BAER, R . Math. Annalen 150, I--44 (1963)

Gruppen mit Minimalbedingung B. L, vA~ DER WAERDm~ z u m 60.

Geburtstag am 2. Februar 1963 g e w i d m e t Von

REINHOLD B A ~ R

in Frankfurt/Main

Eine der fruchtbarsten SchluBweisen in der Theorie der endlichen Gruppen ist das sog. Prinzip vom kleinsten Verbreeher: Gilt eine Aussage nicht fiir eine gewisse Klasse endlicher Gruppen, so gibt es unter diesen eine kleinste, ffir die diese Aussage nicht gilt. Es liegt nahe zu vermuten, da~ beim ]~bergang yon der Klasse der endlichen Gruppen zu der der Gruppen mit Minimalbedingung dieses Prinzips nicht ganz seine Fruchtbarkeit verlieren wird; und wir warden dieses Prinzip grfindlich bei der Ableitung yon Kriterien fiir Fast-Kommutativit~t [= Existenz einer abelschen Untergruppe mit endlichem IndeX] yon Gruppen mit Minimalbedingung ausnutzen; vgl. die S~tze 2.1 und 3.3. Hierbei warden die Nicht-Einfachkeitskriterien des § 1 wichtig sein. Als Anwendungen werden wir im Satz 4.1 den bekannten Satz veraUgemeinern, daft eine endliche Gruppe dann und nur dann nilpotent ist, wenn jedes ihrer Elementepaare eine nilpotente Untergruppe erzeugt; und Satz 5.9 liefert eine Verallgemeinerung des Satzes, dab eine endliche Gruppe dann und nur dann iiberauflSsbar ist, wenn ]edes ihrer Elementetripel eine fiberauflSsbare Untergruppe erzeugt. Die bei diesen Betrachtungen benStigten Uberlegungen fiber engelsche Elemente dfirften unabh~ngiges Interesse haben [§ 4]. Bezeichnungen xv = y-lxy = x(xoy) XoY={xoy, x E X , y C Y} O' : (7 o (7, G(~ +" = [G(~] • D(G) = Durchschnitt aller Un~ergruppen U yon 6/mit endlichem Index [(7 : U]

3(7 -~ maximaler auflSsbarer Normaltefler der endlichen Gruppe G q ~ --~ Durchschnitt aller Normalteiler X yon (7 mit ~-Faktorgruppe G/X Tl U -- Normalisator der Untergruppe U yon G in (~ Faktor einer Gruppe = epimorphes Bfld einer Untergruppe Fast-abelsche Gmlppe = Gruppe mit abelscher Untergruppe yon endlichem Index. § 1. N i c h t - E i n f a c h h e i t s - K r i t e r i e n

Es sei ~ eine gruppentheoretisehe Eigensehaft, yon der wir stets annehmen werden, dab es einmal stets ~-Gruppen (= Gruppen mit der Eigenschaft ~) g i b t , und dab zweitens isomorphe Bilder yon ~.Gruppen eben/aUs ~-Gruppen sind. Math. Ann. 150

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REINHOLD BAER:

Welter sagen wit -- fibliehem Spraehgebraueh folgend --, dab die Gruppe O eine Lokal.~.Grup~ ist, wenn jede endlieh erzeugbare Untergruppe yon G eine ~.Gruppe ist. Man sieht sofort, dab diese abgeleitete gruppentheoretisehe Eigensehaft ,,Lokal-@" nieht nut den Grundforderungen geniigt, sondern sieh aueh auf Untergruppen vererbt. Lemma 1.1: Die Grupl~e G besitzt eine Untergruppe U von endlichem Index [G : U], die eine Lokal-~-Gruppe ist, wenn es eine Menge Z, yon Untergruppen yon G mit /olgenden Eigenschaflen gibt : (A) Jedes Element aus G liegt in weni~stens einer Untergruppe aus Z,. (B) Sind A und B Untergruppen aus Z, so gibt es eine A und B enthaltende Untergrupl~e aus Z,. (C) Untergruppen au8 ~, sind endlich erzeugbar. (D) Es gibt elne ganze Zahl m derart, daft jede Untergruppe X aus X eine Untergruppe Y besitzt, die eine Lokal-~-Gruppe ist, und deren Index [X: Y] < mist. Beweis: Aus (B) folgt sofort dureh eine naheliegende vollst/~ndige Induktion: (B*) Sind X(1) . . . . . X ( k ) endlich viele Untergruppen aus X, so gibt es eine {X(1) . . . . . X(k)} c=X er/iillende Untergruppe X in Z. Weiter folgt aus (C) bekanntlich die folgende Eigensehaft der Untergruppen aus ~: (C*) Ist X eine Untergruppe aus 2: und ~ eine positive 9anze Zahl, so gibt es nur endlieh viele Untergruppen Y yon X mit [X : Y] < ]. Fiir einen Beweis vgl. etwa BI~.R ([2], S. 331, Lemma 4, Folgerung 3). Ist X eine Untergruppe aus 2:, so sei X* die Menge aller Untergruppen S yon X mit folgenden Eigensehaften: (E.1) S ist eine Lokal-@-Untergruppe von X.

(E.2)

[X:S]
Aus (D) folgt, dab die Menge X* nicht leer ist; und aus (C*) folgern wir die Endlichkeit der Menge X*. Sei nun X, Y ein Paar yon Untergruppen aus • mit X ~_ Y; und es sei S eine Untergruppe aus Y*. Dann ist S f~ X mit Seine Lokal-@-Gruppe. Liegen die Elemente x' und x" aus X in verschiedenen Reehtsrestklassen modulo S f~ X, so liegen sie aueh in versehiedenen Reehtsrestklassen modulo S. Es folgt, daft [X: S ~ X] < [Y: S] < m i s t ; und damit haben wir gezeigt, dal3 S :~ X zu X* gehSrt. Wir fassen zusammen: (F.1) Ist X eine Untergruppe aus 2:, so ist X* eine endliche und nieht leere Menge von Untergruppen yon X. (F.2) Sind X und Y Untergruppen aus 2: mit X ~ Y, so ist S -+ S ~ X eine eindeutige Abbildung von Y* in X*. Die dutch (F.2) definierte ,,Projektion" (Y-+ X) yon Y* in X* erffillt die fibliehen Bedingungen: (F.3) ( X - ~ X ) = I , (X-~ Y ) ( Y ~ Z ) = ~ ( X ~ Z ) fiir X~_ Y g Z a u s X . Wegen (B*) haben wit es also mit einem sog. ,,inversen" System endlicher Mengen zu tun. Hieraus folgt bekanntlich:

Gruppen mit Minimalbedingung

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(G) Es gibt eine auf Xdefimierte eindeutige Funktion/, die jeder Untergruppe X aus 2: eindeutig eine Untergruppe [(X) aus X* derart zuordnet, dab

(G*)

/(X) = X ~ l(r)

fox X ~ Y

gilt. Fiir den Beweis vgl. etwa KVl~OSH (p. 167, Theorem) oder STEEN~OD (p. 664 bis 666, Theorem 2.1). Sei nun F die Vereinigungsmenge aller ](X) mit X in X. Ist R eine endiiche Teilmenge yon F, so folgt aus (B*) die Existenz einer Untergruppe P in 2: derart, daft R i n / ( P ) enthalten ist; vgl. (G*). Daraus ergibt sich aber sofort, daft R eine LokaL~-Untergruppe yon Gist. Da alle Indices [X : /(X)] ~ m sind, so gibt es unter den Untergruppen aus 2: eine M mit maximalem Index [ M : / ( M ) ] . Sei J irgendein Rechtsrepr~sentantensystem yon M modulo /(M) (so dai]

M = _,~ ] ( i ) j jEJ

ist). Ist g irgendein Element aus G, so folgt aus (A) und (B) die Existenz einer g und M umfassenden Untergruppe X ans 2:. Aus ](M) = M ~ / ( X ) folgt wieder [M : ](M)] g [X :/(X)]; und aus der Maximalititt yon [ M : / ( M ) ] ergibt sieh dann [M :/(M)] = IX :/(X)]. Also ist J aueh ein volles Repr~sentantensystem der Rechtsrestklassen yon X modulo /(X), so daft g (wegen /(X) g F) in ~ Fj liegt. Damit haben wir jEJ

G= ZFi iEJ

gezeigt, woraus [G : F] = [M :/(M)] =< m folgt. Damit haben wir unsere Be. hauptung voll bewiesen. Bemerkung 1.2: Aus dem Beweis geht hervor, dab die in (D) auftretende obere Sehranke m auch eine obere Sehranke ffir den Index [G : U] ist, und dab wir anstelle yon (C) die sehwachere Bedingung (C*) setzen kSnnen. Ist ~ irgendeine gruppentheoretische Eigensehaft, so wollen wir die Gruppe G als East-~-Gruppe bezeichnen, wenn G eine ~-Untergruppe U mit endliehem Index [G: U] besitzt. Lemma 1.1 liefert dann ein Kriterium daffir, daft eine Gruppe eine Fast-Lolcal-~.Gruppe ist. Da die Eigenschaft Lokal-~ sieh auf Untergruppen vererbt, so vererbt sich auch die Eigenschaft Fast-Lokal-~ auf Untergruppen. Welter sei darauf hingewiesen, dab endiieh erzeugbare FastLokal-~-Gruppen sogar Fast-~-Gruppen sind, da ja Untergruppen endlieh erzeugbarer Gruppen sicher dann endlich erzeugbar sind, worm ihr Index endlieh ist; vgl. etwa BA~.a ([1]; p. 166, l~initeness Principle). Folgerung 1.3: Die Gruppe G i s t dann und nut danu eine Fazt.Lokal.~. Gruppe, wenn are abz5hlbaren Untergruppen yon G Fast-Lobal-~.Gruppen sind. 1"

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REINHOLD BAER:

Beweis: Ds die Eigensehaft Fast-Lokal-~ sich auf Untergruppen vererbt, haben wir nut das Hinreichen unserer Bedingung zu erwefisen. Wir nehmen also an, dab jede abziihlbare Untergruppe yon G die Eigenschaft Fast-Lokal-~ habe. Ist dann X irgendeine endlieh erzeugbare Untergruppe von G, so fist X abz/ihlbar und besitzt also Untergruppen yon endlichem Index, die Lokal-~Gruppen sind -- es gibt sogar, wie oben bemerkt, ~-Untergruppen yon endtichem Index. Sei j (X) das Minimum aller Indices [X : U] ffir Lokal-~-Untergruppen U yon X. ])ann fist also ] (X) eine wohlbestimmte positive ganze Zaht fiir jede endlieh erzeugbare Untergruppe X yon G. W~ren diese Zahlen ] (X) nieht besehr/inkt, so g~be es zu jedem positiven n e i n e endlieh erzeugbare Untergruppe X (n) yon G mit n < ] IX (n)]. Die Untergruppe V = {.... X(n) .... } yon G ist abz~hlbar. Also existiert naeh Voraussetzung eine Untergruppe W yon V mit endlichem [V : W] = w, die eine Lokat-~-Gruppe ist. Da die Eigensehaft Lokal-~ sich auf Untergruppen vererbt, so fist W f~ X (w) eine Lokal-~Untergruppe yon X (w); und es gilt w < i [ X ( w ) ] ~_ [X(w): W~ X(w)]_~ IV: W]=w, ein Widerspruch. Also gibt es eine obere Schranke k aller Indizes j(X) ffir endlieh erzeugbare Untergruppen X yon G. Folglieh l~l~t sieh Lemma 1.1 anwenden, wobei wir fiir 27 natiirlich die Menge aller endlieh erzengbaren Untergruppen yon G w/ihlen; und hieraus ergibt sieh sofort die Giiltigkeit von Folgerung 1.3. Bemerkung 1.4: Ist etwa OAdie Eigensehaft, abelsch zu sein, so fist jede endfiche Gruppe eine Fast-OA-Gruppe; und Lokal.0A-Gruppen sind natiirlich auch 9A-Gruppen. Lokal endliche Gruppen sind also auch Lokal-Fast-~i-Gruppen, w/ihrend Fast-Lokal-0A-Gruppen fast-abelsch sind. Nun kann man sich leicht Beispiele lokal endlicher Gruppen konstruieren, die nieht fast-abelseh sind. Also sind Lokal-Fast-OA-Gruppen nieht immer Fast-Lokal.OA-Gruppen. -- Andererseits iiberzeugt man sieh, dab jede ]~ast-Lokal-~-Gruppe aueh eine LokalFast-i~-Gruppe fist, da sich ja diese Eigensehaften auf Untergruppen vererben. Wir betraehten wieder eine gruppentheoretisehe Eigensehaft ~. In unseren Anwendtmgen wird es eine Eigenschaft endlieher Gruppen sein. Ist G irgendeine Gruppe, sind K (i) endlieh viele Normalteiler yon G mit K(O) = 1, K(i) ~ K ( i + 1), K(n) = G, K ( i + I ) / K ( 1 ) E ~ ffrr O ~ i < n , so wollen wlr die K (i) als ~-Reihe van G bezeiehnen. SehlieBlieh sei daran erinnert, dab eine Gruppe G lokal endlich hell]t, wenn alle endlieh erzeugbaren Untergruppen yon G endlich sind. Lemma 1.5: Wird die gruppentheoretische Eigenscha]t ~ auf Untergruppen vererbt, ~t (7 eine lokal endliehe Gruppe, besitzen alle endlichen Untergruppen yon G auch ~.Reihen, exiMiert 8chlieflllch elne endllche Untergruppe yon G, die keine ~.Grutrpe ist, so ist (7 nicht ein/ach. Bewels: Ist X eine endliehe Untergruppe von (7, so sei ¢~X die Menge aUer ~-lhyihen yon X. Da X endlieh ist, so ist aueh die Menge ~ X endlieh; und aus muserer dritten Vorausse~zung folgt, daft die Menge ¢~X nicht leer ist.

Gruppen mR Minimalbedingung

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Sind X und Y endliehe Untergruppen yon G mit X g_ Y, ist K = [K(0) . . . . . K(n)] eine ~ - R e i h e yon Y, so setzen wit X ~ K = [K(0) ¢~ X . . . . . K(n) ~ X]. Es ist klar, dab jedes K(i) ~ X ein Normalteiler yon X ist, und dab K(0)~X=

1, K ( i ) ~ X ~_K(i ÷ I ) ~ X ,

K(n) f ~ X = Y ~ X - = X

gilt. Weiter ist

[K(i ÷ 1) ~ X]/[K(i) A X]_~ K(i)[K(i + 1) ;~ X]/K(i) ~_K(i ÷ 1)/K(i) . Da aber zu Untergruppen von ~-Gruppen isomorphe Gruppen selbst ~-Gruppen shad, so haben wir gezeigt: Ist K eine ~-Reihe yon Y, so ist K f~, X ehae ~-Reihe yon X ~ Y. Sind also X und Y endliehe Untergruppen yon G mit X 5_ Y, so ist die Abbildung K -* K ~ X eine eindeutige Abbildung (Y -~ X) yon ~ Y in ~ X . Diese Projektion hat natiirlich die Eigenschaften : (X-+X)=1,

(Z -+ Y)( r -~ x ) = (Z -~ X)

f~r

Xg r~Z.

Da das Erzeugnis zweier endlieher Untergruppen der lokal endlichen Gruppe G wieder ehae endliche Untergruppe yon Gist, so bilden die endlichen, nicht leeren Mengen ~ X zusammen mit den Projektionen (X -+ Y) ein inverses Syst6m. Also existiert wenigstens eine eindeutige Funktion [, die jeder endliehen Untergruppe X yon G eine @-geihe [ X (aus ~ X ) derart zuordnet, dall

/X=X~/Y

ffir

X~ Y

gilt; vgl. etwa Ktmosi~ (p. 167, Theorem) oder STEE~ROD (p. 664--666, Theorem 2.1). Sei jetzt F eine feste endhche Untergruppe yon G und F * ein bestimmtes Glied tier ~ - R e i h e / F . Ist X eine F enthaltende, endliehe Untergruppe yon G, so ist /F = F ~ ]X

nach Konstruktion yon ]. Es gibt also in der ~.Reihe [ X Glieder X(i) mit Y * = F A X(i); und da ja ~-Reihen endlich und geordnet sind, so gibt es unter diesen Gliedern ein eindeutig bestimmtes grSl~tes Glied, das wir X* nennen woUen. Sind X, Y endliche Untergruppen yon G mit J~ g_ X g Y, so gilt

F*=F~X*=F~

Y*.

Welter ist Y* ein Glied der Reihe [ Y und es ist X* ein Glied der ]X. Nach Konstruktion yon [ ist I X = X f', [ Y, so dab auch X ~ Y* ein Glied der Reihe [ X ist. Aus der Maximaliti~t yon X* folgt dann X,~ Y * ~ X*. Da aber ]X = X ~ ] Y ist, so gibt es aueh ein Glied W der Reihe [ Y mit X* = X ~ W. Dann ist F~ W=F~X~ W=F~X*=F*; und aus der Maximalit/it yon Y* folgt W _~ Y*. Folglich gilt: X(~ Y*~ X * = X ~ W ~ XF~ Y*,

{~

REINHOLD BAER:

woraus wir X* = X f~ Y* ersehlieBen. D a m i t haben ~ gezeigt: sind X, Y endliche U n t e r g r u p p e n y o n G mit F _~ X ~ Y, so ist F*=F~X*=F~

Y*

und

X*=X~

Y*.

Wir bilden jetzt die Vereinigungsmenge V aller U n t e r g r u p p e n X* fiir endliehe, F enthaltende U n t e r g r u p p e n X yon G. Sind x, y Elemente aus V, so gibt es endliche, F enthaltende U n t e r g r u p p e n X u n d Y von G mit x C X* u n d y ~ Y*. D a G lokal enctlieh ist, so ist Z = {X, Y} eine endliche, F enthaltende Untergruppe v o n G. Wegen X* = X f~ Z* ist x in Z* enthalten; und wegen Y* = Y f~ Z* ist auch y in Z* enthalten. Also liegen x, y u n d x y -1 in Z* ~ V, so dab x y -1 in V liegt. D a m i t haben wir gezeigt, dab V eine Untergruppe yon Gist. I s t v e i n Element aus V u n d g ein Element aus G, so gibt es eine endliche, F enthaltende Untergruppe X von G derart, dab v zu X* geh5rt. Wegen der lokalen Endlichkeit y o n G i s t auch Y = {X, g} eine endliche, F enthaltende U n t e r g r u p p e von G; u n d wegen X * - - X ~ Y* ist v auch in Y* enthalten. D a Y* Glied einer ~-Reihe y o n Y ist, so ist Y* ein Normalteiler y o n Y. D a v in Y* u n d g in Y liegt, so enthi~lt Y* auch die Elemente vg n n d vg-~. Diese gehSren folglich auch zu V; und d a m i t haben wir V g _C V u n d V~-' ~ V gezeigt. Es folgt V = V g fiir alle g aus G, so dab V e i n Normalteiler yon G ist. I s t X eine endliche, F enthaltende Untergruppe y o n G, so ist X* g V naeh K o n s t r u k t i o n von V. I s t x ein Element aus X r~ V, so gibt es eine endliche, F enthaltende U n t e r g r u p p e Y y o n G mit x E Y*- D a n n ist wegen der lokalen Endliehkeit von G aueh Z = {X, Y} eine endliche, F enthaltende Untergruppe yon G. Wegen Y* = Y r~ Z* liegt x in Z* ; n n d wegen X* = X ~ Z* u n d der ZugehSrigkeit yon x zu X geh6rt x auch zu X*. D a m i t haben wir X* = X f~ V ffir aUe F enthaltenden, endliehen U n t e r g r u p p e n X von G gezeigt, so dab insbesondere F*=F~ V gilt. (Ist X irgendeine endliche Untergruppe, so ist Y = (F, X} eine endliehe, F enthaltende Untergruppe y o n G. Es ist also Y ~ V = Y* ein Glied der ~-Reihe ] Y u n d X~ V=X~ Y~ V=X~ Y* ist ein Glied der ~-Reihe X rx f Y - - ] X , wie sich aus der K o n s t r u k t i o n y o n [ ergibt. Also ist X (~ V ffir ]ede endliche Untergruppe X von G ein Glied der * - R e i h e IX.) B e n u t z u n g der vierten Voraussetzung unseres L e m m a s ergibt die Existenz einer endlichen U n t e r g r u p p e U y o n G, die keine ~ - G r u p p e ist. Die ~-Reihe ] U muB also ein y o n 1 u n d U verschiedenes Glied A besitzen. D a n n gibt es aber naeh d e m oben gezeigt*n einon Normalteiler N yon G mit A = N (~ U. D a A 4= 1 ist, so ist auch N =~ 1 ; u n d da A 4= U ist, so ist N 4= G. Also ist G nieht einfaeh. D a m i t ist unser Satz bewiesen. - - Wir bemerken, dab wir fiber dieses L e m m a hinaus noeh die ersten zwei B e h a u p t u n g e n des folgenden L e m m a s bewiesen haben.

Gruppen mit Minimalbedingung

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Lemma 1.5": Ist G eine lokal endliche Gruppe, deren endtiche Untergruppen 8~imtlich ~-Reihen be~itzen, sind Untergruppen yon ~.Gruppen eben/alls ~. Gruppen, so gilt: (1) Es gibt eine eindeutige Funktion / mit den/olgenden Eigenscha/ten: (a) /iir ]ede endliche Untergruppe X yon G i s t / X eine ~.Reihe yon X ; (b) sind X , Y endliche Untergruppen van G mit X ~_ Y, 8o ist ] X = X ~ / Y (= Menge der Durchschnitte X m K mit K aus / Y). (2) Ist / eine Funlction mit den Eigenscha/ten (1.a) und (1.b), ist F eine end. liche Untergruppe von G und F* ein Glied yon ]F, so gibt es einen (maximalen) Normalteiler V yon G mit /olgenden Eigenscha/ten : (a) V ~ X geh6rt zu / X ]i~r iede endliche Untergruppe X yon G; (b) V A F = F*. (3) Ist / eine Funletion mit den Eigenscha/ten (1.a) und (1.b), sind A und B Normalteiler yon G mit der Eigenscha/t (2.a), so ist A ~ B oder B ~_A. (4) Ist / eine Funktion mit den Eigenscha/ten (1.a) und (1.b), ist 0 eine Menge yon Normalteilern yon G, die sSmtlich der Bedingung (2.a) geniigen, so sind Durchschnitt und Vereinigungsmenge der Gruppen aus 0 wieder Normalteiler yon G, die der Bedingung (2.a) geni~gen. Beweis: Da (4) leicht aus (3) folgt und wir (1) und (2) schon beim Beweis yon Lemma 1.3 verifiziert haben, so geniigt es (3) zu zeigen. Dies folgt aber aus folgender Aussage : (÷) Entweder ist A ~ X <__B ~ X ffir alle endliehen Untergruppen X yon G; oder es ist B m X ~_A m X ffir alle endlichen Untergruppen X yon G. W~re diese Aussage falsch, so g~be es endliche Untergruppen S und T yon G mit A r~ S C B m S und B ~ T C A ~ T. Wegen der lokalen Endliehkeit von G ist aueh R = {S, T} eine endliche Untergruppe yon G. Wegen (2.a) sind A r~ R und B ~ R Glieder der ~-Reihe /R. Da diese geordnet ist, so kSnnen wir o. B. d. A. annehmen, dab A ~ R ~_ B r~ R gilt. Dann wird aber aueh B~ TCA~ T= Tm(AmR) ~ Tm(BmR)= Bm T, ein Widerspruch, aus dem unsere Behauptung folgt. Bemerkung 1.6 (0. KEOEL) : Aus Lemma 1.5 folgt sofort die Nieht-Einfaehheir aller unendlichen Gruppen, deren endlich erzeugbare Untergruppen endlieh und auflSsbar sind. Anwendung des Satzes yon FEIT-THoMPSO~ ergibt dann, dab lokal endliche, einfaehe Gruppen ohne Elemente grader Ordnung stets endlich yon Primzahlordnung sind.

§ 2. Fast-Abelsehe Oruppen In diesem Abschnitt woUen wir eine Reihe yon Charakterisierungen einer umfassenden und ffir uns wiehtigen Klasse yon Gruppen mit Minimalbedingung herleiten. Hierbei wird der Begriff ,,Faktor einer Gruppe" eino groBe RoUe spielen. Darunter verstehen wir wie iiblich ein beliebiges epimorphes Bild einer beliebigen Untergruppe. Satz 2.1: Wird die Minimalbedingung yon den Untergruppen der Gruppe G er/iillt, so sind die ]olgenden Eigenscha/ten yon G ~hluivalent : (I) G besitzt eine abelsche Untergru1~t~e yon endlichem Index.

I~EINHOLD ~AER:

(II) (III)

D (G) --

N

[(7: U]
U ist abetsch.

Ein/ache Faktoren yon G sind endlich. (a) Gist lokal endlich. (b) Z u ]edem ein/achen Faktor F yon G gibt es eine positive ganze Zahl (IV) ?"-- ] (F) derart, daft [U: ~ U] ~ ]/i~r]ede endliche Untergruppe U yon F u n d ihren maximalen au/16sbaren Normalteiler 9~ U gilt. (a) Ist U eine maximale Untergruppe der Untergruppe V yon G, so ist IV : U] endlieh. (V) (b) Zu ]edem unendlichen ein/achen Faktor F yon G gibt es eine positive ganze Zahl ]c = k(F) /olgender Art: Ist H ein Haupt/aktor einer endlichen Untergruppe yon F, so gibt es hSchsteT~ k verschiedene Primteiler p der Ordnung yon H derart, daft H wenigstens k verschiedene p-Sylowuntergruppen besitzt. Ffir weitere Charakterisierungen dieser Gruppenktasse, die wir (wegen (I)) als/ast-abelsch bezeichnet haben, yon denen wit auch im folgenden Gebrauch machen werden, sei aui BAER ([3]; p. 530, Proposition) verwiesen. Beweis: Es ist klar, dab (II) aus (I) fotgt. -- Andererseits folgt aus der Minimalbedingung, dab D(G) bereits der Durehschnitt endlich vieler Untergruppen yon endlichem Index ist; und aus dem Satz yon PO~CAR~ folgt die Endliehkeit yon [G : D (G)]. Damit ist aber die J~quivalenz der Bedingungen (I) und (II) dargetan. Geniigt G den ~quivalenten Bedingungen (I) und (II), so gilt dasselbe yon allen Faktoren yon G. Ist also E ein einfacher Faktor yon G, so ist D (E) abelseh und entweder D(E) = E oder D(E) ~- 1. I m ersten Fall ist E abelseh; und als einfache abelsehe Gruppe ist E endlich (yon Primzahlordnung). Im zweiten Fall ist E = E[D(E) end]ieh; und wit haben (III) aus (I) und (II) hergeleitet. Wir nehmen an, dab alle einfachen Faktoren yon G endlich sind. Bes~Be G keine abelsche Untergruppe yon endlichem Index, so folgte aus der Minimalbedingung die Existenz einer minimalen Untergruppe W yon G ohne abelsche Untergruppe yon endlichem Index. Diese Gruppe W hat also die folgenden Eigenschaften: (1) Die Minimalbedingung wird yon den Untergruppen yon W efffillt. (2) W besitzt keine abelsehe Untergruppe yon endliehem Index in W. (3) Ist U eine eehte Untergruppe yon W, so besitzt U eine abelsche Untergruppe yon endlichem Index in U. (4) Alle einfachen Faktoren yon W sind endlieh. Wir wenden nun einen yon uns frfiher bewiesenen Satz an; vgl. BAER ([3]; p. 530, Proposition). Wegen (1), (2) folg$ aus diesem Satz die Existenz eines unendliehen ephnorphen Bildes E yon W ohne yon 1 versehiedene, endliche Normalteiler. Da E e~u unendlieher Faktor yon W ist, so gibt es einen yon 1 und W verschiedenen Normalteiler K yon E [wegen (4)]. Da K epimorphes Bild einer eehten Untergruppe yon W ist, so folgern wir aus (3) die Existenz einer abelschen Untergruppe yon endliehem Index in K. Hieraus und aus der Minimalbedingung folgt aber bekanntlieh die Existenz einer endliehen charakteristischen Untergruppe H=~ 1 yon K ; vgl. BAER ([3]; p. 531, Remark 7). Als

Gruppen mit Minimatbedingung

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charakteristische Untergruppe eines Normalteflers K yon E ist H ein Normal. tefler yon E. Aber E war frei yon endliehen Normalteflern auBer 1. Damit sind wir zu einem Widerspruch gefiihrt worden, aus dem die Existenz einer abelschen Untergruppe yon endlichem Index in G folgt. Also folgt (I) aus (III); und die/~quivalenz yon (I)--(III) ist dargetan. Wir nehmen als n~ehstes die Gfiltigkeit der ~quivalenten Bedingungen (I)--(III) an. Ist U eine endlich erzeugbare Untergruppe yon G, so ist

U/[U ~ D(G)]----- U D(G)/D(G) C G/D(G). Aus der Minimalbedingung folg~, wie sehon oben erw/~hnt, die Endliehkeit yon G/D(G). Also ist U/[U ~ D(G)] endlieh; und aus der endlichen Erzeugbarkeit yon U folgt die yon U f~ D(G) ; vgl. etwa BAER ([1] ; p. 166, Finitenes Principle). Nun ist D(G) wegen (II) eine abelsehe Gruppe mit Minimalbedingung, so dab U ~ D(G) aIs endlich erzeugbare, abelsehe Torsionsgruppe endlieh ist. Folglich ist U endlich. Damit haben wir (IV.a) hergeleitet; und die Gfiltigkeit yon (IV.b) folgt ohne weiteres aus (III). Wird welter (IV) yon G erfiillt, so hat jeder einfaehe Faktor F yon G dae folgenden beiden Eigensehaften: (F.1) F i s t lokal endlich; (F.2) es gibt eine positive ganze Zahlj derart, dab [U : ~RU] g j ffir jede endliehe Untergruppe U yon F gilt -- hierbei ist ~RU der maximale auflSsbare Normalteiler yon U. W/~re F unendlieh, so w/~re F gewiB nicht abelseh, da ja einfaehe abelsehe Gruppen notwendig endlich yon Primzahlordnung sind. Wegen (F.1) gibt es also gewiB nicht-abelsche, endliehe Untergruppen yon F. W/iren deren Ordnungen beschr/~nkt, so g/~be es eine endliche, nieht-abelsehe Untergruppe M yon maximaler Ordnung. Aus (F.1) folgt die Endliehkeit yon (M, ]} ftir jedes / aus F. Da (M,/} mit M nicht-abelseh ist, so folg~ aus der Maximalit/~t yon M die ZugehSrigkeit yon / zu M. Also wird F = M endlich; und wit haben gezeigt: (F.3) Ist F unendlieh, so sind die Ordnungen der endliehen, nieht-abelschen Untergruppen yon F nicht besehr~nkt. Sei ~ die folgende gruppentheoretisehe Eigenschaft: Die Gruppe X ist dann und nut dann eine ~-Gruppe, wenn entweder X abelsch (und endlieh) oder X nieht-abelsch mit ~"nicht iibersehreitender Ordhung ist. [Hierbei ist j die in (F.2) auftretende positive ganze Zahl.] Es ist klar, dab ~ sieh auf Untergruppen vererbt. Aus (F.2) folgt, dab jede endliche Untergruppe yon F eine ~-Reihe besitzt; und aus (F.3) folgt, daB aus der Unendliehkeit yon F die Existenz endlieher Untergruppen yon F folg¢, die keine ~-Gruppen sind. Anwendung yon Lemma 1.3, die wegen (F.1) mSglieh ist, zeigt, dab F nieht gleiehzeitig einfaeh und unendlieh sein kann. Also folgt (III) aus (IV); und damit haben wit die J~quivalenz der Bedingungen (I)--(IV) dargetan. Wir nehmen jetzt die Giiltigkeit der/~quivalenten Bedingungen (I)--(IV) an. Wegen (III) ist es dann klar, dab aueh (V.b) gilt. Sei weiter U eine maximale Untergruppe d¢r Untergruppe V yon q. W~re D(V) nieht in U enthalten, so folgte V = UD(V) aus der Maximalit~t yon U.

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REINHOLD BAER:

Der Durehschnitt U f~ D(V) wird yon der abelschen Gruppe D(V) normalisiert; und da D (V) eine eharakteristisehe Untergruppe yon V ist, so ist U ~ D (V) ein Normalteiler yon U, wird also auch yon U normalisiert. Es folgt, dab U f~ D(V) yon UD(V) = V normalisiert wird, also ein Normalteiler yon V ist. Mit D(V) ist auch D(V)/[U~ D ( V ) ] ~ 1 eine abelsche Gruppe, yon deren Untergruppen die Minimalbedingung erffillt wird, so dab insbesondere die Elemente quadratfreier Ordnung eine endliche eharakteristlsche Untergruppe Q/[U~ D(V)]4 1 von D(V)/[U~ D(V)] bilden; vgl. etwa FVOHS (p. 65, Theorem 19.2). Es ist also Q ein nicht in U enthaltener Normalteiler yon V, woraus wir zungehst V = Q U und dann wegen D (V) f~ U C Q ~_D (V) aus dem dedekindsehen Modulsatz D ( V ) = Q [ U f ~ D ( V ) ] = Q folgern. Also ist Q/[U ~ D ( V ) ] = D(V)/[U f~ D(V)] endlieh. D a m i t V/D(V) auch V/[Uf~D(V)] endlieh ist, so wird D (V) g U. Aus diesem Widerspruch ergibt sieh die folgende zu (V.a) gquivalente Aussage: (V.a') Ist U eine maximale Untergruppe yon V, so ist D(V) g U. Wir nehmen schlieBlieh die Giiltigkeit von (V) an. Wenn in G die ~quivalenten Bedingungen (I)--(IV) nieht gelten, so folgt aus der Minimalbedingung die Existenz einer Untergruppe W yon G mit folgenden Eigensehaften: (W.1) In W gelten nicht die Bedingungen (2)--(IV). (W.2) In jeder echten Untergruppe yon W gelten die Bedingungen (I)--(IV). Da die Eigenschaft (V) sieh offenbar auf Untergruppen vererbt, so gilt weiter: (W.3) In W gilt (V). Sei nun E ~ 1 eine endlich erzeugbare Untergruppe yon W. Natiirlich existiert eine maximale Untergruppe E* yon E; und es folgt aus (V.a), dal~ [E : E*] endlieh ist. Da E* jedenfalls eine echte Untergruppe yon W ist, so folgt aus (W.2), dab E* eine abelsche Untergruppe A mit endiiehem Index [E*: A] besitzt. Dann 1st aber auch [E: A] = [E: E*] [E*: A] endlieh. Folglieh gilt (I) und also auch die gquivalente Bedingung (IV) in E. Insbesondere ist E lokal endlieh. Da E endlich erzeugbar ist, so ist E sogar endlich. Damit haben wit gezeigt: (W.4) W 1st lokal endlieh. Ist der Faktor P yon W eine p-Gruppe, so sind alle endiichen Untergruppen yon P nilpotent und also aufl6sbar. Natiirlieh gilt in P die Minimalbedingung und P ist wegen (W.4) lokal endlich. Also gilt in P die Bedingung (IV) und die hierzu gquivalenten Bedingungen und damit haben wir gezeigt: (W.5) In p-Faktoron yon W gelten die gquivalenten Bedingungen (I)--(IV). Wegen (W.1) besitzt W einen unendliehen, einfachen Faktor F. Dieser hat wegen (W.2)--(W.5) die folgenden Eigensehaften: (W.6) In jeder eehten Untergruppe yon F gelten die gquivalenten Bedingungen (I)--(IV); in F selbst gilt (V); weiter ist F lokal endlieh und p-Untergruppen von F geniigen den gquivalenten Bedingungen (I)--(IV). Wir erinnern daran, dal~ eine p.Sylowuntergruppe yon iv irgendeine maximale p-Untergruppe von F i s t . (Die Existenz der Sylowtmtergruppen folgert man bekanntlieh leieht aus dem Maximumprinzip der Mengenlehre.) Angenom-

Gruppen mit Minimalbedingung

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men nun, es g~be eine unendliche p-Sylowuntergruppe P yon F. Wegen (W.5) und (W.6) ist P eine echte Untergruppe yon F; und D (P) ist abelseh und yon 1 verschieden. Also ist D(P) kein Normalteiler der einfachen Gruppe F. Folglich gibt es ein D(P) nicht normalisierendes Element x in F. Da D(P) yon P normalisiert wird, liegt x nicht in P; und folglich gibt es maximale, P enthattende, aber nicht x enthaltende Untergruppen yon {P, x}. Diese sind auch maximale Untergruppen yon {P, x}; und wir folgern aus (V.a), dal~ sie endlichen Index in {P, x} haben. Folglieh ist n [{e, x}] ~= {P, x}. Da F einfaeh und unendlieh ist, so ist F = D(F). Also i s t F ~ {P, x}, so dab in {P, x} die ~quivalenten Bedingungen (I)--(IV) gelten; vgl. (W.6). Insbesondere ist D[{P, x}] abelsch und die p-Komponente D~ yon D[{P, x}] ist eine charakteristische, abelsche, p-Untergruppe yon {P, x} ohne echte Untergruppen yon endliehem Index. Da D~ yon P normalisiert wird, so ist PD~ eine p-Untergruppe yon F ; und aus der Maximalit~t der p-Sylowuntergruppe P folgern wir P = PD~ und D~_ P. Da P/D(P) endlich ist und D~ keine echten Untergruppen yon endlichem Index besitzt, so ist D~,~ D(P). Da {P, x}/D~, keine unendlichen p-Untergruppen enth~lt und D(P)/D~ entweder 1 oder unendlich ist, so ist D~ = D (P). Damit haben wir gezeigt, dab D (P) eine eharakteristische Untergruppe yon {P, x} ist. Also wird D (P) yon x normalisiert; und aus d~esem Widerspruch folgern wit: (W.7) Alle Sylowuntergruppen yon F sind endlich. Sind P und Q irgendzwei p-Sylowuntergruppen yon F, so ist {P, Q} wegen (W.7) und (W.6) endiieh; und die p-Sylowuntergruppen P, Q der endliehen Gruppe {P, Q} sind in {P, Q} konjugiert, haben also insbesondere die gleiche Ordnung. Folglich gilt: (W.8) Alle p-Sylowuntergruppen yon F haben die gleiche endliehe Ordnung pe (~). Ist U eine echte Untergruppe yon F, so ist D(U) wegen (W.6) abelseh. Da die Minimalbedingung yon den Untergruppen yon D(U) erffillt wird, so ist D(U) das direkte Produkt endlich vieler Prim~rgruppen. Da abet Primaruntergruppen yon F wegen (W.7) endlich sind, so ist D(U) selbst endlieh. Aus der Minimalbedingung folgt aber die Endiichkeit yon U/D (U); und damit haben wir die Endlichkeit yon U bewiesen. Folglieh gilt: (W.9) Alle echten Untergruppen yon F sind en(tlieh. Es sei U eine echte Untergruppe yon F, die in F nut endlieh viele konjugierte besitzt. Dann ist U wegen (W.9) endiich, so dai~ {U F} endlieh erzeugbar, wegen (W.4) also endlieh ist. Da F eine unendliehe, einfaehe Gruppe ist, so ist der Normalteiler (U ~} = 1; und damit haben wit gezeigt: (W.10) 1 ist die einzige eehte Untergruppe yon F, die nut endlieh viele konjugierte besitzt. Aus (W.8) und (W.10) folgt insbesondere: (W.10*) Von 1 versehiedene Sylowuntergruppen yon F besitzen unendlich viele konjugierte. Sei p die Menge der Primzahlen p derart, dab F Elemente der Ordnung p enth~lt. Angenommen p w~re endlieh. Dann w~hlen wir ffir jedes p aus p eine

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R]H~HOLD BAER:

p-Sylowuntergruppe S (p) yon F aus. Wegen (W.7) ist jedes S (p) endlieh. Aus der Endtichkeit yon p folgt dann die endliehe Erzeugbarkeit yon S --- {S (p) ; p E P}, so dab S wegen (W.4) endlieh ist. Die Ordnung yon S ist gewil] ein Vielfaehes von

s - - / / p ~ (~), PEP

da ja p~ (~} wegen (W.8) die Ordnung yon S (p) ist. Ist andererseits X irgendeine eehte Untergruppe yon Am so ist X wegen (W.9) endlieh; und naeh Konstruktion yon p ist jeder Primtefler der Ordnung o (X) yon X in p enthalten. Da die p.Sylowuntergruppen yon X in p-Sylowuntergruppen yon F enthalten sind, so folgt aus (W.8), dab o(X) teilende Potenzen yon p stets p*(~) teilen, so dab o(X) gewii3 ein Teller yon s ist. -- Ist nun x ein Element aus F, so ist X - {S, x} endlieh erzeugbar und wegen (W.4) also endlich. Die Ordnung o(X) yon X geniigt also den Teilerbeziehungen:

o(X) E~[o(S) to(X) , woraus wir o(X) = o(S) fotgern. Mithin ist aueh S -~ X, so da]] jedes Element x aus F zu S geh6rt. Also ist F - S eine endliehe Gruppe; und aus diesem Widersprueh folgt die Unendliehkeit yon p, d. h. (W.ll) Es gibt unendliche vide Primzahlen, die Ordnungen yon Elementen aus F sind. Sei nun n eine positive ganze Zahl. Dann gibt es wegen (W. 11) gewiB n Primzahlen Pl . . . . . Pn, die Ordnungen yon Elementen aus F sind. Wegen (W.10*) existieren weiter n versehiedene p,-Sylowuntergruppen S(i, l) . . . . . S(i, n) voilE. Wegen (W.8) sind alle S(i, j) endlich, so dab S --- {S(i, i); i, i = 1 . . . . , n} endlieh erzeugbar und also wegen (W.4) endlieh ist. Natiirlieh ist die Ordnung o(S) yon S dutch jede der Primzahlen p~ teflbar. Da die S(i, ~) als (yon 1 versehiedene) /J,-Sylowuntergruppen yon F aueh p~-Sylowuntergruppen yon S sind, so enth~lt S wenigstens n versehiedene p,-Sylowuntergruppen. Damit haben wit gezeigt: (W.12) Ist n eine positive ganze Zahl, so gibt es endliehe Untergruppen yon F, die ffir wenigstens n versehiedene Primzahlen p je n versehiedene p-Sylowunt~rgruppen enthalten. Sei k = k(F) die dem unenclliehen einfaehen Faktor F yon G gem/~B (V.b) zugeordnete Konstante. Wit woUen jetzt die Gruppe X dann und nur dann ~-Gruppe nennen, wenn sie endlieh ist und es h6ehstens k verschiedene Primteiler p der Ordnung o (X) derart gibt, dab X wenigstens k versehiedene p-Sylowuntergruppen besitzt. Bedenken wit, dab versehiedene Sylowuntergruppen einer Untergruppe aueh in verschiedenen Sylowuntergruppen der Obergruppe enthalten sind, so sehen wit, dab ~ sich auf Untergruppen vererbt. Wit erinnern daran, dab F wegen (W.4) lokal endlieh ist; und es folgt aus (W.12), dab nieht aUe endliehen Untergruppen yon F die Eigenschaft ~ haben. Bedingung (V.b), die wit hier zum ersten und einzigen Male benutzen, besagt, dab jede endliche Untergruppe yon ~ eine ~.Reihe besitzt, n/~mlieh die Hauptreihen. Anwendung yon

Gruppen mi$ Minimalbedingung

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Lemma 1.5 ergibt, dab F nicht einfaeh ist. Dies ist ein Widerspruch, aus dem wir die Endlichkeit aller einfachen Faktoren yon W erschlieBen. Also gilt (HI) in W; und dies widerspricht (W.1). Also folgt aus (V) die Giiltigkeit der ~quivalenten Bedingungen (I)--(IV), womit die ~quivalenz der Bedingungen (I)--(V) dargetan ist. Bemerkung 2.2: Ist G eine Gruppe mit Minimalbedingung, die den ~quivalenten Bedingungen (I)--(V) yon Satz 2.1 genfigt, so gelten einige dieser Bedingungen sogar in verseh/~rfter Form: (A) Es gibt nur endlieh viele Primzahlen, die Ordnungen von Elementen von G sind. Beweis: Da die Minimalbedingung von den Untergruppen der abelschen Gruppe D (G) erfiillt wird, so wird (A) sicherlich von D (G) erfiillt; vgl. FUCHS (p. 65, Theorem 19.2). Da aber G/D (G) endlieh ist, so wird (A) auch yon G erfiillt. Natiirlich kann man (V.b) durch diese (sch/~rfere) Eigensehaft (A) ersetzen. (B) Die (endlichen) Ordnungen der einfaehen Faktoren yon G sind beschr/~nkt. Beweis: Ist ein einfaeher Faktor yon G abelsch, so ist seine Ordnung eine der endlich vielen Primzahlen, die Ordnungen von Elementen aus G sind [vgl. (A)]. Ist aber ein einfacher Faktor von G nicht abelsch, so ist er ein Faktor der endlichen Gruppe G/D(G), da ja D(G) abelsch ist. (C) Die Indizes [U : 9~ U] mit endlichen Faktoren U von G sind besehr/~nkt. Und zwar ist das endliehe [G : D (G)] eine obere Sehranke. Bemerkung 2.3: Es seheint naheliegend, zu vermuten - und wird auch durch die Uberlegungen in unseren Beweisen unterstriehen --, dab die Bedingung (V.a) sch/~rfer ist als (IV.a). -- Ob aber die Bedingungen (V.b) bzw. (IV.b) entbehrlieh sind, seheint eine offene Frage zu sein. Jedenfalls sieht (V.b) schw/~cher als (IV.b) aus. Weiter ist es auf Grund des Satzes yon FEIT-THOMPSO~ (Gruppen ungrader Ordnung sind auflSsbar) mSglieh, die Bedingung (IV.b) durch die folgende Bedingung zu ersetzen: (IV.b*) Unendliche, einfache Faktoren von G enthalten keine Elemente grader Ordnung. Entsprechend kann man auch die Bedingung (V.b) durch jede der folgenden beiden Bedingungen ersetzen: (V.b') Unendliche, einfaehe Faktoren yon G besitzen nur endtich viele 2-Sylowuntergruppen. (V.b") Ist E eine endliehe Untergruppe eines unendlichen, einfaehen Faktors von G, so ist die Menge der Elemente ungrader Ordnung aus E elne Untergruppe yon E. Bemerkung 2.4: Es ist bekanntlieh eine offene Frage, ob Gruppen mit Doppelkettensatz endlieh sind. Leieht beweisen kann man hingegen die Endliehkeit einer Gruppe G mit folgenden Eigensehaften: (a) Die Minimalbedingung wird yon den Untergruppen yon G erfiillt; (b) ist U eine maximale Untergruppe der Untergruppe V von t~, so ist [lz : U] endlieh; (e) einfache Faktoren yon G besitzen maximale Untergruppen; (d) G i s t endlich erzeugbar.

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REINHOLD BAER :

Man iiberzeugt sich n~mlich miihelos davon, dab eine Gruppe mit Minimalbedingung dann und nur dann fast-abelseh ist, wenn sic den Bedingungen (b) und (c) geniigt. Es scheint zur Zeit noch unbekannt zu sein, ob Gruppen mit Minimalbedingung abz~hlbar und fast-abelsch sind. Dadurch erhMt das folgende Resultat einiges Interesse. Zusatz 2.5: Die ]obyenden Eigenscha/ten der Gruppe G sind dquivalent : (A) Gist/ast-abelsch und yon den Untergruppen yon G wird die Minimalbedingung erfiiUt. (B) Jede abziihlbare Untergruppe yon Gist ]ast-abelsch und yon den abziihlbaren Untergruppen yon G wird die Minimalbedingung er/iillt. (C) Ist A eine abzdhlbare Untergruppe yon G, so ist A ]ast-abelsch und die Minimalbedingung wird von den Untergruppen von A er]i~llt. Beweis: Es fist klar, dab (B) aus (A) folgt, und dab (B) und (C)/~quivalent sind.. DaB schlieBlich (A) aus (C) folgt, ergibt sich aus Folgerung 1.3 und BAE• {[8]; p. 348, L e m m a 1.4). Folgerung 2.6: Ist N ein Normalteiler der Gruppe G, sind N und GIN/astabelseh mit Minimalbedingung, so ist aueh G ]ast-abelsch mit Minimalbedingung. Beweis: Es fist wohlbekannt, dab aus der Giiltigkeit der Minimalbedingung in N und GIN ihre Giiltigkeit in G folgt. - - Sei E ein einfacher Faktor von G. Dann gibt es einen Normaltefler V einer Untergruppe U von G mit U~V ~ E. Dann fist U f~ N (ebenso wie V) ein Normalteiler von U. I s t erstens U ~ N g V, so folgt aus dem dedekindschen Modulsatz, dab E ~ U/V = U / V ( U A N) = U / [ U ~ VN]~_ U N / V N ein einfaeher F a k t o r yon GIN und also [wegen Satz 2.1, (III)] endlieh ist. I s t zweitens U f~ N $ V, so fist V C V (U ~ N) g_ U. Da E _~ U~V einfaeh und V ( U ~ N) ein Normaltefler yon U ist, so wird U = V(U n N), so dab E_~ U/V = V ( U ~ N ) / V ~ (U ~ N)/(V n N) ein einfaeher Faktor von N und also [wegen Satz 2.1, (III)] endlich ist. Also wird Bedingung (III) des Satzes 2.1 yon G erfiillt, so dab G fast-abelsch ist. Satz 2.7: Wird die Minimalbedingung von den Untergruppen yon G er/iillt, so ist das Produkt ~[G aUer /ast-abelschen Normalteiler von G eine /ast-abelsche charakteristisehe Untergruppe yon G mit ~[ [G/~[ G] = 1. Beweis: Sei ~b die Menge aller fast-abelschen Normaltefler yon G. Dann liegt 1 in 4 , so dab ~b nicht leer ist. Sei O eine nicht leere Teilmenge von ~ derart, dab Normalteiler X, Y aus O stets X _~ Y oder Y C X erfiillen. Dann fist die Vereinigungsmenge T = U X aller Normalteiler aus O gewiB ein NormalXEO

tefler von G. Natiirlieh wird die Minimalbedingung auch yon den Untergruppen yon T erfiillt. I s t E ~= 1 ein einfacher Faktor yon T, so gibt es eine Untergruppe V yon T und einen Normalteiler U von V mit V~U ~ E. I s t X aus O, so sind X f~ V und U ( X f~ V) Normalteiler von V; und aus der Einfachheit yon V/U folgt, dab U (X n V) -~ U oder = V ist. I s t t e i n nieht in U gelegenes Element aus V, so liegt t in T; und es gibt also einen t enthaltenden Normalteiler X in O. D a n n fist UC U (X f~ V), so dab V = U ( X n V) fist.

Gruppen mit Minimalbedingung

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Hieraus folgt E~

,-~ (X /~ V)/(X A U) , V~U =

so dab E ein einfacher Faktor yon X ist. I)a X in 0 und also in ¢ liegt, so ist X fast-abelsch; und es folgt aus Satz 2.1, daI~ der einfache Faktor E yon X endlich ist. Also sind alle einfachen Faktoren yon T endUch; und es folgt aus Satz 2.1, dab T fast-abelsch ist. Also geh6rt T zu ~b. Das Maximumprinzip der Mengenlehre kann folglich auf ~b angewandt werden, so dab ein maximaler fastabelscher Normalteiler M yon G existiert. Ist X irgendein fast-abelscher Normalteiler yon G, so ist der Normalteiler M X yon G eine Erweiterung des fast-abelschen Normalteilers M yon M X durch das epimorphe Bild M X ] M ~-- X / ( M ~ X ) der fast-abelschen Gruppe X. I)a epimorphe Bilder fast-abelscher Gruppen wieder fast-abetsch sind, so ist M X / M fast-abelsch; und wit folgern aus Folgerung 2.6, dab M X fast-abelsch ist. Aus der Maximalit~t yon M ergibt sich M X = M , so dab X ~ M i s t ; und hieraus folgt, dab ~[G = M fast-abelsch ist. Damit ist der erste Tell unserer Behauptung bewiesen; und der zweite folgt sofort aus dem ersten und Folgerung 2.6. Fiir eine wichtige Erggnzung des Satzes 2.7 mug an einige Begriffe erinnert werden. Ist v eine (endliche oder transfinite) Ordinalzahl, ist U, ffir jedes a mit o ~ a _-< v eine Untergruppe der Gruppe G derart, dab (a) U, ffir a < z ein Normalteiler yon U,+ 1 und (b) Ua= 0<~ U, ffir jede Limeszahl ~ g , ist, so bilden die U, eine Normalkette, die U o ,mit U~ verbindet, und deren Faktoren die Faktorgruppen U,+i[U . m i t a < * sind. Es ist klar, dab Homomorphismen Normalketten auf Normalketten abbilden. Erreichbare Untergruppen yon G sind genau die durch Normalketten mit G verbindbaren Untergruppen. Es ist klar, da~ Epimorphismen erreichbare Untergruppen auf erreichbare Untergruppen abbilden. Schliel~lich nennen wir ein Element aus G ein erreichbares Element yon G, wenn es eine erreichbare Untergruppe yon G erzeugt. Zusatz 2.8: Wird die Minimalbedingung yon den Untergruppen der Gruppe G er/i~llt, so ist ~t G das Kompo~itum aUer erreichbaren /ast-abelschen Untergruppen yon G. Beweis: Setzen wir H = G/~[ G, so ist H e i n e Gruppe mit Minimalbedingung und ~[H = 1 wegen Satz 2.7. Die Menge ¢ H der erreichbaren Elemente yon H ist eine charaktoristische Untergruppe yon H, die lokal yon endlicher Klasse ist; vgl. B ~ R ([9]; Satz 3.3). Da aber ¢ H mit H e i n e Torsionsgruppe ist, so sind endlieh erzeugbaxo Untergruppen yon c H endlich und nilpotent; vgl. BA~R ([1]; p. 201, §8, Corollary). Also genfigt c H der Bedingung (IV) des Satzes 2.1 und ist folglieh fast-abelsch. Mithin ist c H ~_~[H = 1 ; lind wir haben gezeigt: (1) 1 ist das einzige erreichbare Element yon H. Sei U eine endliche, einfache, nicht-abelsche, erreichbare Untergruppe yon H. Dann ist der Normaltefler {U H} yon H lokal endlich; vgl. BAFa~ ([9]; § 2, Anwendung auf lokale Endlichkeit). Sind U1 und U~ verschiodene zu U in H konjugierte Untergruppen, so ist V = {U x, U,} als endlich erzeugbare

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REI'~HOLD BAER :

Untergruppe yon H endiich. Weiter ist U~ mit U eine endliche, einfache, niehtabelsche und erreiehbare Untergruppe yon H. Also ist U~ auch eine erreichbare Untergruppe der endlichen Gruppe V, so dab Ui ein Subnormalteiler yon V ist. Anwendung eines Wielandtschen Satzes zeigt, dab U 1 und U~ sieh gegenseitig normalisieren; vgl. WIF~LANDT [p. 463, (1.a)]. Also sind U1, U s und U1 ~ U s Normalteiler yon V. Da UI~= U s und U~ einfach ist, so wird U 1 f~ U s = 1. Die Normaltefler U 1 und U s yon V zentralisieren sich also gegenseitig. Da alle zu U konjugierten Untergruppen einfach und endlich sind und sich paarweise zentralisieren, so ist {U R} ein direktes Produkt yon zu U konjugierten Untergruppen. Aus der Minimalbedingung folgt, dab {U R} ein direktes Produkt endlich vieler zu U konjugierter Untergruppen und also sogar endlich ist. Endliche Normalteiler sind a f o r t i o r i fast-abelsch. Mithin gilt 1 c u c { u - } c ?~H = 1 ;

und dies ist unmSglich. Wir haben gezeigt: (2) Es gibt keine endlichen, einfachen, nicht-abelschen, erreichbaren Untergruppen yon H. G/ibe es von 1 versehiedene, fast-abelsehe und erreichbare Untergruppen yon H, so g~be es auch eine minimale Untergruppe M dieser Art. Da jeder Normalteiler yon M ebenfalls fast-abelsch und erreiehbar ist, so ist M einfach. W/ire M abelsch, so w~ren alle Elemente aus M erreichbar; und es wfirde yon 1 verschiedene, erreiehbare Elemente aus H geben, was wegen (1) unmSglieh ist. Also ist M nieht-abelsch. Wegen der Einfaehkeit von M i s t D (M) = M oder D(M) = 1. I m ersten Fail w~re M abelseh, da M fast-abelsch ist; und dies ist nieht der Fall. Also ist D (M) --- 1, woraus wegen der Mim'malbedingung die Endlichkeit yon M folgt. Dies widerspricht aber (2); und damit haben wir gezeigt: (3) 1 ist die einzige fast-abelsche und erreichbare Untergruppe von H. I s t sehlieBlieh E irgendeine fast-abelsehe und erreiehbare Untergruppe yon G, so ist E[[G/~[G = 1 als fast-abelsche erreichbare Untergruppe yon H. Es folgt E _~~[G, wie behauptet. Auf Grund yon Satz 2.7 und Zusatz 2.8 k6nnen wir Satz 2.1 wesentlieh verseh~rfen: Zusatz 2.9: Wird die Minimalbedingung yon den Untergruppen der Gruppe G

er/iiUt, so Bind die/objenden Eigenscha/ten von G dquivalent : (1) Gist ]azt-abelsch. (2) Bin/ache erreichbare Untergruppen epimorpher Bilder yon G sind endlich. (3) Einfache minlmale Narmalteiler minimaler Normalteiler epimorpher Bilder yon G sing endlwh. (4) J e d ~ yon 1 verschiedene epimorphe Bild yon G besitzt elne yon 1 verschiedene, /ast.abelsehe, erreivhbare Untergruppe. Beweis: I s t G fast-abelsch, so sind alle einfaehen Faktoren yon G endlich (Satz 2.1). Einfaehe erreichbare Untergruppen epimorpher Bilder yon G sind einfache Faktoren yon G. Also folgt (2) aus (1).

Gruppen mit Minimalbedingung

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Einfache minimale Normalteiler minimaler Normalteiler epimorpher Bflder yon G shad einfache erreichbare Untergruppen epimorpher Bilder yon G. Also folgt (3) aus (2). Als n/~chstes nehmen wir die Giiltigkeit yon (3) an und betrachten ein epimorphes Bild H # 1 yon G. Aus der Minimalbedingung folgt die Existenz eines minimalen Normalteilers W yon H. Es ist klar, da6 W charakteristisch einfach ist. Folghch ist W das direkte Produkt einfacher isomorpher Normalteiler; vgl. SPECET (p. 274, Satz 29). I s t E einer dieser einfachen direkten Fakf~ren yon W, so ist E ein einfaeher minimaler Normaltefler des minimalen Normalteilers W yon H. Wegen (3) ist E endlich. Also ist E eine yon 1 verschiedene, fastabelsche, erreichbare Untergruppe yon H. Damit haben wir (4) aus (3) hergeleitet. I s t schlielllich G nicht fast-abelsch, so ist H = G/f~G # 1 wegen Satz 2.7. Aus f~H = 1 und Zusatz 2.8 folgt, dab 1 die einzige fast-abelsche, erreichbare Untergruppe yon H i s t . Also ist (4) falsch, wenn (1) falsch ist, so daI~ (1) aus (4) folgt. D a m i t haben wir die )~quivalenz yon (1)--(4) dargetan.

§ 3. ~[-~-Gruppen Zur Formulierung eines ziemlich allgemeinen Kriteriums bedarf es der folgenden Begriffsbfldung: Sind 92 und -~ gruppenthooretische Eigcnschaften, so wollen wir die Gruppe G eine ~-~-Gruppe nennen, wenn jedes von 1 ver. schiedene epimorphe Bild H von G einen yon 1 verschiedenen 9.l.Normalteiler besitzt, in dem von den Elementen aus H e i n e ~ - G r u p p e yon Automorphismen induziert wird. I s t z. B. 9.1 die Klasse aller Gruppen, w/~hrend ~ nur aus der 1 besteht, so sind die ~-ID-Gruppen genau die Gruppen, deren yon 1 verschiedene epnnorphe Bilder yon 1 verschiedene Zentren haben (obernilpotente Gruppen). I s t abet 9.1 die Klasse aller zyklischen Gruppen, wKhrend !D die Klasse aller Gruppen ist, so sind die ~[-~-Gruppen genau die iiberaufl6sbaren Gruppen. Es ist klar, dab epimorphe Bflder yon 92AD-Gruppen ebenfalls 9A-~-Gruppen sind. Dariiber hinaus grit das L e m m a 3.1: Vererben sich die gruppentheoretischen Eigenscha/ten ~ und

au] Faktoren, so sind Faktoren yon 92-~.Gruppen eben/alls 9A.~.Gruppen. Fiir den einfachen Beweis sei etwa auf BAleR [[8]; p. 358, Satz 4.4 (a)] verwiesen. L e m m a 3.2: Vererbt sich die gruppentheoretische Eigenscha/t 9.1 au I Untergruppen, w&'hrend ~ sich au/ Faktoren vererbt, ist N =V 1 ein Normalteiler der 92.~.Gruppe G, so gibt es einen 9A-Normalteiler A yon G mit 1 C A ~ N, in dem G eine ~-Gruppe von Automorphismen induziert. Beweis: Es gibt Normaltefler X yon G mit X f~ 2Y = 1, z. B. X = 1 ; und unter diesen gibt es einen maximalen M. Arm zV ~= 1 und M ~ N = I folgt M =~ G. Da G eine 9A-~-Gruppe ist, so gibt es einen Normalteiler L von G mit M C L derart, daft L/M ein 9A-Normalteiler yon G/M ist uncl G/M in L/M eine !B-Gruppe yon Automorphismen indaziert. Aus der Maximalit/it yon M folgt A = L ~ N ~= 1. Weiter ist A = (L ¢~ N)/(M ~ 2¢) ~ M (L f~ N)[M ~ L/M 1Kath. Ann. 150

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REINHOLD BAER:

als Untergruppe der PA-Gruppe L / M selbst eine O2-Gruppe. Ist A* der Zentralisator von A in G und L*/M der Zentralisator yon L / M in G/M, so ist L * o A ~ (L*oL) ~ N ~_M f ~ N = 1 , so dab L*~_ A* und G/A* als epimorphes Bfld der ~-Gruppe G/L* eine ~-Gruppe ist. Also ist A ein PA-Normaltefler yon G mit 1 C A ~_N, in dem G eine ~-Gruppe yon Automorphismen induziert. Lemma 3.3: Wird die Minimalbedingung yon den Untergruppen der Gruppe G er]i~llt, 8o sind die ]olgenden Eigenscha/ten yon G dquivalent: (a) G(n)= 1/iir hinreichend grofle8 n. (b) Es gibt eine 1 und G verbindende Normalkette mit zyklischen Faktoren. (e) Jedes yon 1 verschiedene epimorphe Bild von G besitzt ein yon 1 versehiedenes erreichbares Element. (d) Gist/ast.abelech und endliche Untergruppen yon G sind au/16sbar. (e) Endlich erzeugbare Untergruppen yon G sind endlich und au/16sbar. Wir werden Gruppen mit Minimalbedingung au/15sbar nennen, wenn sie den ~quivalenten Bedingungen (a)--(e) geniigen. Beweis: Es ist klar, dad (b) aus (a) und (c) aus (b) folgt. -- Gilt (e), so wiirde aus G ~= ~tG die Existenz eines von 1 verschiedenen, erreiehbaren Elements yon G/~tG folgen. Wegen Zusatz 2.8 w~re dann 1 ~ It [GI~tG], was wegen Satz 2.7 unmSglich ist. Also folgt aus (c), dai] (7 fast-abelsch ist. Endliche Untergruppen yon G haben aueh die Eigensehaft (c) und sind auflSsbar, da ja erreichbare Elemente endlicher Gruppen Nilelemente sind und in nilpotenten Normalteflern liegen; vgl. BAER [10, p. 418]. Damit haben wir (d) aus (e) hergeleitet. Aus (d) folgt (e), da ja fast-abelsche Gruppen lokal endlieh sind (Satz 2.1). Gilt (e), so gilt Bedingung (IV) des Satzes 2.1. Also ist D(G) abelsch. Aus der Endiiehkeit yon G/D(G) folgt die Existenz einer endlieh erzeugbaren Untergruppe E yon G mit G = ED(G). Wegen (e) ist E endlieh und auflSsbar. Also ist aueh G[D (G)~ E/[E ~ D (G)] endlieh und auflSsbar. Es folgt, dal~ G(i} g D (G) fiir hinreichend groBes i gilt. Da D(G) kommutativ ist, so wird G(~+I)--- 1 ; und wir haben (a) aus (e) hergeleitet, die/~quivalenz yon (a)--(e) bewiesen. Satz 3.4: Vererben slch die gruppentheoretischen Eigenseha/ten OAund ~ au/ Faktoren, wird die Minimalbedingung von den Untergruppen der Gruppe G er/i~llt, so sind die/olgenden Eigenscha/ten yon G dquivalent : (1) Gist eine au/16sbare O2-~-Gruppe. (2) Endllch erzeugbare Untergruppen yon G sind auflb'sbare 02-~-Gruppen. (3) Gist/ast-abelsch und endliche Untergruppen yon G sind auflSsbare OA-~Gruppen. (4) Jedes epimorphe Bild H ~ 1 yon G besitzt einen OA-Normalteiler A ~ 1, in dem H eine ~.Grupp¢~ B yon Automorphismen induziert; und A oder B ist au/16sbar. Beweis: Aus Lemma 3.1 ergibt sieh, daI3 (2) aus (1) folg¢. Aus Lemma 3.3 folgern wir, dab (3) aus (2) folgt. Grit (3), so ist (/lokal endlieh (Satz 2.1), so dab insbesondere jede endlieh erzeugbare Untergruppe yon G eine endliehe und auflSsbare O2.~.Gruppe ist. Anwendtmg yon Lemma 3.3, (e), ergibt die AuflSsbarkeit yon G.

Gruppen mit Minimalbedingung

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Sei nun H ~ 1 ein epimorphes Bild von G. Mit G hat auch H die folgenden Eigensehaften: H ist fast-abelseh; jede endlieh erzeugbare Untergruppe yon H ist eine endliche und auflSsbare 9.t-~-Gruppe. Ist erstens H endlich, so ist H selbst eine 9A-~-Gruppe, die dann natiirtieh einen von 1 verschiedenen 9A-Normalteiler besitzt, in dem H e i n e ~ - G r u p p e yon Automorphismen induziert. Ist zweitens H unendlich, so ist wegen der Endlichkeit yon HID (H) (Minimalbedingung) auch D (H) unendlieh. Da H fast-abelsch ist, so ist D (H) eine abelsehe Gruppe mit Minimalbedingung. Folglich bflden die Elemente quadratfreier Ordnung aus D (H) eine endliche, yon 1 verschiedene, charakteristische Untergruppe K yon D(H) und also auch von H ; vgl. etwa FUCHS (p. 68, 19). Da K und HID(H) endlieh sind, so gibt es eine endlieh erzeugbare Untergruppe /5 mit K _<_L und H = L D ( H ) . Wie bemerkt, ist L eine endliehe, auflSsbare 9A-~-Gruppe; und K ist ein Normalteiler von L. Anwendung yon Lemma 3.2 zeigt die Existenz eines 9A-Normalteilers A yon L mit 1 ( A ~ K, in dem L eine ~-Gruppe yon Automorphismen induziert. Da D (H) eine abelsche Obergruppe von K und A ist, so ist A em Normalteiler yon L D (H) = H und H und L induzieren dieselben Automorphismen in A. Also induziert auch H in A eine ~-Gruppe yon Automorphismen; und wir haben aus (3) die Bedingung (1) in der folgenden etwas sch~rferen Form hergeleitet: (1") Gist aufl6sbar und jedes yon 1 verschiedene epimorphe Bild H yon G besitzt einen von 1 verschiedenen endlichen (abelschen) O.I-Normalteiler, in d~m H eine ~-Gruppe yon Automorphismen induziert. Es ist klar, dab (4) aus den ~quivalenten Bedingungen (1)--(3) folgt, da sieh die Eigenschaften ,,AuflSsbarkeit" und 9A-~ auf Faktoren vererben (Lemma 3.1). Gilt umgekehrt (4), so ist G gewiB eine OA-~-Gruppe. Ist H ~ 1 ein epimorphes Bild yon G, so existiert wegen (4) ein ~[-Normalteiler A ~ 1 yon H, in dem H eine ~-Gruppe B yon Automorphismen induziert; und es ist A oder B auf15sbar. Ist B auflSsbar, so ist auch die Zentrumsfaktorgruppe yon A als Untergruppe yon B auflSsbar, woraus die AuflSsbarkeit yon A in jedem Falle folg¢. Da A # 1 auflSsbar ist, so gibt es ein erreichbares Element a # 1 yon A [Lemma 3.3, (e) ]; und da A ein Normaltefler yon H ist, so ist a auch ein erreiehbares Element yon H. Damit haben wit gezeigt, dab Bedingung (e) des Lemma 3.3 yon G erffitlt wird. Also ist G auflSsbar; und wir haben (1) aus (4) hergeleitet. Bemerkung 3.5: Sind OAund ~ Eigensehaften, die sieh auf Faktoren vererben, sind 02-Gruppen oder ~-Gruppen auflSsbar, so ergibt sieh aus Satz 3.4, daB alle O2-~-Gruppen mit Minimalbedingung aufiSsbar sind, dab man also in den Bedingungen (1)--(3) des Satzes 3.4 das Wort ,,auflSsbar" fortlassen kann. Zweeks Vereinfachnng der Spreehweise ffihren wir Standardbezeiehnungen ffir einige extreme Gruppenklassen ein: = Klasse der trivialen Gruppen (die nur aus der Gruppeneins bestehen) ; 11 = Klasse aller Gruppen (universelle Eigenschaft) ; = Klasse aller abelschen (kommutativen) Gruppen. 2*

20

REINHOLD B ~ R :

Die Klasse aller 1L~-Gruppen, die wir im fotgenden benStigen worden, haben wir anderw~rts als die Klasse aller obernilpotenten Gruppen bezeichnet; vgl. hierzu § 4. Aus Lemma 3.3 ergibt sich, dab diese Klasse mit deraller ~-~Gruppen identiseh ist. Ist G eine Gruppe und ~ eine gruppentheoretische Eigenschaft, so sei G$ der Durchschnitt aller Normalteiler X yon G mit ~-Faktorgruppe G/X. Lemma 3.6: (a) Wenn die gruppentheoretische Eigenschaft ~ sich au] Faktoren

vererbt, so sind Erweiterungen von ~A.~-Gruppen durch ~-Gruppen stets auch IL~-Gruppen. (b) Vererbt sich die Eigenscha]t ~ au/ Falctoren, ist G/G~ eine ~.Gruppe, so ist G dann und nur dann eine 1L~-Gruppe, wenn G~ eine ll.~-Gruppe ist. Beweis: Ist zun~chst die Gruppe G eine Erweiterung einer ll-~-Gruppe durch eine ~-Gruppe und H ~= 1 ein epimorphes Bild yon G, so existiert ein lt-~:-Normalteiler K yon H mit ~-Faktorgruppe H/K (da epimorphe Bilder yon ll.~:-Gruppen ebenfaUs ll-~-Gruppen sind und wir die Vererblichkeit yon auf Faktoren voraussetzen). Ist erstens K =~ 1, so ist auch das Zentrum Z yon K ungleieh 1. Als eharakteristische Untergruppe eines I~ormalteilers ist Z ein Normalteiler yon H. I)er Zentralisator C yon Z in H ist ein K umfassender Normalteiler yon H. Die yon H in Z induzierte Automorphismengruppe ist im wesentlichen mit H/C identiseh und also eine ~-Gruppe, da ja H/C ein epimorphes Bild der ~-Gruppe H/K ist. Ist zweitens K = 1, so ist H e i n e ~-Gruppe. Die yon H in H ~= I induzierte Automorphismengruppe ist als Zentrumsfaktorgruppe der ~-Gruppe H ebenfalts eine ~-Gruppe. Damit haben wit (a) bewiesen. Das }tinreiehen der ad (b) angegebenen Bedingungen folgt aus (a). Sei umgekehrt G eine 1L~-Gruppe. Um zu zeigen, dab G~ eine ll-~-Gruppe ist, betrachten wir einen Normalteiler L yon G$ mit L ~= G~. Es gibt Normalteiler X yon G mit G~ f~ X g L, z. B. X = 1 ; und aus dem Maximumprinzip der Mengenlehre folgt also die Existenz eines maximalen derartigen Normalteilers M yon G. Aus G~f~ M g L ( G~ fotgt G/M ~ 1. I)a G eine ll-~-Gruppe ist, so gibt es einen Normalteiler N yon G derart, daft M ( N ist und G/M in N/M eine ~-Gruppe yon Automorphismen induziert. 1st N*/M der Zentralisator yon N/M in G/M, so ist N* ein Normalteiler von G mit ~-Faktorgruppe G/2q*. Also ist G~ g N*, so daft 2 / o G~ _CM i s t . Aus der Maximalitat yon M und M C N folgt G ~ N ~ L. Dann ist L (G~ f~ N)/L ein voil i verschiedener Normalteiler yon G~/L. ~¥eiter ist

G~o L ( G ~ N) ~ L ( M ~ G~) = L , so da~ L ( G ~ 2f)/L ira Zentrum yon G$/L liegt. Also ist G~ eine tl-T-Gruppe; und wit haben auch (b) bewiesen. Bemerkung 3.7: Die Voraussetzung, dab GIG~ eine ~-Gruppe ist, ist unentbehrlieh, wie wit unten in Bemerkung 6.5, B, zeigen werden. -- Andererseits zeigt unser Beweis, dab G~ sicher dann eine ll-~-Gruppe ist, wenn G eine ll-~-Gruppe ist.

§ 4. Nilpotenz und engelsche Elemente Wir wollen in diesem Abschnitt die bisher gewonnenen Resultate auf Gruppen anwenden, die in einem verh/iltnism~ig scharfen Sinne nilpotent sind.

Gruppen mit Minimalbedingung

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Immerhin wird der yon uns betraehtete Nilpotenzbegriff, die Obernilpotenz, umfassender sein als endliehe Klasse. Bei unserer Charakter~ierung spielt der Begwiff des engetsehen Elements eine fundamentale Rolle. Wir erinnern an die relevanten Definitionen : x o y -= x - l y - l x y ;

x(°) o y = y, x(n+l) o y = x o Ix(n) o y]. ~reehts-~ Das Element e aus G heil3t (hnks- ~ engelsch, wenn fiir jedes x aus G die 1 in der Reihe der iterierten Kommutatoren ~x [e(0(i) o : } vorkommt. II. HEINEKEN hat gezeigt, dal~ rechts-engelsche Elemente auch tinks-engelsch sind. ~¥ir wollen deshalb Elemente, die rechts- oder links-engelsch sind, kurz als engelsch bezeichnen. Folgendes Resultat ist fiir uns wichtig: (E) Eine endliche Gruppe ist dann und nur dann nilpotent, wenn sie yon ihren engelschen Elementen erzeugt wird.

Fiir einen Beweis dieser wohlbekannten Tatsache vgl. etwa B,~m~ ([5]; S. 257, Satz N). Satz 4.1: Wird die Minimalbedingung yon den, Un,tergruppen der Gruppe G er/iillt, so sind die ]oIgenden, Eigenscha/ten der Gruppe G ~iquivalent : (I) Von 1 verschiedene epimorphe Bilder van G haben, von 1 versehiedene Zentren ( G i s t eine ~l-~-Gruppe). (II) Endlich erzeugbare Untergruppen yon, G sind endlich und nilpotent.. (III) G i s t ]ast-abelsch und endliche Untergruppen yon G sind nilpotent. (a) G wird yon seinen engelschen Elementen, erzeugt. (IV) (b) Ist F ein endlieh erzeugbarer (unendlicher ) Faktor yon G und A eine A = A ~ er/iiUende, abelsche p. Untergruppe von F, so ist A = 1. (V) Elementepaare aus G erzeugen endliche, nilpotente Untergruppen yon G. (VI) Endlich erzeugbare Untergruppen yon G werden yon ihren rechts-enqelschen Elementen erzeugt. Beweis: Gruppen mit der Eigenschaft (I) haben wir an anderer Stelle obernilpotent genannt; und es wird bequem sein, diese Bezeichnung im folgenden zu

benutzen. Faktoren obernilpotenter Gruppen sind obernilpotent; und endlich erzeugbare, obernilpotente Torsionsgruppen sind endlich und nilpotent; vgl. BAER [[1]; p. 193, § 6, Theorem 1, (V)]. Also folgt (II) aus (I). -- Gilt (II), so gilt auch die Bedingung (IV) des Satzes 2.1. Also folgt (HI) aus (II). Da fast-abelsehe Gruppen wegen Satz 2.1 lokal endlich sind, so folgt aueh (II) aus (III); unsere Bedingungen (II) und (III) sind also ~quivalent. - - U m sehliel31ieh (I) aus (III) herzuleiten, erinnern wir daran, dab die obernilpotenten Gruppen ja genau die !l-~-Gruppen fin Sinne des § 3 sind. Gelten nun die/~quivaIenten Bedingungen (II) und (III) unseres Satzes, so gilt aueh Bedingung (2) von Satz 3.4, der wegen Bemerkung 3.5 auf 11, ~ anwendbar ist. Also ergibt sieh aus Satz 3.4, dab (I) aus (II), (III) folgt: Die Bedingungen (I), (II), (III) sind ~quivalent.

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REINHOLD B~ER:

Gelten die ~quivalenten Bedingungen (I)--(III), so erzeugt jedes Elementep ~ r x, y aus G eine endliehe nilpotente Untergruppe {x, y} yon G. Da dann ein Glied der absteigenden Zentrenreihe yon {x, y} gleich 1 ist, so wird auch x~~)o y = 1 fiir geeignetes positives i. Also sind alte Etemente HaS G engelseh; und nun ist es klar, dab (IV) aus (I)--(III) folgt. ~¥ir nehmen umgekehrt an, dab zwar (IV), aber nicht (I)--(III) yon G erfiillt wird. Es ist klar, dab (IV.b) sich auf Faktoren yon G vererbt, w/~hrend (IV.a) sieh zwar auf Faktorgruppen, aber nicht ohne weiteres auf Untergruppen vererbt; dies ist die Hauptsehwierigkeit unseres Beweises. Da es (IV) erfiillende Untergruppen von G gibt, die nieht obernilpotent sind, so folgt aus der Minimalbedingung die Existenz einer minimalen, (IV) erfiillenden, ~ber nieht obernflpotenten Untergruppe M von G. Diese Gruppe M gen/igt der Minimalbedingung und hat die folgenden Eigensehaften: (M.1) M wird von seinen engelschen Elementen erzeugt; und (unendliche) Faktoren yon M besitzen auBer 1 keine A = A~ erfiillende, abelsche /9-Untergruppe A. (M.2) Echte Untergruppen yon M, die yon ihren engelschen Elementen erzeugt werden, sind obernilpotent. (M.3) M ist nicht obernflpotent. Angenommen, M i s t nicht endlieh erzeugbar. Ist E eine endliehe Teilmenge von M, so gibt es wegen (M. 1) eine endliche Menge E* engelseher Elemente aus M mit {E} ~ {Z*). Da M nicht endlich erzeugbar ist, so ist {E*} eine eehte Vntergruppe von M; und es folgt aus (M.2), dab {E*} obernilpotent, wegen der /~quivalenz yon (I) a n d (II) also endlich und hi]potent ist. Dann ist aber auch {E} endlich und nilpotent; und in M gilt (II) im Widerspruch zu (M.3). Also gilt: (M.4) M i s t endlieh erzeugbar. W~re M endlich, so wfirde aus (M.1) und Satz (E) folgen, dab M endlich und nilpot~nt, also auch obernilpotent ist. Dies widerspricht (M.3). Folglich gilt: (M.5) M ist unendlieh. Als endlich erzeugbare, aber unendliche Gruppe besitzt M einen maximalen Normalteiler mit unendlieher Faktorgruppe; vgl. etwa BaER ([1]; p. 166, Lemma 1). Es gibt also ein epimorphes Bild H yon M mit folgenden Eigenschaften: (tI.1) H ist unendlieh. (H.2) Jedes eehte epimorphe Bild yon H ist endlieh. Aus den Eigenschaften (M.1), (M.2) und (M.4) folgern wir welter: (H.3) H ist ondlieh erzeugbar und wird yon seinen engelsehen Elementen erzeugt; echt~ Untergruppen yon H, die von ihren engelschen Elementen erzeugt werden, sind obernflpotent; H besitzt auBer 1 keine A = A p erfiiUende abelsche p.Untergruppe A. Wegen (H.2) ist D(H) in jedem yon 1 versehiedenen Normalteiler yon H enthalten. Da H/D (H) wegen der Minimalbedingung endlich ist, so ist D (H) wegen (H.1) unendlich. F01glich gilt:

Gruppen mit Minimatbedingung

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(H.4) D(H) ist unendlich und in jedem von 1 verschiedenen Normalteiler yon H enthalten. Sei U eine yon ihren engelschen Elementen erzeugte echte Untergruppe yon H. Wegen (H.3) ist U obernilpotent; und aus der •quivalenz yon (I), (II), (III) folgt, dab D(U) eine abelsche Gruppe ist, die wegen der Endlichkeit yon U/D (U) keine nieht-trivialen endlichen epimorphen Bilder besitzt. Als abelsche Torsionsgruppe ist D(U) das direkte Produkt yon abelschen p-Gruppen P mit P = P~; und es folgt aus (H.3), dab jedes P = 1 und also auch D(U) = 1 ist. Damit haben wir die Endlichkeit yon U/D(U) = U bewiesen. Also gilt: (H.5) Echte Untergruppen yon H, die yon ihren engelschen Elementen erzeugt werden, sind endlieh. Angenommen es gAbe endliehe, nilpotente Untergruppen N(i) yon H fiir i = 1, 2, . . . mit N(i)C N(i + 1). Die Vereinigungsmenge V = 0 N(i) ist eine i=l

Untergruppe yon H. Da H wegen (It.3) endtieh erzeugbar und jede endliche Teitmenge yon V in einem der N(i) C N(i + 1) C V enthalten is$, so ist V =~ H. Da jedes Elementepaar aus V in einem N (i) liegt, und jedes N (i) endlich und nilpotent ist, so sind alle Elemente aus V engelsehe Elemente yon V. Aus (H.5) folgt die Endlichkeit yon V, was, wie schon bemerkt, unmSglich ist, Aus diesem Widerspruch ergibt sich: (H.6) Die Maximalbedingung wird yon den endlichen, nilpotenten Untergruppen yon H erfiillt. Wir benStigen noch zwei weitere Hilfsbegriffe fiir diesen Beweis: Ist U irgendeine Untergruppe yon H, so sei e (U) die Menge der engelschen Elemente yon H, die in U enthalten sind. Die Elemente aus e(U) sind aueh engelsehe Etemente yon U; aber i. a. kann es engelsche Elemente yon U geben, die keine engelsehen Elemente yon H sind. Die Untergruppe U yon H heiBe e-Untergruppe yon H, wenn U = (e(U)} ist. Natfirlich ist H e i n e e-Untergruppe yon H ; und aus (H.5) folgt, dab alle echten e-Untergruppen yon H endlich und nilpotent sind. Wiederum sei darauf hingewiesen, dab endliche, nilpotente Untergruppen yon H nicht notwendig e-Untergruppen sind. (H.7) Sind X und Y eehte e-Untergruppen von H mit X C Y C H, so enth/~It der Normalisator yon X ein nicht in X enthaltenes Element aus e (Y}. Da Y wegen (H.5) eine endliehe, nilpotente Gruppe ist, so gibt es Untergruppen K(i) yon ]z mit folgenden Eigenschaften: X = K(0), K(i) ist ein Normalteiler yon K(i + 1), K(n) = Y. Natiirlieh bflden aueh die Mengen e(K(i)) eine aufsteigende Folge yon Teilmengen. Aus {e (X)} = X C Y = {e (Y)} folgt, dab nieht alle Elemente aus e (Y) aueh in X liegen. Also gibt es unter den Teflmengen e (K (i)) eine erste e (K (m + 1)), die yon e(X) versehieden ist. Dann ist also e(X) = e(K(m)) eine eehte Teilmenge yon e(K(m + i)); und es gibt ein Element t in e(K(m + 1)), das nieht zu e (X) geh6rt. Natiirlieh geh6rt t auch zu e (Y), ohne zu X zu geh0ren. Weiter wird K (m) yon t normalisiert. Da t engelsehe Elemente yon H in en_gelsehe

24

REINHOLD BAER:

Elemente yon H transformiert, so wird aueh die Menge e(K (m)) yon t normalisiert. Folglieh gilt x,=

=

--:

= {e(X)} = X,

womit (H.7) bewiesen ist. Wegen (H.5) und (H.6) gibt es unter den eehten e-Untergruppen won H maximale; und diese wollen wir kurz als maximale e. Untergruppen bezeiehnen. ])ann gilt: (H.8) Der Durehsehnitt verschiedener maximaler e-Untergruppen yon H enthalt kein yon 1 versehiedenes e-Element. Ware dies falseh, so gabe es unter allen Paaren verschiedener, maximaler e-Untergruppen yon H eines U, V mit maximalem e(U ~ V) # 1. Dann fist 1C W = { e ( U A V)}~ U ~ V C {V" Sei, T der Normalisator yon W. Da W 4= 1 und endlieh ist, so folgt aus (HAL dab W kein Normalteiler yon H und also T =V H i s t . Da W, U und V eehte e-Untergruppen yon H sind, so folgt aus (H.7), dab sowohl e(T) ~ U Ms aueh e(T) ~ V grbl]er als e(U (~ V) ist. Aus {e(T)} ~ TC H folgt, dab {e(T)} eine eehte e-Untergruppe yon H ist. Wegen (H.6) ist also e(T) in einer maximalen e-Untergruppe S yon H enthalten. Es gilt e ( U ~ V) Ce(T)r~ U ~ e ( S ) f~ U = e ( S F ~ U); mad aus der Maximalit~t yon e(U f~ V) folgt S = U. Ebenso folgt S = V; und aus diesem Widersprueh folgt die Gfiltigkeit yon (H.8). Ist U eine maximale e-Untergruppe yon H, so fist U wegen (H.5) endlich, nilpotent; und da H e i n e wegen (H.1) unendliche Torsionsgruppe ist, die yon ihren engelschen Elementen erzeugt wird, so fist U aueh yon 1 versehieden -- aus dieser Bemerkung folgt wegen (H.6) natfirlich auch die Existenz maximaler e-Untergruppen. Aus (H.4) ergibt sich, dab U kein Normalteiler yon H ist, so dab der Normalisator ~ U yon U in H e i n e eehte Untergruppe yon H i s t . Es fist also auch die e-Untergruppe (e(~U)} eine echte e-Untergruppe yon H. Aus U g ~RU folgt e(U) _~e ( ~ U); und aus der Maximalitat yon U ergibt sieh nun: e(U) = e ( ~ U). Wit fassen zusammen: (H.9) Es gibt maximale e-Untergruppen yon H. Diese shad yon i versehiedene, endliehe, nilpotente Gruppen. Ist U eine maximale e-Untergruppe yon H und ~ U ihr Normalisator in H, so ist e (U) = e ( ~ U). Sei wieder M eine maximale e-Untergruppe yon H. Diese enth/ilt wegen (H.9) ein yon 1 versehiedenes engelsehes Element m yon H. W~ren alle zu m in H konjugierten Elemente in M enthalten, so enthielte M einen yon 1 verschiedenen Normaltefler yon H, der wegen (H.4) mlendlieh ware, was wegen (H.9) unmbglieh isV. Also gibt es ein Element h in H derart, dab m ' = m h nicht in M liegt. D a m ' mit M ein engelsehes Element yon H ist, so folgt aus (H.9), dab m' auch nieht im lqormalisator yon M liege. D a m ein engelsehes Element ist, so ist die 1 in der Reihe der Kommutatoren m(O o m ' enthalten. Nun fist m ' = m(°)o m' sieher nieht im Normalisator ~RM yon M enthalten, wghrend

Gruppen mit Mim'malbedingung

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fast aUe Glieder der Reihe m(~) o m' gleieh 1 sind und also in ~ M liegen. Folglieh existiert eine nieht negative ganze Zahl g derart, dab re(g)o m'-= m" nicht im Normalisator yon M liegt, w/ihrend m o m " = m(TM) o m ' zu ~ M gehSrt. D a m in M liegt und also ebenso wie m o m " zu ~ M gehSrt, so liegt aueh m m'' in ~ M . D a m m'' mit m ein engelsehes Element ist, so gehSrt mm'" zu e(T~M) .= e(M) [wegen (H.9)]./)as yon 1 versehiedene engelsche Element mm'' yon H liegt also in M ~ M m''. Da M m'' mit M eine maximale e-Untergruppe yon H ist, so folgt M -= M m'' aus (H.8). Also gehSrt m " zum Normalisator yon M; und dies ist ein Widerspruch, aus dem sieh ergibt, dab (I), (II), (III) aus (IV) folgen, dab also (I)--(IV)/iquivalent sind. Gelten die/~quivalenten Bedingungen (I)--(IV), so gilt a f o r t i o r i (V); und aus (V) folgt sofort, dab die 1 in jeder Kommutatorfolge x(t~o y enthaIten ist. Also ist jedes Element einer ieden Untergruppe U von G ein rechts-engelsches Element yon U; und damit haben wit (VI) aus (V) hergeleitet. Aus (VI) folgt zun/ichst, dab jeder endliehe Faktor yon G yon seinen engelschen Elementen erzeugt wird; und hieraus folgt wegen Satz (E) die Nilpotenz der endlichen Faktoren yon G. Wir nehmen nun an, dal3 G zwar (VI), aber nicht die/iquivalenten Bedingungen (I)--(IV) erffiUt. Wegen (III), (VI), (E) ist dann G nicht fnst-ahelseh. Aus der Minimalbedingung folgt dann die Existenz einer minimalen, nieht fastabelschen Untergruppe yon G. Wegen Satz 2.1 besitzt diese einen unendlichen einfachen Faktor F, der dann die folgenden Eigenschaften hat : (F.1) Jede echte Untergruppe yon F ist fast-abelsch. (F.2) Jede endlich erzeugbare Untergruppe yon F wird yon ihren rechtsengelschen Elementen erzeugt. (F.3) Jeder endliche Faktor yon F i s t nilpotent. Wegen (F.1) und (F.3) erfiillen echte Untergruppen yon F die Bedingung (III). Ware F nieht endlieh erzeugbar, so w/ire jede endiich erzeugbare Untergruppe yon F eine echte Untergruppe ; und wegen der/~quivalenz yon (II) und (III) w/~re sie endlich und nilpotent. Dann w/ire aber (II) yon F erffiUt; und F w/ire also selbst fast-abelseh. Daraus wiirde abet wegen Satz 2.1 folgen, dab F nieht unendlich und einfach sein kann; und aus diesem Widersprueh folgt: (F.4) F ist endlieh erzeugbar. Im folgenden wird es bequem sein, als mGruppen abelsehe Gruppen ohne nicht triviale, endliehe, epimorphe Bilder zu bezeichnen. Insbesondere ist die abelsehe p-Gruppe A dann und nut dann eine p-Gruppe, wenn A = A~ ist. Da F eine einfache, mmndliehe Gruppe mit Minimalbedingung ist, so folgt aus Satz 2.1, dal~ F nicht fast-abelseh ist. Also werden die/iquivalenten Bedingungen (I)--(IV) nicht yon F erffillt. Nun folgt abet aus (F.2) und (F.4), dab F yon seinen reehts-engelschen Elementen erzeug~ wird. Aus einem Heinekenschen Resultat ergibt sieh dann die Giiltigkeit yon (IV.a). Da (IV) nicht gilt, so besitzt F einen yon 1 verschiedenen mFakCor. Dieser hat die Form X[ Y, wo Y ein Normalteiler der Untergruppe X ist. W~re X = F, so folgte aus X / Y ~ 1 und der Einfaehheit yon F, dab Y = 1 und F eine unendliehe, einfaehe, abelsehe v-Gruppe ist, eine UnmSglichkeit. Also ist X eine eigentliehe

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I~EINHOLD]~AF.R:

Untergruppe yon F ; und wir folgern aus (F. 1), dab X iast-abelsch ist. Mit X~ Y ist aueh X unendlich; und es folgt, dab D (X) eine unendliehe ~-Untergruppe yon F ist. D a m i t haben wir gezeigt: (F.5) Es gibt unendliehe v-Untergruppen yon F. Sind X und Y zwei ~-Untergruppen yon F m i t X ~ Y :~ 1, so ist {X, Y} im Normalisator yon X f~ Y enthalten. Da F als unendliche, einfache Gruppe keinen yon 1 verschiedenen abelschen Normalteiler besitzt, so ist {X, Y} ~ F. Aus (F.1) iolgt daml, dab {X, Y} fast-abelseh ist. Wegen der Minimalbedingung ist {X, Y}/D [{X, r } ] endlich, so dab die p-Untergruppen X, r von {X, Y} in D[{X, Y}] enthalten sind. Also ist {X, Y} = D[{X, Y}] abelsch. Hieraus ergibt sich: (F.6) Sind X, Y zwei v-Untergruppen yon F m i t X ~ Y ~: 1, so ist auch {X, Y} = X Y eine ,-Untergruppe yon F. Aus dem Maximumprinzip der Mengenlehre folgt, dab jede v-Untergruppe von F in einer maximalen ~-Untergruppe yon F enthalt¢n ist. Aus (F.5) fotgt, dab maximale , - U n t e r g r u p p e n unendlich sind. Da F eine einfache, unendliehe Gruppe ist, so sind maximale ~)-Untergruppen yon F keine Normalteiler yon F. Aus (F.6) folgern wit schlieBlich, dal~ zwei maximale mUntergruppen yon F dann und nur dann verschieden sind, wenn ihr Durchschnitt gleich 1 ist. I s t V irgendeine maximale ~-Untergruppe von F, so ist V kein Normalteiler yon F u n d der Normalisator W = ~ V ist eine echte Untergruppe yon F. Sei U eine Untergruppe m i t W _c_U C F. Da U/D(U) wegen der Minimalbedingung endlich ist, so ist die l)-Untergruppe V yon U in D(U) enthalten. Da U fastabelseh ist [wegen (F.1)], so ist aueh D(U) eine ~)-Untergruppe yon F. Aus der Maximalit~t yon V folgt V -- D ( U ) ; und da D(U) yon U normalisiert wird, so haben wit gezeigt: (F.7) I s t X eine maximale l)-Untergruppe yon F, so ist der Normalisator ~ X yon X eine X ~ D [ ~ X ] erffillende maximale Untergruppe yon F. Es gibt eine unendliche, maximale mUn~ergruppe V von F nfit Normalisator W = ~ V. Es ist V --- D (W); und aus der Minimalbedingung folgt die Endliehkeit yon [W : D(W)] = [W : V] -----n. Die 0rdnungen der Elemente in der unendliehen ~-Torsionsgruppe V sind nieht beschr~nkt. Folglieh gibt es ein Element v in V, dessen Ordnung g kein Tefler yon n ist, so dal] also vn=4:1 ist. Da iv wegen (F.2) und (F.4)von seinen reehts-engelschen Elementen erzeugt wird, und da W ( F i s t , so gibt es ein nieht zu W geh6rendes, rechts.engelsehes Element ] in F. Da f = v(0)o f nieht in W liegt, wi~hrend v(k) o / =: 1 ffir hinreiehend groi~es k gilt, so gibt es ein e ~ 0 derart, daI~ v(e)o / = t nicht in W tiegt, w~hrend v(e+l)o] = v o t zu W geh6rt. D a v in V g W ]iegt, so geh6rt v(v o t) = v ~ zu W. Wegen [W : V] = n geh6rt (vt)n= (vn)t~ 1 zu V. Also grit 1 ~ (vt)n E V ~ V *. Mit V ist aueh V * eine maximale v-Untergruppe yon F ; und aus 1 =~ V * [und (F.6)] folgt also V = V *. Folglieh geh6rt t zu ~ V ~- W; und dies ist ein Widerspruch, so dab aus (VI) doch die Bedingungen (I)--(IV) folgen. D a m i t ist die/~quivalenz yon (I)--(VI) bewiesen. Bemerkung 4.2: Ob die Bedingung (IV. b) entbehrlieh ist, haben wit nicht entseheiden k6nnen; ebensowenig konnten wir entseheiden, ob es m5glich ist,

Gruppen mit Minimalbedingung

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in Bedingung (VI) nut zu fordern, dab endlich erzeugbare Untergruppen yon ihren engelsehen Elementen erzeugt werden usw. Bemerkung 4.3: Die Bedingung (II) ist insofern iiberfliissig, als sie nur eine Versch/~rfung yon (V) ist. Aber sie war beweisteehniseh reeht nfitzlich. Bemerkung 4.4: Bedingung (II) kann man wegen BAER ([1]; p. 193, § 6, Theorem 1, (v)) aueh durch die folgende Bedingung ersetzen: (II*) Gist lokal obernilpotent. [Das besagt, dab alle endlieh erzeugbaren Untergruppen yon G der Bedingung (I) genfigen.] Bemerkung 4.5: Ist G eine noethersche Gruppe, deren Elementepaare obernilpotente Untergruppen erzeugen, so ist jedes Element aus G engelsch und G yon endlieher Klasse; vgl. BAER( [5] ; p. 257, Satz N). Andererseits gibt es Gruppen, deren endlich erzeughare Untergruppen s/imtlich endliehe p-Gruppen sind, obgleich sie unendlich sind und ihr Zentrum gleich 1 ist. Ohne Zusatzannahme reicht also (V) nieht fiir Obernilpotenz aus. Die Resultate des Satzes 4.1 gestatten gleichzeitig Anwendung und VeraHgemeinerung auf eine umfassendere Gruppenklasse. Sei a eine beliebige (lineare, vollst/£ndige) Ordnung der 1VIenge aller Primzahlen; wit sch~eiben paq, wenn die Primzahl p in der Anordnung a der Primzahl q vorangeht. Die Menge 5 yon Primzahlen heiBe eine (~-Schwei/, wenn sie nicht leer ist und mit irgendeiner Primzahl p auch alle x(rp erffiUenden Primzahlen x enth/ilt. Die Gruppe G heil~e cr-verstreut, wenn sie folgende Eigenschaft hat: (~(t) Ist ~ ein (~-Schwei/, so ist die Menge G(5) aller Elemente x aus G., deren Ordnung nur durch Primzahlen aus ~ teilbar ist, eine (charakteristische) Untergruppe von G. Nennen wir ein Gruppenelement x ein s-Element, wenn seine Ordnung nur durch Primzahlen aus ~ teilbar ist, so kann man (~ a) auch ~quivalent so ausdrficken: Ist 5 ein a-Schweif, so ist mit x und y auch x y ein 5-Element aus G. Hieraus folgert man leicht, dab q-Vers~reutheit sich auf F a k ~ r e n vererbt. Es ist wohlbekannt und leicht einzusehen, dab eine endliche Gruppe dann und nut dann nilpotent ist, wenn sie ¢-verstreut ffir jede Anordnung a der Primzahlen ist. Satz 4.6: Ist (~ eine Anordnung der Primzahlen, wird die Minimalbedingung yon den Untergruppen der Gruppe G er/iillt, so sind die/olgerglen Eigenscha/ten yon G dquivalent. (I) G ist ]ast-abelsch und a-verstreut. (II) Jede endlich erzeugbare Untergruppe von Gist endlich und a-verstreut. (III) Von Elementepaaren erzeufte Untergruppen yon G sind a-verstreut; yon Elementepaaren erzeugte p-Untergruppen yon G sind endlieh. (IV) Gist ¢.verstreut; und p-Untergrup~n yon G Bind/ast-abetveh. Beweis: Fast-abelsche Gruppen sind lokal endlieh (Satz 2.1); und (T.Verstreutheit vererbt sieh auf Faktoren. Also folgt (II) aus (I). Weiter ergibt sieh (III) aus (II) dutch Spezialisierung.

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REINHOLD ]~AER :

Aus der zweiten Formulierung der Eigenschaft (~ ~) sieht man sofort, dal3 eine Torsionsgruppe dann und nur dann q-verstreut ist, wenn jedes ihrer Etementepaare eine ~-verstreute Untergruppe erzeugt. Also folgt die erste H/flfte tier Bedingung (IV) aus der ersten Hi~lfte der Bedingung (III). Gilt auch die zweite Halfte der Bedingung (III), so geniigt jede p-Untergruppe yon G der Bedingung (V) des Satzes 4.1, so da$ dann p-Untergruppen yon G fastabelseh sind. Also folgt (IV) aus (IiI). Gilt sehlieglich (IV), so geniigt aueh jeder einfaehe Faktor F von G der Bedingung (IV). Insbesondere ist also solch ein F eine p-Gruppe [vgl. (~a)] und folglieh fast-abelseh. Eine einfaehe, fast-abelsche Gruppe mit Minimalbedingung ist aber notwendig endlieh; vgl. Satz 2.1. Folglich ist jeder einfaehe Faktor yon G endlieh; und wir folgern aus Satz 2.1, da$ (I) aus (IV) folgt, dug also (I)--(IV)/iquivalent sind. Folgerung 4.7: Wird die Minimalbedingung von den Un~ergruppen der Grupioe G erfiillt, so sind die folgenden Eigenseha/te~ yon G dquiwtlent: (I) Von 1 verschiedene epimorphe Bilder vo~ G haben von 1 verschiedzne Zentren. (II) G i s t ]ast-abelseh und (~-verstreut ]iir jede A~wrdnung a der Primzahlen. (III) Alle p-Untergruppen yon G sind /ast-abelsch und G i s t a.verstreut ]iir alle Anordnungen (~ der Primzahlen. Der Beweis ergibt sich durch eine naheliegende Kombination der Siitze 4.1 und 4.6 mit der oben erw/ihnten Aussage, da$ eine endliche Gruppe dann und nur dann nflpotent ist, wenn sie a-verstreut ist ffir alle Anordnungen g der Primzahlen.

§ 5. UberaufliisbareGruppen

Die folgenden einfachen Kriterien fiber nur aus engelschen Elementen bestehende Untergruppen sind fundamental ffir die Uberlegungen des § 6. Lemma 5.1: Sind aUe yon drei Elementen erzeugten Untergruppen von G noethersch, so ist die Menge der engelschen Elemente yon G eine charakteristische Untergruppe yon G. Beweis: Sind e, / engelsehe Elemente yon G, wAbrend x ein betiebiges Element aus Gist, so ist {e, ], x ) = V nach Voraussetzung eine noethersche Untergruppe yon G. Die Menge E der engelschen Elemente aus V ist dann eine eharakteristisehe Untergruppe yon V; vgl. BAE~ ([5]; p. 251, Satz L'). Insbesondere gehSren also die Elemente e, / und e / - l o x = y zu E; und folglich ist die I in der Reihe der Kommutatoren (e/-1) (0 o y (el-l)(t+1) o X enthalten, so dab m i t e und ] auch e/-1 ein engelsches Element yon G ist, woraus unsere Behauptung folgt. Wie fiblieh definieren wit die absteigende Zentrenreihe iG der Gruppe G induktiv dureh =

rIG =

G,

i + I G ~--- (~ O i ~ .

Folgerung 5.2: Ist n e i n e positive ganze Zahl, ist "U fiir ]ede yon n + 2 Elementen erzeugte Untergruppe U van G eine noethersche ~l-~-Gruppe, so ist ~edes Element au$ nG sin engetsches Element yon G und also ein rechts.engelsches Element yon "G.

Gruppen mit MinimMbedingung

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Beweis: I s t U irgendeine von n + 2 Elementen erzeugte Untergruppe yon G, so ist "U nach Voraussetzung eine noethersche 2I-~-Gruppe trod eine solche ist gewiB von endlicher Klasse. Welter ist U/nU eine endlieh erzeugbare Gruppe endlicher Klasse; und eine solehe ist bekanntheh noetherseh; vgl. etwa Bxm~ ([1 ]; p. 203, § 8, Theorem). Als Erweiterung einer noethersehen Gruppe durch eine noethersche Gruppe ist also U noethersch; und Anwendung yon L e m m a 5.1 zeigt, dab die Menge e U der engelschen Elemente aus U eine eharakteristische Untergruppe von U ist, die natfirhch die charakteristisehe Untergruppe "U von endlicher Klasse enth~lt. Da n p o s i t i v i s t , so ist insbesondere jede yon drei Elementen erzeugte Untergruppe von G noethersch ; und es folgt aus L e m m a 5.1, dab die Menge ¢ G der engelsehen Elemente yon G eine eharakteristisehe Untergruppe yon G i s t . Die Untergruppe nG yon G wird bekanntlich dureh Elemente der F o r m c = x0o [ x l o . •. o (Xn_lO x~)] erzeugt. I s t x irgendein Element von G, so ist X = {x, x 0. . . . . x,} eine yon n + 2 Elementen erzeugte Untergruppe yon G. Aus dem im ersten Absatz dieses Beweises Gezeigten folgt, dab nX aus engelschen Elementen von X besteht. Da c in nX hegt, so ist c ein engelsches Element von X, so dab die 1 in der Reihe der K o m m u t a t o r e n c(0 o x vorkommt. Also ist c ein engelsches Element von G. Da e G eine Untergruppe von G ist, die alle diese Elemente c enthalt, so ist auch die yon ihnen erzeugte Untergruppe nG in ¢ G enthMten. Es folgt, dab nG nur aus engelschen Elementen yon G besteht. Ist x, y ein Elementepaar aus "G, so ist x links-engelsch in G, so dab die 1 in der Reihe der x(0 o y vorkommt. Also ist y rechts-engelsch in "G, womit die Folgerung 5.2 ganz bewiesen ist. Bemerkung 5.3: ~hnhche Aussagen k a n n m a n aueh fiir andere Wortuntergruppen beweisen. Die Gruppe G heine ~n-Gruppe (oder Gruppe der Klasse n), wenn n G = 1 ist. ~Vir bemerken, dab ~ 0 = ~: und E1 = ~ ist, dab weiter jede Klasse ~ n in der Ktasse 11.~: enthalten ist, dab es aber ll-~-Gruppen mit MinimMbedingung gibt, die nicht yon endlieher Klasse sind. Wir wollen uns zun~chst mit der Klasse der l l - ~ n - G r u p p e n (fiir feste n) besehMtigen, die wegen L e m m a 3.3 mit der Klasse der ~ - ~ n - G r u p p e n zusammenf~llt. L e m m a 5.4: Dann und nut dana ist G eine )A-~n-Gruppe, wenn "G eine 2I.~. Gruppe ist. Dies folgt sofort alas L e m m a 3.6, wenn wir nur G~n= nG bedenken. L e m m a 5.4 seheint darauf hinzudeuten, dab die Klasse der l l - ~ - G r u p p e n sieh nieht allzusehr yon der Klasse der ]l-~:-Gruppen unterseheidet. Die folgenden Beispiele mSgen dies in etwas widerlegen. Beislaiel 5.5: A sei ein direktes P r o d u k t abziihtbar unendlieh vieler zykliseher Gruppen gteicher Ordnung ~ 1. D a n n besitzt A eine Basis der ~ o r m a~ m i t i = 0, ± 1 , ± 2 . . . . Aus A entstehe die Gruppe G dutch Adjnnktion eines Elements b, das den Bedingungen b-lamb = a~+1

ffir alle i

REINHOLD BAER:

geniig~. Dann ist A ein abelscher Normalteiler mit zyklischer Faktorgruppe G/A, so dab G wegen L e m m a 5.4 eine ~l-~-Gruppe ist. Weiter ist G = (a0, b} endlich erzeugbar, aber gewiB nicht noethersch, da ja A nieht endlieh erzeugbar ist. Wit sehen also, dab endlieh erzeugbare l l - ~ - G r u p p e n nicht noetherseh zu sein brauehen. Beispiel 5.6: Es sei p eine Primzahl und A, B, C seien abz~hlbar unendliehe, elementar abelsehe p-Gruppen (d. h. A ~-~ 1, BY= 1, C ~ = 1). Wir kSnnen also eine Basis yon B m i t den Elementen yon C indizieren: b (x) ffir x aus C. J e d e m Element ~ aus C ordnen wir einen Automorphismus yon B durch die Regel b (x)~= b (xc)

ffir x aus C

zu. Diese Zuordnung ist isomorph, so dab wir das Element c aus C mit dem zugeordneten Automorphismus yon B identifizieren kSnnen. Dann ist C eine Untergruppe des Holomorphs yon B. Da B ein Normalteiler des Holomorphs von B ist, so kSnnen wir das Produkt

H = BC in ttolomorph yon B bflden. Da H abz~hlbar unendlich ist, so kSnnen wir eine Basis yon A mit den Elementen yon H indizieren: a (x) fiir x aus H. J e d e m Element h aus H ordnen wir einen Automorphismus yon A dureh die Regel a (x) a ~- a (x h)

ffir x aus H

zu. Diese Zuordnung ist ein Isomorphismus, so dab wir das Element h aus H mit dem zugeordneten Automorphismus yon A identifizieren kSnnen. Wir kSnnen also im Holomorph yon A das Produkt

G=AH bilden. Die Gruppe (7 ist im seh~rfsten Sinne des Wortes auflSsbar: G " ' = 1. Da Erweiterungen lokM endlieher p-Gruppen durch lokal endliche p-Gruppen wieder lokat endliche p-Gruppen sind, so ist jede endlich erzeugbare Untergruppe yon G eine endliche p-Gruppe. Die K o m m u t a t o r g r u p p e G' yon G i s t in A B enthalten, nieht abelseh; aber ihr Zentrum ist gleich 1. Wegen L e m m a 5.4 ist G (ira Gegensatz zu H) keine ~l-~-Gruppe. Wir sehen also, dal~ lokal endlich niIpotente Gruppen, insbesondere also lokale ~-~-Gruppen, keine 2I-~-Gruppen zu sein brauchen. Satz 5.7: Wenn neine nicht negative ganze Zahl ist und die Minimalbedingung

yon den Unteryruppen der Gruppe G er/iillt wird, so sind die/olgenden Eigenscha/ten der Gruppe G 5quivalent. (A) G ist eine !l-~n-Gruppe. (B) Gist/ast-abelsch und endliche Untergruppen yon G sind 2l-~n-Gruppen. (C) Jede endliche drzeugbare Untergruppe yon Gist eine endliche ll-~n-Gruppe. (D) Van n + 2 Elementen erzeugte Untergruppen yon G sind ll-~n.Gruppen. Beweis: I s t n = 0, so ist ~ n = ~: und unser Satz ist als Spezialfall in Satz 4.1 enthalten. Wir nehmen also im folgenden an, daft n positivist. Weiter erinnern wir daran, daI~ ~l-~n = ~ - ~ n aus Satz 3,4 folgt.

Gruppen mit Minimalbedingung

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Anwendung von Satz 3.4 zeigt, dab (B) aus (A) folgt. Wegen Satz 2.1 sind fast-abelsche Gruppen lokal endlieh. Also folgt (C) aus (B). Gilt sehlieBlieh (C), so grit auch Bedingung (2) des Satzes 3.4, so daB (A) aus (C) folgt, womit die J~quivalenz yon (A), (B), (C) erwiesen ist. Bedingung (D) entsteht aus (C) dutch Spezialfisierung. Wit nehmen umgekehrt die Giiltigkeit yon (D) an. Ist U eine yon n + 2 Elementen erzeugte Untergruppe yon G, so fist U wegen (D) eine H-~n-Gruppe, die wegen der sehon bewiesenen J~quivalenz yon (A) und (C) endIieh ist. Aus Lemma 5.4 folgt weiter, dab nU eine ll-~-Gruppe ist. Anwendung der Folgerung 5.2 ergibt also, dab jedes Element aus nG ein engelsches Element yon G und ein reehts-engelsches Element yon ~G ist. Mithin wird Bedingung (VI) des Satzes 4.1 yon nG erfiillt, so dab nG eine ll-~:-Gruppe ist. Anwendung yon Lemma 5.4 zeigt, dab G eine ll-~n-Gruppe ist, womit wir die Aquivalenz der Bedingungen (A)--(D) dargetan haben. Bemerkung 5.8: Ist G eine noethersche Gruppe, so erschlieBt man ganz /ihnlich aus Lemma 3.1, Folgerung 5.2, Lemma 5.4 und BA]~I~ ([5]; p. 257, Satz N) die J~quivalenz der folgenden Eigenschaften yon G: (*) G i s t eine lI-~n-Gruppe; (**) jede yon n + 2 Elementen erzeugte Untergruppe von G fist eine ll-~nGruppe. Beispiel 5.6 zeigt aber, dab die/~quivalenz von (*) und (**) im F a l l e n = 1 sich ohne Zusatzannahmen nicht beweisen 1/iBt. Verstehen wit unter ¢ die Klasse der zykli4chen Gruppen, so decken sich die ¢-ll-Gruppen genau mit den i~beraufl6sbaren Gruppen. Satz 5.9: Wird die Minimalbedingung yon den Untergruppen der Gruppe G er/iillt, so sind die/olgenden Eigenscha/ten yon G diquivalent : (A) Gist iiberau/16sbar. (B) Gist/ast-abelsch und endllehe Untergruppen yon G sind iiberau/16sbar. (C) Jede endlieh erzeugbare Untergruppe yon G i s t endlich und iiberaufl6sbar. (D) Von drei Elementen erzeugte Untergruppen yon G sind iiberaullSsbar. Beweis: Da die Automorphfismengruppe einer zyklfischen Gruppe stets abelsch ist, so sind iiberauflSsbare Gruppen stets ll-~-Gruppen und also H-~l-Gruppen. Also folgt aus jeder unserer ~ier Bedingungen die Giiltigkeit der entsprechenden Bedingung des Satzes 5.7. Aus jeder unserer Bedingungen ergibt sich mithin, dab G eine H-~l-Gruppe, insbesondere also (fast-abelseh und) lokal endlich fist. (D) ergibt sieh aus (C) dureh Spezialfisierung. I)a Gruppen *nit der Eigensehaft (D) lokal endlich sind, und da bekanntlieh endliehe Gruppen dann und nut dann fiberaufl6sbar sind, wenn ihre yon drei Elementen erzeugten Untergruppen iiberauflSsbar sind -- vgl. B A ~ ([6]; p. 185, Corollary 1) --, so folgt (C) aus (D), so dab (C) und (D) ~iquivalent sind. Die J~quivalenz yon (A)-(C) ergibt sich leieht aus Satz 3.4 (und Satz 2.1), wenn man sich nur daran erinnert, dal~ die iiberauflSsbaren Gruppen genau die • -tI-Gruppen sind.

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REINHOLD B ~ R :

Bemerkung 5.10: Bedingung (D) reicht auch aus, um die l~berau~Ssbarkeit noetherscher Gruppen zu beweisen, wie wir anderwgrts (ghntich Bemerkung 5.8) nachweisen werden; vgl. BAER [9]. 0hne Zusatzbedingung reic~t abet (D) nicht aus, um ~beraufl6sbarkeit zu beweisen, wie Beispiel 5.6 (es geniigt, H zu betrachten) zeigt. Bemerkung 6.11: Endlich erzeugbare iiberaufl6sbare Gruppen sind noetherseh; vgt. BAER [4]. Dies zeigt zusammen mit Beispiel 5.5, dab die Klasse der iiberauflSsbaren Gruppen wesentlieh enger als die Klasse der ~1-~ 1-Gruppen ist. § 6. Die ~-(ll-~)-Gruppen Die in diesem Abschnitt betrachtete Gruppenklasse ist eine Verallgemeinerung der in § 5 untersuchten 2l-F~-Gruppen, wie das folgende Resultat zeigt. Lemma 6.1.: Eine Gruppe ist dann und nut dann eine ~-(11-~)- Gruppe, wenn sie ~ine ll-(ll-~)-Gruppe ist. Dies ergibt sich sofort aus Satz 3.4. Wiihrend (11-21-)-~- Gruppen einfaeh ll-~:-Gruppen sind, sind ll-(ll-~:)-Gruppen eine die umfassendere Klasse der ~A-~-Gruppen enthaltende Gruppenklasse. Es kommt also sehr auf die Klammern an. Satz 6.2: Wenn die Minimalbedingung yon den Untergruppen yon G er/iillt wird, so sind die/olgenden Eigenscha/ten von G dquivalent : (I) Gist eine ~-(ll-~)-Gruppe. (II) Endlich erzeugbare Untergruppen yon G sind R-(~l-~)-Gruppen. (III) G i s t /ast-abelsch und endliche Untergruppen yon G sind ~-(ll-~)Gruppen. (IV) G besitzt einen ll-T-Normalteiler mit endlicher nilpotenter Faktorgruppe. (V) Jedes von 1 verschiedene epimorphe Bild H yon G besitzt einen yon 1 verschiedenen (endlichen) abelschen Normalteiler, in dem Heine endliche nilpotente Gruppe yon Automorphismen induziert. (VI) Jedes Elementetripel aus G erzeugt eine ~-(~I-f£)-Untergruppe. (VII) (7 ist eine Erweiterung einer ~A/£-Gruppe dutch eine ~A-~-Gruppe. Beweis: Da sieh die Eigensehaften ~ und ~I-T auf Faktoren vererben, so ergibt eine unmittelbare Anwendung yon Satz 3.4 die ~quivalenz der Bedingungen (I), (II), (III). Wit nehmen als ngehstes die G/iltigkeit der gquivalenten Bedingungen (I), (II), (III) an. Wegen der Minimatbedingung ist G/D (G) endlieh. Folglieh gibt es einen und nut einen Normalteiler T yon G mit folgenden Eigenschaften: G/T ist endlieh und nilpotent; ist K ein Normalteiler yon G mit endlicher, nilpetenter Faktorgruppe G/K, so ist T _~ K. (Natfirlich is~ D(G) g T.) Um zu zeigen, dal3 T eine lI.E-Oruppe ist, betraehten wir einen Normalteller S yon T m i t S ~ T. Es gibt Normalteiler X yon G mit T f~ X ~ S, z. B. X = 1; und unter diesen gibt es einen maximalen M, wie das Maximumprinzip der Mengonlehro zeigt. Aus S C T folgt M C (7. Da (7 eine $~-(ll-E)Gmppe ist, so existiert ein Normalteiler J yon G mit J ' g M C J derart, dab

Gruppen mit Minimalbedingung

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G/M in JIM eine ll-T-Gruppe yon Automorphismen induziert. Da JIM eine yon 1 verschiedene, abelsche Gruppe mit Minimalbedingung ist, so gibt es eine von 1 versehiedene, endliehe, charakteristischo Untergruppe L/M yon J/M; vgl. etwa FUCHS (p. 68, 19). Dann ist L ein Normaltefler von G; und G/M induziert auch in L/M eine Zl-~-Gruppe yon Automorphismen. Da diese endlieh ist, ist sie nilpotent und endlich, so dab der Zentralisator L*/M yon L/M in G/M die folgenden Eigenschaften hat: L* ist ein Normalteiler mit T g L*. Es folgt insbesondere, dab T o L g M i s t . Aus der Maximalit/~t von M folgt T ~ L ~ S, so dab S(T ~ L)/S ein yon 1 versehiedener Normaltefler yon T/S ist. Weiter ist T o S (T ;~ L) ~_ T ~ M ~ S, so dab S (T ~ L)/S im Zentrum yon T/S liegt, das folglieh von 1 versehieden ist. Also ist T eine ~I-~:-Gruppe, und wir haben (IV) aus (I) abgeleitet. Gilt (IV), so gibt es einen 2l-~-Normaltefler 2¢ yon G m i t endlieher nilpotenter Faktorgruppe G/N. Sei K ein Normalteiler yon G m i t G ~ K. I s t erstens N ~ K, so ist G/K endlieh und nilpotent, so dab das Zentrum yon G/K von 1 verschieden ist (in dem G/K a fortiori eine endliche nilpotente Gruppe yon Automorphismen induziert). I s t zweitens N ~ K, so ist K.N/K~ N/(K ~ N) ein von 1 verschiedener Normalteiler yon G/K. Es ist K ~ N ein Normaltefler yon G und N ; und N/(K ~ N) ist ein yon 1 verschiedenes epimorphes Bfl~l der ll-~:-Gruppe N. Folglieh ist das Zentrum J/(K ~ N) yon N/(K ~ N) yon 1 verschieden; und da N/(K ;-~N) im Zentralisator yon J/(K ~ N) liegt, so induziert G/(K ~ N) in J/(K ~ 2V) eine endliche nilpotente Gruppe yon Automorphismen. Dann ist aber aueh _KJ/K ein von 1 versehiedener Normaltefler yon G/K; und da N o J _~K ist, so liegt NK/K im Zentralisator von KJ/K, so dab G/K in J/K eine endliehe nilpotente Gruppe yon Automorphismen induziert. Dal] m a n in beiden F/~llen den gefundenen Normalteiler, der ja abelseh ist, stets dureh einen endlichen ersetzen kann, folgt daraus, dab unendliehe abelsehe Gruppen mit Minimalbedingung stets eine endliehe, von 1 versehiedene charakteristisehe Untergruppe besitzen. Damit haben wir (V) aus (IV) hergeleitet; und es ist klar, dab (I) aus (V) folgt. Also sind ( I ) - (V) /~quivalent. Natiirlieh ergibt sieh (VI) durch Spezialisierung aus (II). - Wir nehmen weiter die G/iltigkeit von (VI) an. Wegen der sehon be~iesenen Aquivalenz von ( I ) - ( V ) erzeugen also Element~tripel aus G endliehe R-(ll-~).Untergruppen von G. I s t P eine p-Untergruppe yon G, so erzeugt jedes Elementepaar aus P eine endliche p-Untergruppe von P. Anwendung yon Satz 4.1 ergibt dann: (VI. a) p.Untergruppen von G sind ll-T-Gruppen und also fast.abelseh. Sei nun W die Untergruppe yon G, die yon allen K o m m u t a t o r e n x o y yon Elementen x, y teilerfremder Ordnung erzeugt wird. Es ist klar, dab W eine eharakteristisehe Untergruppe von G i s t . I n G/W wird jedes p-Element yon allen Elementen mit zu p teilerfremder Ordnung zentralisiert. Also sind die p-Sylowuntergruppen von G/W eharakteristlsehe Untergruppen yon G/W. Da G/W eine Torsionsgruppe ist, so ergibt sieh nun, dab G/W direktes P r o d u k t seiner Prim/~rkomponenten ist. Da direkte Produkte yon ~I-~:-Gruppen natiirlieh wieder ll-~:-Gruppen sind, so ergibt sich aus (VI. a) folgendes: (VI. b) G/W ist eine lI-~-Gruppe und also fast-abelsch. ~fath. Ann. 150 3

REINHOLD BAER:

Sind x, y, z drei beliebige Elemente aus G, so ist {x, y, z} = X eine endliche $~-(ll-~:)-Gruppe. Seien weiter die Ordnungen yon y und z teilerfremd. Dann besitzt X einen nilpotenten Normalteiler X* mit nflpotenter Faktorgruppe X/X*. Da Elemente teflerfremder Ordnung in nilpotenten endlichen Gruppen bekanntlich kommutieren, so ist ( X ' y ) ( X ' z ) = ( X ' z ) (X'y), so dab y o z = c in X* liegt. ])ann liegt aueh c o x = d in dem Normalteiler X* yon X , so dab wegen der Nilpotenz yon X* die 1 in der Reihe der Kommutatoren c(0 o d = c(~+1) o x vorkommt. Also ist c ein engelsches Element von G. Damit haben wir aber gezeigt, dab W yon seinen engelschen Elementen erzeugt ~Srd. Da aber jedes Elementetripel aus W eine endliche Untergruppe yon W erzeugt, so folgt aus Lemma 5.1, dab alle Elemente aus W engelsch sind. Dann shad natfirlich auch alle Elemente aus W rechts.engelsche Elemente yon W, so dab Bedingung (VI) yon Satz 4.1 in W gilt. Damit haben wir gezeigt : (VI. e) W ist eine 21-~E-Gruppe und also fast-abelsch. Kombination von (VI. b) und (VI. c) zeigt, dab (VII) eine Folge yon (VI) ist. Gilt (VII), so existiert ein 21-T-Normalteiler J yon G mit ll-~:-Faktorgruppe G/J. Satz 4.1 ergibt, dab J und G/J fast-abelsch sind. Also folgt aus Folgerung 2.6, dab G selbst fast-abelsch ist. Ist welter U eine endliche Untergruppe yon G, so ist U/(J r~ U ) ~ J U/J eine endliche Untergruppe der ll-~:Gruppe G/J; und eine solche ist bekanntlich nilpotent. Der Normalteiler J f~ U yon U ist als endliche Untergruppe der lI-~:-Gruppe J ebenfalls nilpotent. Die endliehe Gruppe U genfigt also unserer Bedingung (IV), deren /~quivalenz mit (I) wir sehon bewiesen haben. Also ist U eine ~-(ll-T)-Gruppe. Damit haben wir (III) aus (VII) hergeleitet und die ~quivalenz der Eigensehaften ( I ) - ( V I I ) bewiesen. Bemerkung 6.3: Beispiel 5.5 zeigt, dab endlieh erzeugbare ~-(11-~:)-Gruppen nicht notwendig noetherseh zu sein brauehen. Bemerkung 6.4: Beispiel 5.6 zeigt, dab eine Gruppe lokat endlieh nilpotent und auflSsbar sein kann, ohne eine ~-(lI-~:)-Gruppe zu sein. Bemerkung 6.5: DaB Erweiterungen von 21-T-Gruppen dureh ll-~-Gruppen stets ~-(ll-~)-Gruppen sind, l~Bt sich auch ohne Zuhilfenahme der Minimalbedingung miihelos zeigen. Die Umkehrung betreffend kann man die folgenden beiden Tatsaehen beweisen. A. Wird die Maximalbedingung yon den Normatteilern der ~-(~.l-~)-Gruppe G er/iillt, 8o be3itzt G einen ll.~-Normalteiler N mit 21-T-Faktorgruppe G/N. Beweis: Ware dies falseh, so g~be es Normalteiler X derart, dab G/X keinen lI-~:-Normalteiler mit ll-~-Faktorgruppe besitzt; und unter diesen Normalteflern X gibt es naeh Voraussetzung einen maximalen M. Die Faktorgruppe H = G/M hat dann die folgenden Eigensehaften: (a) H ist eine ~-(~l-~).Gruppe. Denn die Eigensehaft ~-(~I-T) vererbt sieh auf epimorphe Bflder. (b) H besitzt keinen ll.~:-Normaltefler mit ll-T-Faktorgruppe. (e) Ist Y ~: 1 ein Normaltefler yon H, so besitzt H / Y einen ll-E-Normalteiler mit ll-~:-Faktorgruppe.

Gruppen mit Minimalbedingung

35

Aus (a) folgern wir die Existenz eines abelschen Normalteilers A ~= 1 yon H, in dem H eine ll-~:-Gruppe yon Automorphismen induzie~. I s t A* der Zentralisator yon A in H, so ist A* ein Normalteiler yon H und H]A* ist eine ll-~-Gruppe. Da A abelseh ist, so ist natfirlieh A ~_ A*. Da A ein yon 1 verschiedener Normalteiler yon H ist, so folgt aus (e) die Existenz eines Normaltellers B yon H mit folgenden Eigenschaften: A c=B, B/A und H/B sind ll-~-Gruppen. Mit H/A* und H/B ist aueh H / ( A * ~ B) eine ll-~-Gruppe. Weiter ist A ~ A* r~ B, so dab die Untergruppe (A* A B)/A yon B/A eine ll-~:-Gruppe ist. Da aber A im Zentrum yon A* liegt, so liegt A erst reeht im Zentrum yon A* r-, B; und mit (A* r~ B)/A ist auch A* r~ B eine ll-~:-Gruppe. Dies widerspricht (b) ; und aus diesem Widersprueh folgt unsere Behauptung A.

B. Es gibt ~.(~t ~ ~)-Gruppen ohne ]l-~.-Normalteiler mit 21-~.-Faktorgruppen. Der Beweis erfolgt durch Verfeinerung der Konstruktionen 5.5 und 5.6. Sei zun/ichst A eine freie abelsehe Gruppe yon abz~hlbar unendliehem Range und a(i) mit i = 0, ± 1, ± 2 . . . . eine Basis yon A. Aus A entstehe eine Gruppe B durch Adjunktion eines Elementes b, das den Bedingungen

b -1 a(i)b = a(i + 1)

ffir aUe i

gen/igt. Dann ist B = {a(0), b) u n d e s ist A ein abelscher Normaltefler mit zyklischer Faktorgruppe B/A. Man fiberzeugt sich sofort, daI3 die K o m m u t a t o r g r u p p e B' yon den Elementen a (i + 1) a (1)-x erzeugt wird. Die absteigende Zentrenkette ~B yon B werde, wie iiblieh, induktiv durch

°B = B, i+lB= B o i B definiert. Man zeigt induktiv: k+h

ist I 1 a (j)" (~) m i t n(k) n ( k + h ) # 0

und h ~ 0 ein Element aus ~B,

i=k

so ist i =< h. Hieraus folgt: fl i B = 1 und i+lB C t B .

i=0

Jedes B/iB ist eine torsionsfreie, noethersehe Gruppe der genauen Klasse i. Sei weiter F eine freie abelsehe Gruppe abziihlbar unendliehen Ranges. Dann ist F = I I F ( i )

das direkte Produkt freier abelseher Gruppen F(i),

i=1

die ebenfalls s/imtlieh abzi~hlbar unendliehen Rang haben. Wit kSnnen also eine Basis b (i; x) yon F (i) durch die Elemente x aus B]~B indizieren. Bflden wit alas Element b aus B auf den Automorphismus fl yon F(i) ab, der den Bedingungen b(i; x)~ = b(i; x(~Bb)) fiir alle x aus B/tB geniigt, so erhalten wit einen Homomorphismus yon B in die Automorphismengruppe yon F(i), dessen K e r n genau ~B ist; und diese Automorphismen yon F (i) lassen kein yon 1 verschiedenes Element invariant, da B]~B toraionsfrei ist. 3*

36

REINHOLD ]3AER :

Die b (i; x) fiir i -- 1, 2 . . . . und x aus BlaB bflden eine Basis yon F. Bflden wit das Element b aus B auf den eindeutig bestimmten Automorphismus yon F ab, der den Bedingungen

b(i; x)~ = b(i; x(~Bb)) fiir alle i und alle x aus B/iB geniigt, so erhalten morphismen yon F. ten Isomorphismus morphs yon F ; und

wir einen Isomorphismus von B in die Gruppe der AutoWir k6nnen also jedes Element b aus B m i t dem zugeordneb identifizieren. Dann wird B eine Untergruppe des Holowir kSnnen im Holomorph von F das Produkt

G= B F bflden. Jedes F (i) ist dann ein Normalteiler von G, in dem G eine zu BlaB isomorphe Aul~morphismengruppe induziert, die ja endliehe Klasse hat. Da weiter B eine Erweiterung einer abelsehen dureh eine zyklisehe Gruppe ist, so iiberzeugt man sich davon, dab G eine ~-(ll-T)-Gruppe ist. Da das Zentrum yon B trivial ist, so ist G/F keine ll-~-Gruppe. Von 1 verschiedene Untergruppen von B induzieren in fast allen F(i) fix-element-freie Automorphismengruppen. Es ist nun unsehwer einzusehen, dab G keinen ~A-~:-Normaltefler mit ll-~-Faktorgruppe besitzt. Bemerkung 6.6: Ist G eine $~-(ll-~)-Gruppe mit Minimalbedingung, so folgt aus Satz 6.2, (IV) die Existenz eines 2l-T-Normalteilers J yon G mit endlicher nilpotenter Faktorgruppe G]J. Darm ist insbesondere G/J yon endlicher Klasse j, so dab JG _gJ ist. Also ist JG eine ll-~:-Gruppe und Lemma 5.4 zeigt, dal3 G eine ~-~j-Gruppe ist. Es folgt : Die Klasse der ~-(U-~E)-Gruppen mit Minimalbedingung ist die Vereinigungsklasse aller Klassen yon ~l-~n-Gruppen mit Minimalbedingung. Zusatz 6.7: Vererben sich die gruppentheoretischen Eigenscha/ten OA und

au/ Faktoren, ist jede !3-(Truppe eine ~l-¢£-Gruppe, wird die Minimalbedingung yon den Untergrup'pen der Gruppe (7 er/iiUt, so sind die/olgenden Bedingungen notwendig und hinreichend da/iir, daft G eine 9A-~3.Gruppe ist: (a) Jedes Elementetripel aus G erzeugt eine 9A.~D-Untergruppe yon G; und (b) endliche Untergruppen yon G sind ~[-~3-Gruppen. Beweis: Die Notwendigkeit der Bedingungen (a) und (b) ergibt sich sofort aus Lemma 3.1. Naeh Voraussetzung ist jede 0.I-~-Gruppe eine ll-(~l-~:)-Gruppe; und derartige Gruppen sind wegen Lemma 6.1 aueh ~-(~A-T)-Gruppen. Gilt also Bedingung (a), so erzeugt jedes Elementetripel aus G eine ~-(ll-~)-Gruppe. Anwendung yon Satz 6.2 zeigt, dab (7 fast-abelsch ist, und dab endliehe Untergruppen yon O aufl6sbar sind. Wegen (b) sind die endliehen Untergruppen yon G aueh ~.~B-Gruppen. Also ist Bedingung (3) yon Satz 3.4 erfiillt, so dab G eine (auflSsbare) ~{-~.Gruppe ist.

Gruppen mit Minimalbedingung

37

Anhang: Lokal endliche Gruppenmit Minimalbedingung Wir haben schon darauf hingewiesen, dab es unbekannt ist, ob lokal endliche Gruppen mit Minimalbedingung fast-abelsch sind. Wir wollen deshalb dieser Gruppenklasse einige Uberlegungen widmen und beginnen mit Betraehtungen fiber die Sylowschen S~tze. Lemma A.I: Besitzt die lokal endliche Gruppe G eine endliche p.Sylowuntergruppe, so sind aUe p-Sylowuntergruppen yon G konjugiert (und also endlieh). Dieses Resultat ist wohlbekannt; doch sei ein Beweis der Bequemlichkeit des Lesers wegen angegeben. Beweis: Ist P eine endliche p-Sylowuntergruppe yon G und X irgendeine endliehe p-Untergruppe von G, so ist Q = {P, X} wegen der lokalen Endliehkeit yon G endlich und P ist eine p-Sylowuntergruppe yon Q. Also ist X in Q zu einer Untergruppe yon P isomorph; und damit haben wir gezeigt, dab die Ordnung pn von P eine obere Sehranke der Ordnungen aUer endliehen p-Untergruppen von Gist. Ist S irgendeine p-Sylowuntergruppe von G, so sind die Ordnungen der endliehen Untergruppen yon S (als Teiler von p~) besehr/~nkt; und es existiert eine endliehe Untergruppe M maximaler Ordnung yon S. Ist s ein Element aus S, so ist {M, s} wegen der lokalen Endliehkeit endlieh; und aus der Maximalit~t yon M folgt M = {M, s}, so daB s zu M gehSrt und also S = M endlich ist. Sind schliei]lieh U und V irgendzwei p-Sylowuntergruppen yon G, so sind sie beide endlieh; und es ist also auch {U, V} endlieh. Da U und V zwei p-Sylowuntergruppen der endlichen Untergruppe {U, V} sind, so sind sie in { U, V} konjugiert; und damit ist unsere Behauptung bewiesen. Lemma A.2: Wird die Minimalbedingung von den Untergruppen der lokal endlichen Gruppe G er/iillt, so sind die p-Sylowuntergruppen von G kon]ugiert. Beweis: W~re dies falsch, so g~be es eine minimale Untergruppe M yon G, die zwei in M nicht konjugierte p-Sylowuntergruppen besitzt. Ist dann U eine echte Untergruppe yon M, so sind zwei p-Sylowuntergruppen yon U in U konjugiert. M besitzt ein Paar nicht konjugierter p-Sylowuntergruppen und wird yon jedem solchen Paar erzeugt. Ist K ein p-Normalteiler yon M und X eine p-Untergruppe yon M, so ist auch K X eine p-Untergruppe yon M. Also ist K in jeder p-Sylowuntergruppe yon M enthalten. Also ist das Produkt P aller p-Normaltefler yon M gleich dem Durchschnitt aller p-Sylowtmtergruppen yon M. Wir setzen F = M/P. Dann hat F folgende Eigensehaften: (1) 1 ist der einzige p-Normalteiler yon F. p-Normaltefler yon F haben n~mlieh die Form Q/P, wobei Q ein 10-Normalteller yon M i s t . (2) In eehten Untergruppen yon F sind p-Sylowuntergruppen konjugiert. Eine eehte Untergruppe yon F hat n~mlieh die Form U/P, woboi U eine eehte Untergruppe yon M i s t . p-Sylowuntergruppen yon U/P haben die

38

REINHOLD BAER :

Form S/P, wobei S e i n e p-Sylowuntergruppe yon U ist. Da p-Sylowuntergruppen von U in U konjugiert sind und P ein Normalteiler ist, so sind auch die p-Sylowuntergruppen yon U/P in U/P konjugiert. (3) F besitzt ein Paar nicht konjugierter p-Sylowuntergruppen. M besitzt ein Paar nieht konjugierter p-Sylowuntergruppen A und B. Beide enthalten P und A/P wie auch B/P sind p-Sylowuntergruppen von F. Wfiren diese konjugiert, so g~be es ein Element P] in F/P, das A/P in B/P transformiert. Dann transformiert aber ] auch A in B; und dies ist unmSglich. (4) F wird yon jedem Paar nicht-konjugierter p-Sylowuntergruppen erzeugt. Dies ergibt sieh dureh Kombination yon (2) und (3). (5) F ist eine lokal endliche Gruppe mit Minimalbedingung. Denn F ist ein Faktor von G. (6) Alle p-Untergruppen yon F sind fast-abelsch. Wegen (5) shad endlieh erzeugbare p-Untergruppen von F endliehe p-Untergruppen und also endliehe auflSsbare Gruppen. p-Untergruppen von F genfigen also der Bedingung (IV) des Satzes 2.1, sind folglich fast-abelsch. (7) Die p-Sylowuntergruppen A und B von F sind dann und nur dann konjugiert, wenn D (A) und D (B) konjugiert sind. Es ist klar, dab D (A) und D(B) konjugiert sind, wenn .4 und B konjugiert shad. Gibt es umgekehrt ein Element t in F mit D(B)= D(.4)t = D(At), so haben die beiden p-Sylowuntergruppen .4~ und B die gemeinsame charakteristisehe Untergruppe D = D(B) = D(At). Dann ist D ein Normalteiler von T = {A t, B} und At/D und BID sind endliche p-Sylowuntergruppen von T/D. Da T/D als Faktor yon F (und G) lokal endlieh ist, so ist aueh T/D endlieh, so da~ `4t/D und BID in T/D konjugiert sind. Dann sind At und B in T konjugiert, so da~ .4 und B in F konjugiert sind. (8) Ist S e i n e p-Sylowuntergruppe yon F, so ist D (S) unendlieh. W~re n~mlieh D(S) endlieh, so w~re (wegen der Endliehkeit yon S/D (S)) aueh S endlich ; und wegen Lemma A.1 w/~ren alle p-Sylowuntergruppen von F konjugiert. Dies widersprieht (3). Also gilt (8). (9) Sind A und B zwei ~o-Sylowuntergruppen von F mit D(A) ~_D(B), so ist

D(A) = D(B). Wegen (6) ist D (B) abelseh. Also wird D (.4) yon .4 und D (B) normalisiert. Mithin ist D(.4) ein Normaltefler yon U = {.4, D(B)}. Wegen (8) ist D(.4) ein unendlicher p-Normaltefler yon U. Aus (1) folgt, dal3 U eine eehte Untergruppe yon F i s t ; und wegen (2) sind alle p-Sylowuntergruppen von U in U konjugiert. Als p-Untergruppe yon U ist D(B) in einer p-Sylowuntergruppe B* yon U enthalten. Es gibt also ein Element u in U mit .4~ = B*. Aus der Endliehkeit yon A/D(`4) folgt die yon A~'/D(`4)~'= B*/D(.4)~= B*/D(.4) -man bemerke, dab D(A) ein Normalteiler von U ist. Also ist aueh D (B)/D (`4) endlieh. Da abet 1 die einzige endliehe Faktorgruppe yon D(B) ist, so ~ r d D(A) = D(B), wie behauptet. (10) Die 10.Sylowuntergruppen A und B yon F sind in F konjugiert, wenn {D(A), D(B)} =4=F oder D(A) A D(B) :~ 1 ist.

Gruppen mit Minimalbedingung

39

Wit setzen U = (D(A), D(B)}. Da D(A) und D(B) wegen (6) abelseh sind, so ist D ( A ) f ~ D(B) ein p-Normalteiler yon U. Ist U = F, so folgt also D(A) ~ D(B) = 1 aus (1). Aus unserer Voraussetzung folgt mithin U=~ F ; und aus (2) ergibt sich mithin, dab alle p-Sylowuntergruppen yon U in U konjugiert sind. Natiirlieh ist D(A) in einer p-Sylowuntergruppe A* yon U enthalten, die wiederum in einer p-Sylowuntergruppe A** yon F liegt. I)a A*/D(A) und A**/D(A**) endtieh shad, w/ihrend 1 die einzige endliehe Faktorgruppe yon D(X) ist, so gilt D(A) c=D(A*) g D(A**). Da A und A** abet zwei p-Sylowuntergruppen yon F sind, so ergibt sich D(A) = D(A**) aus (9); und hieraus folgt D ( A ) = D(A*). Ebenso gibt es eine D(B) enthaltende p-Sylowuntergruppe B* yon U mit D(B) --- D(B*). Wie bemerkt, gibt es ein Element u in U mit A ' u = B*; und dann ist auch

n ( A ) u = n ( A * ) u = D(A *u) = D(B*) = D ( B ) . Anwendung yon (7) ergibt, dab A und B in F konjugiert sind. (11) Ist S e i n e p-Sylowuntergruppe und P eine endliche p-Untergruppe yon F mit (S • p)[,~:D(8)]~ 1, so ist P zu einer Untergruppe yon S konjugiert. Zum Beweis betrachten wit die Klasse H a l l e r zu P in F konjugierten Untergruppen X mit (S ;'~ X) [s:DC~)] 4= 1. I n dieser Klasse / / gibt es eine Untergruppe A mit ordnungsmaximalem Durchschnitt S ~ A. W~re A nieht in S enthalten, so w~re S r~ A eine eehte Untergruppe der endliehen p-Gruppe A. Ist also B der Normalisator yon S ~ A in A, so ist S r~ A C B. Da T = (S ~ A) [s:D(s)] eine von 1 versehiedene charakteristische Untergruppe yon S f~ A ist, so wird T von dem Normalisator yon S r~ A normalisiert. Also wird T auch von B normalisiert. Da S r~ A eine Untergruppe yon S ist, so fist T = (S f-\ A) [s:D(S)] eine Untergruppe yon D(S). Wegen (6) ist D(S) abelsch, so dab T auch von D (S) normalisiert wird. Also ist T ein yon 1 verschiedener Normalteiler von R = {D(S), B}. Da T eine p-Gruppe ist, so folgt aus (1), dab R ~ F i s t ; und es folgt aus {2), dab alle p-Sylowuntergruppen yon R in R konjugiert sind. Ist also R* eine D (S) enthaltende p-Sylowuntergruppe yon R, so ist die p-Untergruppe B von R zu einer Untergruppe yon R* in R konjugiert. Die p-Untergruppe R* von F ist natiirlich in einer p-Sylowuntergruppe R** yon F enthalten. Aus D ( S ) ~ R*~_ R**, der Endlichkeit yon R**/D(R**) und der Abwesenheit yon endlichen Faktorgruppen ~= 1 yon D (S) folgern wir D(S) g_D(R**). Da S und R** beide p-Sylowuntergruppen yon F sind, so folgern wit D (S) = D (R**) aus (9), so dab S und R** wegen (7) i n / ; konjugiert sind. I)a B zu einer Untergruppe der Untergruppe R* yon R** konjugiert ist, so ist B also auch zu einer Untergruppe yon S konjugiert. Ist ] ein Element aus F mit B s _~S, so ist B I ~_Af ~ S . Weiter ist A ~ S _~ B und also

1 C (A ~ S)[ s:~(s)l c~ B~S:D(S)l. Folglieh wird

1 ( B1[s:D(s)] g (Aff~ S)[ s:~(s)l .

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I~EINHOLD ~AER:

Also geh6rt A r aueh zu der K l a s s e / / . Aber die Ordnung yon A t • S ist nicht kleiner als die 0rdnung yon B; und die 0rdnung yon B ist grSBer als die 0rdhung yon A ~ S. Da die Ordnung yon A I ~ S also grSBer als die yon A ~, S ist, so ist A doch nieht eine Untergruppe a u s / / m i t ordnungsmaximalem Durchschnitt S f~ A. Aus diesem Widerspruch folgt das Enthaltensein yon A in S, womit (11) bewiesen ist. (12) Ist S ohm 10-Sylowuntergruppe yon F, so ist jede endliehe p-Untergruppe yon F zu einer Untergruppe yon S in F konjugiert. Wegen (6) ist D (S) abelsch. Da D (S) keine yon 1 verschiedenen endlichen Faktorgruppen besitzt, so ist D ( S ) = D(S) ~. Wegen (8) ist D(S) unendlich. Also enth~lt D ( S ) e i n e Untergruppe U mit U[S:l)(s)]=4=]. Sei weiter E eine endliche p-Untergruppe yon F. Wegen der lokalen Endlichkeit von F i s t auch V = {U, E} endlieh. Sei W eine U enthattende p-Sylowuntergruppe yon V. Wegen der Endlichkeit yon V ist die p-Untergruppe E yon V zu einer Untergruppe yon W konjugiert. Aus U <__S ~ W folgern wir 1 ( U [S:D(S)] g (Sf"~ W) [S:D(S)I ; und aus (ll) folgt, dab W zu einer Untergruppe yon S konjugiert ist. Da E zu einer Untergruppe yon W konjugiert ist, so ist E also aueh zu einer Untergruppe yon S konjugiert, wie behauptet. Wir betrachten nun irgendzwei p-Sylowuntergruppen S und T von F. Wegen (6) m~d (8)ist D (T) eine unendliehe abelsehe Gruppe mit D ( T ) = D(T)~; und als solche besitzt D{T) eine endliehe U n t e r g ~ p p e U mit U [s:D(z)} ~= 1. V~Tegen (12) gibt es ein ] in 2' mit Uf g S. Dann ist 1 C U l{s:D(z)] 5_D(S) ~ D ( T ) I = D(S) ~ D ( T I) ; und hieraus folgt wegen (10), dab die p-Sylowuntergruppen S und T I yon F konjugiert sind. Also sind auch S und T in F konjugiert; und dies widersprieh~ (3). Damit haben wh" aus der Annahme, dab nicht alle p-Sylowuntergruppen y o n G konjugiert sind, einen Widerspruch hergeleitet, womit unser Lemma bewiesen ist. Bemerkung A.3: Lemma A.2 ist eine Verallgemeinerung yon BA~R ([3]; p. 539, Corollary). Ohne die Minimalbedingung wird dieses Resultat falsch, da es ja Produkte endlicher Normalteiler gibt, deren Sylowtmtergruppen nieht konjugiert sind. W/ihrend abet die p-Sylowuntergruppen eines Produkts endlieher ~qormalteiler dann und nur dann konjugiert sind, wenn die Anzahl der p-Sylowuntergruppen endlich ist, karm es in dem yon uns betraehteten Falle aueh unendlieh viele p-Sylowuntergruppen geben; vgl. etwa B i e r ([3]; p. 540, Remark). Satz A.4: Wenn die Minimalbedingung von den Untergruppen der Gruppe G er]idlt wird, so ist (7 dann und nur dann ]ast-abelsch, wenn ~eder unendliche ein/ache Fa]ctor F van G den/olgenden Bedingungen geni~t : (a) F i s t lokal endlich; (b) ~ede endliche Untergruppe yon F i s t in einer maximalen Untergruppe yon F enthalten ;

Gruppen mi~ Minimalbedingung

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die p-Sylowuntergruppen van F sind /iir ]ast alle Primzahlen p endlich. Beweis: Ist G fast-abelseh, so sind alle einfachen Faktoren yon G endiieh [Satz 2.1, (III)]. Also sind unsere Bedingungen trivialerweise notwendig. Wir nehmen umgekehrt an, dab jeder unendliehe, einfaehe Faktor F yon G den Bedingungen (a), (b), (c) geniigt, daft aber G nieht fast-abelseh ist. Wegen der Minimalbedingung gibt es dann unter den nicht fast-abelsehen Untergruppen yon G eine minimale M. Aus Satz 2.1, (III) folgt dann die Existenz eines einfachen, aber unendlichen Faktors F yon M. Naeh Voraussetzung genfigt F den Bedingungen (a), (b), (c). Da jede eehte Untergruppe yon M (wegen der Minimalit/~t yon M) fast-abelseh ist, so gilt auch: (1) Jede echte Untergruppe yon F i s t fast-abelsch. Wegen (b) gibt es ,,viele" maximale Untergruppen yon F, deren Struktur wir zun~ehst analysieren miissen. W~re die maximale Untergruppe W yon F endlich, so g~be es ein nicht in W enthaltenes Element / in F ; und aus der lokalen Endlichkeit von F wfirde die Endlichkeit yon { W,/} -- F folgen. Dies ist unmSglieh; und folgtich gilt: (2) Maximale Untergruppen yon F sind unendlich. Ist W eine maximale Uutergruppe yon F u n d /V ~ 1 ein Normalteiler yon W, so ist W sicherlich im Normalisator yon/V enthalten. W~re W nieht der Normalisator von/V, so folgte aus der Maximalit~t von W, dab F der Normalisator yon N und N also ein yon 1 und F verschiedener Normaltefler yon F i s t , was der Einfaehheit yon F widerspricht. Also gilt : (3) Maximale Untergruppen von F sind Normalisatoren ihrer von 1 versehiedenen Normalteiler. ]st P eine p-Untergruppe yon E, so sind endlich erzeugbare Untergruppen yon P wegen (a) endliche p-Gruppen und also auflSsbar. Es gilt also Bedingung (IV) yon Satz 2.1, so dai3 P fast-abelsch ist. Da F als einfaehe unendliehe Gruppe nieht fast-abelsch ist, so ist P -~ F. Also gilt: (4) Prim~re Untergruppen yon F sind fast-abelseh und yon F versehieden. Sei wieder W eine maximale Untergruppe yon F. Wegen (1) ist W fastabelseh; und wegen (2) ist W unendlich. Dann ist D(W) eine unendliehe, abelsehe Gruppe. Da D(W) = D(W) n fiir alle positiven n gilt, so ist wegen der Minimalbedingung D(W) das direkte Produkt endlieh vieler unendlicher Prim~rkomponenten. Ist die p-Komponente P yon D(W) unendlieh, so ist W wegen (3) der Normalisator yon P. Natiirlieh ist P in einer p-Sylowuntergruppe P* von W enthalten; und P * wiederum ist in einer p-Sylowuntergruppe P** yon F enthalten. Wegen (4) ist P** fast-abelseh. Da P**[D(P**) endlieh ist und die Untergruppe P yon P** keine yon 1 versehiedenen endliehen Faktorgruppen besitzt (als p-Komponente yon D(W)), so ist P g D(P**). Da D(P**) abelsch ist, so wird die unendliehe charakteristisehe Untergruppe P yon D(W) und W yon D(P**) nomatisier~; und es folgt aus (3), dab D(P**) in W enthalten ist. ])ann gilt aber sogar P g D ( P * * ) g D(W). Da P die p-Komponente von D ( W ) und D (P**) eine p-Untergruppe zwisehen P und D(W) ist, so folgt P = D(P**). Also wird P yon P** normalisiert; und es folgt wieder aus (3), daB P** in W enthalten ist, Da die Untergruppe P * der (c)

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REINHOLD BAER:

p-Gruppe P** eine p-Sylowuntergruppe von W ist, so ist P*= P**. Bedenken wir noeh, dab alle p-Sylowuntergruppen von W wegen Lemma A.2 in W konjugiert sind; so ergibt sich die folgende Tatsaehe: {5) Ist W eine maximale Untergruppe yon F, so ist D (W) unendlieh, abelsch; die yon 1 verschiedenen p-Komponenten von D(W) sind unendlich; ist p eine Primzahl derart, dab die p-Komponente yon D (W) unendtieh ist, so sind die p-Sylowuntergruppen yon W auch p-Sylowuntergruppen von F. W'ir betrachten zwei p-Sylowuntergruppen P und Q yon F mit D(P) ~ D(Q)g= 1. Wegen (4) sind D(P) und D(Q) abelsch, so dab D(P)/~ D(Q) ein yon 1 versehiedener Normaltefler yon {D(P), D(Q)} = R ist. Da F als unendliche einfaehe Gruppe aueh nicht abelsch ist, so ist Rg= F und R ist wegen (1) fast-abelseh. Da D(P) und D(Q) keine von 1 verschiedenen, endlichen Faktorgruppen besitzen, und da R/D(R) endlich ist, so sind D(P) und D(Q) in D(R) enthalten. Da D(R) abelseh ist, so liegt D{P)D(Q) in der p-Komponente yon D(R), die in jeder p-Sylowuntergruppe yon R enthatten ist (als charakteristlsehe p-Untergruppe yon D(R)). Es folgt, dab D(P)D(Q) <=P ~ Q ist; und hieraus folgern wir D(P) : D(Q). Damit haben wir folgendes gezeigt: (6) Sind P und Q zwei p-Sylowuntergruppen yon E m i t D (P)/~ D (Q) g: 1, so ist D(P) = D(Q). Wir betraehten zwei maximale Untergruppen A und B yon F. Es gebe eine Primzahl p derart, dab sowohl D(A) wie auch D(B) ein Element der Ordnung p enth/ilt. Ist dann X* eine p-Sylowuntergruppe yon X fiir X = A, B, so ist D{X*) die p-Komponente von D (X), also nach Voraussetzung yon 1 verschieden und wegen (5) unendlich. Aus (5) folgt weiter, dab X* eine p-Sylowuntergruppe yon F i s t . Wegen Lemma A.2 sind A* und B* in F konjugiert. Ist / ein Element aus F mit B*I= A*, so ist aueh D(B*) r -- D(A*). Folglich ist D(A*) im Durchschnitt von A und B~ enthalten. Nun ist A wegen (3) der Normalisator yon D(A*), da ja D(A*) die p-Komponente yon D(A) ist; und ebenso ist BJ der Normalisator yon D(B .I) = D(A*). Also ist A = BI; und damit haben wir folgendes gezeigt: (7) Sind A und B maximale Untergruppen von F, gibt es eine Primzahl p derart, dab sowohl D (A) wie aueh D (B) Elemente der 0rdnung p enth/~lt, so sind A und B in P konjugiert. Ist X eine Untergruppe von F, ist p eine Primzahl derart, dab D(X) Elemente der Ordnung p enth/~lt, so wollen wir diese Primzahl p eine X-wesentliche Primzahl nennen. Dann folgt aus (7) sofort: (7*) Shad A und B maximale Untergruppen yon F, so sind die folgenden Eigensehaften yon A und B £quivalent: (7.a) A und B sind in F konjugiert; (7.b) dieselben Pi~mT.ahlen shad A-wesentlieh und B-wesentlich; (7.e) es gibt wenigstens eine Pr'nnzahl, die sowohl A-wesentlieh als auch Bwesentlieh ist. Man bemerke, dab man (5) benutzen muB, um (7.c) aus (7.b) zu folgern. Wegen (c) gibt es nur endlich viele Prhnzahlen, die fiir irgendeine maxima te Untergruppe yon F wesentlieh sein kSnnen. Also folgt aus (7*) :

Gruppen mit Minimalbedingung

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(8)

Es gibt nur endlieh viele Klassen konjugierter maximaler Untergruppen. Wegen (b) gibt es maximale Untergruppen yon F ; und diese shad wegen (2) unendlich, enthalten wegen (5) unendliche Sylowuntergruppen. Sei P eine unendliehe p-Sylo~amtergruppe. /)ann ist D(P) unendlieh und wegen (4) abelsch. Also ist D (P) auch yon F versehieden; und aus der Einfaehheit yon F folgt, dab D (P) kein Normalteiler yon F i s t . Folglieh existiert ein Element ] in F, das D (P) nieht normalisiert. Sei Pn die Menge der Elemente x aus D(P) mit xp" = 1. Dann bilden die P . eine aufsteigende Folge endlieher eharakteristiseher Untergruppen yon D (P) mit

l=PoC P1C...C Pn( P~+IC...C

U P,,=D(P).

n=0

Da D (P) yon [ nieht normalisiert wird, so folgt aus (6) unmittelbar, dab auch kein Pn mit 0 < n yon ] normalisiert wird. Aus Bedingung (a) folgt, dab {P~, ]} endlieh ist; und aus (b) folgt also, dab {P~, ]} in einer maximalen Untergruppe Q~ yon F enthalten ist. W/~re 0 < n und p eine Q~-wesentliehe Primzahl, so sei P* eine p-Sylowuntergruppe yon Q.. Dann ist D (P*) unendlieh als p-Komponente yon D (Q~); und es ist

1 C P~ c=D(P) ~ D(P*). Wegen (5) ist P* eine p-Sylowuntergruppe yon F. Aus (6) wfirde also D(P)= D(P*) folgen. Da D(P*) als p-Komponente yon D (Qn) eine charakteristische Untergruppe yon Q~ ist, so w~d D (P) = D (P*) yon dem Element [ aus Qn normalisiert. Dies widersprieht unserer Wahl yon ]. Also ist p ffir kein positives neine Q.-wesentliehe Primzahl; und dies ist gleiehwertig damit, dab die p-Sylowuntergruppen yon Q~ ffir positives n endlieh sind. Da die p-Sylowuntergruppen yon Q, zu Pn isomorphe Untergruppen enthalten, so wachsen die Ordnungen der p-Sylowuntergruppen yon Q~ mit n gegen unendlieh. Daraus folgt aber, dab es unter den Qn unendlieh viel paarweise nieht isomorphe Gruppen gibt, so dab die Q~ sieh nicht auf end~eh viele Klassen konjugierter Untergruppen verteflen k6nnen. Die Q, sind abet maximal, so dab wir einen Widerspruch zu (8) erhalten haben; und aus diesem Widerspruch folgt die Giiltigkeit unseres Satzes. Bemerkung A.5: Aus Bemerkung 2.2 ergibt sieh, dab fast-abelsehe Gruppen mit Minimalbedingung (a') lokal endlich sind, und dab es (b') nur endlich viele Primzahlen gibt, die Ordnungen yon Elementen shad. Aus (a') folgt (a) und aus (e') folgt (e). Dagegen l~Bt sich keine (b) naeh sieh ziehende notwendige Bedingung (b') angeben, da es ja abelsehe Gruppen mit Minimalbedingung gibt, die unendlich sind, aber keine maximalen Untergruppen besitzen. Man kann ohne groBe Mfihe beweisen, dab Gruppen mit Minimalbedingung dann und nur dann lokal endlieh sind, wenn ihre endlich erzeugbaren, einfaehen Faktoren endlieh shad. Dies zeigt, dab man die Bedingung (a) dureh die folgende sehw/~chere Bedingung ersetzen kann: (a') ~ ist nicht endlich erzeugbar.

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REINHOLDBASle: Gruppen mit Minimalbedingung

Die Bedingung (a) war aber genau in der Form formuliert, in der ~4r sie angewandt haben. Die Bedingtmg (b) wird yon den unendlichen, einfachen Faktorcn F einer fast-abelschen Gruppe haupts~chlieh deshalb erfiillt, well es solche Faktoren nicht gibt, w~hrend sie yon den endlichen, einfachen Faktoren gewi~ nieht erfiillt wird. Alle einfaehen Faktoren F einer fast-abelsehen Gruppe geniigen wegen ihrer Endlichkeit der Bedingung: (b*) Eigentliehe Untergruppen von F sind in maximalen Untergruppen yon F enthalten ; und aus dieser Bedingung folgt fiir unendliche, einfache Faktoren F natfirlich aueh (b). Aber (b*) ist stiirker als (b). Bemerkung A.6: Ein zweiter BeweisschluB ist vielleicht nicht ohne Interesse. Wir benutzen die im Laufe des Beweises yon Satz A.4 abgeleiteten Aussagen (1) - (8).

Ist E eine endliche Teilmenge yon F, so liegt E wegen (a) in einer endlichen Untergruppe yon F ; und diese liegt wegen (b) in einer maximalen Untergruppe yon F. Maximale Untergruppen yon F sind wegen (1) fast-abelsch. Wegen (8) gibt es nur endlieh viele Klassen kon~ugierter maximaler Untergruppen yon F. Also existierl; insbesondere eine obere Schranke ~ der Indices [X :D(X)] mit maximaler Untergruppe X. Dies besagt aber: Die Untergruppen X yon F mit abelsehem Normalteiler vom Index ~ iiberdecken F. Anwendung yon Lemma 1.1 zeigt dann, da~ F selbst einen abelschen Normalteiler yon endliehem Index besitzt, also fast-abelseh ist. Unendliche einfache Gruppen sind aber nicht fast-abelsch. Widerspruch !

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(Eingegangen am 11. September 1962)