Zeitschrift ftir Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 52, 9 - 3 9 (1980)

Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandteGebiete 9 by Springer-Verlag 1980

Espaces de semi Martingales et changement de probabilit6 Jean Memin Universit6 de Rennes, U.E.R. Math6matiques, Avenue du G6n6ral Leclerc F-35042 Rennes Cedex, France

Soit Y(P) l'espace des semi-martingales r6elles d6finies sur une base stochastique ((2, F, (Ft), P). Dans [2] Emery introduit une topologie qui munit ~(P) d'une structure d'espace vectoriel topologique complet. I1 montre que cette topologie est t o u t / t fait adapt6e ~t l'6tude de la stabilit6 des solutions d'dquations diff6rentielles stochastiques. Dans ce travail, nous reprenons l'6tude de 5e(P); mais, au lieu de suivre la m6thode de < 1 sont complets, ce qui gbn6ralise ce qui est d6jb, connu dans le cas des martingales locales. Nous donnons/~ cette occasion divers rEsultats de convergence: thEorEme de convergence dominEe et r6sultat de comparaison entre convergence uniforme en probabilit6 et convergence dans 1L(X). Dans la quatriEme partie, nous nous intEressons/~ des sous-espaces ferm6s de 5P(P); en particulier, /t l'espace des semi-martingales /t sauts uniform6ment born6s par un nombre K. On obtient des propriEtEs de continuit6 int6ressantes

0044-3719/80/0052/0009/$06.20

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j. Memin

dues au fair qu'alors la topologie de 5~(P) est associ6e ~ des convergences locales de semi-martingales et plus seulement gi des convergences <>. Dans la cinqui6me et derni6re pattie, on se place dans le cadre multidimensionnel; des th6or6mes de eompl6tion et de fermeture g6n6ralisant ceux de la partie III sont obtenus. On y montre notamment que le sous-espace de IHp (p > 1) engendr6 par les int6grales stochastiques ty. X off X est une semi-martingale fix6e, ~t valeurs dans IRq, est ferm6 dans R-Iv. Ce r6sultat essentiel pour 6tudier les sous-espaces stables de semi-martingales g6n6ralise celui de Jacod (voir par exemple [4] chap. IV) obtenu lorsque X est une martingale. Ce travail doit beaucoup ~t des discussions avec J. Jacod; je remercie d'autre part, M. Emery et C. Stricker qui ont suscit6 plusieurs remarques de ce texte.

I. Rappels sur les Semi-Martingales et lemmes pr61iminaires D'une mani6re g6n6rale les conventions et notations adopt6es sont celles de [8]. On se donne (f2, F, (Ft), P) une base stochastique, (F,) est une filtration avec les propri6t6s habituelles; l'indice t parcourt l'intervalle [0, 1]; (les r6sultats correspondant ~t ceux obtenus ici, pour le cas t d R + seraient/t peu pr6s imm6diats). Tousles processus introduits sont d6finis ~ l'indistinguabilit6 pr6s; si X est une semi-martingale, on note IX, X] la variation quadratique de X, et on d6finit pour X 1, X 2 semi-martingales le processus /i variation finie [X1,X 2] par polarisation. Lorsque X est une martingale locale, localement de carr6 int6grable, [X, X] est localement int6grable et on note { X , X ) le processus croissant pr6visible, compensateur pr6visible de [X, X]. On d6finit aussi par polarisation le processus pr6visible ~ variation finie {X, Y). Si X est cadlag, on note X - le processus continu ~t gauche d6fini par (X - ) t = X,_ = lim X S

pour t > 0

stt s
et ( X - ) o =Xo_ =0. A X est le processus d6fini par A X t = X , - X t_ t>O (et donc d'apr6s la convention faite A X o = Xo). H 6tant un processus pr6visible, on note H . X l'int6grale stochastique de H par rapport/t X, X 6tant une semi-martingale r6elle, lorsque cette int6grale a un sens (ce qui est le cas en particulier si H est localement born6). On prendra pour convention ( H . X ) o = H o X o. Si A est un processus ~t variation finie, on note V(A) la variation de ce processus. X est une semi-martingale sp6ciale si X peut 6tre d6compos6e en X = M + A off M est une martingale locale et A un processus ~t variation finie pr6visible (avec A 0 = 0 ). Une telle d6composition est alors unique et dire canonique. A toute semi-martingale sp6ciale X, on peut associer les expressions Nf(X), N~(X), N~(X) off l <=p<=ov.

Espaces de semi Martingales et changement de probabilit6

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Nf(X) = ]f[M, M]I/2 + V(A)I II1Lp(r2,F,p) N~(X) = SupllH. X1 II~(a,v,e) HEg

N•(X) = Sup []Sup JH. Xt[ rlmp(e,F,e) HE~

t

# est l'ensemble des processus pr6visibles H de la forme: ;7--1

H = ~, Y/III~,,,+~jj,

hen

i=1

off t 1 < t 2 < . . . < t , < 1, Y~ 6tant une variable al4atoire r6elle F,-mesurable avec

[~l~. est l'ensemble des processus pr6visibles H born6s par 1. Les Niv(X), i = i, 2, 3 sont des normes sur l'espace des semi-martingales spdciales. Yor montre dans [ l l J que ces normes sont 6quivalentes: plus pr6cisdment, il existe des constantes universelles %, Cp ne d6pendant que de p, avec Cp< Cp et telles que: cpNf(X) < N~(X) < N~(X) < CpNf(X):

(1-1)

On notera RIP l'espace de Banach des semi-martingales sp6ciales X telles que N,P(X)< oQ, muni de l'une quelconque de ces normes, en particulier RIP est identique ~ l'espace de Banach associ6 ~t la norme d6finie par Meyer [10J. On d4signe aussi par la m~me notation RIP l'espace de Banach des martingales M telles que Nf(M) < oQ; pour 6viter les confusions, on pr6cisera espace RIP des semi-martingales ou espace RIp des martingales. La d6monstration du r6sultat de Yor utilise en particulier le lemme suivant dont nous nous servirons; c'est un corollaire pour p = l d'une in6galit6 de Ldpingle [6] et pour p > i de Stein. 1.1. Lemme. Soit X une semi-martingale telle que [X,X]I/2 appartienne d ILP(F2,F, P) pour p > 1, alors X est une semi-martingale spdciale et il existe une constante ap universelle telle que." I[-~A , A qJ1 l / 2 mp
(1-2)

tlfM, MJl/211mp <(av+ 1)II[X, X-[1/2[IA1 II1LP

(1-3)

oit X = M + A est la ddcomposition canonique de X ; en particulier pour p = 2 on peut prendre az = 1. Nous regroupons maintenant dans deux lemmes quelques rappels relatifs /t un changement de probabilit6 sur l'espace de base. 1.2. Lemme. a) Soit Y une variable alOatoire P-p.s. finie, il existe une probabilitd Q

dQ

~quivalente d P, dont Ia densit~ de Radon-Nikodym ~-ff est born& et telle que Y soit OIOment de ILl(O, F, Q).

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J. Memin

b) Soit Q une probabilitO absolument continue par rapport d~ P; si X est une semi-martingale pour P (i.e. sur la base (f2, F, (Ft), P)), X est aussi une semimartingale pour Q (i.e. sur la base (f2, F, (Ft), Q)): si on consid&e un processus prdvisible H localement borne, l'intdgrale stochastique H . X est invariante par le changement de probabilitO et il en est de m~me pour la variation quadratique [X, X] ; ([5, 83). c) Soit Q une probabilit~ iquivalente d P, et Z 1 la densitO de Radon-Nikodym dQQ Z dOsignant la martingale associde (Zt=E[ZllFt])," soit M une martingale dP' lOcale pour P; alors: si le processus [Z, M ] a une variation localement intdgrable, t

M' est une martingale locale pour Q, off M ' = M - ~ I - - - - . ( Z , M ) . (Th~or~me de Girsanov, voir par ex. [8] p. 377). l.J

1.3. Lemme (Stricker [91, puis Dellacherie [1]). Soit (X") une suite de semi-

dQ

martingales, il existe une probabilit~ Q iquivalente d P avec ~ born& et telle que: (1) pour Q, les semi-martingales X" sont sp~ciales; (on notera X" =M" + A n la Q-d~composition canonique de X n) (2) Les martingales locales (pour Q) M" sont des martingales de carrO intigrable (M~ML2(f2, F, Q)) (3) Les processus A n sont d variation intigrable: (V(A")I sILl(Y2, F, 0)). (Le lemmeI.3 sera d'ailleurs red~montr~ dans le cadre de la d~monstration du thdor~me 11.3)

Donnons encore quelques notations: j~2(p) est l'espace de Banach des martingales de carr6 int6grable sur la base (f2, F, (Ft), P), avec la norme: IIMt]~=(E[ ( M , M ) I]) l/z= I]Mi ]]m2(o,r,p)

= (E JIM, M] 1]) 1/2 d ( P ) est l'espace de Banach des processus pr6visibles ~t variation finie, d6finis sur la base (O, F, (Ft), P) dont la variation est int6grable, avec la norme II1 II~(p)= IIV(A)I IIm~(~,F,P) Jr sg(P) est alors l'espace de Banach des semi-martingales sp6ciales X dont la d6composition canonique fournit un 616ment de jN2(p) et un 616ment de ~r Si X = M + A est un 616ment de ~ / 2 0 ~ 4 ( P ) on 6crit

I1 est bien connu que l'on a l'inclusion

~20d~II-Ii

Espaces de semi Martingales et changement de probabilit6

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et plus pr6cis6ment:

N~(X) 5- IIX11~2|

(>4)

Le point de d6part de ce travail est le lemme facile suivant: 1.4. Lemme. Soit (Y2,F,P) un espace probabilisd et (Z ~) une suite de variables aldatoires P-p.s. finies, suite de Cauchy pour Ia convergence en probabilitd, alors il

dQ

existe une probabiIit~ Q dquivalente d P a v e c ~-~ born&, et une sous-suite, relies que cette sous-suite soit une suite de Cauchy dans l'espace ILl(f2, F, Q). D~monstration. Par hypoth6se, on peut extraire de (Z ") une sous-suite, (not6e encore (Z~)), telle que pour cette sous-suite on ait la relation: pour chaque n, p[[Z"+I-Z"(>4-"]<=4 -~. D'apr6s le lemme de Borel-Cantelli P[lim Sup {[Z" + 1 _Z~I > 4-"}] = 0 n

consid6rons la variable Y d6finie par Y = IZl[ + ~ 2"(4-" + [Z " + I - Z " I 1{i z . . . .

z~j > 4- ~})

n

Y est d'apr8s ce qui pr6c&de P-p.s. finie, et l'on a:

[zn+l-zn[<=2-n.Y

puis

[Z"I<2Y.

dQ

D'apr6s le lemme 1.2 a), il existe une probabilit6 Q 6quivalente h P avec d-Pborn6e et telle que Y soit Q-intOgrable; Z" est alors 616ment de lLt(f2, F, Q) et

EQ[IZ"+l-z"l] <-_2-~ d'ofl pour tout m e N pour m > n on a:

EoEIZ"-Z"l] < 2-"+ ~Eo[Y]. et on a le r6sultat annonc6.

[]

Remarque. Soit r > 1, le m6me rdsultat tient avec ILr(Q) au lieu de ILl(Q) il suffit d'appliquer le lemme 1.2 a)/t yr. Du fait des propri6t6s d'in6galit6 triangulaire: I X § Y, Xq- yq*/2
y]I/2

(resp. V(A +B) =
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J. M e m i n

1.5. Lemme. Soit (X ~) une suite de semi-martingales telle que E [ 1 A [ X ~+m -X',X'+~-X'Jl/a I tendevers 0 lorsque n tend vers l'infini, uniformdment en m;

dQ

soit r > 1/2, alors il existe une probabilitd Q @uivalente d~ P avec ~

bornd et il

existe une sous-suite notre aussi (X ~) telle que pour cette sous-suite

EQ[[X "§ - X ' , X ~+~ - X~]~] t e n d e v e r s 0 lorsque n tend vers l'infini, uniform4ment en m, et que chaque I X ~, X"J~ appartienne dl ILl(Q).

1.6. Lemme. Soit (A') une suite de processus dl variation finite telle que El1 /x V (A" +m - A') I 1 tende vers 0 lorsque n tend vers l'infini, uniform~ment en m; soit

dO born~

r > 1, alors il existe une probabilitd Q @uivalente dl P avec ~

et il existe

une sous-suite encore horde (A'), telles que pour cette sous-suite

t e n d e v e r s 0 lorsque n tend vers l'infini uniform4ment en m, et que chaque V(A~)I appartienne gl IL'(Q).

II. L'espace St(p) des Semi-Martingales r6elles On note ~ ( P ) l'ensemble des semi-martingales r6elles sur la base (f2, F, (F~), P); D'apr~s le lemme 1.2b) si Q d6signe une autre probabilit6 ~quivalente 5` P, ~((2) = SP(p). De fagon analogue 5` Emery [21, on va munir SP(P) d'une topologie que l'on montrera ~tre la marne que celle introduite par celui-ci. On considr pour cela pour X, 616ment de ~(P) l'expression: IlXllsqp) = Sup E[1 A ] H ' X , I ] Nous montrons que ll'll~(n d6finit une quasi-norme (voir par ex. Yosida [12J p. 31) ce qui induit sur l'espace vectoriel 5~(P) une structure d'espace m6trique. ILl. Lemme. Eapplication X - - ,

IlXlL~o(,,) est

une quasi norme sur 5~(P).

D4monstration. On a 6videmment HX II~(p) = II - x II~(p)_->0 et l'in6galit6 du triangle HX-t- YIl~(p)< IIXll~(n+ JlYjl~e(p);

Montrons que [IX H~(p) = 0 implique X = O. Soit tr 11 et H=l~0,t ~

lIXIl~(p)=0

~ E[1AIH'Xd]=O

~

H-Xi=O

mais H . X 1 = X t - X o _ = X t donc X t = O . I1 reste 5. montrer les deux r6sultats de convergence suivants: a) Soit (g~) une suite de nombres r6els telle que lim % = 0 alors lira II%Xi]j(p) ~0.

n

;1

Espaces de semi Martingales et changement de probabilit6

15

b) Soit (X") une suite d'dldments de 5~(P) telle que lim un nombre rdel, alors:

I!X"ll~p)=0,

et soit ~.

lira [[~X"l[s~
Pour le b) si Ic~[< 1 [[c~Xllsqv)< []X[lsqP) et si 1~1> 1 ] l ~ X l l ~ ( p ) < ~ [ ~ ] []Xll,9,~(p ) d'ofl le rdsultat. Montrons donc a); il suffit de montrer que SupE[1/x fc~,H.Xi] ] tend vers 0 HeN

lorsque % tend vers 0. On consid6re pour cela N muni de la norme uniforme ]rH[le=Sup [H,(co)] et on note I K = { H . X I , H~er On munit IK de la topologie t~09

de la convergence en probabilit6 ddfinie par exemple par la quasi-norme

[IH. X, I[~:= N i l A IH. Xll]. D'apr6s le th6or6me de convergence domin6e pour l'int6grale stochastique (voir par ex. [7] thdor6me 2.11), l'application lin6aire H ~ H . X 1 de N dans IK pour les topologies indiqudes est continue. Comme Nest born6, IK l'est aussi au sens off: V e > 0, 3 C(e) > 0 tel que Sup Hsg

I~-v,H . X 1 L(8)


< ~C(e)' SupE[1A[c~nH'XllJ~& et donc d6s que [~n[= H+~ II.2. Remarque. Emery 6tudie dans [2J une quasi-norme que nous noterons [[ Irs,(v), et qui dans notre cadre d'Stude est ddfinie par: [jX[Is,(p),=SupE[1 A Sup rH" Xt[J. HEq/

t~l

I1 remarque que cette quasi-norme est plus forte que celle d6finie par la convergence uniforme en probabilit6 sur l'espace des processus cadlag, h savoir: IIXllv
(on obtient cette propri6t6 en prenant H = 1). Nous avons 6videmment l'in6galit6 IIxll s,
aQ

on peut trouver une probabili@ Q ~quivaIente d P avec dP borne, telles que la sous-suite (X ~) soit une suite de Cauchy dans ~ 2 @ d ( Q ) . Pour la d6monstration de ce th~or6me, on utilise le lemme suivant:

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J. M e m i n

11.4. Lemme. Soit (X") une suite d'dldments de 5~(P), suite de Cauchy pour I1"Ilsqp), on peut extraire de (X') une sous-suite qui est une suite de Cauchy pour la semiquasi-norme i IIl'lll~(e) o~ IIIXllls,(p)= E[1 a IX, X] l/z]. Ddmonstration. En extrayant au besoin une sous-suite, on peut supposer que pour chaque n]lX "+1 -X']l.~(p)<4-"; on notera Y ' = X "+1 - X " . Pour chaque n. on peut trouver une subdivision

~ = { t 0 , t 1.... ,tr

off t o = O < q < . . . < t 4 ) ( , ) = l

de l'intervalle [0, lJ avec ~b(n)+ 1 points tels que El1

A

[[Y", Y"]I/2 -(S")~/2[] < 2 - "

off 4)(n)

s"= Z (Y,;- ~",,_,1~ + (Yg)~, p=l

On a alors:

I1[/"+m- X"lll~(~,)< ~ illY"+kli[e(p) k=l

< ~ EEl A IEY"*k, Y'*k]I/2--(sn+k)i/2l "] k=l

+ ~ EB/,(s"+k)l/21 k=l

< 2 - " + ~ El1 A(s"+k)I/:]. k=l

On s'occupe maintenant de cette somme: 4)(n)

4)(n)

s" = (r~V + Y~ (Y,; - ~"-,)2 2 , = .( F ) ~ p= i

Y ~",.- 1_~(Y,"-Y,; - - ,) p= 1

4)(.) y,,

'rE n

yn

.~[

Comme I11"= l[[o, tn-Y~, l'hypoth&e fake implique: E[1AIY~"[]<4-"

4)(") . ( V _ y . ) _ <

d'ofi

EllA(Y~")21<4 -".

4)(") p~l I{[Ypv- 11<=1}

,) tv

-

p=l 1 Note: (> signifie que l'on a toutes les propri&6s d'une q u a s i - n o r m e except6 que l'on peut avoir HIXl[[s~ce)=0 avec X4=0; c'est le cas par exemple si X est un proeessus continu tt variation finie.

Espaces de semi Martingales et changement de probabilit6

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La premi6re somme est de la forme H . Y~" avec H~g' et par cons6quent: E 1A2

p=l

l/irrp_ll~z } ~p_l(Y~;-Yt" 1) <2.4-"

Posons T"=inf{t~,

IYt"]> 1}

sicet ensemble n'est pas vide

= 1 sinon. On a

4(n)

T"(co)= ~ l{r,~o,)=~p2tp p=0

d'ofi q~(n)

lno, r-l] = Y', p=l

l{r,~> tv - 12llltv - 1,tvl] + 1[[Oll

par cons6quent luo, r.~eg. Comme Y:~ =l~o,r.j3-Y~, on en ddduit E l 1 A IY~d] <4-",

n _)l{r.< 1l+( 1 /x/Y,"l)l{rn= i } on a P [ { T " < I } ] <4-". Comme 1A lYe.[e7. Maintenant 0 {I Yt;_ ~l> 1} c {T" < 1}; on en ddduit

p=l

4,(.) z 1 A 2j__Z


_

I(Y,;-

_ )

]

[ 1A l(r.22~ntp l(gt;-- gt;_l) ] p =

< E l 1 / x l{r. < 1}] < 4 - " . En reprenant l'expression de S", on obtient l'in6galit6

El1 Asn']<=4 - n + l donc EEl/x

(sn)l/2~ < 2 -"+*

enfin El1 A (sn+k) ~/2] < 2

n+ 1

k=l

et le lemme est ddmontr6.

Ddmonstration du ThOorOmelI.3. Soit (X") une suite de Cauchy pour [I I[s~(v); utilisant le lemme pr6c6dent II.4 on peut extraire une sous-suite (X") qui soit une suite de Cauchy pour I11[l[s~o,); d'apr6s le lemme 1.5 on peut encore extraire une

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J. Memin

dP

sous-suite et trouver une probabilit6/5 6quivalente/t P avec ~ que pour cette sous-suite (X ") on ait:

born6 et telles

E , ( [ x " , x ' ] ) < oo et pour tout n, E~(EX"+m-X ", X ' + ' ~ - X " ] I ) ~ 2 -" pour tout meN. D'apr~s le lemme 1.1, X" est une semi-martingale sp6ciale pour /5; nous notons X ~= M ' + A~ sa d6composition canonique. D'apr& l'in6galit6 (1-3) on obtient:

Ep([M,,+m- M n, M,+,~_ M,jl) < 2-,+ I on en d6duit que (M ") est une suite de Cauchy dans l'espace ~r est born6 par

Comme , ~

un hombre K > I , on a pour tout X~SP(P) l'in6galit6 sorte que (X") est encore une suite de Cauchy pour

IlXlls~(~)<~KIIXlls~(p), de I1"II~(~).

Mais (M") est aussi une suite de Cauchy pour I1"IIj(~); en effet, d'apr& les in6galit6s (1-1), (1-4) on a:

[{M'[is~(p)< N~(M') <=C 1IIM'[I~2(~), Comme A"= X ~ - M', la suite (A') est alors une suite de Cauchy dans S"(f). On s'occupe maintenant de la suite (A'). On commence par extraire une sous-suite (encore notre (A")) telle que pour tout n, I]An+l-A"lly(p)<2-n. Soit alors H" l a densit5 pr6visible de V ( A ' + I A') par rapport fi A" +I _ A , ; Soit Tp.~=inf{t; V(A~+I-A~)~>_p}; comme V(A"+I-A")I~ILI(_5) d'aprSs ce qui pr6cade, on a P[{ T;,,, < 1}] -~ 0 quand p -. oo. On prend p tel que/5[{Tv,,< 1}~ =<2-". Comme l'alg6bre ~ engendre la tribu ~ des pr6visibles, il existe une suite (H~,)m~N d'616ments de # telle que:

Ep [IZ-/2, - H'I. V(A"*

~-

A')~,,,] -~ 0

quand m o o o ; on peut donc trouver re(n) tel que: Ep [I/-/,~(,) - H"I.

V(A ~ + ~ -

A~)T~,,7

~ 2~

on en d6duit: E p [ l A IH,~(,,)-H'I.

V(An+~-A')z]

< E p [ 1 A IHT,(,,)- H"l 9V(A "+~ --A')T~,J +/5[:{T~,,, < 1}] ~2 -n+l

d'ofl E~[I

A I(H" -H,~(,)).(A " ..i - A " ) ~ [ ] < 2 -~*~

Espaces de semi Martingales et changement de probabilit6

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Ainsi

Ep[l A V(An+'-A%] =E~[1 A JH~

"+'-A%U

_
et pour tout mEN E[1 A V(An+m-An)l ] ~ 2 -n+3. On peut alors appliquer le lemme 1.6; il existe une sous-suite (An) et une

dQ

probabilit6 Q 6quivalente ~t/5 avec ~

born6, et telles que (An) soit une suite de

Cauchy darts d(Q). Pour terminer la d6monstration, on suit une argumentation de Stricker reprise par Meyer [9] puis par Dellacherie [1]. Notons Z1 =a~- et Z la martingale (pour/5) d6finie par Z,=Ep[Z~ IF~]. Cette martingale est born6e par un nombre K', et donc de carr6 int6grable; pour chaque n, [Z,M ~] est /~ variation int6grable, on peut appliquer le th6or~me de Girsanov (lemme 1.2c).

M'"=M n-

1

Z-

.

est une martingale locale pour Q, et la ddcomposition canonique de X" est:

Xn=M'n+A 'n off A ' " = A ~ + z ~ . ( Z , M ~ ). pour tout m,

EQ([Xn+m-xn, xn+m- xn]x) <=K'Ep([Xn+m- xn, xn+m- x']~ ) de plus Eo([ X~, xn] 1) < K'E~([ x~, X"] ~)<

oo

de sorte que

Ea([M",M'"]l)< oe et EQ([M'"+m- M",M'"+m- M'n]I) < K'2-'+ I ; ainsi (M 'n) est une suite de Cauchy dans .M2(Q). D'autre part, pour chaque ME~2(/5) on a:

Ec2[V (z--~_-'(Z,M))~]=Ep[ZI (z~-'V((Z,M))~)] = Ep [V(
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J. Memin

(d'apr~s la formule d'int6gration par parties) et

E~[ V(( Z, M))I)] <(Ep[ ( Z, Z) I])~/2(Ep[ ( M, M)~]) t/2 (d'aprSs l'in6galit6 de Kunita-Watanabe). Comme Ef [(Z, Z ) 1] = Ep [Z213 < K' 2 on obtient:

EQ [V (z~-" ( Z,M) ) I ] < K" (E,[ ( M,M) I])I/e. On va appliquer le calcul pr6c6dent/l M=M'+m-M"

EQ[V(A 'n+m_ A,.)~] <_Eo [V(A n+m_ A n)11 + Eo [V (z~_-'(Z, Mn+m-M") ) ~]
Remarque. Le lemmeI.3 pour un hombre fini de semi-martingales est red6montr6 dans le cours de la d6monstration, l'argumentation 6tant celle de Meyer [9] et de Dellacherie [1]. On montre maintenant le r6sultat annonc6 dans la remarque II.2; d'autre part on en d6duit en m~me temps la relation entre les topologies sur 5P(P) d6finies ~ partir de LI"[Is-(P) et/l" tl s,(~) o0/5 est une probabilit6 6quivalente h P. II.5. Th6or~me. Soit P une probabilitd kquivalente d P a) les topologies sur 5P(P) induites par/I ]ls~(m et II IIj(e~, coincident.

b) les topologies sur 5P(P) induites par II IIs.0,) et I1I1~#) coincident. Ddmonstration. Soit (X n) une suite de Cauchy pour II II~(~>, et soit/5 6quivalente t~

P, nous allons montrer que l'on peut extraire de (X n) une sous suite, qui soit de Cauchy pour II Ilsq~)., ce qui montrera d'un coup les deux assertions: en prenant /5 = p on obtiendra a) et en permutant/5 et P, b). De (X') on peut d'apr6s le th6or6me II.3 extraire une sous suite (encore not6e (Xn)) et trouver Q 6quivalente it P telles que (X n) soit une suite de Cauchy dans Jg2@sr d'apr6s (1-4) en extrayant encore une sous suite on peut obtenir pour tout N ~ N la propri6t6: 1

SupEo[SupIH.(Xn-X")tl]<~ He~

pour tout re>N, n> N.

t <- 1

On note IKN= yelLl(Q),

IlyllL,(e)<~

Comme Q est 6quivalente ~t/5, on peut consid6rer l'application identique de ILt(Q) dans lL~ off lL~ d6signe l'espace des variables al6atoires Fmeasurables, P-p.s. finies, avec la topologie de la convergence en/5-probabilit& Cette application lin6aire est continue; IKN 6tant born6 dans IL~(Q), l'est aussi dans IL~ (voir par ex: [12] p. 44), et donc:

Espaces de semi Martingales et changement de probabilit6

21

pour tout e > 0, il existe CN(e) > 0 tel que

SupEp[1A C ~ l y ] ] < e .

y~]KN

I1 existe un entier L tel que 2c> CN(e) et on a, d'apr6s le choix de la sous suite (X") Sup EQ [2 L Sup IH. (X" - Xm)d3~ H~~

1

pour m>N+L, n>_N+L,

t

ainsi

{2L(SupIH.(X"-Xm)t[); m> N + L, n> N + L, H~ql}cIK, t

de sorte que Sup H ~ E,~[1 /XC -2L - ~ (Sup [H. ( X " - Xm)tl)] _=N+L

et donc Sup Ep[1/x Sup JH. (X" -- xm)tl] < e H~q/ m,n>N+L

d'ofi le r6sultat.

t

[]

II.6. Remarques: a) Du fait du r6sultat a), le r6sultat b) figure d6j/t dans Emery ([2] prop 6). b) La d6monstration faite montre aussi que si t5 est seulement absolument continue par rapport /~ P, l'application identique de Y(P) dans Y(P) est continue quand on munit 5~ et 5:(/5) des topologies induites respectivement par [l'lPsqe) et I['lrs:(p)c) Soit T u n temps d'arrat, on ales in6galit6s [IX ~- rl:(p), < fiX rlJ ~(,), <-drXlPy~P)*

qni d6coulent des relations suivantes: sup In-X~[ < sup OH. Xsl < s u p lB. X,I s
s<=T

s<= l

et les applications X ~ X r, X ~ X r- sont continues pour la topologie de ~(P). Ce qui ne semble pas 6vident si on utilise seulement la quasi norme Jp [Js:(~). d) Soit Y un processus pr~visible born5 par un nombre K > 1. On a alors II Y x I1.~(~)__
et l'application X ~ H - X de 5:(P) dans 5"(P) est continue. (en effet ](HY). Xll < S u p [(HY)-X~I < K Sup IH. X.~] et s__
s__
El1/x [HY. XI] ]
22

J. Memin

On montre maintenant facilement le r6sultat de comp16tion figurant dans Emery ([2] th6or6me 1). II.7. Th6or6me. Eespace 5P(P) est un espace vectoriel topologique complet pour la topotogie associOe it la quasi-norme tl I1.~<~). D~monstration. Soit (X") une suite de Cauchy de 5P(P) pour H'Jlso,). D'aprSs le thdorSme II.3, il existe une sous suite (X ") et une probabilit6 Q 6quivalente/~ P telles que (X") soit une suite de Cauchy dans dg2Osd(Q); ./dZ2@s~(Q) est un espace de Banach; soit X la limite de (X") dans dd2Osd(Q); d'aprSs l'in6galit6 (1-4), (X") converge aussi vers X dans IHI(Q) muni de la norme N2a et ~ fortiori:

SUpEQ[1 A [H. (X"-X)[] -+0

quand n--* oo

Heg

ce qui implique d'apr6s le th6or6meII.5 que l'on a la marne relation pour la probabilit6 6quivalente P. Ainsi X est limite clans 5QP) pour jj. IJ~(p) d'une sous suite d'une suite de Cauchy, X est alors limite de cette suite initiale. []

III. Les espaces A~

IL(X), ~?P(X), ILP(X)

Dans ce paragraphe X est une semi-martingale donn6e, sur la base (f2, F, (Ft), P) et nous nous int6ressons /t l'ensemble des processus pr6visibles r6els Y pour lesquels on peut d6finir une int6grale stochastique YP.X poss6dant les propri6t6s suivantes: (a) Y~'X est une semi-martingale (b) (Y'eX)c=YPXc, ((Y'~X) ~ 6tant la partic martingale locale continue de YPx) (c) A (YP X) = Y. A X (d) Y r X coincide avec l'int6grale de Stieltjes Y. X lorsque X est/L variation finie. Jacod a 6tudi6 ce problhme dans ([4], chapitre 2, paragraphes 2.50/t 2.71), et montr6 le r6sultat suivant: III.1. Th6or6me. Soit X ~ 5P(P) ; soit LP(X, P) l'ensemble des processus prdvisibles Y pour lesquels il existe une ddcomposition X = M + A avec M martingale locale, A processus fi variation finie, telle que Y P M soit ddfinie en rant que martingale locale, intOgraIe stochastique de Y par rapport gt M (c'est-gt-dire: (y2. [M, M]) 1/2 est g~ variation localement intOgrable), et tel que Y. A soit gt variation finie alors 1) Y.FM + Y . A ne d@end pas de la ddcomposition X = M + A considdrde, on peut donc ddfinir sans ambiguit~ Y.~ X par: Y P X = Y.PM + Y. A.

Espaces de semi Martingales et changement de probabilit6

23

2) Y ( X , P ) est un espace vectoriel:

en particulier, si y1 et y2 appartiennent h S ( X , P ) y l + y2 appartient gl ~f(X,P) et on a:

(y1 +

yz).Px=yl.Px + yzrx.

3) y e X possOde les propri&5s (a), (b), (c), (d); et S ( X , P ) est la plus grande classe d'dldments prdvisibles telsque l'on puisse considOrer une int~grale stochastique Y.~X possddant les propridt~s (a), (b), (c), (d) et teIle que Y ~ Y . X soit lin~aire. Jacod 6tudie aussi au chapitre 7 de [4] (chap. 7, w les relations de S ( X , P ) avec 5~(X,Q) lorsque Q est une probabilit6 absolument continue par r a p p o r t / t P et montre le: IlI.2. Lelnme. Soit Q une probabilitO absolument continue par rapport d P et YeLl(X, P) alors:

YeS(X,Q)

et

Y q X = Y.~X.

Compte-tenu de ce lemme, quand nous ne considOrerons que des probabilit5s ~quivalentes gt P, on dcrira Y ( X ) au lieu de S ( X , P ) et Y . X au lieu de YPx. 2 Etant donn6 un 616ment Y e S ( X ) , on considSre la classe Y = { UeY~(X), U. X = Y. X}, et sur 5r la relation d'dquivalence associ6e; on note 1L(X) l'ensemble quotient; on fera, comme en th6orie de la mesure, souvent l'abus de confondre un 616ment Y de S ( X ) avec sa classe Y dans IL(X). La relation d'6quivalence d6finie sur S ( X ) est compatible avec la structure d'espace vectoriel de S ( X ) , et IL(X) est aussi un espace vectoriel; de plus, soit Y e S ( X ) et H u n processus pr6visible localement born6, HYeLP(X), car on sait d6finir l'intdgrale stochastique H . ( Y . X ) et on peut v6rifier facilement la relation:

H.(Y.X)=(HY).X

(3-1)

enfin, si Yet Y' appartiennent/t la mSme classe Yon a:

H Y =HY'. Soit IkelL(X), on d6finit [[IT[Im(x)par: IIY [I,~(x)= IIY Xll~(p). JP"H~(x) est une quasi-norme sur IL(X), qui induit sur cet espace une mdtrique. III.3. Lemme. Eespace IL(X) est un espace vectoriel topoIogique complet pour la topologie associge d la quasi-norme ]l'[Im(x)-

D~monstration. D'aprSs ce qui prdcSde, seule la propri6t6 de compl6tion est fi montrer. 2

Note: voir aussi [14] pour une 6tude r6cente de ~(X).

24

J. Memin

Soit (Y") une suite de Cauchy de IL(X) pour [['][iL(x). (Y"" X) est une suite de Cauchy de 5P(P) pour [[ ][s~(P). D'apr6s le th6or6me II.3, il existe une sous-suite de

ctQ

(Y".X) et une probabilit6 Q 6quivalente/t P, avec ~ - born6e telles que cette sous-suite ( y n ' x ) soit suite de Cauchy dans ~g2@d(Q), et que X soit un 616ment de J g 2 O d ( Q ) ; (il suffit pour ce dernier point de prendre y l = 1). Si on note M + A la d6composition canonique de X dans J g 2 O d ( Q ) , la d6composition canonique de Y". X est Y". M + Y". A. En effet, fixons n; soit L + D la d6composition canonique de Y " . X (pour Q). D'apr6s le lemme III.2, il existe une d6composition N + B = X telle que Y"-X se repr6sente par Y " . X = Y " . M + Y".B. Comme X (resp.: Y".X) est une semimartingale sp6ciale (pour Q), B (resp.: Y".B) est ~t variation localement int6grable et son compensateur pr6visible est A (resp. D); mais le eompensateur pr6visible de Y". B e s t aussi Y"- A, par cons6quent D = Y"- A et L = Y". M, (voir aussi [4] N ~2-69). Soit N la tribu des pr6visibles sur O x [0, 1], la suite (Y") est une suite de Cauchy dans l'espace de Banach ]I.,2(~ X [-0, 1],~,dQ x d( M,M))c~ILI(I2 x [0, 1],~,dQ x dV(A)). (Y") converge donc dans cet espace vers Y pr6visible, et Y . X est limite de (Y".X) dans ~/2| ( Y . X ) est donc ~t fortiori limite de (Y" .X) dans 5P(Q) pour I[ IIs~
~L(X). [] Remarque. La d6monstration du lemme III.3 montre que si (Y~) est une suite de Cauchy dans IL(X), il existe une sous-suite de (Y~.X) et une probabilit6 Q 6quivalente ~t P telles que cette sous-suite not6e encore (Y"-X) soit une suite de Cauchy dans ~ ' 2 G d ( Q ) , X appartenant aussi ~t ce dernier espace. Soit X = M + A la d6composition canonique, on a de plus: (Y~.M) est une suite de-Cauchy de J/ta(Q) et (Y".A) est une suite de Cauchy de d(Q). Une autre fagon d'exprimer le lemme III.3 est la suivante; IlI.4. Corollaire. Soit ~f(X) l'espace de routes les semi-martingales s'exprimant sous la forme Y. X off Y~59(X); alors ~ ( X ) est fermd dans 5P(P) pour la topologie associ& d 1[ 11~(e)" Voici maintenant une version du th6or6me de convergence domin6e ~ rapprocher de celles de [3, 4, 7]. III.5. Th6orbme (de convergence domin6e). Soit (Y") une suite de processus prdvisibles telle que P-p.s. Y~" converge vers Y~ pour tout t; on suppose qu'il existe un processus prOvisible Z appartenant d ~ ( X ) et tel que: pour tout n,

I~"[_-
Espaces de semi Martingales et changementde probabilit6

25

alors, yn et Y appartiennent gt ~ ( X ) et (Y") converge vers Y dans IL(X), pour In quasinorme H"]lIL(X). Ddmonstration. D'aprbs le lemme 1.3, il existe Q probabilit6 6quivalente fi P telle que X et Z . X soient 616ments de ~{2G~C(Q). Soit X = M + A la d6composition canonique de X dans ~r Z 2, (m, M)ICILI(Q) et [Z[. V(A)I elLZ(Q); mais [Y"]< Z et en passant/t la limite IYt
Remarque (2). Soit Y un 616ment positif de 5~(X) et Y " = Y A n ; d'apr6s le th6orbmeIII.5 (!?") converge vers Y darts IL(X); ceci montre que l'ensemble des 616ments pr6visibles bombs est dense dans IL(X) pour la topologie induite par ]]'H~(x) et que ~ ( X ) est l'adh6rence dans 5P(P) de l'ensemble des semimartingales H. X off H est born& Compte tenu de la remarque 2 cons6cutive au lemmeIII.3, on peut g4n6raliser la relation (3.1) d'associativit6, plus pr6cis6ment si H~2.q)(X), si K~5~(H. X) alors K H e S f ( X ) et (KH). X = K . (H. X). III.7. Les espaees ~~ IU'(X), o~gP(X). Soit p > 1, X 6tant donn6, on peut d6finir l'espace ~P(X) constitu6 des processus Y appartenant/t 5~(X) et tels que Y. X appartienne/~ l'espace IHp des semi-martingales, muni par exemple de la norme N~. On consid&e aussi les classes de processus de A~ dormant la m6me intdgrale Y . X , et on note ILP(X) l'espace de ces classes; ]If(X) est un espace vectoriel norm6 avec:

on note enfin ~,~P(X), l'ensemble des semi-martingales Y. X off Y ~ P ( X ) . III.8. Th6or6me. a) ILP(X) est un espace de Banach, ~ P ( X ) est fermd dans l'espace IHp des semi martingales. b) Si X est une martingale, HP(X) est ferm6 dans l'espace IHp des martingales.

26

J. Memin

DOmonstration. La topologie de IL;(X) est plus fine que celle de IL(X); soit une suite de Cauchy (Y") de ILv(X), (Y") est une suite de Cauchy de IL(X) et il existe une limite Y, telle que (Y". X) converge vers Y. X dans ~(P) pour [[ [Is~cP)D'un autre c6t6, comme IHP est complet comme espace de semi-martingales (resp.: comme espace de martingales), (Y".X) converge vers un 616ment Z de IHp, (Y"-X) converge donc vers Z ~t fortiori darts 5~(P) pour I1 IIs~(p), d'ofi Z = Y- X et les r6sultats a) et b). III.9. L'espace .~ des processus pr6visibles r6els. N jusqu'~ pr6sent d6signait la tribu des pr6visibles; par abus de notation/t partir de maintenant, ~ d6signera aussi l'espace des processus pr6visibles r6els, ce qui ne pr6tera pas ~t confusion. Pour tout Y appartenant /~ N, on peut associer un processus Y* /t valeurs dans ~ + d6fini par: Yt~=supYo,

Yt*= inf Y~* si

s
t
l>=r>t

et Y~* =sup ]g~l. S <=t

Une suite (Y") d'616ments de r converge vers Y uniform6ment dans N eu probabilit6 si El1 A (Y"-Y)*] ~ 0 quand n ~ o9. On note HY hiv(e) = E [ 1 A ~ ] ; d(Y,,Z) = IIY - z [IvcP~ d6finit une distance dans ~, mais l'application (c~,Y)~c~Y de IR x N dans N, off ~ est munie de la m6trique associ6e ~ d n'est pas continue; et I[g][v{p) n'est pas une quasi-norme sur N, car ~ peut &re infini. On a l e r6sultat suivant: Ill.l@ Lemme. Eespace ~ muni de la m&rique d est un espace complet.

DOmonstration. Soit (yn) une suite de Cauchy d'616ments de ~ pour d. On peut extraire de cette suite une sous-suite not6e encore (Y") telle que:

E[1A ( y " - y"+ I)~] <4 -"-1 de sorte que E [ 1 A ~ (yn+k yn+k+l)~]<=L E[1A(yn+k--yn+k+l)*] <=4-n" k=0

k=0

On pose Z " = ~ ( y , + k _ yn+k+l)~ on a alors k=0

ZPE{Z">2 "}] < ~ 2 - " < tl

oo.

n

D'apr6s le lemme de Borel-Cantelli P [ l i m s u p { Z " > 2 - " } ] = 0 n cons6quent (Z") converge vers 0 P-p.s.

et par

Espaces de semi Martingales et changement de probabilit~

27

Pour tout t, IYt'-Ytn'-mJ < Z n et (Ytn) est une suite de Cauchy dans IR, on note Yt la limite; Y est pr6visible et d'apr~s ce qui pr6c~de (Yn) converge uniform6ment vers YP-p.s. [] Sur ~ on peut aussi ddfinir l'application Y-+ [1YIIu.(p) pour r > 1 off JlYrlv,(P) = I / Y ? fl~=~(n" On montre, en proc6dant comme dans la d6monstration du lemme prdc6dent, que l'espace ~Vr(P) des 616merits de ~ tels que [Igllvr 1, il existe une sous-suite

dQ

de (Y') (notde encore (Y")) et une probabilitg Q~ dquivalente ~ P, avec ~

born~e,

telles que la sous-suite (Y") soit une suite de Cauchy dans ~v~(Q). [] Le thdorOme III.5 de convergence domin~e permet de montrer que si (Yn) est une suite uniform~ment bornde d'dl~ments de g~ convergeant pour II b]v
y)'~>2-,]<2 -'-~

Alors ( Y ' - Y) converge vers 0 uniform6ment P-p.s. Pour chaque keN, on note A k = ~ { ( Y " - Y)~ > 1} on a n>k

P[Ak] < ~ P [ { ( Y " - Y)~' > 1}] <-2 -k n>=k

Soit Pk la probabilit6 d6finie sur (f2, F) par: Pk(B) =P[A~nB](p[Ac~]) -1

pour B e F

c'est ~t dire P~= la;(P[A~] )- 1. p. P~ &ant absolument continue par rapport a P, d'apres le lemme 1.2 b), pour tout n, Y ' . X est une semi-martingale sur la base (/2, F, (F,), P~); comme pour n > k (Y" - Y)* < 1 P~-p.s. et que (Y" - Y) converge vers 0 uniform4ment P~-p.s., on peut appliquer le th4or6meIII.5 de convergence dominhe et (Y". X),,_>~ converge vers Y. X dans 5~(P~) pour HHso
28

J. Mernin

On peut extraire de (yn), une sous-suite chaque k, on ait:

(Yv(k))kEN de

telle fagon que pour

II(Y~(k)- Y). X ]ly(p~)--<2 -k- 1

ll(Yv(k)- Y). X Ils~(f)=Sup E [1 A [H(Y v(k) - Y). X l[] Heg

-_ P EA~,]Sup E k E1 A IH(Y ~(k)- Y). X 1 I] BEg

+ Sup EE1Ak(1/x [H(Y v(k)- Y). XI[)] HEg

=
<=2-k-l+2-k=2-k+l.

La suite (y~(k). X)kE ~ converge bien vers Y dans 5~(P) pour HII•(n). B) On montre que Y ~ ( X ) . On reprend les notations du d6but de la partie A): m6me sous-suite (Y'), ensembles A k. On note Bk--~k--AC--l'k-AC 1, k = 1,2... B o = A o. Ces ensembles B k sont disjoints et O = U B k. k

Soit P~ la probabilit6 d6finie sur (f2, ~-) par Pk=P(Bk)-

1 1Bk. p ,

Pk &ant absolument continue par rapport ~ P, X est aussi une Pk-semimartingale. Soit k e N ; pour n>=k on a: IgI
Pk-p.s.

Comme Y"eLf(X, Pk), YE~(X, Pk) aussi. Mais P est combinaison convexe d6nombrable des Pk: P = ~ P(Bk)Pk k

d'apr~s [14], th6or6me3, l'ensemble des lois Q qui sont des lois de semimartingales pour X et telles que Y ~ # ( X , Q ) est dOnombrablement convexe; si bien que Y ~ ( X ) = ~ ( X , P). A partir de ce rOsultat, on peut obtenir le suivant qui g6nOralise une remarque faite par P.A. Meyer. III.13 Th6or6me. Soit (Y") une suite d'dl~ments de ~ convergeant pour IIu(p)vers un ~l~ment Y tel que Y* < oo P-p.s. Soit (X ~) une suite d'dlOments de 5r convergeant au sens de Sr vers X, avec Y ~ e ~ ( X ~ ) c ~ ( X ) , alors on peut extraire de (Y". X ~) une sous suite qui converge dans Sr vers Y. X. Ddmonstration. Notons d'abord que l'hypoth6se Y* < oo P-p.s., implique que Y est localement born6 et donc que Y ~ ( X ~) pour tout n. On a:

I1Y""X ~ - Y" X [Is~(e) < [I(Y" - Y)" X" Ilso(e)+ I] Y" (X" - X)[]~(p) < II(Y"- Y)" (X"-X)lls~(p)+ II(Y" - Y)'Xllso(e)+ IIY" ( X " - X ) l l j t m .

Espaces de semi Martingales et changementde probabilitd comme

I/1"
tout

~>0

29

on peut trouver N(e) tel que

P l Y * >N(e)]
<=P[Y~' > N(e)] + I[(l{r~:0 donnS, il existe N'(D telle que si n_>N'(t), II(Y"-Y).X[[~(p)_ N"(e)

P [ ( Y " - Y)* > 1]
II(Y" -

Y ) ( x " - x ) I I ~ ( ~ < ~ + IIx " - x Ily(e),.

Ainsi, on peut extraire une sous suite telle que pour tout s>0, il existe M(e) < oo avec pour tout n > M(e). IIY " X - Y. X I}s~(p)-<-3 ~ + (M(~) + 1) IIXn - X I}so(p),. On peut alors trouver K(e) tel que (M(e)+l)l[Xn-Xll~(e),K(e), d~aprhs l'4quivalence des topologies d6finies par l} IIJw) et ]j Ils~(e)* (th6or4meII.5), d'ofi la convergence annonc~e. []

Remarque (P.A. Meyer). Si on prend la suite (Y') avec Y"= Y,, on dhduit de la d~monstration pr6cddente que si (X') converge vers X, (Y.X") converge vers (Y.X) quand Y * < o o P-p.s.

IV. Sous espaces ferm6s dans SP(P) On s'int6resse dans ce paragraphe aux sous-espaces de J ( P ) qui sont ferm6s pour la topologie induite par rl ]ls~(e)Nous avons d6j/t not6 que si X e J ( P ) , l'espace .Jr(X) (resp.: J/alP(X), p > l ) des processus intSgrales stochastiques Y. X (resp.: telles que Y. X~IH p) est ferm6 (cf. III.4 et III.8). Emery dans [3] montre que ni l'espace J//loc(P) des martingales locales, ni l'espace ~r(p) des processus/~ variation finie n'est ferm6 dans ~(P); en outre si X est une semi-martingale sp6ciale de d6composition canonique X = M + A , l'application qui ~t X fait correspondre M n'est pas continue dans b~ Par contre il est facile de voir que l'espace Y~(P) des semi martingales dont les sauts sont uniformSment bornSs par le nombre K, est ferm6, et il en est de m6me de J//~oc,K(P), espace des P martingales locales /t sauts uniform6ment born6s par K, la c16 de ce dernier r6sultat 6tant le th6or6me suivant:

30

J. Memin

IV.1 Th6or6me. Soit (X") une suite de Cauchy dans 5e(p) pour II Nsole), telle que les

sauts des X" soient bornOs uniformdment par un nombre K, il existe une sous suite (notde encore (X")) et une suite de temps d'arr~t (Tp) avec P [ T v < l l ~ O quand p ~ o o , telles que pour chaque p: (X "'r~) est une suite de Cauchy dans IH 1. D~monstration. D'apr6s le lemmeII.4 on peut extraire de (X") une sous-suite (encore not6e (X")) telle que l'on ait pour tout n: p[Ex

TM

- Xn, Xn+ I__ Xn]I/2 >4-n] <4-n

notons Z ~n - [ X

n+l

-X",

- X n ],1/2

xn+l

et consid6rons le processus Y d6fini par:

Y~= Z 2" [ 4 - " + Z~ t{z ~> 4- -}] Y est une processus cadlag positif croissant et P-p.s. fini; pour tout nZ'~ <=Yt2-". On d6finit la suite (Rfl de temps d'arret suivante: e p = i n f { t : Yt__>p}. On a

E[YR~ ] = E [Y{R~)_] + E [(Y~ - Y(R~)-)]

E[(YR-~R~_)]=E[~2"Z~ I{~

>4_~ --Z.., v 2 " z .(llp)- l{z~'Rv)- >4-"}]

4-,,;] n

+ E [ ~ 2"Z&,)_ 1l{~&~)_ >,-.}- l{z~; > 4 -}[] <=K~2"P[{Z"R >4-"}] + ~ , p 2 " P [ Z ~ >4-"] n

n


"=K+p

et par cons6quent E[YR. ] < K + 2 p . Pour m~N quelconque on a:

[X.+.,_X.,X.+~._~.-ll/2.~ JR~
-.-m+L

)
Err Xn+m-Xn'Yn+m~*--~ynll/2ljR; J =<2-" + 1(K + 2P).

D'apr6s le lemmeI-I (in6galit6 (1-3)) on a: E [ [ M "+m - M " , M "+" - M " ] ~ ] < a 2 9(K + 2 p ) 2 -"+1 off M " + A " est la d6composition canonique de la semi martingale sp6ciale X" (en effet une semi martingale & sauts born6s est sp~ciale).

Espaces de semi Martingales et changement de probabilit6

31

Par consdquent la suite (M"'RP),~ est une suite de Cauchy darts 1H1, donc aussi dans 5P(P); et comme A"'Rp=x"'Rp--M "'Rp, (A"'R,),~ est une suite de Cauchy clans 5~(P). Ce que l'on a fait avec (X") on peut le refaire avec la suite (A n'g~) en remplaqant [X "+1 - X " , X ~+1 - X " ] ~/2 par V(A"+I'R;-A"'R~); il existe donc une sous suite (not6e encore (A"'R;)), une suite de temps d'arrat (Sq), telles que pour chaque q (A "'g,~sq) soit une suite de Cauchy dans d ( P ) ; en posant Tp=S v/x Rp on obtlent en defimtlve que (X ~) est une state de Cauchy darts 1H~. [] 9

9

'

"

"

n,

T

'

IV.2. Remarque. Nous venons de voir que darts 5Pg(p) la convergence au sens de 5~ implique la convergence d'une sous-suite au sens de IH~oc; ((X") converge vers X au sens de lH~oc, s'il existe (Tp) suite de temps d'arrat croissant P-p.s. vers 1 avec P[Tp < 1]-+ 0 quand p--+ o9 telle que (X "'rv) converge dans lI-I1 vers xr~). I1 est facile de montrer l'implication r6ciproque: soit une telle suite (Tp) de temps d'arret; soit N e N , il existe p e n tel que P[{Tp
1

Hsg

d'ofi pour tout n > N S u p E [ l / x [H. ( X " - X)I[] < S u p El1/~ [H. (X" - X)r,[ ] + P[{Tv < 1}1 < 2 - u He~

He~

et le r6sultat.

[]

Le th6or6me 4.1 montre la diff6rence de situation entre 5P(P) et 5Q~(P). Dans

5Pk(P) la topologie est associ6e h des convergences locales dans IH 1, alors que dans 5QP) cette topologie est associde h des convergences <>. On notera s~'~or ) l'espace des processus pr6visibles/t variation localement int6grable et/t sauts uniformdment born6s par K.

IV.3. R emarque. Soit X eS'~k(P) et M + A la d6composition canonique de X, alors (voir par ex [55) MeJ/llo~,2K(P) et AeS~loo,K(P ). Darts le cours de la d6monstration du th6ordmeIV.1, (compte tenu de la remarque pr6c6dente IV.2) on a montr6 la continuit6 des applications suivantes:

X-~M X-~A

yk(p) de yk(p) de

darts

J~loc,zK(P)

darts

~o~,K(P);

chacun de ces espaces 6tant muni de la topologie induite par celle de Y(P). IV.4. Th~or~me. Le sous espace 5Pk(P) de 5P(P), formd des semi martingales dont

les sauts sont uniform~ment born~s par K est ferm~ dans 5P(P). DOmonstration. Soit (X") une suite d'616ments de ~k(p), de Cauchy pour [[ [[s~(e); X" converge vers X 616ment de J ( P ) d'apr6s le th6or6meII.7; comme cette convergence a lieu uniformdment en probabilit6 (cons6quence du th6or6meII.5 d'6quivalence des topologies) on a IAXT[
32

J. Memin

IV.5. Th~or~me. a) M/loc,K(P) est ferm4 dans ~(P). b) La topologie induite par ]j IIs~(p)sur ~1oc, K(P) est ~quivalente fi celle d~finie par la convergence uniforme en probabilitY.

D~monstration: a) Soit (X") une suite d'616ments de JC4oc,K(P), suite de Cauchy dans 5P(P); en reprenant la d6monstration du th6or6me IV.l, il est imm6diat de voir qu'il existe une sous-suite (not6e (X")) et une suite de temps d'arr~t (T,), avec P[Tp0 telle que (X "'r,) soit une suite de Cauchy dans 1 espace IH 1 (des martingales); comme celui-ci est complet, compte tenu de la remarque IV.2 on en d6duit l'existence d'une martingale locale X, limite de (X') dans 5e(P) et telle que pour tout T temps d'arrat IAXr[ < K, puisqu'on a en particulier convergence uniforme en probabilit6. b) Soit (M ") une suite de Cauchy pour la topologie de la convergence uniforme en probabilit6; en proc6dant comme dans la d6monstration du th6or6me IV.l, on peut extraire une sous suite encore not6e (M") et trouver une suite (Tp) de temps d'arr~t avec P[{Tp< 1}] ~ 0 quand p ~ o o , off pour chaque n, n (ZT~) est une suite de Cauchy dans lL~(f2, F, P) avec Z nt =sup IM,n + l -M~I. On en S--
d6duit, grgtce aux in6galit6s de Davis ([8] chap.V), que (M "'T~) est une suite de Cauchy dans l'espace IH ~ des martingales donc d'apr~s la remarque IV.2, (M") est une suite de Cauchy pour la topologie d6finie par 6e(P). IV.6. Remarque. Quand K = 0 , on a les r6sultats correspondants des th6or~meslV.4 et IV.5 pour l'espace 6e~(p) des semi-martingales continues et pour l'espace J//~Coo(P) des martingales locales continues. Indiquons un dernier r6sultat de fermeture not6 par Meyer qui concerne l'espace sClo~(P) des processus pr6visibles ~t variaiton finie, donc /~ variation localement int6grable. IV.7 Th/~or~me. Eespace s~C~oo(P) est fermd dans 6a(P) et pour ASSCloo(P) on a: IIAII~w)=E[1 f V(A)~].

D~monstration. Soit (A~) une suite de Cauchy dans ~(P) d'~16ments de ~r D'apr~s le th6or~melI.3, on peut extraire une sous-suite not6e encore (A') et trouver une probabilit~ Q ~quivalente h P telles que (A') soit de Cauchy dans ~r s~(Q) ~tant une espace de Banach, (A~) converge dans ~(Q), et donc dans .Y(P); enfin la deuxi~me partie de l'assertion est montr~e dans le cadre de la d6monstration du th~or~me II.3.

V. Cas multidimensionnel: les espaces ~~

~L~~

.3~P(X)

Dans ce paragraphe, X =(X~)i _-> i~q

obtenue lorsque pour tout i YiES~(Xi, P). Nous tirons d'abord de Jacod ([4] chap. IV pour X martingale locale, et [3] pour X semi-martingale) les r6sultats dont nous avons besoin.

Espaces de semi Martingales et changementde probabilit~

33

A) Le cas des martingales locales Si M =(M~)i_
(5-1)

Soit p > 1, ~ ( M , P) est l'ensemble des processus prbvisibles Y=(Yi)~<=q tels que le processus croissant ((.~. Vc~: Y~). C)p/2 soit localement intdgrable; l'ensemz,J

ble s162 ne ddpend pas du couple ((cij)i,jsq, C) si ce couple satisfait (5-1). Si Y ~ o o ( M , P), le processus W f M (t pour transpos6, P pour la probabilit6 de base) est l'unique martingale locale v6rifiant:

VYrM, N~ = ( 2 Y'K~)" C i,j

pour toute martingale locale /t valeurs r6elles N, les K i 6tant des processus optionnels tels que [M ~,N] = K ~. C. (Si M est localement de carr6 intdgrable, on peut remplacer [M~,M j] par (M~,M j} et le couple (C,(qj)~,j<=q) peut atre compos6 de processus pr6visibles avec: ( M ~,M r } = c~. C.

(5-1)

~lZo~(M,p) est alors l'ensemble des processus pr6visibles Y=(Y)~_
B) Le cas des processus d variation finie Soit A - - ( A i)i<__qun processus cadlag adapt6 dont les composantes sont/t variation finie, il existe un processus croissant r6el ~t variation finie V et un processus v=( Vi )i~q optionnel tel que l'on ait:

(5-2)

A i = v i , V.

Si A est pr6visible, on peut choisir Vet v pr6visibles). On note Y~(A,P) l'ensemble des processus prdvisibles Y-(Y)~<=q i tels que le processus croissant j ~ Y%i]" V soit ~ variation finie; en posant alors i
t Y . A = ( ~ yivi).V i
on obtient une g6n6ralisation de l'int6grale de Stieltjes op6r6e (>. L'espace S~(A, P) ne ddpend pas du couple (V, v) pourvu qu'il satisfasse (5-2). Jacod montre dans [3] que la notation tY.A n'est pas ambigue: plus pr6cisdment, si A a ses composantes qui sont /t la fois martingales locales et

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J. Memin

processus ~ variation finie, et si Y est 616ment de ~Ioc(A,P)c~qP,(A,P) 1 alors le processus int6grale stochastique de Y par rapport ~ A (consid6r6e comme martingale locale) coincide avec le processus int6grale de Stieltjes. On aura besoin au cours de la d6monstration du th6or6meV.4 du compensateur pr6visible du processus t Y . A , d6fini lorsque ce processus est g variation localement int6grable; le lemme suivant g6n6ralise le r6sultat bien connu lorsque A est un processus r6eL V.1. Lemme. S o i t A = ( A i)I<=~ un processus cadlag adapt~ g~ valeurs dans ]Rq, g~ variation localement intdgrabIe, et A = (A-i )i<=qson compensateur pr~visible ; soit Y i =(Y)i~q un dljment de ~s(A) tel que ty. A soit d variation localement intdgrable, alors Y appartient d I'espace Ys(.4) et on a l'~galitd:

~Y.~'-A='Y-A

(5-3)

(off t y . A d~signe le compensateur prdvisible de tY.A). D~monstration. Quitte ~ localiser on peut supposer que A et t y . A sont /~ variation int6grable. On note B, = {(t, o)) : Vi, lYi(t, co)l n

lily m. fi-~Y~ dll~,(e~= E[ V((tg m-rYe)" d)l~ ] i<=q

i<=q

=E[V((ty m-rYe). A)~3 = JItYm. A - ' Y " . AI]~,. Ainsi (tY"./i) converge dans a/(P) vers un 616ment 2, qui est n6cessairement le compensateur pr6visible de ty. A, puisque l'6galit6 (5-3) est vraie pour les Y~. Soit D l e processus r6el croissant prSvisible d6fini par: D = y, v(si') i
et d-(d)i<=q le processus pr6visible/t valeurs dans lRq tel que Ai=di.D. (*Y".z{) suite de Cauchy dans IH 1 signifie que ( ~ Y~'idi) est suite de Cauchy dans ILl(f2 _

i

i
x [0, 1],~,dP xdD); comme ~, Y~'idl converge simplement vers ~' yidi, on a i<=q

iGq

aussi convergence dans

IL~(f2x[O, 1 ] , # , d P x d D )

et

] ~ yid~l.D1 i
est int6grable, ce qui montre que Y ~ s ( A ) et que 2~=~Y-A, ce qu'il fallait d6montrer. []

Espaces de semi Martingales et changement de probabilit6

35

C) Cas gdn&al des semi-martingales Soit maintenant X =(XZ)i
ty.Px =ty.e M + ty. A

(5-4)

et la d6finition (5-4) ne d6pend pas de la d6composition choisie; 5#(X, P) est un espace vectoriel avec:

t y P x + ty'.eX=t(y + y')l'X.

(5-5)

Le lemme suivant g6n6ralise le lemme III.2 6nonc6, lorsque X est une semimartingale r6elle ([4] 7.26). V.2. Lemme. Soit Q une probabilitd sur ((2,F) absolument continue par rapport gzP et Y~ c~(x,P) alors Y~ ~q(X, Q) e t o n a"

'YgX=tYeX.

(5-6)

La ddmonstration de V.2 dOcoule directement, compte-tenu de ([4] 7.26) du rOsuhat simple suivant: V.3. Lemme. Soit X=(Xi)i<=~, une semi-martingale, soit Y~Sf(X,P) et

Y'=IB Y o~t B,={(t, co):lYi(t, co)[<=n, Vi} alors (Y"PX) converge vers t y F x dans l'espace des semi-martingales rOelles 5~(P) pour la topologie dOfinie par [I nj(p). Ddmonstration. Remarquons d'abord que Y" 6tant born6 Y ' e ~ ( X ~,P) pour tout i. I1 existe d'apr6s la d6finition de S ( X , P ) une martingale locale M=(M~)~<=q et un processus ~ variation finie A=(Ai)i~q tels que X = M + A , oh les int6grales stochastiques tY.eM et ty. A ont un sens, On a tye x =ty.~ M + ty. A et

ty,g X = ty,F M + ty,. A. On v6rifie alors facilement les 6galit6s:

,y,r M = (Y1B.)r M = 1B~ t yr M) *Y'. A = (*YIB,). A = 1 ~ . ('Y-A)

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J. Memin

d'ofl le r6sultat, puisque (lB,) converge vers I dans S(tY.X,P), d'apr6s le th6orSme de convergence domin6e III.5. Par analogie avec le paragraphe III, on notera IL(X,P), l'ensemble des classes de processus Y dormant la marne int6grale stochastique Y!'X (on notera IL(X) et Y-X plus simplement lorsqu'il n'y a pas ambiguit6 sur la probabilit6, il s'agit alors de P ou d'une probabilit6 6quivalente, ce qui est coh6rent d'apr6s le lemme V.2). On d6finit sur IL(X) la quasi-norme:

IIYlllL(X)= IItY" XIl~(p).

(5-7)

Voici maintenant le r6sultat principal de ce paragraphe: V.4. Th~or6me. Eespace IL(X) est un espace vectoriel topologique complet pour

Ia topologie ddfinie par la quasi-norme 1[ Jim(x). Ddmonstration. Soit une suite de Cauchy (Y') de IL(X); CY". X) est une suite de Cauchy dans 5e(P) et on peut d'apr6s le th6or6me II.3 extraire une sous-suite et trouver une probabilit6 Q 6quivalente A P tel que cette sous-suite (encore not6e (~Y'. x)) soit de Cauchy dans J ~ 2 G d(Q), X ~ 6tant aussi 616ment de cet espace pour tout i
C = 2 ( M~' Ms) + 2 V(Ai) . i,j

i

Soit c =(cij)i,j=
C.

Enfin, soit d =(d~) i ~q le processus pr6visible tel que: A i = d i 9C

L'hypoth~se que (ty,. X) est de Cauchy dans J d 2 G d ( Q ) se traduit par:

(2 Y citY "'J +l~ Y"'idil) i,j

i

est une suite de Cauchy clans ILl(f2 • [0, 1], ~, dQ • dC), et en extrayant encore une sous-suite on obtient une suite de Cauchy pour la convergence dQ • dC presque sfire.

Espaces de semi Martingales et changementde probabilit6

37

On peut r6duire la forme quadratique ~ Y "'~cijY"'J; autrement dit, il existe i,j

un processus prdvisible A =(2~)~q et 2~> 0, un processus pr6visible / / /t valeurs dans l'espace des matrices q x q orthogonales et pour tout n, un processus pr6visible H " = ( H "'~) tel que:

Y n,i c~jY n.j __ -~(H"'i);2i i,j

y, =I1H".

et

i

De plus, il existe un processus pr6visible f = ( f )i~q tel que: Yn.i d ~ = ~ i

Hn, ifi

et on a

d=Hf.

i

D'apr6s ce qui prbc6de, pour chaque i, H"'~2i et ~ H " ' i f i sont des suites de Cauchy dans IR, dQ x dC p.s. Pour chaque (co,t) on consid6re J(t, co) = {i: i = 0}, pour chaque i~J, H"'i(t, co) converge dans IR; on pose Hi(t, co) la limite; et (H"'i(t, co) -Hi(t, co))fi(t, co) tend aussi vers 0 pour i~J. Soit:

U(t, co)= ~ H i(t, co)fi (t, co)= lim ~ H",i(t, co)f~(t, co) iEJ

n

i~J

et

V(t, co)= lira ~ H"'i(t, co)fi(t, co) n

i<=q

on cherche maintenant (Hk)k~jc tel que

Hk(t, co) fk(t, co)= V(t, co)- U (t, co) k~Jc

Soit jc __ {kl, k2 ..... kt}. Si fkl(t, co)=0 on pose Hk~(t, co)=0, et ainsi de suite. S'il existe des k~J ~ tels que fk(/,co)~=0 On eonsid6re le premier d'entre eux, soit ko, on posera alors Hk~ co) le nombre d6fini par Hk~ co)f~~ co)---- V(t, co)- U(t, co); puis pour les indices k de jc qui suivent, on pose Hk(t, co)=0; On a ainsi d6fini pour (t, co) fix4 un vecteur H(t, co)=(Hi(t, co)) qui r6pond it la question puisque

(Hi(t, o)))2 21

=lira ~ (H"'i(t, co))22 i

i

i

et

H i (t, co)fi (t, co) = lira E H"'i( t, co)fi. i

n

i

De plus, toutes les op6rations faites conservent le caract6re pr6visible, tous les processus qui interviennent sont pr6visibles, de sorte que le processus H d6fini est pr6visible. Utilisant la matrice H on revient/t la premi6re suite (yn) et on ddfinit g par Y = I l H . , de sorte que (rYe.X) converge vers t y . x dans .X{2@~J(Q), donc dans 5P(Q), puis dans 5P(P) d'apr6s le th6or6me II.5 puisque Q est 6quivalent ~t P. []

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J. Memin

Les espaces ILP(X), et ~ P ( X ) : ( p > l ) ILP(X) est l ' e n s e m b l e des processus Y-(Y)~<=q, 616ments de IL(X) et tels que t Y . X a p p a r t i e n n e ~ l'espace IHP des s e m i - m a r t i n g a l e s r6elles; ILP(X) est u n espace vectoriel n o r m 6 avec

[IIql~p_ 1 et de consid~rer X semi-martingale. V.4. Th6or6me. Soit p >_1

a) ILP(X) est un espace de Banach et J~t~ est ferm~ clans l'espace IHp des semi-martingales r~elles. b) si X est une martingale, A"P(X) est ferm~ clans l'espace IHp des martingales.

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Espaces de semi Martingales et changernent de probabilit6

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