Les fonctions asymptotiquement presque-p~riodiques d'une variable enti~re et leur application ~ l'~tude de rit~ration des transformations continues. Par

Ky Fan ~ Paris. ~LToduefion. Dans sea publications r~centes, M. FRI~.CHET1) a montr~ qu'il y a un lien ~troit, ~ la fois analytique et clans la forme des ~nonc6s, entre la th~orie ergoclique et celle des probabilit~s en chatne. I1 a utilis~ dana la th~orie ergodique des proc~d4s qu'il avait ing~nieusement employ~s dans la th~orie des proba^ 2). Dana cet ordre d'id~es, M. FR~.C~ET a introduit lea fonctions bilit~s en chame asymptotiquement presque-p~riodiques qui sont d~finies sur une demi-clroite positive (c'est-~-dire cl~finies pour les hombres r~els :> u n certain hombre). I1 en a fair usage pour obtenir des r6sultats nouveaux concernant lea propri~t~s moyennes des transformations ponctuelles cl~pendant du param~tre de temps. Dana le present M~moire, notre but primitif ~tait d'~tudier les propri~t~s moyennes de l'it~ration des transformations ponctueUes continues dana un espace distanci~. De sorte que le param~tre duquel dSpend l'it~ration eat un hombre entier positif. Pour employer des m~thodes analogues ~ celles de M. I~R~CHET, il est done d'abord n~cessaire de traiter lea fonctions presquel~riocliques et lea fonctions asymptotiquement presque-p~riodiques qui sont d~finies ~espectivement pour tous lea nombres entiers (positifs, n~gatifs et nul) ou pour tous lea entiers positifs et qui prennent leurs valeurs dana un espace distanci~S). C'est ce qui constituera la premiere et la seconele sections

1) M. ~R]~CHET,•) Lea fonctions asymptotiquement presque-l~riodiques. C. R. Acad. Sci. 213 (1941), p. 520-522; b) Sur le th6or~rne ergodique de BIItKHOFF. C. R. Acad. Sci. 213 (1941), p. 607--609; c) Lea fonctions asymptotiquement presque-l~riodiques. Revue Scientifique, 79e ann6e (1941), p. 341--354; d) Une application des fonctions asymptotiquement presque-l~riodiques k l'6tude des familles de transformations ponctuelles et au probl~me e~godique. Revue Scientifique, 79e ann6e (1941), p. 407--417. 2) M. FR]~CHET,e) Recherches th~oriques modernes sur le ealcul des probabilit~s. Second Livre, Paris, 1938; f) Sur l'allure asymptotique des densit~s it6r~es dans le probl~me des probabilit~s en chatne. Bull. Soc. Math. France 62 (1934), p. 68--83. s) I1 faut noter que M. J. v. N~.U~IAI~N[Almost ]periodic functions in a group, I. Trans. Amer. Math. Soc. 36 (1934), p. 106] a d~fini, en g6n~ralisant la d~finition donn6e par S. BOCHNERdes fonetions presque-l~riodiques de H. BOHR, lea fonctions presquel~riodiques, dont lea valeurs sont des nombres complexes et dont l'argument eat un 61~ment d'un groupe quelconque. Voir aussi M. W. MAAK, Eine neue Definition der fastperiodischen :Funktionen. Abhandl. Math. Sere. Hans. Univ. XI (1936), p. 240--244.

686

K. Fan.

de ee travail. Dans la troisi~me section, nous nous occuperons de rapplication de la presque-p~riodicit4 e$ de la presque-p~riodicit~ asymptotique ~ l%tude de l'it~ration des transformations continues. E n 1939, M. K. Y o s m ~ ) a d~jh appliqu4 les fonctions asymptotiqaement presque-pdriodiques d'une variable enti~re h l'~tude de l'it~ration des transformations. Cependant 1~I.YosmA n'a consid~r~ que les transformations lin~aires duns un espace de B~AC~, tandis que nos rdsultacs principaux contenu~ duns la troisi~me section s'appliquent ~ route transformation continue duns un espace distancid. Nous remercions bien vivement M. le P~ofesseur M. FR]~CH~T pour ses pr~cieux conseils.

I. Les ~onctions presque-l~riodiques dune variable enti~re 5). 1. Dd/inition. Soit x = p(n) une fonction d6finie pour t o u s l e s nombres entiers n, positifs, ndgatifs et nul, et prenant ses valeurs x duns un espace distancid ~. Nous dirons que x = p(n) est une [oncti~m presque-pe~iodi, que de la variable enti~re n, lorsqu' k tout nombre 8 :> 0, on peut faire correspondre un entier positif I = l(E), appel~ longueur d'inclusion, tel que parmi I -F 1 entiers consdcutifs queleonques, il existe au moins un entier % appel6 presquepdriode de p(n) relative ~ 8, pour lequel la distance (p(n), p(n ~ z)) < s, quel que soit n. II est clair que route fonction p6riodique de n e s t une fonction presquep~riodique d~ n. Nous verrons plus loin qu'il existe des fonctions presquepdriodiques de n sans ~tre p~riodiques. De la ddfinition suit imm~diatement qu'avec p (n), la fonction p (n -~ no), oh no 4~signe un hombre entier fixe, est aussi presque-pdriodique. 2. Quelques propridtds immddiates. E t a n t donnde une fonction presquepdriodique x -- p(n), soit l une longueur d'inclusion relative h u n nombre donn4 e > 0. Pour tout entier nl et pour tout intervalle (no, no ~- Z) de longueur l e t h extr~mitds enti~res, il y a au moins un entier n~ compris danb cet intervaUe et tel que (lJ(nl), p(n~)) ~ s. En effet, on peut trouver clans l'intervalle (no -- nl, no -- nl -~ l) une presque-p~riode ~ de p (n) relative ~ e. E n 4) K. YOSlDA, Asymptotic almost periodicities and ergodie theorems. Prec. Imp. Acad. Japan XV (1939), p. 255--259. ~") Duns une lettre ~ l'auteur, du 6 aofit 1942, M. KNOPP a eu l'obligeance de nous signaler que A.WALTtIEI~a d6j~ 6tudi6 en 1928 les fonctions presque-p6riodiques d'une variable enti6re et de valeurs r~elles ou complexes. Voir A. W,ALTHER, a) Fastperiodisehe ]olgen und Potenzreihen mit fastperiodischen Koeffizienten, Ahbandl. Math. Sere. Hamburg. Univ., VI. (1928), p. 217--234; b) Fastperiodisehe Fo]gen und iht~ FouRIERsche Analyse, Atti del Congresso Internazionale dei Matematiei, Bologna (1928), II, p. 289--298).

Fonctions asymptotiquemeut presque-p~riodiques.

687

prenant n,, = n, ~ r, on voit que nz se trouve dans l'intervalle (no, no ~ l) D6signons m a i n t e n a n t p a r X (p, -- ~ ~ n ~ -~ c~ ) l'ensemble des valeurs x de p (n) quand n varie de -- ~ ~ ~- o0. D ' u n e fa~on analogue, nous d~signons p a r X (?, no ~ n < ~- ~ ) l'ensem~le des valeurs x de ? (n) quand n prend routes les valeurs enti~res ~ no. E u outre, on ddsigne conLrae d'habitude, p a r ) [ la fermeture de I'ensemble X. Nous avons alors, d'apI~S ce qui precede, ia proposition suivante: Pour route/onct on ?resque-pdriodique x -~ p (n) d ' u ~ variable enti~re ~, an a

(1)

.~(p, -

ar < n

quel que soit l'entier no. totalement bornda).

~.- + ~ ) = ~ : ( p , no ~ n

< + ~),

E t de plus, l'ensemble X (p, -- ~ ~ n ~ + ~ ) est

Comme tout ensemble totalement born6 dans un espace distanci~ complet est compact, on a donc: S i l'espa~ distancid auquel appartiennent les valeurs x de la ]onction ?resquepdriodique x = ? (n), est complet, l'ensemb~ des valeurs x de p (n) quand n varie de -- ~ ~ + ~ , est compact.

Supposons m a i u t e n a n t qu'une fonetion presque-p6riodique p(n) tende vers un point Xo quand n tend vers + ~ . A t o u t e > 0 donn6 on peut d6germiuer un entier no ----no(e) assez grand tel que (p (n), x0) < s

pour n ~ 9'o.

On a alors, d'apr~s (1),

(p (n), Xo) < ~,

n = 0, :~ 1, ~: 2 . . . .

Or, e peut ~tre pris aussi petit que l'on veut, on a donc 1)0~) ~ xo. Ainsi,/a eanditgon ndcessaire e~ su//isante pour qu'une [onction presque-pdriodique de n, x ~- 1)(n), soit une constante abstraite Xo est que 1)(n) tendevers Xo quand n tend t?e,rs -~ (.~.

Consid~rons ~ pr6sent une suite de fonctions presque-p6riodiques ~)l(n), l,~(n) . . . . . p,,(n) . . . . qui converge vers une fonction limite 1~(~*) et cela uniform6ment sur l'ensemble des entiers n. A tout e: > 0, on peut faire correspondre un entier positif M tel que

(~,(n), ~,,,,00)

<

e,

n : : 0 . : ~ l , ~ : '2 . . . .

:

6) Un ensemble X dans un espace distanci6 est dit lotalement borne, si pour tout ~:> 0 donn6, X peut ~tre d6compos6 en une somme d'un nombre fini de sous-ensembles de diambtres ~ e. CI. H.~u sl)ol~ t.'F, Mengenlehre, 3e 6dition, Berlin-Leipzig, 1935, p. 108.

688

K. Fan.

d~s que m > M. D~s lors, si v e s t nne presque-p6riode de r ~ (n) relative ~ e, on a, quel clue soit ~, (y (a + ~), y (a}) <_--(p (~ + ~), ~ (~ + v)) + (p~ (a + v), V'~ (n)) + + (p~ Ca), p(~)) < 3 ~. C'est-~-dire que ~ e s t une presque-p~riode de y(a) relative ~ 3 ~. Done: /a lignite ~'u~e suite um/ormgme~t convergente de ]onction,~ presqtte:Fdriodiques est elle-m~me une ]onctioa presq~-pdriodique. On d6montre facilement la proposition suivante: Soiont ~1 et ~ deux espaces distancigs. Soit x = p (a) une ]onc,tion presque-pgriodique de ~ et prenant ses valeurs clans ~1. S i y = g(x) est u~e Inaction d~]i~de et uni[ormdmbmt continue s~tr l'ensemble X (y, -- ~ < n < + ~ ) , prenartt ses valeurs dans ~9., alars y = g(y(n)) est yresque-ygriod61ue. On a aussi la proposition suivante: Soient ~1 et ~ deux espaves distanci&, dolt le premier est complet. Soit x -=- p (n) une [ogwtion presque-~iodixlue de n et prena~t ses valeurs x clans S t . S i y = g (z) est u~e [ogwtion d~]i~ie et continue sur l'ensemble X (p, - ~ < ~ < + ~ ) et prenaat ses valeurs y clans tSa, y = g(p (a)) est presque-pdriodi~ue. 3. Relations avee Ins ]onctions ~ormales d'une variable e~ti~re. Appelons ]one,tio~t normale uae fonction x = ] (a), d6finie pour tous les hombres entiers n, prenant ses valeurs z duns un espace distanci6 et telle que de route suite +

+

.....

/(a +

.....

oh les h sont des nombres entiers arbitraires, on puisse extraire une suite + kl),

+

.....

/Ca +

.....

qui converge ~miform6ment (c'est-~-dire que la convergence est nniforme relativement ~ l'argnment n) vers une fonetion limite. Cette d6finition est tout s fair analogue ~ celle des fonctions continues normales d'une variable r6elle. I1 est bien eonnu que route fonetion continue norma'.e d'une variable r6elle est continue presque-p6riodique an seas de H. Boer. Inversement, si l'espace distanei6 auquel appartiennent les valeurs z d'tme fonetion continue presque-p6riodique z = p(t) cl'une variable r6elle, est eomplet, y(t) est une fonction continue normaleT). En suivant dans leurs grandes lignes les d6monstrations eonnues de ees th6or~mes, onpeut d~montrer le th6or~me suivant: Toute ~onvtion ~ormale d'urte variable vnt~re est pres~ue-pdriodique. Inversemeat, si l'es~ace distancid a~tuel a~partieane~tt ~es vaIeurs x d' une Inaction 7) Of. J. ~AVARD, Lemons sur los ionctions l~resque-l~riodiques, Paris, 1933, v. 77-80.

Fonctions asymptotiquement presque-I~riodiques.

689

presque-pdriodique x = p(~), est complet, p(n) est u~e /onvtion ~ormale de la ~:ariable ergi2re n. Soit maiutenant x = p (t) une fonetion continue normale d'une variable rSelle t. Si l'on ne consid~re que les valeurs enti~res de t, on obtient une fonction p (~)d~finie pour tousles hombres entiers. I1 est clair que p (n) est une fonction uormale de la variable n. I1 en r~sul.te donc la proposition suivante: Soient an espace distancid completet x ~= p (t) une ]onction contimue presque-pdrwclique d'une variable rdeUe t et preq,ant ses valeurs x dans ~. Si l'on ne consid~re que les valeurs enli~,'es de. t, ht /oPxtion p (n) est une ]onction presque-pe'r~ique de r variable e'ati~re n. 0,1 a ainsi tm nmyen de former un grand nombre d'exemples de fonctions presque-pSriodiques d'une variable enti~re. P a r exemple, la fonction x := cos t est une reaction continue prcsque-pdriodique de la variable rdelle t, x =~ cos n (;st done une fou(:tion presque-p~riodique de la variable enti~re n. On observe que cos n n'est pas uue fbnetion p~rioclique de la variable enti~re n, bien que cos t soit ull~~, fouetion pdrio~ique de la variable r~elle t. 4. Cas oi~ [es valeurs de la ]onction appartien~u3nt h u n espace de jB.~,~.dctt. Supposons maintenant que respace distancid (g auquel appartiennent les valeurs x d'une f()netion presque-p~riodique x = p (n), soit un espace de BX.XACH. On volt qu'aw,(: p(n), la fonction r . p(n), oh r d~signe un nombre r~el fixe, (rst aussi presq.e-p6riodique; il e n e s t de mfime de la fonction p(n) ~- x0, off Xo est uu point fixe da/ls ~ e t aussi de la fonction de valeurs numdriques '!7,(n)[[. Cettc derni~re assertion se dfimontre en remarquant que

I[1,(.

)11- il p( )ll <= llt,( , +

-

=

+

p(-)).

Notons encore que la somme et la difference de deux fonctions presquep~riodiques sent encore presque-pdriodiques, ear la somme et la difference de deux fouctions normales sent 4videmment des fonctions normales.

Soient 1~1(n), P2 (u) deux /onvtions presque-pdriodiques pre~,a~*t leurs valeurs u~m~me est)ac~ de. B.4.VACH. S'il existe un ew,tier N tel qu'on air

r

1~ (n) --- p=(n)

pour n ->_N,

!es deux /o~ctions l~ (n) et p~.(n) sent ndcessal,remeut ide,~tiques. En effct, la difference l~z(n) - p2(n) est une fonction presque-pdriodique et l'on a lim [pz(n) - l'.,(n)] : 0. Alors, d'apr~s une proposition donn~e au,,~ o 2, /I---~

--

oc

t~(n) -- pu(n) est identiquement 4gale au point 0. Ainsi, uue fonetion presque-p~riodique fl(n) d e n t les valeurs appartiennent k un espacc de Ba.x.~CH, est complhtement d~termin~e par ses valenrs pour les enCiers ~ N, que] que soit 1u 5. TMor~me dc la moyenne. Nous aliens dtaldir le thdor~me suivant qui est d'une importance fondamentale:

690

K. Fan.

TMor~ne de la m o y m ~ . Si 9 = r(n) eat ~ to'~tion ~esque-#riodique de n e t t)rend sea valeurs x dams um espac,e de BasacH, la moyenne arithmdtique (2)

p 0) + p (2) + . . . + p (~)

convexge vats une Iimi*e gdterminde qua~l ~ tend vers + Go. D 4 m o n s t r a t i o n . D'apr~s tree proposition donn6e au no 2, l'ensemble des valeurs x de r (n) quand n varie sur l'ensemble des entiers, eat compact. D~s lots, la norme I[p(n)l[ eat born6e sur l'ensemble ~les entiers. Soit B une borne sup4rieare de [I PCn)[[ 9 Soient 8 > 0 donn~, l(s) une longueur d'indusion de p(•) relative h s e t M tm entier > 1. Soit v~ (k = 0, 1, 2, 3 . . . . ) une preaque-p~riode de r(n) relative k e et t d l e que k M < v~ ~ k M

+ l.

On a (k+l)M

X if

(k+l)M-~: k

p(i) =

kM+l

27 i= kM+l-z

M

0

t= 1

i = kM +1 --~k

k

pCi + ~) M

i = (k+l)M-,~k+l

Pour lea deux derniers termes, on a Z,

It

~

p(i + ~ )

<= B(v~ -- kM) ~ B1,

P(i+~k)

~ B(~--

i = bM+l -~k M

X

k M ) ~_ B1.

t = (k+l) M--~k+l

D ' a u t r e part, nous avons M

M

X pCi + ~) - X p (i) < M ~, i=1

i=l

puisque ~k eat une presque-p~riode de I0(,) relative ~ e. De l~

p (i)

i = kM+ 1

= <~-M ~

~M

~(~)

~(i) ~(i+r~) 1 ~=1

- ~-M

+~--~

p (i + ~ ) -~ kM+l--z k

~(i+~)~=; ~ (i + ~ )

~...~pCi) i=; +

i~ (k+l)M-~k+l

+ ~--MII,~, ' {~+ " ) --;=~z.~,(i) 2Bl

.

9

1 (,~

_~-g-~+~ =-g

+-

2~1)

,

Fonctions asymptotiquementlaresque-p6riodiques.

691

et par cons6quent ; ~i

(3)

r p Cil - - ~

p (~)

/,=1

~

X

<

~-~

k~O

Soit maintenant

M'

~ (~) - _

1

v'v

9

. 2B1

i=kM+l

entier eompris entre ~M et (n q- 1) M:

un aM

< M ' ~ (~ q-

1)M.

Nous avons MP

1~,

nM

1~1

~,

(4)

i=1

I

9

p (i) - ff.~

~ (,)

":

<

p (i) -- ~ ;

BM

B

< ~

1

p (i)

+

p (i) - - -

~11P6)

rim

1

l

+

I

9

-~-

~(i)

9

$ B~

+~-+~-~

i=l

2B

~

2Bl

< -~-- + ~ + ~-if"

De (3) et (4): ~

p (i) -

~

i=l

"t] p (i)

i~l

=

1 ~

p (i)

1~

.

1

p (~) ,

1 i=l

~=

.

2B 9 2Bl 2Bl <: --~- q- -~ + n M -}- e -l-' M

_ 2Bn __ q- (e + 2~_.__/)(l+ 1 ) =< 2B ~-- q- 2 (e q- 2B___.._/). Si nous eonsid6rons deux entiers Mx et M2, le premier dans l'intervalle (~xM, (~ ~- 1)M), le deuxi~me dans l'intervalle (n2M, (n2 Jr 1)M),

692

K. Fan.

lea deux entiers •1, aurons alors

ns 6tant tous les deux plus grands que n, nous

Ceci 6tant, lor~que e eat donn6, nous pouvons choisir tout d'abord M auffi2B|

samment grand pour que ~ on

~_ 8, puis un entier positif n tel que 4- gB- ~_ 6,

aura alors

pourvu que M x et Ms soient tous lea deux aup~rieura/t ~M. g a moyenne arithm6tique (2) converge done vers une limite d~termin6e quaud ~ tend vers -~ or. C.q.f.d. La limite de la moyenne arithm6tique (2) est appel~e/a m o y e ~ e d~ / o ~ / o n p (n) et sera cldsign~e par ~t (p). Si, clans la formule (3), nous raisons croftre ~ inddfiniment, nous ob~enons

i ~ (p) _. - 1~

(5)

~, (~)

< ~ + 2~ BI ,

iffil

in4galitd valable quel clue soit l'entier positff M . Les deax fonctions p(~) et p(a § ~o), oil ~o ddsigne an entier fixe quelconque, sont presque-pdriodiques en m~me temps et l'on a (6)

~ (p in)) = ~rt (p (n -[- no)).

En effet, on a p (1.§ ~o) § P (9 -~ no) + . . .

_ u ~- ~ o p (1) -{- t~ (2) T . . . -b p (~ -~ ~o)

+ P (n + ~o) p (1) + p (2) + . . . -~ p (~o)

~ -~t- ~/.0

et au second membrv les aeux termes tendent respectivement vers ~01(p) et 0 quancl ~t ~ n 4 vers § o~. Comme p(~ § ~ ) achnet les memes presque-pdriodes de p(~) relativement un m~me nombre et avecla m~me longueur d'incluaion, on a, en vertu de (5): 1

(~) - ~

~ (i + ~ ) iffil

~

2Bl

e + --g-,

Fonetions asymptotiquement presque.l~riodiques.

693

quel que soit l'entier no. En prenant no = -- (M + 1), nous avons en particuller

~)OIlC -"

(7) 9R(p) = l i r a n--~

p(1)+p(2)+...+p(n)=

+oo

~

lira ~ ( - t ) + p ( - 2 ) + . . . + p ( - n ) . ft

~---). + o o

H. Les fonetions asymptotiquement presque.p6riodiques d'une variable enti~re.

6. D~/inition et quelques protn4Jt~ imnu~iate~. Nous dirons qu'une fonction z ==/(n) d6finie pour les entiers positifs et prenant ses valeurs x dans un espace distanci6 ~ est asy~ptotiquement rresfue-p~riod~, si elle poss~le la proprift~ sui~ante: P r o p r i 6 t 6 P. A tout e > 0 don,u~ correspondent deu~ entiers positi/s l, N tds que parmi l + 1 entiers positi/s cons~cuti/s ~elconfues 8e trouve au moins u~ entier v pour lequel

(8)

(t(-), t (,8 + 0 ) <

q, na ,, > iv.

Nous dirons que 9 est une presque-Fdriode asymptotiqtte de J (n) relative aeetN. On peut mettre la propri6t~ P sous une forme 6quivalente: P r o p r i 6 t 6 P bis. A tout e ~ 0 do~/~ corres~onde~ deuz entiers ~ositi/~ l, N tels que parm~ I + 1 e~iers cons&.uti/s ~ (t ton ~.~essairement l:ositi/s) il y air au moins wn etttier r IJotw lefuel

(t(n), ] (n + r

(9)

< e

quattd n ~> N e t n + 9 ~ N.

La propri6t~ P bis entra~ne 6videmment P. Inversement, soit z = [(it) une fonction poss&lant ]a propri6t6 P. Si ~ > 0 est donn6, choisissons l, N suir a n t la propri~t6 P. Soient no, no + 1 . . . . . no + l l + 1 entiers cons6cutifs qui ne sont pas tous positifs. Dans h cas oh z6ro figure parmi ces l + 1 entiers, on pourra ~videmment prendre z ---- 0 pour v6rifier (9). Dans le cas contraire, ces l + 1 entiers seront tous n6gatifs, on pourra d'abord prendre r parmi h s 1 + 1 entiers positifs - (no + l) . . . . . - (no + 1), - no de fa~on ~ v6rifier (8). Posons T = -- r~ et m = n + ~, T sera dans l'intervaUe (no, no + 1). On a

(/(m),[(m + ~)) ~ e

quand n~ ~ N ;

d'o/l ([ (n + r

/(n)) < ~

quand n + r ~ N e t

par suite ~ ~ N.

Ainsi, la propri6t6 P entraine 1~ propri6t6 P bis. Les deux propri6t6s P e t P his sont donc 6quivahntes. Mathematische Zeltsehrlft. 48.

45

694

K. Fan.

Etant donn6e une fonction asymptotiquement presque-p~riodique ---- [(~), soient l, N deux entiers positifs correspondant ~ un nombre s > 0 denn~ suivant la propri~t6 P bis. Alors, quels que soient les entiers ~o > N et nl :> N, il existe au moins un entier positif n9 tel clue (10)

~o <: n.z ~ ~ -I- t et (](nl), [(rig.)) <

~.

En effet, on peut trouver, d'apr~s la propri~t~ P bis, un entier ~ (non n~cessairement positif) tel que .o - nl _~ 9 s_ "o - -x + t

puisque n 1 ~ N et n l + ~ > n 0 > N . que (10) est vfirifi6.

et

(l(nl), I(~i + 3)) < e,

En posant n 2 = ~ l + z ,

on voit

De ce fair, on conclut que l'ensemble X (], 0 < n < -4- or) des valeurs d'une [o~tio~ asymptotizluement presque-p~riodique [(n), qua~d n varie sin" l' ensemble des e~tiers positi/s, est totalement bor~. Par cons6quent, si l'espace distancid ~ auquel appartiennent lea valeurs de ](n), est complet, l'ensemble X (/, 0 < n < + 0o) est carmpact. On 4tablit facilement les propositions suivantes: Soit une suite de /onctions asymptotiquement presque-pdrio~ues /x(n), [9(n) . . . . . [,~(n) . . . . qui converge vers une ]onetion l~mitc [(n) ct eela uni/ormdment sur I'ensemble des entiers positifs n. [(n) est elle-mdme asymptotiquement presque- pdriodique. Soient ~1 et ~2 deux espaces distanvids. Soit x = [(n) une [onction asymptotiquement Izrcsque-pdriodique de n et ~enant see, valetrrs x dans ~1. S i y -~ g(x) est urae /onction dd/inie et uni/ormdment continue sur l'ensemble X (], 0 < n < + oo), pvenant sea valeurs dans ~u, a/ors y ---- y (/(n)) est asymptotique~nt presque-pdriodique. Soient ($1 et ~9 deux eapacea distaneids, dont le premier eat carmplet. Soit x = ]in) une /onction asymptotiquement presque-pdriodique de n et prenant ses vaIeurs x dam ~ t . S i y ~ g(x) est une /onetion dd/inie et continue sur r~semb~ ~ (/, o < n < + ~ ) et r r e ~ n t se~ , ~ r s y dans ~ , y = g (/(,,)) est asymptotiquement presque-pdriodique. 7. Lea /onctions asymptotiquement normales d'une variable entibre. Une /onction a~ymptotiqumnent narmale est u n e fonction x : /(n) d~finie pour tous les entiers positffs n, prenant ses valeurs x dans un espace distanci6 et v6rifiant la propri~t~ suivante: P r o p r i ~ t 6 N. De route suite d'entiers positi/s h,,, on peut extraire une suite k,~, pour laqueUe la suite des [onvtions ](n + k,,) (m = 1, 2, 3 . . . . ) converffe uni/ormdment sur l'ensemble des entiers positi/s.

Fonctions asym]~totiquement presque-l~riodiques.

695

On peut mettre la propri6t~ 2V sous la forme suivante: P r o p r i ~ t 6 N bis. De toute suite d.'ent~ers positifs h,n tedw~a~t vers --~ oo, on peut extraire une, suite kin, pour laquelle la suite de~ /ouctians ](~ + k~) (m -~ 1, 2, 3 . . . . ) co~verge uni]ormdment sur l'ensemble des entiers ~ositi/s. I1 est facile de voir que les propri~t4s N et N bis sont ~quivalentes. T h 4 o r ~ m e 1. Toute fonction asymptotiquement narmale d' une variable enti~re est asymptotiquonent presque-pdriodique. D4monstratiom Soit /(n) une fonction asympcotiquement normale. Si el]e n'4tait pas asympcotiquement presque-p~riodique, il y aurait un nombre eo ~ 0 auquel ne correspon4rait aucun couple l,/V. G'est-h-dire que pour Coat couple d'entiers positffs l, N, il existerait un intervalle Ll, ~ de longue~r ~, h extr~mit~s enti~res positives et ne contenant aucune presque-p~riode asympcotique de ](~) relative s 80 et _N. Prenons an entier hi dans l'interval]e L 1 ----L1, r et un entier hg. tel que h 2 - hi soit 4ans l'intervalle L'2 = L2, 2. Puis choisissons un intervalle L'a ---- L,~,,,s tel que ~3 > 2 (h2 -- hi); il est d~s lots possible de d6terminer un entier h 3 de fagon que h 3 - h 1 et h a - h 2 soient clans L'3. E n g~n4ral Max. 2(h~--hl), nous choisisson.~ L~+t----L,~+I, ,, +itel que ~ + 1 > ~<~--__~ t

9~+1 > v~ et h~+l de fa4)on que les diff6rences h~+~ -- h~ (1 ~ ~ ~ m) se trouvent clans L'.~+I s). Consid~rons alors la Suite des fonctions (11)

f(n + h~),/(n + h2) . . . . . /(~ + h~), . . . .

oh les h sont les entiers positffs 46termin6s pr4e~temment. La fonction [(n) 4rant asymp~otiquement normale, on pent extra[re de (11) une suite uniform& ment eonvergente: /(~ + h~,), f(~ + h~) . . . . . /(~ + h ~ ) . . . . . D~s lots, on pout trouver un entier R tel que (/(~ + h~§

+ h~r)) < so,

quel que soit ~ = 1, 2, 3 . . . .

quand r ~ R; s = 1, 2, 3 . . . . .

Donc: pour r ~ R, s = 1, 2, 3 . . . . et ~ > h~,

on a

(t (~ + h~, +, - h~,),

t (~)) < ~0.

Autrement (lit, pour r ~ J~ et s ---- 1, 2, 3 . . . . . la diff~xence h~,+~ -- h~ eat une presque-p~riode asymptotique de ](n) relative h So et h tout Z r ~ h a . 8) II suffit, par exeml)te, de d6terminer ~m+l en prenant laour des entiers imm~diatement voisins du milieu de L~+ 1.

hm+ 1 -- h 1

45*

Fun

696

K. Fan. La diff6rence h~,.+e - h ~ ,

se trouve dans l'intervaUe L'z~+s. Laissons

r ~ R fixe, nous pouvons prendre s assez grand tel que l'indice N de i'intervalle L~,iv = L~r+s soit plus grand que h~r. Pour ce choix de ~', s, l'intervaUe L v, ~,

L'~r+scontient une presque-p6riode asymptotique, '~ savoir h~.r+s-h~.,,

d c / ( n ) relative ~ e0 et N. Nous arrivons ainsi h une contradiction. La fonction /(n) est donc asymptotiquement presque-p4riodi~lue. C.q.f.d. L e m m e 1. Soient dique et

](n)

(12)

une /onction

asymptotiqueme~t

presque-pdrio-

ha, he . . . . . h . . . . . .

u~e suite d'entiers positi[s tendant vers 3- no. Pour tout e > 0 donnd, on peut trouver um entier l* > 0 et extraive de (12) une suite h,~ , h,. . . . . .

h,. . . . .

d e / a f o n que (l(n 3- h,,m),

/ ( n 3- l*)) < e,

m = L2 ....

; n -= 1 , 2 . . . .

D ~ m o n s t r a t i o n . La fonetion ](n) 6tant asymptotiquement presquep6riodique, soient l, N deux entiers positifs correspondant h e suivant la propri6t6 P. Comme h,. tend vers 3- w, on peut supposer h,.>N3-1,

pour m > M .

I1 existe alors une presque-pdriode asymptotique ~,,, (m = M, M 3- 1. . . . ) telle que h.,--N--l<=~,. <=h.,--N, m >=M et m ~ M ; n >= N . if(n), 1(- + ~ ) ) < ~:, En posant l,. = h,. -- %.,

m ~ M,

nOUS a v o n s

(](n+h,,),

l(n§

Or, les entiers 1,,, sont tous ~ N e t n6cessairement 6gaux. Soit

e,

m =>M; n = L 2 , 3 , . . "

~ N 3- l, une infinit~ d'cntre eux sont

l,~ = l,.~. . . . . . . . . . l,.,~, = . . . .

1".

On a alors

(I (~ + h,. ),

](n + l*)) < e,

m = 1,2,3 .... ;n :: 1,2,3 .... C. q. f. d.

T h ~ o r b m c 2. S i l'es pace distancid ~ auquel a p partiennent les wtleurs x d'une /onction asyml~totiquement presque-pdriodique x = ](n), est complet, [(n) est une /onction asy,mptotiquement normale.

Fonctions asymptotiquement presque-l~riodiques. D~monstration. (13)

697

Consid~rons une suite infinie

[ ( n + h ~ ) , / ( i t q- h~) . . . .

, / ( n q- h.,) . . . . .

oh les h sont des entiers positifs tendant vers + r162 Soit e~ > e~ :> - 9 > e~ > 9 9 9 une suite de hombres positifs tendant vers z~ro. D'apr~s le lemme pr~efident, on peut trouver un entier l (~) et extraire de (13) une suite 5'~ :

/(+~, + .-,., ,,

-q- hob

,~ ,, 9

t,ml~

9

.

.

de fa~on que ( 1 ( - + h(])~ Yltrl/p

t(.

+ l~

~,

<

m,.::1,2,3,...

Puis, on peut trouver un entier /(~) et extraire de la suite 8~ une suite

de fa~on que

(/(n + h,.,~,).

](n~. , 1~2))) < ee,

.m,n:

l, 2,3 . . . .

et ainsi de suite: on peut trouver un entier l re) et extraire de la suite St_ 1 une suite

Sk:

/(• + h<~h /(~ +

l(n

de fafon que

(14)

( / ( ~ -~

h (k)" ,.,),

1(~. + l(~))) < e~.,

m, ,, = 1, 2, 3, . . .

Consid6rons maintenant la suite des fonetions

(15)

2)), . ., /(n + z(~h t(n - -' h(lh ,, ,, /(~ + h~_. %, ....

Elle converge uniformarnent sur l'ensemble des entiers positifs n vers tree fonction limite, En effet, soit e > 0 donn~ et supposons que l'on ait ehoisi k assez grand tel que ex. ~ 7 , on a alors, en vertu de (14),

( / ( u + n ,7~
/ ( n + h(kz)/ < ~, "-r~[, II

n = 1,2,3,

"

"

"

d~s que kl, k., ~ k. L'espaee d ~tant eomplet, la suite (15) converge done uniformament sur l'ensemble des entiers positifs. Ainsi~/(n) est une fonetion asymptotiquement normale. C.q.f.d.

8. Uas oit les va~urs de la [o,6ction appartiennent h u n espace de Bax~cn. D'aprbs la d~finition donn~e dans la premiere section, toute fonction presquep6riodique d'une variable euti~re est dfifinie pour tous les nombres entiers, positifs, n6gatifs et nul. Soit maintenant x = p(n) une fonction dd/inie seulement pour les entiers positi/s n. Nous conviendrons de dire que p (n) est presque-p~riodique, si elle poss&le la propri4t4 suivante: A tout e > 0 donn~ correspond un entier positif l 'tel que parmi l q- 1 entiers Fositi]s cons~eutffs quelconques se trouve au moins un entier v pour lequel (~(.),

p (,~ § ~)) <

~,

n = 1, 2, 3 . . . .

698

K. lean.

On peut d6montrer que t~te /onction ~resque-T&~odique sur l'ensemble des entiers ~ositi/s peut ~tre prolo~& d'une /afon undiue ~ar une tonction presq~p&iodia~ sur l'ensemble de to~s l~ nondrres entiers. Cela ~tant admis," nous pouvons d&nontrer le thdoz~ae suivant: T h d o r ~ m e 3. Touts fonetion asymptoti~uement presque-~griodi~ue /(n), qui lrte~d ses valeurs d a ~ r esyace de BA~acH, ezt une somme de deus ]onetio~

(16)

](n) = p(n) + e~Cn),

p (n) est rresque-#riodi4,~ et ~ oJ(~) tend t,er8 le ~oint 0 quand ~ te~d vers

+ 00. D'ailleurs, la d&omrositio~ (16) de/(n) est unique. Inversement, touts ]onetion /(n) de la /arms (16) est asymptotiquement presque-p&iodique. Ddmonstrar Etant donn~e une fonction asymptotiquement presque-pdriodique f(n) qui prend ses valeurs dans un espace de BA~ACH, soit e l > s9 > 9 9 9 > s~ > " 9 une suite de nombres positifs tendant vers zdro. A tout 6k correspondent deux entiers positifs l~, N~ tels que l'intervalle (k, k + l~) contienne un entier v~ pour lequel II/(n +

- f(n)l[ < e~,

quand n > N k.

La fonction f(n) 6tant asymptotiquement presque-pdriodique, eUe est asymptotiquement norma|e, puisque tout espace de BA~ACH est complet. On peut donc extraire de ]a suite des fonctions f(n + ~ ) une suite ](n + L~) convergeant uniform~ment vers une fonction ~(n). Posons so(n) = ](n) -- ~(n). Je dis que o~(n) tend vers le point 0 quand augments inddfiniment. Soit en e f f e t e > 0 donnd, on peut prendre k assez grand de fa~on que e,t < ] et borne sup. O < n ~ + o o

/(n + % . ) - - p(n) ,I < ~ "* .

On aura alors

II~,(',)ll < II f(n) - t(n + %)11 + lit(" + ~,.,~) -- P('O II < * pour ~ _>_~,,~. Montrons ensuite que p (n) est presque-pdriodique. I)'apr~ s la propridt6 P, tout e > 0 correspondent deux entiers positifs I, 2V tels que sur tout intervaUe de longueur 1 et ~ extrdmitds enti~res positives se trouve un entier z pour lequel II)r + ~) -- ](n)[[ < , quand n => N. On a donc (17)

II[(n + v,.k + ~) -- [(n + %.~)[[ <2 e quand n + ~,~ =>-IV.

Fonctions asymptotiquement presque-l~riodiques.

699

Laissons ~ fixe; pour/~ assez grand, ~ -t- 7, k sera ~ N e t quand k tend vers ~- ~ , l'in~galit6 (17) deviendra IIr(n -b 7) -- P(~)II ~- s

quel que soit l'entier positif ~.

Ainsi, p (~) est presque-p~riodique. Nous avons ainsi d6montr~ que toute fonction asymptotiquement presquep~riodique (dont les valeurs se trouvent clans un espace de Ba:NACH) est representable sous la forme (16). De plus, la d~composition (16) d e / ( n ) est unique. S'il en existait une autre/(n) = iv1(n) ~-o~l(n) satisfaisant aux m6mes conditions, la e]i~rence P (~) -- rl (~) serait une fonction presque-p~riodique qui tendxait vers 0 quand n augmente ind~finiment. Cette difference est done identiquement 0. Reste ~ montrer que route fonction/(n) de la forme (16) est asymptotiquement presque-p~riodique. On a

I11(~ + 7) - 1(,~)11 -<-llp(,~ + 7) - p(,,)ll + I1~(~ + 7)11 + 11~(,~)11. Or, ~ tout e > 0 donn6 correspond un entier positff l tel que parmi l ~ 1 entiers positifs eons~eutifs quelconques, il y air au moins un entier 7 v~rifiant l'in~galit6 [1r (n + 7) - p(~)l[ < - ~ ,

~ = 1, 2, ~,...

D'autre part, il existe un entier positif hr tel que [l~om)ll < -~,

pour n ~ N .

D~s lors, II t(~ + 7) - t(~)ll < ~,

~(n) est ([one asymptotiquement presque-p(,~riocUque.

__>~. C.q.f.d.

pont ~

L'unici~ de ]a d~composition (16) d'une fonction asymptotiquement presque-p~riodique f(n) permet d'appeler p(n) son terme pr/~/10al et co(n) son tern, e vorrecti]. D'apr~s les th~or~mes 1--3, nous avons, dans le cas oil l'espace consider6 est un espace de B~Ac~, trois d6finitions ~quivalentes des fonctions asymptotiquement presque-p~riodiques: on peut les d6finir soit comme les fonctions possgdant la propri~t~ P (ou P bis), soit comme les fonctions asymptotiquement normales, soit comme les fonctions de la forme (16). Cependant les deux premi6res d6finitions pr6sentent sur la derni~re l'avantage de garder nn sens dans le cas g6n6ral oh l'espace consid~r~ est seulement suppos6 distanci6 (au lieu d'etre un espaee de B ~ c n ) . D'ailleurs ees deux premieres d~finitions sont gquivalentes dans le cas oh l'espace en question est distanci6 complet. D'apr6s le th6or~me 3 et le th~or~me de la moyenne pour les fonetions presque-p6riodiques, on d6duit imm~diatement le th~or~me de la moyenne pour les fonctions asymptotiquement presque-p6riodiques:

700

K. Fan.

T h ~ o r ~ m e 4. ~i ](n) ---- p(n) -k- o~(n) est u~e / o ~ i o n asymptotiqueme~ 7~,esque-i~94~ique qui trre~ ses vaIeurs darts un est~ce de BaNacH, la moye~me

arithn~v~

1 (1) + 1 (2) + . . . + / (n) e,o~erge vers rote limite d4termi~e ~R (1) qui est dgale ~ la moye~ne ~ (p ) du terme

~ti,~ipaZ p(,~) de t(n). Cette limite ${ll~(f) sera appel6e la ~r~yenne de la fonction asymptotiquement presque-p6riodique ](n). La fonnule (6) 6tablie pour les fonctions presquep~riodiques restera ~videmment valable pour les fonctions asymptotiquement presque-l~riodiques, pourvu clue no soit un entier positif. Restons toujours clans le cas ell l'espace auquel appartiennent les valeurs de la fonction, est un espace de BANACH. On volt aisdment qu'avec l(n) = p(n) + o~(n), les fonctions ](n + no), r . / ( n ) et ](n) + Xo, oil no ddsigne un entier positif fixe, r u n nombre r~el fixe, z0 un point fixe dans l'espace consider6, sent aussi asymptotiquement presque-p~riodiques, dent les termes principaux sent respectivement 10(n + no), r- 10(~) et 10(n) + x0. II en est de m~me de la fonetion 4e valeurs num~riques Ill(n)[], qui a 1110(~)[] pour son terme p incipal. La somme tl (n) + Is (n) de 4eux fonctions asymptotiquement presque-l~rio4iques f~(n) ---- 1el(n) + oJ~(n) (i ~- 1, 2) est encore asymptotiquement presque-p~riodique, avec lea(n) + 102(n) comme son re,me principal. On peut d~montrer sans peine les propositions suivantes qui sent des pr~cisions de deux propositions donn~es au n o 6, oh l'espace consid~r~ ~tait seulement suppos~ distanci~: ~ ~ un e s ~ e de B,~'a~H. ~ ~ s u ~ de t o ~ t ~ s l~(n), /~(n) ..... t,,(n),.. , asymptotblue'ment 10resque-10driOdblues et 10tenant leurs valeurs clans ~, conver~e u~ilormgvnent sun, l'ensemble des entiers 10ositi/s n, la l~ndte est tree lonction asymptotiquement presque-~driodique et son terme pri~wiFaI ainsi que son terme correcti] sont respectivement les limites uniIormes sur l'ensemble des~ entiers positils des termes pri~cipaux p,~(n) et des termes correcti~s

oo..(n) de t.,("). ~oient ~x et ~ deux espaces de l~aXaCu.. ~Oit Z ~ ](n) : 10(n) + w(n) un~e fonction asymptotiquement presque-pdriodique qui prend ses valeurs x dam ~ . ~i y : g(x) est une /wnction .ddtinie et continue sur l'ensemble X(t, 0 < ~ < + or) e$ prenant se~ valeurs y dans ~ , alors y -~ g(/(n)) est une fonctio~ asymptotiquement 10resque-l~driodique, dont le terme principal est (10(n)) ~).

'~) On peut d~montrer Ia formule X(p,O < n ~ + ~ z ) ~ X(I,O < n ~ + r e ) , a fonction g (p(m) est done bien ddfinie.

Fonctions a s y m p t o t i q u e m e n t presque-pdriodiques.

701

III. Application ~ l'6tude de l'it6ration des transformations continues. 9. It~ratiwn des ~ o ~ p h i e s .

Enongons d'abord le thdoz~me suivant:

Thdor~me 5. ~o~nt E u~ ensemble compact et ] ~ de points d'un ~ pa~ distanvi~ t$ et H une lunndon~rphie de g en lui-m~gme. E~ dgsiqna~t pour tout 1Joint x de E, par H " x (n = 0, =k 1, 4- 2 . . . . ) l'~mage de z par la n ~ e it&& de HlO), supposons que lag H " x (n = O, ::k 1, 4- 2 , . . . ) cxmsid~rges comme /otwt/ous de x, soie~t dgalement e,ontin~es sur E n ) . AIors, pour tout point Xo de B, H"zo est une louetiou presque-pdriodique de n. D ~ m o n s t r a t i o n . I1 suffit de montrer que H"x0 est une fonetion normale d e n. Soit ha, hs . . . . . h~ . . . . une suite d'entiers arbitra[res. Les points Hhmxo (m ---- 1, 2, 3 . . . . ) restent dans l'ensemble compact et fermfi/~. On peut donc en extra[re une suite de points/fire x0 convergeant vers un point x* de R. On a (18)

TTn q" k//t

(n

xo, H"x*) = (H"(Hkmxo), H"x*).

D'apr~s l'hypoth~se de la eontinuit~ ~gale, ~ tout e > 0 correspond un nombre > 0 tel que (H'*x, H " y ) < ~, n = 0, 4- 1, 4- 2 . . . . . quand x, y sont deux points de g tels que (x, y) < ~/. Or, pour m assez grand, m > M, on aura (Hrmzo, x*) < ~/. Donc, le premier membre de (18) sera, comme le second, < e pour m > M. Ce nombre M , comme ~, a dtfi choisi ind4pendamment de n. Ainsi la suite des fonctions de ~, H~4~mxo (m --= 1, 2, 3. . . . ) converge vers la fonction H'~x *, et cela uniform~ment sur l'ensemble des entiers n ---=0, =k 1, q- 2 . . . . . D~s lots, H"xo est une fonetion normale de n e t par cons~quent, est une fonction presque-p6riodique. C. q. f. d. C o r o l l a i r e 1. Sous les hypotl~ses dutMor~ne 5, si Xo est uvt point de ~ tel que H" xo =~ Zo pour tout hombre entier ~ > 0 ~s), l' ensemble des points H n xo (n ~ 0, ~ 1, -4- 2 . . . . ) est ~ r p h e ~ l'ensemble des hombres ratiomtels. D 4 m o n s t r a t i o n . Si x0 est un point de g tel que H"xo =~ Xo pour tout entier positif ~, H" ~ est une fonction presque-p~riodique telle que ses valeurs correspondant ~ deux nombres entiers distincts soient toujours distinctes. 10) On ddsigne comme d ' h a b i t u d e p a r H ~ la t r a n s f o r m a t i o n identique et par H I'inverse de H . 1,) C'est-~t-dire qu'~ t o u t e > 0 donnd correspond un n o m b r e q > 0 tel que, pour t o u t n --~ 0, ~ 1, -~ 2 . . . . , (Hnx, Hny) < e d~s que les points x, y dans E vdrifient

l'indgalitd (x, y) < ~]. l~) Autrement dit,

Hnxo

n'est pas une fonction pdriodique de n.

702

K. Fan.

D~s lots, d'apr~s la d6finition des fonctions presque-p6riodiques, on voit imm~diatement que 1'ensemble des points H ~ o (n = 0, -b 1, ~ 2 . . . . ) est dense en sol. On salt que tout ensemble d6nombrable, dense en soi et appartenant ~ un espace distanci~ est hom~omorphe ~ 1'ensemble des nombres rationnels18), l'ensemble des points H"x0 (n = 0, ~ 1, @ 2 , . . . ) est donchom6omorphe ~ l'ensemble des hombres rationnels. C.q.f.d. 10. Itdration des transformations continues. Si au lieu d'une hom~omorphie, on r une transformation continue, on obtiendra sons des hypotheses moins strictes un r6sultat moins pr6cis: Th6or~me 6. Soient E un ensemble compact et fermd de points d'un espace distanoid ~ et T u n e trans]ormation ponctuelle continue de YE en une pattie de E14). yEnddsignant pour tout point x de YE, par Tax (n = 1, 2, 3 . . . . ) rimage de x par la n T M itdrde de T, supposons que les T n z (n -~ 1, 2, 3. . . . ) considdrdes comme fonctions de x, soient dgalement continues sur YE. Alors, pour tout point Xo de YE, T n Xo est une /onction asymptotiquement presque-pdriodique de n. La dfimonstration est exactement la mgme que pour le thfioI~me 5, saul qu'au lieu de prendre h~ arbitraires, on suppose que h~ est une suite 4'entiers positifs. On verra alors que T n x0 est une fonction asymptotiquement noimale de n e t par cons6quent, est une fonction asymptotiquement presque-pfiriodique. I1 est intcr6ssant de citer un cas particulier oil toutes les hypotheses du th~or~me 6 sont rfialis4es. On appelle contraction 15) route transformation ponctuelle T qui transforme un ensemble E d'un espace distanci~ clans luimgme ou dans un autre et qui v~rifie la condition

(rz, Ty) < (z, y), pour tout couple de points x, y de YE. I1 est facile de constater que route contraction qui trans]orme un ensemble compact et feared JE d'un espaee dista~-'id en une pattie de E, vdri/ie toutes les hypotheses du thdovdme 6. T h d o r ~ m e 7. Sous les hypotheses du tMor6me 6, soit d'autre part une /onction /(x) dd/inie et eantinue Sur YE et pre~tnt ses valeurs dans un espace de BAaAc~ ~ . Alors, pour tout point x arbitrairement choisi clans ~,, ](T'~x) est u~e ]onction asymptotiquement presque-pdriodi~ue de n. y e n particulier, la limite (19)

t~(f, x)

- :

lira ] ( T x ) + l ( T ~ x ) + " " + / ( T a x ) ~t - - - ~ -}- a o

existe, ~uel que soit le point x darts YE. 13) Cf. M. F R~OH]~T, g) Les espaces abstraits, Paris, 1928, to. 103. 1~) Bien entendu, eette partie peut se cons avec l'ensemble E tout entier. 15) Cf. H. FREUDENTHALet W. I-IUREWICZ,Dehnungen, Verkiirzungen, Isometrien. Fund. Math. 26 (1936), 10. 120--122.

Fonctions asymptotiquement presque-i~odiques.

Pour t /ize, P(t, ~) est u n i / o r r , ~

(20)

703

co.tinue sur E. Et l'o. a

=

D 6 m o n s t r a t i o n . E n utilisant une proposition donn6e ~ la fin du nO 6 et le th~or~me 6, oh volt imm~diatement que pour tout point 9 de E, /(T~z) est une fonction asymptotiquement presque-p6riodique de n. D~s lors, d'apr~s le th6or~me 4, la limite p(/, z) existe. L'~galit~ (207 r~sulte imm~tiatement de la formule (6). Reste ~ montrer clue p (f, ~) est unif0nn~ment continue sur E. La fonction f ~tant continue sur l'ensemble compact et fenn6 E, elle y est uniform~ment continue. A tout e > 0 correspond un nombre a >~ 0 tel qu'on air Ill(z) - f (w) l I < e pourvu que z, ~osoient deux points de E v6rifiant (z, w) < a. Or, pour ce nombre ~, on peut trouver un nombre 7 > 0 tel que pour.tout couple de points ~, y de E v6rifiant (x, y) < 7, on ait (Tnz, Tny) < (n -~ !, 2, 3. . . . ). On a done, pour tout couple de points x, y de E satisfaisant l'in~galit~ (x, y) ~ 7:

/(~'x)-~-..~+t(T",)

lim n--~

:

-[- ~

Jim

lira f ( T Y ) + " ' + / ( T ~ Y ) I n - - ~ . - [ - oo

J$

[l(Tx)--l(Ty)] + . . . + [ / ( ~ ' x ) - - t ( ~ y ) ]

_<__borne sup. 1 {[[](rz) --/(ry)ll

+

...

+

Ainsi, p(f, x) est uniform~ment continue sur E. C.q.f.d. Dans le th~or~me 7, si l'on suppose ~ = ~ et j(x) ---- z, on obtient le corollaixe suivant: C o r o l l a i r e 2. ~i, da.s ~es hy~ot~ses d~ ~l~x.'~ 6, l'espace ~ est un espace de B~vAc~, la ~ind2e (21)

# (x) =

]ira T ~ + T , ~ + ... + T"~ n - - - ~ -I- o o

eziste, ~uel 9ue soit z, de E. I~(z) ~ (22)

,~ni/ormdme.t co.tinue sur E e$ l'o. a

p(z) = p(Tx).

Disons qu'un point y de E est un yo/~ de retour d'un point zo de E, si la suite des points T ~ Zo contient une sous-suite convergeant vers y. Comme |es points T~zo (s---- 1, 2, 3 . . . . ) restent tous clans l'ensemble compact et ferm4 E, Zo admet au moins un point de retour. On d~montre sans peine le r~sultat suivant :

704

K. Fan.

C o r o l l a i r e 3. Sous les hypotheses du thdorgme 6, les trois conditions suivantes sont dquivalentes : 1) Z a suite des points Tnxo (~* -~ 1, 2, 3 . . . . ) est converge~,te. 2) I1 n ' y a qu'u~ Foint de retour de Xo. 3) Tout point de retour de Xo est u~ point [ixe clans la tra~ts[ormation T. Si, clans les hypotheses du thdorbme 6, l'espaee ~ est un espace de B.LvA,',. chacune de ces conditions est une condition ndcessaire et su]/isaq~te pour q~te le terme principal de la /onction asymptotiquen~nt presque-Fe'r~odique T"xo smt unc ] o n c t ~ , constante. C o r o l l a i r c 4. Sous les hyt.oth~ses du thdordme 6, l'ensemble l~t: de.~ points x de E tels que la suite T n x (n = 1, 2, 3 . . . . ) soit converge~*te est u.n ensemble/erred. Et la trans]ormation T n e / a i t sortir ni de E c , ni de E - E c . D f i m o n s t r a t i o n . II est 6vident quc la transformation T n e peut faire sortir ni de Ec ni de E - Ee,. Reste h montrer que 1 ~ est un ensemble fcrm4. 0onsidfirons une suits de points x 1, x 2 . . . . . x , , , . . , de Ec telle que lim x~ = x0, On a lim T ' x ~ = x,,, * (m = 1, 2, 3, . .). I1 s'agit de m--~

d-co

~t ---~ q- co

prouver que la suite T~x0 (n ---- 1, 2, 3 . . . . ) est convergente. Les points ,G,~'* restant tous dans l'ensemble compact et fe,md E, on p e u t supposer que lira x m* = x* (en rempla~ant au besoin la suite x 1. x,~, . . . . . .x,,. . par une sous-suite). On a (T"zo, z*) < = ( T " % , T'~x,,) + ~ D'apr~s lim x,, =, Xo, lim

x,,, x,,) + (.~,,,. J-*).

xm * = x* et l'hypothbse de ]a ('ontinnit6 (~ah,. .

pour tout e > 0 donn6 on peut trouver un e n t i e r M assez grand ind6pendant de n tel que (T" x0, T" x,,, ) < e,

(x.*, x*) < e.

pour ,m ~ M.

On a alors (T'~xo, x*) < Or. lira T a x i

-'~ ~.

+ (T"xz~, .,'*..,,).

-= x.~, on peut done d4terminer un cntier A" assez grand

tel que ( T ' X M , x~) < ~',

pour ~,, "~ N.

(T"xo. x*) < 3 e,

pour ~, -: N.

Ainsi, nous avons

La suite des points T~xo converge (lonc vers te point x*. (%s:t-h-dire qm' :,, appartient h E c . L'ensemble /~c est (lone ferm6. C.q.f.d.

Fonc$ions asymptotiquement presque-l~riodiques.

705

11. Condit6m de transitivitd. Une fonction g(x) dfifinie et continue sur E ~ et prenant ses valeurs dans un espave distanci~ sera dite invariante par rapport la trans]ormation T, si elle v~rifie l'~quation gCx) = g C T x ) ,

quel que soit x de s D'apr~s le th~or~me 7, #(/, x) est une fonction invariante par rapport h T. On d~montre facilement le fait suivant: Pour que # (], x) soit ind~pcndant de x, queUe que soit la fonction/(x) continue sur E et prenant ses valeurs dans un espace de BANAC~ ~1, il faut et il suffit que route fonction invariante par rapport ~ T et prenant ses valeurs dans ~1 soit une fonction constante. Pour tout point x de E, nous appel]erons successeurs de x les points T ~ x (n = 1, 2, 3 . . . . ). L'ensemble des successeurs de x sera ddsign~ par S , . Nous avons alors le th~or~me suivant: T h ~ o r ~ m e 8. Sous les hypotl~ses du thdor~me6, pour que #(/, x) soit inddpendant de x, quelle que soit la ]on ction ] vontinue sur E et pre~*ant ses valeurs dans un espace de BA~AC'H ~1, il ]aut et il su]]it que la condition suivante soit vdrifide : C o n d i t i o n de t r a n s i t i v i t Y . Pour tout couple de points x, y de JE, la ]ermeture de l'ensemble des successeurs de x et celle de l'ensemble des successeurs de y ne sour pas disjointes: (23) S ~ - S , ~= 0. D d m o n s t r a t i o n . Pour montrer que la condition est suffisante, il sunlit de prouver quc, lorsque la condition de transitivit~ est r~alis4e, route fonction invariante par rapport ~ T et prenant ses valeurs dans (~1 est une fonction constante. Soit g(x) unc fonction invariante par rappoit ~ T et prenant ses valeurs dans (~1- Consid~rons deux points x, y arbitrairement choisis dans E. D'apr~s la condition de transitivitY, il existe un point z tel que z E S ~ - ~ . Le point z appartient h/~, puisque E est fermi. D'autre part, la fonction g(x) ~tant continue sur l'ensemble compact et fe~m~/~, ellc y est unifo~m~ment continue. Donc, ~ tout e ~ 0 donn~ correspond un nombre 6 :> 0 tel que tl g (x~) -- ~ (x~)I'l < e pour tout couple de points x~, x~ de ~ v4rifiant l'in~galit4 (x~, xu) ~ ~. Or, pour ce nombre 8, on peut trouver deux entiers positifs nl, nu tels que (z, T"~x) < b, (z, Tn2y) < b; d'o~l: C o m m e g(T~Ix) = g(z) et g(Tn2y) = g(y), on a d o n c llg(

) -

g(

)ll <

-

9(y)ll <

706

K. Fan.

Le n o m b r e s peut 6tre pris aussi petit que l'on veut, il en r6sulte donc g(x) = g(y) = g(z). C'est-~-dire que g(x) est une fonction constante. E t par cous6quent, # (], x) est ind6peudant de x, quelle que soit la fonction continue [. La condition est n6cessaire. En effet, s'il existe deux points Xo, Yo de E tels que ~xo" Syo = 0, on peut d6finir une fonction g(x) continue sur E, prenant sea valeurs dans ~1 et telle que

g(x) = a ---b

pour pour

xES~o; xESyo;

a, b ~tant deux points distincts de ~1. Pour cette fonction g(x), on aura. #(g, Xo) --~ a ~= b = #(g, Y0). C. q. f. d. Un sous-ensemble F de E sera 4it clos par rapport ~ T, si la transformation T transforme tout point de F e n un point de F :

T F oF. Il est facile de constater que la condition de transitivit6 dquivaut ~la condition suivante: Deux sous-ensembles non rides de E qui sont ]erm& et clos par rapport T, ne sont jamais disjoints. D'apr~s le eorollaire 2 et le th~or~me 8, nous avons imm~diatement le corollaire suivant: C o r o l l a i r e 5. Si, dans les hypotheses du thdordme 6, l'esl,ace ~ est u~ espace de Ba,~'AC~ et si la trans/ormation T vdri/ie la condition de transitivitd, la limite #(x), qui existe partout sur F,, de

T x + T'~x+... + T'~x n

quand n tend vers + ~ , est inddpendante de x. Nous avons ici uue condition suffisante pour quc ,u(x) soit ind4peudant de x. Mais; comme on le verra sur l'exemple 3 donn4 plus loin, cettc condition n'est nullement n~cessaire. Envisageons maintenant quelques exemples simples: E x e m p l e 1. Soit E le segment ferm~ 0 ~ x ~ a (a > 0) sur la droitc des nombres r~els. La transformation T d~finie par

2x-~a+

( x - - a ) . b -x,

b dtant un hombre > 1, transtorme tout point de E en un point de E. On a

lTx-Tyl-~b-l"l

x-yl


Fonor

asympCor162

1)resque-l~riodiques.

707

T e s t done une contraction. Les hypotheses du.th~or~me 6 sont alors v~rifi~es. On a ~ z = a -{-(z -- a ) . b-". D~s lots, a appartient h la fermeture ~ , de l'ensembleS~ des successeurs de x. L a condition de transitivit~ est done rdalisfe. On a g(x) =

lira I [na A- (z - - a ) ( b -x -4- b-~ + . . .

-4- b-')] = a.

E x e m p l e 2. Cousid6rons dans l'espace de HIL~Ea~, l'ensemble compact et fermfi E form6 par les points x-----(xl, xr . . . . . x~ . . . . ) tels que 1 (k = 1, 2, 3 . . . . ). L a transformation

i

,

)

transforme tout point x de E en an point T z de E. On v6rifie faeilement que T e s t une contraction: (Tx,, T y ) ~_ (x, y). Les hypotheses du th6or~me 6 sont done r~alis~es. II est ais~ de voir que T vfirifie aussi la condition de transitivit& it(x) est done ind~pendant de z. On trouve effectivement 2

'

2

'""

2

'''"

)"

E x e m p l e 3. Appelons E le segment ferm~ 0 < x ~ 1 sur la droite des nombres r~els et T la transformation Tz=l--z. Les hypotheses du thfor~me 6 sont ~videmment remphes. Mais T ne v~rffie pas la condition de transitivit& On peut trouver une fonetion/(x) continue sur E teUe que p(/, z) soit d6pendant de x. On a, par exemple, pour f(x) = x~, 1 1 /~(/, x) z~ -- ~ + -~. Cependant, /x(x) est ind6pendant de x: p(z) = -~. 12. Application ~ la tMor~ des probabilitds discxmtinues en e]m~ne. Soient /~h~ (1 <2 h, k ~_ m) m ~ nombres r6els te[s que (24)

~" I~ nhkl l < 1, z.,=l

l <=h ~ m .

Appelons E l'ensemble des points (zl, xa . . . . . x,~) de I'espaee euelidien m dimensions tels que l z~[ < A (i = 1, 2 . . . . . m), A 4tant une constante positive. Soit T la transformation linfiaire d~finie par x(1)= ~ ~ ' x ~ ,

1 ~h~m.

708

K. Fan.

T transforme chaque point x ---- (x 1, x~ . . . . . x~) de E en un point T x = (x~1), x<21). . . . . x~)) de E. En effet, on a, en vertu de (24),

[x(hl,l = [ ,

, n .x~l<-~-k

,

[p

.ix~l_

D'autre part, dang l'espace euclidien h m dimensions, on pout prendre pour la distance de deux points x = (x 1, x2 . . . . . x,~) et y = (Yl, Y2 . . . . . y~) la quantit~ ~(x, y)----- Max. I x i - y~[; cela n'apporte aueun changement h la structure topologique de l'espace. Nous avons [X~I)

-

y;l)[

m

S .p,l, --I~__~ ~(~-y=)l

<~__s

y~l

( Max. Ixk-- Y k l ) ' k s I~---~k~_~_m

~

~

Max. l x k - - Ykl, l ' ~ k ~ m

d'ofi e(Tx, 2y) <=e(x, y). Cela veut dire que la transformation T e s t une contraction quand on prend pour la distance dang l'espaee euclidien h m dimensions. D~s lors, T ' x considardes comme fonctions de x sont agalement continues sur E. D'apr~s le th~or~me 6, pour chaque point x de E, Tnx est une fonction asymptotiquement presque-pdriodique de n. D'autre part, en posant (25)

/~h'~ ---j~=~ ~ P (hj ' - ~ ' " -j~,, p,l)

l~h,k<=m;

n=2,3

.....

les coordonn~!es x~~), x~-('),. . . , x!~',) du point T n x sont donn~es par

x(h.)

~ po,,

k=l

La h ~'~e coordonnde xn d'un point x = (x 1, x~ . . . . . x~) d~pend continftment du point x. I1 en r~sulte dove quc, pour tout point (x 1, xu . . . . . x~) de E et pour route valeur fixe de h, k=l

p(n) ~ h k " Xk

est une fonction asymptotiquement presque-p~riodique de n. En particulier, on volt que pour tout couple de h, k, --hP(n;kest une fonction asymptotiquement presque-pdriodique de n. Nous avons ainsi rcddmont~ d'une fa~cn t ~ s simple un rdsultat connu dfi ~ M, FRY.CafTan): S i les quantitds P~'~ (1 ~ h, k ~ m; n = 1, 2, 3 . . . . ) vdri]ient les relations (24) et (25), alvrs pour tout couple ]iwe de h, k, t~)~ est une /onction asymptotiquement presque-pdriodique de n e t par eonsdquent, la suite t ~ , ~p(z) ~ " ) " " " converge au sens de C E s ~ o . Ce hk, " 9 "~ ~ hk~ is) M. :FR~CHI~T, 1. c. e), p. 256.

Fonctions asymptotiquement presque-p6riodiques.

709

r~sultat se rfcluira ~ un th~or~me bien connn dans la th6orie des probabilit~s discontinues en cha~me, quand les Pr sont les probabilit~s de passage pour une ehalne de MARKOFF,constante, simple et ~ un nombre fini d'~tats possibles.

13. Retour au tMor~me de la moyen~ pour les ]r asymptotiquement presque-pdriod61ues. Le thfor~me 7 a 6t6 ~tabli en utilisant le th~or~me de la moyenne pour les fonctions asymptotiquement presque-p6riodiques d'une variable enti~re. Nous allons maintenant montrer qu'on peut considSrer ce th~or~me de la moyenne comme un cas particulier du th~or~me 7. Consid6rons l'espace fonctionnel ~ constitufi par les fonctions asymptotiquement presque-p~riodiques d'une variable enti~re et prenant leurs valeurs clans un espace de BA~ACH~. On prend dans ~ pour distance de deux points ~, g l'expression (/,g)---- borne sup. ] } / ( n ) - g(~)ll0
est ~videmment an espace de BA~Acn. Soit maintenant g0(n) une fonction asymptotiquement presque-pfiriodique qui prend ses valeurs dans d~. Pour d6montrer l'existenee de la moyenne !11~(90), consid6rons l'ensemble G form~ par la fonction go(n) et les fonetions de la forme g0(n + h), oh hest an nombre entier positff. D'apr~s la propri~tfi iV, G est un ensemble compact darts l'espace ~. La fermeture E de l'ensr G est donc compact et ferm6. Appelons maintenant T la transformation qui trausforme un point/(n) de E en T / = / ( n + 1). On vdrffie sans peine que les hypotheses du th~or~ne 6 sont routes remplies. D~s lots, d'apr~s le th~or~me 7, l'expression go (~+1) + go (n + 2) + .-- + go (~ + m) ~n

converge unfform6ment vers uue fonction de n, quand m tend vers + co. II en r~sulte en particulier clue la limite de g0 (1) + go (2) -4- .-. + go (m) existe, quand m tend vers + r162 hinsi, on peut d6duire du th~or~ne 7 le th~or~me de la moyenne pour les fonctions asymptotiquement presquepdriodiques d'une variable enti~re. 14. Ddcomposabilitd et irtddc,omposabilitd. Nous avons obtenu au n o 11 une condition n~cessaire et suffisante pour que/x (/, x) soit inddpendant de z, quelle que soit la fonctiou / continue sur ~ et prenant ses valeurs dans un espace de BAsxcH. Considdrous maintenant le eas oh / est une fonctionneUe r6elle et aUons 6tudier l'ind~pendance presque certaine en introduisant ane probabilit6 de distribution des positions de x dans ~. Mathemat&sche Zeit~chrlft.

48.

46

710

K. Fan.

Restons dans les hypotheses du th~or~me 6, soit ~ le plus petit corps borelien engendr6 par ceux de sous-ensembles de • qui sont relativement otwerts clans B. Supposons qu'on air d6fini sur R u n e fonction d'ensemble, P(A), compl~tement additive, de valeurs non n4gatives et telle que P ( E ) ~ 1. C'est-h-dire qu'on a d6fini une probabilit~ P(A) qu'un point x pris au hasard dans E soit situ~ dans un ensemble A, A ~tant un ~l~ment quelconque de R. Pour toute fonctionnelle r~elle ](~) d~finie et continue sur E et pour tout hombre r6el r, cl6signons par E ~u (1, x) < r} l'ensemble des points x de E tels que # (~, x) < r. I1 est clair clue l'ensemble E ~u (~, x) < r} est relativement ouvert clans E et par cons&luent il est un 614ment de R. Pour chaque ~ fixe, /z (~, x) est une variable al6atoire quand on choisit au hasard le point 9 E. Appelons F(], ~') la fonction de r~partition de la variable al6atoire/~ (~, x): F(t, ,') = P

(E {#(t, ,,,) <

r}).

Deux cas alors se pr~sentent: 1 er cas: Pour au moins une fonctionn~l]e ~0(~J continue sur E, F(]0, r) prend au moins une valeur ~V(~o,r0) diff4rente de 0 et 1. Posons "~1 = ~ {if(]O, X) < rtO},

~o =

~ --

~1"

Les probabilit~s P(Ez) = F(/o, r0) et P(E~) sont routes les deux diff~rentes de 0 et 1. Or, d'apr~s (20), les ensembles Ez, E z sont clos par rapport ~ T. Ainsi, dans ce cas, E est ddc,omTosable [relativement ~ la fonction d'ensemble P(A)], entendant par 1~ que E est une somme de deux ensembles ~z, Er disjoints et clos par rappoIt ~ T et te]s qu'il y ait une probabilit~ positive qu, un point 9 pris au hasard dans E soit dans Ez et une probabilit~ positive qu'il soit clans E~. 2 e cas: Si E n'est pas d~composable de cette mani~re, F(~, r) ne pent, quelle que soit la fonctionnelle f(~) continue sur E, p~endre que les valeurs 0 et 1. Quand ~ reste fixe et 9 varie de -- o~ ~ ~- o% F(/~, r) ne ponvaut d~croftre, passe donc de la valeur 0 ~ la valeur 1 pour une certaine valeur ro de r (r0 d~pendant de ])zT). C'est-~-dire que p(f, ~) prend presque certainement la m~me valeur to. Nous avons ainsi obtenu le r~sultat suivant: T h ~ o r ~ m e 9. Sons les hypott~ses du ttdor~me 6, soit ~ le ~lus petit corps borelien e ~ e ~ r ~ par ceux de sous-ensemb~s de ~, ~ui so~t relativement ouverts 17) L'ensemble B ~tant compact et fermi, la fonctionnelle I (z) continue sur E yest n6cessairement born6e: a ~ f (x) _~ b. On a donc a ~_~p (~, z) ~_~b pour tout point de E. D~s lors, ie(l,r) =(} pour r < : a et F(f,r) ~ 1 pour r > b.

Fonctions asymptotiquement presque-p6riodiques.

711

dans E. Supposons qu' on ai~ dd/ini, pour tout dldraent A de R, une probabilltd P (A ) qu'un point x pris au hasard clans E soit dans le sou.s-ensemble A. Alors, ou bien R est d&omposable en deux ensembles (appartenant ~ R) disjoim~s, de probabib;tds positives et clos par rapport, h la transformation T; ou b~en g n'est pas ddcomposable de cette mani~re. Si, dans le cas inddeomposable, fest une fonctionnelle rdelle cot~tgnue sup E la limite p (f, x), qui partout existe sup E, de / (Tx) -~- / (T'~x) + ... + / (T'*x) n

quand n tend vers ~- ~ , est presque vertainement la meme sup F~. Observons enfin qu'on d4duit imm4diatement du corollaire 4 le fait suivant: Dans le cas ind&omposable, quand on vhoisi~ au hasard le point x dans E, la probabilitd que la suite Tnx (n -~ 1, 2, 3 . . . . ) soit convergente ne peut dtrz que 0 ou 1. (Eingegangen am 3. Juni 1942.)

46*