Math. Ann. (2010) 346:949–968 DOI 10.1007/s00208-009-0415-8

Mathematische Annalen

Groupe de Brauer non ramifié d’espaces homogènes à stabilisateurs finis Cyril Demarche

Received: 10 November 2008 / Revised: 29 July 2009 / Published online: 10 September 2009 © Springer-Verlag 2009

Résumé On s’intéresse au groupe de Brauer d’une compactification lisse d’un espace homogène d’un groupe semi-simple simplement connexe à stabilisateurs finis, sur un corps de nombres. On montre une formule décrivant ce groupe de Brauer et on calcule explicitement celui-ci pour certaines familles d’exemples. On établit des liens entre l’obstruction de Brauer–Manin à l’approximation faible sur cet espace homogène et la cohomologie galoisienne du stabilisateur. Mathematics Subject Classification (2000)

11G35 · 14G25 · 14F22 · 12G05

1 Introduction Étant donné un corps de nombres k, et G un k-groupe algébrique fini, on se donne un plongement de G dans SLn,k , et on considère l’espace homogène quotient X := SLn /G (qui est lisse et géométriquement intègre). Cette variété (par définition, une variété est un schéma séparé de type fini sur un corps) ne dépend pas, à k-stablebirationalité près, de la représentation fidèle de G choisie (c’est le lemme sans nom, voir [1], corollaire 3.9). En général, la variété X ne vérifie pas l’approximation faible,
c’est à dire que l’adhérence de X (k) dans X (k
) := v∈
k X (kv ) (muni de la topologie produit direct, v décrivant l’ensemble
k des places de k) n’est pas toujours l’ensemble X (k
) tout entier. Pour étudier le défaut d’approximation faible, on utilise l’obstruction de Brauer–Manin : si Brnr (X ) est le groupe de Brauer cohomologique1

1 Dans tout le texte, le groupe de Brauer d’une k-variété Y est par définition le groupe Br(Y ) := H 2 (Y, G ). m ét

C. Demarche (B) Laboratoire de Mathématiques, Bâtiment 425, Université de Paris-Sud, 91405 Orsay, France e-mail: [email protected]

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d’une compactification lisse de X , on dispose d’un accouplement naturel (voir par exemple [2, section 5.2]) .,.BM

Brnr (X ) × X (k
) −−−−→ Q/Z tel que l’adhérence de X (k) dans X (k
) soit contenue dans le noyau à droite X (k
)Brnr (X ) de cet accouplement (voir [2], pp. 102–103). Étant donné un sous-groupe B de Brnr (X ), on se demande alors si l’obstruction de Brauer–Manin à l’approximation faible relative à B est la seule, c’est-à-dire si l’adhérence de X (k) dans X (k
) coïncide avec l’ensemble X (k
) B := {(Pv ) ∈ X (k
) : A, (Pv )BM = 0 pour tout A ∈ B} . Dans le cas où le groupe G est connexe ou abélien, la réponse est affirmative (et due à Borovoi) en prenant pour B le sous-groupe Bω (X ) formé des éléments localement constants en presque toute place (voir [3], corollaire 2.5). En revanche, quand le groupe G est fini, peu de résultats sont connus : on sait que la variété X vérifie l’approximation faible si G est constant résoluble d’ordre impair sur Q (c’est un résultat dû à Neukirch, voir [4], corollaire 9.3, et [5], corollaire 2). Sinon, hormis les cas traités dans [6], il semble qu’on ne dispose d’aucun résultat pour les groupes constants non abéliens d’ordre pair (en particulier dans le cas des groupes finis parfaits). L’une des motivations pour étudier ce problème pour des groupes G finis est le problème de Galois inverse (voir la section 4 de [6]). Dans tout ce texte, k désigne une clôture algébrique de k et k := Gal(k|k). Si X est une k-variété et si K /k est une extension de corps, on note X K := X ×k K la K -variété obtenue à partir de X par extension des scalaires, X := X k et Br1 (X ) := Ker(Br X → Br X ). On note également Brnr (X ) le groupe de Brauer non ramifié de X , i.e. le groupe de Brauer d’une compactification lisse de X , et Brnr1 (X ) le noyau de Brnr (X ) → Brnr (X ). On rappelle que l’on a une inclusion naturelle Bω (X ) ⊂ Brnr1 (X ) (voir [7], théorème 2.1.1). Si X := SLn /G est le quotient de SLn,k par un k-sous-groupe fini G, les questions que l’on se pose sont les suivantes : l’adhérence de X (k) dans X (k
) est-elle exactement X (k
)Brnr1 (X ) ? Les ensembles X (k
)Brnr1 (X ) et X (k
)Bω (X ) coïncident-ils ? Les groupes Brnr1 (X ) et Bω (X ) sont-ils égaux ? Comme mentionné plus haut, très peu de résultats sont connus. On cherche ici à décrire le groupe Brnr1 (X ), à le comparer au groupe Bω (X ), et à interpréter l’obstruction associée à Brnr1 (X ) en termes de la cohomologie galoisienne de G. Dans la première partie, on montre justement une formule reliant Brnr1 (X ) à la cohomologie galoisienne de G. Dans la deuxième partie, on exploite cette formule dans le cas des groupes G finis constants, et on montre dans la partie 3 un résultat de trivialité pour Brnr1 (X ) dans le cas où G est un p-groupe constant d’un certain type. Dans la section 4, on compare les groupes Brnr1 (X ) et Bω (X ), sous certaines hypothèses concernant les racines de l’unité dans k. Dans la cinquième partie, on répond à une question de Harari (voir [6], question avant la proposition 4) en construisant un p-groupe constant G pour lequel Bω (X )
Brnr1 (X ) et X (k
)Brnr1 (X ) X (k
)Bω (X ) =

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X (k
) : en cela le cas des groupes finis diffère nettement du cas des groupes connexes ou abéliens, cas dans lequel les groupes Bω (X ) et Brnr1 (X ) coïncident (voir [8], théorème A). Cet exemple est donc d’une nature assez nouvelle : c’est un espace homogène pour lequel l’obstruction de Brauer–Manin associée à Bω (X ) est insuffisante pour expliquer le défaut d’approximation faible; toutefois, pour cet exemple, l’obstruction à l’approximation faible associée à Brnr1 (X ) est bien la seule. Dans la partie 6, on donne une formule permettant de reformuler l’obstruction de Brauer–Manin sur X relative à Brnr1 (X ) en termes de la cohomologie galoisienne de G. Enfin, dans la dernière partie, on traite l’exemple particulier du groupe des quaternions d’ordre 16. Remarque 1 Dans tout ce texte, les groupes finis sont considérés comme des groupes algébriques constants. 2 Formule générale pour le groupe de Brauer non ramifié On donne ici une formule générale pour le groupe de Brauer non ramifié d’un espace homogène à stabilisateur fini. On rappelle d’abord que si v est une place de k, M est un kv -module fini, et M  est son module dual, on dispose de l’accouplement local obtenu grâce au cup-produit: jv

→ Q/Z H 1 (kv , M) × H 1 (kv , M  ) → Br kv − où jv est l’invariant donné par la théorie du corps de classes local. Cet accouplement est un accouplement non dégénéré de groupes finis (voir [9], théorème 7.2.9). Si le 1 (k , M) et H 1 (k , M  ) module M est non ramifié en la place v, les sous-groupes Hnr v nr v sont les orthogonaux respectifs l’un de l’autre pour cet accouplement (voir [10] section 5.5, pour la définition des groupes de cohomologie non ramifiée). On définit aussi la notation suivante : si f : Z → Y est torseur sous un k-groupe algébrique H , on note [Z ] sa classe dans l’ensemble de cohomologie étale H 1 (Y, H ), et si y ∈ Y (k), on note [Z ](y) la classe de la fibre f −1 (y) dans l’ensemble de cohomologie galoisienne H 1 (k, H ). Théorème 1 Soit k un corps de nombres, G  /k un groupe algébrique semi-simple simplement connexe. Soit X un espace homogène de G  , G le stabilisateur d’un point géométrique de X , que l’on suppose fini. On note également G ab la k-forme du quotient de G par son sous-groupe dérivé canoniquement associée à X , et M le k -module dual de G ab . Alors: • Pour presque toute place v de k, X kv est kv -isomorphe à un quotient de G kv par un sous-groupe fini G v de G kv . • Il existe un isomorphisme naturel r : Br1 (X )/Br(k) → H 1 (k, M) tel qu’un élément α ∈ Br1 (X ) est non ramifié si et seulement si pour presque toute place v, r (α)v ∈ H 1 (kv , M) est orthogonal à Im(H 1 (kv , G v ) → H 1 (kv , G ab )) (pour l’accouplement donné par le cup-produit).

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Remarque 2 Si le sous-groupe G v de G v dépend du choix d’un point rationnel dans X (kv ), l’ensemble Im(H 1 (kv , G v ) → H 1 (kv , G ab )) est en revanche canonique et ne dépend pas des choix faits dans la construction de G v . Ce résultat généralise la proposition 4 de [6], que l’on rappelle ici: Théorème 2 [Harari] Avec les notations du théorème 1, et sous l’hypothèse supplémentaire que X (k) = ∅ (i.e. X ∼ = G  /G), le groupe Brnr1 (X )/Br(k) s’identifie au 1 sous-groupe de H (k, M) formé des éléments a tels que : pour presque toute place v de k, la restriction av ∈ H 1 (kv , M) est orthogonale (pour le cup-produit) au sousensemble Im(H 1 (kv , G) → H 1 (kv , G ab )) de H 1 (kv , G ab ). Via cette identification, le sous-groupe Bω (X )/Br(k) ⊂ Brnr1 (X )/Br(k) correspond au sous-groupe X1ω (k, M) formé des α ∈ H 1 (k, M) tels que αv = 0 dans H 1 (kv , M) pour presque toute place v. Preuve Suivant Springer, on considère le k-lien L X sur G associé à X , et la classe de Springer de X : α X ∈ H 2 (k, L X ) (voir par exemple [11], (5.1) ou [12], 7.7). En remarquant que le sous-groupe dérivé de G, noté D(G), est invariant par les automorphismes semi-linéaires de G, on en déduit que le lien L X induit un k-lien L X ab

ab

sur le quotient G := G/D(G), lequel définit une k-forme G ab de G . La lettre M désigne alors le k -module dual du groupe G ab . On définit Z comme le quotient de G  par le sous-groupe dérivé D(G) de G. Les variétés G  et X étant géométriquement intègres, on dispose de la suite exacte suivante (voir par exemple [2], section 2.2, suite exacte (2.8)): ∗

∗

1 → k[X ]∗ /k → k[G  ]∗ /k → M → Pic(X ) → Pic(G  ). Or G  est semi-simple simplement connexe, donc le lemme de Rosenlicht (cf. [13], ∗ lemme 6.5) et le lemme 6.9 de [13] assurent que k[G  ]∗ /k = 0 et Pic(G  ) = 0. ∗ On en déduit donc que k[X ]∗ = k et Pic(X ) ∼ = M. Notons λ : M → Pic(X ) cet isomorphisme de groupes abéliens. On vérifie alors que λ est le type du torseur Z → X , et que λ est un isomorphisme de k -modules (c’est un résultat dû à Borovoi, voir la preuve du théorème 9.5.1 de [2]). ∗ Enfin, le fait que k[X ]∗ /k assure que l’on a un isomorphisme 

r : Br1 (X )/Br k − → H 1 (k, Pic(X )) (cet isomorphisme provient de la suite spectrale de Hochschild-Serre : voir [2], corollaire 2.3.9). On a donc montré que l’on avait un isomorphisme canonique Br1 (X )/Br k ∼ = H 1 (k, M). On ne suppose pas que l’espace X possède un point rationnel sur k. Cependant, grâce aux estimées de Lang–Weil (X est géométriquement intègre) et au lemme de Hensel, pour presque tout place v de k, X (kv ) = ∅. Notons S un ensemble fini de places de k contenant les places archimédiennes, tel que pour toute place v ∈ / S, X (kv ) = ∅. Si

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v∈ / S, X kv est isomorphe à un quotient G kv /G v , où G v est une kv -forme de G ×k kv . On a donc un diagramme: G kv BB BBD(G v ) BB BB Gv Zv {{ { { {{  }{{ G ab v X kv ab (on remarque que nécessairement G ab v n’est autre que G ×k kv ). On utilise alors un résultat de Harari (voir [7], théorème 2.1.1) : un élément α ∈ Br1 (X ) est non ramifié si et seulement si pour presque toute place v de k, l’application d’évaluation X (kv ) → Br kv , définie par Pv → α(Pv ), est l’application nulle. Or le torseur Z v → X kv est universel (voir [14], preuve de la proposition 5.5), donc tout élément αv ∈ Br1 (X kv ) s’écrit sous la forme αv = p ∗ (av ) ∪ [Z v ] + α0 , où p : X kv → Spec kv est le morphisme structural, av ∈ H 1 (kv , M) et α0 ∈ Br kv (voir [2], théorème 4.1.1). De plus, l’élément av correspond à l’élément r (α)v dans  H 1 (kv , M), via l’isomorphisme r : Br1 (X )/Br k − → H 1 (k, M). On en déduit donc que α ∈ Br1 (X ) est non ramifié si et seulement si pour presque toute place v hors de S, av ∪ [Z v ](Pv ) = 0 pour tout point Pv ∈ X (kv ); or H 1 (kv , G  ) = 0 (voir [15] et [16]), donc le torseur G kv → X kv est versel (voir par exemple [17], sections 5.1 et 5.3), donc quand Pv décrit l’ensemble X (kv ), [Z v ](Pv ) décrit exactement Im(H 1 (kv , G v ) →   H 1 (kv , G ab )). D’où le théorème.

Remarque 3 La description générale donnée au théorème 1 n’est pas complétement explicite quand L X ne provient pas d’une k-forme de G, ce qui rend sans doute plus difficile le calcul de Brnr 1 (X ) que dans le cas du théorème 2. Dans la suite de ce texte, on se place dans le cadre du théorème 2. 3 Sur la flèche H 1 (F, G) → H 1 (F, G ab ), F corps l-adique Dans cette partie, on considère un groupe fini G, et la variété X = SLn /G associée. Le théorème 2 incite à étudier l’image de l’application H 1 (kv , G) → H 1 (kv , G ab ). Si F est un corps quelconque, et G un groupe constant, l’application d’ensembles pointés H 1 (F, G) → H 1 (F, G ab ), s’identifie à l’application Homcont. ( F , G)/conj → Homcont. ( F , G ab ). Désormais, F est un corps l-adique tel que l ne divise pas le cardinal de G. Un morphisme de groupes continu φ :  F → G se factorise à travers le plus grand quotient modérement ramifié 0 de  F , et on est ramené à étudier: Homcont. (0 , G)/conj → Homcont. (0 , G ab ).

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Les théorèmes 7.5.1 et 7.5.2 de [9] assurent que 0 est le groupe profini engendré par deux générateurs σ et τ soumis à la seule relation σ τ σ −1 = τ q , où q est le cardinal du corps résiduel de F. Un morphisme continu φ : 0 → G est alors entièrement déterminé par les images respectives a et b des générateurs σ et τ ; se donner un tel morphisme revient donc à se donner deux éléments a et b de G vérifiant q la relation aba −1 = b (on remarque aussi qu’un élément de H 1 (F, G) est non ramifié si et seulement si tout morphisme φ : 0 → G le représentant vérifie φ(τ ) = 1). Finalement, un morphisme φ :  F → G ab , donné par des éléments a et b de G ab q−1 vérifiant b = 1, se relève en un morphisme  F → G si et seulement si les éléments a et b se relèvent respectivement en des éléments a et b de G tels que aba −1 = bq . En particulier, on peut se poser la question suivante : si g ∈ G ab vérifie gl−1 = 1, g se relève-t-il en un élément g ∈ G tel que gl soit conjugué à g? Montrons d’abord qu’en toute généralité, la réponse ne peut être positive: Remarque 4 Pour tout nombre premier p, et pour tout entier n > p, il existe un p-groupe fini G de cardinal p n (et de classe de nilpotence maximale), tel qu’il existe g ∈ G ab et une infinité de nombres premiers l pour lesquels gl−1 = 1, mais g ne se relève pas en un élément g de G tel que gl soit conjugué à g. Pour cela, on considère une généralisation naturelle du groupe diédral (voir [18], exemple 3.1.5) : on note E pn le groupe de cardinal p n défini par E pn := O p /pn−1 p C p , avec les notations suivantes : K p := Q p (ζ ), où ζ est une racine primitive p-ième de l’unité, O p est l’anneau des entiers de K p , p p est l’idéal maximal de O p , engendré par θ := 1 − ζ , C p est le groupe des racines p-ièmes de l’unité dans K p . On fait agir l’élément ζ de C p sur O p par multiplication par ζ . Enfin v p désigne la valuation p-adique usuelle, étendue à K p . Puisque l’extension est totalement ramifiée, on a 1 . v p ( p) = 1 et v p (θ ) = p−1 Un calcul simple assure que le groupe dérivé de G est D(G) = p p O p /pn−1 p . Par conséquent l’abélianisé de G est G ab ∼ = O p /p p × C p ∼ = Z/ pZ × Z/ pZ. Considérons alors l’élément g := (1, 0) de Z/ pZ × Z/ pZ correspondant à l’élément (1, 1) ∈ O p /p p × C p , le premier 1 désignant la classe de 1. Un relevé de g est de la forme g = (1 + θ x mod p p n−1 , 1). La puissance l-ième de g est conjuguée à g si et seulement si l(1 + θ x) ≡ ζ r (1 + θ x) mod p p n−1 pour un certain r ∈ {0, . . . , p − 1}, ce qui équivaut à la condition v p (l − ζ r ) ≥ n−1 p−1 . Or on remarque que si 1 ≤ r ≤ p − 1, alors l − ζ r = (l − 1) + (1 − ζ r ), et 1 , on en déduit que v p (l − ζ r ) = v p (l − 1). Donc la 1 − ζ r étant de valuation p−1 condition nécessaire et suffisante précédente se réécrit v p (l − 1) ≥ n−1 p−1 . Si n > p, cette condition n’est pas vérifiée quand p divise exactement l − 1. Or il existe une infinité de nombres premiers l tels que v p (l − 1) = 1, et donc pour tous ces nombres l, v p (l − ζ r ) < n−1 p−1 pour tout r ∈ {0, . . . , p − 1}, ce qui conclut la remarque 4. En particulier, les contre-exemples élémentaires de la remarque 4 assurent que l’on ne peut pas espérer que la flèche H 1 (F, G) → H 1 (F, G ab ) soit surjective pour des

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familles assez générales de groupes. En revanche, si l’on s’intéresse au sous-groupe de H 1 (F, G ab ) engendré par l’image de cette flèche, on montre que pour certaines familles de groupes finis, ce sous-groupe est H 1 (F, G ab ). Définition 1 Soit G un groupe fini, q ∈ N∗ . On dit qu’un élément b de G ab est q−1 q-relevable si b = 1 et il existe b ∈ G relevant b tel que bq soit conjugué à b. Lemme 1 Soit G un groupe fini, F un corps l-adique, q le cardinal du corps résiduel de F. On suppose que (q, #G) = 1. On note I (G) le sous-groupe de H 1 (F, G ab ) engendré par l’image de la flèche H 1 (F, G) → H 1 (F, G ab ). Alors I (G) est égal au sous-groupe J (G) de H 1 (F, G ab ) engendré par les morphismes continus φ : 0 → G ab , tels que φ(τ ) est q-relevable. Preuve On a clairement I (G) ⊂ J (G). Soit φ : 0 → G ab dans J (G). On note a := φ(σ ) et b := φ(τ ). Par définition, b s’écrit b1 , . . . , br , avec bi q-relevable. Définissons alors les morphismes φ i : 0 → G ab par φ i (σ ) := a i et φ i (τ ) := bi , q où ai ∈ G est un élément tel que bi = ai bi ai −1 , bi étant un relevé de bi dans G. Définissons aussi ψ : 0 → G ab par ψ(σ ) := a.a 1 −1 , . . . , a r −1 et ψ(τ ) := 1. Alors φ = ψ.φ 1 , . . . , φ r dans le groupe H 1 (F, G ab ). Or φ i ∈ I (G), et ψ ∈ I (G) (il suffit de relever a.a 1 −1 , . . . , a r −1 dans G de façon quelconque). Donc finalement φ ∈ I (G).   Corollaire 1 Avec les notations précédentes, I (G) = H 1 (F, G ab ) si et seulement si le sous-groupe q−1 G ab des éléments de G ab d’ordre divisant q − 1 est engendré par les éléments q-relevables. Remarque 5 Si G (resp. H ) est un groupe fini pour lequel le sous-groupe de H 1 (F, G ab ) (resp. H 1 (F, H ab )) engendré par l’image de H 1 (F, G) → H 1 (F, G ab ) (resp. H 1 (F, H ) → H 1 (F, H ab )) est H 1 (F, G ab ) (resp. H 1 (F, H ab )) tout entier, alors le groupe G × H vérifie également cette propriété. Corollaire 2 Soit G un groupe fini. Si exp(G) divise q −1, alors I (G) = H 1 (F, G ab ). En effet, dans ce cas, tout relèvement d’un élément quelconque de G ab est un q-relèvement. 4 Cas des groupes de type ECF On s’intéresse ici aux p-groupes constants : on montre qu’une certaine famille de p-groupes vérifie la propriété du corollaire 1. Introduisons pour cela quelques notions de la théorie des p-groupes finis (voir [18]).  Soit G un p-groupe fini. On note P2 := [G, G] le groupe dérivé de G, et Pi := G, Pi−1 pour i ≥ 3. On note m ≥ 2 l’entier minimal tel que Pm = 1. On définit aussi, pour r = 2, . . . , m − 2, K r := CentrG (Pr /Pr +2 ) le centralisateur de Pr /Pr +2 dans G. Si tous les quotients successifs Pr /Pr +1 sont d’ordre p, on remarque aisément que les K r sont des sous-groupes maximaux (i.e. de cardinal p n−1 ) de G. Enfin, on note P1 := K 2 .

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On renvoie à l’introduction de [19] pour les définitions suivantes: Définition 2 Soit G un p-groupe. G est dit de type CF (resp. ECF) si pour tout 2 ≤ r ≤ m − 1, Pr /Pr +1 est d’ordre p (resp. Pr /Pr +1 est d’ordre p et G ab est un groupe abélien élémentaire, i.e. d’exposant p). On dispose alors du théorème suivant (voir [20], théorèmes A et B): Théorème 3 [McKay] Soit G un p-groupe de type CF. Alors G admet au plus 3 centralisateurs K i distincts, et au plus deux tels centralisateurs si p = 2. En appliquant ce théorème et les résultats précédents, montrons le théorème: Théorème 4 Soit p un nombre premier. Soit G un p-groupe fini de type ECF. Soit l un nombre premier distinct de p. Soit F un corps l-adique. Si p = 2, on suppose que tous les centralisateurs K r de G sont égaux, et si p = 3, que G admet au plus deux centralisateurs K r distincts. Alors le sous-groupe I (G) de H 1 (F, G ab ) engendré par l’image de H 1 (F, G) → H 1 (F, G ab ) est H 1 (F, G ab ) tout entier. Remarque 6 1. Le théorème reste vrai pour des produits de tels groupes de type ECF, grâce à la remarque 5. 2. Tous les groupes de type ECF connus ont au plus deux centralisateurs (voir la note après le théorème 4.12 de [20]). 3. Les groupes suivants vérifient les hypothèses du théorème : les p-groupes  de type ECF de degré de commutativité strictement positif (i.e. tel que Pi , P j ⊂ Pi+ j+1 pour i, j ≥ 1 : dans ce cas, tous les centralisateurs K r sont égaux (voir corollaire 3.2.7 de [18])) et en particulier les 2-groupes de classe de nilpotence maximale, à savoir les groupes diédraux, semi-diédraux et quaternioniques d’ordre 2n ; les p-groupes de classe de nilpotence maximale, pour p > 3; les groupes de la remarque 4 (ils ont un unique centralisateur). Corollaire 3 Si G vérifie les hypothèses du théorème 4, et si G → S L n est un plongement, et k un corps de nombres, notant X := S L n /G, on a l’égalité Brnr1 (X ) = Bω (X ) = Br k. Preuve Il suffit de remarquer que X1ω (k, M) = 0 puisque pM = 0 (voir [21], chapitre 10, théorème 1).   Remarque 7 Ce résultat implique dans de nombreux cas que Brnr (X ) = Br k. En effet, Brnr1 (X ) = Br k, et la formule de Bogomolov (voir [1], théorème 7.1) permet souvent de montrer que Brnr (X ) = 0, ce qui assure alors que Brnr (X ) est trivial. Par exemple, on obtient que pour le groupe diédral ou le groupe quaternionique d’ordre 2n , le groupe de Brauer non ramifié de la variété X est trivial (alors que l’on sait que pour le groupe quaternionique d’ordre 16, la variété X n’est pas rationnelle : voir [17], théorème 34.7).

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Preuve (du théorème 4) Lemme 2 Soit G un groupe de type CF, tel que m > 3. ∗ Soit t ∈ G\ ∪rm−2 =2 K r . Soit k ∈ N . k k Si t ∈ P2 , alors t ∈ Pm−1 et il existe un x ∈ Pm−2 tel que t k = [x, t]. Preuve Si H ⊂ G, Conj H (t) désigne la classe de conjugaison de t dans H . Montrons d’abord que t k ∈ Pm−1 . Si ce n’est pas le cas, alors il existe 2 ≤ r ≤ m−2 tel que t k ∈ Pr \Pr +1 . Alors le quotient Pr /Pr +1 est engendré par la classe de t k , et puisque t commute avec t k , cela assure que [t, Pr ] ⊂ Pr +2 , i.e. t ∈ K r , ce qui contredit l’hypothèse. Donc t k ∈ Pm−1 . On remarque que si g ∈ G, on a gtg −1 = [g, t] t, donc ConjG (t) ⊂ P2 t. Or t ∈ / K m−2 , donc l’ensemble Conj Pm−2 (t) n’est pas réduit à t, et par conséquent il est de cardinal au moins p. Or Conj Pm−2 (t) ⊂ Pm−1 t, et Pm−1 t est de cardinal exactement p, donc on a l’égalité Pm−1 t = Conj Pm−2 (t). Or t k ∈ Pm−1 , donc t k+1 ∈ Pm−1 t = Conj Pm−2 (t), i.e. il existe x ∈ Pm−2 tel que t k = [x, t].   Notons q le cardinal du corps résiduel de F. On remarque que le théorème 4 est évident dans les cas où p ne divise pas q − 1. On suppose désormais que p divise q − 1. On π a une suite exacte courte : 1 → P2 → G − → G ab → 1. Supposons d’abord que m = 3 (le cas m = 2 est trivial, puisqu’alors G est abélien). Alors P2 est contenu dans le centre de G et d’ordre p. Soit t ∈ G\Z (G). Alors ConjG (t) n’est pas réduit à t, et contenu dans P2 t qui est d’ordre p, donc ces deux ensembles sont égaux. On sait donc que tous les éléments de π(G\K ) sont q-relevables, où K := Z (G). Si m > 3, on note K := ∪r K r . Alors le lemme 2 assure que les éléments d’ordre divisant q − 1 dans π(G\K ) ⊂ G ab sont q-relevables. Montrons alors le lemme suivant: Lemme 3 Soit G un groupe de type CF. Si p = 2, on suppose que tous les centralisateurs K r de G sont égaux, et si p = 3, que G admet au plus deux centralisateurs K r distincts. Si m = 3, on note K = Z (G), et si m > 3, on note K := ∪r K r . Alors, G\K engendre le groupe G. Preuve Si m = 3, K = Z (G) étant un sous-groupe strict de G, G est engendré par G\K . Si m > 3, par le théorème de McKay, on peut écrire K = K (1) ∪ K (2) ∪ K (3) , avec les K (i) choisis parmi les K r . Si les K (i) sont égaux, i.e. si G n’a qu’un seul centralisateur, alors G\K engendre G pour toutes les valeurs de p, y compris 2 et 3. Dans le cas général, le sous-groupe engendré par G\K contient G\K , donc est de cardinal strictement supérieur à p n − 3 p n−1 (ce sous-groupe contient le neutre de G), donc strictement supérieur à p n−1 ( p − 3) (à p n−1 ( p − 2) dans le cas où on a seulement deux centralisateurs). Donc dès que p > 3, ce cardinal est strictement supérieur à p n−1 , et donc le sous-groupe engendré est G tout entier (et si G ne possède que deux centralisateurs distincts, le résultat est valable pour p = 3). Finalement, dans tous les cas envisagés, le sous-groupe engendré par G\K est G tout entier.   Montrons enfin le théorème 4 : le sous-groupe de G ab engendré par les éléments de q−1 G ab = G ab ( p divise q − 1 et G ab est d’exposant p) qui sont q-relevables est

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C. Demarche

égal à G ab tout entier : en effet, les éléments de π(G\K ) sont q-relevables, et par le lemme 3, G\K engendre G, donc π(G\K ) engendre G ab . Donc par le corollaire 1,   I (G) = H 1 (F, G ab ). Pour un p-groupe de type CF (non nécessairement ECF), cette preuve assure que le sous-groupe de H 1 (F, G ab ) engendré par l’image de H 1 (F, G) → H 1 (F, G ab ) est H 1 (F, G ab ) tout entier (pour l = p) si p ne divise pas q − 1, ou alors si exp(G ab ) divise q − 1. Cependant, quand p divise q − 1, mais exp(G ab ) ne divise pas q − 1 (ce qui représente une infinité de nombres l si le groupe n’est pas de type ECF et si le corps F ne contient pas les racines p-ièmes de l’unité), on ne peut pas conclure par cette méthode. Contre-exemple pour un p-groupe de type CF sur Q Lemme 4 Soit p un nombre premier. Il existe un p-groupe de type CF (d’ordre p 6 ) et une infinité de nombres premiers l tels que le sous-groupe engendré par l’image de l’application H 1 (Ql , G) → H 1 (Ql , G ab ) n’est pas égal à H 1 (Ql , G ab ). Preuve On définit G comme le produit semi-direct de deux groupes cycliques d’ordre 2 p 3 , notés x et y, pour l’action de y sur x définie par y.x := x 1− p . Une 3 3 2 présentation de G est donnée par G = x, y : x p = y p = 1, [x, y] = x p . 2 2 Alors P2 = x p  est cyclique d’ordre p et G ab = (x/x p ) × y ∼ = Z/ p 2 Z × 3 Z/ p Z. Par conséquent, G est un groupe de type CF mais pas ECF. Les éléments 2 2 d’ordre divisant p dans cet abélianisé sont p G ab = (x p /x p ) × y p , et donc si on note Pp2 G l’image réciproque de ce sous-groupe par la projection canonique 2 G → G ab , on en déduit que Pp2 G = x p  × y p . Or le centre de G est égal à Z (G) = x p  × y p . Par conséquent, Pp2 G ⊂ Z (G). P2 G = Pp2 G ⊂ Z (G), et Fixons alors l tel que p divise exactement l − 1. Alors l−1 2

les éléments de 1 × y p  sont l-relevables car leurs relevés sont d’ordre divisant p. 2 2 En revanche, soit b = (t, s) ∈ l−1 G ab = (x p /x p ) × y p  avec t non trivial, et supposons que b soit l-relevable. Alors il existe un relevé b de b et un g ∈ G tels que bl−1 = [b, g]. Or les calculs précédents assurent que b ∈ Z (G), donc [b, g] = 1, et P2 G qui sont d’ordre divisant l − 1 donc bl−1 = 1. Mais on voit que les éléments de l−1 2

2

sont dans x p  × y p , donc le fait que b soit dans ce cas assure que b = (t, s) ∈ 2 2 2 2 (x p /x p ) × y p  = 1 × y p , i.e. que t soit trivial, ce qui est exclu. 2 2 Finalement, on a montré que les éléments de l−1 G ab = (x p /x p ) × y p  qui 2 sont l-relevables forment le sous-groupe strict 1 × y p . Le corollaire 1 assure que, si p divise exactement l −1, alors le sous-groupe engendré par l’image de H 1 (Ql , G) →   H 1 (Ql , G ab ) n’est pas H 1 (Ql , G ab ) tout entier. 5 Comparaison des groupes Bω (X) et Brnr1 (X) Dans cette partie, contrairement à la partie 4, on montre un résultat valable pour tous les groupes finis, sous réserve d’une restriction sur les racines de l’unité, et pas seulement

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pour des p-groupes d’un certain type. Si k est un corps et n un entier naturel, on note µn (k) l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité contenues dans k, et µ(k) la réunion des µn (k). Théorème 5 Soit G un groupe fini constant, k un corps de nombres. On suppose que (#µ(k), exp(G)) = 1, et on note X = SLn /G. Alors Brnr1 (X ) = Bω (X ) = Br k. Preuve On note n l’exposant de G. On
sait que G ab est isomorphe à un produit fini
ab ∼ i Z/n i . On considère le dual M = i µn i du k-groupe G . Pour toute place v,  1 on définit Iv (G) comme étant le sous-groupe de H (kv , M) orthogonal à l’image de H 1 (kv , G) dans H 1 (kv , G ab ). Soit alors α ∈ H 1 (k, M) tel que α corresponde à un élément de Brnr1 (X ), i.e. tel que pour presque toute place v, αv ∈ Iv (G). On écrit α = (αi ), avec αi ∈ H 1 (k, µn i ). Par l’isomorphisme de Kummer H 1 (k, µn i ) ∼ = k ∗ /(k ∗ )n i , ∗ ∗ n i αi peut être vu comme un élément ai ∈ k modulo (k ) . Par le corollaire 2, et en utilisant le théorème de dualité locale, Iv (G) = 0 dès que n|qv − 1. Donc pour presque toute place v vérifiant cette condition, αv = 0, donc αi,v = 0 pour tout i. Or la condition n|qv − 1 équivaut à la condition k(ζn )/k totalement décomposée en v (voir par exemple [22], IV, paragraphe 4). Intéressons-nous donc aux extensions de corps suivantes: √ k ⊂ k(ζn ) ⊂ K := k(ζn , ni ai ). On sait que, à un nombre fini de places près, si k(ζn )/k est totalement décomposée en v, αv = 0 et donc ai ∈ (kv∗ )n i pour tout i, donc l’extension K /k est totalement décomposée en v. Puisque les extensions K /k et k(ζn )/k sont galoisiennes, et puisqu’à un nombre fini de places près, si v est totalement décomposée dans k(ζn )/k, alors v est totalement décomposée dans K /k, la proposition 13.9 de [23] assure que K ⊂ k(ζn ), √ √ donc k( ni ai ) ⊂ k(ζn ). Par conséquent, l’extension k( ni ai )/k est une extension abélienne de k. Or k ne contient pas les racines p-ièmes de l’unité, pour p divisant n, √ donc l’extension k( ni ai )/k est triviale, puisqu’alors une racine n i -ième de ai n’a pas de conjugués distincts d’elle-même dans cette extension. Donc α = 0.   Remarque 8 Le théorème 5 va dans le sens du corollaire 9.3 de [4] et du corollaire 2 de [5] dus à Neukirch. 6 Un contre-exemple à la formule Brnr 1 (X) = Bω (X) On construit ici un contre-exemple au théorème 5 quand (#µ(k), exp(G)) = 1. On obtient un espace homogène X à stabilisateur fini constant pour lequel l’obstruction de Brauer–Manin à l’approximation faible associée au groupe Bω (X ) n’est pas la seule. C’est donc un exemple qui montre la différence avec le cas des espaces homogènes à stabilisateurs connexes ou abéliens, pour lesquels cette obstruction est la seule (voir [3]). 2

2

Proposition 1 Soit p un nombre premier. Si k = Q(ζ p ), G := x, y, z : x p = y p = 2 z p = 1; [x, y] = z p , [x, z] = [y, z] = 1, et X = SLn,k /G, alors Br k = Bω (X )  Brnr1 (X ).

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C. Demarche

Remarque 9 • Le groupe G donné par la présentation de l’énoncé est un groupe p 6 (cf. par exemple [24]). Ce groupe est isomorphe au produit semi-direct d’ordre 2 Z/ p Z × Z/ p 2 Z  Z/ p 2 Z défini de la façon suivante : si on note x, z et y des générateurs respectifs des trois groupes cycliques d’ordre p 2 apparaissant dans ce produit, l’action de y sur x × z = Z/ p 2 Z × Z/ p 2 Z est donnée par : y.(x, 1) := (x, z p ) et y.(1, z) := (1, z). • Cet exemple répond à la question posée dans [6], avant la proposition 4 : le groupe Bω (X ) peut être strictement contenu dans le groupe Brnr1 (X ). Preuve Rappelons d’abord que l’extension k/Q est totalement ramifiée en p, donc il existe une unique place de k (notée v0 ) au-dessus de p. Le centre de G est Z = x p , y p , z, son groupe des commutateurs est P2 = z p  ∼ = Z/ pZ, son abélianisé est G ab = x, y, z/z p  ∼ = Z/ p 2 Z × Z/ p 2 Z × Z/ pZ. Considérons une place v de k telle que p divise exactement qv − 1. Soit un élément b = ( pr, ps, ) ∈ G ab ∼ = Z/ p 2 Z × Z/ p 2 Z × Z/ pZ d’ordre p. Ses relevés dans G sont de la forme b = x pr y ps z + pk ∈ G. Alors l’élément b est dans Z , donc b est qv -relevable si et seulement si bqv −1 = 1 si et seulement si b p = 1 si et seulement si z p = 1 si et seulement si b ∈ x p  × y p  ∼ = pZ/ p 2 Z × 2 ab ∼ pZ/ p Z. Par conséquent, le sous-groupe de p G = Z/ pZ × Z/ pZ × Z/ pZ engendré par les éléments qv -relevables est exactement le sous-groupe Z/ pZ × Z/ pZ × 1. Donc le sous-groupe Iv (G) ⊂ H 1 (kv , G ab ) = H 1 (kv , Z/ p 2 Z) × H 1 (kv , Z/ p 2 Z) × H 1 (kv , Z/ pZ) engendré par l’image de H 1 (kv , G) dans H 1 (kv , G ab ) est contenu 1 (k , Z/ pZ). Prenons alors l’élément dans H 1 (kv , Z/ p 2 Z) × H 1 (kv , Z/ p 2 Z) × Hnr v a := (0, 0, α) ∈ H 1 (k, M) = H 1 (k, µ p2 ) × H 1 (k, µ p2 ) × H 1 (k, µ p ), où α correspond à la classe de ζ p dans k ∗ /(k ∗ ) p . Si p 2 divise qv − 1, ζ p2 est contenu dans kv et donc av = 0. Si p divise exactement qv − 1, av est orthogonal à Iv (G) si et seulement si αv est orthogonal à la projection de Iv (G) dans H 1 (kv , Z/ pZ), et le raisonnement précédent assure que cette projection 1 (k , Z/ pZ). Or pour tout v  = v , α ∈ H 1 (k , µ ), donc par est contenue dans Hnr v 0 v p nr v 1 (k , Z/ pZ), donc a est orthogonal théorème de dualité locale, αv est orthogonal à Hnr v v à Iv (G) dès que p divise exactement qv − 1. Finalement, l’élement a ainsi construit est bien orthogonal à Iv (G) en toute place v = v0 , mais av = 0 dès que p divise exactement qv − 1; or l’ensemble des places v telles que p divise exactement qv − 1 a pour densité 1 − 1/ p > 0, donc a ∈ / X1ω (k, M). L’élément a correspond donc bien   à un élément de Brnr1 (X ) qui n’est pas dans Bω (X ). 2

2

2

Proposition 2 Si k = Q(ζ p ) et G := x, y, z : x p = y p = z p = 1; [x, y] = z p , [x, z] = [y, z] = 1, alors X (k
)Brnr1 (X )  X (k
)Bω (X ) = X (k
). En particulier, l’obstruction de Brauer–Manin relative au sous-groupe Bω (X ) n’est pas suffisante pour expliquer le défaut d’approximation faible sur X . Preuve On considère à nouveau l’élément a ∈ H 1 (k, M) utilisé dans la preuve de la proposition 1. On sait que pour toute place v = v0 , av ∪ [Z ] (Pv ) = 0 pour tout point

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Groupe de Brauer non ramifié d’espaces homogènes à stabilisateurs finis

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Pv ∈ X (kv ). Par conséquent, (Pv ) ∈ X (k
) est orthogonal à a ∪ [Z ] si et seulement si av0 ∪ [Z ] (Pv0 ) = 0. Lemme 5 Iv0 (G) = H 1 (kv0 , G ab ). Preuve On note kv0 ( p) le groupe de Galois la p-extension maximale de kv0 . • Si p = 2, alors par le théorème (7.5.9) de [9], kv0 ( p) = Q2 (2) est le pro2-groupe à 3 générateurs x1 , x2 , x3 avec la relation x12 x24 [x2 , x3 ] = 1. Par conséquent, la donnée d’un morphisme φv0 : kv0 → G ab équivaut à celle d’un triplet (g 1 , g 2 , g 3 ) ∈ 2 G ab × G ab × G ab (car G ab est d’exposant 4). Notons E l’ensemble des tels triplets qui se relèvent en un triplet (g1 , g2 , g3 ) ∈ G × G × G vérifiant la relation g12 = [g2 , g3 ]. Cela correspond exactement aux morphismes φv0 : kv0 → G ab qui proviennent d’un morphisme φv 0 : kv0 → G. Soient alors (g 1 , g 2 , g 3 ) ∈ 2 G ab × G ab × G ab , et (g1 , g2 , g3 ) ∈ G × G × G des relevés quelconques. Si on a la relation g12 = [g2 , g3 ], alors (g 1 , g 2 , g 3 ) ∈ E. Sinon, deux cas sont possibles: • Soit g12 = 1 et [g2 , g3 ] = z 2 . Alors la relation g12 = [g2 , 1] et 12 = [1, g3 ] assure que les triplets (g 1 , g 2 , 1) et (1, 1, g3 ) sont dans E, et donc (g 1 , g 2 , g3 ) est dans le sous-groupe engendré par E. • Soit g12 = z 2 et [g2 , g3 ] = 1. Alors il existe g, h ∈ G tels que [gg2 , hg3 ] = z 2 , avec g ou h trivial dès que g2 ou g3 n’est pas dans le centre de G. Donc, si g2 ou g3 n’est pas central, (g 1 , gg 2 , hg3 ) ∈ E et (1, g, h) ∈ E, donc (g 1 , g 2 , g3 ) est dans le sous-groupe engendré par E. Si g2 et g3 sont centraux, alors [xg2 , yg3 ] = z 2 , donc (g 1 , x g 2 , yg3 ) ∈ E, (1, g 2 , y −1 g3 −1 ) ∈ E et (1, x −1 g −1 2 , g3 ) ∈ E, et donc (g 1 , g 2 , g3 ) est dans le sous-groupe engendré par E, d’où le lemme 5 dans le cas p = 2. • Si p > 2, alors par le théorème (7.5.9) de [9], kv0 ( p) est le pro-p-groupe à p + 1 générateurs x1 , . . . , x p+1 et une relation:   p x1 [x1 , x2 ] [x3 , x4 ] , . . . , x p , x p+1 = 1. On raisonne alors comme précédemment pour montrer que l’ensemble des ( p +1)uplets (g1 , . . . , g p+1 ) ∈ p G ab ×G ab ×· · ·×G ab qui se relèvent en des ( p+1)-uplets   p (g1 , . . . , g p+1 ) ∈ G × · · · × G vérifiant g1 [g1 , g2 ] [g3 , g4 ] , . . . , g p , g p+1 = 1 engendre tout p G ab × G ab × · · · × G ab .   Terminons la preuve de la proposition 2. On sait que Iv0 (G) = H 1 (kv0 , G ab ), et donc  [Z ] (Pv0 ) : Pv0 ∈ X (kv0 ) engendre tout H 1 (kv0 , G ab ). Or av0 = 0, et le cup produit local est non dégénéré, donc il existe un point Pv0 tel que av0 ∪ [Z ] (Pv0 ) = 0, et donc en prenant Pv quelconque pour v = v0 , on obtient un point (Pv ) ∈ X (k
) qui n’est pas Brauer–Manin orthogonal à a ∪ [Z ] ∈ Brnr1 (X ). Enfin X1ω (k, M) = 0 (voir [21], chapitre 10, théorème 1), donc Bω (X ) = Br k. Donc finalement, (Pv ) ∈   X (k
)Bω (X ) \X (k
)Brnr1 (X ) . Remarque 10 Sous les hypothèses de la proposition 2, en appliquant le corollaire 2 du lemme 5.3 de [25] et le lemme 5.6 de [25] (appliqué à un facteur minimal du

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C. Demarche

groupe G), et en utilisant le fait que G est d’ordre p 6 et G ab n’est pas annulé par p, on voit que le groupe Brnr (X ) est trivial. Par conséquent, dans l’exemple de la proposition 2, il n’y a pas d’obstruction transcendante à l’approximation faible, et donc X (k
)Brnr1 (X ) = X (k
)Brnr (X ) . Donc par le théorème 1 de [6], on en déduit que X (k) = X (k
)Brnr1 (X ) , c’est-à-dire que l’obstruction de Brauer–Manin algébrique à l’approximation faible sur X est bien la seule. 7 Obstruction de Brauer–Manin L’objectif de cette section est de décrire l’obstruction de Brauer–Manin à l’approximation faible sur les espaces homogènes considérés en termes de cohomologie galoisienne des groupes finis. Soit k un corps de nombres et G un k-groupe fini. On considère la k-variété X := SLn /G. On note toujours Z := SLn /D(G). Le résultat principal de cette section généralise le théorème 4 de [6], en considérant non plus l’obstruction associée au sous-groupe Bω (X ), mais celle associée au sous-groupe Brnr1 (X ). On note H I1 (k, G ab ) l’ensemble des α ∈ H 1 (k, G ab ) tels que αv ∈ Iv (G) pour toute place v de k. Théorème 6 Soit G un k-groupe fini. Alors on a équivalence entre: 1. X (k) = X (k
)Brnr1 .
2. Pour tout ensemble fini de places S, l’image de l’application H 1 (k, G) →
v∈S H 1 (kv , G) est constituée des éléments (gv )v∈S dont l’image (gv )v∈S dans v∈S H 1 (kv , G ab ) provient de H I1 (k, G ab ). Remarque 11 On voit donc que l’obstruction de Brauer–Manin ne semble pas distinguer l’image Hv (G) de H 1 (kv , G) → H 1 (kv , G ab ) du sous-groupe Iv (G) engendré par cette image. Une idée pour construire un espace homogène X , pour lequel l’obstruction de Brauer–Manin n’est pas la seule, pourrait donc être de trouver un groupe G pour lequel l’obstruction de Brauer–Manin disparait (par exemple un groupe de type ECF), et de construire des classes locales σv ∈ Hv (G) pour v ∈ S de sorte que pour tout élément α ∈ H 1 (k, G ab ) relevant ces classes locales, il existe une place / Hv  (G). v  telle que αv  ∈ Ce théorème est une conséquence du résultat suivant, qui est un analogue du théorème 4.4 de [4]: Proposition 3 Soit M un k -module fini, M  son dual. Soit S un ensemble fini de places de k, contenant les places où le module M est ramifié. On se donne pour 1 (k , M). On toute place v hors de S un sous-groupe Iv de H 1 (kv , M) contenant Hnr v 1  note Iv l’orthogonal de Iv pour le cup-produit local. On définit H I,S (k, M) (resp. H I1 ,S (k, M  )) comme l’ensemble des éléments de H 1 (k, M) (resp. H 1 (k, M  )] dont la localisation en v est dans Iv (resp. Iv ) pour toute place v hors de S. On a alors une suite exacte de groupes abéliens:  1 (k, M) → H 1 (kv , M) → H I1 ,S (k, M  ) D H I,S v∈S

où la dernière flèche est donnée par la somme des cup-produits locaux.

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Groupe de Brauer non ramifié d’espaces homogènes à stabilisateurs finis

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1 (k, M) d’image Preuve Il est clair que cette suite est un complexe : soit α ∈ H I,S ϕ dans H I1 ,S (k, M  ) D . Si β ∈ H I1 ,S (k, M  ), alors ϕ(β) = v∈S αv ∪ βv . Or pour 1 (k, M) et de H 1 (k, M  ), toute place v ∈ / S, αv ∪ βv = 0 par définition de H I,S I  ,S donc ϕ(β) = v∈
k αv ∪ βv = 0 car α et β sont des éléments globaux et la suite de Poitou-Tate (voir [9], 8.6.10) est un complexe. Il reste donc à vérifier l’exactitude au centre. On considère le diagramme commutatif suivant, dont la seconde ligne est exacte (voir [9], 8.6.10):

1 (k, M) H I,S

/


v ∈S / Iv

×




i

 H 1 (k, M) /




v∈
k

v∈S

H 1 (kv , M)

 H 1 (kv , M)

dS

/ H 1 (k, M  ) D I ,S O i ∗

d

/ H 1 (k, M  ) D



 1 où v ∈S / Iv est le produit restreint des Iv par rapport aux Hnr (kv , M), et v∈
k 1 (k , M). H 1 (kv , M) le produit des H 1 (kv , M) par rapport aux Hnr v
restreint )v∈S ∈ v∈S H 1 (kv , M) tel que d S ((αv )) =
0. On note (αv ) l’image Soit (αv

de (αv ) dans v∈
k H 1 (kv , M) via l’injection naturelle v∈S H 1 (kv , M) → v∈
k  1  ) D . Par construction, i ∗ (δ) = 0. Or le noyau H 1 (kv , M), et δ := d((α
v )) ∈ 1H (k, M ∗   de i est le dual de v ∈S v (produit restreint pour les sous-groupes / H (kv , M )/I
1   M )/Iv ), et ce dual s’identifie à v ∈S Hnr (kv ,
/ Iv . Donc δ correspond à un élément Iv . Définissons alors l’élément γ / S. (βv ) ∈ v ∈S v := αv si v ∈ S et γv := −βv si v ∈ /

1 1  D Alors (γv ) ∈ v ∈S v∈S H (kv , M), et (γv ) s’envoie sur 0 dans H (k, M ) , / Iv × 1 0 1 0 donc (γv ) se relève en γ ∈ H (k, M), et cet élément γ est bien dans H I,S (k, M).   Déduisons le théorème 6 de la proposition 3: Preuve (du théorème 6) On suppose
que l’assertion 1. est vérifiée. Soit S un ensemble fini de places de k. Soit (gv )v∈S ∈ v∈S H 1 (kv , G), d’images respectives gv dans H 1 (kv , G ab ), tels qu’il existe g 0 ∈ H I1 (k, G ab ) vérifiant gv0 = gv pour toute place v dans S. Pour montrer la propriété 2., il suffit de trouver (Pv ) ∈ X (k
)Brnr1 (X ) tel que [Y ] (Pv ) = gv pour v dans S. Le groupe Brnr1 (X )/Br k est fini (puisque X est unirationnelle), on peut donc trouver un ensemble fini de représentants E = {e1 , . . . , en } de ce quotient dans Brnr1 (X ), de sorte que tout élément ei ∈ E s’écrive ei = ai ∪ [Z ] pour un élément ai dans H 1 (k, M), orthogonal à Iv (G) en presque toute place v. Quitte à augmenter S, on peut supposer que pour toute place v ∈ / S, et pour tout i, ai,v est orthogonal à Iv (G). / S, il existe Pv ∈ X (kv ) tel Le torseur SLn → X étant versel, pour toute v ∈ / S, on choisit Pv ∈ X (kv ) que [SLn ] (Pv ) = gv ∈ H 1 (kv , G). Pour toute place v ∈ arbitraire. Ainsi en toute place v, [Z ] (Pv ) est dans Iv (G) (c’est l’image de [SLn ] (Pv )). Fixons un entier i. Pour toute place v ∈ S, ei (Pv ) = ai,v ∪ [Z ] (Pv ) = ai,v ∪ gv0 , et si v∈ / S, ai,v ∪ [Z ] (Pv ) = 0 car ai,v est orthogonal à Iv (G), et ai,v ∪ gv0 = 0 car ai,v

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C. Demarche

est orthogonal à Iv (G) et gv0 ∈ Iv (G). Donc on a

v∈
k

jv (ei (Pv )) =



jv (ai,v ∪ [Z ] (Pv )) =

v∈
k

v∈
k

jv (ai,v ∪ gv0 ) = 0

par loi de réciprocité globale, car ai ∪ g 0 ∈ Br k. On a donc construit (Pv ) ∈ X (k
)Brnr1 (X ) vérifiant [SLn ] (Pv ) = gv pour toute place v de S. On conclut alors en 1.), et l’élément approchant (Pv )v∈S par un point rationnel m ∈ X (k) (par l’assertion
g˜ := [SLn ] (m) ∈ H 1 (k, G) s’envoie bien sur (gv )v∈S dans v∈S H 1 (kv , G), d’où l’assertion 2. On suppose désormais la propriété 2. vérifiée. On se donne (Pv ) ∈ X (k
)Brnr1 (X ) et S un ensemble fini de places de k. Par la proposition 3, appliqué pour les sous-groupes Iv := Iv (G), on dispose de la suite exacte suivante: 1 H I,S (k, G ab ) →

 v∈S

H 1 (kv , G ab ) → H I1 ,S (k, M) D .


Par hypothèse, ([Z ] (Pv ))v∈S ∈ v∈S H 1 (kv , G ab ) est envoyé sur 0 dans H I1 ,S (k, M) D, puisque pour a ∈ H I1 ,S (k, M), v∈S jv (av ∪[Z ] (Pv )) = v∈
k jv (av ∪[Z ] (Pv )) = 0 (pour la première égalité, on remarque simplement que pour v ∈ / S, [Z ] (Pv ) ∈ Iv (G) et av est orthogonal à Iv (G)). Donc par exactitude, l’élément ([Z ] (Pv ))v∈S provient 1 (k, G ab ). Donc par la propriété 2., l’élément ([Y ] (P )) d’un élément de H I,S v v∈S ∈
1 1 v∈S H (kv , G) provient d’un élément de H (k, G). Cela assure qu’il existe un cocycle g ∈ Z 1 (k, G) tel que le torseur tordu f g : (SLn )g → X admet un kv -point Q v au-dessus de Pv , pour v ∈ S. Or H 1 (k, SLn ) = 0 (Hilbert 90), donc (SLn )g est k-isomorphe à SLn , et donc (SLn )g vérifie l’approximation faible : il existe r ∈ (SLn )g (k) arbitrairement proche des Q v pour v ∈ S. Finalement, le point m := f g (r ) ∈ X (k) est arbitrairement proche des Pv , pour v ∈ S, ce qui implique la propriété 1.   Corollaire 4 Soit G un groupe algébrique fini sur k, X := SLn /G pour un plongement G → SLn,k . Pour toute place v de k, on note Iv (G) le sous-groupe de H 1 (kv , G ab ) engendré par l’image Hv (G) de l’application H 1 (kv , G) → H 1 (kv , G ab ). Soit (Pv ) ∈ X (k
). On a alors la caractérisation suivante: (Pv ) ∈ X (k
)Brnr1 si et seulement
si ([Z ] (Pv ))v∈
est dans l’adhérence de 1 H (k, G ab ) dans le produit restreint  (H 1 (kv , G ab ) : Iv (G)). Remarque 12 On sait que la condition (Pv ) ∈ X (k) implique
que ([Z ] (Pv ))v∈
est dans l’adhérence de H 1 (k, G ab ) dans le produit restreint  (H 1 (kv , G ab ) : Hv (G)). 8 Approximation faible pour le groupe Q 16 sur Q Définition 3 On dit qu’un k-groupe fini G vérifie l’approximation faible sur k si la variété X := SLn /G vérifie l’approximation faible sur k.

123

Groupe de Brauer non ramifié d’espaces homogènes à stabilisateurs finis

965

Dans cette section, on montre que le groupe des quaternions d’ordre 16, noté Q 16 , vérifie l’approximation faible sur Q. Rappelons la définition de ce groupe : si n ≥ 2, on note Q 2n le groupe des quaternions d’ordre 2n , défini par générateurs et relations, n−1 n−2 Q 2n := a, b : a 2 = 1, b2 = a 2 , ba = a −1 b. La variété X n = SLm /Q 2n est rationnelle (et donc vérifie l’approximation faible) pour n = 2 et n = 3, et non rationnelle pour n = 4 (voir par exemple [17], théorème 34.7). En outre, le corollaire 3 et la remarque 7 assurent que le groupe de Brauer non ramifié de la variété X n est trivial pour tout n. Il n’y a donc pas d’obstruction de Brauer–Manin à l’approximation faible sur X n , et la variété X n (n ≥ 3) n’entre pas dans le cadre des résultats de [6]. Ces éléments justifient l’étude de l’approximation faible sur X 4 . Décrivons d’abord Hl (Q 16 ) ⊂ H 1 (Ql , Q ab 16 ) selon les valeurs de l. Pour tout l  = 2, ∈ Ql∗ désigne une unité qui n’est pas un carré dans Ql . Si l = 2, le groupe H 1 (Ql , Z/2) = Ql∗ /(Ql∗ )2 est formé des classes de 1, , l, l modulo (Ql∗ )2 . Un élément de H 1 (Ql , Qab 16 ) est ainsi décrit par un couple (d1 , d2 ), où di ∈ {1, , l, l}. Le tableau suivant décrit l’ensemble Hl (Q 16 ): l ≡ 1 mod 8 l ≡ 3 ou 5 mod 8 l ≡ 7 mod 8

d1 d2 d1 d2 d1 d2

1 1 1 1 1 1

1

1

1

1 l

1

1

1

1

l





l

l

l 1 l 1 l 1

l l l l l l

l 1

l 1

l 1

l

l

l

l

l

l

Lemme 6 Soit G une Q-forme de Z/4. Soit M le Q -module dual. Alors X1ω (Q, M) = 0. Preuve Si G est Q-isomorphe à Z/4, alors le résultat √ est bien connu. Sinon, G est un Gal(L|Q)-module cyclique d’ordre 4, où L = Q( d)/Q est une extension quadratique, le générateur σ de Gal(L|Q) agissant sur Z/4 par multiplication par −1. Par conséquent, G s’intègre dans une suite exacte de Q -modules: N

→ Z/4 [L/Q] → G → 0 0 → Z/4 − où Z/4[L/Q] est le Gal(L|Q)-module isomorphe comme groupe abélien à Z/4 ⊕ Z/4, muni de l’action de σ qui échange les deux composantes, et N est l’application diagonale. On a la suite exacte duale: N L/Q

0 → M → R L/Q (µ4 ) −−−→ µ4 → 0. On considère alors les suites exactes longues de cohomologie: µ4 (L)




v



µ4 (L v )

N L/Q

/ µ4 (Q)

/ H 1 (Q, M)

/ L ∗ /L ∗ 4

 /
l µ4 (Ql )

 /
l H 1 (Ql , M)

 /
L ∗ /L ∗ 4 v v v

N L/Q

/ Q∗ /Q∗ 4 .  /
Q∗ /Q∗ 4 l l l

123

966

C. Demarche

Soit α ∈ X1ω (Q, M). Son image dans L ∗ /L ∗ 4 est nulle localement presque partout, donc elle est nulle globalement (on n’est pas dans un cas spécial), donc α provient d’un élément β de µ4 (Q). Si α = 0, alors β = −1. Puisque βl s’envoie sur 0 dans N L v /Ql
H 1 (Ql , M) pour presque toute place l, on a −1 ∈ Im( v|l µ4 (L v ) −−−−→ µ4 (Ql )) pour presque tout l. Donc pour presque toute est totalement √ √ place l, L/Q ou Q(i)/Q décomposée. On en déduit que Q(i) ⊂ Q( −d), d’où L = Q( d) = Q, ce qui est exclu. Donc α = 0.   ab 1 Lemme 7 On note H H1 (k, Q ab 16 ) l’ensemble des éléments de H (k, Q 16 ) qui sont localement partout dans Hl (Q 16 ). Alors : Q 16 vérifie l’approximation faible sur Q si 1 ab et
seulement si pour tout ensemble fini de places S, l’application H H (Q, Q 16 ) → l∈S Hl (Q 16 ) est surjective.

Preuve C’est essentiellement
une conséquence du lemme 6, via une méthode de fibration. Soit (αv )v∈S ∈ v∈S Hv (Q 16 ) (provenant des éléments av ∈ H 1 (Qv , Q 16 ) que l’on veut approcher). On suppose que ces (αv ) sont l’image d’un élèment α 0 ∈ 0 0 1 H H1 (Q, Q ab 16 ). Alors l’élément α provient d’un élément β ∈ H (Q, Q 16 ) : en effet, en termes géométriques, et en utilisant les notations de [6], preuve du théorème 1, on construit un morphisme f : Z → B, où Z est stablement k-birationnel à X , et B est un ab espace homogène d’un groupe semi-simple
simplement connexe à stabilisateur Q 16 , et on dispose de points locaux (Pv )v∈S v∈S Z (kv ) (correspondant aux av ) d’images respectives Q v := f (Pv ) ∈ B(kv ) (correspondant aux αv ). La fibre de f au-dessus d’un point Q 0 approchant les Q v (correspondant à α 0 ) est un espace homogène de SLn à stabilisateur cyclique d’ordre 4, avec des points locaux en toute place de Q (puisque α 0 ∈ H H1 (Q, Q ab 16 )). Or l’obstruction de Brauer–Manin au principe de Hasse et à l’approximation faible est la seule sur un tel espace, et par le lemme 6, le sousgroupe du groupe de Brauer de la fibre, formé des éléments localement constants en presque toute place, est trivial. Donc cette obstruction disparaît et la fibre vérifie le principe de Hasse et l’approximation faible. Enfin, par le théorème des fonctions implicites, on peut bien approcher les points initiaux de Z (kv ) (correspondants aux av ) par un point rationnel.   Théorème 7 Le groupe Q 16 vérifie l’approximation faible sur Q. Preuve Soit S un ensemble fini de places contenant la place infinie, mais ne contenant pas 2. On note S  := S ∪ {2}. On se donne des données locales αl ∈ Hl (Q 16 ) ⊂  H 1 (Ql , Q ab 16 ) pour toute place l ∈ S . Chaque élément αl , l ∈ S, correspond à un 2 2 l l ∗ ∗ couple (d1 , d2 ) ∈ (Ql /Ql ) . On note S1 l’ensemble des places l ∈ S telles que d1l soit ramifié, S2 celui des places
l ∈ S telles que d2l soit ramifié. Notons alors δi := l∈Si l, pour i = 1, 2. Quitte à ajouter un nombre fini de places à S1 et S2 , et quitte à multiplier δ1 , δ2 par 2, on peut supposer que δ1 et δ2 réalisent la condition locale en 2 (en effet, une telle condition est définie par des congruences modulo 8 ou 16 pour les di : par exemple, δ1 ≡ −1 mod 8 et δ2 ≡ 10 mod 16).
d l On pose, pour {i, j} = {1, 2}, πi := l∈Si ( l j ), où d  lj := d lj /l si l divise d lj et d  lj := d lj sinon, et (

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d  lj l

) = ±1 selon que d  lj soit un carré ou non dans Ql∗ . Quitte

Groupe de Brauer non ramifié d’espaces homogènes à stabilisateurs finis

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à ajouter une place l1 ≡ 1 mod 8 dans S1 et une place l2 ≡ 1 mod 8 dans S2 , ainsi que des conditions locales (dans Hli (Q 16 )) bien choisies en ces deux places, on peut supposer que π1 = π2 = 1 (voir théorème 111 de [26] ainsi que la description explicite de Hl (Q 16 ) dans le cas l ≡ 1 mod 8).
δl Notons πi := l∈Si ( l j ) (à nouveau, δ  lj = δ j /l si l divise δ j , et δ j sinon). Si π1 = −1, on ajoute une place l1 à S1 telle que ( δl12 ) = −1, l1 ≡ 1 mod 8 et on pose αl1 = (l1 , 1) avec les identifications précédentes. De même, si π2 = −1, on ajoute une place l2 à S2 telle que ( δl21 ) = −1, l2 ≡ 1 mod 8 et on pose αl2 = (1, l2 ). On peut alors supposer que π1 = π2 = π1 = π2 = 1. En utilisant à nouveau le théorème 111 de [26], on sait qu’il existe un nombre δl p

d l

premier p ≡ 1 mod 8 de sorte que p ∈ / S et ( l1 ) = ( l 1 ) pour tout l ∈ S. Alors on



δl p δl a ( δp2 ) = l∈S2 ( pl ) = l∈S2 ( pl ), or l∈S2 ( l1 ) = π2 = 1 et v∈S2 ( l 1 ) = π2 = 1, donc ( δp2 ) = 1. De même, il existe q = p, q ∈ / S, q ≡ 1 mod 8 tel que (

δ  l2 q l )

=(

d  l2 l )

pour tout l ∈ S et ( qp ) = 1. Alors on vérifie immédiatement que ( δq1 ) = 1. On considère alors D1 := δ1 p et D2 := δ2 q. L’élément α 0 := (D1 , D2 ) ∈ 1 H (Q, Z/2 × Z/2) vérifie: • αl0 = αl pour tout l ∈ S  . • αl0 ∈ Hl (Q 16 ) pour tout l ∈ / S  ∪ { p, q}. • en la place p (resp. q), α 0p = ( p.r, 1) (resp. αq0 = (1, q.r  )), donc grâce à la description explicite de H p (Q 16 ) (resp. Hq (Q 16 )), on sait que α 0p ∈ H p (Q 16 ) (resp. αq0 ∈ Hq (Q 16 )). 0  Finalement, cela assure que α 0 ∈ H H1 (Q, Q ab 16 ) et αl = αl pour tout l ∈ S , et cela conclut la preuve grâce au lemme 7.  

Remarque 13 Pour le cas des groupes Q 2n , n ≥ 5, le lemme 6 n’est plus valable lorsque l’on remplace Z/4 par Z/2n−2 , avec n ≥ 5 (en effet, on sait que X1ω (Q, µ8 ) = 0). Cependant, grâce à la proposition 10 de [27], page I.31, et à l’analogue de la preuve du théorème 7, on sait que l’on
peut faire la première étape d’une méthode de fibration : étant donnés (αl )l∈S ∈ l∈S Hl (Q 2n ), il existe α 0 ∈ H 1 (Q, Q ab 2n ) se relevant dans H 1 (Q, Q 2n ) et tel que αv0 = αv pour toute place v de S. Cependant, pour l’étape suivante (approximation faible dans les fibres de la fibration), on a a priori une obstruction de Brauer–Manin à l’approximation faible dans les fibres, puisque le lemme 6 n’est plus valable. On est dans une situation de fibres multiples, où la méthode de fibration ne s’applique pas, sauf si les fibres vérifient l’approximation faible (cas de Q 16 ). Remerciements Je remercie chaleureusement David Harari pour son soutien et ses nombreux commentaires sur ce travail. Je remercie également le rapporteur pour ses précieuses remarques.

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