Fondements d'une th6orie gdn rale de la courbure lindaire Par EUO~,NE E G E R V , ~ R u et GEORGES A L E X I T S , Budapest L'6volution de l'analyse math6matique a sugg~r~ de bonne houro l'id~e de traduire ]es propri~t~s locales d'une figure g6om~trique en termes du calcul infinit6simal. Bien que cotte m~thode d'arithm~tisation ait 6tabli de nouveaux aspects ~ l'6poque oh il ne s'agissait que de d~finir plus ou moins exactement les notions intuitives de g~om~trie, on no peut pas contester que l'arithm~tisation illimit6e a conduit, en quelque sorte, une certaine d6cadence de l'id~e ggom6trique. En effet, l'identification de la figure intuitive avec l'ensemble des valeurs de certaines fonctions d6rivables est un proc~d6 arbitraire et, en tout cas, contraire s l'esprit g6om~trique. Mais, abstraction faite do la tendance analyste qui veut transformer uno part ie consid6rable de la g6om~trio en uno simple application du calcul infinit6simal, les conditions de d~rivabilit6 cr~ont, mSme du point de r u e analyste, une atmosphere vague; car on ne connalt gu~re ]e sens g~om~trique exact de l'hypoth~se que les fonctions par lesquolles on a r6alis~ ]a repr6sentation param~trique d'une figure arbitraire poss~dent, dans un certain intervalle, une n-iSme d~rivSe. La g6om~trie infinit~simale a donc un caract~re heuristique; ses m~thodes ont gt~ impos~es pour rem6dier ~ l'incapacit6 des m~thodes de la g~om~tri~ classique; mais elles ne portent point les traits d'une n~cessit6 math~matique. Dans l'~tat actuel du d6veloppement do la science, il faut absolument reprendre le probl~me des fondemonts de la g~om6trie infinit~imale, en ~tudiant syst~matiquement les propri~t6s locales intrins~ques des continus sans faire appel ~ l'introduction de coordonn~es. Alors, les propri~t6s locales des continus seront caract~ris~es par l'intorm~diaire de la notion de distance, celle-ci ~tant l'~l~ment d~teminant de respace. I1 s'agit donc d'une recherche syst~matique de certains invariants des isomorphies; invariants caract6risant les propri~t6s m6triques des continus de m~me que certains invariants des hom6omorphies caract~risent leurs propri~t6s topologiques. L'id6e de fender l'6tude des propri~t6s locales des continus uniquement sur la recherche des relations entre les distances mutuelles de leurs points est due ~ M. Mengerl). I1 a commenc6 sos recherches par une 6rude 1) Menger, 10. (Le nombre apr6s le n o r a de l ' a u t e u r indique le n u m 6 r o s o u s lequel le titre de ] ' o u v r a g o respectif figure d a n s la bibliographie clue n o u s a v o n s r6unie ~ la fin do ce m6moire. 17 CommeutaHi Mathematici Helvetici

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approfondie do la notion de premiere courbure d ' u n arc. La notion de deuxi~me courbure (torsion) d ' u n arc a ~t~ recherch~e de ce point de r u e par Fun des auteurs2), tandis que l'autre 3) a r6ussi & introduire une d6finition g~n~rale des courbures sup~rieures d ' u n arc eu clidien; d~finition qui se prate a une g~n~ralisation immediate aux espaces distanci6s. Le plan du present travail est le suivant: :Nous d~finirons d'abord, au w 1, la notion de courbure lin~aire d'ordre n. (Nous parlons d'une courbure lin~aire pour mettre en ~vidence le caract~re lin6aire de notre notion de courbure, en opposition aux notions de courbure superficielle, courbure de Riemann, etc.) Nous passerons, au w 2, & la recherche des propri~tgs de continuit6 de la n-i~me courbure lin~aire. I1 suit, au w 3, une recherche de la structure des continus euclidiens a y a n t une courbure linSaire d'ordre n; puis nous allons ~tudier, au w4, l'existence des courbures lin~aires d ' u n arc situ6 dans un espace euclidien et assujetti aux conditions de d6rivabilit~, habituelles dans la g~om~trie infinit~simale. Nous nous occuperons enfin, au w 5, des arcs dont la n-i~me courbure lin~aire s'~vanouit partout.

w 1. La d~finition de la n-ii~me courbure lin~aire 1 . 1 . l~ous appellerons espace semi-distancid u n ensemble E tel que k t o u t couple p, q de ses ~16ments soit attach~ un nombre pq assujetti a u x conditions suivantes:

1. p q - ~ q p ~ _ O ; 2. pq ~ 0 et p ~ q s'entrainent rdciproquement. Los $16monts do E s'appollent point~ do l'espace E ot lo nombro pq l'dcart des points p e t q. L'ospaee semi-distanci6 E est u n espaco distancig, si l'6cart pq satisfait, outre los conditions 1 et 2, s l'in~galit~ triangalairo 3. pq ~- qr ~_ p r . Dans ce cas, on appelle l'6cart p q la distance des points p et q. Consid$rons n points Pl, Pz . . . . , p~ d ' u n espace semi-distanci~ quelconque et posons D(pl,p,,...,p~)__lO 1

1 [ (p, pj)2 ( i , j = l , 2 , . . . , n ) .

Ce d~terminant jouera un rble ~minent dans nos recherches suivantes. z) A/ex/t~, 1,2. a) Egezvdry, 6.

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1 . 2 . E t a n t donn6 d a n s l'espace semi-distanci6 E u n s y s t ~ m e de ( n + 2 ) points diff~rents P0, Pl, . . . , P~+~ tels que 4) D ( p 0 , pl . . . . . p.) G 0 , D ( p l , p~ . . . . . p~+~) :#:0, nous appellerons courbure lingaire des points Po, P l , . . . , P,+~ correspondant a u sens de parcour8 Po -->P~ --> "'" -->P~+~ le n o m b r e positif (Po, Pl

Pn+l)

n + 1 |/[D(po,p~,...,P~+~).

D ( p ~ , p 2 . . . . . P~)[

(1) L a valour de ~ (Po, P~ . . . . . Pn+l) d6pend 6 v i d e m m e n t du sons de parcours du syst~me de n + 2 points consid6r6, excopt6 a u c~s oh n -----1; puisquo, en p r o n a n t n =- 1, on o b t i e n t : - - D ( P 0 , P l , P2) =

=(Pop~ + p o p , + p ~ p , ) (PoP~ +PoP2--PlP2) (PoP~+ P l P * - P o P , ) ( P o P , + P l P , - p o p ~ ) , D ( p o p ~ ) = 2(pop~) ~,

D ( p ~ , p ~ ) = 2(p~p~) 2,

--D(p~) -: 1 ;

p a r cons6quen~: ( P o , P ~ , P~) =

_: V [ ( p o p l + p o p ~ + p , p , ) (popl+pop,-plp2) (PoP~+PlP~-ToP2) (PoP2+P,P2-PoPl)I Po Pl 9 Po P , " PiP2

Cette expression est s y m 6 t r i q u e et ello coincide a v e c la f o m u l e 616mentairo d e n t M. Monger 5) s'est servi p o u r d6finir la courburo do trois p o i n t s d ' u n ospace distanci~. 1 . 3 . Soit m a i n t o n a n t To ma p o i n t d ' a c c u m u l a t i o n do l'espace E . E n v i s a g e o n s l'oxprossion K(po, P l , . . . , P,+I) p o u r t o u t systSmo do n + 2 points Po, P l , . . . , P~-I de E ot p o u r t o u t sons de parcours do cos points p o u r lesquels K(P0, P ~ , . . . , P~+I) existe. Adme~tons encore l'existence de la limite e) K,(p0)-~lim K(po,p~,...,p~+~)

(i=l,2,...,n+

1) .

(2)

4) Cette condition ~luivaut, dans un espace euclidion, ~ la condition que, ni los points ..... Pn+l, ne soient pas situ~s dans un hypcrplan (n--1)dimensionnel. 5) Monger, 10. 6) La restriction engendr6e par la condition clue la limita de K(Po, Pl, ..., 9n+x) existe pour tout sons de parcours du sys~ma de n + 2 points Po, 91,--., Pn+t disparalt, s'il s'agit d'une courbe de la g6om6trie infinlt6simale classique; car, dans ce cas, tout sons de parcours ~quivaut, comme nous ]e verrons, au sons de parcours natural de la courbe consid6r6e. Po, Pl . . . . . Pn, ni P l , P l

259

Nous appellerona ~(P0) la n-i~me courbure lindaire de l'ezpace E a u p o i n t Po. L o point P0 joue dana cette ddfinition de la n-i~me courbure lin6aire un rSle partieulier. Pour le faire disparaitre, on peut introduire u n e n-idme courbure lindaire de seconde esp~ce, on posant K~(p0) = lim K(pl,p2,...,p~+2) pi-)-la

(i ~-- 1,2 . . . . . n + 2)

(2*)

o

oh rexpression K(p~, p~, ..-,P,+2) est h former pour tout syst~me de n-~ 2 points de E et pour tout sells de pareours de ces points pour lesquels ~ (p~, P2, ..., P,+~) existe. 1.4. La premi6ro eourbure lin6aire /el(P0) est identique avec la courbure d'arc de M. AltT), tandis ClUe la premi6re courbure lin6aire de soconde esp6ce ~*(Po) so r6duit k la d6finition de la courbure d'arc de M. Mengor8). Pour n == 2, on a D ( p ~ , p~) -=- 2(ptp~) 2, par suite

~ (Po , Pl , P2 , P3) -

I81D(p0,Pl,P2,P3) I P2P3 1/ V Pl P4 [n ( p o , Pl , P2)" D ( p l , P2 , Pa) I

Les seeondes eourbures lin~aires K2(Po) et K~(p0) se r~duisent done aux expressions par lesquelles l'un des auteurs 9) a r~ussi h d~finir la torsion des espaces distanei~s. 1.5. Dana l'espaee euclidien k-dimenaionnel E~, le sena g~om~trique des courbures lin~aires est bien plausible. En effet, n dtant ~ 1, tout syat~me de n ~ 1 points ql, q~,..., q.+~ de l'espace E~ ddtermine un simplexe n-dimensionnel a y a n t pour sommets les points q~, q~ . . . . . q,+l. I)~signona par V ( q l , q~ . . . . . q~+l) le volume de ce simplexe et posona, pour n ~- 0, V (ql) ~ 1. Alors, les d~terminants figurant dana la d~finition de ]a n-i~me courbure lin~aire se laissent representer par l'interm6diaire des hombres V (ql, q~. . . . . q~+l), puisqu'il est connu que D (q~,q2 . . . . ' q"+l) ~

(-- 1)~+1 [ V ( q ~ , q ~ , . . . , q n + ~ ) ] "~. 2"(n !)3

Dana respaee E~, l'expression K(p 0, Pl . . . . , P~+I) peut done s'~crire sous la forme suivante:

(n § 1)~ K ( T o , P l . . . . . P,+I) -~ n . PoP,+I

9

V ( p o , p ~ . . . . . pn§ 9 V ( p l , p , . . . . . p~) V ( p o , P l , . . . , P , ) 9 V ( p l , p 2 . . . . , P,+I)

,

(3) v) A/S, 4.

260

s) Menger, 10.

o) Alezits, 1,2.

Par consdquent, les courbures lin~aires K, (Po) et K: (P0) se r0iuisent, dans les espaees euclidiens, aux expressions par l'interm~diaire desqueUes Fun des auteurs 1~ a d~fini la n-i~me courbure d'un are euclidien. 1.6.

Soit P~, n+~ l'hyperplan n-dimensionnel passant par les points

p~, p~+~. . . . . p~+~ et ddsignons par P~,.+~P~, .+~ l'angle1~) des hyperplans P~,,+~ et P~, ~+~. I1 est connu~) que / ~

n -~- 1

sin P o , ~ P ~ , ~+~ ---- ~

V(p0,P~,...,Pn+I)"

V(po, Pl,...,

V ( P l , P ~ . . . . ,]0n)

Pn) "V(PI,P2," " ", Pn+l)

'

pourvu que V(po, P l . . . . . p , ) ~ 0 ~ V ( p l , p , . . . . , P,+a). On obtient par suite, en vertu do la relation (3): //~ K (P0, Pl,''',

Pn+l) =

(n + 1) sin Po, . P l , n+l P0 P~+I

(4)

1.7. Le sens g6om6trique de la n-i~me courbure lin6aire s'approehe encore des notions habituelles de la g6om6trie infinit6simale, si l'on suppose que E est un arc situd dans l'espace E k et repr6sent6 par k fonctions de la longueur s de l'arc E. D6signons, en effet, par ~ l'angle de deux hyperplans osculateurs n-dimensionnels de E, Fun appartenant au point Po, l'autre s un point voisin de P0. I1 est ais6 de d6montrer ~a) que, E 6tant un arc (n ~- 1)-fois ddrivable, on a (n~- 1) lim sin Po,,P~,~+~ _ d~ Pi-~Po

PO pn+l

--

(i~---1,2,... n-~l)

ds

'

'

quel que soit l'ordre dos points P0, P~, -.., P~+I; par consequent, d~ ~ (P0) -ds lo) EgervSry, 6. 11) D~signons dans l'espaee Ek p a r xl~v ( a = 0, 1. . . . . n ; ~ = 1, 2 . . . . . ~) les coordonn~es de n -{- 1 points d~terminant u n h y p e r p l a n n:dimensionnel P et p a r yl~v les eoordonn~es d ' u n a u t r e syst/~me de n -~- 1 points d~terminant un h y p e r p l a n n-dimensionnel Q. Nous d6finissons l'angle ~ des h y p e r p l a n s P e t Q p a r la relation cos ~]

Darts l'espaee (n-}- 1)-dimensionnel, l'angle y se r~iduit k l'angle 616mentaire des normales de P e t Q. Cette d~ifinition de l'angle ~ r e m o n t e k Kroneeker. Voir k ee sujet H.Ki~hne, 7.

13) Meyer, 12.

la) EgervSry, 6.

261

L a notion de n-i~me courbure lindaire gdn6ralise donc les notions in/initdsimales de courbure et de torsion d' u n arc euclidien.

w 9. Propri~t~s g~n~rales des courbures linbaires 2.1. Un espace semi-distanci6 est compact, si route suite infinio de sos points poss~de u n point d'accumulation. U n ospace distanci6, connexe et compact, c o m p r e n a n t plus d ' u n point, s'appelle u n continu. Si t o u t voisinage d'un point arbitraire du continu E contient u n voisinage connexe, on dit que E est localement connexe. Introduisons pour u n m o m e n t l'expression de continu n lois courbd p o u r un continu a y a n t la propri6t6 que t o u t syst~me d e n + 2 de ses points, Po, Pl . . . . . p,+l, situ6s dans u n voisinage sufiisamment petit, air nile courbure linCaire K(P0, Pl . . . . , P~+~) p o u r au moins u n sens de parcours14). Apr~s ces d6finitions, nous pouvons dnoncer le thdorCme suivant~5): S i E est un continu localement connexe, n ]0i8 courb6 et ayant h tout point p une n-i~me courbure lindaire ~ ( p ) , alom K,~(p) eat une ]onction de Baire de prerai~re classe au plus. E 6rant u n continu localement connexe, fl existe, grace s u n th60r~me de H a h n et M. Mazurkiewicz~e), une correspondance univoque et continue ](x) t r a n s f o r m a n t le segment 0 ~ x ~ 1 dans le continu E. A un point arbltraire P0 de E , il correspond donc au moins uno valeur 0 g x 0 ~ 1 telle que P0 = [(x0). Choisissons les points Pl, P2, -.., P~+I de sorte que t

p,----- /.(x 0 + ~--~,v / i = 1, 2 , . . . , n + 1, oh v d6signe u n entier positff arbitraire. Lo diam~tre du syst~me de n + 2 points P0, Pl, . . . , P,+~ devient tr~s petit, si ~ devient assoz grand. E n p r e n a n t d o n c v suffisamment grand, la courbure lindaire K(P0, P l , . - . , P~+I) existe pour u n sens de parcours au moins, puisque E est, d'apr~s l'hypoth~se, u n continu n fois courb6. Posons ~ ( p 0 ) - - ~(p0, p~ ..... p.+~) (5) Comme p ~ = J

x 0 + - ~- , la fonction 9~(P0) ne dgpend que d u point

P0 = ](x0). On voit t o u t de state que ~%(p) est tree Ionction continue en t o u t point p de E . E n effet, il r~sulte de la relation (1) que, p~, p/~, . . . , p~+t e t ps p f . . . . . P~+l 6rant d e u x syst~mes de n - l - 2 points de E, la diff614) Cette condition ~ q u i v a u t dans l'espace euclidien k la condition q u e n + 1 p o i n t s a y a n t u n diam~tre s u f f i s a m m e n t petit ne soient p a s situ6s dans u n h y p e r p l a n (n - - l)dimensionnel. 15) P o u r n = 2 voir Alexits, 2. le) Voir p. ex. Menger, 11.

262

!

rence IK(p~, p; . . . . . p~+,) K(p~r,P~~r. . . . . P~+I)] tr devient arbitrairement petite, p o u r v u que les points p~ et p~ soient assez voisins. Mais, il s'ensuit, en v e r t u des relations (2) et (5), que -

-

~ (p) = lira ~ (p) ; p a r suite, K~(p) ~tant dans l'espace distanci~ E la limite d'une suite de fonctions continues, elle est une fonction de Baire au plus de premiere classe; c. q. f. d.

.~. Si E est un espace distancig ayant partout une n-i~me courbure lindaire de seconde esp~ce K*n(p), alors Kn*(p) est une /onction continue dans l'espace E17). T o u t o fonction ~tant continue on un point isol~ de l'ospace, nous n'avons qu'h envisager les points d ' a c c u m u l a t i o n de E. Soit done p u n point-limite d'uno suite de points p(z), p(2) . . . . . p(*), ... do E. I1 existe, on vortu de la relation (2"), p o u r t o u t n o m b r e e > 0 u n 8 > 0 tel que

f =*(p,t) _ =(pl,), pl,)...,~=+~jj <.(,),

Y=,

p o u r v u que les distances des points p~.i) a u poin~ p(~) restent inf6rieures a u h o m b r e ~/2. Mais, p o u r un i suffisamment grand, on a pp(~) < ~[2. I1 s'ensuit donc, d'apr~s l'in6gmlit6 triangulaire, pp(~)< 6. P a r cons6quent, si ~ > 0 est u n n o m b r e suffisamment petit, on obtient

I ~*(p) -- ~(pl '), pi~), 9 9 9 ~+~,~('~, ~ < -~ ," p a r suite:

I K*(p) -- K:(p(~)) I < ~ , e. q. f. d. 2 . 3 . Quant a u x deux d~fmitions diff~rentes (2) et (2*) de la n-i~me eourbure lin~aire, nous allons voir que leur difference n'est pas essentielle; car K*(T) est, pour ainsi dire, la forme continue de ~ ( p ) . Nous ddmontrerons ~ cet ~gaxd le th~orSme suivant:

La condition ndcessaire et su//isante pour que l'espace distancid et compact E sit partout une n-i~me courbure lindaire de seconde esp~ce K*~(p) est que K,, (p) existe et soit continue en tout point de E. L a ngcessitd de notre condition est ~vidente, puisque l'existence de K*(p) entralne cello do Ks(p) et, K*(p) ~tant continue d'apr~s 2 . 2 , 17) Ce th~or~me a 6t~ d~montr6, pour n = 1, par Alt, 3, et, pour n = 2, par Alexita, 2. 263

Ks (p) ~ K~*(p) l'est aussi. P o u r d 6 m o n t r e r la suffisance, nous avons besoin d u lemme suivant : S i ~ ( p ) est une /onction continue dans E, il existe pour tout nombre e > 0 un 8 > 0 tel que I ~.(po) -

~(po,

p . . . . , ps+~)I<

inddpendamment du choix du point Po de E , pourvu que ~(Po, Pi, . . . , Pn+l) existe et que los distances PoPr ----- 1, 2 . . . . . n + 1), restent in]drieures ~ & A d m e t t o n s que notre lemme soit f a u x et nous en ddduirons une contradiction. Envisageons, ~ cot effet, d e u x syst6mes de n + 2 points: P0, Pt, . . . , P~+~ et q0, qi, . . . , qs+~. On pout indiquer p o u r t o u t e > 0 u n 8(Po, P~ . . . . , p,+~), d e n t la valour d6pend gventuellement du choix des points Po, Pi . . . . . p,+~, do sorto quo l ~(po, p~ .....

p.+~) -

~(q~, q~ .... , q~+~) I < ~,

(6)

p o u r v u que pjq~ < 8(po, P i , . . . , Pn+i)" Si, comme nous l'avons supposal, n o t r e lemme ~tait faux, il existerait u n e suite {p(oO,p~i) . . . . . p(t~l } do syst6mes de points tels que p(o~ i) < 1/i et I Ks(p")) -- ~(p(o ~), p~O,.

9 ", +~.) 's+l]

~ I >+ _

3 e ,

(7)

quelque p e t i t que soit Io n o m b r e e > 0 donn6 ~ l'avanco. L'espace E dtant compact, on pout supposer sans restreindro la g6n6ralit6 que ts) la suite des points pgi), pga), . . . , pgi) . . . . converge vers n n point-limite Po- On pout done p r e n d r e Po P(oi)< ~ ; il en rdsulte, si ~ > 0 est u n n o m b r e assez petit : I Ks (p0) -- ~ (p(o~)) 1 < ~ 9 (8) L a dgfinition (2) de Ks(p0 ) entraine l'existence d ' u n n o m b r e ~ > 0 tel que, pour PoPJ < ~}~, on air I K.(po) -

K(p0, pl, ..., p.+~) I < ~ 9

(9)

Choisissons m a i n t e n a n t l'entier i de sorte que 1 ]i reste inf6rieur au plus p e t i t des trois n o m b r e s positffs 81, (~., (~(Po, P l , - . - , Ps+l), et que pop~ < i/i, p~p~')< i/i, p(o')p~ ') < :/i. I1 on r6sulte pjp~.O < ei(po,Pi . . . . , Ps+l) 9 la) Si la suite p(o1), p(02). . . . . p(oi) .... suite partielle convergente.

264

n'est pas convergente, on on petit exr

une

On voit donc que, m6me en choisissant les points figurant aux in~galit4s (7), (8) et (9) de sorte que leurs distances satisfassent aux susdites conditions, les relations (7), (8) et (9) entralnent n~cessairement l'in~galit~ I g(T0,Pl

,

""

-, T n + l ) - -

g ( P ( i ) , T i I),

"

"

",

a~(i) k ' n + l )1 > E ,"

ce qui est en contradiction a v e c l a relation (6), et la d~monstration de notre lemme est achev4e. Passons m a i n t e n a n t ~ la d~monstration de la suffisance de notre condition. Envisageons, ~ ce but, un syst~me de n ~- 2 points T1, P8 . . . . , Pn+2 d e n t chacun a une distance inf~rieure ~ ~ ~ 0 du point T0 arbitrairem e n t choisi. Si ~ ~ 0 est suffisamment petit, il r~sulte de notre lemmo que I Kn ( P l ) - -

K (T1,

T 2 , . . . , Tn+2) I < ~ ,

quelque petit quo soit e > 0 et inddpendamment du choix des points T1, P2 . . . . , p~+~. Comme K. (p) est une fonction continue do T, on obtient I ~ (P0) - - ~ (P~)l < - ~ ,

pourvu que ~ > 0 soit suffisamment petit; par consequent l~n(po) - ~(P~,

T2 . . . . , P~+~) l< ~ 9

Nous avons donc d4montr6 que, les points P~, P~, . . . , P,+2 4rant situds dans u n voisinago suffisamment petit du point P0, leur courburo lin~aire diff@re tr@s peu de ~(P0). Cette proposition ~quivaut, d'apr~s (2"), h l'existence de K~(p0) * ~- K~(p0); c. q . f . d .

w 3. Propri6t~s des continus euclidiens dou6s d'une n-i~me courbure lin6aire 3 . 1 . Soit dans co paragraphe E un sous-ensemble de l'espace euclidien k-dimensionnel E~. On appelle g4n4ralement voisinago du point T0 de E u n sous-ensemble ouvert U de E~ auquel To est int~rieur. Mais, pour simplifier les notations, nous appeUerons voisinage de p, et nous d~signetons par U (P0), l'ensemble des points communs de E et U. Si l'ensemble E de E~ Toss,de au point To une n-i@me courbure lindaire, aucun voisinage de P o n'est contenu dans un hyperplan (n -- 1)-dimensionnel de E~. E n effet, si U(po) ~tait un voisinage de P0 situ@ clans u n hyperplan (n -- 1)-dimensionnel, le volume V (To, Pl, . . . , Pn) du simplexe n-dimen265

sionnel d6termin6 p a r les points P0, P l , - . . , P~ s'6vanouirait. On ne pourrait donc a t t r i b u e r u n e courbure lin~aire K(po, Pz . . . . . P~+z) a a u e u n systgme de n + 2 points P0, Pl . . . . . P~+I situds dans U(p0), parco que le d6nominateur de la fraction figurant dans la d6finition (3) de cette expression s'dvanouirait. P a r suite, la n-ibme courbure lindaire K~(p0 ) n'existerait pas non plus, contrairement k notre hypothgse. 3 . 2 . U n sous-ensemble E de E k possgde el1 son point d'accumulation P0 u n h y p e r p l a n osculateur n-dimensionnel, si t o u t h y p e r p l a n n-dimensionnel passant par n + 1 points Pl, P2, . . . , Pn+~ arbitraires de E t e n d vers u n seul h y p e r p l a n n-dimensionnel, lorsque Pi, P, . . . . . p,+~ t e n d e n t sur E ind~pendamment vers P0-

Si le continu E de E~ poss~le en son point Po une n-i&ne courbure lin~aire /inie K~(Po), il y poss&ie aussi un hyperplan osculateur n-dimensionnel. I1 existo, d'apr6s 3 . 1 , dans t o u t voisinage U(po) de Po n + 1 points Pl, P~ . . . . . p~+~ de E qui d6torminent e x a c t e m e n t un h y p e r p l a n n-dimensionnel P~,n+~. Nous avons ~ d6montrer que P~,,+I t e n d vors uno position-limite. A u c u n voisinage de Po n ' 6 t a n t situ6 dans un h y p o r p l a n (n - - 1)-dimensionnel, on pout parvenir -- s'il le faut p a r u n petit d~placomerit dos points p~, P2 . . . . . p~ -- ~ co clue los n + 1 points Po, Pi, -.., P~ d~torminent aussi e x a c t e m e n t un h y p e r p l a n n-dimonsionnel P0,~.

/\ L'angle Po,~ P~,~+~ ost done d~fini; on en obtient d'apr6s (2), (3) et (4):

/\ (n + 1) lim sin P o , n P t , n + t ~_ ,r p~+po P0 P.+I

/\

Or K~(P0) 6tant u n n o m b r o fini, il en r6sulto Po, ~ Pi, ~+i-+ O; co qui 6quivaut g n o t r e proposition. 3 . 3 . Si le continu E de E~ poss~le ~ son point Po une n-i~me courbure lindaire de second esp~ce K*(po) -7l=-O, il existe un voisinage U (po) de Po tel que tout hyperplan n-dimensionnel air au plus n + 1 points communs avec

U (po). A d m e t t o n s , en effet, quo no~re proposition soit fausso et nous en (16duirons une contradiction. Soit donc U,(po) u n voisinage de Po d e n t le diamStre est < 1/i. I1 existe, d'apr6s l'hypoth6se, n + 2 points pt, p , . . . . . p~+, de Ui(po) situ6s dans u n h y p e r p l a n n-dimensionnel. P a r u n petit d~placement 6ventuel des points p~, p , . . . . . p~+,, on p e u t parvenir ~ ce que les hyperplans n-dimensionnels P~, ,+1 et P , , .+, aient u n angle aussi 266

peu diff6rent de z6ro que l'on rout. Plus pr~cis$ment, on peut choisir Pl, P 2 , - - . , P,+~, tout en restant duns le voisinage U(po), de sorte que //~ p, p~+~ sin PI,~+~ P2.,+2< i On ell tire done, d'apr~s (2), (3) et (4): K*(p0)= (n + 1) lira ~-~r

sin P1,n+lP~,n+~ Pl Pn+2

-- 0 ,

contrairement g notre hypoth~se. C'est la contradiction almoncde. 3 . 4 . S i l e continu E situd clans l'espace E~+I possh~e en tout point p une n-i~me eourbure lindaire continue Ks(p) -Ta O, alors E est un continu locale~ ment connexe ddcomposable en une in/initd ddnombrable d' arca 19) rectifiables deux quelconque8 d'entre eux ayant un nombre /ini de points communs. La fonction K. (p) ~tant continue, ~n*(P) existe, grace au th6or~me ~. 3, en t o u t point p do E ; on a done p a r t o u t K~(p) = ~%(p) :/: 0. Par cons6quent, il correspond, d'apr~s 3 . 3 , k chaquo point p un voisinage U (p) tel que t o u t hyperplan n-dimensiomlel air au plus n + 1 points communs avee U (p). La somme de tous los voisinagos U (p) est le eontinu E ; m a i s d'aprds lul th6or~mo colmu do MM. Borel et Lobesgue*~ on pout extraire de cette infinit6 do voisinages un nombre fini, par exemple les voisinages U(pl), U(p2) . . . . . U(p,), do sorto quo E soit eontenu clans la somme U (pl) + U (p,) + ... + U (p,). Alors, chaque hyperplan n-dimensionnol a y a n t au plus n + 1 points eommuns avee U (p,), le eontinu E n'a done pas plus de k (n + 1) points communs avec u n hyperplan n-dimensiolmel quoleonque. Notre th6or~me est par suite une cons6quence imm6diate d ' u n th6ordme ~1) eoncornant los sous-eontinus do En+ 1 a y a n t au plus un nombro fini do points communs avec tin hyperplan n-dimensionnol arbitrairo

do E~+I. 3 . 5 . Si le continu E situg dana l'espaee E 3 poss~de en tout point p une deuxi~me courbure lindaire continue K2(p) :/: O, alors E est un arc recti/iable ou une image homdomorphe de la circon[drence. On volt d'abord que K*(p) = K,(p) v~ 0 ; il correspond done, d'apr~s 3 . 3 , g t o u t point p de E l m voisinage U(p) n ' a y a n t pus plus de 3 points eommuns avec un plan queleonque. Mais E est, d'aprSs 3 . 4 , un eontinu 19) Nous appelons tout image hom6omorphe du segmen~ un arc. 2o) Voir p, ex. Menge~, 11. ~1) Marchaud, 9. 267

localement connexe; U(p) contient p a r suite un voisinage connexe U* (p) d e n t la f e r m e t u r e ~2) U* (p) est aussi contenue d a n s U (p). U n plan quelconqne a donc a n plus 3 points communs avec le continu U* (p). I1 on r~sulte, on v e r t u d ' u n th~or~me de M. Marchaud~), que ~ (p) cst u n arc rectifiable. T o u t point de E est donc contenu dans u n voisinage qui est u n arc, E est donc lui-m~me u n arc ou une image hom~omorphe de la circonfSrence~). De plus, E ~tant contenu, d'apr~s le th~or~me de MM. B e t e l et Lebesgue, dans u n n o m b r e fini de U* (p), E est rectifiable et n o t r e proposition est enti~rement d~montrc%. 3 . 6 . I1 est r e m a r q u a b l e que, s i n ~ 1, on n ' a pas besoin de so restreindre a u cas KI(P) ~: 0, puisqu'il est connu que, si E est u n continu euclidien a y a n t p a r t o u t une premiere courbure lingaire K1 (p), E est u n arc~5). Mais, s i n ~ 2, la restriction Kn (p) :~ 0 est essentielle; car u n continu a y a n t part o u t une courbure lin~aire K~(p) -- 0 n ' e s t pas toujours la somme d ' u n e infinit~ d~nombrable &arcs; au contraire, il peut arriver q u ' u n tel continu contienne m~me u n simplexe n-dimensionnel. L a raison en est claire apr~s avoir consid~rg le thgor~me suivant:

E dtant un continu euclldien quelconque et Po un point de E tel que Po ait un voisinage U(po) situd dan8 l'espace E~, mais qu'aucun voisinage de Po ne soit contenu dan~ un hyperplan ( n - 1)-dimensionnel de En, la n-i~me courbure lindaire K.(po ) existe et est dgale ~ zdro. Aucun voisinage de P0 n'~tant situ~ dans u n h y p e r p l a n {n -- 1)-dimonsionnel, il existe dans t o u t voisinage de P0 un syst~me de n-}-2 points P0,Px, ...,P~+I de sorte que, ni Po,Px, . . - , P ~ , ni PI, P~, ...,P~+~, ne soient situ~s clans n n h y p e r p l a n ( n - 1)-dimensionnel. Les simplexes n-dimensionnels d~termin~s p a r ces d e u x syst~mes de n + 2 points o n t donc des volumes positifs V(p0, PI, ..., P~) et V(pl, P2 . . . . . P~+I). L e d~nominateur de la fraction figurant dans la d~finition (3) de K(P0, Pl, ..., Pn+l) est donc different de z~ro. Quant au num~rateur, il est ~videmment z~ro, si l'on prend P0, Pl . . . . , p~+~ dans le voisinage U(po) de P0, parce que U(po) est situ~ clans l'espace E~+ 1. On a donc K(p0, p~ . . . . , p~+~)= 0 pour t o u t syst~me de n + 2 points suffisamment voisins do P0 p o u r lesquels K(p0, Pl, ..-, Pn+~) existe. I1 ell r~sulte, d'apr~s (2), ~ (P0) = 0 ; c. q. f. d. is) On appelle fermeture d'un ensemble A la somme de A et de l'ensemble de ses points d'accumulation. u) Mo/rc,haud, 9. 24) Menger, U . ~) Pauo, 14. 268

w 4.

lin6aires des

Les courbures

arcs euclidiens

d6rivables

4.1. Soit clans co paragraphe E un arc rectifiable, situ6 dans l'espace E k et repr6sentons les coordonn6es des points de E par les fonctions continues Xl :-= X1(8)' X2-~- X2(8) . . . . . ~k = Xk(8) oh le paramgtre s d6signe la longueur de l'arc E. Admettons encore que les fonctions xv(s ) sont n-lois ddrivables au point s = s o e t posons pour abr6ger

x~ )

[ di x~ ,~

I,

X l l X12 9 , . i l n

G~:

X21X2~-..X2~ X~I X.2

9 9 9 X~.

D6signons par p, le point de E dont los coordonn6es sont x~ = x , ( , , ) , x~ = x , ( 8 , ) . . . . .

x~ = x ~ ( , , )

et supposons que P0 soit un point r6gulier de E. Nous entendons par l& que G~ ~ 0 pour s----so. I1 est connu que le carr6 du volume V (P0, Pl . . . . . p~) du simplexe n-dimensionnel ayant P0, Pl . . . . . p~ pour sommets est ~gal, dans l'espace E~, & la somme des carr6s des volumes de ses projections orthogonales sur les ( : ) h y p e r p l a n s n-dimensiommls x

/

d6terminSs par les axes des coordonn~es. Par cons6quent

x~(So) x~(8o)...x~(So) 1 l ~ E

XVI(81) Xvil(81)...Xyn(Sl)

1

(v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i V ( p o , P l , . . . , P n ) 1~

f

(Li)

t =-- (n!)~

80

80

9

80

t

9

]

n it--1 81 8t 81 1 n ~--I . . . I , ~ 1 7 6 1 7 6 1 7 6 1 7. .6. 1. 7 6,1 .7~61 7 6 1 7 6 n

sn

n~l

Sn

...

sn

(Io)

1

oil nous avons d6sign6 par p~p~ la distance euclidienne des sommets p~, pj de ce simplexe. 269

4 . 2 . S i lea (n + 1)-i~mes ddrivdes des ] o n a i o n s xi(s) existent a u p o i n t s = s o e t Po est u n p o i n t rdgulier de E , alors E T o s s ' d e en Po u n e n-i~me courbure lindaire. L ' e x i s t e n c e d e l a n - i g m e d 6 r i v d e d e s f o n o t i o n s x i ( s ) a u p o i n t s = So entraine, grace hun thdor6me de Sehwarz-Stieltjes26), la relation suivante:

x~(So) z~(*o)...x~n(So) 1 ~176 ........

l!2!...n!

~176176176176176176

x~,(s0) x~,(So) . . . x~(So)

lim

s no

8~--1 . . .

n

8~--1

81

.

9

so

1

81

]

.

.

.

.

.

.

.

.

(n)

.

.

.

.

~

1

7

(n)

6

1

7

6. ~

1

7

(n)

] Xv, (80) Xv~ (8o) . . . Xv~(8o)

~176176176176176176176176176176176176176 n

n--1

sn

sn

...

sn

1

La rectifiabilit6 de l'arc E entraine

lim

II

] s i -- s s ]

St,sj--~S 0 (i,j)

~i

~j

O n o b t i e n t d o n c , d ' a p r ~ s (10), l a r e l a t i o n s u i v a n t e :

l(nl)2]~limvi-,-pol V(p~

[l!2!'"(n--1)

I~-(i,j)

9 '~ (~o) ~'~. (~o)...~'~. (~o) If

Y, (v)

f!

Xn XI~ ... Xln

Y

x ~ (s0) x ~ (So)...x~,~ (s0) .

.

~

1

7

6

1

7

6

1

7

6 ~

1

7

6

1

7

6

1

7

6

1

X21 X22 . .. X 2 n 7

6

1

7

6

1

. . 6. . . . ~

7

X~I X~

....

= (7~.

(11)

. . . X~

Introduisons pour un moment l'abr6viation IIa,,~.= II a l o r s o n p e u t 6 e r i r e e n v e r t u d e l a r e l a t i o n (3) : ~
p~pj;

16) ~t/eZtjes, 16. La d6monstration de notre th~orbme ne fair usage du passage k la limite que dans cetts relation de Schwarz-Stieltjes. Mais cetts relation est ind6pendante (~qt~e/O'es, 16) du sens de parcoure des points (xx(si) , x2(sl) . . . . . xk(si) ). II n'est donc pas n6cossaire de supposer que l'ordrc de cos points soit 6tabli par le rangemcnt croissant ou d6croissant dos valeurs so, s 1. . . . , an+ 1 ; ce que justifie notre remarque ant6rieure, faite dans la note 6), d'aprbs laquelle l'existence de la limits (2) pour tout sens de parcours dos points Po, Pl . . . . . Pn+x n'ost pas une condition restrictive, lorsqu'on se borne aux arcs consid6r6s darts la g6om6trie infinit6simale. 270

6

V(po,pl . . . . ,p,+O ff ( P o ' P l , " " ", P n + i ) :

V(p~,p,,...,p,)

( n + 1) 2

//o,n+~

/'/'l,n

n

V(po,p~,...,pn)

V(p~,p~,...,p~+O

l~O,n

H1

,n~ul

I1 en r~sulte d'apr~s les relations (2) et (11) :

K. (P0) =- 1/(7~+1" G._~ G~ Le point Po ~tant r~gulier, cette relation pronve l'existence de ~ (P0); ce qui ~tait justement notre proposition. 4.3. I1 est remarquable que M. Blaschke27), ayant ddfini la n-i~me courbure d'un arc d'une mani~re tout s f a r formelle comme les coefficients des ~quations gdn~ralisdes de Frenet, a obtenu la valeur l/Gn+l 9Gn-1/Gn. La n-i~me eourbure lin~aire ~n (P0) d~finie par une voie purement gdom~trique coincide donc dans le cas special des courbes euclidiennes d~rivables avec les courbures formelles de M. Blaschke. La notion de n-i~me eourbure lindaire permet alors de g~ndraliser les ~quations de Frenet. D~signons, & cet effet, par v i le vecteur unitaire du i-i~me axe du rep~re mobile et posons 1/~i ---- xi (Po); alors dvl ds

v~ ~

d~'2

v1

~

. . . . . . . . . . . .

d~'i

--

,..~

. . . . . . . . . . . . .

v3 . . . . . . , .

.....

~i--1

~ . . . . . . . . .

~

....

,~

. . ~ -" V_i +_l

, . . . . . . . . . . .

den ds

Vn-1 ~-1

4 . 4 . Si les (n ~-1)-i~mes ddrivdes des ]onctions xi(s) existent clans u n voisinage de 8 = 8o et 8i elles sont continues au point 8 = a o, alor8 E po88~de au point rdgulier Po une n-igme courbure de 8econde esp$ce K*(p0)"s). La d~monstration de ce th~or~me est tout & f a r analogue k la d$monstration du th~or~me precedent; il suffit m~me d'appliquer, au lieu de la relation Schwarz-Stieltjes, la relation originelle de Schwarza*). s~) Blaschke, 5.

gs) Egervdry, 6.

zo) ~r

15. 271

4 . 5 . L e th~or~me 4 . 2 nous assure clue la notion de n-i~me c o u r b u r e lin~aire n ' e s t p a s moins g~n~rale clue les diff~rentes notions de n-i~me courbure prises a u sens classique de la g~om4trie infinitdsimalea~ Mais, la n-i~me c o u r b u r e lin~aire p e u t exister m ~ m e q u a n d a u c u n e m d t h o d e infinit~simale n ' e s t applicable. E n v i s a g e o n s p a r e x e m p l e u n arc p l a n y --~ I ( x ) t e l que ](x) n ' a i t nulle p a r t u n e de'rivc~e. L a deuxi~me c o u r b u r e (torsion) de cet arc ne p e u t ~tre d~fmie p a r voie infinit~simale, tandis que les 2-i~mes courbures lin~aires K~ip) et ~* (P) sont p a r t o u t ddfinies, puisq u ' o n a, d ' a p r ~ s 3 . 6 , ~ ( P ) -~ ~ (P) -----031) 9 I1 f a u t p o u r t a n t r e m a r q u e r que, s i x . (p) r 0 en t o u t p o i n t d ' u n arc euclidien E , il semble que E satisfait k certaines conditions de dgrivabilitd. Mais, j u s q u ' k p r e s e n t , rien n ' e s t connu h cet ~gard, except~ le cas oh n ~ 1. D a n s ce c a s , on connalt les th~or~mes s u i v a n t s : 1. Si E est u n arc p l a n represent4 sous la f o r m e y ~ / i x) et s'il poss~de au p o i n t Po ~-- ](Xo) une p r e m i e r e courb u r e lin~aire de seconde esp~ce, a l o r s / ( x ) a d m e t au p o i n t x -----x0 u n e d~riv~e seconde32). 2. Si, a u lieu de ~*(P0), on n'exige que l'existence de ~1 (T0), la seconde d~rivde de f (x) n ' e x i s t e p a s toujours, m a i s la fonction f(x) a d m e t u n e d~riv~e seconde gtn4ralis~e3~); c'est ~ dire la limite suivante:

lira

2

[./(xo + h,) - - / (Xo)

a~ ,~2-,-o h i - - h~ [

/ (zo +

h1

/ (xo) 1 h~

J

w 5. Propri6t~s des ares b eourbure lin6aire nulle

5 . 1 . N o u s a v o n s v u a u n u m ~ r o 3 . 6 q u ' u n c o n t i n u E situ$ d a n s l'espace E n a p a r t o u t u n e c o u r b u r e lin~aire K~(p) -~ 0, ~ moins q u ' a u c u n de ses sous-ensembles o u v e r t s r e l a t i v e m e n t ~ E ne soit situ~ d a n s l'espace E~_]. P o u r u n e classe i m p o r t a n t e de continus euclidiens, on p e u t d~m o n t r e r aussi le th~or~me inverse:

S i E est u n arc recti/iable situd clans u n esl~ace euclidien quelconque et tel que K.(p) ---- 0 d tout point p de E, alms E est Tlongddans u n hyperplan n-dimensionnel de l'espace considgrg34). ao) En parlant do n-ibme courburo au sons jnAnit~simal, on peut bien so borner attx c a s n = 1, 2 ; car, pour n ~ 3, la th4orie classique de la n-i~me courbure n'a jamais ~t~ d6velopi~e d'une manibre satisfaisante. Voir p. ex. Egervdry, 6.

ax) Voir ~ ce sujet: Alexit~, 2. a2) Haupt et Al~, 7. u) A/~, 4 et Pauc, 18. u) Premibre d6monstration do oo th6orbme, pour n -- 1, chez Menger, 10 ; pour n = 2, chez Alezits, 1, 2. 272

D6signons par p, q d e u x points arbitraires de E et p a r p--q leur distance euclidienne. Interealons entre p e t q les points p ~ P0, Pt . . . . . P~+n+l ~ q de l'axc E. Posons pour abr6ger ~ (p, q) --= Max {P0 P t , P t P 2 , . . ., Pk+,~ Pk+,,+l } et ehoisissons lea points pt, p~ . . . . . P~+n de sorte que u~(p, q) t e n d e avee 1/k vers zdro; c'est-~-dire que, ~ :> 0 ~tant un n o m b r e aussi petit que l'on veut, fl existe u n k~ > 0 tel que 8

~,~(p,q) < - -

(k > k~) .

n

On d~duit de cette relation que la distaaxce des points p~, p~ ( i ~ 0 , 1 . . . . k ; j - - - - i q - 1, i - } - 2 . . . . . i q - n q - 1) peut s'~valuer pax l'in6galit6 j-t p~ p; _-< Z p~ p~+~ _--= k , ) . (12) Nous avons suppos~ que E poss6de en t o u t point une n-i6me courbure lin6aire. I1 en r6sulte d'apr~s 3.1 q u ' a u c u n des sous-ensembles relativem e n t ouverts de E n'est plong6 dans u n h y p e r p l a n (n -- 1)-dimensionnel. P a r consequent, on p e u t choisir les points p~, P2 . . . . , p~+n de sorte que, pour t o u t i ---- 0, 1, . . . , k, les n + 1 points p~, P~+I . . . . , P2+, ne soient pas situ6s dans u n h y p e r p l a n (n -- 1)-dimensionnel. Alors le d6nominat e u r de la fraction qui figure dans la relation (3) ne s'6vanouit pas; c'est-h-dire que l'expression K(p~, Pi+t . . . . , P~+,+I) p e u t ~tre d~finie p o u r t o u t i ---- 0, 1, . . . , / c . D'apr6s l'in~galit6 (12), les distances entre le point p~ et les points P~+I, Pi+~, .-., P~+.+~ deviennent aussi petites que l'on veut, p o u r v u que /r soit suffisamment grand. Los conditions du lemme d e n t nous avons fair usage en 2.3 se t r o u v e n t done satisfaites. Il en r6sulte pour u n ~ > 0 axbitrairement petit (p~, p~+, . . . . , p~+~+t) < e

(i ---- 0, 1 . . . . . k ) ,

pomwu que k soit suffisamment grand. D6signons par P~ l ' h y p e r p l a n n-dimensionnel passant p a r lea points p~, p~+t . . . . . p~+,, alors eette in~galit6 p e u t s'4crire aussi, en v e r t u de la relation (4), sous la forme suivante: /\ ( n + 1) sin P~ P~+I < e (i=O,1,...,/c) , (13) Pi Pi+~+t p o u r v u que k soit suffisamment grand. 18

Commentarii Mathematici Helvetic[

27~

/\ Grace k une remarque orale de M. Haj6s, l'angle P0 P~+I peut 6tre 6valu6 par l'in~galit6 suivanto: P0 P~+~ --~ ~ P~ Pi+~

(14)

/\ ~. Or P~ P~+I ~ - ~ , il s'ensuit done d'apr6s l'in~galit~ (13) que / \

n

/\

~

~

P, P,+, <= y sin P,P,+,< 2(n+l)"T'P'+"+'

~ + " ....

~--2(nq- 1-----),S Io, p~,,-, 9

(15) Nous avons suppos~ que E est un arc rectifiable; c'est-h-dire que sa ]ongueur 2 est finie. On obtient done d'apr~s (14) et (15): k

iq-n

9 7(,

Po P~+I < 2 (n q-1) ~=o j=~ Par consequent:

k

2 ~=o

~7"r

--

2

/~ lira Po Pk+l ~ 0 .

(16)

k-~*o

Les hyperplans P0 et P ~ - I , passant par les points p = Po, Pl . . . . . P , , et P~+I, P~+~, .--, P~+~+I = q, tendent, en vertu de la relation (12) et du th6or6me 3.2, vers les hyperplans n-dimensionnels osculateurs P~, et P~, de E appartenant aux points p ou q. Mats T et q sent des points arbitrairement choisis sur E ; il s'ensuit done de (16) que l'angle de deux hyperplans n-dimensionnels osculateurs arbitraires de E est ~gal h z~ro. Par suite, l'arc E est contenu dans chacun de ses hyperplans n-dimensionnels osculateurs; ce qui ~tait exactement notre proposition. 5 . 2 . U n cas special du th~or~me precedent ~quivaut ~ un r6sultat classique d'apr6s lequel un arc E repr~sent~ par les fonctions xl(s), xz(s), xa(s ) est un segment, si la premi6re courbure classique de E est partout = 0, ou est situ6 dans un plan, si sa torsion s'~vanouit partout. 5.3. Nous avons fair l'hypoth~se que E est un arc rectifiable. I1 semble pourtant que cette hypoth~se n'est pas n$cessaire et qu'elle n'est impos~e que par une faiblesse de notre m~thode de d~monstration. E n effet, pour n = 1, nous pouvons ~noncer ce th~or~me plus g~n~ral: g d a n t u n eontinu situd &zns u n eslmce euelidien queleonque, la condition n~cessaire et su//isante pour qne E soit u n segment est K~(p) = O.

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L a n~cessit$ de cette condition a $t6 d~js d~montr~e au numSro 3 . 6 . Quant k sa suffisance, si ~ ( p ) ~ 0, le continu est u n arc rectifiablv~). Toutes les conditions du th~or~me 5.1 sent donc satisfaites. 5 . 4 . Bien qu'fl semble que la propri~t~ de E d'etre un arc rectifiable est superflue, il est essontiel que E soit u n arc euclidien. P o u r s'en convaincre, fl suffit de construire u n arc non-euclidien jouissant des propriSt~s suivantesae): 1~ E est u n arc recti/iable ; 2 ~ ~ ( p ) ~ 0 en tout p o i n t p de E ; 3 ~ E n'est isomdtrique avec a u c u n sous-ensemble de respace E ~ . Envisageons, en effet, u n arc rectifiable euclidien C a y a n t p a r t o u t u n e n-i~me courbure lin~aire ~,(p) ---- 0 . Choisissons C de sorte qu'il contienne n ~ 2 points qo, q~ . . . . ,q~+~ p o u r lesquels ~ ~_1, (i,~ = 0, 1 ,..., n ~- 1). D~finissons m a i n t e n a n t l'espace E de la mani~re suivante: Les points de E sont les m~mes que les points de C, mais la distance pq des points p e t q de E est d~finie p a r la relation

l -~, Pq~

1 ,

m

si p q < l , 8i pq ~ 1 .

(17)

E est ~videmment u n continu hom~omorphe avec C ; p a r consequent E est u n arc. De plus, t o u t voisinage U (p) d ' u n point p de E d o n t le diam~tre ne surpasse pas l'unit~ est isom~trique avec u n voisinage de C. T o u t voisinage U (p) contient donc u n voisinage ferm~ U-~ (p) de p qui est u n arc rectifiable. Or E est eontenu, grace ~ u n thc~or~me de MM. Borel et Lebesgue3~), dans la somme d ' u n n o m b r e fini de voisinages ~ (p). P a r consequent, E est lui-m~me u n arc rectifiable. L a propri~t~ 1 ~ do E est donc d~montr~e. Choisissons m a i n t e n a n t les points P0, Pl . . . . . p~+l dans le voisinage ~]~ (P0) du point arbitraire P0. Comme -U~ (P0) est isom6trique avec u n voisinage de C, e'est-~-dire que P t P j -~ P~P~, la courbure lin~aire (P0, I01, . . . , P~+I) de ces points a la m~me valeur qu'elle aurait prise si nous avions mesur~ les 2( n) -~- "

distances PiPJ sur l'arc C. P a r consequent,

la valeur de ~ (P0) est ~gale ~ la valeur de la n-i~mo courbure lin~aire au point P0 d e C. Celle-ci ~tant p a r t o u t ~ 0, il s'enguit que ~ (Po) ---- 0 on aa) Menger, 10 et Pa~c, 14. a6) Chez Menger, 10, on trouve l'exemple d'un arc non-droit ayant pourt~nt une premi&re courbure lin6aire 6vanouissante partout. La construction clue nous employons dans ce m~moire est due, pour • ~ 2, ~ Alexits, 1,~,. sT) Voir p. ex. _Menger, 11.

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t o u t p o i n t P0 d e E . L a p r o p r i d t d 2 ~ d e E est a u s s i d d m o n t r d e . P o u r t a n t , E n'es~ i s o m d t r i q u e a v e c a u e u n s o u s - e n s e m b | e d e E . , p u i s q u e C c o n t i e n t , d ' a p r b s r h y p o t h g s e , h A - 2 p o i n t s q o , q l . . . . . q , + l tels q u e q ~ q , - > - 1 , (i, ~ ~ 0, 1 . . . . . n - 4 - 1 ) . I1 e n rdsulte, g r a c e ~ n o t r e d d f i n i t i o n (17) de l a d i s t a n c e e n E , q u e q~qt ~ 1, (i,~ ~ 0, 1 . . . . . n + l ) . Or, d a n s l ' e s p a c e e u c l i d i e n n - d i m e n s i o n n e l E . , il n ' y a p a s n -4- 2 p o i n t s d i f f d r e n t s d o n t les "--(n2~2)- d i s t a n c e s m u t u e l l e s soien$ t o u t e s dgales. L a p r o p r i d t d 3 ~ d e E est ]

d o n c a u s s i d d m o n t r d e ; ce q u i d t a i t j u s t e m e n t n o t r e b u t .

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( R e ~ u le 14 f d v r i e r 1940.)

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