MI THODE DE CALCUL DE LA REPONSE D'UN SYSTI ME LINI AIRE A UNE ACTION QUELCONQUE R gimes transitoiresdes systmes lectriques par M. Diekran I N D J O U I ) . I I A N Ing6nieur des P. T. T. "
SOMMAII~E.---Apr~s avoir introduit, pour tout syst~me
Un r6gime transitoire correspond au cas particuller d'une action commengant brusquement h u n instant donn6, par exemple h l'instant z6ro. Le cas des syst~mes 61ectriques n'est ni plus simple, ni plus compliqu6, h cet 6gard, que celui des syst~mes acoustiques, 61ectroacoustiques, m6caniques .... tuujours suppos6s lin6aires. L'action sera par exemple une diff6rence de i)oten tiel aux bornes d'un certain dip61e, la r6ponse le courant traversant ce dip61e. Le ]acteur de r~.ponse est ce par quoi il faut multiplier l'action pour avoir la r6ponse. Dans l'exemple consid6r6, il a l e s dimen.,ions d'une admittance. Pour concr6~tiser l'expos6 qui suit, le lecteur pourra suppo~:er qu'il a affaire h une action qui est une tension, 'h une r6ponse qui est un courant ; pour lui le facteur de r6ponse sera une admittance. Mais on peut aussi bien appliquer la m6thode au cas o6 I'action est par exemple un courant inject6 et off la r6ponse est une certaine tension (ou un certain courant), auquel cas le facteur de r6ponse est homog6ne '~ une imp6dance (ou est sans dimensions). En acoustique, l'action pourrait ~tre une pression et la r6ponse une vitesse, le facteur de r6ponse 6rant alors une a d m i t t a n c e acoustique. Nous nous proposons, sans d6monstrations nlath6matiques, de donner au lecteur une mdthode prdcise dont les Crapes sont bien marquees (voir r~capituh~tion) pour trouver la r6ponse d'un syst~me lin6aire (61ectrique par exemple) "h une action quclcon'que (telle qu'une diff6rence de potentiel d'une certaine forme, brusquelnent appliqu6e). Afin qu'~ chacune de ees 6tapes le lecteur puisse attaeher une signification, nous soulignerons les analogies tr~s grandes et eapitales entre l'616mentaire s6rie de Fourier, l'int6grale de Fourier et l'int6grale de Laplace, ces deux derni~res int6grales 6rant introduites sans aucuu myst6re. On est conduit /a elles en se laissant guider par ties analogies et par le d6sir de g6nb.raliser h des actions quelconques une m6thode valable pour une action p6riodique. Nous verrons ain~i qu'h une action p6riodique est associ6e, par la s6rie de Fourier, un spectre de raies (discontinu), qu'h une action non p6riodique est associ6e "O' par 1~"mte~,rale de Fourier un spectre continu, c'est/~-dire une certaine fonction continue de la fr6quence. L'intbgrale de Laplace 6tend au domaine complexe cette notion de spectre. Sa sup6riorit6 provient du
lin~aire, la notion de [acteur de rdponse - - qui g$n~ralise la notion d'admittance - - et pr:cis$ les cas particuliers les plus importants, on montre comment d&luire de la r~ponse d certaines actions, la rgponse gt route autre. Une comparaison s' gtablit d'elle-mSme entre ces instruments que sont la s:rie de Fourier, I'intggrale de Fourier et l'intggrale de Laplace, qui prg.cise les champs d'application et /ait comprendre le succ~s de l'emploi de la trans/ormation de Laplace, intimement lig au /ait que, parlant par exemple le langage de l'dlectricit~, les trans/ormges de Laplace des tensions et des courants sui~,ent une ~,$ritable loi d'Ohm. On est alors en mesure de rdcapituler de mani~.re simple les operations gt ef[ectuer pour calculer la rdponse d'un syst~me lingaire ~. une action quelconque. Pour ef[ectuer ces op&ations, les /ormules les plus importantes concernant la trans/ormation de Laplace sont rappeldes. Des applications de la m:thode sont /aites aax r@onses d des actions intpulsi~,e, transitoire et sinuso'idale brusque, olt s'introduisent naturellement les dd~,eloppements de Hea~,iside. Des exemples ~lectriques illustrent la m:thode ; l'un concerne un /iltre passe-bas. En annexe, on trou~,e notamment, apr:s quelques pr~cisions sur les spectres des trains d'impulsions, d'autres applications de la trans/ormation de Laplace pouvant ~tre utiles dans la technique: applications ~. des ~quations dif[grentielles, intdgrales et aux dil~grences [inies.
AVEa'rISSEM F.N'r. - - Cet expos6 est destin6 h fournit aux technieiens un i n s t r u m e n t de travail commode, n o t a m m e n t pour le caleul des r6gimes transitoires. Souligner des analogies importantes pour l'assimilation de la m~.thode, mettre en valeur les rdsultats pratiques pour l'utilisateur, voilh notre but. Notre pr6tention n'est donc pas d'6puiser le sujet, et le lecteur qui s'int6resserait h l'aspect th6orique ou m a t h 6 m a t i q u e de la question pourra se re,porter aux ouvrages sp6ciaux tels que le Cours d'Electricit~ thdorique, profess6 par *lr BAYARD h l'Fcole Sup6rieure des T616communications, auquel nous devons beaucoup ""
INTRODUCTION.- La d6termination des r6gimes transitoires des syst~mes 61ectriques suppos6s lin6aires est un eas particulier de la d6terrnination de la (( r6ponse )) d'un syst~me lin6aire de n'importe quelle nature h une (( action ), quelconque. Au C. N. E.T. D6partement t~Transmission ~ du Service des Recherches et du ContrSle Techniques des P. T. T. ~* Une courte bibliographic est donnfe h la fin de eet expos6. 34
--
t. 3, no 2, 1948]
REPONSE
D'UN
fait que son maniement est soumis h moins de restrictions math6matiques. Le lecteur remarquera enfin la validit6 (non 6vidente h priori, mais capitale) de ha loi d'Ohm pour les transform6es de Laplace des tensions et des courants. Cette < 0 (fig. J).
'
r(t)
F~e. 1.
r'(t) est dite <
En particulier le facteur de r6ponse isomorphe est donn6 par Y(p) =
/
~](t) e-~t dt
(int6grale de Laplace)
et de mgme il est donn6 en fonction de la r6ponse transitoire par : y (p) = p
/
9(t) e-~t dt
(int~grale de LaplaceCarson).
R~SOLUTION PRATIQUE n u PROBLI~ME. - - E n pratique, on connalt le facteur de r6ponse cissoidale ou isomorphe, et il convient d'en d6duire la r6ponse transitoire ou la r6ponse impulsive, afin de pouvoir en d6duire route r6ponse. On pourra, suivant les cas, employer l'un des deux proc6d6s suivants, le deuxi~me comprenant le premier et 6rant plus puissant : 1. - - Si l'on part du facteur de r6ponse isochrone Y(jto), ou des r6ponses /~ cos tot et sin cot, c'est le proc6d6 : a) de la sgrie de Fourier, si l'action est pJriodique ; b) de l'int@rale de Fourier, si l'action est non p~riodique. 2. - - S i l'on part du facteur de r6ponse isomorp h e Y(p), c'est-h-dire de la r6ponse h e vt, c'est la proc6d6 de l'int@rale de Laplace (ou par un passage facile de Laplace-Carson).
Nota. - - L e second proc6d6 pr6sente sur he premier certains avantages, tels que des conditions de convergence moins strictes, la possibilit6 d'utiliser les int6grales de variables comphexes, plus maniables, en g6n6ral, que les fonctions de variables r6ehles, etc.
.t"
lol
2/li
SYSTEME LINEAIRE A UNE ACTION
Ier Cas. - - a) L' action est p~riodique. Ih faut d6velopperl'action u(t)en s6rie de Fourier :
Ftc. 2.
oo
u(t) = ~- 4-
La connaissance de l'une des quatre fonctions suivantes permet ha d6termination de la r6ponse n'importe quelle action : t. Facteur de r~ponse isochrone Y (]co), 2. Facteur de r@onse isomorphe Y (p), 3. Rdponse transitoire ~ y (t), 4. Rdponse impulsive ~ ~ (t) ;
o~,
2= a = 7'
T 6tant la p6riode de u(t), ou encore : n=+oo
(1)
ces fonctions 6rant respectivement les r6ponses des actions suivantes : i. Action cissoidale eJ~t, oh co est une pulsation rdehle, 2. Action exponentielle ept, oh p e s t comphxe, 3. Action transitoire T (t), 4. Action impulsive T' (t).
~_] ~n eJn~t
u(t)=
n= --oo
Les coefficients sont donn6s par 2 ft0+ T
an = -~ J to
u( t) cos n ~ t dt,
2 fto+ T b, = -7'.]to u(t) sin n a t dt (to arbitralre)
Connaissant la r6ponse impulsive, on peut en d6duire 2 la r6ponse h une action quelconque u(t) par
i(t) =
(an cos n ~ t -~- bn sin n a t ) , n=l
OU
~. fit.+ T
(2)
u('r)~(t--- v) dv
~n = 7f Jto
u(t) e--Jng~t dt
t~9
Alors la r6ponse est
=
+oc
1. I1 s'agit iei de la r6ponse elle-m~rne et non d'un faeteur de r6ponse. 2. Voir en annexe une d6monstration {sans rigueur d'ailleurs).
ao
i(t) = "~ Yc(0) +
[anY~(na) cos n a t .+1
35
4- bnYs(n~) sin ~ t
3/1t
M.
DICKRAN
INDJOUDJIAN
off Ye(f~) et Ys(~) sont les faeteurs de r6ponse h eos f~t et sin f2t. Cette formule r6a]ise bien l'inversion vis6e (elle exprime la r6ponse h l'aetion p6riodique quelconque en fonetion de la r6ponse en r6gime sinusoidal). De mgme en utilisant les coefficients complexes an:
qui g6n6ralise le spectre (2) (spectre de pulsations complexes, au lieu de pulsations to r6elles.) On note ain.-i la eorrespondance entre ees fonctions u(t) et U(p) 4: U(p) E ,,(t)
i(t) = E
ou
u(t) -3 U(p).
Alors, u(t) s'exprime en fonction de U(p) par l'int6grale de Bromwich-Wagner dans le plan de la variable complexe P :
+oo
(3)
[A~ALES DES TI~LI~COMMUNICATIONS
~tnY(Jn~)On~2t
n~--oo
u(t) = : ~
(1")
evt U(p) dp
off Y(i~) est le facteur de r6ponse isoehrone. b) L' action u(t) est non pdriodique 3.
le contour P 6tant un contour, dans le plan des p, joignant 0 - - l e o h 0 -}- jeo dans le demi-plan de droite, ou tout contour 6quivalent (l'axe imaginaire s'il n'y a pas de singularit6 sur cet axe). La r6ponse h u(t), consid6r6e cornme somme des r6ponses aux actions ept d'amplitude complexe U(p)dp, e s t :
Le r61e des coefficients de la s6rie de Fourier est tenu ici par l'int6grale de Fourier (cette int6grale donne le spectre continu, au lieu du spectre discontinu form6 de tales r6guli6rement espac6es et de hauteurs an, bn du cas off u(t) est p6riodique) :
(2')
s(to) = / L ~ 1 7 6 u(t) e-Jo~tdt
(3~)
qui peut s'obtenir par passage h la limite, h partir
l
i(t) = - ~
i(t) 23 Y(p) U(p).
Alors on peut exprimer u(t) par l'int6grale
(l')
u(t) =
j _1"+ ~ ~176 ~(~)
La eommodit6 de la transformation de Laplace provient de ee que, si l'on eonsid6re la transformfe de Laplace I(p) de la r6ponse i(t) h l'aetion u(t), e'est-Gdire [(p) ~ i(t), on peut 6erire, dans le plan des p, une v&itable loi d'Ohm o6 Y(p) est le faeteur de r6ponse isomorphe (e'est-h-dire l'admittanee isomorphe, si nous supposons que l'aetion est une tension et la r6ponse un eourant). R~CAPrrULATmN. - - La m6thode pour trouver la r6ponse i(t) h une action queleonque u(t) (en particuller h une action queleonque appliqu6e brusquement it l'instant z6ro, ee qui correspond ~ l'6tude des r6gimes transitoires) est la suivante : 1. Chercher Y(p) (il suffit, dans l'admittance en r6gime eissoidal, de remplaeer jco par p). 2. Chercher la transform6e de Laplace de l'aetion donn6e, soit : lT(p) r- ,,(t) c'est-h-dire :
eio,t,ko
ou plut6t
lt(t)
=
lim n . - - - ~ + o o : ~I f ;_
N s ( ~ ) 0 t~
dto,
qui peut converger m~me si l'int6grale (1') diverge. La r6ponse h u(t) est alors : (3")
i(t)
1 f +oo
= 2-~ J - o o
Y(i~) s(co)O~t d~
2 e CaB.
II faut eonsid6rer l'action u(t) eomme une somme d'exponentielles e pt, ee qui conduit h introduire la transform6e de Laplace de u(t) :
(2")
U(p)
_/:
e-~, '4s
I
e'est-h-dire que
de (2). ~I
evt Y(p)U(p) dp
drI
I?(p) = f ~
+oo e--~t u(t) dt
3. B i e n n o t e r la c o r r e s p o n d a n e e de n u m 6 r o t a t i o n des form u l e s (1), (2), (3) - - {1'), (2'), (3') - - (1"), (2"), (3"}. O n d6finit parfois I'int6grale de F o u r i e r (2') en i n t r o d u i s a n t u n f a e t e u r 2rL Le ehoix a d o p t 6 i e i e s t tel que si l ' o n e o n n M t la t r a n s f o r m 6 e de L a p l a c e U(p) de u(t) (voir 2'}, on a i m m 6 d i a t e m e n t :
Si u(t) est une action brusque commen~ant h 1 mAant 0,
8(~) = U(i~).
3. Effectuer le produit Y(p) U (p), l'appeler I(p). C'est ]a transf0rm6e de Laplace de la r6ponse
U(p) =
N o t r e d 6 f i n i t l o n est telle, en outre, q u ' e n i n t r o d u i s a n t la to fr6quenee v = ~-~, on a une sym6trie formelle e n t r e le speetre
S (v)=/.oo
u(t)e--2~|~t
clierch6e (d'apr6s notre loi d'Ohm du plan des p). La r6ponse i(t) eherch6c, ayant pour transform6e de Laplace I(p), est d6termin6e par: i(t) ~ Y(p)U(p). On a done h pratiquer des transformations de Laplace et les transformations inverses, d'o6 l'int6r4t
dt
et la f o n c t i o n d u t e m p s
tt(t) -~ / L ~ 1 7 6
e-z,t u(t) dr.
e+2rclvtdv.
4. On dit que
36
u(t} est
l'originale de
U(p).
I:. 3,
n ~
RI~PONSE D'UN SYST/~ME LINI~AIRE A UNE ACTION
2, 1948]
de caleuler ais6ment les int6grales de Laplace et de Bromwieh-Wagncr et l'int6r~t de possfider un catalogue de eorrespondanees de Laplace (ou de LaplaceCarson). FORMULES
LES
PLUS
IMPORTANTES
CONCERNANT
LA TRANSFORMATION DE LAPLACE. - - D d f i n i t i o n
de la transform6e F(p) de [(t) :
d'ofi l'on d6duit :
co~ ~t.r(t) -3 ~ P
(I)
l sin o~t.~(t) -3
~
i
et par une nouvelle application de (G) : pq-X (I') e-Xtcostot.~(t)-q(p+ X)~ +co2,
e-Xt sin cot. T( t) "-3 (p + X)~ + toe F(P) =: X + ~
(A)
e--vt /(t)
d)
On 6crit :
F(p) E/(t).
Cettc formule permet de changer l'unitJde temps.
Inversion de ectte formule :
e) Int@ration de [(t):
(A')
(K)
[(t) = -:~ J r evt F(p) dp t(t) .3 F(p)
f) Ddrivation de [(t) :
(F cst le contour d6jh pr6cis6).
Lindaritg de la transformation : Si [(t) -1 F(p) et g(t) ~ G(p) on a, X et Ix 6taut des constances quelconques :
X/(t) + ~g(t) 3 XF(p) + p.G(p) Correspondances
[/'(t)-I pg(p)
(L)
/'(t) 7 pF(p)-
g) Dirivation de F(p) 1
r(t)--1 7
F'(p)
(M)
r(~ + l) r(t) -3 p~<+~ ;
a) en particulier pour n entier : t ~ T(t) -7 pn+l 9
/(t -- r "-1 e - ~ F(p)
[/(t),g(t)-lF(p) G(p)]
(N)
on remarque que si /(t) et g(t) sont nuls pour t < 0 , la d6finition du produit de composition 6quivaut h :
e-X,/(/) --1F(p + X) I
/(t) , g(t) =
1(.:) g(t
-
-r) d-~.
-
1
Jo(xt) r(t) _-3 r
-~,t "r(t) .3 (P)
et
tn t e--;~t~? F(t)-1 (p + ),)n+i"
Jn(~,t) "F(t) -3 (~/p~ -4- Xs -- p)n ," Xn~/f + X2
e---~V'p~+1
(Q) Jo(~/t2-~-z2) T ( t - - r
Faisons darts (G) X = - - j t o , il vient 9
(rt)
S'
i) Fonctions de Bessel.
o)
(G')
g ( t - ,) dr.
On a la correspondance tr~s simple :
L'application de eette formule (F) ~ (C) et (D') donne :
(c)
t[(t)
t(t) , g(t) = f
c) Changement cl'orlgine de p :
(l,')
--
h) Produit de composition de deux fonctions /(t) et g(t). C'est, par d6finition,
tn
b) Changement d'origine du temps : (E)
E
F(n)(p) C (-- t)n/(t).
done,
(D')
(A/) 0
--
(A/) o repr6sentant la discontinuit6 de [(t) fi l'origine, c'est-fi-dire /( + 0 ) - - / ( - - 0 ) . Si /(t) = 0 pour t < 0 , (A/)o = /(0). Si en outre [(0) = 0 (L')
(B)
(C)
ftoo/(t) dt -31F(p) P
(R) J~ (2~/~i) -r(t) -~
e
-3- _ _ ~/p2 + f P
P
; x
1
(s) t 2 Jn(2V ;kt) T(t)--1 ; k 2 e n + l P
--37
--
5/li
M.
DICKRAN
(o')
1 l. (xt) r(t) _-3 gTv___x, ;
(P')
I,x(X/)"l'(t)Ll (p__~/p2 ~,~)n; Xn~/if" --- V
(O3
~o(r
(~')
I~
r(t--,:)
INDJOUDJIAN
[ANNALES
DES
TI~L]gCOMMUNICATION$
La r6ponse i(t) est ici la r6ponse impulsive ~(t). On voit que
~ v,~3
[ ~(t) -!
Y(p)[
La r6ponse impulsive a pour transform6e de Laplace l'admittance isomorphe. Donc "r est donn6e par l'int6grale :
~ ,
8P
t
r(t) -7 7 ;
"~(t) ~ f evt y(p) dp, = 2hi f i r
X 11
I (S')
n
~eP
--
t ~ I,~(2~/~-t)T(t) ~ ?, pn+---~"
A cause de la croissance exponentielle de l=(t) lorsque t-+0, il est utile de consid6rer les formules obtenues en multipliant les premiers membres des formules (0') ~ (S') par e-~t off ~ >~ X. (Volt formule (F)). i) Fonctlon de Gauss. Par d6finition :
O0(t) - ~ (T)
t
f+te-- ~
y-t
mais souvent ~(t) s'obtiendra par l'emploi des formules de correspondance connues sans qu'on air h effectuer cette int6gration complexe. B. H@onse transitoire, on r6ponse h Y(t). tci
u(t) = r ( t ) ; OP
Y(t) j - , d~
done
1(;,) = Y(P-), p
- - e - ~ Y(t) n
(U)
0,(r
c'est-h-dire:
1 ~;(t) ~ p V - f U 5 ;
Y(p) ]
p~
(V)
y(t) ~ T
eg O0(t) r(t) ~ 7 [l - - Oo(p)].
k) Fonetions de t dont on connMt un d&eloppement en s&ie enti&e : a, -l- al-~-t- aa-2-5~.-~- . . . . 3
.o,
+ann,.
,,0+ p+~
l p
@ ....
~(t)
on
+ .... +~,+
....
)
9
R~MARQUE ~ S o u v e n t , mais cela peut prater h confusion, dans une formule telle que (G) ou (I) par exemple, on omet le faeteur T(t) au premier membre 5, sous-entendant que la fonetion de t consid6r6e est 6gale h la fonction 6erite pour t > 0, mais est nulle: pore' t < 0. Alors la borne inf6rieure de l'int6grale de Laplace (A) dolt 8tre remplac6e par 0, APPLICATrO~S. ~ A p p l i q u o n s la m6thode pr6e6dente h la d6termination de r6ponses partieuli~rement importantes pour un r6seau dont nous supposons connaltre l'admittance isomorphe. A. ~ Bdponse impulsive ou r6ponse h T'(t). Iei ~,(t) = r'(t) d'oh [;(p) = ~, puisque Y'(t) ::3 1 ; donc I(p) = Y(p) U(p) ~- Y(p). 5. C'est ce que nous ferons darts nos exemples d'applications aux 6quations diff6rentielles.
- - 38
On peut remarquer que la r6ponse transitoire a pour transform6e de Laplace-Carson l'admittanee isomorphe. Explicitons y(t)dans le cas oh l'on peut connaRre les p61es p'9 de Y(p). Pour cela, 6crivons le facteur de r6ponse isomorphe sous la forme l - A + E Y(p) - Z(p)
P A,jp, __ P~
'q
II est facile de montrer que 1 A -- Z(O)
1 Av -- pvZ'(pv)'
et
off Z(p) est l'imp6dance isomorphe. Donc, puisque p --- pv
C cp~tY(t),
on a:
Y(P)f-p
y(t) = [Z~O0)+
~-~((p~)l l'(t) t
Ddveloppement de Heaviside. ~ Ce d6vdoppement donne le d6veloppeinent en s6rie de la r6ponse transitoire lorsque l'on connalt les p61es du facteur de r6ponse isomorphe, suppos6s simples. Le eas de p61es multiples, doubles par exemple, n'a pas la mgme importance pratique, mais pourrait 6tre trait6 de meme ~ partir de la d6composition de la fraction rationnelle en 616ments simples.
t. 3, n ~ 2, 1948]
RI~PONSE D ' U N
F(p) G(p) off les Pv sont
tlEMA~qUE.--Si Y ( p ) -
les z6ros non nuls de G(p), on d6montre ais6ment la formule 6quivalente : IF(0)
p
)O ,,j r(t),
d'application souvent plus pratique.
C. --Bdponse it une action sinusogdale commenqant brusquement it l'instant O. Cherchons la r6ponse h e j~ "f(t). Appelons a(t) cette r6ponse. (Pour avoir la r6ponse h Faction sinusoidale sin o)t.T(t), il suflira de prendre la partie imaginaire de e(t)). On a
ee qui eonstitue une v6rifieation. On retrouve bien le r6sultat des r6gimes eontinus et alternatifs permanents. REMARQUE importante. - - O n volt d'apr~s ce qui pr6c6de que ]'utilisation de quelques formules fondamentales, ou des d6veloppements de Heaviside par exemple, permet, dans le plus grand nombre des cas, de ne pas avoir en f a i t h se livrer ~ des calculs d'int6grales r6elles ou complexes.
Autre mdthode pour la dgtermination de la r@onse ~(t).
Y(p) ~ ~(t). Done
Y(p + k + j(o) C e-(x+jc~ -~(t). La divison du premier membre par p entralne :
1 eJ~ ~i'(t) 2-] P __ j~"
Y(p + X + jco) E f t
e-0,+jco)~ ~q(-r
p
Donc ~ ( t ) -1 p
Y(p)
&off, en changeant p en p - - j ~
j--~
Y(p A-X
d'apr~s la m6thode g6n6rale Cette derni~re fonction a t o u s l e s p61es p, de Y(p), plus ]e pble jco. Or, on peut mettre Y(p) sous la forme :
~ e-( z~ J~)~ ~(v) dz.
f + ~ o e--0,+Jco)x ~(x)dv -= Y(Z + iv)) ./--co
puisque
y(p) ~ ~(t);
1 d'ofl
z(jo#
Y(p ~.: k) f._ ejo)t Y(X
et
p --]o)
1
B~
ejo)t / t
(p~ - % ) Z'(p~) :
+ j~) m
el(~t f
.It
done:
I
J
~.~
p - - % - z(jco) p --leo +
1
(p~--jco)Z'(p~)p--p~
ep~t
~l
r
~(t) 1
off l'on pent remplacer comme ci-dessus Z,(pv) par
F(p~). a'(p~)
Remarque - - Lorsque t tend vers -4- l'infini, il est impossible physiquement que y(t) ou i(t) tendent vers l'infini. Donc O~(pv) < 0 6 Par suite ].
y(t) : z - ~ - - " ~
et
elo~t
~(t) : ~ - - ~
~ ( x ) e-0,+Jo))z dx.
vers Y(P) done le second membre tend vers i(t), p--jco c'est-h-dire :
-1
~(t) = LZ(jco) +ff__j(pv__~Z,(pv) | _ ~ . j
+
Faisons tendre ), vers 0, le premier membre tend
l
&off : el cot
:
Or
et
off l'on montre ais6ment que B--
P __ leo ) C
jco, Bv pp --.... p~
Y(p)-- B -1-
Y(p)
6/tl
SYSTEME LINI~AIRE A UNE ACTION
~,
- - eJc~
~](~) e - J c~ dx.
[L'int6r~t de cette formule est de mettre clairement en 6vidence la diff6rence avec le r6gime permanent. La d6monstration exerce au maniement de la transformation de Laplace et illustre ce fair que les calculs restent souvent tr~s simpl6s, h condition d'employer judicieusement ]es r~gles fondamentales qu'expriment par exemple les formules (E), (F), (K)].
Exemples. - - D o n n o n s deux exemples, facile d'abord, plus long et d61icat ensuite. 1) Dd/ormation d'un signal rectangulaire. --. On applique h une r6sistance et une inductance en s6rie (fig. 3) une force 61ectromotrice a y a n t la forme indiqu6e par la figure 4. Comment varie le'courant qui traverse la r6sistance et l'inductance ?
6. Le symbole oK(z) signifie : partie r6elle du hombre complexe z. --
= e| c~ Y(jr
u(t) = ~'(t)--)2(t-- v), 39 --
l
e - P "~
P
P
U(p) . . . .
7/11
M. D I C K R A N I N D J O U D J I A N
L'imp6dance isomorphe du dip6le est : L p + R ; donc: 1 -e--v'r
2) B~ponse transitoire d' un filtre passe- b a s . ~ Consid6rons un quadrip61e en 6chelle (fig. 6), form6 de T eux-m~rnes obtenus p a r la r6union de deux demicellules identiques (Z x en s6rie, Z 2 en d6rivation fig. 7). Fermons ee quadrip61e sur une imp6dance Z.
I(p) = Y(p) U(p) = p(Lp + t:t)" Ja It)
i
A~
voo.oo ~
[ANNALES DES T~LI~coMMONICATIONS
Z1
B
FIG.
3.
On volt que
l(p) = F(p) - - e--~ "r F(p), off
G
FIG. 7.
1
F(p) =
p( Lp -[- H); F(p) fS_ /(t)
donc si
Quelle est t'admittance isomorphe Yo(P) de ce dip61e ainsi ferm6 et vu des bornes d'entr6es O,O' ? Soit Iq l'intensit6 du courant dans la qme imp6dance 2Z v I1 r6sulte de la loi de Kichhoff appliqu6e fi la maille de mgme rang que :
l(p) ~ i(t) = [(t) - - [ ( t - - "r). E n posant :
on aura
L
0:
F(p)
1
I ( l
(
/q--1 -~- ]q+l = 2 I ~- Zz
p+
/
lq ~--- 2 Iq ch 0
en posant :
donc
l(t) = T~
2Z1
e
(~) ch 0 = 1 + z~
act)
0
ou
/Z1
s]: ~ -- V ~
On constate que cette relation entre lq_l, Iq et Iq+l est satisfaite par ]'expression lqzAchq0+Bshq0
0,]
"r
puisque cette relation est lin6aire et est visiblement satisfaite par eq0. Les constantes A et B se d6terminent par l'application de la loi de Kirchhoff aux deux mailles d'entr6e et de s o r t i e : Maille d'entr6e : Z~ Vo = Zdo + ~ (lo - - 5),
FIG. 4.
et finalement : =
--e
, --e
T(t--v),
c'est-h-dire :
i(t) = 0
si
t < O;
i(t)=-tt
si
0
si
t > "r;
d'ofl
t (
l--e -g
i ( t ) = ~ ,e
t-,
B--
t)
0 __e--O
U~ Zo
en posant Zo = 89Z~ sh 0.
(volt fig. 5). (Nous verrons que Z o est l ' a d m i t t a n c e caract6ristique du quadrip6le). Maille de sortie :
I
I
iitl 1
. . . .
I I I .L
(Z1 + Z)In + ~ (I, - - I~-1) = O. ..... d'ofi l'on tire Uo
.4 = ~ c o t h (no + +) en posant Z th ~ -- Z0
FIG. 5.
Z~
(I)
(1 ')
2ZI
~2
2ZI
(m
(2'~ Fro.
--
6.
40
--
t. 3, n ~ 2, 1948]
RI~;PONSE
D'UN
SYS'r~:ME
Par suite
LINI~;AIRE A U N E
AC'FION
en posant
1. 1 ch(~0 + +) U o - - Z o s h ( n 0 + +)
o~v : - ~ o sin ,T"
et en n6gligeant ;k2 d e v a n t tooe.
En partieulier
Io
Ah,rs,
1
U~ = Z o
cotJ, (,10 -]- @ .
/,'(p~) = 2cp~ ch nO~
F(p,,)
,,,,
-= (--1)~2 pv
Si Z = Z0, the=
+t,
~b= + o ~ .
ear
1o
uo--Zo;
COS VT~ =
done Z o est bien l'imp6dance earact6ristique. Si Z = 0 (sortie court-circuit6e), ce que nous supposerons dans la suite :
I0
~; =
t)v,
a'(t,~) = -d~ "dO/o=o., ; dG or ~ = n sh 0 ch nO + ch 0 sh nO se r6duit pour
0=
0v'~ VT~
(--- l)~ J,, ~i,,
z o ~o~h nO,
)o(p) = Z~-st: 0 ~1, nO"
It
et, d'apr& (4') dp 0 0 2(/, + X) ~-~ = O~o2 sh ~ ch ~,
2 ch nO
ou pour 0~, puisque
];:tudions le eourant transitoire d'entr6e lorsqu'on applique une tension U0 = Y(t), dans le cas oh l'imp6dance Z~ est f o r m & d'une self-inductance L pr6sentant une petite r6sistanee H et off Z 2 est constitu6e par une capaeit6 pure C :
Zt =: L(p + 2X),
(--,
1
c'est-h-dire, en rempla~ant Z0 par la valeur trouv6e :
(5)
C,
(Ip
pv + X = T ho~
too -~ s i n ~ n
dO - -
=7 4tou
d'oft
F(p,,)
Cr
en posant B = 2XL.
3. est suppos6 assez petit pour que les puissances de I X soient n6glig6es devant la pulsation o~o ~/~; :
1
le signe - - correspondant h Pv et le signe + correspodant ~ ~. La somme des deux termes c o r r e s p o n d a n t au d6veloppement de Heaviside est : C~oo~ e_Xt sin o~t
Z~ - - C p
I1
r
La relation (4) entre p e t 0 s'6crit iei : et eomlne (4')
p~- + 2Xp - - too2 sh '2~ = O.
1 Yo(0) -- 2nR
Reeherchons la r6ponse transitoire yo(t) par la m & h o d e du d6veloppement de IIeaviside. lci F(p) = 2Cp ch nO et G(p) = sh 0 sit nO, oh 0 est suppos6 exprim6 en fonction de p. Les p61es de Yo(P) h consid6rer sont les racines en p de l'6quation G(p) = s h 0 s h n 0 = 0 non nulles ; elles correspondent done aux racines en 0 de l'6quation sh nO = 0, ear sl sh 0 = 0, p = 0. On obtient done toutes les valeurs Pv ehereh6es pour 0 = 0 ~ = | w~
yo(t) =
(admittance en courant continu)
2--ff--R+ &~176e-Xt
nco~ j Y(t),
oft 9
VT~
t0v =-= ~0o sin zl:'l-"
Ainsi le spectre de ce c o u r a n t tran~itoire contient la pulsation de r6sonance o~o et les fr6quences inf6v~ rieures o~v = ~oo s i n - - . Si le hombre de cellules n a u g m e n t a i t ind6finiment, routes les pulsations~
n
11-'--~ -~ oo
o6 v = 1,2,.., n. A chaque 0v correspondent, d ' a p r & (4'), deux valeurs ~ et pv 6gales h
en po~ant V~
q~v = 2n
--X=7 c'est-~-dire
X~+o&sM-~-
nous voyons q u ' u n terme d e r a n g v, fixe, de la somme 2 sin (~0t sin ~v) est 6quivalent h ( ~ + t - - ~0~) ~tOo sin %
- - 41 - -
9/li
M. D I C K R A N
puisque, pour n grand,
INDJOUDJIAN
Or la r6ponse impulsive n'existe que post6rieurement h l'action ; donc :~l(t,x) = 0 si t < ~ et enfin cette r6ponse ne d6pend 6videmment que de la dur6e t - - z qui s6pare action et r6ponse. Donc, si nous snpposons "th(t,0) = ~q(t) off ~q(t) = 0 s i t < 0, on volt que "~,(t, ~ ) = ~ ( t - - z ) .
77
Ov+l~ ~V~2n,
donc
yo(t) --+Ctoo e -xt S, off +n
S= ~ Z v=l
2 sin (toot sin q~.) (9v+l - - q~v). 77 sin q~v
Au second membre de S on a par d6tinition :
D'ofl la formule'indiqu6e, les deux formes donn6es se d6duisant l'une de l'autre par le changement de variable de t e n t - - z.
T~
2 f~
sin (tOot sin q ~ ) I dqo
f~
sin (COotsin q~)
dq~.
2. Relation entre le spectre continu d'un signal isolg et le spectre de raies d'un train de signaux r3currents. Soit [(t) une fonetion nulle en dehors de ]'intervalle de temps (0,T) s. Et soit /(t) ~ F(p).
Or
sin (toot sin q~) ~'r sin q~ =_~ et -
cos (u sin q~) du
cos (u sin ~) d~ = Jo(u), fonetion de
La fonetion p6riodique de p6riode T, 6gale h / ( t ) dans rintervalle (0,T), est ~(t) = / ( t ) + / ( t - - T) + . . . . + / ( t nT) +
Bessel d'ordre z6ro ; done S=
~ 0 O~
[ANNALES DES TI~L]~COMMUNICATIONS
,Jo(u) du.
.
.
.
Doric
Finalement si le nombre des cellules augmente ind6finiment, l'expres~ion limite du courant transitoire ~ est, en o m e t t a n t le facteur Y(t) :
yo( t) = Co.)o e--),t ~o - tOOtJ0(u)
~(t) ~ r
= F(p) + e--~T F(t,) + . . . .
+ e--,,vr F(p) + . . . .
ou
F(p) r ' O(p) = t--- e-v
du.
Nous avons d6jh montr6 que ce courant contient routes les pulsations inf6rieures ~ r
d'o6
q~(t) = ~I /
1evtF(~P)v:rdP, - - e-
Les
z6ros du d6nominateur I - - e -pT sont jnf~ 277 en posant ~ = --~, n d6signant un entier queleonque.
ANNEXES.
t. - - Ddmonstration de la [ormule i(t) = f
T
D'apr6s le th6or~me des r6sidus, on a d o n c :
u('r) ~(t--'r)d'r.
+oo
(4)
La r6ponse h l'instant t h u n top unit6 de dur6e t Ax donn6 h l'instant v e t donc d'amplitude ~ est,
q~(t)= Z
F(jn~2')Ont~t.
n = --oo
Cette formule donne le d6veloppement en s6rie de Fourier de la fonetion p6riodique q~(t).
pour un syst~me physique donn6, une certaine fonction ~(t,z)(fig. 8).
\
;y T
I
t 0
(_2 2-0. 3~_~ ~(_.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-.gp~
FIC. 8.
La r6ponse h un top d'amplitude u(x) de mgme dur6e est u(v)~ 1 (t,r Or r a c t i o n u(t) peut gtre regard6e comme la r6sultante d'une infinit6 de tels tops. Donc la r6ponse cherch6e i(t) est 6gale h d~. 7. 7Nous trouvons ainsi la r6ponse transitoire d'entr6e pour une [igne continue sans pertes ohmiques transversales.
~2
,-.
Fxc. 9.
Or nous savons que le spectre de Fourier de/(t) est F(joa). T o u t e s l e s p u l s a t i o n s y figurent. Tandis que la formule (4) exprime le fair physique que, si r o n consid~re le spectre du train de signaux r6currents (de p6riode T), une sorte de compensation s'opbre pour presque routes les pulsations, seules subsistent 277 les pulsations muhiples de ~q = -T-et l'amplitude 8. Elle peut Ore nulle, d'ailleurs, darts une pattie de (0, T).
42 --
t. 3, n o 2 , 1048]
RI~'PONSE
D'UN
SYSTEME
LINEAIRE
(complexe) d'une raie nf~ est F(jn f~); c'est l'amplitude m~me de cette pulsation darts le spectre continu du signal isold (fig. 9).
lo/li
ACTION
d'ofi :
F(p) =-
1
tl
1
p(p--l)(p--2)=Sp
1
1
p--l+2p--2
'
done
3. Applications matMmatiques de la trans[ormarion de Laplace pouvant ~tre utiles dans la technique (exemples).
1
1
t(t) = ~ - - Ct + , 5 e u,
I,)
t"--~t'+t=~ /' --l pF
:t) l~quations dif[&entielles. - - Pour multiplier deux nombres a et b c o m p o r t a n t plusieurs chiffres significatifs, on trouve commode d'en prendre les logarithmes A et B, d ' a d d i t i o n n e r ces logarithmes. Pour avoir le produit eherche, il suffit de d e t e r m i n e r le nombre dont le logarithme est A ~,- B. L'interr du proced6 est de substituer h la multiplication, en calculant sur les logarithmes au lieu des hombres, une operation plus simple : l'addition. De m6me, si "h ccrtaines op6rations sur des fonctions [(t), correspondent des operations plus simplcs sur les transformees de lmplace F(p), on aura int6r~t "~ faire t o u s l e s calculs sur les transforn,ees et 'h revenir aux fonctions de t u n c fois connue la transform6e du resultat cherche. Ainsi, puisqu"h la derivation par r a p p o r t "h t correspond la multiplication par p de la transformee (r~glc l+' ou plus generalement, rbgle L), ia une ~quation dif[&entielle lineaire h coefficients constants avec second m~tnbre telle que :
(L'),
~,,,,~ t ( o ) = o , t'(o)=l [" -3 p . p F - - I = p2F --. 1 (L)
d'ofi I t)F--I=-- p--I
(pO_2p+ OH
:
t (1, - - l)-' F = I + ~-----l ' 1 1 (p - - l)"- + (p --- l------) ~
l,'(p) c cst-a-dwe : /it) --
+ ~)
" r i,/ regles G, G').
c) ('as g~ndral. dny dn--ly ao ~ + a~ ~ + . . . . + a n y = g(t):
g(t) est donnee et g(t) -1 G(p). Les valeurs de y(t) et de ses d6riv6es d'ordres t yo(n--l) 9 1,2 .... , n .... I pour t - - 0 sont Yo, Yo,.-, On demontre aiseInent par la methode pr6c6dente que la transform6e de la fonction inconnue y(t) e s t : (;(p) + H(p) )(P) = F(p) '
l"(t) + (,t'(t) + t,i(t) = g(t) (off a et b sont des constantes, g(t) une fonetion connue et [(t) la fonction inconnue, et 06 l'on suppose par cxemple [(0) --- if(O) -- 0), correspond, pour la transformee de Laplace F(p) de la fonction incoxmue, une relation algdbrique tr~s simple :
off F(p) = aop n -4- axp n-1 +...-F an est le polyn6me earacteristique de l'equation differentielle et off It(p) est un polyn6me (identiquement nul si Y0 = Yo' = ... = y0 ( n - l ) = 0), que l'on peut former e o m m o d e m e n t au moyen du tableau (T) ci-dessous : le coefficient de pk dans H (p) est egal h la somme des produits des coefficients de (T) situ6s sous pk respectivement par les valeurs initiales figurant sur les mgmes lignes h9 droite de (T).
p+-F(p) .-]- apF(p) -!- bF(p) = (;(p), off G(p) C. g(t), d'ofl i m m 6 d i a t e m e n t : (;(p) F ( p ) = p2 _f_ ap -~- b"
ll suffit done, pour resoudre l'6quation diff6rentielle (en t e n a n t compte d'emblee des conditions initiales) 9 : 1~ de chercher la transformee de Laplace G(p) du second membre g(t) ; 2~ de d6terminer la fonction de t dont
pn--t
G(p) p" + ap -~-- b"
(r)
pn--"-
pn--a
...
p
~11
(12
" " "
(111--2
(lll--I
,I/O
HO
O1
9 9 *
(In--3
(lit--2
YO t
9 9 9
an-
an--3
yo"
~'\
l
4
ao
al
yo(n- -2) yo(n- a)
est la transformee de lmplace. Cette fonction de t est la solution cherehee.
Exemples: a) [ ' ( t ) - 3/'(t) + 2 / ( t ) = 1 ave,: /(0) = / ' ( 0 ) = 0. La transform6e de Laplace de cette equation est :
Exen~ple : le coefficient du terme en p e s t : an--2 Yo + an--3 Yo' "~ an--4 Yo" ~- . . . . + alyo (n-3) + ao yo (n-~).
1
( p 2 _3p q- 2) F(p) = -, P
~) l~quations i n t @ r a l e s . - Ce proc6d6 de calcul permet 6galement de r6soudre, sans avoir ~ connaltre leur th6orie math6matique, certaines 6quations int6grales se pr6sentant n o t a m m e n t darts l'etude de
9. C'est-~-dire sans avoir "~ effectuer apr6s coup la d6tcrr u i n a t i o n h a b i t u e l l e des c o n s t a n t e s d ' i n t 6 g r a t i o n h p a r t i r des conditions initiales. --
A UNE
43
--
11/11
M. DICKRAN
1NDJOUDJIAN
ph6nom~nes physiques ou blologiques (hyst6r6sis, h6r6dit6). Exemple : Soit l'6quation int6grale: l(t) = x
S'
1(~)/~(t-
ce qui r6sout th6oriquement la question, puisque
F(p) E /(t). 11 y a plus :
-:)(l~ + g(l),
F(p) -- 1 -
oh la fonetion inconnue [ figure h la fois sous lc s i g n e f e t h l'ext6ricur, off ), d6signe une constante et g(t) une fonction donn6e. Posons : /(t) = F(p), g(t) ~ G(p) et kl(t ) = k(t)'F(t) "7 K(p). Ona:
f
G(p) (1
7, e-p z
+ ?~ e - v z
-+ ),~ e - 2 v v +
...
+
~n e - n v z
~_ ...
).
Or
G(p).),u e--nvv f-- kn g(t - - nx). Donc /(t) = ~_~ z . g(t - - RZ). n=l
t/('r) k(t - - "r) dz
4. ltenseignements bibliographiques. - - Du point de vue th6orique de l'analyse m a t h 6 m a t i q u e , un ouvrage riehe mais ditlleile et touffix est : G. DOETSCU,
=- ~ j o ~ / ( z ) k a ( l - v)d-r -3 F(p) K(p) d'apr~s la r~gle de correspondance du produit de composition (N). La transform6e de Laplace de l'6quation int6grale s'6erit done :
Theorie und Anwendnng der Laplace Trans/ormation (1937). I1 nous semble, du reste, que ce ne sont pas les m6thodes employ6es dans ee livre ou les autres ouvrages elassiques qui m~nent le plus loin, mais que la rigueur et les extensions des proe6d6s fond6s sur la transformation de Laplace s ' o b t i e n d r o n t en s'inspirant des belles lemons profess6es au Coll6ge de France (fondation P e e c o t ) p a r Mr L a u r e n t ScwxaTz en 1946. Pour l'utilisateur, il pourra gtre int6ressant d'examiner les exemples qui a b o n d e n t dans de n o m b r e u x ouvrages (CARsoN-Busch-Mac LACHLAN,etc.) to. Mais surtout il sera commode de poss6der une table de correspondance comme celle de P. HU~BER'r et Mac LACHLAN : Formulaire pour le calcul symbolique (fascicule C du M6morial des Sciences Math6matiques, Gauthier-Villars). La transformation employ6e y est celle de LAPLACE-CARsON. Lh off nous 6crivons [(t)'23 G(p) P. H. et McL. 6crivent [(t)D (I)(p), oh O(p) =- pF(p).
F(p) = ), K(p) F(p) A- G(p), d'oh : a(p)
F(p) -- 1 - - ~ K(p) La transform6e de Laplace du r6sultat ehereh6 est donc eonnue une fois d6termin6es les transform6es K(p) et G(p) des fonctions donn6es : ce qui r6sout fort simplement l'6quation int6grale. y) JEquations aux dil~grenees finies. Une 6quation aux diff6rences finies est une relation entre les valeurs d'une fonction pour des valeurs de la variable diff6rant entre elles de valeurs constantes. L'analogie avec les 6quations diff6rentielles est 6vidente. L'emploi de la t r a n s f o r m a t i o n de Laplace permet de r6soudre simplement certaines 6quations aux diff6rences finies.
Exemple:/(t) - - ),/(t--x) -- g(t),ofi [(t) est la fonction inconnue, g(t) une fonction donn6e, k et z deux constantes. Soit F(p) et G(p) les transform6es de Laplace des fonctions inconnue et connue l~galons les transform6es de Laplace des deux membres :
N.B. - - Nos notations sont celles pr6conis6es par la 5 e Section de la Soci6t6 fran~aise des l~lectriciens. 10. Apr6s avoir r6dig6 cette 6tude, nous avons appris l'existence de livres r6cents se rattachant ~ notre sujet : Modern operational Mathematics in Engineering, by Ruel V. Cnvn CH1LL (Mc. Graw tIill) ; Operational methods in applied mathematics, by tI. S. CAaSLXWand J. C. J).E-GER (Oxford University Press) ; Transients in linear systems', by M. F. GARDNER and J. L. BARNES (Wiley).
F(p) - - k e--v'r F(t,) = G(p). D'ofi :
F(p)
[ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATION$
-
-
a(p) 1 - - X e-v'r'
--
44
--
