Zeitschrift fiir Physik, Bd. 135, S. 260---269 (t953).

Die Beziehung der Quantentheorie zu den Theorien der Gravitation und des E l e k t r o m a g n e t i s m u s und eine A n w e n d u n g auf die Theorie des Elektrons. Von

H. T. FLINT und E. MARJORIE WlLLIAMSON. (Eingegangen am 6. Mgirz 1953.) Mittels einer Geometrie, in der das Linienelement durch eine Matrix dargestellt wird, und der Annahme einer Methode i~hnlich der yon WEYL wird gezeigt, dab Gleichungen yon der Gestalt der DiRAcschen Gleichung sich als Eichgleichungen auffassen lassen k6nnen. Ihre Rolle in der Theorie ist vergleichbar mit dem Gravitationsgesetz in der Relativit~tstheorie. Diese Theorie wird mit der Feldtheorie yon KALVZA zusammengefaBt. Dabei ergibt sich eine Beziehung zwischen den Gebieten der Gravitation, des ]Elektromagnetismus und der Quantentheorie. Dutch diese Vereinigung yon Geometrie und Metrik l~Bt sich ftir das Gebiet der mikroskopischen Physik eine Theorie des Elektrons erwarten.

Durch die Anwendung der metrischen Theorie von WEYL [1], in der im allgemeinen ein Vektor bei einer Parallelverschiebung eine L~ngen~inderung erleidet, wurde es ermSglicht, die DIRACsche Gleichung herzuleiten und zu zeigen, dab sie der Ausdruck ftir ein Eichgesetz ist. Dies Ergebnis l~Bt die Zusammenfassung yon gravitations-elektromagnetischen und quantenhaften Erscheinungen zu einer Theorie erwarten. Die Grundlage der Zusammenfassung bildet die Benutzung der RIE~ANNschen Geometrie in ftinf Dimensionen gem~B den Arbeiten von T. KALUZA [2] und O. KLEIN E3]. Mittels dieser Geometrie lassen sich die Gebiete der Gravitation und des Elektromagnetismus zusammenfassen. Wenn man nun noch zeigt, daC. sich die Quantenerscheinungen damit ebenfalls erfassen lassen, hat man eine einheitliche Theorie der drei Gebiete erhalten. Bei Anwendungen auf physikalische Probleme erscheint die ftinfte Koordinate x 5 in einfacher Weise. Wenn sie in irgendeiner Funktion auffritt, erfolgt dies als Faktor exp (2a i/lo). Dabei ist lo eine fundamentale L~nge. Im fibrigen sind die Funktionen unabh~ngig von x 5. Der Abh~ingigkeit von x s entspricht die Zeitabh~ingigkeit bei manchen Problemen, insbesondere in der Theorie e!ektrischer Schaltungen, wo diese Ver~nderliche in Gestalt des die Frequenz kennzeichnenden Faktors exp (2~ i v t) auftritt. Die WEYLsche Theorie war dazu bestimmt, durch die Verbindung mit einer vierdimensionalen Metrik Gravitation und Elektromagnetismus

Beziehung der Quantentheorie zu den Theorien der Gravitation.

261

zusammenzufassen. Ein Eichfaktor wurde eingeffihrt und es wurde angenommen, die Messung eines Vektors A mit den Komponenten (A~) oder (A m) ist durck die Beziehung A S = ~A~

Am

festgelegt. Die durch l 2 ----A m A m gegebene L~nge l erleidet im allgemeihen eine L~ngen~nderung bei einer dutch d A m ~ f ~ A l d x ~ definierten Parallelverschiebung. Die / ' sind bestimmte Koeffizienten. l, m , n k6nnen die Werte t, 2, 3, 4 annehmen. WEYLs Vorschlag war, dab bei einer derartigen ~nderung dl

~- = --a~dx~

(1)

ist. ~0 sind dabei die Komponenten des elektromagnetischen Potentials. Damit wurde ausgedrfickt, dab die elektromagnetischen Erscheinungen sich als Ausdrficke einer Metrik auffassen lassen, ebenso wie die Gravitation der Ausdruck einer Geometrie ist. Die Vereinigullg yon Geometrie und Metrik ist somit die Zusammenfassung yon Gravitation lind Elektromaglletismus. Es ist schwierig diese Theorie auf die physikalische Welt zu beziehen. Der Versuch diese ~mderungen mit in der Physik auftretenden Verschiebullgen zu verknfipfen, ffihrt zu Schwierigkeiten und es scheint zu sein, als ob der ill der WEYLschen Theorie auftretende Vorgang der Verschiebung nur ein idealer ist, der sich llicht auf das Verhalten yon MaBst~bell und Uhren in der physikalischen Welt beziehen l~Bt. -- Es gibt jedoch eine andere Stelle in der Physik, wo sich die WEYLsche Idee anwellden 1ABt. Die Wellellfunktion der Quantelltheor~e wird zur Bestimmung physikalischer Gr6Bell benutzt. Sie wird dabei zur Berechnullg der Erwartungswerte dieser Gr6Ben, die in dieser Theorie durch Funktionen oder Operatorell dargestellt werden, verwendet. Die vorliegende Betrachtung geht davon aus, dab die Funktiolf in eiller metrischen Theorie als Eichfaktor analog dem ~ der WEYLschen Theofie erscheint. Diese Annahme ist der Ausgangspunkt ffir die Aufstellung eines metrischen Systems, mittels dessen sich die Quantentheorie mit der Gravitation und der Elektrodynamik vereinen lassell soU. Das der Geometrie des Kontinuums elltsprechende Lilfiellelement d a .wird durch d a s = ~,

d x~ d x"

(2)

definiert. Die Koeffizienten Vv, h~llgen yon den Gravitations- und elektromagnetischen Feldern ab. Die Summation fiber die # und v erfolgt yon I bis 5.

262

H . T . FLINT und E. MARJORIN WILLIAMSON:

Die nachstehenden Gleichungen geben an, wie die 7 von den Gravitations- und elektrischen Gr613en abhiingen. )',n ,~ ~--- gm n + ~'550~2 ~bm q)~,

) ' ~ = g.,.

)'~5 = _ ~q)m,

)'mS=)'55~Xq)ra, )'55 =(t/)'55) + ~2~o

r

I

(3)

0~ ist eine Konstante. Ffir den vorliegenden Fall genfigt es )'55----t zu setzen. Weiter werden ffinf vierreihige Matrizen (Yv) eingeffihrt. Sie sollen dell nachstehenden Gleichungen genfigen: 7~)', + 7, 7. -----27z~"

(4)

Die Matrizen (~) sind mit den Matrizen (y~) mittels der Gleichungen 7~, = Y . . ) " '

7~, = yI,~y.

(5)

verbunden. Daraus folgt In der Matrixgeometrie wird das Linienelement durch da = )', d x"

(7)

dargestellt [4]. Aus diesem 1/iBt sich mittels (4) und (5) der tibliche Ausdruck (2) fiir das Linienelement hefleiten. Ebenso 1/iBt sich eine Matrix A einem Vektor mit den Komponenten (Ap) oder (At) zuordnen. A = y~A~ = y~ Av. .(8) Dies ist ein Operator. Der Wert yon A wird dutch den Ausdruck OA~o definiert. Dabei ist ~o die DIRACsche Wellenfunktion und O ein mit ~o in Zusammenhang stehender Faktor. Seine Gestalt wird dutch ein Invarianzprinzip in der weiteren Diskussion bestimmt. Die Anwendung des WEYLschen Prinzips erfolgt, indem wit eine dutch dA~, = A~, A a d x"

definierte Parallelverschiebung durchffihren und die dabei auftretende Andermag des Wertes yon A betrachten. Die A~, werden sp/iter mit den CHmSTOFFELschen Symbolen des fiinfdimensionalen Kontinuums identifiziert. Bei der Durchftthrung der Verschiebung ~indert sieh die Gr6Be L = 0 y~ A, ~o wie folgt

/ O0

~

07u

Beziehung der Quantentheorie zu den Theorien der Gravitation.

26~

Die Analogie mit der WEYLschen Annahme Is. (t)] beztiglich der LAngen~inderung dl Iegt folgende Schreibweise nahe dL = OR~7~ A ~ p dx ~. R~ ist dabei ein Operator, der den q5 entspricht. Da das Ergebnis der Verschiebung fiir alle Vektoren und Verschiebungen gelten soll, ergibt sich ax ~ V ~ +

-

a. ~ ---\as,

+ A ~ T a ~p=OR~,~'~v

(9)

mit der Abkiirzung -~x ~ + A ~ T a = K~. ae~ ,~

(1o)

Die dutch K~ bezeichnete Gr613e besitzt dabei eine grundlegende Bedeutnng. Eine Bedingung fiir K~ ffihrt zu einer EinschrAnkung der durch ~p zu erffillenden Gleichung. Diese Bedingung ffihrt zu eineln Eichgesetz, welches bei einer physikalischen Anwendung den Charakter eines physikalischen Gesetzes annimmt. Die einfachste m6gliche Annahme ist, K~ = 0 zu setzen. Dies ist jedoch zu einschrAnkend und in einem einfachen abet wichtigen Fall bedeutet es ~p--const. Damit ware es jedoch unm6glich, die Idee der lageabhAngigen Eichung durchzuffihren und der Zweck der vorliegenden Untersuchung ware zunichte gemacht. Die vorliegende Situation ist ~.hnlich der in der RelativitAtstheorie auftretenden. In jenem Fall wird die EinschrAnkung des RIEMANNschen CHRISTOFFELschenTensors als Ausdruck ffir das Gravitationsgesetz aufgefaBt. Eine Nullsetzung dieses Tensors wtirde jedoch der Gravitationstheorie die geometrischen Grundlagen entziehen. Statt dessen wird dem reduzierten Tensor zweiter Stufe eine Bedingung auferlegt und das so angenommene Gesetz ist dann

Entsprechend wAhlen wir nun in unserem Fall die Bedingung K~ = 0.

(tt)

Dies gibt ffir ~v die folgende Gleichung

8o

~ 0 ~ , ; ~v, =OR,,~,'~.

(t2)

"Der Ausdruck Vv ~o ist dabei bemerkenswert; denn in Abwesenheit eines Gravitationsfeldes, eingedenk dab wit fiinf Koordinaten haben, stellt v ~ c3X/~ ~ = 0 die DIRAcsche Gleichung dar.

264

H.T. FLI~T und E. MARJO~IXWILLIAMSON:

0H Wir nehmen nun an, ~OO y . ~o ist komplex konjugiert zu 0 y" 0x. "

Beide Seiten yon G1. (12) sind dann reell und die reehte Seite der Gleichung liiBt sich als ( O H . y~' ~o+ ~ § 0+1 schreiben. Die naehstehenden Ausdrficke genfigen dann unter dieser Voraussetzung (t2)

oO

o~ + . 0 +

HF' O+"

In 13bereinstimmung mit diesen Beziehungen folgt fiir ~v die Gteichung Y" 0-~-~ = H ~ ~" V,.

03)

Diese Gleichung, welche sich aus der Annahme K~ = 0 ergibt, kann als Eichgleichung aufgefaBt werden. Interessant ist in diesem Zusammenhang, dab diese Gleichung die Gestalt der Quantengleichung besitzt, obwohl sie mittels einer der Relativit~ttstheorie eigentfimlichen Methode hergeleitet wurde. Um G1. (t3) in die iibliche in der Quantentheorie auftretende Form zu bringen, nehmen wir an, daft die Gravitation vernachl~ssigbar ist. In diesem Fall wird g,,~ = ~5,,~

~,~,~ =

m 4: n.

Die Matrizen y~ und 75 vereinfachen sich dann und gehen in solche mit konstanten Koeffizienten fiber (4- 1, + i , O). In dieser Gestalt bezeichnen wir sie mit/5 ~ oder ft, und ft.. Auf Grund der Beziehungen (3) ergibt sich dann ffir den Fall des vernachl~issigbaren Gravitationsfeldes Y'~ = fl" = fl'~'

Y~=fl"

}

(t5)

Der einfachste Fall, der sich nun betrachten tiil3t, ist, dab bei einer Parallelverschiebung eines Matrixvektors keine LSngen~tnderung auftritt (Ha=0). G1. (t3) geht dann in 0~v unter Berficksichtigung yon (15) fiber. Eingedenk der Annahme bezfiglich der Koordinate x s erhalten wir weiter ~m

( o

Ox ~

2~i~ ~o,.) + 2~r lo

1o

r"

y = o.

(16)

B e z i e h u n g der Q u a n t e n t h e o r i e zu d e n T h e o r i e n de r G r a v i t a t i o n .

265

Urn diese Gleichung mit der DIRAcschen Gleichlmg fOx das Elektron zu identifizieren, haben wir

lo--

h rnoC

~ '

e

~o - -

o~ = - - i & & ,

hc

'

(k = t , 2, 3),

fl = - - i f l , p.

zu setzen. Die PLANCEsclle Konstante erseheint dabei durch x 5, welches in der Gestalt exp (2~i m o c xS]h) auftritt. KALUZASKonstante ~ ergibt sich als ~. = e l m o c 2. Dieser ~-Wert ist gleich dem yon J.W. FISHER hergeleiteten E6]. FISHER benutzte dabei die Vorstellung, dab der Weg des Elektrons im KALvzAsehen Kontinuum eine geod~tische NuUinie sein mfisse. Wir betrachten nun die yon K u, angenommenen Werte, wenn die Koeffizienten A~, CHRISTOFFELsehe Symbole sind und damit also ein RIEMAm~scher Raum vorliegt. In diesem Fall wird die Identit~t e~u, Ox,~ +AUa~a, + A~aTu ~ = 0

(t7)

erffillt. Im Zusammenhang mit den Beziehungen (6) fox die Matrizen (7~) ergibt sich fox Ka~ die Gestalt

(18)

K.. = A,~,~' -- ~,~' A,.

Die A, sind dabei bestimmte Matrizen E6]. Es gibt fox die A,Werte, die G1. (10) zur Identit~t machen. Eine allgemeine L6sung fox den Fall eines elektromagnetischen und Gravitationsfeldes wurden yon H. W. HASKEY [7t angegeben. Hier wollell wir uns auf den einfacheren aber praktisch wichtigen Fall des Fehlens eines Gravitationsfeldes beschr~nken, bei dem die Matrizen E8]

I

sin& Mit Bt _

o~# Oxt

O~t OxP

(t9)

"

Diese Werte der Operatoren (Au) erffillen die Beziehung (t0) und maehen sie zur Identit~t. Die Matrizen sind dabei insofern unbestimmt, als man eine mit den Matrizen (7u) vertausehbare Gr6Be hinzuftigen kann, ohne das erhaltene Ergebnis zu beeinflussen. G1. (10) geht nun fiber in 0x v

~66

H . T . FLINT und E. MARJORIE VClLLIAMSON:

Das vierdimensionale Gegenstfick dieser Beziehung wurde yon SCHR6I)INGER [9] unter einem anderen Gesichtspunkt in seiner Theorie des Elektrons in einem Gravitationsfeld eingeffihrt. In seinem Fall hatte der Operator /'~, die Eigenschaft, dab seine Spur ~. (Fro),, ein Vielfaches der Komponente des elektromagnetischen Potentials q)~ war. Die Unbestimmtheit in den Av wfirde in unserem Falle das Hinzuftigen von q)~ in den Diagonalelementen erlauben und die Spur von Av ware dann ein Vielfaches der ~v. Die Operatoren A spielen in der Matrixgeometrie eine /thnliche Rolle wie die A~v in der gew6hnlichen Geometrie und die Invarianzprinzipien beherrschen die Operation beider. So 1/tBt sich dann G1. (21) als Definition der Parallelverschiebung dyv des Operators yv auffassen. Die ParaUelverschiebung von ~v ist [8], [O1 dr; = A~, W d x~'.

(21)

In diesem Fall sollte man erwarten, dab die Grundgleichung fiir ~ die Gestalt o--A~) (22) an Stelle yon (t3) annimmt. Die Operatoren gingen beim ]3bergang yon G1. (9) zu G1. (12) wegen des Verschwindens yon K~ verloren. Aus rein formalen Grtinden werden wir ftir das Folgende ( A y, -- 9,~At) beibehalten. In dem betrachteten Fall mit Hv = 0 nimmt die Grundgleichung die Gestalt

-- ~ . A . ~o = 0

(23)

an. Beschr/inken wir uns auf den tiblichen Fall des versehwindenden Gravitationsfeldes, ergibt sich der zus/itzlich auftretende Term als

(h e/8~ moC) fl (g__B-- i ~ =E)~.

(24)

Dabei ist a die Spinmatrfx. T~rme dieser Art sind als m6gliche Zus~itze zur Wellengleichung betrachtet worden. PAOLI [/0] hat dies diskutiert und ausgeffihrt, dab derartige Terme bei anderen Teilchen als das Elektron oder Positron notwendig werden k6nnen. Es ergibt sich dort jedoch kein zwingender Grund ffir den Term (24) und wit werden ihn anch hier nicht einfiihren. Wit wollen jedoch bemerken, dab ein derartiger Ausdruck sich auf der rechten Seite der G1. (t3) als Teil des Operators H, n6tigenfalls einbauen l~iBt. Wir k6nnen daher GI. (t3) als Grundgleichung der Theorie betraehten. Es wurde bereits gezeigt, dab in Kernfeldtheorien ein spezieller Fall der G1. (t3) anwendbar ist [11]. Einen derartigen Fall linden wir in der YUKAWAschenTheorie der fl-Radioaktivit~it mit einer einem Vektorfeld entsprechenden Form yon H. Jedoch ist H~ nicht auf spezielle

Beziehung der Quantentheorie zu den Theorien der Gravitation.

267

Felder beschr/inkt und kann daher den verschiedensten Feldtypen entsprechende Terme, die getrennt oder gemeinsam auftreten k6nnen, enthalten. Eine Betrachtung der Erfordernisse von Kernfeldtheorien weist auf die den H~ ffir physikalische Anwendungen zu gebende Gestalt bin. Und zwar

= alF. +

+ a3r

F.. +

(25)

wobei die a i konstante Koeffizienten darstellen. Um die Invarianzforderungen zu befriedigen, mul3 ffir yVH~ gelten

ruH,,=alr*'/t,+a=ysyvralva+aarvear~/,,,,+a,

rsrvyaV'r~/ua, ~. (26)

Dabei sind die Gr6Ben / als Komponenten yon Vektoren und Tensoren verschiedener Stufen gew6hnliche Funktionen. Diese Gr6Ben werden mit den Komponenten der verschiedenen Feldarten, die in den Kerntheorien fiblich geworden sind, identifiziert. In dieser Form yon ya H~ besitzt 0 ohne Gravitation den Wert ~v+ifl4. In diesem Fall braucht nicht zwischen fl= und fl= unterschieden zu werden. ~v+ ist zu ~v hermitisch konjugiert. Die Matrizen y v und ihre Kombinationen, die den K o m p o n e n t e n / v und Tensorkomponenten zuzuordnen sind, stellen Gr6Ben dar, z.B. Polarisation, vermittels derer das dutch die Wellenfunktion ~v dargestellte Teilchen mit dem Feld in Wechselwirkung tritt.

Das Elektron. Die vorangehende Darstellung stellt eine allgemeine Theorie im weitesten Sinne dar, die die drei Gebiete der Physik zusammenfaBt. Es gibt jedoch noch ein anderes in engerem Rahmen gestelltes Problem bezfiglich der Vereinigung der physikalischen Theorien. Dies ist noch nicht zur allgemeinen Zufriedeflheit gel6st worden. Es handelt sich dabei um das Problem des Elektrons, dessen Masse nicht dutch das elektromagnetische Feld allein erkl~trt werden kann. Diqses ist stets ein Bruchteil yon m c2 (m = Masse des Elektrons). Man nimmt . . . . .J an, das eln Nlcht-MaxwELLscher Antell der Energle noch vorhanden 1st. ElXSTEIX [13] schlug eine relativistische Theorie ffir die gesamte Energie vor. Dabei waren drei Viertel elektromagnetischen und ein Viertel gravimetrischen Ursprungs. I m Rahmen unserer Untersuchung liegt nun die Frage nahe, ob mittels der metrischen Theofie eine Theorie des Elektrons m6glich ist. Die dabei gestellte Frage ist, l~13t sich um Einklang mit den hier vorgeschlagenen Annahmen fiber Geometrie und Metrik der Masse des Elektrons ein vemtinftiger Wert zuordnen ? In der NEWTONschen Mechanik wird die Masse eines Teilchens durch das zweite Bewegungsgesetz definiert: Das Produkt aus Masse und Be-

268

H.T. FLINT und E. MARJOI~INWILLIAMSON"

schleunigung ist gleich der auf das Teilchen wirkenden Kraft P =mb.

In der Quantenmechanik wird sie durch die DIRAcsche Gleichung deftniert [14] : moC fl ~v = - - o:" u,~ ~ (27) mit u~

__

h

0

2~i ax ~

e#

~-

~. mo ist dabei die Rukmasse.

Wird die Masse durch GI. (27) definiert, so ergibt sieh aus G1. (t3), dab die Terme auf der rechten Seite von (t3) 7~Hv ~0 einen Beitrag zu dieser liefern. Man kann daher annehmen, dab der Massenoperator h 2~i ~x5 ~/~~ die yon der Feldenergie stammende Masse #o liefert, wiihrend die Ausdriicke auf der rechten Seite yon G1. (27) den gesamten Betrag der Ruhmasse m o ausmachen. Dies erinnert an einen Vorschlag von L. DE BROGLIE [15], wonach Anteile der Elektronenmasse aus der Wechselwirkung mit Mesonenfeldern stammen k6nnen. Die Terme auf der rechten Seite sind bereits als Komponenten der Kernkriifte identifiziert worden. Die einfachste Annahme ist dann, dab all die notwendigen Terme einen entsprechenden Beitrag zu/~o liefern. Wir nehmen nun an, H~ besitzt die Gestalt a ]~. Dann ist die Quantengleichung 7~ a~

Die ]~ sind dabei gewShnliche kovariante Vektorkomponenten und a ist eine Konstante. Beim ersten Ansatz wird man diesen Vektor mit dem kovarianten Vektor q)m verkntipfen. Die Gln. (t5) liefern uns ein Beispiel, wie ein Fiinfervektor (A~) mit einem Vierervektor (a,~) und einem Skalar a. zu verbinden ist. Dementsprechend wird Am---a,~+~q~,~a.

(m = t , 2 , 3 , 4 )

A s = a: gew~ihlt und ist a,~- ~,~, a . - - - 1/~, ergibt sich A m= 0 , A s = - t/~. Unter der Annahme /~-----A/~ ist 0r 75/5 ~' der einzige Term auf der rechten Seite yon G1. (28). Bei vernachl~ssigbarer Gravitation folgt dann unter Berticksichtigung von (i5)

h

O~

ha \60

1

+2__~)~=0.

B e z i e h u n g der Q u a n t e n t h e o r i e zu d e n T h e o r i e n der G r a v i t a t i o n .

269

Mit ha

und --

c

~---~-

(X.

oC-'~ -

Diese Gleichungen werden mit ~ - e/m o c ~ und ha

e

erftillt. Wird der Weft #0 = 3 too~4 im Einklang mit einem der aus der elektromagnetischen Theorie erhaltenen Werte gew~hlt, folgt ftir ha

e

2~i

-- 4c

Obwohl die vorstehende Behandlung des Elektrons rein formal ist, zeigt sie jedoch, wie die Frage nach der Masse des Elektrons im Rahmen der vorliegenden Theorie behandelt werden kann, ohne ein der Theorie fremdes Element einzufiihren.. Literatur. [1] WEYL: R a u m , Zeit, Materie, S. t t0. 1 9 2 1 . - - [9] KALUZA: Sitzgsber. preuss. A k a d . Wiss. 1921, 9 6 6 2 [3] KL1~IN: Z. P h y s i k 46, t 8 8 (t927). - - [4] FLINT: PrOC. R o y . Soc. L o n d . , Ser. A 150, 430 (t935). - - MIMURA: J. Sci. H i r o s i m a U n i v e r s i t y , Ser. A 5, 99 (t935). - - MORINAGA: J. SoL H i r o s i m a U n i v e r s i t y , Ser. A $, t51 (1935). - - [5] FISHZR: Proc. Roy. Soc. Lond., Ser. A 123, 489 (1929). - [6] FLINT: Phil. Mag., Ser. 7 29, 417 (t940). - - [7] HASHEY: Proc. Edin. M a t h . Soc., Ser. 2 4, t 7 4 ( 1 9 4 5 ) . - - [ 8 ] FLINT: Phil. Mag., Ser. 7 33, 369 ( 1 9 4 2 ) . [9] SCHR6DING~R : t 932, Sitzgsber, preuss. A k a d . W i s s . 1 I, t 05 (1932). - - [10] PAULI : R e v . Mod. P h y s . 13, 204 (1940). - - [11] CHIRGWlN a n d FLINT: N a t u r e , L o n d . 15S, 724 (1945)- - - [12] YUKAWA U. a.: Proc. P h y s . - M a t h . Soc. J a p a n 20, 720 (1938). - - [lS] EInsTEIN: Sitzgsber. preuss. A k a d . Wiss. 1919, 349. - - [la] MI~aURA: J. Sci. H i r o s i m a U n i v e r s i t y , Ser. A 5, t 0 2 (1935). - - MIM~IRA U. a n d e r e A u t o r e n : I n sp'~teren V e r O f f e n t h c h u n g e n . - - [la] BROGLIE, DE: J. P h y s . R a d i u m 11, 481 (1950).

University o/ London, Bedford College.