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DELLE C O N G R U E N Z E BINQM[E R[S,P E T T O AD UN M O D U L O PRIMO p O AD U N A P O T E N Z A DI ESSO, NEL CASO IN CUI p - I SIA UN N U M E R O
PRIMO, O V V E R O
IL
2
DOPPIO D'UN N U M E R O
PRIMO.
Nota di B. A l a g n a ,
in Palermo.
Adunsnze del 27 novembre ed tx dicembre
t898.
Si sa che la risoluzione delle r binomie, rispetto ad un modulo primo p, si collega con la ricerca delle radici primitive rispetto al medesimo modulo; ed ~ noto altresl c h e questa ricerca si/fa per tentativi, sia the si segua il metodo di sopprimere mano mano dalla serie
t,u, 3 , . . . , ( p - - O
Ci)
tutti i termini the sodisfano alie congruenze della forma x o ~ dove 0 ~ un ~tivisore primo di p dovuto a G a u s s.
I ...(m~ I, sia the si segua il metodo
Per6, se p m I ~ un numero primo, ovvero il doppio d'un nu2
mero primo, si possono determinare direttamente i diversi esponenti
IQo
R. A L A G N A .
ai quali appartengono i humeri della serie (I), cib che d~ modo di risolvere immediatamente le congruenze binomie rispetto a tale modulo o ad una potenza di esso. Noi consldereremo prima il caso in cui il modulo p sia della forma 4k + I, e poi quello in cui si presenta della forma 4 k + 3.
Ie p:4k+t
E s p o n e n t i ai quali a p p a ~ e n g o n o i nu~neri 1,2,3,
. . . ,.(p--
,).
I. Sia p della forma 4 k +
x e qulndi p- - I - - 2 k. Suppo-2 niamo k anch'esso numero primo, il quale sar~ necessariamente dispari, perch~ per k - - 2, sarebbe p = 9, che non ~ primo. Tutti i divis0ri di p I in questo caso sono:
i, 2, 4,
k,
2k, 4k.
Ora ~ noto che se p ~ un numero primo ed n indica un divisore qualunque di p I, vi saranno 3(n) humeri, minori di p, appartenenti all'esponente n, ore il simbolo ?(n)esprime il numero dei humeri primi con n e non superiori ad n. Quindi della serie (l) un termine apparterr~t all'esponeute I, uno all'esponente 2, due termini apparterranno all'esponente 4, k - - t ali'esponente k, k - - I alt'esponente 2 k, 2 ( k - - I ) all'esponente 4 k e quest'ultimi saranno le radir primitive rispetto a p.
2. Esponenti I e 2 . - I1 termine appartenente all'esponente I evidentememe ~ I; quello appartenente all'esponente 2 ~ - - I . 3. Esponente k . - Essendo, per ipotesi, k un numero primo, ii
DELLE CONGRUENZE BINOMIE RISPETTO AD U N MODULO, ETC.
IOI
pi~ piccolo valore di k ~ t e quello di p /~ 5; cosicch~, qualunque sia k, sar/i 2 primo con p e perb, per il teorema di F e r m a t , sar~ 24~ ~
I (rood p),
x6j ~
x (modp).
ovvero
Poich~ k ~ un numero primo, I6 o appartiene all'esponente t, ovvero all'esponente k. Ora ~ facile dimostrare che I6 appartiene all'esponente I, solo quando ~ k--" I. Infatti, essere I6 ~ I (modp), importa che 15 ~ divisibile per p; ma 15 6 divisibile pei soli humeri primi 3 e 5, ed ~ p diverso da 3, dunque sar/t p --- 5, r k --" r. Pertanto t6 appartiene, in qualunque caso, all'esponente k, e i k - - I termini della serie ( i ) appartenenti all'esponente k sono I6, I6~, I65j . . . ,
I6 t-'
o i loro residui minimi.
4. Esponente 2k.--Poich~ - - r appartiene aU'esponente 2 e I6 all'esponente k, ed ~ 2 primo con k, - - x 6 apparterr~t all'esponente 2 k. Si pub perb dimostrare che 4 appartiene all'esponente 2 k. Infatti, appartenendo I6 all'esponente k, 4 non pub appartenere ad un esponente minore di k. Ma nemmeno esso appartiene all'esponente k, perch~ se fosse 4* ~
I (modp),
2
I (rood p),
cio~
2 sarebbe un residuo quadratico.
IO2
11. A L A G N A .
Ora il numero k si ~ supposto primo e di~erso da 2, quindi ~SO pu6 avere una delle forme seguenti:
Nel primo r
k--4i+
t,
k'--41+
3.
sarebbe p=t6i+j,
ovvero, ponendo m - - 2 i, #.~. 8tn + 5; nel secondo caso s~rebbe k - - x6i + I3, cio~, ponendo m - - 2 i + I,
p--8m+5. In tutti e due i casi p s i presenterebbe della forma 8m + 5 e per6, per un noto teorema, 2 non pub essere residuo quadratico. Essendo intanto 4 ~k ~
r (modp),
e non potendo 4 appartenere n~ all'esponente k, n~ ad un espo-nente minore di k, ~ evidente the 4 apparterr~t aU'esponente 2 k. Indicando dunque con zz, % , ~3, " ' " , ~k-, i k - - r humeri primi con 2 k e non superiori a 2 k, i humeri delia serie (t)appartenenti all'esponente 2 k sono 4 ~,, 4 ~ , 4~,, . . . , ovvero i loro residui minimi,
4~ z
DELLR CONGRUENZE BINOMIR RISPETTO AD U.q MODULO, ETC.
I03
5. Esponente 4 k. - - S i ~ visto, nel numero precedente, the 2 non appartiene all'esponente o k e quindi non pub appartenere n8 all'esponente ~, n6 all'esponente k. Inoltre 2 appartiene al2'esponente 4 solo quando k - - - I , perch~ si ~ detto the la r 2* ~
~t (mod p )
soltanto possibile per k - - I. I1 numero 2 appartiene duuque ali'esponente 4 k ed ~ pertanto la pi6 piccola radice primitiva rispetto a p.
6. Esponente 4 . -
La congrueuza 2 4i ~--- I ( m o d p )
pub scriversi
di modo che, se u k non appartenesse all'esponente 4, dovrebbe appartenere o all'esponente i o aWespbnente a. Ora in nessun caso si ha 2 ~ - ~ I (modp), perch~ si ~ visto che 2 appartiene all'esponente 4 k e nemmeno si ha 21' ~
"~- z (mod p),
perch6, se cosl fosse, sarebbe
el6 che ~ egualmente impossibile. I1 numero u k, ovvero il suo residuo mlnimo, apparhene dunque all'esponente 4, e l'altro numero appartenente aWesponente 4 ~ 23k cio~ -- 2 j.
Io 4
R. & L & G N & .
Possiamo pertanto stabilire il seguente TEOREMA.--Se tan numero primo p 'e della forma 4 k + i, ore k un numero prima, la pih piccola delle radici primitive, rispetto al modulo p, ~ 2; 4 appartiene all'esponente 2 k, I6 all'esponente k, 2 k all" es2~ 4. 7- t~ notevole the il numero k appartiene all'esponente k. Infatti sappiamo che (2t)" + I ~ 0 (mod p) cio~ 4 t ~ 4 k (rood p). Dividendo i due membri per 4, ch'6 primo con p, si ha: 4 ~ ' ~ k (mod p). Essendo k un numero primo dispari, k - - I delia forma k - r ---2 n; cosicch6 si ha
6 pari ed 6 quindi
4'" ~ k (mod p) cio~ 16" ~ k (rood p). Ma x6" appartiene all'esponente k, dunque k*
I (modp),
la quale relazione ha luogo anche per k "-- I. S 2.
.Delle c o n g r u e n z e
x~i~__o, x * - - i ~ o , x ~ - - i ~ o , x ~ t - - i ~ o , x4~--l~--o(modp). 8. Da quanto precede si deduce: I ~ La congruenza x" - -
I
o (modp)
