Math. Ann. 291, 725-735 (1991)

Am

9 Springer-Verlag 1991

Families maximales de syst mes de points surabondants dans p2 Marc-Antoine Coppo Laboratoire de Math6matiques URA n~168, Parc Valrose, F-06108 Nice Cedex 2, France Requ le 18 juillet 1991

0 Introduction

0.1 Motivations N6tre fagon d'aborder le probl6me de la classification des syst6mes de points dans p2 consiste fi fixer un degr6 d et fi consid6rer la famille des syst6mes de points surabondants pour ce degr& Rappelons (cf. [GH]) que si Z e s t un syst6me de N points sur une vari6t6 projective lisse V,,IDI un syst6me lin6aire de diviseurs sur Vet I/z(D)l le sous-syst6me lin6aire form6 des diviseurs dans IDI qui passent par Z, alors Z e s t dit surabondant (pour le syst+me [DD si: dim [D[-N. Dans le cas pr6sent, V est le plan projectif (sur un corps alg6briquement clos) et IDIest le syst6me lin6aire IO(d)l des courbes planes de degr6 d. N6tre objectif est d'identifier les families maximales de tels syst6mes (autrement dit de caractbriser les syst+mes de points surabondants g~n~riques pour le degr6).

0.2 Les r~sultats obtenus SoientNetddeuxentiersnaturelsv6riflantN<(d22). On appelle N - uplets de p2 les sous - sch6mas de dimension 0 et de degr6 N de p2. On rappelle (cf. [BH]) que la famille des N-uplets de p2 surabondants pour le degr~ d est param6tr6e par une sous-vari&6 du sch6ma de Hilbert HilbNP 2 des Nuplets de p2 notre WN[d]. Les composantes irr+ductible de WN[d-J sont toutes de dimension sup&ieure ou 6gale h la dimension attendue 2N - (6 + 1), 6 d6signant la diff6rence ( d 2 2) - N (cf. [BH]). On montre dans ce travail le

726

M.-A. Coppo

Th6or6me 3.2.1. ~i tout couple (N', d') d'entiers naturels vkrifiant:

a)

d d' < ~

et

d ' ( d - d') < ~5

est associde une unique composante irrdductible de WN[d] de dimension 2 N - ( d ' ( d - d ' ) + l) notre WN, N[d',d ]. Edld.ment gdn~rique de WN, N[d',d ]est un N-uplet lisse rOunion de N' points en position uniforme sur une courbe de degrd d' surabondants pour le degrd d, e~ de N - N ' points gOnOraux. d2 Pour 5 > -~, toutes les composantes irrddutibles de WN[d] sont de cette forme. d2 Pour ~ < ~-, toutes les composantes irr~ductibles de WN[d] sont de cette formed l'exception d'une composante dite principale (de la dimension attendue 2N--(8+1)). E~ldment g~n~rique de cette composante est un N-uplet lisse en d position uniforme non trace sur une courbe de degrd, infdrieur on dgal ~ ~. On en d~duit imm~diatement le Corollaire. Pour 6 < d - 2 , Wn[d] est irr~ductible de la dimension attendue 2N-(t~+l), tandis que pour 6 > d - 1 et N > 2d + 2, WN[d] est r~ductible de dimension 2 N - d.

0.3 Les m~thodes employees Pour montrer ce r6sultat, on consid6re une stratification naturelle du sch6ma de Hilbert des N-uplets de p2 (cf. partie 1). Les strates de cette stratification sont des sous-ensembles localement ferm6s irreductibles dont on sait calculer la dimension. L'~16ment g~n~rique d'une strate est toujours un N-uplet lisse. Dans la partie 2, on stratifie la famille (not6e WN[d', d]) des N-uplets de p2 trac6s sur une courbe de degr6 d' < d fix6 et surabondants pour le degr6 d. On montre que toute composante irr6ductible de WN[d', d] est de dimension sup6rieure ou ~gale 2 N - ( d ' ( d - d ' ) + 1)-(dimllz(d')l) off dim llz(d')l d6signe la dimension du syst~me lin~aire des courbes de degr6 d' passant par l'~l~ment g6n6rique Z de la composante de WN[d',d ] consid6r6e. On montre qu'il existe au plus une composante de WN[d', d] (non d6j/t contenue dans W~r[d'- 1, d]) telle que l'61~ment g~n6rique Z soit en position uniforme. Cette composante (lorsqu'elle existe) a la dimension attendue. On utilise les r~sultats pr~c6dents darts la partie 3 pour identifier les N-uplets surabondants g~n6riques pour le degr~ d. En effet, le th6or6me de d6composition de Davis (cf. [D; EP]) permet de ramener cette 6tude fi celle (pour un certain entier N ' ~ N et un certain degr6 d'< d) des N'-uplets g~n~riques en position uniforme trac6s sur une courbe de degr~ d' et surabondants pour le degr6 d.

Families maximalesde syst~mesde points surabondants dans pz

727

1 Stratification de la famille des N-uplets de p2 Dans cette partie, on rappelle les principaux r6sultats concernant la stratification par la postulation du sch6ma de Hilbert des N-uplets de p2. Ces r6sultats se'ront utilis6s dans les parties 2 et 3.

1.1 Caract~res

Soit s u n entier naturel. On appelle caract~re de hauteur s tout s-uplet d'entiers (no, n~..... n~_ 1) v6rifiant no, n l . . . . , ns- l > s. Un caract6re de hauteur s (n o, nl,..., ns_ 1) tel que n o ~ s + 1 est dit g~n~rique. A tout caract6re Xde hauteur s, on associe la fonction en escalier sur R § not6e Fx d6finie par: ~l-x] + 1 Fx(x): = ~nombre de n i > x

pour pour

x s.

On appelle degr~ de X l'entier naturel deg(z): = ~ Fx(x)dx = ~ ( n i - i). 0

On pose: h~(d):=

-

i

Fz(x)dx.

On appelle surabondance de Z en degr~ d l'entier naturel:

)

,

1.2 Dkcomposition d'un caract~re

Soit X=(no, nl .... , ns_ 1) un caract6re de hauteur s. On pose: s ' - 1 = max(i/ni_ 1 - ni < 1). On note X' le caract6re de hauteur s' (no, n1 . . . . ,n,,_ ~) et X" le caract6re de hauteur s - s ' : (mo, ml, ...,m~-s,-a) avec: m i = n ~ , + i - s ' pour O < i < s - s ' - l . Exemple. Si X=(15, 15, 15, 15, 14, 14, 14, 12, 12), X'=(15, 15, 15, 15, 14, 14, 14) et

Z"= (5, 5). On appelle caractdre uniforme un caract~re Z tel que Z'= Z.

1.3 Dimension d"un caract~re

Soit Z = (no, n~,..., ns- 1) un caract~re uniforme de hauteur s. On appelle dimension de Z l'entier naturel dim(x)= ( ( s 2 2 ) -

{

1 ) + d e g ( x ) - Y,,_j~2s ' s j - ( h ~

sl = nombre de n~ 6gaux ~t no sj + 1 = nombre de n i 6gaux ~t nr avec (j = sl + . . . + sj

(en particulier: s = ~. s,).

728

M.-A. Coppo

Exemple. Si Z=(15, 15, 15, 15, 14, 14, 14) alors s=7, s1=4, S2=3 et dim(H) = ( s 2 2 ) - 1 +deg(z)=36+81 = 117. Pour un caract6re Z quelconque, on pose: dim(z)=dim(;()+dim(ff ).

1.4 Stratification par le caractkre On note H N le sch6ma de Hilbert des N-uplets de p2. On rappelle que HN est irr6ductible de dimension 2N. Soit Z un caract6re de degr6 N. Les N-uplets de p2 de caract6re num6rique X(cf. [EP; GM]) forment un sous-ensemble localement ferm6 dans H N not6 HN, z. On montre (cf. [D; Go; E]) que HN, zest non vide, irr6ductible de dimension dim(H). On appelle N-uplet g~ndrique de caract~re ;~ l'616ment g6n6rique dans HN, x. Ce N-uplet (not6 Y) a les propri6t6s suivantes: 1) Y est lisse (la lissit6 6tant une propfi6t6 ouverte) (cf. [D]). 2) Y est en position uniforme si et seulement si X est un caract6re uniforme (!'uniformit66tant ~tcaract6re num6rique constant une propri6t6 ouverte) (cf. [EP; GM; MR]). 3) hlz(d)=ht(Ir(d)) est la surabondance de Yen degr6 d. 4) Y s'6crit Y'uY" avec Y' g6n6rique de caract6re Z' et Y" g6n6rique de caract6re Z" (th6or6me de d6composition de Davis: cf. l-D; EP; Go]). 2 La famille des N-uplets de P2 trae6s sur une courbe de degr6 d' et surabondants pour le degr6 d

Dans cette partie, N, d', d sont des entiers naturels fix6s v6rifiant:

d _d,

N<

,

N_dd+2-

.

OnnotecS=3N, dladiff~rence(d22)--N (on a donc 3>0). Onnote3'=tS'N,N, d l a d i f f 6 r e n c e d ' d + l - ( d ' 2 2 ) - N ( o n a d o n c ~ 5 ' > - l ) . Les N-uplets de p2 sur une courbe de degr6 d' surabondants pour le degr6 d forment une sous vari6t6 de HN not6e WN[-d', d]. On dit qu'un N-uplet est g~n~rique dans WN[d', d] s'il est l'616ment g6n6rique d'une composante irr6ductible de WN[d', d].

2.1 Dimension attendue Proposition 2.1.1. Toute composante irr~ductibte de WN[d',d ] est de dimension supdrieure ou ~gale ~: ( d ' 2 2 ) - l + N - ( ~ ' + l)-(h~

= 2 N - (d'(d- d') + 1)- (h~

l) 1)

Familles maximales de syst~mesde points surabondants dans p2

o~ Y est l'~l~ment g~n~rique de cette composante et h~ en degrd d'. Preuve. Notons Z[d'] = PH~

729

est la postulation de Y

') l'espace projectif de almenslon ~ 2 ] - 1

des courbes de degr~ d'. Dans le produit Z[d'] x HN, on consid&e la sous-vari6t6 notre GN[d'] des couples (C, Y) avec Y contenu dans C. On sait (cf. [BH]) que

GN[d']estirr6ductiblededimension:(d'22 ) - 1 +N. On remarque que W~[d',d] est la projection dans HN de la sous-vari~t6 de G~[d'] constitu6e des couples (C, Y) avec Y contenu dans C et v&ifiant en outre: ItlIr,c(d) + 0 (Ir.c d~signant l'id6al de Y dans C). On sait (cf. [BH, 1.2]) que toute composante irr6ductible de cette sousvari&6 est de dimension sup&ieure ou 6gale ~: (d' 2 2 ) - I + N - ( 6 ' + I ) . A u dessus du point g6n6rique Y d'une composante irr6ductible de WNEd', d], la fibre de la projection de GN[d'] sur H Nest respace projectif des courbes de degr6e d' contenant Y et sa dimension est h~ 1.

2.2 La famille maximale principale 2.2.1. Soit Z un caractkre uniforme de degrd N, de hauteur d', de surabondance 1 en degr~ d. On a: Proposition

dim(z)<(d'22)-1+N-(6'+l)-(h~ = 2N - (d'(d - d') + 1) - (h~

') - 1 )

avec ~galit~ si et seulement si : s t = 1 pour i < i < m a x ( r - 2, 1), r d~signant le max des i tel que s~4: O. Preuve. Pour N = d ' d + 2 -

(d'~l) \

--

(i.e. 3 ' - - - 1 ) i l existe an unique caract6re Z /

v&ifiant les hypoth6ses. On a: r < 2 et h~ ') = 1. I1 vient en appliquant la formule de la dimension (cf. 1.3)

dim(x)= ( d ' 2 2 ) - l + N - ( ~ ' + l)-(h~

l + N= 2N-d'(d-d')+ l .

(d'22) Pour N _ d d + 1

(,;')

l)

(i.e. 6' > 0), on a n6cessairement r > 2. On pose: ffi:= Si+Si+ l + ...'3Lsr~

i=r-2

On a l'6galit6:

~

tri.z=constante=t~'+l.

i=1

On en d6duit la minoration:

i=r-2

~ i=1

seulement si s~= 1 pour 1 < i < r - 2.

i=r-2

siai. 2 => ~, a~+2= 3' + 1 avec 6galit6 si et i=1

730

M.-A. Coppo

En r66crivant la formule de la dimension sous la forme: dim(z)=

d'

E

2 -I+N-

sioi+2-(h~

-1)

i=1

et en utilisant la minoration pr6c6dente, on d6duit le r6sultat annonc6. Proposition 2.2.2. a) II existe un caractbre uniforme Z de degrd N de hauteur d' de

surabondance 1 en degrd d v@rifiant: pour l_
si=l

pour: d'd+2-2

(;)

d' 1 < N < d ' d + 2 -

(;) d' 1

si d'< ~ (cf fig. 1)

Lorsqu'il existe, ce caract~re est unique. b) Le N-uplet g@n&ique de caractdre Zest g@n&ique dans W~t[d',d]. Preuve. a) On utilise la caract6risation de Z en termes de si. Lorsqur d' __<~, d la valour minimale pour N est donn6e lorsque tous los s~ sont ~gaux ~ 1

N vaut alors

d'd 2 - 2

2

r la valeur maximale pour N e s t

donn6elorsquesl=lets2:d--l[Nvautalorsd'd+2-(d'21)].Pourtoutes los valeurs dr N interm6diaires, on construif un unique caract~re v6rifiant si = 1 pour 1 _ ~, on ne pout plus prendre tous los sz sont 6gaux fi 1 de sorte que la valour minimalo pour N (obtenue en pronant le maximum de s~ 6gaux fi 1) est "( d + 2)" - ( d ' - 1 ) ( d - ( d ' - 1 ) ) + \

--

1. La valeur maximale pour N e s t atteinte lorsque

/

s,=letse=d'-l[Nvautalorsd'd+2-(d';1)].PourtouteslesvaleursdeN interm6diaires, on eonstruit un unique caract~re v6rifiant s~= 1 pour 1 < i < r - 2. N= 133 d'--9 d=20

/

1-

L - - II

1_' i

LU

i- 1 Fig. 1. Graphe de la fonction Fx (r=6, sl=l pour 1 ~i~4, s5=2, S6----3 )

Families maximalesde syst6mesde points surabondants dans p2

731

b) Tout N-uplet g6n6rique dans WN[d',d] est un N-uplet g6n6rique de caract6re Z pour un certain caract~re X v6rifiant hi(d). 0 et h~ ') :~ O. Le N-uplet g6n6rique de caract6re Z o/t X est le caract6re v6rifiant les conditions du a) est en position uniforme (car Z est uniforme). I1 ne peut ~tre sp6cialisation d'un N-uplet g6n6rique dans WN[d', d] en position uniforme car X est ind6formables parmi les caract6res uniformes. I1 ne peut &re non plus sp6cialisation d'un N-uplet g6n6rique dans WN[d', d] qui ne soit pas en position uniforme. En effet un tel N-uplet contiendrait (par le th6or6me de d,composition)au moins d " d + 2 - ( d1")-/9" \

--

/

points sur une courbe d' pour un certain degr6 d" < d'. Cette condition 6tant ferm6e, elle contre dirait rhypoth6se d'uniformit6. 3 La famille des N-uplets de PZ surabondants pour le degr6 d Dans cette partie N,d sont des entiers naturels fix6s v6rifiant: N < ( d 2 2 ) . On note 8 la difference: (d 2 2) - N. Les N-uplets de p2 surabondants en degr~ d forment une sous-vari6t6 de/-/n not6e W~[d]. On dit qu'un N-uplet est g6n6rique dans WN[d] s'il est l'616ment g~n6rique d'une composante irr6ductible de WN[d]. 3.1 Dimension attendue

Proposition 3.1.1 (cf. [BH]). Toute composante de WN[d] est de dimension supdrieure ou dgale 5 2N - (6 + 1). 3.2 Les families maximales

Th6or6me 3.2.1. A tout couple (N', d') d' entiers naturels vdrifiant: d 1) d'~ ~,

2)

d'(d-d')<=~, et

N'
est associde une unique composante irr~ductible de WN[d] de dimension 2 N - ( d ' ( d - d ' ) + 1) notde WN,,N[d', d]. EdIdment gdndrique de WN,,N[d', d-j est un N-uplet lisse rdunion de N' points en position uniforme sur une courbe de degrd d', surabondants pour le degrd d et de N - N ' points gdndraux. d2 Pour t$> ~ toutes les composantes irrdductibles de WN[d-J sont de cette forme. d2 Pour 5 < -~- routes les composante de WN[d] sont de cette formed rexception d' une composante (de la dimension attendue 2 N - (5 + 1)). Edldment gdndrique de cette composante est lisse, en position uniforme et non contenu dans une courbe de degrd d infdrieur ou dgal d-~.

732

M.-A. Coppo

Preuve. Le th6or6me r6sulte des lemmes qui suivent. Lemme 3.2.2. Toute N-uplet gdndrique dans WN[d] est le N-uplet gdndrique de caract~re X pour un certain caractbre Z vdrifiant: h)(d) = 1, Z" gOndrique, si(x') = 1 pour 1 < i < m a x ( r - 2 , I), dim(z)_>_2N-(6 + 1). Preuve. Les HN, x avec X de surabondance non nulle en degr6 d constituent une stratification de Wu[d] en sous-ensembles localement ferm6s irr6ductibles. I1 en r6sulte que le point g6n6rique Y d'une composante de WN[d-J est aussi le point g6n6rique d'un sous-ensemble HN, z pour un certain Z v6rifiant h~(d)4=0. Par le th6or6me de d6composition, 6crivous Y= Y'w Y" avec Y' g6n6rique de caract6re X' et Y" g6n6rique de caractdre ft. Notons N' le degr6 de X' et d' la hauteur de g'. Pour montrer que la surabondance est minimale [i.e. l'6galit6 h~(d) = 1] on peut supposer que Zest uniforme (car par continuit6 de la r6union, si Y est g6n6rique dans WN[d], Y' est g6n6rique darts WN,[d-J et en position uniforme). Soit xi un point de Y. Posons Z = Y - { x i ) . Supposons h~(d)> 1. On a, par uniformit6, hllz(d ) = h l l r ( d ) - I. L'hypoth6se entraine done que: h~Iz(d) > 1. Notons g le point gbn6rique de p2, alors Z u { g } est une g6nbrisation de Y dans WN[d] [car hllz(d)~ 1] mais ceei est impossible car on est dbj~ par hypoth6se au point g6n6rique d'une composante de W~[d]. Soit Z" le N - N ' uplet g6n6rique dans HN_N,. Par continuit6 de la r6union, Y ' u Z " est une g6n6fisation de Y dans WN[d] [car h~Ir.(d)= 1]. Comme par hypoth6se, on est d~jh au point g6n6dque d'une composante de WN[d ], on a n6cessairement Y"= Z" (et done ~" est g6n6rique). Comme Y est un N-uplet g6ndrique dans W~[d], par continuit6 de la r6union, Y' est aussi g6n6rique dans WN,[d', d]. Comme g' est uniforme et v6rifie h)(d) = 1, on a n6cessairement (cf. propositions 2A.1 et 2.2.1): dim (Z') = 2 N ' - (d'(d- d') + h~ ce qui est 6quivalent ~ s~(g')= 1 pour 1 < i < m a x ( r - 2 , 1). Enfin, comme tout composante de WN[d] est de dimension sup6rieure ou 6gale la dimension attendue 2 N - ( ~ + 1) (cf. proposition 3.1.1) on a n6cessairement dim(x ) _>2N - (6 + 1). L e m m e 3.2.3. Soit Z un caractbre de degr~ N vdrifiant: h~(d)= 1, Z" gdndrique, s~g') = 1 pour 1 < i < max(r - 2,1), dim(x) > 2N - (6 + 1) (i.e. v~rifiant les conditions du lemme 3.2.2). 1) Si N' ddsigne le degr~ de Z' et d' la hauteur de Z' on a:

_ -2' a) Si d'< et

_N _dd+2-

dim(x)=2N-(d'(d-d')+ l) (cf. fig.2). N --94

94

d'_~ 11

r--r~ r "J I'l

d-I

Fig. 2. Graphe de la fonction Fz

Fig. 3. Graphe de la fonction Fx

Familles maximales de syst6mes de points surabondants dans p2 b) Si d'>-d 2'

N'=N,

733

d(d-d)=~<=(d-)l(d'-(d-)l' ' <

et d i m ( ~ 0 = 2 N - ( 6 + 1) (cf fig. 3). 2) Inversement : a) A tout couple (N', d') v~rifiant: -2'

d(d-d)=6,

d'd+2-2

et

d'

1

1

_N< ' <' _ d d + 2 -

N' ~ N ,

est associ~ un unique caract~re Z de degr~ N vdrifiant les conditions de l'~nonc~ tel que N' soit le degrd de Z' et d' la hauteur de Z'. d2 b) A tout couple (N, d) v~rifiant 6 < -r, est associd un unique caractdre Z uniforme 4 d de degrd N de hauteur strictement supdrieure ~ ~ vdrifiant les conditions de l'~noncd. 3) Le N-uplet g~ndrique de caractdre Zest gdn~rique dans Ws[d ].

Preuve. 1) a) Si d ' _ ~, d on a (par la proposition 2.2.2): d'd+2-2(d';l)<

_ N _'< d d +' 2 -

(d'21)

et

h~

1.

I1 en r6sulte par la proposition 2.2.1 : dim ( i ) = 2N' - (d'(d - d') + 1). d b) Si d'> ~, on a (par la proposition 2.2.2):

(d22)-(d'-l)(d-(d'-1))+1<_N'<_d'd+2-(d';1)

.

Mais, p o u r

(d22)-d'(d-d')<_N'<_d'd+2-(d';1),

ona

h~

I1 en r6sulte par la proposition 2.2.1 que: d i m ( z ' ) = 2 N ' - ( d ' ( d - d ' ) + 1). D'ofi dim (Z) = dim (Z') + 2 ( N - N') = 2N - (d'(d- d') + 1) =<2N - (t5 + 1) avec 6galit6 si et seulement si:

[i.e. 6 = d'(d- d')]. Or, on demande que: dim (Z) > 2 N - (6 + 1) d'ofi n6cessairement

M o n t r o n s ~ present que pour:

on a d i m ( x ) = 2 N - ( 6 + 1). O n a par la proposition 2.2.1, dim(x ) = 2 N - ( d ' ( d - d ' )

+h~

734 Ecrivons -

M.-A. Coppo N=

(,~§ 1)(~+2) 2

-d'(d-d')-n

avec

O
d'(d - d') - 1. Alors h~ ') = n + 1 et d'(d - d') + h~ ') = d'(d - d') + n + 1 = 6 + 1.

2) L'existence et l'unicit6 du caract6re r6sultent de la proposition 2.2.2 a). 3) Le N-uplet g6n6rique de caract6re Z not6 Y est dans WN[d] car hzX(d)= 1 4=0. Montrons qu'il est g6n6rique dans WN[d]. On consid6re un N-uplet gen6rique dans WN[d] not6 Z et on montre que Y n'est pas une sp6cialisation de Z. D'apr6s le lemme 3.2.2, il existe un caract6re ( v6rifiant les conditions du lemme 3.2.2 tel que Z soit le N-uplet g6n6rique de caract6re (. On note d" la hauteur de (' et d' la hauteur de Z'. d codim({ Y}) = 6 + 1 = codim({Z}) et on conclut pour raison a) S i d ' > e t d " > ~, de codimension, que Y n'est pas une sp6cialisation de Z. b) S i d " > ~de t

d' < ~do n a : codim ({ Y}) = d'(d- d') + 1 < 6 + 1 = codim({Z))

et on conclut pour raison de codimension, que Y n'est pas une sp6cialisation de Z. d c) Si d'<_d"< -~ on a: codim({ Y}) = d'(d- d') + 1 < d"(d- d") + 1 = codim({Z}) et on conclut comme en b). I1 reste alors/l traiter les deux cas suivants: d d d) d'>~ et d " < ~

e)

d"
pour lesquels on ne peut conclure comme pr6c6demment par un argument de codimension. On raisonne par un argument g6om6trique en utilisant le th6or~me de d6composition. d) Comme d" __<~, Z contient donc (au moins) d"d + 2 - 2

points sur

d une courbe de degr6 d". Comme d' > ~, Z est un caract~re uniforme (cf. lb)). Par consequent, Y e s t e n p o s i t i o n u n i f o r m e e t c o n t i e n t d o n c a u p l u s ( d " 2 2 ) - I points sur une courbe de degr6 d" (car d" est strictement inf6rieur g la hauteur d' de )0. Or l'hypoth~se d"_< ~d entraine: _

Le fait de contenir au moins d"d + 2 - 2

2

points sur une courbe de degr6

d" ~tant une condition [erm6e (cf. [BH], proposition 2.5.2), il en r6sulte que Y n'est pas une Sl~cialisation de Z.

Families maximales de syst~mes de points surabondants dans p2

735

e) O n raisonne c o m m e e n d ) . O n a d " < d et donc Z contient (au m o i n s ) d ' d + 2 - 2 [ - { d " 2- 1~ ) points sur une \

/

courbe de degr6 d". Si C d6signe une courbe de degr6 d", m o n t r o n s que: degr~ de Y ~ C < d " d + 2 - 2 ( d ' 2 1 ) . O n sait que Y est la r6union Y'w Y", avec Y" le N - N ' uplet g6nbrique dans H N - N, car par hypoth6se Z" est g6n&ique. Y' et Y" 6tant en position uniforme, on a: degr6 de Y n C < d e g r 6 de Y ' n C + d e g r 6 Y"c~C =<

-1+

- 1 - - d ' ( d " + 3).

Or,

d"d + 2 - (d" - 1) (d" - 2 ) - d"(d" + 3) = d"(d - 2d") > 0 car par hypoth~se, d ' < ~. d P a r cons6quent, Y n'est pas une sp6cialisation de Z.

Remerciements. L'auteur tient ~i remercier tout particuli6rement Andr6 Hirschowitz pour l'aide qu'il lui a apport6e dans la r6alisation de ce travail.

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