manuscripta math. 107, 289–310 (2002)

c Springer-Verlag 2002


Pierre Ghienne

Le genre de Mislin des espaces rationnellement e´ quivalents a` un produit de deux sph`eres de dimensions diff´erentes Received: 17 March 2001 / Revised version: 8 August 2001 Abstract. Zabrodsky exact sequences are algebraic tools which express the genus set of a space X in term of its self-maps, when X has the rational homotopy type of a co-H-space or an H-space. Explicit examples show these methods can’t be generalized to the class of all simply connected finite CW-complexes. We however construct a Zabrodsky exact sequence for those three cells CW-complexes rationally equivalent to the product of two spheres S k × S n , n > k ≥ 2. We deduce, from results of Morisugi-Oshima, the genus of some spherical bundles.

1. Introduction Le genre de Mislin G(X) d’un espace X nilpotent de type fini est, par d´efinition, l’ensemble des types d’homotopie [X ], X nilpotent de type fini, tels que les p localisations X(p) et X(p) ont mˆeme type d’homotopie pour tout premier p (voir par exemple [5]). Dans [16], [17], Zabrodsky caract´erise le genre des CW-complexes X, simplement connexes et finis, qui sont des H0 -espaces, c’est-`a-dire dont le type d’homotopie rationnelle est celui d’un H-espace. Il construit une suite exacte B1 → B2 → G(X) → 0, o`u B2 est un groupe ab´elien fini d´etermin´e par X et B1 un sous-mono¨ıde du mono¨ıde [X, X] des classes d’homotopie des auto-applications de X. Dans [9], McGibbon dualise ce r´esultat au cas des CW-complexes X, simplement connexes et finis, qui sont des co-H0 -espaces, c’est-`a-dire dont le type d’homotopie rationnelle est celui d’un bouquet de sph`eres. McGibbon soul`eve e´ galement le probl`eme de la g´en´eralisation de ces r´esultats: Question 1.1. [9] Peut-on construire des expressions analogues de G(X), en terme d’auto-applications de X, pour une classe d’espaces X plus large que la classe des co-H0 et des H0 -espaces? Dans la Section 2, nous reformulons la Question 1.1 de mani`ere plus pr´ecise (Question 2.2), puis pr´esentons quelques contre-exemples, reprenant (Exemple 2.3) P. Ghienne: D´epartement de Math´ematiques, UMR 8524, Universit´e de Lille 1, 59655 Villeneuve d’Ascq Cedex, France. e-mail: [email protected] Mathematics Subject Classification (2000): Primary 55P60

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et compl´etant celui originalement donn´e par McGibbon [9, Example C]. Ces contreexemples motivent d’autant plus la Question 1.1 qu’ils nous montrent l’impossibilit´e d’une g´en´eralisation a` la classe de tous les CW-complexes simplement connexes finis (Exemple 2.5). Le Th´eor`eme 1.2 ci-dessous, principal r´esultat de ce travail, r´epond cependant a` la Question 1.1 par l’affirmative. Il e´ tablit l’existence d’une suite exacte “`a la Zabrodsky” exprimant le genre des CW-complexes E, a` trois cellules, rationnellement e´ quivalents a` un produit de deux sph`eres S k × S n , avec n > k ≥ 2. Remarquons que si l’un au moins des entiers k ou n est pair, alors E n’est pas un (co-)H0 -espace. Si n et k sont impairs alors E est un H0 -espace et nous retrouvons exactement la suite exacte de Zabrodsky [17] appliqu´ee a` ce cas particulier. Pr´ecisons tout d’abord les notations utilis´ees. Nous fixons E = S k ∪α en ∪β n+k e , n > k ≥ 2 un espace rationnellement e´ quivalent a` S k × S n . Soit E  = S k ∪α  en ∪β  en+k ∈ G(E), et f : E → E  une application. On note ∂k (f ) (resp. ∂n (f )) le degr´e de f sur la cellule S k (resp. en ). Si t ∈ N∗ , on note Et (E) le sousmono¨ıde de [E, E] des applications qui sont des t-´equivalences, c’est-`a-dire des p-´equivalences pour tout premier p divisant t. On d´esigne par (Z/t)∗/±1 le groupe des unit´es modulo t quotient´e par la relation x ∼ −x. Th´eor`eme 1.2. Il existe t (E) ∈ N∗ tel que, pour tout entier t multiple de t (E), il existe une application ξ et une “suite exacte” : ξ

(∂k ,∂n )

Et (E) −→ [(Z/t)∗/±1 ]2 −→ G(E) → 0. Autrement dit, ξ est une surjection induisant une bijection : ∼ =

coker(∂k , ∂n ) −→ G(E). Par exemple, on d´eduit ais´ement du Th´eor`eme 1.2 que le genre du produit S k × S n , n > k, est trivial. La d´emonstration du Th´eor`eme 1.2 s’articule autour des deux propositions cl´es suivantes : Proposition 1.3. Il existe t¯(E) ∈ N∗ v´erifiant la propri´et´e suivante. Soit E  ∈ G(E) et (u, v) appartenant a` l’image de (∂k , ∂n ) : [E, E  ] → Z2 . Alors tout couple (u , v  ) ∈ Z2 tel que u ≡ u (mod t¯(E)) et v  ≡ v (mod t¯(E)) appartient aussi a` l’image de (∂k , ∂n ). Proposition 1.4. Soit E  ∈ G(E). Alors pour tout ensemble fini P¯ de nombres ¯ equivalence E → E  . premiers, il existe une P-´ En d’autres termes, la Proposition 1.4 signifie que le genre rigide [3] de E co¨ıncide avec le genre de E. En application du Th´eor`eme 1.2 nous pouvons, a` partir de r´esultats de MorisugiOshima [13], d´eterminer le genre de certains fibr´es en sph`ere : Corollaire 1.5. Soit n > k ≥ 2. Soit ζ ∈ πk−1 (SO(n + 1)) et S n → E(ζ ) → S k le fibr´e induit par ζ . Il existe alors une bijection :

Le genre de Mislin des espaces E 0 S k × S n

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∼ =

(Z/|J (ζ )|)∗/±1 −→ G(E(ζ )),

u → E(u · ζ )

o`u J : πk−1 (SO(n + 1)) → πk+n (S n+1 ) est le J -homomorphisme et |J (ζ )| est l’ordre de J (ζ ) dans πk+n (S n+1 ). Corollaire 1.6. Soit m ≥ 2 pair. Alors le genre de Mislin de la vari´et´e de Stiefel r´eelle Vm+2,2 = O(m + 2)/O(m) est trivial : G(Vm+2,2 ) = {Vm+2,2 }. Nous terminons ce travail par quelques consid´erations sur l’effet du foncteur “recouvrement d-connexe” sur le genre de certains CW-complexes finis. A tout espace X, et pour chaque entier d ≥ 1, on associe la fibration P[d]

Xd −→ X −→ X[d] o`u P[d] d´esigne l’approximation de Postnikov de X (donc π≤d (P[d] ) est un isomorphisme tandis que π>d (X[d] ) ∼ = 0), et Xd, le recouvrement d-connexe de X, est la fibre homotopique de P[d] . Le foncteur −[d] (resp. −d) induit une application G[d] : G(X) → G(X[d] ) (resp. Gd : G(X) → G(Xd)) bien d´efinie par Y → Y[d] (resp. Y → Y d). Rappelons que si d > dim X (ou mˆeme d ≥ dim X si l’homologie Hdim X (X; Z) est sans torsion), alors G[d] est une bijection (voir par exemple [8, Section 6]). L’application Gd est en revanche beaucoup plus obscure, comme le montre l’exemple suivant: Exemple 1.7. [11, Example 4.1] Si q ≥ 2, alors G(S 2q 2q) est infini non d´enombrable. Rappelons que G(S 2q ) ∼ = ∗. Notre int´erˆet pour ces foncteurs dans le cadre de ce travail est le suivant. La d´emonstration que nous donnons du Th´eor`eme 1.2 s’appuie sur la d´ecomposition cellulaire E = S k ∪ en ∪ en+k des espaces consid´er´es. Or, dans le cas particulier o`u k est impair et n > k + 1, l’application du foncteur P[d] avec n + k ≤ d < 2n − 1 permet de se ramener au cas du H0 -espace E[d] et ainsi d’´ecrire, en utilisant la suite exacte de Zabrodsky, une preuve plus rapide (Section 8). La recherche d’une m´ethode similaire dans le cas E = S 2q ∪ en ∪ e2q+n , n > 2q + 1, nous conduit naturellement a` consid´erer le H0 -espace E2q[d] avec 2q + n ≤ d < 2n − 1. Cependant, comme l’on peut si attendre au vu de l’Exemple 1.7, l’effet du foncteur −2q[d] , tant au niveau des auto-applications que du genre de Mislin, est difficile a` appr´ehender, mˆeme sur un espace aussi simple que la sph`ere S 2q (voir a` ce propos la Proposition 8.1). En ce qui nous concerne, le r´esultat suivant semble e´ carter toute possibilit´e raisonnable de d´eterminer G(E) a` partir de G(E2q[d] ). Proposition 1.8. Fixons q ≥ 2. Pour tout entier m, il existe un espace E, CWcomplexe a` trois cellules rationnellement e´ quivalent a` S 2q × S n , n > 2q, tel que, pour tout d ≥ 2q + n, on ait : #G(E2q[d] ) ≥ m + #G(E). Autrement dit, le conoyau de G2q[d] : G(E) → G(E2q[d] ) peut eˆ tre arbitrairement grand.

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Remerciements. Je tiens a` remercier Daniel Tanr´e pour ses nombreux conseils et l’attention soutenue qu’il porte a` mon travail. Je remercie e´ galement le rapporteur pour ses remarques et suggestions, a` l’origine notamment de la Section 8.

2. Suites exactes de Zabrodsky Le th´eor`eme principal de [17] affirme que si X est un H0 -espace simplement connexe de type fini, tel que πm (X) ∼ = 0 pour m suffisamment grand ou bien Hm (X; Z) ∼ = 0 pour m suffisamment grand, alors le genre de X est naturellement en bijection avec le conoyau de l’homomorphisme suivant : $X : Et (X)

/ End




m≥2

πm (X)/tors



/ Zl

det

r´eduction / mod t

[(Z/t)∗/±1 ]l .

Ici, t est un entier, multiple quelconque d’un certain entier t (X) bien d´etermin´e par X. En particulier, coker($X ) est ind´ependant de t pour t suffisamment grand (au sens multiplicatif). La fl`eche de gauche associe a` une t-´equivalence f : X → X les homomorphismes πm (f )/tors induits par f en homotopie libre. L’entier l est le nombre, n´ecessairement fini, d’entiers m tels que πm (X) ⊗ Q  0. Remarquons que si X est un H0 -espace comme ci-dessus, alors l’homomorphisme $X est naturellement e´ gal a` l’homomorphisme suivant : QHX : Et (X)

/ End




m≥2

QH m (X; Z)/tors



det

/ Zl

r´ed. mod t

/ [(Z/t)∗ ]l /±1

d´efini de mani`ere similaire, o`u QH m (X; Z) d´esigne le groupe des e´ l´ements ind´ecomposables en cohomologie de degr´e m. Remarque 2.1. L’homomorphisme (∂k , ∂n ) du Th´eor`eme 1.2 est exactement QHE . Dualement [9], si X est un co-H0 -espace simplement connexe fini, alors le genre de X est en bijection avec le conoyau de l’homomorphisme suivant : HX : Et (X)

/ End




m≥2

Hm (X; Z)/tors



det

/ Zl

r´ed. mod t

/ [(Z/t)∗ ]l /±1

o`u l est le nombre, n´ecessairement fini, d’entiers m tels que Hm (X; Q)  0. Pour un tel co-H0 -espace X, l’homomorphisme HX est naturellement e´ gal a` l’homomorphisme suivant : Q$X : Et (X)

/ End




m≥2

Qπm (X)/tors



det

/ Zl

r´ed. mod t

/ [(Z/t)∗ ]l /±1

o`u Qπm (X) := πm (X)/{crochets de W hitehead} d´esigne le groupe des e´ l´ements ind´ecomposables en homotopie de degr´e m. Maintenant, l’homomorphisme $X (resp. QHX , HX , Q$X ) peut se d´efinir en toute g´en´eralit´e, pour tout entier t et tout espace X tel que πm (X) ⊗ Q (resp. QH m (X; Z) ⊗ Q, Hm (X; Q), Qπm (X) ⊗ Q) est nul pour m suffisamment grand. La Question 1.1 peut donc se reformuler de la mani`ere suivante :

Le genre de Mislin des espaces E 0 S k × S n

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Question 2.2. Existe-t-il des espaces X, ni H0 -espaces ni co-H0 -espaces, pour lesquels le conoyau de l’un des homomorphismes $X , QHX , HX ou Q$X devient ind´ependant de t pour t suffisamment grand (au sens multiplicatif), et en bijection naturelle avec le genre G(X)? Le premier contre-exemple explicite dans cette direction est dˆu a` McGibbon: Exemple 2.3. [9, Example C] Soit Y := S 3 ∨ Sp(2). Alors le conoyau de QHY est trivial. Cependant, G(Y ) contient au moins deux e´ l´ements distincts, a` savoir Y lui-mˆeme et Y  := S 3 ∨ E5ω (rappelons que E5ω est le seul e´ l´ement non trivial de G(Sp(2)), voir par exemple [5]). Toutefois, la possibilit´e d’une bijection naturelle G(Y ) ∼ = coker(HY ) n’est pas exclue. Nous pouvons en effet montrer que coker(HY ) ∼ = (Z/12)∗/±1 contient deux e´ l´ements, qui correspondent exactement, en terme d’auto-applications, a` Y et Y  . Nous ne donnons pas en d´etail la preuve de cette affirmation. L’id´ee consiste a` remarquer que le degr´e sur la cellule e10 d’une auto-application de Y  S 3 ∨ (S 3 ∪ e7 ∪ e10 ) est toujours un carr´e modulo 12. Puisque le carr´e d’une unit´e modulo 12 est toujours 1, on a, pour tout t multiple de 12, une suite exacte H˜ X

Et (Y ) −→ K −→ coker(HX ) −→ (Z/12)∗/±1 −→ 1 o`u K := {(u, v, w) ∈ [(Z/t)∗/±1 ]3 | w ≡ ±1 (mod 12)}. En consid´erant des auto-applications de Y de la forme f ∨ g (f ∈ Et (S 3 ) et g ∈ Et (Sp(2))), on peut alors montrer que H˜ X est surjectif. L’exemple suivant s’inspire de [10, Example I]: Exemple 2.4. Soit X la Grassmannienne des n-plans complexes dans Cn+k , avec n ≥ 5 et 2k − 1 > n2 . Alors G(X) ∼ = ∗ [4], mais le conoyau de $X n’est pas trivial. D´emonstration. Voyons d’abord que, pour d ≥ n2 + 1, G(2(X[d] ))  ∗. Puisque G[n2 ] : G(2(X[d] )) → G(2(X[n2 +1] )) est une surjection (voir par exemple [8, Section 6]), il suffit de voir que G(2(X[n2 +1] ))  ∗. Or 2(X[n2 +1] )  U (n)[n2 ] [10, Example I], et dim U (n) = n2 . Donc 2(X[n2 +1] ) a le mˆeme genre que U (n), qui est non trivial d’apr`es [18, p. 152]. Choisissons maintenant d ≥ max(dim X, n2 + 1) tel que π≥d (X) ⊗ Q ∼ = 0. Le diagramme commutatif suivant: Et (X) $X

 [(Z/t)∗/±1 ]l

∼ =

/ Et (X[d] ) $X[d]

 [(Z/t)∗/±1 ]l

2

/ Et (2(X[d] )) $2(X[d] )

 [(Z/t)∗/±1 ]l

implique alors l’existence d’une surjection coker($X ) ∼ = coker($X[d] )
coker($2(X[d] ) ). Or, par la suite exacte de Zabrodsky, on a coker($2(X[d] ) ) ∼ = G(2(X[d] )), et le r´esultat suit.  

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P. Ghienne

Notre dernier exemple supprime tout espoir de pouvoir appliquer les “suites de Zabrodsky” a` la classe de tous les CW-complexes simplement connexes finis : Exemple 2.5. Soit γ : S 4k−1 → S12k ∨ S22k donn´ee par γ := [i1 , i2 ] + i1 ◦ ω, o`u ij (j = 1, 2) est l’inclusion de la j -i`eme sph`ere de S12k ∨ S22k et ω ∈ π4k−1 (S 2k ) est un e´ l´ement de torsion. On consid`ere le genre de X := S12k ∨ S22k ∪γ e4k . 1) On peut choisir k et ω de fac¸on que G(X)  ∗ [3, Th´eor`eme 7.4]. 2) Les conoyaux de QHX et Q$X sont triviaux. 3) Les conoyaux de HX et $X sont source d’une surjection de but (Z/t)∗/±1 . Aucun des homomorphismes $X , QHX , HX ou Q$X ne permet donc de d´eterminer G(X). D´emonstration. L’existence d’une application f : X → X correspond a` la donn´ee d’une 2 × 2-matrice 6(f ) (la restriction cellulaire de f a` S12k ∨ S22k ) et d’un entier m(f ) (le degr´e de f sur la cellule e4k ) v´erifiant 6(f ) ◦ γ = m(f ) · γ . Si 6(f ) est de d´eterminant non nul, un simple calcul (plus g´en´eralement, voir [3, Proposition A.5]) montre qu’ici 6(f ) doit eˆ tre soit diagonale (auquel cas m(f ) = det 6(f )) soit antidiagonale (auquel cas m(f ) = − det 6(f )). Pour 2), on a QH ∗ (X; Z)/tors = H 2k (X; Z) ∼ = π2k (X) = Qπ∗ (X)/tors . Les homomorphismes QHX et Q$X sont donc tous deux e´ gaux a` Et (X) → (Z/t)∗/±1 , f −→ det 6(f ). Pour tout entier a, l’´egalit´e

a 0 ◦γ = a·γ 01

implique l’existence d’une application f : X → X telle que det 6(f ) = a. Donc QHX et Q$X sont surjectifs. L’homomorphisme HX : Et (X) → [(Z/t)∗/±1 ]2 associe a` une t-´equivalence f le couple (det 6(f ), m(f )). Soit g : [(Z/t)∗/±1 ]2
(Z/t)∗/±1 la surjection d´efinie par (u, v) −→ u−1 v. Puisque det 6(f ) = ±m(f ), le compos´e g ◦ HX est trivial, et g factorise en une surjection coker(HX )
(Z/t)∗/±1 . L’homotopie libre π∗ (X)/tors est concentr´ee en degr´es 2k et 4k − 1. L’homomorphisme $X : Et (X) → [(Z/t)∗/±1 ]2 associe donc a` une t-´equivalence f le couple (det 6(f ), det π4k−1 (f )/tors ). Le groupe libre π4k−1 (X)/tors ∼ = Z2 admet 1 pour base {7[i1 , i1 ]; 7[i2 , i2 ]}, o`u 7 = 2 si k = 1, 2 ou 4, et 7 = 1 sinon. Puisque [i1 , i2 ] = 0 dans π4k−1 (X)/tors , on voit que la matrice de π4k−1 (f )/tors dans cette base s’obtient en e´ levant les coefficients de 6(f ) au carr´e. Puisque 6(f ) est diagonale ou antidiagonale, il vient det π4k−1 (f )/tors = (det 6(f ))2 . On conclut par un raisonnement similaire a` celui utilis´e pour HX , a` l’aide de la surjection   g  : [(Z/t)∗/±1 ]2
(Z/t)∗/±1 , (u, v) −→ u−2 v. Remarque 2.6. L’espace X de l’exemple ci-dessus est rationnellement e´ quivalent a` S 2k ×S 2k , et nous montre ainsi la n´ecessit´e de l’hypoth`ese n > k du Th´eor`eme 1.2.

3. Pr´eliminaires au Th´eor`eme 1.2 Dans cette section nous introduisons quelques notions et notations utilis´ees tout au long des Sections 4, 5 et 6. En particulier nous caract´erisons, parmi les espaces

Le genre de Mislin des espaces E 0 S k × S n

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E = S k ∪α en ∪β en+k , n > k ≥ 2, ceux qui sont rationnellement e´ quivalents a` Sk × Sn. Pour cela nous introduisons tout d’abord l’invariant de Hopf-Ganea associ´e a` α un e´ l´ement β ∈ πn+k−1 (S k ∪α en ) [2]. On construit la suite de Puppe S n−1 → ik

σ

S k → S k ∪α en → S n associ´ee a` α. Consid´erons maintenant le diagramme suivant: S k ∪α en UU UUU∇U UUU*  (S4 k ∪α en ) ∨ S n RRR ∇ β∨σβiii RRR i R) iiii S n+k−1 ∨ S n+k−1 β lll6

S n+k−1

l lll

τ

/ (S k ∪α en ) × S n

o`u ∇ d´esigne soit la loi de co-groupe sur S n+k−1 , soit la loi de coaction de S n sur S k ∪α en . Soit Fτ la fibre homotopique de l’inclusion τ . Puisque τ ∇β = τ (β ∨ σβ)∇, alors ∇β − (β ∨ σβ)∇ appartient a` l’image de πn+k−1 (Fτ ) → πn+k−1 (S k ∪α en ∨ S n ). Cette image est un groupe cyclique infini engendr´e par le crochet de Whitehead [ik , in ], o`u in d´esigne l’inclusion S n ;→ (S k ∪α en ) ∨ S n . D´efinition 3.1. Soit β ∈ πn+k−1 (S k ∪α en ). L’invariant de Hopf-Ganea de β est l’unique entier H (β) tel que ∇β − (β ∨ σβ)∇ = H (β)[ik , in ]. Soit maintenant α, α  ∈ πn−1 (S k ). Si n = k + 1, on supposera toujours que α  α   ∗. Soit X = S k ∪α en et X = S k ∪α  en . On construit de mˆeme la suite α

ik

σ

de Puppe S n−1 → S k → X → S n associ´ee a` α  . D´efinition 3.2. 1) Soit g : X → X  . En identifiant [S k , S k ] et [S n , S n ] a` Z de mani`ere usuelle, on note ∂k (g) ∈ Z l’unique entier tel que ik ◦ ∂k (g) = g ◦ ik et on note ∂n (g) ∈ Z l’unique entier tel que σ  ◦ g = ∂n (g) ◦ σ . 2) Soit β ∈ πn+k−1 (X) (resp. β  ∈ πn+k−1 (X  )) et E (resp. E  ) le cˆone de β (resp. β  ). Si f : E → E  , on note f (n) : X → X la restriction cellulaire de f et on note ∂k (f ) := ∂k (f (n) ), ∂n (f ) := ∂n (f (n) ). Nous explicitons ci-dessous la naturalit´e de l’invariant de Hopf-Ganea (1) ainsi que son interaction avec la coaction (2) : Proposition 3.3. Soit f : X → X et β ∈ πn+k−1 (X). 1) On a H (f ◦ β) = ∂k (f )∂n (f )H (β). ∇

f ∨η

2) Soit η ∈ πn (X  ) et f ∗ η le compos´e X → X ∨ S n −→ X  ∨ X  → X . Alors dans πn+k−1 (X  ) on a (f ∗ η)β = fβ + ησβ + H (β)∂k (f )[ik , η]. D´emonstration. La preuve de 1) consiste en un calcul simple utilisant le fait que f

∇

∇

f ∨∂n (f )

le compos´e X → X  → X  ∨ S n est homotope au compos´e X → X ∨ S n −→ X ∨ S n . On obtient 2) par le calcul, en remplac¸ant simplement f ∗ η par sa valeur.  

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P. Ghienne

Corollaire 3.4. Soit E = S k ∪α en ∪β en+k , n > k ≥ 2 (si n = k + 1, on suppose α  ∗). Soit E  = S k ∪α  en ∪β  en+k ∈ G(E). 1) On a H (β) = ±H (β  ). 2) Pour toute application f : E → E  on a f (n) ◦ β = ±∂k (f )∂n (f ) · β  . Remarque 3.5. Quitte a` changer β  en −β  , on peut donc toujours supposer que H (β) = H (β  ). Alors pour toute application f : E → E  on a f (n) ◦ β = ∂k (f )∂n (f ) · β  . Remarque 3.6. Dans [1], Bokor a obtenu un r´esultat similaire a` 1), lorsque E = S 2k ∪β e4k , avec l’invariant de Hopf classique H : π4k−1 (S 2k ) → Z. D´emonstration. Puisque nos espaces sont p-universels, alors E  ∈ G(E) si et seulement si pour tout premier p il existe une p-´equivalence f : E → E  . Fixons p un premier. Soit alors m le degr´e de f sur la cellule en+k . Alors f (n) ◦ β = m · β  et par naturalit´e (Proposition 3.3, 1)) on a mH (β  ) = ∂k (f )∂n (f )H (β), avec ∂k (f ), ∂n (f ) et m premiers avec p. Puisque ceci est vrai pour tout premier p, on a H (β) = ±H (β  ).   Soit maintenant X = S k ∪α en , n > k ≥ 2, avec α ∈ πn−1 (S k ) d’ordre |α| fini. Le diagramme suivant montre comment construire α¯ ∈ πn (X) telle que σ ◦ α¯ : S n → X → S n soit l’application de degr´e |α| : S n−1 |α|



S n−1

α

/∗

/ Sn

 / Sk  

 /X

Sn |α|

α¯

ik

σ

 / Sn

Remarquons que la classe d’homotopie de α¯ d´epend du choix d’une nulle-homotopie de |α| · α. (ik )#

κ#

De la suite exacte πn (S k ) → πn (X) → πn (X, S k ), on d´eduit πn (X) = Z[α]⊕ ¯ im(ik )# . Choisissons un g´en´erateur α de πn (X, S k ) ∼ ¯ = |α| · α = Z tel que κ# (α) et soit [ik , α] ∈ πn+k−1 (X, S k ) le crochet de Whitehead relatif de ik et de α. D’apr`es [6] il existe une d´ecomposition πn+k−1 (X, S k ) ∼ = Z[ik , α] ⊕ πn+k−1 (S n ). Dans ce contexte nous avons une autre description de l’invariant de Hopf-Ganea (Lemme 5.4 de [7]) : Proposition 3.7. Soit X = S k ∪α en , n > k ≥ 2, avec α ∈ πn−1 (S k ) d’ordre fini. Soit β ∈ πn+k−1 (X) et κ# : πn+k−1 (X) → πn+k−1 (X, S k ). Alors κ# (β) = H (β)[ik , α] + σ ◦ β. Nous pouvons maintenant donner une caract´erisation des CW-complexes a` trois cellules qui sont rationnellement e´ quivalents a` S k × S n . Notons l1 l’ordre de πn+k−1 (S n ), l2 l’ordre de πn+k−1 (S k ) et l = l1 · l2 . Proposition 3.8. Soit E = S k ∪α en ∪β en+k , n > k ≥ 2. 1) L’espace E est rationnellement e´ quivalent a` S k × S n si et seulement si α est d’ordre fini et H (β) != 0.

Le genre de Mislin des espaces E 0 S k × S n

297

2) Dans ce cas, on note P¯ l’ensemble des diviseurs premiers des nombres |α|, H (β), ¯ Alors : l, et on note P le compl´ementaire de P. a) l|α|β = lH (β)[ik , α]. ¯ (n) ¯ b) Il existe une P-´equivalence hE : S k × S n → E telle que hE = ik ∨ lH (β)α. D´emonstration. Supposons que E est rationnellement e´ quivalent a` S k × S n . Alors X := S k ∪α en est rationnellement e´ quivalent a` S k ∨ S n et α doit eˆ tre d’ordre fini. De plus β n’est pas de torsion, et puisque πn+k−1 (S k ) est un groupe de torsion, alors κ# (β) n’est pas de torsion. Puisque πn+k−1 (S n ) est un groupe de torsion, la Proposition 3.7 implique que H (β) != 0. R´eciproquement, supposons que α est d’ordre fini et que H (β) != 0. On va construire la P-´equivalence hE : S k × S n → E de 2), ce qui entrainera en particulier 1). D’apr`es la Proposition 3.7 on a |α|l1 κ# (β) = |α|l1 H (β)[ik , α] = l1 H (β)[ik , κ# (α)] ¯ = l1 H (β)κ# ([ik , α]). ¯ Alors |α|l1 β − l1 H (β)[ik , α] ¯ factorise par ik : S k ;→ X et en multipliant par l2 on obtient l|α|β = lH (β)[ik , α]. ¯ On construit alors hE : S k × S n → E comme indiqu´e dans le diagramme suivant: S n+k−1 

[ik ,in ]

/ Sk × Sn

ik ∨lH (β)α¯

l|α|

S n+k−1

/ Sk ∨ Sn  / S k ∪ en α

β

hE

 /E

Puisque H (β) != 0, hE est bien une P-´equivalence, avec P comme d´efini dans l’´enonc´e. Remarquons que la classe d’homotopie de hE d´epend du choix d’une homotopie entre l|α|β et lH (β)[ik , α]. ¯   Pour les Sections 4, 5 et 6, on fixe E = S k ∪α en ∪β en+k , n > k ≥ 2, rationnellement e´ quivalent a` S k × S n . On pose X := S k ∪α en . On rappelle que P¯ d´esigne l’ensemble des diviseurs premiers des nombres |α|, ¯ H := H (β), l, et que P est le compl´ementaire de P. 4. D´emonstration du Th´eor`eme 1.2 La preuve du Th´eor`eme 1.2 s’articule autour des Propositions 1.3 et 1.4 (d´emontr´ees respectivement dans les Sections 5 et 6) et de la proposition suivante : Proposition 4.1. Soit E  = S k ∪α  en ∪β  en+k ∈ G(E) et (u, v) des entiers non nuls 
¯ Alors (±u, ±v) ∈ im (∂k , ∂n ) : [E, E  ] → Z2 si et seulement premiers avec P. si il existe des applications g, h, et une somme amalgam´ee homotopique (s.a.h.): Sk × Sn

u×v

/ Sk × Sn

hE

 E

h

g


/

 E

o`u hE est la P-´equivalence de la Proposition 3.8, 2).

298

P. Ghienne

¯ equiD´emonstration. (⇐) Supposons donn´ee une telle s.a.h. Alors g est une P-´ valence et h une P-´equivalence. Par restriction cellulaire, on obtient un diagramme commutatif : u∨v

Sk ∨ Sn

/ Sk ∨ Sn

(n)

hE

 X

g (n)



h(n)

/ X  := S k ∪  en α

¯ equivalence et h(n) une P-´equivalence; c’est donc une dans lequel g (n) est une P-´ (n) s.a.h. En restreignant ce diagramme aux sph`eres S k et en remarquant que πk (hE ) (n) est un isomorphisme, on en d´eduit qu’il en est de mˆeme de πk (h ). Donc ∂k (g) = ∂k (g (n) ) = ±u. Ecrivons h(n) = (±ik ) ∨ γ pour un certain γ ∈ πn (X  ). En composant par  σ : X → S n , on obtient v(σ  γ ) = ∂n (g)lH |α|. Par hypoth`ese, v et lH |α| sont ¯ equivalence et h(n) une premiers entre eux. D’autre part, puisque g (n) est une P-´  P-´equivalence, σ γ et ∂n (g) sont premiers entre eux. On en d´eduit que ∂n (g) = ±v. (⇒) Soit f : E → E  telle que (∂k , ∂n )(f ) = (u, v). On consid`ere les diagrammes commutatifs suivants:

/

∗

S n−1 F

FF FFv #

S n−1

lH |α|



S n−1

α

∗

lH |α|

HH H v H# 

S n−1

Sk

/

Sk

>> u >>  / Sk

S k ∨ S nK cofibres $⇒

KKKu∨v KK%

(n) hE

Sk ∨ Sn



X

@@u @@ / Sk

h(n) MMM MMM M&  g (n)

X

Dans le cube de gauche, la face verticale droite est une s.a.h. Il en est de mˆeme pour la face verticale gauche puisque v et lH |α| sont premiers entre eux. Remarquons que u ◦ α = α  ◦ v. Donc la fl`eche pointill´ee obtenue par propri´et´e universelle de la s.a.h. n’est autre que α  . En choisissant correctement les homotopies rendant commutatives les faces du fond et du dessus, et en consid´erant les cofibres des fl`eches horizontales, on obtient des applications g (n) , h(n) , et une s.a.h. (carr´e de droite). Remarquons que par construction on a ∂k (g (n) ) = u = ∂k (f (n) ). Il existe donc η ∈ πn (X  ) tel que g (n) = f (n) ∗ η (o`u ∗ d´esigne la coaction). De mˆeme, on a η

σ

∂n (g (n) ) = v = ∂n (f (n) ). Donc σ  η : S n → X → S n appartient a` l’image de (>α  )∗ : πk+1 (S n ) → πn (S n ), l’application induite par pr´e-composition avec >α  . Cette image est nulle (si n = k + 1 alors α  = ∗), donc σ  η = 0 et η factorise par ik : S k ;→ X  .

Le genre de Mislin des espaces E 0 S k × S n

299

Consid´erons maintenant les diagrammes commutatifs suivants: [ik ,in ]

S n+k−1K

KK K uv K%



S n+k−1K

β

KKK uv K% 

l|α|

S n+k−1

S k × S nK

S k ∨ S nK

KKKu∨v KK% / Sk ∨ Sn

(n) hE

S n+k−1

l|α|

/

[ik ,in ]

cofibres $⇒

KKu×v KK %

Sk × Sn

hE

 / X L (n) (n) LLf ∗η h LLL L%  / X



E

h LLL LLL g L& 

Cβ˜

β˜

Dans le cube de gauche, la face verticale droite est la s.a.h. obtenue pr´ec´edemment. La face verticale gauche est aussi une s.a.h. puisque uv et l|α| sont premiers entre eux. Soit β˜ la fl`eche obtenue alors par propri´et´e universelle de la s.a.h. En choisissant correctement les homotopies rendant commutatives les faces du fond et du dessus, et en consid´erant les cofibres des fl`eches horizontales, on obtient des applications g, h, et une s.a.h. (carr´e de droite). Il reste a` voir que Cβ˜ est e´ quivalent a` notre espace de d´epart E  = X  ∪β  en+k .  Nous affirmons que, dans πn+k−1 (X  ), Soit v  un entier tel que
vv ≡ 1 (mod l). (n) (n) on a (f ∗ η)β = idX ∗ (v · η) f β. Supposons cette assertion v´erifi´ee. Rappelons que f (n) β = uvβ  (Corollaire 3.4, 2)). D’ autre part, par construction ˜ Puisque uv est premier avec la torsion de πn+k−1 (X  ), on a (f (n) ∗ η)β
= uv β.  on obtient β˜ = idX ∗ (v  · η) β  . Puisque σ  η = 0, alors idX ∗ (v  · η) est une auto-´equivalence de X , et le r´esultat suit. Il reste a` v´erifier notre assertion. Puisque η factorise par ik : S k ;→ X  , on a (n) (f ∗ η)β = f (n) β + vv  (ησβ + uH [ik , η]) (Proposition 3.3, 2)). Puisque σβ est dans le rang stable, on a (f (n) ∗ η)β = f (n) β + η(v  v)σβ + uvH [ik , v  · η]. Enfin, par hypoth`ese on a vσ = σ  f
(n) et on obtient (f (n) ∗ η)β = f (n) β + (v  · η)σ  f (n) β + H (f (n) β)[ik , v  · η] = idX ∗ (v  · η) f (n) β (Proposition 3.3, 2)).   D´emonstration du Th´eor`eme 1.2. Soit t (E) le p.p.c.m. des premiers de P¯ et de t¯(E) (Proposition 1.3). Si t est un multiple quelconque de t (E), on note Z(t) le sousmono¨ıde de Z des entiers premiers avec t. On d´efinit une application ξ : Z(t)2 → G(E) associant a` un couple (u, v) la s.a.h. des applications hE : S k × S n → E et u × v : S k × S n → S k × S n . D’apr`es la Proposition 4.1 on a: E  = ξ(u, v) ⇐⇒ il existe f : E → E  telle que (∂k , ∂n )(f ) = (±u, ±v). En
particulier ξ(u, v) = ξ(±u,±v), et ξ(u, v) = E si et seulement si (±u, ±v) ∈ im (∂k , ∂n ) : Et (E) → Z(t)2 . D’autre part, la Proposition 1.4 implique que ξ est une surjection. Enfin, la Proposition 1.3 implique que ξ factorise a` travers la r´eduction modulo t : Z(t)2 → [(Z/t)∗/±1 ]2 . Nous obtenons donc une suite exacte d’ensembles point´es : (∂k ,∂n )

ξ

Et (E) −→ [(Z/t)∗/±1 ]2 → G(E) → 0

300

P. Ghienne

Il nous reste a` voir que ξ(u, v) = ξ(a, b) ⇐⇒ ξ(ua −1 , vb−1 ) = E. Soit ¯ un entier repr´esentant l’inverse de a (resp. b) modulo t. Notons sima¯ (resp. b) plement {x, y} : ξ(z, w) → ξ(zx, wy) une application telle que ∂k ({x, y}) = ±x, ∂n ({x, y}) = ±y. ¯ comme le compos´e : Si ξ(u, v) = ξ(a, b), alors on obtient {ua, ¯ v b} ¯ {a, ¯ b}

{u,v}

¯ =E ¯ bb) E −→ ξ(u, v) = ξ(a, b) −→ ξ(a a, ¯ = E. ¯ v b) ce qui implique ξ(ua −1 , vb−1 ) = ξ(ua, R´eciproquement, si ξ(ua −1 , vb−1 ) = E, le compos´e ¯

a,v ¯ b} {a,b} ¯ = E −→ ¯ : E {u−→ ξ(ua, ¯ v b) ξ(a, b) {uaa, ¯ v bb}

¯ = ξ(a, b). montre que ξ(u, v) = ξ(uaa, ¯ v bb)

 

Des m´ethodes similaires permettent, a` partir de la Proposition 4.1, de d´emontrer le r´esultat suivant, qui sera utilis´e dans la d´emonstration du Corollaire 1.5 (Section 7): Proposition 4.2. Soit t un multiple quelconque de t (E) et de t (E  ). Soit (u, v) des unit´es modulo t et u¯ (resp. v) ¯ un entier repr´esentant l’inverse de u (resp. v) modulo t. Alors : E  = ξ(u, v) ⇐⇒ il existe f : E  → E telle que (∂k , ∂n )(f ) = (±u, ¯ ±v). ¯ 5. D´emonstration de la Proposition 1.3 Le point de d´epart de la preuve est un r´esultat de McGibbon ([9], Proposition 5.6) concernant les espaces 1-connexes dont le type d’homotopie rationnelle est celui d’un bouquet de sph`eres. Nous ne le citons pas dans toute sa g´en´eralit´e mais l’appliquons a` l’espace X := S k ∪α en (nous utilisons les notations de la Section 3). Proposition 5.1. [McGibbon] Il existe une coaction ϕ : X → X ∨ (S k ∨ S n ) se projetant en l’identit´e du premier facteur, et un entier λ tels que le diagramme suivant commute : Sk ∨ Sn

∇

/ (S k ∨ S n ) ∨ (S k ∨ S n ) (n)

(n)

hE

 X

ϕ



hE ∨(λ∨λ)

/ X ∨ (S k ∨ S n )

o`u ∇ d´esigne la loi usuelle de co-groupe sur S k ∨ S n . Remarque 5.2. On peut remplacer λ par tout multiple de λ. En effet, si µ ∈ N∗ , (n) on remplace λ par λµ en postcomposant ϕ et hE ∨ (λ ∨ λ) par idX ∨ (µ ∨ µ) : k n k n X ∨ (S ∨ S ) → X ∨ (S ∨ S ).

Le genre de Mislin des espaces E 0 S k × S n

301

Soit β ∈ πn+k−1 (X) l’attachement de la cellule en+k de E. Dans le lemme suivant, dont la preuve est donn´ee a` la fin de cette section, nous d´eterminons ϕ ◦β ∈ πn+k−1 (X ∨ (S k ∨ S n )). Rappelons que ik d´esigne l’inclusion S k ;→ X, et que l’on a choisi α¯ ∈ πn (X) un g´en´erateur de la partie libre de πn (X). On note jk (resp. jn ) l’inclusion S k (resp. S n ) ;→ S k ∨ S n . Pour un e´ l´ement γ ∈ π∗ (X) (resp. π∗ (S k ∨ S n )), on notera aussi γ ∈ π∗ (X ∨ (S k ∨ S n )) ce mˆeme e´ l´ement suivi de l’inclusion X (resp. S k ∨ S n ) ;→ X ∨ (S k ∨ S n ). Lemme 5.3. On peut choisir λ tel que l|α| divise λ et tel que, en posant λ := on ait ϕ ◦ β = β + λλ [jk , jn ] + λ [ik , jn ] + λ lH [jk , α]. ¯

λ l|α| ,

D´emonstration de la Proposition 1.3. Soit t¯(E) le plus petit entier λ tel que le Lemme 5.3 soit v´erifi´e. Soit f : E → E  = S k ∪α  en ∪β  en+k telle que (∂k , ∂n )(f ) = (u, v), et (a, b) ∈ Z2 un couple quelconque. On cherche a` construire une application f¯ : E → E  telle que (∂k , ∂n )(f¯) = (u + aλ, v + bλ). Rappelons que ik d´esigne l’inclusion S k ;→ X  := S k ∪α  en , et que l’on a choisi  α¯ ∈ πn (X  ) un g´en´erateur de la partie libre de πn (X  ). Soit x := blH α¯  ∈ πn (X  ) ϕ

et g : X → X d´efinie comme le compos´e X → X ∨ (S k ∨ S n ) X

F ∨ X →

f (n) ∨(aik ∨x)

−→

X ,

o`u F d´esigne la “folding map”. (n) Calculons les degr´es de g. Rappelons que hE = ik ∨ lH α¯ (Proposition 3.8). D’apr`es le diagramme de la Proposition 5.1, on a ϕik = ik + λjk et ϕ(lH α) ¯ = lH α¯ + λjn . On en d´eduit que : - gik = f (n) ik + ik ◦ aλ = ik ◦ (∂k (f ) + aλ) et ∂k (g) = u + aλ. - g(lH α) ¯ = f (n) (lH α) ¯ + λx = lH (f (n) α¯ + bλα¯  ). On applique alors σ  :  n X → S a` cette e´ galit´e. Puisque σ  α¯  = σ α¯ = |α| : S n → S n , que σ  g = ∂n (g) ◦ σ et σ  f (n) = ∂n (f ) ◦ σ , on obtient, en simplifiant par lH |α|, l’´egalit´e ∂n (g) = ∂n (f ) + bλ = v + aλ. Si on peut e´ tendre g en une application E → E  , le r´esultat suit. Il reste donc a` voir que gβ est un multiple de β  . De l’expression de ϕβ donn´ee par le Lemme 5.3, on d´eduit que : gβ = f (n) β + aλλ [ik , x] + uλ [ik , x] + lH aλ [ik , f (n) α]. ¯ Le premier terme est un multiple de β  . En utilisant le fait que f (n) α¯ = v α¯  + ik ◦ w (pour un certain w ∈ πn (S k )), que l · πn+k−1 (S k ) ≡ 0 et que lH [ik , α¯  ] = l|α|β  (Proposition 3.8, 2)a)), on d´eduit que le dernier terme de cette e´ galit´e est un multiple de β  . En remplac¸ant x par sa valeur et en utilisant de nouveau le fait que lH [ik , α¯  ] = l|α|β  , on voit que les deux termes restant sont aussi des multiples de β .   Le lemme suivant sera utilis´e dans les d´emonstrations du Lemme 5.3 (ci-dessous) et de la Proposition 6.2 (section suivante) : Lemme 5.4. Soit X = S k ∪α en , Y = S k ∪γ en , avec n > k ≥ 2 et α, γ d’ordre fini. Soit ik : S k ;→ X, Y et j := (2ik ) ∗ (2ik ) : 2S k ∗ 2S k → 2X ∗ 2Y . Alors j est une (n + k − 2)-´equivalence, et si y ∈ πn+k−1 (2X ∗ 2Y ) est de torsion, alors il existe y  ∈ πn+k−1 (2S k ∗ 2S k ) tel que jy  = y.

302

P. Ghienne

D´emonstration. Il suffit de montrer que le premier groupe relatif πi (2X∗2Y, 2S k ∗ 2S k ) non nul est libre en degr´e i = n + k − 1. Par Hurewicz il suffit de le montrer en homologie. C’est alors un calcul classique avec les mod`eles d’Adams-Hilton suivants: H∗ (2X) ∼ = H∗ (2Y ) ∼ = T (zk−1 , wn−1 ) (une alg`ebre tensorielle libre sur deux g´en´erateurs de degr´es respectifs k − 1 et n − 1) et H∗ (2S k ) ∼  = T (zk−1 ).  D´emonstration du Lemme 5.3. Soit ρ : X ∨ (S k ∨ S n ) → S k ∨ S n la projection. (n) Rappelons que l|α|β = hE ◦ [ik , in ] (Proposition 3.8, 2)). D’apr`es la Proposi(n) tion 5.1, on a ϕ(l|α|β) = (hE ∨ (λ ∨ λ))∇[ik , in ]. En d´eveloppant cette expression ¯ et, en particulier, on obtient ϕ(l|α|β) = l|α|β + λ2 [jk , jn ] + λ[ik , jn ] + lH λ[jk , α] l|α| · ρϕβ = λ2 [jk , jn ]. Quitte a` remplacer λ par un de ses multiples (Remarλ ) et que 5.2), on peut toujours supposer que l|α| divise λ (on pose alors λ := l|α| que ρϕβ est sans torsion, donc un multiple de [jk , jn ]. On obtient en particulier ρϕβ = λλ [jk , jn ]. τ Rappelons qu’il existe une fibration 2X ∗ 2(S k ∨ S n ) → X ∨ (S k ∨ S n ) ;→ X × (S k ∨ S n ) induisant en homotopie une d´ecomposition πn+k−1 (X ∨ (S k ∨ S n )) = πn+k−1 (X) ⊕ πn+k−1 (S k ∨ S n ) ⊕ im(τ# ), et que τ# est une injection. Soit y ∈ im(τ# ) l’unique e´ l´ement tel que ϕβ = β + ρϕβ + y. Compte tenu des calculs pr´ec´edents, on a l|α|(y − λ [ik , jn ] − lH λ [jk , α]) ¯ = 0. Le terme entre parenth`eses est un e´ l´ement de torsion de im(τ# ). D’apr`es le Lemme 5.4, il factorise via 2S k ∗2S k → 2X∗2(S k ∨S n ) → X∨(S k ∨S n ). Il est donc e´ gal a` un compos´e ν ω S n+k−1 → S k ∨S k ;→ X∨(S k ∨S n ) pour un certain e´ l´ement ω ∈ πn+k−1 (S k ∨S k ). Puisque π# (ν)⊗Q est une injection, ω est lui-mˆeme de torsion. On peut alors choisir un entier µ tel que I d ∨ µ : S k ∨ S k → S k ∨ S k v´erifie : (I d ∨ µ)ω = ∗. ¯ + νω. Par construction on a ϕ ◦ β = β + λλ [jk , jn ] + λ [ik , jn ] + λ lH [jk , α] ϕ Remplac¸ons alors λ par λµ, c’est-`a-dire remplac¸ons ϕ par le compos´e X → X ∨
 I d∨(µ∨µ) (S k ∨ S n ) −→ X ∨ (S k ∨ S n ). Puisque I d ∨ (µ ∨ µ) νω = ν(I d ∨ µ)ω = ∗, le r´esultat suit.   6. D´emonstration de la Proposition 1.4 Soit E = S k ∪α en ∪β en+k , n > k ≥ 2, rationnellement e´ quivalent a` S k × S n , et E  ∈ G(E). Alors, par p-universalit´e, il existe pour tout nombre premier p une p-´equivalence E → E  . La Proposition 1.4 est donc une cons´equence imm´ediate de la proposition suivante : Proposition 6.1. Soit P1 et P2 deux ensembles finis de nombres premiers. Soit f : E → E  une P1 -´equivalence et g : E → E  une P2 -´equivalence. Alors il existe une (P1 ∪ P2 )-´equivalence f ∪ g : E → E  . Le point de d´epart de la preuve est la proposition suivante, adaptation d’un r´esultat de McGibbon ([9], Proposition 5.4) : Proposition 6.2. Soit P1 et P2 deux ensembles disjoints de nombres premiers. 1) Il existe une P1 -´equivalence χ : E → E, une P2 -´equivalence ψ : E → E et

Le genre de Mislin des espaces E 0 S k × S n

303

une application ϕ¯ = ϕ(χ ¯ , ψ) : X → X ∨ X se projetant en χ (n) (resp. ψ (n) ) sur le premier (resp. second) facteur et telles que le diagramme suivant commute : Sk

∨ Sn

∇

(n)

(n)

hE ∨hE

/ (S k ∨ S n ) ∨ (S k ∨ S n )

(n)

hE

/ X∨X χ (n) ∨ψ (n)

 X

 / X∨X

ϕ¯

o`u ∇ d´esigne la loi usuelle de co-groupe sur S k ∨ S n . 2) Si λ ∈ Z∗ , on peut choisir χ et ψ telles que chacun des produits ∂k (χ )∂k (ψ), ∂k (χ )∂n (ψ), ∂n (χ )∂k (ψ) et ∂n (χ )∂n (ψ) soit divisible par λ. Lemme 6.3. Soit P1 et P2 deux ensembles disjoints de nombres premiers. Soit λ ∈ Z∗ , et d´ecomposons λ = λ1 × λ2 de fac¸ons que λ1 et λ2 soient premiers entre eux et que les diviseurs premiers de λi n’appartiennent pas a` Pi (i = 1, 2). 1) Il existe une P1 -´equivalence χ : E → E et une P2 -´equivalence ψ : E → E telles que λ1 divise ∂k (χ ) et ∂n (χ ), λ2 divise ∂k (ψ) et ∂n (ψ). 2) Si de plus P1 et P2 sont finis, on peut choisir χ et ψ de fac¸on que H∗ (χ ; Z/q) ≡ 0 pour tout q ∈ P2 et H∗ (ψ; Z/p) ≡ 0 pour tout p ∈ P1 . xm , qj ∈ / P1 . Pour q un nombre premier, D´emonstration. On a λ1 = q1x1 × · · · × qm par universalit´e de E [18] on peut choisir χq : E → E telle que χq soit une pe´ quivalence pour tout premier p != q et telle queH∗ (χ

q ; Z/q) ≡ 0. Alors ∂k (χq ) et ∂n (χq ) sont des puissances de q et ∂k (χqj )xj , ∂n (χqj )xj sont divisibles par qj xj . Donc χ := (χq1 )x1 ◦ · · · ◦ (χqm )xm est une P1 -´equivalence  degr´es
dont les sont divisibles par λ1 . Si de plus P2 est fini, alors χ˜ := χ ◦ $q∈P2 χq est une P1 -´equivalence telle que H∗ (χ˜ ; Z/q) ≡ 0 pour tout q ∈ P2 . On construit ψ et ψ˜ de mani`ere similaire.  

D´emonstration de la Proposition 6.2. On pose µ := lH |α|. On consid`ere le diagramme commutatif suivant : M(Z/µ, n − 1)

2X ∗ 2X τ

c

 Sk ∨ Sn

∇

/ (S k ∨ S n ) ∨ (S k ∨ S n )

(n)

(n)

hE ∨hE

(n) (n)  / X ∨ X χ ∨ψ / X ∨ X _

(n)

hE

 X

M

 / X×X

o`u la colonne verticale gauche est une cofibration, et la colonne verticale droite une fibration. (n) (n) Le compos´e (hE ∨ hE )∇c factorise a` travers τ , puis, pour des raisons de k dimension, a` travers 2S ∗ 2S k → 2X ∗ 2X (Lemme 5.4). Il est donc e´ gal a` ν 7 ω un compos´e de la forme M(Z/µ, n − 1) → 2S k ∗ 2S k → S k ∨ S k ;→ X ∨ X.

304

P. Ghienne

Puisque M(Z/µ, n−1) est une suspension, il existe, d’apr`es le th´eor`eme de MilnorMoore, des crochets de Whitehead it´er´es wi : S ni → S k ∨ S k et des applications ωi : M(Z/µ, n − 1) → S ni tels que 7ω = >i∈I wi ωi (pour un certain ensemble fini I d’indices). Puisque chaque ωi est de torsion, il existe un entier λ tel que, pour tout couple d’entiers (m1 , m2 ) avec m1 × m2 divisible par λ, alors m1 ∨ m2 : S k ∨ S k → S k ∨ S k v´erifie: (m1 ∨ m2 )εω = ∗. Soit alors χ : E → E une P1 -´equivalence et ψ : E → E une P2 -´equivalence choisies comme dans le Lemme 6.3 pour ce choix de λ. Alors (χ (n) ∨ ψ (n) )νεω = (n) (n) ν(∂k (χ ) ∨ ∂k (ψ))εω = ∗ et (χ (n) ∨ ψ (n) )(hE ∨ hE )∇ s’´etend en une application ϕ¯ : X → X ∨ X poss´edant les propri´et´es voulues. Remarquons que λ peut eˆ tre choisi arbitrairement grand et 2) r´esulte alors du Lemme 6.3; 1).   D´emonstration de la Proposition 6.1. Soit E  = S k ∪α  en ∪β  en+k ∈ G(E), X := S k ∪α  en . Soit f : E → E  une P1 -´equivalence et g : E → E  une P2 -´equivalence. Quitte a` remplacer P1 par P1 \(P1 ∩ P2 ), on peut toujours supposer que P1 et P2 sont disjoints. Nous affirmons qu’il est possible de choisir la P1 -´equivalence χ : E → E et la P2 -´equivalence ψ : E → E de la Proposition 6.2 telles que H∗ (χ ; Z/q) (resp. H∗ (ψ; Z/q)) ≡ 0 pour tout q ∈ P2 (resp. P1 ) et telles que le compos´e ϕ¯

f (n) ∪ g (n) := X → X ∨ X

f (n) ∨g (n)

F

−→ X  ∨ X  → X

v´erifie : (f (n) ∪ g (n) )β est un multiple de β  . Supposons cette assertion vraie. On d´efinit alors f ∪ g : E → E  comme une extension de f (n) ∪ g (n) : X → X . Si q ∈ P1 , alors H∗ (f (n) ∪ g (n) ; Z/q) = H∗ (f (n) χ (n) ; Z/q) est une e´ quivalence. D’autre part, si q ∈ P2 , alors H∗ (f (n) ∪ g (n) ; Z/q) = H∗ (g (n) ψ (n) ; Z/q) est une e´ quivalence. Donc les degr´es de f (n) ∪ g (n) , c’est-`a-dire ceux de f ∪ g, sont premiers avec P1 ∪ P2 et f ∪ g est une P1 ∪ P2 -´equivalence. Il reste a` d´emontrer notre assertion. Nos exigences a` propos de H∗ (χ ; Z/q), H∗ (ψ; Z/q), sont satisfaites d’apr`es le Lemme 6.3;2). Rappelons que ik d´esigne l’inclusion S k ;→ X  = S k ∪α  en , et que l’on a choisi α¯ ∈ πn (X) (resp. α¯  ∈ πn (X  )) un g´en´erateur de la partie libre de πn (X) (resp. πn (X  )). Alors il existe wf , wg ∈ πn (S k ) tels que f (n) α¯ = ∂n (f ) · α¯  + wf et g (n) α¯ = ∂n (g) · α¯  + wg . Soit i1 (resp. i2 ) X ;→ X ∨ X l’inclusion du premier (resp. second) facteur. On peut choisir χ et ψ telles que ∂k (χ )∂n (ψ) et ∂n (χ )∂k (ψ) sont divisibles par l|α| (Proposition 6.2, 2)). Soit φ¯ : X → X ∨ X l’application de la Proposition 6.2. (n) Puisque l|α|β = hE ◦ [ik , in ] (Proposition 3.8, 2)a)), le diagramme de la Propo¯ sition 6.2 permet de d´eterminer φ(l|α|β). Par des arguments similaires a` ceux du Lemme 5.3, et apr`es des calculs que nous ne d´etaillons pas (ils sont e´ l´ementaires mais fastidieux), on peut alors montrer que χ et ψ peuvent etre choisies telles que: ϕβ ¯ = i1 χ (n) β + i2 ψ (n) β ¯ +H ∂k (χ )∂n (ψ)|α|−1 [i1 ik , i2 α] ¯ i2 ik ] +H ∂n (χ )∂k (ψ)|α|−1 [i1 α,

Le genre de Mislin des espaces E 0 S k × S n

305

On en d´eduit que : (f (n) ∪ g (n) )β = f (n) χ (n) β + g (n) ψ (n) β
 (ψ)∂k (f ) lH ∂n (g)[ik , α¯  ] + [ik , wg ] + ∂k (χ)∂nl|α|
 k (ψ)∂k (g) + ∂n (χ)∂l|α| lH ∂n (f )[α¯  , ik ] + [wf , ik ] Puisque f (n) χ (n) β et g (n) ψ (n) β sont des multiples de β  , que l · πn+k−1 (S k ) ≡ 0 et lH [ik , α¯  ] = l|α|β  (Proposition 3.8, 2)a)), on d´eduit que (f (n) ∪ g (n) )β est un multiple de β  .  

7. Applications Nous commenc¸ons par la d´emonstration du Corollaire 1.5. La proposition suivante est une reformulation d’un r´esultat de Morisugi-Oshima [13, Theorem 1]: Proposition 7.1. [Morisugi-Oshima] Soit n > k ≥ 2. Soit ζ ∈ πk−1 (SO(n + 1)) et S n → E(ζ ) → S k le fibr´e induit par ζ . Soit J : πk−1 (SO(n + 1)) → πk+n (S n+1 ) le J -homomorphisme. Alors (u, v) ∈ im(∂k , ∂n ) : E1 (E) → Z2 si et seulement si v(u − 1) · J (ζ ) = 0. D´emonstration du Corollaire 1.5. On d´eduit du Th´eor`eme 1.2 que G(E(ζ )) est un ensemble fini. Soit alors t un multiple commun de |J (ζ )| et des t (E  ), avec E  parcourant G(E(ζ )). Nous avons une suite exacte : ξ

(∂k ,∂n )

Et (E(ζ )) −→ [(Z/t)∗/±1 ]2 → G(E(ζ )) → 0 Puisque toute unit´e modulo t est premi`ere avec |J (ζ )|, la Proposition 7.1 implique que (u, v) ∈ im(∂k , ∂n ) : Et (E) → Z2 si et seulement si u ≡ 1 (mod |J (ζ )|). Nous avons donc une bijection: ξ˜ : (Z/|J (ζ )|)∗/±1 ∼ = coker(∂k , ∂n ) → G(E(ζ )), u → ξ(u, 1). Soit u une unit´e modulo t. Consid´erons le diagramme suivant, o`u nous construisons le carr´e de droite par produit fibr´e homotopique : Sn

/ E(u · ζ )

Sn

 / E(ζ )



f

/ Sk u

 / Sk

Il existe donc une application f : E(u · ζ ) → E(ζ ) dont les degr´es sont (u, 1). D’apr`es la Proposition 4.2, on a donc E(u · ζ )  ξ(u−1 , 1). En pr´ecomposant ξ˜ par l’isomorphisme (Z/|J (ζ )|)∗/±1 → (Z/|J (ζ )|)∗/±1 , u → u−1 , on obtient la bijection annonc´ee.  

306

P. Ghienne

D´emonstration du Corollaire 1.6. Il r´esulte de la Proposition 4.2 de [13] que tout couple (u, v) de nombres impairs appartient a` im(∂k , ∂n ) : E1 (Vm+2,2 ) → Z2 . Soit t un multiple pair de t (Vm+2,2 ). L’application (∂k , ∂n ) : Et (Vm+2,2 ) → [(Z/t)∗/±1 ]2 du Th´eor`eme 1.2 est alors surjective, et G(Vm+2,2 ) ∼ = ∗.   Nous terminons par un exemple montrant que la cardinalit´e du genre d´epend de la valeur de l’invariant de Hopf-Ganea : Exemple 7.2. On e´ tudie le genre de E = S 6 ∨ S 9 ∪β e15 o`u β ∈ π14 (S 6 ∨ S 9 ) est d´efini comme suit. On a π14 (S 6 ) = Z/2 ⊕ Z/24 avec Z/2 = >π13 (S 5 ) engendr´e par un certain γ et Z/24 = [i6 , i6 ] ◦ π14 (S 11 ) engendr´e par [i6 , i6 ] ◦ ω, o`u ω est un g´en´erateur de π14 (S 11 ) = Z/24 ([12, Theorem 3.1] et [15, Chapter XIV]). Soit x := γ + [i6 , i6 ] ◦ ω ∈ π14 (S 6 ) et β := i6 ◦ x + H [i6 , i9 ], avec H un entier non nul. Bien sˆur on a H (β) = H . On va montrer que G(E) ∼ = (Z/p.g.c.d.(H, 24))∗/±1 . Une application f : S 6 ∨S 9 → S 6 ∨S 9 est la donn´ee de trois param`etres u, v ∈ Z et y ∈ π9 (S 6 ) tels que f ◦ i6 = u · i6 et f ◦ i9 = i6 ◦ y + v · i9 . Soit t un multiple commun de t (E) et de 24, et u, v des unit´es modulo t. En remplac¸ant β par sa valeur dans l’´egalit´e f ◦ β = uv · β, on montre que (u, v) ∈ im(∂6 , ∂9 ) : Et (E) → Z2 si et seulement si il existe y ∈ π9 (S 6 ) tel que, dans π14 (S 6 ), la condition suivante soit v´erifi´ee: (') uv · x = u ◦ x + uH [i6 , y]. Or uv·x = γ +[i6 , i6 ]◦(uv·ω), u◦x = γ +[i6 , i6 ]◦(u2 ·ω), et [i6 , y] = [i6 , i6 ]◦> 5 y. Sachant que modulo 24 on peut simplifier par u, la condition (') e´ quivaut a` : (v − u)ω = H · > 5 y. Puisque > 5 : π9 (S 6 ) → π14 (S 11 ) est un isomorphisme et que ω engendre π14 (S 11 ), on obtient : (u, v) ∈ im(∂6 , ∂9 ) si et seulement si (v−u)ω appartient au sous-groupe de π14 (S 11 ) engendr´e par H ·ω, donc si et seulement si u ≡ v (mod p.g.c.d.(H, 24)). Le conoyau de Et (E) → [(Z/t)∗/±1 ]2 est donc isomorphe a` (Z/p.g.c.d.(H, 24))∗/±1 .   8. Genre de Mislin et recouvrements connexes En premier lieu, voyons comment l’application du foncteur P[d] permet une preuve rapide du Th´eor`eme 1.2 dans le cas particulier o`u E = S k ∪ en ∪ en+k , avec k impair et n > k + 1. n , e ´ tant rationSoit donc d un entier tel que k + n ≤ d < 2n − 1. Alors S[d] nellement e´ quivalent a` K(Z, n), est un H0 -espace quelle que soit la parit´e de n. Puisque k est impair, il en est de mˆeme de E[d] dont le type d’homotopie rationn . La suite exacte de Zabrodsky (Section 2) permet donc nelle est celui de S k × S[d] d’exprimer G(E[d] ) en fonction de Et (E[d] ), comme conoyau de l’homomorphisme

Le genre de Mislin des espaces E 0 S k × S n

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QHE[d] . Puisque d ≥ dim E, le foncteur P[d] induit des bijections G(E) ∼ = G(E[d] ) et Et (E) ∼ = Et (E[d] ). De plus, QH ∗ (P[d] ; Z)/tors est un isomorphisme. On obtient ainsi la bijection G(E) ∼ = coker(QHE ) du Th´eor`eme 1.2 (Remarque 2.1). La suite de cette section est consacr´ee a` la d´emonstration de la Proposition 1.8, qui nous montre l’impossibilit´e d’un raisonnement aussi ais´e que le pr´ec´edent dans le cas E = S 2q ∪ en ∪ e2q+n , n > 2q + 1. Pour cela, nous consid´erons d’abord l’effet du foncteur −2q[d] sur la sph`ere S 2q , en terme d’auto-applications et de genre de Mislin. Remarquons que S 2q 2q (et donc e´ galement S 2q 2q[d] pour tout entier d) est un H0 -espace, puisqu’un g´en´erateur S 4q−1 → S 2q 2q de π4k−1 (S 2q 2q)/tors ∼ = Z r´ealise une e´ quivalence rationnelle. Si f est une auto-application de S 2q , S 2q 2q ou S 2q 2q[d] , d ≥ 4q − 1, on note ∂(f ) ∈ Z le degr´e de f en homotopie libre π4q−1 (−)/tors ∼ = Z. On montre ais´ement que l’image de ∂ : [S 2q , S 2q ] → Z est l’ensemble des carr´es de Z. Proposition 8.1. Soit q ≥ 2 fix´e. 1) Pour tout d ≥ 4q − 1, il existe f ∈ [S 2q 2q[d] , S 2q 2q[d] ] telle que ∂(f ) ∈ Z ne soit pas un carr´e. En particulier, −2q[d] : [S 2q , S 2q ] → [S 2q 2q[d] , S 2q 2q[d] ] n’est pas surjective. 2) Pour tout d ≥ 4q − 1, il existe une infinit´e de premiers p tels que 2q ∧ 2q ∧ 2q ∧ −2q[d] : [(S 2q )∧ p , (S )p ] → [(S 2q[d] )p , (S 2q[d] )p ]

esigne le foncteur p-compl´etion de Sullivan). ne soit pas surjective (o`u −∧ p d´ 3) Pour une infinit´e d’entiers d ≥ 4q − 1, l’inclusion 

im ∂ : [S 2q 2q[d+1] , S 2q 2q[d+1] ] → Z ;→ im ∂ : [S 2q 2q[d] , S 2q 2q[d] ] → Z , d´efinie par ∂(f ) −→ ∂(f[d] ), est stricte. 4) Pour une infinit´e d’entiers d, la surjection G[d] : G(S 2q 2q[d+1] )
G(S 2q 2q[d] ) n’est pas injective. En particulier, G(S 2q 2q[d] ) devient arbitrairement grand lorsque d augmente. Remarquons que si le Point 2) de cette proposition rel`eve d’une simple observation, il prend n´eanmoins toute sa signification au vu du r´esultat suivant, en illustrant la n´ecessit´e de l’hypoth`ese de finitude pos´ee sur les espaces X et Y consid´er´es : Proposition 8.2. [14][11, Corollary 1.1] Soit X, Y deux CW-complexes finis, 2-connexes. Pour tout m ≥ 2, l’application ∧ −m : [Xp∧ , Yp∧ ] → [Xm∧ p , Y mp ]

est une bijection.

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P. Ghienne

Avant de montrer la Proposition 8.1, voyons comment nous en d´eduisons la Proposition 1.8: D´emonstration de la Proposition 1.8. Les entiers q et m sont fix´es. On choisit n > 2q un entier impair assez grand pour que #G(S 2q 2q[n−1] ) > m (Proposition 8.1, 4). Consid´erons alors E := S 2q × S n . Du Th´eor`eme 1.2 on d´eduit que G(E) ∼ = ∗. D’autre part, E2q[n−1]  S 2q 2q[n−1] , et clairement on a #G(E2q[n−1] ) ≥ n m + #G(E). Soit d ≥ n − 1 un entier. Puisque E2q[d]  S 2q 2q[d] × S[d] est un H0 -espace (n est choisi impair), l’application G[n−1] : G(E2q[d] ) → G(E2q[n−1] ) est une surjection (voir par exemple [8, Section 6]), et le r´esultat suit.   L’´enonc´e de la Proposition 8.1 nous sugg`ere que le calcul explicite de l’ensemble [S 2q 2q[d] , S 2q 2q[d] ], mˆeme apr`es compl´etion, repr´esente certainement une tˆache tr`es ardue. Sa preuve emprunte donc une voie d´etourn´ee, ayant pour origine l’Exemple 1.7. Rappelons que pour tout espace Y , on note SN T (Y ) l’ensemble des types d’homotopie Z tels que Z[d]  Y[d] pour tout entier d. Lemme 8.3. Pour tout Y ∈ G(S 2q 2q), on a SN T (Y ) = {Y }. En cons´equence, l’application 6 : G(S 2q 2q) → lim G(S 2q 2q[d] ), d´efinie par Y −→ (Y[d] )d , ←d

est une injection.

D´emonstration. Soit Y ∈ G(S 2q 2q). Tout comme S 2q 2q, Y est alors un H0 espace. D’apr`es [10, Theorem 3], on a SN T (Y ) = {Y } si et seulement si, pour tout entier d, l’image de −[d] : Aut (Y ) → Aut (Y[d] ) est d’indice fini dans Aut (Y[d] ) (o`u Aut (Y ) d´esigne le mono¨ıde des classes d’homotopie d’auto-´equivalences de Y ). Il nous suffit donc de montrer que Aut (Y[d] ) est fini pour tout d. L’argument suivant s’inspire de [10, Lemma 3.1]. D’apr`es [5, Corollary 2.2.a], les pr´eimages de la rationalisation −(0) : Aut (Y[d] ) → Aut (Y(0),[d] ) sont finies. Si d < 4q −1, alors 4q−1 Y(0),[d]  ∗ et le r´esultat suit. Si d ≥ 4q − 1, alors Y(0),[d]  S(0) et Aut (Y(0),[d] ) ∗ s’identifie a` Q . Le diagramme commutatif suivant −

(0) / Aut (Y(0),[d] )  Q∗ Aut (Y[d] ) WW WWWWW f2 f f f f f WW+ fff Aut (π4q−1 (Y[d] )/tors )

montre alors que les pr´eimages de la fl`eche de gauche, f −→ π4q−1 (f )/tors , sont finies. Or Aut (π4q−1 (Y[d] )/tors ) ∼ = Aut (Z) ∼ = Z/2 est fini, et le r´esultat suit. −1   Puisque 6 {6(Y )} = SN T (Y ) ∩ G(S 2q 2q), 6 est injective. D´emonstration de la Proposition 8.1. Nous montrons d’abord 2). Il existe une infinit´e de nombres premiers ne divisant pas la torsion de π≤d (S 2q ). Pour un tel ∧ premier p, on a alors (S 2q 2q[d] )∧ u Z∧ esigne l’anneau des p  K(Zp , 4q − 1), o` p d´ entiers p-adiques. L’image de 2q ∧ 2q ∧ 2q ∧ −2q[d] : [(S 2q )∧ p , (S )p ] → [(S 2q[d] )p , (S 2q[d] )p ] ∼ = Z∧ = Hom(Z∧ , Z∧ ) ∼ p

p

p

Le genre de Mislin des espaces E 0 S k × S n

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∼ ∧ ` l’ensemble s’identifie alors, via le degr´e en homotopie π4q−1 (−) ⊗ Z∧ p = Zp , a ∧ {u2 | u ∈ Z∧ p } qui est clairement distinct de Zp . Consid´erons maintenant, pour tout d ≥ 4q − 1, le diagramme commutatif suivant entre suites exactes de Zabrodsky (Section 2): Et (S 2q 2q[d+1] )

∂

/ (Z/t)∗/±1

/ G(S 2q 2q[d+1] )

/0

/ (Z/t)∗/±1

 / G(S 2q 2q[d] )

/0

P[d]

 Et (S 2q 2q[d] )

∂

La fl`eche en pointill´e, surjection induite par le carr´e commutatif de gauche, n’est autre que l’application G[d] . De l’injection G(S 2q 2q) ;→ lim G(S 2q 2q[d] ) (Lemme 8.3) et de l’Exem←d

ple 1.7, on d´eduit que la tour de surjections . . .
G(S 2q 2q[d+1] )
G(S 2q 2q[d] )
G(S 2q 2q[d−1] )
. . . ne peut pas stabiliser, et 4) suit. En utilisant la suite exacte ker − coker associ´ee au diagramme ci-dessus, on v´erifie que l’inclusion

 im ∂ : Et (S 2q 2q[d+1] ) → Z ;→ im ∂ : Et (S 2q 2q[d] ) → Z est stricte pour tout entier d tel que G[d] : G(S 2q 2q[d+1] )
G(S 2q 2q[d] ) n’est pas injective. A fortiori 3) est donc vrai. Finalement, nous d´emontrons 1) par l’absurde. Consid´erons les inclusions suivantes, pour d ≥ 4q − 1 et i ≥ 1:
 im ∂ : [S 2q 2q[d+i] ,  S 2q 2q[d+i] ] → Z _  ddddd2
# dddd 2q 2q im ∂ : [S , S ] → Z  { ZZZZZZZ ZZ, 
 im ∂ : [S 2q 2q[d] , S 2q 2q[d] ] → Z La fl`eche verticale est d´efinie par ∂(f ) −→ ∂(f[d] ) tandis que les deux autres sont d´efinies respectivement par ∂(f ) −→ ∂(f 2q[d+i] ) et ∂(f ) −→ ∂(f 2q[d] ). Supposons que d soit un entier tel que, quelle que soit f ∈ [S 2q 2q[d] , S 2q 2q[d] ], l’entier ∂(f ) soit un carr´e. Alors l’inclusion du bas devient une e´ galit´e. Il en est donc de mˆeme obligatoirement des deux autres inclusions. Puisque ceci est vrai pour tout i ≥ 1, l’assertion 3) est contredite.   Bibliographie [1] Bokor, I.: On genus and cancellation in homotopy, Isr. J. Math., 73, 3, 361–379 (1991) [2] Ganea, T.: On the homotopy suspension, Comment. Math. Helv., 43, 225–234 (1968)

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P. Ghienne

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