Die Axiomatisierung der Mengenlehre~). Von

J. v. Neumann in Budapest.

Inhaltsverzeiehnis.

Bezeichnungen. I. Die Axiome. 1. Einleitung. 2. Diskussion der Axiome. 3. Systematisches zur Herleitung. II. Die e l e m e n t a r e n O p e r a t i o n e n der Mengenl~hre. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Hilfss~tze. Grunddefinitionen. Einstellen-Funktionen und Elementarmengen. Zusammensetzung yon Funktionen. Summe, Durchschnitt und Differenz yon zwei Bereichen. Rechenregeln.

HI. Die a l l g e m e i n e n O p e r a t i o n e n der Mengenlehre~ 1. 2. 3. 4. 5.

Vereinigungsbereich und Durchschnitt eines Bereiches yon Mengen. Der Bildbereich. Der Potenzbereieh ~(Bereich aller Teilmengen). Der Paarbereich. Der allgemeine Potenzbereich.

1) Der Gegenstand dieser Arbeit stimmt in vielen Teilen mit dora meiner DoktorDissertation: Der axiomatische Aufbau der allgemeinen Mengenlehre~ Budapest~ Sep~ rember 1925 (ungarisch), fiberein.

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J. v Neumann.

IV. G r u n d b e g r i f f e der W o h l o r d n u n g . 1. Die unvollst~ndige Ordnung. Abschnitte. 2. huferlegte und iibertragene Ordnung. Subsumptionsordnung. 3. Eigenschaften der auferlegten und der iibertragenen Ordnung. 4. J~hnliehkeit. 5. Vollst~ndige und Wohtordnung. 6." Absehnitte in wohlgeordneten Bereichen. V. Theorie der O r d n u n g s z a h l e n . 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Z~ihlung, Ordnungszahl, Ziihlbarkeit. Eindeutigkeit der Z~hlung. Existenz der Z~ihlung. Subsumptionsordnung yon Ordnungszahlen. Charakteristische Eigensehaften vop Ordnungszahlen.~ Der Bereieh der Ordnungszahlen.

VI. J~hnlichkeit und Ordnungszahlen. Der W o h l o r d n u n g s s a t z . 1. 2. 3. 4.

~.hnlichkeit und Ordnungszahlea. Vergleichbarkeit, Eindeutigkeit der Abbildung Die Wohlordnung des Bereiehes aller I-Dinge. Die Wohlordnung beliebiger Bereiehe.

VII. Die ~ q u i v a l e n z und die K a r d i n a l z a h l e n . 1. Die A.quivalenz. 2. Die Kardinalzahlen oder M~ichtigkeiten. 3. Die Vergleichbarkeit. VIII. Die E n d l i c h k e i t , D i e ersteri Ordnungszahlen. 1. 2. 3. 4.

Die Endliehkeit. Eigensehaften der Endlichkeit. Grundoperationen mit Ordnungszahlen. Die natiirlichen Zahlen, co.

IX. In duktionss~tze. 1. Die transfinite Induktion. 2 . Ein Spezialfall. Die finite (gewShnliehe vollst~ndige) Induktion. SchluB.

Bezeiehnungen. Wit geben hier eine Zusammenstellung der Zeiehen. Namea 'und" Symbole, die in~dieser Arbeit beniitzt werden.

Die Axiomatisierung tier Mengenlehre.

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Zeiehen. Fiir I-Dinge (vgl. Kap. I~ w167 1, 2) a, b, c, d, e and r, s, t, ,~, v, w, z, y, z. Far II-Dinge (vgl. Kap. I, w167 1, 2) f, g, h, j, k, l, m, n und ~, y,Z, $, -~. Fiir Bereiehe und Mengen (vgl. Kap. II, w 2) H, J, K, L, M, N. Fiir Ordnungszahlen (vgl. Kap. V, w 1) P, Q, R, S t T. F.iir Bereiehe and Mengen yon Ordnungszahlen fl(, J , X, ~F, j~, jy. N a m e n und Symbole. Symbol. !-Ding, H-Ding, I !!-Ding

E~stes Auftreten. N am~. Argument, Ai:gument-

H<: J, J > H T < 1/~, yJ .> q~

Funktion, Funktion. 1, 2. Weft der Funktion /fiir das Argu- t Kap. I, w167 ment x. Paar der Argumente x, y. Menge, Bereich. x is$ Element von H. H ist ein Teilbereich (Teilmenge) Kap. II, g 2. yon J. H ist ein eehter Teitbereich (echte Teilmenge) yon J.

~,v, 0

Nullmenge.

It, x] (x, y) xeH H < J, J 2 H

H.J H--J

2(r) {u, ,} D 3(H)

lit, H]I

[ Kap. II, w 3.

Aus f and g mit Hilfe yon h zuI Kap. II, w 4. sammengesetzte Ft~nktion. 8umme von H und J. Durchschnitt (Produkt) yon Hand J' [ Kap. II, w 5. Differenz yon H und J. l Basis yon f. J Kap.~ H, w 6. Bereich aller I-Dinge (Argumente): } Vereinigungsbereich (Menge) aller ] Elemente von H. / Kap. [II, w 1 Durehsehnittsbereieh (Menge) aller Elemente yon H. Durch f vermittelter Bildbereich [ Kap.~I H , w 2. (Menge) von H. l

J. v. Neumann.

672 Symbol.

~P(H) I] /-/J J / / 0 H, .J })O H,

J)~O H

u~:v...(J) u~v...(J) u II v . . . (J)

Name. Potenzbereich (Bereich alJer Tell-} mengen bzw. Menge usw.) von H. Paarbereich (Menge) yon H und J. H hoch J, J-re Potenz yon H. J ist eine unvollst~indige, vollstiindige, Wohlordnung yon H. u liegt bei der Ordnung J vor, naeh, unvergleichbar mit v.

Erstes Auftreten. Kap. III, 9 3. Kap. III, 9 4. Kap. III, 9 5.

/ l

Eap. IV, 99 1--5.

u o (H), vo (H), Menge der unvollst~indigen,vollstiindigen, Wohlordnungen yon H. ~vo(H) :r (~;//, J) Der durch das Element x in dem naeh J geordneten H bestimmte Kap. IV, 9 1. Absehnitt. Die durch J dem Teilbereiche H ' auferlegte Ordnung. Die durch die Abbildung f iiber~f]J Kap. IV, 9 2. tragene Ordnung J: Q* Bereich aller Mengen. 2 Die Subsumptionsordnung.

H , J , ~ H',J'...(f) i H, J'-~ H', J' Das nach J geordnete H ist dem I Kap. IV, 9 4. fZH, J P OZ H, J ZH, J P OZ ~-~**

z ( B , J) OZ (H, J) H, J.~ H', J' H,J>~ H',J' W

naeh J' geordneten H' ~ihnlich. fist eine Ziihlung des nach J ge-] ordneten H. J P ist eine Or~nungszahl des nach J | geordneten H. t Kap. V, 9 1. Das nach J geordnete H ist ziihlbar. P ist eine Ordnungszahl. Der Bereich aller Ordnungszahlen. Die Ziihhng des nach J geordneten H. Die Ordnungszahl des nach J ge- Kap. V, 9 2. ordneten H. Kap. VI, 9 2.

Eine Wohlordnung des Bereiehes} Kap. VI, 9 3. aller I-Dinge.

678

Die Axiomatisierung der Mengenlehre.

Erstes Auf~reten.

Symbol.

H ~ H' P.KZ

KZ(H)

H~H' H~'> H' HE, HU

PLZ P 2r

Kap: VII, w 1. H ist dem H' iiquivalent. P ist eine Kardinaizahl (Anfangs-' zahl, Aleph, Mhehtigkeit). Die Kardinalzahl (Anfangszahl usw.) Kap. VII, w 2" yon H. Der Bereieh aller Kardinalzahlen.

l Kap. vii, w 3. H ist endlich; H is~ unendlieh. Der Bereieh aller endliehen Mengen. J Kap. VIIi, w 1. Die auf P folgende Ordnungszahl. Kap. VIII, w 3. P is~ eine Limeszahl~ P ist eine natiirliehe Zahl (d. h. eine nicht-negative ganze rationale Zahl)~

] (/)

Kap. VIII, w 4. } Kap. IX, w 1.

J ( f , P) J (f, u)

Kap. IX, w 2. L Die Axiome. 1. Einleitung.

In meiner Arbeit ,,Eine Axiomatisierung der Mengenlehre''~) habe ieh ein Axiomensystem fiir die allgemeine Mengenlehre angegeben, und dasseIbe vom allgemeinen und prinzipiellen S~andpunkte aus nigher untersucht. Eine detaillierte Diskussion desselben, d.h. die tatsiich|iche Herleitung der allgemeinen Mengentehre oder wenigstens ihrer haupts~ehlichsten Resultate, wurde dor~ nicht vorgenommen. Diese Herleitung soll nun in der vorliegenden Arbeit erfolgen. Bei der Beschreibung des Axiomensystems, sowie bei allen Fragen yon allgemein-prinzipiellem Charakter werden wit uns hingegen auf das notwendige Minimum beschr~nken; fiir n~ere diesbeziigliehe Ausfiihrungen sei aaf die unter ~) zitierte Arbeit verwiesen. (Immerhin setzt diese Arbeit nirgends die Kenntnis der unter :) zitierten voraus.) Aueh gewisse in meiner Arbeit ~') nut fliichtig beriihrte prinzipielle Fragen (Relativit~it der Wohlordnung und Endliehkeit, Fehlen der Kate~) Journal fiir reine trod angewandte Mathematik 15t (1925), S. 2t9-249. 43

Mathematiache Zeitschrift. XXVII.

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J.v. Neumsnn.

gorizitiit), sowie die Probleme der Unabliiingigkeit und Widerspruchfreiheit der Axiome fallen auBerhalb des Rahmens dieses .~tikels. Ieh beabsichtige, auf einen Teil derselben bei einer sp~teren Gelegenheit zuriickzukommen. Wit beginnen mit der Beschreibung des zu axiomatisierenden Systems and mit der Angabe der Axiome. Eine kurze Erl~iuterung des Sinnes der einze]nen Symbo!e und Axiome lassen wir nachfolgen (dieselb e ist in der Arbeit 2)detaillierter durchgeflihrt). Es ist iibrigens selbstverstiindlich, da0 man bei axiomatischen Untersuchungen, wie die unsere, die Ausdrucksweise ,Sinn eines Symbols" oder ,,Sinn eines Axioms u nieht wSrtlich nehmen darf: diese Symbols und Axiome haben (ira Prinzip wenigstens) keinerlei Sinn, sie vertreten nur (in mehr oder minder vol|stiindiger Weise) gewisse Begdttsbildungen der unhaltbar gewordenen ,,naiven Mengenlehre". Wenn wiz yon ,Sinn" sprechen, so ist damit also stets der Sinn der ersetzten Begrit~e der ,naiven Mengenlehre" gemeint. Unser Axiomensystem lautet folgendermaflen: Wit beseh~tigen uns mit zwei Systemen, dem System der I-Dinge und der II-Dinge. Die beiden Systeme slnd nieht identisch, sie fiberdeeken sich abet t eilweise: diejenigen Dinge, die zugleieh I-Dinge und II-Dinge sind, nennen wit I II-Dinge. Ferner beseh~iftigen wit uns mit den Dingen A~B, sowie mit den beiden Zwei-Variablen-Operationen If, x] and : Alle diese miissen die folgenden Axiome erfiillen: E i n l e i t e n d e Axiome. I. 1. A, B sind I,Dinge. 2. [f, x] hat dann und nur dann Sinn, wenn f ein II- und x ein I-Ding ist; es ist dann selbst ein I-Ding. 3. hat dann und nur dann Sinn, wenn x und y beide I-Dinge sind, es ist dann selbst auch ein I-Ding. 4. f, g seien II-Dinge. Wean fiir jedes I-Ding x [f, x] = [g, x] 9 ist, so ist f----g. irithmetische

Konstruktionsaxiome.

II. 1. Es gibt ein I[-Ding f, so daft stets [f,x]--~ x ist. 2. u sei ein I-Ding. Es gibt dann ein II-Ding f, so dal3 stets [f, x] = u ist. 3 . Es gibt ein II-Ding f, so daI~ stets [f, ] ~-[x, y] ist. (Natiirlieh muff hier x ein I II-Ding sein, sonst ist die Gleiehung sinnlos.)

Die ~iomal~sierung der Mengenlehre.

~75

6. f, g ,seien II-Dinge. Es gibt ein II-Ding h, so dab s ~ s [h, ~] = < [f, . ] , [g, x]> is~ 7. f, g seien II-Dinge. Es gibt ein tI-Ding h , so dab st~ts [~, z] = [f, [g, z]] i~. Logische Konstruktionsaxiome. III. 1. Es gib~ ein II-Ding f, so dal~ x = y (fiir !-Dinge x, y) mit. If, (x, y) ] =~ A gleichbedeutend ist. 2. f sei ein II-Ding. Es gibt ein II-Ding g, so cia~ dann und nut dana [ g , x ] ~ A ist, wean fiir atle (I-Dinge) y If, ] = A ist. 3. f sei ein II-Ding. Es gib~ ein II-Ding g, so dal~ liir jedes x, bei dem flit ein und nur ein (I-Diag) y If, @, y>] + A isr [g, x] diesem y gleich is~. I II-Dinge. ~u t. Es gibt ein IIlDing f, so da~ ein I-Ding x dann "and aur dana I II-Ding ist, wenn [f, x] =~ A isk 2. Ein I][-Ding f ist dann und nut dann kein I H-Ding, wenn es ein II-Ding g mit der foigenden Eigenschaft gibe: Za iedem l-Ding x exis~iert ein I-Ding y mit If, y] • A , [g, y ] = x. U n e n d l i e h k e i t s axiome. Hier erweis$ es sieh als praktiseh, die folgenden abkiirzenden Bezeiehnungsweisen einzufiihren: f sei eia II-Ding; flit [f, x] ~ A schreibea wit aueh x e f . f, g seien II-Dinge; wenn flit alle x aus z e f x e g folg~, so schreiben wit f ~ g. Fiir g ~ f schreiben wit aueh f ~ g. Wenn f ~ g und f ~ g ist, so sehreiben wit f ~ g; wean f ~ g, abet nieht f ~ g ist, so ~chreiben wit f < g; wean f ~ g , abet nieht f ~ r ist, so schreiben wit f > g. u 1. Es gibt ein I II-D~ng f mit den folgenden Eigenschaften: Es gibt I II-Dinge x mlt x e f . Wenn x e i n I II-Ding mit x e f ist, so gibt es auch ein I II-Ding y mit yef~ flit welches x < y isk 2. f sei ein I II-Ding: Es gibt dann ein I II-Ding g mit der folgenden Eigenschaft: Aus x ~ y , y e f (y ist also auch ein I !I- Ding) fo]gt x s g. 3. f sei ein I II-Ding. Es gibt dann ein I II-Ding g mit der folgenden Eigensehaft: Wenn flit ein I II-Ding x ~ f i s t , so gibt es ein I II-Ding y mit x , ~ y, y e g . Das is~ unser Axiomensystem. Zu seiner Erliiuterung wollen wir noch folgendes a n ~ r e f i . 43*

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J.v. Neumann. 2. Diskussion der Axiome.

Wir haben start dem Begriffe der Menge hier den Begriff der Funktion zum Grundbegriffe gemacht: die beiden Begriffe sind ja leieht aufeinander zuriickzufiihrena). Die teehnisehe Durehfiihrung gestaltet sieh jedoeh beim Zugrundelegen des Funktionsbegriffes wesentlieh einfacher, allein aus diesem Grunde haben wir uns flit denselben entschieden. Die I-Dinge sind die ,,Elemente" oder ,,Argumente", aus ihnen werden die ,,Mengen" und ,Funktionen" gebildet. Die II-Dinge hingegen sind die ,,Funktionen", sie sind fiir 1-Dinge, d.h. fiir ,Argumente" deftniert, und haben such sotehe als Werte. Die Operation If, x] bildet aus der ,Funl~tion" (d. h. II-Ding) f u n d dem ,,Argumente" (d. h. I-Ding) x den ,,Wert der Funktion f an der Stelle x" [f, x], der seinerseits wieder ..Argument" (d. h. i - D i n g ) i s t . Die charakteristische Eigenschaft der Funktionen, dureh ihren Wertverlauf eindeutig fes~ge!egt zu sein, wird (lurch das ,,BestimmtheitsaxiSm" I. 4. ausgedriickt. (D. h. I. 4. besagt, da0 jeder Wertverlauf durch hSchstena eine Funktion dargestellt wird, ob cs aber iiberhaupt eine solche Funktion gibt, ist dadurch noch nieht gesagt.) Die zul~ssigen Wege zur Herstellung yon Funktionen werden in den Gruppen I I , III angegeben. D i e Einteilung ist so getroffen, dal~ die Herstellungsarten. die einen 10gischen Charakter haben, in III ~,usammengestellt sind, und die iibrigen in II. Das Axiom IV. 1. k5nnte aus diesem Gesichtspunkte eigentiieh auch noch zu II~ gez/ihlt werden4). Wesentlich ist ferner die Frage, welche ,,Funktionen" f/~hig sind, Argumente anderer Funktionen zu sein (ctas wesentliehste ,,impr~dikative" oder ,,zirkelhafte" Element der allgemeinen Mengenlehre liegt an diesem Punkte), d.h. welche II-Dinge gleichzeitig I II-Dinge sin& Alle kSnnen es nicht sein, denn dies wiirde,o bei den Hilfsmitteln, die uns durch die Axiome der Grtippen II, III zur Herstellung yon Funktionen geliefert werden, zu einer Antinomie fiihren, die der Rnssellschen entspricht~). a) Eine Funktion f kann als Menge aller Paare x, f(x) betraehtet werden, und eine Menge sis eine Funktion, die nut zweier Werte (,,Element~Sein" und ,,NichtElement-Sein:') fRhig ist. 4) Das Axiom IV. 1. kann such als Dual von IV. 2. angeseh~n wcrden: es bestimmt warm ein ]-Ding such I II-Ding ist, w/ihrend IV, 2. bestimmt warm ein II-Ding I I I . Ding ist. Es ist abet im Gegensatze zu IV. 2. ziemlieh oberfl/iehlieh, rind kSnnte z. B. sehr gut durch die Forderung, daI3 jedes I-Ding gleichzeitig I I I - D i n g sei, erser werden. (Fraenkel z. B. tut etwas deral~iges.) '~) Diese Antiaomie kann z. B. so hergeleitet werden: Wir wiihlen f nach III. 1., d a n n i s t ffir jedes I I I - D i n g (d. h. jede Argument-Funktion) [f, ([x,x], A)] ~ A oder = A , je nachdem Ix, x] = A oder 4 A ist. Also ist stets .[f, (~x, x], A)] 4 Ix, x]. (Fortsetzung der Fu[lnote 5) au~ der n~lchsten Seite.)

Die Axiomatisierung der Mengenlehre,

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Wir beantworten die Frage in einem Sinne, die wohl die sinngem~it~e Ubertragung des Russell-Zermeloschen Idee is~, wonach die ,nicht zu grol]en" Mengen allein zuliissig sind. Dies geschieh~ durch das Axiom IV. 2 , welches im wesentliehen aussagt: Eine , F u n k t i o n " f i s t dann und nut dann aueh ,,Argument" (d. h. ein I I - D i n g f aueh I II-Ding), wenn es nicht fiir zu viele x solche Werte If, x] hat, die ~= A sind. Oder genau lormalier~: Wenn diejenigen x, iiir die If, xj + A ist, nicht au~ alle x fiberhaupt abgebilde~ werden k 5 n n e n . (Diese Pr~zisierung des Begriffes ,,zu groB" bzw. ,zu viele': ist ireilich etwas willkfirlich und fiber die RussellZermelosche Idee hinausgehend, sie kann nut an ihren Konsequenzen gepriift werden.) Das Axiom IV. 2. enthi~lt fibrigens das .~Aussonderungsaxibm" yon Z e r m e ] o - u n d Fraenkel~), das ,,Ersetzungsaxiom" yon Fraenkel:), und den Wohlordnungssatz (d. h. das ,Multiplikationsaxiom" yon Zermeio und Fraenkel~)). Diese Umst~inde werden wit noch an den betreffenden Often unserer Herleitung der Mengenlehre entsprechend hervorhebenS). Die Gruppe V (Unendliehkeitsaxiome) u.mfaBt schlie~lich alle Axiome, die zur Herstellung der unendlichen'M~chtigkeiten (auBer dem ,Erse~zungsaxiom", vgl. FulSnote :~) notwendig sind. Sie entsprechen den . ~ i o m e n yon der ,,unendlichen Menge", der ,,Vereinigungsmenge:' und der , , P o t e n z Wir kSnnen nun [f, (Ix, x], A)J mit Hilfe der Axiome II. 1.--7. aug die Form [~, x] bringen (vgL Kap. If, w1, Hilfssatz 1, der hier ohne weiteres angewandt werden kann); damit haben wir ein II-Ding (Funktion) g gewonnen, bei dem fiir jedes I II-Di~g (jede Argument-Funktion) [g , x~ ~- [x, x] ist. W~re nun jedes II-Ding gteiehzeitig aueh I-Ding (jede Funktion ~uch Arg,~ment), so wiirde hieraus die UnmSglichkeit [g, g] ~- [ff, g] folgen. Unsere Funktion g entspricht, der RusselIsehen ,,Menge aller Mengen, die sich selbst nieh~ enthalten". ~) Zermelo, Untersuehungen fiber die Grund]agen der Mengenlehre ][~ Math. AnnMen 65 (1908), S. 261=281. Fraenke], Unter~uebungen fiber die Grundlagen der Mengenlehre. Math. Zeitsekr. 22 (1925), S. 250--273. 7) Fraenkel, Zh den Grundlagen der Cantor-Zermelosehen Mengenlehre. Math. Annalen 86 (1922), S. 230--237. Das Ersetzungsaxiom ]aute~ in der urspriinglichen Fassung yon Fraenkel foigendermat]en: ,Wenn wir jedes Element x einer Menge H dutch ein ~ ersetzen ($ abhiingig yon x),.so bilden auch die ~ eine Menge." In der bei ~) zitierten Arbeit yon Fraenkel wird dieses Axiom iibrigens vermieden, aber zuni~ehst kein anderes dami~ a~l~quas aufgestellt. Irgendein Axiom yon diesem Charakter ist jedenfaIls no~wendig, um die ganze Reihe der M~chtigkeiten und die Theorie der ()rdnu~agszahlen aufstellen zu kSnnen. s) Dem ,,Aussonderungsaxiom" entspricht das Sehlul]resulta~ im Kap. II, ,~ 2; dem ,Ersetzungsaxiom" der Satz 10b (Kap. III, w 2); und daz Auswahlprinzip (d. h. das ,,Multiplikationsaxiom") wird im Satz 56 und im Sa~ 57 (Kap. VI, w 3) :msgesproehen.

678

J.v. Neumann:

menge" bei Zermelo und Fraenkelg). Die Existenz von II-Dingen mit den dort verlangten Eigensehaften folgt immer aus den Axiomen der Gruppen I b i s IVY~ die wesentliche Forderung ist hier stets, da~ es I II-Dinge sein soUen. Es ist bier am Platze, zu erkl~iren, was wir unter ,,Menge" verstehen (genauer: w0durch wir. die Mengen der ,,naiven Mengenlehre" ersetzen wollen), da bisher blo~ die ,,Funktion" erkl~r~ wurde. Wit nennen eine Funkt/on (d. h. ein II-Ding) f einen ,,Bereich", wenn er nur der zwei Werte A , B f~aig ist (d. h. wenn stets [ f , x ] ~ A oder [ f , x ] ~ B is t). Seine ,Elemente" sind diejenigen ,Argumente", flit die sein ,,Weft" ~ B ist. Und w~r nennen einen ,,Bereich" eine ,,Menge", wenn er gleiehzeitig ,,Argument" (d. h. I II-Ding) ist. H i e r liegt der wesentliehe Unterschied unseres Axiomensystems vom Zermelo.Fraenkelsehen: Dort sind die ,,zu groBen" Mengen einfaeh verboten, unhersteUbar; bei uns kSnnen sie (als ,,Bereiche") gebildet werden, nut sind sie unf~ihig, Elemente anderer ,,Mengen" oder ,,Bereiche" zu sein. Dies i~t zumindest formal bequemer, und zur Vermeidung der Antinomien (insbesondere der Russellschen) reieht es bereits aus. Wie man sieht, ist iibriger/s die Wahl yon B gleiehgiiltig, wir mul~ten diesen ,,zweiten Weft der Bereich-artigen Funktionen" (der ,,erste Wert" ist ja jedenfalls .4) nur ein- flit aliemal festlegen, er geht aber nicht mehr in die Axiome ein 11). Sehliefllich miissen wir noeh die Operation ( x , y ) erkl~iren. Es ist der Begrif~ des ,,Paares" (yon ,,Argumenten", d. h. I II-Dingen), der unbedingt notwendig ist, um mit Hilfe unseres Funl~ionsbegrifIes, der ofIenbar ein-variablig ist, aueh mehr-variablige Funktionen beherrse~en zu kSnnen. Seine wesentlichste Eigenschaft ist, dai~ aus (x, y) -----(x', y') x =- ~', y ~ y' folgt. Dies kommt unter unseren Axiomen in dieser Form nicht vor, weil es aus den Axiomen II. 3. mad II.'4. olme weiteres folgt. 3. S y s t e m a t i s c h e s z u r H e r l e i t u n g .

Wit wollen nun noeh eine kurze Skizze tier Anordnung geben, in der wir im folgenden die Hauptresultate der Mengenlehre aus unseren Axiomen herleiten werden. e) Vgl. die bei e) zitierten Arbeiten. lo) Es geniigt js dann ein f zu finden, flit welches stets [f, x] :~ A ist. Wir k6nnen also f naeh II. 2. mit einem u :~ ,4 w~hlen, z. B. mit u -- B. u) Aueh die Existenz vines I-Dinges, das ~ A ist, folgt aus den Axiomen: Wi~ w~hlen f naeh HI. 1, d~au ist [ f , (A, A)] ~= A. - - Wenn wit B aus den Axiomen nioht ausselfl6esen, so liel}e sioh das Axiom V. 8. (yon der .Potenzmenge ~) etwss einfaeher formulieren.

Die Axiomatislerung der Mengonlehre.

679

in den Kapiteln II und III leiten wir zun~hs* die grundlegenden Operationen dot Mengenlehre her, die in der ,naiven Mengenlehre*' sich ganz yen selbst verstehen. Wir miissen uns in diesen Kapiteln sozusagen die notwendige Bewegungsfreiheit verschaffen. Die wesentlichen Uberlegungen, n~mlich die Herleitung der ]~heorien v o n d e r Endlichkeit, /~quivalenz, Ahnlichkdt und Wohlordnung gesehieht in den Kapiteln I V - - V I I I . Hierbei kehren wit die soeben augeffihrte: altgemein fibliehe Reihenfolge der Behandlung urn: Wit beginnen irdt der J~hnlichkeit (IV), dann folgt einiges fiber die Wohlordnung im atlgemeinen (IV), die Theorie der Ordnungszahlen (V), der Wohlordnungssatz (VI), and zum Sehlusse kommt erst die Aquivalenz (VII) und die Endiiohkeit (VIII). Dies st6flt zwar den historischen Gang de~ Entwicklung .urn, ~ abet vom systematisehen Standpunl~e weir angenehmer: erst durch den Besitz des Ordnungszahlen-Begriffes und des Wohlordnungssatzes wird man in die Lage versetzt, die Probleme der s und der Endliehkei* schnell und vollst~ndig zu erledigen. Es ist eine Eigenheit unserer Axiome (insbesondere des Axioms VI. 2.), da~ wir dabei zwei klassisehe Gedankenreihen der ,naiven Mengenlehre ~ nieht benfitzen miissen noeh kSnnen: nRmlieh den Bernsteinschen ,,Kquivalenzsatz" und die Zermelosche HerIeitung des ,Wohlordnungssa~zes" aus dem ,,AuswahIprinzip~). Wie diese Siitze bier bewiesen werden, werden wir an den entsprechenden Stellen der Herleitung hervorheben~8). Die Auistellung der Theorie der Ordnungszahlen wird auf einem Wege durchgeftihr~, der yon dem in der naiven Mengenlehre fibliehen wesen~lich abweieht: Steh~ uns doeh der dort reiehlieh benutzte Begriff des .Definierens dureh Abstraktion ~' nieht zur Verfilgung. Die in Frage kommende Theorie babe ieh bereits ~n meiner Arbeit ,,Zur Einfiihrung der ~ansfiniten Ordnungszahlen" 14) entwiekelt, allerdings in der Ausdrueksweise der ,naiven Mengenlehre". Auch die Einfiihrung der M~chtigkeiten bedingt ~ l i c h e Vorsiehtsmaf$regeln. ts) Der ,~kquivalenzsats~ wurdo ~uerst yon F. Bernstein bewiesen, ~uers~ ver6ffentlicht in E. Borel's Lemons sur |a th6orie des fonetions, Paris 1898, S. 103ff. Sowolff Zerme|o wie F~aenkel haben ihn in ihren Formalismus fibertragen. Die Her|eitung des ,Wohlordnungssatzes~aus dem ,Auswahlprinzipu stammt yon Zerme|o, und zwar wurde sie in seinen zwei folgenden Arbeiten durehgeffihrt: Beweis, dab jede Menge wohlgeordnet werden kann, Math. Annalen ~9 (1906), 8. 514-516. Neuer Beweis ~fir die M~glichkeit einer Wohlordnung, Math, Annalen 65 (1908), S. 107--128. Besonder~ interessant, ~st der zweite Beweis Zermelos, der yon der Theorie tier Wohlordnung un~bh~ngig is~. ~) Zum Aquivalenzsatz" vgl. Satz 68 und Satz 69 (Kap. VII, w 3) und Fu~note ~),

zum ,WoMordnungssatz~ Satz 54 und Satz 55 (Kap. VI, ~ 3, 4). ~) J. v. Neumann, Zur Einffthruug der transfiniten Ordnungszahlen, Acts universitatis Franc. Jos., Szeged, I (1923), ~ 199--208.

680

J.v. Neumann.

Im letzten Kapitel (IX) folgt schlieBlich ein Beweis der eindeutigen MSgliehkeit der ,,Definition durch transfinite bzw. finite (d, h. gewShnliehe vollst~ndige) Induktion". Diese beiden Prinzipien wurden in der ,,naiven Mengenlehre" vielfaeh als keines Beweises bediirftige evidente Wahrheiten angesehen. In einer axiomatischen Mengenlehre ist beides jedenfalls unzul~ssig; und wenn auch der inhaltliehe evidente Charakter der ,finiten Induktion" zuzugeben ist, so ist clafiir die :,transfinite Induktion? hSehst ffaglich. (Der anschaulich-empirische Charakter der der ,finiten Induktion" zugrunde liegenden nattirlichen Zahlen, d.h. der nicht-negativen ganzen rationalen Zahlen, ist ja unanfechtbar; mit den der ,transfiniten Induktion" zugrunde liegenden Ordnungszahlen verh~ilt es sieh wohl anders. Wenn auch die sich unmittelbar an w anschlieBende Pattie

eo, co-~l,~o--~2,...,2co, 2m-~-l,2~o-~-2 . . . . , 3r~, . .., 4o~, . .., . . . . too-, . . . , 2co ~, . . . , 3coo-, . . . , . . . , ~o:~, . . . , 2e~ 8. . . . . 3w 8. . . . , . . . . ~ . . . . , 9-

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. , c o (~~ ~

e,

noch einen gewissen ansehaulichen Sinn hat, so wird doch der volle Verlauf der Ordnungszahlen-Reihe kaum anders als eine rein formalistisehe Begriffsbildung gedeufmt werden kSnnen~)). Der Beweis dieser Definitionsprinzipien mag auch darum nieht uninteressant sein, weft er im Rahmen einer axiomatisehen Mengenlehre woM noch hie gefiihrt wurde. H. Die e l e m e n t a r e n O p e r a t i o n e n d e r M e n g e n l e h r e . 1. Hilfss~itze. Wir beweisen zuerst drei Hilfss~itze, die notwendig sind, um uns die wfinschenswerte Freiheit im Umgehen mit den Operationeh If, x] und ( x , y ) zu verschaffen. Sie lauten folgendermaBen: H i l f s s a t z 1. ~ ( x 1, xo-, . . . , x~) sei ein Ausdruek, der aus den Variablen xl, xo-, . . . , x, und irgendwelchen Konstanten cl, co, i . . , % dureh Anwendung der Operati0nen If, x] und (x, y) zusammengesetzt ist. Dabei durchlaufen die Variablen xl, xo-, . : . , x~ die I-Dinge, w~hrend die Konstanten cl, c ~ , . . . , c~ I-Dinge oder II-Dinge sin& Der Ausdruek ~ ( x ~ , xo-. . . . , x , ) braueht nicht fiir jedes System von I-Dingen xl, x~ . . . . . x~ Sinn zu haben (z. B. hat [(xl,xo-), xo-] dann trod nut dann Sinn, wenn (x~,x~) ein I I I - D i n g ist), wenn er aber Sinn hat, Ls) Ieh hoffe, auf diese Eigentiimlichkeit der Ordnungszahlen-Reihe, die auch mit der Frage der ,Kategorizit~t" der Mengenlehre zusammenh~ngt, nooh in einer sp~teren Arbeit zuriiokkommen zu kSnnen. Bezfglioh verwandter Fragen vgl. die ~w II 3, 5 meiner bei ~) zitier~en Arbeit. Uber die Ordnungszahlen-Reihe vgl. auch Kap. IX, .~ 1 dieser Arbeit.

.Die ~doma~isierung der Mengenlehre.

681

soil or ein I-Ding sein. (Hierdureh wird der eme Fall ausgesehlossen~ dal3 ~ (xl, x,, . . . , x,) gleich • ist, wobei die Konstante c~ ein II-Ding ist, abet kein I H-Ding.) Es gibt dann ein II-Ding f ( f ist natiirlich yon xl, x~, . . . . x, unabh~ngig, a b e t yon c~, c..,..., c~ abh~ngig), so dab fiir alle Systeme yon yon I-Dingen x 1, x ~ .., x, flit die 9~(xl, x~., .... x,) einen Sinn hat, stets

~/(z~, z~ . . . .

z , ) = If, <<... (, x~>...>, x~>] ist. (Fiirn -----1 verstehen wir unter <(... <, xa>...>, x,~> einfach X1 .) B e m e r k u n g . Bei diesem Hilfssatze sind wohl' zwei erl~uternde Bemerlmngen angebrach~. Erstens fiber seinen Sinn. In unserem System ist die Normalform eines ein- variabligen Funktionen- Verlaufes der Ausdruek [ f, x] (f konstant, x variabel), dies folg~ aus dier Deutung der II-Dinge f als ,,Funktion~n". Zur Normalform des mehr-variabligen Funkr wollen wir nun [f, <<.. ((x~, x~>, xa), ..:>, x~>] machen I f k~ xl, x~, ..., x,, variabel); und dies wird uns durch diesen I-Iilfssatz ermSglicht, wetcher garantiert, da$ alle Ausdriicke mit Konstanten und Variablen auf diese Normalform gebraeh$ werden kSnnea. Zweit~ns fiber seine prinzipielle Zul~issigkeit. Wir beniitzen den allgemeinen Begriff der natiirliehen Zahl, sowie den Begriff eines ,,durc5 sukzessives Anwenden gewisser Operationen entstandenen Ausdrucks", d. h. im wesentlichen die Definition dutch finite Induktion. Dies ist abet bei der Begriindung der axiomatischen Mengenlehre jedenfalls zu vermeiden, denn alle diese Begriffe kSnnen und" sollen doeh auf. axiomatiseh-mengentheoretischer G~ndlage hergeleitet werden~6). (Vgl. Kap. VIII, w 4 und Kap. IX, w 2.) Wio ist das mit dem hufstellen unseres Hili~satzes 1 za vereinen ? Die Antwort ist einfaeh: Wir werden den Hi|fssatz 1 niemals als allgemeinen SaSz ansehen (als weleher er of[enbar unzul~ssig wKre), sondern nur'auf konkrete Spezialf~lle anwenden. Ein in concrete gegebener Ausclruek der x~, x~ . . . . , x, und ci, c~. . . . , c~ ha~ mit dem Prinzip der finiten Incluktion niehts zu tun, unser wei~er unten zu fiihrender induktiver Beweis des Hilfssatzes 1 wird dann zu einer endlieh durehfiihrbaren Kons~ruktion. Wollten wit v o n d e r aUgemeinen Formulierung des Hilfssatzes 1 absehen (was prinzipiell konseciuent w~ire), So mfil~ten wit bei ]eder sparer vorkommenden Reduktion eines Ausdruekes auf die Normalferm dieselbe Konstmktion detailliert ausfiihren. Es ist teehn!seh bequemer, die I~[ethode ae) Fraenkel (vgl. seine bei ~) zititierte Arbeit) nimmt einen anderen Standpunk~ ei~a: er beniitzt das Prinzip der (ansehauliehen) volls~ndigen Induktion (natiirlieh nur der finiten!~ beim axiomatischen Behandeln der Mengenlehre.

682

J.v. Neumann.

dieser Konstruktionen hier a]lgemein anzugeben und sich spiiter einfaeh darauI zu berufen. Ledig]ieh dcshalb sprechen wit diesen Hi]fssatz /{ier altgemein aus, und stellen sofor~ fedt, dab wit ihn night als einen exakten, allgemeinen Satz unserer Theorie ansehen, sondern vielmehr etwa dis die Skizze einer al]gemeinen Beweismethode. (Die Bemerlmng lieg~ nahe, dab die vorangehenden Ausfiihrungen eigentlieh keine Einschriinkung des Geltungsbereiehes von Hilfssatz 1 involvieren, sondern nut eine Umsehreibung des Beriffes eines ,allgemeinen Satzes" sind; also da/~ diese Ausfiihnmgen zweeklos sind. Es sei er]aubt, demgegeniiber darauf hinzuweisen, da~ ein auf eine unendiiche Anzahl yon Spezialfiillen bezogener ,,allgemeiner Satz" etwas mehr ist, als die Summe seiner Spezialfglle; da~ bier jedenfalls noch ein neues transzendentes Moment hinzukommt, wie es die modeme Kritik der Grundlagen der Logik und Mathematik gezeig~ hat.) Bewels. Wir kSnnen bei jedem Ausdrueke 9/(x,, x,, ..., x,) die Anzahl der in ibm vorkommenden Operationen [f, x] und (x, y> feststellen, und nennen dieselbe seinen Grad. Der Grad ist ~ 0, 1,2, . . . . wit, werden unsure Behauptung fiir alle 9/-s veto Grade 0 beweisen; und dann daraus, dab eie fiir alle 9/-s yon Graden < k zu~riiit (k ~ 1, 2, .... ), ihre Gii/tigkeit fiir die 9/-s veto Grade k herleiten. Zuerst zeigen wit abet, dab es geniigt, wenn wit uns mit dem Falle n ~ 1 besoh/iftigen. Ist niimlich n > 1, so wghlen wit f nach II. 3, and g naeh II. 4, dann ist:

9, = [ f, [ f, [... [ f, <<... <(x~, x.~>,~> :..>, ~,,>]...]]], 9~ --[~,, [f, [... If, (<... <<~, x~>, ~>...>, x,,>l .... ]]], x~ = .

.

.

x, =

[~,, [ . . . If, <<.... <, ~ > . . . > , .

.

9

9

.

.

.

9

9

.

9

9

~

9

9

~

~,,>]...]], 9

9

9

9

.

[g, ((... <<~, x~>, =8>..->, =,>].

Wenn wir dies in ~ ( x l , xg . . . . , x,) einsetzen, so wird:

91 (~,, z,, .~ z,,) = 9/*(<<... <<~, z,), z , ) . . . ) , z,)), und ~,mnn der Satz f i i r n = 1 sehon bewiesen ist,

=

If*,

<<... <<~i, zg), z s) ...), .~,,)].

Es sei also n = l . Wenn 9/(z) den Grad 0 hat, so ist 9/(x) -----%. (% ist dann I-Ding) oder 9/(x)--=x. Wit wghhh also f naoh II. 2. (u ~ %) odor naoh II. 1., und sind damlt I am Ziele. Wenn 9/(x) ~len Grad k hat~o(/c-----1, 2 , . . . ) u n d fiir alle ~ ( ~ ) mit Oraden < k sohon alles bewiesen ist, so schliel~en wir so:

Die Axioma~isierungder Mengenlehre.

{J83

~ ( x ) hat eine der drei foigenden Formen:

If, wo !~(x), ~ ( x ) ebensolehe Ausdriicke sind und f ein II-Ding (aber keJn I II-Ding, dean dana haben wir wieder [~(x), !~(x)]) ist: !~(x), ~ ( x ) haben offenbar Grade ~ k -- 1 < k, also is~ Lg,

,

also

= [f, [g,

,:[h,

[g, x]), [[h, x], [g,

Der erste Aus4ruck ist mit Hilfe yon II. 7. sofort auf die gewiiaseh~e Form [~, x] zu bringen, der zweite mit Hilfe yon II. 6.; beim dritten sehliefllich miissen wit sul~essiv II. 5., 6. und 7. anwenden. Damit ist die Behauptung restlos bewiesen. H i l f s s a t z 2 a. ~ sei ein II-Ding. Es gibt ein II-Ding ~, so dal~ [~, x ] ~ - A mit [~, x] ~ A gleiehbedeutend ist und iolglieh [~, x] = A mit [yJ, x] ~ A. H i l f s s a t z 2 b. ~, v2 seien II-Dinge. Es gibt ein II-Ding Z, so da~ dann und nur dann [g, x] + A ist, wenn [~, x] + A 0der [~, x] + A is~. H i l i s s a t z 2c. ~, y~ seien II-Ding e. Es gibt ein II-Ding 2, so d a ~ d a n n und nut dann [g, x] ~ A isL wenn zugleich [~, x] ~ A und Ivy, x] -~ A ist. Bowels. (Fiir 2 a.) Wir w~ihlen f nach III. 1., dann wird [~, x] ~= A mit If, (A, [q~, x])] ~-~A gleichbedeutend, und wenn wit [f,
684

J.v. 1%umann.

Beweis. Dal3 ein I-Ding ~ ein I II,Ding ist, kSnnen wit nach IV. 1. so sohreiben: [f, $] + A . -- [~o, (x, y ) ] = [~, y] driickt sich so aus: [g, ([q~, (x; y)], [~, y])] + .4. Wenn wit dies auf die Nolmalform bringen, so wird: [h, ((x, ~), y)] + A o d e r [j, ((x; ~), y)] ~ ` 4 . Dall dies fiir alle y der Fall ist; bedeutet naeh III. 2. : [k, (x, ~)] + A. " Da wit auch [f, ~] + ` 4 auf die N0rmalform [/, (x, ~)] + A bringen kSnnen, so kSnnen wit sagen: ein I II-Ding ~, fiir welches stets [q~, (x, y)] -~ [~,y] ist, existiert dann und nur dann, wenn [k, (x, ~)] + `4 und [ / , (x, ~)] + 21 zugleieh erfiillbar ist, d.h. wean [m, (x, ~)] + A erffillbar ist. Dies bedeutet naeh III. 2. [n, x] ~---A, d.h. [ y ~ , x ] + A . Und wenn es ein solehes $ gibt, so' gibt es wegen I. 4. nur ein einziges, also brauchen wir Z nur naeh III. 3. zu w/ihlen, und es wird [Z, x] = ~ . -Damit haben wir alle Hilfss~tze hergeleitet, deren wir zur Inangriffnahme unserer Aufgaben ben6tigen. Wit wollen nun noch die wesentliehsten Definitionen und Begriffsbildungen zusammenstellen, die wir in Kap. I bereits entwick~lt haben.

2, Grunddefinitionen. Diese Definitionen sind die fo]genden: q~ sei ein II-Ding. Wir nennen es einen Bereich, wean flit alle x [~o, ~ ] ~ A oder [q~, x] ~ B ist. Wenn ein Bereich sogar I II-Ding ist, so nennen wit ihn eine Menge. sei ein Ii-Ding, x ein I-Diag. Fiir [~v,x]=~A schreiben wir auch x,go. ~o, y, seien II-Dinge. Wenn aus xeqJ XsyJ folgt, so schreiben wir ~ ~ y~. Fiir yJ ~ ~ schreiben wit auch q~ ~ W. Wenn q~~ ~ und q~ ~ yJ ist, s o schreiben wir 7~ N ~; wenn ~ ~ ~ aber nicht ~ ~ yJ ist, so schreiben wir q ~ yJ; wean ~v ~ ~ aber nicht ~ ~ ist, so schreiben wir ~ > ~. Wenn H ein Bereich (oder sogar eine Menge) ist, s o sagen" wir fiir x e H auch: x ist Element yon H, x geh6rt zu H, H enth~ilt x. Wenn H, JBereiche (oder sogar Mengen)sind, so sagen wit ffir H ~ J oder J ~ H aueh: H ist ein Teilbereich (bzw. Teilmenge) yon J; und ~ r H <= J oder J > H sagen wir aueh: H ist eehter Teilbereich (bzw. echte Teilmenge) yon J. Man sieht sofort, da~ den Relationen ~ , ~ , ~ , > , ~ die folgenden elementaren Eige.nschaften zukommen: Xus q~ x folgt ~ Z Aus ~ < y ~ , v2 < z folgt ~ o < Z . Aus ~ > y J , , p > Z f01gt ~ o > g .

Die Axioma~isierungder Mengenlehre.

~85

~ g . Aus q ~ 9 ~ , ~ / , ' und 9 + V (? irgendeine Relation ~ , ~ , < , ~ ) folg~ , ~y~ , und umgekehrt. Ferner sehlieBt man mm I. 4. ohne weiteres, cial~ fiir Bereiche H. J H ~ J mi~ H = J gleiehbedeutend is~. SchIieBlich bemerken wir ~och ~ die !olgende hSehstwiehr Konsequenz yon IV. 2.: Wenn 9, ~P ~I-Dinge eind uud (p ~ ~p isL so ~olgt darm~s~ d ~ y~ ein H-Ding isL auch dafi ~ ein I II-Ding ist. Die Giiltigkeit dieser Beh~up~ung sieh~ man sofor~o ~n der Form yon I[V. 2. Sie en~spricht dem ,,Aussondevangsaxiom" yon Z~rmelo uud Frae~kel (vgl. FuBnote ~)).

3. Einstellen-Funktioneu und Elemen~armengen. Wir gehen nun d~ran, die ein:fachs~en Funktionen und Mengen auf Grand unserer Axiome herzus~ellea. Satz I a. u, v, w seien I.Dinge. E8 gibt ein und nur ein H - D i n g q~, ]i~r welches [ q~, u ] = v ist, und /iAr. x + u stets [9, x] = w ist. Dieses

Sa~z lb.

Wenn w - - - A

v, A ! ein 1 H-Ding, undo. es, gibe ist, 8o is~ u,

ein (you u und v unabhdngiges! ) qp, so dafi stets I q~, (u, v) ~ = l u'v, A i ist.

Beweis. (Flit I a.) Aus I. 4. folg~, da~] es hSchstens ein solches q~ gibt, es geniig~ also die Existenz zu beweisen. x = u, y --~ v kSnnen wir so schreiben: ( x , y) = ( u , v), oder (f nach III. 1.): [f, {(x, y), (u, v))] ~ A, x ~ u , y=w kSnnen wit so, schreiben: If, ( x , u ) ] = A , y = w , oder: ([f, (x, u)], y) = (A, w)~ oder: ~t', ( ( [ f , ~ x , u)], y), ( A , w))] ~ A. Dal] entweder x = u, y-----v oder x ~= u, y - ~ w der Fall is~, ]au~et folglich so : ([f, ((x, y), (u, v))], [f, (([f, (x, u)], y), (A, w))]) =~ ~A; A) oder wean wit auf die Normalionn bringen: [g, ((((u, v), w). x), y)] =~ (A, A) oder auch If, ([g, ((((u, v), w), x), y)], (A, A))] = A, if, ([L ([g, ((((u, v), w), x), y)], (A, A))], A)] ~ A, and wieder auf die Normal:form gebraeh~: fh, ( ( ( ( u , v), w), x), y)J ~ A.

686

J.v. Neumann.

Zu jedem u, v, w, x ist dies fiir ein einziges y der Fall, niimlich bei x ---- u fiir y ---- v, und bei ~ + u flit y ---- w. Wenn wir also ~ nach III. 3. w~ihlen, so wird: v, fiir x----- u, [L (((u, v), w), x)] = w, far ~. + u. Es geniigt nun auf die No~malform [~, x] zu bringen ( r hiingt yon u, v, w ab!), um das gewiinschte II-Ding 9 zu haben. We..

w=.

,,,,

x +] A

----

sein. {u'v,A} ist 'ber naoh IV. 2. sicher ein I II-Ding, wenn es kein II-Ding f gibt, flit welches zu jedem, ein y mit [ { : : A}' Y ] + A, [f, y] = x existiert; d. h. wenn bei keinem f flit jedes I-Ding x [ f , u] = x ist. Das ist abet sicher der Fall, wenn es zwei versehiedene I-Dinge gibt, und sotche gibt es: z. B. A und B . Es bleibt nooh iibrig, { ~v , A- -} Wit sahen, daft

[{::

=

auf

die

<<<.,

Fo~m

[q~' (u, v)] zu bringen.

< =

<

ist, und da ~u,-~ e i n I II-Ding ist, sO brauehen wir ~o nut nach dem $).~2J.) t

Hilfssatz 3 zu wi~hten, damit [9, (u, v)] =

{U'A} sei. v,

S a t z ~ 2 a. Es gibf eine und nut eine Menge, die gar keine Elemente hat. Wit bezeichnen sie mif O. S a t z 2 b. u 8ei ein I.Ding. Es gibt eine und nut eine Menge, die das einzige Element u hat. Wir bezeichnen Me mit {u}. Es gibt ein (yon u unabhdnoiges) H-Ding qo, so daft stets {u} = [~o, u]. Beweis.

(Fiir2a.)

{AA:7t} ist I I I - D i n g a n d h a t ste~den W e r t A ,

also ist es eine Menge ohne Elemente.

DaB es die einzige ist, folgt

aus I. 4.

(F~ 2b.) _B, { U , A } ist I II-Ding und hat fiir u den Welt B, sonst den Wert A, also ist 9s eine Menge mit dem einzigea Elemente u. Daft es die einzige ist, folg~ aus I. 4. Und schlieliIich ist nach Satz 1 b

{~,} =

If; (,~, B>] = Iv,

~,].

4. Z u s a m m e n s e t z u n g y o n F u n k t i o n e n .

Im nun folgenden S~tz 3 werden wit ein Konstruktionsprinzip angeben, welches fiir die Herstellung yon Funktionen und Bereichen gmndlegend ist.

Die Axiomatisierung der MengenJehre.

687

Satz 3a. q~, v?, Z seien H-Dinge. g s gib~ ein und nut ein I1-Ding ~, /i~r welches /at atle x

~[~, ~], %

l~" [z, ~] + A,

Wit bezeivhnen dieses C mit i ~ ,I~ ~ sei sine der Zahlen 1 , 2 , 3; f~, . . . , f# irgendwdvhe ~ Satz 3b. unter dem q~, ~ , ~; und g ~ , . . . , g3-~, die i~brigen. Es gibt ein blofl~van g~, . , ., g~_~, abhgngiga9 (und yon den fx . . . . , f~ unabhdngiges) I]-Ding ~, so daft far alle ~ , . . . , f~,, ]i~r die sowoht diese, als auch I H . D i n g e aind,

(~)

t-/-t [~;v] -- (vlv~ ist, wobei v = 5 bzw. = bzw. = <, fs> ist ( # nachdem # = I, 2, 3 ist). Beweis. (Fiir 3a.) Da~ es hSchst~ns sin solches ~ gibt, fo|g~ aus L 4., wir brauchen also blo~ die Existenz zu beweisem [~, x] -= y, [Z, x] =~ A kSnnen wir auch so schreiben (fnach III. 1.): [f, (A, [z, x])) = A, E~o,z] = y,

d.h. ([f, (.4, [g, x])], [~, x]) = (A, y), [f(([f, (A, [;Z, x])], [~, x]), (A, y))] + A , oder auf die Normalform gebracht: [g, (x, y)] =P A (g h~ag~ yon ~ and Z ab). Ebenso verfahren wit mit IV', x] = y, [g, x] = A: ([yJ, x], [Z, x]) =
[h, (x, y>] + A (h h~ingt yon v2 and Z ab). Daft entweder [;~, x] + A , [Z, x] = A, [~p, x] = y ist, bedeu~et also:

[q~, x] = y oder

<[g, ]) +
688

J.v. Neumann.

is y = [~o, x], fiir [%,x] = A ist es y = [~v, x]. anwenden, und es wird

Wit kSnnen also III. 3.

/[~, ~], f~r [z, ~] = A . Damit haben wit das gewii.nschte II-Ding hergestellt. (Flit. 3b.) Wit beweisen die Behauptung flit den (willldirlich herausgegriffenen) Spezialiall # : 2, fl ~- ~o, f~ ---- %, gl = 9; in j ~ e m der iibrigen sechs Spezialfiille ist der Beweis ganz analog ml fiihren. Wit schlagen genau dense!ben W6g ein wie bei der Horleitung yon [#,] 4~A im obigen Beweise yon 3a; nut bringon wit immer an Stelle der Normalform nach x und y auf die Normalform nach q~, X, x and y. So erhalten wit statr

[g, ] + A,

[h, Cx, y>] + A, [j, ] + A

sukzessiv [g*,(((~~

4 =A, [h*,(((qJ, Z ) , x ) , Y ) ] 4 = A , [j*,(<(%g),x),y>] + A

(g*, h*, j* h~ngen nut yon ~v ab), und kehren dann wieder mit Hilfe yon III. 3. urn, wobei start [~, x] analog [k*, (Go, Z>, x)] entsteht (k* h~ingt auch nur von ~v ab). Wit haben nun

~[~, ~], [~*,<<~,z>, ~>] ([v,~], =

d.I{.

mr mr

[z, ~] + A , [z,x] = A ,

=

Wenn also . ~ - - - /

auch ein I II-Ding ist, so kSnnen wit den Hilfssatz 3

anwenden und erhalten dann

[~, <~, z>]

=

,-~-,

.(~ nur yon ~ abh~ingig), wie behaup~et wurde. 5. Summe, Durehsehnitt und Differenz yon Bereiehen. Der Satz 3 liefert ul~s das lYlittel, an die Konstruktion der im Tite dieses Pa~agraphen genannten mengentheoretischen Operationen heranzutreten. S a t z 4a. H, J seien zwei Bereiche. Es gib$ einen und n u t einen Bereich K , liar den x ~ K~ damit gleichbedeutend ist, daft x e H oder x e J ist. Diesea K bezeichnen wit mi$ H q - J und nennen ez die ~dumme yon H und J.

Die Axiomatisierungder Mengeniehre:

689

Satz 4b. Wenn H, J beide Mengen sind, so ist auch H + d eine Menge. E8 gibt ein 1].Ding q~, so daft ]iir alle Mengen It, J [q), ( H , J ) ] = H-4-J iaL B eweis. (Fiir 4a.) DaB es hSchstens einen solehen Bereich gib~ folgt aus L 4.; es genfigt also die Existenz zu beweisen. Es ist abet kiar, dal3 das II-Ding ( - ~ )

alle gewiinseh~en Eigenschaften besitz~.

(Fiir 4b.) Wir miissen zeigen: Wenn H, J'Mengen, d.h. I H-Dinge sind, o ist auch H + J Menge, d.h. I II-Ding. Die zweite Behauptung folgt dann hierauf sofort mit ttilfe yon Satz 3b: Es ist dann

H+ +:

J), B>]

+>J.

Also seien H, J I II-Dinge, es gilt (nach IV. 2.) zu zeigen, dab fiir kein II-Ding g zu jedem ~ ein y mit [ H + J, y] # A [g, y] = x existieren kann. [ H + J , y] # A bedeutet y~,H oder y e J , es gilt also zu zeigen: Es gibt ein (I-Ding) x~ welches yon allen [g, y] mit y e l l oder y , J verschieden ist. Wir w/ihlen h, ] nach II. 3. bzw. II. 4. und setzen:

[h, ig,

= [k, x],

[j, [g, x]] = [Z, x l.

Da H, J beide I II-Dinge sind, so gibt es (nach IV. 2.) ein I-Ding r, so dab flit kein y e l l [k, y] = r i s t ; und ein I-Ding s., so dal] fiir kein y e J [l, y] = s ist. ,Hierau8 folgt aber: Es kann flit kein y e l l [g;yJ--~(r, ,) sein, de~m dann w~ire [k, Y] = [h, [g, Yi] = [h, (r, s)] = entgegen tier Annahme; =ebensowenig dann fiir ein y f J [g, y] = (r, s) sein, da dab [l, y] = [ / , [g, x]] = [j, (r, 8)] = zur Folge hiitte. Also haberr wit in x =-(r, 8) das gewiinsehte x gefunden. Satz 5a. H, d seien zwei Bereiche. Es gibt einen und nut einen Bereich K, /iir den x e K damit gleichbedeutend ist, daft zugleich x , H und x , J ist. Dieses K bezeichnen wit mit H. J und nennen es den Durchschnitt yon H und J. Satz 5b. Wchn H oder J eiue Menge ist, so ist H . J auch eine Menge. ES gibt ein II.Ding q~ bzw. ~v bzw. Z, welches yon H bzw. von J bzw. van H und J unabhdngig ist, so daft immer wenn H bzw. J bzw. H und J Menge in, t t . J = [q), I-d] bzw. -----[~p, JJ bzw. = [Z' (H, J)] ist. Msthematlsche Zettachrtft. XXVII. 44

690

J.v. Neumann. Beweis.

(Fiir 5a.)

Die Eindeutigkeit f o l g t wieder aus I. 4., die

Existenz des geforderten Bereiches ist klar, denn das II-Ding (J~LH~) hat die gewiinsehten Eigenschaften. (Fiir 5 b.) Wieder geniigt es den Mengencharakter yon H. J zu beweisen, alles iibrige folgt dutch Anwendung des Satzes 3b. Diesen sieht man so ein: Es ist offenbar H - J ~ H und H. J ~ J, also ist H. J immer Menge, d.h. I I I - Ding, w e n n H oder J es ist. S a t z 6a. H, J sden zwei Bereiche. Es gibt einen und nut einen Ber~r K, ]~r den x ~ K damit gleichbedeutend ist, daft x , H ist, abet nicht x e J ist. Dieses K bezeichnen ugr mit H - - J, und nennen ~es die Di//erenz van H und J. Satz fib. Wenn H eine Menge ist, so ist auch H - - J dne Me;we. Es ffibt d n H . D i n g q~ bzw. ~, welches yon H bzw. yon H und J nnabh~ngig i85, so daft wenn H bzw. H und J Menge ist, H--J=[~,

H] ~zw. -~ [~, ]

ist.

Beweis.

(Fiir 6a.) Die Eindeutigkeit folgt auch hier aus I. 4., die

Existenz des geforderten Bereiehes ist klar, denn das II-Ding ( ~ hal die gewiinschten Eigensehaften. (Flit 6b.) Auch hier geniigt es den Mengencharakter yon H ~ J zu b. .:o~n, da daraus alles iibrige dutch Anwendung des Satzes 3b folgt. Diesen sieht man so ein: Es ist offenbar H - - J ~ H, also ist H -- J Met se, d . h . I II-Ding, wenn H es ist. -- Wir fiihren nun noch eine Konstruktion durch, die wit im folgenden ebenfalls ziemlich h~ufig gebrauchen werden. Satz 7a, ~ s d ein II-Ding. Es gibt einen i~nd nut einen Bereich H, /iSr den ~e H mit :re ~ gleichbedeutend ist, d.h. H N ~ ist. Dieses H bezdchnen wit rail 2 (~ ) und nennen es die Basis yon H. Satz 7b. Wenn q~ ein I II-Ding ~st, so ist 2(q~) eine Menge. Es gibt "ei~ H . D i n g ~, welches van q~ unabhdngig ist, so daft wenn q~ ein I l l - D i n q iat, [,r,

=

ist.

Beweis. (Fiir 7a.) Die Eindeutigkeit folgt wieder aus I. 4 , die Existenz sehen wir so ein: Wir w~,hlen f nach II. 2., mit u-----B; dann hat ( [ - ~ ) o f f e n b a r alle gewiinschten Eigenschaften. (Flit 7b.) Wieder geniigt es mit Riicksicht auf Satz 3 b d e n Mengencharakter zu beweisen; dieser abet ist evident: Wegea _~ !~) ~ 9 ist _~ (q~) jedenfalls Menge, d.h. I II-Ding, wenn ~v es ist.

69 i

Die Axiomatisiemngtier Mengenlebre. 6. l~echenregeln.

Auf Grund der S~itze 2 und 4 k6nnen leich~ alle angefiihrten Elementarmengen von Zermelo-Fraenkel, d.h. die Mengen mit em oder zwei Elementen, gebildet werdea. Wit definieren:

{u,

{u} +

{u, v} is~ naeh 2b und 4b eine Menge, und seine Elemente sind and v. Aus 2b u n d 4 b folgt weiter:

Da {u, u} und {u} dieselben Elemente haben, und {u, v} und {% u} gleichfalls, so is~ Wir bilden noch einen Bereieh, den wir im Verlaufe der Untersuehungen brauchen werden, d.i. ,,der Bereich aller I-Dinge", d.h. einen Bereieh, der alle I-Dinge enth~lt. Naeh [.4. gibt es hSchstens einen solchen Bereich, und dal] es einen solehen ~ib~, sehen wit so ein: Wit w~hlen f nach 1I. 2 , wobei u ---- B ist, dann h a t f die gewiinschten FAgenschMten. Diesen Bereieh nennen .wit Q. ~2 ist iibrigens keine Menge, d.h. kein I II-Ding. Dies Iolgt-sofort aus IV. 2., denn wean wir f nach II. 2. w~hlen, so ist fiir jedes I-Din:_, x If. x l = x, [~2, x] ~ A . 1~) Wir geben nun der u hatber die Rechenregeln fiir 0, D, + , -, -- und .~ an, ohne die trivialen Beweise. 0+

0=0-0=0--0=0,

H-}- 0 = H - - 0 = H ,

H+ J=J+H,

D+D=~.~9=D, Q+0= ~9--0=~, H.0 = 0,

~--~=0, ~Q.0= 0 - - D ~

0.

H + ~ = g2~ H.P. =

(H--[-J)-+-K=tt+(J-kK), H.J=J.H, ( H . J ) . K = H.(J.K).

H+H=H.H=H, H--H=O. (H-kJ).K=H.K+'J.K, (H--J).K=H.K--J.K. H - - (H-- J) = tI.J,

(H-- J) --b J-----g - b J, (H--k J) -- J = H - - J = H - - H.J.

~) DaB ~ keine Menge~ d.h. kein I ILl-Ding sein kann, lgBt sich auch ohne d~ Axiom IV. 2. emsehen (,der wemgstens ohne dessen so wmtgehendeInanspruclmshme), das 1st lm wesenthchen der k:inn der Russelschen Antmonne. Vgl. FuBnote ~). All Stelle yon ~xlom IV. 2. ist bloB die ]~emerkung notwendag, d~B mit f auch jede.~ 9 g ~ f e m I I!-Dlng ist (das ,Aussonderungsaxmm~). 44*

692

J.v. Neumann.

H~H+$,

J~H+J.

Aus H ~ K ,

J~K

folgt H + J ~ K .

H~ H.J,

J~ H.J.

Aus H ~ K, J ~ K folgt

Aus K ~ H ,

K.J=0

H.J~

K.

folgt K ~ H - - J .

f ~ g i s t mit 2 ( f ) = .~(g) gleichbedeutend. f§

ist mit 2 ( f ) ~ - ~ ( g )

gleichbedeutend (+ ist eine der Relationen

~<, ~>, < , >)~ Schliefllich beweisen wir gleich hier einen Satz, den wit sp~iter benStigen werden. Er lautet So: A~

{{~, ~), {~}) = {{~,, v'), {~'}}

folgt ~ = ~,

una v =

~'.

Erstens zeigen wit, dab u = u' ist. {u} gehSrt zu {{u, v},. {u}}, also auch zu {{u', v'}, {u'}}, folglieh ist {w} = {u', v'} oder = {u'}. D a u ' Element beider ist,, so ist es jedenfalls Element von {u}, folglich muff u ' ~ u sein, wie behauptet wurde. Nehmen wir zweitcns an, dal~ v + v' ist. {u, v} ~gehSrt zu {{u, v}, {u}}, a~so aue~ ~u

{{~', ~'), {.;}},

also ~st

{~, v} = {~',

v ' ) ode~

-- {~').

D a v Element von { u , v } ist, ist es aueh Element yon { u ' , v ' } oder von {u'}; folglieh ist v = u ' , oder v = v ' , oder v = u ' . Wegen v + v ' kommt nur v ~ u' in Frage. Ebenso kSnnen wit v' -- u beweisen, wegen u = u' muB also doch v =~v' sein, entgegen der Annahme. Also ist aueh ~)~_v t. HI. Die allgemeinen Operationen d e r Mengenlehre. 1. Vereinigungsbereieh und Durehsehnitt eines Bereiehs yon Mengen.

Satz 8a. H sei ein Bereich, der nut Mengen al8 Elemente [~at. E~ gibt einen und nut einen Bereich J, ]iir den x eJ damit gleichbedeutend ist, daft eine Menge y mit xey, y e J exiaiert. Dieses J bezeichnen wit ~nlt S(H) und nennen es den VereinigungSbereich yon H. .Satz 8b. Wenn H e i n e Menge ist, so ist auch S(H) eine Menge Es gibt ein: H-Ding q~, sO daft ]i~r alle Mengen H ist.

[~, HI = S(H)

Beweis. (Flit 8a.) Wieder folgt die Eindeutigkeit aus 1.4., die Existenz sehen wit wie folg~ein. [H, y] ~=A bedeutet yeH,~ dann ist y jedenfalls eine Menge u n d [ y , x ] + A bedeutet x e y . Beides "zugleich l~iflt sieh so formuliereri ( f nach III. 1.): [f, (A, [H, y])] -----A,

[f, (A, [V, x ] ) ] ~ A.

Die Axiomatisierung de~r Mengenlehreo

Aiso

<[:, ], If, = ]>, (A, A))] + A, and auf die Normalform gebraeh~: ,It,

] + A

(g hiingt nut yon H ab). Dug sin solehes y existier$, bedeuSet (h nach III. 2.):

Is, z] = A oder

[j, x] ~ A,

und wenn wit J = B(J) setzen, so wird:

[J, x]

[ B , wenn sin solehes y existier$, A, wenn kein soleheB y existier~.

1

Dies II-Ding J hat also alle gewiinsehten Ei~enschaften. (Fgr 8b.) Wenn H sine Menge, d.h. I II-Ding is% so sehen wir, dal~ S ( H ) such Menge, d.h. I II-Ding ist, so sin: Nach V. 2. existiert sin I II-Ding f, i ~ welches S ( t t ) ~ f ist, folglieh ist aueh S ( H ) sin $ I I - Ding. Wenn H sin I I I - Ding ist, so kSnnen wit die bei dam.-Beweise yon 8atz 8a angestellte Rechnung folgendermsllen abiinderm Die erste ge~ duktion auf die Normalfozm naeh x, y ersetzen wir dutch sine nseh H, x, y, dann erhalten wir start [g, (x, y)] [g*, ((H, x), y)], wobei g* such yon Hunabhi~ngig ist. Ebenso erhalten wi~ start [h, ~] [h*(H, x)], und star [j, x] [j*, (H, x)] (h*., j* Yon H unabhiingig). 8o4snn setzen wii 1~*= 2~(J*), mad dams wird offenbsr:

[k*, ~H,

x>]

-- [3(H), x]

Da S(H) ein I II- Ding ist, kSnnen wir den FIilfssatz 3 anwenden, und es wird: S(H) = [~, H I . Saez 9a. H sei sin Bereich, der nut Mengen als Elements ha~. Ee gibt einen und nut einen Bereich J, ]iir den x e J dami$ gleiehbedeutedd ~ist, daft ]iir ]ede Menge y mit y e H such x ey ist. D~ses J bezeichmm wit mit ~ (H) und nennen es den Durchschnitt. yon H. SaSz 9bo Wenn H # 0 ist (und nur dann), so ist 2 ( H ) vine Ja%nge. F~s gibt sin H-Ding ~, so daft ]iir alle Mengen H 4=0 (H) = [~, H] is$.

694

J.v. Neumann.

Beweis. (Flit 9a.) Die Eindeutigkeit folgt such hier aus L4., die Existenz sehen wit wie folgt ein.

[H,y]neA bedeutet yell, dann ist y jedenfalls eine Menge, also auch I II-Ding; und [y, x] = A bedeutet, dal~ nicht xsy ist. Beides zusatamen kSnnen wit auf die gewohnte Art auf die Form

[f, (x, y)] + A (f hiin~is nur yon H ab) bringen. DaB dies nie stattfindet, driiekt sich nach IIL 2. so aus: [g, x] + A. Wenn wit also J-----_~(g) setzen, so ist [J, x] ~ { B, wenn es kein solches y gibt, A, wenn es ein solches y gibt. Dieses II-Ding J hat also die gewiinsehten Eigensehaften. (Fiir 9 b . ) F i i r jedes Element y yon H ist offenbar ~ ( H ) ~ y ; wenn also H =~ 0 ist, d: h. Elemente hat, so folgt daraus, dab y ein I I I - Ding ist (denn ein Element y yon H ist offenbar ein I II-Ding), dal~ aueh ~ ( H ) I II-Ding, d.h. Menge ist. Ist hingegen H = 0, so ist ~ ( H ) ~ , denn da H keine Elemente y hat, gehSrt jedes x zu ~ ( H ) , und ~ ist keine Menge. Wenn H eine Menge und H ~ 0 ist, d.h. wenn H und ~ (H) beide I II-Dinge 'sind, so sehlieflen wit ebenso wie beim Satze 8: Wit verIahmn ebenso wie beim Beweise 9a, nut zeduzieren wir auf die NormaIIorm nach ttu~d x und erhalten so statt If, (x, y)] und [g, x] If*, ((H, x), y)] und [g*, (H, x)l (f*, g* sind such yon H unabh~ingig). Sodann setzen wit h*=~(g*), so dal~ [h*, (H,

=

ist, woraus nach Hilfssatz 3 =

x]

folg~. Es ist leicht, die Operationen H ~ J und H.J fiir Mengen H, J (fiir Bereiche nicht!)auf S und ~ zuriickzufiihren. Es gilt n~mlich offenbar

H-~J~S({H,J}),

H.J=~((H,J}).

Ferner gilt 'oflenbar:

~(0) =

~,

S(O)

--= O.

Die Axiomatisierung der Menge111ehve.

595

2. Der Bildbereich.

Sa~z 10a. H sei ein Bereich, q~ ein H-Ding. Es gibt einen und nut einen Bereich J, liar den x e J damit gleichbedeutend ist, daft ee ein y mit yeH~ [q~, y] ~ x gibt. Dieses bezeichnen wit mit ][~, H]I und nennen es den durch q~ vermittelten Bildbereich yon H. Satz 10b. Wenn H eine Menge ist, so ist auch ![q~,HI! eine Menge. (Diese BehaupSung entspricht dem ,Ersetzungsaxiom" yon Fraenke|. Vgl. Fu~note ~).) Es gibt ein H . D i n g .~ bzw. Z, welches yon H bzw. yon H und ~ unabhdngig ist, so daft, wenn H Menge ist, bzw. H Menge und q~ I H - Ding ist,

J[~, HIt = [~,, H]

bzw.

[z, (~, ~)]

ist.

Beweis. (Fiir 10a.) Die Eindeu~igkei~ folgt aus 1.4.~ es bleibt iibrig die Existenz zu beweisen. Wit miissen ausdriicken, da~ es ein y mit. y e l l , [~, y] ~ x gibt. Diese Eigenschaft yon y formulier~ sich so (f nach III. 1.):

[~, y] + A, [~, y] = x , [f, ([H, y], A)] --~ A, [T, YJ = x,

,. If, (([f, ([H, y], A)], [~, y]), (A, z))] ~= A. ~md auf die Normalform gebraeht:

[g, (x, y)] + A (g h~ingt yon H und ~ a b ) . Dais es ein solehes y gibt, bedeutet nach III. 2.

[j, ~] + A. Wenn wir also J =

B(j)

setzen, so wird

[J, x] ~ - { B , wenn es eiu solches y gibt, A, wenn es kein solches y gibe. Das II-Ding J besitzt also die gewiinschten Eigenschaften. (Flit l0 b.) Nehmen wit an, H w~ire Menge, d.h. I II-Diag, und ![~, Nil nicht. Nach IV. 2. miil3te es dann ein II-Ding f geben, so dal~ fiir jedes x ein y mit [ [[~, HIt, y] ~= A, If, ~J -~ x exlstierte. Also w~e y = [ q ~ , z ] , zeI-t, d.h. x = [f, [qb x]]. Wir w~ihlen nun q naeh II. 7., so dal~ If, [r z]] -----[g, z]

6~}~

J.v. Neum~,nn.

ist~ dann gibt es zu jedem x ein z mit z e H, [g, z] x. Alsokaun aueh H kein I II-Ding sein. Wenn H eine Menge, d.h. I II-Ding ist, und folglich [[~, H]I auch, so k~nnen wit I[~, H I ] mi~ derselben Methode' auf die Form [% HI bzw. [X, (H, ~)] (je nachdem nut H oder H land ~ als I I1-Dinge vorausgesetzt sind) bringen, wie bei den S~tzen 3 b, 8 b, 9 b. Beim Reduzieren zur Normalform gewlnnen wir statt =

wieder

[a, , Y>], [h*, <~, ~)], [i*, <~, z>], k* -----2(7")

(g*, h*, i*, b* h~ngen nur yon ~ ab) bzw.

[g**, <<, x>, y>], [h**, <, x>], [i**, <, ~>], k**=2(i *~) (g**, h**, i**, k** sind lest). Dann wird [t[~, H]l, x] = [/c*, (H, x)] und n~ch Hiliss~t~ 3 t[~, H]I = [~, H]

bzw. -----[k**, ((H, ~), x)] ~,.w. ---- [Z,
3. Der Fotenzbereieh (Bereieh aller Teilmengen).

S&tz l l s . H sei ein Bereich. Es gibt einen und nur einer~ Bereich J, ]iir den dann und ~nur dann xe,J inS, wenn x eine Menge und x ~ H i s t . Dieses J bezeichnen wit r M t ~ ( H ) und nennen esden Potenzbereich oder Bereivh aUer Teilmengen yon H. Satz 11 b. Wenn H eine Menge ist, 8o ist auch ~ (H,) eine Menge. gs ~bt ein II-Ding q~', so daft [iir alle Mengen H ~ ( H ) = [q~, H] ist. Beweis. (Fiir 11 a.) Die ~Eindeutigkeit folgt aus I . 4., es bleibt iibrig die Existenz zu'beweisen. Daft x eine Menge und x ~ H ist, l~Snnen wit so susdriicken: [f, ~ ]ffi~A (f nach IV. I.), flit kein y Ix, y] ~ A, [x, y] ~ B, ~ kein y Ix, y] ~ A , [H, y]-----A. Diese Bedingung kSnnen wir auf die gewohnte Art auf die Normalform

[g,~]+A

(g h~in~ nut yon H ab) bringen. Wenn wir noch J ~ .~(g) set~.en, so haben wit das gewiinschte II-Ding hergestellt, da

[J, ist.

~B, wenn die obigen Bed!ngungen erfiillt shad, t A, wenn die obigen Bedingungen nicht erfiillt sind

Die Axiomatisierung der Mengenlebxe.

~97

(~ 11b.) Wir miissen zuerst beweisea: wenn H Menge, d . h . :[ H,Ding ist, so ist es aueh ~P(H). Der zweite Tell der Behauptung ergibt sich dann auf die gewohn~e Ar~: start [g, x] wird [!7"~ (H, x)] :g* unabhi~ngig yon H) gebildet, j * = _~ (g*) gesetzt, woraus wegen

[j*, ] = [2 (H), .] mit Hills yon Hilfssatz 3 2 ~ ( H ) = [~, x] folgt. H sei also ein I !I-Ding. Wit bilden das I H-Ding f nach V. 3, Wenu x e j P ( H ) ist, so ist x ~ H , also gibt es ein y mit x ~ y, y e1~: Da x ~ y ist, und x einBereich ist, so ist n a c h S a t z 7 x - - ~ ( y ) . Wit wi~hlen g nach Satz 7 so, dat~ [y, u] = .~(u) ist, dann ist flit jedes x ej~(H) z = [ g , y ] , y e f . Wir bilden nun einen Bereich J, dez J ~ f ist; das ist offenbar .~(f). Da f sin I II-Ding ist, ist J sine Menge. Wenn x e 2 ( H ) ist, so ist x = [ g , y ] , y e J , d.h. x e jig, J]]; also ist 2 ( H ) ~ ][g, J]]. Da J sine Menge ist, so ist es auch l[g, J]l, und claraus folgt, daft au~h 2V(H) sin I II-Ding, d.h. eine Menge ist. 4. Der Paarbereich.

Satz 12 a. H, J seien zwei Bereiche. Es gibt einen und nut einen Bereich K, 8o daft x e K damit gleichbedeutend is~, daft es zwsi u, v mit u e H , v ~ J , x ~ ( u , v) gibt. Dieses K bezeichn~ wit mi$ I(H, J)l, und nennen es den Paarbereich yon H und J. Satz 12b. Wenn H und J beide Mengen sind, so isi auch f(H, J)l sine Menge. E~ gibt s i n H-Ding ~, so daft /fir alle Mengen H, J

]] =

]

Beweis. (Fiir 12 a.) Die Eindeut4gkeit folgt aug I. 4., es bleibt i~brig die Existenz zu beweisen. Zu diesem Zwecke bringen wit (analog wie bei den Siitzen 3a, 8a~ 9a, 10a, 11a) die Bedingung: ,,Es gibt ein u, zu welchen es sin v gibe, so dag [H, u] + A, [J, v] =b A, (u, v ) = x ist," auf die Normalfolm:

If, x] + A (f h~mgt yon H, J ab). Dana setzen wit K - - - - 2 ( f ) ; K besitzt alle ge. wiinschten Eigenschaften. (Fiir 12b.) Wit miissen zuerst beweisen: Wenn H, J Mengen sind, so ist such ](H, J.)l eine Menge. Die Darstellung I(H, J)l = IT, (H, J)] kSnnen wit dann mit genau de~ gleichen Methode gewinnen, wie die analoge~ Resultate in den Siitzen 3b, 8b, 9b, 10b, l l b .

698

J.v. Neumann.

Also seien H, J Mengen. Wir batten im Kap. II, w 6 den Satz bewiesen: Aus {{u, v}, {u}} -----{{u', v'}, {v'}} folgt u==u', v~--v'; infolgedessen ist {{u, v), {u)} = ({u', v'}, {u'}} mit (u, v) = (u', v') gleichbedeutend. Nun ist aber

{ { u , ~}, { u } } = ~g, <[g, (u, ~>], [h, ~])} = [j, (u, ~>j. Wenn x . - ~ { { u , v}. , { u } } is~, so gib~ es also ein einziges y, fiir welches y = (u', v') und x -= [], y] ist, niimlich y -----(u, v). y = (u', ~') bedeutet y e l ( Q , Q ) i , d. h. [!(Q, T 2 ) I , y ] + A , [k,y]=k A. Diese B e dingungen: [k, y] =t=A, [], y] -= x kSnnen wir ohne weiteres auf die Form

[l, (x, y)] + A bringen; da ein und nur ein y diese Bedingang erfiillt, n~imlich y -~ (u, v), so brauchen wir nur m nach III. 3. zu w~ihlen, und es wird

~m, ~J = u, d.h.

Ira, { { u , ~), (~)}] = . Wenn nun u e H , veJis~, so ist u e H + J , v e i l + J , also {u, v } ~ H + J , {u} ~< H,-f- J, und da es sieh um Mengen handelt, {u, v } e 2 ( H + J), { U } e 2 ( H + J ) . ~ Also ist weiter {{u, v}, {u}} ~ 2(H'-~-J), {{u, v}, {u}} e~P (2~(HA- J)), und schlie$1ieh Ira, {{u, v}, {u}}] e tim, ~P(2~(H+ J))]t, d. h.. ( u , v ) e [[m, ~P(~P(H-4 J))]l. Aus dieser Uberlegung folgt, da$ ](H, J)[ ~ I[m, ]'()'(H+ J))]l ist. Da nun H, J Mengen sind, so sind es aueh H--F J, ~P(H--FJ), ~ ( ~ P ( H + J ) ) , I[m,~P(~P(H-FJ))]I; und folg. lieh ist aueh [(H, J)i ein I II-Ding, d.h. ein Menge.

5. Der allgemeine Potenzbereieh. Satz 13 a. H, J seien zwei Bereiche. Es gibt einen und nur einen Bereich K, /iir den x e K damit gl~'chbedeutend ist, daft x ein I II.Ding iat, und daft /iir ]edes u die/olgende Bedingung er/iillt ist: wenn nieht u e J ist, [x, u] -~- A, wenn u e J ist, [x , u ] e H. Diesea K bezeichnen wir mit H J und nennen es die J-re Potenz yon H. S a t z 13 b. Wenn H und J beide Mengen sind, so ist aueh H J eine Menge. E , gibt ein II-Ding 9, so daft/iir alle Mengen H, J H J -~- [~, (H, J)] ist. Beweis. (Fiir 13a.) Die Eindautigkeit folgt alas .L 4., es bleibt iibrig, die Existenz zu beweisen. Zu diesem Zwecke bringen wit hier die fol. gende Bedingung auf die 5Tormalform: ,,x ist ein I II-Ding, es ist fiir kein u

Die Axiomatisierung tier Mengenlehre,

699

[J, u] = A, ix, u] 4= A, es ist fiir kein u [J, u] 4= A, [H, ix, u~] = Ao" Die Normalform isr

if, x] + A (f hiing~ yon H, J ab). Dana setzen wit K ~ _ ~ ( f ) ; K besitzt alJe gewiinsehten Eigensehaften. (Flit 13 b.) Wir miissen zuerst beweisen: wenn H, J Mengen sind, :~o ist auch H J eine Menge. Die Darstellung H J=

[~, ]

!kS~men wir dann ebenso gewinnen, wie bisher stets bei den anslogen 8s176 Also seien H, J Mengen. Wenn x ell J, u eJ ist, so bilden wit das Paar (u, ix, ~]) und bringen es auf die Form [f~ u] (f yon x abhs Wir bilden den Bereich L~----]if, J]I, seine Elements sind die if, u]~ Da J eine Menge is% is es L~ auth. L~ ist offenbar folgendermaI~en zu charakterisieren: es isg das ein:~ige ~, welches die folgende Bedingung erfiillt: ,.~ is% ebl [ H-Diag. Es gibt kein z, fiir welches einerseits [~, z] 4= A w~ire, und andererseits kein u ,~xis~ierte, fiir welches [J, u] 4= A, (u, ix, u]> = z is~. Es gibt kein z, flit welches ~ , z] 4= B ws und ein u existierr fiir welches [J, u] 4 A, lu, ix, u ] ) = z ist." Diese Eigenschaft kann aber auf dem gewohnten Wege auf die Form [g, ] + a (g ist yon x unabhs Nach III. 3. ist dann

~ wird ale I-Ding angesehen) gebraeht werden.

L~ = [h, ~]. Wean nun x ' e H "T x " e H J ist, so folg~ aus L~,~-'L~,, x ' = x ' . Wegen L 4. geniigt es hierzu zu zeigen, dat~ stets ix', u] -----ix', u] ist. Wegen x ' e H J, x ' e H J ist dies fiir u-s, die nicht zu J gehSren, idar: dann ie~ n~mlich [ x ' , u ] = [ x " , u ] - ~ A . Wit kSnnen also u e J annehmen. ( u , [ x ' , u ] ) gehSrt zu L~,, also auch za L~,,; folglich ist = ( v , ix", v]>. Hieraus folgt aber u v, ix', u] = [x" L :J v] a. h. ix', u] = ix", u]. Wir k6nnen nun ,

x ' s H g,

y=Lz,=[h,x

~]

auf die Form

[i, ] 4= A bringem Wenn y = L x , x e H J ist, so ist dies nut fiir ein x' erfiillt, n~im[ich fiir x ' = x , da jaaus x s H z, x ' e H J, L ~ = L z , x=x'folg%. Wenn wir also k nach IIL 3. wghlen, so wird:

[k,y]=~,

[k,L]=z.

700

J.v. Neumann.

Jetzt sind w i r ' i n der Lage, den Mengencharakter y o n HJzu beweisen. Denn fiir jedes x ~ H J und u e J ist u e J , ( x , u ) e H , also

~u, Ix, u])~ ~g, H)I; folglich ist L ~ I(J, H) I, also L~e2(l(J, H>]). ttier~us folgt welter [k, L~] e Ilk, 2(l(J, H)l)]t , d. h. ~et[/r, 21(J, B)I)] I. Also ist H J ~ l [ k , 2 ( l ( J , B)I)] I. Vnd da H und J Mengen sind, so sind es auch I(J, H)t , 2 ( ] ( J , H)[), f[k, 2 ( [ ( J , H)I)] I u n d folglich ist H J ebenfalls ein I II-Ding, d. h~ eine ~ age, IV. G r u n d b e g r i f f e d e r W o h l o r d n u n g .

1. Die unvollst~ndige 0rdnung. AbschnittelS). Wir beginnen mit der Definition der unvollst~indigen 0rdnunglg): D e f i n i t i o n . H, J seien zwei Bereiehe. Wir sagen, dab J eine unvollst~ndige 0rdnung yon H ist, in Zeichen J , / / 0 H, wenn es die folgenden Eigensehaften hat: 1. Jedes Element yon J i s t ~---(u,v), u e H , v e i l . 2. (u, u)~ ist hie Element yon J. 3. Wenn*(u, v) und (v, w) Elemente yon J sind, so ist auch (u, w~ Element von J. Wenn J U O H | i s t , und u e H , v ~ H ist, so bedeutet u ~ v . . . (J), dal~ ( u , v ) e J ist, u ) v . . . (J), dab ( v , u ) e J ist, u II v . .. (J), dab u + v ist, und weder (u, v) e J noch (v, u) e J ist. Wenn kein Mil]verst~indnis mSglich ist, so schreiben wit auch einfaeh u~v,

u)v

und u H v.

Wit stellen zun~iehst die grundlegenden Eigenschaften der Relationen und II fest: Wenn u ell, v e H ist, so finder stets eine und nur eine der vier folgenden Relationen start: u = v , u ~ . v . . . (J), u ~ / v . . . (J), u ]1 v .., (J): u~v .. (J) ist mit v ) u . . . (J) gleichbedeutend; u It v . . . (J) mit ~, )

is) Wit w~ihlen bier die transitive unvollst~ndige Oidnung zum Ausgangspunkte, aus d e m Grunde, weil dies der Charakter der ,ec]~en Teilmengen-Relafion" oder der ,Subsumptionsordnung" [vgl. G. Hessenberg, Kettentheorie und Wohlordnung, Journal f. Mathematik 185 (1910), S. 81--133] ist, die in unseren Untersuehungen eine entscheidende Rolle spielt. Sonst kSnnten wir aueh yon der bloSen Nicht-Reflexivit~t ausgehen, denn aus ihr, sowie aus der Wohlordnungsbedingung, folgt sowohl die Transivit~t, wie die Vollst~ndJgkeit der Ordnung. 19) Unsere Definition der Ordnung (als Bereich) weicht yon der urspriinglichen Definition derselben dutch Hessenberg [vgl. seine bei is) zitierte Arbeit] ab, sie wurde zuerst wohl yon Hausdorff verwendet. (Eine weitere Definition der vollst~indigen Ordnung gibt C. Kuratowski, Fund. Math. 2 (1921), S. 160-171.)

Die Axiomatisierung der Menge~ehre.

70!

viluo..(J~., Aus u & v . . . ( J ) . , v & w . . o ( J ) folgt u~Wooo:,IJ~,, ~us u~v...(J), v ~ u . o . ( J ) folgt u ~ w . . . ( J ) . Die Beweise dieser /kussagen eriibrigen sieh. Ferner s~eilen wit die uwei folgenden Siitze fiber die unvolist~ndigen Ordnungen yon Mengen auf: Sa~z 14. Wenn H eine Menge is$, 80 ist auch jede unvollstgndige Ordnung yon H e i n e Menge. Es gibt eine und nut eine Men qe K, ]iir die JU'O H rail J e K gleichbedeutend ist. Dieses K bezeichnen wir mit L(O(H). E8 gibt ein Ii-Ding ~o, so daft /iir alle Mengen g O (H) = IV, H] ist. Beweis. &us der Bedingang l~der Definition foig~, d~t~ fiir jede unvoiist~ndige Ordnung J yon H J ~ ](H,H)i ist. Wenn also H e i n e Menge ist, so sind es aueh ',(H,H)i und J. Folglich is~ Je2(I(H,H)I), Wenn wir also die Existenz eines Bereiehes K naehweisen kSnnen, dessen Elemente die unvollstiindigen Ordnungrn yon H sind, so mu[3 K ~ ,P ( !(H, H)[ ) sein, d. h. dieser Bereieh ist eine Menge. Dal~ es nur einen solchen Bereieh geben kann, fo!gt aus L 4. Wir miissen also nur noch die Existenz beweisen; und dann die Darstellung

z/o (H)=

HI.

Es handelt sieh um die folgende Eigensehaig eines ~: ,,$ ist ein I II9Ding. Es ist ffir jedes x [~, x] = A oder [~:, x] = B. Es is~ nie [~, x] =~ A und dabei ffir jedes u und v entweder [H, uJ = d oder [H,v] = A oder (u,v)=~x. Es ist nie [ ~ , ( u , u ) ] + A . Es ist hie [ ~ , ( u , v ) ] + A , [~, (v, w)] ~= A, [~, (u, w)] == A." Wit kSnnen dies a,af die gewohnte Art auf die Form [f, (H,~)J + A bringen ( f ies~ ). Diesen Ausdruek bringen wir zuniiehs~ auf die Form [g, ~] =~ A (gvon H abhgngig) und segzen K - ~ ~(g). Dann hat K die gewiinsehten Eigensehaften. Wenn wir ferner h-----~(f) segzen, so isC offenbar [h, ] = [UO (H), S], und da UO(H) ein I II-Diag isg, sg"kSnuen wir den Hilfssagz 3 anwenden : LfO (H) ~- [q), H]. Satz 15. H, J', J" 8eien Bereiche, J' ~[O H, J" ~[O H. Wenn u ~ : v . . . ( J ' ) mit u ~ v ... (J") gleiehbedeutend ist, so ist J'~-~-J'". Dies ist auch dann tier Fall, wenn aws u ~ v ... (J~) u ~ v ..o ( J~') /otfft, und aus u II*v... (J') u !I v . .. (J') /olgt.

702

J.v. Neumann.

B e w e i s . We~m ~ ~: v . . . ( J ' ) mit u.i: v ... ( J " ) gleiehbedeutend ist, so ist x - ~ ( u , v ) , u / - v . . . ( J ' ) mit x ==(u',v'), u'.i: v ' . . . ( J " ) gleiehbedeutend, d.h. x e J ' mit X~'J". Also ist J ' ~ J", J ' = J " . Wenr~ aus u ~ : v . . . ( J ' ) u ~ : : v . . . ( J " ) folgt, und aus u l i v . . . ( J ' ! u ii v . . . (J"); so miissen wir noeh zeigen, dal~ aus u ~ v . . . ( J " ) u ~ v... (J:~ folgt. W/ire es nicht so, so wiire et~tweder u == v oder u ' ~ v . . . (J'), d. h. v ~ u . . r ( ' J ' ) oder u ! i v . . . ( J ' ) ; also entweder u=:-v oder v ~ u . . . ( J ~ ' , d. h. u f> v . . . ( J") oder u '~i v . . . CJ"), entgegel~ u ..'~v ... ( J"). -- Welter definieren wir die Absehnitte in unvollgtiindig geordneten Bereichen: D e f i n i t i o n . H , J seien zwei Bereiche, Jl2"OH. Wir nennen eineJt Bereich H ' einen Absehnitt des nach J geordneten H, in Zeiehen H'.2fbs H, J. wenn H ' ~ H isg, und wenn es noch die folgende Eigenschaft besitzt: Alls x e H ' , y e H ~ H ' folgt x ~ y . . . ( J ) . ~") -- Wir definieren nun eine'Klasse yon echten Teilbereiehen sines unvol!stiindig geordneten H, die wit die ,durch x bestimmten ~bsehnitte im nach J geordneten H'" nennen werden. Diese Bezeichnung erm6glieht insofern Mil3verstiindnisse, als diese Bereiche im allgemei~len weder s~mtlich Abschnitte im nach J geor, tneten H sited noch al'le Abschnitte zu ihnen gehSren. Wit werden aber in den w167 5, 6 dieses Kapite]s zeig~n: fiir ,,vo'llstiindige Ordnungen" (vgl. deft) sind sis siimtlich Absehnit~e, und fiir ,,Wohlordnungen" (vgl. deft) sind sic sogar im wesentlichen die einzigen Absehnitte (Satz 31). S a t z ll}a. H, J seien Bere~;che J U C ) H und x e H . Es gibt einet~ und nur einen Bereich H', so daft y ~ H ' mitt y ~ x . . . ( J) gleichbedeute~d ist. Wit bezeichnen dieses H ' mit _2fbs (x; H, J) ~lnd nennen es den vet, x bestimmten Abschnitt im nach J geordneten H. S a t z 1lib. Wenn H (also auch J) sine Menge ist, so ist es aitch .)qbs(x; H , J ) . Es gibt sin I I . D i n g q~, so daft /iir alle .~Iengen H, J und alle x e H

.]lbs(x; H, J) = [~, <, x)] ist. Es gibt ]ernst zu jedem H, J, J I [ O H, sin (nut yon H, J abMingiges) H - D i n g V', so daft /fir alle x e H , /iir die .2fbs(x; H , J ) eine Menge ist, . ) f b s ( x ; H , J ) - ~ [V,, x] ist. (Wenn H eine Menge ist, so sind naeh dem vorangehenden Satze aneh alle .)fbs (x; H, J) Me~g'en; es gibt abet auch unvollstiindig geordnete Bereiche, d,e kdine ~Iengen sind, fiir welche dies zutritft. Ja, es gibt sogar zu jedem Bereiehe iiberhaupt eine unvolist~indige Ordnung -- die iibrigens ~,) Es kiime auch die Bcdingung ,,aus x e H', y ~ x... (J) folgt y e H'" in Frage. 1oib:vollst;indige Ordnungen (vgl. K~p. IV, w 5) kommt beides auf dasselbe heraus, und bier hrauchen wir~r Definition fi~r Satz 17.

Die Axion~isierung der Mengenlehre.

70~

eine Wohlordnung ist [vgI. Kap. IV, w 5] - - ffir welehe die~ zutrifft [vgk die S~tze ~1 uncl 54]). Beweis. (Fiir 16a.) y e H , y ~ x . . . ( J ) bedeute[~: ; [ L y ] + A , I J, (y, x)] ~=A, was auch so geschrieben werden kann: .Ff, ~ yli + A (fh~ngt yon H, J und x' ab). H ' = 2 ( / ' ) hat offenbar die gewfinsehten Eigen~ehaften. Die Eindeutigkeit folgt aus L 4. (Ffir 16b.) Der Mengen-Charakter yon ~ b s ( x ; H , J ) fo]g~ aus ~ b s (x; H, J)<~ H. Die beiden Darste]lungen yon ~ b s ~ x ; H, J) ergeben sieh auf die gewohnte Weise. -S a t z 17. H~J 8eien zwer Bereiche, es sei J U O H . Wenn K', ~s zwei Abschnitte de8 nach J geordneten H sind, so i85 K ~-- K"~ oder Bewei~. Wir miissen zeigen, da~ K P ~ K ~ oder K " ~ K ~ist. Wenn nicht K ~~ K" ist~ so gibt es ein x e K', welches rScht Element von K" is~. Wegen K ' ~ H ist x e H , also ist x e H - - K". Aus y e K " folgt also y<~z. W~re nun y nieht Element yon K ~, so w~re es ein Eiement yon H - - K ~ denn wegen K ' ~ H is~ y e l l . Foiglieh inflate x . ~ y , y ~ x sein. y ~ x und y % x sind aber inkopatibeI, also folgt aas y eK" y e K ~, d.h. es ist

K"~ K'.

~. Auferlegte und fibertragene Ordnung. Die Subsumptionsordnung. Wit definieren zwei :~rten der Orclnungs-Definition ffir einen Bereieh mit Hflfe eines andern, ~'eits e~ne Ordnung bes~tzenden Bereiehe~. Sa~z 18a. H, J se~en Bereiche, J~[OH. H' sei ein Bereieh und H! ~ H. Es gib~ dztnn ein .und nut ein J~ l[O H ~, /i~r welches bei allen u e H ' , v e i l ' die Relationen u ~ v .~ (J!) (~ ist eine der Relationen ~; ~ , H) bzw. mit u ~ v . . . (J) 9leichbedeutend sindo Die~e8 J~ bezeichnen

wit mit ( ~ ) d und nennen es die dem H' dutch H, J au/erlegte Teilordnung. Satz 18b. Wenn H eine Menge ist, so Bind o]]enbar auch J~ H ~ und ~\--~) J Mengen

JUO

H' ~ H, (tt' -It-) Jb'O H'). E8 gib~ ein

H-Ding q~, so daft in diesem Falle stegs ( H~ -H,) J~-- [q~, ((H, J), H')] is$. Es gibt /er zu ~edem H, J, Jl~O H, ein II-Din9 V,, so daft /i~r aUe H ~ H, die Mengen sind,

{H')

704

J.v. Neumann.

Beweis. (Fiir 18a.) Die Eindeu~igkeit folg~ aus Satz 15. Daft es ein solches J* gibt, sehen wir daran, dal3 I(H', H'). l . J alien hnforderungen geniigt. H' (Flit 18b.) Da ( - ~ ) J = [ < H ' , H ' > I . J ist, so ist es klar, da~ alle Bedingungen beziiglioh der Darstellbarkeit erfiillt sind. Satz 19a. H, J seien B~reiche, J U O H . q~ sei ein H-D~ng, daft /iir'alle u e t t , v e i l aus u=~v [ ~ , u ] ~ : [ ~ , v ] /olgt; /erner H'--I[r Es gibt dann ein und nur ein J' UO H', ~/i~r welches allen u e H , v e i l , u ' = [ ~ , u ] , v'=[q~,v] (also u ' e H ' , v ' e H ' ) die

so sei bei Re-

lat~o~e~ u : v... (z) (~ ei~e de~ Re~tionen ~, 5 , II) b~w. ~ t ~" + ~'... (J') yleichbedeutend sind. Dieses J' bezeichnen wit mit [ ~ ] J (uge man teicht Meht, Mingt es blofl yon q~ und J ab, abet nicht direIct yon H oder H'), und nennen es die au/ H' dutch q~ yon H, J i~bertragene Ordnung. Satz 19b. Wenn H eine Menge ist, so sind o//enbar auch J, H' und [ T ] J Mengen (wegen Jl[O H, H ' = [[q~,H][, [ ~ ] J / / O H ' ) . Wenn auch qD ein 1 H - D i n g ist, so gibt es ein (yon H, J, ~o unabMingiges) 11Ding y~, so daft in diesem Falle stets [~] J = [y~, (r J)]

ist. Wenn is qD nichts vorausgesetzt wird, so gibt es ein Yon q~ abhdngiges (abet van H, J nicht direkt abh~ngiges) H - D i n g g, so daft

ist.

[~] J = [z, J]

Beweis. (Flit 19a.) Die Eindeutigkeit folgt aus Satz 15. DaB es ein solches J' gibt, sehen wir folgendermal~en ein. Wit setzen

([~ u], [~v]) = If, (u, v)] ( f abhiingig yon ~), und bilden J ' = I[f,J][. J ' besitzt oftenbar die geforderten Eigenschaiten. (Flit 19b.) Der zweite Tell ist evident, da ja

[v]J-= [If, J]l= [x, J] ( f u n d g yon r abh~ingig) ist. Um den ersten Teil zu beweisen, we ,~ ein I II-Ding ist, reduzieren wit ( ( ~ , u ] , [q~,v]) zu

[h, (q~, )] "') (h lest).

[~]J=J!

ist offenbar dadureh eharakCerisiert, dal~ x ~ J ~ mit

81) Der Hilfssa~ 1 ertaubt eigentlich nicht, diese Form herzustellen. Wir helfen uns so: wit k~nnen jedenfalls auf die Form [h ~, <, ~>'] bringen. Dies ist ein Ausdruck von ~ und (u, v), kann al~o auf die Form [h, (~,
Die Axioma~isierung tier Mengenlehre.

705

x e J gleichbedeu~end ist. Wit bringen darum die iolgende Bedingung auf die Normalform: ,,} is~ eia I II-Ding. Es ist ~fir kein x' [~, x'] + A und'dabei fiix kein x x ~ = [h, ], [J, x] + A. Es ist fiir kein x' [$,x'] + B und dabei fiir ein x x ~ = [h,<~, x>], [J, x] ~ A." Die Normalform is~ natiirlich x~-~-[h,<~v,x>~;

d>,

+ A

(j test). Da dieser Bedingung ein einziges ~ geniigt, niimlich [ c p ] J = J ' , so ist nach IIi. 3. [V] J = ['~, (V, J)]Schliel~lich geben wit diejenige unvollst~ndige Ordnung an, die uns als Ausgangspunk~ bei der Flerstellung aIler iibrigen Ordnungen dienen wird, die sogenannte ,,Subsumptionsordnung"'z:). Wir definieren zuers~ ~P(~9)-----Q*, Eiemen~e yon Y2* sind diejenigen Mengen H, die ~ ~ sind, d.h. alle Mengen iiberhaupt. Das hei~: Y2* ist der Bereich aller Mengen. .Q* is~ auch keine Menge, denn es is~ offenbar S(~Q*)= Q, mi~ ~ * mill]re also auch Q eine Menge sein. Satz 20. Es gibt ein und n u t ein J l[O ~J*, ]iir welches u ~ v . . . (J) mit u < v gleichbedeutend ist. ez die Subsumptionsordnung.

Dieses J bezeichnen w i t mit z~ und nennen

Beweis. Die Eindeu$igkeit folgt aus Satz 15. Die Existenz sehen wit so ein. Wit bringen die folgende Bedingung auf die Normalform: ,Es gib~ ein u, zu dem es ein v gibt, so dab u s ~ * , v e ~ * , x = ( u , v ) , u
[f, x] + A. Wit se~zen dann J = schaf~en.

~(f), J besitz~ offenbar alle gewiinschten Eigen-

3. Eigenschaften der auferlegten and der iibertragenen Ordnung. Wir geben noch einige triviale Eigenscha~ten der in den letzten Paragraphen aufgestellten Begriffe an. In der ,,naiven Mengenlehre" ist es meistens gar nicht iiblich diejenigen Distinktionen zu ~reffen, die uns in diesen Paragraphen besch~ftigen: so wird z. B. kaum zwischen einer Ordnung und den dutch dieselbe den Teilbereichen auferlegCen Teilordnungen unterschieden. Die axioma~ische Methode zwingt uns zu einer gr51~eren Exaktheit, und so kSnnen wir die etwas langwierigen und dabei fast du~chwegs trivialen Uberleg~ngen der w167 1-2-3 nicht umgehen. :2) Dieser Ausdruck stammt yon Hessenberg (vgl. seine bei Is) zitietCe Arbeit). Mathematische Zeitschrift~ XXVIL 45

706

J.v. Neumann. Es gelten die hflgenden Siitze: tt, H r, H" und J seien Bereiehe, J / / 0 H and H" ~ H' ~< H. Dann

ist

J = \ H, ) \ H ) . -- H und J seien Bereiche, 9, ~ II-Dinge.

Es sei Jl[OH. Ferner setzen wit H r = 119, H'][, H f r = l[yJ, Hr]]. Aus ueH, veil, u + v folge [9, u] + [9, v]; aus u' eH' v'eH', u' + v' folge [~, u r] + [ ~ , v']. Wir setzen [g, u] = [W, [9, u]]. Es ist offenbar H " = I [ Z ,H]I , und aus u e H , veil, u + v folg~ [Z, u] @ [Z, v]. Dann ist [ Z ] J = [~] [gJJ. ~ H, H' und J seien Bereiehe H'~< H; 9 sei ein H-Ding. Es sei J U O H . Aus ueH, veil, u~=v folge [9, u] +[q~,v]. ', I[~, HI! All dies ist mit Hilfe von Sat: 15 sofort einzusehen. Ferner gilt: H , H ' , J seien Bereiehe, 9 ein II'Ding. Es sei J U O H . Aus u e H , v~H, u + v folge [9, u ] + [ 9 , v]. Wenn H',flbsH, J ist, so ist such [9 r H']l.)fbs 119, H]I, [9] d. -- H und J.seien Bereiehe, 9 ein II-Ding. Edsei Jl[OH. Aus ueH, yaH, u + v folge [9, u]+[q~,v]. Dann ist ![9, J b s J)]l = . bs ([9, 4, I[9, H]I, [9] J). Diese Behauptungen sind trivial.

4. ~hnliehkeit. Die Xhnlichkeit definieren wir folgendermal3en: Definition. H, H' J, J' seien Bereiehe, es sei J U O H , j r U O H , . Wir sagen: H, J ist dem H', jr ghnlieh, in Zeiehen: H, J ~ H', jr, wenn es ein I[-Ding 9 mit den Iolgenden Eigenschaften gibt: Aus xeH, y~H, x + y folgt [9, z] + [9, Y]. Es ist H r = ![9, 1t]I, J' = [9 ] J. Diese Eigensehaften yon 9 driicken wir so aus: H, J ~ HrJ'... (q~). Vet allem benStigen wir den folgenden Sat:: S a t : 21a. Wenn H, J ~ H', J' ist und H eine Menge ist, 'so ~ind es auch J sowie It' und J'. Ferner kann ein I H-Ding 9 immer ao gewdhl$ werden, daft H, J ~ H', J' ... (9) ist. Satz 2lb. Es gibt effn II-Ding y~, so daft /fir aIle Mengen H, J, H', J" die Relatlonen JUO H, J' UO H r, H, J ~ H', J' mit der Relation [y~, <<( H, J), H'), J')] + A gleichbedeutend sin& Es gibt ein II-Ding Z, so daft /iir alle Mengen H, J, H', J' und alle III.Dinge q~ die Relationen J U O H , j r u o H ' , aus xeH, y e l l , x • y /o/gt [9, x] + [9, Y], und sehlieflieh 1t, J ~ H', j r , ..(q~) einerseits und die Relation [7., ((((H, J), H'), J') , 9)] ;~ A andererseits gleivhbedeutend sind.

~ 0 Axiomatisierang der Mengerdehre. ~

:707

Beweis. (F.fir 21a.) Wegen Jg[OH, H ~= i[~o, I~l, J~&~OH~ sind H auch J, H', jr Mengen. Aus H, J ~ H', J ' . . . (~0) fol~, wie

man sefor~ sieht~ H, J ~. H', g' ~176(~~- 1i O ~ !0'~ ~ H ist ; ~ und wegen (\~,s dieses ein I II-Ding. (Fiir 21b.) Der Beweis des zweitgn Teiles benStigt keing n ~ e r e Er]iiu~emng: Wit kSnnen dig dor~ formulier~en Bedingangen aus dem bgkannten Wege auf die gewiinsehte Normalform bringen. Der erste Teil folgt aus dem zwei~en auf Grand tier Bemerkung in 8atz 21a: H,J.-~ H',J' ist sehon damit gleiehbedeutend, dal] flit gin r H ,J>,H'),J'>,~2>]q=A XII-Ding ~ H , J . ~ - . H , J ' . | ($o), d.h. [Z,<<<< is~. Dies kann mff die gewohnte Ar~ (in diesem Falte hauptsgchlicb mit Hilfe yon Axiom IV. 1. und III. 2.) zu [W, << J'>] 4=A nmgeformt werden. Wei~er brauchen wit die identische, die symmetrische und die t.ransi~ive Eigens'chaft der s Sagz 22.

g"

H,J, H',J', H " , J " 8eien Bereiche, JUOH, JPO&:H~.

U O H".

Es isl H, J'-~ H, J. Aus H, J ~ H ' J' /olgt H', J' ~ H, J. H, J ~ H', J', H', J' "-~ H", J" /olgt H, J ~ H", J".

Aus

Beweis. Die erste Behauptung ist trivial: denn flit [ ~ , x ] = x (q~ naoh :[I. 1.) ist H, J ~ . H, J . . . (~). Die zweite Behaupttmg beweisen wir so: Wenn H, J ~ H ~, J~, d.h. H,J ~ H', J' ,.. (~o) ist, so ist (wie man ]eicht sieh~) H', J ' ~ H, J... (W), falls flit xeH, y e l l ' y = [T, x] mit x = [W, Y] gleichbedeu~end ist. Ein ~olches ~, ist aber leieht herzustelten: denn naeh den AnnaJamen fiber ~o gibt'es zu jedem y e l l p ein und nur gin x e H mit [q0, x] = y > also kann dies auf die bekannte Ar~ auf die Form IV, Y] gebracht werden. Die drittg Behaup~ung is~ wieder fast trivial: denn wenn H, J ~ . H , J ; H', g' ~ H", J " is~, d. h. H, J~-~ H', J ' . . . (qo) und H', g' ~ H", J " . . . (V), so ist (wie man leicht sieht) H, J ~ H", J " . . . (Z), falls [Z, x] = [W, [~, all is~. Ein solches Z existier~ abet nach II. 7. SchlieBlich beweisen wit noeh: Sa~z 23. H, J, H', J' 8eier~Bereiche, J ~[O H, J~ g[O H'. ~ sei ein H-Ding, /erner 8eien 17, H ' Bereiche 17 ~ H, 17' ~ H' und H' = I[~o,H]I,

U".~---l[Oo, i~r]l. Beweis.

Dann /olgt aus H, J ~-_,H', J' 9.. (m) H, -- ( ~ ) J ~ H --" ,

Folg~ unmi~gelbar aus der Definition der Xhnliehkeig. 45*

708

J.v. Neumann.

5. Vollsfiindige. and Wohlordnung. Wit sind nun so weir, dai3 wit die Begriffe der vollst~indigen und der Wohlordnung aufstellen kSnnen. Definition. H, J seien Bereiche, J U O H . Wit nennen J eine vollst~indige Orclnung yon H, in Zeiehen: J Y O H , wenn es die folgende Eigenschaft haG: Fiir kein u e H , v e i l ist u l l v . . . (J). Wir beweisen einige einfache S~itze fiber die vollst~indige Ordnung. Satz 24. Wean H eine Menge ist, so gibt e~ eine und nut eine Menge K, liar die J})O H mit J~ K gleichbedeutend ist. Wir bezeichnen dieses K mit ))O( H). Es gibt ein I1-Ding q~, so daft /i~r alle Mengen H

vo (1t)= [v, HI ist. Beweis. Dies wird analog zu Satz 14 bewiesen. die folgende Aussage auf die Normalform

Wir miissen hier

[f, ] ~= A bringen: ,,JeZ[O(H), und es gibt kein u, zu dem es ein v gibe, so daft [H, u] ~ A, [H, v] ~ A, u :#: v, [J, ] ~- A, [J, ] = A (d. h. u e H, v eH, u ti v . . . (J)) ist." Alles fibrige geschieht genau wie bei Satz 14. Satz 25. H, J, H', J' seien Berr J U G H, J' UO H', H, J ~ H ' , J'. Dann ist J }) 0 H mit J' }) C) H' gleichbedeutend. H, J, II%eien Bereiche, Jl.gO H, H' <~H. AusJ PO H/olgt J PO H'. Beweis. Diese Behauptungen sind evident. D e f i n i t i o n . H , J seien Bereiehe, J U O H . Wenn u e H ist und aus v e t t u ~ ' v . . . ( J ) bzw. u ~ . v . . . (J) folgt, so nennen wir u ein erstes bzw. letztes Element des naeh J geordnetem H. Satz 26a. H, J seien Be~eiche: J U O H . Das nach J geor,dnete H hat k'ein oder ein und nut ein erstes bzw. letztes Element. Satz 26bi Wenn H, J Meng. en sind, so gibt es zwei TI-Dinge ~, y~, so da# [,p, ] dieses erste bzw. letzte Element. Beweis. (Flit 26a.) Diese Behauptung ist evident. (Fiir 26b:) Wir kennen die Bedingung ,,Es ist [H, u] =~ A, und fiir alle v ist [H,v]--=-A oder u : v oder [J, ] :~ A bzw. [J, (v, u>] :~ A"

Die Axiomatisierung der Mengen~ehre:

709

au~ die gewohnSe Art auf die Form

If, <
A

brjngen. Dann liefern IIL 2. und III. 3. die Behauptungen. Satz 27. H, J, H', J' seien Bereiche, J f f O H , J ' f f O H f , H, J ~ H', J'. Des nach J gec~rdnete H hat dann und nut dann ein erstez bzw. letztes Element, wenn des navh J' geordnete H" einez hat. Wenn H, J ~ H', J' ..0 (~) ist, und des erstere u is$, so ist da~s ~etztere [q~, u ]. Beweis. Diese Behauptuugen sind eviden% Nun definieren wit die Wohlordnung. D e f i n i t i o n . H, J seien Bereiehe, Jb[OH. Wit sagen: J is~ eine Wohlordnung yon tt, in Zeiehen J)~2OH, wenn fiir jeden Bereieh H ~ H, / H'\ Hp H ~ 0 des nach ~ - ~ ) d geordnete ein erstes Elemen~ hat. Sa~z 28. Wenn H eine Menge {st, so gibt es eine und nut eiue Menge K, ]i~r die J e K mit J~ZO H gleichbedeutend ist. Dieses K bezeivhn~n wit mit )~0 (H)o Es gib~ ein II-Ding ~ so daft ]i~r alle Mengen H w e (H) = [~ , H] {st.

Beweis. Aueh bier wird alles in voller Analogie zu den Sgtzen 14 und 24 bewiesen, nut dal~ bier die folgende Bedingung auf die Normalform [f,
H'.

Beweis. Diese Behauptungen sind evident. 6. Abschnitte in vollst~ndig- und in wohlgeordneten Mengen.

Satz 30. H, J seien zwei Bere~che. Aus J ~ ) O H /otgt J})OH~ aus J})O H /olgt J l[O H. Fiir eine Menge H ist also

WO(H) <~ FO(H) <~ UO(H). Be~eis. Dal~ aus J } ) O H J U O H folgt, ist kl~r. Wir miissennoch zeigen: Aus J)~)OH folgt J})OH.

710

J.v. Neumann.

Es sei also J ~ O H . l~ehmen wir an, es w~re u e H , v e i l , ul]v...(J). Dann "i~t ( u , v } ~ H , { u , v ) ~ = 0 , also hat ( u , v } ein erstes Element. Dies sei x. Wegen x e ( u , v } ' i s t x = u odor x = v . Aus x - ~ u folgt wegen v e { u , v }

aus

= v wegen

u

v}

Beides ist mit u l l v . . . (J) unvereinbar. Also ist J Y 0 H. Satz 31. H, J seien Bereiche. Wenn J F O H ist, so sind die /olgenden Bereiche Abschnitte des nach J geordneten H: H und alle O~bs (u; H, J), ue H. Wenn sogar J~20 H ist, so sind diese die einzigen Abschnitte. Beweis. Da~ H. ein Abschnitt ist, ist kiar. Fiir 3~bs(u; H, J) sehen wires so ein: Es sei xe yqbs(u; H, J) und y e l l - - .2qbs(u; H, J), d.h. x e H , y e l l und x ~ u . . . (J), aber nieht y ~ u . . . (J). Das letztere bedeutet aber wegen J Y O H y ~ u ... (J), woraus sofort das Gewiinschte, x ~ y . . . (J), folgt. Damit ist die erste H~lfte unserer Behauptung bewiesen. Es bleibt noch iibrig die zweite zu beweisen, d.h. zu zeigen, da~ im Falle J ~ f O H keine weiteren Absehnitte existieren. Wi~ kSnnen dies so formulieren: Aus H'.y~bsH, J folgt H ' - - - H odor H ' ~ - 3 ~ b s ( u ; H , J ) mit u e H . Odor aueh: Aus H' < H, H ' - f b s H, J folgt H' = .fibs (u; H, J) mit ~/, e H .

Es ist n~mlieh H -

H' ~ H, H -

H' =~ 0, also hat das nach -(~-~fl--') J

geordnete H - - H ' ein erstes Element. Dieses sei u. Wegen u e H - - H t folgt aus ~e H t x ~ u 9 . . (J), d.h. x e - f b s ( u ; H , J ) .

Aus x e H - - H' folgt hingegen u "_~x... ( ~ ) J ,

u :___-x... (J).

Odor: Aus x ~ u . . . ( J ) (d.h. x e - f b s ( u ; H , J ) ) folgt x~H'.. D.h. x e H ' ist mit x e - f b s (u; H, J) gleiehbedeutend, also ist H 1 ~ - f b s (u ;'H, J), H' = - f b s (u; H, J). Dabei ist u e H - - H', u e H. V. T h e o r i e d e r Ordmmgszahlen. 1. ZRhlung, Ordnungszahl, ZRhlbarkeit. Wir haben nun alle Grundlagen entwiekelt, die uns instand setzen das ttaupthilfsmittel der allgemeinen Mengenlehre, die Theorie der Ordnungszahlen, zu en~wiokeln (vg!. die Bemerkung im Kap. I, w 3).

Die Axiomatisierungtier Mengel~ehre.

qtl

Unser Begfiff der ,Ordnungszahl" beruh~ auf dem Hilfsbegriffe der ,~Z~h]ung". Wit definieren diese zwei Begriffe ~0|genderma~en: Definition. H, J seieu Bereiche, J}CPGH. Wit nennen ein ILDing 9 eine Z~ihlung des nach J geordneten H, in Zeichen: 9 Z H, J~ wenn es die fo~genden Eigensehaften besitzt: 1. Es ist 9 ~ H , d.h. wenn nicht x ~ H ist, s o i s t [9, x l ~ A o 2. Wen is , so [9, x] = [[9, H, J)]I. Wean 9 eine Z~alung des naeh J geordneten /ar ist, so nennen wir den Bereich P = 119, H]I eine Ordnungszahl des nach J geor4neten H, in Zeichen: P OZH~ J. Ferner nennen wit das naeh J geordnete H z~ihb bar, in Zeiehen: Z H , J, wenn es Z~hlungen (also aueh Ordnungs~ahlen) ctesselben gibt. SehlieBlieh nennen wit einen Bereieh P eine 0r&mngs~ zahl, in Zeiehen: P O Z , wenn es zwei Bereiche H, J, J ~ 2 G H gibt, ~o ~ia~ P O Z H, J is~, Ehe wit diese Begriffe nhher un~ersuehen~ sprechen wit einige a|lgemeine Aussagen iiber ihre formale Darstellung aus. Satz 32a. Wean Heine Menge iet, so wissea wit, daft ]edes J ~ O H eine Menge iS. ]$8 ist aber auch ]ede Zghlung 9 des nach J geordne~ea H ein III-Ding, und ]ede Ordnungszahl P de.~selbea ein~ Menge. SaCz 32b. Wean H, J, P Meagea sind und 9 ein 1 H - D i n q ist, 8o ~assea sieh vier H - D i n g e ~v, Z, ~, ~ angebea, so daft 9 Z H, J mit [y , ( ( H, d) , 9 ) j ~ A gleichbedeutead ist, P O Z H, J mit [g, ( ( H~ & , P) 1+ A ~ Z H, J mit [~ , ( H, J) J =~A , und P O Z mit [~ , P ] + A gleiehbedeutend i,t. Beweis. (~'iir 32a.) 9 ist ein III-Ding, wei| 9 ~ H is~, P eine ~enge, well P = [[9, H]] ist. (Fiir 32b.) Um 9 Z H , J auf die Form [ y ~ , ( ( H , J ) , 9 ) ] = ~ A zu bringen, miissen wit nut die Bedingungen 1. und 2. 4er Defini$ion derar$ umformen, was auf dem gewohnten Wege ohne weiteres geht. P O Z H , J bedeute$: ,~Es gibt ein I H - D i n g 9, ~iir welches [~v, ((H, J), ~v)] ~= A ist und P = l [9~ H]] ist." Aueh dies kSnnen wit anf die gewohnte Art auf die Form [g~ ((H, J), P)] =~ A bringen. Die beiden ]etzten Darstellungen schliel$1ieh erhalten wir dutch einige einiaehe Umiormungen and Anwendung yon ][IL 2. Es 1st kiar, wie man dabei zu verfahren hat. Wenn wit K = 2 ( r seSzen, so erhalten wir einen Bereieh, der al|e Ordnungszahlen engh~ilt,die Mengen sind, and nor diese. Wegen L4. gibt es nor ein einziges solehes K; wir bezeiehnen dasselbe mit D**, Da alle Ordnungszahten Mengen sind, so ist D * * ~ D * < ~q. (Wit wissen, daiS D,/2* keine Mengen sind, und i m w 6 werden wit beweisen, dal~ aueh ~2"* keine Menge is$.)

712

J: v. Neumann.

2, Eindeutigkeit der Ziihlung. S a t z 33. H, J seien Bereiche, JhYO H. Wenn iiberhaupt Z H, J ist, so 9ibt es ein und nut ein II.Ding q~ mit q~Z H, J. Beweis. Wit miissen zeigen: Aus cp' Z H, J , cp" Z H, J folgt q/ -~ qJ". Naeh I. 4. geniigt es hierza nachzuweisen, dab stets .[qo', x] ~- [~", x] ist. Da fiir alle x, die nieht zu H gehSren, [~', x] : [~", x] = A ist, kiinnen wit uns auf die Elemente x von H besehr[inken. Nehmen wit also an, es gebe ein x e l l mit [~', x] =~ [qJ', x]. Wit kSnnen diese Bedingung unschwer auf die Form [f, x] @ A (f unabhiingig yon x) bringen; dann ist H * ~ - ~ ( f ) ein Bereieh, dessert Elemente aUe x mit xeH, [~o',x] + [ q ~ " , x ] sind. Es is~ H * ~ H , und nach Annahme ist H* ~= 0. H* Also hat das nach ~,(--if/J geordnete H* ein erstes Element, d. h. e8 g i b t e i n x e H * derart, daBfiir jedes yell* x ~ y . . . ( - - fH* f)J, x~y...(J),

y~x...(J)

folgt. Oder: Aus y ~ : x . . . ( J ) Iolgt y e H - - H * . Wegen xeH* ist [ ~ ' , x ] ~ [ ~ " , x ] , also t[cp',.)~bs(x; H, J)]! @ l[ep", .)qbs(x; H, J)]l, Da fiir aUe y~ J?bs(x; H, g) y ~ x ... (J), also y e l l - H*, also [~', y ] = [cp",y] ist, so muff trotzdem [[qJ', .)~bs(x; H, J)]l ----I[~", .fibs(x; H, J)]l sein. Das ist ein Widersprueh. Fiir z~ihlbare nach J geordnete H sind also Z~hlung und Ordnungszahl eindeutig festgelegte Begriffe. Wir bezeiohnen dieselben mit Z(H, J)

bzw. O Z ( H , J). . Wenn H, J Mengen sind, so folgt dann aus Satz 32b (dutch Anwendung von III. 3.) die Existenz zweier II-Dinge ~, v2, fiir welche in diesem Falle stets Z(H, J) = [cf, (H, J)], OZ(H, J) = [~v, (H, J)] ist.

3. Existenz der Z~ilflung. Satz 34. H, J seien Bereiche, J ~ O H . auc]~

iede~ ueH Z )r

Beweis.

Wenn Z H, J ist, so ist

H, J), (.Zb~(~;B,J)~j, :-~ - - ] und es ist

Wit setzen f = \ f[l ~z(~,J)10 -H,-3)/

und behaupten:

f Z . f l b s ( u ; H, J), (fibs(u;H H ' J ) ) J . Es gilt n~mlich: Wenn nieht x e .)~bs (u; H, J) ist, so ist [f, x] = [O, x] = A.

Es ist

Die Axiomatisierung der Mengenlehre.

713

Wenn ze27bs(u; H, J) ist, so is~ If, ~] = [ z ( R , J), ~]. Fotglich gilt fiir alle y e .Abs (x; H, J) ( da dann auch y e .2~b3 (u; H, J) iS~)

[f, y] = [Z(H, J), y], und darum is$:

= I[f, .2fbS (x; H, J)][ = t[Z( H, J), :27~s (x; H, J)][ ---- [Z(H, Z), x] --= [f, x]. Also ist wirklich f Z A b s ( u ; H , J ) , - - ( f l b s ( ~ / / ' g ) ) j . Und hieraue iolgt weiter:

o z ( s b , (u; z,

-,

j) = I r, -fb (u;

J)Ji

,~][Z(H, J), j~bs(u; H, J)]]-~ [Z(H, J), 'u]. 8 a t z 35. H, J seien ~ereiche, JlCOH. Wenn /iir jedes u e H Jfbs(u; H, J) eine Menge let und Z )fbs(u; H, J), (2fbS(HH'd)) J, ~o ist auch Z H; J. Beweis. Nach )mnahme existier~ far jedes us H

and ist eine Menge, wir kfnnen es also auf .die Form If, u] bringen (f yon

(rt0~

H, J abhiingig, vgl. den Sehlul~ yon w 2). Wir segzen g = \ H / ; dana :isg Iiir ulle u, die nieht Elemente yon H sind, It, ul = [o, u! = A und fiir aide u , die Elemente yon H sind,

Wit behaupten nun: g ist eine Zghlung des nach J georchae~en H, womit unser Satz a u c h bewiesen w~re. Da Iiir alle u die nieht zu H gehSren, [g, u]-----A i s L geniigt es die Elemente u von H zu betrachten. Es sei ueH, wir setzen der Kiirze. halber 3fbs(u; H, J)= H*. Dann gilt flit alle x e H * : [Z (H*, H*

x]

-

= O g (.fibs (x; H, g), [2gaa(x; ~ H I-1,J)) a ) = [g., x]

~-u-)

714

J. v. Noumann.

Und hieraus folg~

][g,.Y~bs(u;H,j)] 1_---][g, H,]I = [Z(H, ' (__if)H*j), H*]

Damit ist die Behauptung bewiesen. Satz' 36. H, J sden Bereiche, J~fOH.

Fiir jedes xeH sei

.fibs(x; H, J) vine Memye. Dann ist Z H, J. Beweis.

Nehmen wit das Gegenteil an.

auoh night ~ r alle x e H Z : b s

Nach Satz 35 kann dann

( x ; H , J), ( : b s ( ~ - , J ) ) j

sein.

Wir k6nnen diese Eigensehaft: ,x e H und es ist nieht Z.2~bs (x; H, J),

( : b ' ~ ? " :~)J ,, au~ die ge~ohnte A~t a~ d~e r o ~ El, ~l + A b~ingon ( f i s t von H und J abh~ingig). Wir bilden weiter H*=2(f), dann ist H* ein Bereich und seine Elemente sind ally x ell, fiir die nicht

Z2~b.~(x; H, d), (flbs(~ It, J))j ist. E s ist H* ~ H und nach Annahme auch H* + O. Wegen J}420 H hat fo]glieh das nac]l ( - ~ ) J

geordnetv H* ein erstes

Element. Dieses svi u. Es ist u e H*; und aus x e H* folgt u ~ x...

J,

u ~ x : . . ( J ) , z ~ u . . . ( J ) , d.h. aus x ~ u , . . ( J ) folgt x e H - - H * . Fii; al4e xe ~bs(u; H,J) ist also x ~ u . . . ( J ~ , x e H - - H*, d. h. Z.yqbs(x; H,J), (flbs(~tt, :~ und dabei ist .~bs(x;H,J) vine Menge. Wir setzen der Kiirze halber .2~3s (u; H, J) = H ~ und sehen dann: Es is~ ( ~ - ) j WO H ' (wegen n ' < B1. ~ an e ~ , a ' is* H' .2qb$ (x ; H', (~-)J) -----.2~bs(x; H, J)vine Menge. Und flit sUe ~e H" ist das nach

H'

( - ~ ) J geordnete .2~bs (x; H', ( - ~ ) J ) , d.h. da,

nacn (.)qbs(~_~1-1,J)) j geordnete .~bs( x; H, J), z~,hlbar. 9~ h

sat~ 35 ist also aueh Z H ' , ( ~ ) J ,

(.)qbs(~H,J))j.

. ~

Z.~b~(~; H,J/,

Folglioh ist nicht urH'. Andererseits wissen wir aber,

daflueH' ist, and dies ist ein Widerspruoh. Folglieh mug ZH, J sein. 4.

Subsumptionsordnung yon 0rdnungszahlen.

8atz 37. H, J seien Bereiche, J ~O H, ZH, J. YEs ist tiir kdn Element x yon H [Z ( H, J), x] e [Z ( H, J), x].

71~

Die Axiomatisierung tier ~enge~ehreo

Beweis. Nehmen wit das Gegenteil an. Wir kSnnen diese Eiger~o schaf~: , x e H und [Z(H, J), x]e[Z(H, ~, x] '~ auf die gewohn~e Ax~ aut die Form [G x] + A bringen. Wit bilden wei~er H * = 2 ( f ) , dann ~st H* ein Bereieh, und seine Eiemente sind alle xeH, ffir die [ Z (H, J), x] ~ [ Z (H, J), x]. Es ist H* ~ H und naeh Annahme is~ aueh

H*+O. glemeng. Dieses sei' u~ Wit kSnnen wieder ]eichg einsehen, dat~ u ~ H* ~st mad dag aus ~.~u... (J) x e H - - H * folg~.' ~ Wegen ueH* ist [ Z ( H , J), u]e[Z(H, J), u]; da abet [Z(H, d),u] = [[Z(H, J),.2fb3 (u; H, J)]t ist, so folg~ hieraus [Z(H, J), u] e I[Z(H~ J)~ ~bsCu; E, d)]l, [Z(H, 3),u]=[Z(H,J),x], x~ flfbs(u; H,J). Wegen

[ z ( H , J), u]~iZ(H, J), u] wka ~1~0 au~h [ z ( H , J), ~]~[z(~s, J), ~] sein, also ist xeH*o Andererseits is~ xeJfbs(u; H, J), x ~ u .... (J), also x ~ H - - H * . Dies ist ein Widerspruch. SaSz 38. H , J 8eien Bereiche, J}420 H, Z H, J. Ei~r alle Elemente u, v yon "H ]o~gt aus u ~ v . . . (d) [Z(H, d), u] < [Z(H, d), rio

~, ,,r)< fbs(~,; ~: :), ~tso I[z (E, J, Abs (~; H, J)]l ~< ifZ(~, J), .~bs (~; ~, J)] [, a. ~. [Z(K 9 ~1 [Z( H, 3), v]. Andererseits is~ wegen u ~ v . . . ( J), ue 3fbs(v; H, J) ~lso IN (H, J), u] e lIN (Hi J), f i b s (v; H, J)]l, d.Ja. [Z(H, J), u] e [Z(H, Z), V], uad naeh 8agz 87 is* nieh~ [Z(H, J), u] ~[Z(H, J), u]; 'folglieh kava niehg IN(H, g), u] = [Z(H, J), v] sein. AIso is* [Z(H, J), u]< [Z(H, J), v], Be~eis.

.A~ u 4: ~ . . . (J) folg~ .,,r

wie behaupteg wurde. 8 a ~ 39. H, J seien Bereiehe, J ~ O H, Z H, Jo Dann ]dgg auv

usH, veH, u + v

[ N ( H , J ) , u ] + [ Z ( H , J ) , v ~ und e~ iag

OZ(H,J) = [IN(H, J), HI[, l/~ ~*

[ z ( g , J)] Jo

Beweis. D a u + v ist und w e g e n J ~ 0 H , J}~OHaueh ullVo (J) ausgesehlossen isG so mull u ~ v...' (J) oder u : ; ~ v . . . ( ~ , v ~ u . . . (J) ~ein. Naeh Satz 88 is$ als9 [Z(H, J), u] < [Z(H, d), v] oder IN(H, d), v]

OZ(H,J)=I[Z(H,J),B]f

is~ definitoriseh;

um

oz(~,J)X ( ~ ~ X \

/

= IN(H, J)] J zu beweisen, geniig~ es neeh Satz 15 einzuseSen, del~ aus

x ~ y . . . ( [ Z ( H , J ) ] J ) bzw. xIly...([Z(H,J)]J ) x ~ y . . , k. {OZ(H, J)) X Iolgg.

~

)Z

Das erstere isg mit x = [Z(H, d), u], y = [Z(H, J), v] ~:nd ue H, v e H, u Q: v . . . (Jr) bzw. u tIv... (J) gleiehbedeatend. Wir m~issen ~k~onaeho

716

J.v. Neumann.

weisen: aus u e H, v e H und u ~ v . . . (J) bzw. u ll v . . . (g) folgt [ Z(H, J), u]

< r=

(.~=J'

+

+, ,J... (-~

">-):.

Das zweite eriibrigt sich, da wegen J ~ O H , J}JOH nie u i t v . . . (J) ist. Beziig]ich des ersteren ist zu bemerken:

[Z(H, J), u] 4 [Z(H, J), v] .. " \(OZ(H'J)~2 ist mi~ [Z(H, J), u] p* ) [Z(H, J), v] ... (2'), d.h. mit [I(H,J), u} < [Z(H,J), v] lleichbedeutend. Da~ jedoch aus u ~ v ... (J) [ Z ( H , g), u] < [ Z ( H , J), v] folgt, wurde bereits dutch Satz 38 ausgesagt. Satz 40. H, J seien Bereiche,-.J~2G H, Z H, J.

Dann ist

~+, J ~ O Z ( H , J), ( ~ Hieraus ]olgt i~brigens ( O ZD* (H, J ) ) X ~ O O Z ( H , J ) . Beweis.

Dies iolgt sofort aus Satz 39.

Auf Grand der S~tze 36 und 40 sind wir in der Lage, das Problem der Z~ihlbarkeit allgemein zu entseheiden: Satz 41.- H, J seien Bereiche, J~/OH. Esist dann und nut dann Z H , J, wenn /fir aUe u e H .2fbs(u;H,J) eine Menge ist. (Wenn H selbst eike Menge ist, so ist dies sicher der Fall.) Beweis. D a g diese Bedingung hinreichend ist, sahen wir bereits in Satz 36. DaB sie notwendig ist, beweisen wit so: Es sei Z H, J. Es sei ' u e H , wir setzen der Kiirze halber

H' = .2fbs (u; H,J).

Dann ist auch Z H', ( - ~ ) J, und es ist

.,, ( ~ ) ~ oz 1=,,(-~)~), (\ ~ ~u(=-1)~)I~ I " o=(=,, (~:)~): ~=<-,=), =l. ,

fief=us ~olgt aber, Ia [Z(H,J),u] ein I-Ding isI, das auoh H' (-~)

0 Z (H', +) eine Menge ist.

i- Di.g, d.a. Menge i=~.~ iolglioh :uoh H'---- .~b~ (~ ; ~, J)

5. Charakteristisehe Eigensehaften tier Ordnungszahlen. Satz 42.. P O Z ist damit gleichbedeutend, daft die [olgenden drei Bedingungen er/iillt sind: 1. P ist ein Bereich und P <~ Q*.

Die ~iomaJrhsiertmg der Mengenlehre.

717

2. "8 is, ( ~ I " WO P.

Beweis.

DaIS die Bedingungen notwendig sind, beweJsen wJr zuerslh

Wenn P O Z ist, so ist P O Z H , J, J ~ O H . Da P = ![Z(H,J), H]i , ist P e i n Bereieh; da jedes Element yon P gleich [Z(H;J),x] = t[Z(H,J), j~'b$(x; H , J ) ] 1 ist. sind diese aueh BereJche, ,nd weJl ale 5-Dinge sein mtissen, Mengen. Also ist P ~ D*. Felglieh ist 1. erffillt. 2. folgt aus Satz 40, und 3. beweisen wit so: Wenn x , P , d . h . z e O Z ( H , J ) , zei[Z(H, JJ, H]I is*, so ist x = [Z(H,J), u], ueH, und hJeraus folgt

= I [ Z ( H , a), f ~ s ( u ;

.~, J)]! = [ Z ( H , J), ~] = ~,

d.h. die Behauptung yon 3. Nun beweisen wit, dab die Beding~ngen aueh hinreichend sind. niige also den Bedingungen 1, 2, 3.

..) Z ~ O P .

gs ist dann ( ~

w/~hlen f so, dab ste~s If, x] = x ist und se~zen g ~ ,

(')

P geWir

. Wir behaupJ;en

nun: es ist g Z P, -~ .,Y. Wenn x nicht Element yon P i s t , so ist [ g , x ] = [ O , z I ~ A ~ hingegen xeP, so ist [ g , x ] = [ f , x ] ~ x . Also ist flit alle xEP

Es ist also wirklieh g Z P , ( ~ . ) Z . \~*J

)

}

,

][st

Und hieraus folgt welter '

j

gs ist also in der Tat P O Z .

Es 8ei P OZ. Dann ist Q eP damit gleichbedeutend, daft Q O Z und Q < P ist. (Hieraus /olgt also auch, daft Q ein I-Ding, also eine Menge ist.) Beweis. Wenn P O Z ist, so Jst P=~ OZ(H,J), JP2OH. Wegen Satz 43.

P = O Z ( H , J ) = i[Z(H,J), H]i folgt dann aus QeP, dal3 Q = [ Z ( H , J ) , u], u ~ H i s t , also ('2%s (u; H,J)) Q - ~ [ Z ( H , J)o u ] - - O Z ( j q b s ( u ; H. J), , - - Y --'-. j~)'

718

J.v. Neumann.

es is~ also Q O Z .

Da ferner nach Satz 42

ist, ist auch Q < P bewiesen. Ist umgekehr~ P O Z und Q O Z , Q < P, so schliel~en wit auf die folgende Weise. Wens x e Q , y e P - Q ist, so kann keinesfalls x = y sein. Auch x I]Y-.. (QP~,)"~ ist unmSglich, da ja (~-,) ~Y~ 0 P , (~-.) -Y})0 P ist. Und aus x ~ y . . . ( ~ * * / ~

POZ,

wiirde sieh folgendes ergeben: Wegen x s P , x e Q ,

Q O Z ist

P

~Y"

(x;

,

also y e Q. Dies widerspricht mit y e P -- @. 9

oio.

Also ist

d. h. Q e P. Damit habeIi wit unsere Behauptung restlos bewiesen. -Aus Satz 43 kSnnen wit insbesondere die folgenden beiden Konsequenzen ziehen: Wenn P O Z , Q O Z ist, so ist Pe Q mit P < Q gleichbedeutend. Wenn P O Z , Q O Z , P < Q ist, so ist Q eine Menge. 6. Der Bereieh der Ordnungszahlen.

Satz 44. Wenn P O Z , Q O Z ist, so ist immer entweder P = Q oder P < Q oder P > Q. Beweis. Wit sctzen R ~ P.Q und behaupten: R O Z . Da P ein Bereich ist und P ~ ~ * ist, so folgt hieraus dasselbe fiir R ~ P. Q (d. h. R erfiillt die Bedingung 1 desSat~es 42). Aus ( - ~ . X ) ' f O P \~,D

/

folgt wegen

719

Die Axiom~t~ierung der Mengenl~lr+.

Und wegen POZ, QOZ gilt flit alle x~R, d.h. xeP, x~Q:

+ ? ~ Z ~,

(x;

/fl--'Z)~

zR'Z)

[Q__~ (d. h. g erfiill~ auch 3). Also isr wirldich R OZ. Nun is~ offenbar R ~ P , R~ Q. In diesem Falls is~ also alles bewiesen. R + P, R + Q ist aber unmSglich. Denn Jann w/~re R < P, R < Q wegen R OZ, POZ, QOZ, also ReP, ReQ, und folglich R~P.Q, ReR, woraus wegen R OZ wieder R < R folgte, was ausgeschlossen ist. [~**" Satz 45. E8 ist \-~)ZWO~2**.~ (D** is~ der am Ends des w 1 definierte Bereich, deralle Ordnungszahlen en~h~l~, die Mengen sind.)

Bo, ois.

Ausd u k

+~**\

ioao.fa11

ionvoll, aa ia

D**~ ~* isto Wir miissen nun zeigen: Wenn . ~ sin Bereich ist, un~i ~ D**, X + 0 is~, so hat das nach

t,-~-~) ~ geordnete ~(', d. h.

das nach (~-.~.12 geordnete .~(', ein ers~s Element, d. h. es gibt sin Pe X derart, daBffiralleQe.~(stetsP Q sein. Also ist Q < P, d. h. Q e P. Jedes solche Q gehSrt also dem Bereiche P.fl( an. Nach Annahme is~ folglich P . . r 0.

{P\~, Nun isC P..~(
geordne~e

P..~, sin erstes Element. Dieses sei P'. Es ist P'eP.fl(', also P'efl(. Wenn Qefi(ist, so ist entweder nicht P~< Q, odor es ist P < Q. Im ersten Falls muB QeP.fl~ sein, also ist

P ' ~ Q . . . ( ~ - ~ ) Z , P ' ~ Q . . . ( 2 ' ) , P'
720

J v. Neumann. Es ist also jedenfalls P ' ~

Q, und damit ist unser Satz bewiesen.

Satz 46. P O Z ist damit gleichbedeutend, daft die /olgenden Bedingunger~ er/i~ll$ sind: 1. P ist ein Bereich und P ~ ~J** 2. Fiir iedes Q, P ist Q ~ P. Beweis "~a). Dal] diese B~e(tingung notwendig ist, ist klar: denn jede Ordnungszahl P ist ein Bereich, und da aus QeP Q O Z folgt und dabei Q eine Menge ist, muB Q eQ** sein. Auferdem folgt aus Q eP sogar

Q
Aus

~

2"h)O

die Bedingungen 1, 2 unseres diese Bedmgungen, wit werden Bedingungen 1, 2 and 3 des also ist die Bedingung 1 des folgt wegen P < ~ * *

auch

miissen nun nooh das Erfiilltsein yon 3. beweisen, d. h. zeigen: aus Q e P

IS)')

x~ 21T3,(Q; P, ( ~ )

2)

bedeutet: es ist xeP, x ~ Q . . .

(~.)2.

Das letztere kSnnen wit auch so formulieren: x < Q . . . (~) oder auch

x
Also: xe 2 q b s ( Q ; P , ( ~ ) ~ k

I bedeutet x e P , x < Q .

Wegen

- - - - ' - - /

P ~ ~** folgt aus x ~ P x OZ, wit kSnnen also auch schreiben: x e P , x OZ, x < Q. Wegen Qe P, P ~ ~** ist abet auch Q OZ, also bedeutet x OZ, x < Q einfach xeQ. Das ergibt die weitere Formulierung: x e P x e Q. Und wegen Q ~ P ist dies mit x e Q gleichbedeutend. Folglich ist Q ~ .2qbs Q; P,

X ; auf der rechten 8eite steht

offenbar ein Bereich, und wegen Q O Z auch auf der linken.

Also ist

Q -~./~3s(Q; P, ( - ~ ) 2 ~ , wie behauptet wurde, k

\$J

/

]

~) Man sieht leicht ein, dal~ der Satz 46 aueh so formuliert werden kann; Die Ordnungszah|en sind mit den Abschnitten des nach ~ - ~ - ) ~ " geordneten ~** identisoh. Diese Formulierung wfirde, unter Heranziehung des Satzes 31, einen anderen einfachen Beweis unserer Behauptung ermSglichen.

Die

Axiomatisierang der Mengenlehre.

721

Die Bedingungen des Satzes 46 lassen sieh iibrigens offenbar aueh so tormulieren: P ist Bin Bereich, und es ist P ~ .O**.2(P ). "~) Der Satz 46 hag eine Konsequenz, die der Burali-Fortisehen Antinomie ~) ,nalven Mengenlehre entsprich~. Oder um es e~was anders auszuo driicken: der nun folgende Satz ist niches anderes als die unschgdlich gemachte Burali-Fortisehe Antinomie. Sa~z 47. Es gibt eine und nut eine Ordnungszahl, die keine Menge

ist, und diese ist ~2"*. Beweis. ~** ist eine Ordnungszahl, denn es erfiillt die Bed~ngungen 1 und 2 des Satzes 46: Es is~ ein Bereich, es ist ~ * * ~ / 2 " * (d. h. 1. is~ erfiillr Und aus PesQ** folg~ P O Z , also P ~ ~** (d. h. 2. is~ erfiill~). Hieraus folgt a b e l da~ ~** keine Menge sein kann: denn dann w~re .~2"* OZ~ ff2** eine Menge, also ~Q**e ~**, was wegen ~** O Z ~2"* .~. ~** zur Folge hi, ere. Und dies is~ unm6gli~. Jede yon ~**:,versehiedene Ordnungszahl is~ aber eine h~eage. Denn aus P O Z , P~=/2** folg~ P ~ ~**, P~=/2"*, also P < D**, und wegen P O Z , ~2**OZ mu{~ dann P eine ~enge sein (s~ehe die Bemerkung am Sehlusse des w 5). -Der Sar ~6 wiirde uns sehon bier erm6glichen, gewisse allgemeine Operationen zur Herstellung yon Ordnungszahlen anzugeben; wir versehieben abet dies bis in die Kapitel VII][ und IX: dena bei den Anwendungen, die wir in den folgenden Kapi~eln VI und VII yon den Ordnungszahlen maehen werden, kommt es nur au~ die bereits en~wiekelten Eigensehaften derselben an. VL AhnHchkeit und Ordnungszahlen.

Der Woh|ordnungssatz.

1. XhnHchkeit und 0rdnungszahlen. Wir unterbr~chen an diesem Orte die weitere Untersuehung der Ordnungszahlen~ um uns der wiehtigsten Anwendung dersetben~ der Theorie tier Wohlordnungen, zuzuwenden. Die Un~ersuehung der Ordnungszah|en werden wit in den Kapiteln VII (w 2), VIII (w 3, 4) und IX wieder au~~lehinen. ~4) D~e hier angegebenen oharakteristischen Eigensehaf~n der 0rdnungszahlen kSnnen nioh~ als gleichwertige Definitionen derselben angesehen werden, ~ in sie der Begriff ~** e~ngeht, der seinersei~s durch die Ordnungszahlen definier~ wird. Hingegen is~ die Charakterisierung durch S~tz 42 eine g|eiehwertige Definition derselben, sie set~ fibrigens 'ebenso wie die ursl)rfing]/che Definition imw 1 den Begriff der Wohlordnung ~oraus. Es soi bier erw~hnt, dal~ aueh eine einf~mhe direkte Definition unseres Ordnungszah|enbegriffes, unabh~ingig yon der Wohlordnung, mSg]ich ist. ~) Die Antinomien der Mengenlehre behandel~ z. B. H. Poincar6: Wissensohafg ~nd Meghode; iibersetzt yon H. und L. Lindemann, Leipzig und Berlin 1914. Matbematlsche Zeitschrif~. XXVII.

4~

722

J.v. Neumann.

Wir be~nnen mit dem Satze, der die Grundlage der Beschreibung der ~hnfic~eitsverh~ltnisse dutch Ordnungszahlen ist. Satz 48a. H, J, H', J' seien Bereiche, J}4)OH, J'~YOH', Wenn

H, J ~ H', J', so is$ Z H, J mi$ Z H',J' gleichbedeusend. S a t z 48b. Wenn ZH, J und Z H ' , J ~ ist, so i,t H , J ~ H ' , J ' O Z ( H, J) = O Z ( H', J') gleichbedeutend.

mit

Beweis. (Fiir 48a.) Wegen der Symmetrie der )[lmlichkeit geniigt es, zu zeigen, dab aus Z H, J Z H', J' folgt. Es sei also ZH, J, H,J~-~H'~J'... (f). Dann ist fiir jedes x e H .)Tbs (x; H, J) eine Menge. Also ist auch .77b$ ([f, ~]; H',J'):27bs([f,~];l[f,H]l,

If] J ) = I[f, .27bs(x; H,J)] l

eine Menge. Danun jedes x'sH' wegen H'-----I[f,H]] einem [f,x], x s H gleich ist, sind alle ./qbs(x~; H',J') Mengen, d,h. esi~t Ztt, J, (Dieser Beweis erfolgt auf Gnmd des Satzes 41. Wit hRtten die Behauptung aach ohne die Benutzung dieses Satzes beweisen k~nnen, allerdings etwas ums~indlicher. Es kRme dazu dieselbe Methode in Frage, mit der wit weiter anten beim Beweise des Satzes 48b zeigen werden, dal] aus H , J ~ H ' J " OZ(H, J) -~ OZ(H', J') folgt.) (Fiir 48b.) Dal~ aas O Z ( H , J ) = OZ(H',J') H , J ~ H ' , J ' folgt, ist klar: es ist bier

H,J~OZ(H,J),

( OZ(H,J)\ ~ )Z,

H',J'~-~OZ(H',J'), (OZ(H',J'}~y ~. ] .

Wit miissen nu~ noch die Umkehrung beweisen. Es sei also H, J ~ H', J'... (f). Wit bringen dann [Z(H', J'), If, x]] auf die Form [g, x] und setzen h---zu H gehSren

. Dann ist fiir alle x, die nicht =

und .fiir alle x, die zu H gehfren,

[h,x] = [g,x] = [Z(H',J'), [f,x]]. Wir werden nun zeigen, dal] h e i n e Z~ihlung des nach J' geordneten Hist. Wenn nicht x s H ist, so ist in der Tat [h,x] ~ A . Wenn hingegen x e H ist, so ist: i[]z, Jfbs(~.; H,J)] I ~- [[Z(H',J'), I[f, ./~bs(x; H, J)]l] I

= I[Z(W' J'), .yTbs([f,x]; ]If, H]I, [f] J)]i r~

t

I

= ][Z(H ,J ), ~bs([f,x]; H',J')] I = [ Z ( H ' , g'), If, x]] -~ [h,~].

Die Axiomatisierung der Mengen]ehre.

7~3

Also is$ in der Tag h Z H, J. Und hieraus ~olg$:

o z ( g , J) = i [Z(H, J), H]i = i[h, H]i = ' ~ [ z ( B . J ' ) , ' l[f, g t [ ] l = [[z
H"

z

ist, wenn O Z ( H , J ) < O Z ( H ' , J ~) ist. Beweis. O Z ( H , J ) < O Z ( H ~ , J ') is$, wie wit ON(H, J)e OZ(H', J~) gleiehbedeuf,end~ Wegen

w~ssen, mi$

J')= I[z(R', J'), bedeute~ dies; dag O Z ( H , J ) = [ Z ( H , J ) , x ] , ~esem Falte

z e H is~. Nun is~ in

OZ(H'J)=IZ(H"J')'xI=OZ(

717 "-)~

Und dies isi naeh Salz 48b in der Tal mit ,

/flb3(x;H,J~s

H, J ~ . 2 f b s (x; H , J'), \

~,

gieiehbedeu~begd. Sehlielllieh beweisen wit noeh: Sa~z 50. H, J, H ~ sei~a Bereiche, J ~ O H ,

Dan~ ist auch Z H ,

]

Z H , J und H~ <~ZI.

J und e~ i~

oz iz ,

+)

o z (., +)

Beweis. Wegen Z H , J sind alle .2~bs (x; H, J), x e H Ne~gen; au~ H'

&]SO s i n d

~ In der ,naiven ~ Mengentehre ist dieser Satz nstiirlieh ~nv~al, " ~ ' er is$ sozus~gen defi~itonsch f i r den Ordnungszablenbegriff. Man beachte, d a l er sich nicer auf a41te weh]geordaete, sondem bloB a~d die ~hlb~ren Mengen bezieht; diesen Umstand werden wit noeh in w 2 n~her ins Auge fa~sen. 46*

724

J.v. Neumann.

Wenn nicht OZ(H', ( ~ ) J ) ~

OZ(H,J) wRre, so mii~te rtach

Satz 44 OZ(H', ( ~ ) J ) : > OZ(tt, J)sein, nach Satz 49 wiire also

d.h.

H

J"

Wit bezeichnen .27bs (x; H', (~') J) der Kiirze halber mit H*, dann wird also

sein.

(

Wegen H* =.]Tbs x; H',

y~x...

-~

y
J

)

ist dabei fiir alle "y e

.,

(J), Es gilt nun zu zeigen, dal3dies unm6g-

l i e h ist. Die Eigensehaft: , y e l l und [f,y] 2~y...(J)" werde auf die Form [g,y] ~ A gebr~ht und dann K = ~ ( g ) g e s e t z t . K ist ein Bereich und seine Elemente sind alle yetI, fiir die [f, y] ~ y . . . (J) ist. Es is• K ~< H und K ~ O. Das letztere darum, well das vorhin Erwiihnte xeKist, es ist n~imlieh: xeH, [f,x]eH*, also [ f , x ] ~ x . . . ( J ) : Wegen J)~20 H hat also das naeh (~-)J geordnete K ein erstes Elealso aus y ~ u . . . ( J ) yeH--K. Weffenu eK ist If, u] ~ u... (J), und infolge yon H, J ~ H*, (-~) J... (f) H* folgt hieraus If, [f, u]] ~: If, u ] . . . (-if) J, [f, If, u]] ~ If, u ] . . . (g). Also ist auch [f,u]eK. Wegen [f, u] ~ u ... ( J) muB aber [ f , u ] ~ H - - g sein," und das ist ein Widersprueb 2. Vergleiehbarkeit, Eindeutigkeit der Abbfldung.

Aus den S~tzen des w 1 kSnnen wir sofort die folgende Konsequenz z iehen: H, J, H', J ' seien Bereiche, J},fOH, J')~)OH'. Es sei ferner Z H, J, Z H', J'. Da sind unter den untenstehenden Aussagen die bei A. stehenden, die bei B. stehenden und die bei C. stehenden' untereinander gleiehbedeutend. Diese Aussagen lauten folgenderma~en:

Die Axiomatisierung dor Mengenlohre~

725

A. Es ist H, J ~ H', d'. Es ist O Z (1t, J) = O Z (H ~, J~).

Es ist - ,

H', J'),

Es ist O Z (H, J) < O Z (H', J').

'

H

oi.

Es ist O Z (H, J) e O Z (H', J'). _

H

_

eln

Es ist O Z (H, J) > O Z (H', J'). Es ist O Z (H', JP) e O Z (H, g)~ An der zweiten Formulierung eines jeden der drei F~lle sehen wit soiort, clai~ stets einer und nut einer der drei F~iie A, B, C besteht. D e f i n i t i o n . Im Fa!le A. ist H, J ~ H', J~. In den F~llen B und C schreiben wit H, J ~ H ~, J~ bzw. H, J>~ H', J'. Danfit haben wir ein hSchst wiehtiges Resultat der ,naiven" Mengentehre gewonnen: den Satz ,,yon der Vergleichbarkeit aUer wohlgeordneten Mengen in bezug auf ihren Ordnungstypus". Es ist .abet wesent-lich und iiir unser System charakteristiseh, dab dieses Resultat nicht fiir al~lewohlgeordneten Bereiehe iiberhaup~, sondern bloB fiir die zs unter ihnen gewonnen wurde. Trotzdam ist die erste Formulierung in jedem der F~l|e A, B~ C aueh iiir nieht z~ihlbare wohlgeordnete Bereiehe sinnvoil, da clor~ yon Ordnungszahlen keine Rede ist. Es scheint uns aber unwahrseheinlich~ dal~ ein Beweis der Vergleiehbarkeit (d. h. dessen, dal~ stets einer nnd nut einer der drei F/~lle A, B, O besteht) unabh~ngig yon den Pr~imissen Z H, J; Z H ' , J~ gelingen sollte: jedenfalls versagen alle bekannten Methoden an cliesem Punkte ~7). Indessen ist diese Liieke praktiseh belanglos: denn alle wohlgeordneten ~engen sind ja naeh Satz 41 z~ihlbar und beim ,Vergleiehen der wohlgeordneten Bereiehe i~ bezug auf ihre M~htigkeit" f~ll~ die ganze Sehwierigkeit fore (vgl. Kap. VH, w 3). Wir beweisen noeh den folgenden Satz: Satz 51.

H, J, H' seien Bereiche, J ~ O H und Z H, J. Ferner sei

(.

ist, so gilt sogar stets das ~-Zeichen. Beweis. Die zweite H~ilfte foigr ohne weiteres aus der Definition, zum Beweise der ersten muI~ noch der Satz 50 beriicL~ichtigt werclen. ~) Es gibt bekanntiieh in der .naiven" Mengenlehrenoch eine Methode, um die Vergleiehbarkeit der woh]geordneten Ordnungstypen zu beweisen, die yon den Ord:aungszahlen keinen Gebraueh macht [G. Cantor, Beitrag zur Begriindung der Theorie tier transfiniten Mengen~teh~eH, Math. Annalen 49 (1897)~ S. 207--2t5]. Sie kann in unser System iibertragen werden, aber interessanterweise nut fiir solehe H~ J, fiir die ~lle tirOs(x; H, J), x~H, Mengen sind~ d. h. fiir genau diejenigen, die z~hlbar sind~

726

J. v' Neumann. Uber die Eindeutigkeit der ~ihnlichen Abbildungen gilt der folgende Satz: Satz 52. H, J ~seienBereiche, J ~20 H und Z H, J. Die Relationen

besteh~ dann und nut dann, wenn P = O Z (H, d) Beweis. Daft fiir dieses P = O Z ( H , J) die genannte Relation gilt, wiss~n wir aus Satz 40. Wit miissen a l s o nur nech die Umkehrung beweisell. Es sei H , J ~ P , ~ ( ~ - , ) 2 , POZ. Dann ist P = O Z ( H ' , J ' ) ,

J ' I ~ O H ' , Z H ' ; J ' . Wegen H ' , J ' ~ P ,

X(Satz40) istH, J ~ H ' , J ' ,

also O Z (H, J) = O Z (H ~, J') ~ P, wie behauptet wurde.

gieichbedeutend. Beweis. ~iges Q O Z .

Naeh ' Satz 59, gilt P , ( - ~ I ~ Q , ( ~ I . ~

flit ein ein-

D~ P selbst ein solehes ist, gilt es flit ~----P allein,

3. Die Wohlordnung ties Bereiches aller I-Dinge. In diesem und dem niiehsten Paragraphen wird der Wohlordnungssatz bewiesen werden, und zwar auf einem Wege, der yon der klassisehen Methode Zermelos (vgl. Ful~note as)) wesentlich abweicht. Man. daft natiirlieh nieht etwa glauben, dab damit ein im Sinne der ,naiven" Mengenlehre neuer, vom ,,Auswahlprinzip" (das wir nun aueh zu beweisen in der Lage sind) unabhgngiger Beweis des Wohlordnungssatzes gewonnen ist. Diese Methode ist ngm|ich nut in unserem System gangbar und beruht im wesentliehen auf dem Axiom IV. 2. S a t z 54. E8 gibt einen Bereich W, 8o daft W P20 ~ ist; es gilt

) z.

ia z a, m)

Beweis. Naeh Satz 47~ ist der Bereich ~ * * ein Bereich, aber keine Menge, also ein II-Ding, abet kein I II-Ding. Naeh IV. 2. gibt es also ein II-Ding f, so dal~ ffir jedes x ein y mit y e D * * , [ f , y ] - ~ existiert. Wit kSnnen diese Eigenschaft: , , y e ~ * * und x = If, y]" auf die Form [ g , y] + A b~ingen (g yon ~ abh~ngig, abet yon y undbh~ngig) und dann H = . ~ ( O ) setzen. Dann ist H ein Bereieh, dessen Elemente alle y eQ** mit [ f , y ] = ~ shad. Also ist H ~ < ~ * * , und da es ein y m i t den genannten Eigenschaften gibt," so ist H ~ 0.

Die AxiomaCi~iernngtier Mengeniehre. weg~.

't a*)

z

wo

~a~ ~lso aas ~aoh

727

,\~1 t--~) ~ geora-

ne~e H, d.h. das nach (-~-D 2 geordne~ H, ein erstes Etemen~ u. ES

~stueH, 4. h. u e g * * , If, u] =:-x; und ~u~ ye~**, [ f , y ] - ~ x , &h~ y~H, ~olgt u g y o..

I')

t-~

x,

~ <= y . . .

(2),

o~~ y.

Also: us gibt eiu u, welches die Eigenschai$: , u e D * * , [f~u] ~ x , and flit jedes y fglgt aus y e ~**, [5 Y] ~ x, dab u g y is~," besi~zt, es ist abet klar, da~ auch nut kin u diese Eigensehait besitsen kann. (W~ren u ~und u ~t so, so miiBte u ~~ u", u" ~ u ~sein, also w~re u ~ ~ u'~, u ~ u ' . ) Wir kSnnen nun diese Eigenschaft unschwer auf die Form [h, {x, u)] ~ A bringen (h unabhiingig yon x u n d u) and ~II. 8. a~-~wenden: d~nn is~ dieses einzige u gleich [ ] , x] (i unabh~ingig yon x). Das so gewonnene II-Ding ] hat die ielgenden Eigensehaften: es is~ flit jedes I-Ding x [ j , x ] ~ D * * , [t~ [~wzJ]= z. Wenn wit ~tso ![i, D]i = ~ setzen, so ist ,~f~ ~2"* und t[f, -)(]i = D. Ferner folg~ a~ uefl(', re.Y(, u e v [f,u].C.[f,v]; denn es is* u = [ i , x ] , v = [ ] , y } , also [f, u} = If, [],x]] = x, If, v] = [f,[i,y]] = yo D. ho u = [], [f,u]], v ---~[?, [f, v]]. Wegen u =~ v ist also if, u] @ [f~ v]. Wir kSnne, also W-~-[f] ( - ~ , ) : se~zen, dann is~ .~, \~9(-~ ~'~'']

f~**~2' geordne~e Nun is~ das naeh ~--~]

9** w(~hlgeordnet uncl ~hlbar~

W< naeh

Satz 29 und Sa~z 50 gil~ also wegen . ~ < D** dasselbe liir das nach

,,sg**] (-~-) Z geordne~e .~y', d. h. das naeh \~-~j[ ~t/.~l 2" geordnef~eg .

Und

alas naeh W geerdnete ~ wohlgeordnet and" z~ihlbar isg. Wir kSnnen ~lsa O Z (.(2,,W) = P bilden. Da ~ , W ~ P, ~-~ 2' is~, und ~ keine Menge ist, ist auch P keine Menge. Und da P O Z is~ und dabei P keine ~enge ist, so muI~ naeh Sat~z 47 P-~-g2** sein~ Dami~ is~ die: Behauptung restlos bewiesen. 4. "Die Wohlordnung be~ebiger ~ereiche. Der Sa~z 54 is~ eigent]ich schon der Wohtordnungssa~z, wir woIten ihn ~ber noch der Form nach etwas Mlgemeiner gewinnen. Auoh das ,Auswahlprinzip" werden wit leicht aus di~em Satze herleiten kSnnen. Satz 55. H sei ein Bereich. ]~s gibt dann stets 6inch Ber J, ~o daft J ~20 H, Z H~ J is$.

728

J.v. Ne~mann.

Wenn H heine Menge ist, so ist fiir J ~ O H , Z H, J stets Wenn H eine Menge ist, so ist /~r J W O I t stets Z H , J und O Z ( H , J ) < ~ 2 * * . O Z ( H , J ) = 4**. Beweis.

Wit wKhlen W nach Satz 54, so daft 4 , W ~ Q**, ( ~ * / ? '

und setzen J = ( ~ - ) W .

Da W O ~ ,

Z~,Wist,

so is(; nach Satz 29

und Satz 50 such J~4/0 H, Z H~ J. Damit ist der erste Teil unserer Behauptung bewiesen. Wenn H keine Menge ist, so ist fiir J ~ O H , Z H , J wegen

H, J ~ O Z ( H , J ) , f O Z ( H ' J ) I ~ Y

auch O Z ( H , J )

keine Menge.

Also

mu~ OZ(HI J ) = 4 * * sein. Ist hingegen H eine Menge, so ist flit jedes J W 0 H auch Z H , J (vgl. die Beme~kung bei Satz 41). Wegen H, J ~ ist

such

OZ(H, J)

eine

Menge;

O Z ( H, J), [ OZ (H, J)t Z

folglich

ist

OZ(H, J) e~2**,

o z (H, J) < Man sieht iibrigens leicht ein, dab es fiir solehe H, die keine Mengen 9 sind, stets Wohlordnungen J gibt, iiir die nicht Z H , J ist (hierzu reicht ja nach Satz 41 die Existenz eines .)irbs(x; It, J), xeH, das nieht YIenge ist, aus), wit gehen abet darauf hier nicht n~iher ein. Nun werden wit zwei verschiedene Fassungen . des huswahlprinzips beweisen, deren erste mit dem Begriff des Hilbertsehen ,~" eine gewisse Analogie zeigt ~s), w ~ r e n d die zweite sieh mehr an die urspriinglich Zermeloache Fassung desselben anlehnt. , S a t z 56. ~ se/ ei~ I1.Ding. Es gibt ein II-Din 9 ~, derart, daft Jiir ~edes x, zu dem ein y mit [q~, (x, y)] + A existiert, [~p, x] einem 9sob:hen y gleich ist ~9). B e w e i s . Wit w~hlen W nach Satz 54: W)I)OD. Betrachten wir ein z, zu welchem es ein y gibt, so daft [r (z, y)] 4ffiA ist. Wit bringen [~, (z, y)] ~ffiA aui die Form If, y] ~ffiA (f yon x abh~ingig, yon y unabh~ngig) und setzen H ~ - . ~ (f). H is~ ein Bereieh, seine Elemente sind 28) Hflbert, Neubegriindung der Mathematik I., Abhandlungen a. d. Math. Sere. d. Hamburgischen Universit~t 1, 1922. Ferner: Die logischen Grundlagen der Mathematik, Math. Annalen 92 (1924). go) Satz 57 kann als eine Versch~fung des Axioms ILL 8. angesehen werden: es ermSglieht die Umkehrung von Relationen, die nut 15sbar, abet nieht eindeutig l~isbar sind. r n unserer Axionmtik wiixe die einfachst~ direkte Einfiihrung des Auswahlprinzips die gewesen, start HI. 3. den Satz 56 zu verlangen. Damit w~re eine weitgehende Analogie mi~ Hilberts Formulierung des Auswahlprinzips erreieht. (Vgl. FuB: note 2s).) Da jedoeh das Auswahlprinzip aus IV. 2. allein folgt, war dies iiberfliissig.

Die Axiomatisierung der Mengev~ehre.

alle y mit [9, (x, y)] + A.

Also ist H ~ Y 2 , H = ~ 0 .

729

Wegen W ) ~ G H

hat also das n a c h ( ~ ) W geordnete H ein ers~es Element. Dassetbe sei u. u besitzt die folgende Eigensehaft: ,, ~o,[ (x, u)] + A, und fiir .iedes y folgt aim.' [~, (x, y)] =~=A u ~ y . . , (W)." Es ist au~erdem klar, dal~ u allein diese Eigenschaft besitzt. (Bes~gen u' and u" dieselbe, so inflate u'~u"...(W), u"s also u ~ = u t' sein.) Wit bringen diese Eigenschait alff die Form [g, (x, u)] + A (g yon x, u unabh~ngig), dann haben wir das folgende Resul~at erhalten: Wenn es ein y mit [T, (x, Y)] + A gibt, so gibt es ein und nut ein u mit [g, (x, u)] + A, und fiir dieses u ist auch [% (x, u)] + A. Aui [g, (x, u)] # A kSnnen wir also III. 3. anwenden, and damit haben wit das gewfinsohte [~, x] hergestellt. Satz 57. Es gibt ein H,Ding ~o, so daft ]iir alle Mengen H4= 0 [9, HI , t l ist. Beweis. Wir bringen x , H , d . L [H, xJ~=A, auf die Form [f,(H, x)] ~ A , und wenden dann den Satz 56 an; daraus folgt die

Behauptung. Naeh Satz 55 is~ fiir jede Menge )~O(H)=~0. Wegen ~/0(H) VO(H) r a so auch YO(U) + O, UO(H) + 0. iUo (tt) + o, and nut dieses, ist iibrigens trivial, denn es ist offenba~ ffir iedes H 0/a'O H, also 0 e UO (H).) VII. Die Aquivalenz u n d die KardinalzaMen.

1. Die ~:quivalenz. Wit definieren die ~quivalenz auf die" in der ,naiven" Mengenlehre fibliche Art: D e f i n i t i o n . H, H ' seien zwei Bereiche. Wir sagen: H iS~ mit H r ~tdvalent, in Zeichen: H ~ H', wenn es ein II-Ding ~0 mit der folgenden Eigensohaft gibt: Aus u e H , veil, u + v Iolgt [9, u] =[=[% v]. Es ist H ' = ][~0, H ] ] . Diese Eigensd/aft yon ~o drfieken, w~r so aus:

11'... Wit stellen zun~chst lest: Satz 58a. It, H' seien Bereiche; wenn H ~ H ~ ist und H eine Menge ist, so ist auch H' eine Menge: Ferner ]~ann ein I H - D i n g immer so gewdhh werden, daft H ~ H t ~ (qo) ist. as) Diese Definition der Aquivalenz ist wesentlich einfacher Ms die bei Zermelo, wo die Aquivalenz zuerst flir elementfremde Mengen definiert wird, und erst dann allgemein.

730

J.v. Neumann.

Satz 58b. Es gibt ein die Relationen H ~ H p und Es gibt ein H - D i n g I l I - Dinge 9 die Relationen gleichbedeutend Mnd. B e w e i s . (Ffir 58a.) ist. Wenn H ' ~ H . . . ( q ~ )

I I - D i n g y,, so daft /fir alle Mengen H, H ~ [y~, (H, H')] + A gleichbedeutend sind. Z, s o daft ]i~r alle Mengen H, H' und H ~_. H ' . . . (9) und [g , ( ( H, H' ) , 9)] 4= A

H ist eine Menge, weft es gleich [[9, H]l ist, so ist, wie man sofort sieht, auch

H' I I I - Ding. (Flit 58b.) Um den zweiten Tell zu beweisen, miissen wir die fiir H'~J H . . . (~o)definitorischen Bedingungen auf die Form [;~, ((H, H'), 9)] & A bringen; es ist klar, wie das zu geschehen hat. Der erste Teil abet folgt hieraus mit Hilfe der iolgenden Bemerkung : H ~ H t bedeutet, dal~ es ein II-Ding 9 mit H~_~ H r . . . (9) gibt, also nach Satz 58a, da6 es ein I I I - D i n g 9 mit H ~ H r . . . ( 9 ) , d.h. [Z,((H, H r ) , 9 ) ] + A gibt. Und dies ist unschwer auf die Form [~v, (H, H')] + A zu bringen. Satz 59. H, H ' , H " ,eien Bereiche~ dann bestehen die ]olgenden. Relationen: Be ist H ~_~ H. Aus H ~ H' /olgt H' ~ H. Aus H ~ H' und H ' . ~ H " /olgt H . ~ H " . Beweis. Die erforderlichen 9 sind bier ganz analog zu wiihlen wie beim Beweise des entsprechenden Satzes 22 ffir die Ahnlichkeit. Ein n~iheres Eingehen hierauf eriibrigt sich. Weitere elementare Si~tze fiber die Aquivalenz sind die folgenden: Satz 60. H, H ' seien Bereiche, 9 ein lI-Ding, /erner seien K, K ' Bereiche, K ~ H, K" ~ H', und K ' = 119, K] I" Wenn H ~ H ' . . . ( 9 ) ist, so ist auch K ~ K ' . . . ( 9 ) . Beweis. Folgt unmittelbar aus der Definition der Aquivalenz. Satz 61. H, J, H', J' seien Bereiche, JUO H, J'l[O H'. Wenn H, J ~ H' , J' ist, so ist aueh H ~ H' ; ist insbesondere H, J ~ liP, J' . . . (9), 8o ist auch H .~ H ' ... ( 9 ) . Beweis. Folgt unmittelbar aus den Definitionen der ~hnlichkeit und der hquivalenz. Ebenso wie bei der hhnlichkeit (vgl. die Fglle A, B, C im Kap. VI w 2) liegt aueh bei der hquivalenz die Frage naeh der Vergleichbarkeit nahe. Um dieselbe zu erledigen, wollen wir zuerst den Begriff der Kardinalzahlen (bzw. Anfangszahlen, Alephs, Mgchtigkeiten) einfiihren.

Die Axioma~isierungder Mengenlehre.

73t

2. Die Kardinalzahlen oder Miieh*~igkeiSeno Um Mi0versK4ndnissen vorzubeugen, ist es wohl in diesem Paragraph erwiinseht, eine Bemerkung fiber die anzuwendende Terminologie vor~us~sehicken~ In der ,naiven" Cantorsehen Mengenlehre wird zuers~ der Begriff der ,, M~ichtigkeit ~ definiert als das einer Klasse untereinander ~qu~valen~er Mengen gemeinsame Merkmal; sodann der Begriff des ,Alephs" oder;der ,, Kardinalzahl" als M~ehtigkeit einer wohlordenbaren Menge; and sehliet]lich der der ,,Anfangszahl" als die ldeinste einem gegebenen Aleph ~iquivalen~e Ordnangszahl. Da in unserem Systeme der Wohlordnungssatz bewiesen is$ (Satz 55), so fallen die Begriffe ,,M~ichtigkeit" und ,,Aleph" bzw. ,Kardina~ahl" jedenfalls zusammen (wenn sie einmal irgendwie definier~ sind), und die un~er diesen Begriff fallenden Dinge sind den ,, Anfangszahten" eineindeutig zugeordnet. In Anbetraeht dieser Lage werden wit bei der Definition der genannten Begriffe noch um einen Sehritt weitergehen and alle vier ]carzweg identifizieren. Wir definieren nhm]ieh: Definitiono Wit nennen eine Ordnungszvht P eine Kardinalzahi (oder: Anfangszahl, Aleph, M~ehtigl:eit)~ in Zeiehen: P K Z ~ wenn fiir kein Q OZ, Q < P, Q ~_. P is~. Satz 62a. D** ist eine Kardinalzahl. Sa~z 62b. Es ffibt einen und nut einen Bereivh ~ , ]i~r den P e f l ( mit P K Z , P =b D** gleichbedeutend ist. Dieses X bezeichnen wit mit F. Beweis. (Ffir 62a.) Es ist ~ * * O Z . Wean "POZ, P < D** ist, ~o ist P eine Menge, ws D** keine Menge isL folglieh kann nieh$ P ~ ~** sein. Also ist ~** K Z . (Ffir 62b.) Wenn P K Z , P+~2** ist, so is$ P O Z und P eine Menge, also Pe ~2"*. Q OZ, Q < P bedeuSet Q , P. Folglieh bedeute$ P K Z , P + ~ * * : ,,PeQ**, u n d e s gibt kein Q mit Q e P , Q ~ P " . Diese Bedingung kSnnen wir unsehwer auf die Form [f, P] + A bringen; f l ( ~ .~ (f) ist dann ein Bereieh mit den gewiinschten Eigensehaften. DaB es nut einen solchen Bereieh gibt, folgVaus I. 4. Saez 63. Wenn P K Z , Q K Z ist, so ist P = Q mit P ~ Q gleichbedeutend. Beweis. Aus P ~ Q folgt offenbar P~.~ Q. Ist umgekehr~ P ~ Q, so is~ jedenfalls P : Q oder P < Q oder P > Q . Fiir P < Q w~re: P O Z , P < Q und P ~ Q , entgegen Q K Z ; ffir P > Q hingegen: Q O Z , Q < P und Q ~ P , entgegen P K Z . Also is~ P = Q . Satz 64 a. H sei ein Bereich. Es gibt eine und nut eine Kardinal-

732

J.v. Neumann.

zahl P, ]iir die P ~ Hist. Dieaes P nennen wit die Kardinalzahl (oder Mdchtigkeit oder Aleph oder An]angszahl) yon H, und bezeichnen es

mit KZ(H). Satz 64b. H is$ dann und nut dann keine Menge, wenn K Z ( H ) = ~** ist. Satz 64e. Es gibt ein H-Ding ~, so daft /fir aUe Mengen H K Z ( H ) - ~ [qJ, tI] ist. Beweis. (Flit 64a.) Die Eindeutigkeit folgt offenbar aus Satz 63. Wir miissen also nur noch die Existenz beweisen. Nach Satz 55 gibt es ein J , so da~ Jh)OH, Z H , J ist. Wenn P=OZ(H,J)

ist, so ist demnach H , J ~

P,(~I.,?,

also H ~ P .

Wenn P-----Q** is~, so sind wit schon fertig: denn nach Satz 62a ist ja ~2"* K Z . Andernfalls sei P + Q**. Dann ist P, also auch H eine Menge. Die Eigenschaft: ,,PeQ** and P ~ H" kiinnen wit leicht auI die Form If, P] + A (f abh~ngig ~on H, abet unabhiingig von P) bringen, und dann X = .~(f) setzen. ,4( ist ein Bereich, seine Elemente sind alle P mit P e ~ * * , P ~ H. Es ist offenbar . ~ ' ~ Q**, und nach dem soeben Gesagten ist ferner .~f+ 0. Wegen ("~**" - ~ ) ) 427 2~

~** hat also das nach (~**)27 geordnete.~y'ein

erstes Element, d.h. es gibt ein Pe Q** mit P ~ jedes QeQ** mit Q ~ H

H, derart, daft fiir

also P ~ Q .... (27), P ~ Q ist. Es ist P O Z und P ~ H . Wenn Q O Z , Q < P und Q~_~P w~re, so wiire jedenfalls Qe~J** und Q ~ P, P ~ H, also Q ~ H, d. h. Qe)('o Also miiflte P ~ Q, Q ~ P sein, ~ntgegen Q < P. Damit ist P K Z bewiesen und folglioh auch unsere Behauptung. (Fiir 64b.) Wegen H . ~ K Z ( H ) ist H dann und nur dann keine Menge, wenn K Z ( H ) l~eine ist. Dies ist abet offenbar mit K Z ( H ) = ~** gleiehbedeutend. (Fiir 64c.) K Z ( H ) = - P hat die folgende eharakteristische Eigenschaft: , , P K Z und P ~ H " . Wir kSnnen dies ohne weiteres in [g, (H, P)] ~ffiA (g yon H und Punabh~ngig) umformen, und dann III. 3. anwenden: es wird dann P = [~, HI.

Die Axioma~imerung der Mengenlehre.

7~3

Nach diesen S~itzen allgemeiner N a ~ r beweisen wit noch zwei S~itze, 4ie den Verlauf clef Reihe der Kardinalzahlen (d. h. den Bereic'n P) etwas a~her umschreiben. S at~ 65. P ist keine Mengesl). Beweis. Es sei P~ D**, sonst abet P beliebig. Da P eine Menge ist, ist aue5 Q = . K Z ( P ) eine Menge, also Qe/'. Dabei is~ P ~ Q ,

4. h. P ~ Q . . . ( f ) .

Wenn wit also J ~ [ f J

(5) ~Y segzen,

so wird

y

is~ dabei JI~)OQ, d.h. J~)i?O(Q). Wit haben also bewiesen: Zu ]edem P~ 9** gib~ es ein Q e i~ und ein Je lClO(F), so dall P = OZ(Q,J) is$. Nun ist )/)r eine Menge und gleieh If, Q] (f fes~), also ist J ~ O ( Q ) , h20(Q)e[[f,r]], das heiBt Je3(l[f,r]I ). Folglieh ist ] (g fes*), so

aa~ P~ l[g, l
W~e nun r ei.e Menge, so ~ r e . a.~h fir, r]!,

S(l[f, r]i), l(r, 3(I[f, r]t))l,

i[g, !(Y, S(l[f, y]]))I] I Mengen und demnaeh aueh D** eine Menge, .was sieher falsch ist. Satz 66. Daz nach ( ~ , ) : geordne~eF ist wohlgeordnet und z~ihl.

l)ar und seine Ordnungszahl ist ~**. f ~**x

Beweis.

Das naeh ( - ~ ) 2 7

geordaete ~** is~ wohlgeordnet und

z~ihlbar, nach Saez 29 und Sat~ 50 mu~ wegen F ~ ~Q** also aueh das naeh

~Y geordnete /7 wohlgeordne~ und zghlbar sein.

Da Y' keine

Mengeist, so ist aueh OZ(F,(~-~).Z~ keine, also mul~ esg|eich /2** sei,. 3. Die Vergleichbarkeit.

Satz 67. H, H ~seien zwei Bereiche. H ~ H ' ist mit K Z (t])~ KZ(H') gleichb"~leutend. sl) Wit k6nnten in diesem Zusammenhange leicht den Satz beweisen, wonach die KardinM~hl yon yP(H) fiir jede Menge H grSi~er ist als die yon H. Wir sehen davon ab, weil der Satz 65 ausreioht tun zu beweisen~ dai] es unter den Ksrdinalzahlen yon Mengen, d.h. :~ J2**, keine gr~Bte gibt: I n der Tat, wenn etwa P die grSBte KazdinaL zahl yon Mengen w~re, so w~ren alle K~rdinMzaKlen yon Mengen ~ P , s|so Elemente yon 2P(P); folg]ieh w~re F ~ jP(P), was unmSglich ist, da ja ~P(P) eine Menge isL F aber keine.

7~4

J.v. Neumann.

Beweis. --- K Z ( H ' )

Wegen H ~ ]fZ(H), H ' ~ K Z ( H ' ) folgt aus JKZ(H) H~

H'.

Aus H ~ H" folgt hingegen K Z (H) ~_. H, H ~_~H', H' ~ K Z (H'), d.h. K Z ( H ) ~ K Z ( H ' ) und nach Satz 63 also K Z ( H ) = KZ(H'). Satz 68. H, H t 8eien zwei Berdche und q~ ein 11-Ding. Wenn H<~ I[~, R']I ist, 8o ia K Z ( H ) < KZ~H').~) Beweis. Wit kSnnen die Relation , , y ~ H , [ q ~ y ] ~ x " auf die Form If, (x, y)] + ,4 (f yon x und y unabh~ngig) bringen. Fiir jedes

x , H existiea (wegen H ~ I[9, H'][) ein y~H' mit If, {x, y)] + A, wir kSnnen also den Satz 56 anwenden und [g, z] bilden. Wir haben also: aus xeI-I folgt [g, x ] e H ' und If, [g, x]] x. Aus ueH, veil, u 4 v folg~ also: [f,[g,U]]+[f,[g,V]], [ g , U ] + [g, v]. Wenn wir H* ~- [[g, HI[ setzen, so ist nach alledem H ~ H* und H* ~ H'. Hieraus folgt erstens K Z ( H ) ~ K Z ( H * ) . Es ist also ~icher K Z ( H) <~ K Z( H'), wenn K Z( H* ~ Ii Z( H') ist. Wit miissen demnach zeigen: aus H*<~H' Iolgt I I Z ( H * ) ~ K Z ( H ' ) . Wir setzen .KZ(I']')= P. Da H' ~ P, P ~ H ' . . . (f) ist, kSnnen wit J ' ~ ( h ] ( Q - ~ , ) 2 setzen. J' <,),

( (~*~s'~

P~-" O Z (H', J'). Naeh Satz 50 ist also, wenn wir Q = O Z H*, \-HT] ] setzen, Q ~ P . Ferner ist~ H*, \~-7] Q' \ 3 , / X, also H* ~ Q, ,also Q .~ H*,

H* ~ KZ(H*), d.h. Q ~ KZ(H*): Wegen Q OZ, K Z ( H * ) K Z muff folglich Q >~K Z ( H * ) sein. Zusammenfassend gilt folglieh: K Z ( H * ) <~ Q < P .~ ~KZ(H'), K Z (H*) ~ KZ(H~). Damit ist unsere Behauptung vollstiindig bewiesen. Wir beweisen noeh die Umkehrung des Satzes 68. Satz 69. H, H" seien zwei Bereiche. Wenn K Z ( H ) ~ KZ(H'~ ist, ,o gibf es er lI-Ding qJ, ,o da# H<~ [[9, H']] i,t. Beweis. Es ist H' ~ K Z ( H ' ) K Z ( H ) ~_~H; wit wiihlen also die

II-Dinge f, e so, dag B ' ~ K Z ( H ' ) . . . (f), KZ(H) ~ H...(g) gilt. s~) Im wesentliehen ist es dieser Satz, der (in Verbindung mit dem fast trivialen Satze 67) die Umgehung des Bernsteinschen ,Aquivalenzsatzes ~ erm6glicht. Es kommt dabei im wesentlichen auf die fo]gende Tellbehauptung desselben an: Wenn H* ~ H ' ist, so ist auch H Z ( H * ) ~ K2. (HP), Diese fuflt ihrerseJts auf dem Satze 50 fiber Ordnungszahlen. - - Unsere, auf den Ordnungszahlenbegrifl gegrilndete, Uber]egungsweise schaltet die spezifisch ordnungszahlen-freien Gedankeng'ange der ,nsiven" Mengenlehre (beim Bewei~e tier Vergleiehbarkeit wohlgeordneter Mengen, des Woh]ordnungssatzes, des Aquivalenz~tzes) aus.

Die Axioma~isierung der Mengenlebxe.

Dann i~e ~Z(H')

= Irf, ~'}1, H= ![~, ~Z(H)]i

Wenn wit also ~ nach [q~, x]

-~

7~5

~i~o A~< i[f; '?:e,H']I]I.

If, [g, x]] wiihlen, ~o wird H ~ i[T, N'-]i,

wie gewiinseht wurde. Nun kSnnen wir, ebenso wie b e i d e r Ahnliehkeig (Kap. V1, w 2) fes$o s~ellen~ da~ zwei beliebige Bereiehe in bezug auf ihre Aquivalen~-]~igen~ ~ch~ften nur dreiertei Gharakter zeigen kS~men. H, H ' seien zwei Bereiehe. h~i~ Hilfe der S~tze 68 u n d ~9 sieh~ man so~ort, d ~ unter den un~enstehenden kussagea me bei k s~ehenden, die bei B sgehenden and die bei C stehenden untereinander gleiehbedeutend sind~). A. Es gibt ein II-Ding ~o mi$ H~< I[~o, H']I, und es gibt ein H-Ding y mi~ H + <~ try,, H]I. Es i8~ K Z ( H ) = KZ(R'). Es gibt ein II-Ding ~ mi~ H ~< ][T, H'JI, und es gibt kein ][I-Ding mit H' <~ l[v, zt71. ~,~ i~t ~ z ( H ) < gZ(H'). C. tgs gibt kein II-Ding ~ mit H~ 119%H']I, und es gibt ein t][-Ding y,

~it ~' < t[v', :~I. Es ist KZ(R) > ~Z(B'). Aus der zweiten Formuliemng einer jeden Zeile folgg sefert, dat~ s~e~s einer and nur einer der drei F~lle A, B, G besteh~. ( D e r a priori denkbare vierte Fall hingegen, bei dem es kein II-Ding cp miv H ~ ][~o,H'~i und kein II-Ding V mi~ H'~< ][V, gJl gib% ~rit~ also niemais ein. Dies ist eben die ,,allgemeine Vergleichbarkeiet) Ferner ist der Fall A, nach Sat~ 67, mit H ~ H s gleiehbedeatend. D e f i n i t i o n . lira FMle A is~ H.~_.H'. In den F~llen B und C schreiben wit H ~ . H ' bzw. H.>>~H ~. Wir bemerken noeh eines. Da ~ * * ~ Z und D * * ~ ~2"* ist, ist ~(D**) = g2**. Nach Satz 64b ist ein Bereich H dann und nut dann keine Menge, wenn KZ(H)= D ~* ist. Dies kSanen wir aueh so ausdrfieken: KZ(H)= KZ(D**), d. h . H ~ D**. Nun is$ abet D keine geage, so da~ D ~ ~2"* sein muB. Also isg H~_~D** mig H ~ D gieiehbedeu~end, d.h. ein Bereieh H ist dana und nut dann keine Menge, wean H ~ D isto Wir kSnnen dies sis eine Versehiirfung der Aussage des Axioms IV. 2. ansehen. ~) Unsere Fallunterseheidung A, B, C (d. h. jeweils die erste Formutierung) ist -o-"-~' in der ,,naiven" Mengenlehre nachgebfldet tmmerhin wurde tier sog. ,,Trieh ~owav deft in tier Reget nicht unsere Relation fesSgestellt~ aondern die ihrer Form naeh e~wasengeren Relationen H ~ H*', H* ~ H' beniitzt. Indessen sind beide Retationen mi~eina~der gleiehbedeutend (vgi den ersgen Toil des Beweises yon Satz 08), die Zurfiekfffihrung aufeinander geiingt aber bIoB mit Hilfe des Aiaswahlpriazlps. (Dies is~ wohl eine der friihesten Gelegenheiten gewesen, bei denen die ,naive" Mengeulehre d~ Auswaldprinzip, unb~uI~t, wesentlieh benut~te.)

736

J. v. Ne~m~nn.

Da fiir alle Bereiche H ~ gilt, also H ~ lifo, ~]I (man wiihle 9~ so, daf stets [q~, x] -----x sei), so besteht zwischen H und Q stets einer der beiden F~lle A und B, d.h. es ist H ~ ~.Q. H ~ ~ eharakteristisch ist, ist fiir Mengen H ~ VIII. Die Endlichkeit.

Da flit Nicht-Mengen

~ charakteristiseh.

Die e r s t e n Ordnungszahlen~

1' Die Endliehkeit.

Wir beginnen diesen Paragraphen mit der Definition der endliehen Bereiche. Fiir die Endliehkeit wurden in der ,,naiven" Mengenlehre mehrere, der Form nach ziemlieh verschiedene Definitionen beniitzt, die gr6fltenteils den Begrifl der Wohlordnung oder der $,quivalenz beniitzen 84). Wir werden hier eine Definition a~wenden, bei der dies nieht der Fall ist, was ihre Anwendung wesentlieh erleiehtert. D e f i n i t i o n . / / s e i ein Bereieh. Wir nennen H endlich, in Zeichen: H E , wenn es die folgende Eigensehaft besitzt: es gibt keinen Bereich K~(H), K~ffiO, fiir welchen zu jedem x s K ein y ~ K mit x ~ g existiert. Wir nennen H unendlich, in Zeichen: H U , wenn nieht H i S ist. Es gilt zuniichst der folgende Satz: Sa~z 70a. Jeder endliche Bereich H ist eine Menge. S a t z 70b. Es gibt einen und nut einen Bereich L , so daft eine Menge H dann und nut dann endlich ist, wenn Me Elemen$ yon L i8~. Die~es L bezeichnen wit mit ~ . Beweis. (Fiir 7 0 a . ) H sei ein Bereieh, abet keine Menge; wit miissen dann zeigen, daf H U ist, d. h. einen Bereieh K angeben, der die in der Definition ge ~annten Eigensvhaften besitzt. Ein solehes K ist nun p(H) selbst. Es ist in der Tat 2 ( H ) ~ 2 ( H ) , p(H) +0 (das letztere well z. B. 0ep(H) ist). Und wenn xep(tt) ist, so ist x ~ H und x eine Menge. D a abet H kelne Menge ist, ist x 4= H, als0 x < H . Wir wiitflen nun u so, daft u e H i s t , aber nicht u e x ist. Dann ist aueh x + { u } eine Menge und es ist x + { u ) ~ H , also ist x - ~ - ~ u ) e y ( H ) . Ferner ist ~ : v - ~ - ( u ) . Wit haben also ein yelP(H) mit x ~ y gefunden. (Fiir 70b.) H E bedeutet , H e D * und es gibt k e i n K e j P ( H ) - - ( 0 ) , bei dem zu jedem x ~ K ein y e K mit x < y existiert". Dies ist auf die gewohnte Art olme weiteres aut die Form [f, HI + A zu bringen. Wenn ~) Eine Zusammenste~unggibt A. Tarsky: Sur les ensemblesfinis. Fundament~ Mathematicae 6 (1924), S. 45--95.

737

Die AxiomatAsierung der Mengenlehre.

wir claim L ~ ( f ) setzen, so ist L ein Bereich und besitzt die gewiinschte Eigensehaft. Da~ es nut einen solehen Bereich gibt, folgr aus L 4. Weiter beweisen wir einen Satz) bei dem das Axiom V. 1. zum ersgen (und einzigen) Ylate benutzt wir8. Es is~ iiberhaupt nut u m dieses Satzes willen) dal3 wit das Axiom V. 1 eingefiihr~ haben. (Freilieh hi~ngen die Siitze yon Kap. VIII, w 4 und teilweise aueh zu Kap. IX, w 2 yon diesem Satze ab.) Sa~z 71. Es gibt ein~ unendiivhe Menge (d. h. ez ist _~<~*). Beweiso Wir betraehten das I II-Ding f in V. 1." un4 w~hlen g naeh IV. 1 (so dal3 [g, x] # A bedeuCet, dai~ x ein I :[I-Ding is~); and /f[0~ H = ~(h). H ist offenbar ein Bereich, seine dann setzen wit h = ~-~-), Elemente sind ~alle x s f, die I II-Dinge sind. Es ist h ~ f u n d f is~ ein I II-Ding, also ist es auch h, d.h. H ist eine Menge. Die in V. 1 formulierten Eigensehaften yon f besagen dann fiir H: es ist H # 0, und zu jedem x e H gib~ es ein y e l l , so da$ x < y ist. Jetz~ w~hlen wir j so, da$ fiir nile I II-Dinge x [J, = 2 ist. Wit se~zen t [ ~ , / t ] I - ~ K . Da H eine Menge is$, is$ auch K eine ]~enge, wegen H=~ 0 is$ K =4=0. Wenn u e K ist, so ist u = [ j , x J = ~(x), x~H, also insbesondere u ~ x. Da x e H ist, gibt es ein y e l l , so da$ x < y ist. Fiir v = [ ] , y J . = 2 ( y ) ist dann veK, v N y ~ Da u ~ x < y , - . ~ v , also /~< v ist, kSnnen wir sagen: Zu jedem u e K gibt es ein ve_K mi~ u < v. Dabei is$ abet K eine Menge, und alle seine Elemente sind es ebenfalls. Wir setzen M ~ S (K). Da K eine Menge ist, is$ es auch M. Un4 M i s t unendlieh, denn es ist, K<~,P(S(K)) (well alIe Elemen~e yon K Mengen sind), d.h. K~
2. Eigenschaften der Endlichkeit. Satz 72a. Es 1st 0 E . Sa~z 72b. Hsei eine Menge, u ein I-Diag. Aus H_E /olgt H~-{u} ~'. Mathematisclle Zeitschri~to XXVIX.

47

738

J.v. Neumann.

Beweis. (Fiir 72a.) Wit miissen zeigen: Zur bIenge 0 gibt es kein K mit den in der Definition i m w 1 angegebenen Eigenschaften. Wegen ~ P ( 0 ) = { 0 } folgt aus K ~ < ~ ( O ) , K ~ - 0 offenbar K - ~ ( 0 } ; also ist x e K mit x ---~0 gleichbedeutend. Fiir u s K haben wir also u = O , und es is$ flit jedes v e K v ~ O = u , also niemals u < v . (Flit 72b.) Nehmen wit an, es wiire H + { u } U, d.h. es g/ibe einen Bereich /f' mit K ' ~ P ( H + { u } ) , K ' + 0 , ' so da8 zu jedem x's.K' ein y ' e K ' mit z ' < y ' existierte. Wit wiihlen ein II-Ding f so, dab stets [f, x] = x - - { u } ist, und setzen K - - I[f, K ' ] t " Wegen K ' 4~0 ist K + 0 . Wenn x s K ist, so ist x=- If, x'] = x ' - - {u}, x'e K'. Also ist x' s} >(H-}- {u)), x' ~ H + {u}, und x <~H + {u} -- {u} ~< H, x e2~(H). Folglieh ist K ~ fl(H). Wenn x s K ist, so ist z = [ f , z ' ] = x ' {u}, x ' e K ' Es gibt ein y ' e K ' mit x ' < y ' und ein Z'sK' mit y ' < z .' y = if, Y'] _ y ' - - {u} und z = [f,z'] ~ z ' - - {u} ist dann aueh y ~ K , z e K . Aus x ' < y ' < z " Iolgt x ~ y ~ z . Wir behaupten: Es ist x < z . Sonst wiire niimlieh x --~ z, z ~< y ~< z ~ z, also x ----y = z. Dies bedeutet aber: x ' - - {u} ----z ' - - {u}, also ist z' ~< z' - - { u } -~- {u} =x'--{u}-4-{u}~x'+{u}, und weiter x ' < y ' < z ' < ~ x ' - k - { u } , x ' < y ' < x ' ~ - { u ) . Dies ist abet 6fienbar unmSglich. Also gibt es zu jedem x s K ein z s K mit z < z. Folglieh ist auch H U . Wenn also H i S ist, so ist auch H-4-{u}.E. 8 a t z 73. L sei ein Bereich. Wenn Oe L ist und /i~r ]ede Menge H und ]iir ]edes l-Din9 u aug H e L .H+{u}sL /olgt, so geh6rt jede endliche Menge zu L, d. h. es ist . ~ ~ L. Beweis. H sei eine Menge, die nich$ zu L gehSrt. Wit bilden K = p(H).L. Es ist offenbar K g 2 ( t t ) , und da z.B. 0ep(H), OsL ist, also O e K ist, so ist K 4= 0. Es sei x e K . Dann ist erstens x s ~ ( H ) , x ~ H. Zweitens ist x s L , also x + H. Folglich ist x < H. Wit ws u so, dal~ u e H sei, aber nieht u e x . Dana ist x - t - { u } ~ H , u n d well es z ist, auch x A - { u } eine Menge, also x+{u}~p(H), und well x e L ist, aueh x.-4-{u}eL. Also ist x + {u} s K. Und da u nieht zu x gehSrti ist z < x-f-{u}. Es gibt also zu jedem ~ e K ein y e K (n/imlich y = x - - f - { u } ) mit z < y. A l s 0 ist H U . Aus H E folgt dann H ~ L . Dieser Satz 73 ist eine Form des Prinzips des Beweises durch vollstiindige Induktion, welche den Begriff der Zahl nieht voraussetzt. Die andere, eigentliehe und den Begriff der Zahl voraussetzende Form desselben werden wit beim Betrachten der ,natiirliehen Zahlen" im w 4 aufstellen.

Die Axiomat~isierung tier Mengenlehte. Wir gehen nun daran, mi~ Hi lfe der S~tze 7 2 ~ b gedehntere Klassea yon end]leben Mengen anzugeben.

739 und 73 aus~

Satz 74. Wenn H, H ~ Me~gen sind und H r ~ H iet, 8o /olgt aue H.E auch Hg E . Bewsis. Wi~re H ' U , so g~be es ein K ~ c O ( H ~)~ K + O , bei dem es zu jedem x e K ein y e K mit x • y gib$. Aas H ~ H folg~ ](H')~2(H), also ist K g 2 ( H ) ; d.h. aus 4er Existenz 4ieses K folgt auch H U. Aus H E folgt also H ' E . S'atz 75. Wenn Heine Menge und c? ein H-Ding ist, so /olgt aus

HE a~ch i[~, H]JE, Beweis. Wir kSnnen leicht ein H - D i n g # konstruieren~ so da~ die Bedingung , H ist eine Menge und I[~, H]I ist. endlich" mi~ if, H] + A (f ist yon ~ abh~ngig, abet nicht yon H!) glsiehbedeutend isg. Wit setzen L = ~ ( / ) , L ist ein Bereieh, and seine Elemente sind alIe H mit der obigen Eigensehaft. 0 ist sine Menge,, und ! [q~, 0] ! = 0 ist end]ieh, also ist 0 ~ L. Wean x e L ist und u ein I-Ding ist, so ist x eine Menge, also auch x-~-{u}; und t[q',x]( ist endlich, also auch I [ q ~ , x + ( u } ] ! = ! [ ~ p , x ] [ + ( [ c f , u]}. Also ist x + (u} e L . Naeh Satz 73 ist also flit jedes endliche H He L, d.h. ]l[q~, H] endlieh. S a t z 76. Wenn H, K zwei endliche Mengen Bind, so ist auch H + K endlich. I~eweis. H sei eine endliehe Menge. Wir bringen die Bedingung , K ist eins Menge, und H - ~ - K ist: endlich" auf die Form If, K] ~ A ( f yon K unabh~gig, aber nieht von H!) uad setzen L ~ _ ~ ( f ) . List ein Bereich, seine Elements sind alle K mit der obigen Eigenschaft. 0 ist eine Menge, und H-l-O = H is~ endlich, also ist OeL. Wem~ x e L ist und u ein I-Ding ist, so ist x eine ~Ienge, also auch x + { u } ; u n d U ~- x ist endlich, atso auch H § x + {u} = H-~- x + {u}. Also ist x + { u } ~ L .

Nach Sara 73 ist a!so fiir jedes endliehe K K e L , d.h. H + K endlich. Sara 77. Wenn H e i n e endliche Menge ist und H ~ E ist, so ist auch SI H) e,dlich. Beweis. Wir bringen die Bedingnng ,,H ist eine Menge, uncl entweder is~ nicht H ~ ~r,,, oder es ist S ( H ) endlieh" auf die Form [ f , H ] ~ . A (f unabhgngig yon Hi), trod setzsn L : = ~ ( f ) . L ist ein Bereich, and seine Elemente sind atle H mit der obigen Eigensehaft. 0 ist cine ~ienge, und S ( o ) = 0 ist endlich, also ist OeL. Wem~ ~.e L ist und u ein [-Ding ist, so is~ er~tens x eine Menge, aiso auct~

740

J. v, Neumann.

x + {u}. Zweitens ist entweder nieht x + {u} ~ E , oder aber dies ist der Fall, dann ist aber auch x ~ _E"~ u e_~ In diesem Yalle ist wegen x e L , x ~ E S ( x ) endlich und wegen u e E aueh u endlieh, also ist es S ( x +-{u}) = S ( x ) + u ebenfalls. D.h. es ist x + {u} eL. Nach Satz 73 ist also fiir jedes endliche H HeL; w e n n folglich H ~ E ist, so muB S ( H ) endlieh sein. Satz 78. Wenn H eine endliche Menge ist, so ist auch ] ( H) endlich. Beweis. Wix bringen die Bedingung ,,H ist eine Menge und ~P(H) ist endlich" auf die Form [f,H] + A ( f i s t unabh[ingig von H!) und setzen L = _ ~ ( f ) . L i s t ein Bereich, und seine Elemente sind alle H mit der obigen Eigensehaft. 0 ist eine Menge, und ~P(0)= {0) ist endlieh (well 0 und folglich aueh { 0 ) = 0 + { 0 ) es ist), also ist 0 e L . Wean x e L is~ und u ein I-Ding ist, so ist ersten.s x eine Menge, also ist es auch x + {u}. Zweitens ist 2 I x ) endlich; wit wollen zeigen, (lab daraus auch die Endlichkeit von 2 ( x + {u}) folgt. Wenn y e 2 ( x + { u } ) ist, so ist y ~ x + { u } . Wenn nicht u e y ist, so foIgt hieraus y ~ x , d.h. y e ~ ( x ) . Wenn im Gegenteit u e y ist, so ist y = y - - { u } + { u } , y--{u}~x, d . h . y - - { u } e 2 ( x ). "D. h. in diesem Falle ist y ~- y ' + { u } , y'e.P(x). Wit w~ihlen nun g so, dai] fiir alle Mengen y' [g, y'] = y ' + {u} (g yon y' unabh~ngig, aber nieht yon u!) ist. Dann folgt aus

d.h.

I[g,

entweder y,2( Also is,

)ist, oder y = [ g , y*], + I[g,

Aus der Endliehkeit von 2 ( x ) folgt auch die yon ![g,~P(x)]i, 2 ( x ) + i[g, 2 ( x ) ] t , und also auch die Endliehkeit yon 2 ( x - ~ {u}). Somit diirfen wit sehlieBen, dab x + {u} eL ist. Naeh Satz 73 ist also flit jedes Endliche H He L, d.h. p(H) endlich. Satz 79. H, J seien zwei endliche Mengen. Da sind auch die'Mengen !( H: J)!, H J endlich.

H sei eine endliche Menge. Dann sind aueh die Mengen lfO (H), NO ( H) und h)O( H) endlich. Ferner ist ]i~r ~edes Jl~O H (also auch ]i~r jedes JYO H oder Jh)O H) J endlich und (]alls Jh)O H ist) OZ(H, J) 9 endlich. Ferner ist auch K Z ( H ) endlich. Beweis. Beim Beweise yon Satz 12b sahen wit, dab i I ) ] ! . A u s H_]~, J E folgt also (lie Endlichkeit yon H J.

Die Axiomatisierungtier Mengenlehre.

wit wissen, ist

VO(H)

UO(R)<

741

H)i).

Aus H.li~ iolgt also die Endliehkeit yon U0 ( H ) , ) 2 0 (H), ~)0 (H). Wenn JZ[OH ist, so ist J < I(H, H)], also folgt aus H E die Endliehkeit yon J. Wegen OZ(H, J)= I[Z(H, J), HI i folg~ aus HA~' auch OZ(H, J) E; and wegen H ~ ] K Z ( H ) , d.h. K Z ( H ) = [f~ HI folg~ aus H ~ auch

( SohlieBlich beweisen wit noch einen Satz fiber das Verh~ltnis yon Endliehkeit m~d hquivalenz. Satz 80a. H, H' seien zwei Mengen, H~_~H'. Dann ist H_N

mit H'_E, und It U mit H ' U gleiehbedeutend. Satz 80 b. H, H' seien zwei Mengen. Wenn H_E, H ' U ist, so ist H ~ H'. Beweis. (Fiir 80a.) Aus H ~ H ' Iolgg H ' = i [ f , H ] i , aus H E folgt also H'_E. Da ebenso H P ~ H ist, folg* auch aus H ' N H E . D.h. H_E ist mit H'.E gleichbedeutend. Also giIt aueh dasselbe fiir die Negation der Endliehkeit, die Unendliehkeit.

Sob.) H'

H ist naoh

6e

HJI gteiot-

bedeutend. In diesem Falle folgt aus H i S die Endliehkeit von [[s H]I und H'. Wegen H ' U mug also H'>>>H, H ~ H ' sein.

3. Grundoperationen mit OrdnungszaMem Sa~z 81a. Es ist OeD**. 8 a t z 8lb. Wenn PeD** ist, 80 ia auch P+{P}e~2**. Wir bezeiehnen P-4-{P} auch mit P @ I . Satz 81 c. Wenn]ff ~ ~** ist, so ist S (]g)e g2** oder S (jF[) -~- D**,

]e nachdem ob j>f eine Menge ist oder nicht. Folglich ist ]eden]alls S (+~f) OZ. Beweis.

(Fiir 81a.)

0 ist eine Menge, wit miissen also aur noeh

OO Z beweisen, d. h. dab 0 den Bedingungen des Satzes 46 genfigt. Dies ist abet sieher der Fall, well 0 iiberhaupt keine Elemente hat. (Fiir 81b.) P ist eine Menge, {P} ebenfalls, also ist es aach P + {P}; wit miissen also nur noeh P + {P} O Z beweisen, d.h. da$ P + {P} den B.edingungen des Satzes 46 geniigt. Aus Pe=Q** folgt P ~ ~2"* und {P} < ~**, also P + {P} ~ .Q**o Wenn Q e P + {P} ist, so ist entweder Q e P, also Q < P ~ P + {P}, oder Qe{P}, Q = P ~ < P + { P } . Es i s t also jedenfalls Q ~ < P + { P } . D.h.: P + {P} erfiillt in der Tat die Bedingungen des Satzes 46. (Fiir 81e.) Wit zeigen zuerst, dab S ( j } f ) O Z ist, d.h. dab S(fi~) den Bedingungen des Satzes 46 geniigt.

742

J.v. Neumann.

Aus PeS(.]ff') folgt PeQ, Q*JI~, wegen jY/~ ~2"* ist QOZ, also auch P O Z ; folglieh ist S(JY/)~<~**. Ferner folgt aus PeS(jY[) PeQ, Q~JYI', also wegen POZ, Q O Z P < Q. Da abet wegen QejY/ Q g S ( f l ) ist, ist auch P < S ( f l ) . Damit ist S ~ ) O Z bewiesen. Also ist SOY/') + ~2"* oder = .Q**, d. h. e D** oder -----~**, je nachd e m o b 3 (tiC) eine Menge ist oder nicht. Wit miissen also nun noch beweisen: 3 (j)~) ist dann und nur dann eine Menge, wenn j ~ eine ist. Ist j ~ eine Menge, so ist es jedenfalls auch 3(j~). Ist hingegen S ( ~ ) eine Menge, so ist es auch 2(S(flr und wegen tiC< 2(S(JY/)) aueh j ~ . ( j ~ < 2 ( S ( J } ~ ) ) gilt offenbar flit jeden Bereich j ~ , dessen Elemente Mengen sind.) Satz 82. Es sei Pe~2**, Qe~**. Dann bestehen die /olgenden Relationen : P < Q ist mit P ~ 1 <~ Q gleichbedeutend~ P < Q 4 1 ist mit P ~ Q gleichbedeutend. P ~ Q ist bzw. mit P-4-1 ~ Q ~- 1 fleichbedeutend. Beweis. Da P , P + { P } , P e P - ~ ! isLund P O Z : P 4 1 O Z is'~, so gilt P < P ~ - I . Aus P ~ I ~ < Q folgt also P < Q . Aus P < Q hingegen folgt P-~I<~Q; denn sonst wiire P ~ - I > Q , Q < P ~ - I , also P < Q < P + {P}, was offenbar unmSglich ist. Damit ist die erste Behauptung bewiesen. Wir beweisen nun die dritte. Aus P = Q folgt P 5r 1 --- Q -~ 1. Aus P < Q folgt P ~ I ~ < Q < Q 4 1 , P41 Q folgt Q Q - ~ I . Also: aus P ~ Q folgt bzw. P~-1 ~-Q-]-1. Und da es sich bier jeweils um vollstiindige Disjunktionen handelt, gilt aueh die Umkehrung. SchlielMich beweisen wir die zweite Behauptung. P < Q ~- 1 bedeutet P + I g Q ~ - l , und dies P < Q . ~atz 83. Es sei P O Z . Dann ist entweder P = Q ~_ 1, Q O Z oder es ist P----S(P), und beides zugleich finder hie start, lm letzteren Falle nennen wir P eine Limeszahl, in Zeichen: P I, Z. Beweis. Wenn P = Q ~ I ist, so folgt aus R e S ( P ) : ReT, TeP, d.h. R ~ T , T < P. Also ist T < Q + I , T~< Q, und folglich R eQ. Also is~ S ( P ) ~ < Q < Q ~ I = P , S(P)
Die Axiomatisierung der Meagealehre.

74=3

T >~ P naeh sieh. Nun hag B < P die Konsequenz ~ @ 1 ~< P; and weget~ . B < R @ I mu$ R @ 1 2 P sein. Also is$ R @ I = P . Zwei Limeszahlen kSnnen wir sofor~ angeben: 0 und D**. S ( 0 ) ~= 0 isg ni~mlich trivial, und S ( D * * ) : = ~2"* folgg z. 13. au~ SaSz 81c, weii z~2** keine Menge ist. 4. Die nagiirliehen g~Lhlen~ m. Wit sind jetz~ in der Lage, die na~iirliehen Zahlen (d. h. die nich~negagiven ganzen rationalen Zahten) zu definieren. D e f i n i t i o n . Wit aennen P eine nagiirliehe Zahl, in geiehen: P N Z , wenn P O Z und P E is~, D.h. wenn Pe_E.D** is~. Sags 84. Den Bereich _E.D**, dessen Elemente aloe na~ii.rliche Zahten .sind, nennen wit m. Es ist reeD**. "Beweis. Zuerst zeigen wit, da~ coOZ is~, d.h. dag es den Bee dingungen des Satzes 46 geniigt. Aus Peo~ folg~ P O Z , P~E, also ist Pesg**, und folglieh c o ~ D**. Wenn P e w isL so ist P E , aus Q e P foIgt abet Q O Z und Q < P . Also ist such Q E , d. h. Q 2~Z, Q e co. Also ist P ~ w. Damit ist co O Z bewiesen. Es bleibt noch iibrig zu zeigen, dal] co eine Menge ist. Naeh Satz 47 geniig~ es hierzu naehzuweisen, dab co + [2"* ist; also da/] es eine nieh~ zu co gehSrende, d.h. unendliche Ordnungszahl gibe, die ztl D** gehSrL d. h. eine Menge ist. Nun g!b~ es nach 8atz 71 jedenfalls eine unendliehe Menge, H, also ist K Z ( H ) eine Ordnungszahl, die wegen H ~ K Z ( H ) sowohl unendlieh als aueh eine Monte isg. Damig ist die Behaup~ung bewiesen. Sagz 85a. Es ist Oeco. Aus Peru [oIg~ P @ l e c o . Satz 85b. M eei ein Bereich. Wenn OeM ist, und aus Pe M, P e Q** P 4 1 e M / o l g t , so ist co < M .

Beweis. (Fiir85a.) Es ist O O Z , 02J, also 0 ) ~ Z , 0 e c o . Wenn P e w , d.h. P _ ~ Z , d.h. P O Z , P E ist, so ist such P @ I O Z , P @ I _ E (wegen P 4 - 1 P + { P } ) , also P 4 1 ~ Z , P41e~. (Far 85b.) Wenn nieht co ~ M w/ire, so giibe es ein Pc co, flu: welches nicht P e M ist. Wegen Peco ist P N Z , d.h. P O Z und P/~:. Wit bilden nun den Bereieh JY/-----P.M. Aus x e J)f folgt x e P, also x < P , also x e 2 ( P ) ; folglich ist ~ / < 2 ( P ) . Ferner ist OeM, und da nieht P s M ist, 0 + P , d.h. 0 < P . Hieraus folgt abet 0 e P , also OeP.M, Oe~r Also ist 2Yg+0. Sehliel]lich gilt fiir jedes xe ],f offenbar: xe P, xe M. Also ist x O Z , x < P, x e M ; und da x e P , P ~ D**, ist such xeD**. Wegen x e M ,

744

J.v. Neun~nn.

~reD** ist nun x - ~ - l e M . Aus x < ~ P folgt andererseits x ~ - i ~ P, da abet z -]- 1 ~ M, abet nicht P e Mist, so ist x-4- 1 =b P. Also i s t ~ -]- 1 < P, x~leP. Ausalledemfolgt x - ] - I ~ P . M , x - ~ l e f l f . U n d d a x < x - ~ - I ist, so kiinnen w i t sagen: ~es gibt z u jedem x e J ~ ein y e j ~ mit x < y. Nach der Definition der Endlichkeit mul3 also P U sein, was mit P i g im Widerspruch steht. Der Satz 85 b ist die zweite und eigentliche Fassung des Prinzips vom Beweisen durch finite (vollst~indige) Induktion. Das De/inieren dureh finite (vollst~indige) Induktion ist damit natiirlich noch nicht erledigt, es soll uns erst im Kap. IX, w 2 besch~iftigen. Wit beweisen noch einige S~itze yore VerhRltnis der Ordnungszahl o~ zur ~quivalenz. Satz 86. Es ~8~ coJLZ und c o I f Z . Es ist coU. Beweis. Es kann niehr c o ~ P ~ - I , P O Z , sein. Denn dann w~re P H' -- l[f, H]l ----Ill, H - - 0]l, also 0 ~ K; folglieh ist K # 0. Es sei x e K . Wit setzen y ~ - H - - I [ f , H - - x ] ] . Wegen y ~ H ist yej>(H). Aus x e K Iolgt H - - y = ][f, H - - x]l <2 H - - x, x < y. Fer,er

Die Axiomati~ier~mgder Menge~ehre.

745

folgt aus H - - x > H - - Y I[f,H-x]l>tit',H-Y]l (weil ~iir u e H , v e i l , u + v stets If, u] + [f, v] ist), d.h. H - - y > l~f, H - - Y]I. Also ist y e K . D.h.: zu jedem x e K gibt es ein y e K mit x < y ~ Damit ist H U bewiesen. Nun sei umgekehrt H U . Dann is~. K Z ( H ) ~ co. Wit setzen

KZ(H)--~=,, KZ(H)=~+~. ~s ist K Z ( H ) ~ H . . . ( h ) , also H = i[h, ~ z (H)]i = I[~, ~]1 + lib, ~]j. Dabei haben lib, ~]r .nd i[h, ~lr kein gemeinsames Element, well co und ~ keines habea~ und aus u e K Z (H), v , K Z (H), u 4 v [h, u] =b [h, v] feign. Wit kSnnen aueh schreiben : H ~ - ] [ h , w]l + H*, lib, wit und H* haben kein gemeinsam.es Element. Die Bedingung: ,,Entwe~er is$ x e I[h, ~o]I, and dabei x = [h, zJ, z e a~ und y = [h,z ~-1]; oder es ist x e H * und y = x " k6nnen wit auf die Form [ i , (x, y)~ 4=A bringen. Da fiir xel[h , co~! oder xeH*, d.h. ffir ~ e H , ein einziges y dieser Bedinguag geniig~, so wenden wir III. 3. an: Dieses y ist -----[k, xJ.

F~r ,~t[~,,o]l

ist also x = [ h , z ] ,

z e ~ , [k, x J = [ ~ , z + I ] .

F~r

xeH* ist [b, x] ~ x . Aus dieser Eigenschaft des b schlieBen wit leieht zweierlei. Erstens, dal~ aus ueH, veil, u + v [k, u] @ [k, v] folgt.

Zweitens, d~a I[~, fib, ~]lJI ~< lib, ~ -

{0}]I < lib, ~]1 ~ a f[k, R*]I = H*

ist. Hieraus folgt abet H ~ Ilk, H][ und [[k, HI( = I[1r ([h, m]t]! +[[]c, H*][

< lib, ~]1 + H * = u. Wir haben also eiffH p < H mit H ~ H ' gefunden: n~mlich lib, H]I. Damit ist tmsere Behauptung volls~ndig bewiesen. Sa~z 89. Aus P l q Z /olgt P K Z . Hingegen ist aufler 0 bein PDTZ aueh P Z Z. Beweis. W g r e nicht P K Z , so ggbe es eme Ordnangszahl Q mi~, Q < P~ Q ~ P, was mit P ~ , d.h. mit P N Z , nach Satz 88 unvereinbar ist. Wenn P + O , P . L Z ist, so ist erstens 0<:: P, d.h. O,P. Zweitens folgt aus Q e P Q O Z , Q < P, also Q -L 1 g P. N u n ist P n i c h t = Q ~ - 1, also Q 4 - 1 < P , Q~leP. Naeh Satz 85b ist also ~ P , was mit P,WZ, P < a~ im Widerspruche steht. IX. Induktionssatze. 1. Die transfinite Induktion. In diesem Kapitel werden wir die Zul~sigkeit (d. h. die MSglichkeit und Eindeutigkeit) tier Definition dutch transfinite bzw. finit e (gewShnlithe vollstgndige) Indaktion beweisen. Diese Art des Definierens wurde in der ,,nalven" Mengenlehre allgemein Ms etwas SeIbstvers~ndliches, unmittelbar Anschauliches angesehen. Innerhalb eines axiomatischen Systems

746

J.v..Neumann.

kann yon einer Selbstverstiindlichkeit dieser Definitionsprozesse keine Rede sein: es mul3 vielmehr streng aus den Axiomen deduziert werden, dab die dutch sie herzustellenden Funktionen existieren. Aul~erdem ist der unmittelbar ansohauliche Charakter wenigstens der Definition dutch transfinite Induktion gar nicht so unanfechtbar, als man zungehst anzunehmen geneigt sein kSnnte~). Das Prinzip der Definition dureh transfinite Induktion formulieren wit zuni~ehst mSgliehst allgemein. S a t z 90. q~ sei ein H-Ding. Es gibt ein und nut ein H-Ding to, welches die /olgenden Eigenscha/ten besitzt: 1. Wenn nicht xe•** ist, so ist [ ~ , x J = A (d.h. ~ < Q * * ) . 2. Wenn x e ~** ist, so ist =

(wege (91o)< J

(vl0 / Z

t

I I1-O .g). O eses

ma

B e m e r k u n g . Die Formulierung des eigentlichen induktiven Deftnitionsprinzips ist die Bedingung 2. Da es der Form nach etwas ungewohnt sein mag, ist es vielleicht gut, einige erl~iuternde Worte hinzu-

zufiigen.

(wIO~

charakterisiert

Funktion) yJ im Bereiche x. dab dann und nut dann

den Wertverlauf des II-Dinges (d. h. der Man sieht dies sofort, wenn man beachtet, (Y~0)-~-(~'~ ~ 1 0 ) ,

ist,

wenn

,iir

alle

uex

[~', u] ---- [to", u] ist. Also driiekt die Bedingung 2 das Folgende aus: [yJ, x] berechnet sich auf eindeutige Weise aus x und dem Wertverlauf yon to in x, d. h. flit alle Ordnungszahlen < x. BeweisaS). Der besseren Ubersicht halber werden wit den Beweis in fiinf Ahs~tze A bis E zergliedert fiihren. Ehe wit aber zu diesen Uberlegungen iibergehen, stellen wit noeh das Bestehen yon zwei Identit~ten lest, n~mlich: Wenn ~p < x ist, so ist (~l , x 0 ~ = ~p" Wenn flit aUe u e x [yl, u] ----[yI', u] ist (und nur dann), so ist ('A~m0) = (~'~f0).

Man verifiziert beide ohne

jede Schwierigkeit dutch Anwenden yon I. 4., denn diese II-Dinge haben fiir jedes u denselben Wert. 3~) Vgl. den SchluB im Kap. I 3., sowie die Yuflnote 15) da~elbst. ae) Man beachte die Analogie dieses Beweisganges mit der Theorie der Zghlbarkeit in Kap. V, w167 1--3.

Die Axiomatisierung der Mengeniehre.

74~

A. Wit betraeh~en die folgende Eigenschaf$ yon P : ,Es ist P O Z . Es gibt ein II-Ding Z, so dab L wenn nicht x e P ist, so is~ [%, x] -~- A (d. h. es ist %~ P)~ . wean

P iS ,o

[Z,

=

i '0i

!

,,

Wenn P diese Eigensehaft hat, so nennen wir es normal. % bezeiehnen wit dann als sin 3-Element yon P. Wenn P+~(2** is~, d.h. P s g * * , P sine Menge, so ist wegen %~ P auch % ein ]~ II-Dingo Wir nennen dana

einen .~-Wer~ yon P. Es ist nieht schwer, flit Meagen P die Bedingung , P is~ n o r m a l " au~ die Form [f, P] ~= A zu bringen; und weiter die Relationen ,% iSt sin .Y-Element yon P " und ,,u ist sin J - W e f t yon P " auf die Formen [g,
X~tO P hat also das naeh \~-~/('~'~Z geordnete fli~ sin

ersCes Element, etwa z. Es ~st also z e)(~ and aus Y e X folgt z ~< y. Wegen z z . ~ is~ z e P also z O Z und [Z~, z] # [%~, z]. Aus y e z ~olgt y O Z , y < z ; also kann nieh~ y e f l ( s e i n , da dann z~y,y>~z ware. Wegen z , P , z < P ist abet y , P , also muff [g~,y] = ~Z , Y] sein.

Da das fiir alle y~z gill so is~

---~,

was

748

J.v. Neum~nn.

und wegen 2. [Z', z]-----[~", z] zur Folge hat. Da wir vorhin das Gegentell bewiesen hatten, ist das ein Widerspruch. Unsere Behauptung ist also bewiesen. Fiir ein normales P gibt es also ein einziges J - E l e m e n t , das wir mit .7~(P) bezeiehnen, und wenn P dabei eine Menge ist, aueh einen einzigen .7-Wert, den wir mit .7)r bezeiehnen. Wenn folglieh P normal und dabei eine Menge ist, so gibt es ein einziges X bzw. u mit [g, (P, %)] 4= A bzw. [h,
) und zeigen, dag m ein J-Element yon

Q ist. Aus Q e P folg~ niimlieh (da P O Z ist.) Q OZ, Q < P. Wenn nieht x e Q ist, so ist Ira, ~] = [ 0 , ~ ] = A. Also ist 1. erfiilli.

Ist hingegen, xeQ, so ist [m, x] =- [.7C (P), x].

Nun folgt aus zeQ (wegen QOZ) x O Z , x < Q; also aus yex, xeQ

yeQ, d.h. [m, y] -----[.TV(P), V]. Folglieh ist \

56

Da 3 ~ ' ( P ) 2. erfiillt, so ist flit alle xeQ, da wegen Q < P aueh x e P ist,

und nach dem Vor,.'gen Also ist aueh 2. erfiillt. Wir sehen also: Q ist normal und es ist ~ 7 ~ ( Q ) = m = \

(Je(P) ~- 10).

I)io

hxion~fisierung der Mengenlehre.

749

Also isg welter (wegen Q e P ist ja Q sieher eine Mange) 3 W ( Q ) = [~o, (Q, .7~" (Q))] = ~o, (Q ' \ /'To(p) Q I~

~- [_Te (P), QI

D. Unsere ngchste Behauptung ist diese: Wenn P O Z ist und alle Q e P normal sind, so is~ such P normal. Um dies zu beweisen, nehmen wit dos I[-Ding t, flit welches s~ets J W ( Q ) = [ l , Q] is~ (Q normal und eine Mange), and setzen n = L-p-)o Wir behaupten: n isg ein ~7-Element yon P ; dann isg die NormMig~it yon P bewiesen. Es ist P O Z . Wenn nicht XeP is~, so ist

Also is~ 1. erfiill~. folglich isg

[~, ~3 = [o, ~3 = A . Wenn x e P ist, so is~ x normal und eine lf{enge, [ n , z} = [Z, ~3 = J W ( x ) .

Da aus x e P (wegen P O Z ) x O Z , x < P iolgt, so iolgt aus yex, x e P such y e P, also in, y] = 3)V(y), [ 3 V ( x ) , y] = J ) r d.h.

[~, .~] -[3v(~), yl.

Also is~ 9

woraus welter in, x] folgt.

X

$'

t 2W~zj =: [r (x, 3 C ( x ) ) ] = F

Also is~ such 2. erfiillt. Wir sehen also: P ist normal, wie behauptet wurde. E; Nit H'Ke des Resultates in D k5nnten wir nun die Normalitgt des D** analog beweisen, wie w i r e s bei der Z~hlbarkeit v~ wohIgeordneten Bereichen bei Satz 36 (Kap. V, w 3) go,an haben. Die Kenntnis der Theorie der Ordnungszahlen ermSglich~ uns aber einen at.was kiirzeren Bowels. Wenn P e j g lag, so ist PAD**, also ist J Y ~ / 2 * * . Ferner ist P normal, also ist jades Q eP naeh C eine normale Mange, d.h. Q e]~f. Also ist P ~ ju Naeh Satz 46 ist also .ffOZ. Und wail jades PeJY normal ist, so ist nach D such WY normal. Wgre Jt f eine Mange, so miigte demnaeh jYe jY sein, was wegen j Y O Z die UnmSgliehkei~ j g < .]}/ zur Folge hgtte. Also is~ j~f keine 1VIenge, wegen JY OZ mug JY = g2** sein; also ist g2** normal. Dann isg aber, wie wir am Anfange yon C bereits fesgstellten, unsere Behauptung vollst/indig bewiesen.

750

J.v. Nenmann.

2. Ein Spezialfall. Die finite (gew~hnliche vollst~ndige) Induktion. Mit Satz 90 haben wir das Prinzip der Definition durch transfinite Induktion in seiner allgemeinsten Form bewiesen. Wir wollen nun noeh gewisse Beschriinkungen hinzufiigen. So werden wir uns jetzt dem Falle zuwenden, in dem es nicht auf den Bereieh aller Ordnungszahlen, sondern auf Teilbereiehe desselben bezogen wird. S a t z 91a. T s*i *in I I - D i n g , P O Z . Es gibt ein und n u t ein H . Ding v/ , welches die /olgenden Eigenscha/ten besitzt : 1. Wenn n i c h t x e P ist, so ist [y, , x] = A ( d. h. : y, ~ P ). 2. Wenn x e P ist, so ist

Dieses y~ bezeiehnen wir mit 3 ( 7 , , P).

(Es ist o//enbar 3 ( 7 , , ~ * * )

=3(7,).) Satz 91b. Wenn 7, ein I H - D i n g ist, Und P eine Menge ist, so ist auch .Y(7,, P) ein I H - D i n g . Es gibt ein H - D i n g g, so daft in diesem Falle stets 3 ( 7 " P ) - - [Z, (T, P)] ist. Beweis. (Fiir 91a.) Wir bringen die Bedingung: ,,Es gibt ein x ~ P und ein beliebiges y, so dab u = (x, y) ist" "auf die Form If, u] =~ A und setzen d a n n g = ( ~ o ) .

Da sieht man sofort, dab die Bedingungen 1,?,

in Satz 9l a m i t 7, fiir ~ genau das gleiche besagen wie die Bedingungen 1, 2 im Satz 90 mit g fiir ~. Also geniig~ ihnen in der Tat ein und nut ein W. (Flit 9lb.) Es ist v ~ P , also ist auch y, ein III-Ding. Die Bedingung ,,y~ ist ein III-Ding, und es geniigt den Bedingungen 1, 2 in Satz 91a" ist unschwer auf die Form [h, ((7,, P), ~v)] ~ A zu bringen (h von 7,, P, ~v unabh~ingig). Da flit jedes 7,, P diese Bedingung fiir ein und nur ein ~v, n~imlich ,Y(7,, P ) , eriifllt wird, so kSnnen wit III. 3. anwenden; es ist dann Ix, <7,, P ) ] = 3(7,, P ) , wie behaupt~t wurde. Schliel]lich wenden wir uns der finiten (gew6hnlichen, vollst~indigen) Induktion zu. In ihrer allgemeinsten Form wird sie durch Satz 91 fiir P = eo dargestellt. 1. bezieht sieh dann auf alle x, die nicht natiirliche Zahlen siud, 2. auf alle x . W Z . Es ist abet wohl motiviert noeh eine etwas engere Fassung derselben n~iher zu betraehten, weil diese die meistangewandte Form der Definitio~ dutch vollst~indige Induktion ist.

Die Axiomafisierung der Mengenlehre.

751

S a t z 92a. u sei ein I . D i n g und 9 sei ein iI.Ding. Es gibt ein und nut ein I I - D i n g y,, welches die ]olgenden Eigenscha/ten be, itzt: 1. Wenn nicht x N Z ist, so ist [ ~ , x j = A (d.h.: y J ~ w ) .

2'. Es "ist Iv/, 0] = u. 2". Wenn x 2 ~ Z ist, 8o ist [~v, x -~- 1] = [9, (x, [~v, x ] ) ] . Diese8 v/ ist wegen 1. (y~ ~ co) ein I H - D i n g , ,~ir bezeichnen e, mit

3(9, u). SaSz 92b. Wegen J ( 9 , u ) ~ c o is~ 3 ( 9 , u) stets ein I H - D i n g . Bs gibt ein H - D i n e Z, so daft /i~r alle I H . D i n e e 9

J(9:, u) = [z, <9, u>] ist. B e w e i s . (Fiir 92a.) Wit setzen in 91s P = co und versuchen 92a atff diesen Fall zuriickzufiihren. Es sei nun ~ ein I I I - D i n g . Wit bringen diese Bedingungen: ,,Entweder is~ x = 0 uud y = u ; oder es gibt ein t 2 ~ Z mi~ x = $ ~ 1 , Y = [9, (t, [yJ, t])]" attf die Form [f, ((x, ~v), y)] q= A (f abh~ngig yon u und 9, aber unabh~ingig yon y,, x und y). Fiir x-----0 geniigg denselben ein einziges y : y = u; und fiir x = t -~ 1, t N Z auch ein einziges : Y -----[9, (t, Iv/, t])]. Wir kSnnen also III. 3. anwenden, dieses y ist gleich [g, (x, ~v)]. Dann wird fiir x = 0 [g,(0,~v)] = u , und fiir x = t ~ l , tNZ

[g, (t ~- 1, Y0] = [9; (t, [~v, t])]. Dies kSnnen wit auch so sehreiben:

Eg , ( t - ~ - I '

v,[o = (t-S-f)>]

r [9,(t,

t]>] [('L #k __L~' t$I/' ~

.

= [9,
Nun ist jedes x 2VZ = 0 oder = t ~- l, t N Z (dann is* t < x, also ~ 2(Z), da 0 die einzige L Z miter den N Z ist (Satz 89). Also sind 2 t. and 2". des Satzes 92a mit den folgenden Bedingungen gleichbedeutend:

[ v , t - i l ] = g,(t41,

j,t

z,

d.h. \

X

lea

fiir alle x2VZ. Damit haben wit abet bereits die Bedingung 2 des Satzes 91a gewonnen.

752

J.v. Neumann. Die Axiomatisierung der Mengenlehrr

Wit s~hen: Ein yJ befriedigt die Bedingungen des Satzes 92 a mit r dann und nut dann, wenn es den Bedingungen des Satzes 91a mit dem soeben hergestellten g geniigt. Also gibt e s e i n und nut ein solehes v2. (Fiir 92b.) Dieser Satz ist mit genau denselben Uberlegungen zu beweisen wie Satz 91b. Man bringt die Eigensehaft: ,,~# i s t ein I II-Ding 9 9 9 und geniigt den Bedmgungen 1 sowm 2 v und 2 vv m Satz 92a" auf d i e Form [h, ((~p, u ) , yJ)] =4=A; dieser Bedingung geniigt dann e i n einziges ~, n~mlich _7(~, u i. Naeh Anwendung yon III. 3. wird also:

u ) = [x,

u)].

Schlul}.

Nach den Entwicklungen der Kapitel I bis IX bereitet es keine besonderen Schwierigkeit~n, die verschiedenen DisziPlinen der allgemeinen Mengenlehre in unsere Axiomatik zu iibertragen. In erster Linie w/~re das Addieren, Multi~lizieren und Potenzieren yon Ordnungszahlen zu definieren, was mit Hil~e des Prinzips der transfiniten Induktion (Satz 90) ohne weiteres geht. Sodann ist die Theorie der ,,normalen Ordnungszahlen-Funktionen" und die der ,,kritisehen Stellen" zu entwickeln aT) ~ Ferner k6nnte (in teilweiser ,Anlehnung an die entsprechenden Operationen mit Ordnungszahlen) der Kalkiil mit Kardinalzahlen (M/iehtigkeiten) entwickelt werden, wobei natiirlich vom Auswahlprinzip Gebraueh gemaeht werden mull. Eine andere Richtung tier Fortsetzung ist die niihere Untersuchung der Mengen ~o (in erster Linie mit Hilfe des in Satz 92a ~ aufgestellten Prinzips der Definition dutch vollst~ndige Induktion) und ~P(w). Die letztere entsprieht offenbar dem Linearkontinuum zwisehen 0-und 1, oder auch (bei geeigneter Deutung) der Menge der reellen oder komplexen Zahlen, bier ergibt sieh also die mengentheoretisehe Begriindung der Mathematik. Auf diese Fragen einzugehen liegt aber bereits aul]erhalb des Rahmens unserer Darstellung; denn v o n dieser Stelle an bietet die Ubertragung der klassisehen Gedankeng~nge der allgemeinen Mengenlehre und der Mathematik in unsere Axiomatik keine neuen Gesiehtspunkte mehr. :~:)Uber die ,normalen Ordnungszahlen-Funktionen"und ihre ,kritisohen Stellen", sowie aadere re,andre Probleme, vgl. I-Iausdorff, Grundziigeder Mengenlehre, Leipzig 1914, S. l14ff. (Eingegangen am 13. ~uli 1927.)