manuscripta math. 96, 397 – 419 (1998)

c Springer-Verlag 1998

Fabien Trihan

Fonction L unit´e d’un groupe de Barsotti-Tate Received: 24 March 1997 / Revised version: 6 January 1998 Abstract The purpose of this article is to give a cohomological formula for the unit-root part of the L-function associated to a Barsotti-Tate group G on a scheme S over a field of characteristic p when G extends to some compactification of S. This is an analogue of a part of a conjecture of Katz according to wich the L-function of an F -crystal should be expressed in terms of the p-adic etale sheaf corresponding to the unit-root part of the crystal. In order to carry out this project, we use the technics of [E-LS II] wich require in our case an extension of the Dieudonn´e crystalline theory ([B-B-M]) to “crystal of level m” in the sense of Berthelot. We show that the unit-root L-function of the Dieudonn´e crystal associated to G can be expressed in terms of the syntomic cohomology of the Ext group of G by the constant sheaf.

0. Introduction Etesse ([E]) puis Etesse et Le Stum [E-LS I et II], ou encore Bauer ([Ba]) ont montr´e l’int´erˆet des cristaux de Dieudonn´e dans le calcul des fonctions L de sch´emas ab´eliens mais aussi de p-groupes finis e´ tales ou de type multiplicatif. Si l’on se donne par exemple A/S, un sch´ema ab´elien, et S/Fq , un sch´ema s´epar´e de type fini avec q = p r et 6 un Zp -sch´ema muni d’un id´eal a` puissances divis´ees (b, α), ce calcul fait alors intervenir les groupes de cohomologie cristalline H i (S/6, D(A)) des cristaux de Dieudonn´e. Cependant la cohomologie cristalline n’est une “bonne cohomologie” que si S est propre et lisse sur Fq . Si l’on oˆ te l’une de ces hypoth`eses, il convient de trouver une autre cohomologie p-adique et l’analogue du coefficient D(A). Celui-ci est fourni par la th´eorie introduite par Berthelot de la cohomologie rigide et de ses coefficients, les isocristaux (cf. [Be 1] et [Be 4]). Soit k une clˆoture alg`ebrique de Fq , W l’anneau des vecteurs de Witt et K son corps des fractions. Dans le chapitre I , nous associons a` tout F cristal localement libre de rang fini E de S/W (Fq ), un F -isocristal Ekan sur Sk /K ([Be 4, 2–4]) et montrons alors la m´eromorphie de la fonction L de E F. Trihan: Laboratoire de Math´ematiques, Universit´e de Rennes I, Campus de Beaulieu, F-35042 Rennes Cedex, France. e-mail: [email protected] Mathematics Subject Classification (1991): 14F30

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lorsque Ekan provient d’un isocristal surconvergent. Il est e´ galement possible d’associer a` une famille de F -m-cristaux {E (m) }m≥0 , i.e. de F -cristaux sur un site cristallin de niveau m v´erifiant certaine compatibilit´e, un F -isocristal qui coïncide alors avec celui induit par le F -cristal E (0) . L’avantage de cette construction r´eside avant tout dans l’existence d’un th´eor`eme de comparaison entre la cohomologie rigide de cet isocristal sur Sk /K et la cohomologie syntomique induite par la projection des F -m-cristaux Ek(m) sur le site Sk,SYN , qui nous sera utile dans la troisi`eme partie. Dans le chapitre II nous g´en´eralisons la construction des cristaux de Dieudonn´e ([B-B-M]) aux puissances divis´ees de niveau m de mani`ere a` appliquer les r´esultats du chapitre pr´ec´edent au cristal de Dieudonn´e d’un groupe de Barsotti-Tate G/S. Enfin, dans le dernier chapitre, l’utilisation d’une suite exacte de type Fontaine–Messing construite par [E-LS II] nous permet de calculer la fonction L unit´e de G/S, lorsque celui-ci se prolonge au-dessus d’une compac¯ S. ¯ Nous obtenons de plus tification S¯ de S en un groupe de Barsotti–Tate G/ des r´esultats plus pr´ecis dans le cas particulier d’un sch´ema ab´elien. 1. Fonctions L associ´ees aux F -cristaux localement libres de rang fini 1.1. Soient q = p r , S/Fq un sch´ema s´epar´e de type fini et de dimension n. Soient k une clˆoture alg´ebrique de Fq , W l’anneau des vecteurs de Witt et K le corps des fractions de W . On notera Sk := S ×Fq k, Fk la puissance r-i`eme du frobenius absolu de Sk et π : Sk → S, la projection canonique. L’ensemble des points ferm´es x de S sera not´e |S|. Pour un tel point ferm´e x de S nous noterons encore x : Spec k(x) ,→ S, l’injection canonique, d := [k(x) : Fq ] et Kx le corps des fractions de W (k(x)). On peut e´ galement x◦j ×id

associer a` x le point ferm´e de Sk , x¯ : Spec k −→ Sk , o`u j : Spec k ,→ Spec k(x) correspond au choix d’un plongement de k(x) dans k. Enfin, a` tout F -cristal non d´eg´en´er´e E sur S/W (Fq ), localement libre de rang fini, nous associons la fonction L d´efinie par exemple dans [E, chap. 2] par : Y det(1 − t deg(x) Fx,CRIS , Ex )−1 L(S, E, t) = x∈|S| ∗ o`u Ex = lim 0(k(x)/Wn (k(x)), xCRIS E) est un W (k(x))-module libre de ← n

rang fini et Fx,CRIS est l’endomorphisme de Ex induit par le rd-i`eme it´er´e du ∗ E. frobenius φ du cristal sur k(x)/W (k(x)), xCRIS ∗ On note Ek := πCRIS (E), le cristal sur Sk /W . Nous pouvons alors associer a` Ek , d’apr`es [Be 4, 2.4], un F -isocristal convergent Ekan sur Sk /K. Celui-ci poss`ede une structure de Fk -isocristal au sens [E-LS I, chap. 2], i.e. qu’il est

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muni d’un isomorphisme 8k induit par le r-i`eme it´er´e de son frobenius. On peut d´efinir grˆace a` [E-LS II, 6-6] sa fonction L par : Y detK (1 − t deg(x) 8x , EKx¯ )−1 L(S, Ekan , t) := x∈|S| ∗ o`u EKx¯ := x¯conv (Ekan ) est un K-espace vectoriel muni de l’automorphisme deg(x) 8x := 8k .

1.2. Th´eor`eme. L(S, E, t) = L(S, Ekan , t). † De plus, si Ekan est la restriction d’un F -isocristal surconvergent Ek , alors la fonction L de E est m´eromorphe et on a l’expression suivante : L(S, E, t) =

2n Y

i+1 † i detK (1 − tφ i , Hrig,c (Sk , Ek ))(−1) ,

i=0

† i i (8k ) ◦ Fk∗ est l’automorphisme sur Hrig,c (Sk , Ek ). o`u 8i := Hrig,c D´emonstration. En identifiant le F -isocristal EKx¯ (respectivement les F cristaux sur une base S/6 = Spec k/Spec W (k), o`u k est un corps quelconque) au K-espace vectoriel (respectivement au W (k)-module) associ´e en prenant les sections globales, on d´eduit alors de la fonctorialit´e de la construction de [Be 4, 2.4], les isomorphismes suivants, compatibles aux actions de frobenius respectives : ∗ ∗ ∗ ∗ (Ekan ) ' jconv ([xCRIS (E)]an ) ' [xCRIS (E)]an ⊗ Kx K ' Ex ⊗ Kx K. EKx¯ := x¯conv

La derni`ere assertion r´esulte alors de [E-LS I, 6-1].

t u

1.3. Remarque. L’hypoth`ese de surconvergence sur Ekan est e´ videmment v´erifi´ee si S/Fq est propre. D’autre part, si le F -cristal de d´epart est le cristal de Dieudonn´e d’un sch´ema ab´elien A/S, la surconvergence de D(A)an a e´ t´e montr´ee sous certaines hypoth`eses de prolongement de A/S par [Be 1, th´eor`eme 5], ainsi que dans le cas d’un sch´ema principalement polaris´e poss´edant une structure de niveau principal n, avec n ≥ 3 et premier a` p (cf. [Cr, (2-2)]). Elle est de plus conjectur´ee en toute g´en´eralit´e selon [Be 2, (4-3)]. Nous allons a` pr´esent e´ tudier le cas o`u E provient d’une famille de F -mcristaux {E (m) }m≥0 (cf. [E-LS II, chap. 1]). Nous commençons par rappeler la construction du site cristallin de niveau m : 1.4. Soient p un nombre premier, R un anneau parfait de caract´eristique p, 6 = Spec W (R) muni de son p.d.-id´eal canonique (b, α) = ((p)W (R), [ ]) et S un 6-sch´ema de caract´eristique p. On d´efinit le site cristallin de niveau m,

400

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not´e CRIS(S/6, b, α)(m) -ZAR (respectivement CRIS(S/6, b, α)(m) -TOP o`u TOP ∈ {ET, SYN, FPPF, FPQC}) de la mani`ere suivante : 4

Les objets sont des triplets (U ,→ T , J, δ) o`u U est un S-sch´ema, T est un 6-sch´ema sur lequel p est localement nilpotent et U ,→ T est une 6-immersion ferm´ee d´efinie par un id´eal quasi-coh´erent 4 muni d’une mp.d.-structure (J, δ) compatible a` (b, α). On utilisera e´ galement la notation 4

(U, T ) pour (U ,→ T , J, δ). Une fl`eche : 40

(u,v)

4

(U 0 ,→ T 0 , J 0 , δ 0 ) −→ (U ,→ T , J, δ) e´ quivaut a` la donn´ee d’un carr´e commutatif U 0 ,→ T 0 u ↓ ↓ v U ,→ T tel que u soit un S-morphisme et v un 6-morphisme commutant aux p.d.structures. Si l’on suppose de plus que le carr´e pr´ec´edent est cart´esien, que v est une immersion ouverte (resp. un morphisme de type TOP, c’est-`a-dire e´ tale, syntomique, fid`element plat localement de pr´esentation finie ou plat et quasicompact) et enfin que la m-p.d.-structure (40 , J 0 , δ 0 ) sur T 0 est l’extension de celle de T a` T 0 (qui existe puisque T 0 est plat sur T , d’apr`es [Be 3, I, 1-3-2c)]) la fl`eche est alors quarrable. On peut ainsi munir la cat´egorie pr´ec´edemment 4

d´efinie d’une pr´etopologie : les familles couvrant un objet (U ,→ T , J, δ) seront les familles surjectives de fl`eches {vα : (Uα , Tα ) → (U, T )} o`u vα est une immersion ouverte (resp. les familles surjectives de fl`eches {vα : (Uα , Tα ) → (U, T )} o`u vα est une immersion ouverte et les familles finies surjectives o`u vα est de type TOP). On notera CRIS(S/6, b, α)(m) -ZAR (resp. CRIS(S/6, b, α)(m) -TOP) le site obtenu. Le topos correspondant sera (m) ere not´e quant a` lui (S/6, b, α)(m) CRIS−ZAR (resp. (S/6)CRIS−TOP ) et de mani` (m) abr´eg´ee (S/6)CRIS . Enfin, on peut e´ galement d´efinir en se restreignant aux ouverts de S et a` la topologie zariskienne, un petit site cristallin de niveau m, que l’on notera Cris(S/6, b, α)(m) . 1.5. Soit T un sch´ema, on note top(T ) (respectivement TOP(T )) le petit site (resp. le gros site) de T o`u top ∈ {Zar, e´ t, syn, fppf, fpqc} (resp. TOP ∈ {ZAR, ET, SYN, FPPF, FPQC}) et Ttop (resp. TTOP ) le topos associ´e. La donn´ee d’un faisceau F sur CRIS(S/6, b, α)(m) -TOP peut s’interpr´eter comme la donn´ee, pour tout objet (U, T ) de CRIS(S/6, b, α)(m) , d’un faisceau F(U,T ) ∈ Ttop et pour toute fl`eche (u, v) : (U 0 , T 0 ) → (U, T ) d’un morphisme de faisceaux sur top(T )ρ(u,v) : v −1 (F(U,T ) ) → F(U 0 ,T 0 ) tel que :

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a) p(id,id) = id. b) ρ(u◦u0 ,v◦v0 ) = ρ(u0 ,v0 ) ◦ v 0 −1 (ρ(u,v) ). c) Si (u, v) ∈ top, ρ(u,v) est un isomorphisme. On d´efinit F

4 (U ,→T ,J,δ)

en posant, lorsque T1 → T ∈ top(T ) :

(T1 ) 4 (U ,→T ,J,δ)

F

4OT

1 ¯ := F (U ×T T1 ,→ T1 , JOT1 , δ).

Ceci a bien un sens car T1 e´ tant plat sur T , la m-p.d.-structure (J, δ) sur 4 ¯ sur JOT1 . On v´erifie que F(U,T ) s’´etend en une m-p.d.-structure (JOT1 , δ) appartient a` Ttop . Exemple. On d´efinit des faisceaux sur CRIS(S/6, b, α)(m) en posant : (m) (m) : (U, T ) → 0(T , OT ), i.e. OS/6 = OT . - OS/6 (U,T ) (m) - 4(m) S/6 : (U, T ) → 0(T , 4), i.e. 4S/6 (U,T ) = 4. (m) (m) : (U, T ) → 0(T , J), i.e. JS/6 = J. - JS/6 (U,T )

1.6. On montre de mani`ere analogue a` [B-B-M, 1.1.10] la fonctorialit´e du ` S et (6, b, α), i.e. on peut associer a` topos (S/6, b, α)(m) CRIS-TOP par rapport a tout diagramme commutatif f

S0 −→ S0 π0 ↓ ↓π 0 0 0 (6 , b , α ) −→ (6, b, α) u

o`u u est un p.d.-morphisme, un morphisme de topos : (m) (m) : (S 0 /6 0 , b0 , α 0 )(m) fCRIS-TOP CRIS-TOP −→ (S/6, b, α)CRIS-TOP (m) (not´e aussifCRIS ),

dont le foncteur image inverse est d´efini par −1

40

40

(m) fCRIS-TOP (E)(U 0 ,→ T 0 , J 0 , δ 0 ) := E(f! (U 0 ,→ T 0 , J 0 , δ 0 )), 40

o`u f! (U 0 40 ,→T 0 , J 0 , δ 0 ) est l’objet (U 0 ,→ T 0 , J 0 , δ 0 ) consid´er´e comme e´ l´ement de CRIS(S/6, b, α)(m) -TOP en faisant de U 0 (respectivement T 0 ) un S (resp. T )-sch´ema via la fl`eche f (resp. u). On v´erifie en particulier que la m-p.d.-structure (40 , J 0 , δ 0 ) est compatible a` (b,  α).  (m)−1 (m) = OS(m) On d´eduit de ces d´efinitions que fCRIS-TOP OS/6 0 /6 0 de sorte (m) que fCRIS-TOP est, de mani`ere e´ vidente, un morphisme de topos annel´e, le

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F. Trihan

(m) foncteur image inverse e´ tant un foncteur exact sur la cat´egorie des OS/6 ∗

(m) modules. Nous le noterons d´esormais fCRIS-TOP .

1.7. On d´efinit un morphisme de topos (m) iS/6-TOP : STOP → (S/6)(m) CRIS-TOP , −1

(m) (E)(U ) := E(U, 0, 0), pour tout E ∈ (S/6)(m) en posant iS/6-TOP CRIS-TOP et (m) tout U ∈ TOP(S), o`u (U, 0, 0) est l’objet de CRIS(S/6, b, α) associ´e a` l’identit´e sur U . (m) (F )(U, T ) := F (U ), pour tout F ∈ STOP et tout (U, T ) appariS/6-TOP ∗ tenant a` CRIS(S/6, b, α)(m) . Lorsque la topologie est moins fine que la topologie syntomique, le mor(m) admet sur les faisceaux ab´eliens, une r´etraction phisme de topos iS/6-TOP (m) efinie par : u(m) S/6-TOP : (S/6)CRIS-TOP → STOP d´

  (m) u(m) S/6-TOP ∗ (E)(U ) := 0 (U/6)CRIS-TOP , E|CRIS(U/6)(m) -TOP , pour tout E ∈ (S/6)(m) CRIS-TOP et tout U ∈ TOP(S) (cf. [E-LS II, 1-11]). On dispose e´ galement pour tout m0 ≤ m d’un morphisme de topos : 0

(m ) −→ (S/6)(m) im,m0 : (S/6)CRIS-TOP CRIS-TOP 0

induit par l’inclusion comme sous-cat´egorie pleine de CRIS(S/6)(m ) dans CRIS(S/6)(m) . Si E ∈ (S/6)(m) CRIS , on notera E|(m0 ) sa restriction au site (m0 ) CRIS(S/6) . 1.8. D´efinition. 1) Un m-cristal E de (S/6, b, α)(m) CRIS-TOP , est un faisceau de (m) (m) (S/6, b, α)CRIS-TOP en OS/6 -modules pour la topologie de Zariski tel que pour toute fl`eche 4

(u,v)

4

(U 0 ,→ T 0 , J 0 , δ 0 ) −→ (U ,→ T , J, δ) ∈ F l(CRIS(S/6, b, α)(m) ), l’homomorphisme de OT 0 -modules zariskiens : ρ(u,v) : v ∗ (E(U,T ) ) → E(U 0 ,T 0 ) , soit un isomorphisme. On montre en utilisant la description pr´ec´edente des faisceaux qu’un mcristal E est quasi-coh´erent (resp. de type fini, de pr´esentation finie, localement libre de rang fini) si E(U,T ) est un OT -module v´erifiant cette propri´et´e et ceci pour tout objet (U, T ) de CRIS(S/6, b, α)(m) .

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Si de plus, en notant FS , le frobenius absolu de S, E est muni de morphismes de m-cristaux : ∗ E −→ E φ : FSCRIS

∗ V : E −→ FSCRIS E,

et

tel que V ◦ φ = φ ◦ V = p N , on dira que E est un F -m-cristal non d´eg´en´er´e. 2) Une famille {E (m) }m≥0 de F -m-cristaux non-d´eg´en´er´es sur CRIS(S/6, b, α)(m) sera dite F -compatible si pour tout m0 ≤ m, il existe un isomorphisme de F -m0 -cristaux : 0

0

(m−m ) (m ) FSCRIS E ≡ E (m) |(m0 ) . ∗

1.9. Supposons a` pr´esent que S est un k-sch´ema, o`u k est un corps alg´ebriquement clos, de caract´eristique p et notons K = FracW (k). Soit une famille F -compatible {E (m) }m≥0 de F -m-cristaux localement libres de rang fini sur CRIS(S/6, b, α)(m) . On suppose pour simplifier que S se plonge dans un 6sch´ema formel lisse Y . On note : Yn la r´eduction modulo pn de Y , PS(m) (Yn ) l’enveloppe a` puissances divis´ees de niveau m, relative a` l’immersion ferm´ee i : S ,→ Yn et PS(m) (Yn ) la OYn -alg`ebre associ´ee. On a alors un diagramme : 

S ?

- Yn >   fm

PS(m) (Yn ) (m) (m) := icris (E (m) )Yn = fm∗ E(S,→P et EY(m) := lim EY(m) . On pose EY(m) n n ← ∗ S(m) (Yn )) n

Lorsque m varie, on peut alors consid´erer le diagramme commutatif : S

@

@



? - Yn 

@ @ R @

PS(m+1) (Yn ) fm+1 fm Celui-ci induit par la propri´et´e universelle des enveloppes a` puissances divis´ees une fl`eche v : PS(m) (Yn ) → PS(m+1) (Yn ). On en d´eduit la fl`eche compos´ee : PS(m) (Yn )

(m+1) (m+1) ' E(S,→P v ∗ E(S,→P S(m+1) (Yn )) S(m) (Yn )) (m) (m) ∗ ' FS,CRIS E(S,→P −→ E(S,→P . S(m) (Yn )) S(m) (Yn ))

dans laquelle le premier isomorphisme utilise la structure de cristal, le second la F -compatibilit´e de la famille {E (m) }m≥0 et la derni`ere fl`eche le frobenius de

404

F. Trihan

E (m) . On en d´eduit par adjonction et application de fm+1∗ un homomorphisme de OYn -modules coh´erents pour tout n et tout m : EY(m+1) −→ EY(m) , n n qui en passant a` la limite projective sur n donne une structure de syst`eme projectif a` la famille {EY(m) }m≥0 . Enfin, pour tout objet E d’une cat´egorie ab´elienne, on notera EQ le même objet E d´efini a` isog´enie pr`es. 1.10. Proposition. Soit E := {E (m) }m≥0 une famille de F -m-cristaux, F (m) compatibles, en OS/6 -modules localement libres de rang fini. On note sp : YK → Y le morphisme de sp´ecialisation. Alors il existe un unique isocristal convergent EK ∈ Isoc(S/K) de r´ealisation en Y, E]S[Y telle que sp∗ E]S[Y = EY(m) lim Q. ← m

D´emonstration. On d´esigne par [S]m le tube ferm´e de rayon |p|p −m , E (m) := erent d´eduit de EY(m) EY(m) Q ⊗PˆS(m) (Y )Q sp∗ O[S]m , le sp∗ O]S[m -module coh´ Q et (m) E[S]m l’unique O[S]m -module coh´erent tel que sp∗ E[S]m = E . Il suffit alors de d´emontrer que E[S]m+1| [S] ' E[S]m . On montre tout d’abord que : m   (m+1) ˆS(m) (Y ) ' EY Q( m) pour tout ≥ 0. ˆ Pˆ P ⊗ 1.10.1. EY S(m+1) (Yn ) Q

D’apr`es [EGA II, 1-4-7], on a

⊗PS(m+1) (Yn ) PS(m) (Yn ) EY(m+1) n   v ⊗ O = fm+1∗ E (m+1) (S,→PS(m+1) (Yn )) PS(m+1) (Yn ) ∗ PS(m) (Yn )   (m+1) = fm+1∗ v ∗ v∗ E(S,→P d’apr`es [H, II, exo 5.1 (d)], S(m+1) (Yn ))      (m) ∗ = fm∗ E (m+1) = f , F E m ∗ S,CRIS (S,→PS(m) (Yn )) (S,→PS(m) (Yn )) par F -compatibilit´ e de {E (m) }.  
∗ ˆ Pˆ PˆS(m) (Y ) ` la ' FS,CRIS E (m) Y Q ' EY(m) Ainsi EYm+1 ⊗ Q , grâce a S (m)

Q

structure de F -cristal de E (m) . En particulier, en tensorisant les deux membres de l’´egalit´e par sp∗ O[S]m , on obtient : E (m) ' sp∗ E[S]m ' EY(m+1) ⊗PˆS(m+1)Q (Y ) sp∗ O[S]m Q   = sp∗ E[S]m+1 ⊗sp∗ O[S]m+1 sp∗ O[S]m = sp∗ E[S]m+1|[S] . m

Comme sp∗ induit une correspondance 1-1 entre les O[S]m -modules coh´erents t E[S]m et les sp∗ O[S]m -modules coh´erents E (m) , on en d´eduit l’assertion. u 1.11. Proposition. L’isocristal EK de la proposition pr´ec´edente est e´ gal a` [E (0) ]an , l’isocristal construit a` l’aide de [Be 4, 2.4].

Fonction L unit´e d’un groupe de Barsotti-Tate

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D´emonstration. Les constructions de EK et de [E (0) ]an e´ tant obtenues par recollement de faisceaux E (m) et Em sur le tube ferm´e [S]m , on se ram`ene au cas ˆ (m) le s´epar´e compl´et´e p-adique affine : S = V (I ) ,→ Y = Spf A. On note 1 de la m-p.d-enveloppe de I muni de son m-p.d-id´eal (I¯(m) , J¯(m) , [ ]). On a ˆ (m) → C (m) , o`u C (m) est d’apr`es [Be 4, 2.4], une fl`eche canonique ρ (m) : 1 l’alg`ebre de l’ouvert affino¨ıde [S]m . Soit F : Y → Y , un rel`evement du frobenius de Y × k. Celui-ci induit un frobenius FK : YK → YK envoyant  ˆ (m) , I¯(m) , J¯(m) → C (0) sur C (m) ainsi qu’un m-p.d.-morphisme F : 1   ˆ (m) , I¯(m) , J¯(m) . On a alors par construction : 1 Em = EY(0)Q ⊗1ˆ (0) Q C (0) ⊗C (0) C (m)

(m) E (m) = EY(m) . ˆ (m) Q C Q ⊗1

et

ˆ (m) , F (m) se factorise de ˆ (m) → 1 Le m-i`eme it´er´e de la fl`eche F : 1 (m) (m) (m) (m) ˆ , I , J , { }(m) ) → (1 ˆ (m) , J (m) , { }(m) ) la mani`ere suivante F : (1 (p m )

+ pI ⊂ J . Ceci permet de construire puisque F (m) (I ) ⊂ F (m) (I ) ⊂ I ˆ (0) une fl`eche : grˆace a` la propri´et´e de l’enveloppe a` puissances divis´ees 1 ˆ (0) , I θ (m) : (1

(0)

ˆ (m) , J , { }(0) ) −→ (1

(m)

, { }(m) )

rendant le diagramme suivant commutatif : ˆ (0) 1 x  

ρ(0) ˆ (0) −− 1 −→ C (0)    (m)  (m) yθ yF

ˆ (m) −−−→ 1 ˆ (m) −−−→ c(m) 1 F (m)

ρ (m)

(m) ˆ (m) Q ⊗1ˆ (m) Q C (m) , en Ainsi E (m) = EY(m) ' EY(m) ˆ (m) Q C ˆ (m) Q 1 Q ⊗1 Q ⊗1

utilisant la structure de F -cristal non-d´eg´en´er´e de E (m) , (0) ˆ (0) ' EY(m) ⊗C (0) C (m) , ˆ (m) Q 1 Q ⊗1 ˆ (0) Q C Q ⊗1

d’apr`es le diagramme commutatif ci-dessus, ' Em , d’apr`es (1.10.1).

t u

1.12. Revenons a` pr´esent a` la situation 1.1 : on se donne une famille F compatible {E (m) }m≥0 de F -m-cristaux localement libres de rang fini sur S/W (Fq ). On en d´eduit une famille F -compatible {Ek(m) }m≥0 de F -m-cristaux localement libres de rang fini sur Sk /W a` laquelle on associe par 1.10 l’isocristal EK . On suppose de plus que la famille de F-m-cristaux {Ek(m) }m≥0 se prolonge au-dessus d’une compactification Sk de Sk en une famille de F -m(m) cristaux localement libres de rang fini sur Sk , {E k }m≥0 . Sous cette hypoth`ese,

406

F. Trihan

EK est alors la restriction d’un F -isocristal Ek† sur Sk /K. On note Wn := (m)

W/p n , E n

(m)

la restriction de E k

a` Sk /Wn , En(m) cris := u(m) S /W k

n −SYN∗

(m)

En

et

i : Z ,→ S k , l’inclusion du compl´ementaire. 1.13. Th´eor`eme. Il existe un isomorphisme canonique :   † R 0rig,c Sk , EK " #   cris  (m) cris ∗ ' R lim R0 S k,SYN , En −→ i∗ icris E (m) ⊗K R lim ← ← m

n

compatible aux endomorphismes frobenius K-lin´eaires induits respective(m) ment par le Fk -isocristal EK et les Fk -m-cristaux E k . D´emonstration. Grˆace a` 1.10, l’isomorphisme de comparaison entre la cohomologie d’un ∞-cristal et celle de son isocristal associ´e (cf. [E-LS II, prop. 3.11), s’´etend au cas d’une famille de F -m-cristaux F -compatibles. La compatibilit´e aux actions de frobenius est claire. u t 2. Th´eorie de Dieudonn´e cristalline de niveau variable 2.1. Nous allons appliquer les r´esultats du chapitre pr´ec´edent au cas des cristaux de Dieudonn´e, i.e. aux F -cristaux associ´es par [B-B-M] a` des sch´emas ab´eliens, des groupes finis localement libres ou encore des groupes de BarsottiTate. En particulier, si l’on veut appliquer 1.10, il convient de g´en´eraliser la th´eorie de Dieudonn´e aux puissances divis´ees de niveaux m. L’un des pointsclef est l’utilisation d’un th´eor`eme de comparaison entre cohomologie de niveau m et cohomologie de niveau 0 ([Be 2, 4-1] dont nous rappelons ici la construction : 2.2. Soit 6 un Z(p) -sch´ema sur lequel p est localement nilpotent muni d’un m-p.d.-id´eal quasi-coh´erent (a, b, α) tel que p ∈ a. Soient 60 et 61 les soussch´emas ferm´es de 6 d´efinis respectivement par b1 := b + pO6 et a. Soit S un 61 -sch´ema tel que la p.d.-structure (b, α) s’´etende strictement a` S ([Be 3, (1.2.2)]). Si X est un sch´ema de caract´eristique p et T un X-sch´ema, on notera T (r/X) (o`u T (r) si aucune confusion n’en r´esulte) l’image inverse de eme it´er´e T par le r-i`eme it´er´e de FX , le frobenius absolu de X et fT(r) /X le r-i` du frobenius relative de T /X. Il existe un morphisme de topos canonique, pour tout m ≥ m0 :  (m0 ) (m−m0 /60 ) φm0 m : (S/6, b, α)(m) −→ S /6, b, α . Cris Cris

4

Celui-ci est d´efini de la mani`ere suivante : soient (U ,→ T , J, δ) appartenant a` Cris(S/6, b, α)(m) , T0 le sous-sch´ema de T d´efini par le p.d.-id´eal (J +

Fonction L unit´e d’un groupe de Barsotti-Tate

407

b1 OT , δ) o`u δ est la p.d.-structure prolongeant δ, α et [ ] (dont l’existence est assur´ee par la m-p.d. compatibilit´e de (4, J, δ) a` (b, α)) et T1 le sous-sch´ema m−m0 de T0 d´efini par 4(p 0 ) OT0 . m−m )
+J+b1 OT  4(p - T , J + b1 OT , δ d´efinit clairement un objet Alors, T1  0 de Cris (T1 /6, b, α)(m ) . On dispose, de plus d’un diagramme commutatif : - T1 



U 0

4(p

m−m0 )

- T0



J+b1 OT

- T

0

(m−m ) fU/6 0

) fT(m−m 1 /60

?+ 0  U (m−m )  -

?

0 T1(m−m ) 0

0

) grâce au fait que o`u la fl`eche 8m−m0 : T1 → U (m−m ) factorise fT(m−m 1 /60 0 0
(pm−m ) m−m ) 4OT1 = 4(p OT1 = 0. 0 0 En canonique de U (m−m ) dans S (m−m ) , on pose pour  notant j , l’inclusion  4 tout U ,→ T , J, δ ∈ Cris (S/6, b, α)(m) :

φm−10 ,m (E) := (j ◦



4 U ,→ T , J, δ

(m0 ) 8m−m0 )Cris −1



 4p (E) T1 

(m−m0 )

+J+b1 OT




- T , J + b1 OT , δ .

On v´erifie que ceci d´efinit bien un faisceau. Le morphisme de topos s’ins`ere alors dans le diagramme commutatif ϕm0 m

(S/6)(m) Cris −−−→   (m) uS/6 y −−−−→

SZar

(m−m0 ) 0


(m0 ) 0 S (m−m ) /6 Cris  0 u(m ) y S (m−m0 ) /6 0

(m−m ) SZar

fS/6

qui permet en particulier de d´eduire un morphisme de complexes : 0

0

) (m−m ) (m) R uS(m(m−m OS (m−m0 ) /6 −→ fS/6 R u(m) 0) S/6∗ OS/6 . 0∗ /6 ∗

(m0 )

(m) le morphisme de projection du En notant π(S (m−m0 ) /6 (respectivement πS/6 ∗ ∗ 0
(m ) 0 (m0 ) sur site cristallin S (m−m /60 ) /6, b, α Cris (respectivement (S/6, b, α)Cris 6, on d´eduit le morphisme de complexes :

2.2.1.

0

) (m) (m) OS (m−m0 ) /6 −→ R πS/6 OS/6 . R πS(m(m−m 0) ∗ /6 ∗

408

F. Trihan

2.3. Th´eor`eme. Sous les hypoth`eses et notations pr´ec´edentes et en supposant de plus que S est lisse sur 61 , alors le morphisme canonique 2.2.1 est un isomorphisme. D´emonstration. [Be 2, 4-2]. u t2.4. Proposition.(Sous les hypoth`eses 1.4). Soit un sch´ema ab´elien A sur S, de morphisme structural f et de dimension   (m) (m) O relative n. Alors le faisceau sur CRIS(S/6, b, α)(m) , R1 fCRIS-TOP A/6 ∗ (m) est un m-cristal en OS/6 -modules localement libres de rang 2n.

D´emonstration. D’apr`es 1.5 il suffit de montrer l’assertion pourles faisceaux  (m) (m) , O zariskiens correspondants, i.e. pour les faisceaux R∗ fCRIS-TOP A/6 ∗ (U,T )   4 o`u (U, T ) := U ,→ T , J, δ ∈ CRIS(S/6, b, α)(m) ; de plus, la question e´ tant locale, on peut supposer T (et donc U ) affine. Soit π le morphisme structural de AU := A ×S U sur T . On note :
(m) : AU /T , J + bOT , δ Cris−Zar −→ TZar , πA(m) U /T −Zar le morphisme de topos compos´e π ◦ u(m) AU /T −Zar . On a alors un isomorphisme :     (m) (m) (m) ∗ (m) ∼ π O O , R∗ fCRIS-TOP R = A/6 A A /T /T ∗ ∗ U U (U,T )   ∼ = R∗ πA(m) /T∗ OA(m) /T , U

U

d’apr`es 2.3, o`u A(m) U est l’image inverse de AU

par le m-i`eme it´er´e du frobenius absolu de U . Prolongeant A(m) U -dessus de la nilimmersion affine U ,→ T par un T 0 sch´ema ab´elien A , on d´eduit de mani`ere analogue a` [B-B-M, 2.5.5.2], l’isomorphisme     ∼ O (m) . R∗ π (m) = R∗ f 0 . 0 AU /T∗

∗

AU /T

A /T

Ces isomorphismes sont fonctoriels en A et en (U, T ) si bien qu’on est finalement ramen´e a` l’assertion sur les faisceaux de cohomologie de de Rham (cf. [B-B-M, 2.5.2]). En particulier, on en d´eduit l’isomorphisme :   (m) (m) 1 ∼ (A0 /T ), O R1 fCRIS-TOP = HDR A/6 ∗ (U,T )

o`u le terme de droite est d’apr`es [B-B-M, 2.5.2], un OT -module fini localement libre de rang deux fois la dimension relative de A0 (´egale a` celle de A). t u On poss`ede de mani`ere analogue a` [B-B-M, 2.5.2], la description suivante du m-cristal pr´ec´edemment d´efini :

Fonction L unit´e d’un groupe de Barsotti-Tate

409

(m) 2.5. Proposition. En notant A, le faisceau sur CRIS(S/6, b, α)(m) iS/6 (A) ∗ on a :     (m) (m) (m) 1 ∼ O O A, 1) R1 fCRIS-TOP E xt = (m) A/6 S/6 , ∗ (S/6)CRIS     (m) (m) ∼ 2) Hom(S/6)(m) A, OS/6 = E xt 2 (m) A, OS/6 = 0. (S/6)CRIS

CRIS

(m) 2.6. D´efinition. Le cristal en OS/6 -modules finis localement libres Ext 1 (m) (S/6)CRIS   (m) ∗ (m) (m) (m) ∼ A, OS/6 sera not´e D (A). L’isomorphisme FS,CRIS D (A) = D (A(1) ),

o`u A(1) est l’image inverse de A par le frobenius absolu de S, permet de ∗ D(m) (A) → D(m) (A) et munir D(m) (A) des homomorphismes F : FS,CRIS ∗ V : D(m) (A) → FS,CRIS D(m) (A) induits par le frobenius relatif et le ver(m) schiebung de A. D (A), muni de ces deux actions, est appel´e m-cristal de Dieudonn´e du sch´ema ab´elien A/S. On montre de mani`ere analogue a` [B-B-M, 2.3.11] que le calcul du cristal de Dieudonn´e est ind´ependant de la topologie TOP choisie. 2.7. Proposition. La famille des F-m-cristaux {D(m) (A)}m≥0 est F-compatible. Plus pr´ecis´ement, on a pour tout m0 ≤ m, un isomorphisme de m0 -cristaux : 0

∗

∼ =

0

) (m ) 8m0 ,m (A) : FS(m−m (A) −→ D(m) (A)|(m0 ) , CRIS D

fonctoriel en A. J

D´emonstration. On se donne un objet (U ,→ T , J, δ) ∈ CRIS(S/6, b, α)(m) en supposant T affine. On a alors en reprenant la d´emonstration de 2.4 ainsi que 2.3, l’isomorphisme :   (m0 ) (m) 1 (m0 ) ∼ O (m−m0 ) , D (A)|(m0 ) J = R π (m−m0 ) /T∗ /T AU AU (U ,→T ,J,δ)   (m0 ) (m0 ) ∼ = R1 πA0 /T ∗ OA0 /T , 0

o`u A0 est un T -sch´ema ab´elien prolongeant AU(m−m ) au-dessus de la nilimmersion affine U ,→ T . D’autre part on a, toujours d’apr`es 2.4 l’isomorphisme :   0)∗ 0 0 (m0 ) ∼ D (A) FS(m−m = D(m ) (A(m−m ) ) I I CRIS (U ,→T ,J,δ) (U ,→T ,J,δ)   0 0) (m ) ∼ O (m(m−m , = R1 π (m−m0 ) 0) /T∗ /T AU AU   (m0 ) (m0 ) ∼ = R1 πA0 /T ∗ OA0 /T , On en d´eduit pour tout (U, T ) affine, l’isomorphisme compos´e :  
∼ 0)∗ = (m0 ) D (A) −→ D(m) (A)|(m0 ) FS(m−m I I CRIS (U ,→T ,J,δ)

(U ,→T ,J,δ)

410

F. Trihan

compatible, pour toute fl`eche affine (u, v) : (U 0 , T 0 ) → (U, T ) aux morphismes de transition des faisceaux 0

0

0

D(m ) (A(m−m ) )

I

(U ,→T ,J,δ)

∗

0

) (m ) et FS(m−m (A) CRIS D

I

(U ,→T ,J,δ)

,

grˆace a` la fonctorialit´e de la fl`eche 2.2.1. De cette mani`ere, ces isomorphismes se recollent en un isomorphisme global. La fonctorialit´e par rapport a` A d´ecoule, elle aussi, de celle de 2.2.1 et permet de d´eduire que l’isomorphisme pr´ec´edent est en fait un isomorphisme de F -cristaux. u t Passons maintenant au cas d’un S-groupe fini localement libre de rang fini : 2.8. Th´eor`eme. Soit G un S-groupe fini localement libre, alors : (1) S’il existe un plongement de G dans un S-sch´ema ab´elien A0 de sorte qu’on obtienne une suite exacte u

0 −→ G −→ A0 −→ A1 −→ 0, (m) il existe un isomorphisme canonique dans la cat´egorie d´eriv´ee des OS/6 modules :   −u (m) ∼ t1] RHom(S/6)(m) G, OS/6 = {D(m) (A1 ) −→ D(m) (A0 )}. CRIS



(2) D(m) (G) := E xt 1

(m) (S/6)CRIS

 (m) (m) -modules, G, OS/6 est un m-cristal en OS/6

(m) . localement de pr´esentation finie sur OS/6

D´emonstration. D’apr`es [B-B-M, 3.1.1], on sait que tout groupe localement libre de rang fini se plonge localement dans un sch´ema ab´elien. L’assertion (2) r´esulte ainsi de la premi`ere d´emonstration et cette derni`ere est analogue a` [B-B-M, 3.1.2, 3.1.3]. u t 2.9. Proposition. Soit G un S-groupe fini localement libre. Alors, la famille des F -m-cristaux {D(m) (G)}m≥0 est F -compatible. D´emonstration. Consid´erons tout d’abord le cas o`u G est un S-groupe fini localement libre se plongeant dans un S-sch´ema ab´elien A0 , de sorte qu’on obtient une suite exacte : 0 → G → A0 → A1 → 0. Celle-ci induit le diagramme suivant : 0

0

0

0

0

0

D(m ) (A1(m−m ) ) −−−→ D(m ) (A0(m−m ) ) −−−→ D(m ) (G(m−m ) ) −−−→ 0     y y D(m) (A1 )|(m0 )

−−−→ D(m) (A0 )|(m0 )

−−−→ D(m) (G)|(m0 )

−−−→ 0

Fonction L unit´e d’un groupe de Barsotti-Tate

411

dans lequel les lignes horizontales sont exactes et les deux fl`eches verticales des isomorphismes, d’apr`es 2.7. La commutativit´e du diagramme r´esulte, quant a` elle, de la fonctorialit´e de l’isomorphisme 2.7. On en d´eduit un isomorphisme :   ∼ 0 0 = 8m0 ,m (G) : D(m ) G(m−m ) −→ D(m) (G)|(m0 ) . Cet isomorphisme est ind´ependant du plongement choisi pour G : supposons en effet qu’on ait une autre suite exacte : 0 → G → B 0 → B 1 → 0. Celle-ci induit de la même mani`ere un isomorphisme 8m0 ,m (G)0 . On note i 00 : G → B 0 ×S A0 , l’immersion diagonale de G dans B 0 ×S A0 qui est encore un sch´ema ab´elien sur S. Soit B 00 le conoyau de cette fl`eche. On consid`ere alors le diagramme commutatif de suites exactes : → B1 → 0 0→G→ B0 ↑ ↑ ↑ 0 → G → B 0 ×S A0 → B 00 → 0 ↓ ↓ ↓ → A1 → 0 0→G→ A0 La suite exacte du milieu induit un nouvel isomorphisme 8m0 ,m (G)", mais la fl`eche de cette suite vers celle du haut implique que 8m0 ,m (G)" = 8m0 ,m (G)0 , tandis que la fl`eche vers la suite du bas donne 8m0 ,m (G)" = 8m0 ,m (G). L’isomorphisme 0

0

∼ =

8m0 ,m (G) : D(m ) (G(m−m ) ) −→ D(m) (G)|(m0 ) est donc bien ind´ependant du plongement choisi. Dans le cas g´en´eral, on remarque que, d’apr`es [B-B-M, 3.1.1], tout Sgroupe fini localement libre se plonge localement pour la topologie de Zariski dans un S-sch´ema ab´elien. On peut donc trouver pour un tel groupe un recouvrement de S par des ouverts Ui tel que G|Ui se plonge pour tout i dans un S-sch´ema ab´elien Ai . Pour tout i, on obtient des isomorphismes 8m0 ,m (G|Ui ) et le recollement de ceux-ci en un isomorphisme 8m0 ,m (G) r´esulte de l’ind´ependance de cette fl`eche par rapport aux plongements choisis. Enfin la fonctorialit´e de 8m0 ,m (G) r´esulte de celle des sch´emas ab´eliens. t u

412

F. Trihan

Le cas des groupes de Barsotti-Tate, se d´eduit du cas pr´ec´edent : 2.10. Th´eor`eme. Soit G, un S-groupe de Barsotti-Tate, G = lim G(n) alors : → n

(i) D

(m)

(G) :=

(m) E xt 1 (m) (G, OS/6 ) (S/6)CRIS

est un m-cristal et, pour tout (U, T )

tel que p OT = 0, l’homomorphisme canonique : n

D(m) (G)(U,T ) −→ D(m) (G(n))(U,T ) est un isomorphisme. D´emonstration. Identique a` [B-B-M, 3.3.3].

t u

(m) 2.11. D´efinition. Si G est un S-groupe de Barsotti-Tate, le cristal en OS/6 (m) 1 modules D(m) (G) := E xt (m) (G, OS/6 ) muni des homomorphismes F : (S/6)CRIS

FS∗ CRIS D(m) (G) → D(m) (G) et V : D(m) (G) → FS∗ CRIS D(m) (G) induits par le frobenius et le verschiebung de G, sera appel´e m-cristal de Dieudonn´e de G. 2.12. Proposition. Soit G un S-groupe de Barsotti-Tate. Alors, la famille des F -m-cristaux {D(m) (G)}m≥0 est F -compatible. D´emonstration. Si G est un S-groupe de Barsotti-Tate, on peut montrer de mani`ere analogue a` [B-B-M, 2.4.5] qu’on a un isomorphisme D(m) (G) = D(m) (G(n)) et, pour tout n, d’apr`es ce qui pr´ec`ede, des isomorphismes : lim ← n

0 0 8m0 ,m (G) : D(m) (G(n))|(m0 ) ∼ = D(m ) (G(m−m ) (n)),

qui, grˆace a` leur fonctorialit´e, d´eterminent en fait un morphisme de syst`emes projectifs, i.e. un isomorphisme : 0 0 t u 8m0 ,m (G) : D(m) (G)|(m0 ) ∼ = D(m ) (G(m−m ) ). 2.13. Corollaire. Soit G un S-groupe de Barsotti-Tate (resp. un S-groupe de Barsotti-Tate tronqu´e de niveau n) de hauteur h, alors D(m) (G) est un cristal (m) (m) -modules (resp. OS/6 -modules) localement libre de rang h. en OS/6 n D´emonstration. La question e´ tant locale, il suffit de montrer l’assertion pour un groupe de Barsotti-Tate tronqu´e d’´echelon n et de hauteur h. On montre 4 tout d’abord que pour tout (U ,→ T , J, δ) de CRIS(S/6, b, α)(m) , D(m) (G)(U,T ) est engendr´e par h sections. Comme ce dernier est un cristal de pr´esentation finie, on peut, de mani`ere analogue a` [B-B-M, 3.3.10] se ramener au cas o`u S = U = T = Spec k. Ainsi, D(m) (G)S isomorphe a` D(0) (G(m) )S d’apr`es 2.12, est bien engendr´e par h sections ([B-B-M, 3.3.10]). De plus, localement sur S, il est possible de plonger G dans un sch´ema ab´elien A, de dimension relative g. On d´eduit alors de la suite exacte 0 −→ G −→ A(n) −→ H −→ 0,

Fonction L unit´e d’un groupe de Barsotti-Tate

413

o`u H est un groupe de Barsotti-Tate tronqu´e d’´echelon n et de hauteur 2g −h, la suite exacte : D(m) (H ) −→ D(m) (A(n)) −→ D(m) (G) −→ 0, dans laquelle D(m) (A(n)) ∼ = D(m) (A)/pn D(m) (A) est libre de rang 2g et (m) (m) D (H ) et D (G) sont engendr´es respectivement par 2g − h et h sec(m) (m) /pn OS/6 -modules. On en d´eduit aussitˆot que D(m) (H ) et tions comme OS/6 (m) (m) D(m) (G) sont localement libres sur OS/6 /pn OS/6 . u t 2.14. Remarques. 1) Soient A et S-sch´ema ab´elien, G le S-groupe de Barsotti-Tate associ´e a` A, on montre de mani`ere analogue a` [B-B-M, 3.3.7] qu’on a un isomorphisme : D(m) (G) ∼ = D(m) (A). Ainsi, on pourra consid´erer par la suite, le calcul de la fonction L d’un sch´ema ab´elien comme un cas particulier de celui des groupes de Barsotti-Tate. 2) Si k est un corps parfait de caract´eristique p > 0, σ l’automorphisme de frobenius de W (k) et G un k-groupe de Barsotti-Tate ou un k-groupe localement libre de rang fini on a, en posant : 0(k/Wn (k), D(m) D (m) (G) := lim n (G)), ← n

0(Spec Wn (k), D(m) D (m) (G) = lim n (G)(Spec k,Spec Wn (k)) ) ← n

= D(G(m) ), d’apr`es 2.12, = M(G(m) )σ , d’apr`es [B-B-M, 4.2.14]. = M(G)σ

m+1

, o`u M(G) = Homk (G, CW (k))

est le module de Dieudonn´e de G. En particulier, si K = Frac(W (k)), alors : D (m) (G) ⊗ K ∼ = D(G) ⊗ K.

t u

3. Fonction L unit´e associ´e a` un sch´ema ab´elien et a` un groupe de Barsotti-Tate 3.1. Revenons a` la situation du chapitre 1 : On se donne G/S un groupe de Barsotti-Tate et on suppose qu’il se prolonge au-dessus d’une compactification S de S en un groupe de Barsotti-Tate G/S. On notera D(G)K , le F -isocristal convergent sur Sk /K associ´e par 1.10 a` la famille F -compatible {D(m) (Gk )}m≥0 de F -m-cristauxlocalement libres de rang fini sur Sk /W † (d’apr`es 2.12). Celui-ci est la restriction d’un isocristal surconvergent D(G)K

414

F. Trihan

sur Sk /W et on peut alors d´eduire de 1.1, la m´eromorphie de la fonction L associ´ee a` D(G) : plus pr´ecis´ement, on a montr´e que : L(S, D(G), t) =

2n Y

 i+1  † (−1) i detK 1 − tφ i Hrig,c (Sk , D(G)K ) .

i=0

3.2. D´efinition. La fonction L unit´e de G/S est le produit Lu (t) des facteurs (1 − at)± de L(S, D(G), t) avec |a| = 1. L’objectif de ce chapitre est de calculer cette fonction en utilisant la suite exacte courte dans Sk,SYN de type Fontaine-Messing d´efinie dans [E-LS II, th. 5.5] : 3.2.1.

1−Fk∗

0 → Wn (Fq ) → On(m)cris −→ On(m)cris → 0, (m) o`u Fk est le r-i`eme it´er´e de frobenius de On(m)cris := u(m) Sk /6n −SYN∗ OSk /6n . On d´eduit de cette suite, la suite longue de cohomologie associ´ee au foncteur RHomSk ,SYN (Gk , .), qu’on e´ crit a` partir du degr´e 1 :


Hom Gk , On(m)cris −→ E xt 1 Gk , Wn (Fq ) −→ E xt 1 Gk , On(m)cris

1−Fk∗ −→ E xt 1 Gk , On(m)cris −→ E xt 2 Gk , Wn (Fq ) .

3.3. Lemme. (Sous les hypoth`eses 1.4). Soit G/S un groupe de Barsotti-Tate ou un sch´ema ab´elien, alors :

(i) HomSSYN G, On(m)cris = E xtS2SYN Gk , On(m)cris = 0.  
(m) 1 (ii) E xtS1SYN G, On(m)cris ' u(m) G, OS/6 (m) S/6n∗ E xt (S/6)CRIS

et cet isomorphisme est compatible aux actions de frobenius induites respectivement par Fn , le frobenius de On(m)cris et 8n , celui de D(m) n (G). D´emonstration. La d´emonstration de cette assertion est analogue a` [Ba, prop. 2.5] en  passant par [E-LS II, th. 2-3] et en utilisant la nullit´e des (m) i G, OS/6 pour i = 0 ou 2 qui se d´emontre de mani`ere analogue E xt (m) (S/6)CRIS

a` [B-B-M, 2.5.6 et 3.3.3]. u t En utilisant le lemme pr´ec´edent, nous pouvons r´ee´ crire cette suite exacte sous la forme : 3.3.1.
1−Fk∗ cris cris (G) −→ D(m) 0 −→ E xt 1 Gk , Wn (Fq ) −→ D(m) n n (G)


−→ E xt 2 Gk , Wn (Fq ) .

3.4. Lemme. Soient G/S un groupe de Barsotti-Tate ou un sch´ema ab´elien et

Fonction L unit´e d’un groupe de Barsotti-Tate

415

M un faisceau localement constant sur S pour la topologie e´ tale. Alors E xtS2 (G, M) = 0. D´emonstration. Il suffit de montrer que E xt 2 (G, Z/pn Z) = 0. Le foncteur Hom(G, .) appliqu´e a` la suite d’Artin–Schreier : 1−F

0 → Z/pZ → Ga −→ Ga −→ 0 induit une suite exacte longue : 1−F

0 → E xt 1 (G, Z/pZ) → E xt 1 (G, Ga ) −→ E xt 1 (G, Ga ) −→ E xt 2 (G, Z/pZ) o`u le z´ero a` gauche r´esulte de la nullit´e de H om(G, Ga ) [B-B-M, 2.5.8 et 3.3.2]. Toujours d’apr`es [B-B-M, 2.5.8 et 3.3.2], on sait que E xt 1 (G, Ga ) est repr´esentable par un S-groupe localement libre de rang fini. Pour montrer que la fl`eche σ -lin´eaire 1 − F est un e´ pimorphisme, il suffit de montrer que le morphisme de sch´emas est fid`element plat. On peut d’apr`es le crit`ere de platitude par fibre [EGA IV, 11.3.11] supposer que S est le spectre d’un corps alg´ebriquement clos et dans ce cas l’assertion r´esulte de [Mi, III, 413]. On d´eduit alors de la nullit´e de E xt 2 (G, Ga ) ([B-B-M, 3.3.2]), celle de E xt 2 (G, Z/pZ). La nullit´e de E xt 2 (G, Z/pn Z) se montre par r´ecurrence en utilisant les suites : ×p

0 −→ Z/pZ −→ Z/pn Z −→ Z/pn Z −→ 0.

t u

Le lemme 3.4 permet de d´eduire une suite exacte courte : 3.4.1.
cris 1−Fk cris −→ D(m) −→ 0 0 −→ E xt 1 Gk , Wn (Fq ) −→ D(m) n (G) n (G) 3.5. Proposition. On se place sous les hypoth`eses 3.1. Alors on a une suite exacte longue de cohomologie  
† i i Sk , E xt 1 (Gk , K0 ) −→ Hrig,c Sk , D(G)K · · · −→ HSYN,c   1−φ i † i −→ Hrig,c Sk , D(G)K −→ · · ·


i i HSYN,c Sk , E xt 1 (Gk , K0 ) = lim Sk , E xt 1 Gk , Wn (Fq ) ⊗ avec HSYN,c ← n

K0 .

416

F. Trihan

D´emonstration. On a le carr´e commutatif : Gk −→ Gk fk ↓ fk ↓ Sk ,→ S k j

Soit Z = S k \Sk et i :,→ S k l’immersion ferm´ee. Alors la suite de complexes :

  0 → E xt 1 Gk , Wn (Fq ) → i∗ i ∗ E xt 1 Gk , Wn (Fq ) h
cris i cris ∗ (m) → D(m) (G ) → i D (G ) i k ∗ cris n k n h
cris i 1−Fk cris ∗ (m) −→ D(m) (G ) → i D (G ) i →0 k ∗ cris n k n est exacte et ainsi la suite longue de la proposition est
alors obtenue par t application du foncteur R lim R lim R0(S k,SYN , .) ⊗ K . u ← m

← n

3.6. Proposition. Si est affine et lisse sur Fq , la suite exacte longue de 3.5 se scinde en des suites exactes courtes :  
† i i Sk , D(G)K Sk , E xt 1 (Gk , K0 ) → Hrig,c 0 → HSYN,c   1−φ i † i −→ Hrig,c Sk , D(G)K → 0. D´emonstration. Analogue a` [EL-S II, prop. 6.1].

t u

3.7. Th´eor`eme. On a sous les hypoth`eses 3.1 : Lu (t) =

n Y i=0



(−1)i+1

i det 1 − tφ i , HSYN,c Sk , E xt 1 (Gk , K0 ) K0

.

D´emonstration. On proc`ede par r´ecurrence sur la dimension de S. Si dim S = 0, l’assertion est vraie : elle r´esulte de l’exactitude de la suite de 3.6. On suppose l’assertion vraie pour tout sch´ema de dimension n − 1. Quitte a` faire une extension finie de la base et a` prendre le sous sch´ema r´eduit de S, on peut supposer qu’il existe U ⊂ S, un ouvert dense affine et lisse de S et on pose alors Z := S \ U . On a donc Lu (t) = Lu (Uk , D(GU )K , t) .Lu (Zk , D(GZ )K , t) . Si S est de dimension n, dim Z < n et on a donc : dim YZ

Lu (Zk , D(GZ )K , t) =

i=0



(−1)i+1

i det 1 − tφ i , HSYN,c Zk , E xt 1 (GZk , K0 )

Fonction L unit´e d’un groupe de Barsotti-Tate

417

par hypoth`ese de r´ecurrence, et : Lu (Uk , D(GU )K , t) =

n Y



(−1)i+1

i det 1 − tφ i , HSYN,c Uk , E xt 1 (GUk , K0 )

i=0

car U est affine sur Fq . La formule r´esulte alors de la suite exacte longue :

i i Uk , E xt 1 (GUk , K0 ) −→ HSYN,c Sk , E xt 1 (Gk , K0 ) · · · −→ HSYN,c
i −→ HSYN,c t u Zk , E xt 1 (GZk , K0 ) −→ · · · Dans le cas particulier d’un sch´ema ab´elien A/S satisfaisant aux mˆemes hypoth`eses de prolongement, on peut am´eliorer ce r´esultat en exprimant la fonction L unit´e de A/S en terme de cohomologie e´ tale. On a tout d’abord la description suivante de E xt 1 (Ak , Wn (Fq )) : 3.8. Proposition. Soient S un sch´ema de caract´eristique p, f : A → S un sch´ema ab´elien et M un faisceau localement constant sur S pour la topologie e´ tale. Alors E xtS1 (A, M) est isomorphe au faisceau constructible R 1 f∗ M. D´emonstration. Localement pour la topologie e´ tale, on peut e´ crire : E xtS1 (A, M) ' E xt 1 (A, Z/pn Z) ⊗Z/pn Z M, et ainsi il suffit de prouver l’assertion pour M = Z/pn Z. L’isomorphisme de foncteurs : Hom(A, .) ◦ Hom(µpn , .) ' Hom(µpn , .) ◦ H om(A, .) donne naissance a` deux suites spectrales de même aboutissement : p,q

E2 = Rp Hom(A, .) ◦ Rp Hom(µpn , .) ⇒ E p+q p,q E 0 2 = Rp Hom(µpn , .) ◦ Rq H om(A, .) ⇒ E p+q . On en d´eduit les suites exactes longues : 0 → E xt 1 (A, H om(µpn , Gm )) → E 1 → H om(A, E xt 1 (µpn , Gm )) → E xt 2 (A, H om(µpn , Gm )) → E12 → E xt 1 (A, E xt 1 (µpn , Gm )) → · · · avec E12 = Ker(E 2 → Hom(A, E xt 2 (µpn , Gm ))) et 0 → E xt 1 (µpn , Hom(A, Gm )) → E 1 → H om(µpn , E xt 1 (A, Gm )) → E xt 2 (µpn , Hom(A, Gm )) → E 0 1 → E xt 1 (µpn , E xt 1 (A, Gm )) 2

avec E 0 21 = Ker(E 2 → Hom(µpn , E xt 2 (A, Gm ))). On utilise alors les r´esultats suivants : 1. Hom(µpn , Gm ) = Z/pn Z.

418

F. Trihan

2. E xt 1 (µpn , Gm ) = 0 [SGA 7, VIII, 3.3.3]. 3. E xt 2 (µpn , Gm ) = 0 (d’apr`es [Br] si la caract´eristique de S est diff´erente de 2, [Bo] sinon). 4. Hom(A, Gm ) = E xt 2 (A, Cm ) = 0. 5. E xt 1 (A, Gm ) = Aˆ le sch´ema ab´elien dual de A. On d´eduit ainsi des suites pr´ec´edentes, les isomorphismes : ˆ E xt 1 (A, Z/pn Z) ' Hom(µpn , A)

ˆ et E xt 2 (A, Z/pn Z) ' E xt 1 (µpn , A).

Comme µpn est un groupe connexe, ˆ = Hom µpn , Pic0A/S Hom(µpn , A)





= Hom µpn , PicA/S .

D’apr`es [Mi, III, 4-16], on a donc : E xt 1 (A, Z/pn Z) ' R 1 f∗ Z/pn Z et donc E xt 1 (A, M) ' R 1 f∗ Z/pn Z ⊗Z/pn Z M, ' R 1 f∗ M,

d’apr`es [Mi, VI, 8.8].

t u

3.9. Corollaire. Soit A/S un sch´ema ab´elien se prolongeant au-dessus d’une compactification S de S en un sch´ema ab´elien A/S. On note fk : Ak → Sk , le sch´ema ab´elien induit par A/S. On a alors : Lu (t) =

n Y


(−1)i+1

detK0 1 − tφ i , He´it,c (Sk , R 1 fk∗ K0 )

.

i=0


D´emonstration. Comme R1 fk∗ K0 ' E xt 1 Ak , Wn (Fq ) est un faisceau constructible, on a d’apr`es [E-LS II, 1.3] l’isomorphisme :
i He´it (Sk , R 1 fk∗ K0 ) ' HET Sk , E xt 1 (Ak , Wn (Fq ))

i Sk , E xt 1 Ak , Wn (Fq ) , ' HSYN et l’assertion r´esulte alors de 3.7, e´ tant donn´e la remarque 2.14, 1).

Fonction L unit´e d’un groupe de Barsotti-Tate

419

R´ef´erences [EGA] [SGA 7]

[B-B-M] [Ba]

[Be 1]

[Be 2] [Be 3] [Be 4] [Bo] [Br] [Cr] [E-LS I] [E-LS II] [E] [H] [Mi]

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