Recherches sur les suites r6guli res et les nombres de Bernoulli et d'Euler. ( P a r NIELS NIELSEN, & Copenhague.)

D a n E un M~moire r4cent intitul6 : S u r lee t r a n s c e n d a n t e s dldmentaires et lee n o m b r e s de .Bernoulli et d ' E u l e r (*) j'ai ~tudi~ plusieurs polynomes entiers, dont lee valeurs, pour des arguments particuliers, deviennent leE hombres B . de BERNOULLI,leE coefficients des tangentes T. et leE hombres E. d'EULEU. Par ce proc~d~ j'ai donn~ de nombreuses expressions ind~pendantes d'un caract~re tr~s g~n~ra! des nombres susdits. Or, parmi leE polynomes qui poss~dent la propri6t6 susdite, la suite des fonctions de BERNOULLI

Bo (~), B, (~), B~ (~),..., B,, (~),... et la suite des fonctions d'EULER

Eo (x), E, (~), ~ (~),.. ., E,, (x) , . . . sembtent ~tre leE plus importantes. En effet, prenons pour point de d~part ces deux suites de polynomes entiers, ii est possible de d~velopper une th~orie arithm~tique et parfaitement 61~mentaire des nombres c~l~bres susdits; car une telle th6orie n'exige que ta connaissance de la formule binomiale qui correspond h un exposant positif entier. I1 est bien connu que la m~thode classique, appliqu~e dane lee recherches sur lee nombres B, T. et E,,, savoir l'application de l~ fonction exponentielle et des fonctions trigonomStriques est beaucoup simplifiSe par la m~thode symbolique d6couverte par A. BLISSARD(~) et retrouv~e par E. LucAs (~*~). (*) Annali di Matematica (3), t. 19, pp. 179-20~; 1912. (~*) Quarterly Journal of Mathematics, t. 8, pp. 85-110, 1867; t. 9, pp. 82-9~, 154-177, i868. (***) Voir par exemple: Annali di Matematica (~), t. 8, pp. 56-79; 1877et A. RADmKE: Die Recursionsformeln fi£r die Berechnung der Bernoullischen und Eulerschen Zahlen. 1880. Annali di Matematica, Serie IIl, Tomo XXII.

10

7~

N i e l s N i e l s e n : Reeherches s~tr les suites rdguli~res

La m6thode symbolique simptiiie beaucoup les cat~uls, il est vrai, rnais elle exige des calculs s6par~s pour chacune des trois classes des hombres B,,, T. e t E , , . Le point essentiel de ma m~thode ~16mentaire est de remplacer les formules num6riques susdites par des identit~s aIg6briques qui contiennent une variable complexe, ce qui uous donnera, en attribuant t~ la variable des valeurs sp~ciales co~venables, d'un coup de main, toutes les formules connues de ce genre et un grand nombre d'autres. Dans deux M~moires intitui~s : Recherches sur les hombres de Bernoulli (*) el Recherches sur les fo~ctions et les hombres de Bernoulli et d'Euler (~) dont le dernier n'est publi6 pas encore j'ai donn~ les fondements de la th~orie 61~mentaire susdite. Le but du M6moire present est l'6tude d'un seul point de ma th~orie g(~a~rale, savoir le d6veloppement des classes des formules r6cursives pour les B,,, T,, et E,,, formules'trLs remarquables, d'un caract~re presque arbitraire. A cet effet, il est n~cessaire de consid(~t'er quelques propri(~t~s fondamentales des fonctions de BERNOULLI et d'EULER.

PREMIt~RE

Les

polylaomes

PARTIE.

rdguliers.

I. DI~]FINITIONS ET PROPRII~;TI~]S FONDANENTALES.

Je d6finis les fonetions de BERNOULLI '~ l'aide des deux 6quations fonctionnelles (*~*) B',, (x) = Bo_, (~),

~,, (~)--- B,, (o~ - - l) - - (n - - 1)!'

(1)

(~) Mdmoires de l'Acaddmie Royate des Sciences et des Lettres de Danemark, 1913. ( ~ ) Annales de l'g~cole Normale; Paris.

( ~ ) Comparer par exemple ]a d6finition beaucoup ptus compliqu~e donnde par A. BERGER dans les Acta mathematica, t. 14, p. 251; 1890-91.

et les nombres de Bernoulli et d'Euler.

73

off il faut admettre n ~ l ; en 4tudiant l'~quation aux diff4renees finies (1) je trouve p o u r les B,, (x) les expressions suivantes Bo (x) = 1,

1

B~ (x) = x + -~-

<_-

(~)

x" l x ''-~ = ~ (-- 1)~-' B~ x "-~ e,, (~) - - ,~ ! + ~ - . (n - - 1) ! + ,,~, (~ s) ! (~, - - o. s) !'

et je d~montre que les n o m b r e s rationnelles B. sont tous posit~fs. Cette introduction des n o m b r e s de BEI~'OU~LI co'fncide avec celle d'EULER (~). De m~me je d~iinis les fonctions d'EUL~R ~t l'aide des 4quations aux differences iinies X"

E,, ( x ) + E, ( x - - 1 ) =

5~-.T, n ~ 0 ,

(3)

ce qui d o n n e r a les expressions suivantes 1 Eo (x) = z£

(~) I

E. (x) = -~- •

X '~

n!

+

=

( - - t) ~-1 T, x "-~+~

~

X

s---i

(2 s --

1) ! (n -- 0- s +

1) ! ~2~ '

et je d~montre de cette mani~re que les hombres T,, sont des positifs entiers, pairs h l'exception de T1 ~ 1. I1 est 6vident que les fonctions E,, (x) satisfont, pour n ~ 1, ~t l'Squation foncfiomlelle E',, (x) -----E._~ (x). (5) Combinons m a i n t e n a n t les expressions (2) et (4~) et les ~quations aux differences finies (1) et (3), il est ~vident que tes fonctions B, (x) et E, (x) satisfont aux 6quations fonctionnelles (--1)"B,,(--x--l)~--B.(x),

(--1)'E.(--x--1)=E,,(x).

(6)

De plus, il saute aux yeux que les deux formules (o.) et (4~) nous permettent de d(~terminer, p o u r tous les n, les valeurs n u m 4 r i q u e s B. (0) et (*) Iustihttiones calculi differentialis, pp. 409410, 42l--~22. S a i n t - P ~ t e r s b o u r g , 1755.

7~

Niels

Nielse~:

Reeherehes stir les suites rdguliOres

E,, (0); n o u s t r o u v o n s pout" les fonctions de BERNOULLI Bo(O)=l,

l

a,(O)=

-~(7)

B,,,+, (0) = O, B~,,, (0) - ( - i)"-' B,, (o2 n)!

,

n>__l

et p o u r les fonctions d'EULER 1

~:o (o) = -~.-,

E,,, (0) = O,

,~ _>_I (s)

(-- ~),, y'+~

Q u a n t aux ~ a l e u r s , u u m 6 r i q u e s qui c o r r e s p o n d e n t fl x : -

1

--

, nous

consid6rons les deux identit6s ~videntes

.

(;)+.

E,, (x) = 2" B.+,

--

(9)

0o)

B,,+, ~ - - ~ - ] ] ,

cas particuliers des formules de RAABE (*). Cela pos~, n o u s a u r o u s p o u r les fonctions de BERNOULLI

Bo-~----t,

B~,,--~

=

(2n)!~,,

,

n~l

05

(')

: 0,

n____0

E~.,,

i

(--IF.E,, , n_>_1

B~,,+, ---~et p o u r les fonctions d'EULER Eo - - ~ -

:

-~- ,

E~,,+,

(') ----~

(+) Jom'ual de Crelle, t. 4,~2, pp. 356-357; 185t.

--'--O.

et les hombres de Bernoulli el d'Euler.

75

Je d6finis pr6cis6ment de cette manibre les hombres E,, d'EULEa, et on volt que cette introduction des E,, col'ncide avec celle d'EULER (*). R e m a r q u o n s en passant que la formule ( 1 0 ) d o n n e r a imm6diatement la formule d'EULER (**) T,,---~

~'-o(~o -

~) B,,

(13)

2n

G~n6ratisons m a i u t e n a n t les 6quations fonctionnelles (6) en ~tudiant le polyaome entier du degr~ n par rapport 'h x 8~0

qui est assujetti ~ satisfaire ~t l'~quation fonctionnelle

( - 1)" f. ( -

x -

1) =

f,,

(~).

05)

Nous d6signons darts ce qui suit comme rdguliers tous les polynomes de ce genre. R e m a r q u o n s que l'6quation (15) d o u n e r a i m m 6 d i a t e m e n t

f,, ( x -

1) = (-- 1F f,, (-- x),

nous aurons, en vertu de (1~), ces deux 6quations aux diff6rences finies =T

L(x)--L(x--1)---2.

Z

a,,,~,+~x"-~-~

s~O

<_~

L(x)+L(x--1)=~.

fT/:~,~~s X s~0

ce qui donnera, en vertu de (1) et (3), ces deux d6veloppements de f,,(x) n--i

g L (x) = lC,, +

-~L,(x)-~

)2 (n - - 2 s -- 1) ! a,,,,. ~, B,,_~ (x),

Z (n--2s)Za,.~E._~($), s~0

(*) Opuscula Aualytica, t. It, pp. 269-270. Saiut-P~tersbourg, 1785. (*~) Loc. tit., p. 273.

(16)

(17)

76

N i e l s Nielse~-~: Recherches sur les suites rdguli~res

off, dans (16), K.2,, est une constante, tandis que nous aurons, en vertu de (15), K~,,+~ ~ 0. Les deux d(~veloppements (1~) et (17) montrent clairement que le polyh o m e L, (x) qui satisfait ~ l'(~quation fonctiounelle (15) est parfaitement d~terrain6 si nous connaissons ou t o u s l e s coefficients a,,,~ ou tous les a,,,~+~. Soit u u n nombre pair, le coefficient a ..... peut toujours ~tre choisi arbitrairenlell[.

Nous nous bornerons ici ~ ces renmrques sin" l'~,quation fonctionnelle (15) que j'ai 6,tudi~e assez amplement dans rues deux M(hnoires susdits. Cependant, il nous reste encore de modifier les d~veloppements (16) et (17). A cet effet, nous dSsignons par ao a, a~... a,,...

(18)

une suite iniinie qui satisfait '~ la seule condition [ ao ] ~ 0, mais qui est du reste parfaitement arbitraire, puis nous posons pour t o u s l e s n f,, (x) =

(n -

s)'.

09)

Cela pos6, il est (~vident que f. (x) est, pour t o u s l e s n, du degr6 n par rapport ~t x et que les ~14ments de la suite infinie fo (x), f, (x), f~ (x),..., f,, (x),...

(20)

satisfont, pour n ~ 1, h l'(~quation fonctionnelle

f',,(x) ---~ f,,_~ (x).

(21)

Supposons maintenant que tons les 61~ments de la suite infinie (20) soient des polynomes r(~guliers, savoir qu'ils satisfassent pour tous les n '~ l'~quation fonctionnelle (15), nous d6signons comme rdgulibre la suite (~0), et nous indiquons par le symbole [g, (x), a,,] que les polynomes f,, (x) sont, pour tous tes n, ~ d~terminer par la formule (19). Nous d6signons la suite (18) eomme la base de la suite r6guligre (~0). Soit [f,, (a~), a,,] une suite r~guli~re quelconque, nous aurons, e n vertu de (16) et (17), pour tous les n, les d~veloppements suivants <2L ~O

<,t_~ g- f. (x) = X s--0

(x) ;

(93)

et les hombres de Bernoulli el d'EuIer.

77

c'est4-dire que la suite r~guli~re If. (x), a,,] est parfaitement d~termin(ie, pourvu que tous les 5l(~ments a~,~ou t o u s l e s (51~ments a , ~ de sa base soient connus.

On d~termine imm~diatement les bases qui correspondent aux suites harmoniques form(~es des B,, (x) ou des E,, (x).

I [ . L E POLYNOME R~]GULIER LE PLUS GEN~]ItAL.

Pour (~tudier, au point de vue des z~ros aussi, un polynome, r(~gulier nous ehoisissons n nombres complexes a¢l a¢~ 0 % . . . o:,

(|)

qui satisfont, pout' 1 < s < n, aux conditions % -@ aC,,_s+t ~

(2)

'~n,

oh m d6signe un nombre eomplexe diff6rent de zcSro mais quelconque du reste. De plus, nous supposons les nombres (i) aussi arbitraires que les conditions (2) le permettent. Soit n = 2 q ou ~----°2 q-t-1, il est par consequent possible de ehoisir pr~cis(~ment q des nombres ~¢, parfaitement arbitraires; dans le d e m i e r eas, t ot~ n e s t suppos~ impair, l'ensemble (1) eontient l'~l~ment - ~ m . Cela pos(~, il est (~vident que le polynome du degr(~ rb par rapport ~t x

( ")(x-~-~iV~ -)(.-. x - t - m !

~,,(a~)---- x+-;h-

est r~gulier; car nous aurons, en vertu de (1), pour 1 < s < n --

x

-- I +

m

m

]

Posons ensuite pour abr~ger

(~+~,)(x+~d...(x+~,)=

X A,,,,x°-~,

(4)

78

N i e l s N i e l s e n : Re~herches sur Ies suites rdguli~res

n o u s a u r o n s ~videmment 8=,~ A.,o E ~ . o ~ .... ,

K,(x)=

(5)

s~0

ee qui donnera, en vertu des formules (16) et (17) du p a r a g r a p h e I, ees d e u x d6veloppements 1 g/4'

(x) = K +

= , d (n - - 2 s - - 1) ! A , , , ~ , =o2" m,,+~ B . .-.~ . . (x)

<2L __1 F,, (x) = =Z ~ (u - - 2 s) ! A ..... " E ..... (x). 2

s=O

'~7~'~

(6)

(7)

-"

R e m a r q u o n s encore que l'~quatioa fonetionnelle (15) du p a r a g r a p h e I donnera pour 0 ~ p < n

(-- 1), F(;-*) ( - ~ - 1) = F*.o-,) (~),

(8)

il est tr~s facile de d6duire plusieurs groupes de relations entre les coefficients A,,,~. Formules de premiere esp~ce. Posons dans (8) x ~ 0 , nous a u r o n s en vertu de (5), et p o u r v u que l ~ p < : n 1 -- ( -

1)~' ~,,,,, =

~: ( s=o

1 ; ( ~ - ~ ,,e -~ A ..... \p - - s~

(9)

d'ofi, en rempla~ant p par 2 p q- 1 r e s p e e t i v e m e n t pat" 2 p - t - 2 , ees deux autres formules 2 A,,,~,÷~ =

y.. (--- 1)~ n -- s ,=o 2 p - - s -~- 1 'm~-'~+' A ....

s=2p (n--2p--l)

(

~ -- 8

A,,o~,÷~= 2 (--1)" 2 p - - s - i - 2

) m=*'-~°÷*A.... "

(11)

1 2 ' nous a u r o n s

Posons ensuite darts (8) 2 p ~ 1 au lieu de p et x - s=o.p+t ( )2 ( _ 1).~ u -- s ,=o 2p--s+

(10)

) 1

2 ~ m ~y+'

A.,,,,

= 0.

(12)

II est digne de r e m a r q u e que les trois formules (10), (11) et (12) sont ~quivalentes.

et les hombres de Bernoulli et d'Euler.

79

Formuies de deuxiOme esp~ce. I n t r o d u i s o n s aux s e c o n d s m e m b r e s de (6) et (7) les e x p r e s s i o n s o b t e n u e s p o u r let fonctions de BERNOULLI OU d'EuLER, puis o r d o n n o n s s u i v a n t des p u i s s a n c e s d e s c e n d a n t e s de x, n ous a u r o n s respectivement (A,,,,~+e (--1)~n_~ p

m *=~0-~ n - - : s -- l lm :+A,,,..~ = ~ (--1) ~ ~p--2s ]

_A,,,,,+,

~--~p

B,_.,

,

(13)

n--1

off il faut a d m e t t r e I ~ . p =<---~--, et

(--I)"A,,,:~+,~-:=oZ ( - - 1 ) " ~ p _ 2 s _ +

1

A,,,~:T~_:+,,

--

--1 f o r m u l e qui est valable p o u r 0 ~ p _ < n 2 II saute a u x y e u x que les d e u x systgmes des formules (13) et (1~+) sont 6quivalentt entre eux et avec les trois pr6e6dents. Les r6ductions des seconds m e m b r e s des formules de premiere esp~ce o b t e n u e s en i n t r o d u i s a n t les B . ou let T,, s o n t trgs r e m a r q u a b l e s . P o s o n s , darts (l~) p ~ 0, n o u s a u r o n s le r6sultat 6vident ~/g, /g

A,,,, ---- ~.~ + ~ + ~.~ + . . .

+ ~,~ -----~ ......

(15)

Formule de troisi~me espbce. S u p p o s o n s n pair, rempla¢ons n par O.n, puis p o s o n s p o u r abr6ger P~,, = (~ ~, - - m) (2 ~ - - m ) . . . (~ ~,, - - m),

(16)

nous aurons 6videmment /~,, --: (2 m ) ~" F+,, - - -~-1 ) ,

(17)

d'ofi, en v e r t u de (5), s=2n--i S~t)

[ P o s o n s e n s u r e , d a n s (7), x - ~ - - ~ - ,

i! en r6sulte, eu vertu de la d6tini-

tion des h o m b r e s d'EULFm, savoir la formule (1+.) d u p a r a g r a p h e I, +,~ ~,,-~, A

E .....

(19)

s.~-O

Annali di Matematica, Serie III, T o m o XXII.

I[

80

Niels Nielsen:

Recherches s u r les suites rdgul@res

1 ~ , puis s o u s t r a y o n s les d e u x

P o s o n s de m~me, duns (6), x = 0, x -

r(:~sultats ainsi obtenus, la formule euldrienne (13) du p a r a g r a p h e I d o n n e r a (-- l)" (P~. - - ~ " A~,,,~,,) -=

Z

=0

(-- l y

2 °~+' A~,,,~, T,, ~,

g!

-

(20)

formule qui ne contient pas la e o n s t a n t e K:,,. Les trois dernibres formules sont 6quivalentes aussi; r e m a r q u o n s la simpliiication du second m e m b r e de (18) o b t e n u e en i n t r o d u i s a n t les E. et l es T,~. A p p l i q u o n s les formules (10) et (19), n o u s a u r o u s i m m 6 d i a t e m e n t le th6orbme s u i v a n t : [. S u p p o s o n s que t o u s l e s hombres 7. solent des entiers, la quantitd m e t les coefficients A .... ont la mdme propridtd, et nous a u r o n s d u n s ce cas les congrue~tces s u i v a n t e s n--I

2 A,,,~,+, ~_ 0 (mod m),

0 ~ p __<

P~. - - 0~~''' A~,,,~,, ~ 0 (rood m~),

HI.

2

(21)

n > 1.

(22)

GAS PARTICULIERS ESSENT]ELS.

I1 n o u s semble utile, h cause de nos recherches suivantes, de discuter iei plus a m p l e m e n t certains cas particuliers des formules g(~n~rales que n o u s venons de dSvelopper. P r e m i e r eas particulier. Soit l'ensemble des ~ les n o m b r e s naturels 1, 2, 3 , . . . , n - - l ,

(1)

nous avons ~ poser m ~ n e t h remplacer n p a r n - - 1. P o s o n s eusuite c o m m e ordiaairement S=rt--:l

(x-~l)(x~-~)...(x-~-n--1)=

Z

C~. x ...... 1,

s---~-O

off les n o m b r e s C: sont les coefficients de la factorielle d u rang n, nous a u r o n s par c o n s e q u e n t A.,~=C'..

(2)

81

et les hombres de Bernoulli et d'Euler.

Q u a n t '~ P~,,, n o u s a u r o n s en r e m p l a ~ a n t n par 2 n +

1,

P~,, = ( - J)" [ l . a. 5 . . . (2 n - l)] ~.

(a)

L ' i n t r o d u c t i o n de ces deux valeurs d a n s les formules g6n6rales d u par a g r a p h e II 6rant 6vidente, n o u s n o u s b o r n o n s A i n d i q u e r les d e u x con-. g r u e n c e s ainsi o b t e n u e s n--2 2C~+1~0 (modn), 0
[l. a. 5... (2,~-~)1~ ~ (-1),, 2~o(2,0 ~ (rood ( 2 , + 1)~), ,>1,

(5)

d'oh, en s u p p o s a n t que 2 n + 1 soit u u n o m b r e p r e m i e r (~), 1 . a. . 5. .

_--~( - - 1 ) ~'~o°". n t .( m o d ( ~ n + l )

(2 u - - 1 )

~)

(6)

Dans ce qui suit nous a v o u s ~ a p p l i q u e r les d e u x s o m m e s de puissances num6riques s~ (u) =

X r~,

% (n) =

~I

X

( - - 1)' (~ - r)~.

(7)

r=0

R e m a r q u o n s eu p a s s a n t que n o u s p o u v o n s aussi, dans ce cas, choisir l'ensemble des :~, c o m m e les n o m b e e s 0, 1, % 3 , . . . ,

~,

(8)

de sorte que n o u s avons & poser m = n et '~ r e m p l a c e r n par n + l . Deuxi~me cas particulier. Soit l'ensemble des a~ les n n o m b r e s impairs 1, 3, 5 , . . . , 2 n - - 1,

(9)

n o u s avons '~ p o s e r m~---2n; n o u s t r o u v o n s i m m 6 d i a t e m e n t V.~,, = (-- t)" 2 ~'' [ I . 3 . 5 . . .

(2 n - - 1)] ~.

(10)

P o s o n s e n s u r e p o u r abr6ger S~)/,

(m-+l)(x+a)...(x+2u--

1)=

Z D,',a~.... , s~0

n o u s a u r o n s de m~me

A,,,,= a : . (~) La congruence (6) est valable encore pour le moduie (2 u + 1)3.

(tl)

8O2

N i e l s N i e l s e ~ : Recherches sur les suites rdguli~res

Cela pos6, nous obtenons, daus ce cas, les deux congruences (to2) ( - - 1 ) " 2~" [l . 3 . 5. . . (2 n - - 1 ) ] ~ ' ~ _ _ o 2 " a ' . l . 3 . 5 . . . ( a e * * - 1 ) ( n l o d 1 6 n ' ' ) .

(13)

Darts ce qui suit, nous avons h appliquer les deux s o m m e s de puissances num6riques 8~----tt--]

t,, 0~) =

?L

8~lt--t

(o2 ~

--

~ s - - l)",

",, (") =

8~0

E

( - - ~)° (o2 u -

~ s - - 1),~,

(1~)

s=O

tbrm6es des hombres (9). Troisi~me cas partieulier. Soit m2> O2 un entier quelconque du reste, et

soit u = ? (m) la fonctlon introduite dans la th6orie des n o m b r e s pat" EULER, les u hombres ~, ~..~, . ~ . . . ~,, (15) plus petits que m et premiers avec m satisfont encore ~ la condition (°2) du paragraphe l l ; dans ee eas n est toujours un n o m b r e pair, savoir u = 2 g.. S u p p o s o n s m impair, hypoth~se qui est la plus int6ressante, la moiti~ des hombres (15) sour pairs, les autres 7. impairs. D6signons pat" ~,, > . . .

>

(is)

les uombres pairs, par 8~ 8.~... 8.

(17)

les uombres impairs c o n t e n u s dans l'ensemble (15), nous am'ons (18)

ce qui d o n n e r a la congruence (-- 1)~' 8, 8 ~ . . . a~ _~ ~" y, % . . . "l',. (rood mq.

(19)

Dans le eas, o~t m est suppos6 pair, tons les h o m b r e s :,~ sont impairs; daus ce eas il n'est pas possible de d o m m r g6n6ralement h ta congruence (~O2) du paragraphe I[ une forme si simple que (19). Dans ee qui suit nous avons ~ appliquer les sommes de puissances form6es des hombres (15)

et les nombres de Bernoulli et d'Euler.

83

s o m m e s p o u r lesquelles A. WHACKER(~) a indiqu6 des expressions remarquables. Soit m un n o m b r e impair, nous posons encore

%=

£ (--1)",~,,

(21)

s-----1

et en appliquant la d~tinition (17)

S~I

S-----J-

on volt que ces s o m m e s de puissances coYncident avec les pr~cedentes dans le cas oh m est un n o m b r e premier impair. R e m a r q u o n s du reste qu'il est t r~s facile de d~duire p o u r les % des expressions analogues tt celles donn4es par TnACKER p o u r les sq et que ces expressions sont des consequences imm~diates de r6flexions s u i v a n t e s : Soit m d6compos~ dans ses facteurs premiers comme suit: p~ . . . p~-,

(U3)

nous a u r o n s

D~signons ensuite par ~

m~q), m ( ~ ) , . . . , m~~j)t~, t ~ : (

x

r)q

Ies positifs entiers obtenus en divisant m par q de ses facteurs premiers, par

les produits correspondants des q facteurs premiers de m, n o u s aurons toujours ,~(q).re(q) .... m, 1 < s < t~ . (25) Cela pos6, il est (~vident que la formule (25) se pr~sente sous cette autre (~) Jo,~rual de Crelle, t. 4,0, pp. 894)~; 1850. Non,relies Annales, t. t0, pp. 32¢-3°28; 1851. BJNET, dans les Comptes reudus, t. 32, pp. 918-921, 1851, a r~soht le mSme probl~me; comparez E. PROUHET, daus les No~velles Aunales, t. 10, pp. 328-330; [851.

8~

N i e l s N i e l s e n : Recherches s u r les suites rdguli~res

forme aussi

(m) = m + Z ( - - 1 ) '~ 2 rag). 8----~t

(~6)

V~---[

Dans ee qui suit, nous avons it d o n n e r des applications int6ressan tes de la m 6 t h o d e de T~_~CKEm

DEUXIEME PARTIE. Suites

rdguli~res

IV.

tr~s

gdndrales.

F O R M U L E S FONDAMENTALES.

P r e n o n s p o u r ' p o i n t de d6part tes n o m b r e s :(, appliques dans le paragraphe II, il est tr~s facile de eonstruire des suites r6guli~res d'une forme tr~s g6n6rale. A eet effet, nous avons it adjoindre aux h o m b r e s ~, u n ensemble eorrespondant

(1)

~, ~ ~ . . . ~. de sorte que f~ c o r r e s p o n d it ~ et que nous a u r o n s pour 1 < s < n

~ = ( - I)~ ~o_~+,,

(~)

off ~ est u n n o m b r e fixe. Du reste les h o m b r e s ~ sont ~ ehoisir aussi arbitraires cIue ees conditions te permettent. Cela pos6, il est 6vident que les polynomes

f o r m e n t u n e suite r6guli~re; ear nous a u r o a s 6videmment .--s+ t /

(3)

el les nombres de Bernoulli et d'Euler.

85

On voit que le degr~ du polynome g~ (m) ne peut jamais d~passer p et que la base de la suite r6guti~re susdite est intim~ment li~e avee les sommes

8=I

Supposons ~o=>=~,

.....

r,,_~ = o,

t~,,l>o,

(5)

la fonetion *q (x) = (q ÷ r) ! "~_-t[~ X ÷ m ]

O, un polynome r6gulier du degr6 q, ce qui

est toujours, m~me pour r : donnera, en vertu de (3), ( - i y % (-- ~ -

(6)

I) = ( - l)q+~+~ % ( - - x - l) = % (~),

(7)

d'ofi la proposition suivante.

I. Supposons remplies les conditions susdites, la so~mne r÷~ est toujours un nombre pair. Posons maintenant pour abr~ger

nous aurons, eft vertu de (6), %(x)=

s=q

~

X~ - s

~s

8=0 (r ÷ s)! m,+~

(8)

(q -- s) !

de sorte que les formules (22) et (23) du paragraphe I donnent ces deux d6veloppements : 1

g %(x)--

= ~

~=oE ( , . + 2 s +

~+'

1)vm,.+~.~+~.

B~ °, (x)

--

(9)

<_q_q -~,_ % ( x ) =

~_-o £ (r÷2s)

t.m"+ ~

-

Les d6riv~es du polynome ~ (x) 5rant des fonctions de m~me genre, nous trouvons 5videmment les formules analogues ~ celles du paragraphe I I e n substituant simplement, dans les d~veloppements divers de % (x), les valeurs

Niel8 Nielsen,: Recherches sur le8 suites rdgulibres

86

partieuli~res de .x en question, De ce proc~d~ nous trouvons les formules suivantes : For,mules de premiere esp~ce :

(t - ( - l ) + ) ~+=

- ,

,. () - l ' ( " + q t . + + - + , . + t @lb2q-'e+l (~'~

~=~q E ( + - I ) ~ ( +' + 2 q + l

~a~+,

s=o

"

r@-8

=+,+ E (-- 1) ~

(r + + q + 2) a,++,, =

+=o

2~++~ a~+~ = s=o Z (-- 1): dans (11) il faut supposer q ~ l ; aq

,

r

]

\

r +8

H_ 8

posons q = m (r ÷ t)

--

2

(l,)

t

]

(13)

m +'+-,+' '++ "

(1+)

2~ m ->++' a, ; l, nous aurons

(t:,)

a+o.

Formules de deuxibme esp~ce :

(

m (r-~- 2 q - k I)

)

( - - 1) + a.+~+, - -

2

a_.~ =

+Z

(r 1)'~ +

= (--l)"a~,,,.~ =

~=o

(--

(16) ~q+

_+_o_ s ÷

m'~+-~+

]

( r __y O2q -+-1) /_~f¢ ~-'°'+~

,-~

v (--ty

(17)

dans (16) il faut supposer ~galement q > 1. Formules de troisibme esp~ee. Posons pour abr~,ger b~,~ - - ~,+

~ ~+ (~ :~+- - m)"+:', = (r ÷ ~ q) ! ~

S=l

+W+ ~ %

--2-

,

(is)

nous aurons les formules suivantes valables pourvu que q > t : +

°:2

( _ 1)+ r

s~cl--t (--

t) q w ( ~~ + - -

O~'q- a2,~)

=

y.

(_~;r

s=O

(-- 1)+ (b~+ - - 02+ ~++) =

(-

11+ ( r + 2 8 +

~+ m -'~-~ a+

(

(19)

(~_o) r

~ ~]

~-:~+' a.++, T~_~.

(~l)

et les nombres de Bernoulli et d'Euler.

87

Ici n o u s a u r o n s le th~or~me s u i v a n t : [l. Soient tous les % et t o u s l e s ~ des nombres enliers, les qnantitds ~n, a~ et bo.~ ont la m~me propridtd, et nous aurons les desex congruences

(modm), q > 0

(22)

b~ ~ 2 :~ a ~ ( m o d m-~), q ~ 1.

(23)

E n effet, il est ~vident que m e t a~ s o n t des n o m b r e s entiers, et la form u l e (19) m o n t r e que b,~ est ~galement u n entier; les d e u x c o n g r u e n c e s en question s o n t ensuite des c o n s e q u e n c e s i m m ~ d i a t e s de (12) et (20). Les f o r m u l e s pr6c~dentes d o n n e n t des r(~sultats r e m a r q u a b l e s c o n e e r n a n t les z~ros d ' u n p o l y n o m e r~gulier q u e l c o n q u e . P o s o n s m---~ 1, ~ ~ 1, ce qui d o n n e r a ~ ~ r ~ 0; p o s o n s ensuite ~ = - o)~, les n h o m b r e s % s o n t les z6ros d ' u n p o l y n o m e r6gulier q u e l e o n q u e d u degr6 n. En n o u s b o r n a n t h des s o m m e s de puissances semblables des z6ros

n o u s a v o n s ~ poser dans les f o r m u l e s pr~e~dentes a,,. =

(-

ee qui d o n n e r a le th~orgme s u i v a n t : lII. Les sommes des puissances semblables des zdros d'un poly~ome rdg~dier quelconque satisfont ~ des conditions analogues ~ celles q~te nous venons de ddvelopper po~er les coefficients d~ polyno~ne susdit. Duns les p a r a g r a p h e s suivants n o u s avons '~ c o m b i n e r des h y p o t h b s e s simples relatives a u x n o m b r e s ~ et les h y p o t h b s e s relatives aux. % 6tudi6es d a n s le p a r a g r a p h e III, ce qui n o u s d o n n e r a u n g r a n d n o m b r e de formules analogues. Duns u n M6moire r6eent intitul6: Verki'~rzte Rekursionsformeln fiir die Bernoullischen und Eulersehen Zahlen (*) j'ai 6tudi6 des cas particuliers de nos p o l y n o m e s ,l,~(x); ees cas s o n t intim~men~ li~s avee les reeherches de KRONECKER (**) et ils n o u s d o n n e n t particuli~rement les formules tr~s remarquabies indiqu6es par M. HAUSSNEI~ (***) p o u r les B,~, T,, et E,, et u u e suite de formules analogues. (~) Sitzungsberivhte der Kgl. sf~chsischen Gesellschaft der ~Vissenschaften zu Leipzig, 1913. (~') Journal de Mathdmatiques pures et appliqudes (~), t. I, pp. 385-391; 1856. ( ' ~ ) G6ttinger Nachrichten 1893, pp, 777-809. Annali di Matematica, Serie III, Tomo XXII.

i~

88

Niels

Nielsen:

R e c h e r c h e s sin" les s u i t e s r d g u l @ r e s

V. PREMIt~RE APPLICATION.

Posons, c o m m e d a u s le th(~or~me [II du para.graphe IV, ~ = 1,

(I)

ce qui d o n n e r a ~--~r---~O, n o u s a u r o n s h consid~rer ces trois cas particullers : P r e m i e r ca s p c t r t i c u l i e r . L'ensemb]e des a, ~tant 1, ~, 3 , . . . ,

n--l,

n o u s avons '~ remplacer, dans les formules g~n~rales d u p a r a g r a p h e III, n p a r n - - 1 et ~ p o s e r m ~ n et % ~

s,~ ( n - -

1),

ao ----- n - -

l,

(2)

ce qui d o n n e r a la c o n g r u e n c e

s~, Quant aunombre respectivement

(n - - 1) ~ 0 (rood n).

b~, n o u s a u r o n s

(3)

selon que n = = ~ ; , ou n = 2 ~ . + l

b~ = 2 ~'+' s~ (,~. - - 1),

b~ = ~ t~ (,,),

(4)

d'ofi en r e m p l a c a n t ~,. par n e ~+~ so.,~(n - - l ) ~ - _ ~ s ~ . ~ ( ~ n

t~ (~)=_ ~ - ~ 8~,,(~ ,~)

-

1) (mod/~n")

(rood(~,, +

}

I)~).

Soit au eontraire l'ensemble des ¢, les n-4-1 n o m b r e s O, 1, ~, 3 , . . . ,

n,

n o u s a u r o n s au lieu de (2) les e x p r e s s i o n s suivantes

% = s~ 0~),

ao = n ÷ 1,

(6)

et les nombres de Bernoulli et d'Euler.

89

ce qui d o n n e r a la formule d'EULER (~)

(I--(--1)'~)

s~ (n)-~-(n-~ - 1) n'~ +

:~ ( - 1)'

r=l

r

n '~-' 8~ (n),

(7)

d a n s laquelle il est p e r m i s de r e m p l a c e r s, (n) par s, ( n - - 1 ) , p o u r v u que le p r e m i e r t e r m e du second m e m b r e soit remplac~ p a r ( n - - l ) n q. C o m m e a u t r e cas particulier c o n n u n o u s a u r o n s

=

=q-1 ~=oV(---W (2q ~ r +÷ l) n~.~_~,s~,+, ( n -

(8) 1) B~_,.,

formule qui a 6t5 trouv6e p r e s q u e c o n t e m p o r a i n ~ m e n t par A. RADICKE (**) et J. WORPITZKY (***); posons, d a n s (8), n ~ 2, n o u s r e t r o u v o n s la formule d'EULER (~**) Eq- (-- 1)' ( ~ q2 + ~ 'l~) - ~ ' ' B ~ - ' : ( - 1 ) ' ~ - ~ q ' r % -

(9)

r=0

A p p l i q u o n s au contraire la seconde hypoth~se, puis s o u s t r a y o n s (8) et la f o r m u l e a n a l o g u e ainsi obtenue, n o u s a u r o n s la premiere formule r~cursive c o n n u e p o u r les n o m b r e s de BEnNOULLI, savoir la formule de MOIVRE (**)

Y" ( - t ) ~

r=0

er+

'

(,0)

Deuxi~me c(~s particulier. Soit t'ensemble des ~ tes n o m b r e s impairs

1, 3, 5 , . . . ,

2n--l,

n o u s a u r o n s h poser d a n s les formules g6n6rales m ~--2 n e t

a~ = t~ (n),

ao --- n,

(ll)

tandis que le h o m b r e b~ deviendra p o u r n ~ °2tJ. ou n = 2 IJ. -4- 1 respecti(~) Institutiones calculi differentialis, pp. 348-35L Saint-P~tersbourg, 1755. (~) Die Recursionsformeln fiir die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen, p. 7; Halle, 1880. ( ~ ) Journal de Crelle, t. 84, p. ~17; 1883. (~"~) Opuscula analytica, t. II, pp. ]64-~65. Saint-P~tersbourg, 1785. (%) Miscellauea analytica de seriebus et quadraturis. Loadres, 1730.

90

Niels Nielse~:

Recherches s u r les suites rdguli~res

vemen t

(~) de sorte que n o u s a u r o n s les c o n g r u e n c e s t,~÷, (n) ~ 0 (mod n)

~

~'

t~ (r~) ~ ~ t>l (~ U) (tnod &n ~)

(13)

(l+) 05)

Troisi~me cas p a r t iculier. Soient les ~ les positit's entiers plus petits que ,m et premiers avee m, nous am'ons 2 s.2,~+, --~ 0 (rood m)

(16)

et, pom'vu que m soit un h o m b r e impai,', t~,~~ 2 ~ - ' s,2,, (rood m~).

(17)

L'analogie des trois cas parficuliers que nous venous d'~tudier est parfaite,

VL DEUXII~ME APPLICATION. En second lieu n o u s posous

~ = ( - i) .....,

(1)

ee qui d o n n e r a ¢-----0 ou ~ = 1, selon que n e s t impair ou pair, I. Soit n u n nombre i m p a i r , n o u s a u r o n s ¢ = r = O, ee qui d o n n e r a des formules a n a l o g u e s it celles du p a r a g r a p h e V. P r e m i e r cas p a r t i c u l i e r . P o u r les n o m b r e s naturels l, 2, 3, 4 ~ , . . . , 2 n - - I

ltOUS tFOLIVOIIS

ce qui d o n n e r a %~1 (~ n - - 1) ~ 0 (rood ~) 2 ~'+' % (n - - 1) =~ ~'~ ~:~ (~ ~, - - 1) (rood ~ u~-).

(a)

91

et les hombres de Bernoulli et d'Euler.

Second cas particulier. P o u r les hombres impairs

1, 3, 5 , . . . , # n - + - I nous avons h poser

m=~n-~

2, ct~ = z~ (2 n -I- 1), b~ =: 2 '"+' a~ (n),

(a)

de sorte que nous a u r o n s

(5)

lI. Soit n u n hombre pair, nous aurons ~ ~ 1, tandis que nous ne pouvons dire g6n6ralement que r doit 6tre un n o m b r e impair. Dans uos trois cas ordinaires nous a u r o n s toujours r = 1 . Premier cas particulier. L'ensemble des n o m b r e s ~ 1, 2, 3, ~ , . . . ,

~n

donnera m ----- 2 n ÷ 1,

a,~ = %H (2 n),

b,,~ = -~+, (n),

(6)

et nous a u r o n s par eons6quent

1

%,~+~(2 n ) ~ 0 (rood (2 n-~-1)) ~"

(7)

(2 n) ( m o d (2 k

Deuxi~me cots particulier. P o u r l'ensemble des nombres impairs

1, 3, 5, 7 , . . . ,

~n--I

llOllS a Llrolls

m =

~ ~,

a,, =

%+~ (~ n ) ,

b,,,, =

~'~+' %+, 0~),

de sorte que nous aurons 2~'~H' %,~+i (n) ~ °2:'j %~+~ (2 n) (rood 16 n~).

t

(8)

Troisi~me ca,s particulier. Soit m un h o m b r e impair et soient les ~, les

92

N i e l s N i e l s e n : Recherches s u r Ivs suites rdguliOres

h o m b r e s plus petits que m e t

premiers avec m, n o u s a u r o n s

%+.. ~ 0 (rood m) ) %,+, ~ 2 ~'~%+, (rood m~). t

(9)

L'analogie de ces t b r m u l e s entre elles et avec celles du p a r a g r a p h e pr(~c(~dent est parfaite. A d d i t i o n n o n s , puis s o u s t r a y o n s les t b r m u l e s r~cursives o b t e n u e s d a n s ees deu× p a r a g r a p h e s , n o u s a u r o n s de n o m b r e u s e s d'autres formules de ce genre. C e p e n d a n t n o u s ne n o u s arr~tons pus ~ u a e ~tude plus a m p l e de ce probl~me.

V I I . TRO[SIi~ME APPLICATION.

P o u r d o n n e r d'autres applications de nos formutes g6n6rales n o u s remplacous n pal' n + 1 et n o u s n o u s b o r n e r o n s '~ l'6tude de ces d e u x cas particuliers de l'ensemble des ~, : 0, 1, 2, 3, . . . . n, 1, 3, 5, 7 , . . . ,

m~n

(1)

2n-i-l,

m=2,t~+2.

(2)

E n p r e m i e r lieu p o s o n s . =

,

(3)

n o u s a u r o n s ~-----r ~ 0; p o s o u s ensuite p o u r abr~ger

.--..-,(:) s..~O

b,,,,, =

2 s------O

c,,,~ = l'hypoth~se (1) d o n n e r a

"•

(:)

(,. - - 2 s)"

s='( n ) y, (2 n - - 2 s ÷ l y , s=0

8

(5)

(6)

et les n o m b r e s

de B e r n o u l l i

et d ' E u l e r .

93

de sorte que nous aurons les congruences 2 a,,,~+~ ~ 0 (mod n)

(7)

b.,o~ =~ 2 ~ a,,,,,~ (mod n~). Quant tt l'ensemble (2), nous aurons aq --~ C,,,~ ,

b~ -~ 2 ~~-~ b,,,~ ,

d'ofl l'on conclut

)

c.,~+~ ~= 0 (mod (n -4- 1)

(s)

o-2~b.,~ ~ 2~-~ c,,,~ (rood (n-t-1)~). En second lieu nous posons

.... ( : ) ce qui donnera ~-----r : n ;

dans ce cas nous posons

--,

~,,,~= ~: ( - 1 ) ~ ~,,.=

(9)

(:)

(~-~)~+"

(10)

2 ( - 1 ) ~ ~8 (~-~s)~+"

(l~)

s--O

s-.~.~O

(:)

Cela pos6, nous aurons pour l'ensemble (1) a,~ = ~,,,~, b~ = ~ - "

~,,,~q;

c'est4-dire que ~,,,~ est toujours divisible pat" 2"-1; dans ce cas nous aurons les congruences 2 ~,,,~,~+, ~___0 (mod n) )

1)" ~,,,'.,~~ ~°~ ~,,,~ (mod n~). !-~:=:i--Quant h l'ensemble (2), nous aurons a~ ~ 7~,,~

b~,~

(-- 1)" 2 ~

~2q

t

03)

9~

fViels Nielsen,: Recherches sur les suites rdguli~res

ce qui ,lonnera

r,,,~,,+, _=o (rood (,~+ l)) (,~)

On sait que les six n o m b r e s a.,.~ etc. que nous v e n o n s de eonsid6rer j o u e n t un" r61e i m p o r t a n t darts Ies repr6sentations i n d 6 p e n d a n t e s des h o m b r e s

B,,, T. etE,,.

VIII. Lus FONCTIONS PARTIELL,ES.

R e v e n o n s aux ensembles e o n t e n a n t les n 616merits ~ et les n 616ments c o r r e s p o n d a n t s }, que nous avons apptiqu6s clans le p a r a g r a p h e IV, puis supposons que n soil u n n o m b r e pair, savoir n = ~ , il est possible de diviser en deux groupes ~t ~,. 616merits les n o m b r e s ~,, savoir ~"

~

~a

. . . . II

t]

•

•

•

II

~-b ~ ?/

(t)

de sorte que nous a u r o n s pore" 1 <__s <_,~.

,

,,

(~)

et ee probl~me a d m e t pr6eis6ment o~,-, solutions. Nous d6signons eomnm eomplgmentaires les deux groupes (1) ainsi d6finies, landis q u ' u n seul de ees denx groupes eompl6mentaires est un groupe partiel form6 de l'ensemble des n h o m b r e s ~.~. Nous divisons aussi en deux groupes les h o m b r e s }, e o r r e s p o n d a n t e s 'a (1), de sorte que }', et }", a p p a r t i e n n e n t 'a ~.', r e s p e e t i v e m e n t ~",; e'est-gt-dire que nous a u r o n s p o u r I < s <,~.

~'~ = ( -

l), ~",.

(~,~)

Soient m a i n t e n a n t ( I ) d e u x groupes compl6mentaires form6s de Fensemble des ,~ n o m b r e s ~¢,, nous d6signons e o m m e fonetions pc~rtielles app a r t e n a n t a u x ensembles des h o m b r e s =, et des n o m b r e s } , e h a e u n des deux

et les hombres de BerJwulti et d'Euler.

95

p o l y n o m e s entier.~

f,(z)=7i-,

~ (3)

~/,, ( ~ ) =

,;T

"

S---~|

f~"~ x +

,

off , J > 0 est u n entier q u e l c o n q u e du reste. Nous d 6 s i g n o n s c o m m e compldmentaires les d e u x fonctions l)artielies ainsi d6finies f, (x) et g, (x). Ces d6linitions adopt@s, n o u s p o u v o n s former pr6cis6ment ~ fonctions partielies qu[ c o r r e s p o n d e n t aux e n s e m b l e s des % eL des $~. S u p p o s o n s m a i n t e n a n t n impair, savoir n = ~ F- -t- l, n o u s avons ~ ajointire i~ e h a c u n des deux gt'oupes e o m p l 6 m e n t a i r e s (1) l'616ment

et les fon('lions I~artielles ('ompl6mentaiL'es /;(x) et g.,(x) d e v i e m l e n t d a n s CO, (q.IS

f~ (x)

:/~. !-6-.~ x -:-

: + ~=~E-~ .x -~--

1

'

~"

~ffi~

'~

t

(5)

l)ans ees d e u x d6tinitions nous s u p p o s o n s t~,> 1 ; s o i [ par|iculib, r e m e n t n = l, c h a c u n des d e u x g r o u p e s c o m p l 6 m e n t a i r e s (1) est compos6 du seul 616ment (~), (le sorte que nous a u r o n s clans ce cas s e u l e m e n t /es deux fonctions partielles c o m p l 6 m e n t a i r e s L(x)=g.(x)--

~!~

x~:-~-

•

(6)

Cela pos6, la d6tinit, ion (6) du paragral)lle IV d o n n e r a le th6or~me suivallt :

I. Soient f, (x) et g~ (x) deux fonctions part,idles compld,mentaires quelco~,ques apparlenant a u x ensembles des a~ el des ~,, nous aurons toujours f~ (X) _3f_g~ (X~) = ¢r--r (X),

(--l)'+~f~(--x--l)=g~(x).

"1~ r

(7)

(--l:~g.,(-x--l)=f,(x).

A~tuali di Matematica, Serie lII, T o m o XXII.

(8) 13

96

N i e l s N i e l s e n : Reeherches sur les suites rdguli~res

Posons ensuite pour abr~ger f, ( x ) =

Z s !. m. . . . ~ (~ - - s) I ,=o s~V

g, (x) =

Cbsj'

~

(.,)

~v--s

•

~_os!m ~ (~--s)!

nous aurons, en vertu du d(~veloppement (8) du paragraphe IV, a'~÷a"~=a~_,., supposons s % r ,

(10)

s>r;

nous aurons, au contraire, !

ct

01)

Dans ce cas il faqt supposer n a t u r e l l e m e n t r ~ 0. Les fonctions partielles jouent, pour nos recherches ult~rieures, un r61e fondamental.

TROISIEME

PARTIE.

Alaplications des fonctions B,, (p x) et E,, (p x).

|X.

F O I t M U L ~ S FONDAMENTALES.

Soit p un positif enfier quelconque, les (~quations aux diff(h'ences tinies qui figuren[ dans les d(~finitions des fonctions de BER~O(mL[ et d'EuLmL savoir les formules (1) et (3) du paragraphe l, d o n n e n t imm6diatement~ ces deux iden tit.(~s g(~n~rales 1

B,, ( x - - p ) = B,, -(x) - - - t, n _

E,, (x - ~) :

(-

s~p--i

l ).

1)" E,, (x) -~ ( - -n,1), ,

,=o~ ( x - - s ) " - '

,=,-~ ~ (S--~O

1)~(x--s)"'

(1) (~)

et les nombres de Bernoulli et d'Euler. formules qui nous c o n d u i r o n t h des r~sultats essentiels p o u r les d e u x fonctions 9 (x) - -

B . ( p x - - ~) p.,_~

,

E.(px--~)

+ (x) -----

p.

,

(3)

off } d(~signe u n n o m b r e eomplexe q u e l e o n q u e . E n effet, s u b s t i t u o n s --x--1 au lieu de x, n o u s a u r o n s en vertu de (1) et (2)

9(__x _ l ) _ _ B , , ( - p,,-1 -px--~) +(--

m -- l ) : ( - IFE,,(--px-- [3)

n'

p"

• 52 ( - 1)" x +

•

s=0

d'od, en a p p l i q u a n t les (~quations fonctionnelles (6) du p a r a g r a p h e [, (-- 1)" ? (-- x - - l) - B , , ( p x. 'q- -' ~ - - l ) ~

( - 1)- + ( - ~ -

1

~£= ~ - ' 1

8-~-s'¢'-' (+)

0 = (-1), E. (%:~+ ~ - - 1) +

+± • n!

(5) Z (-1)~-~-' ~_-0

x

p

]

formules qui n o u s c o u d u h ' o n t ~t des r~sultats int4ressanis si n o u s s u p p o s o n s

1

~--=0 ou ~-=--g. P o s o n s d ' a b o r d ~ : O, puis a p p l i q u o n s encore u n e fois les d e u x (~quations aux differences tinies qui figurent dans la d~iinition des B . (x) et des E. (m), n o u s a u r o n s p o u r tes fonctions

? (x)

B,,p._, (p x) , + ( x ) - - E,, p. (p x)

Ies ~quations fonctionnelles

(-- 0" ~ ( - - x - - 1 ) : ? (x) + ( n _

,

1)!

,=~

+sy -~-j

1 (6)

( - 1 ) " ÷ ~ - " ~ ( - - x - - 1 ) ---- + (~) + 7.1, ~P-t I: ( - 1 ) " ( o ~ + -;-y •

1

98

Niels

Nielsen:

Recherches

st~r les s u i t e s

rdguIi~res

1

Posous ensuite ~---- -~--, nous verrons que les fonctions

~, ( x ) =

p,,_,

,

+, (x) =

p"

satisfont aux 6quations fonetionnelles 1

~=~o-,(

( - - t)" ?, ( - - x - - l l = > (x) + (,; - - ~) i .

)2

~=o

~s+, xq

),,-~ ,

~ p

j

(7)

( - - l)"~. +, ( - - x - - l) = q,, (x) - .,; ~ • ,=o?2 ( - - 1 y x + . . . .~. . v.

Or, il est tr6s facile de g6n6ral.iser beaucoup les deux derni6res groupes d'6quations fonetionnelles. A eel effet, eonsid6rons le tmmbre compos6 m 6tudi6 'a la fin du l)aragraphe [II, puis posons, eu appliquant les d6[initious susdites,

~,;,(.)_

;,=

+ ,. (_ ~)~(~./:,. B,, (,,,;., x) F=~

\q=~

(%'))"-'

'

ht formnule (26) du ,~ I[1 montrera, en vertu de la premi6re relation (~), que la fouetion /~L,(x) satisfait i~ r6quation fonctionnelle (--I)"]';'(--x--l)'=l':'(x)q-;~t-Z--l:!'t

)

~:tv x q -

.in

,

a>l,=

(s)

off ~:,----?(mt, et off los (t~ a.., a~...ae,, sont [es positifs entiers plus petits que m o t premiers avee m. Supposons ensuile que m soil. tm uombre impair, puis posous

G,, (.) -- <' ,,,,,, (''~ ~) + ,~_,%'..... ( ~)~'(%"~__2~Z(:'!';'*/'I(,,4.,),, ~" llOllS ilt.tl'Oll8

de

lllellle

(--It"G,,( .... x ........ I ) = G , , ( x ) @

i •

E (--1)"" x-~--(~-'".

s~l

(9)

'11b ]

II est tr6s facile d'ordonrler selon des puissances deseendantes de x les (leux polynomes l~;,(x) et (~,, (x). En effet, d6signons par a un positit' entier, puis posous pour abr6ger % (m) = (p? - - t) ( p ; - - 1 ) . . . ( v : - - 1),

et les h o m b r e s

de BerJwulli

09

et d ' E u l e r .

nous a u r o n s les expressions suivantes <'_L F,, (x)

--

~'

= ~ ( - - 1) "+~-' p:~ ~ (m) B . x"-" Z - ............. =, (~ s) '. m.~._, (,~ _ o_ s) .'

(m) x" + n .'

(10)

< n+t

I

=

~

( - - I) '+'-' ?~__, (m) ~;

G , , ( x ) = ~ " ~--L)2 ( 2 s - - l )

I ( 2 u t ) ~-'

x ''-~+'

(n--~s-I-1)[

(11)

off il t'aut a d m e t t r e n _> 2 r e s p e e t i v e m e n t n > t ; supposons dans (10) n = 1, le second m e m b r e dolt (~tre r4duit ~ son p r e m i e r terme. Nous ne nous arr~tons pas 'h la g~n6ralisation e o r r e s p o n d a n t e des tbrmules (7), paree q u ' u n e telle g~n(~ralisation nous ne d o n n e pas des appli('ations aussi intO'essantes que la pr6eSdente.

X. SUITES ttI~;GULIERES DE PIIEMI~3RE ESPI~CE.

D6signons par f,,, ( x ) et g,. ( x ) d e u x fonetions pat-tielies compl(~mentaires qaeleonques, form6es de l'ensemble

1, 2, 3 , . . . ,

(l)

p---I

des h o m b r e s ~..~ et de l'ensemble adjoint des n o m b r e s [~ L = 1,

(~2)

puis posons f.,(x)=

q=m

8'l

X'" -,1

E ..... (m-T' q=o q ! P" q).

g"(x)=)2

q~m

8"q

33'"-'1

. . . . . . . .

q=0 q i P'~ ( m - - q) !

(3)

nous aurons, en vert, u des formules (10) et (1t) du p a r a g r a p h e Vlll, .

.

.

.

s,~ + s ,, --~ s,~ ( p --- l ),

.

p--I

s'o~-= s o . . . . .

~-

"

(-~)

Dans ce qui sui[ nous d6signons e o m m e c o . m p l d m e n t a i r e s les deux s o m m e s ainsi d6tinies s'~ et s",,. Soit p = ~ r + 1 ou p = 2 r + 2, n o u s pouvons ['ot'mer des ensembles (I) et (°2) pr~eisSment 02 fonetions partielles.

[00

Niels Nielse~: Recherehes sur les suites rdguti~res Cela pos6, nous a u c o n s te th6or~me s u i v a n t :

I. Soit f,,, (x) une fonction partielle queleonque formde des ensembles (1) et (2), les fonctions ~< (,x) - - B,, ( p x)

p.-~

+ L-, (x),

,~ > i,

(5)

sont routes des polynomes rdguliers. E n effet, n o u s a u r o n s i m m 6 d i a t e m e . t F',, (x) : F,,_, (x) et les formules (8) du p a r a g r a p h e VIII et (6) du p a r a g r a p h e IX d o n n e n t l

(-- 1)"/<,(-- x - - l )

\

-B'(px)p,,_, +[f,,_,(x)+g,,_,(x))--g,,_,(x):l<,(x).

Q u a n t au d 6 v e l o p p e m e n t du p o l y n o m e F,,(x) selon les fonetious de Bm{NouLL,, nous averts ~ ehereher, dans F,,(x), les e o e N e i e n t s des puissances x"-"-~-t Or, B,, (x) ne e o n t e n a n t q u ' u n e seule de ees puissances, savoir x"-', les a u t r e s se t r o u v e n t d a n s la fonetion partielle f._, (x). A p p l i q u o n s ensuite les formules (3) et (+), n o u s am:ons le d6veloppem e n t ehereh6 < n

et il existent pat" e o n s 6 q u e n t pr6eis6ment 2" d 6 v e l o p p e m e n t s de ee genre, ee qui n o u s donnera, des formules r6eursives tr~s remarquables. En effet, substituons, dans (6), 2 n au lieu de n, puts p o s o n s x = 0, n o u s aurol]s

/ " + ' -2- P

B,,+

q=n--I X (-q=t

1) ~

(~'q

" ' ' q]p ~'"-~'~s~,~B,,_,~=(--l)"(s~,,--nps~._,);

(7)

nous nous b o r n o n s '~ cette seule application de la /brmule g(~n6rale (6). I n t r o d u i s o n s m a i n t e n a n t , d a n s (~), au lieu des 8'°, les s o m m e s compi6mentaires s".,, ce qui est permis, puis a d d i t i o n n o n s les d e u x formules ainsi obtenues, n o u s aurons, quelles que soient les fonctions partielles eompl6mentaires f,,, (x) et g,. (x) que n o u s avons prises p o u r point de d~part:

~J(p~"--l)B,,+

X (-1)~V.

q

p

s~ (p -- 1) B,,_,, --

i

(s) = ( - 1)" (s~,, ( p -

1 ) - ,~p s~,,_, ( p -

1)),

I

101

et les hombres de Bernoulli et d'Euler.

ce qui est pr6cis~ment la s e c o n d e formule de ce genre trouv~e par A. RaDICKE (*) et J. WORP1TZKY(**). Posons darts (8) p = ~, nous aurons, en vertu de la formule euldrienne (13) du p a r a g r a p h e [, (9)

posons clans (7) p ~-~ 3,

s',, --- 1,

s"., = ~',

nous a u r o n s ces d e u x a u t r e s formules r~cursives d'une simple forme

"-3~"~' .'3B,-.}2 ---B"3-

~=---~ ~ ( - - 1 ) g 12 u ) 3~"--~'~B,, ,~= (--1)"-'

X (--1) ~

2~

=(--

(3 n--1)

(3n--

(10) _

. (11)

q.-~. I

Soit m a i n t e n a n t l'ensemble adjoint A (1) d6fini par ~=(--

1;,

nous formons deux fonctions partielles eoml)16mentaires h,,, (x) et k,,, (x) de ees deux ensembles. Posons ensuile t h,,, (x)

=

q~m

5: I ~q=o = " q.....~[ p '~ • (m x~°-" ---" q). ,

k,,,(x)=

0""

X m-q

2 ql p-'~'~ " (m .... q=o - - q ) .t'

les s o m m e s eompl~mentaires q'~ et ~",~ satisfont h la condition % + ¢' --___( - - 1)"-~ % (p --, 1),

(13)

ce qui do~mera pour q ~ 0 ~'o @ z"o :

0,

¢o + ¢% = - - ~

(1-~)

selon que p e s t suppos6 impair ou pair. Cela pos6, nous trouvons le th6orgme s u i v a n t : 1I. Soit h,,,, (x) une fonction partielle quelconque formde des ensembles {*) Die Recursionsformeh~ fi~r die Bernoullischen und E~derscheJ~ Zahlen, p. 7. HMIe, 1880. (**) Jou,rnal de Crelle, t. 8~, p. ~17; I883.

I0~

N i e l s N i e l s e n : Recherches sur les suites rdguli~res

(I) et (1~), les ~;" fonctions de la forme

~,, (x) = E,, ( p x) , h,, (x)

(15)

song gouges des polynomes rdguliers. Nous a u r o n s dans ee eas

(--Jy+"-~o,,(--x--1)

2~,,(px) = ..... ]u;'-

~- ( h,, (~-~) + k,, (x) ) -- k,, (x) = G,, (a~);

(16)

c'est-h-dire que nous avons ~ 6tudier s6par6ment, ]es deux eas s u i v a n t s : 12 p est un no,mbre impair. Darts ee eas le polynome G. (x) est pr6eis~meJlt du degr6 n par rapport 5 x; ear le coefficient qui correspond t~ la puissance x" devien(h'a

:2~.

*2 '

et a'0 est un h o m b r e entier. C h e r e h o n s dans G,, (x) les coefficients des puissances x ''-~, nous a u r o n s le d6veloppement selon les fonetions (t'EuLER n

d'o~t en posant 2 n + l au lieu de n, puis s u p p o s a n t x ~---0 la formule r6cursive pour les coefficients des t a n g e n t e s

.....' - + o , , +

s' (-- 1

~-%

)

÷

2 s

off il rant supposer n >

= ( - - l ) " ~"+' ,'~,,+,,

-

I (ts)

i.

Posons darts (17) n = l, x - - - 0 , nous a u r o n s au contraire

~'-

4

+

"

(19)

I n t r o d u i s o n s m M n t e n a n t dans (18), au lieu des ~'.,, les s o m m e s eompl6m e n t a i r e s ~",,,, ee qui est lmrmis, puis ajoutons les d e u x rfsultats ainsi o b -

et les hombres de Bernoulli et d'Euler.

t03

tenus, nous aurons, quelles que soient les fonetions partielles eompl6mentaires h,,, (x) et k., (x), $ ,,~--n

~

1 )

(p~"+' -- 1) T,,+, + ~=j y, (-- l y t 0 2 n~+s

22~'~P~"-~'~+~~'~ (p - - 1) T,_~+, = -= (-- ly 02'"+' a~,,+, (p -- I).

Posons, clans (18), p=3,

' =

q m

--

1,

t

(~o)

;

" =22"

G m

nous aurons les formules partieuli6res

3~'*'+lT,,+,q- ~,(--l)"{02n+l 02

..=t ~

.'-~"+~02 -- i T,,+, +

~

02~"3~"-~"+'T,,_.,+~--=(--1)'-~02 ~'-'

(021)

02 s

~=" (2 n + 1) 02,..3,._~.o+, T : X (-- 1)" *- s ._.+,

s--~l

22'-+~ ( - - 1)" . .

(~02)

02.° p e s t un nombre pair. Dans ee eas le degr6 de G. (x) ne peut pas, en vertu de (16), d6passer n - - 1 ;

e'est&-dire "que nous aurons

• t+ (~ 0 ~-.-~-- G 0 ~

__

_ _1 02

,

Or, il est facile de voir que G,, (x) est pr6eis6ment du degr6 n - - 1 ; le coefficient qui correspond h la puissance x"-' deviendra .............

(.n-- 1)!p,

J I --}-

e t a ' , est la moiti6 d'un h o m b r e impair. Nous trouvons iei le d6veloppement BJ¢,ar;ouIm~

~- e,, (x) =

-

ear

~-,

suivant selon les fonetions de

ff 2 s + u

,=o'X (o_,s-÷-~)? p--~;:~. B°_~,_, (x),

n => t,

(02:~,)

(l'ofl ell stlbstituant 2 n q-1 au lieu de n, puis posant x = 0 (~q-1)PT.+~q-

~2 ( - - 1 ) ~ 2 s - k - ~ ~=o

=(--1)"-'((n-l-1)p

( 02¢) ,'~.+,--a',.+~).,

/

formule qui est valable, pourvu que n ~ 1.

A~nali di Matematica, Serie llI, Tomo XXII.

1¢

N i e l s N i e l s e n : Reeherches sur les suites rdguli~res

lOl

Posons d~ms (23) n ~ 1, x ~ 0, nous aurons au contraire

P ÷ 2 p ¢,. ~, - - ~-

(25)

La formule (24~) donnera, par le procSd6 ordinaire, queltes que soient les tbnetions partielles eompl~mentaires h,~,(x) et k.. (x),

(n -4- 1) 10 T,,+, = 2II~ 1

(26) + ( - - l y (k ( n + 1)1o %,,+~(p-i)--%,,+~ ( p - - 1 ) t].

I J

Les cas particulier p-----2 nous eonduira de nouveau ~ la formule (9).

X[.

SUITES R~GULIERES DE DEUXIEME ESP~CE.

Soient maintenant f,,, (x) et g., (x) deux fonctions partielles eompl6mentaires queleonques qui correspondent a l'ensemble des nombres ~

1, 3, 5, 7 , . . . , 2 p - - t

(I)

et ~ l'ensemble adjoint

~ = l,

(2)

puis posons pour abr~ger 8-~m

tv

9Cm-s

s=m

t" s

L, (x) -~ Z=~ s! (2 p y " ( m - - s ) ! ' g'' (~) = ~=,X s! (~ p)~

Xm--s

(m - s)!'

(3)

nous aurons pour les sommes compl~mentaires t',o + r'~ ----- t,,~ (p),

d'ofi particuli~rement do = t "o = - 2P- .

(5)

Appliquons ensuite la premiere des formules (7) du paragraphe IX, il r~sulte le th~or~me:

I. Soit f,~ (x) une fonction partielle quelconque formde des ensembles (l)

et les hombres de Bernoulli et d'Euler.

105

et (2), les fonctions

F,, (~) =

+ A-~ (x),

p,~-

. > i

(6)

sont toutes des polynomes rdguliers. Remarquons que le polynome B,,(p

) ne contient que des puis-

sances de la forme ~ n - - 2 8 , nous aurons

l

= ~ q_---O

d'ofi, e n introduisant 2 n a u cursive --P(2~'--2)B~q -

2

t',~ B . _ ~ (x), (9 ~1)'1,~111

lieu de n, puis posant x = 0, la formule r6-

~(2p)~'-'~g~B._~=(--1)'(t',.--2npt'~._,), ~ q]

Z (--1) ~ q=,O

(7)

(8)

ce qui donnera, queltes que soient les fonetions partielles compl4mentaires que nous venons d'appliquer, p(2="--2)B.q -

~ (--1) ~

q=0

(2p)2"-=~t=~(p)B._~= (9)

Soit particuli~rement p-----1, nous retrouvons la formule (9) du paragraphe X, tandis que les hypotheses p-~2,

t',~=l,

t",~=3 "

doanent, en ve~etu de (8),

~,,_,

(~'~"+ 2)n T,, 22o_1

=

=

~=,~-, E

q----1

~

( - - l)~-* [ ] ~q ~.

( - 1 ) ~-'

(22q)

Bo_~--(--l)-(4u--1)

3'~ 2'"-'~ Bo_~ - - (-- l)" (a n - - 3) 3 -'"-'.

(lo) (11)

I~tudions maintenant le cas, off l'ensemble adjoint de (1) se d4termine par les nombres ~=(--l) ~, ~ = ~ s + l , 02)

106

N i e l s Nielsel~: Redterches sur les suites rdguli~res

puis d6signons p a r h,,, (x) et k,,, (x) deux fonetions partielles c o m p l 6 m e n t a i r e s form6es de ees ensembles, n o u s a u r o n s en p o s a n t h,,, (x) = ~ 2 s! ":(~-p)~ " ( . , _ ~)!,

k., (x) =

X • ~_-o sl Op)" ( m - - s ) !

(13)

p o u r les s o m m e s e o m p l 6 m e n t a i r e s ~".,,, et ~:",. la condition suivante

(14)

.,° + - : ,, = ( - l)~-~ ,0, (p).

Cela pos6, la derni~re des formules (7) du p a r a g r a p h e IX d o n n e r a le th6or~me: [I. Soit h,~ (x) une fonction .1)artielle quelconque, formde des ensembles (1) et (IO-), les fonctions G,, (x) =

(

E,,px--2 ~,,

-

h,, (x)

05)

sont toutes des polynomes rdguliers. L'6quation fonctionnelle c o r r e s p o n d a n t e , savoir (-- 1)'+~ e,, ( - - x - -

1) = e . ( x )

06)

d 6 p e n d a n t de la parit6 de p, nous a v o n s h 6tudier s 6 p a r 6 m e n t les d e u x cas suivants: 1.° 1) est un hombre pair. Les nl~mes r6flexions que darts le p a r a g r a p h e pr6c6dent m o n t r e n t que G~ (x) est t o u j o u r s un p o l y n o m e d u degr6 n; rem a r q u o n s ensuite que E . ( p w . . . . ~--) ne contient que des puissances de x d e la forme x ''-~, nous a u r o n s le d 6 v e l o p p e m e n t 1 d2-G,,(x) ....

= }2~ (2 ~_-o s+

":'~+, l) t

.(~p)~°+'

B,, .,~ (x).

(17)

--

I n t r o d u i s o n s ensuite d a n s (17) 2 n au lieu de n, puis posons x = 0, il r6sulte la formule r6eursive ,-i--1 ' pE,, =

(-l)~

(o-n+l)(o-v)~"-~~' B,, . - o_s+ ~,~' --(--1)"

(( ~ n

'

' )

+ i)p.:.~.---~.+,

(18) ,

et les hombres de Ber~oulli et d'Euler.

107

d'ofl, en appliquant la m6thode ordinaire,

(o.~+l)pE.+

X (--1)

~=o

:,~+,(p)B._o=

2 s -b- ,

=

09) +

\

(p)], ]

et nous trouvons toujours cette formule, quelles que soient les deux fonctions partielles compl6mentaires h . (x) et k . (x). Posons, dans (18), p=2,

~",.=1,

~",.=--3",

nous aurons respectivement

(2~+I)E,,= (2n+

=0 ~ (--W~s+1 ~=,-t=o ~ (--1)" ( ~ n + ]) 3'~+~2"-'B" -"~ = ( - 1 ) ' ' - ' ( $ ~ - l ) 3 ~ ' '

I)E,+

o2,.op e s t un nombre impair. Dans ce eas G,, (x) est un polynome du degr6 n - - 1 ,

de sorte que nous aurons ici <7: n - - l ,

-ff G,,

(x) =

--

X

~=0 (°2 s +

* "2.z+1

1)! ( 2 p ) '~+'

E ...... , (x),

.

.

.

. >

.

.

l,

(~)

ce qui d o n n e r a en substituant 2 n au lieu de ~.~ et en posant x = 0

~-1 E. = ~="-t .=0X (-- l) ~ (\U s0"~ + 1) F " - " - ~ ' ~'+~ T . _ ~ + ( - - I ) " * ' "~" "~- ~ (--1) ~ ( 2 s2+n1 )p~,,_~_,_ ~ ' (P) T"_ ~ + (-- t)" ~,, (p). E . = =s--.~0

(~3) (24)

Posons p = l, nous aurons la formuie d'EuLER (~)

~,,= X ( - W ~

~ T._o+(--I)",

ce qui est pr6cis6ment la formule (12) du paragraphe 1.

(~) Opuscula aualytica, t. II, pp. 269-270. SMnt-P6tersbourg, i785.

(~5)

108

N i e l s N i e l s e n : Reeherches sur les suites rdguli~res

X[[.

SUITES

R~G-ULIERES

DE

THOISH~ME

ESP]~CE.

[1 est tr~s curieux, ce me semble, que les formules (8) et (9) du paragraphe IX nous permettent de gO~4r~tliser les r~sultats obtenus dans les deux paragraphes pr4c~dents. Eu effet, d~signons par m : ~ 1 un entier quelconque du reste, par

les positifs entiers plus petits que m et premiers avec m et d~terminons l'ensemble adjoint de sorte que ~ = l,

(9)

nous aurons pout'les coefficients des deux fonctions partielles compl~mentaires queiconques q=r~

/

~=0 q I. ,.~

X~z--,l

q=r~

"

(n - - q) I'. g,, (x) = q=0Eq i 7~

.

96~*-2

(u _ q) .T

(3)

les conditions suivantes s----/~

s~ ÷ s"~ ---- s~ = Z =;.

0')

s~J-

Cela pos~, nous aucons le th~or~me suivant: I. Soit m 2> l un entier quelconque du reste, et soit f. (x) une tbnction partielle quelconque, form& des ensembles (1) et (~), les fonctions ®~ (x) --- ~ (~) + f,,_~ (x),

n_> l,

(5)

o~ F~ (x) est la fonction ddfinie par lc~ formule (10) du paragrcephe IX, sont toutes des polynomes rdguliers. Nous aurons imm~diatement le d~veloppement n

s~

B,, ~ (x),

(6)

q__

d'ofi eu remplac~ant n par 2 n, puis posant x----0, la formule r~cursive tr~s

et les nombres de Bernoulli et d'Euler.

109

curieuse

(-- 1)" m ~._~ (m)

B.+(--

1)" ( s ' ~ . - - m n s'~._,) = (7)

=

X q=o --'

(--1).

2q

s%

°-

B,,. -

t

I n t r o d u i s o n s d a n s (7) au lieu de s'~ les s o m m e s correspondantes, puis a d d i t i o n n o n s les d e u x formules ainsi obtenues, n o u s a u r o n s toujours, quelles que soient les fonctions partielles compl6mentaires appliqu6es:

(-- 1) '' m %,_~ (m) B . + (-- 1)" (s~. - - m n s~._~) =

(s) =

X

( - - 1)~

m ~"-~ s~ B._~.

q-----0

Posons encore dans (7) m=

6,

r=

2,

s.~--' 1 , s ". =

5" ,

il r6sultent les formules r6cursives (3~,,

3)(2~,,_,

I)B,_~

~] ( _ 1 ) q q~0

(3~"--3)(2~"-~--1)B.,=

rt 6 ~ , , _ ~ B , , _ _ ~ ( _ l ) , , ( 6 n _ l q

~ (--1) q q_-0

)

(9)

"

5~q6~"-~B.,_q+

(10)

+ (-- 1F (6 ~ - - 5) 5 ~-~. Q u a n t ~ l'applieation des formules (9) et (1l) d u p a r a g r a p h e IX, n o u s s u p p o s o n s m impair et nous remplagons l'ensemble (2) par cet a u t r e

~=(-

1)~..

01)

Soient ensuite h,, (x) et k. (x) d e u x fonctions partielles (~ompl6mentaires form6es de ces d e u x ensembles (i) et (11), n o u s posons q=n

at

~F~"-q

h,, (x) = qZ = ° q! m" • (n - - q) ! ,

q=n

q"

9~'-q

2 ~ (n - - q)! , k , , ( x ) = q=0 E q!m,

(12)

ce qui d o n n e r a

~',~+~"~=~,,= X ( - 1)-.~.:,

03)

110

N i e l s Nielsen,: Rechervhes sur les suites rdguli~res

d'ofl

particuli~rement p o u r

q =

0

¢,, + ~"~ = O.

(1~)

Cela pos6, n o u s a u r o n s le th6or~me s u i v a n t : IL Soit m > 1 uJ~ hombre entier impair quelconque du reste, et soit h,, (x) une fotwtion pa, rtielle quelconque form@ des ensembles (1) et (11), les fonctions • ,, (z) = G,, (x) + h,, (x), (15)

oit G., (x) est lct fonetiort ddfinie par la formule (1 1) du paragral)he IX, so~t toutes des polynomes rdguliers. Davis ce cas nous a u r o n s le d 6 v e l o p p e m e n t <2L

~- ,.. (z) = d'ofl, en rempla~ant n par 2 n + curieuse _

_

_

q=~

( - 1)" 9~,,+, (m) T,,+, -~ 32 (-- 1) 2

~=0 (~ qji~,e~ E . _ ~ (z),

(16)

1, puis p o s a n t x = O, la formule r6cursive

(2n+l)

£~qm ~'-~'~+~ '

T._~+,

-- (- 1) ° e~.+, ¢~,,+,,

t

(17)

de sorte que n o u s aurons, en vertu de (14),

q=o

2q

~ T._~+, - -- (--

1)" 2 ~'+~ ~ ~,,+,.

(t8) ,

Soit m u n h o m b r e premier, les fornlules r6cursives g6n6rales que n o u s venons (te dSvelopper coi'nciden[ avec celles o b t e n u e s d a n s le p a r a g r a p h e X.

el les nombres de Bernoulli et d Euler.

QUATRII~ME

111

PARTIE.

Applications diverses.

XIII.

SuR DEUX t~QUATIONS ALGI~BRIQUES.

KRONECKER(~), dans ses reeherehes remarquables, trouve pour le nombre g6n6ral B. de .BERNOULLI deux expressions ~t l'aide des sommes des puissances des racines de deux 6quations alg6briques. Or, iL est tr~s facile de trouver d'autres expressions de ce genre et plus simples que celtes de KRONECKER. A cet effet, prenons pour point de d6part la formule d'EULEU, savoir la formule (9) du paragraphe V

,,=.-,

(_~),.

~,,---,17,,_,.+ ( - ~ ) o . - - o , ¢=o ( 2 r - - ~ l ) ! ( 2 n - - ~ r ) ! (~n-l-l)! •

(1)

puis d6signons par s,~ la somme des q-igmes puissances de m raeines de l'6quation alg6brique 0fire

~m--1

i!

X,n--2

.3~ +

5~

.....

la formule de N~?WTON donnera, pour l < n <

o,

(2)

m

'="-~ ( - I ) " s ..... (--l)"n - 0 , (2 l), ÷ ,._--o r÷ . ( ~ n ÷ 1)!

(3)

d'ofi en vertu de (1)

s,,= ----~-, (~ n).

l
(4~)

Appliquons e n s u r e la formule r6cursive de JACOB! (~*)

,.=~-t ~

0

( _ 1~

B,,_,. •

-

-

(-- l)"n

_ O,

(5)

•

(~) Journal de Mathdmatiques pures et appliqudes (~), t. l, pp. 385-391; 1856. (++) Journal de Crelle, t. L% p. 265; [834,. Annali di Matematica, Serie III, Tomo XX[[.

15

11~

N i e l s N i e l s e n : Rec&erches sur les suites rdguli~res

ee qui u'est autre chose que l'expression de B,,,,+~ (-- 1) tb'(~e direetement de ta formuie (2) du paragt'aplle [, puis d~signons par s',~ la somme des q-i~mes puissances des m racines de l'Squation alg(~brique 2!

4d

+

6!

.....

0,

(6)

nous a u r o u s de m6me, en vertu de la formule de NEWTON', '="-* (=- l ) " s ..... ( - l)" n E (2 r74-o~)I ÷ (~ n + 2) ! - O, V--~.O

'

1 < n < m,

(7)

d'ofi, en vertu de (5),

B~

s',, - - (2 n ) ! '

I < n < m.

(8)

Cela pos(~, [es formules (4~) et (8) donnent, pour les deux 6quations atg6bviques (g) et (8), la relation s,, = 2 ''-~ ,~',,, l < n < m;

(9)

.j'iguove comment d(~montt'er dit'eetement cette fm~mule eu~'ieuse. M. MaNDL (*) a trouv(~, pour les nomb~'es (¢), la formule r~euvsiw~ (3) sans remarquec qu'elle appartient t~ Eu~,~,m.

X I V . SuH UN THe]OHm;ME DE SYLVESTER.

II nous reste encore h montcec e o m m e u t on potll't'&i~ tirer diveetemeut de uos formules pr~c(~dentes quelques pt'opvi(~t~s essentielles des ~mmbves de BE.aXOUf~Lt. En premier lieu la formule de ~:IoJv~, savoiJ" la fovmule (10) du pavag~'aphe V, donnm'a, pal" la conclusion de ,~ h n + 1, une expression tie la forme 2.3.5.7... (2 n, + 1) B,, = 2k-~- 1, off k est un entiet' non ~6gatif; e'est-gt-dire que nous pouvons toujouvs ad(*) Sitzungsberichte der WieJ~er A~ademie, t. 9!~, [, p. 953; 1886.

et les nombres de Bernoulli et d'Euler.

113

B . - -_2 b a ~~,

(1)

mettre

oh d,, et b,, sour des entiers impairs p r e m i e r s entre eux. D6signons ensuite par 2 G,, le plus petit d 6 n o m i n a t e u r c o m m u n des n premiers n o m b r e s de B~aNOULL~, G. est t o u j o u r s u n nolnbre impair. A p p l i q u o n s e n s u i t e la formule (9) d u p a r a g r a p h e X, savoir nT.

q=n--ly( - - 1 ) q-1 ['2n]2~,,_~qB.

le s e c o n d m e m b r e est, eu vertu de (1), u n entier; multiplions par G._,, n o u s verrons que ce h o m b r e est impair, de sorte que n o u s a u r o n s n 'r,, = ~'o-' (~ K +

(~)

1),

oil K est u n entier tlon n6gatif. Cela pos6, n o u s a u r o n s i m m ~ d i a t e m e n t le th~or~me suivant indiqu(~ p a r WORPITZKY (*): I. Soil l'indice n u n hombre de le~ forme 2 ~ (~ q -~- 1), nous aurons pour le n-i~me coefficient des &mgentes une expression de la forme r~ = ~ - ~ - '

(2 r + 1).

(3)

E n d e r n i e r lieu, n o u s a v o n s ~ a p p l i q u e r la f o r m u l e (8) d u p a r a g r a p h e X, savoir p (p'o -

1) B° +

~ ( - - l) ~ q=~

q)p

s~ (p - - l) B~_~ =

(~)

e o m b i n 6 e avee u n r~sultat o b t e n u p o u r la s o m m e s,,(q) = 1" + ~'~ + 3" + . . . + q " . En effet, p o s o n s duns l'expression de B,,+~ (x) s u c c e s s i v e m e n t x = q , x = 0, puis s o u s t r a y o n s , il en rSsulte la formule classique q"+'

q"

<' (q) - - n + 1 + g +

= ~ ( - - 1 ) '~-* In-I-:1'~ £ s=l n - ~ 1 ~ 2 s ) B, q"-~'+' •

(~) Journal de Crelle, t. 94,, p. 232; 1883.

(5)

Niels Nielsen: Recherches sur les suites rdguli+res

11~

posons ensuite darts cette formule q = 1, ~, 3 , . . . , p les r6sultats ainsi obtenus, nous aurons q=p-t Z s,,(q) _ s.+~ ( p _ l ) q=~ n+ 1

t_s,,(p_l) 2

+

1, puis ajoutons tous

<.& =)2~ ( - 1)~-~ ( n + l ) ~=li n + 1 2s B~s,,_~.+,( p - - l ) .

Or, uous aurons pour le premier membre de cette formuie l'expression ( p - - l) v' + ( p - - ~) ~- + . . .

+

1. (p -

I F = p s,, ( p - - i) - - s . + , ( p - - 1);

rempla~ons enfin n par 2 n - - 1 , il en r(Ssulte

q

q=t

-

=(--1)"((2Jn-?l)s~"(P--l)--(2np--n)s~'~-~(P--l))

ij

(6)

d'ofi, en soustrayant les fornmles (4) et (6), puis multipliant par p" et divisant par 2n, nous trouvons la formule

p " + l _( p ~ " ,- - l ~~B _~ q~--n--l~(----1) q \*Q 2n---1 ) - - ( - - I F ( p" ( p -

-

,

l)~ s~._, ( p - - 1) - p "s . ~ . ( p

,~.-2q

- - l)

) .

(7)

Remarquons maintenant que l'expression

p~ (p -+- l ) ( p -- l)

p'~ (p~ -- 1)

est toujours un uombre entier, pourvu q u e p le soit, la formule (7) donnera par la conclusion de n ~t n + 1, le th~or~me suivant: I[. Soit p u n hombre entier quelconque, l'expression

C.-----

p"+~ ~ - -- 1) (~2'n B.

(9)

est toujours un hombre entier. On salt que SYLVESTE~ (*) a dOnontr6 que i'expression v ~'' ( p ~ - -

2n

l)

B.

est ua nombre eniier, r~sultat qui est retrouv~ par LIPsCItITZ (~'~).

(*) Philosophical Magazine, i~vrier 1861. (**) Journal de CreUe, t. 96, p. ~; 1884.

(10)

et les hombres de B e r n o u l l i et d'Euler.

Soit p u n h o m b r e de la forme 6 q - 4 - 1 , que l'expression

115

n o u s verrons, en vertu de (8),

p"-' (p'~" - - 1) B .

2n

(11)

est t o u j o u r s u n n o m b r e entier. P o s o n s particuli~rement, d a n s (9), p = 2, n o u s verrons, en vertu de (1), que le n o m b r e AN = ~ (2 2+ - - t) Bo (12) est t o u j o u r s u n h o m b r e entier impair, r6sultat qui 6tait c o n n u d6j~ p a r EULER (~). R e m a r q u o n s l'identit6 n T . ---- 2 2~-~ A N ,

le th6or~me de WORPITZKY est 6vident et se pr6sente c o m m e u n e c o n s 6 q u e n c e imm6diate des ibrmules euldriennes susdites.

(~) Institutiones calculi differentialis, pp. 495497. Saint-P6tersbourg, 1755.