LETTERE

ALLA

REDAZIONE

(La responsabili~d seientifica degli scrittl in~e~iti i n questa rubrica ~ comple~amen2e lasciata dalla D~rezione del perlodico ai singol~ a utori)

Sezione d'urto per i processi (d, p) e (p, d). E.

CLEMENTEL

Istituto di Fisica deW Universith - Padova Istituto Nazionale di Fisica Nucleare - Sezione di Padova (ricevuto il 14 Gennaio 1954)

I proeessi (d, p) e (p, d) sono due esempi di urti con riordinamento (rearrangement collisions), il cui studio ha una particolare importanza per la spettroscopia nucleare, in quanto la distribuzione angolare delle particelle emesse dipende dalla paritY, e dallo spin dei nuclei iniziale e finale. Tall processi, e quindi in generale i processi d'urto con riordinamento, si possono discutere in modo esatto usando la teoria generale dell'urto n~dla formulazione di LIPPMANN e SCHWINGE~ (~), beneh~ l'autofunzione dello stato finale appartenga ad un sistema comple~o di autofunzioni diverso d~ queUo relativo allo stato iniziale. Va]endoci per semplicit'& della schematizzazione GEnJOUY (2), dove il nucleo viene tratto come un centro fisso di forza, e si trascurano sia lo spin dc[le particelle interessate nell'urto che l'interazione coulombiana, consideriamo anzitutto il processo (d,p). L'onda pinna del deutone O~=exp [ i K . R ] w ( r , Ca), dove R = ~ (rp+r~) e4 r = r ~ - - r , , rappresenta lo stato iniziale e soddisfa l'equazione

(I)

H~q)~ = (K @ V~)r

= E~.

Se con V~ c Vp indichiamo ]e interazioni de] neutrone rispettivamento del protone col centro di forza (nuc]eo), la funzione di stato del nostro problema soddisfa l'equazione integrale (3) (2)

~P(~+) = r

1 + E~ + i6 - - H ~ -

V~ -- V~ ( V~ + V~)r

Lo stato finale ~ dato da u n protone diffuso e d~ u n neu~ronr legato, ed ~ de~critto pertanto dall'autofunzione Cb = exp [ikv'r~Jg~(r=, ~), soluzione dell'equazione

(3)

Hbr = (K + V~)~b = Eb~b,

dove ),b ~ l'energia di legame de[ neutrone. L'ampiezza di probabilits per 1o stato finale ~b vale (r ~Y~+)). A1 limite per e ~ 0, (r T~(+)) deve contenere il fattore~ (~) B. A. LIPP,~ZA.~N e J . SCVlW[N~;EI~: Phys. l~'r., 79, t(i9 (1950;. {~) ~ . OERJOI;Y: Phys. Rev., 91, 615 (1953). (a) O. F. CHEW O M. L. GOLD3ER~ER: P h y s . l?rr., 87, 77.~ (1952).

8EZIONE D'URTO PER I PROCESSI (d, p) E (p, d)

413

(~+(E a - - E b ) , che earatterizza un'onda divergcnte (4), e conviene quindi tra~formare il secondo membro della (2) in modo da far apparire l'opcratore B-I=(E~+i8 -- H~)-~. Indicando con A -~ l'operatore che nella (2) agisce su ( V . + V,)~b~, e facendo uso della relazione operatoriale (~) A -~ = B -~ + B-~(B-- A)A -~, si ottiene

(4)

((~b' ~(-J-)) :

+

(r

(~a) ~-

E~ + i8 - - E b (~b' (V~ - - V ~ ) ~ ) +

\ 1 ~b, E~ + ie - - Hb (V, + v . , ) v'(~+)]. /

Valendosi delle (1) e (3) si vcrifica facilmente che (5)

(~Sb, (Vn - - Vnp)~ba) :

(Ea--Eb)(qSb, ~)a),

e quindi i primi due termini a secondo membro della (4) si distruggono, e in deftnitiva si ha (6)

(~bb, ~a(~-)) =

( q)b,

1

E a + i e - - H~,

(Vv-+~ Vnv)T(+))

'

d a cui segue subito (~) l'cspressione per la probabilit~ di transizione Wb~ fra gli stati a c b

(7)

27g

Wb:~= ](qb b, ~V(a+')l 2 = - ~ - ( ~ + ( E a - - Eb) l( q~b, (Vp ~- Vnp)~P(a+') l 2 .

L a sezione d'urtc, differenziale si strive pertanto dad, M d {" 1 dk, dO - ~ J Wb~ (2~) 3 d~-~,

(8)

dove vd=hK/M d ~ la velocit's del deutonc incidente. Tcnendo eonto della relazione che esprime la conservazione dell'energia e introduccndo per ~ e ~b le espressioni date, si ottiene

(9)

d a d , __ M d M

d~2

kv

4vr~h~ K

fdr, dr. e x p J

[-- ikp "rp]qJ*(rn , 2~)(Vp § Vnp)T~(+) o..

I1 procedimento di GEl~zo~;v, che si basa sul caleolo dell'ampiezza detl'onda diffusa (~, T~(+~), si traduce facflmente ncll'attuale formulazione. Infatti, in luogo delle (5) e (6) si hanno le (lo) (11)

( E ~ - .~o)(q~, r (%

(+) Ta ) =

~'E~§

= (% V n ~ o ) - (% V.~.~a) (V~ + r ~ ) ~ + )

.

(4) C. ~ L L E R : Kgl. Dauske Videnskab., !ulat. Fys. Medal., 23, no. 1 (1945). Q) G. F. C•EW e G. (2. WICK: Phys. Rev., 85, 636 (1952).

414

g. CL~MENTEL

Poich~ agli effetti del calcolo della sezione d'urto, dell'ampiezza interess~t il valore asintotieo per r , - + co, si vede subito i n t a n t o che il primo membro della (17) si annulla, in quanto contiene lo stato legato del deutone, e quindi

(12) Per calcolare il valore asintotico della (11), osserviamo ehe questa si pub serivere f (13) (q, ~t+)) = J . d G d G' d G ~ ' *(r=

1

, r,l j (Vp

2b) G , r~ E~ q- ie

Ho r , ,

v n p xw(+) ]aa + lr

dove

(14)

1 rp, r a E~ + ie - - H b

-

~

' r= rp, l)

=

exp [ik(r,--r',)]

~

1

)

,,

§ in _ k~ ,v(r~,~)~ (r=, I),

avendo posto (E~=E)k~=(2M/t~)(E--X), ~7=(2M/h2)e. Ricordando la relazione di completezza ~9(r=, )~)~* (r=, ' 1) =6(rn - - r=), (dalle (20) e (21) si ottiene

(15)

lira (9, Ta(+)) = A(n)

exp [ik~%]

dove

(16)

A(n) --

1 2M a , 4zr ~2 j f d G d G exp [--ik~.rp)~*(rn, lb)(Vp + .v ,p,~T~§

e k~=kprt, essendo n un vettore unitario nella direzione di rp. La A(n) non 6 altro che la A2(n) di G~RJOUY: la Al(n) non appare in virtfl della (12). Per la (15), la sezione d'urto del processo vale (v,/vd) lA(n)[~; tenendo conto della (16) si ritrova l'espressione (9). I n partieolare, in approssimazione di Born T~+J si pub sostituire con Ca: segue dalla (12) che in tale approssimazione Vnp pub sostituirsi coil V~. Nell'elemcnto di matrice relativo al processo (d, p) ricompare coal il termine iniziale (cfr. (2)) di perturbazione V , + V p , ehe, a differenza del termine Vp+V~p ehe figura nella formulazione corretta, presenta un'immediata giustificazione intuitiva. i n modo analogo pub essere trattato il processo (d, p). Si ha solo uno scambio fra stati iniziale e finale e relative equazioni d'onda, cio6 q~a=exp [ikp'r~Jp(rn, 2a), mentre C b : e x p [iK.R)w(r, sb). I1 termine di interazione vale in questo caso V~+ V~p, c pertanto i[ vettore di stato k~(,+) soddisfa l'equazione integrale (17}

~/a(+ ) =

~b a ~_

1

Ea + is -- H a

(V_~Vn~)~(a+I

'

(tt a =K~_Va).

Di qui, proeedendo con qualehe ovvia variante come nel caso del proccsso (d, p),

SEZIONE D'URT0 PER I PROC]~S$I (d, p) E (p, d)

415

si arriva all'esprcssione delia sezione d'urto differenzialc

(18)

d~d%d-- Md M~ Kkp / dR dr exp [-- iK" R]w*(r' eb)(V~-J-V")~(~+) i

Per quanto riguarda l'uso dell'approssimazione di Born, si pu6 tener conto che per l'urto (d, p) la eorrispondente della (12) si scrive (19)

(lim B ~ oo)

(w, v , a,~) = w, Vnp ~a) .

Alia (19) si perviene caleolando il valore asintotico dell'ampiezza dell'onda diffusa (w, ~(+)). Sia fl valore di ~b che eb possono essere X 0, a seeonda ehe nella fuse finale del processo considerato si realizza uno stato legato rispettivamente uno stato del continuo. ]~ implicita pertanto nella sommatoria che figura nella (14) un'integrazione sugli stati de1 continuo. ~ ovvio infine e h e l a schematizzazione del centro fisso di forza vale solo nel caso di nuclei pesanti; per nuclei leggeri M a ed M vanno sostituite con le masse ridotte associate al moto relativo prima e dopo l'urto.