Quadratische KSrper im Gebiete der hiiheren Kongruenzen. II. (Analytischer Teil.)*) Von E. Artin in Hamburg.

w 17. Die Z e t a f u n k t i o n e m

Analog zur Funktion ~(8) in ZahlkSrpern fiihren wir ein

z( )=ZIxol,, 1

a

die Summe erstreekt iiber a]]e [deale yon K ( ~ / ~ ) . Wo]len wir dabei die Abhi~ngigkeit vom KSrper zum Ausdruek bringen, s o schreiben wit

z~(s). Um die Konvergenz dieser Reihe zu untersuchen, beSrachten wit das Produkt

//

erstreckt fiber alle Primideale yon

1

1

K(1/D).

Dieses Produkt ist fiir {R(s) ~ 1 q- J absolut und gleichmiil]ig konvergent. Denn wenn # ein Teller der larhn&ren ]?rimfunktion P ist, is~ I N # ] ~ t P ] , und zu jedem P gehSren h6ehstens zwei Primideale. Also ist fiir ~R(s) > 1 ,-k SNyl* =

I P ~~(s) < 2

1Yi '+~

*) Vgl. E. Artin, Quadratische KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. L (Arithmetischer Tell.) Math. Zeitsehr. 19 (1924), S. 153--206.

208

E. Artin.

wo die letzte Summe fiber alle Funktionen erstreckt ist.

zi

z ,-

Also

Y

Die letzte Summe ist a~er eine konvergente geometrisehe Reihe. Wie in ZahlkSrpern weist man nun die Identit~t

I/

2'

1

tN~t"

nach, und dab auch die Reihe ffir ~R(s)_> 1 + ~ absolut und gleichm~Big konvergierL Ffir ~ ( s ) > 1

(1)

ist also Z ( , ) reguli~r, und es gilt Z(*)=

i~l

=]- /

1

Nunmehr unterscheiden wir unsere drei Arten von Primidealen: 1. ~ ' ~

P, p =b P'. Dann i s t P prim z u D und [~t ---- + 1 (Pprim~r).

Die zu P gehSrigen Primideale liefern im Produkt den Beitrag 1

1

1

1 .

INvl *

llVv'l"

.

.

.

1

1

.

IPI'

IPI*

1

I__L IPI'

E -I

1----

2. p = ~ ' = P, also die prim~re Primfunktion P selbst Primideal. Dann ist

------ 1 und N p ~ P~-. Als Beitrag kommt 1

1 ------

1

1

1

1

1 - - - -

3. P ein Teller von D. halten wit als Beitrag

.1 . . . .

1

1

1

1

1

1 + - -

1----

l

Dann ist P == p" und zYp ~ P. 1

Also er-

1 1

1

12v~l" IPI' Bilden wir das Produkt fiber alle prim~iren Primfunktionen, so kSnnen wit das erste Glied der Beitr~ge 1 und 2 mit dem dritten Beitrag zu // 1 P 1---

1

vereinigen, wo das Produkt fiber alle prim~ren Primfunktionen

zu erstrecken ist.

Es erh~ilt aber nun nach einfacher Umformung den

209

Quadratische KSrper im Gebiete der h6heren Kongruenzen. H.

Weft . ~ - Y ~ ,

erstreckt fiber alle primiiren ganzen Funktionen.

Ver-

einigen wir die Glieder gleichen Grades, so erhalten wit i _ =37~

V

~_

1

Demnach ergibt sich

(~) ,

z(8)=

:--" l~_p-(,-1)

1

//-

FD]

1

'

we das letzte Produkt fiber alle zu D primen prim~ren Primfunktionen zu erstreeken ist. Die Eulersche Umformung des Produktes ergibt (3)

z(8) = ~-

1

_(._~.

ZI

]'

F

IF

L~ ~

~ ( 8 ) > 1,

we die letzte Summe fiber alle zu D primen prim~ren Funktlonen zu erstreeken ist. Vereinigen wit alle Funktionen gleichen Grades, so wird

1

Z (8) = 1 - ~ - ( ' - 1 ~ "

~

~v

%

_-~, ~--0 2~

wo o~, die im vorigen Paragraphen eingefiihrten GrSl]en sind: (4)

a~ = ~x~ [~]

mit s g n F -----1, D, F relativ prim.

1. Z) =+=g. Dann hatten wir a~ -----0 ffir v ~ n gezeigt. Es kommen also nur die Gr6~en %, a~, %, . . . , %_~ in Betraeht. Dabei ist n d e r Grad yon D, der nun immer so bezeiehnet werde. Unter Or wollen wir weiterhin nur diese Zahlen verstehen. Dabei ist %-----1. Es wird also ~ n--1

(5)

z(8)=

~_p_,,_,,. Z

=~"

Die Zetafunktion ist also in der ganzen Ebene mit eventueller Ausnahme der Stellen s - ~ l + regul~ir.

~2k~i (kganz),

welehe Pole sein

kSnnen~

2~i Ferner ist ersichtlieh Z(s) periodisch mit der Periode l~ogp' eine Eigensehaft, die spgter sehr nfitzlich sein wird. Die Zahlen a~ zeichnen sieh, wie bald gezeigt werden sell, durch hSchst merkw(irdige Reziprozit~tsbeziehungen aus. Wir werden fiberhaupt sehen, da~ sie eine wiehtige Stellung in der Theorie einnehmen.

210

E. Artin.

Fiir jetzt seien noch einige elementare Eigensehaften der Zahlen o ~ hergeleitet. Wollen wir ihre Abhingigkeit vom KSrper kennzeiehnen, so sehreiben wir o~(D). Aus dem Erginzungssatz des Reziprozititsgesetzes folgt leicht (6)

o, ~/D) = (-- 1)" a, (D). Ist ferner K('I/D) reell, so ist s g n D - ~ I , also

2

=0

(A, b ) = l

wenn A ein Repdisentantensystem der primen Restklassen, etwa alte Funktionen niedrigeren Grades als D, welche zu D relativ prim sind, durehl~uft. Dies ist der Fall, wenn in A ~ aS', E alle zu D primen Funktionen mit IF I < ! D I u n d a alle trivialen Einheiten durehl~uft. Dann ist aber, w e i r D geraden Grad hat, Also ~OB!

a=l

Somit ist

-P

2:

-P

=0

sgn i~'=l

Ordnen wit nach Graden, so erhalten wir den Satz. Wenn K(1/D) reell ist, gilt: (7)

s + ~i + o.~+ . . . + ~.-1 = 0. Wit werden bald sehen, da$ dies auch nut in diesem Falle gilt, denn in "jedem anderen wird sieh die Summe als die Klassenzahl herausstellen und ist also wesentlieh positiv. Fiir Z(s) ergeben sieh daraus zwei eIementare Eigenschaften. Zuniehst ist nimlieh 1 (al(D) (D) o~_~(D)~ Aus (6) abet folgt

1

Z D (8) = 1 - - a v ~ (

1 o~_~D)+ (D___);v~8 % --

-~- "'" -[- ( -

1~-lj ~,~-1,~~(D)~/"

Wit erhalten also dutch Division die Funktionalgleiehung (s)

ZD

+ ~l u ]S p / =

1 +p-~s-1)

.Zg~ (8).

Quadra~isehe K6rper im Gebiete der h~heren Kongruenzen. IL

211

Aus (7) folgt ferner, dab Zo(s) fiir reelle K6rper K ( 1 / D ) in s = 0 eine Nullstelle besitzt. Aus (8) folgt dann welter, dal~ ZD(s) fiir imaginiire KSrper, deren Diskriminante geraden Grad hat, in s = lo--~- eine Nullstelle hat. 2kai Der Periodizitiit wegen sind natiirlieh aueh die um T~gv vermehrten Stellen Nullstellen. Endlieh finden wir allgemein n--1

(9)

1

z(o)=

Za~,

,=o

l i m ( s - - 1 ) Z ( s ) = l~gp ,=1 1 " Z 7 , ,%"

(10)

9 =0 P

2. Fiir D

g ist o , = p

(11)

Zg(s) =

. ( - - 1 ) , also finden wir 1

1

1 _ p - ( 8 - 1 ) " 1 q_p- (8-1l'

sowie Z(0) =

1

.v~- 1'

1

lim(s -- 1 ) Z ( s ) -- 21ogp " S=I

huBer der Funktion Z(s) fiihren wir noeh ein die ,,Zetafunktion der Klasse ~ " : Z ( s, ~ ). Sei n~imlieh ~ eine Idealklasse yon K (~/D), dann setzen wit (a durchlaufe alle Ideale aus ~): (12)

Z(s,~)=

Z aaus~

I 12~a[ s

.

Die Reihe konvergiert, da sie einen Teil der Reihe von Z(s) darstellt, absolut und gleichmgl~ig fiir 3~ (s) > 1 + & Ferner ist klar, da$ (13)

Z ( s ) = ~ V ' Z (s, ~),

erstreekt iiber alle Idealklassen. Nun sei a ein Ideal der ILlasse ~ - ~ = ~'. Wenn dann D ein Ideal aus ~ ist, ist ab ein ttauptideal (a). Und umgekehrt, wenn das Hauptideal (a) dureh a teilbar ist, ist (t~) = ab und b ein Ideal aus ~ . ab durchl~uft also alle durch a teilbaren tIauptideale, wenn b die Ideale aus ~' durehl~uft. Es ist daher

z(s, )=INal'.

l~aus ~ I N a b Is

Z'

1

a--__--O(moda)I N ~ f s,

wo der Akzent anzeigt, dab iiber alle nieht assoziierten Funktionen des Ideals a summiert wird. Da nun abet ersiehtlieh Z(s, ~ ) = Z(s, ~') ist, k a n n a auch als in ~ gelegen angenommen werden.

212

E. Artin. Satz.

Ist a ein beliebiges Ideal aus ~ , so gilt

(14)

Z(s, ~ ) = - I N a l S

9

die Summe erstreekt Ideals a (a + 0).

fiber

alle

Z

P

1

u=__O(moda)]Net is' nieht

assoziierten Fanktionen

des

w is, Die Anzahl tier Idealklassen im imaginiiren KiJrper. Im imagin~iren KSrper K ( I / D ) gibt es nur endlich viele Einheiten. Nennen wir ihre Anzahl w (es ist w = p~ -- t ffir D = g, sonst w = p -- 1), so finden wir aus (14), da assoziierte Funktionen die gleiehe absolute Norm besitzen,

(1)

Z(s, ~ ) = I ~ t s

Z "a _~

1 d a)

wo jetzt die Summationsbeschr/inkung bis auf a ~= 0 aufgehoben ist. Es werde nun a als reduziertes Ideal der Klasse ~ gew~hlt. geht; denn in jeder Klasse gibt es reduzierte Ideale. Dann ha~ a eine Basisdarstellung

D=B~'--4AC,

a = (2C, B + l / D ) , wo

IBI
(2) Ferner folgt aus (2) (3)

tO] =

IAOI

und

No]-= [C t.

Es ist nun a =2OX+(B+YD)Y,

. ' = 2 c x + ( B - Y~) y , also

Na = (2CX + BY) ~- DYe, wo X , Y ganze, nieht gleiehzeitig verschwindende ~unktionen sind. Dann ist

z(s, ~) = i ct" " . ~

(4)

x,:r 1(2CX+BY)~-DYO~Is

Es bestehen nun zwei MSgliehkeiten:

1.

[2BX + BY!~> IDY~I,

so dab

!(2cx +BY)"-- oY'[ =-[2cx+BYl'.

Dies

Quadratische KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. II.

213

Dann ist fiir Y + 0

]ze

+ B 1> V LDI;

wegen IBI < V lDI mull also

sere. Ist umgekehrt dies der Fall, so gelangen wir zur Ausgangsrelation.

Wegen 1•1 < VlDI ist d a n n ICXl>lBrl,

so dab

t2cx+Brl~=loxI ist.

~,

a~o

IN~i=loxl

~"

I m Falle Y = 0 ist dies ohne weiteres klar. Wit haben also: Fiir

tCX'I>IAY'I

(5)

gilt

I~r

= IOXi"

und nut dann.

Es Iolgt dies n~imlieh leieht aus I D t =

2. so dab

t 2 C X 2 + B Y t ~~ ID Y'I = IAC, Y2I,

IAOI.

I(2CX-I- B Y ) ' - - D r ' ] ~- IACY~I . Dies ist, da V ID I imagingr ist, auch im Falle des G!eichheitszeichens riehtig. Hier karm Y nmc mit X versehwinden, was nieht geht. Es ist also Y + 0, also

20 X Wegen [ B [ < 1/1 D 1 muB also aueh

sein, oder

ICX~I~IAY~ I. Wir haben also: Fiir (6)

!CX'Is

gilt INai = l(2CX--t- B Y ) ' - - D Y ' I - ~ I a o r ' t .

Die Gleiehungen (5), (6) ergeben fiir Z ( s , ~) (nach (4)): (7)

Z (8, ~) =

1

1

w.lal'" I~'X*l Z ---+ >IAI'21

Diese beiden S u m m e n

Wit setzen

1

Z lOX*l

1

-

~= < I~I,~I

k5nnen nun jede fiir sich summlert

werden.

214

E. _hrtin.

Dann ist wegen ~ A C i = I D welter: r =

[~-~j,

Iund lO!~]/}DI,

wo [] die

a--b~O.

Wirsegzea

nichstkleinere ganze Zah] bedeuCe~.

I. In der ersten Summe halten wir zuniichst Y lest. Ffir Y = 0 ist einfach iiber alle X ~ 0 zu summieren. Beitrag (vom Grade v gibt es ( p - 1 ) p ~ Funktionen): i

. y(~_-L)v"_

~-~

Dies gib~ als

i

wtOI s ~=o~ p"~,,s --w]Ols" 1-:-p-(~.s-1) " Ffir J Y l = P" ist fiber jene Werte yon X zu summieren, fib dic a-b

X i>p

~ *~' ist, also, [ X l ~ - p "

sehliel~lieh ~ > r q - #

(p-

ist.

gesetz~, ffir die v >

a--b 2 + #'

oder

Dies gib~ als Bei~rag:

Wird nun fiber alle Y =p O, d.h. fiber alle ~u (wobei jedes # genau 1)p. " - r e a l zu berfieksichtigen ist) summiert, so erhilt man: p 1 p-(r+l)(~,-1) 2 wiClS " 1--~o-(:,-~) " - -

p=O

(P -- 1) p~''p-"('~-~)

- - (2-- 1)~ p-(r+l)(~s-1)_ . Z p _ e ~ , ( s _ l ) = ( p - - 1 ) u 9 p-(r+l)(~s-1) wlC[S (1 -- p-('zs-1)) ~=o w {CI s 1 -p-(~s-1)

o

1 -- p-~ r

Die erste Summe hat also den Wert p-- 1

1

(p -- 1) u

p-(r+l)(:s-1)

I oft" 1-~-(~,-1~ q ~v~-o-v "(1 - p - ( ~ , - , ) ( 1 _p-~(,-1)) 9 II. hi der zweiten Summe werde X festgehalten. Fiir X = 0 ist fiber alle Y =p 0 zu summieren, was liefer~:

wlAt s ~

Pe's

,--w[A[S'l--p-(~s-l) ~ b--a - - "

b--is

T

Fiir I X I = p , soll nun ! Y I == P~ ~ P ~ ~g sein oder ~, ~ -N--. -t- # , also v ~ / x r . Aul~erdem solI natfirlich, da Y ganz ist, ~, nieht nega~iv sein. Solange nun /z < r is~, ist einfach fiber alle :Y =t= 0 zu summieren. Dies liefert fiir jedes X : p - 1 . ~ P__L"= p - 1 1 w[A] s ,=o'~]l ~ s w[A[ s 1--p-(~s-1)"

Quadratisehe KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. II.

215

Im ganzen also, wenn fiber alle in Betraeht kommenden X , das ist ffir /~ < r, summiert wird: p--I

w]--~[s

1

(p--l) ~ pr--I I ~ - - 1 1--p-(~8-1)"

I_p-(o.s-x)'Z ,~=o (P-- X)P~'--~- w[A[S

Die beiden bis jetzt behandelten Beitr~ge geben zusammen

p--1 pr w[AIS 1 - l~-',~ s-l) " Ffir # _> r ist aber v > # -- r, also v nieht nega~iv. 1.

~

(p

w l A iS =~_r

1)p~

_ p-1

pu~s

9 p-(g-~')(~s-1)

w IA [S 1--p-('-'s-1) "

Wird dies fiber alle in Betracht kommenden X , summiert, so erhalten wit: p

pr(o~s-1)

1

Dies gibt

~!X[' "i - v-(~.-~i" /2r

p-s(~s-~). (p

also tiber # > r

1) p~

( p _ l ) -~ pr(~8-1) p-o.r(s-1) = ( p - - l ) ~ . lot = ~ l A - i Y ~ s ' l - - p - ( : s - ~ ) ' l - - p - : ( s -~) wlAlS (1--p-(~'-~l)(i--lD-:(s71))" Der Wert der zweiten Summe ist also: p -- 1

pr

(p--l) ~

w]AlS 1--~-(~s-1) -}- wiAlt

pr (1--p-(~s-a~)(1--p-~(*-l))"

Dies gibt fiir Z ( s , ~ ) : w (1 --p-(~s-1))

/p-(r+l)(o~s-1) . pT )

+[

Io1'

(p--l) ~

~ - I - X ~ . ~(1-~-(~'-~)(1-v-~

Aus (8) folgt flit s = 0 p-1 (P-l) ~ (p,+l+p,) Z (0, ~ ) = (pY-}- 1). w ( 1 - p ) ~- w ( 1 - p ) ( 1 - p ~ ) av* --

P"+~ W

1-w'

also

(9)

z(o,~)--

1

w.

Aus w 17, (13) folgt also Z (0) = Z

Z (0, 2 ) - -

h

W ~

wo h die KtassenzahI ist,

also

h = - wZ(O).

216

E. Artin.

Fiir D = g ist w ~ p ~ - - 1 , so dab w 17, (11) den bekannten Wert h - ~ 1 wiedergibt. Der triviale Fall D - - g werde nun kiinftighin stets ausgesehlossen. Dann ist u y = p - 1, und w 17, (9) gibB n--1

(10)

h = 2 a ~ = % + a1 + % + . . .

+ ~--1.

Dies ist, da h der Bedeutung naeh stets positiv ist, die Ergiinzung ztt w 17, (7). Einen anderen, weniger einfaehen Ausdruek f i i r h erhal~en wit aus den Residuen fiir s = 1. Es ist n~imlieh (p ',i m ( s - -,1 ) Z ( " ~=) = w ( 1 , 1. N o e h m a l s D -----g:

1) 9 l)21og

. (p-r-~ pr \-T-d~-HTXT) "

- -

Hier ist also

I V] = I ~ d

!A I = ! ,

r -- 0,

w = p ] - - 1, somit p 1 lira (8 -- 1) Z (s, ~) -~ 2(p+ 1)logp" (P-~ ~ 1) = 2 l--bg-T

~=t

Also gibt w 17 (11) wieder h

:

1.

2. Grad von D ungerade: _4us [ A C [ = I D t folgt, daI~ a-i-b, als,, auch a -

b ungerade und demnach r ~ a -2 b ~--b

1 ist. 2'

Also :

1

V~ Somit lira,=1(s -- 1 ) Z ( , , ~ ) =

~l--~g-~"~-~ 1 / ~

+ ~/-~ ~/]~-0-/]] = ~/IDI ]ogp"

Das Residuum ist also yon der Klasse unabhgngig und somit lira ( s - - 1 ) Z ( 8 ) =

~"p. h

Wegen w 17, (10) ist n--1

(11)

h=l/i'l.~

~

3. Grad von D gerade: Dann ist r = T ,

also

lira Z ( 8 ) 8=1

(~,+1)h ~V[DI .logp

also

C '

Quadratisehe K6rper im Gebiete der hSheren Kongmenzen. II.

217

ttlld

(lla)

h=2v'lDIp+l " ~ F "'' "

Die Beziehung zwisehen ( 1 0 ) und (11), (11 a) werden wir sp/iter erkennen. Fiir die Zetafunktion hat unsere Residuenbildung die Erkenntnis 2kxi wirklieh Pole erster Ordnung sin& z u r Folge, daft die Stellen s -----1 4- y~g w

Die Anzahl der Idealklassen im reellen K~rper. Essei K ( r ein reeller KSrper, % = U + V1/D seine Grundeinheit. Dann ist V + O und I % ] > 1 , sowie [ e g I - - - - - I U - - V 1 / D I < I . In e~ miissen sieh also die hSchsten Potenzen heben, so dal] sie sieh in eo nieht heben kSnnen. Es ist also

Sei nun , eine gauze Funktion des KSrpers. Lage yon ]r in der hatervallfo]ge ....

I~ol -~,

I~oi -1,

1,

]~oi,

Wir betraehten die

t~ol ~,

.,.

Dann muff es ein und nur ein r geben," so dab i,~W,l
also

t~oI__
~-.

Da nun a mit a % " assoziiert ist, gibt es zu jeder Funktion eine mit ihr assoziierte, die jetzt m i t a bezeiehnet werde, Iiir die ]% [ s I a I < leo [~, und zwar gibt es zu jeder Funktion genau p -- 1 assoziierte, welehe diese Bedingung befriedigen, n~imlich die Funktionen a a (a ~---1, 2, 3, ..., p -- 1 ). Die Betrgge der Normen dieser p -- 1 Funktionen sind alle dieselben. Aus w 17, (14) folgt also

I)v.!"

y,

1

a--*=0(moda) I iVcz

m i t d e r Nebenbedingung

(2)

t~ol < I~l < I~o I'.

Ffir das Ideal a w/i2alen wir nun wieder ein reduziertes Ideal aus mit tier Basis ~-----(2C, B + ~ / D ) . Dann ist bekanntlich (:~)

IB--VD[<]C]<]B+V-D]=[B[=ICDI und

In ( 1 ) ] s t also ~. set~en ~ = 2 0 X + ( B + V ~ ) Y aehtung yon (2) fiber alle X, :Y zu summieren. Mathematische Zeltschrift. XIX.

tNaI=]G[.

.~d unte~ Be15

218

E. Argin. Fiir unsere Zweeke geniigC es nun,

tim(s--1)Z(s,~) zu bilden. g=l

Dabei komm~, es ersiehtlieh nieht auf endlich vide Glieder der Summe an. Diskussion yon (2) und (3): L Sei

i2CXJ>IB+VDI.IYI. t)ann is~ l al =

!CXl, ,and (2) ergibg !~ol < l c x l < l~ol~.

Dies kann nut fiir endlieh viele X eintreten. Zu jedem solchen X soll mm IB4-V-DI'IYi <1203~I sein. Dies liefert auch nut endlieh viele Y. Unsere Annahme gibt also nur endlieh vide Glieder der Summe. II. Sei

i2CXt < {B-t- VDI'i YI. Dann ist lal=-I(B+~/D)Yt und nach (2)

!~ol < [(B + r

< I~ i'.

Auch dieser Fall kann nur flit endlich viele Y und endlieh viele X zutreffen, liefert also auch nur endlieh viele Glieder. III. Sei 12oxl---I(B+VD)YI. Dann ist also wegen (3) sieher

[2CX I > ] ( B - - V:O)Y!, also

(4)

l~'i = i 2 v x + (B -- r

I= laX.

Aus

i~ot < t 2 v x + (B + r

~ i~oi~

folgt wegen [B @ ~/D I = [1/Di

(5)

j~ol ~ I t~0i • t = < ~2ex + @ + Y ]
Wegen III. gibt es nun zu jedem X nut endlieh viele Y. Es gibt also nut endlich viele Glieder der Summe, fiir die B2 0X ~ ~ - 1t e0 [o ist. Wit kSnnen also annehmen, es sei

2CX , > Am Anfang dieses Paragraphen

I~:ot '~

zeigten wir nun ~D-~t ~ 1.

Der

Quadratische Kfrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. II.

219

mittlere Teil von (5) hat also sieher keinen negativen Grad. Wir k6nnen also alle negativen Potenzen weglassen, so dal~ (5) gleiehbedeutend ist mit

t~Oi < E( 2CX ~ (Uber E siehe w 10.)

(7)

y

I~ol~

Setzen wir also Y=--E

~

2cx

~-F

( F ganz),

so m u B gelten

(s) Sei umgekehrt (8) erffillt und Y dureh (7) bestimmt. gilt ersr recht 2fiX

>l~'l,

also

Wegen (6)

1 ~vx

trl=

B+~-D

somit

1 2 C X I = I(B-{- 1/D). Y I. Dies ist also Bedingung III. Dal~ (5) erfiill~ ist, folgt aus (7) und (8) unmittelbar. Wir haben also fiir alle (6) geniigenden X fiir Y (7) zu setzen, we F der Bedingung (8) geniigt, und fiber alle in Betraeht kommenden X ~'md F zu summieren. Nun ist aber wegen (7) und (8) --

I~f=t2VX+(B§ und naeh (4)

2GX

~ + r

=lr

t~'l--- I v x f .

Also ist

IN,,I = I~'l = IoV~t. IxP[. Start nun fiber alle X, welche (6) genfigen, zu sumrffieren, kSnnen wit fiber alle X iiberhaupt summieren, wenn nut erneut das Resultat um endlich viele Glieder korrigiert wird. We~en (1) ist also

Icl' " Z Z "

~-]

x

t

F

1 IC'~/-DXPI "+G'

we fiber alle X und fiber alle (8) genfigenden F zu summieren ist, und G eine endliehe Anzahl Glieder bedeutet. Somit ist

Z(s, ~) = 0 , - I)I~D I'

"

+ a. 15"

220

E. Artin: Setzen wit nun

(9)

I % l = p R,

9

also

R:

l~176

logp

'

so dag R die Rolle des ,,Regulators" iibernimmt und jedenfalls positiv ganz ist, Ierner

} v ~ l = p 7 , wo ~" ganz ist, da ein reeller K6rper vorliegt, so wird (~.R-

(10)

Z(s,~)=(~

1 ):i ~ [ , .=o 2(p-

T -~)

(P-:)P~§

p#S =(R- ~$1) 1--P -R(s-1) ~-(R- n ~-~(,-1> -t- G. l--p-(s-x) " ~)p"

a

p--1 l~/.DIS(1-p -('-1))

Da G nur aus endlieh viel Oliedern besteht, ist l i m ( s 8=1 Demnach finden wir ( p - l) (1l) lira(s-- 1 ) Z ( s , R ) =

1 )G = 0.

s=l

also ein yon der Klasse w 17, (13), (10): (12)

unabhiingiges Residuum.

lim(s -- 1 ) Z ( s ) =

s=l

Es

ergib~ also

(p-1)Bh_ ,

[ I/D [log p n--1

(1~)

I~=

( p - ~ ) a Z-:.

v=0 1~

9

Die Zetafunktion hat also aueh hier in s Ordnung.

2 k~i

1 q- lT~gp Pole

erster

w 20.

Das Nichtverschwinden yon Z ( s ) a u f der Geraden ~ ( s ) =

1.

Setzen wir

[ 21/tDI . . . . . . . -I~--?~-T-' raus ~raa yon ~ geraue

} K6rper imagin~r.

(I)

x~

V-~"

falls Grad yon D ungerade

1 ~ 1 - ~ / ~ ' falls Grad yon D gerade, K6rper reell. so isB

(2)

lim(8-1)Z(~)----- z logp h ~ O. s=l

Quadratische KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. II. Die Pole erster Ordnung sind die Stellen $ = 1-~ 2k~i log p"

221 Sonst ist

Z ( s ) iiberall regul~. Die Produktdarstellung w 17, (1)lel~t, da6 Z(s) in der Halbebene ~ (s) > 1 keine Nullstellen besitzt. Wir wollen zeigen, daft aueh auf ~ (s)----1 keine Nullstelle liegt. + 1p) ~i sind keine Nullstellen yon Z (s). Die Stellen s ~ 1 + (2 klog 2~ri Beweis. Da Z ( s ) periodisch mit der Periode ~ ist, gentigt der Satz.

Nachweis fiiz s = 1 + l o g p "

Aus w 17, (8) folgt nun

limZD(s.=l -4- ~l~--~-p)= ~1l i m 1 - , , - ( ' - " .lim(s -- 1)Zgo(s). s=l

s-

1

s=l

Bezeichnet man also mit h' und ~' die Gr68en des K6rpers K(I/gD), so ist h'

q.e.d. Satz. Z ( s ) hat auf der Geraden ~ l ( 8 ) = 1 keine Nullstelle. Beweis. Naeh dem soebe~ Gezeig~en darien wir die Stellen e ~ 1 + log k~ip a,usschliel~en. Wit setzen 8 = o + it. (Der Buchstabe t hat natiirlieh nichts mit unserem Adjunktionsbuchstaben t zu tun; ich w~ihle diese Bezeiehnung nur, um den Ansch]ul~ an die iibliehen Beweise zu haben.) Naeh w t7 ist dann z

= ]/

> 1

1

tlvpl'

Daraus folgt wie belcannt Z'(s)

~-~loglNV t

Z (s) =-,.--

---"

~---~ "

Sei nun l + t o i eine Nullstelle k-ter Ordnung ( k > _ l ) , wobei v~ Dann ist 1 + 2toi sieher kein Pol. Es ist also eine Nullto =1=logp" stelle l-ter Ordnung mit l ~ 0. Der weitere Beweis verl~uft so vollstiindig analog dem gewShnliehen, da6 seine weitere Ausfiihrung unterdriiekt werden darf. Ieh verweise etwa auf L a n d a u , Theorie der algebraischen Zahhn und Ideale, Seite 101. Wie dort finder man <3--I k=~,

also wegen l>__0,

b~u

3

entgegen

k>___l.

Satz. Die obere Grenze 0 der reellen Teile der Nullstelle yon Z (s) ~st kleiner als eins 0 < l

222

E. Artin. Beweis.

Fiir ~ ( 8 ) ~

1 besitzt Z ( , ) keine Nul!stelle. Da Z ( s ) abet 2~i die rein imaginiire Periode 1 ~ hat, kSnnen wir seialiet~en, dab die obere Grenze der reellen Teile der Nullstellen yon Z (a) kleiner als eins ist. w 21.

Die Funktionalgleichung yon Z (s) und die Relationen zwisehen den a~. Wir kehren zur Formel (8) des w 18 zuriiek und diskutieren die versehiedenen, fiir imagin~ire KSrper sieh ergebenden F/~lle. 1. I ~ ) 1 = ~ ~ § Wir setzen I A l = ~ o , . Wegen ID[=!AC, i wird

IC{=P'~m-~+~,

also

r=

[,'-- (2,2-- v + 1)~ = v - - m - - l ,

w-----p-1.

Wir haben dann

z ( , , ~) = ~~--~7;--. -~

1 _ ~ - (~s-l)

(~-- 1)'~v--~--1 -~-(1--p-(~s-~))(1--p-(s-~))(] +~-(s-l)~ p,,-m-:t +p(~,,-2~-z)e __

-~. ~,.-m-1 + ~(2~.-2m-I), -- p v-ra-~-

p -

| (~9-- ($--1) -~ 1). ~,,s

(ll~-- l)p ~'-m-1 p*'s (1 --p-(2 s-l))(1

(s-l) _ ~

. p20"-m-l)s

+ p~,-m _ p ~.-m-1

Daraus ersieht man unmittelbar, dal] Z(a, ~ ) i n a==~ keinen Pol hat.

Es ist also iiberall bis auf die Pole s = 1 + ~2 k x i

regular.

Ferner ist Z (1

-

-

~, ~)

-

-

~(~,--~-1) o - ~ _ ~,.-,~-~ . ~ , _ p . p.~o.-m-1)(,-~)+p,,-~

Erweitern wir den Bruch mit p(,-,~-~)(~,-~) so wird p ~ , - m . ,p - s _ p(e , , - e m - 1 ) 8 - - p , . - m + p . p 9 0 " - m - 1~

Quadratische KSrper im Gebiete der hfheren Kongruenzen. II.

223

Demnach haben wit die Funktionalgleichung (l)

Z(1

a, ~)

1--P -(s-l)

9

(]./'~_1'~" ']--LY{ "'~

1 --p~

2, IDl----p ~-,,.

also IOl=p-'~-,;

iAl----p "

Z(8,~.)=(p"-m4

1

)

\ p*'s -- ~(2m-.)s

(p-1 )

r=,,~m.

1

"l__p-('~s-l) p,.-m 1

( p - (,.-rn+ i) (,s-!)

+ (~_~,-~.~Si~_~,-.,s-,, ~ . ~,,~,~-,), +--~-; . . p.V-m . 4-. p~O'-m)~ . . l ( p _ 1) p,-ra(l + p(~-i)) p"* (1 _p-(.~s-i)) ' p,S (1--p-('%-i))(1 --p-u(~-~))

pv-m+pe(r-*,,),~ p,.-m.p- 2 (s-. 1)__T~ p'~.f~-m-1)s4-pv-ra-14-p~,-m+l .p- (2S-1) pr-m ~av-m p- (Us-l) p,.8 ( 1 - p - ( ' ~ ' - l ) ) ( 1 - p-a(~-~)) p9 b.-m)s _ p9 ~2 (J,-m-1)e 4- ~v- ~n+l p~,-m+l.p- 98 p~s ( 1 - p - ~usTx~)(1 - p - 2(8-x)) Daraus ersieht man wieder die Regulari~it fiir s = ~. tiberall regul~ir bis auf die Pole s = 1 q- kni log p"

Z ( s , R) ist

Ferner ist

Z( 1 ~ 8, ~)-~ psO,-~), p-~.(~.-ra)S__p2(~-ra),p-s(,,-m-x)s 4_p,,-m+l p,,-ra-1 pUS p,(1-s) ( 1 -- p~S-i ) (1 -- p~ s) Erweitern wir mit p-0'-m-l).p~("-m-1) ~, so wird p,.,. p-r~("s-~) (p- (~s-~)__ 1) (1 - p2s) = pro(us-i). 1---p- ~(s-1) Demnach lautet die Funktionalgleichung (2)

Z(1--s,@)=

11 ~ - "

-~)(1/T-~)~*-I z ( s ' ~ )

Summation iiber alle Klassen liefert die gesuchte Funktionalgleichung flit die Zetafunktion:

(3)

Z

(1 -- s) =

] _

Z

p8

(s),

falls Grad yon D ungerade, (4) ,

Z ( 1 - - s) ~---1p - ' a ( , - 1 ,

l_p~

( 1 / ~ ) , _ , , _ 1 Z (s'l,

falls Grad yon D gerade, KSrper imaginiir.

,

,

224

E. Ar~in.

Um auch ffir reelle KSrper die Funkgionalgleichung gehen wir aus yon w 17, (8): Z ~ ) ( s 4, Tg~-g~) ~i ~l = I+~-(,-,Z~-*t-P-('-~)

zu gewinnen,

(~ "

Wenn nun K ( V g D ) reell ist, steht links der Zetaftmktion des lmaginfiren KSrpers K(V))), welehe die FunktionMgleiehung (4) ha.t. ~i und beriieksiehtigt (5) und die Ersetzt man also in (4) s dureh s @ log--pPeriodizitgt yon Z(s) und p*, so erhglt man, wenn Z(s) jetzt die Ze~afunktion des reellen KSrpers ist: i _ p-'qs-1) T-(s-l)

:l-p' ,+p" Z ( 1 - - s ) =

1l+p-(~-, "(V[~-l)~.-~'z(~)"

a-~,'"

Demnaeh, talls KSrper reell, das Resultat

z(t-~)= ~ ~

(~)

I--N)~' ~z(~).

Aus der Funk~ionalgleiehung folgt, da Z ( s ) fiir ~ ( s ) ~ 1 keine 2k~i Nullstelle besi~zt und die. Pole erster Ordnung 1 @-i-6ogp hat. nach einfacher Diskussion: In der Halbebene ~ ( s ) <

0 liegt keine Nullstelle yon Z(s).

1. Grad yon D ungerade. 1 ( s ) h a ~ aueh auf der Geraden ~ (s):=0 keine Nullstelle. 2. Grad yon 39 gerade, KSrper imagingr. Auf ~ ( s ) ~ 0 liegen Jmr die Nullstellen ers~er Ordnung: s = ( 2 k + l ) ~ i log 79 3. Grad yon D gerade, KSrper reell. Auf ~ ( s ) = 0 liegen ~mr die Nullstellen erster Ordnung: s ~---2 k,~_~/ log p " Alle iibrigen ,,nieht trivialen" Nullstellen gehSren dem Streife~ 0<1--0~(8)~0<1 an, wo 0 die obere Grenze ihrer reellen Teile ist. 8ie liegen symmetriseh zur Geraden ,~(s)----,~1 und zur reellen Achse. Beim reellen KSrper ist also s ~ 0 Nullstelle erster Ordnung. Wir ver~vendea die Funktionalgleichung (6) dazu, eine elegantere Formel fiir die Klassenzahl des reellen KSrpers zu gewinnen. Es folgt ngmlieh ans (6), da Z(0)-----0 ist, naeh w 20, (1), (2): Z ' ( 0 ) ~- li,=o

~-lim,=o ---7

(1 _ p_ (s_l~)._, 9 lira s . Z ( I - - e )

i~

(log p) e (p-l) ~

~=~

.... =~

P - ] 9logp.

Quadratische KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. II.

225

Also

h . . . . RP-log~l~ 9 z '

(o).

Setzt man nun n--1

L(8)----(1

-

v-(.-1,)z(8)=~X'

"

p,,s

~=0

,

so folgt aus Z(0)~---0:

L'(0) = (1 - p ) z ' ( o ) =

.~

~ , logp. ~'~0

Als0 ist n--I

1

1

~ = R--Wgog~L'(0) =

R ~',o,..

Fiir reelle KSrper haben wir also dio Formel n--1

1

(7) ~ = - ~ - ~ ' , , o , . =

1

~(~,~+2o.+3~,.~+...+(,-1)o,,_~,,

wo R ~ log ~ l.01 der Regulator von K ( F ' D ) ist. Die Funktionalgleichung hat nun merkwiirdige Relationen zwischen den Zahlen o. zur Folge, welehe zum Beispiel die Bereehnung der Klassenzahl sehr vereinfachen und die Beziehung zwischen unseren beiden Arten von Klassenzahlformeln aufdecken: 1. Grad von D ungerade: I D] = pem+l. Aus (3) folgg, daft die Funktion IS)

Z ( s ) = p , ~ ( , _ ~ ) f f , j, o,.

Z(s) = ( 1 -- p-(*-~)) 2m

m

v~O

der Funktionalgleiehung geniigt: Lg)

E(1 - - s ) =

.~(s).

.Nun ist 2m

m

z(1 - s) _ ~ v , ~,.p- Y. p,~-,, f(,,-~,~, ~,~0 2m

:= Z

m

a2m-,, p - ~-" p,.-m . p(m-,.~ .

~'~0

Vergleieht man gleiche Potenzen yon p% so resultiert o,. p o ~---a~_,. p - -~T ''-m.

226

E. Artin.

Daraus ergibt sich sofort unsere R e z i p r o z i t ~ t s b e z i e h u n g :

(10)

o , ~ _ . = p " ~ - " o..;

speziell fiir v--~ 0 wegen %-----1, (11)

o".m = pra

Aus w 18, (10) folgt also (12) h = ( 1 +pro) + ( i + p m - , ) o ~ + ( 1 + p , , - , ) , , . , + ... + ( l + p ) o ~ _ ~ + o,,. Dies erteichtert sehr die Berechnung der Klassenzahl, da die Berechmmg yon o~ fiir hShere Werte yon v recht miihselig ist. '2. Grad yon D gerade: i D l = p TM. K6rper imagingr. Hier ist nach (4) (13)

Z(s)----- (1 -- p - - ~ ( ' - l ' ) ( 1 / ~ l ) ~ - } Z (8) '2m--1 *,=0 2m--1

=p--~(14-~).Zo.pI,~-,'). --

p(~-,.)s @ Z ~'~0 "

P o,. p~,n-,.-~)~

~'=D

P~

eine Funktion mit der Funktionalgleichung (9). ~ ( I -- s ) = p

=(#-0"-' "

ra

-

......-,.)

"-> --p,,,- I ~*-.... .

m

Wegen

2m--1 .'-'

,=.

....

erhiilt man hier

(14)

O ~ m - , ' "-~ P O e m . . . . 1 =

p ~ - - " (O,, @ p O v _ l ) ,

1G~<2m--1;

und

(1.~)

OSm_ 1 ~

~]~m--I

Durch einfache Rechnung erhiilt man daraus ~.16) ~,~_~ = p ~ - " [o,.-1+ ( p " 1) (~,._. - - ~,._,+ ~,,_,-- "-... + (-- 1)'-'%)], giiltig fiir 2 ~ v ~< 2 m.

Quadratisehe KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. II.

227

Die Beziehungen (15) und (16) ergeben nun aus %, oz, %, . . . , o~_ I die m iibrigen GrSBen, indem (16) fiir 2_~<~_
0 , , _ . -- V oo.,~_,._~ ---- io'~-" (a, -- V o.-,),

(18)

o~,~-i =

--

I _ < ~ , _ < 2 m - - I;

~om-~;

(~9) ,,~,_, = ~o'---[- ~,._~+(~0 - 1 ) (o._~+o,,_~+.._~+ ... + o,+o0)], giiltig fiir 2 ~ v ~ 2 m . Aus ihnen und

2m--1 1 X~O~ '

ergibt sich die Klassenzahl. w 22. Die Anzahl der Ideale mad Primideale gegebener Absolutnorm.

Es ist ~--I

m

z(,) = i-~,-('-~)",,=0 ~ =

n--1

~,"--;" = 1,""

Daraus folgt z ' ~ l' =

1 ;~- ~ ~ 1 7 6 1 7 6 ~

a~, +

po, + o~

" ~

-"

~n 3 ~ " ,p(et-~)s

.

+ ~"-"

~gvO0+ ~,--1 fiX+_.....~ ~---(,--1) O,_1

+

Bezeichnet man nun mit H ( x ) die Anzahl der Ideale mit t2Va[ = x , so ist andererseits ao

1

)-THO,'). ,'=0

Es let also fiir ~ ~ ~ -

P

1 p=O 'P

wo x durch w 20, (1) gegeben ist.

H(x)

hat natiirlich nut einen Sinn,

228

E. Artin.

wenn x v o n d e r Form p" ist, und dies wollen wir voraussetzen. ist aber

~)

Hi*) =~h- x

fiir

Dana

jDI

x~

Fiir x ~ }Di ist der Ausdruck anders, doch kommt dies fiir unsere P asymptotischen Uberlegungen nicht in Betracht. Aus l

Z(8)=i-v-(;-">

(%_~_

a, ~ _

o~

~_ . . - L

v" : p ~ '

o"-I

,~,(~---ziCz)

erkennen wir, da6 alle Nullstellen ~ yon Z(8) dureh den zweiten Term geliefert werden. Setzt man i o ' = z, so erh/ile man zur Bestimmung der Nullstellea die algebraisehe Gleiehung (2)

z "-1 + ~lz "-~ + %z "-~ +...

+ %_, =0.

Nennen wit ihre Wurzeln ill, fi~., . . . , fl,--x (diese Bezeiehnung werde aueh weiterhin festgehalten), so finden wir die Nullstellen o der Zetafunktion dureh die Gleiehung ,.'t)

/~,. ~- ~o.~ .

Dadureh werden abet aueh die trivia|en Nullstellen auf .'}~(s)-----~) gegeben. Wenn also der Grad yon D gerade ist, hat (2) die einfaehe Wurzel + 1 oder -- l, je naehdem der KSrper reell oder irrtagin~r ise. Wen,~ D ungeraden Grad hat, gibt es keine ,,triviale" Wurzel yon (2). Ist D = a t - t - b linear, so ist (2) von nulltem Grade, Z ( s ) hat also iiberhaupt keine Wurze/n. Ist D quadratiseh, so ist (2) vom ersten Grade, Z Is) hat also mlr Vriviale Wttrzeln. Nieht triviale Wurzeln sind also erst yon kubisehem D an vorhandem Sei nun 0 die obere Grenze der reellen Teile der Nullstellen yon Z (s). Von den beiden besproehenen Ausnahmefs wo fiberhaupt keine Wur~el vorhanden oder 0-----0 ist, abgesehen, ist dann stets 1< y_0
(C

i~, i <=,po

(~ <=0 <1),

und (4) ist jedenfalls auch in den Ausnahmefs riehtig. nur vom KSrper ab. Fiir Z(s) erb~lt man nun die Produktdarsteilung n--1

(5)

z ( ~ ) - - ~ _ p _1 ( , _ , - / / ( 1

- fl,~-~).

O h~ngt dabei

Quadratische KSrper im Gebiete dot hSheren .Kongruenzen. II.

229

Einerseits ist also *t--1

(6i

logZ(s)------log(1--p-ts-~))+~log(1--flup

-')

#t----1

--,

=

~.

.

.

.

~ - a-o,-'"--P~-I

flit

~(s)>l.

Andererseits aber ist, wenn ~ (x) die Anzahl der Primideale ~ mit der Absolutnorm ]N~]-----x bedeutet (wo z wieder nut die Werte p" annehmen soll):

(7)

log Z ( s ) = - - X

1

log (1 --IAro 1 - ' ) = ~ Y ' ,,I N~ I'" | ~ d~(~)

t'=l

~---I

Aus (6) und (7) Iolgt aber

~8)

2:~(#)

dl,

= v"

~ , - #~. - - . . -

~,-~.

l~s ist dies die genaue Formel fiir ~ ( x ) und etwa die Analogie zu der

R i e m a n n - M a n g o l d t s o h e n Formel. Nach unseren Resultaten fiber die Norm yon Primidealen ist nun ~(p~) h6chstens gleich der doppelten Anzahl der Primfunktionen des' d Grades d plus der Anzahl der Primfunktionen vom Grade ~. Es gibt also eine absolute Konstante C, so dab pd Spaltet man also in (8) den Teller d-----v ab, so ist der Rest sicher kleiner als

~ = (p~) + ~ = ( ~ )

+ . . . +-~ =(~:,)

L" L' ~_ "=<_o ( ~ + v~ + v, + ... + p~)

_ _ < c ( ~ + , v 3) = o (~,~). Also wird t*

, . . (~,-) + o ( F - ) = v ~ - ~ ; - ~; - . . . Wegen (4) ist lfl~l _<~o,;

- ~-~.

230

E. Artin.

also ist:

j,

,.~(v')

-- p" + o ( ~ ) + o(po~) - p~ + o(~o~),

~(p~)=T+o logx Da nun, wenn x = lo" gesetzt wird, v ~ tog p ist, erhalten wiI:

(9)

n(p")= FoXg-~.logp+O(,~" \rag x]~

'

w 23. Yafeln der KlassenzahL Im folgenden soll eine kleine Tafel fiir die Klassenzahlen wiedergegeben werden. Zuni~chst wollen wir aber die bereits gefundenen Resultate fiir quadratisches D best/~tigen. 1. I/D imagin~r; [ D [ = p ~ ; r e = l ; h = % + a l = l + a I. Nach w 21, (15) ist o1 = 1, also h = 2. 2. 1/Dreell. Naeh w 1 h----~. Also muB R - = I ; h = l

ist 0 1 = - : 1 , sdn.

sodas w

ergibt

Ffir kubische Diskriminanten ist m = 1 und w 21, (12) ergibt

(1) Bei eigneten ohne die man aus

(2)

h=p+l+,,. der Herstellung einer Tafel beaehte man welter, da$ t einer gelinearen Transformation t'~-at+ b unterworfen werden kann, Klassenzahl za hndern. Da ferner o I ( g D ) ~ - e~(D) ist, findet (1)

hD-}- h~v= 2(p + l ).

Aus der Klassenzahl yon K ( V D ) finder man also, wenn D kubisch ist, ohne weiteres die Klassenzahl yon K(I/g-D). Dutch lineare Transformation yon t k5nnen wir uns (nachdem ein eventueller quadratischer Rest abgestol3en ist) D in die Form gesetzt denken:

D = f +at-+-b. Nut im Falle p-----3 geht dies nieht. sehr einfach: la-I L

Die Berechnung yon o~ ist nun

t--c

J

(wobei eventuelle Lineart~iler yon D wegzulassen sind).

ro .o * l

Nun ist

231

Quadra.tische KSrper im Gebiete der hiiheren Kongruenzen. II.

also v- t eaq_ae+b

)

e=0

Es ist also o~ in einfaehster Weise dureh L e g e n d r e s y m b o l e ausgedriiekt. Beispiel.

p = 7, D = t~q - 3t q- 2 (Primfunktion).

=

1 --

1 -}- 1 -- 1 +

1 -~- 1 -- 1 =

1.

Somit h = 9. Dies ist aueh die Klassenzahl fiir die dutch Littearttansformation hervorgehenden Diskriminanten t s -- 3t q- 2, t s -- t -]- 2. Dagegen haben die Diskriminanten gD, das sind (naeh Lineartral~formation) t'~q- 3 t - 2 , t~--2t-2, is_t_2, die Klassenzahl h = 7 (naeh (2)). Auf diese Art wurde Tabelle I bereehnet, welehe die Klassenzahlen fiir p = 3 , p : 5 , p = 7 gibt. Die zugehSrige Gleiehung fiir die Nullstellen yon Z ( s ) lautet Ihre Wurzeln sind

= - - ~o,+lVo --~

_4p.

Sind sie komplex, so ist ]ill = l/T, also wenn p die Nullstellen yon Z ( s ) sin& ~ ( p ) - 1 Dies erfordert oder

fiir p - - 3 : fiir p = 5 :

--3~o 1~q-3, --4
fiir I 0 = 7 :

--5___
Die Tabelle lehrt, daft diese Relationen wirklieh erfiillt sind. Also liegen die Nullstellen alle auf ~ ( s ) Fiir biquadratisehe D ergibt sieh im imagin~iren Falle: %~-p--lq-~. Also ist h = 2 p ~ 2o I 9

%-----~,

kueh bier geniigt die Bereehnung von a~. Fiir p ~ - 3 ist g ~ - Dies liefert Tabelle II. Fiir reelle KSrper ist % = - - - p , % - ~ l o - - l - - o x , also 1

h = - ~ ( a x ~- 2a,. q- 3%) =

1

+ 2 +

1.

232

E. Ar~in.

I. p=3 D

Zertegung

D

I o~

ta--ff - 1 ta_tz_t ta+t~+t--1 t a + t ~__ 1

--1

D

Zerlegung

I ox

ta+l ta_l t8+2 ta_2

( t + l ) ( t z - t + l) (t--1)(t~+t+ l) (t--2)(tg+2t--1) (t+2)(t~--2t--1)

t3--t+l t.s--t - 1 ta_t ta+t+2 ta+t-2 ta+t

0

(t+2)(t'z-2t--2 (t--2) ( t ~ + 2 t - 2 +2 t(t-1)(t+l) (t+l)(t~-t+2) ( t - 1 ) ( t : + t + 2) --2 t(t+2)(t-2)

I+1

t 3 --t~+ 1 Ita_t~_t -

--2

Primfunktion

I a~ t h

i

t a + t ~ + t + l ( t + l ) (t~ + 1) ta+t'z+ 1 (t--1)(t~--t--1) + 2 t(t~+t - 1) ta+t~_'.t ( t - - l ) (t~'+ 1) (t+t)(t~+t--1) t(t"-t-~)

Zerlegung

3

6

8

4

t~--t+ l t:~--t -- 1 ta+t+ 1 t~ +t-- I ta+t t ~--t

Primfunktion

(t.1)(t~+t_l)l (t+l)(t~ t(t~+l) t(t--1) ( t + l )

Zerlegung

t3+l ta--t + 1 ta--2t+l t3+3t+l

(t+ 1) (t--3) (t+2) (t--2)(t'+2t+3) + 4 (t--1)(t~+t--1) (t+3)(t'--3t--2)

t~+t+3 t~+2t+3 ta--3t+3 ta--t+3 t:~-- 2t + 3 ta+St+3

(t+2)(t~--2t--2) (t+l)(t~--t+3) (t-3)(t"+3t--l'~ --2 (t+3)(t:--3t+l) (t--2)(t:+2t+2) (t--1)(t~+t--3)

t'~+t t3+2t t3-3t

t

t (t~-+ 1) t (t'~ t (t'--3)

0

0

4

D

Zerlegung

o1

h

ta+ 2t ta--2t ta+t+l ts+t--1

t(t~+2) t(t~-2)

--4 +4

2 10

+8

9

--3

3

+1

7

--1

5

t~--t + 2 ta--t--2 ta+2t+l ts+2t--1 t~-2t+2 t ~ - 2t-- 2

I

Primfunk$ion

Zerlegu

h

D

12

ta_l t:~_t_ l ta-- 2t - 1 ta+ 3t-- 1

(t-- 1) (t+3, (t--2)I (t+2)(t ~(t+])(t'-t(t--3)(t~'+3t -

6

t~+t--3 t'J + 2 t _ 3 ta--3t-3 t:~_t_ 3 t:~_ 2 t _ 3 t~+3t-3

(t--2)(t~+2t(t--1)(t~+t+ (t+3)(t'- -

8

7 1

i i

~=7 D

+3 --3

t ~--t ta--2t ta+3t

(t-s)(t-"+ (t+2)(t ~( t + l ) ( t ~- - -

t ( t + I ) (t--1 t ( t + 3 ) (t--3 t ( t + 2 ) (t--2

Quadratische KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. IL

233

p = 7, Primfunktionen

oil h

D ta_t_2

h

D

t

t'--2t--2 t~+3t--2 ta_2

13

§

--1! 7 }

ta+t+l t'~+2t+ 1 ta--3t+ l

o~

D

5

h

D

a~

h

+1

9

t~8

t~+t--I t~+2t--1 +3 t~- 3t--1

ll[[ta+3t+2 i t.+2

II. p=3 D

Zerlegung

- ( t ~ + ~)

--(t~+t--1)(t~-t-1)

- (t ~ - 1)

- ( t - D (t+~) (t~+ ~)~

-(t"+t-(t~-t-

_(t~+t~

! l

Primfunktion

- - ( t 4 + t ' ' - 1) -(t*+to-+t + 1) -- ( t ~ + t ~ + t)

- - t ( t - 1 ) (t"+ t - - 1)

-(t~+t~-t)

- t (t + 1)

p = 3

(t~--t -- 1)

reelle Kiirper.

D

t4+t+ t t~--t+ 1 t~+l"+t+ I t:~+t"--t + 1 t4~ t~'+ t t 4 'te t tt--t"+t + 1 t "~- t~--t + 1 t*+t-- 1 t~--t - 1 t~+t~ - 1 t ~ + t ' - t -- 1 t 4 - t'-'-- 1

f

......

4

t~+ 1 t~_l t4-f- t 'z- 1 Mathematisehe Zeitsehrift. XIX.

h

+ 2 10 -(ta+t~--t,--1 - - ( t ~ + t + 1) --2 2 --(t~--t § l) --(t + l ) ( t a - - t ~ + t + l) -- (t ~-- t ' - t) - (t * - t ~ + t -I- I)1

- t ( t " - t + 1) - t ( t ~ - t - 1) - (t + 1)

(t~-t~+

0

6

+3

12

1)

--(t-- l) (ta+t ~ - 1)

[ --(t*--t ~

1)

Primfunktion

IIL e~

i ~

(t ~ t " - t ~+ t ~+ t;' - t~+ 1) + (t ~ - t 4 - t ~ - t"-+ t) ~/D ( t ~ + t a - t a - t 4 + t ~ it- t ~ - 1) + (to+ t 4 - t3+ tz+ t) ~/D ( t ~ - t ~ - - t 4+ t:~--t" + t) + (t4--t3 + t + 1) ~/D (t~ +t~'-ta-t~--t~'--t) + (t4+t:)--t + 1) (tr'--t4--t~+t - 1) + (t~- t'z-- t + 1) ~/35 (t ~+ t % t~+ t + U + ( t % t "~ t - 1) ~/D (t~'--t~ + t 0"- 1) + (ta--t~-t) ~/~ &+ t ~ - t ' + ~) + (t~+ t "~- t) ~/~ (t"- t : * - - t ' - t - 1) + ( t ' - t - 1)~tD

t4+t~-Ft

o~

] - (t+ 1 ) ( t a - t " z - t - l )

- (t * - t " + t)

-1

1)

Zerlegung

D

h._

+1 i 8

1) 1)

-(t'+t~

oa

7 7 6 6 5 5 5 5 4 4

+.) +.) +!

+(, ( (

1

0 -1 -1 -2 -2 -3

( ? - t ' - t) + (t - 1) ~/~ C + t~- t) +(t + ~) ~/~

3 3 2

C + t " - t + 1) +(t+ 1) r (t~_ t~ l) + (t_ l) ~[) t ~ + ~i)

3 3 2 2

+1 --1 -1

2

2

+1

3

t~ + ~/~

(t ~ - 1) +

r 16

+1

234

E. Artin.

Sei nun a: die o-Summe des imagini~ren K6rpers p a1~--%Also

K(~/D).

Dann ist

1 h=~(p+2-~0.

Aus der Tabelle ][I lesen wir fiir die verschiedenen Gruppen die Klasseazahlen /4t ' R6 ' R3 ' R7' R5 ' //2 ab.

Da sowohl h wie _R ganzzahlig

und wegen l eol ~ ~/]-~ = P~, R ~ 2 ist, ergeben sich fiir die vier letzten F~lle- R-~--3, 7, 5, 2, also h == 1. Eine einfache Diskussion liefert aueh die Entseheidung in den iibrigen F~llen. In Tabelle I I I ist dies im Falle p = 3 zusammengestelit. Wir geben auch die expliziten Werte der Grundeinheiten~ aus denen wir die Richtigkeit der vorigen Diskussion besti~tigen. Was nun die Nullstellen Gleichung

yon Z ( s )

anbetrifft, so haben wir die

(wobei es gen(igt, den imagin~ren Fall zu betraehten). Nach Abspaltung des trivialen Faktors z -~ 1 uuter Beriicksichtigung der Relation %=p--] '~-a~ erh~ilt man z~§

(o~ - - 1) z §

p =

0.

Stud die Wurzeln komplex, so liegen wieder die Nullstellen (~) = ~. Dies ist dann und nur dann der :Fall, wenn

auf

also fiir p == 3: Dies ist abet d e r Fall. Fiir p =: 5 miiBte - - 3 ~ ~1~ 5 sein. Wir zeigen noch, d a ] dies zutrifft. Trivial ist zun~ehst -- 5 ~ % ~ 5. Nun ist aber %-~- -- 5 unmSglich, da sonst h ~ 0 wAre. Es ist also nocb oj ~ - - 4 in Betracht zu ziehen.

Dann mul~ % die Summe yon genau vier 8ymbolen

t--~j

sein (da bei fiinf 8ymbolen % ungerade ist), deren jedes den Wert - - 1 hat. D mug also einen und nur einen Lineaffaktor enthalten, den wir naeh passender Lineartransformation als t selbst nehmen kSnnen. Also, da g - - 2 ist : D ~ 2 t D~ (sgn Di --~ 1, D~ PrimNnktion). Nun ist DI Also ist

D1 -

f"l

.

.

.

.

Quadratische KGrper im Gebiete der hfheren Kongruenzen. II.

235

Nennen wir o~ die a-Summe in K(1/D-~), so ist, da D 1 Primfunktion ist, nach dem eben Gezeigten o1 = [~-~l == • 1. Nach Tabelle I hat also D~ die Form ( t ~ a ) 3 - + - 2 ( t ~ a ) - ~ - I oder ( t - ~ - a ) 8 - - 2 ( t ~ a ) ~ 2 . Eine Durchreehnung der fiinf sich schlielllich ergebenden F~lle ergibt ~ # ~ 4, so dal3 wieder ~(0)-=-~ ist. Endlich wurde im Falle ~o-= 3 durch /~hnliche Diskussion gezeigt, da$ aueh im Falle n = 5 alle Nullstellen auf der Geraden ~ ( 0 ) = liegen. Der Diskussion entziehen sich nut die Primfunktionen; fiir die also die Rechnung dariiber zu entscheiden hat. w 24. Der Zusammenhang zwischen der Klassenzahl und den Nullstellen yon Z ( s ) . -- Die Anzahl der Klassen in den Geschlechtern imaginiirer KiJrper.

Wir kehren nun zur Formel w 22, (5) zuriick: l

(1)

rt--1

z(s) = ~_p_(,_,,.

_// (1 - # , , v - ' ) .

Nach w 18 gilt nun fiir imaginiire KSrper {n > 2): (2)

~ = - wz(o)

=//(1

-

g),

wo fir die Wurzeln von z ~ - I + ol z ~-2 ~ . . . A- o,~_~ - - 0 sind, und fl,.= pe, wo 0 die Nullstellen yon Z (8) durchl~uft. In (1) mSge fl~_~ die triviale Wurzel sein (falls eine vorkommt). Fiir reelle KSrper ist fl~_~ = -+-1, und aus w 21 folgt v - 1 lira Z (s)

1 n-2

Demnaeh haben wir, wenn fl,. nur die nicht trivialen Wurzeln bedeutet: n--1

(3)

/t = / / ( f l ~ -

1),

falls n ungerade,

(4)

h = 2 . / T ( & - - 1), falls n gerade, KSrper imagin/ir.

(5)

h ~-~--,.__~1 (p" --1),

tt--1

falls n gerade, KSrper reell. 16"

E. Artin.

236

Ist nun fl,, die Wurzel in K (V D ), so ist - fl ,. w egen z,. (D) = ( -- 1)'~o,, (g D) die Wurzel in K ( 1 / D ) . Nennt man also h' die Klassenzaht im letzteren KSrper, so erh~ilt man aus (3), (4), (5) : n--1

~i)

h h ' = I[(fl~-- 1), falls n ungerade.

7)

hh' -= ~r H(fl,, -- 1), falls n gerade.

Nun brauchen wir noch eine einfache Abseh/itzmlg yon h. Es ist, der Bedeutung von ~,, naeh, I o ~ t ~ P'" 1. n ungerade, oem . . . . ~am-''. o,.. Also I.~._, ! =< p-, somit t ~,, i < Pro- Wegen n--1

h=-II(~, ist also

(s)

h < ~. p " = ~(V~) "--~. 2. n gerade, KSrper reell.

Aus w 21, (19) folgt

i o~m_, [ ~ p'~-~ (p'-~ + (p -- 1) (T"-2+ p ~ - a + . . . 4- P + 1) pm-"(2p"-I -- 1) < 2 p ~-*. Aus w 21 (7)

(,)

a~so

h<= ~2 - ( n -- 1)" lo~-~ = ~,2 (n -- 1) 2 (~/p)n-~.

Es werde nun die Richtigkeit, der R i e m a n n s c h e n Vermu~ung vorausgesetzt. Dann ist I fl~ I == Vp. Es sei nun K ( V ~ ) ein imagin~rer KSrper. Die F~ille n = 1, n = 2 lassen wit als genau bekannt beiseite. Es sei also n___ 3. Dann fotgt aus (3) und (4)

(lO)

( r --

1 ~t--t _ < h < ( V - ~ + l )

"-~, falls ~ unge~'ade,

(11)

2 (~/p-- 1 ) " - " ~ h _< 2 ( 1 / ~ + 1) "-3, falls n gerade, Die unteren Grenzen sind aber fiir ~ - = 3 trivial. Deshalb haben wit noeh andere Formeln abzuleiten. Aus (6} und (7) folgt n~mlich

(12) ;13~j

hh'>= (p -- 1) "-2,

falls n ungerade,

2

hh'>__ ~ ( p - - 1) n-~, falls n gerade. Wenden wir nun auf h ~ die Formeln (8) und (9) an, so resultiert 1 (~0-- 1 ~ n-1

(14)

h>=n\-~)

(15)

hZ

, falls n ungerade,

1 p--1 n-2 (n-1)'(~ , falls n gerade.

Quadratische K6rper im Gebiete der h6heren Kongruenzen. !I.

237

Fiir p =-3 folgt daraus 1 (1,15)n-1 h> n

bzw

h~ 1 . ,-~ _ (n_ 1)~ (1,!5)

Daraus und aus (10) und (11) folg$ nun, dai~ es nut endlieh vieie KSrper gegebener Klassenzahl gibt, sogar wenn T und n > 3 gleiehzeitig variieren. Aus (10) und (11) folgt insbesondere, da$ es fiir p => 5, n ~ 3 keine KSrper mit der Klassenzahl 1 gibe. Ffir p ~ 3 gib~ es noeh endlich viele. Wahrscbeinlieh ist abet K ( 1 / U - - t - 1) der einzige KSrper mit der Klassenzahl 1. Nennen wit nun f die Anzahl der Klassen eines Geschlec~tes und s die Anzahl der Primfaktoren yon 39, so ist naeh w 11 f> -

-

h 2s-1"

Also haben wh' f~ _

(%/P- 1) n-I 2s_1

(n ungerade),

2,_~ f=> (~/~~)"-' (n gerade). Nun ist sicher s ~ n . Es ist niimlieh nur dann s = n, wenn alle Primfaktoren linear sind. Also haben wir

f>(-~)'--"

(n gerade).

Dies ergibt fiir p >_ 11, n ~ 3 s~e~s [ > 1, so dab es also Ifir ~ ~ 11, u ~ 3 keine KSrper mit einklassigen Gesehleeh$ern gibt. Es zeigt sieh sogar, dab dann f m i t n und p (jedes auch einzeln) fiber alle Grenzen w/ichst, so dab es nut endlich viele KSrper gibt mit vorgesehriebener Anzahl von Klassen in jedem Geschlecht. Dies habeu wir noeh ffir p = 7, 5, 3 zu zeigen. Fiir p = 7 folgt aus (14), (15)

1( 6

f >-n k ~ )

(n ungerade), (n gerade).

2(~--t)*

Dies liefert unmittelbar das Gewfinschte. Ffir p--= 5 liefert (14), (15): h >_ L (1,78) .-~

bzw. h > ( n _ l ) ,

(1,7s).-.

E. Artin.

238

Hier kann D, da es quadratfrei ist, hSehstens fiinf lineare Primteiler haben. Schlimmstenfalls sind also die iibrigen quadratiseh. Also fiir n_~5: n--5 - 5 oder 2~-1__~24. s ~ 5 -~- n--2-_ 2 ~ ~-24 (V/-2)~-~. Also ist

f__>

bzw.

h ~ ~n_ 1)~. 2~-(1,78)8 \ 1 - ~ /

1,78 Wegen ~ > 1 haben wir wieder unser Resultat.

Fiir ~o~ 3 hatten wit

1(1,15)n_1

bzw.

h ~ ( n _1l ) ~ (1,15)~_-,.

D hat h6ehstens 3 lineare, 3 quadratische, 8 lmbische und 18 biquadratische Primfaktoren.

Also gilt ftir n ~ 105

~ ~ 32-~ .--105 5 '

2,-I_~ 2al. (~/-~),-10~ 2at. (1,149).-loa.

Also ist f~}

1 .(1,15)1o4. ( 1,15 ~n-Io5 " ~i ~1,--~9"

( 1,15

woraus wegen ~ 1 , ~ / >

bzw.

)n-lO.,

1 10a( 1,15 f ~-nl-. ~ i (1,15) /1,149/

1 unsere Behauptung Iolgt.

Satz. Die Richtigkeit der Riemannsehen Vermutung vorausgesetzt, gilt fiir die Klassenzahl in imagin~iren KSrpern, yon linearen und qnadratischen Diskriminanten abgesehen: 1. Fiir alle p und n gibt es nut endlich viele KSrper vorgegebener Klassenzahl. Insbesondere kann es nut flit p ~ 3 KSrper mit der Klassenzahl 1 geben. (Wahrscheinlich nut einen.) 2. Fiir alle p und n gibt es nur endlich viele KSrper, bei denen die Anzahl der Klassen im einzelnen Geschleoht einen vorgesohriebenen Weft hat. Insbesondere gibt es nut endlich viele KSrper mit einklassigen Geschlechtern, und zwar nur fiir die Primzahlen p -----3, p ==- 5 und p ~ 7. Seispiele sind: K(Vt "~- i), K ( 1 / ~ $ ) , K ( 1 / ~ - - 1 ) . w 25.

Die reellen Charaktere. H i l f s s a t z . Ist P eine Primfunktion und n ein beliebig vorgegebener Exponent, so existiert stets eine primitive Kongruenzwurzel G (mod P ) im Sinne D e d e k i n d s , fiir welehe

G Let-l- 1 (rood P"I.

Quadratisehe KSrper im Gobiete der hSheren Kongruenzen. II.

239

Beweis. Der Satz ist fiir , n = l naeh D e d e k i n d richtig. Er sei bis zum Exponenten n bewiesen. Dann gibt es also eine primitive Kongruenzwurzel G, fiir welche GIPl-I~-(1 -~- H P " ) ise.

Dasselbe leistet dann jedes

G+XP'*. Es ist nun:

( G + X P~)tPt-I ~ GIPI-I + ([P] -- 1)X P ~. aIPi-~(modP'+~) ~_ GTvl -~ _ XPnGIV1-~(modP~-I ) -----1 - ~ - ( H - X. GIPJ-72) P* (mod pn+l). Bestimmen wir nun X aus der Kongruenz

X.GIPt-~'~ H (modP), so gilt fiir die primitive Kongruenzwurzel G 2;_ Xp'~:

(G + X P " ) rPl-~= _ 1 (rood P"+~). Nun sei K irgendeine primiire Funktion und K = P~*'P.',.'~'... P~"" Jhre Zerlegung in Primfunktionen. Wit setzen M=~P~...

P.

Wenn nun r die Anzaht der primen Restklassen modulo K bedeutet, ist nach D e d e k i n d r

= [ P ~ f r ~ l P , ~ ! ~ - ~ . . . i pr!nr-l(]_D1] -- p ~ v (M),

- 1)(tP~ ! -- 1 ) . . . (t/-'~ f - l)

wo pt eine gewisse Potenz von p, q)(M) dagegen, da M nur einfaehe Primfaktoren enth~lt, zu p prim ist. Wir betraehten nun die Gruppe | der primen Restklassea modulo K yore Grade p Z ~ ( M ) . Es seien G~, G.,,..., G,. primitive Kongruenzwurzeln modulo bzw. PJ, Pe, " ", P,., fiir welche

G,'v~'-I ~ 1 (rood P,,~"). Sind dann al, a.~. . . . . a~. irgendwelehe Zahlen (nieht im Sinne modulo p), so ist das System der Kongruenzen X ~ O:' (mod/~x~')

,

9

*

.

.

.

.

,

x =_ ag"(mod W')

240

E. Artin.

stets 15sbar, und zwar liegen ersichtlieh alle LSsungen in einer und nur einer Restklasse S modulo K . Ferner iindert sich, wegen G rl,~ t - , ~ 1 (rood P ~ ) , S nicht, wenn die Zahlen a, um Vidfache yon I P,, t - 1 vermehrt werden. Ebenso folgt aus G ~ " ~ G,.b'' (rood P ~ ) , da ja G~ primitive Kongruenzwurzel ist, dab sieh av und b~ nur um ein Vielfaehes von I P,, ] - - 1 unterseheiden. Lassen wir also die Zahlen a,, alas System der Werte 0 ~ a,, ~ I/),, I -- 2 durchlaufen, so erhalten wit lauter versehiedene Restklassen S in der Anzah] (IP1i--1)...

(IPr[-

1) = ~ ( / ) .

Diese Restklassenbilden nun ersiehtlich eine Gruppe (~1 veto Grade ~ ( M ) , welehe Untergruppe yon ~ ist. Nennen wir mm S~ jene Restklasse yon (~1, deren Repr~isentant X den Kongruenzen (1) geniigt, we a , = 0 fiir # + v, dagegen a~ ~ 1 fiir u = v ist, so bilden die Restklassen 81, S : , . . . , S,., wie man leicht erkennt, eine Basis yon O x. Wit erhalten dann aim Restklassen yon (~ in der F o r m

S-~S~'S2"...X~ ,

we

'0~a,~Jt),.t--2.

Da nun der Grad yon $ den Weft pt(I)(M) hat, und q)(zM) ( d a s ist der Grad von ~ , ) prim ist zu pl, liiBt sich nach bekannten Siitzen (~ darstellen als direktes Produkt:

we ( ~ eine weitere Untergruppe yon (~ ist, und zwar den Grad p~ hat. Jede Restklasse S aus (~, d.h. ]ode prime RestkIasse modulo K l~iBt sieh also darstellen in der Form (2)

S

=&

~ &,~ . . .

85" 9 T,

we T eine Restklasse aus (be ist. Jeder Charakter yon (~ hat ulso die Form &

9

S$9.z..(T).

Dabei ist ;~1 ein Charakter der Untergruppe (~1,)~. ein solcher yon ~e. Nuu hat-~,2 den ungeraden Grad p l also ist dec Itauptcharakter von ~ . ihr einziger reeUer Cb~rakter. Sell also Z ein reeller Charakter yon (~ sein, so muff g~ der Hauptcharakter yon ( ~ , Zl abet ein reeller Charakter yon (~1 sein. Fiir reelle Charaktere ist a l s o 13)

z ( S ) = (• 1)a~(• 1 ) ' = ( • 1)"~... ( • 1) '*',

we also, wenn Z ein fester Charakter ist, jeder Primfunktion P,. ein bestimmtes Vorzeiehen + 1 zugeordnet ist.

Qundratische KSrper im Gebieto der hbheren Kongruenzen. II.

241

Sei nun Q das Produkt jener P~, denen fil (3) ein negatives Zeiehen, R das Produkt jener P~, denen ein positives Zeichen zukommt. Ferner sei A ein Repriisentant yon S, B ein Repriisentant der Klasse T in (2). Dana ist (3a) A - G,a,"B ( m o d / ) f ' ) . Nun ist T eine Restklasse aus (~ vom Grade p~, also T V ' = l , wenn ps der Exponent yon T ist, der ja in p~ aufgehen mul3. Also ist

I (4)

BV"~_l

(modK)

und um so mehr 1

B v' ~-1 (mod

P,.).

Wir betraehten nun den Exponenten von B modulo P,. (also nur erste Potenz!). Einerseits mull er im Grade der Gruppe der primen Restklassen mod P~, also in ( I P , ' I - l ) aufgehen, andererseits aber nach (4) in dem dazu primen ps. Dieser Exponent mull also 1 sein. Demnaeh (5)

B ~ 1 (modP,,). Aus (3a) und (5) folgt also

A =~-G,?"(rood P,,) ; yon nun an sei A primgr. FG,] Wegen L-P~J = - 1 (dies folgt unmittelbar aus der Definition der primitiven Kongruenzwurzel) ist also

I"! N =

Also folgt

(- ~)"

IQ Produkt aller _P,,, denen ein Minuszeichen entspricht). Sei nun n d e r Grad yon Q, # der yon A. Dann ist

Z ( A ) = LQ" a ==\,--:~ p ] Setaen wir also 9

!• LAJ

D=

\\-pC

]

L-A---J"

Q.R',

z(A)-~ ]D] 9 K ~ Q R N ist, ist es

so ist nach dem Erggnzungssatz

9

LAJ

Wenn nun A prim zu aueh prim zu D und umgekehrt. Fiir die reellen L-Reihen finden wir also L (s, Z) = ~-" z (A) (.A.K)=I

~ (, A . D )_= I

1

H = ~~

(P, D J = I

1 r 1-i_~-

j'I-pl

-*

242

E. Artin.

I. 7- der Haupteharakter. und wir haben

Dann ist Q = 1, n

(P,D)=t 1 - i P I

9

~=~

-s

--

1/'. I*

0, also D = R".

1 --

IPI -~

$.

_

1 -H l -- p-(s-l) ' v = l

1--1_p~ ]i

2. 7- ein veto Hauptoharakter versehiedenet reeller Oharakter.

Wit

setzen D = D 1 R ~, wo also D ~ = ( ~ J ) ~ Q und ] Q [ > 1 quadratfrei ist. Dann ist D~ Diskriminante eines quadratisehen KSrpers. Wegen M - - Q R ist endlieh D 1 prim zu R . Die in /~ aufgehenden verschiedenen Primfunktionen mSgen R,, R . , . . . , R~ heil~en. Dann ist

//

' D 1

'

H

1

(A, Dr)= 1

Also

w Die Anzahl

der Primfunktionen gegcbenen Grades in ariihmetisehen Progressionen.

8atz. Sei 7- irgendein Charakter mod K. Dann besitzt L ls, 7.) auf der Geraden ,~ ( s ) = 1 keine Nullstelle. Beweis. l. 7. sei ein reeller Charakter. In (6) und (7) haben die Faktoren der Form (1 -4-!PI -*) nur Nullstellen auf ,~(s) ~ 0. (6"} hat keine Nullstelle. In (7~ kiirzen sich die Nullstellen des mittleren Faktors gegen die Pole yon Z (s). .Ferner hat auch ZD,(Sb keine Nullstelle auf ~(s)=: t. Also hat L(s, 7-) keine Nullstelle auf 9~(s~---~l. '2. 7. sei ein komplexer Charakter. Wir wenden das Beweisverfahren aus L a n d a u , Handbuch der Lehre yon der Vertei]ung der Primzahlen, S. 460, an. Es ist \~t

L(s, Z ) ~ L ( s ) = e l~

=

Z tpm)

e ~''PmlPIm~ 9

Quadratische K6rper im Gebiote der hSheren Kongruenzen. iI.

243

wo der Akzent am Summenzeichen bedeu~et, dab fiber die zu K primen Primfunktionen P zu summieren ist. Setzt man mit L a n d a u Z ( P r a ) = e io(pm), so ergibt sich wie dort, wenn s = a -4- i t gesetzt is~ (wo natfirlieh a > 1), .d~l co8 (to(Pra) - rat log IP!)

] L ( s , Z)i = e ~ . P

a

Ans der Ungleichung cos 9 ~ [L(*)i__>e

~

ralPI ~

~ cos 2 ~v finder man

,.I-I"

~ra,p

- I - I ra~

Hier ist 1

m~p ' , ,

1 = -- log(1 -- p-(,,-1)), Iv['

1ielra"= .._~ m,~,~m _ ~ Ira~ = log H ,

~lso

P

X,p

e

1 - - - -

1

'~,~" ra

~(1

und wie bei L a n d a u --1 Z ' co~(~o, (pra)- .orat~og IpJ)

1)

=1 e

ralelra~

e ~'~,P

]

),' 4~7'pmlPlra(a+2ft)

I9

Nun ist (Z IA))~ such ein Charakter modulo K , und zwar sicher nicht der FIauptcharakter, da sonst g (A) reell wiire, entgegen der Voraussetzung. Im Exponenten rechts in (1) steht also such der Logarithmus einer L-Reihe, wir nennen sie Ll(s). Sie ist sicher nicht die des Hdupto f.harakters. Es wird

i L(,) / > (1 _ p_,,,_,):/,. =

1 ( Z 1 (a + 2 t i ) ) V' "

Also ist

( 1 - p-(--1)~ V.

~ > =

~-~_]

/

1 ((o_ 1) L~ (a + 2ti))'h "

Der in der Einleitung (I, w 1) genannten Arbeit yon K o r n b l u m entnehmen wir nun, dab L ( s ) fiberall regulgr isL fails Z nicht der Hauptebarakter ist. Also hat L 1 (s) nirgends einen Po]. Wir machen nun den Grenzfibergang a--~ 1. ~regen lim 1--P-(~-~) ~ -- 1 (i=

logp + 0

I.

strebt die rechte Seite fiber alle Grenzen und somit such die linke. L ( s ) kann also in 1 + i~ keine Nullstelle haben. Nml ist wieder L(s, Z)9 periodisch mi~ der Periode log 2S-----/ p" Da die Gerade ,s)i(s)= 1 und ersichtlich auch die Halbebene ~(~)__~ 1 frei yon

244

E. Artin.

bTullstellen sind, schlie~en wit wieder, dais die obere Grenze 0 der ~aellen Teile der Nullstellen aller zum Modul K gehSrigen L-Reihen kleiner ais 1 ist: (2)

0<1.

Nun gilt abet fiir Nichthauptcharaktere (nach K o r n b l u m , S. 102 i, wenn m der Grad yon K ist, ff$--I

,,=o

]al=~

WO natiirlich A primer und prim zu D i s t .

o,(z):2z(A) IAl=~"

Setzen wir

und

p.:z,

so wird flit die Nullstellen yon L(s,7.) die Gleichung gefunden

z~-~ + o~ (z)z ~-'- + . . . + ~ - ~ ( z ) = o. Ihre Wurzeln seien fl~(Z), fl~(Z),..., fl~-,(Z).

Dann ist wieder

~--1

L(s, z ) = 1 1 ( 1 - /~,(z) "~-~). Fiir den Hauptcharakter aber folgt aus dem vorlgen Paragraphen n

1 L (8, Xo) : - 1 - p-(,-1)

. /,=1 / ( 1 -/~,(Zo ~p-'),

w o n eine gewisse ganze Zahl ist. Wit numerieren nun die Charaktere: go, 7,~, . . . , Z,p(~)_l. Zo sei der ttauptcharakter. Dann ist (3)

logL(s,~.)=2.j

ffir X + ;~o

(4)

log L(s, go) =2./p'-#;(z~ ~|

and allgemein

(5)

log L(s, z)

~,p ~ I ~ I ~ "

Sol nun L Repr~isentant irgendeiner zu K primen Restklasse. bestimmen L~ aus der Kongruenz

LL 1

I (modK)

Wir

Quadratisehe KSrper im Gebiete der hSheren Kongruenzen. II.

245

und bilden oh(K)--1

~ , ;~,,(L,)logL(s, Z~,)=~,' .=o ~,=1 ,~,P m !B I''~

(6) Da, nun

~(K,-~ XZ'(F)= p=O

{ ~ ( K ) , wenn $'~_~1 ( m o d K ) , 0 , wenn F ~ I (modK)

ergibt sieh ~(g)-1

1

X~,,(L1)logL(s,Z,,)==-q~(K) Z

(7)

,u=0

.jpl~s

KL(s).

pm~j 5 ~

(mod ~l

Nennen wir nun welche ]Pnt= x und

ztz(x,n) die Anzahl der Primfunktionen P , fiir Pn~__L(modK) ist, so wird

Z-~(P1~a')a

(8)

KL(~) = ~ ( K ) . 2 ` , d~,, *,=1

p,,s

Andererseits ist nach (3) und (4)

_ y,p,,-zzf' KL(~)-7,~

(9)

'

wo ~VZfl~ eine Summe iiber Charaktere und die v-ten Potenzen der Wurzeln ist. Wegen (2) ist

iz,'l
ZX, fl"=O(p"~

(10)

wo 0 < 1.

Aus (8) und (9) folgt aber

qb(K)~-dz~L(p",d)=-V"-~-TZfl'=p"+O(pO').

(11

dJ,*

Nun ist zt(p', d) hSchstens gieich der Anzahl der Primfunktionen p

vom Grade -~, also 1, y

PA J,

Somi~ ist

Z " ~,(p",d)<= d=2 2," p ~ = # +

d [ ,v d~2

lg

d

Z p~<~-c+,,p~=O(pY). -

d=3

246

E. Argin. Quadratische KSrper im Gebiete der h~iheren Kongruenzen. II.

Somi~ gilt, wenn wir d : l abspalten und : t L ( x , 1 ) = ~rL(x) se~zen, so dal$ also :zL(x) gleich der Anzahl der Primfunktionen P mit [P[ = x und P ~ L ( m o d K ) ist,

Setzen wit nun also. und dies kSnnen wir tun, 0 >= 1 voraus, so gilt ~ L ( v " ) --- , .

~(K) + 0

Also, wenn wieder x nut Werte p" annimmt, (12)

:~(x)=

logp r

x

(xv~~ O..v~s.. ,

1<0<1 wo ' 2 =

9

Es gibt also yon einem gewissen Grade an Primfunktionen jeden Grades in der arighmetischen Progression, und die Primfunkgionen gegebenen Grades (primiir) vergeilen sieh asymptotiseh gleiekmiiflig auf die Versohiedenen Progressionen gleiehen Moduls. Dies isg eine wesengliehe Versehiirfung der yon K o r n b l u m und L a n d a u gewonnenen Resultate. (Eingegangen am 14. Oktober 1921.)