Arch. Math., Vol. 55, 313-316 (1990)

0003-889X/90/5504-0313$ 2.30/0 9 1990 Birkh~iuserVerlag, Basel

Groupes d'Engel avec la condition maximale sur les p-sous-groupes finis ab61iens Par G~RARD ~NDIMIONI

Les notations rappel6es ici sont classiques: si x et y sont deux 61~ments d'un groupe, on pose [x, y] = x- 1 y- ~ xy. Plus g6nbralement, n 6tant un entier naturel, on d6finit [x,, y] par [x, oy ] = x et [x,~,+l)y] = [ [ x , , y ] , y ] . Si, ~t chaque couple (x,y) d'616ments d'un groupe, on peut associer un entier n tel que [x,,y] = 1, on dit que le groupe est d'Engel. Dans [3], Baer a d6montr6 qu'un groupe d'Engel est nilpotent s'il v6rifie la condition maximale pour ses sous-groupes (i.e. toute cha~ne croissante de sous-groupes devient stationnaire ~t partir d'un certain rang). Par la suite, Peng [5] parvint ~ la m~me conclusion avec une hypoth~se plus faible: un groupe d'Engel, v6rifiant la condition maximale pour ses sous-groupes ab61iens, est n6cessairement nilpotent. Pour simplifier, si p est un nombre premier, nous dirons qu'un groupe v6rifie Max - p - f (respectivement Max - p - f - ab) s'il v6rifie la condition maximale pour ses p-sous-groupes finis (respectivement pour ses p-sous-groupes finis ab61iens). Notons qu'un groupe, 6ventuellement p6riodique, peut v6rifier M a x - p fa b pour tout nombre premier p sans v6rifier la condition maximale pour ses sous-groupes ab61iens: il suffit par exemple de consid6rer te produit direct d'une infinit6 de p-groupes finis ab61iens, les hombres premiers p 6tant choisis distincts. Le but de ce qui suit est d'6tudier les groupes d'Engel satisfaisant ~ la propri6t6 Max - p - f - a b. En particulier, seront caract6ris6s les groupes d'Engel p6riodiques v6rifiant Max - p - f - ab pour tout p premier. De toute 6vidence, Max - p - f implique Max - p - f - ab; en fait, ces deux conditions sont 6quivalentes: Lemme 1. Soit Gun nombre premier donnd).

groupe possddant la condition M a x - p - f -

ab (p ~tant un

Alors G possdde aussi la condition Max - p - f .

D 6 m o n s t r a t i o n. Cela va d6couler d'un r6sultat plus g6n6ral, reliant la condition maximale avec la condition maximale sur les sous-groupes ab61iens. Dans un groupe v6rifiant Max - p - f - ab, consid6rons une chalne croissante de p-sous-groupes finis et notons H leur r6union. I1 est clair que H est un groupe localement nilpotent, v6rifiant la condition maximale pour les sous-groupes ab61iens. I1 en r6sulte alors que H est polycyclique ([6]; Th6or6me 3.31), donc fini, puisqu'il est p6riodique. La cha~ne consid6r6e est bien n6cessairement stationnaire.

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Lemme 2. Soient x et y deux ~Wments d'un groupe arbitraire et nun entier naturel. Alors, il existe z, ~Wment de la cINure normale de [x, 2 y] dans (x, y), tel que: [x, y"] = [x, Yl" z . D 6 m o n s t r a t i o n. I1 suffit de faire une r6currence sur n, en utilisant l'identit6: [x, y"+*] = [x, y"] [x, y] [[x, y], y"]. Lemme 3. Soit x un ~Wment d'ordre n d'un groupe d'Engel G. Si H est un sous-groupe normal de G, sans ~Wment (autre que 1) d'ordre fini diviseur de n, alors x centralise H. D 6 m o n s t r a t i o n. Supposons qu'il existe h dans H tel que [h, x] soit diff6rent de 1. Sij est le plus petit entier tel que [h, jx] = 1, on a doncj > 2. Appliquons le lemme pr6c6dent au c o m m u t a t e u r [[h,(j_2)x],x n] = 1. I1 en r6sulte que 1 = [[h, ti_E)X],X n] = [h,o-l)x] nz; le facteur zest dans la cl6ture normale de [[h,o_ i)x], x] = 1, donc z = 1. Le commutateur [h,o_ l)x] 6tant dans H, d'ordre diviseur de n, on en d6duit qu'il est 6gal /t 1, ce qui est contradictoire. Dans ce qui suit, par d6finition, un p-sous-groupe de Sylow d'un groupe G sera un p-sous-groupe maximal de G. L'existence de tels sous-groupes, que G soit fini ou infini, est une cons6quence du lemme de Zorn. Rappelons que si G est infini, les p-sous-groupes de Sylow ne sont pas n6cessairement conjugu6s, ni m~me 6quipotents. Th6or6me. Consid&ons un nombre premier p, et Gun Max - p - f - ab. Alors:

groupe d'Engel v&ifiant

1) G poss~de un seul p-sous-groupe de Sylow (qui est donc normal dans G); de plus, ce sous-groupe est fini. 2) Tout ~Wment de G, d'ordre fini premier avec p, centralise le p-sous-groupe de Sylow. D 6 m o n s t r a t i o n. La deuxi6me partie de ce th6or~me est une cons6quence imm& diate de la premi6re partie et du lemme pr6c6dent. En outre, pour d6montrer cette premi6re partie, il est clair qu'il suffit de v6rifier que G ne poss6de pas plus d'un p-sousgroupe fini, maximal pour ces deux propri6t6s (un tel sous-groupe existe puisque d'apr~s le Lemme 1, G v6rifie Max - p - f ) . Supposons donc que G poss6de deux p-sous-groupes finis distincts A et B, maximaux dans l'ensemble des p-sous-groupes finis, et choisis de teUe mani6re que leur intersection I soit maximale. Puisque A est un p-groupe fini, il existe dans A\I un 616ment x normalisant I. De m~me, soit y un 616ment de B\I normalisant I. Si H d6signe le sous-groupe engendr6 par I, x et y, notons A i l'intersection de H avec A, et N n (Ai) le normalisateur de A1 dans H. I1 ne peut exister de p-616ment (i.e. d'616ment d'ordre une puissance de p) dans Nn (A1)\Al: en effet, si un tel 616ment z existait, (A1, z) serait un p-groupe fini, et I serait alors strictement inclus dans l'intersection de A avec un p-sous-groupe fini maximal contenant (A~, z). En particulier, l'616ment y, qui n'est pas darts A~, est un p-616ment: il n'appartient donc pas ~t Nn(A1). Le groupe G &ant d'Engel, il existe un plus petit entier n tel que [y,,x] soit dans Nn(A1); cet entier est au moins 6gal ~ 1 car y n'est pas

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dans N n (A2). Le commutateur [y,, x] = [y,I,_ 2)x] - 1 x- i [y,t,_ 2)x] x &ant dans N R (A2), on en dbduit q ue [y, tn_ 2)x]- i x [y,~,_ 2)x] = t, avec t dans Nn (A1); mais puisque t et x sont conjugu6s, t e s t un p-616ment, donc se trouve en fait dans A1. Posons C = [y,t,_l)x]A[y,~,_l)x]-l; les p-sous-groupes maximaux A et C sont distincts car sinon, le commutateur [y,t,_l)x], normalisant H et A, normaliserait A1. L'intersection de A et de C contient I (puisque [y,~n_2)x] normalise I) et x (puisque x = [Y,~n-1)x] t [y,~,_ 1)x] - 2), d'ofl une contradiction qui termine la d6monstration, l'intersection I ayant 6t6 choisie maximale. Corollaire 1. Soit G un groupe d'Engel v~rifiant Max - p - f - a b pour tout premier p. Alors: 1) Les ~lOments d'ordre fini forment un sous-groupe caractkristique de G (en d'autres termes, G poss~de un sous-groupe de torsion). 2) Pour chaque entier premier p, G poss~de un seul p-sous-groupe de Sylow, qui est fini. 3) Le sous-groupe de torsion de G est le produit direct des p-sous-groupes de Sylow de G. D 6 m o n s t r a t i o n. D'apr6s le th6or6me pr6c6dent, le sous-groupe engendr6 par les p-sous-groupes de Sylow de G est 6gal au produit direct de ces p-sous-groupes. Ce sous-groupe est p&iodique et il contient bien tous les 616ments d'ordre fini de G, puisqu'un tel 616ment est un produit de p-616ments. Un produit direct de p-groupes finis (p premiers distincts) 6tant 6videmment un groupe d'Engel p6riodique v6rifiant Max - p - f - a b, on en d6duit une caract&isation de ces derniers: Corollaire 2. Les groupes premier p sont exactement les En particulier, la classe des pour tout premier p cofncide

d'Engel p~riodiques vOrifiant Max - p - f - ab pour tout produits directs de p-sous-groupes finis (p premiers distincts). groupes d'Engel d' exposant fini v~rifiant Max - p - f - a b avec la classe des groupes finis nilpotents.

Ce corollaire a pour cons6quence le r6sultat bien connu de Zorn [7]: "Un groupe d'Engel fini est nilpotent". I1 en r6sulte aussi que les groupes d'Engel p&iodiques v6rifiant Max - p - f - a b pour tout premier p sont localement nilpotents. R e m a r q u e. Soient k et n deux entiers (n > 1), et pun nombre premier diff6rent de 2. Notons B (n, pk) le groupe de Burnside d'exposant pk, avec n g~n6rateurs: par d6finition, B(n, pk) est le quotient du groupe libre de rang n par le sous-groupe engendr6 par les puissances pk-i~mes. Si pk > 673, Adian a dbmontr6 que B (n, pk) est intini ([1]; VI.1.5), et que chaque sous-groupe fini est cyclique, donc d'ordre diviseur de pk ([1]; VII.I.8). Le groupe B(n, pk) v6rifiant M a x - p - f ab, on en d6duit qu'il n'est pas d'Engel, car sinon, il serait fini. Ce r6sultat avait d'abord 6t6 obtenu par Kostrikin [4]. I1 d6coule aussi du r6sultat de Peng [5] rappel6 plus haut. Pour finir, signalons encore que B (n, pk) ne v6rifie pas la condition maximale pour les sous-groupes ([2]; p. 35).

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Bibliographie [1] S. I. ADIAN,The Burnside problem and identities in groups. Berlin-Heidelberg-New York 1979. [2] S.I. ADIAN,Classifications of periodic words and their application in group theory. Burnside Groups. LNM 806, Berlin-Heidelberg-New York 1980. [3] R. BAER,Engelsche Elemente Noetherscher Gruppen. Math. Ann. 133, 256-270 (1957). [4] A. I. KOSTRIKIN,On Engel properties of groups with the identical relation x : = 1. Soviet Math. Dokl. 1, 1282-1284 (1961). [5] T. A. PENG, Engel elements of groups with maximal condition on abelian subgroups. Nanta Math. 1, 23-28 (1966). [6] D. J. S. ROBINSON, Finiteness conditions and generalized soluble groups, Part 1. Berlin-Heidelberg-New York 1972. [7] M. ZORN, Nilpotency of finite groups. Bull. Amer. Math. Soc. 42, 485-486 (1936). Eingegangen am 28.3. 1989 Anschrifl des Autors: G6rard Endimioni 71, rue Monte-Cristo F-13004 Marseille