manuscripta math. 4, 179 - 199 (1971) 9 Springer-Verlag 1971
DECKTRANSFORMATIONEN
TRANSNORMALER
MANNIGFALTIGKEITEN * Bernd Wegner
For every transnormal m - m a n i f o l d V ( s e e [ 3 ] o r [ 7 ] ) in ]Rn ~ : V - ~ W, m a p p i n g p 6 V i n t o i t s n o r m a l p l a n e v ( p ) j i s a c o v e r i n g m a p o n t o a s u b m a n i f o l d W of t h e o p e n G r a s s m a n n i a n H 9 . . n n, n-m of a l l ( n - m ) - d l m e r ~ s l o n a l p l a n e s in ]R . T h e t r a n s n o r r e a l f r a m e T := v " ( v ( p ) ) a d m i t s a t r a n s i t i v e o p e r a t i o n b y a g r o u p J of i s o m e t r i e s . T h e g r o u p a c t i o n of t h e c o v e r i n g t r a n s f o r m a t i o n s of ( V , ~ , W ) on T c o m m u t e s w i t h t h e a c t i o n of J. T h e e l e m e n t s of J, w h i c h a r e r e s t r i c t i o n s of c o v e r i n g t r a n s f o r m a t i o n s to T, are e x a c t l y t h e e l e m e n t s of t h e c e n t r e o f J. T h i s p r o p e r t y i s a p p l i e d t o s h o w t h e e x i s t e n c e of n o n t r i v i a l c o v e r i n g t r a n s f o r m a t i o n s of ( V , v , W ) f o r n-m~= 3.
Einleitung In [ 3 ]
f i i h r t S. A. R O B E R T S O N
Mannigfaltigkeit
ein.
den Begriff der transnormalen
Eine zusammenh~ngende
Untermannigfaltigkeit
V des n-dimensionalen
abgeschlossene euklidischen
A n heist transnormal,
w e n n ffir j e d e n b e l i e b i g e n
aus q6 ~(p)R V immer
~(p) = v ( q ) f o l g t .
C~ -
Raumes
Punkt p aus V
Dabei ordnet
die Abbildung
* D i e s e A r b e i t f a ~ t d i e K a p i t e l 5, 6 u n d 7 d e r y o n d e r F a k u l t ~ t fiir Allgemeine Ingenieurwissenschaften der TU Berlin genehmigten Dissertation [6] zusammen.
179
2
WEGNER jedem
Punkt p aus V seinen Normalenraum
jedes x aus v(p) gilt, steht.
da~ d e r
Ist V m-dimensional,
Uberlagerungsabbildung
transnormale
d.h.,
s o l~/~t s i c h z e i g e n ,
daft v e i n e C~ -
yon V auf eine Untermannigfaltigkeit aller
d e s IRn i s t ( v e r g l .
Geriist T :=-l(~)(p))
sitive Gruppenoperation
zu,
fiir
V e k t o r x - p zu V in p s e n k r e c h t
offenen Grassmannmannigfaltigkeit nen Unterr~ume
v ( p ) zu,
(n-m)-dimensionalen
E3] u n d [ 7 ] ) . y o n V in p lw
W der affi-
Das sogenannte dann eine tran-
wobei die Gruppenelemente
Isometrien
v o n T a u f s i c h s i n d ( v e r g l . [3]). Die Aufgabe dieser nichttrivialer Au6erdem
ist es,
Kriterien
Decktransformationen
wird gezeigt,
n e n 1, 2 und 3 i m m e r Dazu wird der y o n W,
Arbeit
von (V,v,W)herzuleiten.
da~ ffir k o m p a k t e s
nichttriviale
Zusammenhang
Gruppe
sich zeigen,
zwischen
J yon Isometrien
da/~ d a s Z e n t r u m
Decktransformationsgruppe chen Klassifikation
1.
der
y o n (V, ~), W) und d e r o b e n
y o n J zu e i n e r
isoraorph
der Isometrien
existieren.
Fundamentalgruppe
yon T untersucht.
ist.
Es wird
Untergruppe
der
Wegen der tibersichtli-
d e s ]Rk in s i c h k a n n m a n d a n n
ffir d i e F ~ l l e k = 1, 2 und 3 m i t r e c h t stenzaussagen
V in d e n K o d i m e n s i o -
Decktransforma/ionen
der Decktransformationsgruppe
erw~hnten
fiir die Existenz
elementaren
Mitteln Exi-
ableiten.
Gruppenoperationen
auf dem transnormalen
Geriist
Es sei V eine m-dimensionale transnormale Untermannigfaltigkeit des ]Rn, p und p' seien Punkte aus V, T und T ' die entsprechenden transnormalen Geriiste. Fiir einen Weg w yon ~(p) nach ~)(p') in W und fiir einen Punkt q aus T sei w derjenige Weg in V, q der durch Hochheben yon w durch q entsteht. II.. II sei die Stan-
dardnorm
i m ]R n
1.1 HILFSSATZ:
w definiert
s c h e A b b i l d u n g wv: T ~ T ' . nieren
sie dieselbe
d u r c h wv(q) "= Wq(1) e i n e i s o m e t r i -
S i n d w und w ' w e g e h o m o t o p ,
Isome~rie.
18o
so defi-
WEGNER BEWEIS:_ E s i s t k l a r , F7] w i r d b e w i e s e n , a u s F0, 1] k o n s t a n t ist.
Aus der
dal~ f t i r q l ' q2 E T ist,
womit gezeigt ist,
sind die transnormalen
einander
isometrisch,
ration
durch
isometrische
W in ~ ( p ) b e z e i c h n e t ,
1.2
l~i{~t T e i n e t r a n s i t v e
wv definiert
Untergruppe
in G e i n b e t t e t .
transitiv v o n G,
und isometrisch die
man dadurch
(~.W')v(Wv(p))
einen Epimorphismus
D' der Decktransformationen =
auf sich.
auf T. erh~ilt,
des Monomorphisy o n H in G.
((~.w')*W)p(1) = g ' v o n N(H) a u f d i e
y o n (V, v, W).
Der Kern yon
yon D' sind Diffeomorphismen
yon (1.1) folgt wiederum
aus [7]
yon V und
(1.3) die 1.4 BEMERKUNG: Es
F t i r m E D' und x E V g i l t IIq~(x)-xll = Ilcp(p)-p11.
s o l l e n nun d i e O p e r a t i o n e n
werden.
daft
W e g y o n p n a c h x in V u n d * d i e W e -
Die E l e m e n t e
Wie im Beweis
h
(voW' ) g ' ( [ w] )(p)(1).
Dabei ist w' ein beliebiger gekomposition.
von
erh~lt man dann den folgenden
219): g ' ( [ w ] ) ( x ) : =
g'([w])(x)
mit (1.1)
einen Homomorphismus
1.3 SATZ (siehe [5],S.
g ' i s t H,
Gruppenope-
a u s G und P d i e
N(H) s e t d e r N o r m a l i s a t o r
definiert
zusammen-
Man bekommt
yon V in p mittels
Aus der 0berlagerungstheorie
Gruppe
Punkte yon V zu-
wenn G die Fundamentalgruppe
die Fundamentalgruppe
mus ~.
und w' v
v
yon T ist:
h(Fw]):=
H set diejenige
aller
Fw] e i n e H o m o t o p i e k l a s s e
der Permutationen
HILFSSATZ:
dal] m i t w
s i n d und d e s h a l b w
A b b i l d u n g e n zu.
y o n G in P ; J := h(G) o p e r i e r t
man
folgt unmittelbar,
Geriiste
Ebenso
also den folgenden Hilfssatz,
Gruppe
daI~ w v e i n e I s o m e t r i e
denn V war ja als bogenweise
h~_ngend v o r a u s g e s e t z t .
In
I I w q l ( t ) - Wq2(t)ll f t i r a l l e t
und w' wegehomotop q
q iibereinstimmen. Damit
da~ wv eine Abbildung von T in T' ist.
t~berlagerungstheorie
und w' auch w
3
yon J und D' auf T verglichen
Wegen der fixpunktfreien
Operation
y o n D,~ a u f V l i e f e r t
die Einschr~inkung der Abbildungen aus D' auf das transnormale Geriist T einen Isomorphismus
y o n D' a u f e i n e U n t e r g r u p p e
181
D
4
WEGNER
von
P.
Der
werde
durch
mit
falls H
g' induzierte
g bezeichnet.
ist.
Um
zu bekommen,
Aussagen genfigt
I. 5 BEMERKUNG: telbar, von
dab
T
daB
der
Kern
N(H)
auf D
von
g eben-
fiber Decklransformationen
es D Aus
von
(V,~, W)
zu betrachten.
den
ffir [w] 6 N(H)
Weg,
dessen
einen
geschlossenen
wegen
H = Kern(g)
I. 6
Definitionen
g([w])
und
Homotopieklasse Weg
yon
h([w])
g und
h folgt unmit-
p in denselben
Punkt
dann
viale
(V,v,W)
von
Gist.
regul~r
regul~re
ist,
wenn
ffir die Regularit~it
yon
so schlieBt
man
G
G
Urn
diesen
Fall bet
werden
noch
wenn dab
~ ge-
Fiir eine
sicher
nichttri-
sp~iteren zwei
H
Be-
Kriterien
definierten
ist.
r ~ ist regul~r.
folgt aus
Kern(h)=
Kern(g),
Homomorphismus
Ist andererseits
H
und
dab
H
darnit
Normalteiler
yon
G,
Punkt
q
folgendermaBen:
aus
ist [v.wrJ 6 G und
ein Element
gibt es also
= Kern(g).
w' ein Weg
Dann
in
v bewiesen.
Set [w] 6 H, T.
regul~r,
operiert.
auf T transitiv
H = Kern(g)
auf ganz
~)) heiBt
D
Kern(h)
Wegen
Normalteiler
nut
woraus
Ergebnis,
zu kSnnen, von
i. 7 KRITERIUM:
kurz
~Iberlagerung
absondern
eines
werden,
ist ein bekanntes
Decktransformationen.
BEWEIS:
kann
folgt.
(oder
Es
mehrbl~ttrige
trachtungen
liegi,
p hochgehoben
c Kern(g)
Uberlagerung
Normalteiler
durch
in Kern(h)
die Beziehung
Kern(h)
Die
Kern
ist klar,
von
abbilden.
Ein
nau
Es
Epimorphismus
yon
H,
yon
d.h.,
p zu einem wegen
((~ow')
vorgegebenen
N(H)
= G
*w*(vow'))
[vow~-l[w][~oW~ ist geschlossen,
al-
P so p = ((voW' )vl~ w v.(vow')v)(p). q = WV(q).
Da
q ein beliebiger
die Identit~t von T, dann
d.h.,
aus (1.6) K e r n ( h ) =
1.8 K R I T E R I U M :
Mit q = (V.w')V(p) folgt daraus Punkt
aus T war,
Ew] 6 Kern(h).
ist deshalb w v
Mit H = Kern(g)
folgt
Kern(g).
J operiert fixpunktfrei auf T. r ~ ist regulgr.
182
WEGNER BEWEIS: wegen
wv(p)
dem
Kern
da~ G,
I: J operiere =p
h([w])
yon
h.
~ regul~r
ist.
woraus
folgt,
deshalb
[w']-l[w][w']
da~
(1.2)),
da~
folgt dann
deshalb
mit
ist dann [w]
aus
(I. 6) und
Ist [w]
(i. 7),
ein Elemeni
und
[w'] E G
yon
mit
= (w v-ol Wv~ wv)(p) = P,
ein geschlossener
Weg
durch
p und
ein Element yon Hist. H = Kern(g) und -I [w'] [w][w'] E Kern(h). = [w] EKern(h),woraus
dann
yon
T
das
einzige
Element
von
J ist,
das
in T besitzt.
man
phismus
Ffir eine
mit
dem
i: J-~ D,
alle ~p E J
r
lagerung
man
Ord(J) i. I0 LEMMA:
durch
wegen den
fiir Oruppen i(h([w]))
Fiir den
einen
:= g([w]),
Fall
der
Isomor-
so da~
ffir [Iber-
die folgende
Oruppenordnungen:
FGr
beliebiges
<0.!
=
~.~0
.
%0 a us D un__jd ~ aus
J gilt:
.
~ E J, h([w] ) = ]{, q ein beliebiger
w' ein Weg
v
r-bl~ittrigen
h(H) = [~ E J I ~(P) = P}
= r Ord(Kern(g)/Kern(h))
Set q) E D,
T und
Oberlagerungsabbildung
Homomorphiesatz
definiert
zwischen
BEWEIS:
regul~re
= (i(~0))(p) ist.
erh~it
Beziehung
von
T und
q in T besitzt,
(w' *w*W')p
I. 9 BEMERKUNG: erh~lt
yon
Fiir [w] E H
so gilt (w'-*w*w')V(p)
die Identit~t
Fixpunkte
auf T.
~ regul~r.
Fixpunkt
= q (vergl.
folgt,
H = Kern(g)
11: Set nun
w~(p)
liefern
die Identit~t
Aus
so daI~ w V einen
(1.7)
fixpunktfrei
5
yon
p naeh
q in V.
Dann
Punkt
gilt mit
(1.3):
!(~0(q)) = wv(~(q)) = w (q)(1) = (w (q)*(9,w') (p))(1) = (w*(,~
= (,o(W*(VoW'))p)
r
=
Z(J) Die
Ist andererseits durch
aus d e m
Inklusion %0 aus
h([w])oh([w']) Kern
Z(J) d e r Gruppe J gilt:
= J N D. J N Dc
Z(J),
h auf ~ abgebildet
aus O
=
~p(wv(q) ) : ~(~(q)).
1. 11 SATZ: Fiir das Z e n t r u m
BEWEIS:
(p)(1) = ~p((w*(~)oW'))p(1))
wird.
Z(J) folgt unmitielbar
so set [w] Wegen
= h([w'])oh([w]),
von h. D a m i t
ein Element
co E Z(J)
von
(I. I0). G,
das
ist fiir alle [w']
also [ w ' ] - l [ w ] - l [ w ' ] [ w ]
geh6rt w e g e n
183
aus
(I. 6) und Kern(g) = H
6
WEGNER
[w]-l[w'][w]
ffir a l l e [ w ' ] E H zu H,
cO' := g ( [ w ] ) . liebiger
Dann
d.h.,
[ w ] E N(H).
E s b l e i b t n o c h ~0 = cp' z u z e i g e n .
Dazu set q ein be-
Punkt aus T und [w"] E G mit h([w"])(p)=q
folgt: r
= wv(~0'(p))
h([w"])(~0(p)) V o r . cp(h(Ew"] )(p)) Es ist klar,
( v e r g l . (1. 2)).
= h([w"])(cp'(p))(1_5)
= ~(q) .
da~ a u s ( 1 . 1 0 ) a u c h J n D c
Z(D) folgt; die u m g e -
k e h r t e I n k l u s i o n l~flt s i c h j e d o c h n u r fLir e i n r e g u l ~ r e s bar zeigen,
Set n u n
da i m z w e i t e n T e i l d e s B e w e i s e s
sitivit~t der Operation yon J gebraucht wird. 1.12 B E M E R K U N G : Ist v regul~ir,
so grit
Mit ( 1 . 1 0 ) k a n n m a n l e i c h t b e w e i s e n ,
v unmittel-
y o n ( 1 . 1 1 ) die T r a n M a n h a t a l s o die
Z(D) = J •
D.
da~ die O p e r a t i o n y o n J a u f
T in n a t f i r l i c h e r W e i s e eine O p e r a t i o n auf d e r Menge der O r b i t s yon D in T i n d u z i e r t . ten yon J orbitweise 1.13
Insbesondere
g i l t , da~ F i x p u n k t e v o n E l e m e n -
auftreten.
H I L F S S A T Z : Set ~ E J r n i t $(q) = q ftir e i n q E T .
Dann ist
~ ( q ' ) : q' fiir a l l e q' ~ [~0(q) I V E O}. B E W E I S : ~ ( q ' ) = ~(cp(q)) ~1.10) ~0(~(q)) = r Damit l~t
= q'.
s i c h s c h l i e ~ l i c h d e r f o l g e n d e Satz b e w e i s e n ,
w e n n die
Ordnung von D endlich ist: 1 . 1 4 S A T Z : Is...__t ~ e i n b e l i e b i g e s E l e m e n t y o n J,
so t e i l t die O r d -
n u n g y o n D die A n z a b l d e r F i x p u n k t e y o n I . D e r BEWEIS folgt u n r n i t t e l b a r aus (1.13),
da w e g e n d e r f i x p u n k t -
f r e i e n O p e r a t i o n yon D auf T alle O r b i t s yon D d i e s e l b e Anzahl yon Elernenten besitzen. Z u m Schlu~ d i e s e s K a p i t e l s s o l l e n noch einige E i g e n s c h a f t e n von T erw~hnt werden,
die a u s d e n v o r a n g e g a n g e n e n A u s s a g e n f o l g e n
und auch schon zurn T e i l bet ROBERTSON ( [ 3 ] , [ 4 ~ )
stehen.
Sie
werden in den Beweisen der folgenden Kapitel st~ndig gebraucht, so da~ i h r e A n w e n d u n g n i c h t i m r n e r b e s o n d e r s 1.15
betont wird.
BEMERKUNG: Besitzt T genau r Elernente (man sagt auch,
da~ V r - i r a n s n o r m a l
ist),
so gibt e s e i n e ( n - m ) - d i r n e n s i o n a l e
184
Voll-
WEGNER k u g e l i n v(p) m i t m i n i m a l e m normale (1.2),
Radius,
Gertist T yon V in p liegt.
wenn man beachtet,
Fortsetzungen
lassen,
h a b e n die Eige nschaft,
p
y o n J zu I s o m e -
so da~ die F o r t s e t z u n g e n [6],
Anhang).
=
Die
da~ s i e d e n M i t t e l p u n k t p
Man zeigt leicht (siehe [6]),
als folgende Linearkombination * 1
l~t:
D i e s e E i g e n s c h a f t folgt a u s
G r u p p e b i l d e n ( s i e h e ggf.
yon S zum Fixpunkt haben. p
auf d e r e n Rand S das t r a n s -
da~ s i c h d i e E l e m e n t e
t r i e n y o n 9(p) i n s i c h f o r t s e t z e n e i n e zu J i s o m o r p h e
7
der Elemente
da~ s i c h
yon T darstellen
--
E q qET sofort einen globalen Sehnitt i m Bfindel der r
Daraus
erh~It m a n
Einheitsnormalen isometrisehen Diam(V)
von V. Weiterhin folgt aus der transitiven und
Operation yon J auf T und (i. I)
:= max[llp-qll I q E T }
= max[llp'-q'll I v(P') =v(q')}.
Ist Rad(V) der Radius von S, so gilt Diam(V)_-< 2Rad(V). Beispiele mit D i a m ( V ) <
2..Berechnung
E s gibt
2Rad(V) (siehe [i~).
v o n J u n d D ftir die K o d i m e n s i o n e n 1 u n d 2
Unter Verwendung der Ergebnisse
des vorangegangenen Kapitels
s o l l e n fiir n - m = 1, 2 d i e G r u p p e n J u n d D b e r e c h n e t
werden.
A u ~ e r d e m w i r d i n d i e s e n F ~ l l e n die E x i s t e n z y o n n i c h t t r i v i a l e n Decktransformationen
yon (V,v,W) nachgewiesen.
mSglichen Gruppe eine transnormale gekl~irt.
Mannigfaltigkeit gibt,
Als Einschr~inkung wird vorausgesetzt,
Kodimension 1 V r-transnormal V kompakt ist.
Ob e s zu j e d e r ist un-
da~ i m F a l l d e r
und im Fall der Kodimension 2
Der folgende Hilfssatz steht schon bei ROBERTSON
[4]
u n d i s t l e i c h t zu b e w e i s e n :
2.1
H I L F S S A T Z : Ist V r - t r a n s n o r m a l
u n d 2Rad(V) = D i a m ( V ) ,
dann
gibt e s e i n e D e c k b e w e g u n g i y o n ( V , v , W ) m i t I l i ( p ' ) - p ' l l = D i a m ( V ) fiir a l l e p ' a u s V. Sei A d e r y o n T a u f g e s p a n n t e a f f i n e U n t e r r a u m 2.2 SATZ: Ist V r - t r a n s n o r m a l ,
d e s ~:tn .
r > 1 u n d D i m ( A ) = 1,
u n d J = D ~ Z2.
185
so i s t r = 2
8
WEGNER BEWEIS: Aus Ta
grit a b e t folgt.
SN A ,
r>
Diam(V) = 2Rad(V),
Damit operiert
mit man
D transitiv
W e g e n A a v(p) ist d a m i t der Kodimension
2 werden
f~iltiger.
wird
transformationen 2.3
um p
p v p
der Ordnung eine gerade
Fixpunkte
nis sind
yon nichttrivialen
und k o m p a k t ,
D i m ( A ) = 2.
J' der
isometrischen
ist,
Fortsetzungen
durch p
bleibt nur noch der
und d e s h a l b
Da a b e r
diametral
der
Dann gibt es
besitzt,
fQr
werden.
Damit
yon V T nach
mu~ m mindestens
~) wegen in T
der haben,
gilt Diarn(V) dann
yon
zwei
spezieldie
= 2Rad(V)
schlie~lich
[4]
zuund
2-< Ord(D),
ist. und
Aussagen
des
die verschiedenen
geometrischen
recht
zu b e -
ist ~ ein Gruppenelement
(2. I) liefert
Bezeichnungen
angegeben aber
2.
bewiesen
soll nun
der
enthalten.
Fall
ist.
wegen der Kompaktheit
in S' liegen.
(I. 14) Ord(D)-<
den
(siehe
Deshalb kann J' nur
besitzen. Andererseits kann A yon ~0 hSchstens zwei Fixpunkte
alles
Dann
e i n n i c h t t r i v i a l e s E l e m e n t ~ in J m i t V(p) = p. A ~0 y o n ~0 a u f A k a n n n u r e i n e S p i e g e l u n g an d e r
sein,
2.
In
Deck-
mit dem Mittelpunkt p
in T
satzlich
und
die E x i s t e n z
A n z a h l yon E l e m e n t e n
fen Gestalt
D
und v i e l -
komplizierter
dag die L I b e r l a g e r u n g v nicht r e g u l a r
Geraden
weises
die A u s s a g e n
u n d S p i e g e l u n g e n an G e r a d e n
wegen (1.8)
Mit
J = D~ Z 2 erhalt. geklfirt.
ist ein Kreis
Da T e i l a yon (2.3) t r i v i a l
Die F o r t s e t z u n g
wo-
fiir d e n F a l l n - m = 1 a l l e s
y o n J a u f A in s i c h f i b e r f i i h r t .
trachten,
v ist regular,
2 R a d ( V ) und O r d ( D ) = 2.
den die Gruppe
Drehungen
womit
(1.2) und (1.8)
zuerst
B E W E I S : S' := S 0 A
Elemente
d.h.,
2 = < O r d ( D ) =< r = 2
und Ord(D) = r o d e r
b) D i a m ( V ) =
nach
a u f T,
S A T Z : Set V r - t r a n s n o r m a l
(1.15)),
nach (2.1)
Damit
v o n ( V , ~ , W) n a c h g e w i e s e n .
is_~t a) v r e g u l a r
abet
woraus
sofort mit (1.12),
Deshalb
1 u n d D i m ( A ) = 1 f o l g t r = 2.
Gestalt
von
Einzelheiten
elernentar.
Falle T
vorangegangenen die Berechnung
skizziert
werden
in E6]
Set 5 := min[llp-qll
186
Be-
und
das
von Ergeb-
ausgefiihrt,
I q6T,
q~p]
=
J,
WEGNER min[llp'-q'll ] p',q'ET, Dim(A) = 2 ist r>
p ' ~ q']
9
und ~ EJ
m i t ll~(p)-pll = 5. W e g e n
2.
I: v s e i r e g u l a r ,
also Ord(D) = r.
a) ~(~(p)) ~ p: In d i e s e m
F a l l i s t die O r d n u n g y o n ~ gr61~er a l s 2 u n d d a m i t w e -
g e n d e r M i n i m a l i t ~ t v o n 5 T die E c k p u n k t m e n g e e i n e s r e g e l m ~ l ~ i gen r-Ecks, rieren
w o b e i zu b e a c h t e n i s t ,
mul~ (vgl.
(1.8)).
Daraus
dal~ J auf T f i x p u n k t f r e i o p e -
erh~lt man:
J wird von einer Drehung erzeugt.
J = D ~ Z . r
b) ~(~(p)) = p: (1.8) liefert wiederum,
dal~ A
r e c h t e n d e r S t r e c k e p~(p) i s t . a u s J,
eine Spiegehng Betrachtet
an der Mittelsenk-
m a n n u n die A b b i l d u n g ~ '
die ~(p) i n d e n j e n i g e n P u n k t y o n T a b b i l d e t ,
d e r v o n ~(p)
d e n k l e i n s t e n A b s t a n d h a t u n d n i c h t m i t p o d e r ~(p) t i b e r e i n s t i m m t , so k a n n m a n z e i g e n ,
dal~ ~ , A e i n e S p i e g e l u n g a n d e r M i t t e l s e n k -
r e c h t e n d e r S t r e c k e pt~(p) i s t . dann,
Aus Ordnungsgriinden erh~lt man
dal~ T die E c k p u n k t m e n g e e i n e s P o l y g o n s i s t ,
senkrechten
S y in e i n e m regelmfil~igen r - E c k
schneiden,
von einer Spiegelung und einer Drehung erzeugt. te y o n T a u f S 1 i n e i n e r f e s t e n O r i e n t i e r u n g erzeugen bzw.
die f o l g e n d e n P e r m u t a t i o n e n
dessert MitteljT w i r d
W e r d e n die P u n k -
durchnumeriert,
so
(in Z y k l e n s c h r e i b w e i s e )
J
~r
D: J = (
I] ( i , r + l - i ) i=l
,
(1,3 .....
D = (
ff ( 2 i - 1 , 2 i ) , ( 1 , 3 . . . . . i=l
r-1)(2,4 .....
r-1)(r .....
r) )~
4, 2) >.
If: ~) s e i n i c h t r e g u l a r . N a c h ( 2 . 3 ) i s t D ~ Z 2. A u S e r d e m gibt e s n a c h ( 1 . 8 ) e i n ~ E J m i t A * ~(p) = p, so da~ ~ eine S p i e g e l u n g an p v p ist. Aus T r a n s i t i v i t ~ t s g r t i n d e n i s t d a n n T die E c k p u n k t m e n g e e i n e s r e g e l m ~ S i g e n r-Ecks.
Die O r d n u n g s b e t r a c h t u n g e n
eine Drehung um p
ist,
J = ( (1,2 .....
y o n (1. 9) l i e f e r n d a n n ,
woraus r),
(2, r ) ( 3 , r - 1 ) . . . ( ~ r , ~ r + 2 )
187
) folgt.
da{~
A
10
WEGNER 3. Der
Fall
Wegen chen
der
den
der
Kodimension
gro~en
Vielfalt
S~tzen
aus
dem
ffir die Kodimension einigem
Aufwand
einen
aus
zweiten
Kapitel
Beweis
des
der
formuliert, 3.1
(V, v, W)
Is t V
so
ales
Element
an
noch A ist ~
Darnit
einer
genau
Ebene
(2. i) und
unter
ist,
ihnen r~an
ist noch
bildung einer
auch
der
in J ist, Ebene
c durch
zusammen
mit
p
p v p
die Ebene
da~
~
ist.
~ nicht
Schlie~lich
sp~ter
unter
Generalvoraussetzung
Fixpunkte
besitzt.
Hat
aus, ~
hat,
Spannen
= 2 folgt.
dann
regu-
ein nichttrivigezeigt
da~
sind woraus
p und
p'
folgt,
da~
besitzt.
= 2.
es
Gibt
Fixpunkl auf A
~
also
und
Mit
mehrere
haben,
so
eine
Drehung
zwei
188
die
so hat ~ woraus noeh
(3. Ii) genau
nichttriviale A
dabei
auf,
liegen,
bleibt
genau
Ist v nicht
sp~ter
die einzige
Fixpunkt
in S' diametral
sagt
= 3,
gibt
= 2 erh~it.
Ord(D)
(3.16)
= r.
Fixpunkte
Fortsetzung
in T,
der
Dim(A)
4.
Drehung
die p zurn
punkte
wird.
die
Ord(D)
deren
die p zum
Hilfss~tze
sowie
S'=SNA,
zwei
dann
often,
halber
werden.
der
mit
Ord(D)
Fall
einiger
kompakt
Fall
p
in J,
wiederum
Hilfe
ist Ord(D)
q~ genau
eine,
werden
weiteren Fixpunkt p' in T be* urn p v p oder eine Spiegelung
pv
man
Abbildungen
womit
Es
ist und
Decktransfor-
einen
Drehung
von
es mit
~Ibersichtlichkeit
In (3. I0) wird
p V p ~ Im
(I. 14) erh~it
nichttriviale es
eine
gelingt
Transitivit~tsgrGnden
rnindestens
durch
= 2Rad(V)
Fall
~(p) = p.
die Schnittpunkte
Diam(V)
mit
und
(I. 8) aus
~
Der
ma-
Aussagen
Bezeichnungen
= r, 2 oder
regulfiren
co in J mit
da~
Die
bewiesen
Ord(D)
gibt es naeh
werden, sitzt.
~
Fiir den
l~r,
entsprechende
fiir nichttriviale
Existenzsatzes sparer
]R 3 in sieh,
Irnmerhin
iibernornrnen.
erst
des
Kapitel
r-transnorrnal
dann BEWEIS:
zweiten
nachzuweisen.
die dann
SATZ:
Isometrien
Existenzsatz
yon
wird
der
3 Schwierigkeiten.
mationen dem
3
zwei
Fixpunkte,
Spiegelung
an
Fixpunkte
von
genau
wie
der
Ab-
zwei
oben
Fall
iibrig,
zusamrnengefa~t oder
Fix-
genau
so folgt
vier aus
der
WEGNER
(3.19), man
(3.20)
aus
zeigt
(3.22),
(3.21)
(3.23)
Ord(D) und
einern
soil bewiesen
Fixpunkt
folgende
rnindestens
Annahme Es
mit
(~0 o)
zwei
Ord(D)
Fixpunkte
= 4, wornit
erh~It
alles
ge-
so sieht man
oder
Spiegelung) Unter
genau
Annahme
ment
aus
J mit
Fixpunkte
besitzt.
Dazu
wird
eine
r
Widerspruch
Abbildung
erzeugte
der
~0oE J mit ~0o(P) = p
(3.2)
wenn
q aus
speziellen
T. yon
Gestalt
(q0 o)
k die Ordnung
J bezeich-
A yon q0~
Bemerkung
zerlegl
die
gefithrt:
Untergruppe
die folgende
yon
k Elementen,
Abbildung
p verschiedenen
wegen sofort
jede
zu einem
existiert
die von
net,
(Drehung
ein:
T-p
in Orbits
yon
je
von ~0~ als Gruppenele-
bezeichnet.
3.4
Unter
wobei
Annahme
A ist ~0~
Auferdem
k und
Beweis"
Da
q aus
eine
T
der
m
ist
Drehung prim
definiert Index
gleich
= Lp.
1 und
(3.2)
J auf T
C
[7])
sowie
x(V)--0
k --- 1
rood 2 und
erh~lt
man
3.5 punkten
Unter yon
dann
man
X(V)
~
r -= 1
von
modk.
regelm~ifigen
(3.2)
L
(AbP Punkt
-
vom
[2]
Index
~ von
fiir die Euler-
- C ~
1
- 1
rood k.
o
rood k (vergl.
[3]
oder
o
2 (vergl.
daraus,
von
H
~ (-I~C
C
We-
k ffir alle ~ zwischen
nach
11
-
von
beliebigen
Punkt
Punkte
~=0
mod
Annahme
daf
kritischen
erh~It
~ C ~=0 P
sofort
7] ffir einen
folgt dann, der
Hochheben
von ~0o(q) als kritischem
k r -
dureh
q als kritischem
Index
2k~ T '
Winkel
sind.
von
sowie C -i teilt. Damit p o charakteristik x(V) yon V ist
urn den
ist nach[
L
Andererseits
*
ist,
(3.3)
die Anzahl
urn p v p
von
dem
Aus
r =- 1 r o o d k u n d k--- 1 r o o d 2.
zueinander
die Operation
standsfunktion) r
von
k relativ
in (V,v,W)
Punkt
yon
Ffir vier
dab
schrittweise
ANNAHME:
Wird
gen
(3.24)
werden,
und ~0o(q) ~ q ffir alle von
3.3
= 2.
ist.
Zuerst
3.2
und
11
[4]).
Insgesamt
Die behauptete daft k > 1 u n d besteht
k-Ecken
189
mit
also k->_ 3,
gilt deshalb:
Aussage deshalb
T-p die
aus
A fiber ~o
k => 3 i s t . den
jeweils
Eckkonstan-
12
WEGNER
ten Abstand 3.6
von
Unter
Beweis:
p haben.
Voraussetzung Fiir die Eckpunkte
Kantenl~nge
5' auf einer
konstanten gilt die
Abstand
5"
Beziehung
den
rninirnalen
h~it
man
Kugel
yon
(3.5)
und
(3.6)
3.8
Unter
der
Annahme
yon
und
wird (3.2)
darnit
Es
T
nur
noch
mit
der
k = 5.
in Tirn
T p. 5 gehSrt.
der
transitiven
und
isometrischen
nun
von
fiir 5 ~I
p,
so erdie
Un-
> 0 und
(3.2)
ist nach
5 mSglich.
Fall
im
k = 5 unter eines
Voraus-
Ikosaeders
Widerspruch
be-
zu (3.4)
T 5P und
T p, 5 ein regelm~iges
Abstand
5 von
Die
Existenz
ist.
Aus
der
p~,
yon
so da~
p zu
T p. 5 ist wegen
yon
Operation
spiegelsymmetrisch
mittelsenkreeht
man
haben,
ist k = 3.
was
von
yon
zu pp'
den
T 5 set ein regelrn~iges Ffinfeck rnit P die Eckpunkte den Abstand 5 von p haben
so da~
dann
Punkte
3 ist A>5
yon
Eckpunktmenge
Eckpunklen
liegen
der
q ~q'}
Dim(A)=
ffir den
2 rnod k ist,
Eckpunkten
mit
Kugel
5 in T
Annahme
(3.2)
den
und p,T 5
der
I q,q'ET,
k = 3 oder
da~
p' set ein Eckpunk~
Ffinfeck
dessen
Punkt
Abstand
der
von
aus
r-
in T,
(5 s.o.);
k-Ecks
k_-< 6 folgt.
gezeigt,
set also
Eckpunkten
A,
weiteren
Wegen
Unter
(3.5)
setzung
Radius
5 = rnin[llq-q'll
woraus
(3.4),
Es
regelmfiSigen
vom
einern
und
Zusammenfassung:
Beweis:
ist k =< 6.
nichtverschwindenden
1 =< 2sin ~~,
steht.
eines
5 _<- 25(l-(~)2)~sin~.~
deshalb
steht
(3.2)
5' = 25"(1 -'5'''2'~ " ~[~-) j sln k . Wfihlt
wegen
gleichung
3.7
yon
J gesichert.
zu derjenigen Minimalit~t
yon
T 8 P die
Ebene, 5 folgert
man
5
leicht,
dab T 5 und T , einen Eckpunkt gerneinsam haben, der zu 5 P P T 5 p in Tpw und zu p' in T benachbart ist. Damit ist ein regelP P rn~iges Fiinfeck der Kantenl~nge 5, 5 also die Kantenl~inge eines 9
Ikosaeders
.
rnit Eckpunkten
triegrilnden eders.
5
Da
auf S.
enth~ilt deshalb jeder
die von
einer
saeders
von
Punkt
geeigneten
von
T
Aus
Transitivit~ts-
die Eekpunktmenge
S auf der
Dreiecksebene
S abgeschnitten
.
wird,
und
190
kleineren des mithin
T'
und
Isome-
eines
Ikosa-
Kalotte
zu T' sein
yon
geh6rigen minirnaler
S liegt, IkoAb-
WEGNER stand
yon
den
Minimalit~it sen
Punkten
yon
T'
13
echt
yon
5 die Gleichheit
nur
noch
kleiner
yon
T
als 6 ist,
und
T',
wornit
bleibt
eine
~hnliche
Man
sieht
wegen
T p,:= 8 [qE
ten
bestehen. 3.9
der
Beweis:
ecke,
die
liegen.
Man
im
letzten
Minimalit~it
(3.8)
von
von
muB
ein,
aus
T
nach
den
mittelsenkrechten
p
v p'v
Ebene
pWq. und
s-Eck
Kantenwinkel
iiber nut
s = 5: Nach
men.
gleich
yon
pp'
Be-
zweier
Drei-
spiegelsyrnrnetrisch
mit gleichlangen Strek-
wegen
der
Eckpunkten
einem
die
(3.4)
Daraus
durch
den
dab
auf S ist.
die Eckpunktmenge
eines
der
liegt
und
Dreieck
schlieBt
Fiinfeckseiten
Dodekaeders
dutch
0 und
stoBen
zusammen,
paarweise
i~bereinstim-
Dodekaeders enth~It
p,
gera-
sind.
in T
Transitivit~tsgriinden
dem
einer
Betrachtungen
eines
regel-
5 und
zwischen
5 m6glich
Eckpunkfen
Win-
5 zu einem
Seitenl~nge
vorangegangenen mit
der
q" in der
liegi c~ als Spitzenwinkel
s = 3, 4 oder
Be-
q" auf derselben
yon
6 die Kantenl~age
Aus
Sirecken.
Konstruklion
Minimalit~t in T,
Fiinfecke
p gehenden
folgi,
dieser
gleichseitigen
F~ille
und
so daf~ p und
c~. Auf~erdem
Fortsetzung
regelm~ige
die
Eckpunkten
Eckpunkten
so ist llp'-q'll = llq'-q"ll
c~. Andererseits
~--- weshalb 3 '
dab
q'q"
Durch
mit
Pyrarnide
in p drei
q" E T 6q,,
q' liegen,
Streckenzug
m~f~igen
Punk-
q E T 6 und q'E T 5 , so dab beide Punkte auf P , P' Seite yon p v p'V p liegen. D a n n bilden die Strecken
p v q V p'. den
Men-
w~hle
zwischen
Ebene
drei
T 5p, fi~r p' E T 6p Eckpunktmengen
traehtet m a n* nun T 6q. und
kel
die
vorangegangenen
ken und gleichen Winkeln a zwischen benachbarten
von
dab
genau
aus
der
qp, pp' und p'q' einen ebenen Streckenzug
Seite
wird
durchgef~ihrt.
6 schnell
(3.2)
Dazu
Beweis
ffir alle p' ET
ist k = 3, und
T 5p und
zur
derselben
so
bewie-
bestehen.
Nach sind
k = 3 zu betrachten.
wie
Voraussetzung
Teiraeders
merkung
Fall
T I llp'-qll = 5]
Unter
eines
der
Konstruktion
gen
den
alles
der
ist.
Es
man
folgt aus
also
rnit
deshalb
auch
den
T Di-
14
WEGI~IER
ametralpunkt
p " v o n p in S.
punkt yon ~o ist,
was im Widerspruch
Analog beweist menge
man,
da~ s ~ 4 i s t ,
eines Wiirfels enthielte.
wie oben,
Existenz
Die Minimalit~t
weiterer
eines
a u s J,
Tetraeders
der Kanten-
Tetraeders,
Simplexes
Wenn man
yon J auf T ist (3.2)
also nach (3.9) T die Eck-
falls (3.10) nicht richtig
sein,
womit alles bewiesen
einer
falschen
sich noch einmal
ist.
Nach
ist,
ist.
(3.3) bis (3.9)
Annahme
den Beweis
da~ es jetzt zweckm~ig
trachtungen
die
die einen Fixpunkt be-
Operation
zu ( 3 . 1 0 ) ,
da sie ja unter
ist klar,
so zeigt man
Stelle kann man jetzt die Aussagen
vergessen, den.
s = 3,
k a n n j e d o c h T ffir r > 3 n i c h t E c k p u n k t m e n g e
regul~ren
An dieser
s / 5.
zwei Fixpunkte.
eine Widerspruchsannahme
eines
d.h.,
von 6 schlie~t dann wiederum
BEWEIS: Wegen der transitiven
[4]
steht,
well T sonst die Eckpunkt-
eines
Jede Isometrie
hat mindestens
ROBERTSON
zu ( 3 . 2 )
daft p'" e i n F i x -
Punkte yon T aus.
3.10 HILFSSATZ:
punktmenge
nun a b e r ,
Ist schlie~lich
daft T d i e E c k p u n k t m e n g e
l~nge 5 enth~lt.
sitzt,
(3.4) liefert
abgeleitet
yon (3.1) ansieht,
ffir die kommenden
die folgende Generalvoraussetzung
wurso
Be-
zu m a c h e n :
3.11 V O R A U S S E T Z U N G :
Es gibt genau ein nichttriviales Element A Die isometrische Fortsetzung r yon ~p auf
~ p in J m i t ~ p ( p ) = p. A ist eine Spiegelung an einer weiteren
E b e n e Cp,
Punkt yon T aufgespannt
d i e y o n p , p und e i n e m
wird.
Aus Transitivit~tsgriinden nichttriviales an
einer
dab
r
man
Element
Ebene
Einzigkeit
von q und
= ~q, gilt.
des ersten
Cq, ~q
die dadurch
q' genau
1V[it [ q ]
Kapitels
Anzahl der Elemente
eq = ~q,
g i b t e s d a n n zu j e d e m q E T g e n a u e i n A @q in J m*i t ~q(q) = q. ~ q i s t e i n e S p i e g e l u n g q und
p
eine dann
werde
und u m g e k e h r t .
Nun
kann
J~quivalenzrelation als
~quivalent
man auf T
betrachtet,
wegen
der
definieren, wenn
j e t z t in A b ~ n d e r u n g d e r B e z e i c h n u n g e n
die Klasse yon [q].
enth~It.
yon q E T bezeiehnet, Fiir q'E [q]
q folgt unmittelbar
Sei ~ die soeben definierte
192
mit k
die
Menge yon
WEGNER
Aquivalenzklassen
15
in T.
3.12 HILFSSATZ:
J operiert
d u r e h l ' ( [ q ] ) := [ I ( q ) ]
(I E J) t r a n s i -
t i v a u f D.
BEWEIS:
Es
h~ngigkeit
der
ist wegen
(2.3)
nur
gegebenen
Definition
noch
die Repr~isentantenunab-
naehzuweisen.
}~ E J i s t w e g e n ~pq = Cpq, }~.~Oq.}Y-1 = ~.~0q.. ~ - 1 .
(~O~Oqo~-l)(~(q)) = ~(Cpq(q)) = ~(q) gilt -i
TO,q,. I gezeigt
womit
und
Wegen
-I
= ~0~(q) und
~0~(q) = ~01(q,) und
deshalb
die Elemente
J bijektive
analog
~(q') E [~(q)]
ist.
3.13
sind,
= ~0~(q,),
~.~0qO
Fiir q'E [q]
Da
BEMERKUNG:
erh~ilt man
ist. Weiterhin T-[p]
d.h.,
kann
hat r-kp
von ~p
aus
man
sofort,
leicht
Elemente,
erzeugte r-k
(3.12)
da~
zeigen,
~0p hat nach
Untergruppe
ist gerade,
von
yon
woraus
k
von qE T unabh~ngig q da~ k gerade ist, denn P (3. II) die Ordnung 2, die
J operiert
wegen
Abbildungen
fixpunktfrei
r-0
auf T-[p],
rood 2 (vergl.
[43)
P folgt,
da~
Operation
k P yon
gerade
ist.
Aus
der
isometrischen
J auf T
folgt mit
fiir beliebiges
q aus
T
von
[q] U {p~']
ffir beliebiges
~ aus
J
r
= A(~q)
HILFSSATZ:
3.14
Determinante Diese
yon
Eigensehaft
eine niehttriviale hat und deren minante
Jedes A
Element
auch
recht
aufgespannt
transitiven
einfach, wird
und
da~
c
q
da~
gilt.
~ aus
J ist durch
~(p) und
die
aus (3.11),
da man
sonst
eindeutig bestimmt.
yon J folgt unmittelbar
Abbildung in J finden kSnnte,
isometrisehe
besitzt.
(3.12)
und
Fortsetzung
Wegen der transitiven
die p zum Fixpunkt
auf A eine positive Operation
Deter-
yon J erhfilt man
m i t ( 3 . 1 4 ) und ( 3 . 1 3 ) : 3.15 HILFSSATZ: metrien
in J,
Zu jeder
deren
Ebene r
Fortsetzung
q
(qE T) gibt es genau k
auf A r
P
Iso-
in e a b b i l d e t und p o s i P q tive Determinante besitzt. Ebenso gibt es genau k Isometrien in P J, deren Fortsetzung auf A r in ~ iiberfiihrt und negative DeterP q rninant e besitzt.
193
16
WEGNER 3.16
FOLGERUNG:
Wegen der
yon (3.16)
verschiedene P bemerkl I
mitc
aus
Bewegungen
~e
. Deshalb folgt q da es genau vier
P (3.15),
mit
dem
Fixpunkt
p
gibt,
(~ep)_ f i b e r f i i h r e n , u n d k gerade ist, wie unter q P wurde. Die vier Bewegungen sind die folgenden: Drehungen
Fiir die trische
beiden
in c
N ~ und P q d i e zu e (7 e senkrechten P q denselben Winkel einschlieBen. u um
Ebenen
um
(3.13)
r
q
Gera-
F~ille k
= 2 und k = 4 sollen nun J, D und die geomeP P von T ausgerechnet werden. Fiir die einfachen Be-
Gestalt
weisteile
yon c
Halbdrehungen
die mit
man
ein qET
in ~
die beiden
den,
4.
unmittelbar
eigentliche
die beiden
]I
= 2 oder
P
Dim(A) = 3 gibt es
Beweis
die e
k
wird
in [6]
~(g) := [r
dabei
nur
die
Idee
finden.
Es
set qET
q'E T,
gc
Cp N Cq,],
X als Gruppenelement.
W~hlt
angegeben, mit
Einzelheiten
Cp ~q,
g:=cpO
X := ~qO~0p
man
schlie~lich
~(g)
minimalen
man
den
und
~
kann
Cq, die Ordnung
q noch
so,
yon
da~
r P
und
r
q
Winkel 3.17
unter
den
Ebenen
einschlie~en,
so kann
HILFSSATZ:
zeichnungen
Fiir den
und
EP]
c~) Ist ~ ungerade,
8
=
Fall
k
folgenden
yon
pp'
und geh6rt
zu den isometrischen
den
beweisen:
obigen
Be-
[ q, q'] = [q] : von
Ep],d.h.,
gist
in c , und
{(xA)k(ep) I k = 1 . . . . .
Ist D ungerade
Hilfssatz
= 2 gilt mit
P sowie
= [P, P']
nichtverschwindenden
so ist g Symmetrieachse
Mittelsenkrechte
g(g)
yon
~ } U [(xA)k(eq) I k = 1 . . . . . }~]. eine
der
beiden
Fortsetzungen
der
Drehungen
Abbildungen
vom aus
Typ
J a u f A,
.j.
dann
~(g) $
is/
g die Parallele
zu p V p'
: [(xA)k(Cp) I k : 1 .....
und
gehSren
Fortsetzungen
der
Abbildungen yon
Die angegebene
BEWEIS: dung
und
k
die
und
Drehungen
aus
vom
J auf A,
Typ
dannist
I zu
den
wiederum
jedoch
~}.
Fallunierscheidung
(3. 15) liefert wegen
beide
[p],
{(g) : [(xA))~(Cp) I k : 1 . . . . .
p
~].
Ist ~ ungerade
g Symmetrieachse
dutch
erfa~t
alle
Vollst~ndigkeit
= 2 die Existenz P
194
yon
genau
mSglichen
der
Falle.
Failunterschei-
zwei
Elementen
]I
~I
WEGNER A und ]{2 in J mit Y]-(Cp)~ = c
17
A und Det(~')_ ~- = i. E s ist }Fi([p])._ ~. =
q
[q]
A
und X
eine D r e h u n g urn g u m den doppelten Winkel zwisehen 6(A)~ P und e . Ffir gerades p ist P eine Halbdrehung urn g, also q
X~(p)~
= p',
r
und P weitere
r
woraus
man
mit
g(g) die angegebene A ist, ?gl also vom Typ vom
Typ I oder A a) Y2 set vom
Bijektivitfit o.B.d.A,
Gestalt I isf.
vom
Typ
Typ
yon
ist Yl(p)
Winkels
(3.15)
p
man
folgenden
r
Iund
q hier
also
der
liegen
Yl(p ') = q'.
Da
p und
Fall
B vor. Typ
gleich"
3.18
dag
in T
von
pp'.
Parallele ebenfalls BEWEIS:
g PaDie
ausgeschlossen: Element
~
in J mit
Aus (3 14) fol~ ~o(p)--p'.
so folgert
If. Mit isi,
die beiden
wird
leicht,
rechnet
Fall nun
dag
Bewegung
zu (3.15)
(3.14)
woraus
Hilfsmittel
man
eigentliche
Widerspruch
vorkommen
HILFSSATZ:
p'
ist deshalb
Mittelsenkrechte
Da-
d(p', g) =
= d(p,g). dfirfen,
der
nach:
Isometriegriinden
ein nichttriviales
dritte
im
wichtiges zeigt,
pp',
was
set vom
A ob ~2
O
eine
p' = (~21O~l)(p)
Ein man
von
mithin
iiberfiihrt,
b) Y2 dag
chte
ein,
(3. 14) wegen
Beziehungen
folgendermagen
genau
mit
= q', y2(p' ) = q und
oder
Y~C~p)o :~p und Det(~)o : i Mittelsenkre
eine
~I =X~+I)
A
Typ
zwischen
jetzt unterschieden,
rechnet
diametral
wird
gibt es
o.B.d.A.
A = d (}Y2(p),Y2(g))
zu p V p' durch
A
wird
llx-yll aus
= d(q',g)
MSglichkeit
Nach
die
= q, Y2(p)
(3. Ii) in S nicht
letzte
hat und
Es
If. Dann
d(x,y):=
d(Yl(p'),yiA(g))
rallele
des
II ist.
}g2 leicht
folgt mit
nach
Minimalit~t
leicht den Fall ~ schliegt. Ist ~t ungerade, so mug q Falhnterscheidung gernacht werden. Man sieht sofort
da~
raus
der
nun
(YlOYo)A
ist,
steht.
man
1st
g vom
die c
in P liegt
Damit
dann
leicht
nach,
u folgt. dadurch
verschiedenen
bereitgestellt,
Lagen
von
g "nicht
dag zu-
k6nnen. Es
set k = 2 und q6 T-[p]. , P zu pv p' durch p , so ist fiir alle p"6 , die Parallele zu p v p' durch p . Widerspruchsannahme:
Es
195
existieren
Ist c
O c
P T-[p]
zwei
die q e N c ,, P P
Punkte
q
18
WEGNER
und q" in T-[p], so daI~ g :=r G r die Parallele zu p v p' durch . q P p und g" := Cq,, N e die Mittelsenkrechte yon pp' in c ist. (DaB P P das eine Widerspruchsannahme zu (3.18) ist, folgt aus (3.17).) Sei c
diejenige
unter
den
Ebenen
von
~(g"),
die mit
c
qo A
len n i e h t v e r s e h w i n d e n d e n Winkel einschlieflt. X X
,,A
:= @Oq,,'~Pp)
yon
X ist nach
und
g"v
sind Drehungen
(3.17)
ungerade.
I: xA(r qo) N ep = Cp
(XA (~ )P qo)
=
c c
=
, d.h.,
P ist.
g bzw.
g",
AuBerdem
und
die Ordnung
gilt xA(g)
= g,
g"c
~I
r
A
=e
qo
= Cqoe {(g)"
man
ein Widerspruch
Transitivit~tsgrfinden
was
mit (3.14)
von
wiederurn
vorangegangene
qo Wahl
von
qo
.
r
Mitc
nach,
XoX
dab X(X(qo))
die Identit~t
zu p -= 1 rood 2 steht.
ist,
zur
=
g"cc
2a
qo
aus
Orthogonalit~t
,"
= gcc
n c g" folgt daraus: qo P = b) X A (Cqo) N c = g,,. Nimmt man Fall
so rechnet
der
= (xA)k(Cp).
qo
g".
an,
derspruch
xA(cqo)
= oder
qo
k mit
qo
)N ~p
)= r
A'c
Zahl
, was
X (c qo X t
g. = xA(c q~ ) E { (g). ~ Wegen
(xA)m-I+X(r P
2:
oder
natiirliche
c
qo
Fall a)
um
und
qo
gibt es eine
Cqo c
A
)A
:= (Cpq~
g = c . P
Fall (3.!7)
minimaP
Fiir den A g", daI~ X
g und
im
Widerspruch
yon
= qo und
T
deshalb
ist, was
im
Fall
2b schlieI~t man
eine
Drehung
vorn
zu ~i- 1 rood 2 steht.
Fallunterscheidung
vollst~_ndig
ist,
Wiaus
Typ
II
DaI~ die
folgt aus
(3.17)
und (3.13). 3.]9
FOLGERUNG:
auf eine a) T
der
Ist k
beiden
= 2 und
P folgenden
Weisen
= {XX(p) I k = 1 ..... ~r] U {xk(q)!
Dabei
ist X = Cpq.q0p ein Element
Drehung lassene
um
aus
die Mittelsenkrechte
Ebene,
die mit
r
[p] = {p,p'],
so l&I~t sich
erzeugen: X = I ..... ~r]. J der
Ordnung
~r,
g" zu pp' in Cp,
minimalen
rood
4 und
X
Cq eine
nichtverschwindenden
P einschlieI~t,
A
eine zugeWinkel
A,r )
e die Winkelhalbierende q p' = (xA)r/4(p).
196
T
von
c
P
und
X
t p,
r =- 0
WEGNER
b) T
= [Xk(p)
[ k = 1 .....
~r}
U
19
{xk(p') I ~
1. . . . .
=
~r}.
Dabei ist X wie unter a) definiert, die Ordnung yon X ~r, X
A
eine
Drehung u m
die Parallele g zu p v p' dureh p , r--- 2 m o d 4, A Cq := (xA)~(~r+l)(cp) Winkelhalbierende zwischen Cp und X (r wie der Winkel zwischen e
undc
minimal.
P BEWEIS: mit
Nach
yon
c
(3.17)
P gezeigt,
wurde
da~
Daraus
nen
enth~It.
(3, 19)a
und
aus
zu
3.20
nur
da~
Damit
(3.17)6
und
oder
nur
oder
man
(3.19)b
g als Schnitte
Ebenen
g"
~(g")
sieht
eines
Dim(A)
g"
zugelassenen
folgt,
die Eckpunktmenge spruch
nur
entweder
vorkommt. Ebenen
q
k6nnen
verschiedenen
folgt.
Aus
regelm~f3igen
Im
Z(J) = [id,x r/4}
P In (3.18)
auftreten.
schon ein,
alle
da~
(3.17)y
r-Ecks
zugelasse-
aus
(3.17~
folgt,
ist,
was
daf~ T im
Wider-
= D,
Fall ~ von
wobei
A
(3.19)
vom
Typ
ist J = ([X,~,COp}) ]Iist
und
~
Dim(A) eine
Bezeichnungen
Nach
wie
(i. 9) und
= 3 macht
man
iiber-
Halbdrehung
urn
eine
q
in (3.19)).
(3. ii) ist Ord(J)
sich
und
in ~ P
BEWEIS:
klar,
da~
Senkrechte
= 2r.
Mit
(3.19)~
es
ein ~ E J gibt,
so
zu
g" ist,
in ~
die c P
fiihrt.
Durch
Betrachtung
der
A
COp J erzeugen.
in Z(J) folgt
liegt.
dann
3.21
Da
aus
HILFSSATZ:
zu pp'
senkrechten Der yon Es
nach
(i.ii)
Z(J) = [id,~0pO~} rechte
Mit
Beweis
(3.19~ und
Ebene von
= 2r
(I.14),
wobei
zu der
8 von A
man
nichi
da~
p .
(3.21)
verl~uft
von
die Identit~t
~
A
von
Ro, X
~,
T
A
X
X r/4 ist,
x r/4]" = Dist.
urn
Spiegelung
vollkommen
iiber-
dab
ist J = ([X,~,~0p})
Halbdrehung
A
da~
da~
nach,
und
q der
COp,
Aussage,
Z(J) =[id,
(COp. T)-.,A ist die
dutch
~ und
leieht
(3.19)
die
X,
De~erminanten
rechnet/ X r/4
Fall
von
der
Ord(J)
ist.
in ep
sowie
(3.14)
Im = D,
Ordnungen
A
tationsachsen von X und A und COp komrnt man wegen und
c
g als Schnittgerade
~(g)
leicht
von
= 3 steht.
HILFSSATZ:
fiihrt (restliche
so-
analog
die an
und
Mittelsenkder
zum
zu pv p'
Beweis
(3.20). blelbt
noch
der
Fall
k
= 4 durchzudiskutieren. P
197
Die
Fixpunkt-
20
WEGNER
menge
von ~p
yon
S, und
und
(3.12)
ist [p].
Sie liegt wegen
J ~[M[ transitiv
[p] und
I M EJ,
p"E
ep
cp([p])=
isometrisch
auf einem
[p]}
GroSkreis
operiert
auf [p].
Da
nun
wegen
k
(1.2)
gerade
ist,
P lassen
sich
wenden,
woraus
Rechtecks und
deshalb
die Ergebnisse
folgt,
sind.
Die
dab
des
die Punkte
zweiten von
Mittelsenkrechten
Kapitels
[p]
auf [p]
die Eckpunkte
dieses
Rechtecks
an-
eines
seien
g
g'.
3.22
HILFSSATZ:
Ist k
= 4 und
so trifft e
q E T-[p],
P nee
in ether
der
beiden
die Ebeq
Geraden
g oder" g'.
P BEWEIS: nen,
Wie
die ~
oben
n e
P betrachtungen, auf A
eine
beachte, Typ
3.23
urn e
N e
P Drehungen
beide
H zu den
man
wieder
alle zugelassenen
Ebe-
enthalten, und schlieSt mit analogen Minirnalit~tsq da~ es ein Element ~ in J gibt, dessen Fortsetzung
Drehung
dab
betrachtet
Fortsetzungen
HILFSSATZ"
ist, die ~ in sich fiberfiihrt. q P vom Typ I und heide Drehungen
der
Abbildungen
Ist k p = 4 ' q E T-[p]
aus und
Man vorn
J gehSren.
g "--e p N e q'
so gilt
g = ep n eq, f~r alle ql E T-[p]. BEWEIS:
Unter Beriieksichtigung yon (3.22) sieht die Wider-
spruehsannahme Es
zu (3.23) folgenderma~en aus:
gibt ein q' E T-Ep],
telsenkrechte Aus
yon
Transitivit~ts-
falls Rechtecke, und
ist.
und
und
eq,
= 4 gibt es dann
P drehung d.A.
p dutch
gen,
da~ Mq,OM
Mqt ~
~ Mp
setzungen
(3.15) = r
q durch
oder
[q,].
zueinander
nach
q und
~ Mq~ der
yon
senkrechte
qoA(~ q)
g,, mit urn
~qOC0
und
die von
g verschiedene
sind
[q]
der
Geraden
und
deshalb
man
denn
Fixpunki der
Es hat~
eine
kann i~•
g' g"
ep,
eq
Viertel-
in (3 15) o.B. sich
woraus
Determinanten
ein Widerspruch
sowie
Wegen
A
ist,
eben-
gV und
Ebenen.
so da~ ~
198
[q] g,
ein cp E J,
Gleichheit
drei Abbildungen
yon
[q']
sind
q' ersetzen.
p zum
und
Damit
senkrechte
Mlt-
g" := eq, n eq.
g" die Mittelsenkrechten
zueinander
drei paarweise
n ep
Isornetriegrfinden
g und
paarweise
r
Set g' := eqV n ep und
g" die Mittelsenkrechten
drei
k
[P]
so da~
leicht
zei-
wegen der
Fort-
zu (3. ii) folgt.
WEGNER 3.24
HILFSSATZ:
Fiir k
21
= 4 ist T = [Ik(p) l pE[p],k
=I .... r/4].
P Dabei
ist A
eine
gemeinsame
Gerade,
schwindenden sche
Drehung
Winkel
urn die allen
so da[~ Cp und
zugelassenen
A(r
einschlie[3en.
Ebenen
minimalen
Ferner
von
T
nichtver-
ist Z(J) = D = V 4 (Klein-
Vierergruppe).
Unter
Verwendung
yon
komnmen
analog
Beweis
von
die Einschr~nkungen
Z(J)
zum
(3.23)
Gerade
aller
zugelassenen
p
deren
Kornpositionen
und
verl~uft
von
der
(3.20).
der Ebenen
Beweis
Dabei
sind
yon
(3.24)
voll-
die Elemente
Halbdrehung
urn die gemeinsame
yon
Punktspiegelung
T,
der
an
auf T.
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Stuttgart,
Teubner
zur Differentialgeometrie Dissertation an der TU
1 Berlin
Berlin
12 des
17.
Juni
135
(Eingegangen am 19. November 1970)
199
University
for manifolds, Topology
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1964. transnormaBerlin, 1970.
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Mathematische s Institut der Technischen Universit~t
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