NORBERT ENDRES

DIE ALGEBRAISCHE HOMOTOPIEMENGE

STRUKTUR DER

VON PRODUKTABBILDUNGEN AUF SPHAREN

ABSTRACT. Bezeichne ftir m e n mit Sm die m-dimensionale Sph~ire. Wir bestimmen in der nachstehenden Arbeit die dutch das reflektierende Produkt auf Sph~iren induzierte algebraische Struktur auf der Homotopiemenge [S p x Sq; S"].

Fiir topologische R/iume X und Y, die jeweils mit Basispunkten ausgestattet seien, bezeichnen wit mit dem Symbol [X; Y] durchgehend in dieser Arbeit die Menge yon Homotopieklassen stetiger, basispunkterhaltender Abbildungen yon X nach Y. Ffir das Studium der Menge [X; Y] ist eine zus/itzliche, kanonisch gegebene algebraische Struktur von nicht unerheblicher Bedeutung, da sie oftmals das wesentliche Hilfsmittel zur Berechnung und zu einer verniinftigen Beschreibung der Homotopiemenge darstellt. So ist beispielsweise fiir einen cogruppen~ihnlichen Raum X die Homotopiemenge IX; Y] eine Gruppe; wenn Y ein H-Raum und X oder Y ein CWKomplex ist, bildet IX; Y] stets eine Loop (s. [Wh, S.118, (4.14)]; [J3]), wobei die Loopverknfipfung in der Homotopiemenge induziert wird von der HMultiplikation auf Y. W/ihlt man nun als Bildraum Y die n-dimensionale Sphfire S" und schr/inkt n aufdie Werte 1, 3 oder 7 ein, so liegt stets ein H-Raum vor. Ffir X := S p × S q, p, q~ N sind dann die Homotopiemengen I S p x Sq; S"] immer nilpotente Gruppen yon Nilpotenzklasse ~2. Vor einigen Jahren konnte Drahota in I-D] die Struktur dieser Gruppen detailliert bestimmen, soweit nur die zur Berechnung n6tigen Homotopiegruppen der Sph/ire S" bekannt waren. Die Multiplikation zweier Homotopieklassen wird hierbei nach [J2] unter Verwendung des Samelson-Produktes beschrieben (siehe auch Appendix dieser Arbeit). Motiviert durch obige Beispiele folgen wir der Grundidee, zus/itzliche algebraische Eigenschaften topologischer R/iume auf Homotopiemengen mit solchen R~iumen als Bildraum zu iibertragen; wir wenden uns speziell Homotopiemengen zu, deren Bildraum Y eine Sph/ire beliebiger Dimension und somit ein symmetrischer Raum ist. Das zum symmetrischen Raum geh6rende Produkt • erfiillt aul3er einem topologischen Axiom drei al-

Geometria Dedicata 48: 267-294, 1993. © 1993 Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.

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gebraische Identit/iten, n/imlich Idempotenz, Symmetrie und Linksdistributivit/it; geht man zur Homotopiemenge I-X; Y] fiber, so wird auf dieser durch das Produkt eine (auch mit • bezeichnete) bin/ire Verkniipfung induziert, die gleichfalls idempotent, symmetrisch und linksdistributiv ist. Diese Eigenschaften jedoch erweisen sich als weitaus schw/ichere Hilfsmittel ffir die Bestimmung von Homotopiemengen, als sie etwa durch eine natfirliche Gruppen-bzw. Loopverknfipfung gegeben sind, da beispielsweise ein neutrales Element fehlt, oder auch nicht jede Gleichung eindeutig 16sbar ist. Mengen mit einer bin/iren Verkniipfung, die die gerade genannten Eigenschaften besitzen, wollen wir als symmetrische Gruppoide bezeichnen. Unser Hauptinteresse gilt der Struktur der Homotopiemengen [S r x S~; S"] als symmetrische Gruppoide. Es zeigt sich, dab die Struktur dieser symmetrischen Gruppoide vollst/indig ermittelt werden kann mit Hilfe der symmetrischen Gruppoide ([SP; S"], .), ([Sq; S"], . ) und ([SP+q; S"], •), deren Struktur wiederum in engem Zusammenhang steht zur Gruppenstruktur auf den entsprechenden Homotopiemengen, also den Homotopiegruppen (vgl. (2.5), (3.1)). (Wir werden in diesem Kontext von Gruppenverwandtschaft symmetrischer Gruppoide sprechen. Einige der Eigenschaften solcher Gruppoide wurden in [E3] behandelt; ffir die genaue Definition siehe (1.10).) Bei der Analyse der symmetrischen Gruppoide (ISp x Sq; S~], •) orientieren wir uns am obengenannten klassischen Fall der H-R/iume und machen uns eine exakte Sequenz symmetrischer Gruppoide der Form 0 ~ [SP+q; S n] --~ [-Sv x S~; S~] J~ [SP; S~2 x [Sq; Sn] ~ {0, 1} zunutze (siehe (2.14)). Die durch fortgesetzte Linkstranslation bezfiglich der bin/iren Verknfipfung • auf ker t definierte Aquivalenzrelation 1/igt sich mit gruppentheoretischen Mitteln beschreiben ((2.17), (2.19)) und ist vertr/iglich mit der Homotopieklassifikation von Elementen aus [SPx Sq; Sn] (cf. (3.5)), was zu einer mengentheoretischen Beschreibung von [S p x Sq; Sn] als disjunkte Vereinigung von Produkten von Xquivalenzklassen ~ _ ker t mit diesen Klassen zugeordneten Faktorgruppen np+q(Sn)/A~ ffihrt. Die multiplikative Struktur der symmetrischen Gruppoide kert und [SP+q;S "] wird hierbei in einer kanonischen Weise auf das symmetrische Gruppoid [SPx Sq; S"] vererbt (vgl. Hauptergebnis (3.10)). Da in der hier vorliegenden Fassung Einschr/inkungen an die Dimensionen der beteiligten Sph/iren entfallen, erhalten wir mit diesem Ergebnis eine wesentliche Verallgemeinerung von (4.33) aus [-E2], die die Grundlage fiir diese Arbeit bildete. Im Appendix stellen wir dar, wie sich die von uns gewonnenen Resultate in die bet•its bestehende Theorie einfiigen.

PRODUKTABBILDUNGEN

AUF S P H A R E N

269

Wir beginnen nun mit der Bereitstellung der in dieser Arbeit verwendeten Begriffe und Hilfsmittel.

1. GRUNDBEGRIFFE In diesem Kapitel sind alle betrachteten topologischen R/iume, wie in der Homotopietheorie iiblich, kompakt erzeugte topologische R/iume. 1.1 D E F I N I T I O N . Eine Menge M zusammen mit einer binfiren Verkniifung e:M x M ~ M heiBt symmetrisches Gruppoid, wenn sie das folgende Axiomensystem erfiillt: (i) x • x = x Vx e M (Idempotenz), (ii) x • (x • y) = y Vx, y e M (Symmetrie), (iii) x o ( y o z ) = ( x • y ) o ( x o z )

Vx, y, z e M

(Linksdistributivitgt).

Wir vereinbaren fiir x l . . . . . Xk ~ M die klammerfreie Schreibweise X I O X2 O x 3 O ... • Xk ; = X l o ( X 2 • ( X 3 " .., " Xk) ).

Da das Axiomensystem (i), (ii), (iii) in (1.1)/iquivalent ist zu dem System (i), (ii), (iii') mit (iii')

(x • y) • z = x • (y • (x • z))

Yx, y, z s M

(Antidistributivit/it),

ist jeder Ausdruck in (M, •) in k Variablen klammerfrei darstellbar. Trivialerweise ist eine Menge M mit der Projektion auf den zweiten Faktor als Verkniipfung ein symmetrisches Gruppoid. 1.2 B E M E R K U N G . Erfiillt ein topologischer Raum M mit einer stetigen Multiplikation e: M x M ~ M neben den Axiomen (i) bis (iii) aus (1.1) die Bedingung (iv)

Jedes x e M hat eine Umgebung U derart, dab aus x•y=yfolgty=x Vy~U,

so heiBt M symmetrischer Raum (vgl. I-L•, S.63]). Das fiir unsere Zwecke relevante Beispiel ffir symmetrische R/iume erh/ilt man mit der folgenden Definition: 1.3 D E F I N I T I O N . Sei S" die n-Sph/ire im ~" ÷ 1, n s N, mit der euklidischen Topologie, d.h. die Menge aller Punkte x s R "+1 mit llxll = 1. Bezeichne ( . ; . ) das kanonische Skalarprodukt im N"+ 1. Das reflektierende Produkt auf S" ist definiert durch x•y:=

--y + 2(x; y ) x ,

x, y e S " , n >~ O.

270

NORBERT

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1.4 SATZ. Bezeichne • das reflektierende Produkt auf der Sphdre S". Dann ist (S", •) symmetrischer Raum fiir allen e N ([L, (9.2)], bzw. [Lo, S.66]). [] Fiir n = 1, 3, 7 tragen die Sph/iren eine natiirliche Gruppen- bzw. Loopstruktur: S 1 ist die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen vom Betrag 1, S 3 die multiplikative Gruppe der Hamilton'schen Quaternionen der Norm 1, S 7 die Moufang-Loop der Cayleyschen Oktaven der Norm 1. Der Zusammenhang zwischen der Gruppen- bzw. Loopverknfipfung einerseits und dem reflektierenden Produkt andererseits kann wie folgt beschrieben werden (vgl. [Lo, S.65ff]): 1.5 SATZ. Far n = 1, 3, 7 wird der Zusammenhan9 zwischen der symmetrischen Struktur auf S" und der jeweiligen Gruppen- bzw. Loopverkniifung gegeben dutch xoy = xy-lx,

x, yeS".

Beweis. Unter Benutzung der Identit/it

(x; y) = 1/2(xy- x + y x - t), x, y ~ S", folgt die Behauptung aus der Definition des reflektierenden Produktes.

[]

Wir iibertragen nun in natfirlicher Weise die algebraischen Eigenschaften symmetrischer Rfiume auf Homotopiemengen mit symmetrischen R/lumen als Bildrfiume und induzieren so auf diesen Homotopiemengen die Struktur eines symmetrischen Gruppoids. Fiir eine stetige, basispunkterhaltende Abbildung f zwischen zwei topologischen R/lumen bezeichne I f ] hierbei die Homotopieklasse. Man verifiziert leicht: 1.6 SATZ/DEFINITION. Seien X bzw. S topologische Rdume mit Basispunkten, sei S symmetrischer Raum mit der Verknfipfung .. Seien f, g: X ~ S stetige, basispunkterhaItende Abbildungen. Mit der komponentenweisen Definition ( f • g)(x) := f(x) • g(x),

x ~ X,

wird auf [X; S] verm6ge I f ] • [g] := [ f e g] eine bindre Verknfipfung • definiert. Das Paar ([X; S], •) ist ein symmetrisches Gruppoid. []

Ublicherweise wird in Homotopiemengen die Klasse der trivialen Abbildung auf den Basispunkt des Bildraums als ausgezeichnetes Element betrachtet (vgl. [Wh], [P]). Auch wir zeichnen im symmetrischen Gruppoid (l'X; S], o)

P R O D U K T A B B I L D U N G E N AUF SPHAREN

271

diese Klasse aus und nennen in Zukunft symmetrische Gruppoide mit einem ausgezeichneten Element punktiert. Die verm6ge (1.6) auf Homotopiemengen induzierte algebraische Struktur verh/ilt sich natiirlich in Bezug auf Komposition von Abbildungen in folgendem Sinne: 1.7 DEFINITION. Seien S, X, Y topologische R/iume mit Basispunkten, h: X ~ Y eine basispunkterhaltende stetige Abbildung. Durch h wird eine Abbildung h*: [Y; S] --* IX; S] definiert verm6ge h*[f] := [ f o hi, f: Y--. S. 1.8 SATZ. Seien X, Y, S topologische Riiume mit Basispunkten, sei S symmetrischer Raum mit Verkniipfung o, und fl, f2: Y ~ S , h:X--* Y basispunkterhaltende Abbildungen. Dann gilt: h*[fl "f23 = h*[fl] • h*[f2].

1.9 DEFINITION/BEMERKUNG. Die yon h induzierte Abbildung h* ist ein Homomorphismus zwischen symmetrischen Gruppoiden, der die ausgezeichneten Elemente ineinander iiberfiihrt. Wir nennen solche Homomorphismen punktierte Homomorphismen. Unter den yon uns im folgenden betrachteten symmetrischen Gruppoiden spielen die nachfolgend definierten eine gewichtige Rolle. Fiir Details s. [E3]. 1.10 DEFINITION. Sei (G, +) eine abelsche Gruppe, R _ G, und sei (R, e) symmetrisches Gruppoid. Wir nennen (R, o) ein zu (G, +) gruppenverwandtes symmetrisches Gruppoid, wenn es Abbildungen tr, z: R --* G gibt, so dab zwischen den bin/iren Verkniipfungen + und • der Zusammenhang a ,, b = a(a) + z(b),

a, b ~ R,

besteht. Triviale Beispiele gruppenverwandter symmetrischer Gruppoide erh/ilt man aus jeder abelschen Gruppe G, indem man auf der der Gruppe zugrundeliegenden Menge als Verkniipfung die Projektion auf den zweiten Faktor w/ihlt (siehe nach Def. (1.1)). Hier ist z = ida, tr = 0. Ein weiteres Beispiel eines gruppenverwandten symmetrischen Gruppoids findet man in Satz (1.5) fiir n = 1.

272

NORBERT ENDRES

Unmittelbar aus den Definitionen ergibt sich 1.11 H I L F S S A T Z . Sei (R, • ) zu ( G, +) 9ruppenverwandt. Dann gilt fiir a, b ~ R: (i) (ii)

a(a) = a - z(a), z(a - z(a) + z(b)) = z(a) - a + b.

Durch eine genaue Analyse der gegebenen Situation erkennt man, dab wir o.B.d.A, von nun an stets die folgenden Voraussetzungen fiber gruppenverwandte symmetrische Gruppoide vereinbaren k6nnen (vgl. I-E3]): 0 ~ R,

tr, z: R -o R,

z(0)

= 0,

~.2 = id.

Hierbei bezeichne 0 das neutrale Element der Gruppe G. In sp~iteren Anwendungen werden gruppenverwandte symmetrische Gruppoide stets als punktiert betrachtet mit ausgezeichnetem Element 0. 1.12 D E F I N I T I O N / B E M E R K U N G . Sei (R, • ) zu (G, + ) gruppenverwandt, sei z: R ~ R die zur Verknfipfung • geh6rende Abbildung. (a) Wir setzen U : = { u e R : u = r - z ( r ) , r ~ R } . Offenbar i s t U = R . O = or(R). (b) Wir bezeichnen mit ( U ) die von U erzeugte Untergruppe in G. Ffir r, r ' e R definieren wir die Relation ~ verm6ge r..~r':c~r-r'~(U).

Die Relation ~ ist eine Kongruenzrelation, d.h. fiir a, a', b, b'~ R mit a ~ b und a' .-~ b' gilt a • a' ~ b . b'. Eine Beschreibung der einem gruppenverwandten symmetrischen Gruppoid zugrundeliegenden Menge ist gegeben dutch 1.13 SATZ. Sei (R, *) ein zu (G, +) gruppenverwandtes symmetrisches Gruppoid, 0 ~ R, G abelsch. Dann ist R Vereinigun9 yon Aquivalenzklassen nach ( U ) in G ([E3, (12, 1)]).

2.

[]

E I N E EXAKTE SEQUENZ VON SYMMETRISCHEN G R U P P O I D E N

Die von nun an auftretenden topologischen R/iume sind stets CW-Komplexe. Seien p, q, n ~ ~. Fiir n ~ { 1, 3, 7} ist S" ein H - R a u m , d.h. es gibt eine stetige Abbildung v: S" x S" ~ S", so dab die Kompositionen S" r 'l , S" x S"

~ ~ S"

bzw. S" ~- ,2 ~ S" x S"

v

sn

jeweils h o m o t o p zur Identit/it auf S" sind, wobei wir mit z1 bzw. t 2 die

273

P R O D U K T A B B I L D U N G E N AUF SPH,~REN

kanonischen Einbettungen x ~ (x, eo) bzw. x ~ (eo, x) bezeichnen, und mit eo den Basispunkt (1, 0,..., 0). Zur Berechnung von I S p × Sq; S'] wird die kurze exakte Sequenz 0 -~ ~v+q(S")

~* ) [SP × S~; S"]

J* , IS v v Sq; S"-I ~ 0

herangezogen, wobei wegen der H-Struktur von S" die auftretenden Homotopiemengen Gruppen bzw. Loops und die von der Projektion bzw. Einbettung herrfihrenden Abbildungen n* bzw. j * Homomorphismen sind. Wir wollen nun diese Methode der Berechnung iibertragen auf den allgemeinen Fall n~ ~. Hierbei ist es n6tig, einige Begriffe, z.B. den der exakten Sequenz, neu zu fassen. Dies geschieht in Anlehnung an die Arbeit von Puppe, 'Homotopiemengen und ihre induzierten Abbildungen'. 2.1 D E F I N I T I O N . Seien Si, i ~ { 1 . . . . . k} punktierte symmetrische Gruppoide mit ausgezeiehneten Elementen el und bin/iren Verknfipfungen .i. Seien fi: St ~ Si + l, i ~ { 1,..., k - 1} Homomorphismen zwischen punktierten symmetrischen Gruppoiden, d.h. ffir a, b e S~ gelte: fi(a*i b) = fi(a)*, +1 L(b)

und L(e,) = ei +1.

Hierbei heiBe k e r f i : = f / - l ( e i + l ) , und fi heiBe monomorph, wenn gilt: f 7 1 ( e i + l ) = {ei}. Monomorphie ist i. allg. nicht gleichbedeutend mit Injektivit/it. Die Folge S1

fl

) S2

f2 ) ... S k _ l

fk-~

~S k

heiBe exakt, wenn gilt: i m f / _ l = kerf/, i e { 2 . . . . . k - 1}. Der nachfolgend definierte Begriff des Typs einer Abbildung u: S " × S q -~ S" (die wir auch als Produktabbildung bezeichnen wollen) bzw. des Typs ihrer Homotopieklasse spielt im folgenden eine zentrale Rolle bei der Beschreibung der Homotopiemenge I S p × Sq; S " ] . 2.2 D E F I N I T I O N . S e i u ~ q) ~ I S p × Sq; S"]. Bezeichnen Homotopieklassen der Hintereinanderschaltungen Sp c- q >Sp x S q

u ) S ' b z w . Sq ~- '2 , Sp × sq

~Pl, ~2

die

u , S",

wobei q, l 2 jeweils die kanonische Einbettung von S p bzw. S q in Sp x Sq beschreibe, so heiBt q~vom Typ ((Pl, go2),~Pl ~ [SP; S ' ] , ~92 ~ [sq; Sn], in Zeichen: typ(~o) := (~o 1' (/)2)"

274

NORBERT ENDRES

Ffir p = q = n kann der Typ von q~ wegen r~,(S") - 77 durch ein Paar ganzer Zahlen repr/isentiert werden. Wir sprechen in diesem Falle auch vom Bigrad von ~0, in Zeichen: bideg(tp) := (¢P1, ~02)Analog sind die entsprechenden Begriffe ffir Abbildungen u: Sp × Sq ~ S" zu bilden. Insbesondere ist die zum H-Raum S", ne{1, 3, 7}, geh6rende Multiplikation eine Abbildung vom Bigrad (1, 1); ffir n # {1, 3, 7} gibt es keine derartige Abbildung. Wir betrachten deshalb ffir n e ~ zun/ichst ganz allgemein stetige, basispunkterhaltende Abbildungen S"x S " ~ S". Im folgenden sollen Aussagen fiber die auf den Mengen IS'n; S"], m, n ~ ~ kanonisch induzierten Struktur eines symmetrischen Gruppoides im Sinne yon Kapitel 1 getroffen werden. Als Hilfsmittel dienen die beiden nachstehenden Zitate. 2.3 SATZ. Sei #: S" x S" ~ S" Produktabbildung, seien f g: St" ~ S" Abbildungen, f "g := I~(f, g). Oann gilt in n,.(S"): [ f "g] = I f ' e ] + [e'g], wobei e: S " ~ S" die konstante Abbildung auf den mit eo ~S n bezeichneten Basispunkt bedeute ([L, (6.1)]). []

2.4 SATZ. Das reflektierende Produkt auf S ~ ist fiir n (2, - 1 ) undfiir n =- 0(2) vom Bigrad (0, 1) ([L, (9.7)]).

1(2) yore Bigrad []

Ober die Gruppenstruktur auf IS"; S"], d.h. fiber die Gruppen n,,(S") wissen wir, dab sie stets abelsch sind (zu ihrer konkreten Berechnung siehe z.B. [To], [Ra]). Der folgende Satz gibt nun AufschluB fiber die auf [Sm; S"] kanonisch induzierte Struktur eines symmetrisehen Gruppoides und erm6glieht ffir ~o, ~O~ [S p x Sq; S"] den Typ yon q~ • ~Oin Abh~ingigkeit der Typen von q~ und 0 zu bereehnen (vgl. Vorbemerkung und Beweis zu (2.14)). Dies bedeutet einen ersten Schritt zur Beschreibung der multiplikativen Struktur von

([s~ x s~; s"], -). 2.5 SATZ. Seien [ f ] , [g] e IS"; S"]. Zu der durch das reflektierende Produkt auf der Sphiire S" in I-S'; S"] induzierten biniiren Verkniipfung • gibt es einen involutorischen Gruppenautomorphismus z : ~ ( S ~) --* ~zm(S") (d.h. z 2-- id), so dab mit der Definition a([-f]):= [ f ] - z([-f]) gilt: E l " g] = ~ ( [ / ] ) +

"~([o]).

P R O D U K T A B B I L D U N G E N AUF SPH,~,REN

275

Speziell gilt fiir z = id, also [ f .

(a) n - 0(2) (b) n - 1(2)

g] = [g].

(i) n ~< m ~< 2n z = - i d , also [ f * g] = 2 [ f ] - [g]. (ii) m > 2n

z([f]) = -[f]

+ [7.; 7,]° h o ( [ f ] ) ,

m < 4n - 3:

I f ' g ] = 2 [ f ] - [ g ] + [ ' , ; ' , ] ° ( - h o ( [ f ] ) + ho([-O])). [ f " g ] = 2 I f ] - [g] + [-7.; 7,] o ( h o ( [ / ] ) + ho([g]) ).

Hierbei bezeichnet der Homomorphismus ho:n=(S" ) ~ Z~m(Sz " - l ) die nullte Hopf-Hilton-Invariante. Das Whiteheadprodukt I t , ; 7,] ist ein Element aus nZ,_l(S" ), wobei wit t, fiir die Klasse der identisehen Abbildung auf S" sehreiben. Beweis. N a c h (2.3) gilt: [ f "o] = [ f o e ] + [ e . g ] , e: S m ~ S", x ~ eo die triviale A b b i l d u n g , x • S% e o • S" B a s i s p u n k t . f * e 1/iBt sich s c h r e i b e n als H i n t e r e i n a n d e r s c h a l t u n g S m - * S" ~ S"

x ~ f(x) ~ f ( x ) " eo e * g 1/igt sich s c h r e i b e n als H i n t e r e i n a n d e r s c h a l t u n g Sm ~

Sn~

Sn

x w-~g(x) ~ e o • g(x) N a c h (2.4) gilt fiir z • S": Die A b b i l d u n g z ~-~ z ,, eo ist ffir n = 1(2)

R e p r / i s e n t a n t ffir 2z,,

n -= 0(2)

R e p r / i s e n t a n t ffir die triviale K l a s s e 0;

die A b b i l d u n g z ~ e o ,, z ist ffir n - 1(2)

R e p r ~ s e n t a n t ffir - t , ,

n -= 0(2)

R e p r / i s e n t a n t ffir l..

Es folgt fiir n ----0(2): If.

g] = 7,° [gJ = [g],

w o m i t B e h a u p t u n g (a) gezeigt ist.

276

NORBERT ENDRES

Fiir n - 1(2) folgt: [ f • g] = (2tn) o [ f ] + ( - t,)o [g]. Nach [Wh, S.480] ist fiir [ f ] e rc,,(S") die Abbildung [ f ] ~-~(-z,)o [ f ] ein Gruppenautomorphismus der Periode 2 auf =m(S"), und wegen [ f • f ] = [ f ] , also (2~,) o [ f ] = [ f ] - ( - Q ° [ f ] , folgt die Hauptaussage des Satzes. Da ffr [ f ] ~Enm_x(S n-l) gilt: (-~n)° [ f ] = - [ f ] ([Wh, S.4803), und weiterhin nm(S~) = E=m-l(S'-1) ffir n =- 1(2), m ~< 2n - 1, nach [H, Wh, S.429] (wobei E den Einhfingungshomomorphismus bezeichne), folgt (b), (i) ffir m ~< 2n - 1 und 1/iBt sich nach [L, (2.5)] erweitern aufm = 2n. F f r m > 2n folgt ([Wh, S.537, (8.12)1): (-- tn) ° [ f ] = - [ f ] + [z,; 1.] o h o ( [ f ] ) , und wegen der Rechtsadditivit/it des Kompositionsprodukts ([Wh, S.479, (8.1)1) folgt Aussage (b), (ii). Schr/inkt man m < 4 n - 3 ein, so gilt ffir den Gruppenhomomorphismus ho(. ) naeh [Wh, S.535, (8.7)1 2 h o ( [ f ] ) = 0 und damit die Spezialisierung unter (b), (ii). [] 2.6 B E M E R K U N G . Sei X ein topologischer Raum, der eine idempotente Multiplikation • trfigt. Nach [St,(2.1)] wird die dadurch auf [S";X] induzierte Verkniipfung (die wir glichfalls mit <) bezeichnen wollen) stets durch einen Endomorphismus z: nn(X) -~ n,(X) beschrieben verm6ge

<>fl = (id - z)(~) + z(fl), a, flm[Sn; X]. Dimses Ergebnis stmht in Korrmspondmnz zur ersten Aussagm der nachfolgenden Bemerkung. 2.7 B E M E R K U N G . (i) Aus (2~5) folgt, dab ([Sin; S"], •) stets gruppenverwandt ist. (ii) Fiir n/> 15 ist n,+la(S ") - Z3. Da in ([S"+13; S"], •) die Rechtstranslation mit beliebigen Elementen aus [S "+ 13; S .] bezfiglich • wegen z = - i d ffir n - 1(2) bijektiv ist, ist ([S ~+ 13; S,], •) ffir ungerades n sogar Quasigruppe. (iii) Sei n < m ~ < 2 n , n - 1 ( 2 ) , und sei die Struktur yon [Sm;S ~] als symmetrisches Gruppoid bezfiglich des reflekierenden Produktes • bekannt. Dann l/iBt sich daraus nach [El] die Gruppenstruktur von nm(S ~) rekonstruieren. Wir wollen einige Eigenschaften tier Abbildung a~--~[tn; z~] o ho(~) ffir ungerades n und a e nm(S ~) hmrausarbeiten.

PRODUKTABBILDUNGEN

2.8 H I L F S S A T Z .

AUF SPH,~REN

277

Sei n - 1(2), m > 2n, ~ e rim(S"). Setzt man

~(~) := [~n; ~n] ° ho(o¢),

0: nm(S n) -~ nm(Sn),

so gilt:

(i) ~ ist Gruppenhomomorphismus, (ii) 9(~(~)) = 2~(ct). Speziell fiir m < 4n - 3 gilt, ~, fl e nm(S"):

(iii) 0(0(~)) = 0 = 20(a), (iv) 0(at •/3) = O(fl). Beweis. (i) folgt mit d e m Beweis yon (2.5). M a n errechnet, da a ~-. ( - z,) o ein A u t o m o r p h i s m u s der P e r i o d e 2 ist: = ( _ ,.) o ( ( _ ,.) o ~) = ( _ ,.) o ( - ~ +

= -(-~

0(~))

+ 0(~)) + 0 ( - ~ t + 0(ct)) = ~ - 20(ct) + 0(0(~)),

also gilt (ii). (iii) folgt wegen 2ho(~ ) = 0 ffir ~ ~ ~m(S"), m < 4n -- 3. (iv) 0(:t. fl) = 0(2ct -- fl + 0(~ + fl)) = 0 ( ~ nach (i), (iii).

[]

2.9 H I L F S S A T Z :

Sei (R, • ) gruppenverwandtes symmetrisches Gruppoid, sei z die zur Verknfipfun9 • geh6rende Abbildung, d.h. fu'r ~, t i e r sei ~ . f l = ~ - z(,) + z(fl). Seien ~1 . . . . . ,k ¢ R. Oann gilt: k

~kO~k-lO'"O~20~l

= Z (-1)k-'(~-~(~)) i=l

1 + ( - - 1 ) k+l

+

2

1 + (--1) k

~(~l) +

2

~1.

Beweis. D u r c h vollstfindige Induktion; der I n d u k t i o n s s c h r i t t wird gezeigt unter Berficksichtigung der Identitfit z 2 = id u n d ([E3], (9), (ii)). []

D a m i t folgt for IS"; S"] u n d u n g e r a d e n 2.10 K O R O L L A R . Sei n - 1(2). Fiir ~t, fie[Sin; S"] ist ~o fl nach (2.5) 9eoeben durch ~t. fl = ~ - z(:O + z(fl), mit z(~) = - ~ + ~)(~), wobei der Gruppenhomomorphismus ~): 7:m(S n) ~ ~m(S") wie in (2.8) definiert sei. Dann gilt fiir :q . . . . , ~tk e [sm; S"]:

i=~

~

I + ( - I)~+~

i=x

2

278

NORBERT

ENDRES

Zur Beschreibung der Homotopiemenge [S p × Sq; S"] wollen wir, auch zur Hinfiihrung auf die angekfindigte exakte Sequenz, einige wichtige Zusammenhfinge fiber Whiteheadprodukte zitieren. 2.11 SATZ. Sei ~rcp(S"), fl~rcq(S"). Genau dann 9ibt es eine Abbildun 9 S p x S q ~ S" vom Typ (ct, fl), wenn [~; fl] = 0 ([Wh, S.475, (7.7)1). [] 2.12 SATZ. Far n = 1(2), eE~zp(S"), fleTzq(S") 9ilt: [(22,) o ~;/31 = E~; (22,) o/3] = 0. Insbesondere ist 2[~; fll = O, falls entweder ~ oder fl Einh~inoun9 ist ([H, Wb,

(2.3)]).

[]

Fiir die nun folgenden Betrachtungen wollen wir daran erinnern (vgl. erstes Beispiel nach (1.10)), dab auf der Menge (0, 1), die der zyklischen Gruppe 7/2 zugrundeliegt, in natfirlieher Weise die Struktur eines gruppenverwandten symmetrisehen Gruppoids induziert wird, indem man als Verknfipfung die Projektion auf den zweiten Faktor w~ihlt. Wir bezeichnen dieses symmetrisehe Gruppoid mit ((0, 1}, •). 2.13 DEFINITION. Sei u e (0~ ~ [S p v S~; S"]. Die Gattung von u bzw. q~ ist definiert durch ein Paar (q~, ~02), ~0~e [SP; S"], (o2 ~ [Sq; S"], wobei ~Pl bzw. (o2 reprfisentiert werden durch die Hintereinanderschaltungen S p ~-

t"

, S" v

sq

u

,

sn

bzw.

$9

~-

t~

,

Sp

v

Sq

u

, S",

und zp bzw. tq jeweils die kanonische Einbettung von S p bzw. S q in S" v S~ bezeichne (vgl. Analogie in (2.2)). Wir verwenden fiir die Gattung einer Abbildung bzw. Homotopieklasse auch manchmal die Schreibweise gtg(u) = (tpl, q~2) bzw. gtg(~o~) = (tp 1, ~o2). Wit definieren t: IS p v Sq; S"] {0, 1} verm6ge {~ t(tp~) =

falls[-q~l;~o2] = 0 , falls [-~01; (])2] ~ 0.

Wir formulieren nun das Analogon zur in der Einleitung dieses Kapitels genannten kurzen exakten Sequenz. Hierbei statten wir wie fiblich die Homotopiemengen [X; S"] mit der yore reflektierenden Produkt auf Sphfiren induzierten Struktur • eines symmetrischen Gruppoids aus. Da die Homotopiemenge [S p v Sq;S"] in natfirlicher Weise die kfinftig m i t + b e z e i c h n e t e Gruppenstruktur von ~p(S")xnq(S") tr/igt (~o~ e [S p v Sq; S"] somit also mit seiner Gattung identifiziert werden kann), erschliel3t man sich das Aussehen des zu ([SPv S ;q S n1, +) gruppenver-

PRODUKTABBILDUNGEN AUF SPH,~REN

279

wandten symmetrischen Gruppoids (IS v v S~; S"], *) mit Hilfe von Satz (2.5). 2.14 SATZ. Sei j: S p v Sq --. S p × S q die kanonische Einbettun9, sei weiterhin 7z: S p x S ~ ~ S p ^ S q ~- S p+~ die kanonische Projektion. Die Abbildungen zc*,j*, t sind punktierte Homomorphismen zwischen punktierten symmetrischen Gruppoiden, die Sequenz

0 ~ ([SV+~; S"], o)

~* , ([S ~ × S~; S"], . ) - j~ , ([S v v S~; S"], o)

' , I{0, 1}, . ) ist exakte Sequenz yon symmetrischen Gruppoiden. Beweis. ~*, j * sind nach (1.9) punktierte Homomorphismen zwischen

punktierten symmetrischen Gruppoiden. (1) n* ist nach [P, S.329, (14)1 monomorph, nach [P, S.326, (13)1 sogar injektiv. (2) Da wegen 7zoj -= e 0 die Beziehung im n* ~ kerj* gilt, und weiterhin wegen der Homotopieerweiterungseigenschaft des Paares (SVx Sq, Sp v S~) die Beziehung im x* _ kerj* folgt, erhalten wit im x* = kerj*. (3) Wir zeigen zun~ichst: (a) t i s t Homomorphismus zwischen symmetrischen Gruppoiden. Seien ~p~, 0u e [ S p v sq; S"1 von der Gattung (q~ i, (P2), (01, 02), n - 1(2) (der Beweis ist trivial f/ir n = 0(2)). Dann ist nach (2.5) ¢P~ * 0~ von der Gattung ((27,) o q~l + ( - z.) o 01, (27,) o q2 + ( - 7,)0 02), und E(2~,) o q~x + ( - z,) o 01; (2z,) o q~z + ( - z,)o 023 = E(2z,) ° ~pl; (2z,) o q23 + E(2z.)o cpl; ( _ 7,) o 0z] + [ ( - , , ) o 01; (2t,) o q23 + E(- 7,)° 01; ( - z , ) o 0z] =

E(-,.)o0.

(-7.)°021

wegen der Bilinearit/it des Whiteheadproduktes und nach (2.12). Wegen der Natiirlichkeit des Whiteheadproduktes (EWh, S.473, (7.2)1) gegeniiber Komposition folgt

[(- 7.)° 01; ( - 7.) o 02] = ( - z.) o [0,; 05]; da die Komposition mit ( - 7,) involutorischer Gruppenautomorphismus ist, folgt also [(--In) °01; (--In) C02] : 0<=~[01; 02] = 0

280

NORBERT

ENDRES

und damit t(cpu • ~u) - tOPu) = t(cpu)" tOP~). (b) i m j * = kert folgt aus (2.11).

[]

Als ein einfaches Korollar, das wir im folgenden noch erheblich ausbauen werden, erhalten wir 2.15 KOROLLAR. Die Homotopieklassen yon Abbildungen yon S v x S q -o S" yore Typ (0, 0) stehen in eineindeutiger Beziehung zu den Elementen yon [Sp+q; S"]. [] Ffir q~e IS" x Sq; S"] vereinbaren wir ffir den Rest der Arbeit die Schreibweise ~ov :=j*(q~); das ~0v bzw. dessen Gattung beschreibende Paar (~ol, tp2)~ 7r,(S~) x 7rq(S") gibt auch den Typ von ~o an, d.h. gtg(cp v) = gtg(tp oj ) = typ(~o). Die Kenntnis yon ([S p v sq; S"], •), und insbesondere des symmetrischen Untergruppoids kerr, liefert uns nach (2.14) wertvolle Informationen fiber das Aussehen der Struktur von ([SP×Sq;S"], *). Um (2.15) zu verallgemeinern, gehen wir nun daran, (ker t, •) genauer zu studieren und ffihren hierzu ein: 2.16 DEFINITION. Sei (R, •) symmetrisches Gruppoid, a, t i e R . Die Elemente a und fl liegen in derselben Linksklasse, in Zeichen a "~zfl, wenn es Elemente a l , . . . , ~ k e R gibt mit ~k • " ' " •0~ 1 • ~ = ft. Wie man leieht sieht, ist ,-~, )~quivalenzrelation in R. In (2.21) werden wir (2.15) verallgemeinern. Die wesentliche Beweisidee zur angestrebten Verallgemeinerung liefert die Beobaehtung, dab wegen der Bijektivitfit der Linkstranslation v o n • in symmetrischen Gruppoiden ffir ~o, ~l ~ IS p X sq; S n] mit qL "~l ~v (wobei die Relation "~t in ker t betrachtet wird, der nach Definition von t und (2.11) sowie der Bemerkung nach (2.15) alle Typen von Homotopieklassen aus [S p x S~; S"] widerspiegelt) die Anzahl der Homotopieklassen vom Typ (qh, ~o2) in [SPx Sq; S"] gleich der Anzahl von Homotopieklassen vom Typ (~1, q/2) in [S p x Sq; S"] ist. Um Aussagen fiber die Anzahl von Homotopieklassen eines bestimmten Typs in [Sex sq; S"] treffen zu k6nnen, soll also im folgenden kert in Linksklassen zerlegt werden. Hierbei brauchen wir nur den Fall n = 1(2) n/iher zu untersuchen, da ffir gerade n die Linksklassen stets einelementig sind, wie leicht aus (2.5) folgt. Ffir gruppenverwandte symmetrische Gruppoide gilt allgemein 2.17 HILFSSATZ. Sei (R, •) 9ruppenverwandtes symmetrisches Gruppoid. Dann stimmen die Relationen "~l und ,,, (aus (1.12)) iiberein.

PRODUKTABBILDUNGEN

AUF SPH.~REN

281

Beweis. Wie in (1.12) verwenden wit die Bezeichnungen R • 0 = a(R) = U;

dann ist ( U ) _ R die die Relation ~ festlegende Untergruppe. (a) Seien al, t i e R , mit al ~,ft. D a n n existieren a 2 , . . . , a k ~ R mit ~kO~k_l•

"'0~20~

1 ~-~ ft.

Mit (2.9) berechnet man ffir k =- 0(2) k

f l - - 0q = ~ (--1)k-i(~i -- z ( ~ i ) ) ~ < U ) , i=1

also ~1 ~ fl- Der Beweis ftir k = 1(2) verl/iuft analog. (b) Sei al ~ ft. D a n n existieren u2 . . . . . uk ~ a(R) = R • 0 und ~i E R, so dab ui = ~i - z(ai), i ¢ {2 . . . . , k} gilt, somit - ui = z(ai) - z(z(~i)), und fl-

~1 = Uk + Uk-1 + "'" + U2.

Wir betraehten exemplariseh den Fall k = 1(2). D a n n gilt fl = u~ - ( - u ~ - l )

+ u k - 2 -T- . . . .

= (~ - ~(~)) - (~(~-1)

(-u2)

+ ~1

- ~ 2 ( ~ _ i)) +-"

(2.__9)~ • ~ ( ~ k - 1) • ~ k - 2 " " " " ~

• ~(~2) • ~1,

also cq "~zft.

[]

Der folgende Hilfssatz liefert die fiir unsere Zwecke wesentlichen Teilmengen von kert. 2.18 H I L F S S A T Z . Sei n =- 1(2). Dann gilt: (i)

(2,.) o [S~; S"] x [sq; S"] w [SV; S ~] x (2t.) o [Sq; S"] _~ ker t.

(ii) Die durch F := {((2t.) o e, (2~,) o fl), c~e IS"; S"], fle [Sq; S"]} definierte Teilmenge yon ker t ist Untergruppe in (IS p v Sq; S"], +). Beweis. (i) ist eine Umformulierung von (2.12).

(ii) ist trivial, da die durch (~, f l ) ~ ((2t.)o ~, (2z,)o fl),

=e [SV; S"], f l e [ S q ; S "3

definierte Abbildung von ([S p v Sq; S"], + ) nach ([S v v sq; S"], + ) Grupp e n h o m o m o r p h i s m u s ist. [] Nach (1.13) gilt fiir zu (G, + ) gruppenverwandte symmetrische G r u p p o i d e (R, •), dab R Vereinigung von Nebenklassen m o d u l o der von ~r(R) erzeugten

282

NORBERT

ENDRES

Untergruppe in G i s t . Wir zeigen nun, dab diese Untergruppe ffir das zu (IS p v Sq; S"], + ) gruppenverwandte symmetrische Gruppoid (ker t, •) durch F aus (2.18), (ii) gegeben ist. Da somit die Relation ~ auf kert definitionsgem/iB (vgl. Kap. 1) die durch F bestimmte ist, folgt mit Hilfe yon (2.17) die folgende Zerlegung yon ker t in Linksklassen. 2.19 SATZ. Sei n - 1(2). In ker t c IS p v S~; S"] stehen die ]4quivalenzklassen m o d ,-q in eineindeutiger Beziehung zu den Kongruenzklassen yon ker t/F mit F := {((2,n) ° =, (2,,)0 fl), ~ • [SP; S"], fl • [S~; S"]}. Beweis. Bezeichne 0v := (0p, 0~)• [-SPy Sq; S n] die Klasse der trivialen Abbildung. Wir zeigen F = (ker t • 0,, ). Fiir (~, fl) • ker t m i t 0p, ~ • [-SP; S"], 0q, fl • [-Sq; S"] folgt aus =

= ((2,.) o ~, (2,.) o f l ) • F , dab ker t • 0 , , ___F, und somit ist nach (2.18), (ii) ( k e r t • 0 ~ ) __. F. Umgekehrt liegt fiir beliebige c~• [SP; S"], fl • [S~; S"] stets (a, 0q), (0p, fl) in ker t, und somit ((2,.)o ~, 0q), (0p, (2,n)o fl) in ker t •0,/, also gilt auch ((2,.)o a, (2in) o fl)• (ker t • 0 ~ ) . [] 2.20 B E M E R K U N G . (i) Fiir n =- 1(2), p, q ~< 2n gilt nach (2.5) r = 2[SP; S"] x 2[S~; sn], wobei die Verdoppelung im Sinne der jeweiligen Gruppenstruktur zu verstehen ist. (ii) Sei n = 1(2). Ftir ~ • [SPx Sq; S"] gilt nach (1.13) stets ~ v + F _ ker t. Die nach (2.16) dargestellte Beweisidee und die darauf folgenden Resultate liefern nun als Verallgemeinerung yon (2.15) 2.21 SATZ. Sei n = 1(2) und ¢p, ~ • [S p x Sq; S"]. (a) Sei (~1, ~b2)• F. Dann stehen die Homotopieklassen yon Abbildungen aus IS p x Sq; S"] yore Typ (~1, ~b2) in eineindeutiger Beziehung zu den Elementen yon [SV+~; Sn]. (b) Sei ~o~ ~l ~ ~. Die Homotopieklassen yon Abbildungen yore Typ (¢Pl, ¢P2) aus IS p x Sq; S"] stehen in eineindeutiger Beziehung zu den Homotopieklassen vom Typ (~1, ~2). [] Das in (2.21) mit rein algebraischen Methoden gewonnene Ergebnis wird im n/ichsten Kapitel in (3.5) unter zus~itzlicher Zuhilfenahme von Resultaten aus [B, B] verfeinert. Dies wird schlieBlich als Hauptresultat dieser Arbeit in

PRODUKTABBILDUNGEN

AUF SPH.g, REN

283

(3.10) zu einer vollst/indigen Beschreibung der symmetrischen Gruppoide (IS p x Sq; S"], •) fiihren.

3. H O M O T O P I E K L A S S I F I K A T I O N VON P R O D U K T A B B I L D U N G E N AUF SPH,~REN

Ffir die bei der Formulierung der Ergebnisse dieses Kapite!s verwendete Notation verweisen wir den Leser auf die Vereinbarungen, die nach (2.15) getroffen wurden. Wesentliche Hilfsmittel zur Homotopieklassifikation von Produktabbildungen sind das Trennungselement d(u, v) zweier Produktabbildungen u, v: S p × S ~ -r S" und die Hopfeinhfingung c(u) einer Produktabbildung, wie sie in EL, S.246] bzw. [L, S.249] definiert sind. Die ffir die folgenden Teile dieser Arbeit relevanten Eigenschaften von Trennungselement und Hopfeinh~ingung sind in [J1], [J2] und EL] zu finden. Ffir unsere Zwecke wesentlich ist das Verhalten des Trennungselementes in Bezug auf Produktabbildungen. In Analogie zu [L, (6.2)] zeigen wir 3.1 SATZ. Es sei I t : S " x S " - ~ S ~ eine Produktabbildung mit dem Bigrad bideg(#) = (/~1, ]22), #1, #2 E7f. Seien u, v, u', v': S p x S q ~ S" Abbildungen mit Utspvs~ = V[spvs,, U'lspvsq = V'[spvsq. Dann gilt in nv+q(S n) die Gleichung d(u.u', v.v') = (#ll,)od(u, v) + (~2ln)°d(u ', v'), wobei u" u' := #(u, u'). Beweis. Mit der in I-L] verwendeten Sehreibweise folgt wie dort D(u" u', v'v') = D(u, v)'D(u', v'),

wobei D(', ") das entsprechende Trennungselement d(', ") repr/isentiere. Naeh (2.3) ist damit [D(u. u', v.v')] = [D(u, v).e] + [e.D(u', v')],

und die Behauptung folgt mit der Definition des Bigrades von/~.

[]

Ist speziell/~ das reflektierende Produkt auf S", n = 1(2), so ist

d(u.u', v.v') = (2z.)od(u, v) + (-l,)od(u', v'), und ffir n - 0(2) d(u • u', v . v') = d(u', v').

Die Anzahl der Homotopieklassen von Produktabbildungen eines vorgegebenen Typs bestimmen wir nun mit Hilfe von [B, B, (3.3)] und des Produktsatzes I-B, B, (4.2)]. Hierbei wird wesentlich benutzt, dab die

284

NORBERT ENDRES

Anheftungsabbildung der (p + q)-Zelle e v+q an S V v S q zur Bildung von S v x S ° ein Repr/isentant ffir das Whiteheadprodukt [zP; t°] ~ rcp+0_ 1(Sp v S°) ist, wobei tp bzw. t° f/Jr die kanonischen Einbettungen yon Sp bzw. S° in S p v S q stehen (vgl. [Wh, S.475, Bew. zu (7.7)]). 3.2 SATZ. Sei q~e[SP×S°; S"]. Dann stehen die Homotopieklassen yon Abbildunoen yon S v x S ° nach S ~ vom Typ (q91, ¢P2) in eineindeutioer Beziehuno zu den Elementen der Faktorgruppe ~v+o(S")/A~v, wobei A~v die yon

- [~ol; ~] + ( - 1)~+ID; ~od,

~e~o+l(s"), ~e~,+l(s"),

erzeuote Unteroruppe yon np+o(S") ist. Insbesondere 9ilt fiir Repriisentanten u, u': S ~ × S ° ~ S" yon Klassen des Typs !

.

(¢Pl, cP2) mit uls, vs~ = Uls, vs~. u -

u' r e l * , ~

d(u, u') ~ A ~ ,

wobei * den kanonischen Basispunkt yon SP x S o bezeichne.

[]

Wir werden in Kfirze sehen, dab man die Bedingung Uls, ~ s, = ut's,,, s, fallen lassen kann. Wir wollen nun auch im Hinblick auf sp/itere Anwendungen untersuchen, inwieweit die Homotopieklassen von Produktabbildungen S P x S ~ - - . S " eindeutig klassifiziert sind durch d(', • ) bzw. c(" ). Hierzu ist es hilfreich, die zu einer Produktabbildung nach (3.2) geh6rende Untergruppe A~ von rtp+q(S") und ihre Beziehungen zum Kern des Einhfingungshomomorphismus E: rcp+o(S") ~ np+q+ 1(S"+ 1) naher zu betrachten. 3.3 B E M E R K U N G . Sei n ungerade. Wegen (2.12) gilt ffir Homotopieklassen ~ n p ( s n ) , fl~no(S" ) und p oder q ~< 2n - 1:

(i) 2D;/~3 = 0. Sei ~oe[SPx S°; S"], A~ die gem~il3 (3.2) gebildete Untergruppe yon E: rtp+q(S")---+ rq,+q+ l(S "+ *) der Einhiingungshomomorphismus. Dann folgt aus (i) und [Wh, S.549, (2.6)]: (ii) Die Elemente von A~,v sind stets yon Ordnung 2, falls p oder rCp+q(S"), und

q<~2n-2.

(iii) Die

Elemente

yon

kerE

sind

stets

von

Ordnung

2, falls

p+q<~3n--3.

Ohne Einschr~inkungen an p, q, n gilt A~ _ kerE wegen [-Wh, S.485, (8.20)]. 3.4 LEMMA. Seien iibereinstimmen,

u, u':SPxS~--*S" Abbildungen, die auf S P y S o mit typ(u)= typ(u')=:~o~, und sei A~ov= kerE, wobei

285

P R O D U K T A B B I L D U N G E N AUF SPHA_REN

wit durch E: np+~(S") ~ rcp+q+ l(S "+1) den bezeichnen. Dann gilt:

Einhdngungshomomorphismus

u ~- u ' ¢ ~ c(u) = c(u').

Ist speziell ker E = 0, so gilt: u "~ u'¢¢, d(u, u') = 0 ¢~ c(u) = c(u'). Beweis. '=~': klar nach I-L, (4.5)]. ' ~ ' : c(u) = c(u')=~Ed(u, u') = 0 nach I-L, (4.4)] =>d(u, u ' ) e A ~ v ~ u "~ u' nach (3.2). [] I m Hinblick auf das H a u p t e r g e b n i s dieses Kapitels in (3.10) zeigen wir, dab ffir ~ov e ker t die G r u p p e A~ v nur v o n d e r Kongruenzklasse m o d "~t abh~ingt. Wie bereits bemerkt, folgt fiir n - 0(2) trivial nach (2.5), dal3 zwei Elemente in ker t genau d a n n / i q u i v a l e n t unter der Relation ~ sind, wenn sie gleich sind. 3.5 SATZ. Seien qg, d/~[SvxSq;S"],

und ¢Pv "~t~kv in kert. Dann gilt

A~v = A~,v" Beweis. F~ir gerades n gibt es nichts zu zeigen. Sei nun n ungerade, und Zv e k e r t mit Zv .~o,, = ~ v , sowie 4eTZq+l(S"), ~/e~v+l(S"). Wir betrachten zun~ichst p, q >~ 2. D a ffir r, s > 1 das W h i t e h e a d p r o d u k t von Elementen aus rc,(S ") mit Elementen aus rcs(S") in beiden A r g u m e n t e n linear ist, errechnet m a n unter Benutzung von (2.12), (2.5) und der Gleichung ( 2 z . ) o ~o = ~o -

(-

z.) o ~o,

~o ~ rtm(S")

aus dem Beweis yon (2.5):

[ ~ ; 42 + D; %3 = [z, ° ~o,; ~3 + D; z~ • ~ d = [(2~.) o z, -

(2~.) o ~o~ + ~o,;

~]

+ [r/; (2z.) o ;(2 - (2z.) o q92 + (o2] = [~o,; 4] + D; ~o=], woraus induktiv gem~13 der Definition der Relation ~ die B e h a u p t u n g folgt. Sei nun n > i, und sei genau eine der beiden Zahlen p, q gleich 1. W~ihlen wir o.B.d.A, p = 1, so wird A~v erzeugt yon (-1)q+~[r/;~2], und die B e h a u p t u n g folgt wie im obigen Fall. Falls n = 1, und genau eine der Zahlen p, q n i m m t den Wert 1 an, oder n ~ t~ und p = q = 1, so erh/ilt m a n ffir beliebige ~o~ ~ k e r t stets A~ov = 0. [] FiJr ~p ~ [S p x S~; S "] bezeichne im folgenden 0 die Klasse von q~ in k e r t bgl. der Relation ~l, A0 die nach (3.2) und (3.5) eindeutig bestimmte

286

NORBERT ENDRES

Untergruppe von rC~+q(S"), und pc~:zr~+q(S")~ rc~+q(S")/Ao die kanonische Projektion. Wir wollen nun zu einer Darstellung des symmetrischen Gruppoids ([S~x Sq; S"], *) kommen; wir ffihren zur Formulierung unserer Ergebnisse geeignete Begriffe und Sprechweisen ein: 3.6 D E F I N I T I O N . Sei s: [S p x S~; S"] -4 IS ~ x Sq; S"] eine Abbildung mit (i) typ(s(~o)) = typ(q~), q~~ [S ~ × Sq; S"], (ii) typ(q~) = typ(q¢) =~ s(q~) = s(q¢), q~, q~'~ [S p x Sq; S"]. D a n n heiBe s ( [ S P x S q ; S " ] ) ein Repr/isentantensystem ffir Typen von Homotopieklassen in IS p x Sq; S"]; die Abbildung s nennen wir typrepr/isentierend. Offenbar gibt es eine durch Typ und Gattung gegebene natfirliche Bijektion zwischen s([S p x Sq; S"]) und ker t =_ [S p v Sq; S"]. : Wir w~ihlen nun ffir jedes Paar (~01, ~02)~ker t, ~01 ~ r%(S"), q~2E ~zq(S~) eine spezielle Abbildung s~l,e~):SP v s q ~ s ~ mit gtg(s~o,~o2))= (~01,~02). Sei Z : = S p v S q, und sei q ~ [ S p x S q ; S ~] eine Abbildungsklasse mit typ(q~) = (~01, q~2). Wir ordnen jeder Klasse ~0 E [-Sp x Sq; S"] einen festen Repr~isentanten q~tz) zu, fiir den ~o~)l~= stel,e2) erffillt ist. Sei weiterhin u: S p × S q ~ S ~ eine Abbildung mit typ(u) = (tp~, ~02). Wir bezeichnen mit [u] die Homotopieklasse von u, mit [u] ~) den der Klasse [u] zugeordneten Repr/isentanten, ffir den [u]~)l~ = s ~ , ~ ) gilt. Gem/il3 dieser Notation bedeutet (s(tp)) tz) die der Klasse s(q~) zugeordnete Abbildung mit (s(q~))~z)lz = s(~o,,~02).Weiterhin ist [(s(q~))(z)] = s(cp). U m Wohldefiniertheitsfragen kl/iren zu k6nnen, schlieBen wir einige Betrachtungen fiber Trennungselemente an: 3.7 HILFSSATZ. Sei tpG[S p × Sq; S"], und ua, u2, u'~, u'2 Abbildungen yon S p x S q nach S" mit typ(u0 . . . . . typ(u~) = (~0x, q~2), die die Eioenschaften ul "~ u2, u'1 ~- u'2 und ullz = ~/tllX, U2IY.= U~IZ erfiillen. Oann gilt d(Ul, u'l) - d(u2, u'2)~ A~,, d.h. pc~(d(u~, u'~)) = p¢(d(uz, u'2)). Beweis. Da u~ "~ uz gilt, existiert eine Homotopie H: S p x S q x I ~ S" mit Hls,×s,×{o} = u ~ , H]s,×s,×{~} = u 2 . Betrachtet man Hlls,,,s~)×t, so kann wegen der Homotopieerweiterungseigenschaft des Paars (S~× S q, S ~ v S q) eine zu u] homotope Abbildung u'~ konstruiert werden, so dab ffir die Restriktionen u~lx = u~[z = uzlx gilt, und weiterhin nach [J2, (10.7)1 d(u2, u~) = d(u~, u'~) erffillt ist.

P R O D U K T A B B I L D U N G E N AUF SPH.~REN,

287

Fo l g l i c h e r h a l t e n wir n a c h (3.2) d(ul, u'O - d(u2, u'~) = d(u2, u~) - d(u2, u'2)

= -(d(u~, u2) + d(u~, u'~)) = - d(u~, u'2) 6 A~.

[]

3.8 H I L F S S A T Z . Seien qg, ~ in [ S e x sq; s "] Abbildungsklassen, seien u~, u2~q) , 191, v2~:~.l mit Ul[z = u2lz = s(~1,~o2), vl[x

:

U2]E ~--" S(~bl,~2 ),

s: [S p x Sq; S n] ~ [S p x Sq; S n] eine typreprdsentierende Abbildung, und s(q~), s(qJ) e's([SP x S~; S"]) mit Reprdsentanten (s(q~)) (z), (s(~)) (z), wie obenfestgelegt. Seien weiterhin U'l, v'l: S p x S q ~ S n Abbildungen mit typ(u'l) = (qh, q~2),

typ(v]) = (~1, ~02),

u'l[~ = S(el,~Z ),

v]Jx = s(~l,¢z ).

Dann gilt fiir n =- 1(2): (i) (2t,)o d(Ul, u2) = O, sowie p~((2t.) ° d(ul, (s(q~)) (~)) = p~((2z.)o d(u2, (s(q~))(z)). (ii) ( - t . ) o d(ul, u2) = d(Ul, u2), sowie p ~ ( ( - z,) o d(ul, (s(~o))~) = p~ ( ( - z,) o d(u~, (s(~0))%

(iii) d([ul • vl] (z), (s(q~ * ~k)) (~)) - ( 2 t . ) ° d(Ul, (s(~0)) (=)) - ( - t . ) ° - d([u'~ • v ' d % (s(~o,

d(vl, (s(~)) (~))

~))~)

+ (2t.) o d(u'l, (s(q~)) (r~)) + ( - t.) o d(v'l, (s(0)) (~)) e A~. F/Jr n = 0(2) gilt: (iv) d ( [ u . v] (~), (s(ff)) (~)) - d(v, (s(ff)) (z)) - d ( [ u ' , v']% (s(~)) ~)) + d(v', (s(~)) ~) e A~.

Beweis. (i) Sei e: S ~ × S ~ ~ S" die triviale A b b i l d u n g v o n S". Es gilt:

a u f den B a s i s p u n k t

(2t.) o d(ul, u2) = (2t.) o d(ul, u2) + ( - t.) ° d(e, e) (~1~ d(u~ • e, u2 • e).

D a typ(u 1 * e) = ((2~,)o ~Ol, (2~,)o q~2)e F ~ kcr t gilt, folgt u~ , e ~_ uz*e.**.d(ul *e, uz , e ) = O.

288 Da

N O R B E R T ENDRES U 1 "~ U 2

vorausgesetzt war, folgt (2Q o d(u 1, u2) = O.

Z u m Beweis der zweiten Gleichung betrachten wir (2t.) ° d(u,, (s(go))(z)) - (2t.)o d(uz, (s(~o))(x)) =(21.) o (d(u,,

= (2z.)o

(s(rp)) (z))- d(u2, (s(go))(x)))

(d(u,, (s(~o)) (~)) + d((s(~o))% u2))

= (21n)od(ul ' U2 ) = 0,

folglich gilt ffir jedes ~ e ker t/F p~((21.) o d(ul, (s(~o))(x))) = p~((2t.) o d(uz, (s(q~))(x))). (ii) Ffir a e %+a(S") gilt die Identitfit (21.)o a + ( - z . ) o a = a. Sei nun 6 e A o _~ rCp+q(S"), so folgt mit (i) (2/.)°6 = 0, somit ( - z . ) o 6 = 6. Setzt m a n 6 := d(u. u2), so folgt die erste Behauptung. Wegen (--tn)o (d(Ul, (s((p)) (:~)) -- d(u2, (s((p))(z))) ---(-tn)O d(Ul, u2) = d(Ul, u2)E At~

folgt

p,((- z.)o d(u,, (s(~o))(~)))= p,((-z.)o d(u, (s(~o))%). (iii) und (iv) werden mit /ihnlichen Methoden bewiesen. Exemplarisch zeigen wir (iii).

d([u~ • v,]% (s(u,* ~))(~)) -(2z.) o d(u,, (s(q~):)) - (- ~.)o

d(v,, (s(g,)) (~))

- d([ui • vi]% (s(e • 0))(~)) + (2,,)o d(u'l,

(s(go)) (z))+

( - * . ) o d(vl,

(s(gO)(r~))

= d([u 1 • Vl'] 0:), (S(gO"1~)) 0:)) - d([-u'1 * Vii (z), (S(gO• I~)) 0:))

--((2z.) o d(ut,

(s(q))) (z))-

(2t,)o d(ul,

(s(go))(x)))

--((--z.) o d(v,, (s(~9)) (z)) -- (-- t.)° d(v'x, (s(~O))(s))) = d([u, " v , ] (z), [u'l * v]] (z)) - ((2t.) o d(u,, u'l) + ( - tn) ° d(vl, v'l))

(3--1)d([ul • Vl] ~z), [u'l * v'l] (z)) - d(Ul • Vl, U'l • v'l)(3j) A~.

[]

3.9 B E M E R K U N G . F i i r n e N und q~, q~'6 [SVx Sq; S"] mit typ(q~) = typ(~o') setzen wir d(~o, cp') := d(~o(z), q;(Z)), wobei auf der rechten Seite der Definition Reprfisentanten gem/iB der vor (3.7) getroffenen Auswahl stehen.

PRODUKTABBILDUNGEN

A U F SPH.g, R E N

289

(i) Nach (3.7) ist p¢(d(q~, q¢)) unabh~ingig v o n d e r getroffenen Auswahl von Repr~isentanten. (ii) Sei n = 1(2) und 0 ~ [S p × Sq; S"] eine weitere Homotopieklasse. Nach (3.7) und (3.8) sind dann p~((2t,)o d(q~, s(~o))) und p ~ ( ( - i , ) o d(q~, s(q0)) unabh~ingig von der getroffenen Auswahl von Repr/isentanten. 3.10 SATZ. Sei s: [S p x Sq; S"] ~ [S p x Sq; S"] eine typrepriisentierende Abbildung. Es gilt: IS" x sq; s"] = ~kert/~ t

Jedes O 6 [ S P x S q ; S "] l?iBt sich eindeuti9 durch ein 3-Tupel (0,, 02, 03) darstellen mit

(01, 01) = typ(0) 03 := Pgod(O, s(O)) e ~p+q(S")/a~. Sei q~e [S p x Sa; S"] eine weitere Homotopieklasse. (1) Fiir n =- 1(2) gilt die Produktformel

~o• 0 = ((2z.) o q~l + ( - z.) o 01, (2l.) o q~= + ( - t.) o 02, P~ d(q~ • 0, s(q~. 0))) mit

p~ d(cp. 0, s(tp • 0)) = P~ ((2t,) o d(q~, s(~o))) + p~ ( ( - ,,)o d(0, s(0)) + p~d(s(q~)* s(O), s(~p• 0)).

(2) Far n - 0(2) gilt die Produktformel q~*0 = (01, 02, p~,d(qg* 0, s(0))). mit p~,d(rp • 0,s(0)) = 03 + Pg,(d(s(q~). s(O), s(0))). Beweis. Die Darstellbarkeit von [SVx S~; S"] folgt aus der vorangegangenen Diskussion. Die Verknfipfung in den ersten beiden Komponenten ist eine Folge yon (2.5). Ffir die Verknfipfung in der ddtten Komponente zeige ffir n = 1(2): pg, d(q~ • 0, s(~o ° 0)) = p~((2t,) o d(~o, s(~p))) + p ~ ( ( - l.) o d(0, s(0)) + p~,d(s(q~)• s(O), s(~p* 0)).

Sei in (3.8), (iii) ul eq~, Vl e 0 , u] Es(q0, v'l Es(0), so folgt die Behauptung mit (3.9). Ffir n =- 0(2) folgt die Behauptung analog unter Verwendung yon (3.8), (iv), wenn man dort u'l := (s(~o))~z), v~:= (s(0)) ~) setzt. []

290

NORBERT ENDRES

Die nachfolgenden Bemerkungen verdeutlichen die Natiirlichkeit der Produktbildung im symmetrischen Gruppoid ([-SPx Sq;S"], .) in der dritten Komponente auch fiir ungerade n. 3.11 B E M E R K U N G . (a) Sei G Gruppe, N < G, sei f: G -} G ein Homomorphismus mitf(N) ~ N, und bezeichne p: G ~ G/N die kanonische Projektion. Dann wird ffir g s G verm6ge der Zuordnung #N ~ f ( g ) N ein Homomorphismus fp: GIN--} GIN definiert, so daB das folgende Diagramm kommutiert: G

GIN

f )

fp

G

> G/N

(b) Seien m, n ~ , n - 1 ( 2 ) , und v, 0: ~m(S")---}~m(Sn) die verm6ge der Zuordnungen ;7~ ( - t , ) o ;7, ;7 ~ (2Zn)°;7 definierten Homomorphismen. Seien p, q, r s t~ mit p + q = r, ~ ~ [S" × Sq; sn] und A := AS. Dann folgen aus ((3.8), (i), (ii)) die Beziehungen v(A) = A, 0(A) = 0. Bezeichne p: n,(sn) ~ ~r(S")/A die kanonische Projektion, sowie vp bzw. 0p die verm6ge (a) definierten Homomorphismen nr(Sn)/A~r(S")/A. Wir vereinbaren weiterhin die Bezeichnungsweisen ( - 1 ) . ; 7 : = v(;7), 2 . t / : = 0(;7) ftir ;7~r~m(S"), ( - 1) * # := vp(#), 2 * # := 0p(#) ffir f/e n,,(S")/A. (c) Mit den Bezeichnungen yon (3.10) und (b) sowie der Kommutativit/it des Diagramms in (a) lautet die Produktformel aus (3.10) ffir n -- 1(2)

~ , ~ = ( 2 , gol qt_ (__ 1), ~//1, 2 , ~ 2 q_ (__ 1), ~//2, 2 • p~d(go, s(~p)) + ( - 1) • p~,d(~b, s(~)) + PC~d(s(rp) • s(O), s(~o • 0))). Wie in (3.9) sind die in der dritten Komponente auftretenden Terme unabh/ingig v o n d e r getroffenen Auswahl der Repr/isentanten. Wenn Pep = P~ fiir go, ~ e IS p x Sq; Sn], was z.B. fiir p = q = n -- 3(4) stets der Fall ist, so gilt fiir die dritte Komponente sogar 2 * q~a + (-- 1) * ~b3 + p~,d(s(~p), s(~b), s(go• tp)). Ffir n -= 0(2) ist p~(d(s(go), s(~,), s($))) stets ein Element der Ordnung 2 in der Faktorgruppe ~v+q(sn)/Ag,, wie leicht einzusehen ist: 3.12 LEMMA. Sei n =- 0(2), seien ~p, $ ~[S p x Sq; sn] mit typ(cp) = (~Pl, ~P2),

P R O D U K T A B B I L D U N G E N AUF S P H A R E N

typ(6) = (6~, gilt:

62),

291

sei A~, ~ 7rp+q(S") die zu 6 geh6rende Untergruppe. Dann

2p~(d(~o- 6, 6)) = 0. Beweis. Seien qo(r4, 6(z): S ~ x s q ~ S ~ die Repfiisentanten von cp bzw. 6 mit

q¢~)l~ = s(~,,~), 6(~)1~ = s(~,,,¢,~), [q¢~)• 6(~)](~)[~ = s(o,,O~). Wegen

gibt es ein Element 8 mA~ mit

Damit errechnet m a n d([q~(z) • 6(~)2(~), 6(z)) = d(tp (~), q¢~)) + d([~p(~) • 6(z)](z), 6(z))

= d(q~(z) • [qCz)• 6(z)](~), cp(z)• 6(~)) = d ( 6 (~, [q¢~)• 6(~] (~) + 5 =

--d([(p (~) • 6(~)] (z), 6 (z)) + 6,

d.h. 2d([q¢~)• 6(z)] (z), 6 (~)) e A 8, und somit folgt 2ps(d(c p • 6, 6 ) ) = 0.

[]

4. APPENDIX Wir wollen nun abschliel3end die Zusammenh/inge von (3.10) mit Resultaten aus [J2] und [D] aufzeigen. In diesen Arbeiten werden Homotopieklassen von Abbildungen [S p x sq; A] betrachtet, wobei A punktierter topologischer Raum ist, der eine H-Multiplikation trfigt. Da wir speziell Sph~iren studieren, ist fiir uns insbesondere A = S 1, S 3, S 7 von Interesse. Wir werden im folgenden die H-Multiplikation mit dem Symbol" bezeichnen, mit eo den entsprechenden Basispunkt einer Sphfire, wie in Kapitel 2. Nach [J3, (5.4)] ist der folgende Begriff wohldefiniert (vgl. (3.7), (3.9)): 4.1 D E F I N I T I O N . Seien ~o, ~ e IS p x sq; S"], n = 1, 3, 7, mit typ(cp) = typ(6), und seien u e ~o, v ~ 6 Abbildungen. Wir setzen d(tp, 6 ) : = d(u, v'), wobei v' eine zu v homotope Abbildung sei mit Uqs,v sq = Vl'sp,,sq. Wir ffihren nun ein Repr/isentantensystem ffir Typen in [S p x Sq; S"], n = 1, 3,

292

NORBERT ENDRES

7, ein, gegeben durch eine typrepr/isentierende Abbildung s: [ S P x Sq; S n] --* [S p x Sq; Sn], die wie folgt definiert ist. 4.2 DEFINITION. Sei n = 1, 3, 7, sei q~E [S p x Sq; S~], u • q~Abbildung, ul, u2 seien gegeben durch ~l(x, y):= u(x, eo),

~2(x, y):= u(eo, y),

und qh, q ~ 2 • [ S v x S q ; S"] die zu ul, u2 geh6renden Klassen. Mit s(q~) bezeichnen wir nun die durch ~o1 'q~2 bestimmte Abbildungsklasse in [S v x Sq; S"]. Ffir seine Betrachtungen benutzt James das Samelson-Produkt (~, fl) zweier Klassen ct•zp(S~), fl•r~q(Sn), n = 1, 3, 7. Unter anderen haben wir die M6glichkeit, dieses Produkt fiber das Trennungselement zu definieren (vgl. [J3, (2.1)]). 4.3 DEFINITION. Sei A ein H-Raum mit einer M u l t i p l i k a t i o n . , seien ferner ~ • top(A), fl • rcq(A), und seienf ~ ~, g • fl Repr/isentanten dieser Klassen, d.h. punktierte Abbildungen f : S p ~ A, g: S q --* A. Wir definieren f : S p x S q ~ A, bzw ~: S p x S q ~ A durch

f(x, y):= f(x), 0(x, y):= e(y),

x • S p, y ~ S q,

und das Samelson-Produkt der Klassen c~, fl verm6ge (ct, fl) := d ( f " ~, ~" f ) . Wir zitieren ([J2, (3.4)]) in unserer Sprechweise und finden darin das Analogon zu den Produktformeln in (3.10). 4.4 SATZ. Sei n = 1, 3, 7, und seien tO, ¢ • [S p x Sq; S ~] Abbildungsklassen mit typ(~p) = (~, fl), typ(~k) = (~', if), wobei c~, ~' ~ Xp(S~), und fl, fl' • rcq(S"). Oann gilt:

d(s(~. ¢), ~o- 0) = a(s(q,), ~0) + a(s(O), O) + (~',/3).

[]

Der Zusammenhang zwischen (3.10) einerseits und (4.4) andererseits wird ersichtlich durch die Berechnung des Samelson-Produktes (~', fl). Seien hierzu u•~0, v • 0 , und ul, u2, vl, v2 wie in (4.2). Nach (3.1) und per definitionem gilt

(~', #> = a(~ . ~ , ~2"~1) = d(~, a,) + d(~ .a~, a~.~O + d(~:, ~) = d(Ul "Vl " ~2" ~2, Ul "~2 "~1" ~2)

= a(s(q~. ~), s(q,).s(~,)). Insgesamt erhfilt man nach Vertauschung der Argumente in d(., -)

a(q~'O, s(~p'O)) = d(q,, s(~p)) + d(O, s(O)) + d(s(e).s(O), s(~p'O)),

P R O D U K T A B B I L D U N G E N AUF SPHA.REN

293

also das Analogon zu den Gleichungen in (3.10). Nach [D], in Verbindung mit [J2], erhalten wir eine eindeutige Darstellung jedes Elements q~s [S p x Sq; S"], n = 1, 3, 7, als ein 3-Tupel in der Menge top(S")x ~zq(S")x rcp+q(S"), beschrieben durch typ(q~)e ~p(S") x rcq(S"), und durch d(s(go), q))s rcp+q(S"). Weiterhin ist [S ~ x Sq; S"], n = 1, 3, 7, eine nilpotente Gruppe von Nilpotenzklasse ~<2, mit dureh die H-Multiplikation in S" induzierter Gruppenverknfipfung. Die Gruppenverkn/jpfung ist in den ersten beiden Komponenten erkl/irt dutch komponentenweise Addition, in der dritten durch die obige Gleiehung. Die Aussagen von (3.10) stehen hierzu in v611iger Analogie, jedoch tritt dort an die Stelle der H-Multiplikation das reflektierende Produkt auf S", n e N. Wegen des Fehlens einer echten Multiplikation fiir n ~ 1, 3, 7 wird abet ein entsprechendes Repr~isentantensystem f/jr Typen von komplizierterer Art sein als in (4.2), wo man zur Gewinnung eines solchen Systems nur von den Achsen S p bzw. S q abh~ingige Abbildungen in lest gegebener Reihenfolge zu multiplizieren brauchte. Wir geben in einer nachfolgenden Arbeit eine Beschreibung von ([S" x S"; S"], .) unter Verwendung eines m6glichst einfachen Repr/isentantensystems f/jr Typen an. Der Zusammenhang f/jr n = 1, 3, 7 zwischen der Gruppe ([S p x Sq; S"], • ) und dem symmetrischen Gruppoid ([SPx Sq; S"], e) erkl/irt sich aus der in (1.5) beschriebenen Beziehung zwischen der H-Multiplikation • auf S 1, S 3, S v, und dem dort definierten reflektierenden Produkt e. Da f/Jr x, y e S " , n = 1, 3, 7 stets x*y = x'y -1.x

gilt, erhalten wir f/Jr Homotopieklassen ~o, 0 e [S p x Sq; S"] gleichfalls ~o.~, = ~o.0-1.q~.

LITERATURVERZEICHNIS [B, B]

[D] [Eli

[E23 EE3]

Barcus, W. and Barratt, M., 'On the homotopy classification of the extensions of a fixed map', Trans. Amer. Math. Soc., 88 (1958) 57-74. Drahota, B., 'Gruppen yon Homotopieklassen und ihre algebraische Struktur', Mitt. Math. Sere. GieBen 178 (1987). Endres, N., 'Idempotente Quasigruppen und Gruppoide', Contrib. General Algebra 5, (1987) 123-127. Endres, N., 'Reflexionsgruppoide und Homotopieklassen von Produktabbildungen auf Sph~iren', Dissertation, Univ. Erlangen-Nfirnberg (1988). Endres, N., 'Group related symmetric groupoids', Demonstratio Math., 24 (1991), 63 74.

294

NORBERT ENDRES

[H, Wh] Hilton, P. and Whitehead, F. H. C., 'Note on the Whitehead product', Ann. of Math. 58 (1953), 429-442. [J1] James, I.i 'On the suspension triad', Ann. of Math. 63 (1956) 191-246. [J2] James, I., 'On spaces with a multiplication', Pacific J. Math. 7 (1957) 1083 1100. [J3] James, I., 'On H-spaces and their homotopy groups', Quart. J. Math. Oxford, 11 (1960) 301-326. [L] Lemmens, P., 'Homotopy theory of products on spheres', Indag. Math. 31 (1969), 242-272. [Lo] Loos, O., Symmetric Spaces, Benjamin, New York (1969). [P] Puppe, D., Homotopiemengen und ihre induzierten Abbildungen I; Math. Z. 69 (1958), 299-344. Ravenel, D., Complex Cobordism and Stable Homotopy Groups of Spheres, Academic [Ra] Press, 1986. Strambach, K., 'RegulS.reidempotente Multiplikationen', Math. Z. 145 (1975), 43-62. [st] Toda, H., 'Composition methods in homotopy groups of spheres', Ann. Math. Stud., [To] 49, Princeton, 1962. Whitehead, J. H. C., Elements of Homotopy Theory, Springer, 1978. [Wh]

Anschrift des Autors: N o r b e r t Endres, Mathematisches Institut der Universit/it Mfinchen, Theresienstr. 39, 8000 Miinchen, Deutschland. Eingegangen am 24. Juni 1992; in revidierter Fassung am 18. Januar 1993)