153

Der Perronsche Integralbegriff und seine Beziehung zum Lebesgueschen. Von Hans Bauer in Wien. 1) I. E i n d i m e n s i o n a l e s P r o b l e m . I. Der Begriff des Perronschen Integrals. Die P e r r o n sehe Integraldefinition ~) entspringt dem Gedanken der unmittelbaren Umkehrung des Differentiationsproblems. P e r r o n sueht gewissermagen Antwort auf die F r a g e : Welehe stetige Funktlon besitzt eine vorgelegte Funktion zur Ableitung? Mit Rtieksieht auf die MSgliehkeit~ dag eine solehe Funktion tiberhaupt nieht angebbar ist~ gelangt er dabei zur folgenden Darstellung. Die zu integrierende Funktion f (x) kann zur Grundlage ether Klasseneinteilung der Gesamtheit der s t e t ig e n Funktionen dienen. Wir kSnnen ni~mlieh alle stetigen Funktionen~ deren u n t e r e Ableitungen in einem bestimmten Intervalle (a, b) g r 5 g e r oder g 1 e i e h f (x) sind, in eine Klasse werfen, die wir naeh P e r r o n als die der zu f ( x ) in (a~ b) adjungierten 0berfunktionen r (x) bezeiehnen. Ftir sie gilt:

D C (x) ~_ f (x),

wenn

a < x < b.

Anderseits bilden alle stetigen Funktionen~ deren o b e r e Ableitungen k l e i n e r oder g l e i e h f ( x ) in (a, b) sind, eine zweite Klasse, die P e r r o n die der zu f (x) in (a, b) adjungierten Unterfunktionen (x) nennt. Sie is~ dureh die Beziehung gekennzeichnet:

D ~ (x) ~ f (x),

wenn

ct < x < b.

Da bet den adjungierten Funktionen r (x) und ~ (x) eine willkttrliehe additive Konstante ohne Bedeutung ist~ fttgen wir noeh die Festsetzung hinzu:

r (a)=o;

~ ( a ) = o.

Die dritte Klasse, in dis alle jene stetigen Funktionen aufzunehmen waren~ deren untere Ableitungen kleiner und deren obere Ableitungen grt~13er als f ( z ) in (a, b) sind~ kommt fUr das Folgende nieht welter 9 in Betraeht. 1) Die Anregung zu dleser Arbeit erhielt der Verfasser yon Herrn Dr. Wilhelm Grog in Wien. 2) O. Perron, ~ber den Integralbegriff. Iteidelberger 8itz. Ber. 1914, Math.-nat. Klasse, Abt. A~ 14. Abhandlung. Monatsh. ftir Mathematik u. Physik. X X V I . J a h r g .

10 a

154

H a n s Bauer.

Die im vorangehenden gegebene Definition einer adjungierten Ober-, bezw. Unterfunktion ist unabhgngig davon, ob f (x) in (a, b) besehrgnkt ist oder nicht. In letzterem Falle kann hSchstens die Existenz solcher Funktionen fraglich sein. Der Einfachheit halber wollen wir jedoch zunachst f(x) als b e s e h r g n k t in (a, b) voraussetzen : Dann kSnnen wir aus den Relationen:

D r (.) >=/(.) > ,,,,

D ~ (x) ~ f (x) ~ _]I, ,~ (a)

=

~ (a) =

o

anf die Existenz einer nnteren [oberen] Sehranke der Endwerte (~') [~ (~')] : r (b) >= ~ (b - - ~), (b) < x ( b

- - a)

und daraus weiter auf das Vorhandensein einer unteren [oberen] Grenze G [g] der Werte r (b) [~ (b)] sehliel~en. Aus dem Umstande, dag in (a, b)

ist~ folgt ferner, dal~ jecle Differenz ,5 ( x ) - - q ) ( x ) eine in (a, b) m o n o t o n w a e h s e n d e Funktion darstellt~ woraus sieh wegen

* zun~ehst

(a) =

~ (cO =

o

,~ (b) > ~ (b)

und weiter

a~g

ergibt. Den ausgezeiehneten Fall, we

G -= 9 wird, bezeiehnen wir als den dee I n t e g r a b i 1i t a t der vorgelegten Funktion f(x) im Sinne P e r r o n s und sehreiben: b

(p)/f_ (x) d x = G = g. ~) a 1) Zur deutliehen U n t e r s e h e i d u n ) yon dem L e b e s g u e s e h e n Integral, das durch das g e w 5 h n Ii c h e Integralzeichen dargestellt werden mSge, sell das P e r r o n s c h e Integral stets durch ein beigefiigtes (P) gekennzeichnet werden.

Der Perronsehe Integralbegrlff.

155

Somit gilt die U n g M e h u n g : b

? (b) <'(p)f (x) d x < 6, (b) (t

und ftir die I n t e g r i e r b a r k e i t yon f (x) erhalten wir die B e d i n gung: Zujedem ~ > 0 m u g es e i n e a d j u n g i e r t e Unterfunktion ~(x) und eine adjungierteOberfunktion 6 ( x ) g e b e n ~ so d a $

,,

(b) - -

(b) <

ist. Insbesondere ist noeh zu beaehten, dag sieh die bier wiedergegebene Integraldefinition unmittelbar auf u n b e s c h r i~n k t e F u n k tionen f (x) tibertragt~ sobald die E x i s t e n z adjungierter F u n k t i o n e n vorausgesetzt wird mit der y o n Wilh. G r o g gegebenen Forderung~ dag stets die o b e r e Ableitung einer adjungierten U n t e r funktion naeh o b e n~ die u n t e r e Ableitung einer adjungierten O b e r funktion nach u n t e n e n d 1 i e h sein sell. Das Vorhandensein einer oberen Grenze der ~ (b) und einer unteren Grenze der '4 (b) folgt dann einfach daraus~ dag alle

(b) < ,,* (b) (b) > (b)

und alle sein mtissen~ wenn gierter F u n k t i o n e n Das Reehnen selbst a. a. O. zum

,~* (x) und ~* (x) ein bestimmtes P a a r adjunyon der geforderten Eigensehas sind. mit den so definierten Integralen" hat P e r r o n grSgten Teile erledigt.

w 2. identifikation des Perronschen Integrals mit dem Lebesgueschen im Falle eines beschriinkten lntegranden. Perron hat ferner noch den wiehtigen Satz bewiesen~ 1) daI3 j ede be~chr~nkt% im L e b e s g u e schen Sinne integrierbare F u n k t i o n auch ein Integral im Sinne s e i n e r Definition besitze, und damit gezeigL dal3 s e i n Integralbegriff mindestens e b e n s o v i e 1 leiste als der yon L e b e s g u e~ soweit b e s e h r ~ n k t e F u n k t i o n e n in Betraeht kommen. Es sell n u n im folgenden fur beschr~nkte F u n k t i o n e n der Beweis erbraeht werden, dag tier Anwendbarkeitsbereieh des Perronsehen Integralbegriffes keinesfalls grSger ist als der des Lebesgueschen. Mit anderen W o r t e n : Es gilt tier folgende Sinne

Satz: Jede Perrons

im Intervalle integrierbare

(a, b) b e s e h r a n k t % Funktion f(x)

1) P e r r o n , a. a. O., p. 13 ft. lla*

im ist

156

Hans Bauer. daselbst auch imLebesgueschen b a r u n d es i s t : b

Sinne

integrier-

b

(~)jf ( . ) d . = j r a

( X ) d X . 1)

a

Bekanntlich sind die Ableitungszahlen stetiger Funktionen, also auch die Ableitungen D ~ (x) und D r (x) adjungierter Funktionen im L e b e s g u e s c h e n (insbesondere im B o r e l s c h e n ) Sinne m e l 3 b a r . ~) Die Integrierbarkeit derselben im Sinne L e b e s g u e s ist jedoch nur dann gew~thrleistet, wenn wir wissen~ da~ D ~ (x) und D 6 (x) in dem zugrundegelegten Intervalle (a~ b) b e s c h r ~tn k t oder s u m m i e r b a r sind. Das wird nun im allgemeinen bei den Ableitungen adjungierter Funktionen nicht zutreffen. Wir mtissen uns daher durch ein geeignetes Verfahren, dessen Zweckmiil3igkeit sich schliel31ich erweisen wird, b e s c h r ~tn k t e mei3bare Funktionen verschaffen~ die mit D ~ (x) und D r (x) unmittelbar zusammenhgngen. Sind also D ~ (x) und D q (x) die Ableitungen eines bestimmten adjungierten Funktionenpaares~ so bilden wir uns n e u e Funktionen durch die folgende Definition :

q(x)=D~(x),

wo

D~(x)>m;

=m,

wo

D~(x)~m.

,~ (x) = 29 r (x),

wo

D ~ (x) < M;

-~ M,

wo

DC(x)>M.

m u n d M sind dabei Minimum und Maximum der beschr~tnkten Funktion f(x) in (a, b). ~1 (x) und 71 (x) sind, weil mel~bar und beschriinkt~ im Sinne L e b e s g u e s integrierbar : x~

x

j ~1 (x) dx =

(x),

a

Die so gewonnenen die Eigenschaft :

~ ~1 (x) dx = r (x). ct

stetigen Funktionen ~1 (a) =

4 i (a) =

% (x)

und

r (x), die

0

besitzen, k~nnen jedoch nicht als zu f(x) adjungierte Funktionen im frtiher definierten Sinne angesehen werden, da im allgemeinen ihre Ableitungszahlen D % ( x ) und D '.~L(x) nur~ yon einer N u 11 m e n g e abgesehen, mit ~1 (x) und 7t (x) tibereinstimmen werden, also insbesondere in den Punkten dieser Nullmenge gr(il~er

p. 256.

1) Sieho die Ful~note auf S. 154! ~) de la Vallde Poussln, Cours d'analyse infinitdsimal% 2. Aufl, Bd. 1,

Der Perronsche Integralbegriff.

157

bezw. kleiner als f(x) werden sein kSnnen. Es bedarf daher einer besonderen Uberlegung in betreff des Verhaltnisses der Endwerte % (b) und ~l (b) zu den Grenzwerten g bezw. G der adjungierten Funktionen im Punkte x = b. Zun~tchst ist 1ant Definition der Funktionen ~i (x) and ~ (x) klar, dai]

% (b) > ~ (b);

~ (b) ~ ~ (b)

sein mu~, wenn ~ (x) und ~, (x) die adjungierten Funktionen sind, zu denen die Ableitungen D ~ (x) und D ~ (x) gehSren. Wegen der vorausgesetzten I n t e g r i e r b a r k e i t yon f ( x ) im Sinne P e r ro n s mug ferner

G=g

sein. Dann aber folgt, weil wit ,~ (b) beliebig nahe an G heranbringen kSnnen und jedenfalls r (b) >____% (b) ist, die Beziehung % (b) ~ G ~---g. Ebenso erkennt man, dal~ sein mul~ so dal~ wir zusammenfassend schreiben k(innen: 9 (b) ~ % (b) ~ g = G ~ r (b) ~ r (b). Wir ersehen daraus~ da~ die nach dem obigen Verfahren gebildeten Funktionen im I n t e g r a b i l i t ~ t s f a l l e yon f(x) d i e s e l b e gemeinsame Grenze im Punkte x ~ b besltzen wie die zu f(x) adjungierten Funktionen. Wir konstruieren uns nun~ yon den Funktionen ~l (x) and ~1 (x) ausgehend, m o n o t o n e F o l g e n , die beide gegen f(x) konvergieren. Dies gelingt mit Heranziehung der Ableitungen D ~0' (x) und D r zweier anderer adjungierter Funktionen ~0'(x) und r (x) und Fortftihrung des oben augewandten Verfahrens:

wo

~ (x) ~ 2) ~'(x);

~- D ~'(x), wo wo

~1 (x) < D ~' (x). ~1 (x) _< D r (x) ;

= 2) r (x), wo

~, (x) > D ~' (x).

r (x) -= r (~), ~.~ (x) = ~ (x),

Aus 5s (x) und ~2 (x) bilden wi r durch Verwendung neuer Ableitungszahlen D r (x) und D ,~" (x) Funktionen ~3 (x) and ~3 (x) in vtillig analoger Weise. Die konsequente Fortentwicklung dieses Prozesses liefert eine m o n o t o n w a c h s e n d e Folge yon Funktionen 51 (x) :

158

Hans Bauer.

und eine m o n o t 0 n a b n e h in e n d e Folge Yon Funktionen ~ (x) : M~

lim ~ (x) ~ f ( x ) .

~ (x) ~ ~s (x) ~ . . .

Da beide Folgen b e s c h r ~tn k t sind und jede der Funktionen ~,. (x) und ~i; (x) mel~bar und besehr~tnkt ist~ so sind nach einem bekannten Satze ~) yon L e b e s g u e aueh die G r e n z f u n k t i o n e n lira ~,~(x) und lim ~n(x) m e g b a r n ~

und b e s e h r l t n k t

und somit im L e b e s -

(2X3

g u e s c h e n S/nne i n t e g r i e r b a r . Wenn wir ferner allgemein b

b

)

(b);

ct

(.) d. a

setzen~ so erhalten wir entsprechend die m o n o t o n e n Folgen : % ( b ) ~ q~ (b) ~ % (b) = ~ . . . lim % (b) -~- g = G, ~z ~

cxD

,~ (b) ~ ,2 (b) ~ ,.5a (b) __> . . . lim ~ (b)

G = g.

Offenbar ist nach dem frtiher Bemerkten: b

lira % (b) ~--- f lira {~ (z) d x = g a

b

]i__m~, (b) = f lim 7,* (z) dx = g, c~

Tt ~

(2x3

woraus dureh Subtraktion folgt: b

f lim I~,~(z) - - ~,, (z)J d x = 0 und welter wegen

,, (z) > i f (.) > 5~ (x) lim ~ (x) ~ lim ~,~(x) = f (x) ftir jedes x in (a~ b) mit A u s n a h m e einer N u l l m e n g e . Somit ist m e l ~ b a r und i n t e g r i e r b a r ~ und zwar ist :

f(x) im Sinne L e b e s g u e s b

b

f f (x) dx = ~ 2 i m ~,, (x) dx = g; 1) d e l a V a l l d e

Poussin,

a.a.O.,

p. 254.

159

Der Perronsche Integralbegriff.

definitionsgemal~ ist aber aueh naeh P e r r o n : b

(~f / (x) dx = g, a

also

b

b

w. z. b. w.

Aus der eingangs erwahnten, yon P e r r o n selbst durehgeftlhrten Untersuchung und dem eben bewiesenen Satze ergibt sieh nunmehr dis v011ige X q u i v a 1e n z der Integralbegriffe yon P e r r o n und L e b e s g u e im Falle eines b e s c h r a n k t e n Integranden. Besondere Untersuehungen, fails dis zu integrierende Funktion f (x) Jn (a, b) n i c h t b e s e h r a n k t ist, sind im zweiten Teile dieser Sehrift, tier sich allgemein auf Funktionen m e h r e r e r Veranderlichen bezieht, enthalten. II. M e h r d i m e n s i o n a l e s P r o b l e m . w 1. Begriff der stetigen lntervallfunktion und ihrer Ableitungszahlen. Um zu einer einfachen V e r a l l g e m e i n e r u n g des P e r r o n schen Integralbegriffes auf Funktionen mehrerer (n) Veranderlichen~ wie sic im folgenden Paragraphen durchgefuhrt ist, zu gelangen, entnehmen wit die sp~tter noch entsprechend zu definierenden adjungierten Funktionen [zu einer gegebenen Funktion f ( x l , x ~ . . . x~0] der Klasse der sogenannten Intervallfunktionen. Wir k0nnen jeder stetigen Funktion ~o (xl, x 2 , . . , xn) - - wir gebrauehen daftir im folgenden stets die abgektirzte Sehreibweise q0 (x) - - eine I n t err a 11 funktion dureh die naehfolgende Definition zuordnen. Fixieren wir in der dureh die Koordinaten xl, x~ . . . x,, bestimmten n-dimensionalen Mannigfaltigkeit einen Punkt (a) mit den Koordinaten al, a,~,.., a ~ so soll der Funktion q~(x) die I n t e r v a l l f u n k t i o n (a, x) entsprechen, indem ftir jedes Parallelotop or (a, x), das dureh die Punkte (a) und (x) bestimmt ist, die folgende Darstellung gelten soll:

(a, x) = ~ (z) - - ~ ~ ( % x ~ , . . , x,0 + -~- 2 q~ ( a l ,

a2,

x3,

..

9 xn)

. . . .

+ (-- 1)~ ~ (a); dabei ist jede der Summen tiber alle m0gliehen Anordnungen der jeweiligen Anzahl Koordinaten ai zu erstreeken.

160

Hans Bauer.

In 1Jbereinstimmnng damit wollen wir als Rechenvorsehrift ftir die so definierten Funktionen das A d d i t i o n s t h e o r e m festsetzen~ welches ftir die Darstellung des e l e m e n t a r g e o m e t r i s e h e n I n h a 1t e s e i n e s aus Parallelotopen zusammengesetzten Ber e i e h e s im n-dimensionalen Raume durch eben diese Parallelotope gilt. W i t tibertragen also eine besondere Eigensehaft des I n h a 1t e s~ der ja selbst eine s p e z i e 11 e I n t e r v a 11 funktion ist~ auf die ganze K 1 a s s e dieser Funktionen. Dementspreehend soll auch der Wert einer Intervallfimktion~ gebildet ftir einen parallelotopischen Bereich yon w e n l g e r als n Dimensionen i gleich N u l l sein. Bezeiehnen wir also jedes Intervall 3" (x~ ~) stets durch jene Endpunkte (x) und (x)~ fiir welehe die Beziehung besteht:

7, > ~,

(i = 1, 2, . . n),

so gilt ftir den elementargeometrischen I n h a 1t desselben M (x~ x ) in bezug auf einen lest gewghlten Punkt (a), sofern dieser die Koordinaten

a,. ~ x~.

(i = 1, 2 , . .

n)

besitzt~ die folgende Darstellung: M (x, 7) = : ~ (a, Vx) - - ~ M (~ ; >,, ~ , . . . 7,,) +

q- 2 ; ~ ( ~ ; x~, ,~, x ~ , . . . ,%,) . . . .

§ (-- 1)~ ~r (~, x);

dabei ist jede der Summen tiber alle m5glichen Anordnungen der betreffenden Anzahl Koordinaten x~ zu erstreeken. Mit Rticksicht auf die gegebene Rechenvorsehrift folgt daraus far ~ ( G ~) die wichtige Beziehung :

(~, ~) = ~ (~, 7) - - ~ ~ (~; ~ , 7 ~ , . . .

x~) q-

q- (-- l y ~ (~, 7). Insbesondere erhalten wir~ wenn (x) mit (x) zusammenf~tllt:

= q~(a, x) (1 - - 1)'* := 0. Ebenso ist

(x, x) = 0,

161

Der Perronscho Integralbegriff.

sobald in bezug auf eine oder mehrere Koordinatenrichtungen

wird; dies entspricht dem Umstand% daf wir jedem parallelotopischen Gebilde yon weniger als n Dimensionen im n-dimensionalen Raume den Inhalt Null beizulegen haben. Damit ist auch die Stetigkeitseigenschaft der I n t e r v a 11funktion q0 (x~ x) gekennzeichnet, welche darin besteh% daf mit lim M ( x~ x) -~- 0 zugleich auch lira %0(x~ x) ~ 0 ist. Dieser Stetigkeitsbegriff ist jedoeh nur auf Funktionen e i n e s oder einer e n d 1 i c h e n Anzahl yon Intervallen - - letztere Funktionen lassen sich ja immer als Summen yon e n d l i c h vielen Funktionen ei n e s Intervalls darstellen - - anwendbar. L e b e s g u e gebraucht daftir den Ausdruck , c o n t i n u e a u s e n s l a r g e " (Sur l'int6gration des fonctions discontinue% Ann. sc. de l'4cole norm. sup. 1910~ p. 413). Die im vorangehenden gegebene Definition der I n t e r v a l l s d. h. einer auf parallelotopische Bereiehe bezogenen Funktion~ gestattet in einfaeher Weise eine Erweiterung auf b e 1i e b i g begrenzte Bereich% die nur der Bedingung zu geniigen haben~ daft ihre Berandung den I n h a l t N u l l besitz% also diskret sei. In diesem allgemeineren Sinne wollen wir yon Bereichfunktionen sprechen. Ftir sie gilt der sieh im wesentlichen schon bei L e b e s g u e findende Satz: I s t e i n e a b s o h t s t e t i g e ! ) Intervallfunkt i o n ~(a~x) i m I n t e r v a l l e J(a~b) d e s n - d i m e n s i o nalen Raumes definiert und in demselben ein beliebig begrenzter n-dimensionaler Bereich S mit diskreter Berandung g e g e b e n ~ so k a n n d e r Wert ~(S) der Funktion q~ f u r d i e s e n B e r e i c h S stetsalsGrenzwert vonIntervallfunktionswerten dargestellt werden. Damit ist die Funktion q0 a l s Bereiehfunktion i n J(a~b) e r k l K r t . Um dies einzusehen~ denken wir uns eine Einteilung yon J (a: b) in eine e n d 1ie h e Anzahl yon Parallelotopen2) ausgeftihrt. Bezeichnen wir die Menge der innerhalb des Bereiches S liegenden Parallelotope mit $1~ so wird der Wert yon %onaeh dem A d d i t i o n s t h e o r e m angegeben werden kSnnen: q~ ($1). Nennen wir anderseits die Gesamtheit i) ~ A b s o l u t s t e t l g " bedeutet eine E r w e i t e r u ~ g ' des o b i g e n Stetigkeitsbegriffe* in folgendem Sinne: Bezeichnet E eine Menge endlich vieler Intervalle und M(E) deren Inhalt, so soll bei unendlich abnehmender GrSfie and zugleich unendlich wachsender Anzahl der Intervalle mit lim M(E)~O aueh (E) = 0 seln. ~) die nicht tibersinandergrelfen sollen ( p a r a l l e l o t o p i s c h e s Netz). MonaSsb. ffir IYfaShematik u. Physik. X X V I . gahrg.

11

162

H~u~ Bauew.

der Parallelotope, welche S gerade einschliefien, /'1, so wird der entsprechende Wert yon ~0 r (/'1) sein. Verfeinern wir nun die Einteflung dureh Einschaltung neuer Teilintervall% die ebenfalls nieht ubereinandergreifen sollen, so werden wir entsprechend Intervallmengen S~ und T~ erhalten yon der Art, dag ihre Inhalte M(S~) und M(T~) die Ungleichungen befriedigen :

~(s,) ~ ~u (~) ~ ~(T~) ~ i ( r l ) . Die zugehSrigen Werte yon ~ werden ~ (S~) und ~ (/'2) sein. Setzen wir dieses Verfahren fort, so werden wir zu Intervallmengen S~ und Tn gelangen, so dag

M ($1) ~ ~ (S2)~ . . . ~ :U (S,) ~ M (T,,) ~ . . ~ :U (r~) ~ M (T1) ist. Dazu werden wir die Folgen yon Funktionswerten erhalten. Ist nun die Berandung von S so beschaffen, dal~ lim M (S,0 = lira M (T,~) ist, d. h. hat die B e r a n d u n g yon S den Inhalt lira M (T~ - - S~) ~--- 0, so wollen wir s i e d i s k r e t nennen. We~gen der a b s o 1 u t e n Stetigkeit der Intervallfunktion ~ (a, x) wird : sobald ist. Ist also die B e r a n d u n g

yon S d i s k r e t ,

so wird

lira M (S,) = lira M (T,) = M (S) und gMehzeitig lira ~ (S, 0 = lim ? (T,,) = ~ ( S ) , wenn wir die Unterteilung der Intervalle ins Unendliehe fortsetzen. Damit ist der Satz bewiesen. Auf Grund dieses Satzes kann der Geltungsbereich der im folgenden spezlell ftir I n t e r v a ll funktionen ausgesprochenen S~tze auf Funktionen b e l i e b i g e r Bereiehe mit d i s k r e t e r B e r a n d u n g ausgedehnt werden. 1) Die Bevorzugung dor stetigen ~) I n t e r v a l l f u n k t i o n e n vor den g e w (i h n 1i c h e n stetigen Funktionen yon n Veriinderlichen 1) Damit ist allerdings elne B e s c h r a n k u n g " der Klasse der s t e t i g e n Intervallfanktionen auf die der a b s o l u t s t e t i f f e n verbunden. ~) Zur Definitiou der A b t o i t u n ff gonii~t h[er der Stetigkeitsbegriff in jonem u r s p r i i n g l i c h e n Sinne, dal~ das Nullwerden der Funktion an das Nullwerden e n d l i c h vleler Intervallinhalte gebunden ist. So ist , S t e t i g k e i t " auch iiberali im fo]genden zu verstehen.

Der Perronsche Integralbegriff.

163

riihrt daher, dag wir bei ihnen nach dem Vorgange L e b e s g u e sl) sehr bequem zu einer Definition der Ableitung bezw. der Ableitungszahlen in einem bestimmten Punkte P gelan_gen. W i t sehliefien diesen Punkt in ein kleines Parallelotop J(x, x) yon endlieher Ausdehnung in jeder der Koordinatenriehtungen ein, dessen Inha!t dureh n

i=1

gegeben ist, und bezeichnen den folgenden Grenzwert: lira .... 0' =

~(x,_ x)_ ~ D ~ ( P ) , o M(x,

x)

1 , 2~ . . . n )

sofern er existiert, als o b e r e A b l e i t u n g yon ~(a,x) im Punkte _P. Analog sell die u n t e r e Grenze des vorstehenden Ausdruekes die u n t e r e A b l e i t u n g yon ~ (a,x) im Punkte P deftnieren, die wir entspreehend mit

2)

(p)

bezeichnen. 2) Der Grenztibergang sell derart stattfinden, dal3 die Dimensionen x,. - - xi stets in e n d 1i e h e n Verh~ltnissen zueinander bleiben, d. h. yon d e r s e 1b e n GrSl~enordnung u n e n d 1i c h k 1 e i n werden. w 2. P e r r o n s c h e s Integral e i n e r F u n k t i o n v o n n V e r i i n d e r l i c h e n [n-laches P e r r o n s c h e s Integral].

Da wir den Ausftihrungen des vorhergehenden Paragraphen zufolge in eindeutiger Weise jedor stetigen Funktion yon n Veranderliehen eine stetige I n t e r v a 11 funktion zuordnen kSnnen, so bedeutet es sieher keine Besehr~tnkung der Allgemeintleit, wenn wir im folgenden der Auswahl der zu einer gegebenen Funktion f (P) s) adjungierten Funktionen nieht die Menge der stetigen Funktionen sehleehthin, sondern die der stetigen I n t e r v a 11 flmktionen zugrunde legen. Wir nennen also jede stetige Intervallfunktion q~ (a, x) eine zur zu integrierenden Funktion f (P) im Intervalle J(a, b) adjungierte Unterfunktion, wenn ihre im frtiher definlerten Sinne gebildete o b e r e Ableitung D ~ (2") __
164

Hans BauEr.

ist ftlr jeden P u n k t - P yon J(%b). 1) DesgMchen heil~e jede stetige In~ervMls r (a, x) eine za f (P) in or(a, b) adjungierte 0berfunktion, wenn ihre u n t e r e Ableitung

D r (])) ~ f (P) ftir jeden Punkt P yon

J(a, b)l) ist. Die Beziehung

(a, a) ~ ~ (a, a) : O liegt bier ira Wesen tier I n t e r v a l l f u n k t i o n . Die hiemit gegebene Definition der adjungierten Funktionen ist wie im eindimensionalen Falle unabhangig yon der Voraussetzung~ dug f(P) in 3"(a, b) besehrankt sein soil. Rei anbeschr/~nktem f ( P ) kann auch bier h(ichstens die Existenz solcher Funktionen zweifelhaft sein. Gleichwoht wollen wir im folgenden tier einfachereu Behandhung wegen zunitchst f (P) als in J (% b) b e s e h r a n k t annehmen~ sodag wir stets zwei reelle Zahlen m und M angeben ksnnen yon der Eigenschaft~ dug

m ~ f ( P ) ~ M; ist ftir alle Punkte P yon J(a, b).e) Ehe wir nun an die I n t e g r a l d e f i n i t i o n selbst gehen, beweisen wir noeh den folgenden S a t z : I s t i n g a n z J(a,b) D ~ ( P ) < M , so g i l t f a r ein beliebiges Teilintervall Or(x, x)--yon 3-(a, b) d i e Ungleiehung: n

i=1

1) mit :Einsehlu$ der Berandung. ~) Der oben angegebene Beweis bezleht sich auf dio yore Verfasser ursprtinglich im Auge gehabte a l l g e m e i n e r e Ableitungsdefinition, nach weleher die Einhaltung e n d l i e h e r Verhaltnlsse der D i m e n s i o n e n beim Grenziibergange n i e h t geforc]ert wird ; auf die m i t 8ieser Einsehr~ukung versehen% im folgenden stets festgehaltene Definition finder er daher k e i n e Anwendung. In d i e s e m Falle empfiehlt Herr W. G r o g naehstehenden einfachen Beweis: Ware nim~lieh im Gegenteile

~, (x, ~) > (~z+ ~) I1 (x~-- x~) [~:> 0 belieblg klein], so k~Snnen wir das Intervall ,l(x~ x) in 97~ kongruente Teilparallelotope spalten; in einem derselben d ( x-(1), x (1)) miii~te dann gleiehfalls (x i

-- xi )

Der Porronsche Integralbegriff.

165

W i r ftihren nach dem Vorschlage y o n Wilh. G r o l~ den ~ a c h weis sukzessiv% indem wir~ veto P u n k t e (x) ausgehend, die Untersuchung a u f die aufeinanderfolgenden P u n k t e eines rechtwinkligen Zuges beziehen~ der den P u n k t (x) mit dem P u n k t e (x) verbindet. Sei x 1 die Koordinatenrichtung~ die wir yore P u n k t e (x) aus zuerst bis zum W e r t e x 1 verfolgen; wir gelangen so zum P u n k t e (~i, x ~ . . . . x,~). W e g e n der uberall gtiltigen Voraussetzung D ~ (LP) ~ M und der S t e t i g k e i t der in der zu beweisenden Relation auftretenden Funktionen kSnnen wir u m jeden P u n k t P yon J(a,b) und insbesondere um jeden P u n k t (xl, x~, ... xn) der Streeke x 1 x 1 eine endliehe parallelotopisehe U m g e b u n g abgrenzen, soda~ ftir jeden P u n k t (x ~) derselben die folgende U n g l e i c h u n g gilt :

fx ,

*

x*. <

+

dabei stellt ~ eine willktirlich kleine positive~ jedoch f[ir alle folgenden Betrachtungen f e s t e GrSge dar. Mit Hilfe des H e i n e - B o r e l s c h e n Theorems k~innen wir nun sofort sehliel3en, dal3 es unter den erwi~hnten parallelotopisehen U m g e b u n g e n eine e n d l i e h e Anzahl geben wird derart~ dag jeder P u n k t yon (xl~ xl) im I n n e r n yon mindestens e i n e r derselben liegt~ wobei wir als erste die u m den P u n k t (x); als letzte die um den P u n k t (x-~, x-2,.., x,~) wahlen. ~,-(1) =(1), sein. Auf J ( x ~x ) wenden wir nun dasselbe Verfahren an und erhalten ein Intervall J(x(2),x ('2)) yon d e r s e l b e n Eigenschaft. Die weitore Fortsetzung diesesProzesses ergibt eine F o l g e i n e i n a n d e r g e s c h a c h t e ] t e r I n t e r v a l l e J (x(k)~x(k))~ fiir welche die Beziehung gilt: (x (k), x (k))> (M-f- r [] x~k)

x~!k)).

( *)

Alle diese Intervalle setzen aber einen P u n k t P zur Grenze, in welchem dann notwendig (x (k),x~k)) D ~ (P) ~. lim > Mq-- ,~ n k--oo =(k) x(~)) H (xi i i

1

sein miifito, wegen der willkiirlichen Klelnheit yon E im Widersprucho mlt unserer Voraussetzung. Der hiebei auszuschliefiendo Fall, dag P gemeinsamer Ran dp u n k t aller Intervalle J(x (k),x (k)) ist, orledigt sieh durch die Bemerkung, daft wir wegen der S t e t i g k e i t yon ? (a,x) jedes der Intervalle J (x (k), x (~)) um einon beliebig kleinen, parallelotopisehen Tell vergr(iilern ki~nnen, sodafl P i n n e r e r Punkt und doeh die Eigenschaft (*) n i c h t aufgehoben wird.

Hans Bauer.

166

Unter diesen endlieh vielen Umgebungen wird mindestens e i n e hinsiehtlieh einer der Koordinaten xs~ x 3 , . . , x. die k l e i n s t e Ausdehnung (Kantenlange) besitzen; dann bestimmen wir ein die Streeke x~ ~ umschliel3endes Parallelotop derart~ dal~ seine Dimensionen senkrecht zur Koordinatenriehtung xz diesen kleinsten Betrag haben. Innerhalb dieses parallelotopisehen Streifens stellen wir nun eine Folge n i c h t t t b e r e i n a n d e r g r e i f e n d e r Intervalle in der Weise her~ dag wir zwisehen je zwei aufeinanderfolgenden M i t t e l p u n k t e n unserer ursprtinglichen Umgebungen einen beliebigen Z w is e h e n p u n k t wghlen und dureh denselben eine zur Koordinatenrichtung x~ senkrechte Ebene hindurchlegen. Wir bezeichnen dis genannten 3/I i t t e 1punkte mit x~;)~ so dal~ die Beziehung besteht :

Xl : Xl(0)< x~l) < Xl(2)< " ~ < Xl(~I): ~l' und j eden Z w i s e h e n punkt mit x; 0, wenn er zwisehen x~(~)und x;' +1) liegt. Endlieh sei der einem Punkte x~O bezw. x~<') entspreehende Punkt auf jener Karte des Streifen=s~ die in jenem Koordinatenraume verlauft, in dem der Punkt (x) liegt~ dureh die Koordinaten x~+)~x 2 , . . , x bezw. x;0)~ x ~ . . . x n gekennzeichnet. Offenbar gelten dann die Relationen

9 LXz,

x--~,

x

< (M

~-- e) (X~(~ -- Xl)

[ x~I)' X2' '" Xn < ( M + Lx~(~ x~,.

x_

~) (x(1)

(Xl --

n x ~ ( 0 ) ) n (3?i - - ~,) i=2

Aus ihnen folgt dureh Addition:

LX1~

X~~

x

~');

i=

also wird allgemein

n

167

Der P e r r o n s c h e Integralbegriff.

sein. Daraus sehliel~en wir~ dal~ n--1

[.21 ~ X 2 ~

X~J

k= 0

n--1

n

k~O

i~2 n

mithin n

[Xl~ X2~

Xn-

i~2

ist. Ebenso kSnnen wir jede zu x l x 1 parallele Strecke in der mit einem derartigen parallelotopischen Streifen von stets endlichen Dimensionen umgeben und naeh dem H e i n e- B o r e 1schen T h e o r e m aus diesen Streifen eine e n d 1i c h e Anzahl auswiihlen. Unter diesen wird es wieder mindestens e i n e n yon k 1 e i ns t e r Ausdehnung I xl--xl] in einer der Koordinatenriehtungen x~, x4~.. x,, geben, nach der wir das die Flaehe (zweidimensionale Mannigfaltigkeit) Ix1, x~ ; xl, x~] umgebende Parallelotop bemessen. Wir summieren nun tiber Mle so aus den s Streifen entstehenden neuen Streifen in der Riehtung der Koordinate x~ und gelangen, da die obige Ungleiehung fur den ersten dieser Streifen und also auch ftir jeden anderen bereits bewiesen ist~ zu dem Ergebnisse :

(Xl, x~)-Ebene

-

]

-

kXl~ x2) x g ~ .

:Vn

i=3

Haben wir naeh diesem Verfahren die Summierung tiber alle Koordinaten x~, x 2 . . . bis einschliei~lich x, vollendet~ so ist das ScMugresultat die zu beweisende Ungleichung: n

i=1

die wegen der willktirliehen Kleinheit van ~ aueh in der Form gesehrieben werden k a n n : 0g

(x, ;)<

.II f~l

- z2).

168

HanB Baaor.

Durch einen vtillig analogen Gedankengang lttgt sich aus dor Voraussetzung~ dug in ganz 3"(a, b) D r (P) >

m

ist~ fur ein beliebiges Teilintervall J ( x , ~) yon J ( a , b) die Ungleichung, beweisen : n

, (x-, x=)>

II

- x).

Wir kehren nun zu unserer eigentlichen Aufgabe, der Entwicklung des P e r r o n s c h e n I n t e g r a l b e g r i f f e s , zurtick und wenden die zuletzt bewiesenen Ungleichungen a=ufden Fall an, dal~ der Punkt (x) mit dem Punkte (a), der Punkt (x) mit dem Punkte (b) zusarflmenfifllt : 1)

(a, b) < M. I I (b~- a,), i=1

, (a, b)

H (hi-,,). i=1

Diese Bedingtmgen gelten offenbar ftir alle adjungierten Funktionen (a, x) und r (a, x). Wir erkennen daraus~ dag die Werte der adjungierten U n t e r f u n k t i o n e n ~(a,x), gebildet ftir das ganzo Intervall J (a, b), unter einer festen Schranke liegen und somit eine endliche o b e r e G r e n z e g besitzen. In ahnlicher Weise kSnnen die ftir J(a,b) gebildeten W e r t e der adjungierten O b e r f u n k t i o n e n 6. (a, x) einen festen Wert nicht unterschreiten und konvergieren doshalb gegen eine endliche u n t e r e G r e n z e G. Weil nun in ganz J (a~ b) D ~ (P) = D , (P) - - D ~ (P) 2> 0 sein ftir alle Punkte P yon J (a, b) mit Einschlul~ des Randes und aus densolben Grtinden wie oben ergibt sieh ftir ein beliebigos Teilintervall J (x, x) yon d (a, b):

(x,x)

~(x,x)>0,

1) D r (P) < M bezw. D ~ (P) > m gilt ja nach VorausBe~anff auch n(mh auf dora Rande yon J ( a , b).

Der Perronsche Integralbegriff. sine Beziehung, die aueh noeh far ( x ) = mug und derzufolge aueh G --g>0

169

(a) und ( x ) ~ (b) gelten

ist. Wir gelangen so zu dem Ergebnisse: (a,

b) < g < G < ~ (a, b).

Im Sinne P e r r o n swollen wir nun die vorgelegte Funktion f (P) im Intervalle J (a~ b) i n t e g r i e r b a r n e n n e n , sobald

G~g ist; in Zeiehen

(~)lf~( P ) d t ' =

G = g.

J(a, b)

Besteht dieses Integral, so gilt ftir alle adjungierten Funktionen ~ (a, x) und '~ (a, x) :

J (a, b)

Integrabilit~tsbedingung: Z u r E x i s t e n z d e s P e r r o n schen Integrals einer Funktion f(P) im Intervalle J(a,b) i s t n o t w e n d i g u n d h i n r e i c h e n d , d a g es zu jedem beliebig kleinen s>0 e i n P a a r zu f ( P ) i n J(a,b) a d j u n g i e r t e r F u n k t i o n e n ~(a,x) u n d ~ ( a , x ) gibt, so dag r (a, b) - - ~ (a, b) < ist. Wir bemerken aueh hier~ dag die im vorangehenden gegebene Integraldefinition yon der Voraussetzung unabhangig gemacht werden kann~ dag f(P) in J(a, b) besehrankt ist~ sobald wir [bei u n b e sehr~nktem f ( P ) ] die E x i s t e n z adjungierter Funktionen yon der im e i n dimensionalen Falls [p. 155] hervorgehobenen Eigensehaft annehmen,

w 3. Eigenschaften des verallgemeinerten Perronschen Integrals. Im folgenden sell eine Reihe yon Satzen tiber das R e c h n on mit P e r r o n s c h e n Integralen, die P e r r o n selbst a. a. O., p. 6 if., ftir den e i n d i m e n s i o n a l e n Fall bewiesen hat, unter Beibehaltung der dortselbst angewandten Beweismethoden, auf die v e r a 11gemeinerten Integrals ausgedehnt werden. Zur Vereinfaehung der Darstellung wollen wir mit r (a~x) und O(%x) stets a d j u n -

170

Hans Bauer.

g i e r t e U n t e r - , mit , ~ ( a , x ) u n d q'(a,x) stets a d j u n g i e r t e Oberfunktionen bezeichnen. Satz 1: J e d e in J-(a,b) i n t e g r i e r b a r e F u n k t i o n f(P) i s t a u c h in j e d e m T e i l i n t e r v a l l e J(%~) yon J(a, b) i n t e g r i e r b a r . Sind ~o(a, x) und ~ (a, x) zu f(P) in J(a, b) a d j u n g i e r t e Funktionen, so besitzen die Funktionen ~ (% x) und r (a, x) offenbar di 0 s e 1b 0 Eigensehaft ftir alle Punkte (x) yon J (a~ ~). Dies folgt unmittelbar aus der ftir Intervailfunktionen gegebenen Definition der Ableitungszahlen. Aus dem Umstand% da6 2) [,~ (P)

--

~

(P)] > 0

[p. 168]

ftir alle Punkte P yon J(a, b) ist~ erkennen wir ferner, dal3 die Differenz ~ ( a ~ x ) - - ~ (a,x) mit J ( a , x ) m o n o t o n w a c h s t . 1V[ithin ist sicher

*,

3) --

< *, (a, b) -

(a, b)

nnd wegen auch also f (P) i n t e g r i e r b a r in J (a, ~), w. z. b. w. Satz 2: I s t (b) e i n P u n k t im I n t e r v a l l e J(a~c) und f(P)daselbst integrierbar, so g i l t d i e Beziehung:

+ J (a, b)

J (a. c)

J-(a; b~, c~,.., c.)

J (a ; b~, ba, c3 . .c.)

J (a, b)

Bedeuten ~ (a,x) und ~ (a,x) zu f(P) a d j u n g i e r t e Funktionen in J(a, c), so ergibt sich die za beweisende Relation nach der Definition des P e r r o n s e h e n Integrals unmittelbar aus dem far ~ (a, x) und r (a, x) als Intervallfunktionen geltenden A dditionstheorem [p. 160]; E i n e r a l l g e m e i n e r e n F a s s u n g 1) d e s A d d i t i o n s t h e o r e m s entspricht der folgende Satz: S i n d J ( a l ~ l ) , J(%, ~), ... JOz,,,~n) e i n e e n d l i c h e Anzahi disjunkter, zum Integrabilitatsbereiche

eine Menge t e t l e r f r e m d e r gehiJriger Intervalle bilden.

( d i s j u n k g e r ) , zum Definltionsbereiehe yon ~p(a, x)

171

Der Perronsehe Integralbegriff.

vonf(P) lation:

gehSriger

Intervalle,

< ,, P)

so b e s t e h t

d i e Re-

~'=: z(% P9

Satz a: I s t f(P) i n J(a,b) i n t e g r i e r b a r , so ist daselbst a u e h k.f(P) i n t e g r i e r b a r , wenn k eine Konstante b e d e u t e t ~ u n d es i s t :

(p)f ~ kf (P) d P = k (p)ff (P) d P. ,[ (a, b)

J (a, b)

Sind namlich ~ (a, x) und 6 (a, x) zu f(P) in J(a, b) adjungiert, so ist bei positivem k k.~(a,x) [k . 6. (a~ x)] eine zu k . f ( P ) adjungierte U n t e r - [ O b e r - ] F u n k t i o n , bei n e g a t i v e m k dagegen eino adjungierte O b e r - [Unter-] F u n k t i o n . Ferner folgt aus: St

6. (a, b) - -

(a, b) < ~ ~- T{

~

sofort:

I k [6. (a, b) - Satz 4:

Sind

~

(a, b)] I < ~'.

f~(2P) u n d

f2(r)

integrierbar

J(a,b)~ so i s t a u c h i h r e S u m m e u n d i h r e D i f f e r e n z daselbst

integrierbar,

und zwar ist:

(P) if, (P)] d r i (a,b)

in

(r) d g (a, b)

i

(r) d P. J(a, b)

Sind % (a, x) und ql (a, x) zu fl (P), % (a, x) und r (a, x) zu f~ (P) adjungiert , so stellen

r (a, x) = % (~, x) + % (a, x), ~ (a, x) = ~ (a, x) + % (a, x) zur S u m m e es ist :

A ( P ) @ f ~ (P) a d j u n g i e r t o

Funktionen dar; denn

.D 9 ( P ) ~_ D % (P) -}- D % (P) ~ A

(P) -~-f2 (P);

D ~ ( P ) > .D 6.~ (e)--~ D , , ( e ) > f i

(P) -q[-f2 (-P)-

Dieso 0berlegung l~13t sich auf e n d 1 i c h viele S u m m a n d o n ausdehnen. Der Fall der D i f f e r e n z erledigt sich mit Hilfe des Satzes 3 [k = - - 1], indem wir f~ (P) dureh - - ) ~ (P) ersetzen.

172

Hans Bauer.

Ferner orgibt sich aus:

r (a, b) -- ~1 (a, b) < ~ ,

% (a, b) - - ~ (a, b) < ~

die Unffleichung

q' (a, b) ~ 9 (a, b) < ~. Satz 5: S i n d f ~ ( P ) u n d f ~ ( P ) in J(a,b) i n t e grierbar, ist ferner ft(P)~f2(P) ftir alle Punkte P y o n J(a,b), so g i l t :

J(a, b)

J (a, b)

f l (P) - - f ~ (P) ist namlich naeh Satz 4 integrierbar und wegen

f~ (P) - f ~ (p) => 0 offenbar q~(a, x) --~ 0 eine a d j u n g i e r t e

Unterfunktion,

so dM~

(foL~fl (P) -- f~ (P)] d P a ~ (a, b) = O ist, woraus naeh Satz 4 die Behauptung folgt. Satz 6: I s t f ( P ) Intervallfunktion t t n d es i s t :

die Ableitung einer stetigen so i s t f ( ] ~) i n t e g r i e r b a r

F(a,x),

d (a, ~)

F (a, x) ist namlich gleiehzeitig a dj u n g i e r t e U n t e r- u n d Oberfunktion zu f ( P ) , weil gemi~l~ Annahme D F (~) = f (P) ist. Insbesondere bestehen die Beziehungen:

(jO.dt>=O;(~)f d P = M(a,b), J (a, b)

J (a, b)

wenn M (a, x) den I n h a 1t yon or (a, x) bedeutet. Satz 7: I s t

f(P)

in

J(a,b)

integrierbar,

F (~, x) %ff_ (p) d _P J (a, z)

so i s t

Der Perronsche Integralbegriff.

1~3

e i n e f a r a l l e P u n k t e (x) y o n J(a,b) s t e t i g e I n t e r vallfunktion. D o r t , wo f ( P ) s t e t i g ist, b e s i t z t .F(a~x) e i n e A b l e i t u n g :

D ~ (P) = f ( p ) . Im tibrigen gilt, wenn

g < f ( i o) < G ist, f u r d i e A b l e i t u n g s z a h l e n

die Ungleichung:

g < D F ( P ) < D F ( ~ ) < G.

Sind ~ (a, x) und +, (a,x) zu f(/') in J(a, b) adjungiert, gilt dies auch s

so

jedes Teilintervall J(a, x); folglich ist

(a, x) G Y (a, z) < ~ (a, x), woraus zun~chst

F (a, a) ---- 0 folgt. Im Intervalle J(Xl~ x2) sind qo (xl, x) und ~ (x~ x) adjungierte Funktionen, daher ~0(Xl, x2) G F (Xl, x,2) ~ ~, (Xl, x2). Wegen der S t e t i g k e i t von ~0(xl~ x) und ~ (xl, x) gibt es zu jedem e > 0 ein Intervall d(xl, x2)~ so dal3

ist, sobald der I n h a l t yon J @i, x~)

M (xl, x~) < ist. Dann ist aber auch

I F (x. x~) I < ~, d. h. F(a, x) ist s t e t i g . F ( a , x) genUgt ferner dem A d d i t i o n s t h e o r e m der Intervallfunktionen [Satz 2] und ist somit eine stetige Intervallfunktion im s definierten Sinne. Ist f (P) an der Stelle P * s t e t i g, so gibt es eine Umgebung, in welcher f (P*) -- a < f ( P ) < f ( P * ) qist; s > 0 beliebig klein. GehSren die Punkte (x~) und (x2) dieser Umgebung an: so gilt:

If (P*) -- ~] 2~/ (Zl, X2) < F(Xl, X2) < If (P'~) + g] M- (Xl, x2)

174

Bans Bauer.

im Hinblicke auf die Satze 5 und 6. Filr lira M (xl~ x2) _~ 0 folgt daraus :

D F (P~) = f (P*). Endlich best~tigt die Beziehung:

g. ~(z~, x~) ~ F(xi, x~) ~ ~. M(~, x~) im Grenzfalle lira M(x~, x~) ~ 0 unsere Behauptung tiber die Ableitungszahlen yon F(a,x):

Satz 8- K o n v e r g i e r e n d i e in J ( a , b) i n t e g r i e r b a r e n F u n k t i o n e n f~(P), f ~ ( p ) . . . . f i , ( P ) , . . , g l e i c h mal3iggegen eine Grenzfunktionf(P)~ so i s t a u c h f(P) integrierbar und:

(~)ff(P) dz, = n lim fA, (~) aP. = az (P)J

J (a, b)

J (a, b)

Der g l e i c h m ~ t g i g e n Konvergenz der fi~(P) wegen muff es zu jedem z > 0 eine Zahl N geben, so dal] f~r alle n > N und alle Punkte P yon J (a, b)

ist. Sind %~(a: x) und ~,, (a~ x) zu f~ (P) adjungiert, so wird

wo M(a,x) gleich dem I n h a l t e yon J(a~x) ist~ ein a d j u n giertes Funktionenpaar zu f ( P ) sein. Wegen der I n t e g r i e r b a r k e i t der fi,(P) kann ,~ (a, b) -- ~,, (a, b) < n

beliebig klein gemacht warden; dies hat zur Folge, dal3 auch q~ (a, b) - - r (a, b) -= % (a, b) - - ~,~ (a, b) + 2-~ M (a, b) willktirlich klein sein wird; d.h. aber f ( P ) ist in J(a, b) int e g r i e r b a r. Ferner liefert : -- ~M(a, b) < ( j

[ f ( P ) - - A (P)] d P <

J (a, b)

~M(a, b)

175

Der Perronsche Integralbegriff.

beim Grenzt~bergange lira die zu beweisende Formel: n ~OO

f f,~ (P) d P.

(p),ff (P) d P = lim

n -- co (P)S

i (a, b)

i (~, b)

- -

Satz 9: D a s P r o d u k t aus einer integrierbaren Funktion f i ( P ) uncl e i n e r i m S i n n e R i e m a n n s integrierbaren Funktion f2(P) i s t i n t e g r i e r b a r . Es geni~gt der Naehweis dieses Satzes fUr p o s i t i v e Funkt[onen fl (P), f~ (P). W i t teilen zu diesem Zwecke das zu Grunde gelegte Intervall J (a, b) dureh je m - 1 zu den Aehson normale Ebenen in m ~ parallelotopisehe Teillntervalle _(6) , X(*.+ 1)] J [x~ x(i~ _(iL+I) woft~r wir k~rz J(x(O, x(~+~)) sehreiben. Fttr die Teilungspunkte auf der k*e~ Koordinatenachse gelte also die Beziehung: xk ~ - . . < ~ x ~

~;%

~ - b k-

Sind dann cp (a, x) und r (a, x) in J(a~ b) zu fl (P) a d j u n g i e r t , bedeutet ferner G4, q, ~-~G~o die o b e r e , gi,,,~.... ~ . ~ g ( o die u n t e r e G r e n z e yon fe (P) im Intervalle J(x(O)xO+O), so wird:

(l) (a, x) = g(,.) ~ (z(0, z) + 9 kr~if;

x(k~+t+ 2)

x(k~+~)]/+

k s + t = O , 1, . . . i s + t - - 1

-+- >2 g(z} ~ (z(o, x(~+~)), ~F (a, x) = G~) '~ (X"), x) + S~+1 + 1)

x(k~+ 1)11

k r = i r ; k s + t ~ o , 1. . . . gs+t --1 r~1,2,...3; ~1,2,.,.n--3

l,~0,

1, , - . G - - 1

s = l , 2,

...n

wenn (x) einem der Intervalle J (x(O, x(':+0) f,~O,

1) Die u n t e r diesom Z e i e h e n

I, , . .

m--1

stehende Summe

ist

ftir a l l e

mSglichen

A n o r d n u n g e n y o n s K o o r d i n a t e n x r n e b e n n - - s K o o r d i n a t e n x(~k~+ ~) z u bilden~ u n d dies h a t fiir alle W e r t e

s =

1, 2, . . . n - -

alle d e r a r t i g e n B i l d u n g e n z u a d d l e r e n .

1 zu geschehen;

schliefllich

sind

176

Hans Bauer.

angehtirt, ein in J(a, b) znm Produkte ft ( P ) . f ~ (P) a d j u n g i e r t e s Funktionenpaar sein. Denn einerseits ist~ wie es sein mul,

9 (a, a) = g(o) ~ (a, a) = 0,

9 (a, a) = G(o) ~ (a, a) = 0,

anderseits wenn P in

D 9 (P) = g+ ~9 ~ (P) 1) < A (P) f~ (P) '

J (x% x(~+:)). G=O,l~...m--1

Wir bilden nun 9 (a, b) :

Y_. g+ ~ @ % x<~+~)), l~ =

O, 1, . . . m - - 1

q; (a, b) = Z G+ r (x+, x(Z+~)) l~

0~ 1~ .. m - - 1

8 ~ 1~ 2~ . . . n

und untersuchen die Differenz

(a, b) - - (I) (a, b) = Z [G+ r (x+, x(~+~)) - - g + ~ (x+, x(~+~))]. l~

0, 1 ~ . . . m -- 1

8~1~2,...n

Wegen der Integrierbarkeit in jedem Teilintervalle [Satz 1] kann

+ (x+, x(~+')) - - ~ (x+, x(~+')) <

~$ n e

gemacht werden, wobei a > 0 beliebig klein, G die o b e r e G r e n z e yon f~ (2P) in J(a, b) ist. Dann ergibt sieh welter:

qz (a, b) -- (I) (a, t~) < 7n-~ Z 1 8 ~ 0~ 1 , . . . r n - - 1 S~- 1, 2, . . . n

-~- s [G+ - - g+] ~ (x+, x(~+~)) /,~0, g~l,

1,...m--1 2, . . . }'t

~" (a, b) - - (I) (a, b) < a -~- Z [G(o--g(t)] ~ (x (~), x(Z+i)). Wir beaehten ferner, da$

ist, wenn F die o b e r e G r e n z e yon fl (P) in J (a, b) bezeiehnet, und folglich nach dem Satze auf S. 164

(z+, x ( ~ + ' ) ) ~ r _a/(x+, x<~+~))

x},:))] yon

1) D i e A b l e i t u n g s z a h l e n der lib r i g e n Glieder geringerer als d e r ,aten D i m e n s i o n sind.

v e r s c h w in d e n,

wall diese

Der Perronache Integralbegriff.

177

sein mulS. W i r erhalten daher weiter:

~v (a, b) - - r (a, b) ~ ~ ~ F )2 [ e ( z ) - g(~)] M(x

(~', x(~+~)).

8~1,2,...n

lqun ist aber das V e r s c h w i n d e n

der k r i t i s c h e n

Summe

Z [G(~ - - g(~)] M (x(O, x(~+~)) 18 = O, 1, . . . m - - 1

das Kriterlum ftir die I n t e g r i e r b a r k e i t yon f~(P) im Sinne Riemanns. Es wird also mit z u n e h m e n d e r Verfeinerung unserer Intervalleinteilung lira m=~:)

Z [G(o - - g(~)] M (x(0~ x (~+ ~)) = 0 / ~ = O~ 1 ~ . . . m - - 1

8=1,2~...n

sein, womit gezeigt ist, da~

qs (a, b) - - r (a, b) b e 1 i e b i g k 1 e i n gemacht werden kann. Mithin ist das P r o d u k t fl ( P ) - f,~ ( P ) in J (a~ b) im P e r r o n schen Sinne i n t e g r i e r b a r~ W . Z. b . w .

w 4. Identifikation des v e r a l l g e m e i n e r t e n P e r r o n s e h e n Integrals mit dem mehrfachen Integrale yon L e b e s g u e I) bei beschriinktem Integranden. Satz 1: J e d e i n J(a,b) b e s e h r ~ t n k t e , im Sinne Lebesgues integrierbare Funktion f(P) i s t a u c h im Sinne Perrons integrierbar u n d es i s t

J (a, b)

Sei also

f(P)

in

J (a, b)

J(a~b) beschr~nkt g~f(P)~G

:

und es bestehe

f/J

P

J (a, b)

Obgleich

ff(P) dP

eine s t e t i g e

Intervallfunktion

ist, geht

J (a, x)

es doch nicht an, aus diesem Umstande d i r e k t auf die I n t e g r i e r b a r k e i t y o n f ( P ) im Sinne P e r r o n s zu schliei~en~ da die A b1 e i t u n g des L ~ b e s g u e schen Integrals, nur von einer ~q u 111) H. L e b e s g u e , a. a. O., p. 371 ft. M o n a t s h . f ~ r M a ~ h e m a t i k u. P h y s i k .

XXVI. Jahrg,

12

178

H a n s Bauer.

menge abgesehen, gleieh f ( P ) ist. 1) Wir mtissen uns also erst entsprechende a dj u n g i e r t e F u n k t i o n e n konstruieren, yon denen wir sodann nachzuweisen haben~ dal] sie der P e r r o n schen Integrabilit~tsbedingung [p. 169] gentigen. Wir folgen dabei dem Gedankengange P e r r o n s in dessen Beweis des obigen Satzes fur den e i n dimensionalen Fall. ~) Teilen wir die S e h w a n k u n g yon f ( P ) in J(a,b) durch Zwischenwerte: g -~- go < gl < g2 < " " " < gn = G und bezeichnen wir mit E~ die Punktmeng% far die g, < / ( . P ) < g ; + ~

ist~ deren L e b e s g u e s e h e s Mal~ mit L e b e s g n e sehen Integrals :

ei~ so

ist naeh Definition des

n--1

i= 0

a (a, b)

wo ~ > 0 mit der L~tnge der Intervalle (g~ gi+l) gegen N u l l konverglert. F e r n e r ist

Um die das L e b e s g u e s e h e Integral a p p r o x l m i e r e n d e Su m m e zu einer a d j u n g i e r t e n Oberfunktion geeignet zu machen~ mttssen wir fur ihre S t e t ig k e i t sorgen. Dies gelingt dureh folgenden Kunstgriff P e r r o n s . Es lassen sich stets die Mengen Ei in night tibereinandergreifeude Intervalle or (a~k, -;~(k))~derart einschliel~en~ dala

ist. Es soll nun die I n t e r v a l l f u n k t i o n ~[i (a~ x) das ~'lal~ der im Intervalle J(a~x) enthaltenen Intervalle j(alk) /~(k)~ bedeuten. Mi (a~ x) stellt also eine im Intervalle J(a, b) s t e t i g e Funktion dar, die bei w a e h s e n d e m J(a~ x) n i c h t a b n e h m e n kann:

GehSrt der betraehtete Punkt P insbesondere der Menge E~ an~ so ist D M~ (P) = 1. 1) I t . L e b e s g u e , t~. a. O., p. 399 fi: ~) P e r r o n ~ a. a. O., p. 13 ft. 3) m bezeiehnet die Anzahl der Ver~ndorlichen xl, von donen f ( P ) abhgngt.

179

Der P e r r o n s c h e Integralbegriff.

Ferner gilt der Definition yon 2k/~(a, x) gem~t~: ~tt

.L~., k

% j < e~ q- 7 "

1=1

Bilden wir jetzt 7g - - 1

'=0

so ist dies eine s t e t i g e

Intervallfunktion

und kann - -

g=go~O vorausgesetzt -- wegen

D~ (~) > ~,.+l>f(~), wenn P der Menge E~ angehSrt, als zu f ( P ) in J(a~ b) a d j u n g i e r t e O b e r f u n k t i o n verwendetwerden. Um jedoehauchdem Falle g < 0 Rechnung zu tragen, machen wir den folgenden a 11g em e i n e r e n Ansatz : r/Z

n--1

~ (~,, x) = g ~[[ (.~ - ~,) +

~

/=1

i=0

( g ~ + l - g) ~ (~, X);

dabei ist, wenn 20 der Menge Ei angehSrt:

D r (P) > g@g~+~ -- g > f ( P ) und somit im ganzen Intervalle J(a~ b) D r (P) > f (P). ~ (a, ,) ist also tats~tehlieh a d j u n g i e r t e Ob e r f u n k t i o n Wir erhalten ferner" m

r ((~1 b) :

~

-

-

1

g I 1 (hi - - ([l) + ~ (if l~1 '~0 n

--

1

i~O

}~

- -

zu f ( P ) .

+1

- - - g ) _ ~ r , ((~, b )

I

i~O

< ~g,+l~,+(G-~)~ i~O

< f f ( P ) d P - f - ~ (G --gq- 1). J (a, b)

Setzen wir

(G - - g -]- 1) ---- ~', 12"

180

so gilt

H a n s Bauer. F

,,~ (a, b) - - ~' < I f (P) ~l P. J (a, b)

Beachten wir nun, dal~ eine in der geschilderten Weise zu --f(P).konstruierto O b e r f u n k t i o n - - ~ (a,x) bei g e a n d e r t e m Vorzelchen adjungierte Unterfunktion zu f ( P ) wird, so enthalten den Beweis unseres Satzes die Relationen:

r (< b) - ~' < f f (P) d P < ~ (~, b) + ~', 9I & b) ,~ (a, b) - - ~ (a, b) < 2 ~' ; ~' > 0 willktirlieh klein. Um die Gtiltigkeit der U m k e h r u n g dieses Satzes in ahnlieher Weise wie im e i n d i m e n s i o n a 1 e n Falle zeigen zu kSnnen~ mnssen wir uns zuvor yon der M e l 3 b a r k e i t der A b l e i t u n g s z a h l e n einer I n t e r v a l l f u n k t i o n tiberzeugen. Dies gesehieht dureh den folgenden tIilfssatz: J e d e A b l e i t u n g s z a h l einer stetigen Intervallfunktion g(a~x) i s t i n d e r e n D e f i n i t i o n s b e r e i c h J(a~b) i m B o r e l s e h e n S i n n e m e g b a r . 1) Wir beweisen diesen Satz ftir die o b e r e A b l e i t u n g yon g (a> x). Naeh Definition [p. 163} ist:

1) g ( P) ~ lira

/ ) g (P)

g (x, x)

~_~=0ZZ(x,~i' ( i = 1, 2,... n)

wenn J(=x~ x ) d e n Pnnkt P im Innern enth~lt und die Dimensionen (xi - - xi) beim Grenztibergange stets in e n d 1i c h e n Verh~tltnissen zueinander bleiben. Das letzte erreichen wir am einfachsten dadureh~ dag wit ftir den Grenztibergang

11

x,.)

i~I

(Xi

--

'

festsetzen und sehliel31ieh aueh mit p zur Grenzo N u l l tibergehen. Der bequemeren Ausdrueksweise wegen wollen wir im folgenden die zu einem Punkte P yon J(a~ b) gehSrigen~ ihn einschliel~enden Intervalle mit Jp(x~ ~) und die entspreehenden Intervallfunktionen mit 9 P ( x , ~ ) u n d M p ( x ~ x ) bezeiehnen. Wir kSnnen dann sagen, dal3 g e ( x , ~ ) und M p ( x , x ) , und Solange M p ( x ~ ) ~ 0 ist, aueh ~) Der obige Beweis ist dem entsprechenden ffir den e i n d i m e n s i o n a l e n Fall bei d e 1 a Y a l l d o P o u s s i n , a. a. O , Bd. 1) p. 256, nachgebildet.

181

Der Perronsche Integralbegrif~,

_._'= der Quotient

gp(x,x)_ = Mp(x,x)

stetige

F u n k t i o n e n der P u n k t e (x)~ (x)

und P sind. W i r wollen nun die Dimensionen yon Jr(x, x) in bestimmter Weise beschriinken. Zu diesem Zwecke halten wir eine der Ausdehnungen, etwa ( x I - - x l ) zwischen den Grenzen 8 und s durch die B e d i n g u n g : O<

8
-- x i < s~

und 8 beliebig klein. Die tibrigen Dimensionen ( ~ dann~ da sie der F e s t s e t z u n g :

x,.) werden

II =p>O

zu entspreehen haben, gleiehfalls yon N u 11 versehieden sein mtbsen~ so dag stets

Mp(x, x) 4:0 sein wird. Unter diesen Umst~tnden wird der Quotient

.

gp(x2x)

Me (x, x)

eine

s t e t i g e F u n k t i o n yon (x)~ (x) und P sein. Betraehten wir insbesondere das ~[ a x i m u m dieses Ausdruekes, wenn (xl - - x~) zwischen_ den Grenzen 8 und s variiert und die tibrigen GrN~en ( x i - - x ~ ) durch einen bestimmten W e r t yon P im obigen Sinne gebunden sind~ so wird dieses eine s t e t i g e F u n k t i o n des P u n k t e s P sein~ die zugleich yon 8~ s und p a b h a n g t : m ( P ; 8~ s, p). Lassen wir jetzt zunachst 8 gegen ~=ull gehen~ so erhalten wir eine m o n o t o n e Folge stetiger F u n k t i o n e n yon P~ deren G r e n z f u n k t i o n m (P; 0~ s, p) im B o r e l s c h e n Sinne m e , b a r ist. D e r Grenztibergang lim 9 ~ 0 fahrt zur F u n k t i o n m ( P ; 0, % 0)~ welehe als G r e n z f u n k t i o n einer m o n o t o n e n Folge m e l~ b a r e r F u n k t i o n e n selbst m e 1~b a r ist. K o n v e r g i e r t sehlie~lieh e gegen N u 1 l~ so bilden die m e B b a r e n Funktionen m ( P ; 0~ % 0) wieder eine m o n o t o n e Folge, die eine mel~bare Grenzfunktion r e ( P ; 0~0~0) besitzt. Diese Grenzs ist aber i d e n t i s c h mit der o b e r e n A b l e i t u n g D g (P) y o n g(%x)~ deren M e ~ b a r k e i t im Sinne B o r e l s und L e b e s g u e s somit bewiesen ist. Ftir die u n t e r e A b l e i t u n g D g ( P ) yon g ( a ~ x ) lal~t sich d a s s e 1 b e dureh eine ahnliehe Untersuehung des M i n i m u m s des Quotienten

gP (x, x )

Mp(x, x)

feststellen.

182

Hans Bauer.

Gesttitzt auf diesen Hilfssatz, kSnnen wir jede s t e t i g e Intervallfunktion, derenAbleitungszahleninJ(a~x) besehrgnkt oder s u m m i e r b a r sind, dutch das L e b e s g u e s e h e Integral einer beliebigen ihrer A b 1 e i t u n g s z a h 1 e n darstellen :

g(a,x)-~ / D g(P)dP. J(~,~) Ist anderseits f ( P ) eine m e [ l b a r e und b e s e h r a n k t e oder s u m rn i e r b a r e F u n k t i o n in J (a, b), so stimmt sic daselbst~ htiehstens eine N u l l m e n g e ausgenommen~ rnit der A b l e i t u n g der dureh das L e b e s g u e s e h e Integral von f ( P ) bestimrnten stetigen Intervallfunktion

F + , x ) = fZ_ (P) dP J (a, x)

tiberein. 1) Satz 2: U m k e h r p r o b l e m . Jecle besehri~nkte Funktion f(P), d i e e i n P e r r o n s e h e s Integral besitzt, besitzt aueheinIntegralimSinneLebesgues a n d es g i l t :

+ f f (v) p -- f / ( p ) d

,f (a, b)

P.

J (c~, b)

Z u m Beweise dieses Satzes kSnnten wir die Sehlul3weise, die uns im e i n d i m e n s i o n a l e n Falle [p. 156 ft.] zum Ziele geftihrt hat, in vSllig analoger F o r m wiederholen~ da wir auf G r u n d der letzten Ergebnisse beztiglieh der A b l e i t u n g s z a h l e n yon I n t e r v a l l funktionen im Besitze ganz d e r s e l b e n S~ttze sind wie frtiher betreffs der A b 1 e i t u n g s z a h ] e n stetiger F u n k t i o n e n e i n e r Vernnderliehen. W e g e n der dadureh bedingten vollst~ndigen K o n f o r rn i t i~t der Beweisfohrung im m e h r dimensionalen mit der irn e i ndimensionalen Falle sell auf eine besondere Ausftihrung derselben verziehtet werden und statt dessen eine lllodifikation derselben hier Platz finden, die sieh auf einen Satz tiber im Mittel k o n v e r g e n t e F u n k t i o n e n f o l g e n ~) sttitzt. D a die zu f (P) a d j u n g i e r t e n F u n k t i o n e n qox(a, x) und 4, (a, x) im allgerneinen k e i n e gleiehzeitig naeh o b e n u n d u n t e n b esehr~nkten Ableii;ungszahlen besitzen werden, kSnnen wir sic nieht i m m e r als deren L e b e s g u e sehe Integrale darstellen. W i r bilden uns daher wie frtiher H i l f s f u n k t i o n e n in folgender Weise : 1) Diese beiden S~tze sind unmittelbare Ve r a 11 g e m ei n e r u n g e n zweier L e b e s g u e s c h e r S~tze: do l a V a l l d e P o u s s i n , a . a . O . , Bd. 1, p. 263 u. 267. 2) M. Ig. F i s c h e r ~ Comptes Rendus, 1907~ t. 144, p. !022--1024. - H. W e y l , Math. Annalen, 1909, Bd. 67, p. 243 ft. ~ Siehe auch T. L a l e s c o , Introduction ~ 1~ thdorie des dquations intdgrales, p. 91 ft.

Der Perronsche Integralbegriff.

~:. (P) --__29 % (P),

183

wo

D % (~)

=> .~,

=m,

wo

D%(P)
=M,

we

D*,.(P)>M;

dabei sollen m und M die u n t e r e bzw. o b e r e G r e n z e der nach Voraussetzung b e s c h r ~tn k t e n F u n k t i o n f (P) im Integrationsintervalle J (a~ b) sein. Ftir diese neuen Funktionen gilt daher die Beziehung :

m < ,i (P) < f ( P )

<~ ~ (P) < M .

Z u m Untersehiede yon ) ) ~ (P) and D % (P) werden C (P) und ~*(P), weil naeh oben u n d unten b e s e h r ~ . n k t ~ stets im Sinne L e b e s g u e s i n t e g r i e r b a r sein und ihre Integrale sollen bzw. mit ,~x*(a, x) und 4",i(a, x) bezeiehnet werden:

~;(~,x)=/:;(P)dP;

~;(~,x)=f ,~;(P)~e

J (~*,x)

J (a, x)

W e g e n der I n t e g r i e r b a r k e i t yon f ( P ) im Sinne P e r r o n s mul5 as zu j e d e m beliebig k l e i n e n ~i>0 ein a d j u n g i e r t e s Funktionenl0aar %. (a~ x)~ ,b~ (a~ x) geben, sodaf3

~ (a, b) -- ~,. (a, b) < ~,. ist. N u n ist offenbar der Definition der ~ (P) und ~ (P) zufolge:

~,*.(a, b) > ~0. (a, b)

4" (a, b) < % (a, b);

es wird also stets aueh zwei Funktionen geben~ so dal3

~ (avx)

'~* .. (P)] d P < , i (a, b) - - %* (a, b) = f [ *~ (P) - - r* J (d, b)

und

**(a, x)

~

ist. Lassen wir die GrSl3en z, eine k o n v e r g e n t e F o 1 g e durchlaufen :

9a1 > ~ > % > - . -

lim~n:O~

so warden alle F u n k t i o n e n 5: (P) und ~ (P) f a r jedes n > N tier folgenden Bedingung gentigen: 1.

f[~* (P)-

5" (P)] d P <

s~v; n ~ N .

184

Hans Bauer.

Mit Rticksicht auf das Folgende beweisen wir noch die analogen U n g l e i c h u n g e n :

,.

(P)-

(P)] d •

/

u

/

J (a, b)

Dieso Beziehung ist offenbar mit der folgenden identisch:

+*(ab)-- *

b)

n} >_ N ,

deren Richtigkeit daraus hervorgeht, da~ es wegen der G1 e i c h h e i t der G r e n z w e 1"t e yon r (a, b) und ~ (a t b)

[%(,b)>G

g>%(,b),

wie~ufS. 157]

mSglich sein mul~ j e d e m Wertepaaro 2n 9/ ~ N

ein Funktionen-

paar ~* (a~ x)~ r (a t x) derart zuzuordnen t dal~ die obige Relation erftillt ist. J (~, ~) Augenseheinlieh ist

I ~: (P) - ~ (1~) I ~ [~ (P) - ~; (t,)] + [~ (i ~) - ~; (p)], woraus im Hinblieke auf die Ungleiehungen 2. und 1. sofort die Behauptung folgt. Ebenso beweist man:

;j

;}

9

,J

=

d (a, b)

Um nun sofort zu erkennen~ dal~ wir dus der Gesamtheit der ~*(P) und ~*(P) stets T e i l f o l g e n herausgreis ksnnen~ die, yon einer ~nllmenge abgesehen~ einer g e m e i n s a m e n Grenzfunktion zustreben~ bentitzen wir den naehstehenden Satz tiber im Mittel konvergente Funktionenfolgen.~) Besteht ftir eine Funkti0nenfo]ge: A (P), f2 (P), .-..f, (P), . . . in J(a, b) die Relation: z(a.([f'*(P)--fP(P)]~dP
wenn

Tn} ~ .N,

so heii~t die Folge der fi~(P) i m M i t t e l k o n v e r g e n t v e r g e n t e en m o y e n n e ) und es gilt der folgende Satz: 1) Siehe die Ful3note 2) auf S. 182.

(con-

Der Perronsche Integralbegriff.

185

A u s e i n e r i n J(a~b) i m M i t t e l k o n v e r g e n t e n Funktionenfolge kSnnen stetsTeilfolgen derart ausgewahlt w e r d e n , daft s i e d a s e l b s t , a b g e s e h e n y o n e i n e r N u l l mange, eine und nur eine Grenzfunktion besitzen. Im besonderen ist dieseGrenzfunktion, wenn die Glieder der~'olgesamtlieh megbar und beschrankt sind, selbst mel3bar~ u n d w e i l n o t w e n d i g besehr~nkt~ aueh integ r i e r b a r (ira S i n n e L e b e s g u e s ) . Dal3 im vorliegenden Falle die Ausdriieke [~: (P)

r ( P ) ? , [~: (P) - - ~; (P)] ~, [r (P) - - g ( P ) ?

m e l 3 b a r und i n t e g r i e r b a r sind~ folgt aus der M e l 3 b a r k e i t und Beschranktheit der Funktionen ~*(P) and 5*(P) in ganz J(a~ b), und zwar gilt mit Rtieksieht auf die zuvor bewiesenen Ungleiehungen : 1. J (% b)

J(a, b)

<(M--m),N=s,

P

J (a, b)

=

( p ) I tv*

.1 (a, b)

< 2 ( M - - m ) sy-~- 2s~ ~p } => N . Desgleiehen zeigt man in bezug auf die vierte Ungleichung: J (a,b) Dabei ist ~ bei geeigneter Wahl yon _Ar eine willktirlich k 1e i n e GrN~e. Wir sehen als% dal3 die Bedingung far die m i t t 1e r e K o n v e rg e n z der Funktionen ~* (P) und ~* (P) tatsaehlich erftillt ist. Mithin besitzen T e i l f o l g e n dieser Funktionen in d'(a~ b) eine g e m e i n s a m % im L e b e s g u e s e h e n Sinae i n t e g r i e r b a r e Grenzf u n k t i o n , die wegen notwendig - - yon einer N u l l m e n g e abgesehen -- mit f(iO) i d e n t is e h sein mu~. Somit ist far diese Teilfolgen: lim r = lira ~.(P) -=f(P) hiSehstens mit A u s n a h m e lim ~;(a, b) = lira

einer N u l l m e n g e

und weiter:

**~(a, b) ~ - j f ( P ) d R = g = G, J(a, b)

186

Hans Bauer.

weft offenbar aus denselben Grtinden wie im e i n d i m e n s i o n a 1 e n Falle (p. 157), sobald f(~o) im Sinne P e r r o n s integrierbar ist~ die gemeinsame Grenze g = G d e r W e r t e ~ (a, b) und ~ (a, b) der adj u n g i e r t e n Funktionen zugleieh aueh die gemeinsame Grenze der Werte q~:(a, b) und +~ (a, b) der ~tureh das angegebene Verfahren den adjungierten Funktionen r (a, x) und + (a, x) z u g e o r d n e t e n Funktionen r x) und ~*(a,x) sein mug. Naeh Definition ist das P e r r o n sehe Integral

J (a, b)

daher mit chungen :

Rtieksieht

auf die

unmittelbar

vorangehenden

Glei-

(.,f s(p)e =.s(8,fs(p) p, J(~,b) ~) W. Z. b. w .

Satz 1 und Satz 2 zusammen erweisen nun in yeller A l l g e meinheit die A q u i v a ] e n z des P e r r o n s e h e n Integrals mit dem L e b e s g u esehen bei b e s e h r ~ n k t e m Integranden.

w 5. Perronsche lntegrale unbeschriinkter Funktionen. Fi]r die iblgenden Ausftihrungen tiber P e r r o n s e h e Integrale u n b e s e h r ~tn k t e r Funktionen erweist sieh vor allem als grundlegend die bereits frtiher [p. 155] hervorgehobene Versehgrfung tier Definition der adjungierten Funktionen: Im ganzen Definitionsbereiche des Integranden soll en die oberenAble.itungen der adjungiertenUnterfunktionen positiv beliebig grog, aber doeh endlieh, die unteren Ableitungen der adjungierten Oberfunktionen negativ beliebig grolg, a b e t doeh endl i e h s e i n . 1) W i r mtissen dies fordern~ um die ftir die Endwerte der adjungierten Funktionen geltende Beziehung aueh noeh im F a l l e u n b e s e h r ~tn k t e r Integranden a u f r e e h t erhalten zu kOnnen. Satz 1: J e d e jim S i n n e L e b e s g u e s ] s u m m i e r b a r e 2) Funktion f(P) ist im Perronschen Sinne integrierbar. [Absolut konvergente Integrale.] 1) Diese Forderung stammt yon Herrn Wilh. Grog, dem ich auch die Grundgedanken zum Boweise der beiden folgenden Si~tze verdanke. 2) H. Lebesgu% a. a. O., p. 372 ft.

Der Perronscho Integralbegriff.

187

Da S u m m e und D i f f e r e n z zweier im P e r r o n s e h e n Sinne integrierbaren Funktionen~ mSgen sie b e s c h r ~ t n k t sein oder n i e h t~ stets wieder in diesem Sinne integrierbar sind [p. 171~ S a t z 4i, so kSnnen wir uns beim Beweise dieses Satzes auf den Fall beschranken~ da~ die s u m m i e r b a r e Funktion f(P) im ganzen Intervalle J (a, b) p o s i t i v i s t . Der S u m m i e r b a r k e i t yon f(P) zufolge toni] es zu jedem vorgegebenen ~ ~ 0 einenWert -NO geben, so dais ftir jedes ~ NO die Relation besteht:

f f(P)dP
N ~ N o.

E [/(.')=> ~V~] Dabei bedeutet N 0 eine gentigend g r o g e p o s i t i v e Zah] und E i f ( P ) ~ N~] die Punktmenge, ftir die f (P) ~ Ni ist. A . Um unseren Satz zu beweisen~ mtissen wir uns zunachst eine in J(a,b) zu f(P) a d j u n g i e r t e Oberfunktion r verschaffen. Zu diesem Zwecke stellen wir uns eine g l e i c h m~ig konvergente F o l g e yon Funktionen ~ i ( a ~ x ) her~ deren G r e n z f u n k t i o n r (a~x) sein sell und deren Bedeutung folgende ist. Die Zahlen _TVimSgen eine aufsteigende Folge bilden: .N-0 ~ 2V1~ N~ ~ ... lira N~ ~ cx~. i~co

Wir ersetzen f ( P ) der Reihe naeh durch Funktionen %v~(P), die wir fotgendermalten definieren:

~.~, (P) ~---f(P),

we 0 ~ f ( P ) % N.,

= 2v~,

we

f (P) > ~Y~

ist. Offenbar ist tiberall in J(a, b): ~,~,~+ ~ ( P ) > ~,,q (1>). Diesen in J(a, b) b e s e h r a n k t e n Funktioneu weisen wir als adjungierte Oberfunktionen die oben erwahnten Funktionen r (a, x) zu~ die wir in folgender Weise konstruieren: Wir teilen das Intervall (0~ 2Vo) "der Funktionswerte dureh Zwisehenwerte :

0 ~- go~gl ~g~. ~ ' " ~g,,----=5ro und sehlie~en die in J(a~x) liegenden Punkte jeder Nenge .E~[g~_~ f (P) ~ g~+,] derart in eine Menge nicht iibereinandergreifender Intervalle yon dem G e s a m t i n h a l t e M~ (a~x) ein, dal] n --

% (~, ~) = ~ i~0

1

~ + , ~r, (~, x)

188

Hans Bauer,

und ~--

1

i= o

E[o
wird, was ja unseren frttheren Ausftihrungen [p. 179] zufolge und nach der Definition des L e b e sg u e schen Integrals immer mSglieh ist; ~ > 0 kann willktirlieh k l e in gew~hlt werden. Dabei ist

D~o(P)>/(P), ist. Als O b e r f u n k t i o n

wo 0 < / ( . P ) < N o

zu %Vo(P) nehmen wir nun:

,~,~(~, x) = ~,o(a, x) + No M~o(a, x), wo M.Vo(a~ x) den Gesamtinhalt der nicht tibereinandergreifenden Intervalle bedeutet, in die wir die in d(a~ x) liegende Teilmenge voa E I f > No] einschlie~en. Allgemein sollen nun Miv~iv~+~(a, x) und M.vi (~x) die Intervallinhalte bezeichnen, die in gleichem Sinne zu den Mengen E [Ni ~ f (P) < Xi + ~] und /~ [ f (P) > N~] in J(a~x) gehSren. Dann sei die zu %~(P) a d j u n g i e r t - e - O b e r funktion: k--1

% (a, x) = % (~, x) + ~ . ~V, ~

~u (a, x) + 2v~M~ (a, x).

Es besteht offenbar die Beziehung:

+ N~+~M~+~ (a, x). Wit wollen nun unsere Intervalle in geeigneter Weise wahlen und bezeichnen mit mXk.Vk+~(a~x) bzw. mx~(a,x) das L e b e s g u e s e h e Mal3 der in J(a~x) liegenden T e i l m e n g e yon E~v,~vk+~~ E[Nk < f ( P ) < Nk+~] bzw. _E.vk~ E [ f ( P ) > N~]. Wir schliel3en L~5. in eine Intervallmenge J ~ (a, b) vom Inhalt~M~ (a, b) derart ein, dal3 re.v,:(a, b) < M~v~(a, b) < rex: (a, b) -~- 2~N~

(1)

ist. Ebenso verfahren wir mit Ex~+~:

m.v~+~(a,b)<3l~v~+i(a,b)~m-~+~(a,b)-+- o~+~N z.,

~+l

9 (2)

In der Menge J.v~(a, b)--E:r ist E,v~-~+ x als Bestandteil enthalten; wir sehliel3en diese Menge gleiehfalls in eine Intervallmenge

Dot Perronsche Integralbegriff.

189

J~k~vk+ 1 (a, b) yore Inhalte M~Nk+ 1 (a, b) ein, ]~yk~k+l enthitlt und der Beziehung gentigt :

die also sicher

m,vk~k+l (a, b) < MNk (a: b) - - m.vk+ ~ (a, b) < ~l_VkNk_~l (0[,,b) < $

< M~vk(a , b) - - mxk+ 1 (a, b) -~ 2kNk Mit Rticksicht auf Ungleichung (1) folgt daraus welter: M.v~ ~vk+1 (a, b) < mxk(a , b)

-

-

m~ck+1 (a~ b) + 2k_~ Nk

-

-

$

= mx~N~+l (a, b) +

,2~_ ~ N~ '

wenn man beachtet~ dat~ ftir jedes Intervall J (a, x) yon J (a, b), dieses selbst inbegriffen,

m~vk(a, x) = m~v~~ + t (a, x) + m~:k+~ (a, x) zur Folge hat. Es ist also: mXkNk+l (it, b) < Mxixk:+i (a, b) < m~vk.vk+1 (a, b) --{- -k__l_Tvk" (3) Aus

M y k (a, b) - - m.vk+ 1 (a, b) < M~z~k+ 1 (a~ b) ergibt sich ferner : M.vk (a, b) < M~vk~vk+l(a, b) + M~vk+1 (a, b)

(4)

im Hinblicke auf Ungleichung (2). Unsere Intervalleinschliel~ungen sind jedoch so geartet, dal~ einerseits

J~-~+~ (~, b) aio M~g~

~,~+1,

anderseits J x j k + ~ (a, b)

die Menge

(und damit auch ENk~Vk+x) enthalt. menge in

J-vk(a, b) - - Eivk+~ Somit ist J ~ (a, b) als Teil-

J~N~+I (~, b) + J~-~+1 (~, b)

enthalten. Also gilt Ungleichung (4) ftir jedes Intervall J(a~ x) yon J (a, b) : M ~ (a, x) < M ~ + ~ (a, x) + ~ + , (a, x). (4')

190

H~ns Bauer.

J(a, x)

Desgleiehen gelten fiir .jedes Intervall

m~ (~, x) <

M.v~(~,x) <

m~u 1 ((~,x) <

"[~/~u ((~,x) <

m~,~.v~+~(a, x) ~ J/s

m~

die Beziehungen:

(a, x) +

2~N~

; (1')

$ ~Nk+l ((~, X) + 2k+1Nk+ l ; (2')

(a, x) < m~N~+~(a, x) -~

2 ~-~ Nk

(3')

Daraus ziehen wir die folgenden Schltisse: I. D i e F o l g e d e r ~xk(a,x ) i s t g l e i c h m a l ~ i g k o n vergent u n d r162 als Grenzfunk-

k~oo

tion stetiger Funktionen Es sei nach Definition:

r

= '}~(a'x)@k=~lim

selbst stetlg.

I~k--1 [~O~N~MNiNI+I((~,X)+

~k-~.Vk ((6, X)1 "

Bezeichnen wir den zweiten Summanden kurz mit R (a~ x) und setzen wir

mN,.~vi+~(a, b) = e~v~..vi+~, m~vx(a, b) : ex~, so ergibt sieh, wenn wir beachten~ daf3 .M-yi (a, x). und Mxi:~5.+~(a~x) mit d (a~ x) m o n o t o n w a c h s e n d e Funktionen sind, die folgende ftir jeden Punkt (x) yon J (a~ b) gtiltige Einschatzung yon /~ (a, x) :

-k--1

f f(P)dP@4~5a mit Rtieksicht aug die Ungleichungen (1')~ (3') und die [ntegralungleichung auf S. 187. Damit ist, well e ~ 0 beliebig k l e i n sein kann, die g ] e i c h m ~ l ~ i g e K o n v e r g e n z der r ) gegen r nachgewiesen, woraus sofort wegen der S t e t i g k e i t der ~vk (a, x) die S t e t i g k e i t yon r (a~ x) in J (a~ b) folgt. II.

D r (P) ~ l i r a D r

~ l i r a %v~(P)--~f(P).

Aus Ungleiehung (4') ergibt sich:

~

~+~ (a, x) = M~v~(a, x) - - M~vk+~(~, x) + ~ (a, x),

191

Dot Perronsche Integralbegriff.

wo ~ik (a, x) eine m o n o t o n w a c h s e n d e Intervatlfunktion darstellt. T r a g e n wir diese Beziehung ia die Gleiehang S. 188, Mitre, ein, so folgt:

~v~+~ (~, x) - - % (a, x) = (N~+~ - - y~) M,v~+~ (c~,x) + ~Y~~ (~, z). Reehterhand steht eine m o n o t o n w a e h s e n d e Intervallfunktion daher ist jedenfalls :

D % + ~ (~) - - D ~.x~(~) ~ o. D a nun offenbar aueh die Differenz + (a, x) - - +.vk (a, x) eine m on o t o n w a e h s e n d e Intervallfunktion fur jedes noch so groge k ist, so mul~

De, (JP)~lim D '~,-~(_~)

sein. Die r

sind aber O b e r f u n k t i o n e n

zu den r

&lSO

ferner ist folglieh ist

lim%vk(P)=f(P) ttberaI1 in J(a, b)

laut K o n s t r a k t i o n

der c0rk(P);

D + (P) > f ( ~ > ) und wird insbesondere dort u n e n d 1 i e h, wo f ( P ) u n e n d 1i e h wird. Aus I und I I folgt unmittelbar, dal~ +(a,x) a d j u n g i e r t e Oberfunktion zu f(P) im Intervalle J(a, b) ist. I[I.

/,

+(a,b)

tibertrifft

um

beliebig

wenig

den

we~t / f(e) dP. J (a, b)

Nach I ist:

, (~, b) = ,,o (c~, b) + R (~, b); die dortselbst durchgeftihrte Einseh•tzung yon R (a, x) gilt insbesondere auch dann noeh, wenn tier P u n k t (x) mit dem P u n k t e (b) zusammenfMlt~ sodag wir erhalten: (a,b)< f_f(P) z if (P)> &]

dP+4".

Anderseits ist zufolge S. 188, o b e n : %(a,b)<

ff(P)

E [o <:f(P) < 2~o]

dP@e;

192

Hans Bauer.

also ist : r

b) <

f/(P)dP+55,

(I)

] (a, b) W. Z. b . w .

B . Es ertibrigt noch die Angabe-einer geeigneten zu f(P) in d(a,b) a d j u n g i e r t e n Unterfunktion Z (a, x). Wir bemerken, indem wit f ( P ) durch die auf S. 187 eingeftihrte, b e s e h r ~ n k t e Funktion %~ (P) ersetzen, dab jede zu d i e s e r Funktion a dj u n g i e r t e Unterfunktion a fortiori Unterfunktion zu f ( P ) ist. Eine solehe Funktion ist, wie frtiher [p. 180] bewiesen wurde, stets angebbar und es sei also X (a, x) eine solche. Dann kt~nnen wir jedenfalls aueh immer erreiehen, daft

/' .~,~(P) d P < z (a, b) + 5 J(~,,b) wird. Nun ist aber: ~ [0
J(~, b)

nach der Definition yon ~ o ( P ) , und well

N0 el~> 0 ist,

f f(P) d P < Z (a, b)-}- 5. E [0=
f f(P) dP
f l ( P ) d e < x (a, b) + 2~.

(II)

J(5, b) Aus (I) und (II) abet folgt wegen der willktirliehen Kleinheit v o n a die I n t e g r a b i l i t ~ t v o n f ( P ) im Sinne P e r r o n s , w.z.b.w. Satz 2: I s t f(P) i n J(a~b) i m S i n n e P e r r o n s integrierbar und daselbst ~(P)~f(P) mit Ausnahme einer Nullmenge Eo, so b e s i t z t a u e h q0(P) ein Perronsehes I n t e g r a l u n d es i s t :

J (a, b)

J(o, b)

Der Perronsche

193

Integ~albegriff.

A . Wir wollen zun~tchst folgende Beh~uptung beweisen: Ist ~(a,x) adjungierte Oberfunktion z u f ( P ) , so gibt es stets eine zu q0(P) a d j u n g i e r t e 0berfunktion X(%x)~ soda~ f~r jedes Intervall J (a~ x) yon J (a~ b) ~( (a, x) - - +, (a, x) <

ist, wobei s~'>0 eine b e l i e b i g k l e i n e Gr01~e darstellt. Wir schlie~en die Nullmenge E o in eine Intervallmenge J1 (a, b) yore Inhalte M 1 (a~ b) eiu, soda~

wird, wo N eine beliebig g r o 1~% 1o o s i t i v e Zahl bedeutet. Dann konstruieren wir eine Funktion P1 (P) dureh folgende Definition: h ( P ) ~ - N ~ wenn P der Menge J1 (a~ b) angehSrt, 0 for jeden anderen Punkt yon J(a, b). Dann besitzt ~ (a, x) -~ f ~1 (/)) d P = h r. _nl~ (a, x) 1)< 2V. 2 ehr - - 2e J (a, x)

in jedem Punkte yon E o die Ableitung hr, weil

ist~ sobald P zu E o gehSrt: D ~ ( P ) ---- hr. Allgemein bilden wir zu einer Einsehlieltung Ji (a, b) yore Inhalte

yon E o eine Funktion p. (P) derart , daft 9i (P) ~ hr~', wenn P zu Ji (a~ b) geh~rt, far jeden anderen Punkt yon J(a~ b);

0 dazn

~ (a, x) =

p~ ( P ) d P = hr~ M, (a, x) < 2--~ 9 ~

f

g (a, x)

D a n n ist

D zi (P)-~-hr~, wenn P zu E o gehsrt~ well DM~(P)=

1, ,, P , Eo ,, M i(a, x) haben hier dieselbe

1) 3/1 ( a , x ) u n d spi~tor oder 187, u n t e n . ~) Vgl. p. 178, unten.

Mon~tsh. fiir Mathematik u. Physik. XXVI. Jahrg.

B e d e u t u n g wie p. 178

13

Hans Bauer,

194

W i r b e t r a c h t e n nun die u n e n d 1 i c h e Reihe oo

(~, x) = ~ ~, (~, x). i=l s

Wegen oo

5

~

co

also

gleichma~ig

konvergent

und w e g e n d e r

i=1

S t e t i g k e i t d e r zi (a, x) selbst eine s t e t i g e F u n k t i o n . F e r n e r ist fur j e d e s n o e h so grol3e n die Differenz: n

(~, ,) - - ~ ~ (~, ,) = ~+~ (a, z) § ~,,+~ (~, x) § i=l

= Iv "+~ [~I,,+1 (~, ~) § n,:~g~+~ (a, x) + . . . ] eine mit or (a, x) m o n o t o n w a e h s e n d e F u n k f i o n ; d a h e r :

~ (~) > D : 2 ~, ( P ) = ~ ~9 ~ ( ~ ) = ~ N ~ i~1

hit jedes beliebig

groDe

i=l

i:1

n, wenn / ) zu E o gehSr~. Mithin ist:

D z ( P ) ---=--~- c,z, w e n n P zu E 0 gehSrt. Bilden w i r nun die F u n k t i o n

z (a, x) = ~ (c~,.) + ~ (., x), so e r k e n n e n wir, dal3 sie s t e t i g ist, a n d well z (a, x) eine m o n o t o n w a c h s e n d e I n t e r v a l t f u n k t i o n ist, dal3 f e r n e r

D Z (P) > D ~, (_P) > f ( P )

- - r (a~x) ist j a nach V o r a u s s e t z u n g O b e r f u n k t i o n und insbesondere D Z ( P ) > D ,~ (/~) ~) + flit alle P u n k t e P yon E,j ist.

za f ( P )

--

F o l g l i c h ist s i c h e r :

D Z ( P ) > ~o ( P ) 2) fttr a!le P u n k t e P von Eo~ 1) Man beachte die am Anfange dieses Paragraphen, p. 186~ an die Ahidtangszahlen tier adjungierten Funkt, ionen gestelhe Forderung! 2) und insbesondere dort u n e n d l i c h , wo ~ (P) u n e n d l l c h isk

Der Perronscho Integratbegriff.

195

und da nach Voraussetzung (P) = f ( J P ) ist~ wenn P zu CE o gehSrt, So gilt ftir das ganze Intervall J (a, b) Dx(P)>~(P). Somit ist z ( a , z )

adjungierte

Oberfunktion

zu q0(P) in

J (a, b). Aul~erdem gilt wegen z (a, x) < e ftir jedes Intervall J (a, x) yon J (a, b) die Beziehung: x (a, x) - - r (a, x) < ~,

(I ~)

~V. Z, b . w .

B . In ~hnlicher Weise gelingt es, eine zu ~ ( P ) a d j u n g i e r t e Unterfunktion Z (% x) aufzufinden, die sieh yon einer bestimmten z u f ( P ) a d j u n g i e r t e n U n t e r f u n k t i o n r in jedem Intervatle J(a, x) um weniger als e unterseheidet:

(~, x) - ~ (~, x) < ~.

(I~*)

Um dies sogleieh einzusehen~ gentigt es, das unter A. angegebene Verfahren auf die Funktionen - - f ( P ) und - - ~ (P) anzuwenden, indem man beaehtet~ dal~ die entspreehenden adjungierten O b e r f u n k t i o n e n - - ~ ( a , x ) und - - ~ ( a , x ) bei g e ~ . n d e r t e m V o r z e i e h e n adjungierte U n t e r f u n k t i o n e n zu f ( P ) und of(P) sind. Die Ungleiehungen (P) und (IP) zusammen reehtfertigen sehliel~lieh unsere Behauptung:

J(a, b)

J(a, b)

w 6. Allgemeinere Passung des Perronschen lntegralbegriffes.

Die Ergebnisse des vorigen Paragraphen legen den Gedanke~ nah% die yon P e r r o n gegebene Integraldefinition yon vornhereiIl a l l g e m e i n e r zu gestalten: Definition:Eine s t e t i g e I n t e r v a l l f u n k t i o n ~ ( a , x ) bzw. $(a,x) soll d a n n e i n e zu f ( P ) in J(a,b) adju.ngierteUnterbzw. O b e r f u n k t i o n h e i g e n ~ w e n n s l e der Bedingung

D ~o(P) ~ f (P) b z w. D + (_P) > f (P) 13~. 9

196

Hans Batter.

in J(a,b) fast iiberall, d . h . h S c h s t e n s

mit Ausnahme einer Nullmenge g e n t i g t u n d a u I 3 e r d e m in ganz J(a, b) die Porderung erft~llt:

D~(P) p o s i t i v b e l i e b i g g r o g , j e d o e h e n d l i e h , bzw.

D4(P) negativ b e l i e b i g g r o g , j e d o e h e n d l i e h . Bezeichnen wir zum Untersehiede mit ~o*(a, x), 4" (a, x) ein adjungiertes Funktionenpaar naeh der al t e n Definition, so ist klar, dag die Klasse dieser Funktionen einen B e s t a n d t e i l der a l l g e m e i n e r e n Klasse adjungierter Funktionen ~ (a,x), ~ (a, x) im Sinne tier n e u e n Definition bildet. Setzen wir daher

lim{~*(a,b)}=9*, lim{?

(a, b)}=q ,

so mug, die E x i s t e n z jedenfalls

lira {4*(a, b)} =

G*;

lim{,~ (a, b ) } = G,

der Grenzwerte g u n d G v o r a u s g e s e t z t , g* ~ g,

sein.

G __ 0 ** (a, x) - - , (., x)

< ~

ist. Um dies zu erkennen, bedarf es einer ahnlichen Uberlegung, wie wit sie beim Beweise des Satzes 2 des w 5 anstellten. Wir sehliegen die N u l l m e n g e E0, in weleher

1) ,~ (?) < f ( p ) ist, der Reihe nach in Intervallmengen ~. (a, b) vom Inhalte

Mi (a, b) <

~

[i -~ 1, 2~ 3, . . .]

Der Perronseho Integralbegriff.

197

ein und bilden uns dazu wie auf S. 193 die stetigen~ m o n o t o n w a e h s e n d e n Intervalifunktionen

~ (a, x) = ;ViM i (a, x) < 7 " Die G r e n z f u n k t i o n O3

(a, x) = ~

~ (~, x) < ~.

[p. 194]

ist dann selbst eine m o n o t o n w a e h s e n d e Intervallfunktion, dio insbesondere in den P u n k t e n y o n E 0 die Ableitung

D ~ (P) = + besitzt.

Setzen wir daher

~ (~, x) =- ~ (a, x ) + ~ (a, x), so wird dies eine adjungierte O b e r f u n k t i o n der u r s p r ti n g 1i c h e n Definition sein :

zu f ( P )

im Sinne

D +,* (.P) = 1) + (.~) + D z (.P) >__f ( P ) in g a n z J (% b) im Hinblieke a u f die oben in der Definition gestellte F o r d e r u n g . Zugleieh ist

+~ (a, x) - - ~ (a, x) = z (a, x) < fiir jades Intervalt J (a~ x) y o n J (% b), w. z. b. w. D a wir offenbar in ahnlieher Weise aueh zu jeder U n t e rf u n k t i o n ~ (ct~ x) eiue andere ~0" (% x) finden kSnnen yon der Art~ dal3

~0 (a, x) - - ~* (a, x) < ist, so erkennen wir sofort, daf~ die G r e n z e n G u n d g tatsachlieh existieren und beziehungsweise mit G* uud g~ i d e n t i s c h sein miissen : G~---G*~ g~--g*. W e g e n G* :> g~ wird daher stets aueh

sein und dies gilt mit Rticksieht auf die in der Definition an die adjungierten F u n k t i o n e n gestellte F o r d e r u n g auch dann noch~ wenu f(P) nicht beschrankt ist.

198

Hans Bauer.

Wenn wir nun die I n t e g r i e r b a r k e i t der n e u e n Definition an die Bedingung

yon

f(P)

im Sinne

G:g kntipfen, so enthalt unser letztes Ergebnis den folgenden wichtigen Satz: J e d e i m S i n n e d e r n e u e n D e f i n i t i o n integrierbareFunktion ist auch iraSinne der alten integrierbar und umgekehrt; beide Integrale sind oinandor gleich. Aus dieser v e r a 11 g e m e i n e r t e n Integraldefinition folgt wie nattirlich sofort die Gtiltigkeit des Satzes 2 des w 5, p. 192, unten.