A-structure L, et si A est principal alors L K est un facteur direct de L pour tout sous-groupe ouvert compact K de G. 3) Si G/K est au plus d´enombrable pour tout sous-groupe ouvert compact K de G, alors une R-repr´esentation W de G de type fini est de dimension au plus d´enombrable. Preuve 1) Si (K n )n∈N est une suite d´ecroissante de sous-groupes ouverts compacts formant un système fondamental de voisinages de l’unit´e, et V ∈ Mod R G, alors V = ∪n∈N V K n et il existe une base B = ∪n∈N Bn de V telle que ∪m≤n Bm est une base de V K n pour tout n. Une union d´enombrable d’ensemble finis est d´enombrable. 2) Le quotient L K n /L K n+1 est sans torsion, de type fini car V est admissible, libre car A est principal. Par induction L = ⊕n∈N L n où L K n = ⊕m≤n L m pour tout n ∈ N. On peut supposer que K est l’un des K n . 3) Si W = RGw1 +. . . RGwr alors il existe un sous-groupe ouvert compact K qui fixe w1 , . . . , wr et la dimension de W est au plus d´enombrable si G/K est au plus d´enombrable. ♦ A.3 Produit de deux groupes Soient G 1 , G 2 deux groupes localement profinis. On suppose que G = G 1 × G 2 . Soient π1 (resp. π2 ) une Rrepr´esentation de G 1 (resp. G 2 ). Alors π = π1 ⊗π2 est une R-repr´esentation de G. Lemme (1) Si π1 et π2 sont A-entières, alors π est A-entière. (2) On suppose A principal et π irr´eductible. Si π est A-entière, alors π1 et π2 sont A-entières.

212

M.-F. Vign´eras

Preuve (1) Supposons que L 1 , L 2 sont des A-structures de π1 , π2 ; alors L = L 1 ⊗ L 2 est une A-structure de π. (2) R´eciproquement, supposons que L est une A-structure dans π = π1 ⊗π2 . Soit v1 ∈ π1 , v2 ∈ π2 non nuls; il existe a ∈ A tel que v := av1 ⊗v2 ∈ L et v
= 0. Le AG 1 -module L 1 engendr´e par v est contenu dans L; comme A est principal et L est un A-module libre, L 1 est un A-module libre. Comme π1 est irr´eductible, v engendre une R-repr´esentation de G isomorphe à π1 . Donc L 1 est une A-structure de π1 . Par sym´etrie π2 a une A-structure. ♦ A.4 Produit d´enombrable restreint de groupes Soient N l’ensemble des entiers naturels, une suite de groupes localement profinis (G n )n∈N , un entier n o ∈ N, et une suite de sous-groupes ouverts compacts K no de G n pour n ≥ n o . On suppose que chaque groupe G n admet un système d´enombrable de voisinages de l’unit´e Ωn form´e de sous-groupes ouverts compacts et que G n /K n est d´enombrable pour tout K n ∈ Ωn et n ∈ N. Ainsi (A.2) toute R-repr´esentation de G n qui est admissible ou de type fini est de dimension au plus d´enombrable. Notons G=

 

Gn

K no

le produit restreint topologique de (G n )n∈N par rapport aux sous-groupes (K no )n≥no [F]. Un système fondamental de voisinages de l’unit´e de G form´e de sous-groupes ouverts compacts est   Ω={ Kn K no , m ≥ n o , K n ∈ Ωn }. n≤m

n>m

Ω est d´enombrable, car: une partie d’un ensemble d´enombrable est d´enombrable, un produit fini d’ensembles d´enombrables est d´enombrable [Bki ER.33 7-7], une union d´enombrable d’ensembles d´enombrables est d´enombrable [Bki ER.34 7-9]. De même G/K est d´enombrable pour tout K ∈ Ω. Ainsi (A.2) toute R-repr´esentation lisse admissible ou de type fini de G est de dimension au plus d´enombrable. Pour tout n ≥ n o , on suppose que le pro-ordre de K no est inversible dans R et que les modules simples de la R-algèbre de Hecke H(G, K no ) ⊗ R sont de dimension 1. Une R-repr´esentation irr´eductible π de G n est dite non ramifi´ee si elle contient un vecteur K no -invariant e
= 0. La droite Re o est alors π K n [Vig3 I.6]. Si π oadmet une A-structure L, et si A est principal, on peut choisir e tel que L K n = Ae, le A-module AG n e contenu dans L est libre. C’est une A-structure de la repr´esentation irr´eductible πn . Si le pro-ordre de K no est inversible dans A, ou si A est principal, Ae est un facteur direct de AG n e.

Correspondance de Langlands semi-simple pour G L(n, F) modulo 
= p

213

Th´eorème On suppose que G admet un sous-groupe ouvert compact de pro-ordre inversible dans R. (1) Chaque R-repr´esentation irr´eductible admissible π de G est un produit tensoriel restreint π = ⊗en πn de repr´esentations πn ∈ Irr R G n presque toujours non ramifi´ees, par rapport à des e´ l´ements K no -invariants en
= 0 de πn . Les facteurs πn sont uniques modulo e´ quivalence (ils ne d´ependent pas du choix des en ). (2i) Supposons A principal. Alors π est A-entière si et seulement si πn est A-entière pour tout n ∈ N. Preuve (1) On choisit une suite d´ecroissante de sous-groupes ouverts compacts de pro-ordres inversibles dans R, formant un système fondamental de voisinages de l’unit´e et on continue comme dans [F]. (2) Supposons que π est A-entière. Soit m un entier, on pose π m = ⊗n
=m πn . On a π = πm ⊗ π m . On applique alors (A.3) πm est A-entière. R´eciproquement, pour tout n ∈ N on choisit une A-structure L n de πn de base (ekn )k=0,... telle que pour n ≥ n o assez grand eon est K no -invariant et L n = AG n eon . Le produit restreint L = ⊗eon L n est une A-structure de π. La v´erification est facile. ♦ Appendice B : Repr´esentations non ramifi´ees Soient F un corps local non archim´edien, p sa caract´eristique r´esiduelle, G le groupe des F-points d’un groupe r´eductif connexe G sur F, et R un corps alg´ebriquement clos de caract´eristique l
= p. Nous e´ tudions les R-repr´esentations irr´eductibles de G ayant un vecteur invariant par un sousgroupe compact sp´ecial ou par un sous-groupe d’Iwahori. B.1 Notations On note O F l’anneau des entiers de F, q l’ordre du corps r´esiduel, A = Z[q −1/2 ]. S le groupe des F-points d’un d’un tore maximal F-d´eploy´e S de G, et M celui du centralisateur M dans G de S. Dans le cas d´eploy´e S = M, dans le cas quasi-d´eploy´e M est un tore. M le O F -sch´ema canonique en groupes lisses de fibre g´en´erique M, et Mo sa composante connexe; M = Mo si G est simplement connexe. Le groupe M(O F ) = Mo est le sous-groupe ouvert compact maximal de M. Le quotient Λ := Mo \M est isomorphe à Zn où n ≥ 0 est le F−rang de G. N le groupe des F-points du normalisateur dans G de S, B celui d’un Fgroupe parabolique B de Levi M, U celui du radical unipotent de B, U celui de l’oppos´e de B. Le quotient W := N/M est le groupe de Weyl. K un sous-groupe ouvert compact maximal sp´ecial [Tits 1.9], G = BK la d´ecomposition d’Iwasawa [Tits 3.3.2]. H := EndG indGK idZ la Z-algèbre de Hecke des doubles classes de G modulo K , commutative [Tits 3.3.3], dite algèbre de Hecke sph´erique.

214

M.-F. Vign´eras

I un sous-groupe d’Iwahori “maximal”, contenant M(O F ), I = (U ∩ I )(M ∩ I )(U ∩ I ) la d´ecomposition d’Iwahori, G = INI est la d´ecomposition de Bruhat [Tits 3.3.3 page 51, 3.7 page 54]. L’intersection avec M du sous-groupe d’Iwahori “minimal” ou “connexe” est Mo (O F ). Dans la litt´erature, la repr´esentation triviale du groupe d’Iwahori connexe est un type de niveau 0, non celle de l’Iwahori maximal lorsque M n’est pas connexe. H(G, I ) := EndG indGI idZ la Z-algèbre de Hecke des doubles classes de G modulo I , dite algèbre de Hecke affine ou algèbre d’Iwahori, et Z(G, I ) son centre. La structure de H(G, I ) a e´ t´e d´etermin´ee par Borel lorsque G est semi-simple [B2 3.2] (Morris [M2] pour le sous-groupe d’Iwahori connexe). Borel et Morris ont montr´e que les doubles classes IgI sont inversibles dans H(G, I )[1/ p] pour tout g ∈ G. Nous admettrons que cette propri´et´e reste vraie pour G r´eductif, I maximal. E λ = Im I, δ B (λ) = δ B (m) si m ∈ M a pour image λ ∈ Λ, et δ B est le module de B. Mod R G la cat´egorie des R-repr´esentations de G, Irr R G les repr´esentations irr´eductibles. i GB : Mod R M → Mod R G l’induction parabolique normalis´ee de B à G. indGK , indGI l’induction à support compact de K, I à G. f C = f ⊗ 1C : AC = A ⊗Z C → AC pour tout anneau commutatif C et tout morphisme d’algèbres f : A → A . On rappelle que l’on dit que l’on est dans le cas banal si les pro-ordres des sous-groupes compacts de G sont inversibles dans R. B.2 Le th´eorème principal Les groupes d’Iwahori jouissent de propri´et´es remarquables, non v´erifi´ees par les groupes sp´eciaux K , et il est souvent plus opportun de ne pas consid´erer uniquement les repr´esentations π ∈ Irr R G telles que π K
= 0, appel´ees commun´ement non ramifi´ees ou sph´eriques, mais plus g´en´eralement celles ayant un vecteur non nul invariant par un groupe d’Iwahori. On perd cependant la multiplicit´e 1. On dit que m ∈ M (ou que l’image λ de m dans Λ) est positif ou dominant si m(U ∩ K  )m −1 ⊂ U ∩ K  et m −1 (U ∩ K  )m ⊂ U ∩ K  pour tout (un) sous-groupe ouvert compact K  de G. Th´eorème (B.2.1) L’application π → π I induit une bijection entre les repr´esentations π ∈ Irr R G telles que π I
= 0 et les modules simples de H(G, I ) R . (B.2.2) Le foncteur des U-coinvariants π → πU : Mod R G → Mod R M induit un isomorphisme: π I  (πU ) M∩I .

Correspondance de Langlands semi-simple pour G L(n, F) modulo 
= p

215

(B.2.3) L’application lin´eaire telle que λ → δ B (λ)E λ pour λ−1 ∈ Λ dominant s’´etend en un homomorphisme d’algèbres 1/2

t B : A[Λ] → H(G, I ) A pour lequel l’isomorphisme de (B.2.2) est R[Λ])-´equivariant. Preuve (B.2.1) Si R = C [Vig3 I.6.3]. Pour tout R si le groupe d’Iwahori e´ tait “minimal” [Vig2 I.5], mais nous avons choisi le “maximal”. On doit donc v´erifier que indGI id R est quasi-projective. Cela r´esulte du lemme du paragraphe 1.3 de [Vig2]2 , car si I p est le pro-p-sous-groupe maximal distingu´e dans I , on a I = I p Mo , N normalise Mo et M ∩ I p , et G = I p NI p . (B.2.2) et (B.2.3) Pour R = C [M2 3.7, 4.12], tout R [Vig2 II.7, II.10], en utilisant l’inversibilit´e des doubles classes dans H(G, I ) ♦ La propri´et´e (B.2.3) est à l’origine de la description par Bernstein du centre Z(G, I ) A de l’algèbre de Hecke H(G, I ) A [L 8.1]. Comme tout e´ l´ement m ∈ M est le quotient m = m 1 (m 2 )−1 de deux e´ l´ements d’inverses dominants, t B est explicite, on a t B (λ) =



1/2

δ B (λ1 )E λ1

−1

1/2

δ B (λ2 )E λ2 .

Si m, m 1 , m 2 ont pour images λ, λ1 , λ2 dans Λ. Le groupe de Weyl agit sur M et laisse stable Mo . Il agit donc sur A[Λ] et l’on considère la restriction de t B à l’algèbre A[Λ]W . Sous certaines conditions, on sait que l’image de A[Λ]W par t B est le centre Z(G, I ) A de H(G, I ) A [L 8.1], mais le cas g´en´eral n’a pas e´ t´e v´erifi´e. Dans le cas banal, on a le th´eorème ci-dessous e´ tendu par Dat [Dat2] [Dat1 2.1] à certains cas non banaux. Th´eorème (suite dans le cas banal) (B.2.4) La restriction de t B à R[Λ]W ne d´epend pas de B et fournit un isomorphisme d’algèbres t : R[Λ]W  Z(G, I ) R . (B.2.5) On a un G × R[Λ]-isomorphisme R[I \G]  i GB R[Λ] si R[Λ] agit sur R[I \G] via t B . 2

remplacer T ∩ T par T ∩ K

216

M.-F. Vign´eras

Remarque Supposons R quelconque. 1) On d´eduit de (B.2.4) que la restriction de t B à A[Λ]W est ind´ependante de B, injective et que son image est dans le centre Z(G, I ) A . On la note toujours t. Ceci est valable lorsque A est remplac´e par R. On pose Z R = t(R[Λ]W ). Par sp´ecialisation q 1/2 → 1, on peut probablement en d´eduire comme Lusztig [L 8.1] que Z R est le centre Z(G, I ) R . L’isomorphisme (B.2.5) est vrai pour G = G L(n, F) ou plus g´en´eralement sous les conditions [Dat1 4.3]: Tout w ∈ W a un repr´esentant n w ∈ K ∩ N et (a)

K = ∪w∈W In w I

(b)

φ ⊗ f " → t B (φ) f : R[Λ] ⊗ H(K, I ) R → H(G, I ) R

est un isomorphisme de R-espace vectoriels. De même avec le plongement t B en permutant f, φ. Dat donne plus de conditions [Dat1 3.3, 4.1], mais la condition K ∩ IBI = I r´esulte de (a), et H(K, I ) R est une algèbre sym´etrique pour la “valeur en 1” [Vig3 3.6]3 . 2) La repr´esentation triviale de l’Iwahori I sur R n’est pas g´en´eralement un type au sens de Bushnell-Kutzko : la cat´egorie des R-repr´esentations V de G par V I n’est pas stable par sous-quotients (on a le même r´esultat si l’on considère l’Iwahori minimal), autrement dit l’application V → V I ne fournit pas une e´ quivalence de la cat´egorie de ces repr´esentations dans celle des H(G, I ) R -modules. Elle donne simplement une bijection entre les objets simples de ces deux cat´egories par (B.2.1). Un R-caractère χ de M trivial sur Mo est dit non ramifi´e. Les R-caractères non ramifi´es de M s’identifient aux caractères d’algèbres R[Λ] → R. B.3 Corollaire 1) Si π ∈ Irr R G et π I
= 0, alors il existe un caractère non ramifi´e χ : M → R∗ unique modulo W tel que π ⊂ i GB χ. Si π K
= 0 alors dim π K = 1. 2) Pour tout caractère non ramifi´e χ : M → R∗ , la repr´esentation i GB χ a un sous-quotient irr´eductible π tel que π K
= 0. Il est unique dans le cas banal où pro-ordre de K est inversible dans R. Preuve L’existence de χ provient de (B.2.2) et du fait que πU est un R[M]module de type fini. Le support cuspidal de π est χ, et χ est unique modulo W (1.2). La d´ecomposition d’Iwasawa G = BK implique que (i GB χ) K = R f , pour f ∈ i GB χ, f(bk) = χ(b) pour tout k ∈ K, b ∈ B. Donc si π ⊂ i GB χ on obtient π K = (i GB χ) K . La sous-repr´esentation RG f de i GB χ a un 3

remplacer b∗ par b dans l’´enonc´e

Correspondance de Langlands semi-simple pour G L(n, F) modulo 
= p

217

quotient irr´eductible non ramifi´e. L’unicit´e provient de la semi-simplicit´e des repr´esentations de K . ♦ Remarque Comme χ est supercuspidal, π ⊂ i GB χ a un support supercuspidal e´ gal à son support cuspidal, la W-orbite de χ (1.2). B.4 Le caractère de Satake Pour toute repr´esentation π telle que π K
= 0, l’algèbre de Hecke sph´erique H R agit sur la droite π K par un caractère λπ : H → R. appel´e le caractère de Satake de π. On peut remplacer π par i GB (χ) pour un caractère χ : M → R∗ non ramifi´e. Il est clair que λπ = λχ si π est un sous-quotient de i GB χ. Proposition λχ = λχ  si et seulement si χ, χ  sont conjugu´es modulo W. Dans le cas banal, on peut donner deux d´emonstrations de ce r´esultat bien connu. La première utilise que i GB χ a un unique sous-quotient sph´erique, et (B.2.1) est vrai pour K [Vig3 I.6.3]. Dans le cas non banal ces deux propri´et´es sont fausses. En utilisant (B.3.1), on en d´eduit la proposition. On a une seconde d´emonstration qui est valable dans tous les cas. On choisit une mesure de Haar sur U à valeurs dans A et l’on d´efinit comme dans le cas complexe une application lin´eaire [C 4.2 (19) page 146] S : H A → A[Λ] (l’isomorphisme de Satake). La même preuve que pour C et le fait que c(λ, λ) (loc. cit.) est une puissance de q −1/2 , ce qui se d´eduit des calculs de Bruhat et Tits [BT (4.4.4) (ii) page 80] montrent que: a) S induit un isomorphisme H A  A[Λ]W . b) Le caractère de R[Λ]W induit par χ est e´ gal à λχ ◦ S−1 . b) est bien connu pour C [C §4.3, 4.4], cela l’implique pour F par r´eduction modulo , et par densit´e pour tout R. Deux caractères de R[Λ] ont la même restriction à R[Λ]W si et seulement s’ils sont conjugu´es. C’est un r´esultat g´en´eral [Bki AC V §2 n o 2 co. du th.2]: (*) Soit A est un anneau commutatif muni d’une action d’un groupe fini H. Alors A est entier sur l’anneau des invariants A H et deux id´eaux premiers de A au-dessus d’un même id´eal premier de A H sont conjugu´es par H. On en d´eduit la proposition.

♦

218

M.-F. Vign´eras

Remarque Reprenons l’exemple (1.8.3): G = G L(2, Q5 ),  = 3. La repr´esentation naturelle de G sur C ∞ (B\G, F ) est sans multiplicit´es, ind´ecomposable de longueur 3 avec une repr´esentation cuspidale J (St) au milieu, contient le caractère non ramifi´e ν ◦ det et a comme quotient le caractère trivial. Une repr´esentation cuspidale n’a pas de vecteur non nul invariant par I par (B.2.2). Cet exemple montre que le caractère de Satake ne permet plus de classer les repr´esentations irr´eductibles non ramifi´ees dans le cas non banal, (B.2.1) n’est pas pas v´erifi´e par K , i GB χ peut avoir deux sous-quotients irr´eductibles non ramifi´es non isomorphes (ces trois propri´et´es sont e´ quivalentes). Les sous-quotients irr´eductibles de i GB χ n’ont pas toujours un vecteur non nul invariant par le sous-groupe d’Iwahori I . B.5 Le caractère de Bernstein On admet (B.2.5). Alors i GB χ  indGI id R ⊗ R[Λ],χ,t B R. Donc (i GB χ) I  H R (G, I ) ⊗ R[Λ],χ,t B R. On en d´eduit avec la remarque suivant (B.2.4): Proposition L’action de R[Λ]W sur i GB χ via t est le caractère de R[Λ]W induit par χ. On note µχ l’action de Z R sur (i GB χ) I . Pour tout π irr´eductible avec π
= 0, Z R agit sur π I par un caractère µπ , e´ gal à µχ si π est un sousquotient de i GB χ. On a µχ  = µχ si et seulement si χ, χ  sont W-conjugu´es par la proposition et (*). Donc µπ = µπ  si et seulement si π, π  ont le même support supercuspidal. On dira que µχ , µπ sont les caractères de Bernstein de i GB χ, π. Le caractère de Bernstein g´en´eralise le caractère de Satake. Consid´erons maintenant des Q -repr´esentations entières. Un caractère ∗ ∗ non ramifi´e χ : M → Q est entier (image dans Z ) si et seulement la restriction de χ à Z [Λ]W est entière (image dans Z ). Donc i GB χ ou π est entière si et seulement si χ est entier, si et seulement si son caractère de Bernstein µχ est entier. R´eduisons modulo  les Q -repr´esentations entières. Si χ est entier, de r´eduction modulo  not´ee r χ, le caractère de Bernstein µr χ est la r´eduction modulo  du caractère de Bernstein µχ . Donc r µπ = r µπ  si et seulement si r (π), r (π  ) ont le même support supercuspidal. I

B.6 Lemme Soit E/Q une extension finie d’anneau des entiers O E , χ : M → O ∗E un caractère tel que π ⊂ i GB χ. Alors le O E -module L des fonctions de π I à valeurs dans O E engendre une O E -structure O E G L de π et L est facteur direct de O E G L.

Correspondance de Langlands semi-simple pour G L(n, F) modulo 
= p

219

Preuve La d´ecomposition d’Iwasawa G = BK montre que la restriction à K identifie le O E -module M des fonctions de i GB χ à valeurs dans O E à un sous-module de C ∞ (K, O E ). Le O E -module C ∞ (K, O E ) est libre par le même argument que (3.3.1) et contient M ⊃ O E G L, donc les O E -modules O E G L, M sont libres car O E est principal. On a (O E G L) I = L. Comme ♦ O E est principal, L est un facteur direct de O E G L (A.2.2). Appendice C : Conducteurs ∗

C.1 Conducteur de Godement-Jacquet (Rappels) On fixe ψ : Fv → Q un caractère trivial sur O F et non sur p−1 F O F . Lorsque R = Q , Godement et Jacquet [GJ §3] ont associ´e à π ∈ IrrQ G L(n, F) des fonctions L(s, π) et ε(s, π) où s est une variable complexe (L(s, π) ne d´epend pas de ψ mais ε(s, π) en d´epend). La fonction L(s, π) a la forme P(qv−s )−1 où P(X ) ∈ Q [X] satisfait P(0) = 1, et ε(s, π) = ε(0, π)q −s f(π) pour un entier f(π) ≥ 0 appel´e le conducteur de π. Le conducteur f(π) est nul si et seulement si la repr´esentation π est non ramifi´ee. Les fonctions L(s, π) et ε(s, π) se d´efinissent aussi pour des repr´esentations paraboliquement induites de repr´esentations irr´eductibles. Elles sont multiplicatives (par rapport à l’induction parabolique normalis´ee) [GJ Prop. 3.5 page 46]: L(s, π1 × π2 ) = L(s, π1 )L(s, π2 ), ε(s, π1 × π2 ) = ε(s, π1 ) ε(s, π2 ). Si π  est un sous-quotient irr´eductible de π = π1 × π2 , alors L(s, π  )/ L(s, π) et L(s, π˜  )/L(s, π) ˜ sont de polynômes en q −s et si l’on pose [GJ Cor 3.6 page 46] γ(s, π) = ε(s, π)L(1 − s, π)L(s, π)−1 ˜ ∗

alors γ(s, π  ) = γ(s, π). Pour un caractère non ramifi´e χ : F ∗ → Q on a : (1)

L(s, χ) = (1 − q −s χ( p F ))−1 ,

f(χ) = 0.

Si π ∈ ScuspQ G L(n, F) n’est pas un caractère non ramifi´e de F ∗ alors L(s, π) = 1 [GJ 5.11]. Ceci entraine facilement que si r > 1 repr´esentations πi ∈ ScuspQ G L(n i , F), 1 ≤ i ≤ r ne sont pas des caractères non ramifi´es de F ∗ , alors tous les sous-quotients irr´eductibles π  de π1 ×. . .×πr v´erifient  (2) L(s, π  ) = 1, ε(s, π  ) = ε(s, πi ), f(π) = f(πi ). i

i

Soit π ∈ IrrQ G L(n, F). Le support supercuspidal de π s’´ecrit sc(π) =
∗ χ j + πi où les χ j : F ∗ → Q sont des caractères non ramifi´es et les πi ∈ ScuspQ G L(n i , F) ne sont pas des caractères non ramifi´es de F ∗ . La classification de Zelevinski [Z] de Irr Q G L(n, F) implique que π = π  ×π 

où sc(π  ) = χ j , sc(π  ) = πi . On a donc


(3) L(s, π) = L(s, π  ), ε(s, π) = ε(s, π  )ε(s, π  ), f(π) = f(π  )+ f(π  )

220

M.-F. Vign´eras

Une repr´esentation irr´eductible est de Steinberg g´en´eralis´ee si elle est g´en´erique et si son support supercuspidal est un “segment” au sens de Zelevinski: (4)

π ⊗ (1 + ν −1 + . . . + ν 1−k )

avec π ∈ ScuspQ G L(n, F) (on e´ crit ν pour ν ⊗ det). On la note Stk (π). La contragr´ediente de Stk (π) est encore une repr´esentation de Steinberg g´en´eralis´ee Stk (π˜ ⊗ ν k−1 ). ∗ Si χ : F ∗ → Q est un caractère non ramifi´e, on a [GJ 7.11] (5)

L(s, Stk (χ)) = L(s, χ),

f(Stk (χ)) = k − 1.

C.2 Conducteur de Swan Par analogie avec le conducteur de Swan de σ ∈ ModQ W F [D 6.2 page 554], on d´efinit le conducteur de Swan de π ∈ IrrQ G L(n, F). Il ne d´epend que du support supercuspidal sc(π) = π1 + . . . + πr , πi ∈ ScuspQ G L(n i , F). On pose (6)

sw(π) = sw(scπ) = sw(π1 ) + . . . + sw(πr ).

Il reste à d´efinir le conducteur de Swan de π ∈ ScuspQ G L(n, F). On associe à π deux entiers : t = t(π) ≥ 1 d´efini en (2.2) et m = m(π) ≥ 0 figurant dans la strate simple [A, m, 0, β] associ´ee au type de π par Bushnell et Kuzko [BK]. Le conducteur de Swan de π est d´efini par (7)

sw(π) = mt ∗

et f(π) = mt + n [Bu]. Pour un caractère χ : F ∗ → Q , on a sw(χ) = 0 si χ est mod´er´ement ramifi´e (trivial sur 1 + p F O F ), et sw(χ) = f(χ) − 1 sinon. On dit que π ∈ IrrQ G L(n, F) est de niveau 0 si π a un vecteur non nul invariant par 1 + p F M(n, O F ). Le conducteur de Swan a les propri´et´es suivantes : Th´eorème Le conducteur de Swan de π ∈ IrrQ G L(n, F) est respect´e par la correspondance de Langlands sw(π) = sw(σ) ne d´epend que de scr π si π est entier est invariant par torsion par un caractère χ de niveau 0 est constant sur un -bloc de ModQ G L(n, F) est reli´e au conducteur de Godement-Jacquet par f(π) = sw(π) + n si tous les composants de sc(π) sont ramifi´es et sw(π) ≤ f(π) < sw(π) + n sinon (6) est nul si et seulement si π est de niveau 0. (1) (2) (3) (4) (5)

Correspondance de Langlands semi-simple pour G L(n, F) modulo 
= p

221

Preuve Notons (σ, N ) la repr´esentation du groupe de Weil-Deligne WD F , image de π par la correspondance de Langlands (1.8). Le conducteur de Godement-Jacquet de π ∈ IrrQ G L F est e´ gal au conducteur d’Artin de (σ, N ) [D 8.12.1 page 572], [HT], [LRS]. On a donc (7)

f(π) = sw(π) + n − dim(Ker N ) I F

où I F est le sous-groupe d’inertie de W F . On en d´eduit (1) (5) et (6). Les propri´et´es (2) et (3) se voient sur la d´efinition du caractère de Swan, ou se d´eduisent des propri´et´es analogues pour le groupe de Weil. On d´eduit (4) de (2), (3) et de la description d’un -bloc (3.11.4). ♦ C.3 Conducteurs de repr´esentations faiblement congruentes modulo  Etant donn´e une repr´esentation automorphe entière π A pour G L(n) avec une repr´esentation galoisienne associ´ee, compatible avec la correspondance locale de Langlands, et un nombre premier , on sait depuis les th´eorèmes de Ribet qu’il est interessant de savoir si l’on peut “monter ou de baisser le conducteur en en une place vo ” sans changer la semi-simplification de la repr´esentation galoisienne modulo . Ceci conduit à se poser la question suivante : e´ tant donn´ee π ∈ IrrQ G L(n, F) entière, quel sont le maximum et le minimum des conducteurs des repr´esentations π  ∈ IrrQ G L(n, F) entières, faiblement congruentes modulo  à π (1.8.6). On d´eduit du th´eorème (C.2) et de la r´eduction modulo  d’une repr´esentation cuspidale (5.2) le r´esultat suivant. Proposition Deux repr´esentations π, π  ∈ IrrQ G L(n, F) entières, faiblement congruentes modulo , ont le même conducteur de Swan sw(π) = sw(π  ), et leurs conducteurs de Godement-Jacquet v´erifient | f(π  ) − f(π)| ≤ n. Si π est supercuspidale, alors f(π  ) ≤ f(π) avec < si et seulement si r π appartient au bloc principal et sc(π  ) a un composant non ramifi´e. Preuve Par (1.8.6) π et π  sont faiblement congruentes modulo  si et seulement si sc(r π) = sc(r π  ). Par (C.2.2), on a sw(π) = sw(π  ), et l’on applique (C.2.5) pour l’in´egalit´e | f(π  ) − f(π)| ≤ n. Supposons π supercuspidale. Par (5.2), les composants de sc(r π) sont tous ramifi´es si r π n’appartient pas au bloc principal. Dans ce cas, f(π  ) = f(π) par (C.2.5). On a f(π) = sw(π) + n. Par (C.2.5), f(π  ) < f(π) si et seulement ♦ si sc(π  ) a un composant non ramifi´e. Bibliographie [AT] [BR]

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