HYPOTHI~SE D'APPROXIMATION A L'ORDRE p DANS LES ESPACES DE BANACH ET APPROXIMATION D'APPLICATIONS p ABSOLUMENT SOMMANTES

PAR

PIERRE SAPHAR

ABSTRACT

In this paper a notion of approximation property of order p is introduced and studied. This notion is weaker than the classical approximation property.

Introduction

A. Grothendieck [5] a d6fini et 6tudi6 d'une mani&e syst6matique la notion d'hypoth6se d'approximation pour un espace de Banach. La d6finition de l'hypoth6se d'approximation pour un espace de Banach F peut prendre diff6rentes formes 6quivalentes faisant intervenir le produit tensoriel projectif d'espaces de Banach, l'espace des applications lin6aires continues de F dans un espace de Banach quelconque E, l'espace des applications lin6aires compactes de F dans E. Dans ce travail, on d6finit et on ~tudie une notion d'hyFolL&e d'aFFrcxi~aticn l'ordre p (1 < p < + ~ ) qui redonne l'hypoth6se d'approximation classique pour p = + ~ . Cette notion fait intervenir le produit tensoriel d'espaces de Banach avec la norme gp (cf. [11]), la classe des applications p absolument sommantes, (cf. [8]) et la classe des applications quasi p nucldaires (cf. [9]), qu'il est naturel d'appeler ici p compactes. On obtient ensuite diff6rentes propri6t6s des espaces v6rifiant l'hypoth~se d'approximation d'ordre p. Cette hypoth~se, pour p fini. est plus faible que l'hypoth&e d'approximation. S. Simons et T. J. Leih ont iatroduit et 6tudi6 dans [12] diffdrents types d'hypoth&es d'approximation d6finis sans l'aide de produit tensoriel. Leurs r6sultats sur ce sujet, fort int6r6ssants sont assez 61oign6s de ceux obtenus ici. 379

380

P. SAPHAR

Israel J. Math.,

1. Notations et rappels de r6sultats 1) Les espaces de Banach utilis6s sont soit tous r6els, soit tous complexes. Ils sont munis, sauf mention expresse du contraire, de leur topologie d'espace norm6. Soit E un espace de Banach, E' son dual topologique. On note avec

a(E', E) E' de la dualit6 entre E' et E. L'espace E' muni de la topologie a(E', E) est appel6 E' faible. L'espace E muni de la topologie ~(E, E') est appel6 E

N. Bourbaki, [2], a(E, E') la topologie sur E de la dualit6 entre E et E' et la topologie sur

affaibli. 2) Soient E et F deux espaces de Banach, E" et

F" leur bidual topologique.

On note, dans tout l'article Jo (resp. Jl) l'injection canonique de E dans E" (resp. de F dans F") et s

E) l'espace de Banach des applications lin6aires continues

IIx 11,la norme d'un 616ment

de F dans E. La norme d'un 616ment x de E est not6e T de

est not6e Hzll, on d6signe par ' T l'application transpos6e de E'

.s

dans F ' et par tiT l'application bitranspos6e de F" dans E". L'application identique de E dans E est not6e 1E. 3) Si ~ est une |

norme sur E | F (cf. [1], [4] ou [11] pour la d6finition des

@ normes), on note E |

produit tensoriel E | F muni de ~ et E ( ~ , F le

compl6t6. Soient E, E l, F, F1 quatre espaces de Banach, A ~ s A

u~E' |

^

E), B e .s

F1) ,

BuA t. Par ailleurs, on note R(E,F)

On pose alors (tA |

l'espace des applications lin6aires continues de rang fini de E dans F. On sait qu'on peut identifier

R(E,F) et E ' | F.

4) Soit p un nombre r6el tel que 1 < p < + oo, p' le nombre conjugu6 de p,

1/p + 1/p' = 1, (x i) une suite d'616ments de E. On note Np(xi) le hombre r6el fini ou non

IIx,[l"

N,(x,)=

sip<

+~

i

= sup Ilx, II si p - -

§

i

On d6signe par

Mp(xi) le nombre r6el fini ou non: M,(xi) = sup Np((xl, x')). x" ~E"

[Ix'll _-<1 Soit u ~ E | F, u = ]~ixi | Yi. On pose:

gp(u) = infNp(xi)Mf(y~), la borne

inf6rieure 6tant prise sur l'ensemble des repr6sentations de u. On pose aussi:

dp(u) = i n f M f ( x i ) N~(y~). t L'application tA | par continuit6 ~t E' |

A

B de E' | F h E' l | ~ F lest continue. On note tA | F.

^

B son extension

Vol. 13, 1972

381

APPROXIMATION D'ORDRE p

On sait que gp et dv sont des | normes sur E | F (cf. [11]). Par ailleurs, l'injection canonique de E ~gpF darts E " ( ~ g F est une isom~trie et permet de consid6rer A

A

!

E @gpF comme un sous espace de Banach de E" @gT" Soit u e E |

A

Alors,

on a une repr6sentation de u de la forme: (1)

,~

u--

,

,

x [ Q y t a v e c x ~ E ' etNp(xi)< +oe, y~eFetMp,(y~)< +oo.

t=1

I1 existe une application lin6aire continue naturelle, u--, T, de E' ~ a F dans

~(E,F) d6finie ainsi: si u est repr6sent~e par (1) alors, pour tout x de E on a: Tx= i=1

On dit qu'une application lin6aire continue T e s t p nucl6aire 5- gauche si elle appartient 5- l'image de cette application (cf. [111). L'espace des applications p nucl6aires 5- gauche est not6 ~ ( E , F). L'espace ~Po(E,F) est un espace quotient ^

p

de E' |

Si T e ~~

, F) alors T e s t compact; la norme p nucl6aire de T, est

par d6finition la norme de T e n tant qu'~16ment de cet espace quotient. 5) Pour p = 1, gl et dl sont 6gales/~ la norme tensorielle projective (cf. [5]). A

!

Si u eE' Ng,E on a une repr6sentation de u de la forme u = ~;~lx~ | x~ avec x'~eE'

et

N~(x'l) < +oo, oo

xieE

!

u ~ tr (u) = 2~= 1( x , x~) de E' |

A

et

M~(x~) < +oe.

Alors,

l'application

darts le corps des scalaires est bien d6finie,

lin6aire, continue, de norme inf~rieure ou 6gale 5- 1, (cf. [51). On dit que tr (u) est la trace de u. I1 existe une isometric canonique de sym6trie de E' ~g~E sur E|

A

t

; doric on peut aussi d6finir la trace de tout 61~ment de E |

6) Soit

~zp(E,F) (1

A

~ p _< nu oo) l'espace de Banach des applications p ab-

solument sommantes de E dans F muni de sa norme rrp (cf.[81 et [11]). On sait que lroo(E,F) est identique en tant qu'espace de Banach 5. ~c~'(E,F). Soit

T ~lrp(E, F). Alors, de m~me, j~T et " T sont p absolument sommantes

et

7zp(T)

= rcp(j,T) = n p ('tT) (cf. [81). D'apr6s [11, p. 831, on a: A

(EGoF)

t ~

(F|

A

!

=rcp,(F,E'),

On v6rifie imm6diatement que la dualit6 entre ainsi: soit u ~ E |

^

l_<__p_<+ o o . E |^

et T ~ zrp,(F,E'), alors (lr |

A

et ~rp,(F, E ) s'exprime (u), qui peut aussi ~tre

not6 Tu, conform6ment 5- 3), est un 616ment de E ~ g , E ' et l'on a: (u, T ) = tr(Tu).

382

P. SAPHAR

Israel J. Math.,

7) Soit M un ensemble quelconque. On note if(M), (1 __

X [a, lV< +oo

si p < +oo

i

sup]as]

<+oo

si p = + ~ ,

i

muni de sa norme habituelle. Soit N l'ensemble des entiers naturels. On pose if(N) = ft. 8) Soient S la boule unit6 de E', j 1'injection lin6aire canonique de E dans

l~~

u un 616ment de F | E. On pose gv/(u) = gp(ju). On sait que gp/est une |

norme (cf, [1], [4] ou [11], p. 74]) pour des propri6t6s diverses de gv\)" Pour des raisons de commodit6 la norme gv\ sera not6e ici ep. On peut montrer que la norme induite par nv(F, E) sur F' | E (resp. par zcv(F', E) sur F | E) est 6gale ~t ev (cf. [11], No. 7]). 9) Soit T u n e application lin6aire continue de E dans F. On dit (cf. [11], p. 90]) que T e s t p int~grale (1 =< p < + ~), si l'application j~ T de E dans F" admet la factorisation:

jlT:E

~ C(S) ~ F",

S 6tant la boule unit6 de E' muni de la topologie faible, C(S) l'espace de Banach des fonctions continues d6finies sur S, ~t valeurs scalaires, i l'injection canonique de E dans C(S), A une application p absolument sommante. La norme p int6grale de T, notre iv(T ) ou I] r ]l~p' est d6finie par: iv(T ) = [J rlli p = inf nv(A ), la borne inf6rieure 6tant prise sur l'ensemble des factorisations de jtT. L'espace Ip(E, F) des applications p int6grales de E dans F muni de la norme ip est un espace de Banaeh. Si F est le dual topologique d'un espace de Banach G, F = G', on v6rifie en utilisant la projection canonique de G"' sur G', qu'on a la factorisation suivante i B de T: E ~ C(S) ~ G' B, 6tant p absolument sommante, avec ip(T ) = inf up(B). Done, si F = G', les d6finitions qui viennent d'etre donn6es d'applications p int6grales et de norme p int6grales coincident avec celles de A. Pietsch et A. Persson [9]. On a par ailleurs le r6sulat suivant de dualit6: (E ~) gp\F)' = lv,(F,E' ), 1 < p < + oo ( c f . [ l l ] , p. 91]).

Si u ~ E ~ g~\F et T ~ Iv,(F, E'), alors Tu est un 616ment de E |

A

!

et la dualit6

entre E ~ g F et Iv,(F, E') s'exprime sous la forme: (u, T) = tr (Tu). 10) On utilise syst6matiquement dans la suite les notations suivantes: On

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APPROXIMATION D'OR.DRE p

d6signe par Ap l'injection canonique de F' |

383

dans top(F, E), (resp. de F @~E

dans np(F',E)). On pose:

.4p = joAp. Si u~F' |

alors on pose: .~p(U)=tt(Ap(u)), .~p est done une application

isom6trique de F' @~pE dans np(F",E"). Par ailleurs, on salt que route application p nucl6aire ~t gauche T de E darts F est p int6grale (cf. [9] et [-11]) et que ip(T) < tip(T). Done il existe une application lin6aire continue naturelle, Bp, de E' ( ~ 0 F dans Ip(E,F), (resp. de E ~ o F dans Ip(E',F)) de norme inf6rieure ou 6gale ~t 1 qui admet la factorisation:

Bp:E'|

^

7

Up

p

Vp

~ .~o(E,F)----, Ip(E,F), Up 6tant l'application lin6aire con-

tinue naturelle d6finie dans (4) et Fp l'injection canonique de L~(E, F) dans

Ip(E,F); Up et Vp sont de norme inf6rieure ou 6gale ~t 1. On pose aussi:

Bp =jlBp. 11) Soit ~ un espace compact, p une mesure de Radon positive sur ~, p u n nombre r6el tel que 1 =< p < + ~ . On note LP(~,/0 l'espace des classes de fonctions d6finies sur ~

~ valeurs scalaires, # mesurables ct de puissance

p,~m~ int6grables. On dit que l'espace de Banach E est de type Lp s'il est isomorphe en rant qu'espace de Banach ~t un espace LP(~, p). H. R~sultats d'approximation Soient E et F deux espaces de Banach et p u n nombre r~el tel que 1 < p < + oo. Si T e s t un 616ment de Toy(F,E) alors joT appartient/~ rip(F, E") et Top(T) = nv(j0T). Done, rip(F, E) peut &re consid6r6 cornme un sous espace de roy(F, E"). Par d6finition, la topologie tro sur rip(F, E) est la topologie induite par la topologie faible de rcv(F,E"), c'est ~t dire la topologie a(Trp(F,E"), E'~)g,F). On a alors le r6sultat suivant:

Soient F un espace de Banach et p un nombre rdel tel que 1 < p < + o9. Consid~rons les deux conditions: 1) Pour tout espace de Banach E, l'application naturelle Bp, de E~)o,F dans Ip.(E',F) est injective. 2) Pour tout espace de Banach E, l'espace R(F,E) est dense dans np(F,E) pour la topologie a o sur 7cp(F,E). Tt-I~ORi~ME 1.

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Alors (1) et (2) sont ~quivalentes. DI~MONSTRATION. Montrons que (1) :~ (2). On d6signe dans cette partie, par J2 l'injection canonique de F' | dans son bidual (Ip,(E,F"))', par Xp 1'injection canonique de F' | ~, E dans roy(F, E") et par Bp,, l'application lin6aire canonique de E' ~g~ F dans Iv,(E,F"), (cf. 1.9)). On v~rifie sans difficult6 que .4p = *(/~p,)J2 (il suffit de constater que pour tout x de E et y' de F', .4n(y' | x) = t(J~p,)j2(y'| x). Employant la notation (E,E')) ou ((E',E) pour exprimer que E' est le dual topologique de E, on a alors le sch6ma suivant:

(E'Qa,F,

nv(F,E"))) ~ _ f ' )

( (Iv,(E,F"),

F' |

Sch6ma 1.

TX, E)

Nous allons montrer en fait un r6sultat un peu plus g6n6ral, ~ savoir la densit6 de l'image de l'application .4v dans ~t,(F,E") faible. D'apr& le th6orbme de Goldstine (cf. [-3, p. 424]) l'image de J2 est dense dans (Iv,(E,F"))' faible. Par ailleurs, '(/~p,) est continue de (Ip.(E,F"))' faible dans try(F, E") faible et ~t image dense puisque/~v" est injective. Donc l'image de ~(/~p')J2 est dense dans try(F, E") faible. C'est le r6sultat voulu puisque -4v = '(/~p,)J2. Montrons que (2)=>(1). Nous utilisons ici le sch6ma:

(E ~go,F,

roy(F,E')))

~

,)

~J2 (Iv,(E',F"))'

Sch6ma 2.

((I,,(E',F"),

F' ~ E"~

l'application Jz est ici l'application canonique de F'| dans son bidual topologique. D'apr6s l'hypoth&se, l'image de Ap est dense dans Try(F,E') pour la topologie a o sur roy(F, E'). On peut v&ifier ici que Ap = '(/~v)J2. Donc, l'image de (Bp,) est dense dans nv(F, E') pour la topologie tro. On sait que E ~ g , F peut-&re A

consid6r6 comme un sous espace de Banach de E"| (cf. 1.4)). Donc, on d6duit que l'image de t(Bv.) est dense dans zrv(F,E') faible. On conclut que /~p, est injective. Le r6sultat est obtenu. D~FINITION 1. On dit que l'espace de Banach F v&ifie l'hypoth&e d'approximation d'ordre p, (1 < p < + oo), si les conditions du th6or6me 1 sont v6rifi6es. Pour p = + oo, on retrouve la classique condition d'approximation

(cf. [5]).

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APPROXIMATION D'ORDRE p

385

REMARQUE. L'espace de Banach F v6rifie l'hypoth~se d'approximation d'ordre p s i et seulement si la condition (3) suivante est v6rifi6e: ^

3) Pour tout espace de Banach E l'application lin6aire naturelle de E' | dans Ae~'(E, F) permet d'identifier ces deux espaces en tant qu'espaces de Banach En effet, il est clair que (1) :~ (3). R6ciproquement, supposons (3) v6rifi6. Soit E unespace de Banach quelconque. Alors l'application lin6aire naturelle Bp, de E ~gp,F darts Ip,(E',F) se factorise sous la forme: ^

I

By,: E |

^

,

ap~ E" |

e

u~_~ Sg~'(E', F)

Jp, 6tant l'injection canonique de E | ^

F darts E" | ^

v~

Ip,(E', F)

F (cf. 1.4)),

U v, 1'application lin6aire naturelle de E" ~a~' F dans .~ff'(E', F); U v, est injective

par hypoth~se, Vp, 1'injection canonique de -~'(E',F) dans Iv,(E',F) (cf. I, 10)), le r6sultat est obtenu. Voici un r6sultat voisin qui nous sera utile: PROPOSITION 1. Soit F u n espace de Banach tel que F" vdrifie l'hypoth~se d'approximation d'ordre p(1 < p < + ~ ) . Alors il en est de m6me de F. De plus, pour tout espace de Banach E l'application Av de R(F,E) (ou F' | E) dans 7zp(F",E"), T ~ "T, est ?z image dense dans ~zv(F",E") faible.

Dt~MONSTRATION. OU utilise ici le sch6ma: A

(E' |

gp"

F",

( (I,.(~.f").

rc~(F" , E .... ),~ ,,\

~(Bo,)

F' |

/ J2

E

)

On v~rifie que Ap = tBp,j2. On montre alors, comme dans la d6monstration du th~or~me 1 que l'image de tBp, Ja est dense dans rcp(F",E") faible. Donc, l'image de Ap est dense dans ~p(F", E") faible. Soit T e ~p(F, E). Alors " T e ~p(F", E") et il existe une suite g~n~ralis6e T~eR(F,E,) telle que "T~ tende vers " T dans np(f",E") faible. On en d~duit

ais6ment que T~ tend vers T pour la topologie ao de rip(F, E). Ainsi F v6rifie l'hypoth~se d'approximation. Le r6sultat est obtenu. 11 est int6r6ssant d'avoir des informations sur la topologie a o utilis6e sur np(F, E). A c e sujet, nous avons seulement le r6sultat suivant: PROPOSITION 2. Soit F u n

espace de Banach et p un hombre rdel tel que

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1 < p <--_+ o0. Si F vdrifie l'hypothkse d'approximation d'ordre p, alors pour tout espace de Banach E, l'espace R(F,E) est dense dans rcp(F,E) pour la topologic de la convergence compacte. D~MONSTRATION.Puisque, pour tout p, gp, < gx (of. [11, p. 84]) l'application identique de E ' | F dans E ' | F s'&end en une application lin6aire continue, J, de E' Q01F dans E' | On v6rifie ais6ment que l'application transpos6e tj, est l'injection canonique de zrp(F, E") dans s (F, E"). Soit T ~ top(F, E). Alors, ^

A

il existe une suite g6n6ralisfie T~ d'616ments de R(F, E) (ou F' |

E) telle que, pour

tout u de E ' ~ g , F ,

( u , j o ( T ~ - T ) ) tende vers 0. Soit veE'(gg,F. Alors (J(v),jo(T ~ - T)) tend vers 0. D6signons par ~c(F,E) l'espace ~ ( F , E ) muni de la topologie de la convergence compacte. On sait que le dual topologique de ^

~c(F, E) est un espace quotient de E' | F (cf. [5, p. 114]). Donc, T~ tend vers T pour la topologie affaiblie a(~c(F, E), (~c(F, E))'). On conclut que R(F, E) est ense dans rip(F, E) pour la topologie de la convergence compacte. REMARQUE. Pour p = +0% on sait que si, pour tout espace de Banach E, R(F, E) est dense dans ~,e(F, E) pour la topologie de la convergence compacte, alors F v6rifie l'hypothbse d'approximation, (cf. [5, p. 164]).

Soient F un espace de Banach, p un nombre rdel tel que 1 < p < + co, m un nombre positif (0 < m < 1). Considdrons les conditions: 1) Pour tout espace de Banach E, l'application naturelle ~p, deE ~)g ,F dans Ip,(E',F") vdrifie la propridtd: TR~OR~ME 2.

A

pour tout u ~ E God F, mg,,(u) _<_IIBp,(u) II,p, <=g,,(u), 2) Pour tout espaee de Banach E, pour tout ~ldment T de zcp(F,E), il existe une suite g6ndralisde T, eR(F,E) teIle que T~ tend vers T pour la topologie de de la convergence simple et np (T,) < (1/m)rcp(T) pour tout ~. Alors ( l ) ~ ( 2 ) DI~MONSTRATION. Montrons que (1) =~(2). On utilise le sch6ma 1 de la d6monstrationdu Th6or6me 1. D'apr6s l'hypoth~se, *(/Tp,)est surjective. Soit Te top(F, E).

Alors, il

existe V~(Ip,(E,F"))' tel que '(/~p,) (V) = j o T

et[V[ <_(1/m),,(Tr

D'aprbs le th6orbme de Goldstine (cf. [-3], p. 424) il existe une suite g6n6ralis6e v, de R(F, E) telle que j2(v~) tend vers V pour la topologie faible de (Ip,(E, F"))' et 7tp(V~,)< ] V 1, pour tout ~. Donc, '(~p,)j2(v~,) tend vers '(Bp,) (V) dans rq,(F,E") t [ V[ d6signe la norme de V dans (I~,,(E,F"))"

Vol. 13, 1 9 7 2

APPROXIMATION D'ORDRE p

387

faible, on encore ~p(v~) tend vers J0 T dans zrp(F,E") faible et, %(v~) =< (1/re)rip(T). Ainsi, pour tout x' de E' et y de F on a:

(x' | y,v~) ~ (x' | y,joT) ou: (v~y,x')

-- (Ty, x').

D'apr6s ([5], p. 178), on d6duit qu'il existe des combinaisons lin6aires convexes des v~, Tp, telles que: Pour tout y de F, Tpy ~ Ty dans E et:

np(Tp) <=__1 rip(T). m C'est le r6sultat voulu. Montrons que (2)~(1). On utilise maintenant le Schdma 2 de la D6monstration du Th6or~me 1. On a ici: Ap = ~(~p')J2. Soit T ~ Top(F, E'). Alors, il existe une suite g6n6ralis6e T~ de R(F, E') telle que pour tout y de F T~,y tende vers Ty darts E ' e t zcp(T~) =< (1/m)np(T ). On d6duit ais6ment que T~ tend vers T dans np (F, E') faible. On peut aussi 6crire que

~(Bv')j2(T~,) t e n d

vers T dans nv(F, E') faible. Posons j2(T~) = U~. Alors '(/Tv,) (U~)

tend vers T dans top(F, E') faible et ] U~ I <= (1 ~re)rip(T)*, car J2 est une isom6trie. Soit M l'ensemble des U ~ (Ip,(E', F"))' tels que ] U ] <- (1 ]m)nv(T); M est compact pour la topologie faible de (Ip,(E' ,F'))'. Done, il existe une sous suite g6n6ralis6e Up extraite de U~ telle que Up converge vers un 616ment U de M pour cette topologic faible. Puisque (/~p,) est continue de (Ip,(E',F"))' faible dans 7rp(F,E') faible, '(By') (Up) tend faiblement vers '(/~p,) (U). On a done, '(/~p,) (U) = T. Ainsi '(/~v') est surjective. On d6duit imm6diatement que pour tout v~E(~g,,,F,

mgv,(V) < 11Bp,(V)l],; . On sait que l'on a, par ailleurs, I]~p,(v)I]'~' < gf(v). La d6monstration est termin6e. D'apr~s ([-5, p. 178]), dans l'6nonc6 du Theor6me 2, on peut prendre la topologie de la convergence compacte de T~ vers T au lieu de la topologie de la convergence simple. REMARQUE:

D~rINITION 2. On dit que F v6rifie l'hypoth~se d'approximation

born6e

d'ordre p si les conditions du Th6or6me 2 sont v6rifi6es. On dit que F v6rifie l'hypoth6se d'approximation m6trique d'ordre p s i les conditions du Th6or6me 2 sont v6rifi6es avec m = 1. 1" [ U~ [ d6signe ici la norme de U~ dans (Ip,(E', F"))"

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Israel J. Math.,

Pour p = + o% on retrouve les conditions classiques d'approximation born6e et d'approximation m&rique (cf [-13]). REMARQUE. L'espace de Banach F v6rifie l'hypoth&e d'approximation born6e (resp. m&rique) d'ordre p s i et seulement si la Condition 3 suivante est v~rifi6e. 3) Pour tout espace de Banach E l'application lin6aire naturelle By, de A E' | dans Ip,(E,F) est injective et A image ferm6e (resp. est isom~trique). La d6monstration est analogue /l celle de la remarque qui suit la D6finition 1.

REMARQUE. Pour p donn6, on peut donc ~noncer sur F six conditions diff6rentes d'approximation: 1) L'hypoth~se d'approximation, 2) L'hypoth~se d'approximation born6e, 3) L'hypoth&e d'approximation m&rique, 4) L'hypothbse d'approximation d'ordre p, 5) L'hypoth~se d'approximation born6e d'ordre p, 6) L'hypoth~se d'approximation m&rique d'ordre p. I1 est trivial que ( 3 ) ~ ( 2 ) ~ (1) et (6)3(5)=~(4) D'apr~s ([5, p. 95]) (1)~(4). I1 est possible d'obtenir le r6sultat suivant: PROPOSITION 3. Soit F un espace de Banach et p un nombre rdel tel que 1 <=p < + oo. Alors (2)=~ (5) et (3)=~ (6).

DI~MONSTRATION. Montrons que (2)~ (5). Soit E un espace de Banach et T~rcp(F,E') avec xv(T)< 1. Montrons que l'application tT| 1r de E | dans F' @gl F est continue. Soit

u = ~ x~| y~ i=1

un ~16ment de E | 6crire:

(xi e E, yi ~ F) et A un 616ment de ~ ( F , F"). On peut

(tT|

( ~

'Tx~|

i=1

=

~. (*Txi, Ayi) i=I

=

Z i

(xI,"TAyl)

Vol. 13, 1972

389

APPROXIMATION D ' O R D R E p

< ~ ](x,,"TAy,)]

[(('T|

1

" <= Np,(xi) N p(TAyi)

1[A ][MAy,)

<= NAx,)~A"T) =<

g,,(.)IL A II.

Mais,

sup [ ((*T | 1F) (u),A) ] = gl(('T | 1F) (u)). Donc: 11.4 II ~

gI((*T | Iv) (u)) < gp.(u). On a alors le sch6ma:

E |,,

FiT

I,,(E',F")

Q---~ 1F F' |^ I,(F1,F")

dans lequel Bp, et B1 sont des applications lin6aires continues naturelles de norme inf6rieure ou 6gale A 1, (cf. [, 10)). On v6rifie sans difficult6 que: /~I(('T | 1F) (u)) =/~p,(u) T. D'aprhs A. Pietsch et A. Persson ([9, Satz 48]) on a:

il(,Bp,(u)T) < ~p(T) ip,(j]p,(u)). Puisque F v6rifie l'hypoth~se d'approximation born4e il existe m > 0 tel que, pour tout veF'QoIF, on ait m]tr(('V|

ma~(v)< q(,Ol(V)). Donc: lr) (u))[ -<_ mgl((tT|

lr) (u))

N il(BI(('T | lr) (u)) <= i,,(~,,(u)). On v&ifie ais~ment que sup,,(r)~lltr((tT|

lv)(u))] = Op.(u).

On obtient finalement:

ma,.(u) N i,,(fJ,,(u)). Le r6sultat est obtenu. On obtient alors ( 3 ) ~ (6) en prenant m = 1. Les six hypotheses d'approximation pour F sont doric reli6es par les implications suivantes:

390

P. SAPHAR

Approximation d'ordre

p~

Israel J. Math.,

Approximation born6e d'ordre p

,/N

~= Approximation m6trique d'ordre p

/x,

Approximation

~

A

Approximation

~

born6e

Approximation m6trique

Voici pour terminer cette partie, un r6sultat d'approximation d'applications p int6grales de E dans F.

Soient E et F deux espaces de Banach, p u n nombre rdel tel que 1 < p < + 0% T une application p int~grale de E dans F. Alors, il existe une suite 9dndralisde T, d'applications de rang fini de E dans F telle que: - - Pour tout x de E et y de F', ((T, - T)x, y ' ) tend vers O, TH~OR~ME 3.

- - gv(T~) <_ iv(T ) pour tout ~. D~UONSTRAT~ON: On a l e sch6ma

(E' |

~p' (F

(zc,,(F,E"))' B,

( (I,(E, F"),

'~)) )

A v,

F' | ~,,,E)

J3 est l'application canonique de E'| dans son bidual topologique. On v6rifie imm6diatement/~p = t(.~p,) J3. Soit T u n e application p int6grale de E dans F; j l T est un 616ment de Iv(E,F"). Puisque Ap, est une isom6trie, tap, est surjective. Done, il existe Ve(zcp,(F,E"))' tel que t ( A p , ) ( V ) = j l T et aussi

IV[ <_ iv(j~T)*. Par ailleurs, d'apr6s le th6or6me de Goldstine (cf. [3, p. 424]), il telle que ja(U,) tend vers V dans

existe une suite g~n&alis6e u, de E' |

Ivl

(zcv,(F,E"))' faible et gv(u,) < __< i, lZ) = r Done '(Ap,)(J3Cu,))tend vers j l T dans Ip(E,F") faible vu la continuit6 de t(~p,) pour les topologies faibles. Posons ~p(u~) = T,. L'616ment T, est une application de rang fini de E dans F et j~T, = Bp(u,). On a '(Ae,)j3(u,) = ~p(u,) =j~T,. Donc, jlT, tend vers j x T pour

? [V] d6signeicila norme de V dans (z~'v(F, E"))'.

Vol. 13, 1 9 7 2

A P P R O X I M A T I OD'ORDRE N p

391

la topologie faible de Iv(E, F") et, gp(jlT~) = gv(T~) = #p(U~) < ip(T). A/ors, pour tout x de E et y' de F', ( j l ( T , - T ) , y ' |

qui est 6gal ~t ( ( T ~ - T ) x , y ' )

tend vers 0. Le r6sultat est obtenu.

REMARQUE1. On v6rifie sans difficult6 que si T~ est une suite g6n6ralis6e d'applications de rang fini de E dans F et T u n 616ment de o~r

F) tel que pour

tout x de E et y' de F' ((T~ - T)x,y') tend vers 0 et #p(T~) < 1 pour tout ct, alors T e s t une application p int6grale telle que iv(T)< 1. A. Grothendieck [5] avait d6ja obtenu ce r6sultat pour p = 1. Voir aussi, pour p = 1, J. R. Holub [6]. III. Applications 1) Dans le contexte des applications p absolument sommantes beaucoup de probl~mes sont encore non r6solus. Nous allons 6tudier plus sp6cialement dons cette pattie les questions suivantes: QUESTION l. Soient E et F deux espaces de Banach et p u n nombre r6el tel que 1 < p < + oo. Quelles hypotheses sur E et F entrainent-elles que tout 616merit T de roy(F,E) est limite pour la topologie de la topologie de la normeTrp d'applications lin6aires continues de rang fini? (ou encore: rCp(F,E)= F' | QUESTION 2. Dans quel cas l'espace rrp(F, E) est il r6i~exif? Nous verrons qu'il y a une forte relation entre les questions 1 et 2. Examinons tout d'abord la question 2. Supposons que pour E et F donn6s et p tel que 1 < p < + oo, rcv(F, E) soit A

r6flexif. Alors, l'espace F ' |

E qui peut ~tre identifi6 h u n sous-espace de top(F, E)

est aussi r6flexif. I1 en est de m~me de F' et E qui peuvent ~tre consid6r6s comme des sous-espaces de F ' Q ~ E .

On constate donc que pour que rCp(F,E)soit

r6flexif il est n6c6ssaire que E et F soient r6flexifs. Supposons maintenant E et F r6flexifs et soit p u n nombre r6el tel que 1 < p < + oo. On a alors le sch6ma:t

(E' &o,F,

~(F, E)>)

<(Ip,(E,F),

F' ~,E)

Puisque E et F sont r6flexifs, on sait d'apr~s, A. Persson ([7, th. 4]) que toute application p' int6grale de E dans F est p' nucl6aire ~t gauche avec identit6 des t On d6signe ici par Ap l'extension par continuit6 h F'Qo,,E de l'application Ap d6finie dons 1.10).

392

P. SAPHAR

Israet J. Math.,

normes p' int6grales et p' nucl6aires. Supposons de plus que 1'application Bp, soit injective (c'est, par exemple, exact si F v6rifie l'hypoth~se d'approximation l'ordre p). Dans ce cas, 1'application Bp, est isom6trique et permet d'identifier E' ~ g , F et Ip,(E,F) en tant qu'espaces de Banach. On a alors: A

(F' C~ EY = Ip,(E,F), (F ' ^|

E)" = np(F,E).

On voit donc que rcp(F,E) est r6flexif si et seulement si ~rp(F,E)= F ' ~ p E et c'est la relation entre les Questions 1 et 2. Avant d'6tudier de plus pr6s les questions 1 et 2 formulons encore une autre question: il 6xiste d'autres formes de l'hypoth~se d'approximation dans lesquelles la classe des op6rateurs compacts joue un r61e. Par exemple, si F est un espace de Banach, d'apr~s A. Grothendieck ([5, p. 167]) les deux hypotheses suivantes sont ~quivalentes 1) F' v6rifie l'hypoth~se d'approximation 2) Pour tout espace de Banach E, l'espace R(F,E) est dense clans l'espace ff(F,E), des op6rateurs compacts de F dans E, pour la topologie de la norme. I1 est alors naturel de poser la question suivante: 3. Existe-t-il une classe d'applications de F dans E qui permette d'exprimer la condition d'approximation d'ordre p d'une mani6re analogue? Examinons cette question: Soient E et F deux espaces de Banach et T u n e application lin6aire continue compacte de F dans E. D6signons par S la boule unit6 de E' munie de la topologie faible et par j l'injection canonique de E dans QUESTION

l~(S). L'espace l~(S) 6tant de type C t, d'apr6s [11, p. 99], j T est un 616ment de ze ;~(r, l~(S)). R6ciproquement si T e s t une application lin6aire continue de F dans E telle que j T soit un 616ment de LP~(F, l |

alors Test compacte. On est donc amen6

poser la d6finition suivante: D~F~NmON 3. Soit T u n e application lin6aire continue de F dans E et p u n nombre r6el tel que 1 =

Vol. 13, 1 9 7 2

APPROXIMATION D'ORDRE p

393 A

j T est p nucl6aire ~t gauche (ou, ce qui est 6quivalent, sijT ~ F' |176 On note c#v(F, E) l'ensemble des application p compactes de F dans E. On montre, sans difficult6 que pour 1 < p < +0% une application lin6aire continue T e s t

p

compacte si et seulement si elle est quasi p nucl6aire.au sens de A. Pietsch et A. Persson [9]. L'espace cYv(F, E) est par ailleurs un sous espace ferm6 de ~zp(F,E), (cf. [9 p. 43]) et l'on a, si T ~ p ( F , E ) :

zrp(T) = xv(jT) = 9v\(jT) = or(iT), ear gv = Or\ sur F' | l~(S). Par ailleurs, on v6rifie imm6diatement que si T E F ' | ^

E alors T e s t p compaete.

On a done les inclusions: A

F ' | ~, E c c~(F, E) = ~zp(F,E). Une r6ponse partielle aux questions posfes sera obtenue ~t l'aide du r6sultat suivant.

Soit F u n espace de Banach tel que F" vdrifie l'hypothkse d'approximation d'ordre p(1 < p < + ~ ) . Alors, pour tout espace de Banach E, l'espace des applications lindaires continues p compactes de F dans E, cgp(F,E), est identique & F ' ~ ) ~ E (autrement dit: l'espace des applications lindaires continues de rano fini, R(F, E), est dense dans cYp(F,E) pour la topolooie de la norme 7zp). TH~OR~ME 4.

D~MONSTRATION.

1) Montrons tout d'abord qu'il suffit d'obtenir le rfsultat dans le cas ou l'espace E est r6flexif. Soit T u n 616ment de ~gv(F,E), (1 < p < + oo). D'apr~s A. Pietsch et A. Persson ([9], Lemma 5), il existe un sous-espace M ferm6 de Ip tel qu'on puisse factoriser T A

B

sous la forme: T : F --, M -~ E, A 6tant une application p compacte de F darts M et B une application linfaire continue de M dans E. Supposons qu'il existe une suite A, de R(F, M) telle que ~ v ( A - A,) tende vers 0. Puisque x v ( B A - BA,)

<--IIB II%(A - A , ) , on d6duit que % ( B A - BAn) tend aussi vers 0. I1 est clair que BA n~ R(F, E). Done, pour obtenir le r6sultat il suffit de montrer l'existence de la suite A,. Mais l'espace M est r6flexif. I1 suffit donc de d6montrer le th6or6me en supposant de plus, E r6flexif.

394

p. SAPHAK

Israel J. Math.,

2) On suppose maintenant E r6flexif. Soient T un 616ment de ~p(F, E), S la boule unit6 de E',j l'injection canonique de E dans l~ 616ment de F ' | ^

On sait que j T est un

= Ip,(I~176

| (S) et que (F ' |174 ^

Soit

X e If(l~(S), F"). On peut d6finir le produit scalaire (jT, X ) . Par ailleurs, Xj est un 616ment de

Ip.(E,F"). Mais: lp,(E,F") = LZf(E,F"), car E est rdftexif (cf. Persson [7]). Par ailleurs, .LP~'(E,F")= E'@gp,F", car F" v6rifie l'hypoth6se d'approximation d'ordre p. A On sait de plus que (E' |

It

!

F ) = rcp(F",E). Puisque t tT e zcp(F",E), on constate

que l'on peut d6finir le produit scalaire (Xj, ttT). 3) Prouvons que (Xj, t ' T ) = (jT, X ) . Puisque X est un 616ment de If(Y~

F"), il existe un espace Lt'" de type L~' tel g F", avec D e lp,(l=(S), Lp') et ~oLp, --, K e LZ(Lf, F"). Par ailleurs, on peut 6crire, d'apr6s (I, 4)) j T = ~-,i~lY~ | r avec que X se factorise sous la forme X: l| t

t

Yi a F' et Np(yi) < + 0%

r e l~

et M f ( r

< + oo .

Notons U l'application p nucl6aire h gauche de F" dans l|

d6finie par:

U(y") = ~E (y~, y") r pour tout y" e F". i=1

On v~rifie imm~diatement que U =jnT. On a:

(jT, X )

= ~

(Yi, KDr

t=1

--

( KYi, D r ill

Soit Lp le dual topologique de l'espace Lp' introduit et x e Lp. Alors, D U Kx

= ~i~l(Y'l,Kx) Dr

Puisque Np(tKyi)< + o r et Nf(Dr

+o% D UK est une application nucl6aire de Lp dans Lp dont la trace est bien d6finie puisque Lp v6rifie l'hypoth~se d'approximation m6trique. On a: tr(D UK) =

~ (~Kyi, De,). Donc: i=l

(jT, X)

-- tr(D U K ) = t r ( D j " T K ) .

t~tudions maintenant ( X j , " T ) . On a:

Vol. 13, 1 9 7 2

A P P R O X I M A T I OD'ORDRE N p

395

Xj = KDj; il est clair que Dj est un 616ment de Ip (E, Lp'). D'apr6s A. Persson [7], on a:

Ip,(E, if') I1

=

~ P'(e,L ~') = E, | ^

~". ,E=

existe alors une suite v,, e E,'| Lp', telle que gp.(v,,- Dj) tende vers 0. Alors

Kv n - K D j tend vers 0 dans E' ~gp,F". Donc: ( X j , " T ) = lim (Kvn,"T).

Mais:

n

(Kvn,'tT) = tr(ttTKv,) = tr(vnttTK), comme on le vOrifie imm6diatement. A

Mais v~ appartient A E' |

pt

p9

9

9

,

9

E . Puisque E' est reflexif et que L venfie 1 hypothese !

d'approximation metrique on peut identifier E |

A

9

pavec Ipo(E,Lp') en tant

qu'espaces de Banach. (cf. A. Persson [7]). Puisque l'application j t tT = U est p nucl6aire ~ gauche, l'application tiT est p compacte, Donc, t tTK est une application p compacte de Lp' dans E. Puisque 1,espace L p v~rifie l'hypoth~se d'approximation m~trique, d'apr~s A. Pietsch et A. Persson ([9, Satz 6]) l'application t tTK est limite pour la norme zcp d'une suite A

d'applications de rang fini. Donc, " T K est un 616ment de LP|

Alors, on

peut 6crire le termetr(vn ttTK)sous la forme (v~, t ' T K ) e n utilisant la dualit6 entre L P ~ E

et Ip,(E,LP'). On constate ainsi que tr(v~"TK)

(Dj, t t T K ) = t r ( D j

tend vers

" T K ) . D o n c ( X j , t~T)=tr(Dj 'tTK). On a bien:

(,iT, X ) = (Xj,~tT) = tr(Dj'trK). 4) La d~monstration se termine alors ainsi: Puisque F" v6rifie l'hyvoth~se d'approximation d'ordre p, il existe, d'apr6s la proposition 1, une suite g6n6ralis6e T~ de R(F,E) telle que, pour tout X de Ip,(!~176

(Xj,"T,)tendevers

(Xj, tiT>. Alors, (jT~,X) tend vers (jT, X ) , pour tout X. Cela signifie que jT~ tend vers I

A

00

j T pour la topologie affaiblie de F | l (S). Alors, il existe une suite g6n6ralis~e Vp d'616ments de R(F, E), telle que pour tout fl, Vp soit une combinaison lin6aire convexe de T~ et que g,(jV~ - j T ) tende vers 0. Mais np(V~ - T) = gp(jVp - i T ) . Le r~sultat est obtenu. COROLLAmE1. Soit Fun espace de Banach r#flexif ou d dual s~parable tel que

F" vdrifie l'hypoth~se d'approximation d'ordre p(1 < p < + ~ ) . Alors, Irp(F,g)

396

P. SAPHAR

Israel J. Math.,

= F ' ~ p E . Autrement dit, tout application p absolument sommante de F dans E est limite pour la norme zcp d'une suite d'applications lineaires continues de rang fini de F dans E. D~MONSTRATION: Soit T ~ ~p(F, E). I1 suffit de d6montrer que Test p compacte. Ce r6sultat est indiqu6/l la fin de l'article d'A. Persson [7"]. Donnons en ici une preuve pour etre complet: soit j l'injection canonique de E dans l~176 Alors, j T ~ rip(F, W(S)). Mais: ~rp(F, l~

= Ip(F, l~

d'apr6s I-9, Satz 41],

Ip(F, l~

= ~ ( F , l~176

d'aprbs [7].

Le r6sultat est obtenu. COROLLAIRE 2. Soit F u n espace de Banach rdflexif et p u n nombre rdel tel que 1 < p < +oo. Alors les conditions suivantes sont dquivalentes: 1) F vdrifie l'hypoth~se d'approximation d'ordre p, 2) Pour tout espace de Banach E, ~rp(F,E) = F' ~)~ E. COROLLAIRE 3. Soient E et F deux espaces de Banach rdfiexifs tels que F vdrifie l'hypoth~se d'approximation d'ordre p(1 < p <

+oo). Alors,

rcp(F,E), E ~ g p , f et .~e~'(E,F) sont rdfiexifs. D~MONSTRATION. D'aprbs l'6tude faite apr~s la question 2, (F' |

E)" = rip(F, E).

Par ailleurs, il est clair que l'application canonique Ap de F' Q,pE dans zrp(F,E) est l'injection canonique de F' | dans son bidual. D'apr~s le corollaire 1, cette application est surjective. Donc %(F,E) est r6flexif. Mais ( E ' ~ g , F ) ' = zrp(F,E). Donc, il en est de mSme de E' | Puisque F v6rifie l'hypoth6se A

^

A

d'approximation ~t l'ordre p E' |

= ~ g , ( E , F). Le r6sultat est obtenu.

COgOLLAmE 4. Soit F un espace de Banach, rdflexif ou tel que F' soit s~parable, qui vdrifie l'hypothkse d'approximation d'ordre p(1 < p < +oo). Alors pour tout espace de Banach E, ( ~ ' ( E , F))" = Ip,(E", F"). Dt~MONSTRATION.Puisque F v6rifie l'hyFoth~se d'aFFroximation d'ordre p, E' O g , F = ~a~'(E, F). De plus, (E' ~g , r ) ' = np(F, E").

VoI. 13, 1 9 7 2 D'apr~s

APPROXIMATION D'ORDRE p

le Corollaire

1, nv(F,E")= F ' ~ E " .

397

Par ailleurs, ( f ' ~ ) ~ E")'

= Ip,(E", F"). Le r6sultat est obtenu.

Pour conclure, voici un lien entre l'hypoth~se d'approximation et l'hypoth~se d'approximation d'ordre p. TH#.OR~ME 5. Soit p u n nombre rdel tel que 1 < p < + 00. Considdrons les deux conditions :

I) Pour tout espace ~2, et route mesure de Radon I2 sur ~ tout sous espace fermd M de LV(~, #) a la propri~td d'approximation.

2) Tout sous espace de Banach F a la propridtd d'approximation mdtrique d' ordre p. Alors (1) ~(2).

DI~MONSTRATION. Supposons (1) v6rifi6e. Soient E et F deux espaces de Banach et T ~ nv(F, E). D'apr~s A. Pietsch ([8, th. 2.] il existe une factorisation de T de la forme: A

B

T" F - ~ M ~ E, M 6tant un sous-espace ferm6 d'un espace LV(~,p), A une

application p absolument sommante avec lrp(A)= zcp(T) et B une application lin6aire continue avec II B }1= 1. D'apr~s (1), il existe une suite g6n6ralis6e A~ de R ( M , M ) telle que, pour tout x de M, A~x tende vers x et I] A~]] < 1 pour tout ct(M 6tant r6flexif v6rifie ms l'hypoth~se d'approximation m6trique, d'apr6s A. Grothendieck [5]). Alors BA~A tend vers T pours la topologie de la convergence simple de ~ ( F , E) et: np(BA~A ) < ~v(T). Le r6sultat est obtenu.

COROLLAIRE 1. Tout espace de Banach F vdrifie l'hypoth~se d'approximation mdtrique ~ l'ordre 2. COROLLAIRE 2. Si E et F sont rdflexifs, n2(F, E) est rdflexif et dgal a .Lp2(F,E).

Di~MONSTRATION. D'apr~s le corollaire 1 et le Corollaire 3 du Th60r~me 3 il est clair que 7~2(F, E) est r6flexif. D'apr~s le Corollaire 1 du Th6or~me 3, n z ( F , E ) = F' |

A

r

=F |

A

E .

D'apr~s ([11, p. 84]) g2 = Y2\. Donc, ~2(F, E) -- F' |

^

2

E = .~g (F, E).

COROLLAIRE3. Soit E un espace de Banach rdflexif. Alors /~2(E,E) est r~flexif et isomorphe dl son dual topologique en tant qu' espace de Banach.

398

P. SAPHAR

Israel J. Math.,

D~MONSTRATION. On sait que rc2(E, E) = E' (~02E, puisque e2 = 02 \ = #2. Mais (E' |

= rr2(E,E ). Le r6sultat est obtenu.

TI~ORf~ME 5. bis

Soit p u n

n o m b r e rdel tel que 1 < p < + 0o. Considdrons

les conditions:

1) T o u t sous espace de I p vdrifie l'hypothkse d ' a p p r o x i m a t i o n . 2) T o u t espace de B a n a c h F rdflexif ou ~ dual sdparable vdrifie l'hypothdse d ' a p p r o x i m a t i o n d'ordre p. Alors (1) ~ (2).

D~MONSTRATION. La d6monstration est analogue ~t celle du th6or6me 4 et utilise d'une part, le fait que dans les conditions indiqu~es sur F, pour tout espace de Banach E, rip(F, E) = cg~(F, E); d'autre part la factorisation de tout 616ment T de ffp(F, E) de la forme T : F a M ~ E, M 6tant un sous espace ferm6 de if, A une application p compacte, B un 616ment de Sr

E), (cf [9, lemma 5]).

REMARQUE. Y. Gordon, D. R. Lewis et J. R. Retherford ont dfmontr6 dans [14] le r6sultat suivant: TH~ORf~ME. Soient E ou F deux espaces de B a n a c h rdflexifs tels que E ou F vdrifie la propriOtk d' approximation. Alors ~1 (E, F) est rdflexif.

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